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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADMICO SUBPROGRAMA DISEO ACADMICO REA MATEMTICA

PLAN DE CURSO I. Identificacin Nombre: Matemtica II Cdigos: 178-179 U.C: 5

Carreras: Licenciatura en Matemtica Ingeniera Industrial T.S.U: en Higiene y Seguridad Industrial Ingeniera de Sistemas T.S.U. Mantenimientos de Sistemas Informaticos. Educacin, mencin Matemtica Contadura Pblica Administracin de Empresas Administracin, Riesgos y Seguros

Cdigos: 126, 280, 281, 236, 237, 508, 610, 612 y 613 Semestre: II Prelaciones: Matemtica I Requisito: Ninguno Autor: Lic. Alejandra Lameda Actualizacin: Lic. lvaro Stephens

Asesora en Diseo Acadmico: Dra. Rosa Puerta

Asesora en actualizacin: Prof Wendy Guzmn

Nivel Central

Caracas, Enero 2013

Plan de Curso Matemtica II (178/179) - Actualizado por Prof. lvaro Stephens - UNA 2013

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II. FUNDAMENTACIN

El curso de Matemtica II (178-179) es una asignatura ubicada en el segundo semestre del ciclo de Estudios Generales de la Universidad Nacional Abierta, y su fin es continuar suministrando herramientas de matemticas generales que contribuyan con el desarrollo intelectual de los estudiantes en el ciclo de Estudios Profesionales., De all que sea una asignatura obligatoria de las carreras de Licenciatura en Matemtica, Ingeniera de Sistemas, Ingeniera Industrial, Educacin mencin Matemtica, Contadura Pblica, Administracin de Empresas y Administracin mencin Riesgos y Seguros. Los contenidos de la asignatura proporcionan continuidad a los conocimientos adquiridos en el curso de Matemtica I (176-177).

El contenido del curso se ha dividido en cuatro (04) Mdulos de Aprendizaje: En el

primer Mdulo se retoman y profundizan un poco ms los conceptos de lmite y continuidad de funciones reales de variable real, iniciado en el curso de Matemtica I

En el Mdulo II se desarrolla el clculo diferencial de funciones reales de una variable real. Se dan diversas interpretaciones de la derivada de una funcin en un punto y se aplica el clculo de derivadas para representar grficamente una funcin y la aproximacin de funciones a travs del polinomio de Taylor, al clculo de lmites indeterminados y en el mtodo de Newton-Raphson.

En relacin con el Mdulo III, su contenido es el usual en lo que respecta a las matrices y sistemas de ecuaciones lineales, estudiando los vectores de Rn como matrices filas o matrices columnas, las operaciones usuales de matrices y la aplicacin de las mismas a la resolucin de los sistemas de ecuaciones lineales mediante el mtodo de Gauss-Jordan.

El Mdulo IV es diferenciado, en el caso del cdigo 178 es una continuacin de los contenidos estudiados en el Mdulo IV del curso de Matemtica I (176). Se desarrollan distintas aplicaciones de las funciones para modelar diversos aspectos de las ciencias administrativas, pero ahora utilizando las herramientas del clculo diferencial y de las matrices. Adems, se desarrolla el modelo input-output y la teora del anlisis marginal. En el caso del cdigo 179 es una continuacin de los contenidos estudiados en el Mdulo IV del curso de Matemtica I (177). En l se estudia distintos procedimientos utilizados en matemticas a los fines de comprobar y demostrar, as como construir modelos matemticos derivados de situaciones que se presentan en otras disciplinas, pero utilizando ahora los recursos expuestos en los mdulos anteriores. Se hacen demostraciones con derivadas, se estudian modelos matemticos donde intervienen las matrices, modelos del tipo )x(fy = y, en lo relativo a las demostraciones, adems de los procedimientos estudiados en Matemtica I (177), se desarrolla lo concerniente al mtodo de induccin para hacer demostraciones en aritmtica, geometra, clculo diferencial y con las matrices.

La estructura actual del curso de Matemtica II (178-179), est basada en una

investigacin realizada por un equipo de Profesores del rea de Matemtica de la UNA, coordinado por el profesor Mauricio Orellana Chacn.


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El curso es terico-prctico, con el predominio del aspecto prctico, y en este sentido, las estrategias instruccionales y de evaluacin del curso, estarn orientadas hacia la resolucin de ejercicios y problemas como una forma de brindar al estudiante la oportunidad de aplicar la teora.

Para apoyar el proceso de aprendizaje de este curso, el estudiante contar con los materiales instruccionales siguientes:

Obligatorio

El libro de Matemtica II de la UNA (ao 2000) el cual se encuentra en las bibliotecas de todos los Centro Locales y Unidades de Apoyo.

El mismo consta de cuatro Mdulos de Instruccin: Los tres primeros son comunes para todas las carreras y el cuarto es diferenciado por carrera, como se detalla a continuacin:

MATEMTICA II (cdigo 178) Carreras: Contadura Pblica (cd. 610), Administracin de Empresas (cd. 612) y Administracin mencin Riesgos y Seguros (cd. 613) Mdulo Ttulo Cdigo (s)

I Lmites y Continuidad de funciones Reales de Variable Real. 178-179 II Derivadas de funciones Reales de Variable Real. 178-179 III Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales. 178-179 IV Aplicaciones de las Funciones a las Ciencias Administrativas. 178

MATEMTICA II (cdigo 179) Carreras: Licenciatura en Matemtica (cd. 126), Ingeniera de Sistemas (cd. 236), Ingeniera Industrial (cd. 280) y Educacin mencin Matemtica (cd. 508). Mdulo Ttulo Cdigo (s)

I Lmites y Continuidad de funciones Reales de Variable Real. 178-179 II Derivadas de funciones Reales de Variable Real. 178-179 III Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales. 178-179 IV Pensamiento Matemtico y Modelando con Matemtica 179

Complementario

Medio electrnico:

Calculadoras cientficas. Correo electrnico.

Bibliotecas: servicio de alquiler y prstamos de libros.

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III. PLAN DE EVALUACION

M U O OBJETIVOS COMUNES EVALUABLES DE LA ASIGNATURA (178-179)

1

1 1 Interpretar la nocin de lmite de una funcin real de variable real en un punto, en forma intuitiva, geomtrica y formal para establecer algunas propiedades para el clculo de lmites de funciones.

2 2 Calcular lmites cuando x tiende a infinito , cuando f(x) tiende a infinito o lmites indeterminados de las formas:

.1,,,00

3 3 Efectuar ejercicios aplicando las propiedades o teoremas que se derivan del estudio de la continuidad de funciones reales de variable real.

2 4 4 Resolver problemas aplicando la definicin o propiedades de la derivada de una funcin.

5 5 Aplicar las derivadas de orden superior a uno a problemas de optimizacin, a la representacin grfica de una funcin o a la aproximacin de funciones mediante funciones polinmicas.

3 6 6 Resolver problemas que involucren las operaciones definidas con matrices o la accin de ciertas matrices 2x2 como transformaciones geomtrica del plano IR2.

7 7 Aplicar el mtodo de Gauss-Jordan en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales o en el clculo de la inversa de una matriz.

ASIGNATURA: MATEMTICA II COD: 178-179 CRDITOS: 5 - LAPSO: 2013-1 SEMESTRE: 2 CARRERAS: Lic. Matemtica, Ingeniera Industrial, Ingeniera de Sistemas, Educacin Matemtica, Contadura Pblica, Administracin de Empresas y Administracin mencin Riesgos y Seguros. Responsable: Profa. Chanel Chacn Evaluadora: Profa. Florymar Robles Alvarez Horario de atencin: Lun a Vier (8:30 a 12:00 y de 1:30 a 4:00) Telfono: (0212) 5552080 / (0212) 5552081 Correo electrnico: [email protected]

MOMENTOS OBJETIVO CONTENIDO MODALIDAD

PRIMERA PARCIAL 1 al 5

MDULOS 1 y 2

MIXTA

SEGUNDA PARCIAL 6 al 9

MDULOS 3 y 4

INTEGRAL

1 al 9 MDULOS 1 al 4


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M U O OBJETIVOS NO COMUNES EVALUABLES DE LA ASIGNATURA 178

4 1 8 Resolver problemas donde estn involucrados conceptos relativos a costo, ingreso, ingreso marginal y elasticidad de la demanda, anlisis marginal y tcnicas para la construccin de la grfica de una funcin.

2 9 Resolver problemas aplicando el modelo Input-output.

M U O OBJETIVOS NO COMUNES EVALUABLES DE LA ASIGNATURA 179

4 1 8 Analizar problemas que puedan ser resueltos mediante procedimientos matemticos o demostrar proposiciones o teoremas mediante el mtodo de induccin.

2 9 Resolver problemas de fsica, ingeniera o economa, donde se utilicen procedimientos matemticos y conceptos relacionados con el clculo diferencial y los sistemas de ecuaciones lineales.

OBJETIVO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 PONDERACIN 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Peso mximo: 09 (seis) Criterio de dominio acadmico: 06 (seis) 60% de aprobacin (Art. 15 de la Normativa de la Administracin de la Evaluacin).

Peso acumulado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Calificacin 1 2 3 4 5 6 8 9 10

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ORIENTACIONES GENERALES Adems de la atencin que te brinda tu asesor en el centro local, si lo deseas, tambin puedes recibir realimentacin

del especialista en contenido de este curso, a travs del correo electrnico: [email protected]

Antes de comenzar a estudiar los contenidos de esta asignatura, realiza una lectura completa del Plan de Curso y focaliza las actividades de evaluacin.

Utiliza un cuaderno o carpeta donde sintetices los contenidos de los temas y ejercicios propuestos, esto te permitir sistematizar tu estudio.

Reserva un tiempo para repasar frecuentemente la materia. Organiza un grupo de tres o cuatro personas; la idea es propiciar el aprendizaje colaborativo. Para obtener mejores beneficios durante la lectura, subraya las ideas principales, toma nota, vuelve a leer, consulta el

diccionario, revisa las preguntas propuestas o realiza otra actividad que te ayude a comprender la lectura; selecciona la

que ms se ajuste a ti y te permita obtener un aprendizaje ms efectivo.

Mientras lees, ten presente la intencionalidad del objetivo de la unidad.

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IV. DISEO DE LA INSTRUCCIN DEL CURSO

Objetivo Comunes (178-179) Contenido 1. Interpretar la nocin de lmite de una funcin real de variable real en un punto, en forma intuitiva, geomtrica y formal para establecer algunas propiedades para el clculo de lmites de funciones.

Repaso acerca de la idea intuitiva de lmites de funciones y de su interpretacin geomtrica. Concepto de lmite: lmite de una funcin en un punto. Aplicaciones.

2. Calcular lmites cuando x tiende a infinito , cuando f(x) tiende a infinito o lmites indeterminados de las formas:

.1,,,00

Lmites al infinito. Lmites infinitos y lmites indeterminados. Consideraciones de casos donde aparecen formas indeterminadas. Lmites laterales. Algunos lmites especiales,

tales como: ( )x1

x1lm,xk1lm,

x1senxlm,

xxsenlm

0x

x

x0x0x+

+

y otros lmites

relacionados con los anteriores.

3. Efectuar ejercicios aplicando las propiedades o teoremas que se derivan del estudio de la continuidad de funciones reales de variable real.

Repaso acerca de la nocin intuitiva de continuidad. Concepto de funcin continua en un punto y en un intervalo. lgebra de funciones continuas. Continuidad de una funcin compuesta. Discontinuidad evitable. Propiedades de las funciones continuas, entre otras: teorema del valor intermedio, teorema de Bolzano y teorema de existencia de mximo y mnimo de una funcin continua en un intervalo cerrado. Aplicaciones

4. Resolver problemas aplicando la definicin o propiedades de la derivada de una funcin.

Variacin de funciones. Tasa media de variacin de una funcin. Tasa instantnea de variacin de una funcin. Derivada de una funcin en un punto. Diversas interpretaciones. Derivadas laterales. Propiedades algebraicas de la derivada. Relacin entre continuidad y derivabilidad. Derivada de diversas funciones: algebraicas, trigonomtricas y otros tipos de funciones. Derivada y antiderivada de algunas funciones (tablas). Aplicaciones: grfica aproximada de una funcin usando el criterio de la primera derivada para hallar puntos crticos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos, ecuaciones de las rectas tangente y normal, ngulo entre curvas, mtodo de Newton-Raphson. Teoremas del valor medio. Aplicaciones. Regla de la Cadena. Aplicaciones: derivadas de funciones definidas en forma implcita, derivada de la funcin inversa, tcnicas de derivacin logartmica. Aplicaciones.

5. Aplicar las derivadas de orden superior a uno a problemas de optimizacin, a la representacin grfica de una funcin o a la aproximacin de funciones

Derivadas de segundo orden. Diversas interpretaciones. Aplicaciones: criterio de la segunda derivada para obtener extremos de una funcin, problemas de optimizacin, intervalos de convexidad y concavidad, puntos de inflexin. Grfica de funciones.

Objetivo del curso: Aplicar los contenidos y tcnicas , a los fines de resolver diversas situaciones relacionadas con las funciones, el clculo diferencial de funciones reales de una variable real, las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales, tanto en ramas de la matemtica como en otras disciplinas.


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Objetivo Comunes (178-179) Contenido mediante funciones polinmicas.

Derivadas ensimas. Aplicaciones: formas indeterminadas, Regla de LHpital, Polinomio de Taylor. Aplicaciones. Trazado de curvas planas, entre ellas, circunferencia, parbola, elipse e hiprbola.

6. Resolver problemas que involucren las operaciones definidas con matrices o la accin de ciertas matrices 2x2 como transformaciones geomtrica del plano IR2.

Matrices. Vectores de IRn dados como matrices columnas o matrices filas. Operaciones con matrices: adicin y multiplicacin de una matriz por un escalar. Producto escalar de dos vectores de IRn y multiplicacin de matrices. Matriz inversa de una matriz cuadrada. La funcin x Ax y en especial las matrices 22 y su interpretacin como aplicaciones de IR2 en IR2. Algunas matrices especiales 22 y su interpretacin geomtrica.

7. Aplicar el mtodo de Gauss-Jordan en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales o en el clculo de la inversa de una matriz.

Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas homogneos y no homogneos. Solucin de un sistema de ecuaciones. Interpretar el sistema Ax = b en trminos de la funcin x Ax. Operaciones elementales entre las filas de una matriz. Mtodo de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales y para determinar la inversa de una matriz.

Objetivo NO Comunes (178) Contenido

8. Resolver problemas donde estn involucrados conceptos relativos a costo, ingreso, ingreso marginal y elasticidad de la demanda, anlisis marginal y tcnicas para la construccin de la grfica de una funcin.

Introduccin al estudio del anlisis marginal. Costo, ingreso y beneficio marginal. Elasticidad de la oferta y de la demanda. Relacin entre el ingreso marginal y la elasticidad de la demanda. Optimizacin de funciones de costo, ingreso y beneficio.

9. Resolver problemas aplicando el modelo Input-output.

Introduccin al estudio del modelo Input-output (entradas y salidas). Matriz tecnolgica. Matriz inversa de Leontief y su interpretacin. Aplicaciones.

Objetivo NO Comunes (179) Contenido

8. Analizar problemas que puedan ser resueltos mediante procedimientos matemticos o demostrar proposiciones o teoremas mediante el mtodo de induccin.

Repaso de los conceptos y procedimientos en relacin con la demostracin de proposiciones, distinguiendo las componentes de las proposiciones o teoremas. Definiciones por recurrencia. El mtodo de induccin. Aplicacin del mtodo de induccin para demostrar proposiciones aritmtica, geomtrica, clculos diferenciales y matrices.

9. Resolver problemas de fsica, ingeniera o economa, donde se utilicen procedimientos matemticos y conceptos relacionados con el clculo diferencial y los sistemas de ecuaciones lineales.

Modelar algunas situaciones de la fsica e ingeniera utilizando el clculo diferencial y el lgebra matricial desarrollados en los mdulos anteriores y resolver el modelo matemtico: a) modelos matemticos del tipo y= f(x) o casos sencillos de y= f(y) tales como y= ky , y= k y (k constante), en cinemtica y dinmica, salida de lquidos por orificios (mecnica de los fluidos), entre otros; b) modelos matemticos con sistemas de ecuaciones lineales Ax = b ( A matriz mn, x Rn , b Rm ) y donde se utilicen matrices, tales como el flujo de trnsito entre otros.


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Matemtica II 178-179 (Objetivos comunes 1 al 7) OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN

1. Interpretar la nocin de lmite de una funcin real de variable real en un punto, en forma intuitiva, geomtrica y formal para establecer algunas propiedades para el clculo de lmites de funciones.

Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Beyer Walter., Flores Jos Luis, Rivas Sergio. Matemtica . Mdulo . Unidad De apoyo: Bibliografa recomendada al final del Mdulo del texto UNA. Calculadora cientfica. Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad I para que tengas una idea de lo

que se quiere que aprendas. Repasa las ideas intuitiva y geomtrica de la definicin de lmite de una funcin

que aprendiste en el curso de Matemtica de la UNA, esto te da una mejor base para comprender la definicin formal de lmite de una funcin en un punto (Definicin -).

Analiza los ejemplos que se presentan en la Unidad I del libro Matemtica II de la UNA; en algunos de ellos es necesario que utilices una calculadora cientfica, sigue las instrucciones indicadas en cada ejemplo, y observa lo que sucede en cada caso.

Lee las definiciones intuitiva y geomtrica de la definicin de lmite de una funcin en un punto, que nuevamente encontrars en este curso. Escribe la definicin formal y haz de los ejemplos 1.3, el nmero 2, tomando el nmero

= 0,01 y determina el nmero para el cual se cumple 01021x ,


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN

2. Calcular lmites cuando x tiende a infinito , cuando f(x) tiende a infinito y lmites indeterminados de las formas:

.,,

,.,

,,

00 01

0

00

Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Beyer Walter., Flores Jos Luis., Rivas Sergio. Matemtica II. Mdulo I. Unidad II De apoyo: Bibliografa recomendada al final del Mdulo I del texto UNA. Calculadora cientfica. Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad II para que tengas una idea de lo que

vas a aprender. Comienza leyendo la definicin de lmite de una funcin para el caso en que x tiende

a un nmero muy grande y f(x) se acerca a un nmero finito. Construye otras funciones distintas a la de los ejemplos del libro, cuyas grficas tengan el comportamiento que refleja esta definicin.

Escribe las propiedades de los lmites en el infinito (observa que estas propiedades son anlogas a las dadas en el unidad I), y las indeterminaciones que se pueden presentar al calcular lmites de funciones.

Haz los ejercicios resueltos 2.4.1 y el ejemplo 2.4.3 donde se explican algunas maneras de eliminar las indeterminaciones. Responde a la interrogante por qu?, cuando aparezca en el margen derecho de la pgina.

Lee la definicin de lmite de una funcin en el infinito, es decir, para el caso en que x se acerca a un nmero finito y f(x) tiende a un nmero muy grande. Construye una funcin, cuya grfica tenga el comportamiento que refleja esta definicin.

Tambin se pueden presentar lmites de funciones en que x tienda a un nmero muy grande y f(x) tambin, lee la definicin 2.4 y has un grfico que refleje este comportamiento de x y de f(x).

Haz los ejercicios propuestos 2.4. Recuerda siempre que tienes que evaluar primero el lmite para verificar si hay o no indeterminacin. Verifica tus respuestas con las dadas al final del Mdulo.

Haz una grfica para cada uno de los resultados indicados dentro del recuadro en la pgina 53, esto te servir mucho para resolver lmites infinitos y en el infinito.

Realiza los ejercicios propuestos 2.4.1 para afianzar las definiciones y adquirir mayor destreza para resolver lmites. Verifcalos con las soluciones dadas al final del Mdulo

Formativa El estudiante realizar los ejercicios propuestos y la autoevaluacin incorporados en la unidad II. Podrn formar grupos de estudio para discutir la solucin de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad. Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad.

Sumativa

Se evaluar mediante preguntas que pueden ser de seleccin, completacin, verdadero y falso, desarrollo o apareamiento, en las


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN Ahora aprenders a resolver lmites que al evaluarlos presentan la indeterminacin

1. Hay un procedimiento para calcular estos lmites que consta de diez pasos; lee este procedimiento que est en un recuadro en la pgina 65 del texto UNA y aplcalo al ejemplo que est a continuacin.

Resuelve los ejemplos 2.4.4 y el ejercicio propuesto 2.4.2. Los lmites que presentan indeterminaciones de la forma 00 y 0 se resuelven con

un procedimiento similar al desarrollado para resolver lmites de la forma 1 . Estos tipos de lmites los trabajar con ms detalle cuando pases al Mdulo II de este curso, donde aprenders una tcnica para resolverlos.

Hay casos en que al estudiar el comportamiento de una funcin en las cercanas de un punto, es necesario estudiar por separado lo que ocurre a la izquierda y a la derecha del punto. Para esto, lee las definiciones de lmite laterales por la izquierda y por la derecha, aplcalas en los ejemplos 2.5.1 y ejercicios 2.5, te dars cuenta del porque de la existencia del lmite de una funcin en un punto, dado en el teorema 2.1.

Resuelve los ejercicios propuestos 2.5 y verifica las soluciones con las dadas al final del Mdulo.

El resultado dado en el Teorema 2.2, conocido con el nombre de Teorema del Sndwich, es de gran utilidad para resolver algunos lmites. Uno de ellos es el lmite

especialx

xsenlm0x el cual se demuestra que es igual a 1. Ve los detalles de la

demostracin en la Unidad , pginas 79 y 80. Encontrars otros lmites especiales, adems del anterior, en un recuadro en la

pgina 81 que son de mucha ayuda para resolver lmites. Resuelve todos los ejemplos de esta parte en que se utilizan estos lmites.

Resuelve los ejercicios propuestos 2.6 y verifica los resultados con los dados al final del Mdulo.

Lee la definicin de Asntota, te dars cuenta que estn presentes los lmites infinitos y los lmites en el infinito los cuales te darn informacin del comportamiento grfico de algunas funciones. Has los ejemplos 2.7, los ejercicios 2.7 y los ejercicios propuestos 2.7 y verifica las soluciones con los dados al final del Mdulo.

Anotas las dudas, tanto tericas como prcticas, que se presenten al resolver los

cuales calculars lmites cuando x tiende a infinito , cuando f(x) tiende a infinito y lmites indeterminados de las formas:

.,,

,.,

,,

00 01

0

00

Los criterios de evaluacin de las preguntas se fijarn en cada prueba y la correccin de las mismas ser manual.


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN ejercicios. Acude a tu Centro Local para que te asesoren.

Revisa en la biblioteca de tu Centro Local los captulos y secciones de los libros de clculo recomendados en la bibliografa que est al final del Mdulo y efecta los ejercicios propuestos.

3. Efectuar ejercicios aplicando las propiedades o teoremas que se derivan del estudio de la continuidad de funciones reales de variable real.

Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Beyer Walter., Flores Jos Luis, Rivas Sergio. Matemtica II. Mdulo I. Unidad III De apoyo: Bibliografa recomendada al final del Mdulo I del texto UNA. Calculadora cientfica. Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad III para que tengas una idea de lo que

se quiere que aprendas. Repasa la idea intuitiva de la definicin de continuidad de una funcin que

aprendiste en el curso de Matemtica de la UNA. Esta unidad comienza con la definicin de continuidad de una funcin, la cual es de

gran utilidad cuando se realiza el estudio grfico de las funciones. Lee nuevamente esta definicin y las observaciones referentes al tema.

Haz los ejemplos 3.3, verifica en cada uno de ellos si se cumplen las tres condiciones que se dan en la definicin de continuidad. Sino se cumple alguna de ellas que tipo de discontinuidad presenta la funcin?

Lee las operaciones algebraicas que se pueden realizar con funciones continuas y las condiciones que deben cumplir las funciones para que la composicin de ellas sea una funcin continua.

Haz los ejemplos 3.5 y los ejercicios propuestos 3.5 Lee el enunciado del teorema de Bolzano (lee la biografa de este matemtico en

cualquiera de las direcciones dadas en la bibliografa) y has una grfica que cumpla las condiciones del teorema.

Resuelve los ejemplos 3.6 y los ejercicios propuestos 3.7.5 ,3.7.6 3.7.7. Lee el enunciado del teorema del Valor Intermedio y verifica que este teorema es

una generalizacin del teorema de Bolzano Para que verifiques lo aprendido del contenido del Mdulo I realiza las

Autoevaluacines I y II Sigue las instrucciones y el tiempo estipulado para su realizacin. Intenta de resolver todas las preguntas sin ver la solucin y, al finalizar

Formativa El estudiante realizar los ejercicios propuestos y la autoevaluacin incorporados en la unidad III. Podrn formar grupos de estudio para discutir la solucin de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad. Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad.

Sumativa

Se evaluar mediante preguntas que pueden ser de seleccin, completacin,


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN el tiempo compara tu solucin con la dada en el texto.

En caso de que respondas incorrectamente algunas de las preguntas, revisa nuevamente el contenido correspondiente (ver recomendaciones, pp.126 y 135).

verdadero y falso, desarrollo o apareamiento, en las cuales aplicars propiedades o teoremas que se derivan del estudio de la continuidad de funciones reales de variable real.


4. Resolver problemas aplicando la definicin o propiedades de la derivada de una funcin.

Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Flores Jos Luis, Matemtica . Mdulo . Unidad IV. De apoyo: Bibliografa recomendada al final del Mdulo I del texto UNA. Calculadora cientfica. Actividades: Las actividades a realizar estn basadas principalmente en el texto UNA: Flores Jos Luis, Matemtica . Mdulo . Unidad IV. Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad 4 para que tengas una idea de lo que se

quiere que aprendas. En el curso de Matemtica I de la UNA aprendiste la definicin de tasa media de

variacin o tasa media de cambio, esta unidad retoma esa definicin, lela y realiza los ejemplos.

Lee la definicin de la variacin de cambio instantnea o razn de cambio instantnea (definicin 1.4), su interpretacin fsica (la velocidad de un mvil en un tiempo t) y geomtrica (la pendiente de la recta tangente a la grfica de una funcin en un punto).

Lo anterior lo podemos tomar como una interpretacin fsica y geomtrica de una nueva funcin llamada derivada, lee la definicin y sus diferentes maneras de denotarla.

Formativa El estudiante

realizar los ejercicios propuestos y la autoevaluacin incorporados en la unidad IV. Podrn formar

grupos de estudio para discutir la solucin de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad. Consultar con el

Asesor del Centro


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN Haz los ejemplos 4.6.1 y los ejercicios propuestos 4.2 y, paralelamente, construye la

tabla de derivadas de las funciones mas conocidas. Establece la relacin entre la continuidad y la derivabilidad de una funcin (ver teorema

4.1). Lee la definicin 4.7 (Derivadas laterales de una funcin f en un punto x0), como la

derivada de una funcin en un punto se define mediante un lmite, se cumple que la derivada en un punto del dominio de una funcin existe si las derivadas laterales existen y son iguales en dicho punto, por lo tanto tienes ahora otra definicin para saber cuando una funcin es derivable en un punto de su dominio.

La derivada lateral tambin te permite definir la derivada de una funcin en un intervalo cerrado, lee la definicin 4.9.

Haz los ejemplos 4.6.4 y los ejercicios propuestos 4.3. El proceso de hallar la derivada de una funcin usando lmites no siempre es el ms

conveniente ya que para funciones mas complicadas los lmites son ms difciles de resolver. Por lo tanto, con ayuda de la tabla de derivada que empezaste a construir y con las propiedades de la derivada de la suma, diferencia, multiplicacin y cociente de funciones y la derivada de funciones compuestas (Regla de la Cadena) podrs encontrar las derivadas de tales funciones. Has los ejemplos 4.7.1 y 4.8.2 y los ejercicios propuestos 4.4, 4.5, 4.6 y 4.7. Es importante que leas los comentarios que aparecen dentro de recuadros.

Realiza la Autoevaluacin . Sigue las instrucciones y el tiempo estipulado para su realizacin. Intenta de resolver todas las preguntas sin ver la solucin y, al finalizar el tiempo compara tu solucin con la dada en el texto. En caso de que hayas respondido incorrectamente algunas de las preguntas, revisa nuevamente el contenido correspondiente.

Aplica las tcnicas de derivacin que involucran la Regla de la Cadena como son: derivacin implcita, derivada de la funcin inversa, derivacin logartmica y derivacin paramtrica, a funciones dadas en forma implcita, de funciones inversas, de funciones muy complicadas (funciones que incluyen sumas, productos, cocientes de funciones compuestas), y de funciones dadas en forma paramtrica, respectivamente.

Resuelve los ejemplos 4.9.3.1, 4.9.4.1, ejercicios propuestos 4.8. Otra aplicacin de la regla de la cadena: Razones de Cambio Relacionadas. Haz los ejemplos 4.9.5.1 y observa los pasos a seguir para plantear y resolver estos

Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad.

Sumativa

Se evaluar mediante preguntas que pueden ser de seleccin, completacin, verdadero y falso, desarrollo o apareamiento, donde aplicars la definicin o propiedades de la derivada de una funcin. Los criterios de evaluacin de las preguntas se fijarn en cada prueba y la correccin de las mismas ser manual.


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN problemas.

Lee la seccin 10.2, captulo 10 del libro Clculo de una Variable de Pita Ruiz, Claudio (1998). Prentice Hall Hispanoamrica, s.a, Mxico, encontrars ms problemas resueltos y ejercicios propuestos. Intenta resolver los problemas 11, 13, 15, 19, 23, 25, 31 y 33!

Extremos. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. En esta parte del tema vas a aprender como determinar los extremos de una funcin utilizando como herramienta a la derivada. Para esto es necesario que recuerdes el Teorema del Valor Intermedio visto en el Mdulo I.

Lee en la pgina 100 la definicin de extremos de una funcin. Traza una grfica de alguna funcin que cumpla con las condiciones del Teorema del

Valor Intermedio y ubica en l los extremos. Escribe las definiciones correspondientes a extremos relativos o locales y de extremos

absolutos o globales. Identifica en la grfica los extremos relativos y los extremos absolutos. Haz el ejemplo 4.10.1 Dibuja la grfica de una funcin donde tenga, por lo menos, un valor mximo y un valor

mnimo relativo y traza, en caso que sea posible, una recta tangente en los extremos de la funcin cul es la pendiente de estas rectas?, qu relacin existe entre la pendiente de una recta tangente en un punto extremo, con la derivada de la funcin evaluada en ese punto extremo? Qu ocurre cuando no se puede trazar una recta tangente en un extremo? Para que puedas responder a estas interrogantes, lee las pginas 103 y 104.

Haz el ejemplo 4.10.3 Lee en la pgina 105 las condiciones necesarias para que un punto x0 del dominio de

una funcin sea un punto crtico. Haz los ejemplos 4.10.4 Dibuja una grfica de una funcin f continua en un intervalo cerrado y ubica los puntos

crticos. Traza rectas tangentes a la grfica de f a la derecha y a la izquierda de cada punto crtico qu signo tienen estas pendientes?, qu concluyes sobre el signo de la derivada? Lee las pginas 108 y 109 para que respondas a las preguntas.

Escribe el Criterio de la primera derivada para el crecimiento y decrecimiento de una


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN funcin.

Haz un esquema del proceso para hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y realiza los ejemplos 4.10.5 y 4.10.6.

Realiza la Autoevaluacin II: lee las instrucciones antes de comenzar a responder las preguntas y cumple con el tiempo estimado.

Hay un procedimiento para hallar valores aproximados de la raz de una ecuacin de la forma f(x) = 0 llamado mtodo de Newton o mtodo de Newton-Raphson (lee la nota histrica al pie de la pgina 116), el cual consiste en construir aproximaciones sucesivas a la raz de una ecuacin dada por f(x) = 0, mediante el uso de rectas tangentes. Tal mtodo se utiliza cuando la raz de una funcin no se consigue mediante el uso de frmulas exactas. Lee las pginas 116 a la 119 para que veas como se construye las aproximaciones sucesivas de una raz.

Haz los ejemplos 4.11.1 Hay otras aplicaciones de la derivada que estn basadas en tres teoremas importantes

en el clculo de la derivada: Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange o Teorema del Valor Medio y el Teorema del Valor Medio de Cauchy. Antes de estudiar estos teoremas debes repasar propiedades vistas de las funciones continuas como son: el teorema de la conservacin del signo de una funcin continua, teorema de Bolzano, teorema del valor intermedio para funciones continuas. Estas propiedades son importantes para comprender con claridad el significado geomtrico de los teoremas mencionados.

Lee el enunciado del teorema de Rolle (p.124) y haz una grfica donde se cumplan las condiciones del teorema.

Haz los ejemplos 4.11.1, en particular, en el ejemplo 3 el teorema de Rolle te permite decir cuntas races reales tiene una ecuacin de la forma f(x) = 0.

Lee el enunciado del teorema de Lagrange o teorema del Valor Medio (p.126) has una grfica donde se cumplan las condiciones del teorema. Observa que al hacer f(a) = f(b) estamos en las condiciones del teorema de Rolle.

Da una interpretacin fsica del teorema de Lagrange. Haz los ejemplos 4.11.2 Lee el enunciado del teorema del Valor Medio de Cauchy, el cual es una extensin del

teorema de Lagrange.


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN Has los ejemplos 4.11.3 para verificar las condiciones del teorema del Valor Medio de

Cauchy. Una de las aplicaciones inmediatas de la frmula del valor medio de Cauchy, es la

obtencin de la regla de LHpital (lee la nota histrica al pie de la pgina 133) para calcular lmites indeterminados, la cual esta dada en el teorema 4.6, lee el enunciado y las observaciones que estn a continuacin.

Haz los ejemplos 4.12.1 Lee el cuadro resumen en la pgina 141 y 142. Haz los ejercicios propuestos 4.10 Realiza la Autoevaluacin III: lee las instrucciones antes de comenzar a responder las

preguntas y cumple con el tiempo estimado.


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN

5. Aplicar las derivadas de orden superior a uno a problemas relacionados con la representacin grfica de una funcin.

Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Chacn Ramn, Flores Jos Luis, Lameda Alejandra. Matemtica . Mdulo . Unidad V. De apoyo: Bibliografa recomendada al final del Mdulo I del texto UNA. Calculadora cientfica. Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad V para que tengas una idea de lo que se

quiere que aprendas. Cuando hallas la derivada de una funcin f obtienes una nueva funcin f , llamada

primera derivada de f, cuyo dominio est contenido en el dominio de la funcin f. Lee la pgina 165 para que establezcas las condiciones para obtener las derivadas de orden mayor a uno y las distintas notaciones que se utilizan.

Haz los ejemplos 5.1.1, de los cuales el ejercicio 5 y el 6 son para hallar la segunda derivada de funciones dadas en forma implcita, el ejercicio 12 para hallar la derivada de orden n de la funcin dada, los ejercicios 13,14 y 15 son lmites para aplicar la regla de LHpital. Lee el teorema 5.1 que te da las condiciones para aplicar la regla de LHpital ms de una vez en el clculo de lmites.

En las pginas 178, 179 y 180 encontrars la manera de hallar las derivadas de orden n de una funcin dada en forma paramtrica, realiza el ejemplo 5.1.2 y los ejercicios propuestos 5.1.

Busca en el glosario de este mdulo las definiciones de funcin cncava y de funcin convexa, lelas y has un grfico donde estn presentes ambas, la concavidad y la convexidad

Estudia en las pginas 183 y 184 el signo de la segunda derivada para la concavidad de la grfica de una funcin.

Haz los ejemplos 5.2.1 Establece el criterio de la segunda derivada para extremos relativos. Ahora, con lo que aprendiste en Matemtica I con respecto a las propiedades de las

funciones: dominio, naturaleza, simetra, periodicidad, asntotas y continuidad, y lo aprendido hasta el momento, los criterios de la derivada puedes construir grficas aproximadas de funciones. En la pgina 189 se describen los pasos a seguir para hacer el estudio completo de una funcin y su grfica.

Haz los ejemplos 5.3.1 y los ejercicios propuestos 5.3

Formativa El estudiante realizar los ejercicios propuestos y la autoevaluacin incorporados en la unidad V.

Podrn formar grupos de estudio para discutir la solucin de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad.

Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad.

Sumativa

Se evaluar mediante preguntas que pueden ser de seleccin, completacin, verdadero y falso, desarrollo o apareamiento, en las


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN Haz el estudio completo de las funciones que se obtienen a partir de las cnicas:

elipses, hiprbolas y parbolas. Otras aplicaciones de la derivada es la de resolver problemas, como por ejemplo, el de

minimizar el gasto del material para construir una caja de mximo volumen. Hay una gran variedad de problemas resueltos y propuestos en cualquiera de los libros recomendados en la bibliografa, lee la seccin referente a problemas de optimizacin, en donde te sugieren los pasos a seguir para facilitar tu aprendizaje.

Entre los ejercicios que has trabajado para hallar la derivada de orden n de una funcin, te habrs dado cuenta que existen funciones que se pueden derivar en forma indefinida, por ejemplo f(x) = sen x. Ahora vers como puedes aplicar este hecho para aproximar funciones por otras funciones cuyo manejo para efectos de clculo de valores numricos sea mucho ms fcil. Esto se puede lograr bajo las condiciones de un teorema llamado Teorema de Taylor (lee la nota histrica al pie de la pgina 209) el cual permite aproximar funciones mediante funciones polinmicas. Lee las pginas 209 , 210 y 211 la definicin de Polinomio de Taylor y polinomio de MacLaurin (lee la nota histrica en el pie de la pgina 211)

Haz los ejemplos 5.5.1 y los ejercicios propuestos 5.5.1 Haz, en el mismo plano coordenado, la grfica de la funcin f(x) = ex y las grficas de

los polinomio de Taylor de f de grado 1 , 2 y 3 alrededor de c = 0 Realiza las Autoevaluaciones I y II: lee las instrucciones antes de comenzar a

responder las preguntas y cumple con el tiempo estimado.

cuales aplicars las derivadas de orden superior a uno a problemas relacionados con la representacin grfica de una funcin. Los criterios de evaluacin de las preguntas se fijarn en cada prueba y la correccin de las mismas ser manual.

6. Resolver problemas que involucren las operaciones definidas con matrices o la accin de ciertas matrices 2x2 como transformaciones geomtrica del plano IR2.

Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Pastor Leo, Rivas Sergio, Matemtica . Mdulo . Unidad VI. De apoyo: Bibliografa recomendada al final del Mdulo II del texto UNA. Calculadora cientfica.

Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad VI para que tengas una idea de lo que se

quiere que aprendas. La matriz es un objeto matemtico de gran utilidad, no solo en el mbito matemtico

sino en muchas otras disciplinas del saber, como son Ingeniera, Administracin, Educacin, etc. Lee la definicin de matriz, las notaciones y las caractersticas de algunas matrices especiales.

Formativa El estudiante realizar los ejercicios propuestos y la autoevaluacin incorporados en la unidad 1.

Podrn formar grupos de estudio para discutir la solucin de los ejercicios y de esta


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN Haz los ejemplos 6.2, 6.3 y los ejercicios propuestos 6.3.

Lee las definiciones de adicin de matrices y multiplicacin de un escalar por una matriz y sus propiedades. Aplica estas operaciones y sus propiedades para resolver los ejercicios propuestos 6.4 y 6.5.

Lee las definiciones de producto escalar, norma de un vector y ngulo entre vectores y sus propiedades para resolver los ejemplos 6.6.1, 6.6.2 y 6.6.3 y los ejercicios propuestos 6.6.1, 6.6.2 y 6.6.3

Otra operacin entre matrices es el producto de matrices, lee la definicin y sus propiedades y aplcalo a los ejemplos 6.7 y ejercicios 6.6. Realiza los ejercicios propuestos 6.7

Lee la definicin de matriz inversa. Cmo determinas si una matriz tiene inversa? Conoces algn mtodo para hallar la matriz inversa?

Resuelve los ejemplos 6.8 y los ejercicios propuestos 6.8. Para ver una matriz como una transformacin lineal del plano es necesario que

definas transformacin lineal. Lee, en la pgina 87, el ejemplo donde consideran un sistema de ecuaciones lineales y luego establece la definicin de transformacin lineal.

Haz los ejemplos 6.9 y ejercicio 6.9: en tales ejemplos y ejercicio se define cuando una matriz es una dilatacin, contraccin o reflexin respecto al eje OX y cuando una transformacin es una isometra.

Haz los ejercicios propuestos 6.9 Realiza la autoevaluacin I: lee las instrucciones antes de comenzar a responder las

preguntas y cumple con el tiempo estimado.

manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad.


Sumativa

Se evaluar mediante preguntas que pueden ser de seleccin, completacin, verdadero y falso, desarrollo o apareamiento, en donde resolvers problemas aplicando las operaciones definidas con matrices o la accin de ciertas matrices 2x2 como transformaciones geomtrica del plano IR2.

Los criterios de evaluacin de las preguntas se fijarn


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN en cada prueba y la correccin de las mismas ser manual.

7. Aplicar el mtodo de Gauss-Jordan en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales o en el clculo de la inversa de una matriz.

Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Bolvar Mara del Carmen, Rivas Sergio, Matemtica . Mdulo . Unidad VII. De apoyo: Bibliografa recomendada al final del Mdulo II del texto UNA. Calculadora cientfica.

Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad VII para que tengas una idea de lo que

se quiere que aprendas. Hay una gran variedad de problemas que para resolverlos es necesario plantear ms

de una ecuacin. Lee en la pgina 104 la definicin de sistemas de ecuaciones lineales y exprsalo en trminos de matrices. Realiza los ejemplos y ejercicios propuestos de esta seccin.

Identifica cuando un sistema de ecuaciones lineales es homogneo y cuando es no homogneo.

Haz los ejemplos y ejercicios propuestos 7.4 Define solucin de un sistema de ecuaciones lineales y clasifica los sistemas segn si

tiene o no solucin (ver pg. 116) Haz los ejercicios propuestos 7.5.1 Existen varios mtodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y algunos de

ellos ya los conoces, haz el ejemplo de la pgina 118 para que recuerdes stos mtodos.

Cuando el sistema de ecuaciones est formado por ms de tres ecuaciones, resolverlo por stos mtodos resulta bastante tedioso y largo pero en estos casos hay un mtodo llamado mtodo de Reduccin de Gauss- Jordan (lee la nota histrica al pie de la pgina 103), el cual consiste, en general, en aplicar transformaciones elementales entre filas de una matriz con el fin de obtener una nueva matriz que sea mas sencilla de trabajar. Lee en la pgina 120 las operaciones que se pueden realizar por fila, la notacin que se utiliza y los pasos a seguir en la aplicacin del mtodo a una matriz.

Formativa El estudiante realizar los ejercicios propuestos y la autoevaluacin incorporados en la unidad VII.



Sumativa

Se evaluar mediante preguntas que pueden ser de seleccin, completacin, verdadero y falso,


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN Haz los ejemplos 7.8 y los ejercicios propuestos 7.8 Realiza la Autoevaluacin II: lee las instrucciones antes de comenzar a responder

las preguntas y cumple con el tiempo estimado.

desarrollo o apareamiento en las cuales aplicars el mtodo de Gauss-Jordan en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales o en el clculo de la inversa de una matriz.


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Matemtica II 178 (Objetivos NO comunes 8 y 9) OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN

8. Resolver problemas donde estn involucrados conceptos relativos a costo, ingreso, ingreso marginal y elasticidad de la demanda, anlisis marginal y tcnicas para la construccin de la grfica de una funcin.

Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Fernndez A. Matemtica II Mdulo IV. Unidad I. De apoyo: Bibliografa recomendada al final del Mdulo IV del texto UNA. Calculadora cientfica.

Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad I, para que tengas una idea de lo que

se quiere que aprendas. En esta unidad vers otras aplicaciones del clculo diferencial. Repasa las

definiciones: funcin de costo, funcin de ingreso y funcin de beneficio dados en el Mdulo IV de Matemticas I (176).

Lee la definicin de anlisis marginal. Estudia la funcin costo marginal: has una grfica para comprender mejor la

definicin. Haz el ejemplo y el ejercicio 1.3.1. Estudia la funcin costo medio: has una grfica para comprender mejor la

definicin. Haz el ejercicio 1.3.2. Estudia la funcin ingreso marginal: has una grfica para comprender mejor la

definicin. Estudia la funcin ingreso medio: has una grfica para comprender mejor la

definicin. Has el ejemplo 1.3.2, el ejecicio1.3.3 y el problema 1.3.1 Estudia las funciones de beneficio marginal y de beneficio medio. Has los ejercicios 1.3.4 y los ejercicios propuestos 1.3 Lee la definicin de elasticidad de la demanda y has el ejemplo, el ejercicio 1.4.1 y

los ejercicios 1.4.2. Lee la definicin de elasticidad de la oferta y has los ejercicios 1.5.1 y 1.5.2. Establece la relacin entre el ingreso marginal y la elasticidad de la demanda.

Formativa El estudiante realizar los ejercicios propuestos y la autoevaluacin incorporados en la unidad I del Mdulo IV.



Sumativa

Se evaluar mediante preguntas que pueden ser de seleccin, completacin, verdadero y falso, desarrollo o apareamiento en las cuales aplicars conceptos relativos a costo, ingreso, ingreso marginal y elasticidad de la demanda, anlisis marginal y tcnicas para la construccin de la grfica de una funcin.


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN Haz el ejemplo, el ejercicio, el problema y los ejercicios propuestos 1.6. A continuacin se dan una serie de ejercicios donde se aplica el clculo de

derivadas para optimizar (maximizar o minimizar) funciones de costo, ingreso o beneficio, haz los ejercicios, los problemas y los ejercicios propuestos 1.7.

Realiza la Autoevaluacin I: lee las instrucciones antes de comenzar a responder las preguntas y cumple con el tiempo estimado.


9. Resolver problemas aplicando el modelo Input-output.

Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Fernndez A. Matemtica II. Mdulo IV Unidad II. De apoyo: Bibliografa recomendada al final del Mdulo IV del texto UNA. Calculadora cientfica.

Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad I, para que tengas una idea de lo que

se quiere que aprendas. Ahora vers como el clculo matricial te permite abordar un modelo matemtico

bastante sencillo como es el de los intercambios o interacciones entre las diferentes industrias o sectores de una determinada economa. Este modelo es llamado modelo Input- output (entrada-salida), lee el anlisis de este modelo y has los ejemplos 2.2.1 y 2.2.2.

Define economa viable y no viable y has los ejercicios 2.3.1 Establece la ecuacin de insumo- producto y define la matriz de Leontief y la

matriz inversa de Leontief. Haz los ejemplos 2.4.1, 2.4.2, el ejercicio 2.4.3 y los ejercicios propuestos 2.4. Realiza la Autoevaluacin I: lee las instrucciones antes de comenzar a responder

las preguntas y cumple con el tiempo estimado.

Formativa El estudiante realizar

los ejercicios propuestos y la autoevaluacin incorporados en la unidad II del Mdulo IV.



Sumativa

Se evaluar mediante preguntas que pueden ser de seleccin, completacin, verdadero y falso, desarrollo o apareamiento, en las cuales aplicars el modelo Input-output.

Los criterios de evaluacin de las


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN preguntas se fijarn en cada prueba y la correccin de las mismas ser manual.

Matemtica II 179 (Objetivos NO comunes 8 y 9) OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN

8. Analizar problemas que puedan ser resueltos mediante procedimientos matemticos o demostrar proposiciones o teoremas mediante el mtodo de induccin.

Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Orellana C., Mauricio. Matemtica II Mdulo IV. Unidad I. De apoyo: Bibliografa recomendada al final del Mdulo IV del texto UNA. Calculadora cientfica.

Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad I para que tengas una idea de lo que

se quiere que aprendas. Repasa los conceptos y mtodos de demostracin: teorema, lema, corolario,

conjetura, demostraciones directas, demostraciones por reduccin al absurdo, contraejemplos, demostracin por agotamiento de casos, que estudiaste en el Mdulo IV de Matemtica I (177) y has los ejemplos y ejercicios propuestos1.2.1.

Lee desde la pgina 49 hasta la pgina 53 lo que significa la palabra definicin en matemtica y como se construye un mapa de conceptos de una definicin.

Intenta hacer los ejercicios propuestos 1.3.1 En Matemtica como en otras ciencias existen diversos tipos de definiciones,

entre ellas estn las definiciones por recurrencia o definiciones recursivas. Particularmente estudiars lo referente a las sucesiones dadas en forma recursiva o por recurrencia. Lee desde la pgina 55 hasta pgina 60 la definicin de sucesiones en un conjunto las formas de dar una sucesin.

Haz los ejemplos 1.3.2, 1.3.3 para aclarar las definiciones estudiadas. Ahora estudiars las sucesiones definidas por recurrencia o recursivamente, has

Formativa El estudiante realizar los ejercicios propuestos y la autoevaluacin incorporados en la unidad I, Mdulo IV.


Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad

Sumativa Se evaluar mediante preguntas que pueden ser de seleccin, completacin, verdadero y falso, desarrollo o apareamiento, en las


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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN los ejemplos 1.3.4 que se refieren a dos sucesiones definidas por recurrencia que conoces de bachillerato: Progresin Aritmtica y Progresin Geomtrica y luego lee la definicin

Haz los ejemplos 1.3.5: La sucesin de Fibonacci e intenta de resolver los ejercicios propuestos 1.3.2.

Lee las pginas 69 y 70 las definiciones de conjuntos finitos y conjuntos infinitos numerables y haz los ejemplos 1.4.1.

Cuando tienes un conjunto finito con un nmero bastante grande de elementos, necesitas de algn procedimiento para contar ese nmero de elementos. Uno de esos procedimientos de conteo se denomina principio de las casillas, lee en las pginas 72 y 73 en que consiste.

Haz los ejemplos 1.4.2 e intenta resolver los ejercicios propuestos 1.4.1. Ahora aprenders un mtodo que te sirve para demostrar propiedades

relacionadas con conjuntos infinitos numerables. Este mtodo se denomina mtodo de demostracin por induccin o por recurrencia o induccin matemtica o induccin completa. Lee las pginas 76 y 77 y has los ejemplos 1.4.3, 1.4.4 e intenta resolver los ejercicios propuestos 1.4.2

Lee la nota histrica acerca de Fibonacci. Responde la Autoevaluacin I lee las instrucciones antes de comenzar a

responder las preguntas y cumple con el tiempo estimado.

cuales resolvers problemas mediante procedimientos matemticos o demostrar proposiciones o teoremas mediante el mtodo de induccin. Los criterios de evaluacin de las preguntas se fijarn en cada prueba y la correccin de las mismas ser manual.

9. Resolver problemas de fsica, ingeniera o economa, donde se utilicen procedimientos matemticos y conceptos relacionados con el clculo diferencial y los

Material Instruccional: Impreso: Texto UNA: Orellana C., Mauicio. Matemtica II. Mdulo IV Unidad II. De apoyo: Bibliografa recomendada al final del Mdulo IV del texto UNA. Calculadora cientfica. Actividades: Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad I para que tengas una idea de lo que

se quiere que aprendas. Continuars con el estudio iniciado en Matemtica I (177) sobre los modelos

matemticos, repasa especialmente los modelos de dinmica de poblaciones y de la presin atmosfrica que construiste con el auxilio de representaciones grficas, de las tasas medias de variacin y de las tasas geomtricas, respectivamente, a un modelo lineal o a un modelo exponencial.

Lee la pgina 106: cuadro resumen de repaso y la definicin de tasa relativa

Formativa

El estudiante realizar los ejercicios propuestos y la autoevaluacin incorporados en la unidad II, Mdulo IV.



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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIN sistemas de ecuaciones lineales.

puntual o tasa geomtrica puntual (observa que aparece la derivada de la funcin).

Haz los ejemplos, ejercicios y ejercicios propuestos 2.1.1. Gran parte de las ecuaciones que se plantean en los modelos matemticos

considerados: dinmica de poblaciones, la salida de lquidos por orificios, la desintegracin radioactiva, el llenado y vaciado de un tanque, etctera, responden a una formulacin general conocida con el nombre de principio de entra-salida(Input-output en ingls). Lee el ejemplo de las pginas 117 y 118 y los ejemplos 2.2.1, 2.2.2 y los ejercicios propuestos 2.2.1.

Es recomendable que sigas los pasos que se indican en los diagramas de flujo en la pgina 132, para resolver problemas de matemtica o problemas aplicados y para la construccin de un modelo matemtico.

Intenta resolver los ejercicios propuestos 2.2.2, 2.3.1. Estudia el modelo de insumo y produccin o modelo insumo-producto (entrada-

salida) de Leontief. En este modelo se utiliza el lgebra de matrices. Intenta resolver los ejercicios propuestos 2.4.1

Realiza la Autoevaluacin II: lee las instrucciones antes de comenzar a responder las preguntas y cumple con el tiempo estimado.

Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad Sumativa Se evaluar mediante preguntas que pueden ser de seleccin, completacin, verdadero y falso, desarrollo o apareamiento, en las cuales resolvers problemas de fsica, ingeniera o economa, donde se utilicen procedimientos matemticos y conceptos relacionados con el clculo diferencial y los sistemas de ecuaciones lineales.


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V. BIBLIOGRAFA Obligatoria

Beyer, W., Bolvar, M., Chacn, R., Flores, J., Lameda, A., Orellana, M., Pastor, L., Rivas, S.(2000). MATEMTICA II Cuatro Mdulos, UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA.

Complementaria para los objetivos comunes (178-179) Grossman, S. (1992). lgebra Lineal con Aplicaciones. Mxico: McGRAW-Hill.

Un excelente libro con una gran variedad de problemas. En el captulo 1 se trata la parte de matrices y sistemas de ecuaciones lineales. En el captulo 3, los vectores en IR2 y IR3 y en la seccin 5.5 se dedican unas pginas a las isometras.

Joyner, D., Nakos, G. (1999). lgebra Lineal con Aplicaciones. Mxico: Internacional

Thomson Editores S.A. Este texto contiene al final de cada captulo problemas resueltos con distintos programas

matemticos para computadora. Se recomienda revisar los captulos 1, 2, 3 y 5 (secciones 5.0 y 5.1)

Kleiman, A. (1985). Matrices, Mxico: Limusa, Se sugiere revisar los captulos 2, 3, 4, 5, 6 y 8. Larson, R., Hostetler, R., Edwards, B. (1995). Clculo y Geometra Analtica. 5ta ed. Mxico:

McGRAW-Hill. Para las unidades 1, 2 y 3 revisa el captulo 1 y la seccin 4.5 del captulo 4. Para las

unidades 4 y 5, revisa los captulos 2 y 3 respectivamente. Leithold, L. (1998). El Clculo. 7ma ed. Mxico: Oxford University Press. Este texto tiene una gran variedad de ejercicios. La parte de lmite y continuidad la puedes

revisar en el captulo 1. El estudio de las derivadas en el captulo 3. Lipschutz, S. (1972). Matemticas Finitas. Mxico: McGRAW-Hill. Se recomienda el captulo 10. Perry, W. (1990). lgebra Lineal con Aplicaciones. Mxico: McGRAW-Hill Este es otro de los buenos libros sobre los tpicos estudiados en el mdulo, especialmente

el captulo donde se estudian las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales. Pita C. (1991). lgebra Lineal. Mxico: McGRAW-Hill. Se recomienda revisar el captulo 1. Pita , C. (1998) Clculo de una Variable. Mxico: Prentice Hall Hispanoamericana. Un libro con una gran variedad de ejemplos y problemas. Adems presenta reseas

histricas al final de cada captulo. El captulo 2 trata la parte de lmites y el estudio de asntotas, en la seccin 9.4 del captulo 9.

En los captulos 4, 5, y 6 encontrars lo referente a la derivada y en los captulos 7, 8, 9, 10, y 11 encontrars lo referente a las aplicaciones de la derivada.


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Purcel, E., Varberg, D., Rig, S. Clculo. 8va ed. Mxico: Prentice Hall Hispanoamericana Hall.

Un libro con una gran variedad de ejemplos y problemas. Se recomienda revisar el captulo 2, 3, 4.

Smith, R. & Minton R. (2000). Clculo. Tomo 1. Colombia: McGRAW-Hill Interamericana,

s.a. Excelente libro, gran variedad de ejemplos y ejercicios. La parte de lmite la puedes revisar

en el captulo 1. En la seccin 0.3 del captulo 0 hallars varios ejemplos donde explican las relaciones entre

las funciones y sus grficas, usando calculadoras graficadoras. La parte de derivadas la puedes revisar en el captulo 2 y la parte de aplicaciones de la derivada, en el captulo 3.

Stewart, J (1998) Clculo. 3ra ed. Mxico: Internacional Thomson Editores. Otro de los buenos libros de clculo. Tiene gran cantidad de ejercicios e ilustraciones. En

los captulos 2 y 3 puedes revisar la parte de lmites y derivadas. En el captulo 4 puedes revisar la parte de aplicaciones de la derivada.

Swokowski, E. (1988). Clculo con Geometra Analtica. 2da ed. Mxico: Grupo Editorial

Iberoamrica. Se recomienda revisar el captulo 2, 3 y 4. Thomas, G. B. (1998). Clculo en una Variable. Mxico: Addison Wesley. En el captulo 1 puedes revisar la parte de lmite y en la seccin 3.5 del captulo 3, el estudio

de asntotas. Complementaria para los objetivos NO comunes (178)

Arya, Jagdish C. Y Lardner, Robin W.(1992). Matemticas Aplicadas a la Administracin y a la Economa. 3ra ed. Mxico: Prentice Hall Hispanoamericana.

Call, S. & Holahan, W. (1985). Microeconoma. Mxico: Grupo Editorial Iberoamrica.

Draper, J. & Klingman, J. (1976). Matemticas para Administracin y Economa, 2da ed,

Mxico: Editorial Harla.

Haeussler, E. & Paul, R. (1992). Matemticas para Administracin y Economa. 2 ed. Mxico: Grupo Editorial Iberoamericana.

Hoffman, L. & Bradley, G. (2001). Clculo para administracin, economa y ciencias

sociales.7 ed. Colombia: McGrawHill. Complementaria para los objetivos NO comunes (179) Krick, E. (1979). Fundamentos de Ingeniera. Mtodos, Conceptos y Resultados. 4ta

reimpresin 1991. Mxico. Limusa. Especficamente el captulo 11 (pp.219-240) donde hay modelos conducentes a un proceso

de optimizacin. En estos ejemplos puedes indicar los pasos del flujograma para la construccin de modelos matemticos.

Este es un libro de introduccin a la ingeniera, en sus diversas facetas, que tambin se refiere a los profesionales de sta, los ingenieros.


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Maza Zavala, Domingo F. & Gonzlez, Antonio J.(1992). Tratado Moderno de Economa.

Caracas: Editorial Panapo. Se sugiere para los que quieran profundizar lo relacionado con la elasticidad de la demanda

y de la oferta en sus aspectos econmicos, captulo 7 (pp. 123-137 y pp. 143-144). Tambin contiene, en su ltimo captulo, una breve referencia al modelo de Leontief (pp.

557-559). Ross, K. & Wright, C. (1990) Matemticas Discretas. Mxico: Prentice Hall

Hispanoamericana, S.A Las secciones 2.6 (Primeras consideraciones de la induccin, pp. 100- 109), 3.4

(Definiciones recursivas, pp. 140- 147, saltando los ejemplos 4, 5, y 8 que se pueden dejar para una lectura posterior), 3.5 (Relaciones recursivas, pp. 149- 153), son tiles para estudiar lo relacionado con las definiciones por recurrencia y el mtodo de demostracin por recurrencia (principio de induccin).

Este es un libro aprovechable para otros cursos.

Direcciones electrnicas:

www.satd.uma.es/matap/svera/links/matnet00.html http://euler.ciens.ucv.ve./matematicos/

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/indice.html

http://www.mitareanet.com/

http://usuarios.lycos.es/calculodiferencial/id74.html

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