Mate 11 u5

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UTILICEMOS LA TRIGONOMETRÍA Objetivos de la Unidad: Propondrás soluciones aplicando las funciones, identidades y ecuaciones trigonométricas, haciendo uso de gráficos para representar y explicar el comportamiento de fenómenos escolares y sociales. MATEMÁTICA Unidad 5

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UTILICEMOS LA TRIGONOMETRÍA

ObjetivosdelaUnidad: Propondrás soluciones aplicando las funciones, identidades y ecuaciones trigonométricas, haciendo uso de gráficos para representar y explicar el comportamiento de fenómenos escolares y sociales.

MATEMÁTICAUnidad5

Page 2: Mate 11 u5

Descripción del proyecto

Mediante funciones trigonométricas se determina la altura de la marea sobre su nivel medio.

Funciones trigonométricas

Círculo trigonométrico

Ángulos de referencia

Signos de lasvariables

Ángulos cuadrantales

Números reales

Gráficos

RangoDominio

Período

Características

Amplitud Desfase

a partir del utilizando

utilizando sus

son determinando

Page 3: Mate 11 u5

Segundo Año - Matemática 57

Quinta Unidad Lección1EL CÍRCULO TRIGONOMéTRICO y fUNCIONES dE

áNGULOS CUAdRANTALESMotivación

Indicadores de logro

En trigonometría, los ángulos pueden ser positivos o negativos. El lado desde el cual comienza a medirse un ángulo se llama lado inicial y el lado donde finaliza la medición se llama lado terminal del ángulo.

Si la rotación del lado inicial al lado terminal se efectúa en sentido contrario de las agujas del reloj, el ángulo es positivo.

El ángulo es negativo en caso contrario, o sea, cuando la rotación se efectúa en el sentido de las agujas del reloj.

Construirás con interés y precisión el círculo unitario. Determinarás y explicarás, con seguridad, las funciones trigonométricas

en el círculo trigonométrico a partir del punto (x, y).

Deducirás y calcularás con interés las funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales.

Pedro y Juan trotan sobre una pista circular. Agarrados de una cuerda que los une al centro de la pista.Pedro recorre círculo y cuarto, Juan recorre un cuarto de círculo.¿Puedes decir cuál es en grados el ángulo generado por la cuerda de Pedro?¿Cuál es en radianes el ángulo generado por la cuerda de Juan?

Signo de los ángulos

Lado inicial

Lado inicial

Lado terminalLado terminal

Ángulo positivo: rotación en sentido contrario almovimiento de las agujas del reloj.

Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido delmovimiento de las agujas del reloj.

Lado inicial

Lado inicial

Lado terminalLado terminal

Ángulo positivo: rotación en sentido contrario almovimiento de las agujas del reloj.

Ángulo negativo: rotación en el mismo sentido delmovimiento de las agujas del reloj.

B

A

Page 4: Mate 11 u5

58 Matemática - Segundo Año

UNIDAD 5

Ejemplo 1

Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia de: a) 75º b) 120º c) 210º d) 315º

Solución

d)

c)

b)

Ubicación de θ en los cuadrantes

Ángulo de referencia θ’ es igual a

I θII 1800 – θIII θ – 1800

IV 3600 – θ

El ángulo de referencia de θ denotado por, θ’ es el menor ángulo cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x.

a)El ángulo θ se mide desde la parte positiva del eje x, hasta el lado terminal de θ. El ángulo de referencia θ’ siempre se define con respecto al eje x, nunca con respecto al eje y.

Ángulos coterminales o equivalentes

Retomando la pregunta planteada al inicio de la lección: ¿Puedes decir cuál es el ángulo descrito por la cuerda de Pedro? Tienes que en ese instante, Pedro ha descrito un ángulo de 360° + 90° = 450°. Juan un ángulo de 90°. Observa que ambos están en el punto B. Los ángulos 90° y 450° son ejemplos de ángulos llamados coterminales.

Ángulo de referencia

En general si θ está en el cuadrante I, θ = θ’

En general si θ está en el cuadrante II, θ’ = 180º – θ

Si θ está en el cuadrante III, θ’ = θ – 180º

Si θ está en el cuadrante IV, θ’ = 360º – θ

y

θ1

y

x

θ = 75�

y

xθ =120�

θ1=180�−120�

=60�

En general, tienes que si dos ángulos poseen el mismo lado inicial y el mismo lado terminal, se llaman coterminales.

Para determinar los ángulos coterminales de un ángulo, sumas o restas una o más veces 360º a dicho ángulo. Puedes ver que un ángulo posee un infinito número de ángulos coterminales o equivalentes:

θ = θ ± n 360º, n = 0, 1, 2, 3, 4,…..

Si el lado terminal coincide con uno de los ejes de coordenadas, el ángulo se llama cuadrantal: 90º, 180º, 270º, y 360º son ángulos cuadrantales.

y

x

=45�θ1=360�−315�

y

x

θ =210�

θ1 = 210� −180�

=30�

Page 5: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 59

Ejemplo 2

Encuentra cuatro ángulos coterminales de 100º

Solución:

a) 100º = 100º+ 360º = 460ºb) 100º = 100º + 2(360º) = 820ºc) 100º = 100º – 360º = – 260º d) 100º = 100º – 2(360º) = – 620º

Ejemplo 3

Simplifica el ángulo θ = 5248º

Solución:

Comienzas averiguando cuántas veces contiene el ángulo θ a 360º. Para ello divides: 5248 entre 360 y la parte entera que es 14 es el nº de veces que contiene a 360.

Luego, como 5248 contiene 14 veces a 360º, al ángulo 5248 le restas 14 veces 360º.

5248º – 14 (360º) 5248º – 5040º = 208º

Concluyes entonces que las dos formas más simples o valores canónicos de θ, son 208º y 208º – 360º = – 152º

Definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo

Sea θ un ángulo en posición normal o estándar: Su vértice coincide con el origen del sistema de coordenadas, y su lado inicial coincide con el eje x positivo.

Si llamamos distancia al valor del segmento OP; abscisa, al valor x; ordenada, al valor y, las funciones de θ se definen así:

seny

dordenadadistancia

θ = = cosabscisa

distanciaθ = =

xd

tanordenada

abscisaθ = =

yx

cot

abscisaordenada

θ = =xy

secdistanciaabscisa

θ = =dx

cscdistanciaordenada

θ = =dy

Ejemplo 4

Determina en forma gráfica las funciones de a) 135º b) 210º

Solución

a) El ángulo de 135º posee un ángulo de referencia igual a 180º – 135º = 45º. Luego, el triángulo de referencia es de 45º.

En la figura de la derecha se representa la situación, donde: x = –1, y = 1; d = 2

b) El ángulo de referencia es 210º – 180º = 30º.

Luego, el triángulo de referencia es 30º, donde: x = − 3 ; y = –1; d = 2

Con estos valores defines las funciones de 210º

y

d

x

P(X;Y)

y

x-1

1(-1,1)

135�45�

2

y

x

-1

210�

30�

2

P (- 3,-1 )

Page 6: Mate 11 u5

UNIDAD 5

60 Matemática - Segundo Año

El círculo trigonométrico es aquel que tiene por radio la unidad.

1. Copia en tu cuaderno y traza el ángulo de referencia θ’ del ángulo θ.

Actividad 1

2. Encuentra dos ángulos positivos y dos negativos que son coterminales o equivalentes a 75º.

3. Halla los dos ángulos equivalentes de θ = 3500º entre 0º y 360º y represéntalos en el plano cartesiano.

4. Representa en el plano cartesiano el ángulo de referencia y determina su valor si:

a) θ = 45º c) θ = 3500ºb) θ = 150º d) θ = 300º

5. La rueda delantera de una bicicleta tiene un diámetro de 40 cm, y la trasera 60 cm ¿Qué ángulo gira la rueda delantera cuando la trasera gira 8 radianes?

6. Determina gráficamente las funciones dea) 150º b) 300º c) 225º

x2 + y2 = r2, x2 + y2 = 12, x2 + y2 = 1

En el círculo trigonométrico, las funciones de ángulos son más sencillas de manejar y obtener, debido a que el valor “d” es el radio de la circunferencia y es igual a 1. Así d = r = 1.

1. seny

dy

yθ = = =1

4. csc θθ

= =1 1y sen

2. cos θ = = =xd

xx

1 5. sec

cosθ

θ= =

1 1x

3. tancos

θ θθ

= =yx

sen 6. cot

cosθ θθ

= =xy sen

Círculo trigonométrico o unitario

y

x

y

x

y

x

220ºθ

150º

y

x

(0,-1)

(1,0)

(0,1)

(-1,0)

P(x,y)r=1

Page 7: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 61

Mediante él, puedes calcular con buena aproximación las funciones de un ángulo.

sen 37º = 0.6 sen 225º = –0.7cos 37º = 0.8 cos 225º = –0.7

Comprueba los siguientes resultados en tu calculadora.

sen 37º = 0.601815 sen 225º = –0.7071068cos 37º = 0.7986355 cos 225º = –0.7071068

Funciones de ángulos cuadrantales

Los ángulos cuadrantales son aquellos cuyos lados coinciden con alguna semirrecta del eje x o del eje y. Éstos son: 90º, 180º, 270º y 360º ó 0º.

Nota que, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la abscisa x cada vez se hace más pequeña: tiende a cero.

Además, cuando θ aumenta acercándose a 90º, la ordenada “y” cada vez se hace más grande: tiende a uno.

Cuando θ = 90º tienes que x = 0; y = 1; r = 1

Luego:sen y

xsen

ºº

ºº

90 190 0

9090

= == =

=

cos

tanccos

cotcos

º(infinito)

ºº

9010

9090

= = ∞

=ssen º

ºº

9001

0

90190

10

= =

= = = ∞seccos

((infinito)

ºº

csc 90190

11

1= = =sen

Si el ángulo continúa aumentando, llegas a 180º, 270º y 360º, ángulos cuyas coordenadas (x, y) representan las funciones trigonométricas (cos θ, sen θ)

y

x 90�

(0,1)

y

x

P(x,y)

1

θ

y

x

(0,1)

225�

(-1,0) (1,0)

(0,-1)

P(0.8, 0.6)

Q(-0.7, -0.7)

37�

y

x

(0,1)

(-1,0) (1,0)

(0,-1)

θ

y

x

(0,1)

180�

(-1,0) (1,0)

Page 8: Mate 11 u5

UNIDAD 5

62 Matemática - Segundo Año

x = –1; y = 0; r = 1. Para 180º

Luegosen y

xsen

ºº

º

180 0180 1

180

= == = −

=

cos

tanºº

ºº

180180

01

0

180180

cos

cotcos

=−

=

=sen º

ºº

1801

0

1801180

11

=−

= −∞

= =−

seccos

== −

= = = 짧

1

1801180

10

cscsen

x = 0; y = –1; r = 1. Para 270º

Luegosen y

xsen

ºº

º

270 1270 0

270

= = −= =

=

cos

tanºº

ºº

270270

10

270270

cos

cotcos

=−

= −∞

=senn º

ºº

2700

10

2701270

10

=−

=

= = =seccos

ºº

= =−

= −csc 2701270

11

1sen

En las funciones trigonométricas +∞ ó –∞ te indica que la función es indeterminada.

x = 1; y = 0; r = 1. Para 360º

Luegosen y

xºº

º

360 0360 1

36001

= == =

= =

cos

tan

ºº

º

0

3601360

10

3601360

csc

seccos

= = = ∞

=

sen

ºº

º

= =

= = ∞

11

1

36010

cot

Ejemplo 5

Un cuerpo de 100 kg pende de dos cuerdas, que forman con la horizontal, ángulos de 30 ° y 60° como se muestra en la figura. ¿Puedes calcular la tensión en cada una de las cuerdas?

ToA ToB

A B

100 kg

0

30º 60º

y

x

(0,1)

270�

(-1,0) (1,0)

(0,-1)

y

x

(0,1)

360�

(-1,0) (1,0)

(0,-1)

Page 9: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 63

Resumen

Un ángulo positivo se mide desde su lado inicial hasta su lado terminal, en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Es negativo si se mide en sentido horario.

Ángulo de referencia de un ángulo es aquel cuyos lados son el lado terminal de θ y el eje x.Ángulos coterminales o equivalentes son aquellos que tienen el mismo lado inicial y terminal. Círculo trigonométrico es aquel cuyo radio mide uno.

Las funciones de 90º, 180º, 270º y 360º están determinadas por sus coordenadas: (0, 1), (–1, 0), (0, –1) y (1, 0) respectivamente. El ángulo de 0º es igual al ángulo de 360º.

Solución:

Prolongando la tensión ToA para formar un triángulo de fuerzas tendremos:

Ya sabes que F→

∑ = 0 , por lo cual éstas forman un triángulo y se aplica la siguiente igualdad ToA

SenToB

SenP

Sen30 60 90º º º= =

Punto de apoyo

1. Basándote en las coordenadas del círculo trigonométrico correspondiente a 0º, 90º, 180º, 270º y 360º = 0º, determina por simple inspección el valor de:

a) sen 0º i) tan 0ºb) sen 90º j) tan 90ºc) sen 180º k) tan180ºd) sen 270º l) tan 270ºe) cos 0º m) cot 0ºf) cos 90º n) cot 90ºg) cos 180º 0) cot 180ºh) cos 270º p) cot 270º

2. Un cuerpo de 200 lb. pende de dos cuerdas que forman ángulos de 50° y 40° con la horizontal. Calcula la tensión a la que está sometida cada cuerda.

Actividad 2

y

x

(0,1)

(1,0) (0,-1)

(0-1)

90º

180º

270º

360º = 0

ToASen

PSen

ToAP senSen

Kg30 90

3090

100º º

ºº

=

= =× 0 5

150

.= kg

ToBSen

PSen

ToBP senSen

Kg60 90

6090

100°=

°

=°°

=8 7

187

.Kg

ToA

A B

100 kg

0

30º 60º

PToB

60º

30º

La tensión de la cuerda A es = 50 kgLa tensión de la cuerda B es = 87 kg

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UNIDAD 5

64 Matemática - Segundo Año

Autocomprobación

Soluciones1. c. 2. d. 3. b. 4. b.

¿Cuál de las siguientes funciones trigonométricas es indeterminada?a) cos 90ºb) tan 90ºc) cot 90ºd) csc 90º

4 El valor de tan 150º es

a) −13

b) − 3

c) −3

3

d) a y c son correctos

2

1 El ángulo equivalente a 400º esa) – 40ºb) 80ºc) 40ºd) 320º

3 El valor de cos 180º es a) θb) –1c) ∞d) ninguna de las anteriores

Las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales (90º, 180º, 270º y 360º ó 0º ) son de gran importancia en el gráfico de funciones y en el análisis de otros fenómenos como las

mareas, el sonido, etc.

Así una representación gráfica de las mareas es :

LAS MAREAS Y ÁNGULOS CUADRANTALES

120 24

tiempo (h)

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Segundo Año - Matemática 65

Quinta Unidad

Motivación

Indicadores de logro

Para resolver el problema anterior, estudiarás previamente algunos conceptos. El valor de una función trigonométrica de un número real “t” es el valor de un ángulo de “t” radianes.

Así, “sen 3” se interpreta como seno del número real 3 o como el seno de un ángulo de 3 radianes. Obviamente, sen 3 ≠ sen 30

Concluyes entonces, que los valores de las funciones trigonométricas de números reales, éstos representan radianes.

Construirás, con precisión y seguridad, el gráfico de la función seno. Determinarás, con precisión y seguridad, el dominio y recorrido de la

función seno.

Determinarás con perseverancia la periodicidad en la función seno. Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma:

y = a sen [b(x + c)] + d, y = a cos [b(x + c)] + d determinando su período con seguridad.

La naturaleza y todo lo que ella comprende: mareas, clima, estaciones, reproducción de los animales, cosechas, etc., se rigen por ciclos biológicos o ritmos. Estos ciclos han existido desde el principio de la vida en el planeta. Se ha demostrado histórica y estadísticamente que la naturaleza humana sigue una variedad de ritmos que realizan ciclos a diferentes frecuencias. En el caso de los seres vivos estos ritmos se denominan biorritmos, y existen diferentes biorritmos que afectan nuestro comportamiento en distintas maneras. En el caso de los humanos, se ha comprobado estadísticamente que la energía física se comporta cíclicamente en períodos de 23 días (mitades de 11 días y medio), la energía emotiva en períodos 28 días (mitades de 14 días) y la energía intelectual en 33 días (mitades de 16 días y medio). Otro ejemplo de fenómeno cíclico es la corriente alterna. Considera lo siguiente: un generador de corriente alterna, mide la potencia eléctrica por la

GRáfICO dE LA fUNCIóN SENO

Lección2

Definición de las funciones trigonométricas de números reales

Para hallar los valores de funciones trigonométricas de números reales mediante calculadora, usas el modo en radianes. O sea que:

Para graficar una función trigonométrica, el ángulo debe estar expresado en radianes.

Recuerda que en tercer ciclo, estudiaste como convertir grados a radianes y viceversa. Para ello llegaste a las siguientes equivalencias.

expresión siguiente: I = 30 sen120t, donde: t es el tiempo en segundos. Podrías calcular ¿Cuál es la amplitud y el periodo? ¿Cuál es la frecuencia de la corriente? Es decir, ¿Cuántos ciclos se completan en 1 segundo?

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UNIDAD 5

66 Matemática - Segundo Año

Grafica la función y = sen x, donde x es un número real.

Debes encontrar los pares ordenados de números reales (x, y) que cumplan con la expresión y = sen x. Una manera de hallar dichos pares es mediante la calculadora científica. Así halla los valores del rango asociados con valores del dominio. Por ejemplo, si x = 0 tienes: y = sen 0 = 0.

Así, el par (0, 0) pertenece a la función.

Ejemplo 1

Convierte: a) 2

3π rad a grados; b) 150º a radianes

Solución:

a) 123

360

2

2

3

360

2

º ºrad rad= =

=

ππ

ππ; º120

b) 1 150 1502

360

2

360º

ºº º

º= =

π πrad rad;

=

56π rad

En lo posible se expresará el ángulo en radianes en términos de π.

2 π rad = 360º

Despejando 1 radián: 13602

ºrad =

π

Para convertir radianes a grados, multiplicas por 360º y divides entre 2π

Despejando 1 grado: 2πrad = 360º, 12

360º =

π rad

Para convertir grados a radianes, multiplicas por 2π y divides entre 360º.

Completa en tu cuaderno por simple inspección los cuadros siguientes:

a)

b)

Actividad 1

θ ( rad ) 0 π4

π2

34

π π 54

π 32

π 74

π 2π

θ ( grados ) 0 450

θ ( rad ) 0 π3

23

π π 43

π 53

π 2π

θ ( grados ) 0 450

Gráfico de y = sen x

y

x

(0,1)

(-1,0) (1,0)

(0,-1)

1x

P(cos x, sen x)

Page 13: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 67

Sin embargo el proceso de graficar y = sen x puede simplificarse al observar como varía el punto (cos x, sen x) cuando se mueve alrededor del círculo trigonométrico o unitario.

Para graficar y = sen x en el intervalo [0, 2], usa los resultados de la figura de la par, complementándolos con

valores de ángulos múltiplos de π4

tomados de la tabla que completaste.

Ejemplo 2

Completa el resultado de las siguientes funciones trigonométricas. Sugerencia: observa el círculo trigonométrico.

a) sen − =

π4

0 ( rad ) 0 π4

π2

34

π π 54

π 32

π 74

π 2π

y = sen x 0 1.71 1 1.71 0 –1.71 –1 –1.71 0

b) sen − =

π6

Sen Sen

Sen

− = − +

=

π π π

π

4 42

74

= −2

2

Observa que: Senπ4

22

= ,

luego Sen Sen− = −

π π4 4

Sen Sen

Sen

− = − +

=

π π π

π

6 62

116

= −12

Observa que: Senπ6

12

= ,

luego Sen Sen− = −

π π6 6

y

x2ππ0.5π 1.5π

0

1.711

-1-1.71

y

x

74π

-1 1

22

,2

2

−π

4

22

,− 22

y

x

114π

-1 1

32

,12

⎝⎜

⎠⎟

32

,−12

⎝⎜

⎠⎟

−π6

Page 14: Mate 11 u5

UNIDAD 5

68 Matemática - Segundo Año

Como estudiaste en la lección anterior, para un ángulo dado x, si se le suma un múltiplo entero de 360º ó 2π radianes. Así el nuevo ángulo coincide con el ángulo dado x, para cualquier número real x y para cualquier entero n.

Las funciones con este comportamiento repetitivo se llaman funciones periódicas.

La parte de la gráfica de la función seno correspondiente a 0 < x < 2π es un ciclo. A veces nos referimos a un ciclo como una onda senoidal.

Como la función es periódica con período 2π, para completar la gráfica de y = sen x sólo necesitamos repetir la gráfica hecha para [0, 2π], hacia la izquierda y hacia la derecha en intervalos de 2π.

Puedes ver que la función está definida para cualquier valor de x, por lo tanto, Df = R. Como la función adquiere valores entre –1 y 1, entonces, Rf = [–1, 1]

c) Sen Sen

Sen

− = − +

=

π π π

π

3 32

53

=

Observa que: Senπ3

=

d) Sen Sen

Sen

− = − +

=

32

32

2

2

π π π

π

=

Observa que: Sen32π

=

¿Qué puedes observar o concluir de los resultados anteriores?

e) Encuentra Sen Sen−

43

43

yπ π La función y = sen x es una función impar, porque cumple: sen (–x) = –sen x

y

x0

0

1

-1

-1π-2π-3π-4π 1π 2π 3π 4π

Se tiene: sen (x + 2πn) = sen x, con n = 1, 2, 3,…

y

x-1 1

12

,3

2

⎝⎜

⎠⎟

12

,−3

2

⎝⎜

⎠⎟

−π3

y

x-1 1

32π

(0,1)

(0,-1)

−π2

Page 15: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 69

Amplitud, período y desfase

Comencemos con una comparación de los gráficos y = sen x, y = A sen x.

Como el máximo valor de sen x es 1, el máximo valor de A sen x es A. ¿Cuál es el rango de esta función? El valor A se llama amplitud de la onda seno: multiplica el valor de sen x por A.

En tu cuaderno grafica la función y = 2senx. ¿Cuál es la amplitud? ¿Cuál es la amplitud de

y sen x=13

? ¿Cuál es el rango de cada una de ellas?

Como la onda seno, se completa en el intervalo [0, 2π], ese intervalo es el período p de y = sen x.

En tu cuaderno grafica la onda y = sen 2x ¿Cuál es el período? En el gráfico de y = sen 2x

observas que la onda se repite 2 veces en el intervalo [0, 2π] por lo cual p = =2

2

π π .

Es decir, la onda y = sen 2x se completa en [0, π].

En general, si y = sen Bx, el período está dado por

pB

=2 π

y

x0

1

A y=A Senx

y=Senx

0 0.25π 0.5π 0.75π π 1.25π 1.50π 1.75π 2π

y

x

2πB

2ππ

Page 16: Mate 11 u5

UNIDAD 5

70 Matemática - Segundo Año

El gráfico anterior muestra una onda senoidal desplazada a la izquierda del origen una cantidad igual

a C =π2

. Si C es negativo, el desplazamiento es a la

derecha. ¿Cuál es el valor de B en estos ejemplos?

B es el coeficiente de x.

Observa que sucede si B ≠ 1.

En general, al graficar la función y = A sen (Bx + C),

cuando Bx + C = 0, xCB

= − y cuando Bx + C = 2π,

xC

B=

−2 π . En este caso el desfase “d” es −CB

.

En forma gráfica:

Ejemplo 3

Grafica, sin tabular, la función y = 3 sen 4x. Compara el gráfico con la función y = sen x.

Solución:

Puedes ver que la amplitud es A = 3; además,

pB

= = =2 2

4 2π π π .

Esto significa que la curva y = 3 sen 4x se completa en

el intervalo 02

. O sea que el intervalo 02

cabe 4 veces en [0, 2π].

Ahora ya puedes resolver la situación planteada al inicio de la lección. Como I= 30 sen120t, entonces la amplitud

es 30, y el periodo es 2120 60π π

= .

Como la frecuencia es el inverso del período, ésta es

igual a 60

19 11π

= . ciclos por segundo.

Desfase de la onda Seno

Observa el gráfico de la función y sen x= +

π2

¿De qué valor de x parte la función anterior?

Si ésta hubiera sido y sen x= +

π4

¿De qué valor de x partiría?

Como puedes observar, en la función y = A sen (Bx + C),

la amplitud es A, el período 2 π

B y el desfase es

dCB

= −

y

x

0.5π π 1.5π 2π

y=3 Sen 4x

1

2

3

y

x2ππ0.5π 1.5π-0.5π

0

0.5

1

-0.5

-1

y=Sen x

y =Sen x+

π2

⎝⎜

⎠⎟

y

x0

A

-A 2πB

2ππ0.5π-0.5π 0

Page 17: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 71

Resumen

La función seno está dada, en su forma más simple, por la expresión y = sen x.

El gráfico que resulta se llama onda seno u onda senoidal. Ésta se repite cada 2 π rad, por lo que su período es 2π. Su dominio son todos los números reales y su rango es el intervalo [–1, 1].

En su forma general, la función seno está dada por la expresión y = A sen (Bx + C), donde A es la

amplitud, 2πB

el período p y −CB

el desfase d.

C = π B = 2 A = 2

C = 2 B = 3 A = 2

C = 4 B = 2 A = 3

1. Grafica sin tabular las siguientes funciones.

a) y = sen xb) y = sen 3xc) y = 3 sen 2xd) y sen x= −

3 2

2. Dada la función y = 4 sen 24

x −

π determina.

a) La amplitudb) El períodoc) El desfase

3. Un peso de 6 lb., que cuelga de un resorte se estira 13

de pie

por debajo de la posición de equilibrio y después se suelta. La distancia “y” en que el peso se desplaza de su punto de equilibrio con respecto al tiempo t en segundos, está dada

por y sen t=13

8 .

Determina la amplitud y el periodo de la función y grafícala para el intervalo 0 ≤ t ≤ π.

Actividad 2

y

x2ππ0.5π-0.5π

0

1

0 1.5π

2

-1

-2

y=Sen x

y=3 Sen(2x+4)

3

-3

Observa como en cada una de estas gráficas el desfase es

−CB

y el nuevo período es 2 π

B.

y

x2ππ0.5π-0.5π

0

1

0 1.5π

2

-1

-2

y =2sen(2x+π )

y=Sen x

y

x2ππ0.5π-0.5π

0

1

0 1.5π

2

-1

-2

y=Sen x

y=2 Sen(3x+2)

Page 18: Mate 11 u5

UNIDAD 5

72 Matemática - Segundo Año

Autocomprobación

4 Para convertir cm2 a dam2:a) Multiplicas por 100b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000d) Multiplicas por 1 000,000

2 Diez centímetros cuadrados equivalen a:

a) 1 m2

b) 0.01 m2

c) 0.10 m2

d) 0.0010 m2

1 La unidad básica de superficie del SI es:a) El km2

b) El cm2

c) El m2

d) El hm2

3 10,000 m2 equivalen a

a) 1 km2

b) 2 km2

c) 1 dam2

d) 1 hm2

Cuando la actividad cardíaca se traduce a imágenes mediante el electrocardiógrafo,

que es el aparato usado para hacer electrocardiogramas, se obtiene un patrón

repetitivo como el de la gráfica. Este comportamiento repetitivo es característico de las funciones trigonométricas, y puede

analizarse mediante éstas.

Este es el principio de los electrocardiógrafos y de los monitores cardíacos. Estos últimos son aparatos que sirven para dar seguimiento a

pacientes graves o en procesos de recuperación.

1. c. 2. c. 3. d. 4. a. Soluciones

4 El desfase de la función y = 2 sen (3x + π) es:

a) −π3

b) 2

c) 2

3

π

d) 3

2 El rango de y = 3 sen 2x es:a) [– 1, 1]b) [– 2, 2]c) [– 3, 3]d) [0, 2π]

1 La amplitud de la función y = 4 sen 3x es:a) 3b) – 3c) 4d) – 4

3 El período de la función y = 2 sen (3x + π) es:

a) 3 c) 3

2

π

b) 2 d) 2

3

π

ONDA SENO Y ACTIVIDAD CARDÍACA

Page 19: Mate 11 u5

Segundo Año - Matemática 73

Quinta Unidad

Motivación

Indicadores de logro

Para graficar y = cos x procedes de forma similar a la función seno: sólo observas como varía P(a, b) = (cos x, sen x) en el círculo trigonométrico.

Construirás, con precisión y seguridad, el gráfico de las seis funciones trigonométricas.

Determinarás, con precisión y seguridad, el dominio y recorrido de las seis funciones trigonométricas.

Determinarás con perseverancia la periodicidad en las funciones trigonométricas.

Construirás con precisión el gráfico de funciones de la forma: y = A cos (Bx +C) determinando su período con seguridad.

En una playa del litoral salvadoreño, la marea sube 1.8 m a partir de cierta línea paralela a la costa y luego de 12 horas baja 1.8 m a partir de la misma línea.Con estos datos puedes construir el gráfico que relaciona la altura de la marea y el tiempo.

GRáfICO dE LAS fUNCIONES COS x, TAN x, COT x, SEC x, y CSC x

Lección3

Gráfico de y = cos x

x 0 π2

π 32

π 2π

y = cos x 1 0 –1 0 1

y

x

(0,1)

(-1,0) (1,0)

(0,-1)

P(cos x, sen x)

y

xπ0.25π-0.25π

0

0.5

0 2π

1

-0.5

-1

1.5

-1.5

0.5π 0.75π 1.25π 1.5π 2.5π

Page 20: Mate 11 u5

UNIDAD 5

74 Matemática - Segundo Año

y

x

(0,1)

(-1,0) (1,0)

(0,-1)

(a,a)(-a,a)

(-a,-a) (a,-a)

Al igual que en la función seno, la parte de la gráfica de la función coseno que corresponde a 0 ≤ x < 2 es un ciclo llamado onda cosenoidal.

Puedes ver que el trazado de su gráfico es similar al de la onda senoidal.

En la gráfica del coseno se observa que la onda cosenoidal es igual a la onda senoidal desplazada

π2

rad

a la izquierda, es decir: y = cos x = sen x +

π2

La función y = cos x equivale a sen x +

π2

.

Al igual que la función seno para: y = A cos (Bx + C), A es

la amplitud, 2 π

B es el período y −

CB

es el desfase.

Ejemplo 1

Grafica la función y x= −( )1

24cos π

Solución

Amplitud: A =1

2

Período: pB

= = =2 2

4 2π π π

Desfase: − = − =

−CB

π π4 4

y = cos x es una función par, ya que para cualquier valor de x se cumple que: cos (–x) = cos x. Por ejemplo, cos (–π) = cos π

Observa que el período es: 2π, que Df = R y Rf = [–1, 1]

Como el desfase es positivo, significa que el desplazamiento es hacia la derecha. Luego, el gráfico es:

Ahora ya puedes graficar la función planteada al inicio de esta lección. Grafícala en tu cuaderno. Compárala con la siguiente:

Gráfico de y = tan x y y = cot xObserva como varía el valor de la tangente para diversos valores de un ángulo ubicado en el círculo trigonométrico.

y

x0

0

1

-1

-3π-4π 5π2π 3π 4ππ-π-2π-5π

y=Cos xy

x

0.25π-0.25π

0

0.5

0

1

-1

0.5π 0.75π-0.5π

-0.5

π2P=

π4

d =

y

x0-5 2 4 6 8 10 12-10-15

51015

tiempo (h)

Page 21: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 75

En el cuadro anterior puedes ver que y = tan θ es una función impar, ya que tan (–θ) = –tan θ. Los resultados que dan ∞ nos indican asíntotas representadas en la siguiente figura.

Para valores positivos de un ángulo múltiplos

de π4

radianes, tienes

Para valores negativos de un ángulo múltiplos

de −−π4

radianes, tienes

x (rad) tan x x rad tan x

0 0

10= 0 tan 0

0

10= =

π4

aa

= 1 −π4

tan − =

−= −

π4

1a

a

224

π π

=

1

0= ∞ −

π2

tan−

=

−= −∞

π2

10

3

aa−= −

1 −

3

4π tan

− −−

= +

=

3

41π

aa

44

π π

=

0

10

−=

–π tan −( ) =

−=π

01

0

5

−−

=

aa

1 −5

4π tan

=

−= −

54

1πaa

6324

π π

=

−= − ∞

1

0−

3

2π tan

= = ∞

32

10

π

7

−= −

aa

1 −7

4π tan

= =

74

1πaa

8 24

π π

=

0

10= –2π tan −( ) = =2

0

10π

y

x1

-1

π2

3π2

Page 22: Mate 11 u5

UNIDAD 5

76 Matemática - Segundo Año

Como cottan

xx

=1

, para graficar y = cot x

simplemente se toman los valores recíprocos de los valores de las ordenadas de la gráfica de y = tan x en la figura. Observa la gráfica. En el intervalo [0, π] cuando x se aproxima a cero por la derecha, y tiende al infinito.

Al estudiar el comportamiento de tan xba

= en el

intervalo −

π π2 2

, , puedes ver que cuando x se

aproxima a π2

por la izquierda, a se aproxima a cero

mediante valores positivos, mientras que b se aproxima a 1. O sea, tan x

ba

= crece indefinidamente; es decir,

tiende a infinito. Por otro lado, cuando x se aproxima

−π2

por la derecha, a se aproxima a cero por medio de

valores positivos y b se aproxima a – 1. Esto significa

que tan xba

= decrece indefinidamente, o sea, tan x

tiende a –∞. Esto se muestra en el siguiente gráfico.

Si procedes de la misma manera para los intervalos entre otras asíntotas, se ve que la función tangente es periódica con período π. Por lo tanto, para completar la gráfica de y = tan x sólo se necesita repetir la gráfica de la figura, sobre intervalos de longitud π tanto a la izquierda como a la derecha del intervalo inicial para extender la gráfica hasta donde se desee. Graficando en base a los valores anteriores, tendremos:

En este gráfico observas las siguientes características:

El período es π

Dominio: Todos los números reales excepto los

múltiplos de π π2+ k , k entero.

Rango:

.

Función impar y simétrica con respecto al origen.

Discontinua en π π2+ k ; k entero.

Función creciente entre las asíntotas.

Gráfico de y = tan x

y

x00

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-11

Asíntota vertical

Asíntota vertical

y

x2ππ0.5π-0.5π

00 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π

2

4

6

-2

-4

-6

y=Tan x

y

x00

2

4

-2

π

Page 23: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 77

Cuando x se aproxima a π por la izquierda y tiende a menos infinito. Esta situación se da en todos los intervalos múltiplos de π. Luego al graficar y = cot x desde –2π hasta 2π obtienes:

De la misma manera que se obtuvo la gráfica de y = cot x al tomar los valores recíprocos de las coordenadas en la gráfica de y = tan x, haces

csc seccos

yx xxsen x

= =1 1

Observa que cos x = 0, si x vale −π π π2 2

32

, , , .etc..

Luego, la gráfica de sec x debe tener asíntotas verticales en esos puntos. Además, cuando cos x crece o decrece en un intervalo sec x hace exactamente lo contrario.

Para obtener las gráficas de y = csc x e y = sec x tomas los recíprocos de las ordenadas de las gráficas de y = sen x e y = cos x, respectivamente.

Características de y = cot x

Período: π

Dominio: Todos los números reales excepto kπ, con k entero.

Rango:

.

Función impar y decreciente entre las asíntotas.

Discontinua en kπ, k entero

Características de y = sec x

Período: 2π

Dominio: Todos los números reales excepto

π π2+ k , k entero

Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[

Función par (simétrica con respecto al eje y)

Discontinua: en π π2+ k , k entero

Características de y = csc x

Período: 2π

Dominio: Todos los números reales excepto kπ,k entero

Rango: ]–∞, –1] ∪ [1, ∞[

Función impar (simétrica con respecto a π/2)

Gráfico de y = cot x

Gráfico de y = sec x

Gráfico de y = csc x

y

x0

2

4

6

-2

-4

-6

y=Cot x

2ππ0.5π-0.5π 0 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π

y

xy=Cos x

Cos x1y=sec x =

00.5

1

1.5

-0.5-1

-1.5

-2

2

2ππ0.5π-0.5π 0 1.5π 2.5π-π-1.5π-2.5π -2π

y

x0.5π-0.5π

00 1.5π 2.5π-1.5π-2.5π

0.5

1

1.5

-0.5

-1-1.5

-2

2

y=Sen x

y=Csc x =Sen x

1

2ππ-π-2π

Page 24: Mate 11 u5

UNIDAD 5

78 Matemática - Segundo Año

La figura siguiente será muy útil en muchos de los problemas de este ejercicio.

1. Completa la siguiente tabla, en tu cuaderno.

FunciónValor en x

0 π2

π 3

2

π 2π

sen x 0cos x 0tan x 0cot xsec x No esta definidacsc x –1

2. Considera P(a, b) = (cos x, sen x) sobre el círculo trigonométrico o unitario (observa la figura anterior) y completa en tu cuaderno la tabla siguiente, ( significa crecimiento y significa decrecimiento):

Significa que: y = sen x En 02

es positiva y creciente

En π π2

,

es positiva y decreciente

En π π,32

es positiva y creciente

¿Cómo es y = sen x en 32

2π π,

? Muy bien, negativa y creciente

Actividad1

Funciónx varia de

0 a π2

x varia de π2

a π

x varia de

π a 3

2

πx varia de 3

2

π a 2 π

+ – + – + – + –

y = sen x = by = cos x = a

y = tan x = b/ay = cot x = a/b

b

a

(0,1)

(-1,0) (1,0)

(0,-1)

P(cos x, sen x)

cos x

sen xx rad

R=1

a b

x unidades

Page 25: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 79

Resumen

El gráfico de la función coseno se llama onda cosenoidal. Sus elementos principales son: amplitud, período y desfase. Como la función coseno u onda cosenoidal equivale a la función seno adelantada π/2 radianes, sus características son iguales a la onda senoidal. Ambas funciones son continuas y periódicas.

Los gráficos de las otras cuatro funciones presentan características especiales, y son discontinuas.

Page 26: Mate 11 u5

UNIDAD 5

80 Matemática - Segundo Año

Autocomprobación

4 Para convertir cm2 a dam2:a) Multiplicas por 100b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000d) Multiplicas por 1 000,000

2 Diez centímetros cuadrados equivalen a:

a) 1 m2

b) 0.01 m2

c) 0.10 m2

d) 0.0010 m2

1 La unidad básica de superficie del SI es:a) El km2

b) El cm2

c) El m2

d) El hm2

3 10,000 m2 equivalen a

a) 1 km2

b) 2 km2

c) 1 dam2

d) 1 hm2

1. d. 2. b. 3. d. 4. b.

Las funciones trigonométricas tienen mucha aplicación en el movimiento vibratorio oscilatorio. Por ejemplo en el movimiento de una partícula en una cuerda de guitarra a la que se ha hecho vibrar o en un resorte que se ha comprimido y

luego se pone a oscilar.

De acuerdo a la vibración del instrumento musical, así es el sonido emitido por éstos. Además hay que hacer notar que la misma vibración en dos instrumentos musicales

diferentes como guitarra y violín pueden producir sonidos diferentes.

Soluciones

4 Para construir el gráfico de y = sec x se parte del inverso de la función.a) sen xb) cos xc) tan xd) csc x

2 El período de la función anterior es:a) 2b) π

c) π2

d) 3

1 La amplitud de la función y = 3 cos (2x + π) es:a) 2b) πc) – 3d) 3

3 La función y = tan x es creciente en el intervalo:

a) − −

5

2

3

2

π π,

b) − −

3

2 2π π

,

c) −

π π2 2

,

d) Todas las anteriores

VIBRACIONES MUSICALES

Page 27: Mate 11 u5

Segundo Año - Matemática 81

Quinta Unidad

Motivación

Indicadores de logro

r

r

BP

A C

θ

d

d

Lección4

¿Cómo haces para comprobar que son idénticos?

Determinarás, explicarás y aplicarás las identidades trigonométricas recíprocas, con seguridad y confianza.

Determinarás, explicarás y aplicarás las identidades trigonométricas de cociente, con seguridad y confianza.

Deducirás, explicarás y aplicarás las identidades pitagóricas, con seguridad y confianza.

Transformarás una expresión trigonométrica a una que contenga solamente seno y coseno, con precisión.

Verificarás las identidades trigonométricas aplicando las recíprocas, las de cociente y las pitagóricas, con interés.

Resolverás problemas utilizando identidades trigonométricas, mostrando respeto a la opinión de los demás.

Un ingeniero civil está diseñando la curva de una intersección. Las dos autopistas se cruzan formando un ángulo θ. El borde de la autopista debe unirse con dos puntos A y B por medio de un arco de circunferencia tangente a las autopistas en esos dos puntos. El ingeniero necesita determinar la relación entre el radio del arco r, la distancia “d” de A y B desde la intersección y el ángulo BCA. Observa el dibujo en donde se muestra que A y B son los puntos de tangencia de la circunferencia con las autopistas.

IdENTIdAdES TRIGONOMéTRICAS

Identidades trigonométricas fundamentales

En matemática el concepto de “identidad” equivale a “igualdad”. Así, la ecuación (x – 5 )(x + 5) = x2 – 25, es una identidad, ya que es cierta para todo valor de x. Esto lo puedes comprobar dándole a x los valores en los números reales que desees. En esta lección estudiarás las principales identidades trigonométricas.

Por definición de las razones trigonométricas tienes:

a) senyh

θ = d) csc θ =hy

b) cos θ =xh

e) sec θ =hx

c) tan θ =yx

f) cot θ =xy

h y

x

θ

Page 28: Mate 11 u5

UNIDAD 5

82 Matemática - Segundo Año

Además del círculo unitario tienes: sen θ = y, cos θ = x entonces:

tancos

θ θθ

= = ( )yx

sen4 cot

cosθ θθ

= = ( )xy sen

5

Éstas son las funciones de cociente. Recuerda que el círculo trigonométrico está constituido por todos los puntos P(x, y), tales que su distancia al origen es la unidad, esto es x y2 2 1+ = . Además se indicó que para todo ángulo θ, existe un único punto en el círculo trigonométrico que le corresponde.

Considera un ángulo θ cualquiera y sea P(x, y), el punto del círculo unitario que le corresponde, entonces se tiene que x2+ y2 = 1, pues las expresiones en ambos lados de la igualdad son positivos; como en el círculo trigonométrico sen θ = y, cos θ = x, se tiene:sen 2 2 1 6θ θ+ = ( )cos

De la relación anterior se obtienen otras dos identidades:

sen sen2 2 2 21 1yθ θ θ θ= − = −cos cos .

Si los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre

sen2 θ, obtienes:sensen sen sen

2

2

2

2 2

1θθ

θθ θ

+ =cos

Recíprocas De cociente Pitagóricas

seccos

θθ

=1

csc θθ

=1

sen

cot θθ

=1

tan

tancos

θ θθ

=sen

cotcosθ θ

θ=

sen

sen 2 2 1θ θ+ =cos

1 2 2+ =cot cscθ θ

tan sec2 21θ θ+ =

Esta última expresión es equivalente a:1 72 2+ = ( )cot cscθ θSi los dos miembros de la identidad (6) se dividen entre cos2 θ, obtienes:sen 2

2

2

2 2

1θθ

θθ θcos

coscos cos

+ =

Es decir: tan sec2 21 8θ θ+ = ( )

A las relaciones (6), (7) y (8) se les denomina, identidades trigonométricas pitagóricas:

sen 2 2 1 6θ θ+ = ( )cos

1 72 2+ = ( )cot cscθ θ

tan sec2 21 8θ θ+ = ( )

En tu cuaderno, prueba la identidad sen 2 2 1θ θ+ =cos para θ = 30º

O sea, sen 2 230 30 1º cos º+ =

En resumen, hasta aquí tienes ocho relaciones trigonométricas de suma importancia que reciben el nombre de Identidades Trigonométricas Fundamentales:

Otras identidades trigonométricas

Los procedimientos algebraicos básicos y las relaciones trigonométricas fundamentales son, las herramientas principales para simplificar expresiones trigonométricas, verificar identidades trigonométricas o resolver ecuaciones trigonométricas. Estos tres ejercicios típicos son importantes porque la mayoría de los problemas de aplicación de la trigonometría requieren la resolución de al menos uno de ellos.

¿Cómo son las razones que aparecen a la par? Puedes ver que:

sensen

θθ

θθ

= = ( )1 11

csccsc

cos θθ

θθ

θ

= = ( )1 12

secsec

cos

tan = = ( )1 13

cotcot

tanθθ

θÉstas son las funciones recíprocas.

y

P(cos θ, sen θ)

Page 29: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 83

Ejemplo 1

Simplifica la expresión trigonométrica cos θ sec θ .

Solución:

Utiliza una identidad trigonométrica de manera que la expresión original se transforme en otra más simple. Recuerda que:

seccos

θθ

=1 , sustituyendo esta identidad en la expresión original tienes:

cos sec cos .cos

coscos

θ θ θθ

θθ

= = =1

1 De manera que cos θ sec θ = 1

Ejemplo 2

Simplifica la expresión trigonométrica cscsec

xx

Solución:

Sabes que csc xsen x

=1

y seccos

xx

=1

; sustituyes en la expresión original y

obtienes: cscsec

cos

coscot

xx

sen x

x

xsen x

x= = =

1

1 de manera que es válida la igualdad

cscsec

cotxx

x=

En el siguiente ejemplo, el procedimiento de simplificación es más extenso, sin embargo las herramientas que se utilizan son las mismas.

Ejemplo 3

Simplifica la expresión trigonométrica ( cos )cot cossen

senθ θθ θ θ

+ −−

2 1

Page 30: Mate 11 u5

UNIDAD 5

84 Matemática - Segundo Año

Por tanto, verificas que la expresión ( cos )

cot cossen

senθ θθ θ θ

+ −−

2 1 es igual a la expresión 2 tan2 θ.

Solución:( cos )

cot cossen

sensenθ θ

θ θ θθ+ −

−=

2 21 + + −

2 12sen

sensen

θ θ θθθ

θ

cos coscos

cos

cos coscos

θ

θ θ θ θθ=

+( ) + −sen sen2 2 2 1

ssensen

senθ

θ θ

θ θθ

=+ −

cos

coscos

1 2 1−

=( )

sensen

sen sen

2

2

θ θθ

θ θ θθ

cos

coscos −

=−

sensen

sen

2

2

2

2θ θ

θ θθ θ

coscos

cos cos θθθ θ

θ θ

θθ

=−( )

=

21

2

2

2

2

2

sensen

sen

coscos

cos( ssen

sensen

=θ θθ θ θ

θ+ −−

cos )cot cos c

2 12

oostan

θθ

= ( )

222

Efectúas el producto notable en el numerador y

sustituyes en el denominador cot θ por cos θ

θsen.

Sustituyes en el numerador a sen2 θ + cos2 θ por 1 y en el denominador efectúas la diferencia.

Reduces términos semejantes en el numerador de la fracción compleja y efectúas el producto de los extremos y medios.

Multiplicas en el numerador y denominador por sen θ

Factorizas en el denominador aplicando factor común.

Cancelas el factor cos θ y sustituyes 1– sen2 θ por cos2 θ

Simplificas cos θ y sustituyes 1 – sen2 θ

Sustituyes sen θ

θcos por tan θ

Otra aplicación de las relaciones trigonométricas es la verificación de las identidades. Una identidad es una igualdad que se cumple para todo valor en el dominio de las funciones involucradas. Para verificar las identidades lo más frecuente es iniciar con un lado de la igualdad y, mediante un procedimiento algebraico válido, transformarlo en la expresión del otro lado.

Ejemplo 4

Verifica la identidad trigonométrica tan θ cot θ = 1

Solución:

Puedes simplificar el lado izquierdo de la igualdad hasta obtener la expresión del lado derecho.

tan cot tanSustituyes =θ θ θ θ= 1

senccos

cotcos

coscos

y =θ

θ θθ

θθ

θsen

sensen⋅

θθCancelas los factores iguales=

=

1

1 1 Obtienes que la igualdad se cumpleLa identidad ha sido verificada.

Page 31: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 85

Ejemplo 5

Verifica la identidad trigonométrica cos A tan A = sen A

Solución:cos tan tanA A sen A ASustituyes= =

ssen AA

Asen A

Asen A Can

cos

coscos

= ccelas el factor cos A

sen A sen A= SSe verifica la identidadEjemplo 6

Verifica la identidad trigonométrica cot x cos x + sen x = csc x.

Solución:cot cos csc cotSustituyesx x sen x x+ = xx

xsen x

xsen x

x sen x

=

⋅ + =

cos

coscos cscc

cos

Multiplicasx

xsen x

sen x2

+ = Efectuas la sumacsc x

Sustitcos

csc2 2x sen x

sen xx

+= uuyes 1cos

csc

2 2

1

x sen x

sen xx

+ =

= SSustituyes1

sen xx

x

=

=

csc

csc csc xx Se verifica la identidadAhora observa cómo se resuelve el problema planteado al inicio de esta lección.

De la figura ∠ + =BCA ºθ 180 . Luego ∠ = −BCA º180 θ . Además, PA AC⊥ , ya que el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Luego, PC bisecta a

∠BCA , por lo que ∠ = ∠ =−

= −PCA BCAº

º12

1802

902

θ θ

Como el triángulo PAC es rectángulo, ya que ∠ = ∠ =A PCArd

º90 tan , de donde

dr

PCAd r PCA

d r º

=∠

= ∠

= −

tancot

cot 902θ

Y como cot tanº902 2

=

θ θ, entonces d r= tan

θ2

Una aplicación de esta identidad es: Dos autopistas se encuentran a un ángulo de 34°. El bordillo debe unirse a los puntos A y B localizados a 45 pies del comienzo de la intersección.

Page 32: Mate 11 u5

UNIDAD 5

86 Matemática - Segundo Año

Ejemplo 7

Calcula el valor exacto de sen 712π

Solución:

Recuerda que, hasta ahora, sólo se conoce el valor exacto

de las funciones trigonométricas para π π π π3 4 6 2

, , , ,

por lo tanto debe expresarse 712π

en términos de ellos,

como π π π4 3

712

+ = . Utilizando la fórmula del seno

para la suma de ángulos obtienes:

sen

sen

sen

712

4 3

4

π

π π

π

= +

=

.. cos cos

π π π3 4 3

+

sen

Fórmulas para la suma y la diferencia de ángulos

Además de las relaciones trigonométricas ya mencionadas, existen algunas expresiones que involucran la suma o diferencia de ángulos: sen(α + β), cos(α + β), tan(α + β), sen(α – β), cos(α – β) y tan(α – β). Para ello es necesario conocer las equivalencias de estas expresiones.

Considera los ángulos α y β, tales que el ángulo α + β se representa en posición estándar en la figura dada. Se consideran los ángulos, α, β y α + β en el I cuadrante, pero el resultado es válido para cualquier α y β. Para este ángulo (α + β), se puede seleccionar cualquier punto P sobre su lado terminal de B y a Q sobre el lado terminal de α, tales que PQ OQ⊥ . Además considera PM OX⊥ , QN OX⊥ . Sea el punto R en PM tal que QR PM⊥ .

Como en los ángulos NOQ y MPQ son ángulos agudos de lados perpendiculares, de acuerdo con la construcción, se concluye que: mfNOQ = mfMPQ = α. Recuerda que en notación de ángulos, m significa medida y f significa ángulo.

Observa la figura y de acuerdo con ella, analiza la siguiente justificación:

Como PM = PR + RM y RM = QN

senPMOP

PR QNOP

PROP

QNOP

( )α β+ = =+

= +

= +

=

PR PQOP PQ

QN OQOP OQ

..

..

PPR PQPQ OP

QN OQOQ OP

.

...

+

a) Aproxima el radio del arco que une A y B.b) Determina la longitud del arco.

Solución:

Considera la fórmula que acabas de encontrar:

d r= tanθ2

en este ejemplo, d =45 pies y θ = 34º.

Debes determinar r, rd

=tan

θ2

rpies

º pies se lee aproxi=45

342

147 19tan

. mmadamente( )Es decir sen (α + β) = sen α . cos β + cos α . sen β.

Para encontrar la expresión para sen(α – β), se procede de la siguiente forma:sen sen

sen

α β α β

α β

−( ) = + −( ) = −( )cos . + −( )= − +

sensen sen

α βα β α

. cos

cos . . cos

. cos cos .

βα β α β= −sen sen

Esto, debido a que sen (–x) = – sen x, cos (–x) = cos x.Entonces: sen(α – β) = sen α . cos β – cos α . sen βEn forma análoga se puede obtener la expresión para cos(α + β) y para cos(α – β).cos(α + β) = cos α . cos β – sen α . sen βcos(α – β) = cos α . cos β + sen α . sen β

Q

P

R

M N

α

β

Page 33: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 87

Resumen

1. Usando identidades trigonométricas determina:

a) sen 75ºb) cos

23

π rad

c) tan56

π rad

2. Comprueba para valores de ángulos internos α, β, γ de un triángulo no rectángulo, que , para calcular esos valores, se aplican las identidades.

Ahora sustituyes los valores que ya conoces para las diferentes funciones trigonométricas y simplificas la expresión:

22

12

22

32

24

64

2 64

. .+ = + =+

de

donde el valor exacto de sen 712π

es

2 64+

.

Ejemplo 8

Calcula el valor exacto de cos 15º

Solución:

En igual forma, se expresa 15º en términos de ángulos cuyos valores para las funciones trigonométricas se conozcan: 15º = 45º – 30º cos 15º = cos (45º – 30º) = cos45º cos30º + sen45º sen30º

Se sustituyen los valores de las diferentes funciones trigonométricas y se simplifica la expresión:

22

12

22

32

24

64

2 64

. .+ = + =+

Ejemplo 9

Calcula el valor exacto de tan 512π

Solución:

En la misma forma, se descompone 512π

en términos

de π π6 4

y como 512 6 4π π π

= + , luego se utiliza la

fórmula para la suma de ángulos para la tangente y se obtiene:

tan tantan5

12 6 46π π ππ

= +

=

+ ttan

tan .tan

π

π π4

16 4

al sustituir los valores de las funciones trigonométricas y simplificar la expresión obtienes:

33

1

13

31

3 33 3

6 3 126

2 3+

−=

+−

=+

= +.

Actividad 1

Por lo tanto, tan512

2 3π

= +

Estas son las identidades que has estudiado en esta lección

1. sensen

oθθ

θθ

= =1 1

csccsc

2. cosc

seccos

oθθ

θθ

= =1 1

se

3. tancot

cottan

oθθ

θθ

= =1 1

4. sen 2 2 1θ θ+ =cos

5. tan sec2 21θ θ+ =

6. 1 2 2+ =cot cscθ θ

7. sen sen senα β α β α β+( ) = +. cos cos .

8. sen sen senα β α β α β−( ) = −. cos cos .

9. cos cos . cos .α β α β α β+( ) = − sen sen

10. cos cos . cos .α β α β α β−( ) = + sen sen

11. tantan tan

tan tanα β α β

α β+( ) =

−1

Page 34: Mate 11 u5

UNIDAD 5

88 Matemática - Segundo Año

Autocomprobación

Al escribir tan x cos x únicamente en términos de sen θ, resulta:a) sen2 x

b) 1

sen x

c) sen x

d) 1

2sen x

4 El valor de sen 2 23

434

π π+ cos es:a) 0b) 1c) 0.71d) 0.87

2

La expresión cos 75º equivale a:a) cos( 90º – 15º)b) cos(90º + 15º)c) 1d) 0

3 Un ejemplo de identidad trigonométrica es:a) cos 60º = 0.5b) sen

π2

1=

c) tancos

θ θθ

=sen

d) cot θ =35

1

Las aplicaciones de las identidades trigonométricas se dan en muchas áreas del conocimiento. Por ejemplo, en un circuito de

corriente alterna con reactancia, la potencia es:

P = Vmáx Imáx cos θ t sen θ t

Mediante identidades trigonométricas se

demuestra que: PV ax

sen t=max Im

22ω

Donde: P = potencia V = voltaje

I = intensidad de la corriente

1. c. 2. b. 3. a. 4. c. Soluciones

POTENCIA DE UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA

Page 35: Mate 11 u5

Segundo Año - Matemática 89

Quinta Unidad

Motivación

Indicadores de logro

1

2

θ

Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos.

Si la ecuación trigonométrica es verdadera para todo valor posible de los ángulos, se llama identidad trigonométrica.

Por ejemplo la ecuación sen2 θ + cos2 θ = 1 es una identidad, ya que, como lo puedes comprobar, es cierta para todo valor del ángulo θ.

Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos valores del ángulo.

Por ejemplo, la ecuación sen θ =12

, es una ecuación

condicional: es cierta para los valores θ π

º= =306

rad y θ πº= =150

56

rad ,

en el intervalo [0, 2π]

Compruébalo en tu cuaderno.

Identificarás, resolverás y explicarás, con seguridad y confianza, ecuaciones trigonométricas de una sola función.

Resolverás problemas, con perseverancia, utilizando ecuaciones trigonométricas.

En un taller de mecánica industrial, se desea fabricar una pieza como la que aparece a la derecha.¿Cuáles deben ser los valores del ángulo θ para que la pieza tenga las medidas que se indican?Este problema sugiere la ecuación sen θ =

12

¿qué valores de θ cumplen con esta ecuación?

En esta lección aprenderás a calcular los valores del ángulo que satisfacen ecuaciones con funciones trigonométricas.

ECUACIONES TRIGONOMéTRICAS

Lección5

Al conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota por S. Así para el ejemplo anterior,

S = { }π π6

56

, en [0, 2π].

Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo. Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales que son, se expresarán en radianes, salvo que en el ejemplo o ejercicio se especifique lo contrario.

Los métodos para resolver una ecuación trigonométrica son similares a los utilizados para resolver ecuaciones algebraicas. Igual que en la verificación de identidades trigonométricas, con frecuencia se requerirá el uso de algunas propiedades trigonométricas fundamentales. En la solución de una ecuación de este tipo se debe tomar en cuenta la periodicidad de las funciones trigonométricas.

¿Qué es una ecuación trigonométrica?

Page 36: Mate 11 u5

UNIDAD 5

90 Matemática - Segundo Año

Es muy importante recalcar que al resolver una ecuación trigonométrica, es suficiente encontrar sus soluciones entre 0 y 2π. Luego, de acuerdo con el período de la respectiva función, basta sumar a estas soluciones múltiplos de π ó 2π, según corresponda al período de las funciones que contiene la ecuación, para obtener las demás soluciones.

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación 2cos θ – 1 = 0

Solución:

Al despejar el valor de cos θ de la ecuación, se tiene:

cos θ =12

¿Para qué valores de θ, el coseno de θ es igual a 12

? De

los triángulos básicos de las funciones trigonométricas, o por

calculadora, obtienes: cosπ3

12

= , es decir, θ π=

3 es

solución de la ecuación dada. Además, como la función cos x es positiva en el primero y en el cuarto cuadrante, y

θ π=

3 pertenece al primer cuadrante, la ecuación

tiene otra solución en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de

referencia es π3

, esta solución sería

θ π π π= − =2

353

Con esto, las únicas soluciones de la ecuación cos θ =12

en el intervalo [0, 2π], son θ π=

3 y θ π

=53

; es decir, el

conjunto solución de la ecuación es: S = { }π π3

53

,

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación tan θ = – 1 en [0, 2π]

Solución:

Para resolver la ecuación tan θ = – 1, lo primero que debes notar es que las soluciones que se buscan se ubican en el segundo y cuarto cuadrante, pues la tangente es negativa en esos dos cuadrantes. De los triángulos básicos se sabe que tan π

41= y por ello θ π

=4

corresponde al ángulo de

referencia para las soluciones.

La solución cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante y tiene ángulo de referencia

θ π=

4 es π π π

− =4

34

. Falta encontrar el ángulo

que se encuentra en el cuarto cuadrante cuyo ángulo de

referencia es π4

, este es 24

74

π π π− = .

Así, el conjunto solución de la ecuación tan θ = – 1 en el

intervalo [0, 2π[ es S = { }34

74

π π,

1

12

1

θ θ

3

2

y

x

53π

π3-1 1

θ

y

00

2

34π

74π

Page 37: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 91

Ejemplo 3

Resuelve la ecuación 2 3 0sen θ + =

Solución:

Al despejar sen θ de la ecuación, se tiene: senθ = −3

2Para resolver esta ecuación, primero debes notar que las soluciones que se buscan se ubican en el tercer y cuarto cuadrante, pues sen x es negativa en esos cuadrantes. De la tabla de valores para las funciones trigonométricas,

sabes que sen π3

32

= y por ello θπ

=3

corresponde

al ángulo de referencia. La solución cuyo lado terminal está en el tercer cuadrante con este ángulo de referencia

es π π π+ =

34

3. Falta encontrar el ángulo que se

encuentra en el cuarto cuadrante con ese mismo

ángulo de referencia, este es 23

53

π π π− = .

Así, las soluciones de la ecuación 2 3 0sen θ + = , en

el intervalo [0, 2π], son θ π=

43

y θ π=

53

.

El conjunto solución de la ecuación dada es:

S = { }43

53

π π,

Ejemplo 4

Resuelve la ecuación sen θ tan θ = sen θ en el intervalo [0, 2π]

Solución:

La ecuación dada es equivalente a la ecuación sen θ tan θ – sen θ = 0. Factorizando obtienes: sen θ(tan θ – 1) = 0

Las soluciones de esta ecuación corresponden a las soluciones de las ecuaciones sen θ = 0 y tan θ – 1 = 0.

Las soluciones de sen θ = 0, en el intervalo[0, 2π] son θ = 0 y θ = π

Para resolver la ecuación tan θ = 1, se obtiene primero

la solución θ π=

4 en el

primer cuadrante, y como la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante, falta encontrar el ángulo que se encuentra en el tercer cuadrante cuyo ángulo

de referencia es π4

, este es π π π+ =

454

Así, las soluciones de la ecuación tan θ = 1, en el intervalo

[0, 2π] son π π4

54

y

y

x

54π

π4-1 1

En conclusión, el conjunto solución de la ecuación dada se obtiene de la unión de las soluciones de las dos ecuaciones anteriores, es decir,

S = { }04

54

, , ,π π π

y

00

2

43π

53π

θ

1

32

π 2π

Page 38: Mate 11 u5

UNIDAD 5

92 Matemática - Segundo Año

Todas las soluciones de la ecuación dada corresponden a los ángulos coterminales a θ = 0 y a θ = π, que se pueden escribir como el conjunto solución S ={kπ, con k ∈ Z}.

Ejemplo 6

Resuelve la ecuación 2 4 1 0sen θ( ) − = , en el intervalo[0, 2π].

Solución:

Despejas el valor de sen (4θ) de la ecuación, y tienes: sen 412

θ( ) = .

¿Cuál es el ángulo x tal que sen x =12

?

Se cumple para x k= +π π4

2 , y x k= +34

2π π .

¿Cómo encuentras una solución sin restricciones?El hecho de poner un intervalo donde deben estar las soluciones es una restricción sobre ellas; el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 sin poner restricciones es sin duda, S = {– 2, 2}; sin embargo, el conjunto solución de la ecuación x2 = 4 en el intervalo ]– ∞, 0] es S = {– 2}.

Observa que, como la función sen x, tiene período 2π y la función tan x tiene período π, el conjunto solución del ejemplo anterior si no se pide la solución restringida al

intervalo [0, 2π], es S k k k Zcon= + ∈{ }π π π, ,4

.

Nota además que en este conjunto solución encuentras incluidas las soluciones

particulares 0, π π π, ,

454

, que se obtienen dando a k los valores de 0 y 1.

Ejemplo 5

Halla el conjunto solución de la ecuación cos2 θ = cos2θ

Solución:

¿Recuerdas la identidad trigonométrica cos 2 θ = 2 cos2θ – 1?Sustituyes cos 2 θ en la ecuación y tienes:

cos cos –

cos cos

2 2

2 2

2 1

2

θ θθ θ

=

− + 11 0

1

Igualas a cero=

− coss

( cos

2 0

1

Reduces términos semejantesθ =− θθ θ Descompones en facto) ( cos )1 0+ = rres

1 01

− ==

cos ,cos ,

θθθ = 0 ,

1 0 Igualas a cero+ =cos θ ccada factorDespecos θ = − 1 jjas cos θ

θ π= Resuelves para θ

Page 39: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 93

Sustituyes x = (4θ) y obtienes 44

2θ π π= + k y 43

42θ π π= + k

Al dividir por 4 los valores de θ son: θ π π= +

16 2k y θ π π

= +316 2

k

Si tomas los valores para k = 0, 1, 2, 3, las soluciones son:π π π π π π π16

316

916

1116

1716

1916

2516

27, , , , , , ,

ππ16

que corresponden a los ángulos en

[0, 2π[. Compruébalo en tu cuaderno.

Fíjate que en el ejemplo anterior la función sen4θ tiene un período de 24 2π π

= , y

así, la función completa 4 períodos en el intervalo [0, 2π]. En cada período se tienen 2 soluciones y como son 4 períodos, se obtienen 8 soluciones en total.

Ejemplo 7

Resuelve 3 sen θ = 2 cos2 θ. Expresa la solución en grados y radianes.

Solución:

Al usar la identidad fundamental cos2 θ = 1 – sen2 θ, la ecuación dada se transforma en la ecuación: 3 sen θ = 2(1 – sen2 θ) = 2 – 2 sen2 θ. Así, 3 sen θ = 2 – 2 sen2 θ.Resuelves esta ecuación y tienes:

2 3 2 02sen senθ θ+ − = Transpponiendo terminos

sen θ =− ± − ( ) −( )

( )3 3 4 2 2

2 2

2

Fórmula cuadrática para despejar seen

sen sen senluego y

θ

θ θ θ=− ±

= =3 5

412

− 2

Para resolver la ecuación sen θ =12

buscas el ángulo

de referencia, el cual es π6

ó 30º, y trasladas este

ángulo a los cuadrantes donde la función sen x es positiva (I y II).

Así, las soluciones en [0º, 360º[ son θ πº= =

630 θ π

º= =56

150

La ecuación sen θ = – 2 no tiene soluciones pues el sen x sólo toma valores entre – 1 y 1 y por ello, ningún valor θ cumple con la ecuación sen θ = – 2.

El conjunto solución es S k k k Zcon= + + ∈{ }π π π π6

256

2; , que expresado

en grados corresponde al conjunto {30º + 360º k; 150º + 360º k, con k ∈ Z}

Page 40: Mate 11 u5

UNIDAD 5

94 Matemática - Segundo Año

Ejemplo 8

Resuelve la ecuación sen 2θ cos θ+ sen θ cos 2 θ = 0

Solución:

Usas las fórmulas del ángulo doble: sen 2 θ = 2 sen θ cos θ y cos 2 θ = cos2 θ – sen2 θ

La ecuación dada es equivalente a: (2sen θ cos θ) cos θ + sen θ (cos2 θ – sen2 θ) = 0

Factorizando obtienes la ecuación: sen θ (2 cos2 θ + cos2 θ – sen2 θ) = 0

La cual es equivalente a sen θ (3 cos2 θ – sen2 θ) = 0.

Al usar la fórmula sen2 θ = 1 – cos2 θ, la última ecuación se transforma en la ecuación sen θ (4 cos2 θ – 1) = 0. Luego sen θ = 0 ó 4 cos2 θ – 1 = 0

Por último, se procede a resolver las dos ecuaciones. Resuélvelas en tu cuaderno.

Ejemplo 9

En una ciudad, el número de horas de claridad D(t) en cierto período del año se aproxima mediante la ecuación

D t sen t( ) = −

+3

2365

79 12π

( ) , en donde t está

en días y t = 0 corresponde al día 1 de enero. ¿Cuáles días del año tienen exactamente 10.5 horas de claridad?

Solución:

Para responder a la pregunta planteada necesitas resolver la ecuación:

32365

79 12 10 5

32365

7

sen t

sen t

π

π

( ) .−

+ =

− 99 1 5( )

=− .

Al dividir entre 3, esta ecuación resulta equivalente a la ecuación:

sen t2365

7912

π( )−

= −

y

t

76π

π6

π6

116π

y

t

330º

210º

30º30º

Si se llama θ π= −

2365

79( )t la ecuación anterior se

escribe como sen θ = −12

el ángulo de referencia

es π6

y las soluciones buscadas están en el tercer y

cuarto cuadrante (pues el seno es negativo es estos cuadrantes)

La solución en el tercer cuadrante es

θ π π π= + =

676

y la solución en el cuarto

cuadrante es θ π π π2= − =

611

6, estos dos valores

corresponden a las soluciones en [0, 2π[. De esta manera, se deben determinar los valores t tales que:

2365

7976

2365

7911

6π π π π

t t−( ) = −( )ó =

Page 41: Mate 11 u5

UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 95

Resumen

Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene funciones trigonométricas de ángulos desconocidos.

Una ecuación trigonométrica que no es una identidad se llama ecuación condicional. Ésta es cierta para algunos valores del ángulo.

Para resolver una ecuación trigonométrica se usan los mismos principios que en una ecuación algebraica. Al conjunto de números reales que satisfacen la ecuación se denomina conjunto solución, el cual se denota por S.

Las ecuaciones trigonométricas tienen la particularidad de que la incógnita está relacionada con un ángulo. Este ángulo se puede escribir en grados o en radianes, sin embargo, las soluciones, como números reales que son, se expresan en radianes, salvo que se especifique lo contrario. A veces, es necesario aplicar alguna identidad que permita despejar la variable de interés.

La ecuación 2365

7976

π πt −( )= es equivalente a la

ecuación t − =797 365

6 2π

π( )

( ); si simplificas y luego

despejas el valor de t = + ≈2555

1279 292

La ecuación 2365

7911

6π π

( )t − = es equivalente a la

ecuación t − =7911 365

6 2π

π( )

( ) ; al simplificar y luego

1. Determina las soluciones de la ecuación cos x = −2

2.

2. Determina las soluciones de las ecuaciones:

a) sen x = −12

; b) tan θ = 1 en el intervalo [–π, π]3. Encuentra las soluciones de la ecuación csc x = –14.07 en el intervalo [0, 2 π [

4. Resuelve la ecuación sen2x = sen x en el intervalo [0, 2 π [

Actividad 1

despejar el valor de t obtienes:

t = + ≈

401512

79 414

El día 292 corresponde al 19 de octubre, el día 414 – 365 = 49 del año, que corresponde al 18 de febrero. ¿Por qué no se considera la segunda de las respuestas?

Page 42: Mate 11 u5

UNIDAD 5

96 Matemática - Segundo Año

Autocomprobación

1. c. 2. a. 3. a. 4. b.

Al igual que las identidades, las ecuaciones trigonométricas se aplican en casi todas las áreas del conocimiento. Por ejemplo, el desplazamiento de un pistón puede

determinarse al sustituir los valores de π y t en la ecuación d = sen π t + cos π t.

En dicha ecuación tenemos:

d = desplazamiento

π = velocidad angular

t = tiempo

Soluciones

Al resolver 3tan x = 3, las soluciones para x son:

a) 0 62 2 10. , .{ } c) π π6

76

,{ }b)

π π4

74

,{ } d) 1 31 2 63. , .{ }

1 Al resolver 2cos θ = 0, la solución para θ es:

a) π π2

32

,{ } c) π π2 4

,{ }b) π , 0{ } d) π π

434

,{ }

3

Al resolver cos 42

2x = , las soluciones para x

son:a) 11 25 191 25. , . { }b) 180 191 25 , .{ }c) 11 25 150 8. , . { }d) 45 315 ,{ }

2 La solución de 2cos x = 3 es

a) π π3

53

,{ } c) π π4

34

,{ }b)

π π6

116

,{ } d) π π2

32

,{ }

4

DESPLAZAMIENTO DE UN PISTÓN

Page 43: Mate 11 u5

Segundo Año - Matemática 97

Lección 1

Actividad 1: 2. 75 + 360 = 435º 75 + 2(360) = 795º 75 – 360 = – 285º 75 – 3(360) = –1005º

4. b) 180º – 150º = 30º d) 360º – 300º = 60º

Actividad 2: 1. a) sen 0º = 0 b) sen 90º = 1 j) tan 90º = ∞ o) cot 180º = –∞Lección 2:

Actividad 1: π2

rad = 90º; 34π rad = 135º ; π rad = 180º, etc.

Actividad 2: 1. a)

Solucionario

d)

2. a) A = 4 b) 22π π= c) −

=

= −C

B

ππ4

2 8

y

x-0.25π

0

1

0

2

3

-1

-2

-3

0.5π π 1.5π 2π

y

x0

1

0

2

3

-1

-2

-3

0.25π 1.25π 1.75π0.75π 2.25π

Page 44: Mate 11 u5

98 Matemática - Segundo Año

Lección 4

Actividad 1: b) Desarrollando cos 23π

asi:

cos 2 = cos π π3 3+

= cos

π3

cos π3

– sen π3

sen π3

c) Desarrollando tan 56

π asi:

tan tan

tan tan

56 2 3

2 3

1

π π π

π π

= +

=

− ttan tanπ π2 3

Lección 5

Actividad 1: 1. cos x = −2

2 está asociado con un triángulo de referencia de

45º en el 2º y 3º cuadrante. Luego, las soluciones para x son

3

454

π π,

2. b) Como tan θ = 1, este valor corresponde a θ π=

4 rad y

7

rad, pero como este último valor cae fuera del intervalo [–π, π], no forma parte de la solución, − 3

también es solución. 4. sen 2x = sen x; pero sen 2x = 2 sen x cos x, por lo que

2 sen x cos x = sen x; por lo que 2 sen x cos x – sen x = 0 y al factorizar: sen x (2 cos x – 1) = 0. Luego, sen x = 0,

lo que nos da x = 0, π, y 2 cos x – 1 = 0 nos da cos x = 12

lo que implica x = π π3

53

, , por lo que x = 0, π, π π3

53

,

Solucionario

Page 45: Mate 11 u5

Segundo Año - Matemática 99

Proyecto

La cooperativa pesquera de la playa El Cuco, con el apoyo del Servicio Meteorológico, determina que la marea sobre su nivel medio está dada por la expresión y = 2.1 cos 0.45 t, donde y está dado en metros y t en horas, para fines de hacerse a la mar, los pescadores están interesados en averiguar:

a) La altura de la marea a las 9:30 a.m y a las 2:50 p.m.

b) A qué horas la altura sobre el nivel medio es de 2.5 m

c) Trazar dos periodos de la gráfica.

Ayúdale a los pescadores a resolver esta situación.

Nota: considera t = 0 a las 6:00 a.m por lo que se comienza con 2.1 metros, ya que y = 2.1 cos(0.45)(0) = 2.1 cos 0 = 2.1

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100 Matemática - Segundo Año

Recursos

BARNETT, Raymond, Álgebra y trigonometría. Editorial Mc Graw Hill, tercera edición, Colombia, 1990

FLEMING, Walter y Varberg, Dale. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Editorial Prentice Hall, tercera edición, México, 1991

JURGENSEN, Ray; Donnelly, Alfred y Dolciani, Mary, Geometría moderna. Editorial Publicaciones Cultural, tercera reimpresión, México, 1972

http://www.youtube.com/watch?v=pslHAPjZNv0

http://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sinusoidal

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UNIDAD 5

Segundo Año - Matemática 101

Colofón

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UNIDAD 5

102 Matemática - Segundo Año