GEOMETRÍA ANALÍTICA

Rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes.

En general, una línea recta se puede representar siempre utilizando una ecuación lineal en dos variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0. De la misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola.

PLANO CARTESIANO 1. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: La

distancia entre dos puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2); puede encontrarse usando la fórmula:

2

12

2

12 yyxxd

2. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO: Sean los

puntos extremos del segmento P1(x1; y1) y P2(x2; y2); el punto medio se calcula usando la fórmula:

3. BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO: Sean los vértices del triángulo A(x1;y1); B(x2;y2) y C(x3;y3), las coordenadas del baricentro son:

33

321321 yyyy

xxxx

4. DIVISIÒN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA: Dado el segmento de extremos A y B, cuyas coordenadas son A = (x0;y0), B = (x1;y1) y M es un punto de AB, tal que: M = (x;y). Luego las coordenadas del punto M se determinaran mediante: Considere: AM = r MB

5. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. Puede

calcularse dados las coordenadas de sus vértices.

P R A C T I Q U E M O S 1. Uno de los extremos de un segmento

rectilíneo de longitud 5 cm es el punto P (3, -2). Si la abscisa de un extremo es 6. Hallar su ordenada.

2. El segmento PQ tiene extremos P( 6 ; y ) y

Q( x; 20) y las coordenadas de su punto medio son ( 10; 14). Calcular ( x+y )

3. Calcule el área de un cuadrado cuyo centro

es el origen y dos de sus vértices son: (2;0) y (0; -2)

4. Se dan las coordenadas de los vértices de un triángulo ABC; A=(-2;-1), B=(4;7) y C=(10;-1) Hallar el perímetro del triángulo

5. Los puntos A(-3;1), B (1;5), C (7;3), son los

vértices del triángulo ABC. Calcular la medida de la altura más corta

6. En el triángulo dos de sus vértices son

A(1;3); B(7;1); además el baricentro es G(5;0) ¿Cuál es la coordenada del vértice?

7. Los puntos A(-4;-3); B(-1;5); C(10;9) y D(7;1)

son los vértices de un paralelogramo. ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de sus diagonales?

8. Dos vértices de un triángulo equilátero ABC,

son los puntos A(-1, -5) y B(-4,2). Hallar su área.

9. Hallar el área del polígono cuyas

coordenadas de los vértices son: A(1,5), B(-2, 4), C(-3, -1), D(2, -3), E(5, 1).

10. ABC es un triángulo equilátero. Las

coordenadas de B y C son respectivamente: (8; 5) y (14; 5). Halle las coordenadas de A

11. Dado el rombo ABCD de lado 5x10½ y dos de

sus vértices opuestos: A(4;9); C(-2;1). Hallar su área

12. Los puntos A(-8;-5), B (-2;6), C (4;0), son los

vértices del triángulo ABC. Calcular la medida de la mediana más corta

13. Los vértices de un triángulo ABC son A(2;7), B(5;1) y C(x;3); si su área es 18 u2 determinar el valor de la abscisa de C.

14. A(3;1); B(1;-3) son las coordenadas de dos

vértices de un triángulo de 3cm2; si el baricentro pertenece al eje de las abscisas. Halle el vértice C

15. Si A(-3;4); B(4;5) y C(1;-4) son vértices de un

triángulo; encontrar las coordenadas del circuncentro del triángulo.

16. Las ciudades A, B y C están localizadas en (0;0) , ( 288 ; 120 ) y ( 408 ; 345 ) , respectivamente, con las distancias en kilómetros. Hay carreteras rectas entre A y B y entre B y C, pero solo la ruta aérea va directo de A a C. Cuesta $ 0,5 por kilómetro enviar un paquete en camión y $ 0,8 por kilómetro en avión. Calcule la forma más barata que hay para enviar paquetes de A a C y determinar cuánto dinero se ahorra eligiendo esta forma de envío.

ECUACIÓN DE LA RECTA

Es una expresión matemática que sólo se verifica o satisface para los puntos de la recta.

De acuerdo a la forma de la ecuación se tiene la ecuación punto-pendiente y la ecuación general.

Ecuación Punto Pendiente

Ecuación General: ax + by + c = 0

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PARTICULAR " MUNDO MEJOR" Dirigido y promovido por:

La Congregación de Hermanos Cristianos en el Perú ALUMNO(A).................................................................................. FECHA:.................... TEMA: GEOMETRÍA ANALÍTICA GRADO: CUARTO: A–R–V PROF: CARLOS VILLAR

2;

22121 yyxx

M(0,b)

(a,0) 0

bmxy:L

º

L

x

y

X = X0 +r X1

1+r

Y = Y0 + rY1

1+r

Recta que pasa por el origen de coordenadas

RECTAS PARALELAS

Dadas dos rectas que responden a las siguientes ecuaciones:

y1 = m1 x + b1 y2 = m2 x + b2

Dichas rectas serán paralelas si: m1 = m2

RECTAS PERPENDICULARES Dadas dos rectas y1 , y2 que responden a las siguientes ecuaciones: y1 = m1 x + b1 Y2 = m2 x + b2

Si: m1 = 2m

1

las rectas serán perpendiculares.

Casos particulares: Si: m = 0 resulta y = b = constante

será una recta paralela al eje x.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Dadas las coordenadas de dos puntos de una recta es posible encontrar la ecuación de la recta que determine. Dados Po (xo ; yo) y P1 (x1 ; y1), dos puntos cualesquiera, representamos ambos en el plano:

de donde; y – yo = o1

o1

xy

yy

(x – xo)

17. Halla la ecuación principal de la recta que pasa por los puntos P(- 3, 2) y Q(4, 5).

18. Encuentra la ecuación de la recta que tiene

pendiente m = 3 y pasa por el punto P(1, -1). 19. Halle la ecuación general de la recta que

pasa por el punto P(2, 5) y corta al eje X en el punto que la recta de ecuación y = x - 4.

20. Verifica analíticamente si los puntos A(2, 3),

B(-1, -3) y C(0, -1) son colineales.

21. Una recta es paralela a la recta que pasa por los puntos P(2, 3) y Q(4, -2). Determina su ecuación general, sabiendo que la recta pasa por el origen.

22. Los puntos P(0, 1), Q(2, 7) y R(a, -2) son

colineales. Calcula el valor de a.

23. Sabiendo que P = ( a, a +2 ) pertenece a la recta de ecuación 2x + 3y -1 = 0, Calcular las coordenadas de dicho punto.

24. Sean los puntos A ( 3,5 ), B ( 7, -1), C ( 0,0 )

y D (12, 8 ). ¿Es AB // CD?

25. Determinar el valor de p, de forma tal que: px –y –1 = 0 y ( p—1)x + py + 10 = 0 sean perpendiculares.

26. Escribir la recta que pasa por ( 8, -2 ) y que

es perpendicular a la recta 5x – 3y = 7.

27. Las coordenadas de 3 de los vértices de un rombo ABCD son A(-2,3); B(-5,1); C(-2,-1). ¿Cuáles son las coordenadas del vértice D?

28. Los puntos medios de los lados de un

triángulo son (2,5); (4,2) y (1,1). Hallar la suma de las coordenadas de los tres vértices.

29. El baricentro del triángulo ABC es (3, -2) y el

punto medio del lado BC es (7; 1) Calcular la longitud de la mediana relativa a dicho lado.

30. Los vértices opuestos de un rectángulo son

los puntos A(2; -3) y C(-6; 3). Si perímetro es 24. Calcular el valor de su área.

31. Dados los puntos P(2;3) y Q(-1;0), hallar la ecuación de la recta que pasa por Q, perpendicular al segmento PQ

32. Determine la ecuación de la mediatriz del

segmento. Si: A (2,3) y B (5,8)

33. El área de un triángulo es 8 u2; dos de sus vértices son los puntos A(1;-2), B(2;3) y el tercer vértice C está en la recta: 2x + y – 2 = 0. Halle las coordenadas del vértice C.

34. Dados los vértices de un triángulo A(1;-1),

B(-2;1) y C(3;5), hallar la ecuación de la recta perpendicular trazada desde el vértice A a la mediana trazada desde el vértice B.

35. Dos rectas se intersectan formando un

ángulo de 135º, sabiendo que la recta final tiene pendiente igual a -3. Calcular la pendiente de la recta final.

36. Calcular la distancia de la recta:

3x + 4y + 4 = 0 al punto A (1; 2)

37. Hallar el área del triángulo formado por los ejes coordenados y al recta: Y = 3x - 12

38. La recta: L1: x – y – 6 = 0 es perpendicular a

la recta L2 que pasa por el punto M(1;2). Calcular las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas

39. Calcular la ecuación de la recta, cuyos

puntos equidistan de las rectas: L1: 12x – 5y +20 =0 L2: 12x – 5y – 10 =0

40. Hallar las ecuaciones de los lados de un

triángulo ABC conociendo uno de sus vértices C(4;-1) y las ecuaciones de una de las alturas 2x-3y + 12 = 0 y la mediana.

41. El punto A(-4; 5), es un vértice del cuadrado, cuya diagonal está en la recta L1 : 7x – y +8 =0. Hallar la ecuación de la segunda diagonal

42. Dadas las rectas perpendiculares L1 y L2,

secantes en el punto A(4; 5) y forman con el eje ―Y‖ una región triangular de área 16 u2. Hallar las coordenadas del punto de intersección de L2, cuya pendiente es negativa con el eje ―Y‖.

43. Hallar el área del triángulo formado por las

rectas 1L

: y = 4x – 3 2L

: y = 3x - 4

3L

: y = 2x-6

44. Una recta pasa por el punto de intersección

de las rectas: 2x – 3y – 5 = 0 y x + 2y – 13 = 0 y el segmento que determina sobre el eje X es igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuación de dicha recta.

45. Determinar los valores de k1 y k2 para que

las dos ecuaciones: k1x – 7y + 18 = 0 y 8x – k2y + 9k1 = 0 Representan la misma recta

46. Una recta L1, de pendiente negativa cuya

ordenada en el origen es 5, forma con el eje de ordenadas y con la recta L2 : 7x – y – 19 = 0, un triángulo de área 36 u2. Determinar la ecuación general de la recta L1.

47. Hallar la ecuación de una recta L de

pendiente positiva que intercepta al eje X en un punto A y a la recta L1 : x = 6 es un punto B de ordenada 8, si se sabe además que L, L1 y el eje X determinan un triángulo de área igual a 48 u2.