Mat 3 Ecuaciones de Ondas

8/15/2019 Mat 3 Ecuaciones de Ondas

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ECUACIONES DE ONDAS

Las ecuaciones de ondas describen fenómenos ondulatorios: progagacióndel sonido, propagación de ondas electromagn ticas, !ibración de cuerdas,barras " membranas, !ibraciones producidas por terremotos, oscilaciones dep ndulos " muelles, mo!imiento de ondas en un estan#ue$$$

LA ECUACIÓN DE ONDAS EN DIMENSIÓN UNO

Uno de los sistemas m%s sencillos cu"a e!olución se puede describir medianteecuaciones de ondas es la cuerda !ibrante$ En ausencia de fuer&as e'ternas,la posición u(x,t) de la cuerda en el instante de tiempo t es solución de laecuación:

u tt - c 2 u xx = 0, x [0,L], t>0

El cambio de !ariable ( ')ct, ('*ct transforma la ecuación en u (+$Integrando " !ol!iendo a las !ariables iniciales obtenemos la solucióngeneral :

u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)

ara determinar la e!olución de la posición de la cuerda con el tiempo-emos de conocer su posición inicial u(x,0) " su !elocidad inicial u t (x,0)(condiciones iniciales). Si la cuerda es infinita estos datos bastan paraobtener F " G $ Normalmente, la cuerda ser% finita " -abremos de saberadem%s #u ocurre en sus e'tremos, si est%n fi.os, libres o se mue!en dealguna forma predeterminada (condiciones frontera) $

LA CUE/DA IN0INI1A

El mo!imiento de la cuerda se calcula a partir de la fórmula de D2Alembert:

x+ct

u(x,t)= u(x-ct,0)+u(x+ct,0) + 1 ∫ u t (s,0) ds x !, t>02 2c x-ct


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El par%metro c(13r4+ es el cociente entre la tensión #ue e'perimenta lacuerda " su densidad, supuestas ambas constantes$ Estudiemos cómo semue!e la cuerda en función de c " de su estado inicial$

Supongamos primero #ue u(x,0)=ex"(-x 2 ) # u t (x,0)=0 . ara el !alor c(5 seobtiene la siguiente !isuali&ación:

Se obser!a la generación de dos ondas iguales #ue se propagan en sentidocontrario con !elocidad c.

Supongamos a-ora #ue u(x,0)=0 # u t (x,0) !ale -$ si x%-$, x si -$%x%$ " $ si x>$.

LA CUE/DA SE6IN0INI1A

Si la cuerda ocupa la región x > 0, necesitamos conocer la e!olución dele'tremo iuierdo, dada por u(0,t) (extre&o fi'o) ó u x (0,t) (extre&o li re). Conesta información, m%s los datos iniciales, podemos calcular F " G.

Supongamos #ue la cuerda est% inicialmente en reposo u t (x,0)=0 " #ue ele'tremo iuierdo est% fi.o u(0,t)=0. Supongamos #ue su posición inicial!iene dada por u(x,0)= 1 si %x%*, 0 si no . A continuación se muestra una!isuali&ación del mo!imiento de la cuerda para c(5:

LA CUE/DA 0INI1A

Si la cuerda ocupa la región x [0,L], necesitamos conocer la e!olución delos dos e'tremos$ Con esta información, m%s los datos iniciales, podemoscalcular F " G mediante el m todo de las caracter7sticas$

Supongamos #ue la cuerda est% inicialmente en reposo u t (x,0)=0 " #ue ambose'tremos est%n fi.os: u(0,t)=0 # u(L,t)=0. Supongamos #ue su posición inicial!iene dada por u(x,0)= ex"(-x 2 ). Al introducir un !alor para c, L " pulsar2e.ecutar2 se obtendr% la !isuali&ación del mo!imiento de la cuerda:

LA CUE/DA CON 0UE/8A E91E/NA

Cuando una fuer&a e'terna f(x,t) act a sobre la cuerda ;por e.emplo, alpulsar una cuerda de guitarra< la ecuación #ue rige su mo!imiento -a deincluir la fuer&a:


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u tt -c 2 u xx = f(x,t), x [0,L], t>0

La e!olución de la cuerda infinita !iene dada por la fórmula de D2Alembertpara x ! , t4+:

x+ct x+c(t-s) t

u(x,t)= u(x-ct,0)+u(x+ct,0) + 1 ∫ u t ( ,0) d + 1 ∫ ∫ f( ,s)d ds

2 2c x-ct 2c x-c(t-s) 0

Esta fórmula proporciona una información importante: el !alor de lasolución en un punto (x,t) depende sólo de los !alores de los datos en eltri%ngulo de ! rtices (x,t),(x-ct,0), (x+ct,0) (do&inio de de"endencia). /ec7procamente, el !alor de los datos en un punto (x,0), influ"e sobre la

solución en el 2cono2 de ! rtice (x,0) # 2generatrices2 de pendiente 53c(do&inio de influencia).


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ara cuerdas finitas la solución se calcula mediante series de 0ourier$ Estasseries son desarrollos en t rminos de autofunciones$ Cuando los e'tremosest%n fi.os, resultan series trigonom tricas, con funciones de base:

sin(n p x L) cos(n p ct L), sin(n p x L) sin(n p ct L), n=0,1,....

Estas funciones son los modos elementales de !ibración " est%n asociadas alos auto!alores, (n p L)2 , #ue nos dan las frecuencias elementales de !ibración de la cuerda$

LA ECUACIÓN DE ONDAS EN DIMENSIÓN DOS

Las !ibraciones de las membranas el%sticas se describen mediante laecuación de ondas en dos dimensiones$ La posición u(x,#,t) de la membranaen el instante de tiempo t es solución de la ecuación:

u tt - c 2 (u xx + u ## ) = 0, (x,#) , t>0

es la región ocupada por la membrana$ ara determinar la e!olución de laposición de la membrana con el tiempo -emos de conocer su posición inicial

u(x,#,0) " su !elocidad inicial u t (x,#,0) (condiciones iniciales). Adem%s, espreciso saber #u ocurre en el borde, si est% fi.o, libre o se mue!e de algunaforma predeterminada (condiciones frontera) $

Supongamos #ue el borde de la membrana est% fi.o u(x,#,0)=0 en ∂ . Losmodos elementales de !ibración son autofunciones asociadas al problema deauto!alores:

- c 2 (u xx + u ## ) = l u, si (x,#) u(x,#,0)=0 si (x,#) ∂ .

Si la membrana es circular, de radio a , pasamos a coordenadas polares "calculamos los auto!alores l " sus autofunciones asociadas por separaciónde !ariables:

& ( &n r a) sin(& /) sin(c &n t a ), & ( &n r a) sin(& /) cos(c &n t a ) & ( &n r a) cos(& /) sin(c &n t a ), & ( &n r a) cos(& /) cos(c &n t a )


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n=1,2, ..., &=0,1,2,...

& es la función de =essel de primer orden " &n son sus ceros, en ordencreciente$ Al introducir un !alor para c, a,n " pulsar 2e.ecutar2 se obtendr% la!isuali&ación de 0 ( 0n r a) sin(c 0n t a )

EL PROBLEMA DE LA CUERDA VIBRANTE

Si a una cuerda flexible fuertemente tensionada se le da alg n des!la"amiento inicial f#x$ % luego sesuelta& el !roblema de 'alor de frontera !ara el des!la"amiento (#x&t$ de la cuerda desde su !osici)nde e*uilibrio en el e+e x es:

∂2 Y ∂ t 2

= a 2 ∂2 Y

∂ x2 (1 )

Y (0, t )= 0 Y ( L ,t )= 0 Y ( x ,0 )= f ( x)Y t ( x ,0 )= 0 (2 )

Donde L es la longitud de la cuerda, Asumiendo una soluci)n de la forma = 3 donde - de!ende

solo de x % . de!ende solo de t& #/$ llega a ser:

X T ' ' = a 2 X ' ' T ó X ' '

X = T

''

a 2 T (3 )

lo cual muestra *ue sir'e el m0todo de se!araci)n de 'ariables, 1aciendo cada lado de la segundaecuaci)n en #2$ igual α =− λ

2

& tenemos:

X ' ' + λ2 X = 0 T '' + λ2 a 2 T = 0

ó X = C 1 cosλx +C 2 senλx;T = C 3 cosλat +C 4 senλat

Asi : Y ( x , t )= XT = (C 1 cosλx +C 2 senλx )(C 3 cosλat +C 4 senλat )(4 )

De la segunda condici)n de frontera tenemos:


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senλL = 0, estoes : λL= nπóλ = nπ L

paran = 0,1,2,3, ……..

de modo *ue: Y ( x , t )=(C 2 sen nπx L )(C 3 cos nπat L +C 4 sen nπat L )(5 )3uesto *ue la tercera condici)n de frontera en #4$ es algo com!licada& !asamos a la cuarta condici)nde frontera m5s sim!le, Esto da: C 4= 0 , As6 la soluci)n de #/$ la cual satisface la !rimera&segunda % cuarta condiciones en #4$ est5 dada !or:

Y ( x , t )= Bsen nπx L

cos nπat L

(6 )

Donde 4 = 5 2 .5 $3ara satisfacer la tercera condici)n en #4$& !rimero su!er!onemos soluciones dela forma #7$ !ara obtener la soluci)n:

Y ( x , t )=∑n= 1

∞

bn sen nπx

L cos nπat

L (7 )

Luego la tercera condici)n de frontera en #4$ re*uiere *ue:

f ( x)= ∑n= 1

∞

b n sen nπx

L (8 )

De esto tenemos usando el m0todo de las series de 8ourier:

bn=2 L∫0

L

f ( x)sen nπx L

dx(9)

% usando esto en #9$ obtenemos la soluci)n re*uerida:

Y ( x , t )= 2 L∑n=1

∞ [∫0

L

f ( x)sen nπx L

dx]sen nπx L cos nπat L (10 )La forma !recisa de la serie de!ende !or su!uesto del des!la"amiento inicial !articular f#x$ de lacuerda, Inde!endientemente de este des!la"amiento inicial& sin embargo& es !osible dar unainter!retaci)n interesante a los 'arios ti!os de t0rminos en serie #/ $,

Consideremos el !rimer termino en #/ $ corres!ondiente an = 1. A!arte de una constante& estet0rmino tiene la forma:


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sen πx L

cos πat L

Si su!onemos *ue f#x$ es tal *ue solo este t0rmino est0 !resente en la serie& esto es&

f ( x)= sen πx L & a!arte de alguna constante multi!licati'a& entonces inicialmente le cuerda tiene

la forma *ue se muestra en la figura (a) donde la escala 'ertical ;a sido aumentada, A medida *uet 'ar6a la cuerda tiende a 'ibrar como un todo alrededor de la !osici)n de e*uilibrio con una

frecuencia determinada a !artir decos πat

L % dada !or:

f 1 = a2 L

= 12 L √ ! (11 )

Donde es la tensi)n % ! es la masa !or unidad de longitud,Este ti!o de 'ibraci)n se le denomina el primer modo o modo fundamental de vibración, % lacorres!ondiente frecuencia #//$ se la frecuencia fundamenta o primera armónica.

Si f(x) es tal *ue solo el segundo terminon = 2 en (10) est5 !resente& esto es :f ( x)= sen2 πx L

a!arte de una constante multi!licati'a& la cuerda a!arecer5 inicialmente como la figura (b) , Amedida *uet 'aria la cuerda 'ibra de modo *ue la !arte !or encima del e+e x inicialmente se mue'e !or deba+o del e+e mientras *ue al mismo tiem!o la !arte !or deba+o del e+e x se mue'e !or encimade 0l& estando fi+o el !unto N en x = L/2, llamado unnodo o punto nodal. Este ti!o de 'ibraci)n sellama el segundo modo de vibración % la corres!ondiente frecuencia de 'ibraci)n est5 dada !or:

f 1 =a L

= 1 L √ ! (12 )

% se llama la segunda armónica o primer sobre tono. Note *ue la frecuencia es dos 'eces lafrecuencia fundamental #//$,

Similarmente& si f(x) es tal *ue solo el tercer t0rmino est5 !resente en #/ $& la forma inicial de lacuerda es como en la figura(c), % la cuerda 'ibra en tres secciones& los !untos 1 ó L/! " 2 ó 2L/!re!resentan losnodos o puntos nodales & los cuales son fi+os, Este ti!o de 'ibraci)n se llama eltercer modo de vibración & % la corres!ondiente frecuencia est5 dada !or:

f 3 =3 a2 L

= 32 L √ ! (13 )

llamada latercera armónica o segundo sobre tono , Note *ue esta frecuencia es tres 'eces lafrecuencia fundamental, 3rosiguiendo con esto& el n


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modo de vibración en el cual la cuerda 'ibra en n secciones con(n # 1) !untos fi+os o nodales, Lafrecuencia de esta 'ibraci)n se la n


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"n los dos casos, la cuerda es la misma coni#ual tension$ %or lo tanto, la velocidad deondas transversales es la misma

&rimer caso.

2 λ2

= L , λ= "f

3 λ ' 2

= L , λ' = 2 L3

= "f

'ividiendo una ecuaci n %or la otra tenemos$

f ' = 3 f 2

= 200 # 32

= 300 $%

Ejercicio 2

"n el ex%erimento del tubo de (undit, se nota que las acumulaciones de %olvodistan )* cm en el aire. Cuando se re%ite el ex%erimento dentro del #as

carb nico, con la misma recuencia de la uente sonora, se encuentra a )+ cm.

Cu-l es la velocidad de las ondas sonoras dentro del #as carb nico! la

velocidad de las ondas sonoras en el aires es / 0 m1s.

"ntre dos acumulaciones de %olvo tenemos3

SOLUCIÓN


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λ2 $ %or tanto3

λ2

= 17 c&; λ= 34 c&= "f

λ' 2

= 15 c&;λ ' = 30 c&= " f

'ividiendo3

λ λ'

;tene&os : λ λ'

=(( "f )" f ) λ λ'

= ""

despe(ando" ' tene&os

" = "λ ' λ

= 340 # 3034

= 300 &/ s

Ejercicio 3

Una l-mina met-lica de lon#itud 450.2 m tiene un extremo fjo y otro que vibra

transversalmente con una recuencia undamental de 200 Hz.

a .Cual es la lon#itud de onda dentro de la l-mina!


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SOLUCIÓN

"n el extremo fjo tenemos un nodo, mientras en el extremo libre existe un

vientre.

&or tanto, en el undamental, entre un nodo y un vientre, hay3

L= λ4

= 0.20 &; λ = 0.8 &

b .Cual es la velocidad de las ondas transversales en esta lamina!

SOLUCIÓN

) = λf = 0.8 x200 = 160 & /s

c .Cual es la lon#itud de onda de las ondas que %roduce esta lamina en el

aire!

SOLUCIÓN

"n el aire, las ondas tendr-n la misma recuencia, y la velocidad es

/ 0 m1s. "ntonces3

λ= "f = 340

200= 1.7 &

=I>?ACIONES DE UNA =I@A

6u%on#a que tenemos una vi#a del#ada localizada en el eje x con susextremos en x 5 0 y n3 5 4. 6i %onemos la vi#a a vibrar en la direcci ndel eje x al #ol%ear el extremo x 5 0 con un martillo, %or ejem%lo,


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decimos que la vi#a vibra lon#itudinalmente o su re vibracioneslon#itudinales. 6i denotamos el des%lazamiento lon#itudinal de cualquiersecci n transversal al tiem%o t desde su %osici n de equilibrio en x %or

7 x, t , no es di 8cil mostrar ver el "jercicio 6C que la ecuaci ndi erencial %ara el movimiento, asumiendo %eque9as vibraciones est-dada %or la misma ecuaci n di erencial como aquella %ara el resortevibrante, esto es,

∂2 *∂ t 2

= a 2 ∂2 *

∂ x2

"n este caso a es una constante dada %or a2= +

p

'onde " es el m dulo de 7oun# y % es la densidad o masa %or unidad devo:lumen. ;esolviendo 2< sujeta a varias condiciones de rontera,muchos %roblemas que involucran vibraciones lon#itudinales de unavi#a se %ueden trabajar, siendo id=ntico el %rocedimiento con aquel %arael resorte vibrante. >l#unos %roblemas de este ti%o se dan en losejercicios.

6i la vi#a se %one a vibrar en una direcci n %er%endicular al eje x, talcomo %or ejem%lo #ol%eando el lado con un martillo en vez de unextremo, decimos que la vi#a vibra transversalmente o su re

vibraciones transversales.

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