Mat 11 u1

55

SuceSioneS, técnicaS de conteo y funcioneS exponencialeS

ObjetivosdelaUnidad: Utilizarás las sucesiones aritméticas y geométricas, mediante ladeducciónyaplicacióndesutérminogeneral,quecorrespondeaintervalosespecíficos.

Aplicarásprocedimientosdeordenamientoyconteoparadeterminarelnúmerodeformasdiferentesdeseleccionargruposdeobjetosdeunconjuntodadoyaplicarlasalaresolucióndeproblemasdelavidacotidiana.

Aplicarás con seguridad las funciones exponenciales enla resoluciónde situacionesproblemáticasdelentornoescolar ysocial.

MATEMÁTICAUnidad1

Descripción del proyecto

En esta unidad trabajarás en un proyecto de la vida cotidiana en el cual podrás encontrar el interés compuesto de un préstamo aplicando elementos matemáticos, que te servirán para tomar decisiones sobre tus finanzas.

Sucesiones

Aritméticas Geométricas

Términos generales

Suma de términosInterpolaciónExtrapolación

n-ésimo término Medios

calculando el calculando

pueden ser

que se utilizan en

las determinan

Funcionesexponenciales

Características

Identificarlas

Gráficos

Dominio

Rango

Clasificación

Crecientes

Decrecientes

Principio de lamultiplicación Permutaciones Combinaciones

Técnicas de conteo

Número de arreglos

Diagrama de árbol

todos los elementos

r de n elementos

estudiaremos

en función de

definidos en un

d

Principio de la suma

apoyado por el

considerando

sus su

definiendo enque permiten

Segundo año - Matemática 57

Primera Unidad Lección1SuceSioneS aritMéticaS

Motivación

Indicadores de logro

Para descubrir cuáles son los elementos que deben ir en los espacios, comienzas observando que en cada ordenamiento existe una regla o patrón. Así:

En a) se presenta el ordenamiento de las letras del alfabeto.

En b) el ordenamiento de los meses del año.

Los siguientes literales contienen ordenamientos de números naturales.

Puedes ver que en estas series de números hay un orden, es decir un elemento o término sigue al otro; hay un primer elemento, un segundo, un tercero…

En el literal d) y e) ¿cuál es la diferencia entre un término y el siguiente?

¿Cuál es la diferencia entre el ordenamiento de d) y de e)?

¿Cuál es la diferencia entre un elemento y el siguiente en f), g), h)? Piensa y contesta.

Debes tener presente que a estas series de números que tienen un orden se les denomina sucesiones. Haz un intento de definir con tus palabras lo que es una sucesión, piensa y redacta.

¡Te daré una ayuda!

Identificarás, con interés y seguridad, una sucesión aritmética. Describirás y explicarás con seguridad, todas las características de cada

sucesión aritmética . Determinarás, con precisión, la diferencia entre dos términos

consecutivos de una sucesión aritmética. Deducirás y explicarás, con perseverancia y confianza, el término general

de una sucesión aritmética. Calcularás, con seguridad, el é-nesimo término de una

sucesión aritmética.

Utilizarás, con seguridad, el término general al calcular cualquier término de una sucesión aritmética.

Identificarás y calcularás, con interés, todos los medios aritméticos entre dos términos de una sucesión aritmética.

Aplicarás correctamente y con precisión la fórmula para obtener la suma de los primeros términos de una sucesión aritmética.

Resolverás ejercicios y problemas sobre sucesiones aritméticas, con interés y perseverancia.

Encuentra los elementos que deben estar en los espacios.

e) 1, 3, 5, 7, , , . . f) 1, 4, 9, 16, 25, , , . . .g) 8, 11, 14, 17, , , . . .h) 6, 8, 11, 16, 23, , , . .

a) A, B, C, D, , ,b) Enero, febrero, , abril,c) 1, 2, 3, 4, , ,d) 2, 4, 6, 8, , ,

Una sucesión es un conjunto de elementos ordenados, de tal manera, que no exista duda de cuál es el primero de ellos, cuál es el segundo, o cualquier otro.

UNIDAD 1

58 Matemática - Segundo año

En la siguiente fotografía hay una sucesión de personas que hacen cola para comprar su boleto de entrada al estadio Cuscatlán.

Así como están nombradas esas personas, utilizamos una notación para nombrar los términos de las sucesiones numéricas. Por ejemplo, en la sucesión 8, 11, 14, 17,... tendremo que a1 representa el primer término, a2 el segundo, a3 el tercero. . .

¿Cómo se representa el décimo término? ¡Piensa!

¿Cómo se representa el trigésimo primer término? ¡Piensa! Las respuestas a estas dos preguntas aquí las tienes.

Décimo término = 10º término = a10

a31 = 31º término = trigésimo primer término

Puedes ver que el subíndice indica la posición del término. Las notaciones de los términos de una sucesión se utilizan para calcular el término general de una sucesión.

Encontremos la diferencia entre un elemento y otro consecutivo en una sucesión aritmética

20...8,

a1

11,

a2

14,

a3

17,

a4

Ahora estudia la siguiente situación

Primer metro $15Segundo metro $35

Tercer metro $55Cuarto metro $75

Para el n – ésimo término o término general, usarás el símbolo: an

Observa esta expresión: a1 a2 a3, . . . , an, . . . ¿Qué indican los puntos suspensivos en esta sucesión?

La cooperativa “El buen amigo” necesita hacer un pozo para satisfacer sus necesidades de agua. El costo por metro excavado es de

UNIDAD 1


¿Qué observas en los precios? ¿Cuánto aumenta el precio de un metro a otro? Puedes ver que cada metro excavado cuesta $20 más que el anterior.

Si al excavar 16 metros aún no aparece agua, ¿cuánto cuesta el 17º metro?

Para resolver esta situación, de seguro razonas así:

Primero observas que la diferencia entre dos valores consecutivos es la misma.

a2 – a1 = 35 – 15 = 20

a3 – a2 = 55 – 35 = 20

a4 – a3 = 75 – 55 = 20

Para este caso d = 20

Encuentra el término general de una sucesión aritmética

Punto de apoyo

En forma general, la diferencia entre un elemento y otro consecutivo se expresa así:

d = an – an–1

donde: d, es la diferencia; an , es un número; y an–1, es el número anterior a ese número.

Observa

Cada término se obtiene sumando d al anterior.

Al segundo, le sumas 1d; al tercero, 2d; al cuarto, 3d ¿Cuántas veces d le sumas al 100º término? En fin, al n–ésimo le sumas (n – 1) d.

El término general de una sucesión aritmética lo encontrarás así:

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a1 + 2d

a4 = a1 + 3d

a5 = a1 + 4d

an = a1 + (n – 1)d

Cada término se puede calcular conociendo el primero y la diferencia.

Observa el precio de cada metro excavado y lo siguiente.

a1 = 15

a2 = 15 + 1(20) = 35

a3 = 15 + 2(20) = 55

a4 = 15 + 3(20) = 75

a12 = 15 + 11(20) = 235

a17 = 15 + 16(20) = 15 + 320 = $335

Luego, el precio para perforar el metro 17, es $ 335

UNIDAD 1


Encuentra otros términos, conociendo dos términos no consecutivos

Ahora estudiarás como se aplica la fórmula anterior. Por ejemplo, dada la sucesión 8, 11, 14, 17, . . , vas a encontrar: a) El décimo término b) a35 c) a20

Para encontrarlos, comienzas escribiendo los datos: a1 = 8, d = 17 – 14 = 3. Luego:

a) Décimo término = a10

an = a1 + (n – 1)d

a10 = 8 + (10 – 1)(3)

a10 = 8 + 9(3)

a10 = 35

¿Cómo encuentras a20?¿De qué otras formas encuentras d?

Observa que el término general an sirve para calcular el n – ésimo término (cualquier término) de una sucesión.

Considera que el primero y el quinto término de una sucesión aritmética son 2 y 14 respectivamente. ¿Cuáles son los otros términos?

Observa que en este caso tienes los datos siguientes:

a1 = 2 a5 = 14

d) 7, 12, 17, 22 , ,

e) 1, 112

, 2, , ,

f) 15, 10, 5, , , ,

a) 3, 6, 9, , ,b) 5, 10, 15, 20, , c) , , c, , e, f, ,

2. En cada caso te damos el término general. Encuentra los términos que te indicamos.

a) an = 5 + (n – 1)4: a1, a5, a10 b) an = 3 + (n – 1)7: a4, a5, a7c) an = 2 + (n – 1) (–3): a5, a8, a10

a1 a2 a3 a4 a5

1 Actividad

1. Encuentra por simple inspección los términos que deben ir en los recuadros.

b) a35

an = a1 +(n – 1)d

a35 = 8 + (35 – 1)(3)

a35 = 8 + 34(3)

a35 = 110

UNIDAD 1


Luego: an = a1 + (n – 1) d

a5 = a1 + (5 – 1) d Sustituyendo

14 = 2 + 4d

14 – 2 = 4d

12 = 4d

d = 124

= 3

Como la diferencia es 3, los otros términos son:

a2 = 2 + 3 = 5

a3 = 2 + 2(3) = 8

a4 = 2 + 3(3) = 11

Puedes ver que en este ejercicio encuentras los términos que están entre el primero y el n – ésimo. Es decir que has encontrado los términos entre 2 y 14. Los términos que encontraste se llaman medios aritméticos. Al procedimiento anterior se le denomina interpolación de términos.

Actividad 2a) Encuentra cuatro medios aritméticos entre 7 y 27 hazlo en tu cuaderno.

b) Comprueba que la suma de los términos anteriores es 102.

UNIDAD 1


Observa que la suma del primero y último término es igual al del segundo y penúltimo y así sucesivamente.

Esto nos permite plantear la suma de los 8 términos, S8, de dos formas.

10 12 14 16 18 20 22 24

Suman 34

Suman 34

10

24 22

12

20

14

18

16

16

18

14

20

12

22

10

24+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ + + + + +

+

34 34 34 34 34 34 34 34

8 veces 34Sumandoambasigualdades

S8 =

S8 =

2S8 =

2S8 =

S8 =

34 × 8

34 × 82

= 136

10

a1

12

a2

14

a3

16

a4

18

a5

20

a6

22

a7

24

a8

Calcula la suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética

Si necesitas hacer un tejado colocando las tejas de tal forma que en la primera fila haya 10, en la segunda 12. . . Hasta llegar a un total de 8 filas.

¿Cuántas tejas necesitas?

Para resolver esta situación escribes el número de tejas de cada fila.

Necesito 136 tejas en total.

UNIDAD 1


Puedes ver que 34 es la suma del primero y del último término (a1 + an), y 8 el número de términos (n) luego, en general para calcular la suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética aplicamos la fórmula siguiente.

Sn = n a an( )1

2 +

Observa como ahora puedes calcular la suma de los primeros 25 números pares

La suma es 2 + 4 + 6 +

Como no tenemos el último término, a25, lo vamos a calcular.

a1 = 2 an = a1 + (n – 1) d

n = 25 a25 = 2 + (25 – 1)2

d = 2 a25 = 2 + (24)2

a25 = 2 + 48 = 50

Sustituimos los datos en la fórmula Sn = n a an( )1

2 +

S25 = 25 2 50

2650

( ) +=

La suma de los primeros 25 números pares es 650. Es decir:

2 + 4 + 6 + + 50 = 650

1. Encuentra el valor de las siguientes sumas.

a) 3 + 6 + 9 + + 60b) 5 + 10 + 15 + + 100

2. Halla la suma de los primeros 15 múltiplos de 6.

Actividad 3

Resumen

En esta lección conociste las sucesiones aritméticas. Sus elementos principales son el primer término y la diferencia entre un término y el siguiente. Con ellos puedes conocer cualquier término de la sucesión. También puedes calcular la suma de términos de una sucesión con la respectiva fórmula.

UNIDAD 1


Autocomprobación

Soluciones

Jorge reúne 50 arbolitos de naranjo para sembrarlos en línea recta. El primero está a 6 m de donde él se halla, y cada uno de los otros a 6 m del anterior. Jorge sólo puede cargar un arbolito por vez. Al terminar de sembrar cada arbolito regresa al punto de partida, que es donde reunió los 50 arbolitos. La distancia total que camina Jorge es:

a) 7,650 m c) 15,300 mb) 2,000 m d) 1,000 m

4 El cuarto término de una sucesión aritmética con d = 3 y a20 = 100 es:

a) 20b) 26c) 60d) 52

2

1 El décimo término de la sucesión 3, 8, 13,. . . es:

a) 33b) 48c) 24d) 50

3 Se tiene una cantidad de trozos para aserrarlos. En la primera capa se ubican 24; en la segunda, 22 ; en la tercera 20 y así sucesivamente. Si la última capa tiene 10 trozos, el total de trozos es:

a) 136 c) 8b) 34 d) 2

Para llegar a la firma de los Acuerdos de Paz de enero de 1992 en El Salvador, se dio una

sucesión de hechos. Entre ellos están:

Lo anterior no es sucesión aritmética, pero es

una sucesión de hechos que es importante conocerla.

LOS ACUERDOS DE PAZ

1. b. 2. d. 3. a. 4. c.

Alto al fuego. Nombramiento de representantes. Propuestas de reforma en las áreas

social, seguridad y judicial. Establecimiento de derechos

humanos. Tratamiento de la impunidad. Establecimiento de ONUSAL.


Primera Unidad

Motivación


Para que respondas a la pregunta inicial se te sugiere construir una tabla como la siguiente:

Para que veas cómo van en aumento los términos de la sucesión 2, 2.3, 2.32, 2.33,. . . te diremos que a las 12 del mediodía. . . ¡2.316 = 86 093 442 personas conocen el rumor!

Después de estudiar esta lección, habrás descubierto métodos para resolver este tipo de problemas.

Deducirás y explicarás, con interés y seguridad, el término general de una sucesión geométrica.

Utilizarás, con seguridad, el término general para calcular cualquier término de una sucesión geométrica.

Identificarás y calcularás los medios geométricos entre dos términos de una sucesión geométrica, con seguridad e interés.

Aplicarás con precisión la fórmula para la obtención de la suma de términos de una sucesión geométrica.

Resolverás correctamente y con interés ejercicios y problemas aplicando las sucesiones geométricas

Vilma y Balmore investigan con que velocidad se corre un rumor. Para ello inventan uno a las 8 de la mañana. A los 15 minutos cada uno de ellos se lo transmite a 3 amigos. Después de otro cuarto de hora, éstos le comunican el mismo rumor a otros tres amigos los cuales lo transmiten a otros tres. Y así sucesivamente.¿Cuántas personas conocen el rumor a las 12 del mediodía?

SuceSioneS GeoMétricaS

Lección2

Hora N° de personas8:00 28:15 68:30 188.45 549:00 1629:15 486

¿Podrías encontrar el siguiente término de las sucesiones a continuación?

3, 6,12, 24, , ,

2, 6, 18, 54, , ,

200, 100, 50, 25, , ,

UNIDAD 1


Observarás que en la primera sucesión, cada término se genera multiplicando el anterior por 2. En la segunda, multiplicas por 3 para encontrar el siguiente término. ¿Cómo se generan los términos en la tercera sucesión?

Haz lo siguiente:

Divide en la primera sucesión el segundo término por

el primero 63

divide el tercero por el segundo 126

y así

sucesivamente divides cada término por el anterior.

Observas que el resultado es el mismo ¿verdad?

Haz lo mismo con las otras dos sucesiones. Todos los cocientes en cada una de las sucesiones te dará el mismo resultado. Pues bien a esto se le llama Razón.

¿Cuál es la razón de la sucesión 5, 15, 45. . .? ¿Cómo la encuentras?. Puedes ver que:

r = =45

153 ó r = =

15

53

O sea, la razón de una sucesión la encuentras dividiendo un término entre el anterior. Es decir:

raa

aa

aa

aa

n

n

= = = =−

2

1

3

2

4

3 1

...

Encuentra la razón en una sucesión

Y para cualquier an, así:

an = a1 rn-1

Esta última expresión representa el término general de una sucesión geométrica.

Los ejemplos de sucesiones en donde puedes encontrar la misma razón entre dos términos seguidos uno del otro se llaman sucesiones geométricas. ¿Cómo defines una sucesión geométrica?

Término general de una sucesión geométricaSi en una sucesión geométrica el primer término es a1 y la razón es r, entonces:

Primer término = a1

Segundo término = a2 = a1r

Tercer término = a3 = a1r2

Cuarto término = a4 = a1r3

Al conocer el primer término a1 y la razón r, puedes conocer cualquier término.

Observa en los términos anteriores que existe una relación entre el orden del término y el exponente de r. Luego para encontrar a101 escribimos Así:

a101 = a1r 101-1 = a1 r 100

Una sucesión geométrica es aquella en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón geométrica o razón.

UNIDAD 1


Considera la sucesión 3, 6, 12, 24,. . .Ahora, encuentra el 11° término de ella.

Lo primero que debes hacer es escribir los datos.

a1 = 3 r = =12

62 n = 11

Luego, el término general te permite calcular cualquier término, o sea, el n-ésimo:

Para ello sustituimos los datos anteriores en la fórmula a a rn

n= −1

1

a11 = 3(2)11-1 =3(2)10=3(1024)=3072

En cada paso anterior verifica las operaciones con tu calculadora. Por lo tanto el décimo primer término de 3, 6, 12, 24, . . . es 3072.

Ejemplo 1

Ahora encuentra el décimo término de la sucesión 4096, 2048, 1024, 512, . . .

Solución:

Datos: a1 = 4096, r = =1024

2048

12

n = 10

Luego, sustituyendo los datos en an = a1 r n-1

a1010 1

9

9

9

4096

4096

409612

1

2

1

2

=

=

=

-

=

=

=

4096

40965128

1

512

El décimo término de la sucesión 4096, 2048, 1024,. . . es 8.

El diente de león o dandelión es una planta con aplicaciones en medicina biológica. Una planta de dandelión da unas 100 semillas. Si el terreno que la rodea permitiera que todas germinaran, un año después habría 100 plantas, y así sucesivamente

Luego de 8 años las plantas de dandelión cubrirían toda la Tierra, ésta tiene una superficie de:

135 000 000 000 000m2

Años N° de plantas1 12 1003 10 0004 1000 0005 100 000 0006 1000 000 0007 1000 000 000 0008 100 000 000 000 000

Cálculo del n-ésimo término

Planta dandelión

UNIDAD 1


Observa la siguiente sucesión geométrica:

8, , 128

¿Cómo encuentras los términos que faltan?

1. Un estudiante toma un pliego de papel con un espesor de 0.1 mm, dobla el pliego por la mitad, luego al volverlo a doblar obtiene un espesor cuatro veces el original. Supón que el pliego original es lo suficientemente grande que puede efectuarse 50 dobleces.

¿Cuál es el espesor del fajo resultante?

Solución

Puedes ver que la sucesión de espesor es 0 . 1 , 0 . 2 , 0 . 4 , 0 . 8 ,. . .

Luego r = =02

012

.

. a1 = 0.1 n = 50

Sustituyendo en la fórmula del n-ésimo termino, comprueba que la respuesta es ¡Más de 56 millones de kilómetros! (esto no es posible fisicamente, aunque matemáticamente se pueda encontrar)

2. Copia en tu cuaderno las siguientes sucesiones y escribe los términos que faltan.

a) 1, 5, 25, , , , . . . c) 256, 128, 64, , , , . . .

b) 3, 6, 12, , , , . . . d) 11214

, , , , , , . .

3. Escribe los cinco primeros términos de una sucesión geométrica si:

a) a1 = 2, r = 5 b) a1 = 200, r = 15

c) a1 = 1, r = 3

4. Calcula el duodécimo término de la sucesión 4, 8, 16,. . .

5. Determina el noveno término de la sucesión 2187, 729, 243,. . .

Para encontrar los términos que están entre 8 y 128, comienzas escribiendo los datos:

a1 = 8 a5 = 128 n = 5

Como lo estudiaste en la fórmula del término general, ¿qué elementos necesitas para calcular los términos de una sucesión geométrica? Como lo recordarás, estos elementos son el primer término a1 y la razón r.

Como a1 = 8, entonces necesitas conocer el valor de r.

Actividad 1

Punto de apoyo

Te recordarás que toda raíz par tiene dos signos 25 5=± , ya que 52 = 25 y (–5)2 = 25; ¿Cuántas

raíces tiene toda raíz impar, por ejemplo -83 ?

Interpolación geométrica

UNIDAD 1


Despejando entonces r en la fórmula del término general,

tendremos: raann=1

1-

Con esta fórmula puedes calcular la razón, conociendo el primer término y el n-ésimo.

Observa cómo se aplica la fórmula anterior.

Sustituyendo los datos an = a5 = 128, a1 = 8 n = 5

Tendremos: r = = =±1288

16 25 1 4-

Retomando el ejemplo anterior:

a) Conociendo a1 = 8 y r = ± 2, calculas los términos que faltan. Con r = 2:

a2 = a1r = 8(2) = 16

a3 = a1r2 = 8(2)2 = 32

a4 = a1r3 = 8(2)3 = 64

Al escribir la sucesión, te queda así: 8, 16, 32, 64, 128,…

b) Si r = – 2, los términos son:

a2 = a1r = 8(–2) = –16

a3 = a1r2 = 8(–2)2 = 8(4) = 32

a4 = a1r3 = 8(–2)3 = 8(–8) – 64

Luego, al escribir la sucesión te queda así: 8, −16, 32, −64, 128,…

Así como estudiaste en las sucesiones aritméticas, cuando encuentras dos o más términos entre dos términos dados, dices que has interpolado dichos términos, en este caso les llamaremos medios geométricos.

Ahora vamos a interpolar cuatro términos entre 4 y 18

de modo que formen una sucesión geométrica.

Conviene visualizar los datos en el esquema siguiente.

4, , , , , 18

Como vas a interpolar 4 términos y tienes dos de ellos,

n=6, a1=4, a6 = 18

La fórmula de la razón es raann= −

1

1

Sustituyendo los datos r = = =−

184

132

12

6 15

Ahora como a1=4, multiplicas por 12

para obtener el

siguiente término y así sucesivamente hasta llegar a 18

Por tanto la sucesión es: 4, 2, 1, 121418

, ,

UNIDAD 1


Suma de términos de una sucesión geométrica

1. Encuentra los términos que faltan en las siguientes sucesiones geométricas

a) 3, , 96 b) 1, , 81 c) 243, , 9

En una pequeña finca de café, se cortan tres arrobas de café el primer día, seis el segundo, doce el tercero y así sucesivamente.

¿Cuántas arrobas se cortan luego de siete días?

Para resolver este problema, comienza escribiendo los términos de la sucesión.

3, 6, 12, 24, . . . .

Observa

Los elementos de 2S se cancelan con los de –S excepto 3(2)7 de la primera ecuación y -3 de la segunda ecuación.

¿Cuántas arrobas se cortan en el séptimo día? Seguramente tu respuesta fue:

a7 = 3(2)7 – 1 = 3(2)6

Completando la sucesión, tendremos: 3, 3(2), 3(2)2, 3(2)3,. . . , 3(2)6

La suma que vas a calcular es: S = 3 + 3(2) + 3(2) 2 + 3(2) 3 +. . . + 3(2) 6

Multiplicando la igualdad por r = 2: 2S = 3(2)+3(2) 2+3(2) 3+3(2) 4+. . . 3(2) 7

Ahora sumando 2 S con –S obtienes:

2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 22 3 4 5S = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )) + ( )

− = − − ( ) − ( ) −

6 7

2

3 2

3 3 2 3 2 3 2S (( ) − ( ) − ( ) − ( )− =

3 4 5 63 2 3 2 3 2

2 3 2S S (( ) −7 3

Factor común: S (2 – 1) = 3(27 – 1).

Luego, despejando S =−( )−

=3 2 1

2 1381

7

Lo que significa que en siete días se cortan un total de 381 arrobas de café.

Actividad2

UNIDAD 1


Siguiendo el proceso anterior, calcula la suma de los primeros diez términos de la sucesión 5 + 5(3)+ 5(3)2+. . . Seguramente llegas a la siguiente expresión

S = =5 3 13 1

147 62010( - )-

,

La suma de los 10 primeros términos es 147,620

Observando los procedimientos anteriores, puedes ver que llegamos a las siguientes expresiones para la suma. ¿Qué elemento de la sucesión respectiva aparece en cada uno?

S =3 2 12 1

7( - )-

S =5 3 13 1

10( - )-

Puedes comprobar que:

3 = a1 5 = a1

2 = r 3 = r

7 = n 10 = n

Resumen

En esta lección conociste las sucesiones geométricas. En ellas, cada término se genera al multiplicar el anterior por un número fijo llamado razón. Para calcular cualquier término de una sucesión necesitamos el primer término de una sucesión y la razón. Dados el primer y otro cualquiera, calculamos la razón aplicando la fórmula respectiva. La suma de los primeros n términos de una sucesión geométrica la calculas si tienes el primer término, la razón y el número de términos. Las sucesiones geométricas sirven de modelo a fenómenos biológicos, de comunicación, etc.

Luego, las situaciones anteriores sugieren la siguiente fórmula para la suma de términos de una sucesión geométrica:

Sa rr

n

= 1 11

( - )-

Así, para calcular la suma de los primeros ocho términos de 2, 6, 18, . . , comienzas escribiendo los datos.

a r n1 2186

62

3 8= = = = =

Ahora escribes la fórmula para la suma y sustituye los datos.

Sa r

r

n

=( )

=( )

=( )

=

1

8

1

12 3 1

3 12 6 561 1

22 6 5

−−−−

−,

, 6602

6 560

( )

= ,

La suma de los 8 promeros términos es 65,60.

UNIDAD 1


Autocomprobación

4 Para convertir cm2 a dam2:

a) Multiplicas por 100b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000d) Multiplicas por 1 000,000

2 Diez centímetros cuadrados equivalen a:

a) 1 m2

b) 0.01 m2

c) 0.10 m2

d) 0.0010 m2

1 La unidad básica de superficie del SI es:

a) El km2

b) El cm2

c) El m2

d) El hm2

3 10,000 m2 equivalen a

a) 1 km2

b) 2 km2

c) 1 dam2

d) 1 hm2

Un nenúfar es una planta acuática que vemos en los lagos. En condiciones ideales al reproducirse la planta se duplica cada día. Si un nenúfar tarda

un mes en cubrir la superficie de un lago ¿Cuánto tardan en cubrirla dos nenúfares?

Analiza el siguiente razonamiento: Si tienes un nenúfar, el segundo día ya hay dos. Si tienes dos plantas al inicio, éstas necesitan un

día menos en cubrir la superficie del lago. Esto significa que dos nenúfares van a cubrir

todo el lago en 30 – 1 = 29 días.Haz un esquema y comprueba la

respuesta anterior.

1. d. 2. c. 3. a. 4. d. Soluciones

NENÚFAR Y SUCESIONES GEOMÉTRICAS

4 La suma de los primeros ocho términos de la sucesión 5, 10, 20, 40,. . . es:a) 255b) 640c) 1,280d) 1,275

2 La razón de la sucesión 6, 12, 24,. . . es:a)

12

b) 4c) 2d) 3

1 De las siguientes sucesiones la que corresponde a una sucesión geométrica es:a) 1, 4, 9, 25,. . .b) 5, 9, 13, 17,. . .c) 100, 90, 80, 70,. . d) 5, 10, 20, 40,. .

3 Dada la sucesión 5, 15, 45, , el término que va dentro del cuadro es:a) 135b) 270c) 90d) 25


Primera Unidad

Motivación


El principio de la multiplicación

Luisa almuerza en el comedor “El buen gusto”. El menú es el siguiente:

Deducirás, utilizarás y explicarás el principio de la multiplicación para el cálculo de la posibilidad de ocurrencia de dos o más eventos aleatorios con autonomía y confianza.

Resolverás problemas utilizando el principio de la multiplicación con seguridad.

Deducirás, utilizarás y explicarás, con autonomía confianza, el principio de la suma para el cálculo de la posibilidad de ocurrencia de dos o más eventos aleatorios.

Calcularás la posibilidad de dos eventos excluyentes utilizando el principio de la suma, con interés y confianza.

Resolverás problemas utilizando el principio de la suma con seguridad

Resolverás, con interés y confianza, problemas del entorno que involucren la aplicación combinada de los principios de multiplicación y suma.

Resolverás problemas de aplicación sobre la factorial de un número con seguridad y confianza.

Resolverás problemas con seguridad y orden, aplicando el diagrama de árbol.

El club de observadores de pájaros de El Salvador está formado por cuatro hombres y 2 mujeres. En la toma de posesión se toman una fotografía. Además, van a elegir los cargos de presidente, vicepresidente y secretario o secretaria.a) ¿De cuántas maneras pueden formarse para

su foto?b) ¿De cuántas maneras pueden elegir sus

tres directivos?c) ¿Y si el presidente debe ser mujer y el

vicepresidente hombre?Para contestar éstas y otras preguntas similares, necesitas conocer dos técnicas o métodos de conteo: el principio de la multiplicación y el de la suma.

técnicaS de conteo

Lección3

Plato principalCarne

Pollo

SopasGallinaPatas

Frijoles

Luisa puede elegir una sopa y un plato principal por $ 2.00. ¿Cuántos menús diferentes puede elegir Luisa?

UNIDAD 1


Observa que cada menú se considera como un recorrido compuesto por dos tramos:

Sopa Plato principal1. Gallina Carne2.3. Patas4.5. Frijoles6. Pollo

Si hay sopa de gallina, patas o frijoles blancos; plato principal de rellenos o pollo y postre de fruta o torreja.

a) Escribe un listado de al menos cinco opciones en que puedes elegir tu menú.

b) ¿Cuántas posibilidades hay en total?.

Uno corresponde a sopas y otro al plato principal. ¿De cuántas maneras puede llegar del punto A al punto B? Fíjate que Luisa puede recorrer el primer tramo de 3 maneras. Por cada una, puede recorrer el segundo tramo de 2 formas; o sea, Luisa puede llegar de A a B de 3 × 2 = 6 maneras.

Copia en tu cuaderno la tabla y completa los espacios para enumerar los seis recorridos (menús) que Luisa puede elegir.

Del ejemplo anterior llegas a la siguiente regla, conocida como principio de la multiplicación.

Si hay m maneras en que puede darse un evento M y n maneras en que puede darse otro evento N entonces hay m × n formas en que pueden darse ambos eventos.

El principio de la multiplicación puede ampliarse a más de dos eventos.

Número de maneras = m × n × p × s. . .

Evento Nº de manerasElegir una sopa 3Elegir un plato principal 2Elegir un postre 4

Observa cómo se aplica esta fórmula. Luisa puede elegir un menú entre 3 sopas, 2 platos principales y 4 postres. ¿De cuántas formas puede arreglar su menú?

frijoles pollo

patasA B

gallina carne

Actividad 1Si escribes cada tarea y el número de formas en que puede darse, tienes:

Luego, por el principio de la multiplicación:

Nº total de maneras = 3 × 2 × 4 = 24

UNIDAD 1


A continuación te presentamos varias situaciones para que las resuelvas aplicando el principio de la multiplicación.

a) Un fabricante saca a la venta 5 bases para lámpara y 4 pantallas que pueden usarse juntas. ¿Cuántas lámparas o arreglos pueden formarse?

b) En una venta de comida rápida, el menú del día contempla 2 clases de sopas, 4 platos principales, 5 postres y 3 refrescos. Si Mirna elige una variedad de cada categoría, ¿de cuántas formas puede formar su elección.

Nº total de maneras = × × × =

c) ¿De cuántas maneras pueden acomodarse 6 libros en un estante con 6 espacios disponibles?

Actividad 2

Ejemplo 1

En la elección de una junta directiva de tu comunidad hay 4 candidatos a presidente, 3 candidatos a secretario y 5 candidatos a tesorero.

a) Define las tareas y el número de formas en que puede darse cada una.

b) Calcula el número de maneras resultantes de la elección.

Solución:

a) Al definir eventos y el número de formas en que puede darse cada uno te queda:

b) Por el principio de la multiplicación, el proceso de selección completo es:

Nº total de maneras = 4 × 3 × 5 = 60

Evento Nº de manerasElegir un presidente 4Elegir un secretario 3Elegir un tesorero 5

Ejemplo 2

Para determinar el número de formas en que puedes colocar 3 de 6 libros en tres espacios disponibles lo hacemos así: 6 × 5 × 4 =120 formas.

¿De cuántas maneras puedes ordenar 5 de 6 libros en un estante con 5 espacios disponibles?

UNIDAD 1


Diagrama de árbol

El principio de la multiplicación te permite encontrar el número de arreglos o maneras en que pueden darse dos o más tareas. Así, si por ejemplo para ir a trabajar, Sonia dispone de dos faldas y tres blusas.

Si quisieras enumerar las formas o arreglos con los cuales Sonia se viste, existe una herramienta que te permite encontrarlos con facilidad. Esta herramienta recibe el nombre de diagrama de árbol.

¿En qué consiste el diagrama de árbol? La respuesta a esta pregunta te la mostramos en los siguientes ejemplos.

Sonia dispone de 2 faldas: 1 azul (A), y una café (C), además de tres blusas: una blanca (B), una celeste (Ce) y una gris (G). Calcula el número de formas en que Sonia puede vestirse con blusa y falda y enuméralas.

La situación corresponde obviamente al principio de la multiplicación:

Nº total de maneras = 2 × 3 = 6

Para encontrar o enumerar los arreglos que resultan construimos el diagrama de árbol.

Partimos de un punto cualquiera; de él sacamos dos ramas, una para cada falda: azul o café. De cada falda sacamos tres ramas para cada blusa: blanca, celeste o gris.

Si Sonia elige la falda azul (A), la blusa puede ser blanca (B) y el arreglo es A B. Si elige la falda A y la blusa Ce, el arreglo es A Ce. Siguiendo este procedimiento obtienes las seis maneras.

A

C

BCeG

BCeG

1) A B2) A Ce3) A G

4) C B5) C Ce6) C G

Blusas ArregloFaldas

Si lanzas al aire una moneda de 25 centavos y otra de 10, ¿de cuántas maneras pueden caer las monedas? Enuméralas

UNIDAD 1


Cada moneda puede caer de dos formas: cara (c) o número (#). Luego, el número de formas en que caen ambas es: Nº total de maneras = 2 × 2 = 4. Para hallar esas cuatro maneras, construyes el diagrama de árbol. Seguramente llegas a la siguiente respuesta: c #, c c, # #, # c; donde # significa número y c significa cara. ¿Es lo mismo c # que # c?

Principio de la suma

Consideras de nuevo a los miembros del club de observadores de pájaros de El Salvador. ¿De cuántas maneras pueden elegir su directiva de tal manera que si el presidente es mujer los otros dos son hombres; o si el presidente es hombre los otros directivos son mujeres?

Construye el diagrama de árbol correspondiente al lanzamiento de:

a) Tres monedas de diferente denominación b) Cuatro monedas de diferente denominación

Primera situación que puede darseEvento N° de maneras

El presidente es mujer 2

Los otros dos son hombres

El vicepresidente es hombre 4

El secretario es hombre 3

N° total de maneras = 2 × 4 × 3 = 24

Segunda situación que puede darseEvento N° de maneras

El presidente es hombre 4

Los otros dos son mujeres

El vicepresidente es mujer 2

El secretario es mujer 1

N° total de maneras = 4 × 2 × 1 = 8

Actividad 3

Puedes ver entonces que el número de formas en que puede darse la primera o la segunda situación es: 24 + 8 = 32.

Este ejemplo te permite enunciar la siguiente regla, conocida como el principio de la suma:

Sean M y N dos eventos excluyentes, o sea, que no pueden suceder al mismo tiempo. Si M puede ocurrir de m maneras y N de n maneras, entonces M o N pueden ocurrir de m + n maneras.

Ahora resuelve: Tania posee tres blusas para combinar con dos faldas. Además, tiene cinco camisetas para combinar con cuatro pantalones. ¿De cuántas maneras puede vestirse Tania? Compara tu situación con la siguiente: Si Tania se decide por blusa y falda lo hace de 3 × 2 = 6 maneras; si opta por llevar camiseta y pantalón; lo hace de 5 × 4 = 20 maneras. Por el principio de la suma, Tania puede vestirse de 6 + 20 = 26 maneras.

UNIDAD 1


Factorial de un número

Cuando estudiaste el principio de la multiplicación, resolviste problemas como este.

¿De cuántas maneras puedes colocar seis libros en un mueble con seis espacios?

Sabes que la solución a esta situación es:

La expresión 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 recibe el nombre de factorial de 6 y se representa por 6! Es decir:

6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

Evento N° de manerasM: colocar el primer libro 6

N: colocar el segundo libro 6 − 1P: colocar el tercer libro 6 − 2

Q: colocar el cuarto libro 6 − 3R: colocar el quinto libro 6 − 4

S: colocar el sexto libro 6 − 5Nº total de maneras = 6(6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4) (6 – 5) =720

¿Cómo defines el factorial de 7?

Lo haces así: 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

En general, el factorial de un número natural “n” mayor que 1, se define así:

n! = n(n – 1) (n – 2) (n – 3). . . 3 × 2 × 1

El símbolo n! se lee “factorial de n”

Si n = 1, definimos 1! = 1

Si n = 0, definimos 0! = 1

Actividad 4

0! = 11! = 12! = 2 × 1 = 23! = 3 × 2 × 1 = 64! = 4 × 3 × 2 × 1 = 245! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 1206! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

a) En el comedor “El higiénico” Lorena puede elegir un menú entre dos clases de sopas, tres platos principales y cuatro variedades de frutas. En “El económico”, ella lo puede elegir entre tres variedades de sopas, dos platos principales y tres postres. En total, ¿cuántas maneras de menú puede elegir Lorena?

UNIDAD 1


Una propiedad muy importante del factorial de un número la obtienes al observar el desarrollo de los factoriales anteriores. Por ejemplo:

6! = 6 × (5 × 4 × 3 × 2 × 1) ⇒ 6! = 6 × 5!

5! = 5 ×(4 × 3 × 2 × 1) ⇒ 5! = 5 ×4!

4! = 4 × (3 × 2 × 1) ⇒ 4! = 4 × 3!

7! = 7 × (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) ⇒ 7! = 7 × 6!

¿Cómo simbolizas esta propiedad? Seguramente lo haces así:

n! = n(n – 1)!

También los desarrollos de los factoriales anteriores te muestran que:

n! = n(n – 1) (n – 2)!

n! = n(n – 1) (n – 2) (n – 3)!

Ejemplo 3

8! = 8(8 – 1)! = 8 × 7!

8! = 8(8 – 1) (8 – 2)! = 8 × 7 × 6!

8! = 8(8 – 1) (8 – 2) (8 – 3)! = 8 × 7 × 6 × 5!

Aplicando la propiedad estudiada de factorial, simplifica las siguientes expresiones: a)

1211

!!

b) 1512

!!

c) 10 87 12

! !! !

Actividad 5

Resumen

En esta lección estudiaste el principio de la multiplicación, el cual te permite calcular el número de maneras en que pueden suceder dos o más eventos. Además estudiaste el principio de la suma, el cual te permite calcular el número de maneras en que pueden ocurrir dos o más eventos que no pueden suceder al mismo tiempo. La mejor forma de enumerar esas maneras, es recurriendo al diagrama de árbol. También estudiaste el factorial de un número.

Esta propiedad te ayuda a simplificar expresiones como

ésta: 96

!!

96

9 8 7 66

9 8 7 504!!

!!

= = × × = x x x

Simplifica la siguiente expresión: 15 013 2

! !! !

15 013 2

15 14 13 013 2

15 14

! !! !

! !! !

=× ×

=× ××

×

=× ×

=

12 1

15 7 11

105

UNIDAD 1


Autocomprobación

4 Para convertir cm2 a dam2:

a) Multiplicas por 100b) Divides entre 100 c) Divides entre 1 000,000d) Multiplicas por 1 000,000

2 Diez centímetros cuadrados equivalen a:

a) 1 m2

b) 0.01 m2

c) 0.10 m2

d) 0.0010 m2

1 La unidad básica de superficie del SI es:

a) El km2

b) El cm2

c) El m2

d) El hm2

3 10,000 m2 equivalen a

a) 1 km2

b) 2 km2

c) 1 dam2

d) 1 hm2

1. a. 2. c. 3. d. 4. b.

El cálculo del factorial de un número puede ser muy complicado. Por ello, las calculadoras poseen una tecla que sirve para calcularlo. Sin embargo, hay casos en los que no se puede

calcular el valor del número factorial por tener muchos dígitos.

Comprueba los siguientes resultados:

Notas su gran utilidad.

Soluciones

LA CALCULADORA Y EL FACTORIAL

4 El resultado de simplificar la expresión 129

!!

es:

a) 43

c) 2,480

b) 1,320 d) 34

2 Como parte de la clase de biología, Tania estudia un árbol. Observa que tiene veinte ramas; de cada una salen quince brotes, y de cada brote doce hojas. El número de hojas que tiene el árbol es:a) 180 c) 3,600b) 300 d) 1,800

1 El número de maneras en que pueden elegirse un presidente, un secretario y un tesorero de un grupo de siete personas, es:a) 210b) 420c) 200d) 105

3 Para tratarse una enfermedad, el laboratorio “A” produce cuatro clases de jarabes y cinco antibióticos, mientras que el laboratorio “B” fabrica tres clases de jarabes y cuatro clases de antibióticos. Si una persona puede tratarse con un jarabe y un antibiótico, el número de tratamientos diferentes que puede recibir es:a) 240 c) 120b) 16 d) 32

7! = 5,040 8! = 40,320 9! = 362,880 10! = 3,628,800 11! = 39,916,800 12! = 479,001,600


Primera Unidad

Motivación


Lección4

Para que respondas la pregunta inicial, puedes encontrar algunas de esas formas por ejemplo las siguientes:

Encuentra otros posibles ordenamientos, te darás cuenta que puedes encontrar muchos diferentes, ¿verdad?

El número de posibles ordenamientos que puede formar el concursante es ¡40 320!

Este valor corresponde a 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 porque se trata de ordenar 8 tarjetas.

Solucionarás con autonomía y confianza, ejercicios que involucren el ordenamiento de un conjunto de objetos diferentes, formados todos o parte de ellos.

Utilizarás, con seguridad el ordenamiento circular en ejercicios de aplicación.

Resolverás problemas aplicando permutaciones con seguridad. Interpretarás, utilizarás y explicarás, con seguridad, la combinación.

Resolverás problemas aplicando las combinaciones con seguridad. Explicarás claramente la diferencia entre permutaciones y combinaciones. Utilizarás la fórmula apropiada para calcular, con precisión, el número de

combinaciones o permutaciones de “n” objetos tomados “r” a la vez, en ejercicios de aplicación.

Resolverás, con seguridad, problemas de aplicación sobre el número de ordenamientos de objetos entre los cuales hay repeticiones o no las hay.

En un famoso programa de televisión en vivo se presenta el siguiente concurso. Entregan al participante ocho tarjetas sin descubrir, y le explican que cada una tiene escrita una letra de la palabra VEHICULO.Con los ojos vendados ordena las tarjetas, y si al descubrirlas forma esa palabra, gana un vehículo último modelo. ¿Cuántas formas de ordenar las letras, pueden resultar?

perMutacioneS y coMBinacioneS

E L O V H I C U

V U L I C O H E

V E H I C U L O

V I C H U E L O

O V L I C H U E

UNIDAD 1


Encuentra los ordenamientos que pueden formarse con las letras de la palabra PAZ. Seguramente haz obtenido:

PAZ PZA APZ AZP ZPA ZAP

Observa que no es lo mismo PAZ que ZAP; es decir el orden en que se forman es importante.

Si son de dos letras, ¿cuáles obtienes? Seguramente obtienes las siguientes:

PA AP PZ ZP AZ ZA

Permutaciones

Permutaciones de ART

A R TA T RR A TR T AT A RT R A

Y si son de una letra, obtienes:

P A Z

El ejemplo anterior te muestra las permutaciones que pueden formarse con las letras de la palabra PAZ tomadas de tres, dos y un elemento.

¿Cómo defines entonces lo que es una permutación?

Permutación es una disposición ordenada de un conjunto de objetos; en los cuales hay un primero, un segundo, etc.

Permutaciones con "n" objetos diferentes tomados todos a la vez

Has visto que permutar una colección de objetos (sean éstos personas, animales, cosas, etc.) significa reordenarlos. O sea que una permutación de una colección de objetos es un arreglo ordenado de ellos.

En la figura te mostramos las seis permutaciones de las letras ART.

Considera las letras de la palabra F A C T O R. Si éstas las escribes en tarjetas:

F A C T O R

Las puedes ubicar como desees. Puedes formar ordenamientos como CORFAT, TRACOF y FRACOT.

Ninguno forma una palabra que encontremos en el diccionario, pero todos son correctos como permutaciones. Si llamamos código a cada uno de ellos ¿Cuántos códigos puedes formar con las letras de la palabra factor?Observa que esto es como llenar seis casilleros.

UNIDAD 1


El primero se puede llenar de 6 maneras. Habiendo hecho esto, el segundo puede llenarse de 5 maneras, el tercero de 4 y así sucesivamente. Luego, por el principio de la multiplicación tienes que:

6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 720

Hay 720 códigos

¿Te fijas que ésta también es la respuesta a la primera pregunta del club de observadores de pájaros? Ésta te pide calcular de cuántas maneras pueden ubicarse sus seis miembros para una fotografía en grupo. Si identificas a cada persona con una letra por ejemplo, las de FACTOR, entonces estás en el mismo caso. Colocar a los observadores de pájaros es como hacer un código de seis letras. Y esto, como ya lo sabes, se puede hacer de 720 maneras.

Lo escribimos así, 6P6 = 6! = 720 (6P6 significa permutar 6 en grupos de 6).

¿Has visto las placas de vehículos de países como México o Estados Unidos? ¿Qué característica tienen que es diferente en las placas salvadoreñas? ¿Por qué en esos países usan esas letras en las placas?

1. Explica el concepto de permutación y da un ejemplo de ello.

2. Evalúa las siguientes expresiones:

a) 7P7b) 6P6c) 4!d) 8!

3. Escribe en notación factorial:

a) 9 × 8 × 7 × 6 ×. . . × 1b) 5P5

4. Calcula el número de palabras código que puedan formarse, sin importar su significado, con todas las letras de la palabra “lapicero”.

5. ¿De cuántas maneras pueden colgarse en la pared un serrucho, una sierra, unas tijeras y un rollo de tirro si hay 4 ganchos para hacerlos?

Actividad 1

CA-93284USA

JAL-75829México D.F.

UNIDAD 1


Observa que para n personas tomando grupos de r se tiene (n) (n-1) (n-2)… (n–r+1) comprueba esto para la situación anterior.

En general, el número de permutaciones que pueden formarse tomando grupos "r" de "n" elementos está dado por: nPr = n (n – 1)(n – 2). . . (n – r + 1)

Ejemplo 2

Calcula el número de códigos que pueden formarse con las letras de la palabra PERFUMADO si estas se toman de la siguiente forma.

a) 3 de 9 b) 4 de 9 c) 6 de 9

Solución:

a) Como se toman 3 de las 9 letras

Permutaciones con “n” objetos diferentes tomando “r”

Luego por el principio de la multiplicación: Número total de maneras = 9 × 8 × 7 = 504

b) Como se toman 4 de 9 letras:

Número total de maneras = 9 × 8 × 7 × 6 = 3024

9 8 7 6× × × = 3024

Personas para 1a posición




Número de maneras en que puede elegirse la primera letra

Número de maneras en que puede elegirse la segunda letra

Número de maneras en que puede elegirse la tercera letra.

9 8 7

Punto de apoyo

Una permutación nos indica orden:

Arreglos, filas… Así: 42≠24

Ahora observa la siguiente situación.

Ejemplo 1

¿De cuántas maneras se pueden sentar, en una banca, 4 de 9 personas?

Solución:

Por el principio de la multiplicación, tienes lo siguiente.

UNIDAD 1


c) Como se toman 6 de las 9 letras

Número total de maneras = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 60,480

Observa tu calculadora científica. Notarás que posee las teclas nPr y n!

La tecla n! te da las permutaciones de n objetos tomados simultáneamente.

La tecla nPr te da las permutaciones de n objetos tomados r de ellos.

Ahora que has comprendido qué son las permutaciones y cómo se calculan, puedes usar tu calculadora científica para facilitar los cálculos.

Por ejemplo, si quieres calcular 7P5 lo haces así:

Considera seis puntos en el plano, sin que haya tres en la misma recta. Llámalos F, A, C, T, O, R.

Cópialos y encuentra el número de triángulos que puedes dibujar. Usa los puntos de F, A, C, T, O, R como el vértice.

Observa que para cada selección de tres puntos puedes dibujar un triángulo.

En pantalla

1. Evalúa las siguientes expresiones.

a) 8!b) (5!)(3!)

c) 96

!!

d) 5P2e) 10P4

2. Calcula cuántos códigos de cuatro letras pueden hacerse con las letras de la palabra

MÚLTIPLOS, ninguna letra debe repetirse.

3. Determina el número de permutaciones que pueden formarse con las letras de la palabra MÁS si se toman:

a) todasb) 2 de 3c) todas ó 2 de 3

A

CR

O

T

F

Actividad 2

7 nPr 5 = 2520

Combinaciones

UNIDAD 1


Por ejemplo F A R.

Sin embargo, nota que el orden en que eliges los tres puntos no interesa. Así, FAR, FRA, AFR, ARF, RAF y RFA representan el mismo triángulo.

Observa que con la palabra FACTOR tendrás que el número de permutaciones de 3 letras es:

6P3 = 6 × 5 × 4 = 120

Ahora, como cada triángulo queda definido con 3! = 6 códigos diferentes entonces con los 120 códigos anteriores ¿cuántos triángulos diferentes puedes formar?

Muy bien, habrás contestado 1206

20= triángulos.

Lo anterior se escribe así: 6 3

36 5 43 2 1

20P x x

x x!= =

En este caso, cada triángulo es una combinación de la colección de puntos F, A, C, T, O, R, lo cual denotamos

por 63

o 6C3, que es el número de combinaciones de 6

objetos tomando 3 de ellos.

Habrás notado que, el número de combinaciones de n

objetos tomando r se denota por nr

o nCr,

donde nr

Prn r

=

!

Puede demostrarse, lo cual no es un objetivo de esta

lección, que: n rPr

nr n r!

!!( - )!

=

Luego; nr

nr n r

=

!! ( - )!

que es la fórmula del número

de combinaciones de n objetos cuando se toma r.

Ejemplo 3

Un equipo de béisbol aficionado tiene siete jugadores de cuadro, seis jardineros, cinco lanzadores y dos receptores. Cada jardinero puede ocupar cualquiera de las tres posiciones y cada jugador de cuadro cualquiera de las cuatro posiciones del cuadro. ¿De cuántas maneras puede seleccionarse el equipo de nueve jugadores?

A

CR

O

T

F

Solución:

La cantidad de maneras de seleccionar tres jardineros, de seis posibles es:

63

63 6 3

63 3

6 5 4 33

= = =

!!( - )!

!! !

!

x x xx 22 1 3

20 x x !

=

Las formas de seleccionar los cuatro jugadores de cuadro son:

74

74 7 4

74 3

7 6 5 43

= = =

!!( - )!

!! !

!

x x xx 22 1 4

35 x x !

=

Además, tienes cinco maneras de seleccionar un lanzador y dos para el receptor. Luego, por el principio de la multiplicación.

20 × 35 × 5 × 2 = 7,000

Hay 7,000 maneras de seleccionar un equipo de béisbol.

UNIDAD 1


1. Evalúa las siguientes expresiones.

a) 5C2 c) 103 7

!! !

b) 97

d) 104

2. En una oficina trabajan ocho personas, y deciden formar un comité de tres elementos. ¿De cuántas maneras puede elegirse?

3. En una sección de una oficina hay cinco empleados que pasarán un examen médico.

a) ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila de cinco asientos para pasar el examen médico?

b) Si eligen una directiva de 3 personas. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?

Actividad 3

Punto de apoyo

En una combinación no importa el orden. Así por ejemplo: comité, grupos, colección dan la idea de una combinación

Resumen

Seleccionar r objetos de n

¿Importa el orden?

Combinación Permutación

nr

nr n r

=

!! ( - )! n n n n rP . . .r ( ) ( )= − − +1 1

No Si

UNIDAD 1


Autocomprobación

El número de maneras en que pueden sentarse ocho personas en la primera fila de un auditorio es :a) 7!b) 8!c) 5040d) a) y c)son correctas

4 Los seis miembros de una oficina quieren seleccionar un presidente, un vicepresidente y un secretario. El número de formas en que pueden hacerlo, es:a) 6C3b) 6!c) 6P3d) 3!

2

Si los seis miembros del problema anterior quieren sencillamente elegir un comité de tres personas, el número de formas en que pueden hacerlo, es:a) 6C3b) 6!c) 6P3d) 3!

3 ¿Cómo se representa una permutación de un conjunto de n objetos tomando r ?a) nCr c) nPn

b) rn

d) nPr

1

Internacionalmente las estaciones de radio

comienzan con K, Y o W. Las otras letras que la forman pueden ser dos o tres. YSU, YSKL, YSAX.

Observa que las letras forman una permutación.Otros nombres de estaciones de radio

pueden ser: YSK, KSU, WXY, WYSU,

YKL, YSEB, YKB

¿Con qué letra empieza el nombre de las emisoras en El Salvador?

1. d. 2. c. 3. a. 4. b. Soluciones

ESTACIONES DE RADIO Y PERMUTACIONES


Primera Unidad

Motivación


Antes de comenzar el estudio de las funciones exponenciales vas a repasar las funciones uno a uno.

Identificarás y explicarás, con interés y seguridad, la función exponencial haciendo uso del lenguaje matemático.

Identificarás y aplicarás, con interés y seguridad, las propiedades de la función exponencial.

Seleccionarás, con seguridad, la escala apropiada para representar la gráfica de una función exponencial

Construirás tabla de valores de la función exponencial, con orden y aseo. Identificarás y explicarás, con seguridad, el dominio y rango de cada

función exponencial.

Los organismos unicelulares se reproducen asexualmente por división celular, después de un periodo de tiempo se van replicando. En la bipartición, si hay una célula, ésta se dividirá en dos células. Cada una de éstas se dividirá nuevamente en otras dos. ¿Cuántas células habrá después de la tercera división?

funcioneS exponencialeS

Lección5

Recuerda la función uno a uno

El gráfico de la derecha representa una función.

¿Puedes decir por qué es una función?

Es una función, porque a cada valor de x le corresponde un único valor de y tal que (x, y), pertenece a la función es decir que (x, y), es un punto de su gráfico.

La función se puede expresar mediante la ecuación y = x2

Observa su gráfico y responde si a cada valor de y se le puede asociar un único valor de x, para que (x, y) pertenezca al gráfico.

y

x

y (x,y)

UNIDAD 1


Puedes ver, que no; tal como te lo ilustramos en la figura de abajo; para el valor que se indica de y, existen dos valores para x; estos son: x1 y x2; tales que (x1, y) y (x2, y) pertenecen al gráfico.

Por lo tanto la función no es uno a uno ya que para que lo sea cada y debe relacionarse con un único x.

¿Cómo haces para que f(x) = x2 sea una función uno a uno?

Observa lo siguiente:

Si delimitas el dominio de f(x) = x2 para valores de x mayores o iguales que cero, se tendrá que cada valor de x tiene un valor único de y, y cada valor de y un único valor de x; es decir el punto (x, y) pertenece al gráfico de la función.

Haz una tabla para encontrar (x, y) donde x ≥ 0.Grafica para f(x) = x2 y compara tu resultado con la gráfica de abajo. Así la función f(x) = x2 con x > 0 es una función uno a uno: cada valor de y tiene un valor único para x

¿Cómo identificas gráficamente una función uno a uno?

a)

b)

c)

d)

e)

Para que una función sea uno a uno, debe satisfacer no sólo la prueba de la recta vertical (prueba que muestra que es una función); sino también la prueba de la recta horizontal que verifica que la función es uno a uno.

y

x

y

x1 x2

y

x

UNIDAD 1


Función exponencial

Retomando la situación del inicio de esta lección, ahora investigaremos, ¿cuántas células habrá después de 10 periodos de tiempo? para ello consideremos lo siguiente:

Si f (t) denota el número de células después de t periodos de tiempo, obtendremos los resultados que aparecen en la siguiente tabla:

f t t( ) = 2 es una expresión que describe la reproducción celular.

¿Cuántas células habrá después de 10 periodos de tiempo?. Correcto f(10) = 210(encuentra este resultado con tu calculadora)

En este ejemplo compruebas que las células se reproducen de acuerdo a la expresión f t t( ) = 2 .

t 0 1 2 3 4 5 6f(t) 1 2 4 8 16 32 64

Una función exponencial es una función de la forma f(x) = ax, donde a es, un número real positivo, diferente de 1.

Puedes ver que (a), (d) y (e) son funciones uno a uno. Notarás que (b) y (c) no lo son, ya que no pasan la prueba de la recta horizontal: hay más de una y para una sola x.

x1 x2 x1 x2 x3

UNIDAD 1


Observa en el gráfico que el valor de y no puede ser 0

Actividad 1

Puedes ver en el gráfico, que el dominio de la función son todos los números reales, R . El rango son todos los números mayores que cero.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y=2x y = = = 212

18

33

- 214

2- = 212

1- = 2°=1 2 4 8

Solución:

Comienzas construyendo una tabla de valores.

Ahora, localizamos en el plano los puntos - , , - , , - ,318

214

112

, (0,1), (1, 2), (2, 4), etc,

y los unimos.

Ejemplo 1

Las siguientes funciones son exponenciales:

y = 2x y = 5x yx

=

34

En general una función exponencial se denota así:

f(x) = ax, para todo real a > 0 y a ≠ 1

¿Cómo graficas una función exponencial?

Grafica la función y = 2x define su dominio y rango.

a) Encuentra más valores de y = 2x con tu calculadora dando valores positivos mayores que 5 y otros valores menores que –5. ¿Cómo es el signo de los resultados?.

y = 2x

x

y

24

6

8

1012

14

16

18

2 4 6-2-4-6

UNIDAD 1


Las gráficas de la actividad anterior te sugieren el siguiente cuadro comparativo.

Ejemplo 2

Grafica ahora yx

=

12

y define el dominio y rango.

Solución:

Similarmente al ejemplo anterior, construyes una tabla de valores y luego graficas la curva respectiva.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

yx

=

12

12

112

83

3

=

=−

4 2 112

14

18

116

Al igual que en la función anterior, puedes ver que:

D f = R

R f =] 0, ∞ [

Grafica en tu cuaderno las funciones y = 3x, yx

=

23

.

a) La forma de y = 3x, ¿a cuál de las dos funciones anteriores se parece?

b) Y la forma del gráfico de yx

=

23

, ¿a cuál de las dos funciones anteriores se asemeja?

Terminología Definición Gráfica de f con a > 1

Gráfica de f con a < 1

Función exponencial f con

base a

y = ax para todo x en los números

reales donde a > 0 y a≠1

(0,1)

y

(0,1)

y

Actividad 2

y = ( )x

x

y

2

3

4

5

67

89

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4

12

UNIDAD 1


a) Grafica en el mismo conjunto de ejes, las funciones y = 2x e y = 3x. ¿Cuál de las dos muestra mayor crecimiento? ¿Por qué?

b) Analiza si la función exponencial es uno a uno (biunívoca).

Solución:

Como la población mundial se pide a partir de 1975, este año se toma como referencia inicial. Luego:

a) 1975: P (0) = 4(1.02)º = 4.0 miles de millones.

b) Como 2000 – 1975 = 25, entonces:

2000: P (25) = 4(1,02)25 = 6.56 miles de millones

c) Como 2020 –1975 = 45, entonces

2020: P (45) = 4(1.02)45 = 9.75miles de millones

Para efectuar los cálculos de (1.02)25 y (1.02)45 usaste calculadora científica.

A continuación estudiarás cuatro modelos en donde se utiliza la función exponencial.

1.Población

Si la expresión P (t) = 4(1.02)t es la fórmula que nos da el crecimiento de la población mundial donde P (t) representa el número de personas (en miles de millones) y t es el número de años después de 1975, calcula la población mundial para los años:

a) 1975 b) 2000 c) 2020

Actividad 3

Características de la función exponencial1. Las gráficas del cuadro anterior indican que si a > 1,

entonces f es creciente, y si 0 < a < 1, es decreciente.

2.Como aº = 1 la intersección de f con el eje y es en (0, 1), para todo a.

3.Si a > 1, conforme x decrece hasta valores negativos, la gráfica de f se aproxima al eje x. Luego, el eje x es una asíntota horizontal.

Además, a medida que x aumenta a través de valores positivos, la gráfica sube con rapidez. Este tipo de variación es característica de la ley exponencial de crecimiento y f puede ser nombrada como función de crecimiento.

Por comparación, haz el análisis del párrafo anterior para 0 < a < 1.

4.El dominio de la función exponencial es el conjunto de los números R, y el rango es ]0, ∞[.

5.Las funciones exponenciales, obedecen las propiedades de los exponentes; cuando a y b son positivos:

a a ax y x y= + ab

ab

x x

x

= a

aa

x

yx y= -

a ax y x y( ) = ab a bx x x( ) =

UNIDAD 1


a) Para el modelo de la población calcula la población mundial en el año 2010.b) Para el modelo de la radioactividad encuentra el número de gramos que tiene la sustancia después de 15 años.

2.Radiactividad

Un equipo de científicos determina que la masa total que se halla en una sustancia radiactiva, en gramos, luego de transcurridos t años está dada por y = 80(2)–0.4t

Encuentra el número de gramos que tiene la sustancia luego de:

a) 10 años b) 100 años.

Solución:

Puedes observar que el problema se reduce a sustituir el respectivo valor de t en la expresión y= 80(2)– 0.4t

Luego:

a) f (10) = 80(2)–0.4(10) = 5g

Luego de 10 años, la sustancia tiene una masa de 5 g

b) f (100) = 80(2)–0.4(100) = 7.28 × 10–11g

Luego de 100 años, la masa de la sustancia es de 7.28 × 10–11g, lo que significa que prácticamente se ha extinguido por la acción radioactiva.

3.Finanzas

Magda deposita $ 1,000.00 en una cuenta de ahorros al 8% anual cuando nace su hija. ¿Cuánto posee cuando ésta tiene quince años?

Solución:

Después de un año, los intereses son de

(0.08) (1,000) = $ 80 que sumados a $1,000 da un total de $ 1,080.

Durante el segundo año, $1,080 gana intereses de 0.08 (1,080), dando un total de

1,080 + 0.08 (1,080) = 1,080 (1+0.08)

= 1,080 (1.08)

= 1,000 (1.08) (1.08) sustituyendo 1,080 por 1,000(1.08)

= 1,000 (1.08)2

Continuando de esta forma, el capital o principal de Magda crece a 1,000 (1.08)3 luego de 3 años; a 1,000 (1.08)4, luego de 4 años y así sucesivamente.

En 15 años será de: 1,000 (1.08)15 = $ 3,172.17

4. Crecimiento bacteriano

La cantidad de bacterias en cierto cultivo aumenta de 600 a 1,800 en dos horas. La cantidad f (t) de bacterias en t horas después de iniciado el crecimiento está dada por f t t( ) ( ) /=600 3 2

a) Calcula la cantidad de bacterias en el cultivo una hora después del crecimiento.

b) Calcula la cantidad de bacterias en el cultivo cuatro horas después del crecimiento.

Solución:

a) f ( ) ( ) ,/1 600 3 1 0391 2= = bacteriasb) f ( ) ( ) /4 600 3 4 2= = 5,400 bacterias

Resumen

Una función exponencial es aquella de la forma y = f(x) = ax, con a > 1 ó 0 < a < 1. Si a>1, la función es creciente, y decreciente si 0 < a < 1. Las funciones exponenciales representan modelos demográficos, biológicos, físicos, económicos, etc.

Actividad4


Autocomprobación

UNIDAD 1

1. a. 2. d. 3. c. 4. c.

Las aplicaciones de los isótopos radiactivos a la medicina se deben en gran medida a la científica

francesa Marie Curie (Varsovia,1867). Por ello fue galardonada con el premio Nobel de física

en 1903, a la par de su esposo y de H. Bequerel quienes estudiaron la radioactividad,descubierta por este último. Posteriormente fue galardonada

con el premio nobel de química. Sin duda Marie Curie ha sido una de las mujeres

más extraordinarias en toda la historia. Sus investigaciones contribuyeron al tratamiento de algunas enfermedades mediante isótopos y a la

construcción de equipos radiográficos.

La figura de la par, te muestra el gráfico de cuatro funciones exponenciales: 2x, 3x, 5x y 1

3

x

Soluciones

LA DESINTEGRACIÓN Y MARIE CURIE

El gráfico que corresponde a y= 3x es:a) f1b) f2c) f3d) f4

1

El gráfico que corresponde a y = 13

x

esa) f1 c) f3b) f2 d) f4

3 El gráfico que corresponde a y = 5x es:a) f1b) f2c) f3d) f4

2

El punto donde se cortan las cuatro funciones es:a) (1, 0) c) (0, 1)b) y = 0 d) x = 1

4

Marie Curie

0

y

x

f3 f4 f1 f2


Lección 1

Actividad 1: 1. Encuentras la diferencia en cada sucesión. Con ella calculas los términos que faltan.

2. Sustituyendo en el término general la posición del término respectivo, ejemplo: a) an = 5 + (n – 1)4, a10 = 5 + (10 – 1)4 = 5 + (9)4 = 41

Actividad 2: Con a1 = 7 y a6 =27. Luego a6 = a1 + (6 – 1) d, sustituyendo 27 = 7 + 5d 27 – 7 = 5d 20 = 5d 4 = d Luego d = 4 y sumas 4 al primer término obteniendo el segundo y así sucesivamente.

Actividad 3: 1. Resta dos valores consecutivos para calcular d. Luego aplicas la fórmula de la suma.

2. El primer término es a1 = 6 y n = 15 por lo que a15=15(6)=90. Calculas d y luego S.

Lección 2:

Actividad 1: 1. Sustituyes los datos en la fórmula de S. Usa tu calculadora científica

2. En cada sucesión calculas la razón. Con ella calculas los términos que faltan

3. Multiplicas por r el primer término y obtienes el segundo término y así sucesivamente hasta encontrar los cinco términos

4. y 5. En ambos casos lo haces con an.Actividad 2: a) Hallas r con la fórmula respectiva n=6, a1=3 y a6=96.

Luego r=2.

Lección3:

Actividad 1: b) 12 posibilidades

Actividad 2: a), b), y c) son una aplicación del principio de la multiplicación: a) 5 × 4 = 20; b) 2 × 4 × 5 × 3 =120; c) 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.

Solucionario


Actividad 3: a) Son 8 posibilidades, b) Son 16 posibilidades.

Actividad 4: a) 2 × 3 × 4 + 3 × 2 × 3 = 24 + 18 = 42 posibilidades de menú.

Actividad 5: a) 12, b) 2730, c) 233

Lección 4

Actividad 1: 2. 5040, b) 720, c) 24, d) 40320 3. a)9!, b)5! 4. 8! = 40320 5. 4! = 24Actividad 2: 1. a) 40320, b) 720, c) 504, d) 20, e) 5040 2. 3024 3. a) 3! ó 3 × 2 × 1 = 6, b) 3 × 2 = 6, c) 6 + 6 = 12.Actividad 3: 1. a) 5

2 310

!! !

= , b) 36, c) 10 9 8 73 2 1 7

120 × × ×× × ×

=!

!, d) 210

2. 83

83 5

56= =

!! !

3. a)120; b)10Lección 5

Actividad 1: a) El signo es positivo y el valor es mayor que cero.

Actividad 3: a) Tiene mayor crecimiento 3x, ya que a medida que x aumenta, la gráfica crece con mayor rapidez

b) La función exponencial es uno a uno, al trazar una recta horizontal solo corta en un punto la gráfica.

Actividad 4: a) P(35) = 4(1.02)35 = 7.9995, aproximadamente 8 miles de millones de habitantes

b) f (15) = 80(2)–0.4(15) = 80(2)–6 = 1.25 gramos.

Solucionario


Proyecto

Interés compuesto

La fórmula del interés compuesto. Es la base de todo tipo de transacción financiera, por ejemplo, las que realizan los bancos.

A es el monto, o sea capital más interés.

P es el capital o principal.

i es la tasa de interés por período compuesto

n es el número de períodos compuestos.

Sustituyendo: A = 10,000 (1 + 0.02)24

= 10,000 (1.02)24

= 10,000 (1.6084) de tu calculadora científica

A = $ 16,084

Puedes ver que la inversión inicial de $ 10,000 aumentó a $ 16,084 en 6 años.

Supón que una cooperativa de empleados públicos dispone de $10,000 y tiene dos ofertas para que sean depositados por 5 años, en dos bancos. El primero les ofrece el 9% convertible o compuesto mensualmente y el segundo el 10% convertible o compuesto trimestralmente. Ayúdalos a decidir que les conviene más. Además preséntales gráficamente ambas situaciones.

Por ejemplo, supón que una cooperativa de transporte invierte $ 10,000 al 8% anual convertible trimestralmente durante 6 años.

Tendremos:

P = $ 10,000

i = 84

% = 2% = 2100

= 0.02 nota que 8 se divide entre 4 debido a que hay 4 trimestres en el año.

Luego: A = P (1 + i)n

n = 6 × 4 = 24 períodos

Número de trimestres en el año

Número de años


Recursos

ALLEN R. Ángel, Álgebra Intermedia. Editorial Prentice Hall, segunda edición, México, 1992

BARNETT, Raymond, Álgebra y Trigonometría. Editorial Mc Graw Hill, tercera edición, Colombia, 1990

SWOKOWSKI, Earl y Cole, Jeffery, Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Editorial Thomson y Learning, décima edición, México, 2002

SPIEGEL, Murray, Álgebra Superior. Editorial McGraw-Hill, serie Shaum, primera edición, México, 1970

http: //www.fing.edu.uy/darosa/nadjasthella.pdf

Mat 11 u1

Education

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