MÁSTER DE ENSAYOS EN VUELO Y CERTIFICACIÓN DE...
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ETSIA-UPM29.04.08
MMÁÁSTER DE ENSAYOS EN VUELOSTER DE ENSAYOS EN VUELO
Y CERTIFICACIY CERTIFICACIÓÓN DE AERONAVESN DE AERONAVES
(Curso 2008/09)(Curso 2008/09)
El mEl méétodo operacional de todo operacional de LaplaceLaplace (F5.3)(F5.3)
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La transformada de Laplace
{ }0
( ) ( ) ( )stY s L y t e y t dt∞
−= = ∫
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Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:
donde s es una variable compleja
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge.
0{ ( )} ( ) ( ) stL f t F s f t e dt
∞ −= = ∫
.iws +=σ
La transformada de Laplace
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Pierre-Simon Laplace(1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro.Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos."
La transformada de Laplace
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Obsérvese que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito:
5
0 0
( ) lim ( )h
s t s t
he f t dt e f t dt
∞− ⋅ − ⋅
→∞=∫ ∫
{ }( ) ( ),f t F s=L{ }{ }
( ) ( ),
( ) ( ), etc.
y t Y s
x t X s
=
=
LL
Notación:
La transformada de Laplace
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Condiciones suficientes de existencia de la TL
Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y
),0[,|)(| ∞∈∀≤ tMetf at
Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:
0|)(|lim =ℜ∈∃ −
∞→
bt
tetftqb
Entonces:
L{f(t)} = F(s) existe ∀s > a.
dtetfsFtfL st−∞
∫==0
)()()}({
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Unicidad de la TL
Si f1(t) y f2(t) poseen la misma TL:
)()()(:por definida nulafunción lay0
0)(
21
0
tftftNN(t)a
dttNa
−=>∀
=∫
L{f1(t) } = L{f2(t) }= F(s),
entonces el teorema de Lerch garantiza que
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{ } ( )
se
sdtesFL tsst 111)(1
0
1
0 =
−===
∞+−∞ −∫
Calcula la transformada de f(t) = 1:
ssFtf 1)(1)( =→=
Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
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{ }
{ }1
0
1
0
1
0
0 )(
−∞ −−
∞ −−
∞−∞ −
==
=−
−−
===
∫
∫∫nstn
stn
stnstnn
tLsndtet
sn
dts
ents
etdtetsFtL
Calcular la transformada de f(t) = tn:
1
!)()( +=→= nn
snsFttf
{ } { }
{ }{ } 1
0
1
!1 +
−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
=
nn
nn
sntL
stL
tLsntL
La transformada de Laplace
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{ } ( )
( )
11
11
)(
0
1
0
1
0
+=
+−
====∞
+−
∞ +−∞ −−− ∫∫
se
s
dtedteesFeL
ts
tssttt
Calcular la transformada de f(t) = e-t:
11)()(+
=→= −
ssFetf t
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{ } ( )
( ) asas
AeasA
dtAedteAesFAeL
tas
tasstatat
>−
=−−
====∞
−−
∞ −−∞ − ∫∫
,)(
)(
0
0
0
Calcular la transformada de f(t) = Aeat:
asas
AsFAetf at >−
=→= ,)()(
La transformada de Laplace
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{ }
( ) dteatsensa
sadt
seatsena
seat
sa
dts
eatas
eatsendteatsensFatsenL
ststst
ststst
∫∫
∫∫
∞ −∞ −∞−
∞ −∞−∞ −
−=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−−
−
=−
−−
===
0 22
0
0
0
0
0
)()()cos(
)cos()()()()(
Calcular la transformada de f(t) = sen(at):
22)()()(as
asFatsentf+
=→=
222
2
2
2
;1as
aIsaI
sa
+==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Ejercicio: calcular F(s) para f(t) = cos(at)
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{ } ( )
( )
{ } { })()cos(
11
)(
)()cos(
2222
22
0
0
0
atseniLatLas
aias
sasias
iasias
iase
ias
dtedteesFeL
atseniate
tias
tiasstiatiat
iat
+=+
++
=++
=++
−=
+−
====
+=
∞+−
∞ +−∞ − ∫∫
Calcular la transformada de f(t) = eiat:
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{ }0
1 1
( ) ( ) lim
lim lim ( )
hs t s t
hc
h s cs t s h s cs sch h
u t c e u t c dt e dt
ee e e s
∞− ⋅ − ⋅
→∞
− ⋅− ⋅ − ⋅ − ⋅− −
→∞ →∞
− = − = =
= − =
∫ ∫L
14
c
1
t
0 if ( )
1 if t c
u t ct c<⎧
− = ⎨ ≥⎩
La función Heaviside o escalón unidad:
c0
1
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Tabla de transformadas de Laplace
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
1
sen
cos
sen
cos
!
at
at
n atn
ts
sts
e ts a
s ae ts a
nt es a
ωωω
ωω
ωωω
ωω
−
−
−+
+
+
+ +
+
+ +
+
( )
ase
snt
t
s
t
at
nn
+−
+
1
!s1
11
1
1
2
δ
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La transformada de Laplace
Laplace Transforms: Continuation
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Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante:
conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.
∫∞+
∞−
− ≥==i
i
st tdsesFi
tfsFLγ
γπ0,)(
21)()}({1
Transformada inversa de Laplace
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Re(s)
Im(s)
∫∞+
∞−
− ≥==i
i
st tdsesFi
tfsFLγ
γπ0,)(
21)()}({1
γγ determina un contorno vertical en el plano complejo, tomado de tal manera que todas lassingularidades de F(s) queden a su izquierda.
Con condiciones de existencia:
∞<
=
∞→
∞→
)(lim)2(
0)(lim)1(
ssF
sF
s
s
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1. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes, f1(x) y f2(x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente;entonces:
).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL +=+
La transformada de Laplace es un operador lineal.
Propiedades
La transformada de Laplace
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La transformada de Laplace
)(0)}0()({)}({
),()}({ si Entonces,0,00),0(
)0()()( Definimos
sFst
ettutfLtgL
sFtfL
ttttttf
ttutftg
−=−=
=
<>−
=−=⎪⎩
⎪⎨⎧
2. Desplazamiento temporal
t
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La transformada de Laplace
3. Desplazamiento en frecuencias
)()}({ )()}({ Si asFtfeLsFtfL at +=⇒= −
{ } { } 22 )(11as
teLs
tL at
−=→=Ejemplo:
4. Cambio de escala en tiempo
.1)}({)()}({ Si ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒=
asF
aatfLsFtfL
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La transformada de Laplace
5. Derivada de la transformada de Laplace
{ })()(dd)}({)( Si ttfLs
sFtfLsF −=⇒=
6. Transformada de las derivada de una función
La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:
donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.
)0()()}('{ fssFtfL −=
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La transformada de Laplace
7. Transformadas de las derivadas de mayor orden
La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:
)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL −−=
)0()0(')0()()}({ )1(21)( −−− −−−−= nnnnn ffsfssFstfL L
y en general:
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8. Teorema del valor final
Si existe, entonces:
9. Teorema del valor inicialEl valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es:
)(lim tft→∞
)(lim)(lim 0 ssFtf st →∞→ =
)(lim)(lim)0(0
ssFtff st ∞→→== +
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La operación es conocida
como producto de convolución de y y se denota como
La transformada de Laplace de esta operación está dada por:
∫∞
∞−− τττ dtff )()( 21
)(1 tf ),(2 tf
1 2 1 2{ ( ) * ( )} { ( )} { ( )}L f t f t L f t L f t= ⋅
).(*)( 21 tftf
10. Producto de convolución
La transformada de Laplace
Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0, entonces la convolución queda:
⎪⎩
⎪⎨⎧
<≥−= ∫
0,00,)()()(*)( 0
ttdtgftgtf
tτττ
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Resumen de las propiedades
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Resumen de las propiedades
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Utilidad de la T. de Laplace
Gracias a la propiedad de derivación y a la linealidad de laTL podemos convertir un problema diferencial en unoAlgebráico:
" 3 ' 4 ( 1) (0) 1, '(0) 2y y y t u ty y+ − = ⋅ −⎧
⎨ = − =⎩ Resolver paray(t)Se convierte en:
22 1( )*( 3 4) ( 1) s
sY s s s ss e++ − + + =⋅
Resolver paraY(s)
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Utilidad de la T. de Laplace
Ec. Diferencial
Transformada de Laplace
Ec. Algebraica
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Utilidad de la T. de Laplace
Si resolvemos la ec. algebraica:
2
2 2
( 1) ( 1)( )( 3 4)
s ss s e eY ss s s
−− + ⋅ ⋅ − ⋅=
⋅ + −
y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s), obtendremos la solución de la ec. diferencial.
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Utilidad de la T. de Laplace
Ec. Algebraica
Inversa de la Transformada
de Laplace
Solución de la Ec. Diferencial
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Utilidad de la T. de Laplace
La transformada inversa de Laplace de:
2
2 2
( 1) ( 1)( ) es( 3 4)
s ss s e eY ss s s
−− + ⋅ ⋅ − ⋅=
⋅ + −4 43 32 1
5 80 4 16432
5 5
( ) ( 1)( + ( ) )
( )( ( ) )
t tee
t t
y t u t e e t
u t e e
−
−
= − ⋅ ⋅ − −
− ⋅ − ⋅
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Utilidad de la T. de Laplace
De modo que:4 43 32 1
5 80 4 16432
5 5
( ) ( 1)( + ( ) )
( )( ( ) )
t tee
t t
y t u t e e t
u t e e
−
−
= − ⋅ ⋅ − −
− ⋅ − ⋅es la solución de la ec. diferencial:
" 3 ' 4 ( 1) (0) 1, '(0) 2y y y t u ty y+ − = ⋅ −
= − =
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Utilidad de la T. de Laplace
Ejemplo más sencillo: Resolver el problema de cond. inicial3'( ) 2 ( ) ; (0) 4 para 0tf t f t e f t−+ = = ≥
3 3
3
2 3
'( ) 2 ( ) 0 { '( ) 2 ( ) } 0{ '( )} 2 { ( )} { } 0
1( ( ) (0)) 2 ( ) 03
1( ) 4 2 ( ) 03
5 1( ) ( ) 52 3
t t
t
t t
f t f t e L f t f t eL f t L f t L e
sF s f F ss
sF s F ss
F s f t e es s
− −
−
− −
+ − = ⇒ + − =
+ − =
− + − =+
− + − =+
= − ⇒ = −+ +
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Raíces del denominador D(s) o polos de F(s):
Caso I – Polos reales simples
Caso II – Polos reales múltiples
Caso III – Polos complejos conjugados
Caso IV – Polos complejos conjugadosmúltiples
)( as −2)( as −
))(( *asas −−
01
1
01
1
)()()(
bsbsasasa
sDsNsF m
mm
nn
nn
++++++
== −−
−−
L
L
Descomposición en fracciones simples: Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función en componentes más sencillos.
[ ]2*))(( asas −−
T. de Laplace (complementos)
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Caso I – Polos reales simples )( as −
32
)3)(2(1
61
)()()( 23
++
−+=
+−+
=−+
+==
sC
sB
sA
ssss
ssss
sDsNsF
Ejemploas
A−
T. de Laplace (complementos)
Aparecen términos de la forma
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ETSIA-UPM29.04.08 41
152
)2(1
3
103
)3(1
2
61
)3)(2(1
3
2
0
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
⇒+
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
⇒−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
+⇒
−=
=
=
s
s
s
sss
sC
sss
sB
sss
sA
32)3)(2(1
)()()(
++
−+=
+−+
==sC
sB
sA
ssss
sMsNsF
assDsNaseCoeficient
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
)()()(
T. de Laplace (complementos)
Cálculo de coeficientes:
Ejemplo:
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)3)(2()2()3()3)(2(
3261
23 +−−++++−
=+
+−
+=−+
+sss
sCssBsssAsC
sB
sA
ssss
)2()3()3)(2(1 −++++−=+∴ sCssBsssAs
61
)3)(2(1
0
−==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
+∴
=
Ass
s
s
)6()23()(
)2()3()6(12
222
ACBAsCBAs
ssCssBssAs
−+−++++=
−+++−+=+
16;123;0 =−=−+=++ ACBACBA
Procedimiento alternativo (identificación de coeficientes)
y resolver...
T. de Laplace (complementos)
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⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=
++
−+=
−++
=
31
152
21
1031
61
32
61)( 23
sss
sC
sB
sA
sssssF
La transformada inversa de Laplace es (ver tablas):
tt eetf 32
152
103
61)( −−+−=
T. de Laplace (complementos)
Finalmente:
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Caso II – Polos reales múltiples 2)( as −
12)1)(2(44
)()()( 22
23
−+
−++=
−−+−
==sD
sC
sB
sA
sssss
sDsNsF
Ejemplo)()( 2 as
Bas
A−
+−
Polos realessimples
Polos realesmúltiples
T. de Laplace (complementos)
Aparecen términos de la forma
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ETSIA-UPM29.04.08 45
3)1)(2(44
2)1)(2(44
0
230
23
2
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−+−
⇒
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−+−
⇒
=
=
s
s
ssss
dsd
sB
ssss
sA
assDsNasordenpoloCoef
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
)()()(2 . 2
as
er
sDsNas
dsdordenpoloCoef
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=)()()( 1 . 2
)1)(2(44)(
:ejemplo el Para
2
23
−−+−
=sss
sssF
Cálculo de coeficientes de polos múltiples:
T. de Laplace (complementos)
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tt eettf −−+= 232)(
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
−+
−++=
−−+−
=
11
211312
12)1)(2(44)(
2
22
23
ssss
sD
sC
sB
sA
ssssssF
También se puede hacer por identificación de coeficientes:
Finalmente, la transformada inversa es:
T. de Laplace (complementos)
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En general, para polos reales múltiples:
( ) ( )( ) con sNsDsF = ( ) ( ) ( ) ( )n
r pspspssD −−−= L21
( )( ) ( ) n
nr
rr
r
psa
psa
psa
psb
psb
psbsF
−++
−+
−+
−++
−+
−=
−− LL
3
3
2
2
1
11
1
1
1
( )( )( )1
1!1
ps
rj
j
jr pssFdsd
jb
=−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
( )( )[ ]ipsii pssFa =−=
1
1
1
1
]))(([)!1(
1
]))(([!
1
]))(([
]))(([
11
1
1
1
11
1
ps
rr
r
ps
rj
j
jr
ps
rr
psr
r
pssFdsd
rb
pssFdsd
jb
pssFdsdb
pssFb
−=−
−
−=−
−=−
−=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +=
+=
M
M
T. de Laplace (complementos)
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Caso III – Polos complejos conjugados
Ejemplo 1:
))(( *asas −−
iaas
Bas
BsA
ss2,
)4(4
*
*
2 =−
+−
+=+
21
)2(4
21
)2(4
14
4
2
*
2
02
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=
+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+=
−=
=
=
is
is
s
issB
issB
sA
conjugados complejos
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+
−−= *
11211
asass
Transformada inversa de Laplace:
)2cos(12
1)(22
teetxii
−=+
−=−
T. de Laplace (complementos)
Máster deEnsayos en Vuelo
(ETSIA-UPM)
ETSIA-UPM29.04.08 49
Ejemplo 2:
iaas
Bas
Bss
ssF 43,256
4)( *
*
2 +−=−
+−
=++
+=
)4(81
434
)4(81
434
43
*
43
iis
sB
iis
sB
is
is
+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−++
=
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+++
=
−−=
+−=
Transformada inversa de Laplace:
)cos(2)( φωσ += − teBtf t
245.0,4,3
,817),4(
81
−===
=−=
φωσ
BiB
)245.04cos(417)( 3 −=∴ − tetf t
donde
T. de Laplace (complementos)
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Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III,teniendo en cuenta que trabajamos con complejos.
En todos los casos se puede hacer uso de la identificación decoeficientes para determinar estos.
[ ]2 *))(( asas −−
T. de Laplace (complementos)
Caso IV – Polos complejos conjugados múltiples