MARCOS RIGIDOS TRIDIMENSIONALES POR EL MÉTODO DE JAMES M. GERE [Modo de compatibilidad]
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ANALISIS
ESTRUCTURAL
II
ANALISIS
ESTRUCTURAL
II
UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN
FACULTAD E INGENIERIA CIVIL
EAP: INGENIERIA CIVIL
IIII
SALVADOR SALAZAR
AUTOR:
OWNER HABACUC
SALVADOR SALAZAR
DOCENTE:
ING. ANTONIO
DOMIGUEZ MAGINO
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Obteniendo los desplazamientos encontraremos las fuerzas en las barras
AR=ARS+ARDD
Obteniendo los desplazamientos encontraremos las reacciones
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ADS=ADL+ADT+ADP+ADR
El Método nos propone que el vector ADS incluye :-El efecto de cargas -Temperatura-Deformación Previa - Desplazamiento de los apoyos
Del mismo modo Ams y ARS representan acciones en la estructura fija
AMS=AML+AMT+AMP+AMR
ARS=ARL+ART+ARP+ARR
Del mismo modo Ams y ARS representan acciones en la estructura fija debidas a todas las causas:
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MARCO PLANO
Se supone que las fuerzas aplicadas en el marco están en el
plano de la estructura (x-y).
MARCO TRIDIMENSIONAL
Las cargas pueden ser de cualquier tipo y orientación (x-y-z)
(x-y).
Se enumeran los nudos y miembros de
la estructura
Existe la posibilidad de que hayan 03 desplazamientos
independientes en cada nudo. Translaciones en las direcciones
x-y y giros en el sentido z.
Se enumeran nudos y miembros del mismo
modo que en sistemas planos.
Existe la posibilidad de que hayan 06 desplazamientos independientes en cada nudo;
translaciones en x-y-z y las rotaciones en los sentidos x-y-z.
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MARCO PLANO
El número n de grados de libertad se calcula:
n=3nj-nr
MARCO TRIDIMENSIONAL
El número n de grados de libertad se calcula:
n=6nj-nrn=3n -n
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RIGIDECES DE MIEMBROS DE MARCOS EN EL ESPACIO
Este es el caso mas general para el análisis de estructuras.
Parte del principio de 6 movimientos (giros y desplazamientos) en cada
extremo de las barras que componen la estructura ;para conseguir la rigidez
relativa producida debido a dicho movimientos.
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Eje
mp
lo d
e c
alc
ulo
de
ma
triz
de
rig
ide
zE
jem
plo
de
ca
lcu
lo d
e m
atr
iz d
e r
igid
ez
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SM: matriz de rigidez de miembro en la posición normal indicada en la figura anterior
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SMD: matriz de rigidez de miembro para los ejes de la
estructura, es lo mismo que la matriz SM x la matriz de rotación de ejes R
SMD = SM*RMARCO EN EL ESPACIO
Z
X
Yk
ij
i: miembro típico con cosenos
directores positivos
J, k: extremos del miembro.
El calculo de la matriz de rotación
R dependerá de la orientación de
los miembros
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ZX
Y
k
i
j
12
3
7
8
9
4
5
10
6
11
7 810
11
12
Z
ZX
Y
k
i
j
1
2
3
9
4
5
6
12
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OBTENCION DE LA MATRIZ R
ji k
γα XM
YM
,Xγ
YS
Yβ
YγROTACION DE EJES PARA UN
MIEMBRO EN EL ESPACIO
β: rotación de XS y zs
respecto al eje yS
γ: rotación de xβ y yβj
α ββ
γ
ZM
Xβ
XS
ZS
,ZγZβ
γ: rotación de xβ y yβrespecto al eje zβα: rotación de zγ y yγrespecto al eje xγYM Y ZM coinciden con los ejes principales de la sección transversal
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OBTENCION DE LA MATRIZ Rβ
ji k
γ XS
YS
Yβ
Z
cos β 0 sin β
0 1 0
-sinβ 0 cosβ
R β =
ββ
XβZS
Zβ Son los cosenos directores
de los ejes β (xβ, yβ, zβ ) con respecto a los ejes
(xs, ys, zs )
Sean los cosenos directores del miembro (i): cos (i x)=cx , cos(iy)=cy, cos(iz)=cz
cos β=cx/√(cx^2+cz^2) sin β=cz/√(cx^2+cz^2)
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OBTENCION DE LA MATRIZ Rγ
ji k
γ
Yγ Yβ
Z
cosγ sinγ 0
-sinγ cosγ 0
0 0 1R β =
γ , XγXM
, Z
Xβ
Zβ
Sean los cosenos directores del miembro (i): cos (i x)=cx , cos(iy)=cy, cos(iz)=cz y para este caso
cos γ=√(cx^2+cy^2) sin γ=cy
, Zγ Lo anterior muestra los cosenos directores de los
ejes γ (xγ, yγ, zγ ) con respecto a los ejes
(xβ, yβ, zβ )
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OBTENCION DE LA MATRIZ Rα
YMYβ
1 0 0
0 cosα sinα
0 -sinα cosαRα=
Zγ
αYpγ
Ypγ
ROTACION DE UN MIEMBRO DE UN MARCO EN EL ESPACIO
RESPECTO AL EJE XM
Lo anterior muestra los cosenos directores de los
ejes finales ( xM, yM, zM ) con respecto a los ejes
y
zM
α
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Luego R = Rα* Rγ* Rβ, remplazando los datos respectivamente y operando se obtiene la siguiente matriz
R=
-cx Cy Cz
(cx*cy cosα-czsinα)/ √(cx^2+cz^2)
√(cx^2+cz^2)cosα (-cz*cycosα+cxsinα)/ √(cx^2+cz^2)R= √(cx^2+cz^2) √(cx^2+cz^2)
(cx*cy sinα-czcosα)/ √(cx^2+cz^2)
√(cx^2+cz^2)sinα (cz*cysinα+cxcosα)/ √(cx^2+cz^2)
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Los cosenos directores de la anterior matriz cx, cy, cz se obtienen fácilmente dependiendo de las característi cas espaciales de los marcos y α siempre debe ser dato del problema. Luego la matriz de rotación transformada s erá:
R 0 0 0
0 R 0 0
0 0 R 0RT=
0 0 0 R
FINALMENTE:
SMD = RT’*SM*RT
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Siendo P un punto arbitrario e el plano XM - YM
ji k
XM
YMYS
P (XP, YP, ZP)XPS=XP-Xj
YPS=YP-Yj
ZPS=ZP-Zj
Luego:
XPY XPSYj
ZM
XS
ZS
(Xj, Yj, Zj)
XPY
YPY
ZPY
= RY*Rβ*XPS
YPS
ZPS
LUEGO RELACIONANDOESTOS DATOS GEOMETRICAMENTE
Sinα= zpy/√(ypy^2+ zpy^2)
cosα= ypy/√(ypy^2+ zpy^2)
XPS
YPS
ZPS
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0 Cy 0
-cy*cosα 0 sinαRVERT =
-cy*sinα 0 cosα
R
Sinα= zps/√(xps^2+ zps^2)
cosα= -zps/√(xps^2+ zps^2)
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![Page 23: MARCOS RIGIDOS TRIDIMENSIONALES POR EL MÉTODO DE JAMES M. GERE [Modo de compatibilidad]](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081718/5571f2e849795947648d3bea/html5/thumbnails/23.jpg)
a.-ingresamos las coordenadas de los nudos
a.-ingresamos otros datos adicionales
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c.-Designaciones de miembro, propiedades y orientaciones
d.-Restricciones de nudo
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a.- datos de cargab.-acciones aplicadas a los nudos
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NUDO 1
NUDO 1
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PARA LAS CARACTERISTICAS DEL EJERCICIO
DESPLAZAMINIENTOS DE NUDOS DESCONOCIDOS
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Por lo que nos resta calcular ADL (acciones de extremo en la estructura fijacorrespondiente a los desplazamientos desconocidos y debid o a todas lasCargas, excepto aquellos que corresponden a los desplazamientosdesconocidos )
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a.- hallamos la matriz de rotación transformada Rt (barra 1)
luego
Donde R=matriz de rotación
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b.- hallamos la matriz de rotación transformada Rt ( barra 2)
Donde R=matriz de rotación
luego
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C.- hallamos la matriz de rotación transformada Rt ( barra 3)
Donde R=matriz de rotación
luego
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![Page 34: MARCOS RIGIDOS TRIDIMENSIONALES POR EL MÉTODO DE JAMES M. GERE [Modo de compatibilidad]](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081718/5571f2e849795947648d3bea/html5/thumbnails/34.jpg)
![Page 35: MARCOS RIGIDOS TRIDIMENSIONALES POR EL MÉTODO DE JAMES M. GERE [Modo de compatibilidad]](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081718/5571f2e849795947648d3bea/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: MARCOS RIGIDOS TRIDIMENSIONALES POR EL MÉTODO DE JAMES M. GERE [Modo de compatibilidad]](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081718/5571f2e849795947648d3bea/html5/thumbnails/36.jpg)
SMD1=
NUDO 1
NUDO 2
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SMD2=
NUDO 3
NUDO 1
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SMD3=
NUDO 3
NUDO 1
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![Page 41: MARCOS RIGIDOS TRIDIMENSIONALES POR EL MÉTODO DE JAMES M. GERE [Modo de compatibilidad]](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081718/5571f2e849795947648d3bea/html5/thumbnails/41.jpg)
A =A +SDAD=ADS+SD
(AD-ADS)=SD
(S^-1)(AD-ADS)=D
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Donde:D{d,1} = Matriz de Desplazamientos Desconocidos.
AD{d,1} = Matriz de Cargas en la estructura Original asociado a los “Di”.
ADL{d,1} = Matriz de Cargas en la Estructura Fija asociado a los “Di”.
S{d,d} = Acciones en la estructura Fija correspondientes a los desplazamientos y debidos a valores unitarios de los desplazamientos (COEFICIENTES DE RIGIDEZ)
AM{m,1} = Acciones de extremo de los miembros de la estructura real.m: número de acciones de extremo
AML{m,1}= Acciones de extremo de miembro en la estructura fija debida a las cargas AML{m,1}= Acciones de extremo de miembro en la estructura fija debida a las cargas menos a los correspondientes a los desplazamientos “Di”.
AMD{m,d}= Acciones de extremos debidas a los valores unitarios de los desplazamientos de nudo.
AR{r,1} = Reacciones en los apoyos de la estructura real.
ARL{r,1} = Reacciones en la estructura fija debidas a todas las cargas menos a los correspondientes a los desplazamientos “Di”.
ARD{r,d} = Reacciones de apoyo debidas a los valores unitarios de los desplazamientos de nudo D.