MARCO TEÓRICOCuando el cuadrante se sumerge en agua, es posible analizar las fuerzas que

actúan sobre la cara sumergida del cuadrante de la siguiente manera:

La fuerza hidrostática, en cualquier punto de la curva es normal a la cara de la

superficie y por lo tanto resuelve a través del punto de pivote porque este se

encuentra en el eje de los radios. Las Fuerzas hidrostáticas en la parte superior

e inferior de la superficie curvada no tienen efecto neto, ni afecta el equilibrio de

la balanza es decir, porque todas estas fuerzas pasan a través del pivote.

Las fuerzas en los lados del cuadrante son horizontales y se anulan porque son

iguales y contrarias.

La fuerza hidrostática en la cara sumergida vertical es contrarrestada por el

equilibrio del peso. La fuerza hidrostática resultante en la cara puede ser

calculada a partir del valor del peso y el equilibrio de la profundidad del agua

como sigue:

Cuando el sistema está en equilibrio, los momentos sobre el punto de giro son

iguales.

mgL=Fh

Dónde:

m = es la masa en la percha de peso.

g = es la aceleración de la gravedad.

L = es la longitud del brazo de equilibrio.

F = es el empuje hidrostático.

h = es la distancia entre el eje y el centro de presión.

Por lo tanto calculando el empuje hidrostático y el centro de presión en la cara

frontal del cuadrante, podemos comparar los resultados teóricos y

experimentales. [1]

FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS

Los muros de contención que aparecen en las figuras a y b son ejemplos

clásicos de paredes rectangulares expuestas a una presión que varía desde

cero, en la superficie del fluido, a un máximo en el fondo de la pared. La fuerza

ejercida por la presión del fluido tiende a hacer girar la pared o romperla en el

sitio en que está fija al fondo.

Fig.1 Pared vertical. Fuente: Mecánica de fluidos, Robert Mott, 6ta edición

La fuerza real se distribuye sobre toda la pared, pero para el propósito del

análisis es deseable determinar la fuerza resultante y el lugar en que actúa, el

cual se denomina centro de presión. Es decir, si toda la fuerza se concentrara

en un solo punto ¿dónde estaría éste y cuál sería la magnitud de la fuerza?

Fig. 2

Distribución de la presión sobre el muro vertical de contención. Fuente: Mecánica de fluidos, Robert Mott,

6ta edición

Como lo indica la ecuación∆ p= yh, la presión varia en forma lineal (a la manera de una línea recta) con la profundidad del fluido. Las longitudes de las flechas punteadas representan la magnitud de la presión del fluido en puntos diferentes sobre muro.Como :

P= FA→F=PA

P y=dfdA

→df=P ydA

df =(P0+γ f y )dAFR=∫(¿ P0+γf y )dA¿FR=∫P0dA+∫ γf ydA

FR=P0∫ dA+γf∫ ydA

FR=P0 A+γ f y AFR=¿¿ (1)

Debido a que la presión varia en forma lineal, la fuerza resultante total se calcula por medio de la ecuación:

FR=p prom× A (1)

Donde pprom es la presión promedio y A el area total del muro. Pero la presión promedio es la que se ejerce en la mitad del muro, por lo que se calcula por medio de la ecuación:pprom= y (h/2) Donde h es la profundidad total del fluido.

Por tanto, tenemos Fr= y (h /2)A

La distribución de la presión mostrada en la figura 2 indica que sobre la parte inferior de la pared actúa una porción de fuerza mayor que sobre la parte superior.El centro de presión está en el centroide del triángulo de distribución de la presión, a untercio de la distancia desde el fondo de la pared. En ese punto, la fuerza resultante Fr actúa en forma perpendicular a la pared.

FUERZAS EN ÁREAS PLANAS SUMERGIDAS

Definimos la fuerza resultante como la suma de fuerzas sobre los elementos pequeños de interés La figura 3 ilustra este concepto. En realidad, la forma del

Área total Primer momento

de área

Presión a la profundidad

del centroide

área es arbitraria. En cualquier área pequeñadA existe una fuerza dF que actúa de modo perpendicular al área, debido a la presión p del fluido. Pero la magnitud de la presión a cualquier profundidad h en un líquido estático de peso específico y es P=γh. Entonces, la fuerza es

dF=P(dA)= yh (dA) (2)

Debido a que el área esta inclinada con un ángulo θ, es conveniente trabajar en su plano y usar y para denotar la posición sobre el área a cualquier profundidadh. Observe que

h= y senθ(3)Dondey se mide a partir del nivel de la superficie libre del fluido, a lo largo del ángulo de inclinación del área. Entonces,

dF=γ ( y senθ ) (dA ) (4)La suma de las fuerzas en toda la superficie se obtiene por medio del proceso matemático de integración,

FR=∫A

❑

dF=∫A

❑

γ ( y senθ)(dA)=γ senθ∫A

❑

y (dA)

Fig. 3. Desarrollo del procedimiento general para las fuerzas sobre áreas planas sumergidas. Fuente: Mecánica de fluidos, Robert Mott, 6ta edición

De la mecánica se sabe que ∫ y (dA) es igual al producto del área total por la distancia al centroide del área desde el eje de referencia. Es decir:

∫A

❑

y (dA)=LC A

Por tanto, la fuerza resultante FR esFR=γ senθ(LC A )(5)

Ahora, al hacer la sustitucion hc=LC senθ encontramos que

FR=γ hc A (6)

El centro de presión es el punto sobre el área donde se supone que actúa la fuerza resultante, en forma tal que tiene el mismo efecto que la fuerza distribuida en toda el área debido a la presión del fluido. Este efecto se expresa en términos del momento de una fuerza con respecto de un eje, a través de S perpendicular a la página.

Vea la figura 3. El momento de cada fuerza pequeña dF con respecto a dichoeje es:

dM=dF ∙ yPero dF=γ ( y senθ)(dA). Entonces,

dM= y [γ ( y senθ)(dA)]=γ senθ ( y2dA )Podemos encontrar el momento de todas las fuerzas sobre el área total integrando toda el área. Ahora, si suponemos que la fuerza resultante Fr actúa Entonces,

FR Lp=∫ γ senθ ( y2dA)=γ senθ∫( y2dA)Otra vez, de la mecánica se sabe que el momento de inercia I de toda el área con respecto al eje desde el que se mide y, se define como ∫( y¿¿2dA¿)¿¿ Entonces,

FR Lp=γsenθ( I )

Al despejar para Lpobtenemos

Lp=γsen θ(I )

FR

Al sustituir FR ,de acuerdo con la ecuación (5) tenemos

Lp=γsenθ( I )

γ senθ (LC A)= ILC A

(7)

Si manejamos el teorema de transferencia del momento de inercia logramos desarrollar una expresión más conveniente. Esto es,

I=IC+ALc2

Donde ICes el momento de inercia del area de interes con respecto de su propio eje centroidal, y LC es la distancia del eje de referencia al centroide. Así, la ecuación (7) se convierte en

Lp=I

LC A=IC+ALc

2

LC A=

ICLC A

+LC (8)

Una vez reordenada, obtenemos

Lp−LC=IC

LC A

Continuamos el desarrollo al crear una expresión para la profundidad vertical al centro de presión hp .Al comenzar a partir de la ecuación (8), observamos las relaciones siguientes:

hp=Lp senθ

Lc=hc

senθ

Por tanto,

hp=Lp senθ=senθ [ hcsenθ

+IC

( hcsenθ ) ]

hp=hc+IC sen

2θhc A

DISTRIBUCION DE LA FUERZA DE UNA SUPERFICIE CURVA SUMERGIDA

La figura 4 ilustra un tanque con un líquido con su superficie abierta a la atmosfera. Una parte de la pared izquierda es vertical y la porción inferior es un segmento de cilindro. En este caso, interesa la fuerza debido a la presión del fluido que actúa sobre la superficie curva.Una manera de visualizar el sistema de fuerza total involucrada es aislar el volumen de fluido que está directamente arriba de la superficie de interés, a manera de cuerpo libre, y mostrar todas las fuerzas que actúan sobre él, como se aprecia en la figura 5. Aquí, el objetivo es determinar la fuerza horizontal FH y la fuerza vertical FV, ejercidas sobre el fluido por la superficie curva y su fuerza resultante FR. La línea de acción de la fuerza resultante actúa a través del centro de curvatura de la superficie curva. Esto se debe a que cada uno de los vectores de fuerza individuales ocasionados por la presión del fluido, actúa en forma perpendicular a la frontera, la cual se ubica a lo largo del radio de la curvatura. En la figura 5 presentamos los vectores de la fuerza resultante.

Fig. 4 Tanque con una superficie curva conteniendo un fluido estático. Fuente: Mecánica de fluidos, Robert Mott, 6ta edición

Componente horizontal

La pared vertical solida a la izquierda ejerce fuerzas horizontales sobre el fluido en contacto con ella, cómo reaccionan a las fuerzas ocasionadas por la presión del fluido. La fuerza resultante F1 actúa a una distancia de h/ 3 del fondo de lapared.La fuerza F2 a sobre el lado derecho de la parte superior a una profundidad de h. tiene una magnitud igual que la deF1 y actúa en dirección opuesta. Así, estas no tienen ningún efecto sobre la superficie curva.Si sumamos las fuerzas en la dirección horizontal, vemos que FH debe ser igual a F2b , la cual actúa en la parte inferior del lado derecho. El área sobre la que actúa F2b es la proyección de la superficie curva en un plano vertical.La magnitud y ubicación de F2b las encontramos por medio de los procedimientos desarrollados para las superficies planas. Es decir,

F2b=γ hc A (9)

donde hces la profundidad al centroide del area proyectada. Para la superficie mostrada en la figura 5, el área proyectada es un rectángulo. Si denotamos al área del rectángulo como s, vemos quehc=h+s /2. Asimismo, el área es sw, donde w es el ancho de la superficie curva. Por tanto,

F2b=FH γsw(h+ s2)

La ubicacion de F2!} es el centro de presion del area proyectada. Otra vez, al usar lo*

principios desarrollados anteriormente obtenemoshP ~ K =Sin embargo, para el area rectangular proyectada tenemos,Ic = ws*! 12

A = .’vt/

Referencias

[1] Manual de Prácticas de Laboratorio de Mecánica de Fluidos. Ing.

Alfredo Abel Francisco

[2] Mecánica de Fluidos e Hidráulica. Renald V. Giles. McGraw Hill