Marco teórico ecuación de tres momentos:

Teniendo una carga apoyada de una forma cualquiera, y dividiéndola en dos tramos (1-2, 2-3), se observa cada uno de los tramos, y se ve que cada uno de ellos tiene una fuerza cortante y un momento flector, como representado en la

figura:

Usando el teorema de superposición de vigas, se pueden separar estas dos vigas en cuatro, dos para los momentos generados por el sistema, y otra usando sus respectivas cargas, como visto en la figura:

Como lo dice su nombre, la ecuación de tres momentos hace uso de la función de momentos de esta viga generalizada, por lo que se procede a obtener sus respectivos diagramas de momento flector.

L1 L2

321

q(x)

M2M1

V-2V1

M3

V-3V2

M2

M2M1

V-2’V1’

M3

V-3’V2’

M2

V-2’’V1’’ V-3’’V2’’

2/3L11/3L1

M2

M1

x

M(x)

2/3L21/3L2

x

M(x)

Teniendo eso, se procede a hacer la deducción de la ecuación haciendo uso del diagrama de la elástica de la viga, y el segundo teorema de área de momentos, como se muestra a continuación.

Por triángulos semejantes:

h1−t 1/2L1

=t 3/2−h3L2

t1 /2L1

+t 3/2L2

=h1L1

+h3L2

L2L1

b1a1

A1

x

M(x) b2a2

A2

x

M(x)

2

3

1

h3

h1

t3/2

t1/2

De los diagramas de momento flector se obtienen las desviaciones tangenciales para ambos segmentos de viga, incluyendo la superposición de los momentos y la carga.

t 1/2=1EI [A1a1+ 12 M 1 L1×

13L1+

12M 2L2×

23L1]

t 3/2=1EI [A2b2+ 12 M 2 L2×

23L2+

12M 3L2×

13L2]

Teniendo estos valores se sustituyen en la deducción de la ecuación de tres momentos:

1EI [A1a1+ 12M 1L1×

13L1+

12M2 L2×

23L1]

L1+

1EI [A2b2+ 12 M 2L2×

23L2+

12M 3L2×

13L2]

L2=h1L1

+h3L2

Haciendo las multiplicaciones, la división entre las longitudes y simplificando:

M 1L1+M 2 (L1+L2 )+M 3L2+6 A1a1L1

+6 A2b2L2

=6 EI ( h1L1 +h3L2 )