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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Marcela Svarc1
1Universidad de San Andres - CONICET
XV Congreso Dr. Antonio Monteiro
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Resumen
1 Definicion y Propiedades de una Medida de ProfundidadAlgunos Ejemplos
2 AplicacionesClasificacion
3 Limitaciones de las medidas de profundidad
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Resumen
1 Definicion y Propiedades de una Medida de ProfundidadAlgunos Ejemplos
2 AplicacionesClasificacion
3 Limitaciones de las medidas de profundidad
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Introduccion
Para una distribucion P en Rd , una funcion de profundidad,D(x ,P), provee un orden del centro hacia afuera para puntosx ∈ Rd basado en P.
Interpretar “orden del centro hacia afuera”sugiere dos cosas
Una nocion relevante de centro.
Los puntos cerca del centro deberıan tener mayor profundidadque los mas lejanos.
De estas consideraciones se desprende que el “centro”debe constarde los puntos que maximizen globalmente la funcion deprofundidad.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Introduccion
Para una distribucion P en Rd , una funcion de profundidad,D(x ,P), provee un orden del centro hacia afuera para puntosx ∈ Rd basado en P.Interpretar “orden del centro hacia afuera”sugiere dos cosas
Una nocion relevante de centro.
Los puntos cerca del centro deberıan tener mayor profundidadque los mas lejanos.
De estas consideraciones se desprende que el “centro”debe constarde los puntos que maximizen globalmente la funcion deprofundidad.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Introduccion
Para una distribucion P en Rd , una funcion de profundidad,D(x ,P), provee un orden del centro hacia afuera para puntosx ∈ Rd basado en P.Interpretar “orden del centro hacia afuera”sugiere dos cosas
Una nocion relevante de centro.
Los puntos cerca del centro deberıan tener mayor profundidadque los mas lejanos.
De estas consideraciones se desprende que el “centro”debe constarde los puntos que maximizen globalmente la funcion deprofundidad.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Introduccion
Para una distribucion P en Rd , una funcion de profundidad,D(x ,P), provee un orden del centro hacia afuera para puntosx ∈ Rd basado en P.Interpretar “orden del centro hacia afuera”sugiere dos cosas
Una nocion relevante de centro.
Los puntos cerca del centro deberıan tener mayor profundidadque los mas lejanos.
De estas consideraciones se desprende que el “centro”debe constarde los puntos que maximizen globalmente la funcion deprofundidad.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Introduccion
Para una distribucion P en Rd , una funcion de profundidad,D(x ,P), provee un orden del centro hacia afuera para puntosx ∈ Rd basado en P.Interpretar “orden del centro hacia afuera”sugiere dos cosas
Una nocion relevante de centro.
Los puntos cerca del centro deberıan tener mayor profundidadque los mas lejanos.
De estas consideraciones se desprende que el “centro”debe constarde los puntos que maximizen globalmente la funcion deprofundidad.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesProfundidad del semiespacio (Tukey, 1975)
Sea x ∈ Rp, la profundidad de x con respecto a una medida deprobabilidad P en Rp se define como la mınima probabilidad quequeda determinada por cualquier semiespacio cerrado quecontenga x , es decir,
HD(x ,P) = ınfP(H) : H es un semiespacio cerrado que contenga a x,
x ∈ Rp.
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesProfundidad del semiespacio (Tukey, 1975)
La version muestral es la siguiente, sea x ∈ Rd , la profundidad dex respecto de una muestra X1,X2, . . . ,Xn tambien Rd es la menorfraccion de puntos de la muestra que hay en un semiespaciocerrado que contenga a x , es decir,
HDn(x) =mınu∈Rp ]i : X ′i u ≥ x ′u
n.
En el caso real, tiene una formulacion explıcita y sencilla. Siconsideramos P una medidad de probabilidad en R y X unavariable aletoria con funcion de distribucion acumulada F , entonces
HD(x ,P) = mınF (x), 1− F (x−).
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesProfundidad del semiespacio (Tukey, 1975)
25 puntos
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesProfundidad del semiespacio (Tukey, 1975)
25 puntos
13/25
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesProfundidad del semiespacio (Tukey, 1975)
25 puntos
3/25
Profundidad del semiespacio de Tukey
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesProfundidad del semiespacio (Tukey, 1975)
25 puntos
1/25
De este modo habría que probar con todos los hiperplanosque contengan al punto señalado
Profundidad del semiespacio de Tukey
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesProfundiad Simplicial (Liu, 1990)
Sea x ∈ Rp, la profundidad de x con respecto a una medida deprobabilidad P en Rp se define la probabilidad de que x pertenezcaa un sımplice aleatorio en Rp, es decir,
SD(x ,P) = P(x ∈ S [X1, . . . ,Xp+1]), x ∈ Rp,
donde X1, . . . ,Xp+1 es una muestra aleatoria de con distribucion Py S [X1, . . . ,Xp+1] denota un sımplice aleatorio d-dimensional convertices en xl , . . . , xp+l , es decir, es el conjunto de todos los puntosde Rp que son combinaciones convexas de x1, . . . , xd+l .
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesProfundiad Simplicial (Liu, 1990)
Definicion muestral, sea X1, . . . ,Xn una muestra aleatoria en Rp,la profundidad simplicial de un punto x ∈ Rp es
SDn(x) =
(n
p + 1
)−1 ∑1≤i1<i2<···<ip+1≤n
Ix ∈ S [Xi1 , . . . ,Xip+1 ],
donde I es la funcion indicadora.En el caso univariado, la funcion de profundidad simplicial esSD(x ,P) = F (x)(1− F (x−)), donde F es la funcion dedistribucion acumulada.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesProfundiad Simplicial (Liu, 1990)
25 puntos
Profundidad del simplicial
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesProfundiad Simplicial (Liu, 1990)
25 puntos
Profundidad del simplicial
Y así continuar con todos los símplices posibles
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesProfundiad Simplicial (Liu, 1990)
25 puntos
Profundidad del simplicial
Y así continuar con todos los símplices posibles
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Propiedades
P.1. Invarianza AfınLa profundidad de un punto x ∈ Rd no deberıa depender delsistema de coordenadas, en particular de la escala del sistemade medicion.
P.2. Maximalidad al centroPara una distribucion que tenga un unico centro definido, porejemplo, un punto de simetrıa, la profundidad se maximizarıaen dicho punto.
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Propiedades
P.1. Invarianza AfınLa profundidad de un punto x ∈ Rd no deberıa depender delsistema de coordenadas, en particular de la escala del sistemade medicion.
P.2. Maximalidad al centroPara una distribucion que tenga un unico centro definido, porejemplo, un punto de simetrıa, la profundidad se maximizarıaen dicho punto.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Propiedades
P.3. Monotonıa respecto del punto de maxima profundidadA medida que x ∈ Rd se aleja del punto mas profundo a lolargo de cualquier rayo fijo la profundidad de x deberıadecrecer.
P.4. Se anula en el infinitoLa profundidad de un punto x deberıa aproximarse a cero si‖x‖ es demasiado grande.
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Propiedades
P.3. Monotonıa respecto del punto de maxima profundidadA medida que x ∈ Rd se aleja del punto mas profundo a lolargo de cualquier rayo fijo la profundidad de x deberıadecrecer.
P.4. Se anula en el infinitoLa profundidad de un punto x deberıa aproximarse a cero si‖x‖ es demasiado grande.
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Propiedades
Existen medidas de profundidad que no satisfacen P.3. y que en sulugar cumplen una condicion de cuasi-concavidad como funcionde x, es decir que el conjunto x : D(x ;P) ≥ c es convexo paracualquier numero real c.
Por otra parte, es bueno que las medidas de profundidad sean“continuas”, es decir, que cumplan
P.5. Continuidad como funcion de xEs esperable pensar que si dos puntos se encuentran losuficientemente cerca las profundidades no sean demasiadodistintas
P.6. Continuidad como funcion de P.Analogo a la propiedad anterior para distribuciones.
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Propiedades
Existen medidas de profundidad que no satisfacen P.3. y que en sulugar cumplen una condicion de cuasi-concavidad como funcionde x, es decir que el conjunto x : D(x ;P) ≥ c es convexo paracualquier numero real c.Por otra parte, es bueno que las medidas de profundidad sean“continuas”, es decir, que cumplan
P.5. Continuidad como funcion de xEs esperable pensar que si dos puntos se encuentran losuficientemente cerca las profundidades no sean demasiadodistintas
P.6. Continuidad como funcion de P.Analogo a la propiedad anterior para distribuciones.
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Propiedades
Existen medidas de profundidad que no satisfacen P.3. y que en sulugar cumplen una condicion de cuasi-concavidad como funcionde x, es decir que el conjunto x : D(x ;P) ≥ c es convexo paracualquier numero real c.Por otra parte, es bueno que las medidas de profundidad sean“continuas”, es decir, que cumplan
P.5. Continuidad como funcion de xEs esperable pensar que si dos puntos se encuentran losuficientemente cerca las profundidades no sean demasiadodistintas
P.6. Continuidad como funcion de P.Analogo a la propiedad anterior para distribuciones.
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Definicion
Definicion (Funcion de Profundidad)
Sea D(·, ·) : Rd × P→ R una funcion acotada y no negativa quesatisface:
1 D(Ax + b,PAX+b) =D(x ,PX ) para todo vector aleatorio X ∈ Rd vector aleatorio,para todo matriz A ∈ Rdxd no singular y para cualquier vectorb ∈ Rd .
2 D(θ,P) = supx∈Rd
D(x ,P), para cualquier P ∈ P con centro θ.
3 Para toda P ∈ P con punto mas profundo θD(x ,P) ≤ D(θ + α(x − θ),P), para cualquier α ∈ [0, 1].
4 lım‖x‖→+∞
D(x ,P) = 0, para todo P ∈ P.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Definicion
Si ademas quisieramos que se cumplieran P.5. y P.6., deberıamospedir que
5. Fijada P ∈ P D(·,P) : Rd → R es continua.
6. Fijado x ∈ Rd D(x , ·) : P→ R es continua.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Definicion
Definicion (Simetrıa)
Sea X ∈ Rd un vector aleatorio decimos que:
Es Centralmente simetrico (C-simetrico) respecto de θ si ladistribucion de X − θ es la misma que la de θ − X .
Es Angularmente simetrico (A-simetrico) respecto de θ si(X − θ)/‖X − θ‖ es centralmente simetrico respecto delorigen.
Es Semiespacialmente simetrico (H-simetrico) respecto deθ si P(X ∈ H) ≥ 1
2 para todo H semiespacio cerrado tal queθ ∈ H.
Observacion
Es claro que C-simetrico ⇒ A-simetrico ⇒ H-simetrico.
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Definicion
Definicion (Simetrıa)
Sea X ∈ Rd un vector aleatorio decimos que:
Es Centralmente simetrico (C-simetrico) respecto de θ si ladistribucion de X − θ es la misma que la de θ − X .
Es Angularmente simetrico (A-simetrico) respecto de θ si(X − θ)/‖X − θ‖ es centralmente simetrico respecto delorigen.
Es Semiespacialmente simetrico (H-simetrico) respecto deθ si P(X ∈ H) ≥ 1
2 para todo H semiespacio cerrado tal queθ ∈ H.
Observacion
Es claro que C-simetrico ⇒ A-simetrico ⇒ H-simetrico.
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Definicion
Definicion (Simetrıa)
Sea X ∈ Rd un vector aleatorio decimos que:
Es Centralmente simetrico (C-simetrico) respecto de θ si ladistribucion de X − θ es la misma que la de θ − X .
Es Angularmente simetrico (A-simetrico) respecto de θ si(X − θ)/‖X − θ‖ es centralmente simetrico respecto delorigen.
Es Semiespacialmente simetrico (H-simetrico) respecto deθ si P(X ∈ H) ≥ 1
2 para todo H semiespacio cerrado tal queθ ∈ H.
Observacion
Es claro que C-simetrico ⇒ A-simetrico ⇒ H-simetrico.
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Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Definicion
Definicion (Simetrıa)
Sea X ∈ Rd un vector aleatorio decimos que:
Es Centralmente simetrico (C-simetrico) respecto de θ si ladistribucion de X − θ es la misma que la de θ − X .
Es Angularmente simetrico (A-simetrico) respecto de θ si(X − θ)/‖X − θ‖ es centralmente simetrico respecto delorigen.
Es Semiespacialmente simetrico (H-simetrico) respecto deθ si P(X ∈ H) ≥ 1
2 para todo H semiespacio cerrado tal queθ ∈ H.
Observacion
Es claro que C-simetrico ⇒ A-simetrico ⇒ H-simetrico.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesFunciones de Profundidad Tipo A
Dados x1, . . . , xp puntos en Rp, y una funcion de proximidad entreun punto x ∈ Rp y a los puntos x1, . . . , xr , h(x ; x1, . . . , xr ), dondeesta funcion es nonegativa y acotada, se define la profundidadcomo
DA(x ,P) = E (h(x ;X1, . . . ,Xr )).
Algunos ejemplos son la profundidad simplicial dondeh(x ; x1, . . . , xr ) = Ix∈S[x1,...,xp+1.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesFunciones de Profundidad Tipo A
La profundidad mayorante (Singh, 1991) dados x1, . . . , xp puntosen Rp que determinan un unico hiperplano que lo contengan, apartir de el mismo quedan determinados dos semi-espacioscerrados con este hiperplano como lımite. Denotamos por HP
x1,...,xpal semiespacio que tenga probabilidad (P) mayor o igual que 0.5,luego la profundidad mayorante esta dada por
MJD(x ,P) = P(x ∈ HPX1,...,Xp
), x ∈ Rp,
donde X1, . . . ,Xp es una muestra aleatoria de la distribucion P.En este caso h(x ; x1, . . . , xr ) = Ix∈HP
x1,...,xp.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesFunciones de profundidad tipo B
Sea h(x ; x1, . . . , xr ) una funcion no negativa y no acotada quemide en cierto modo distancia entre el punto x ∈ Rp y x1, . . . , xr ,se definen las funciones de profundidad tipo B como
Db(x ,P) = (1 + E (h(x ;X1, . . . ,Xr )))−1,
donde X1, . . . ,Xr es una muestra aleatoria de P. Por ejemplo,consideramos la Profundidad simplicial de volumen, sea
h(x ; x1, . . . , xp) =(
∆(S[x ;X1,...,Xp ])
det(√
Σ)
)α, donde X1, . . . ,Xp es una
muestra aleatoria de P, Σ es la matriz de covarianza de P,∆(S [x ;X1, . . . ,Xp]) es el volumen del simplex p dimensional yα > 0.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesMedidas de profundidad de tipo C
Sea O(x ,P) una medida de atipicidad de x con respecto al centroo al punto mas profundo de P, se puede definir una medida deprofundidad del siguiente modo
DC (x ,P) = (1 + O(x ,P))−1
Especıficamente, si O(x ,P) = sup‖u‖=1|u′x−med(u′X )|
MAD(u′X ) , donde Xtiene distribucion P, med es la mediana unidimensional y MAD esla desviacion absoluta mediana entonces queda definida laprofundidad de proyeccion
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunas definicionesMedidas de profundidad de tipo D
Sea C una clase de subconjuntos cerrados de Rp y P una medidade probabilidad en Rp, se define una medida de probabilidad tipoD como
DD(x ,P; C) = ınfCP(C ) tal que x ∈ C ∈ C,
la profundidad de un punto x es la mınima probabilidad que puedetener un conjunto C ∈ C que lo contenga. La clase de conjuntos Cdebe satisfacer las siguientes propiedades
Si C ∈ C luego C c ∈ C.Para C ∈ C y x ∈ C existe C1 ∈ C tal que x ∈ ∂C1 ⊂ C .
Especıficamente, si C es la clase de los subespacios cerradosentonces la profundidad del semiespacio pertenece a esta familia.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunos ejemplos
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunos Ejemplos
Profundidad de Tukey Aleatorizada
Un problema que presentan las profundidades es su alto costocomputacional, posibles soluciones son computarlas en formaaproximada, esto suele hacerse aleatoriazando. Por ejemplo,Cuesta-Albertos y Nieto-Reyes (2008) definen la Profundidad deTukey Aleatorizada para datos multivariados.
Definicion
Sea P ∈ P. Sea υ ∈ P absolutamente continua y sean υ1, . . . , υkvectores aleatorios i.i.d. con distribucion υ. La Profundidad deTukey Aleatorizada de x ∈ Rp con respecto a P basada en kvectores aleatorios elegidos con υ es
DT ,k,υ(x ,P) = minD1(Πυi (x),P Π−1υi
) : 1 ≤ i ≤ k, x ∈ Rp.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunos Ejemplos
Propiedades
Hiperplano Simplicial Mayorante Proyecciones Hiperplanoaleatorizada
P. 1.Inv. Afín
P. 2. Max. En en centro
P. 3. Monoton. centro
P. 4. Se anula en ∞
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunos Ejemplos
Propiedades
Hiperplano Simplicial Mayorante Proyecciones Hiperplanoaleatorizada
P. 1.Inv. Afín
P. 2. Max. En en centro
P. 3. Monoton. centro
P. 4. Se anula en ∞
En prob
ContA-sim
ContA-sim
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Definicion y Propiedades de una Medida de Profundidad
Algunos Ejemplos
Propiedades
Hiperplano Simplicial Mayorante Proyecciones Hiperplanoaleatorizada
P. 1.Inv. Afín
P. 2. Max. En en centro
P. 3. Monoton. centro
P. 4. Se anula en ∞
En prob
Disc.C-sim
Disc.C-sim
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Resumen
1 Definicion y Propiedades de una Medida de ProfundidadAlgunos Ejemplos
2 AplicacionesClasificacion
3 Limitaciones de las medidas de profundidad
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Aplicaciones
Regiones de profundidad: Serfling (2004).
Tests de posicion y diferencias de escala: Liu et al. (1999) y Liy Liu (2004).
Diagnostico de no normalidad: Liu et al. (1999).
Deteccion de outliers: Chen et al. (2009).
Clasificacion: Ghosh y Chaudhuri (2005), Li et al. (2012),Cuevas y Fraiman (2009), Dutta y Ghosh (2012), Paindaveineand Van Bever (2012), Cuesta-Albertos et al. (2017), entreotros.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Marco general
Muestra de entrenamiento
observaciones, variables, caracterısticas registradas.etiquetas indicando la naturaleza de las observaciones, es decir,a que categorıa pertenecen.
Muestra de clasificacion
observaciones, variables, caracterısticas registradas.etiquetas desconocidas.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Marco general
Muestra de entrenamiento
observaciones, variables, caracterısticas registradas.etiquetas indicando la naturaleza de las observaciones, es decir,a que categorıa pertenecen.
Muestra de clasificacion
observaciones, variables, caracterısticas registradas.etiquetas desconocidas.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
El clasificador
x ∈ E ,
y ∈ 1, ..., g
Clasificador
g : E → 1, ..., g
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Reglas de clasificacion
Analisis Discriminante de Fisher
k-Vecinos mas cercanos
CART
Support Vector Machine
DD-clasificador
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Reglas de clasificacion
Analisis Discriminante de Fisher
k-Vecinos mas cercanos
CART
Support Vector Machine
DD-clasificador
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Clasificador de Maxima Profundidad
La idea es la siguiente:
Dadas dos probabilidades P, Q y D una funcion de profundidad seclasifica a un punto x como proveniente de P siD(x ,P) > D(x ,Q).
El procedimiento se encuentra desarrollado en su totalidad enGhosh y Chaudhuri (2005).
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
El DD-plot es una herramienta para comparar dos distribuciones omuestras multivariadas; introducido por Liu et al (1999).
Consideramos dos conjuntos de datos x1, . . . , xn e y1, . . . , ymgenerados por las distribuciones P y Q en Rp respectivamente.
Un DD-plot es un grafico de dispersion entre las profundidades delas observaciones x1, . . . , xn, y1, . . . , ym respecto de laprofundidad P versus las profundidades del mismo conjunto deobservaciones respecto de la profundidad Q, donde lasprofundidades provenientes de cada muestra deben serdistinguidas, por ejemplo utilizando distinto color.
Sin importar la dimension del espacio al cual pertenezcan lasobservaciones, el DD-plot siempre es un grafico bidimensional.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Ejemplo
Generamos un conjunto de datos de 400 puntos a partir de dosdistribuciones distintas:
P ∼ N2(µ1, I2), donde µ1 = (0, 0) y I2 es la matriz identidadde 2× 2.
Q ∼ N2(µ2, I2), donde µ2 = (2, 2).
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Figura: Rojo: P. Azul: Q
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Figura: Rojo: P. Azul: Q
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Ejemplo
Generamos un conjunto de datos de 200 puntos a partir de dosdistribuciones distintas:
P ∼ N2(µ, I1), donde µ = (0, 0) y I1 es la matriz identidad de2× 2.
Q ∼ N2(µ, I2), donde I2 = 4I1.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Figura: Rojo: P. Azul: Q
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Figura: Rojo: P. Azul: Q
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
DDG − clasificador
Cuesta-Albertos et al (2015) extienden la clasificacion viaprofundidades a mas de un grupo. Supongamos que tenemos unespacio χ donde tenemos g clases o grupos y D una medida deprofundidad, queremos clasificar x ∈ χ, luego
χ→ Rg
x → (D1(x), . . . ,Dg (x)),
ahora podemos aplicar algun clasificador en el espaciog -dimensional.
Como elegir la profundidad?
Elegir una clasificador, para el problema en dimension baja.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Ejemplos
Figura: Berkeley Growth Study
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Ejemplo
Figura: Berkeley Growth Study DD-plot
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Ejemplo
0 2 4 6 8 10
02
46
810
DD−plot(mode,MaxD)
depth 1
dept
h 2
Class Rule
1
2
Data points
1
2
Figura: Berkeley Growth Study DD-plot
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
Aplicacion
0 2 4 6 8 10
02
46
810DD−plot(mode,np)
depth 1
dept
h 2
Class Rule
1
2
Data points
1
2
Figura: Berkeley Growth Study DD-plot
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Aplicaciones
Clasificacion
DDG − clasificador
En el mismo trabajo, se extiende esta idea para poder utilizarvarios clasificadores a la vez. Por ejemplo, si tenemos tres grupos(g = 3) y dos clasificadores, entonces
x → (D11 (x),D2
1 (x),D31 (x),D1
2 (x),D22 (x),D3
2 (x)),
y realizamos la clasificacion en el espacio de dimension 3× 2 = 6,sin importar la dimension del espacio original.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
Resumen
1 Definicion y Propiedades de una Medida de ProfundidadAlgunos Ejemplos
2 AplicacionesClasificacion
3 Limitaciones de las medidas de profundidad
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
Profundidades Locales
Las profundidades globales no pueden captar la estructura en datoscon soporte que no sea convexo ni cuando hay multiples centros.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
Las profundidades globales no pueden captar la estructura en datoscon soporte que no sea convexo ni cuando hay multiples centros.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
Con el espıritu de captar multiples centros, su localizacion eimportancia relativa; en los ultimos anos se han definidoprofundidades locales:
2011: Agostinelli, C. and Romanazzi, M., “Local Depth.”
2013: Paindavaine, D. and Van Bever, “From depth to localdepth: A focus in centrality.”
2018: Agostinelli, C., “Local half-region depth for functionaldata.”
2018: Fernandez-Piana, L. and Svarc, M. “A Local DelpthMeasure for General Data.”
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
Profundidad local de Paindavaine-Van Bever
Sea X variable aleatoria continua con funcion de distribucionacumulada F , sea x ∈ R y sea β ∈ (0, 1].
Sea λβx = inf λ > 0 : F (x + λ)− F (x − λ) ≥ β.
Definicion
Profundidad Local Simplicial Univariada,
LDβS (x ,F ) =
2
β2(F (x + λβx )− F (x))(F (x)− F (x − λβx )).
Analogamente podemos tener una version local para laProfundidad del Semiespacio,
LHDβ(x ,F ) =1
βmin(F (x + λβx )− F (x),F (x)− F (x − λβx )),
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
Profundidad local de Paindavaine-Van Bever
Sea X variable aleatoria continua con funcion de distribucionacumulada F , sea x ∈ R y sea β ∈ (0, 1].
Sea λβx = inf λ > 0 : F (x + λ)− F (x − λ) ≥ β.
Definicion
Profundidad Local Simplicial Univariada,
LDβS (x ,F ) =
2
β2(F (x + λβx )− F (x))(F (x)− F (x − λβx )).
Analogamente podemos tener una version local para laProfundidad del Semiespacio,
LHDβ(x ,F ) =1
βmin(F (x + λβx )− F (x),F (x)− F (x − λβx )),
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
Profundidad Local Dual Integrada
Definicion
Sea Ω un espacio de probabilidad y E un espacio de Banachseparable, notemos E′ al dual del Banach. Sea X : Ω→ E unelemento aleatorio en E con distribucion P y Q una medida deprobabilidad sobre E′ independiente de P, β ∈ (0, 1] y x ∈ E.Definimos la Profundidad Local Dual Integrada (IDLD),
IDLDβ(x ,P) =
∫LDβ
S (f (x),Pf )dQ(f ),
donde LDβS es la profundidad local simplicial univariada, f ∈ E′ y
Pf es la distribucion univariada de f (X ).
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
IDLDPropiedades
P.1. Sea E = Rd con la norma euclıdea y X ∈ E un vectoraleatorio, sea Q la medida uniforme en la esfera unidad de E′independiente de PX . Sea A : E→ E una transformacionortogonal y β ∈ (0, 1]. EntoncesIDLDβ(Ax ,PAX ) = IDLDβ(x ,PX ).
Se puede definir una version de la IDLD que sea invariante afın si laX es un vector aleatorio con matriz de covarianza ΣX no singular.
IDLDβaf (x ,PX ) = IDLDβ
(Σ−1/2X x ,P
Σ−1/2X X
).
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
IDLDPropiedades
P.1. Sea E = Rd con la norma euclıdea y X ∈ E un vectoraleatorio, sea Q la medida uniforme en la esfera unidad de E′independiente de PX . Sea A : E→ E una transformacionortogonal y β ∈ (0, 1]. EntoncesIDLDβ(Ax ,PAX ) = IDLDβ(x ,PX ).
Se puede definir una version de la IDLD que sea invariante afın si laX es un vector aleatorio con matriz de covarianza ΣX no singular.
IDLDβaf (x ,PX ) = IDLDβ
(Σ−1/2X x ,P
Σ−1/2X X
).
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
IDLDPropiedades
Definicion
Sea X una variable aleatoria en la recta real y β ∈ (0, 1], decimosque X es β-simetrico en θ si la distribucion acumulada F satisfaceque,
F(θ + λβ
′
θ
)− F (θ) =
β′
2, para todo 0 < β′ ≤ β.
Un elemento aleatorio X en un espacio de Banach E es β-simetricoen θ si para todo f ∈ E′ no nulo,
Ff
(f (θ) + λβ
′
f (θ)
)− Ff (f (θ)) =
β′
2, para todo 0 < β′ ≤ β.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
IDLDPropiedades
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
IDLDPropiedades
P.2. Sea X ∈ E un elemento aleatorio continuo y β-simetrico en θ.Para β ∈ (0, 1] tenemos que,
IDLDβ′(θ,PX ) = maxx∈E
IDLDβ′(x ,PX ), para todo 0 < β′ ≤ β.
Propiedad: Sea X ∈ E un elemento aleatorio continuo C -simetricoen θ, entonces X es β-simetrico en θ para cada β ∈ (0, 1].
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
IDLDPropiedades
P.2. Sea X ∈ E un elemento aleatorio continuo y β-simetrico en θ.Para β ∈ (0, 1] tenemos que,
IDLDβ′(θ,PX ) = maxx∈E
IDLDβ′(x ,PX ), para todo 0 < β′ ≤ β.
Propiedad: Sea X ∈ E un elemento aleatorio continuo C -simetricoen θ, entonces X es β-simetrico en θ para cada β ∈ (0, 1].
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
IDLDPropiedades
P.3. Sea E un espacio de Banach separable con dual E′. Sea X unelemento aleatorio continuo C -simetrico en θ ∈ E con medidade probabilidad asociada P. Sea Q una medida deprobabilidad en E′ independiente de P y supongamos quepara todo f ∈ E′ se cumple que f (X ) tiene funcion dedensidad unimodal en f (θ). Entonces, bajo condiciones deregularidad, para todo x ∈ E y β ∈ (0, 1],
IDLDβ(x ,P) ≤ IDLDβ((1−t)θ+xt,P) para todo t ∈ [0, 1].
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
IDLDPropiedades
P.4. Supongamos que
sup‖u‖=1
f : f (u) ≤ ε = O(ε),
donde O(ε) es una funcion tal que O(ε) −−→ε→0
0 luego,
IDLDβ(x ,P) −−−−−−→||x ||→+∞
0.
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
IDLDPropiedades
P.5. Sea X ∈ E (separable) un elemento aleatorio continuo conmedida de probabilidad asociada P y β ∈ (0, 1], entoncesIDLDβ(·,P) : E→ R es continua.
P.6. Sea E un Banach separable y sea (Pn)n≥1 una sucesion demedidas de probabilidad definidas en E tales que Pn convergedebilmente a P. Entonces, para todo β ∈ (0, 1],IDLDβ(x ,Pn) −−−−→
n→+∞IDLDβ(x ,P).
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
Ejemplo: Inflacion y PBI
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
Ejemplo: Inflacion y PBI
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
Ejemplo: Inflacion y PBI
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Algunas Medidas de Profundidad y Aplicaciones
Limitaciones de las medidas de profundidad
Growth data set, continuacion
5 10 15
8010
012
014
016
018
0
Age
Hei
ght
Boys
Girls
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Beta
Mis
clas
sific
atio
n ra
te