Manual Matematica UES21 - Bocco

Ninguna parte de esta publicación, puede ser reproducida o almacenada o transmitida en alguna manera ni por ningún medio, ya sea electrónico, químico, mecánico, óptico, de grabación o fotocopia, sin previa autorización del editor.

Universidad Empresarial Siglo 21

Whitney International University System

Rector: Juan Carlos Rabbat

Director de Operaciones de Whitney International University System: Nestor Ferraresi

Decano de Educación Distribuida: Fernando Sastre

Director de Tecnología: Jose Garello

Directora Académica: Maria Belén Mendé

Directora de Comunicación: Cristina Schwander

Director de Marketing: Martin Vásquez

Directora de Operaciones: Valeria Domínguez

Secretaria de alumno: Maria Eugenia Scocco

Coordinadora general: Elida Gimenez

Procesamiento metodológico y didáctico: Olga Singeser

Corrector de estilo gramatical: Rodolfo Bellomo

Revisión Editorial: Diego Yorbandi y Mariana Vigo

Derechos Reservados Editorial:ISBN: Universidad Empresarial Siglo 21Mons. Pablo Cabrera Km 8 1⁄2. Camino a Pajas Blancas Córdoba, Argentina

Impreso en Argentina

MATEMÁTICA II

Lic. Mónica Bocco

EDUCACIÓN DISTRIBUIDA


Índice

Presentación del tutor 5

Carta al Alumno 6

Orientación del aprendizaje 7

Fundamentación 8

Objetivos Generales 9

Programa de contenidos 9

Esquema conceptual de la asignatura 11

Bibliografía 11

Evaluación y acreditación de la asignatura 13

Módulo 1: Funciones. Funciones lineales y cuadráticas 15

Objetivos específicos 17

Esquema conceptual 18

Desarrollo de contenidos 19

Funciones 19

Funciones lineales 22

Funciones cuadráticas 25

Autoevaluación 28

Respuestas a la autoevaluación 31

Módulo 2: Funciones exponenciales, logarítmicas

y trigonométricas. Límite de funciones 33




Funciones exponenciales 37

Funciones logarítmicas 39

Funciones trigonométricas 41

Autoevaluación 50

Respuestas a la autoevaluación 54

Módulo 3: Continuidad de Funciones. Derivada de funciones

y aplicaciones de la derivada 57




Funciones continuas 60

Derivada de funciones 62

Aplicaciones de la derivada de funciones 69

Autoevaluación 72

Respuesta a la autoevaluación 75

Módulo 4: Aplicaciones de la derivada. Integral de funciones

y aplicaciones de la integral 79




Aplicaciones de la derivada de funciones 83

Integral de funciones 87

Aplicaciones de la integral de funciones 90

Matemática

5


Autoevaluación 94

Respuesta a la autoevaluación 97

Matemática

5


MATEMÁTICA

Presentación del tutor

Profesora

Mónica Bocco

Datos del Tutor

• Profesora en Matemática. Universidad Nacional de Río Cuarto.

• Licenciada en Matemática. Universidad Nacional de Río Cuarto

• Magíster en Demografía. Universidad Nacional de Córdoba

• Profesora Asociada (por concurso) Universidad Nacional de Córdoba (1986-2008)

• Prof. Titular. Universidad Empresarial Siglo 21. (1999-2003)

• Investigadora en temas de matemática aplicada y educación de la matemática.

• Publicaciones científicas,en ambas áreas, en Revistas Internacionales, Nacionales y presentaciones en Congresos y Reuniones.

Matemática

6

EDUCACIÓN DISTRIBUIDA Matemática

7


Carta al Alumno

Estimado alumno/a,En primer lugar, bienvenido a una nueva materia, Herramientas

Matemáticas II – Análisis matemático , que te enfrentará a nuevos desafíos.

A pesar de su aparente complejidad, el Análisis Matemático sirve para simplificar ciertos problemas de la realidad.

La belleza de la matemática y sus aplicaciones a las diversas áreas de conocimiento comienza en materias como esta, donde aprenderás cómo modelizar a través de funciones algunas relaciones importantes entre variables.

Existen innumerables problemas en la vida cotidiana donde el uso de la matemática juega un papel fundamental para su comprensión y resolución, pero nos llevaría mucho tiempo plantearlos por lo que lo dejaremos a un lado y comenzaremos con el estudio de nuestra materia.

El manual que comenzás a utilizar se complementa con la biblio-grafía obligatoria, que tiene otros ejemplos y sistematizaciones, es muy importante aprovecharlos al máximo en conjunto. No olvides que en el estudio de las materias matemáticas, los ejercicios y problemas son un complemento fundamental del aprendizaje teórico, pero insisto, un complemento. No es posible aprender la teoría sin el desarrollo de la práctica ni la práctica sin la comprensión de la teoría.

Por último, espero que alcances los objetivos planteados y, en mi caso, acompañarte en esta etapa del camino de estudio iniciado, en este caso, de Herramientas Matemáticas II – Análisis matemático.

¡Bienvenidos y a comenzar!

Su tutora

Matemática

6


7


Orientación del aprendizaje

¡Bienvenido! Comenzamos aquí el estudio de la asignatura Matemática.Lo haremos por medio de este manual de estudio, en el cual usted encon-

trará todos los temas del programa. A su vez, usted podrá utilizar cualquiera de los libros mencionados en la Bibliografía Básica para la consulta de dichos temas.

El método de estudio que le proponemos es el siguiente:• Inicie la lectura de cada módulo por la Introducción y los Objetivos del

mismo. Esto le proporcionará una visión global de lo que está a punto de estudiar. Luego observe y analice el Esquema Conceptual del módulo, le mostrará los conceptos fundamentales involucrados y sus relaciones.

• Lleve a cabo la lectura completa de los temas da cada Módulo. Para que el estudio sea eficiente siga estos pasos:

1) Prelectura: realice una primera lectura exploratoria para captar las ideas fundamentales.

2) Preguntas: piense interrogantes frente a cada título de los temas del módulo. Si es necesario escríbalos.

3) Lectura: lea las secciones o temas del módulo detenidamente, con un propósito bien definido: buscar respuestas a las preguntas antes realizadas.

4) Registro de notas: tome nota por escrito y con sus propias palabras de los aspectos relevantes de cada tema. Esta actividad es la más importante ya que le permite fijar los conocimientos.

5) Repaso: luego de todos los pasos anteriores, es conveniente que realice una revisión completa de los temas del módulo. Tras la revisión, tome nota de los interrogantes que aún no ha podido esclarecer y envíelas por correo electrónico a su Tutor Virtual, quien las responderá.

• Al final de cada módulo hay actividades de Auto-evaluación que le permitirán verificar su evolución en el proceso de aprendizaje. Todas las actividades de auto-evaluación tienen su clave de respuesta.

• Con el estudio de todos los temas del presente Manual, la elaboración y envío de los Trabajos Prácticos y la comprobación de su conocimiento con la actividad de auto-evaluación, usted podrá asistir a la Clase Satelital. Allí profundizará y asegurará el conocimiento del módulo.

• Al finalizar la Clase tendrá un Examen Escrito individual. Allí usted demostrará los conocimientos aprendidos, y si ha seguido el plan de trabajo presentado antes, el resultado será óptimo.

¡Adelante!

Matemática

8


9


Fundamentación

La Matemática, que es un instrumento de importancia para el desarrollo del futuro profesional en el campo de la ciencia, las relaciones empresariales, la tecnología, y el mundo cotidiano, en general.

Tiene como propósito fundamental contribuir a formar y capacitar a los futuros profesionales que deberán asumir la responsabilidad de generar y/o llevar a la práctica el desarrollo de nuevos conocimientos científicos y tecnológicos.Estas notas tienen por objetivo contribuir al desafío de generar entusiasmo y desarrollar inquietudes para abordar los temas de matemática en quienes no se sienten especialmente atraídos por esta disciplina, pero para los cuales este curso constituye una base para muchos conocimientos necesarios en su carrera universitaria.

Su contenido incluye una introducción al estudio de las funciones que apa-recen con más frecuencia en las aplicaciones de la matemática y constituyen la base para un tratamiento de los principales temas del Análisis Matemático: límite, derivada e integral. Estos tres grandes temas se desarrollan con las aplicaciones al estudio de gráficos de funciones, problemas de optimización y cálculo de superficies, que permiten resolver situaciones-problemas propias de las distintas áreas disciplinares.

Así, en este espacio curricular se presentan los temas centrales del Análisis Matemático, y afin de consolidar una estructura cognitiva útil para el desarrollo, manejo e interpretación de su futura realidad como profesional, es necesario completar y complementar los mismos con la bibliografía citada en cada módu-lo, así como con la bibliografía adicional propuesta.

Matemática

8


9


Objetivos Generales

Al finalizar la materia, usted estará en condiciones de alcanzar los siguientes objetivos: • Profundizar los conocimientos matemáticos básicos y adquirir los conceptos

matemáticos necesarios para resolver cuantitativamente problemas inherentes a las áreas de cada carrera.

• Desarrollar las capacidades para organizar procesar e interpretar información comprendiendo y utilizando los aportes del pensamiento matemático.

• Generar criterios apropiados para analizar situaciones propias de las distintas áreas especificas del conocimiento.

• Perfeccionar habilidades que le permitan plantear modelos matemáticos para la solución de un problema.

Programa de contenidos

UNIDAD 1: Relaciones y Funciones.

• Relaciones entre conjuntos. Conjuntos de partida y de llegada de una relación.

• Funciones. Dominio e Imagen. Diferentes formas de determinar y representar una función: tabla, graficas y fórmulas. Funciones: su clasificación. Operaciones con funciones. Aplicaciones concretas de los conceptos en situaciones problemáticas.

UNIDAD 2: Funciones lineales y cuadráticas.

• Funciones lineales. Gráficos. Distintos tipos. Ecuación de una recta. Pendiente y ordenada al origen. Modelos lineales explicativos y predictivos.

• Funciones cuadráticas. Representación gráfica. Distintos casos. Vértice de una parábola. Raíces o ceros. Ecuación de segundo grado. Aplicaciones concretas en situaciones problemáticas del entorno del futuro quehacer profesional.

UNIDAD 3: Funciones exponenciales, logarítmica y trigonométricas.

• Funciones exponenciales. Definición. Dominio e imagen. Representación grafica. Monotonía del crecimiento. Aplicaciones a crecimientos y cálculo de interés.

• Función logarítmica. Inversa de la función exponencial. Definición. Graficas. Monotonía del crecimiento. Propiedades de los logaritmos. Aplicaciones la modelización de situaciones concretas.

• Ángulos. Sistema de medición. Funciones trigonómetricas: seno, coseno, tangente. Propiedades: ceros, extremos, periodicidad, crecimiento y decrecimiento. Graficas. Funciones reciprocas y funciones inversas.

Unidad 4: Límite y continuidad de funciones reales.

• Limite. Concepto gráfico, definición y ejemplos. Unicidad del límite. Límites laterales. Límites de funciones especiales. Operaciones con límites. Límites de la suma, diferencia, producto y cociente. Cálculo de límites usando propiedades fundamentales. Limites notables. El número e. Limites infinito y en el infinito. Limites indeterminados.

Matemática

10


11


• Continuidad de una función en un punto. Continuidad en un intervalo. Funciones discontinuas.

UNIDAD 5: Derivación de funciones reales.

• Cociente incremental. Definición de derivada en un punto. Interpretación geométrica y económica. Función derivada. Derivada de las funciones elementales: constantes, lineales, potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Notaciones para la derivada. Álgebra de derivadas. Derivada de la suma, de la resta, del producto y del cociente. Rectas secantes y tangentes a una curva en u punto. Regla de la cadena. Derivada del orden superior. Costo, ingreso y beneficio marginal en economía.

UNIDAD 6: Aplicaciones de la derivada.

• Gráficos de funciones. Máximo y mínimo de funciones, Puntos críticos y puntos extremos. Condiciones suficientes y necesarias para su existencia. Funciones crecientes, decrecientes y constantes en un intervalo: relación con la derivada primera. Puntos de inflexión. Condiciones suficientes y necesarias para su existencia. Intervalos de concavidad y convexidad: relación con la derivada segunda.

• Aplicaciones en gráficos de distintas funciones. La campana de gauss en estadística y funciones de comportamiento marginal en economía. Optimización. Planteo y resolución de problemas de óptimos: máxima ganancia, menor costo, máxima superficie, mayor producción, etc.

UNIDAD 7: Integración de funciones reales.

• Integral indefinida. Definición de primitiva de una función. Cálculos de primitivas. Integral indefinida de las funciones elementales: constantes, lineales, potencias, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas. Propiedades de la integral indefinida. Calculo de integrales indefinidas: técnica de integración.

UNIDAD 8: Aplicaciones de la integral.

• Integral definida de una función continua en un intervalo: definición. Sumas superiores e inferiores de Riemann. Propiedades de la integral definida. Regla de Barrow: un método de cálculo. Calculo de áreas en el plano limitadas por una función continua y el eje de las abscisas en un intervalo. Áreas encerradas por curvas arbitrarias. Propiedades de las áreas de las figuras planas. Aplicaciones a problemas concretos. Costos e ingresos a partir de los marginales respectivos.

Matemática

10


11


Esquema conceptual de la asignatura

Bibliografía

Básica

Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, cien-cias sociales y de la vida. Ed. Prentice Hall. 2003. México. ISBN 968-7270-97-7

Este texto de Matemáticas para Administración y Economía proporciona los fundamentos matemáticos necesarios para estudiantes de administración de empresas, economía y ciencias sociales. Inicia con temas de análisis matemáti-co: funciones, álgebra de matrices, y matemáticas financieras. Avanza a través del cálculo de una variables con demostraciones y los desarrollos descritos de manera suficiente, pero cuidando el nivel de un estudiante de primer curso.

De Consulta y ampliación

Ayres, F. y Mendelson E. Cálculo. Ed. McGraw-Hill. 2001Bocco, M. Elementos de Matemática para las ciencias de la vida. Ed. Sima 2008

Lineales

Límite Continuidad

Derivada

Gráficos Optimización Areas

Integral

Cuadráticas Exponenciales Logarítmicas Trigonométricas

Funciones

Cálculo diferencial Cálculo integral

Aplicaciones - Problemas

Aplicaciones - Problemas

Matemática

12


13


Asistencia a Clases

Nota de preclase

Nota de parciales

Examen final

Alumno promovido 75% 6 ó + 6 ó + No rinde examen final

Alumno Regular Preferente 75% 4 y 5 4 y 5 Rinde examen final de

30 preguntas

Alumno Regular - 4 ó + - Rinde examen final de 50 preguntas

Courant, R. y John, F. Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, Vol. I y II. Ed. Limusa, 1999.

Guzmán, M. de y Colera, J. Matemática II –C.O.U. Ed. Anaya, 1989.Guzmán, M. de y Colera, J. Matemáticas I – C.O.U. Ed. Anaya, 1989.Hoffmann, L. Cálculo Aplicado para administración,economía y ciencias

sociales. Ed. McGraw-Hill. - 2006.Larson, R.; Hostetler R. y Edwards, B. Cálculo. Ed. McGraw-Hill. 2000Purcell, E. y Varberg, D. Cálculo con Geometría Analítica. Prentice-Hall.

2001Stewart, J. Cálculo Diferencial e Integral. Ed. Thompson. Internacional.

México. 2006.Stewart, J.; Hernández, R. y Sanmiguel, C. Introducción al Cálculo. Ed.

Thompson. Internacional. México. 2007.Thomas, G. Cálculo de una variable. Ed. Pearson George. 2006

Evaluación y acreditación de la asignatura

Para la evaluación del aprendizaje y acreditación de la asignatura se consi-deran los siguientes ítems:a) Nota de preclase: esta nota resulta de las calificaciones que realiza el Tutor

Virtual sobre los Trabajos Prácticos individuales realizados por los alumnos.

b) Nota de parciales: que se administran en oportunidad de las clases satelitales. La sumatoria de las calificaciones de las notas de parciales dará el puntaje sobre el cual se valorará la nota obtenida por Exámenes parciales individuales.

c) Examen Final: en función de la asistencia al Centro de Apoyo Distante y de las calificaciones resultantes de la nota de preciase y las notas de parciales, se establece que los alumnos de condición Regular Preferente y Regular deberán realizar exámenes finales de materia (de 30 y 50 preguntas respectivamente), quedando promovido y eximido de examen final aquel alumno en cuyo desempeño se haya comprobado tanto la asistencia a clases como un rendimiento superior a nota seis en las instancias de evaluación.

De lo precedente tenemos tres condiciones de alumnos:

• Alumno promocional: debido a su alto nivel de rendimiento no deberá rendir el examen final de materia.

• Alumno Regular Preferencial: es el alumno que habiendo cumplido con el requisito de asistencia no tuvo una calificación superior al 6 (seis) ya sea en las actividades preclases como en las evaluaciones individuales en los Centros Distantes y, por lo tanto, debe rendir un examen final de 30

Matemática

12


13


preguntas.

• Alumno Regular: para obtener su condición de regularidad, se le exige al alumno la aprobación con nota superior a 4 (cuatro) de las cuatro Trabajos Prácticos de los módulos. Este alumno, que no ha realizado los Exámenes de los módulos, deberá por tanto someterse a una evaluación más exhaustiva, realizando un examen final de 50 preguntas. La regularidad se mantiene durante 18 MESES (5 turnos).

15

MÓDULO 1

Funciones. Funciones lineales y cuadráticas

17

Funciones. Funciones lineales y cuadráticasEDUCACIÓN DISTRIBUIDA

17


MÓDULO I: FUNCIONES. FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

Ampliar y profundizar estos conceptos básicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida.CAPÍTULO 3: Funciones y gráficas3.1 Funciones. 3.2 Funciones especiales. 3.3 Combinación de funciones. 3.4 Gráficas en coordenadas rectangulares. 3.5 Repaso. Aplicación práctica: Una experiencia con los impuestosCAPÍTULO 4: Rectas, parábolas y sistemas de ecuaciones4.1 Rectas. 4.2 Aplicaciones y funciones lineales. 4.3 Funciones cuadráticas. 4.4 Repaso. Aplicación práctica: Planes de cobro en telefonía celular

Objetivos específicos

• Reconocer relaciones y/o funciones que vinculan distintos conjuntos de variables.

• Representar funciones en distintas formas y analizar sus propiedades.

• Enumerar y describir propiedades en gráficos de funciones.

• Definir la ecuación de una recta a partir del gráfico o de valores conocidos de la misma.

• Describir analítica y gráficamente la función lineal, analizando el significado de los coeficientes que determinan la misma.

• Determinar, a partir de los coeficientes de la función cuadrática las principales características y el gráfico de la misma.

• Realizar el gráfico de una función cuadrática conociendo los puntos significativos del mismo.

• Generar funciones que permitan modelar problemas y situaciones característicos de la actividad disciplinar.

18

Funciones. Funciones lineales y cuadráticas EDUCACIÓN DISTRIBUIDA

19


Esquema Conceptual

Definición

DiagramasTablas

GráficosFórmulas

Tipo de Funciones

Operaciones

Aplicaciones

Funciones

Representación Funciones numéricas

Gráfico de la recta

Ordenada alorigen

(corte eje y)

F. Lineales

Pendiente(inclinación)

ParalelismoPerpendicularidad

F. Cuadráticas

Gráfico de Parábola

Parámetro c:corte eje y

Parámetro b:Vértice

Raíces de laEcuación Cuadrática

Discrimante

Parámetro a:Ramas

18


19


Desarrollo de contenidos

Funciones

Si consideramos los conjuntos:A = {a,b,c,d} y B ={10, 20, 30, 40, 50} Podemos establecer una asociación o relación entre sus elementos indica-

da por las flechas, en el siguiente Diagrama Sagital:

Decimos que:R: A → B x R y si y sólo si “la empresa x tiene y empleados”

Definición: Una relación es una correspondencia que asocia elementos de un conjunto A, llamado conjunto de partida de la relación, con elemen-tos del conjunto B, llamado conjunto de llegada.

Definición: El Dominio de la relación R es el conjunto formado por todos los ele-mentos del conjunto de partida que están relacionados con, al menos, un elemento del conjunto de llegada. Dom R ⊆ ALa Imagen de la relación R es el conjunto formado por los elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del dominio de la relación. Imf R ⊆ B

Las relaciones que verifican:1. Dom R = A2. Cada elemento del dominio está relacionado con un único elemento del

conjunto de llegada, llamado su imagen.se llaman: FUNCIONES

Definición:Una FUNCION de A en B es una relación que asocia a cada elemento x del conjunto A uno y sólo uno y del conjunto B, llamado su imagen.

En símbolos: f : A → B

R

10

20

30

40

50

A

b

a

c

d

B

20


21


f : x → y o f (x) = yx = variable independiente y = variable dependiente

• Diagrama Sagital

• Tablas

Dique Nivel del Embalse

Río Tercero 46,56

La Viña 97,49

Cruz del Eje 37,22

San Roque 32,56

Los Molinos 52,55

Piedras Moras 29,20

• Gráficos

NM

f

a

b

c

d

1

3

4

2

x

y = ( x )

• Fórmulas

13)( += xxf 5)( xxg =

22)(

-=

x

xxh xxF =)(

20


21


Funciones Numéricas

Son las funciones que relacionan variables independientes con variables dependientes que pertenecen, ambas, a conjuntos de números.

Ejemplo:

x

f (x ) = 3 x +1 g (x ) = x3

+3 x

h (x ) = 1

2-x

xF =)(

IMPORTANTE:El dominio de definición de una función numérica, es el mayor subcon-junto de números reales (R) para los cuales se puede calcular la imagen por la función.

Ejemplo:

a) Dominio de f (x) = 3 x +1 es Dom f = R

b) Dominio de g (x) = x 3 +3 x es Dom g = R

c) Dominio de h (x) = es Dom h =

d) Dominio de es Dom F =

Funciones Constantes, Crecientes y Decrecientes

Una función f se dice constante en un intervalo I ⊆ Dom f , si f (x) = c para todo x en el intervalo I.

Una función f se dice creciente en un intervalo I ⊆ Dom f , si x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) con x1, x2 en el intervalo I.

Una función f se dice decreciente en un intervalo I ⊆ Dom f ,si x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) con x1, x2 en el intervalo I.

Ejemplo: La función cuyo gráfico se presenta a continuación es creciente

en el intervalo y es decreciente en el intervalo

xxF =)(

12-x { }1-R

)( xgy =

( )3,∞− ( )∞+,3

x

)(xg

2 41 3 5–1–2–3– 4–1

–2

–3

1

2

3

4

22


23


Operaciones con Funciones

Si f y g son dos funciones, definimos:

1) (f + g) (x) = f (x) + g(x) 2) (f - g) (x) = f (x) - g(x)3) (f . g) (x) = f (x) . g(x)

4) si g(x) ≠ 0

Ejemplo: Consideremos dos funciones f y g definidas por las fórmulas:

a) Imagen de x = 5 por la función f + g e (f + g)(5) =f (5)+g (5)=1+5 = 6

b) Imagen de la variable a por la función

f + g es (f + g)(a) = f ( a ) + g ( a )=

c) Imagen de x = 1 por la función f . g es (f . g)(1) = f (1) . g(1) = = – 1

Funciones lineales

Situación - Problema:

Un productor coloca en el mercado 5000 productos cuando el precio es de 35$ y 3500 productos cuando cuestan 60$.

¿Cuál es la ecuación de oferta de dicho producto que relaciona el precio x con la cantidad demandada y?

f (x ) = 2

3-xy g (x ) = x

aa

+-

2

3

1.2

31 -

x

y

3500

5000

6035

En este caso vemos que los valores se ubican sobre una línea recta, las funciones cuyos gráficos son líneas rectas se denominan:

Definición: Llamamos función lineal a una función f : R → R , que verifica: f (x) = a x + b o y = a x + b con a y b números reales, llamados parámetros de la función.

22


23


Gráfico de la Función Lineal

1) f (x) = b o y = bEl gráfico de la función lineal y=b es una recta horizontal (paralela al eje x)

que pasa por el punto (0,b).

2) f (x) = a x o y = a xEl gráfico de la función lineal f (x)=ax es la recta r determinada por el origen

(0,0) y el punto A=(1,a).

3) f (x) = a x + b o y = a x + bEl gráfico de la función lineal y=ax + b , es la recta determinada por los

puntos y (1,a+b).IMPORTANTE: El gráfico de una función lineal es una línea recta.La recta que representa a una función lineal queda determinada unívoca-

mente con 2 puntos.Recordar: No toda recta es el gráfico de una función lineal

Nombre y significado de los Parámetros

Definición: El parámetro a de la función lineal f (x) = a x + b se llama pendiente de la recta e indica la inclinación de la misma.

Significado Geométrico de la pendiente

x

y

y = a x + b

x

y

y = a x + b

a > 0 a < 0 Recta Creciente Recta Decreciente

x

y

y = a x + b

ða

a = tangente trigonométrica del ángulo que forman la recta con el sentido positivo del eje x (medido en sentido antihorario)

24


25


Definición: El parámetro b de la función lineal f (x) = a x + b se llama ordenada al origen de la recta e indica el punto donde la recta corta al eje y.

Pendiente de la Recta que pasa por dos puntos conocidos

Si conocemos (x1 , y1) y (x2 , y2) que pertenecen a la recta de ecuación f (x) = a x + b entonces se verifica que:

Paralelismo y Perpendicularidad de Rectas

Propiedad 1: Las rectas r 1 de ecuación y = a x1 + b1 y r 2 de ecuación y = a x2 + b2 son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales, es decir: r 1 // r 2 si y sólo si

Propiedad 2: Las rectas r 1 de ecuación y = a x1 + b1 y r 2 de ecuación y = a x2 + b2 son perpendiculares si y sólo si sus pendientes son inversas y de signo contrario, es decir si y sólo si

Ejemplo: Un productor coloca en el mercado 5000 productos cuando el precio es

de 35$ y 3500 productos cuando cuestan 60$. ¿Cuál es la ecuación de oferta de dicho producto que relaciona el precio x con la cantidad demandada y si la misma sigue un modelo lineal?

Para esta función conocemos dos puntos de la misma: (35, 5000) y (60, 3500) entonces podemos encontrar el valor de la pendiente:

x

y

x1 x2

y 1

y 2

12

12xx

yya

-

-=

21 aa =

r 1 ⊥ �r 2 2

11

aa -=

6025

1500

3560

50003500

12

12-=

-=

-

-=

-

-=

xx

yya

Con lo cual la ecuación de la función lineal de oferta verifica:

Para encontrar la ordenada al origen, como conocemos que el par (35, 5000) es un punto de dicha función planteamos:

y despejando Entonces la función de oferta f que indica para cada precio x el número de

unidades y es:Para pensar: ¿La función es decreciente o creciente?¿por qué?Si se regalaran los productos, ¿qué demanda tendríamos?¿Cuál es el Dom f para este problema?

bxxf +-= 60)(

500035.60)35( =+-= bf

7100=b

710060)( +-= xxf

24


25


Funciones cuadráticas

Situación- Problema:

La función que relaciona el precio con las unidades demandadas es:p = 9000 – 2xp = precio por unidad x = Nº de unidades demandadas¿Qué nivel de demanda maximizará el ingreso total? ¿a cuánto ascenderá

dicho ingreso?Ingreso Total = Precio . CantidadI (x) = p . xI (x) = (9000 – 2 x) . xI (x) = -2 x2 + 9000 xEn esta situación la variable independiente x aparece afectada por una

potencia (x2) este tipo de funciones se denominan:

Definición: Llamamos función cuadrática a una función f : R → R que verifica: f (x) = a x2 + b x + c con a , b y c son números reales, llamados parámetros de la función y a ≠ 0

a: término cuadrático (a ≠ 0)b: término lineal c: término independiente

Gráfico de la Función Cuadrática: La Parábola

y = f ( x)

x

ramas

vértice

Eje de simetría

••

Significado de los parámetros de la Función Cuadrática

I) El término cuadrático: aa > 0

• La parábola tiene “ramas hacia arriba”• La función tiene un mínimo en el vértice.

a < 0

• La parábola tiene “ramas hacia abajo”• La función tiene un máximo en el vértice.

26


27


II) El término lineal: b

y

x

x

y

P•

x v

y v

•

•

f ( x ) = a x2 + b x + c

b → desplazamiento horizontal → Vértice (x v , y v)

• En los ejes

• En los ejes

Un punto

2, xayyx =→

,x cxbxayy ++=→ 2

),(),( yxyxP == �-=

-=

v

v

yyy

xxx

2

2

)( vv xxayy

xay

-=-

=

222 vvv xxxxayy -=-

vvv yxaxxaxay ++-=22

2

Y por otro lado debe ser

cxbxay ++=2

bxx v =- 2a

bx v

2

-=

Así obtenemos el valor que tiene el vértice.

Vértice de la Función Cuadrática

III) El término independiente: cf (x) = a x2 + b x + c → f (0) = c

• El valor de c indica el punto donde la parábola corta al eje y

Intersección de la Parábola con los Ejes Coordenados

• Eje y : Par ordenado (0, c)

�

26


27


• Eje x : a x2 + b x + c = 0 Ecuación Cuadrática

Las soluciones o raíces de la ecuación cuadrática a x2 + b x + c = 0 están dada por :

a

cabbx

2

42

2,1-±-

=

Discriminante: D = b 2 – 4 a c D > 0 D = 0 D < 0(2 raíces) (1 raíz) (Sin raíces reales)

Ejemplo: La función que relaciona el precio con las unidades demandadas, para p = precio por unidad y x = Nº de unidades demandadas es:

p = 9000 – 2xSi el ingreso total (en $) está representado por ¿Qué nivel de demanda maximizará el ingreso total? ¿a cuánto ascenderá

dicho ingreso?Como esta función es una función cuadrática con término cuadrático nega-

tivo, entonces el máximo ingreso se producirá en el valor del vértice. Por esto debemos encontrar:

xxxI 90002)(2

+-=

250.2)2(2

9000

2=

-

-=

-=

a

bx v

Así, cuando se demanden 2250 unidades del producto se obtendrá el máxi-mo ingreso, y lo que percibirá la empresa por el mismo será:

Gráficamente observamos:

000 $.125.102250.90002250.2)(2

=+-== vv xfy

x

I(x)

2250

10.125.000

50005000

28


29


Para pensar: ¿Cuál es el Dom I (x)? • ¿En qué intervalo la función es creciente? ¿qué nos indica en la situación

planteada?• ¿Cómo se obtuvo el x = 5000 que aparece en el gráfico? c• ¿Por qué la función pasa por el par ordenado (0,0)? ¿qué nos indica en la

situación planteada?

Autoevaluación

Realizar, para afianzar la ejercitación y aplicación de estos temas los ejercicios propuestos en el texto.

Ejercicio 1: ¿Cuál de los siguientes gráficos representan funciones? Justi-ficar la respuesta.

x

y

x

y

x

y

a) b) c) d)

x

y

Ejercicio 2: Dada la función encontrar:23)( += xxf

a) )5(f b) )0(f c) )1( -f d) -3

2f e) )( af f) )( xxf +

Ejercicio 3: Para la función f cuyo gráfico se encuentra a continuación indicar, si es posible:

a) Dominio de la función b) Imagen de la funciónc) Corte con el eje y

28


29


d) f (2)e) f (5) f) f (0)g) La imagen de – 4 h) La imagen de 10i) El valor de x cuya imagen es –1 j) El intervalo donde f es constantek) Los intervalos donde f es creciente l) Los intervalos donde f es decreciente

Ejercicio 4: Indicar el dominio de las siguientes funciones:

a) 13)( += xxf b) 152)(23

-++= xxxxg c) H1

)( =

d) 2)( -= xxM e) xxF -= 3)( f) 5

5)(+

=x

xG

Ejercicio 5: Para las funciones y encon-trar, si es posible:

xxxf -=2

)(x

xg+

=2

3)(

a) b) c)

d) e) f)

)1)(( gf + )2)(( gf - )2)(( gf -

)2( -gf

) )1( -gf

1(g

f

Ejercicio 6: Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, las siguientes funciones lineales:

a) b) c) d)2)( =xf xxf 2)( = 32 += xy 12 -= xy

Indicar para cada una:

a) ¿Cuál es la pendiente de la recta?

b) ¿Cuál es la ordenada al origen?

Ejercicio 7: Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de cada recta, y realizar su gráfico:

a) b)022 =-+ yx 3-=- yx

Ejercicio 8: Encontrar la ecuación de la recta y realizar el gráfico en cada caso:a) con pendiente a= -2 y ordenada al origen 4b) con pendiente a= -2 y pasa por el punto (2,5)c) con ordenada al origen 3 y que pasa por el punto (3,0)d) que pasa por los puntos (-2,1) y (10,9)e) corta al eje x en 2 y al eje y en 4.f) paralela a la recta y =-2x +-1 y que pasa por el origeng) perpendicular a la recta y - 3x + 5 y tiene ordenada al origen 2

Ejercicio 9: Los siguientes gráficos representan funciones cuadráticas

Indicar en cada caso el signo de los coeficientes a , b y c y del discriminante D . Justificar cada respuesta.

cbxaxxf ++= 2)(

30


31


Ejercicio 10: Graficar, sin dar valores numéricos a los coeficientes a , b y c, una parábola de ecuación que cumpla en cada caso:

a)

b)

c)

Ejercicio 11: Graficar las siguientes funciones. Indicar para cada función:a) Punto de corte de la parábola con el eje y.b) Las coordenadas del vértice de la parábola.c) Puntos de corte de la parábola con el eje x (si existen).

x

y

x

y

x

y

a) b) c)

cbxaxxf ++= 2)(

000 <<> cba

000 <=> cba

> 000 =< cba

a) b) c)

d) e)

23 xy = 22

2+-= xy xxy 2

2

1 2+=

122

+-= xxy 422

-+-= xxy

Situaciones Problemas: Modelización.

Ejercicio 12: La empresa “Remi-tax” cobra para sus viajes en la ciudad 1$ la bajada de bandera y $4 por 1000 metros recorridos. a) Indicar la función que permite modelar el costo de un viaje para x kilómetros

recorridos.b) Calcular el precio de un viaje del centro al aeropuerto de 15 km de

distancia.

Ejercicio 13: Si el costo de producir 30 refrigeradores es de 25.000$ y el de 40 unidades del mismo refrigerador es de 30.000$. Sabiendo que el costo de producción C de la empresa está relacionado linealmente con la cantidad x de refrigeradores producidos.a) ¿Cuál es la función que permite describir los costos de producción?b) Estimar el costo de producir 35 unidades del mismo producto.c) La empresa vende los refrigeradores a 1.500$ cada uno, ¿cuál es la función

de ingreso I si se supone también un comportamiento lineal de la misma?.

30


31


Respuesta a la Autevalución

Ejercicio 1: a) No es función, existen elementos con más de una imagenb) Si es funciónc) No es función, existen elementos con más de una imagend) Si es función

Ejercicio 2:

Ejercicio 3:

Ejercicio 4:

Ejercicio 5:

a) 1 b)

c) 0 d) No existe e) f) No existe

Ejercicio 6: a) Pendiente: 0 Ordenada al origen: 2 b) Pendiente: 2 Ordenada al origen: 0 c) Pendiente: 2 Ordenada al origen: 3 d) Pendiente: 2 Ordenada al origen: -1

Ejercicio 7: a) Pendiente: - 2 Ordenada al origen: 2 b) Pendiente: 1 Ordenada al origen: 3

Ejercicio 8: a) y=-2x+4c) y=-x+3 e) y=-2x+4

g)

Ejercicio 9: a) a > 0 b < 0 c = 0 D > 0b) a < 0 b = 0 c > 0 D > 0

a) 17

b) 2 c) -1 d) 0 e) f)23 +a 233 ++ xx

a) b)

c) 3 d) No existe, 2 Dom f

e) 2,5

g) 0

i) No existe, -1 Img f

k) (-4,0) , (2,5) y (6,7)

h) 2,5

j) (7,

l) (- ,-4), (0,2) y (5,6)

f) 3

}2{-= RfDom [ )

)

== ,0IMG 0Rf

a) b) Dom g = R

c) d)

e) f)

= RfDom

}0{-= RHDom

( ]3,3 ∞-== ≤RFDom

),2[2 +== ≥RMDom

}5{ --= RGDom

411

32

b) y=-2x+9

d)

f) y=-2x2

3

1 +-= xy

3

7

3

2+= xy

32


c) a <0 b < 0 c > 0 D > 0

Ejercicio 11:

a)

1) Punto de corte de la parábola con el eje y: (0,0)2) Las coordenadas del vértice de la parábola: (0,0)3) Raíces de la Parábola o corte eje x : x1 = x2 = 0

b)

1) Punto de corte de la parábola con el eje y: (0,2)2) Las coordenadas del vértice de la parábola: (0,2)3) Raíces de la Parábola o corte eje x : x1 = 1 y x2 = -1

c)

1) Punto de corte de la parábola con el eje y: (0,0)2) Las coordenadas del vértice de la parábola: (-2,-2)3) Raíces de la Parábola o corte eje x : x1 = 0 y x2 = -4

d)

1) Punto de corte de la parábola con el eje y: (0,1)2) Las coordenadas del vértice de la parábola: (1,0)3) Raíces de la Parábola o corte eje x : x1 = x2 = 1

e)

1) Punto de corte de la parábola con el eje y: (0,-4)2) Las coordenadas del vértice de la parábola: (1,-3)3) Raíces de la Parábola o corte eje x : No hay raíces reales.

Ejercicio 12: a) C(x) = 4 x +1b) 61$

Ejercicio 13: a) Costo de producción de la empresa C(x)= 500x+10.000 con x número de

refrigeradores. b) Costo de producir 35 unidades del mismo tipo de refrigerador 27.500$.c) Ingreso de la empresa 1(x)=1500 con x número de refrigeradores

vendidos.

32


33

MÓDULO 2

Funciones exponenciales.Logarítmicas y trigonométricas

Límite de funciones

35

Funciones exponenciales. Logarítmicas y trigonométricas. Límite de funciones EDUCACIÓN DISTRIBUIDA

35


MÓDULO II: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARITMICAS Y TRIGONOMÉTRICA. LIMITE DE FUNCIONES

Ampliar y profundizar estos conceptos básicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida.CAPÍTULO 5: Funciones exponencial y logarítmica5.1 Funciones exponenciales. 5.2 Funciones logarítmicas. 5.3 Propiedades de los logaritmos. 5.4 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales. 5.5 Repaso. Aplicación práctica: Dosis de medicamento.CAPÍTULO 9: Límites y continuidad 9.1 Límites. 9.2 Límites (continuación). 9.3 Interés compuesto continuamente. 9.4 Repaso. Aplicación práctica: Deuda nacional.


• Describir analítica y gráficamente las funciones exponenciales y logarítmicas y reconocerlas como funciones inversas.

• Aplicar las propiedades que definen el comportamiento gráfico de las funciones exponenciales y logarítmicas.

• Describir las funciones trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria y las relaciones entre las mismas.

• Graficar las funciones trigonométricas y deducir de ellas las funciones trigonométricas inversas.

• Resolver problemas que involucran crecimientos o decrecimientos modelados por funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

• Comprender el concepto de límite de una función y su cálculo gráfico y analítico.

• Utilizar el concepto de límite para representar situaciones y tendencias, así como comportamientos extremos.

36


37


Esquema Conceptual

F. Exponenciales

Definicióny= a x

F. Exponencialdecreciente (a< 1)

Propiedades

Aplicaciones

F. Exponencialcreciente (a>1)

F. Logarítmicadecreciente (a< 1)

F. Logarítmicacreciente (a>1)

Base DecimalBase Natural

F. Logarítmicas

Propiedades

Logaritmo decimal.Logaritmo Natural

F. Trigonométricas

Ángulo Circunferencia

Función Tangente

Propiedades

Funcionesrecíprocas

FuncionesInversas

Funciones trigonométricasen triángulo

Función Seno

Gráficos

Función Coseno

36


37


Límite de Funciones

PropiedadesGráficos

Definición

CálculoLímites notables

Límites LatearalesTablas


Funciones Exponenciales

Situación- Problema I

Si un capital de 100$ es invertido a una tasa del 5 % de interés compuesto anual. ¿Cuánto se obtiene como monto al finalizar el año x de inversión?

En general: La función que permite modelar el Capital Final CF (cantidad final) que se

obtiene a partir de un capital inicial CI (principal) al finalizar una inversión de x años a una tasa r de interés compuesto es:

Situación- Problema II

Si una población de 100.000 habitantes crece a razón del 0,8 % anual ¿Cuántos individuos se podrán contabilizar en dicha población si se censa después de x años ?

En general: La función que permite modelar la cantidad de individuos P de una pobla-

ción, a partir de una población inicial P0 si el crecimiento anual se estima a una razón de r % es:

En esta situación la variable independiente x aparece como el exponente de una potencia este tipo de funciones se denominan:

Definición: Llamamos función exponencial a una función que verifica: f (x) =ax donde la base a es un número real, que cumple a > 0 y a ≠ 1

La Función Exponencial de base mayor que 1:

f (x) a x con a > 1

xrCIxCF )1()( +=

xrPxP )1()( 0 +=

38


39


Ejemplo: Operaciones con la función exponencial

• Dom f = R• Img f = R ∞ > 0 = (0,+∞)• Interseca al eje y en (0,1)• No interseca al eje x• Es una función creciente• Si x → + ∞ es f (x) → + ∞• Si x → − ∞ es f (x) → 0

Obtener: ¿ Dom f ? ¿Img f ? ¿Corte con el eje y?

Propiedades de la Función Exponencial de base positiva menor que 1

f (x) 0 a x con 0 < a< 1

• Dom f = R• Img f = R> 0 = (0,+∞)• Interseca al eje y en (0,1)• No interseca al eje x• Es una función decreciente• Si x → +∞ es f (x) → 0• Si x → - ∞ es f (x) → +∞

y

x1

y = aX

(0 < a <1)

Dos funciones exponenciales particulares:y = e x = (2,7172....) x Crecimientos Naturalesy = 10 x Base Decimal

Ejemplo: Si un capital de 100$ es invertido a una tasa del 5 % de interés compuesto anual. a) ¿Cuánto se obtiene como monto al finalizar el primer año de inversión?

38


39


Como conocemos que el capital final CF que se obtiene a partir de un capital inicial CI al finalizar la inversión después de x años a una tasa r de interés com-puesto es una función exponencial de la forma CF (x) = CI (1+r) x entonces:

a) ¿Cuánto se obtiene como monto al finalizar el segundo año de inversión?Ahora tenemos:

Ejemplo: Si una población de 100.000 habitantes crece a razón del 0,8 % anual ¿Cuántos individuos se podrán contabilizar en dicha población el próximo año?

Como la función que modeliza la cantidad de individuos P de una población, a partir de una población inicial P0 si el crecimiento anual es a razón del r %, es una función exponencial de la forma entonces:

habitantes.¿Cuántos individuos se podrán contabilizar en dicha población si el censo se

realiza en diez años?

habitantes.

Para pensar: • ¿Cuál es el Dom P (x)? • ¿Es esta función creciente o decreciente? ¿por qué?• ¿Cómo es el gráfico de P(x)?• ¿En qué valor la función corta al eje de las ordenadas? ¿qué nos indica en la

situación planteada?

Funciones logarítmicas

Situación-Problema I:

¿Cuánto tiempo deberemos tener invertido un capital de 1000$ a una tasa de interés del 6% para alcanzar un monto de 1338$?

1338 = 1000 (1+0,06)t 1,338 = (1,06)t

Para resolver esta ecuación exponencial, es decir “despejar” la variable t debemos definir un nuevo tipo de función:

Definición: Llamamos función logarítmica, de base a con a > 0 y a ≠ 1 a la fun-ción que verifica:

y se define como:

Importante: La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial por la cual

Propiedades de la Función Logarítmica

con

$105)05,1(100)05,01(100)1(11

==+=CF

$25,110)05,1(100)05,01(100)2(22

==+=CF

xrPxP )1()( 0 +=

800.100)008,1(000.100)008,01(000.100)1(11

==+=P

294.108)008,1(000.100)10(10

==P

f ( x ) = xaLOG

xabxb

a ==LOG

xxf aLOG)( =x

axf =)( xayxy

a ==LOG

xy aLOG= 1>a

40


41


Propiedades de la Función Logarítmica

con

• Dom f = R > 0 = (0, + ∞)• Img f = R• Interseca al eje x en (1,0)• No interseca al eje y• Es una función creciente• Si x >1 es f (x) = logax positivo• Si 0 < x < 1 es f (x) = logax negativo

y

x1

y = log a x(a >1)

xy alog= 10 << a

• Dom f = R > 0 = (0,+∞)• Img f = R• Interseca al eje x en (1,0)• No interseca al eje y• Es una función decreciente• Si x > 1 es f (x) = log ax negativo • Si 0 < x < 1 es f (x) = log ax positivo

y

x1

y = log a x (0 < a < 1)

Dos funciones logarítmicas particulares

Logaritmo Decimal Logaritmo Natural

Propiedades del Logaritmo

a)

b)

c)

Cambio de Base: Al utilizar la calculadora solo encontramos logaritmo decimal y logaritmo

natural, entonces para el cálculo con otras bases debemos realizar:

Ejemplo: ¿Cuánto tiempo deberemos tener invertido un capital de 1000$ a una tasa de interés del 6% para alcanzar un monto de 1338$?

Como conocemos que el capital final CF que se obtiene a partir de un ca-pital inicial CI al finalizar la inversión después de x años a una tasa r de interés compuesto es una función exponencial de la forma entonces:

xxy loglog 10 ==

xxy e Inlog ==

nmnm aaa loglog).(log +=

nmnm

aaa logloglog -=

mrm ar

a log.)(log =

a

x

a

xxa ln

ln

log

loglog ==

xrCIxCF )1()( +=

tt)06,1(1000)06,01(10001338 =+=

40


41


Aplicando logaritmo en ambos miembros, tenemos:

y por la tercer propiedad de logaritmo:

Ahora aplicamos, en el primer miembro la fórmula de cambio de base y en el segundo la definición de logaritmo:

¿Por qué da 1 el ?Utilizando la calculadora obtenemos: t = 4,997, este valor nos indica que

debemos invertir nuestro monto inicial durante 5 años para obtener, siempre con el interés compuesto del 6%, el monto requerido de 1.338$

Para pensar: ¿Cuál es el capital final que obtendríamos si el mismo monto inicial lo

invertimos a esta tasa pero por un período de 10 años? Y si quisiéramos obtener 1500$ ¿cuántos años debemos dejar este capital

invertido?

Funciones Trigonométricas

Trigonometría: Proviene del griego y significa medidas del triángulo (lados y ángulos). Todas las situaciones y/o fenómenos que se repiten cada cambio periódico de la variable independiente se modelizan con las funciones trigo-nométricas.

Angulo: área del plano comprendida entre dos semirrectas que se interse-can en un punto.

t06,1

1000

1338=

t06,1338,1 =

t06,1log338,1log 06,106,1 =

06,1log.338,1log 06,106,1 t=

1.06,1log

338,1logt=

06,1log 06,1

0lado inicial

lado final

En el plano cartesiano coordenado:

y

x

ángulopositivo

ángulonegativo

x

y

42


43


Sistemas de Medición

Los sistemas de medición de ángulos más utilizados son el sistema radial y el sistema sexagesimal.

El sistema sexagesimal es el que conocemos desde la escuela primaria, la circunferencia de radio unidad (circunferencia trigonométrica) se dividide en 360 partes y cada parte se denomina grado (º). Un ángulo recto tiene 90º y un ángulo llano tiene 180º.

El sistema radial tiene la ventaja que permite indicar los valores de los án-gulos sobre un sistema de ejes coordenados, es decir hacer la correspondencia entre la medida del ángulo y un número real).

La circunferencia trigonométrica (radio unidad) tiene una longitud de 2 π (≈6,28). Este valor nos indica que “cabe” aproximadamente 6,28 veces el radio en el perímetro de la circunferencia. Tomando como unidad el radio (radián) un ángulo recto mide π/2 radianes y un ángulo llano mide π radianes.

Relación entre los sistemas de medición:

Sistema Sexagesimal (Unidad: 1 grado)

Sistema Radial (Unidad: 1 radián)

90º π/2

180º π

360º 2 π

Definición: Llamamos función seno del ángulo t a la función f (t) = sen t que asigna a cada ángulo t el valor de la ordenada del punto P donde el lado final del ángulo que mide t radianes, interseca a la circunferencia de radio 1.Llamamos función coseno del ángulo t a la función f (t) = cos t que asigna a cada ángulo t el valor de la abscisa del punto P donde el lado final del ángulo que mide t radianes, interseca a la circunferencia de radio 1.

En la circunferencia trigonométrica:

x

y

),( yxP =

xx

y

t

1

1

-1

-1

sensenxx

coscosxx

42


43


• Dom (sen t) = R Img (sen t) = [-1,1]• Dom (cos t) = R Img (cos t) = [-1,1]

Signos de las funciones Seno y Coseno en los 4 Cuadrantes

Cuadrante Valores del ángulo t Sen t Cos t

I 0º - 90º / 0 rad - π/2 rad + +

II 90º - 180º / π/2 rad - π rad + -

III 180º - 270º / π rad - 3π/2 rad - -

IV 270º - 360º / 3π/2rad – 2π rad - +

Periodicidad del Seno y Coseno

sen t = sen(t+2P)cos = cos (t+2P)Las funciones sen t y cos t son periódicas, de período 2π

Crecimiento y Decrecimiento de las funciones Seno y Coseno

Cuadrante I II III IVsen t crece decrece decrece crececos t decrece decrece crece crece

Relación Fundamental

1cos22

=+ ttsen

Gráfico de la función seno

x

y

cos t

sen t

1

1

-1

-1

1

44


45


Gráfico de la función coseno:

Función Tangente

Definición: Llamamos función tangente del ángulo t a la función f (t) = tg t que se define por:f (t) =

y asigna a cada ángulo t el valor de la ordenada del punto que tiene abscisa 1 y se encuentra sobre el lado final del ángulo que mide t radianes.

En la circunferencia trigonométrica:

t

tsen

cos

x

y

xx

y

t1

1

-1

-1

tgx

coscosxx

sensenxx

• Dom (tg t) = R - • Img (tg t) = R

Signos de la función tangente en los 4 cuadrantes

Cuadrante Valores del ángulo t tg tI 0º - 90º / 0 rad - π/2 rad +II 90º - 180º / π/2 rad - π rad -III 180º - 270º / π rad - 3π/2 rad +IV 270º - 360º / 3π/2rad – 2π rad -

+2

.)12( n

44


45


Periodicidad de la Tangente:

tg t =tg (t+P)La función tg t es periódica, de período π

Crecimiento de la función tangente:

Cuadrante I II III IV

sen t crece crece crece crece

Gráfico de la función tangente

Funciones Trigonométricas Recíprocas

Se definen a partir de las funciones trigonométricas las siguientes tres funciones:

Función Cotangente de t →

Función Secante de t →

Función Cosecante de t →

Funciones Trigonométricas Recíprocas

Definición:Las funciones definidas por:

1.

2.

3.

son las funciones inversas de y = sen t , y= cos t e y = tg t, respecti-vamente, y asignan a cada valor de su dominio el ángulo cuyo arco se corresponde con el seno, coseno o tangente del mismo.

ttgtcotg

1=

tcostsec

1=

tsentcosec

1=

[ ] -2

,2

1,0: senarc

[ ] [ ],01,0:cos arc

-2

,2

: Rtgarc

46


47


Funciones trigonométricas para ángulos agudos de un triángulo rec-tángulo

En un triángulo rectángulo, para el ángulo agudo se verifica:

B O

A

cat. opuesto

cat. adyacente

hipotenusa

cateto opuesto a

hipotenusa=sen

cateto adyacente a

hipotenusa=cos

cateto opuesto a

cateto adyacente a =tg

Límite de Funciones

Situación-Problema 1

c (x) = costo promedio para una producción de x unidades“si la producción de unidades aumenta indefinidamente, el costo promedio

se aproxima a un nivel de estabilidad de 6$”


S (x) = superficie de un polígono de x lados“la superficie de un círculo, de radio 1, es el valor al cual se aproximan las

sucesivas áreas de los polígonos contenidos en el círculo”

Ejemplo:

• Podemos realizar el gráfico de la función lineal y ver en el mismo su tendencia para valores de la variable independiente x al acercarse al número 2.

• También podemos evaluar la tendencia de la función mediante la siguiente tabla

• O bien realizando un razonamiento algebraico

6)( =+

xclímx

16,3)( =+

xSlímx

)( =2x+3lím

x

2

x 1,5 1,9 1,99 2,01 2,1 2,5

f ( x) 4,5 4,9 4,99 5,01 5,1 5,5

5

533232 +++ xxx

46


47


Cualquiera sea la forma, vemos que si con x nos aproximamos suficiente-mente al número 2, por valores mayores y menores que 2, pero, los valores de las imágenes de dichos x se aproximan al número 5. Entonces

Ejemplo:

• Gráfico: No lo conocemos

• Como no se define para x = 1 , es decir f (1) no existe, entonces no podemos calcular la imagen.

• Realizamos una tabla de valores:

2x

5)3(2

=+xlímx

=-

-+

1

11

2

2 x

xlímx

-

-+=

1

11)(

2

x

xxf

x

1

x 0,8 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1 1,2

f ( x) 2,64 2,81 2,98 2,998 3,002 3,02 3,21 3,44

3

Observamos que si con x nos aproximamos suficientemente al número 1, por valores mayores y menores que 1, pero no iguales a 1, los valores de las imágenes de dichos x se aproximan al número 3. Entonces:

Definición:El límite de f (x) cuando x se aproxima (tiende) al número a es un número L, y escribimos

si cada vez que con x nos aproximamos suficientemente al número a (por valores mayores y menores que a , pero ) los valores de las imágenes f (x) se aproximan al número L.

Estimación gráfica del límite

31

11

2

1=

-

-+

x

xlímx

Lxflímax

=)(

ax

1)(1

-=-

xflímx

1)(2

=xflímx

48


49


Ejemplo:

1)2( =g

2)(2

=-

xglímx

3)(2

=xglímx

Estimación del límite utilizando una tabla de valores:

Ejemplo:

Mediante una tabla de valores obtenemos:

no existe

Unicidad del Límite

¿Puede ser y ?

¿Por qué?

El límite, si existe, es único

Límites Laterales

=x

límx

1

0

x

0

x - 0,1 - 0,001 - 0,0001 0,0001 0,001 0,1

f ( x) - 10 - 1000 - 10000 10000 1000 10

¿?

xlím

x

1

0

1)( Lxflímax

= 2)( Lxflímax

=

y = f( x)

x1

1

2

= no existe)(1

xflímx

48


49


Definición: • Límite lateral derecho:

Si cada vez que x se aproxima al número a por valores mayores que a (por la derecha de a, en la recta numérica), las imágenes f (x) se aproximan a L 1

• Límite lateral izquierdo:

Si cada vez que x se aproxima al número a por valores menores que a (por la izquierda de a, en la recta numérica), las imágenes f (x) se aproximan a L 2

IMPORTANTE:

1)( Lxflím

ax

=+

2)( Lxflím

ax

=-

)( xflímax

existe si y sólo si

-

+

)(

)(

xflím

xflím

ax

axexisten y son iguales

Dos límites particulares

• Límite notable:

• El número e:

Comprobar, construyendo una tabla de valores, los resultados de estos límites notables.

Propiedades del Límite

1. c= función constante

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

10

=x

xsenlím

x

( ) exlím xx

=+1

10

Si )( xflímax

y )( xglímax

existen, entonces:

cclímax

=

nn

axaxlím =

( ) )()()()( xglímxflímxgxflímaxaxax

+=+

( ) )()()()( xglímxflímxgxflímaxaxax

-=-

( ) )(.)(. xflímkxfklímaxax

=

( ) = )(.)()(.)( xglímxflímxgxflímaxaxax

)(

)(

)(

)(

xglím

xflím

xg

xflím

ax

ax

ax= siempre que 0)( xglím

ax

nax

n

axxflímxflím )()( =

50


51


9. P (x) = polinomio en x.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Límite de Cociente de Polinomios:

Ejemplos:

1.

2.

3.

Autoevaluación

Realizar, para afianzar la ejercitación y aplicación de estos temas los ejerci-cios propuestos en el texto.

Ejercicio 1: Graficar, en un mismo sistema de coordenadas, las funciones:

cclímax

=

51.5)5(33

1==

-xlím

x

10)822.2()82(33

2=-+=-+ xxlím

x

5

6

41

912

4

92

2

1

21

-=

+

-+=

+

-+

x

xlím

x

x

( ) 16737722

3

2

3=+=+=+ xlímxlím

xx

5

6

41

912

4

92

2

1

21

-=

+

-+=

+

-+

x

xlím

x

x

2)1(1

)1).(1(

1

1

11

2

1-=-=

+

+-=

+

-

---xlím

x

xxlím

x

xlím

xxx

=+ )(

)(

xQ

xPlímx

)( )( Si grado de P

Coeficiente del término de mayor grado de P (x)

Coeficiente del término de mayor grado de Q (x) Si grado de P (x) = Grado de Q (x)

grado Q

grado QSi grado de P

0 xx <

+ )(

)(

xQ

xPlím

x)( )( )( xx >+

=

=

+

+

+ 23

2

2

5

x

xxlím

x

2

1

76

233

3

=+

+

+ xx

xxlímx

02

245

3=

-

+

+ xx

xxlímx

a) x

y 3= b) 13 +=x

y c) 13 -=x

y

d)

x

y =3

1e)

x

y -=3

1f)

x

y =3

1.2

g) 71,2= eeyx

50


51


Indicar, para cada uno de los gráficos• Punto de corte con el eje x (si existe)• Punto de corte con el eje y (si existe)• Comportamiento de la función para valores “muy grandes” (x→ + ∞)• Comportamiento de la función para valores “muy pequeños” (x→ − ∞)

Ejercicio 2: Graficar las funciones:

Indicar, para cada uno de los gráficos:• Punto de corte con el eje x (si existe)• Punto de corte con el eje y (si existe)• Comportamiento de la función para valores “muy grandes” (x→ + ∞)• Comportamiento de la función para valores “positivos próximos a cero”

(x→ 0+)

Ejercicio 3:Los siguientes gráficos corresponden a funciones exponenciales, de la

forma f (x) = a x, o logarítmicas, de la forma f (x) = log a x. Indicar para cada uno de ellos a que tipo corresponde y el valor de la base

a para la misma.

a) xy3

log= b) xy3/1

log= c) xxy elogln ==

Ejercicio 4: 1) Indicar, si existen, el valor de sen x , cos x y tg x para:

x

y

9/4

- 2

x

y

1

4

x

y

3

1/8 x

y

3

2

a) b)

c) d)

=x2

=x =x2

3a) b) c)

2) Indicar el signo de las funciones y=sen (x), y=cos (x) y y= tg (x) para los siguientes ángulos:

52


53


x

y

x

y

x

y

Ejercicio 5: 1) Indicar que ángulos, en la circunferencia trigonométrica, verifican:

a)

b)

c)

d)

1cos0 == ysen

0tg0 == ysen 0sen-1 == ycos

-1sen0 == ycos

2) Indicar en que cuadrantes se encuentran los ángulos que cumplen:

a)

b)

c)

d)

0cos0sen << y

00cos <> tgy

0)2

(0)2

( <+>+ tgysen

( ) ( ) 00cos <+<+ seny

Ejercicio 6: 1) A partir de los gráficos de las funciones trigonométricas y utilizando las

operaciones entre funciones, construir los gráficos de:

a) y= 2 sen x

b) y= (cos x) -2

c) y= sen x +1

d) xy cos2

1=

2) Para cada una de las funciones anteriores indicar su dominio e imagen.

Ejercicio 7: Encontrar el resultado de los límites solicitados, para la función f cuyo

gráfico es el siguiente:

x

y = f (x)

2 46

- 2- 4- 6

2

4

6

- 2

- 4

52


53


Ejercicio 8: Dar el resultado, si existe, de los siguientes límites. Tener en cuenta que

para muchos casos sólo se requiere el uso de las propiedades, para otros será necesario recordar el gráfico de la función:

a) )( xflim

x -

d) )(

3

xflim

x --

g))(

0xflim

x

j))(

4

xflim

x -

b))(

6xflim

x -

e))(

3

xflim

x +-

h))(

2xflim

x

k))(

4

xflim

x +

c))(

2xflim

x -

f))(

3xflim

x -

i))( xflim

x +

l))(

4

xflim

x

a) xxlimx

32

1-

b) x

xxlim

x -

+-

- 3

123

1

c) x

limx

1

0

d) + x

lim

x

1

0

e) [ ]340

+x

xlim

f) )(LOG 20

xlim

x +

g)+ x

limx

1

h)

2

2235

+

-+

+ x

xxlim

x

i)1

12

1 -

-

x

xlimx

xlimx

543

+-

122

2+xlim

x

x

xlim 2

+

x

xlim 2

-

[ ]x

xlim )2,0(.3

0

)(0

xsenlimx

)(tg

2

xlim

x

123

1lim

5

2

++

+

+ xx

x

x

x

xlimx

sen

0

p

12

1+

xlimx

3xlim

x +

x

xlim

+ 2

1

x

xlim

- 2

1

)(ln xlimx +

[ ])21()(0

xxcoslimx

+

4

2

22 -

-

x

xlimx

123

16

35

5

++

+

+ xx

xlim

x

x

xlimx 4

4sen

0

Ejercicio 9: Los ingresos totales en taquilla, a nivel mundial, de una película se pueden

representar por la función:

donde I (x) se mide en millones de dólares y x son los meses posteriores al lanzamiento de la película. a) ¿Qué ingresos totales en taquilla pueden esperarse después del primer y

del segundo mes?b) ¿Cuál será el ingreso bruto total de la película a largo plazo? Expresar este

enunciado utilizando el concepto de límite.

Ejercicio 10:

4

120)( 2

2

+=

x

xxI

54


55


Si el costo total, para producir x unidades de un producto es C (x) entonces el costo promedio por unidad para una producción de x unidades del mismo producto está dado por

a) Si el costo total (en dólares) de una compañía grabadora el imprimir x cantidad de discos en el formato DVD está dado por C(x) = 2,2x+2500, ¿cuál es la función que define el costo promedio por DVD?

b) Obtener el costo promedio de cada unidad cuando se aumenta continuamente la producción, expresar este enunciado utilizando el concepto de límite.

Respuestas a la Autoevaluación

Ejercicio 1: a) Punto de corte con el eje x : NO existe. Punto de corte con el eje y : (0,1) Comportamiento de la función para: x→ + ∞:3x → + ∞ y para x→ −∞:3x → 0b) Punto de corte con el eje x : NO existe. Punto de corte con el eje y : (0,2) Comportamiento de la función para: 3x+1→ + ∞ y para : 3x+1→ 1c) Punto de corte con el eje x : Si corta, aproximadamente en x = 0,63 Punto de corte con el eje y : (0,-1) Comportamiento para : 3x+2→ + ∞ y para :3x+2→ −2d) Punto de corte con el eje x : NO existe Punto de corte con el eje y : (0,1) Comportamiento para:

e) Punto de corte con el eje x : NO existe Punto de corte con el eje y : (0,-1) Comportamiento para:

f) Punto de corte con el eje x : NO existe Punto de corte con el eje y : (0,2) Comportamiento para:

g) Punto de corte con el eje x : NO existe. Punto de corte con el eje y : (0,1) Comportamiento para:

Ejercicio 2:a) Punto de corte con el eje x : (1,0) Punto de corte con el eje y : NO existe. Comportamiento para:

xxC

xc)(

)( =

x : 03

1x

y para -x

3

1

x : 03

1-

x

y para -x : -

x

3

1

x , 03

12

x

y para -x ,

x

3

12

x : x

e y para-x : 0

xe

x : x3log y para +

0x : x3log

54


55


b) Punto de corte con el eje x : (1,0) Punto de corte con el eje y : NO existe.

Comportamiento para:

c) Punto de corte con el eje x : (1,0) Punto de corte con el eje y : NO existe. Comportamiento para:

Ejercicio 3:

Ejercicio 4: a)

Ángulo x sen x cos x tg x

1 0 no existe

0 -1 0

-1 0 no existe

b)

Ejercicio 5: 1)

2)a) pertenece al tercer cuadrante c) pertenece al primer cuadranteb) pertenece al cuarto cuadrante d) pertenece al primer cuadrante

Ejercicio 6:

Ejercicio 7:

x : x3/1log y para +

0x : x3/1log

x : xln y para +

0x : xln

a) xxf3/2

log)( = b)x

xf 4)( =

c)

x

xf =2

1)( d)

xxf3

log)( =

2

3

2

a) Signo de +:)(sen Signo de -:)(cos y Sign o de -:)(tg

b) Signo de -:)(sen Signo de -:)(cos y Signo de +:)(tg

c) Signo de -:)(sen Signo de +:)(cos y Signo de -:)(tg

a) = 0º b) = 0º o bien = 180º

c) = 270º d) = 180º

a) xsenxf 2)( = Dom f = R Img f = [ - 2,2]

b) 1)( += xsenxg Dom g = R Img g = [0,2]

c) 2)(COS -= xy Dom y = R Img y = [ - 3, - 1]

d) xy COS2

1= Dom y = R Img y = -

2

1,

2

1

a) + b) – 2 c) 0

56


57

Ejercicio 8:

Ejercicio 9: a) Ingresos totales en taquilla después del primer mes: 24 millones de

dólares b) Ingresos totales en taquilla después del segundo mes: 60 millones de

dólares c) Ingreso bruto total de la película a largo plazo: 120 millones de dólares,

puesto que:

Ejercicio 10:a) Costo Promedio:

b) El costo promedio máximo por unidad producida, al aumentar en forma continua la producción será de 2,2 dólares, puesto que:

a) - 2 11 3

b) 2

14 +

c) No existe + 0

d) + 0 +

e) 4 3 +

f) - 0 1

g) 0 No existe4

1

h) + 0 2

i) 2 1 1

1204

120lim)(lim

2

2

=+

=++ x

xxI

xx

d) - e) + f) No existe

g) – 3 h) 0 i) -

j) 4 k) 1 l) No existe

xxc

25002,2)( +=

2,2)( =+

xclimx

56


57

MÓDULO 3

Continuidad de Funciones.Derivada de Funciones y

Aplicaciones de la derivada.

59

Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la DerivadaEDUCACIÓN DISTRIBUIDA

59


MÓDULO III: CONTINUIDAD DE FUNCIONES. DERIVADA DE FUNCIONES Y APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ampliar y profundizar estos conceptos básicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida.

CAPÍTULO 9: Límite y continuidad9.4 Continuidad. 9.5 Continuidad aplicada a desigualdades. 9.6 Repaso. Aplicación práctica: Deuda nacional.CAPÍTULO 10: Diferenciación10.1 La derivada. 10.2 Reglas de diferenciación. 10.3 La derivada como una razón de cambio. 10.4 Diferenciabilidad y continuidad. 10.5 Reglas del producto y del cociente. 10.6 La regla de la cadena y la regla de la potencia. 10.7 Repaso. Aplicación práctica: Propensión marginal al consumo.CAPÍTULO 11: Temas adicionales de diferenciación11.1 Derivadas de funciones logarítmicas. 11.2 Derivadas de funciones exponenciales. 11.5 Derivadas de orden superior. 11.6 Repaso. Aplicación práctica: Cambio de la población con respecto al

tiempo.CAPÍTULO 12: Trazado de curvas12.1 Extremos relativos. 12.2 Extremos absolutos en un intervalo cerrado. 12.4 Prueba de la segunda derivada.


• Interpretar el concepto de continuidad así como las propiedades de las funciones continuas.

• Definir derivada y función derivada e interpretarla.

• Definir recta tangente en un punto y comprender su aplicabilidad.

• Calcular, utilizando reglas y teoremas, derivadas de distintas funciones.

• Determinar de valores extremos (máximos, mínimos, ptos de inflexión) de funciones.

• Aplicar criterios que le permitan obtener los extremos de una función.

60

Continuidad de funciones. Derivada de funciones. Aplicaciones de la Derivada EDUCACIÓN DISTRIBUIDA

61


Esquema conceptual


Funciones continuas

Situación- Problema I

Para cada uno de los gráficos obtener:

Límite de funciones

Funcionescontinuas

Función continua

Propiedades

Continuidaden un punto

�

Recta tangente a unafunción en un punto

Derivada de Funciones

Significadogeométrico

Derivaday continuidad

Definición de f´(x)

Derivada de lasoperaciones con

funciones

Regla de la cadena

Aplicaciones

Derivada y cambios de la

función

60


61


Vemos que ninguna de las tres funciones son continuas en x = 2, todas presentan en dicho valor un “corte”. Atendiendo a la existencia o no de la imagen y el límite definimos:

Definición: Una función y = f (x) es continua en x = a si se verifican simultánea-mente:1. f (a) existe ( f se define en el punto a)2. existe

3.

Si alguna condición no se verifica, se dice que f es discontinua en x = a

Definición: Una función y = f (x) es continua en todo su dominio si es continua en todo número a perteneciente al Dom f

IMPORTANTE!Por definición de función continua podemos afirmar que: Si y = f (x) es continua en en x = a entonces es muy fácil obtener el

resultado del límite de la función para x → a ya que por la tercer condición de continuidad es

Aplicando la definición a las funciones estudiadas podemos concluir que son:

Funciones Continuas

• Funciones Lineales en R• Funciones Cuadráticas en R• Funciones Exponenciales en R• Funciones Logarítmicas en R> 0 = (0,+∞)• Funciones Seno y Coseno en R• Función Tangente en R • Funciones Polinómicas en R

Ejemplo:

g (2) : no existe h (2) = 2 j (2)= 2

)(2

xglímx

no existe )(2

xhlímx

: no existe 1)(2

=xjlímx

)( xflímax

)()( afxflímax

=

)()( afxflímax

=

}es impar /2

.{ kk-

y = g (x)

x

-1

)

(

-6 6

3

1

-2 2

)

2

(

62


63


a) g es continua en el punto x=0 , ya que = 2

b) g es continua en el intervalo (-2,2), pues la función g es continua en todo punto de este intervalo.

c) ¿Cuáles son todos los puntos de discontinuidad de g?

1) x=-6 , ya que g(-6) no existe (no se verifica la 1º condición de continuidad) ¿se verifica la 2º condición?

2) x-2 , ya que g(2) no existe (no se verifican la 1º condición de continuidad) y notar que en este caso tampoco existe el ¿por qué?, (no se

verifica tampoco la 2º condición de continuidad).

3) x=4 , ya que no existe (no se verifica la 2º condición de

continuidad) ¿se verifica la 1º condición?

Recordar: con una de las condiciones de continuidad que no se verifique en un punto a, ya la función es discontinua en dicho punto a.

Derivada de funciones

Las principales aplicaciones de la derivada las encontraremos al tratar con:

• Razón, tasa o índice de cambio

• de población (consumidores, vegetal, animal, etc) • de una variable económica (costo, ingreso y beneficio marginal).

• Y en la representación de funciones: recta tangente a una curva

Con el objetivo de definir derivada comenzamos con la aplicación geomé-trica:


¿Cuál es la recta tangente a una curva en el punto P = ( x, y) ? ¿es la recta l? es la recta r?

)()0(0

xglímgx

=

)(2

xglímx

)(4

xglímx

y

xP

ll

r

y

xP

ll

•

r

y

x

Pr

ll

62


63


Consideremos la función y = f (x) y el punto P = (x , y) = (x , f(x))

y = f ( x)

x

x

x + x

x

f = y

f ( x) = y

f ( x+ D x)

recta secanterecta secante

Recta Secante que une P = (x , y) con Q = ( x +∆x , f (x +∆x))

Pediente

Cociente incremental

Definición de la recta tangente a función

¿Cómo se define la recta tangente al gráfico de una función y = f (x) en el punto P = (x , y) es decir P = (x , f(x)) ?

x

f

x

xfxxf

xxx

xfxxf=

-+=

-+

-+=

)()(

)(

)()(

x

xfxxf -+ )()(

Recta Secante que une P = (x, y) con Qi = (x +∆i x , f (x +∆i x)) tiene como pendiente a:

x

xfxxfa

i

ii

-+=

)()(

64


65


Y cuando ∆ x → 0Se obtiene la Recta tangente al gráfico de y = f (x) en el punto P = (x , f(x)),

por lo cual se define la Pendiente de la recta tangente como:

x

xfxxflímax

-+=

)()(

0

Definición: La pendiente de la recta secante al gráfico de una función y = f (x) por los puntos P = (x,y) y Q = (x +∆x , f (x +∆x)) se define como el cociente incremental:Pendiente de la recta Secante =

La pendiente de la recta tangente al gráfico de una función y = f (x) por los puntos P = (x , y) = (x , f(x)) se define como el límite del cociente incremental:Pendiente de la recta tangente =

Definición: DERIVADA de una función. La derivada de una función y = f (x), es otra función que se denota por

y se define, para cada x , como:

si dicho límite existe, de lo contrario decimos que la función f no es derivable en x.Geométricamente:

r es la recta tangente al gráfico de f en el punto P = (x , f(x))

IMPORTANTE: La derivada de y = f (x) en cada punto x es f´(x) e indica la velocidad, tasa, índice o rapidez con que cambia la función en el punto x.

Significado Geométrico de la Derivada:

x

f

x

xfxxf=

-+ )()(

x

xfxxflímx

-+ )()(

0

) ó(' xfxd

fd

x

xfxxflímxfx

-+=

)()()('

0

y = f (x)

xx

x + x

x

f = f (x+ x) – f (x)

f (x)

f (x+ x)

rr

x 0

y

x

P

x

f ( x)

rr

f

x

xfxxflímxfx

-+=

)()()('

0

tgxf =)('

64


65


La derivada de la función y = f (x) en el punto x, f´(x) es igual a:

• la pendiente de la recta tangente r al gráfico de y = f (x), en el punto P = (x , f(x)).

• la tangente trigonométrica del ángulo α que forma la recta tangente r con el semieje positivo x.

Ejemplo: f(x) =x2

y

x

1- 2

a) f´(0)= 0 pues la recta tangente a la parábola en el punto x = 0 es horizontal (su pendiente es nula)

b) El signo de f(1) es positivo porque la recta tangente a la parábola en el punto x = 1 es creciente (su pendiente es positiva)

c) El signo de f´(-2) es negativo porque la recta tangente a la parábola en el punto x = -2 es decreciente (su pendiente es negativa)

Cálculo de Derivada de Funciones

1) f(x)=c (c = número real constante)

x

y

y = c

0

La derivada de una función constante es 0.

)(')( == xfcxf

2) f(x)=x

x

y

y = x

1

La derivada de x es 1.

)(')( == xfxxf

66


67


Función Derivada

Ejemplo: Recta tangente a la función f (x) =x2 en el punto (1,1) es y= 2x-1 pues

• Pendiente de la recta tangente en (1,1) es f´(1) = 2 ya que:

Para la función f (x) -x2 su derivada es f´(x) -2 x 2-1 = 2x

• Ordenada al origen de la recta tangente en (1,1) es -1 ya que la ecuación de la recta tangente es y-2x-b y debe pasar por el punto (1,1).

Derivada y Operaciones

• Derivada de una suma de funciones:

• Derivada de una diferencia de funciones:

• Derivada de una función por un k constante:

• Derivada de un producto de funciones:

• Derivada de un cociente de funciones:

Ejemplo:

a) Si f (x) = x +5 entonces f (x) = 1

b) Si f (x) =5x2 -2x-1 entonces f´ (x) =10x -2

Función: f ( x ) Derivada: )(' xf

c 0

x 1

nx

1-nxn

xx2

1( x > 0)

xe

xe

xa aa

xln

xlnx

1( x > 0)

xalogax ln

1.

1( x > 0)

sen x cos x

cos x - sen x

tg x

( ) ] [ ] [ ]'''

)()()( xgxfxgf +=+

( )[ ] [ ] [ ]'''

)()()( xgxfxgf -=-

( )[ ] [ ]''

)()( xfkxfk = (k = nº real)

( )[ ] [ ] [ ]'''

)(.)()(.)()(. xgxfxgxfxgf +=

[ ] [ ]

( )2

'''

)(

)(.)()(.)()(

xg

xgxfxgxfx

g

f -= (siempre que g(x ) 0)

66


67


c) Si f(x)=x5 . cos x entonces f´(x) =5x4 . cos x - x5 sen x

d) Si entonces:

Aplicaciones de la Derivada:

I) La función de costo total de un fabricante y=C(x) da el costo total y de producir y comerciar x unidades de un producto.

• El costo medio o promedio de producción por cada unidad está dado por

• El costo marginal de producción CM(x), es decir el cambio de los costos por cada unidad adicional producida está dado por C´(x).

xsen

xxxxxf 1)(234

++++=

xsen

xxxxxxsenxxxxf

2

23423cos)1()1234(

)('++++-+++

=

x

xCxc

)()( =

Costo Marginal: C ’ ( x ) =x

xCxxClím

x

Clím

xx

-+=

D

)()(

00

II) La función de ingreso total de un fabricante y=I(x) da el valor total y recibido por un fabricante al vender x unidades de un producto.

• El ingreso medio o promedio por cada unidad vendida está dado por

• El ingreso marginal IM(x), es decir el cambio en el ingreso al vender una unidad adicional y está dado por I´(x).

x

xIxi

)()( =

Ingreso Marginal: I’ ( x ) = x

xIxxIlím

x

-+ )()(

0

III) De igual manera se definen beneficio marginal y beneficio promedio.

Tendencia de una función a través de la derivada:

La derivada permite decidir el comportamiento de la función. Si para todo x en un intervalo (a,b) se verifica que:a) f´(x)>0 entonces f (x) es creciente.b) f´(x)<0 entonces f (x) es decreciente.c) f´(x)= 0 entonces f (x) es constante.

Regla de la Cadena

Para la función g(x) -ex conocemos que g´(x) = e x Si ahora tenemos: f (x) = e x3+5 ¿Cuál será f´(x) ?

68


69


Podemos reescribir la función anterior como f (x) = e u con u=x3+5, es decir tenemos una función compuesta:

x ux =+ 53

)( xfeu

=

( )'3

5+x ( ) 'ue

La derivada de las funciones compuestas se obtiene utilizando la:

Regla de la Cadena:

Si f es una función derivable en g (x) y g es una función derivable en x entonces la función compuesta f(g(x)) es derivable en x y se verifica:

o bien

Ejemplo:

• Si entonces

• Si entonces

• Si entonces

Funciones Continuas y Funciones Derivables

¿Todas las funciones son derivables? NO

1. Si f es una función discontinua en x = a, entonces f´(a) no existe.

[ ] )('.))(('))(('

xgxgfxgf =

xd

gd

gd

fd

xd

xgf.

))((=

d

54)( xxf -=

5

4

42

5)('

x

xxf

-

-=

)135()(23

--+= xxxsenxf

( ) ( )3103.)135(cos)('223

-+--+= xxxxxxf

)3(ln.)6()(10023

xxxxf +-=

x

xxxxxxxxf

1002329923 )6(

)3(ln.)23()6(100)('+-

+-+-=

x

y = f( x)

a

)

f no es continua en x = a

) no existe(' af

68


69


2. Existen funciones continuas que no son derivables

x

y = f( x)

a b

f es continua en (- , + )

y no existen

Los puntos x = a y x = b se denominan puntos de corner (o puntos de esquina)

IMPORTANTE!Si una función es derivable, entonces es una función continua.

Derivadas Sucesivas

Aplicaciones de la derivada de funciones

Trazado de curvas

Para realizar el gráfico de una función f conocemos como encontrar:• Dom f e Img f• Cortes con los ejes coordenados• Límites de la función para valores extremos• Continuidad

¿Cómo determinamos los valore máximos y/o mínimos que alcanza? ¿En que puntos alcanza dichos máximos?

)('''"'

ivfffff

y = f (x)

xxM

xMR xM

xM R

f (x M)

f (x M)

Definición: 1. El punto xM es un punto de máximo absoluto de la función y = f (x) si verifica para todo x perteneciente al Dom f.)()( xfxf M

70


71


El valor f (xM) es el valor máximo absoluto de la función.2. El punto xm es un punto de mínimo absoluto de la función y = f (x) si verifica para todo x perteneciente al Dom f.El valor f (xm) es el valor mínimo absoluto de la función.

IMPORTANTEMáximo Absoluto: es el par ordenado (xM, f (xM)) formado por el punto de

máximo absoluto y el valor máximo absoluto.Mínimo Absoluto: es el par ordenado (xm, f (xm)) formado por el punto de

mínimo absoluto y el valor mínimo absoluto.

De igual manera, si consideramos un intervalo del Dominio de la función definimos:

Definición: 1. El punto xMR es un punto de máximo relativo de la función f si verifica para todo x en un intervalo I, contenido en el Dom f.Máximo Relativo: 2. El punto xmr es un punto de mínimo relativo de la función f si verifica para todo x en un intervalo I, contenido en el Dom f.Mínimo Relativo:

Determinación de Máximos y Mínimos aplicando la Derivada:

Si para cada punto de la función trazamos la recta tangente a la misma por el punto y observamos su pendiente, podemos deducir:

)()( xfxf m

)()( xfxf MR

( ))(, MRMR xfx

)()( xfxf mr

( ))(, mrmr xfx

x

y = f ( x)

xM

xM

f ( xM)

f ( xM)

Propiedad:

1. Si f´(x)>0 para todo x en un intervalo I, entonces f crece en el intervalo.2. Si f´(x)<0 para todo x en un intervalo I, entonces f decrece en el

intervalo.3. Si f´(x)= 0 para todo x en un intervalo I, entonces f es constante en el

70


71


intervalo.

Definición: Un punto p que verifica f´(p) =0 o bien f´(p) no existe, se denomina un punto crítico de la función y = f (x)

IMPORTANTESi x es un punto de máximo (absoluto o relativo) o bien un punto de mínimo

(absoluto o relativo), entonces f´(x) = 0, es decir x es un punto crítico.¿Todo punto crítico será un punto de máximo y/o de mínimo? NO

Ejemplo:

3)( xxf =

Punto Crítico: x = 0

Pto. de máximo y/o de mínimo: No tiene

x

y

x 3

Criterio para determinar Máximos y Mínimos de y = f (x)

Condición Necesaria: Un punto x en el Dom f es un punto de máximo y/o de mínimo si verifica

f´(x) =0 Utilizando de la Derivada Segunda (f´´) tenemos un criterio para determi-

nar:

Propiedad

1. Si x es un punto crítico ( 0)(' =xf )

y 0)('' <xf

( ))(, xfx es un MÁXIMO

2. Si x es un punto crítico ( 0)(' =xf )

y 0)('' >xf

( ))(, xfx es un MÍNIMO

y

xxM

f ( xM)

y

xxM

f (xM)

72


73


Ejemplo: Máximos y mínimos de:

Puntos Críticos:Como entoncesEntonces implica resolver y esta ecuación

cuadrática tiene dos raíces: que son los puntos críticos de la función.

Máximos y/o Mínimos:Para determinar los mismos debemos evaluar los puntos críticos en la

derivada segunda:Como entoncesEntonces calculamos: así: x1=-1 es un

punto de máximo. así: x2= 3 es un punto de

mínimo.

Y como f (-1) =25 y f (3)=7 entonces:• Máximo de la función: (-1, 25)• Mínimo de la función: (3,7)

IMPORTANTESi una función es continua y su función derivada también es continua,

entonces los puntos de máximo y de mínimo (absoluto o relativo) determinan los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de la misma.

Autoevaluación


Ejercicio 1: Indicar para la función f cuyo gráfico es el siguiente todos los puntos de

discontinuidad y las condiciones de la definición de continuidad que los mismos no verifican.

2093)(23

+--= xxxxf

2093)(23

+--= xxxxf 963)('2

--= xxxf

0)(' =xf 09632

=-- xx

11 -=x y 32 =x

963)('2

--= xxxf 66)('' -= xxf

0126)1(6)1('' <-=--=-f

0126)3(6)3('' >=-=f

x

y = f (x)

2 46

- 2- 4- 6

2

4

6

- 2

- 4

)

Ejercicio 2: El gráfico corresponde a una función f , a partir del mismo:

72


73


x

y=f (x)

1 3-1

(

) (

1

3

-1

a) ¿cuánto vale )1( -f ?

b) ¿ cuánto vale )(1

xflimx -

?

c) ¿Es f continua en 1-=x ?

d) ¿cuánto vale )0(f ?

e) ¿cuánto vale )(0

xflimx

?

f) ¿Es f continua en 0=x ?

g) ¿cuánto vale )1(f ?

h) ¿cuánto vale )(1

xflimx

?

i) ¿Es f continua en 1=x ?

j)

g)

Encontrar )( xflimx +

Encontrar )( xflimx -

Ejercicio 3 En un cybercafé el precio del uso de Internet está fijado según la siguiente

lista:Tiempo de navegación (hs) Tarifa ($)Hasta 1 hs. 2,0 $De 1 hs. hasta 2 hs. 1,7 $De 2 hs. hasta 4 hs. 1,5 $4 hs. o más 1,0 $

a) Graficar la función que determina la tarifa a pagar por un usuario de acuerdo al tiempo de uso.

b) ¿Cuál es el dominio de esta función?c) ¿Es la función discontinua? Si la respuesta es positiva señalar los puntos en

los cuales se presentan las discontinuidades de la misma.

Ejercicio 4: Utilizando las reglas de derivación de las operaciones, obtener el resultado

de derivar las siguientes operaciones entre las funciones f y g en el punto x = 1.

Se conoce que las funciones verifican

Ejercicio 5: Para cada uno de los siguientes gráficos trazar la recta tangente en x=1 e

indicar, a partir de la misma el signo de la derivada de la función representada en dicho punto:

2)1( =f , 3)1( -=g , 3)1(' =f y 5)1(' =g :

a) ( ) )1('

gf + b) ( ) )1('

gf - c) ( ) )1(.3'

f

d) ( ) )1(.'

gf e) )1(

'

g

f

74


75


Ejercicio 6: a) Conociendo que la función f cumple f (2)=4 y f´(2)=1, indicar la ecuación de

la recta tangente al gráfico de f en el punto x = 2.b) Sabiendo que la recta tangente al gráfico de la función g en el punto

tiene por ecuación y=-2x+5 ¿cuánto vale g´(0)? c) Sabiendo que la recta tangente al gráfico de la función f en el punto (2,7)

forma con el semieje x positivo un ángulo de 60º, indicar la ecuación de dicha recta.

Ejercicio 7: Encontrar la fórmula de la función derivada de:

x

y

1 x

y

1

a)a) xxf 21)( -=

b)b) 13

)( -=x

xf

c)c) xxxxf +-=23

23)(

d)d)34

)(

32xx

xf -=

e)e) xxxf 2)( +=

f)f) 2lncos24

)( -+-= xxe

xf

x

g)g) )1)(1()(2

-+= xxxf

h)h) xxxf ln)1()(2

+=

i)i)xx

exexf2

2)( -=

2

11)(

xxxf -=j)j)

k)k)13

142)(

2

-

++=

x

xxxf

l)l)x

e

xxf

ln)( =

m)m) x

xxxf

ln

3cos)(

4+

=

n)n) ( ) ( )493sen)(3

+= xxxf

o)o)152

32)(

3

+

+=

x

xxf

p)p) ))cos(sen()( xxf =

q)q) ( )6

20)3LN()( += xxf

r)r) ( )xxx

ff

25cos)295()( +=

s)s))1(

)1(1)(

3

+

++=

x

xcosxf

t)t) ( ) )2(cos232tg)(53

xxxxxf ++++=

Ejercicio 8: Dar la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes funciones,

en los puntos indicados:

Ejercicio 9: Obtener la derivada segunda de las siguientes funciones:

a) 2

4)( xxf = en (1,4)

b)23

)( xxxh += en x = 1

74


75


Ejercicio 10: El siguiente gráfico representa una función y=g(x):

a)x

exg3

)( =

b) )(LN)( baxxg += con a b números reales.

Indicar, señalando las dos coordenadas de cada punto (cuando correspon-da):a) Un punto donde g’ es cero.b) Un punto donde g’ es positiva.c) Un punto donde g’ es negativa.d) Un máximo absoluto, si existe.e) Un mínimo absoluto, si existe.f) Un máximo relativo, si existe.g) Un mínimo relativo, si existe.h) Todos los intervalos donde g es creciente.i) Todos los intervalos donde g es decreciente.j) Todos los intervalos donde g es constante.

Ejercicio 11: Para cada una de las siguientes funciones con dominio R:

1) Encontrar, si existen, los puntos críticos 2) Determinar los máximos y/o mínimos, indicando las dos coordenadas.


Ejercicio 1: Puntos de discontinuidad:

a) x=-3 ya que en dicho punto la función no está definida y no tiene límite (No se verifican ninguna de las tres condiciones de continuidad)

b) x=4 ya que en dicho punto la función no tiene límite (No se verifican las

x

g(x)

A

BC

D

F

E

G

H

I JK

L

3

6

9

3 6 9 12

- 3

- 3- 6

xxxf 242)(3

-=

168)(24

+-= xxxF

xexxG =)(

76


77


condiciones 2 y 3 de la definición de continuidad)

Ejercicio 2: a) 2 b) 3 c) f no es continua d) 1 e) 1 f) f es continua g) – 1 h) No existe i) f no es continua j) 2 k)

Ejercicio 3: a) Dom f = (0, )b) La función es discontinua en x = 1, x = 2 y x = 4. En todos estos puntos la

condición que no se verifica es la existencia de límite (Condiciones 2 y 3 de la definición de continuidad)

Ejercicio 4: a) 8 b) -2 c) 9 d) 1 e)

Ejercicio 5: a) f´(1)> 0 b) f´(1) < 0

Ejercicio 6: a) Recta tangente al gráfico de la función es: y = x + 2b) g´(0) =-2 c) Recta tangente al gráfico de la función f en el punto (2,7) es: y = 1,73 x

+3,54

Ejercicio 7:

+

9

19-

a) 2)(' -=xf

b)3

1)(' =xf

c) 149)('2

+-= xxxf

d)2

2)(' x

xxf -=

e)xx

xf1

2

1)(' +=

f)x

xe

xf

x 1sen2

4)(' ++=

g) )1(2)1()('2

++-= xxxxf

h)x

xxxxf

1ln2)('

2+

+=

i)xxx

xeexexf 22)('2

--=

j)32

21)('

xx

xf +-=

76


77


Ejercicio 8: a) y = 8x-4 b) y= 5x-3

Ejercicio 9:a) b)

Ejercicio 10:a) C = (-1,11); G = (5,-3) y J = (10,5)b) A = (-4,5); B = (-2,10); H = (7,1) y L = (13,8) c) D = (1,7); E = (2,3) y F = (3,-1) d) Máximo absoluto: no existe.e) G = (5,-3)f) C = (-1,11) y I = (8,5)g) K = (11,5)h) (-∞, -1) ; (5,8) y (11, +∞) i) (-1,5) j) (8,11)

Ejercicio 11:a) Puntos crít icos x = -2 y x = 2. Máximo Relativo: (-2,32). Mínimo Relativo: (2,-32)b) Puntos Críticos: x = 0 , x = 2 y x = -2 Máximo Relativo: (0,16). Mínimos Absolutos: (2,0) y (-2,0)

k)

( )2

2

13

3)142()13)(44()('

-

++--+=

x

xxxxxf

l)x

x

x

xx

e

xx

e

e

exx

e

xf22

ln1

ln

)('

-

=

-

=

m)

( )

( )2

43

ln

)3(cosln12sen

)('

x

x

xxxxx

xf

+-+-

=

n) ( )( ) ( )23

.sen9493cos)(' xxxxxf ++=

o)( )

2

32

152

)32(2)152(6)('

+

+-+=

x

xxxxf

p) xxxf cos.)sen(sen)(' -=

q)( )

x

xxf

520)3ln(6

)('+

=

r) ( ) ( ) ( )xxxxxxf sen.cos)295(2cos)295(25)('524

+-+=

s)

t)

2

32'

)1(

))1(1()1))(1sen()(1(3)(

+

++-++-+=

x

xcosxxxcosxf

( ) )2(cos

)2(

232COS

1033)('

532

42

x

xsen

xxx

xxxf -

+++

++=

xexg

39)(" =

2

2

)(

)("

bax

axg

+

-=

78


79

c) Puntos Críticos: x = -1 La función no posee máximos absolutos ni relativos. Mínimo Absoluto: (-1,-

0,37)

78


79

MÓDULO 4

Aplicaciones de la Derivada.Integral de Funciones y

aplicaciones de la integral

81

Aplicaciones de la Derivada. Integral de Funciones y aplicaciones de la integralEDUCACIÓN DISTRIBUIDA

81


MÓDULO IV: APLICACIONES DE LA DERIVADA.INTEGRAL DE FUNCIONES Y APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Ampliar y profundizar estos conceptos básicos en el texto: Haeussler, E. and Paul, R. Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida.

CAPÍTULO 12: Trazado de curvas12.1 Extremos relativos. 12.2 Extremos absolutos. 12.3 Concavidad.12.4 Prueba de la segunda derivada.12.5 Asíntotas. 12.6 Repaso. Aplicación práctica: Bosquejo de la curva de Phillips.CAPÍTULO 13: Aplicaciones de la diferenciación13.1 Aplicación de máximos y mínimos. 13.2 Elasticidad de la demanda. 13.3 Repaso. Aplicación práctica: Cantidad económica de pedido.CAPÍTULO 14: Integración14.1 La integral indefinida. 14.3 Más fórmulas de integración. 14.4 Técnicas de integración. 14.5 Sumatoria. 14.6 La integral definida. 14.7 El teorema fundamental del cálculo integral14.8 Área. 14.9 Área entre curvas.14.10 Excedente de los consumidores y de los productores. 14.11 Repaso. Aplicación práctica: Precio de envío.CAPÍTULO 15: Métodos y aplicaciones de la integración15.1 Integración por partes. 15.2 Integración por medio de tablas.


• Aplicar criterios que permitan obtener los extremos de una función.

• Desarrollar el procedimiento para representar curvas a partir del conocimiento de las propiedades de las funciones que las definen: crecimiento/decrecimiento, concavidad/convexidad.

• Resolver problemas de optimización de funciones aplicados a situaciones concretas.

• Reconocer el papel de inversas entre las operaciones de derivación e integración.

• Deducir el concepto y el significado del proceso de cálculo de primitivas.

• Calcular, utilizando reglas y teoremas, integrales de distintas funciones.

• Utilizar el cálculo de integrales para la obtención de áreas de regiones planas, volúmenes de cuerpos y otras aplicaciones.

82

Aplicaciones de la Derivada. Integral de Funciones y aplicaciones de la integral EDUCACIÓN DISTRIBUIDA

83


Esquema Conceptual

Aplicaciones de la Integral

Derivada de una función

Función Primitiva

Integral de Funciones

Integral definida

Integración por tablas Integración por sustitución

Sumas de Riemann

Regla de Barrow

Áreas de figuras planas

Integral definida

Extremos deuna función

Puntos críticos

MínimosAbloslutos y relativos

MáximosAbloslutos y relativos

Puntos de inflexión

Problemas de

Optimización

Gráfico de una función

DominioImagen

Corte Eje xCorte Eje y

LímitesContinuidad

Aplicaciones de la Derivada

IntervalosConcavidad

IntervalosCrecimiento

Decrecimiento

82


83



Aplicaciones de la derivada de funciones

Trazado de curvas – optimización


Una empresa de MKT estimó que x meses después de la introducción de un nuevo producto, f (x) familias lo usarán, donde:

• ¿Después de cuántos meses el número de familias que usarán el producto será máximo?

• ¿Cuántas familias, como máximo, se puede estimar que usarán el producto?Como la función que describe el problema es una función cuadrática con

ramas hacia abajo (por qué?) sabemos que el máximo se encontrará en su vértice, entonces:• xv = 6 meses• Yv = 40.000 familias Así máximo de f : (6 , 40.000)


El ingreso obtenido por la venta de este nuevo producto la empresa lo estima que puede obtenerse a partir de la función:

• ¿A qué precio x debe vender el producto para lograr el máximo ingreso?• ¿A cuánto ascenderá dicho ingreso si vende al precio calculado?

Para realizar el gráfico de esta función I conocemos como encontrar:• Dom I e Img I• Cortes con los ejes coordenados• Límites de la función para valores extremos• Continuidad• Ptos y valores de Máximos y Mínimos (absolutos y relativos)

Recordemos que para determinar Máximos y Mínimos de y = f (x):

1. Si x es un punto crítico (f´(x) =0) y f´´(x) < 0 entonces (x, f (x)) es un máximo

2. Si x es un punto crítico (f´(x) =0) y f´´(x) > 0 entonces (x, f (x)) es un mínimo

Ejemplo: Determinar, si existen, los máximos y/o mínimos de:

Puntos Críticos:Como entonces Entonces f´(x) =0 implica resolver y esta ecuación tiene una

única raíz: x=0 y que es el punto crítico de la función.

xxxf3

40

9

10)( 2 +-= 120 x y f ( x ) en miles

xx

xxI 3

3

800)( -

+= 0x e I ( x ) en miles

6)( xxf =

6)( xxf = 5)( 6 xxf´ =

065

=x

84


85


Máximos y/o Mínimos:Para determinarlo debemos evaluar el punto crítico en la derivada segun-

da:Como entoncesEntonces calculamos: con lo cual no podemos determi-

nar si es un punto de máximo o de mínimo.Por esto es necesario dar una condición suficiente para determinar los

extremos:IMPORTANTE

• Condición Necesaria para que un punto x sea de máximo y/o de mínimo es que la derivada primera sea nula: f´(x)=0

• Condición Suficiente para que un punto x sea de:

máximo es que la primer derivada no nula sea de orden par y negativa:

mínimo es que la primer derivada no nula sea de orden par y positiva:

Ejemplo: Para determinar si el punto crítico de la función f (x) =x6 es un máximo o un

mínimo debemos entonces continuar el proceso de derivación:Entonces (0,0) es un mínimo de la función f (x) =x6

56)(' xxf =

430)('' xxf =

00.30)0(''4

==f

0)()2(

<xfn

0)()2(

>xfn

Para 5

6)(' xxf = es 4

30)('' xxf = pero 0)0('' =f

Para 4

30)('' xxf = es 3

120)(''' xxf = pero 0)0(''' =f

Para 3

120)(''' xxf = es 2)4(

360)( xxf = pero 0)0()4(

=f

Para 2)4(

360)( xxf = es xxf 720)()5(

= pero 0)0()5(

=f

Para xxf 720)()5(

= es 720)()6(

=xf y ahora 0720)0()6(

>=f

Concavidad de una Curva: Curvatura:

Definición: Si una función f es derivable, decimos que su gráfico es cóncavo hacia arriba en el intervalo (a , b) si: f´´ (x) >0 para todo x en el intervalo.O bien: El gráfico de f es cóncavo hacia arriba si f´(x) es creciente para todo x en el intervalo (a , b) esto es las pendientes de las sucesivas rectas tangentes toman valores cada vez mayores cuando x crece de a hasta b

Definición: Si una función f es derivable, decimos que su gráfico es cóncavo hacia abajo en el intervalo (a , b) si: f´´ (x) < 0 para todo x en el intervalo.O bien:El gráfico de f es cóncavo hacia abajo si f´(x) es decreciente para todo x en el intervalo (a , b) esto es las pendientes de las sucesivas rectas tangentes toman valores cada vez menores cuando x crece de a hasta b.

84


85


Ejemplo:

y = f ( x)

x

1

f (1)

Definición: Un punto p donde la función f cambia su concavidad, se llama punto de inflexión.

Ejemplo: En la función y = f (x) del gráfico anterior el punto de Inflexión es: (1, f (1))

IMPORTANTE • Condición Necesaria para que un punto x sea punto de inflexión es que la

derivada segunda sea nula:

• Condición Suficiente para que un punto x sea punto de inflexión es que la

primer derivada no nula sea de orden impar:

Dos tipos de Puntos de Inflexión

f es cóncava hacia arriba en (-∞,1)f es cóncava hacia abajo en (1,+∞)

0)('' =xf

0)()12( +

xfn

recta tangente

y

xI

(xI)

recta tangente

x

y

xI

g(xI)

a tangente horizontal:

( ))(, ii xfx es un punto de inflexión a

tangente horizontal

pues: 0)('' =xf y 0)(' =xf

a tangente oblicua:

( ))(, ii xgx es un punto de inflexión a

tangente oblicua

pues: 0)('' =xg y 0)(' ¹xg

86


87


En resumen el criterio general para determinar Extremos (máximos, mínimos e inflexiones) de una función y=f(x):

Par Ordenado Cond. Necesaria Condición Suficiente Tipo de Extremo

Primer derivada no nula de orden par y negativa

Pto. de Máximo Valor Máximo

Primer derivada no nula de orden par y positiva

Pto. de Mínimo Valor Mínimo

Primer derivada no nula de orden impar Pto. de Inflexión

Ejemplo: Para la función f (x) = 4 x3 + 6 x2 + 2 Puntos críticos Se obtienen resolviendo la ecuación f´(x) = 0 : x = -1 y x = 0Máximos y/o MínimosSe obtienen aplicando los criterios de suficiencia a los puntos críticos: Pto. mínimo x = 0 Valor mínimo f (0) = 2 Mínimo (0,2)Pto. máximo x = -1 Valor máximo f (-1) = 4 Máximo (-1,4)Puntos de inflexiónSe obtienen resolviendo la ecuación f´´(x)=0 y aplicando los criterios de

suficiencia a la solución: x = -0,5 Pto. De Inflexión (-0,5, 3)Intervalos de crecimiento y decrecimientoSe obtienen, por ser una función continua, a partir de los puntos de máxi-

mos y mínimos de la función:f crece en (-∞ , -1) y (0,+ ∞)f decrece en (-1, 0)Intervalos de concavidadSe obtienen, por ser una función continua con derivada continua, a partir de

los puntos de inflexión de la función:f cóncava hacia arriba en (-0,5,+ ∞)f cóncava hacia abajo en (-∞ , -0,5)

Optimización - Modelización

Un problema de optimización es una situación que puede formularse de manera tal que involucre maximizar o minimizar una función que describe la misma. Ej. Encontrar máximo beneficio, menor costo, mínimo tiempo, tamaño óptimo, área mínima, distancia máxima, etc...

1. Procedimiento para resolver problemas de optimización, si se conoce la función y=f(x) que modeliza el problema:

a) Determinar los puntos críticos y a partir de éstos los puntos y valores máximos y/o mínimos para la función y=f(x).

b) Comprobar que los valores encontrados son solución del problema planteado.

2. Procedimiento para resolver problemas de optimización, si no se conoce la función y=f(x) que explica el problema:

( ))(, MM xfx

( ))(, mm xfx

( ))(, ii xfx

0)(' =Mxf

0)(' =mxf

0)(" =ixf

Mx)( Mxf

mx)( mxf

( ))(, ii xfx

86


87


a) Leer la situación-problema y, en lo posible, realizar un dibujo esquemático de la misma. Determinar datos e incógnitas del problema.

b) Escribir las relaciones que representen la situación a maximizar o minimizar.

c) Utilizando los datos conocidos para reescribir la ecuación del paso b) de forma tal de obtener una función y=f(x) de una variable.

d) Determinar los puntos críticos y a partir de éstos los puntos y valores máximos y mínimos para la función y=f(x).

e) Comprobar que los valores encontrados son solución del problema planteado.

Integral de funciones

• Integral Indefinida: Operación inversa de la derivada.

• Integral Definida: Área de una región del plano.


El ingreso marginal para un producto de mayor salida de fabricante es:

Cuál es el ingreso que percibe al vender 20 productos?


Para un grupo urbano, los sociólogos estudiaron el ingreso anual promedio de una persona con x años de educación puede percibir al buscar empleo. Estimaron que dicho ingreso y cambia con respecto a la educación en:

¿Cuál es el ingreso y (x) para una persona con x años de educación?En estas dos situaciones conocemos la derivada de una función y debemos

encontrar la función original. El proceso es entonces:

23202000)( xxxIM --=

16410)('2/3

= xxxy

derivada

F ( x ) )()(' xfxF =

¿¿¿¿ ????

Definición: Una primitiva de una función y = f (x) es una función F(x) que verifica:F´(x) = f (x) o en notación diferencial dF(x) = f(x) dx

Ejemplo: Función Funciones Primitivasy = 1 y = x ó y = x + 2 ó y = x - 5 y = 2x y = x 2 ó y = x 2 - 7 ó y = x 2 +300

Así:

88


89


• Primitiva de f (x) = 1 es F (x) = x + c• Primitiva de f (x) = 2 x es F (x) = x 2 + c

A estas primitivas las denominamos y las notamos por:

Definición: INTEGRAL de una funciónLa integral indefinida de una función y = f (x), respecto de la variable x es una función primitiva F(x) que verifica:

con c una constante

Ejemplos:

Propiedad: Dos primitivas de una función son iguales, salvo una constante c aditiva,

es decir:Si F 1(x) y F 2 (x) son primitivas de y = f (x), entonces F 1(x) = F 2 (x) + c

Integral Indefinida de Funciones

Función: f (x) y su Integral Indefinida

C+= )()( xFdxxf si y sólo si )()(' xfxF =

a) C+= xdx1 b) C+=2

2 xdxx

dxxf )(

Integral y Operaciones

+= Cxdx1

+= Cxkdxk

++

=

+

C1

1

n

xdxx

nn

n- 1

+= Cxx

edxe

+= cxdxx

ln1

+-= cxdxxsen cos

+= cxsendxxcos

1. ( ) +=+ dxxgdxxfdxxgf )()()(

2. ( ) -=- dxxgdxxfdxxgf )()()(

3. ( ) = dxxfkdxxfk )()(. ( k = nº real)

88


89


Ejemplos:

a) ( ) c++-=+- xxx

dxxx 22

53

4254

232

b) c++=+xx

ex

dxex 33

23

2/3

c) c++=-

-

38

1

2

34

4

3xx

dx

x

x

d) c++=+ xxsendxx

x ln31

cos3

Técnicas o Métodos de Integración

Dentro de muchas técnicas que existen para encontrar la integral de una función, abordamos la integración por sustitución. En la actualidad con las herramientas computacionales podemos calcular la mayoría de las integrales en forma directa.

Integración por Sustitución

Si F (x) es una función primitiva de y = f (x) entonces con este método podemos reescribir la integral de un producto de forma que se reduzca a un integral simple:

cxgFdxxgxgf += ))(()('.))(( donde )()(' xfxF =

En la práctica se realiza la “sustitución” u = g (x) en cuyo caso du = g´dx y así:

Ejemplos:

cxgFcuFduufdxxgxgf +=+== ))(()(.)()('.))(( (siempre con F primitiva de f).

a) =+ dxxx 2.)1(42

con la sustitución 12+= xu y dxxdu 2= tenemos c

uduu +=

5)(

54

entonces cx

dxxx ++

=+5

)1(2.)1(

5242

b) =dxexx352

.5 con la sustitución 3

5 xu = y dxxdu2

15= tenemos ce

due

uu

+=33

1

entonces ce

dxex

xx

+=3

.5

33 5

52

c) =+

dxx

x

)1(

4

2con la sustitución 1

2+= xu y dxxdu 2= tenemos cudu

u+= ln2

2

entonces cxdx

x

x++=

+

)1(ln2

)1(

4 2

2

90


91


d) =

-

-dx

x

x

52)21(

4con la sustitución

221 xu -= y dxxdu 4-= tenemos c

udu

u

+-

=

-

4

14

5

entonces cx

dx

x

x+

--=

-

--

4

)21(

)21(

442

52

Aplicaciones de la integral de funciones

Integral definida de funciones. Cálculo de áreas

Definición: Si y = f (x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F(x) es una primitiva de f en dicho intervalo, entonces la integral definida se obtiene:

Nota: Esta relación entre la integral definida y la función primitiva del integrando

se conoce como Regla de Barrow o Teorema del Cálculo Integral.

Ejemplos:

Propiedades de la Integral Definida

)()()( aFbFdxxf

b

a-= si y sólo si )()(' xfxF =

a) 2

15

2

18)1()4(

4

1=-=-= FFdxx donde c

xdxxxF +==

2)(

2

b) 044)2()2(

2

2

3=-=--=

-FFdxx donde c

xdxxxF +==

4)(

43

c) 2

12

2

36)1()2()4(

2

1-=--=--=-

-FFdxx donde cx

xdxxxF +-=-= 4

2)4()(

2

IMPORTANTELa integral definida da por resultado un número real.

Aplicación de la Integral Definida: CÁLCULO DE ÁREAS

1. 0)( =

a

adxxf

2. ( ) =

b

a

b

adxxfkdxxfk )()(. = nº real)

3. ( ) =±

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgf )()()(

4. +=

b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf )()()( con a < c < b

b

adxxf )(

90


91


¿Cuál es el área de una región plana? Para responder a esta pregunta, en el caso de que la misma no sea una

figura geométrica conocida (triángulo, rectángulo, cuadrado, rombo, etc...), comenzaremos por calcular el área de una región como la siguiente:

0f f continua.

Región R del plano limitada por El eje

Las rectas verticales que pasan por x = a x = b

y

x

a b

f

R

Casos Particulares:a) Si f (x) = 5

f ( x ) = 5, (continua y positiva).

Región R del plano limitada por El eje x

Las rectas verticales x = 1, x = 4 y

x

1 4

y = 5

R

b) Si f (x) = x

f ( x ) = x , (continua y positiva).

Región R d el plano limitada por El eje x

Las rectas verticales x = 1, x = 4

Área ( R ) = base . altura

= (4 - 1) . 5 = 3 . 5 = 15

y

x

1 4

y = x

R

Area ( R ) = área triángulo +

área rectángulo =

= 2

151.)14(

2

3.)14(=-+

-

92


93


Cuando consideremos una región R limitada por una función y con-tinua, el eje x y las rectas verticales que pasan por x = a , x = b, el Teorema Fundamental del Cálculo Integral nos asegura:

Área de una región en el plano:Si y = f (x) es una función continua y positiva, para todo x en el intervalo

[a , b]. El área A de la región R limitada por:la función f el eje x las rectas verticales que pasan por x = a , x = b es igual a:

si dichos límites existen. Los símbolos sn y Sn representan las sumas inferiores y superiores de Riemman, respectivamente, y se definen por:

Cálculo de Áreas

I. Si y = f (x) es una función continua y positiva en el intervalo [a , b], entonces

0f

===++

b

an

xn

xdxxfSlímslímA )(

))((....))(())(( 1)1(12211 -- -++-+-= nnmmmn xbxfxxxfaxxfs

))((...))(())(( 1)1(12211 -- -++-+-= nnMMMn xbxfxxxfaxxfS

con mix = mínimo de f en ],[ 1+ii xx

Mix = máximo de f en ],[ 1+ii xx

y bxax n == ,0

II. Si y = f (x) es una función continua y negativa en el intervalo [a , b], entonces

y

xa b

f

R

Áre a ( R ) =

Donde | | = valor absoluto

=

b

adxxfA )(

y

xa b

f

R

=

b

adxxfAÁrea (R) = )(

Donde | | = valor absoluto

92


93


c

y

xa b

R

R

+=

c

b

b

adxxfdxxfA )()(Área (R)

III. Si y = f (x) es una función continua y cambia su signo en el intervalo [a , b], entonces

IV. Área entre curvas:Si f (x) g (x) son funciones continuas en el intervalo [a,b], entonces el

área comprendida entre los gráficos de f (x) y g (x), está dada por:

xa b

g

R

f

( )-=

b

adxxgxfÁrea (R) =A )()(

Ejemplos:

Límites de la región:Funciones: y = x + 2 e y = y=-x2+4 entre las abscisas x = –2 y x = 1Notar que los valores de x = –2 y x = 1 son las abscisas de los puntos

de intersección de ambas funciones (se obtienen de resolver la ecuación x+2 =-x2+4 )

1. donde

2.

3. Para la región R graficada, ¿cuál es el área ( R ) ?

( ) 422)()2()0()()()()(

2

0

2

0=-+=-+-=+= FFFFdxxsendxxsendxxsen

2)1(1)0()()(0

=--=-= FFdxxsen cxdxxsenxF +-== cos)(

y

x

y = x + 2

y = – x2 + 4

R( ) =+-+-

-

1

2Área (R)=

2)2()4( dxxx

94


95


Resolviendo la integral definida obtenemos

Autoevaluación


Ejercicio 1:El siguiente gráfico representa una función y= g (x):

( )2

9

3

10

6

7)2()1()2()4(

1

2

2=+=--=+-+-

-FFdxxx

donde ( ) ++--=+-+-= cxxx

dxxxxF 223

)2()4()(

232

x

g(x)

A

BC

D

F

E

G

H

I JK

L

3

6

9

3 6 9 12

- 3

- 3- 6

Indicar, señalando las dos coordenadas de cada punto (cuando correspon-da):a) Un punto donde g” es cero.b) Un punto donde g” es positiva.c) Un punto donde g” es negativa.d) Un punto de inflexión, si existe.e) Todos los intervalos donde g es cóncava hacia arriba.f) Todos los intervalos donde g es cóncava hacia abajo.

Ejercicio 2: Para cada una de las siguientes funciones con dominio R, indicar los inter-

valos de crecimiento y decrecimiento.

Ejercicio 3: Para cada una de las siguientes funciones con dominio R:

1) Indicar las dos coordenadas de los puntos de inflexión, si existen.

xxxfa)

b)

c)

242)(3

-=

168)(24

+-= xxxF

xexxG =)(

94


95


2) Indicar los intervalos de concavidad hacia arriba y concavidad hacia abajo

Ejercicio 4: Para cada una de las siguientes funciones en el dominio considerado,

indicar, si existen:1. Los puntos críticos 2. Los máximos y/o mínimos, indicando si son absolutos y/o relativos.3. Los puntos de inflexión.

Ejercicio 5: Si f y g son dos funciones cuyas primitivas son F y G, respectivamente.

Indicar el resultado de las integrales:

Ejercicio 6: Resolver las siguientes integrales indefinidas, encontrando la primitiva de

cada función

Ejercicio 7: Evaluar las siguientes integrales. Observar que los integrandos presentan

funciones compuestas.

Ejercicio 8: Evaluar las siguientes integrales definidas:

a) xxxf 242)(3

-=

b) 168)(24

+-= xxxF

c)

d)

3443)( xxxf -=

xexxG =)(

a) Función: 23

32)( xxxf += con [ ]7,2-=fDom

b) Función: 34

4)( xxxf -= con [ )-= ,1fDom

a) dxxgxf ))()(2( + b) dxxgxf ))(5)(( -

c) ( ) dxxfx + )(2

d) dxxf )5)(( -

a) dxx )3( + b) dxx

x +2

32

c) dxx d) xx

-- 451 23

e) dxxx + sen1

f) dx

dx

x+1

5

cos4

a) dxxx )sen(2

c) dxx

x

cos

sen

e ) dxxx -92

)1(

b) dxexx - )12( 2

d) dx

x

x

-3

2

1

f) dxxx - 7332

96


97


Ejercicio 9: Indicar y calcular la integral que permite encontrar el área A sombreada en

cada caso:

a) dxx2

0

3

c) dxxx-

+-1

2

2)323(

b) dxx-

2

1

4

d) dxex

)3(21

0-

Situaciones Problemas: Modelización

Ejercicio 10: El incremento de la población de una ciudad t años después del censo está

dada por:

Encontrar la función que indica la cantidad de individuos de la población, en dicho año t, sabiendo que en el momento del censo la ciudad contaba con 20.000 habitantes.

Ejercicio 11: El esquema siguiente representa la superficie que se destinará a la exposi-

ción de automóviles en un predio ferial. Determinar:a) La superficie que se deberá cubrir con materiales especiales para colocar

en la misma el área atención al público, dicha superficie es la que figura sombreada en el esquema.

b) La superficie que quedará libre para ocuparse con los automóviles que se exhibirán.

Nota: La curva que limita la zona donde se colocará el área de atención al público

se puede aproximar por

12 += xy

y

-1 2 x

A322 -+= xxy

y

-3 1 x

A

22 xy -=

y

x

xy =

A

tetP

03,0600)(' =

264)( xxC -=

96


97



Ejercicio 1:a) A = (-4,5); E = (2,3); J = (10,5) y L = (13,8) b) F = (3,-1); G = (5,-3) y H = (7,1) c) B = (-2,10); C = (-1,11) y D = (1,7)d) A = (-4,5); E = (2,3); I = (8,5) y K = (11,5) e) (-∞, - 4) y (2,8) f) (- 4,2)

Ejercicio 2: a) Intervalos de crecimiento: (-∞,-2) y (2,+ ∞). Intervalos de decrecimiento: (-2,2)b) Intervalos de crecimiento: (-2,0) y (2,+ ∞). Intervalos de decrecimiento:

(-∞,-2) y (0,2)c) Intervalo de crecimiento: (-1,+ ∞). Intervalos de decrecimiento: (-∞,-1)

Ejercicio 3: a) 1) Puntos de Inflexión: (0,0) 2) Intervalos de concavidad hacia arriba: (0,+ ∞). Intervalos de concavidad hacia abajo: (-∞,0)b) 1) Puntos de Inflexión: (1,15 , 7,17) y (-1,15 , 7,17) 2) Intervalos de concavidad hacia arriba: (-∞,1,15) y (1,15,+ ∞). Intervalos de concavidad hacia abajo: (-1,15 , 1,15)c) 1) Puntos de Inflexión: (0, 0) y (0,66 , -0.6) 2) Intervalos de concavidad hacia arriba: (-∞,0,66) y (2,+ ∞). Intervalos de concavidad hacia abajo: (0,66 , 2)d) 1)Puntos de Inflexión: (-2 ,-0,27) 2) Intervalos de concavidad hacia arriba: (-2,+ ∞). Intervalos de concavidad hacia abajo: (-∞ ,-2)

Ejercicio 4: a) 1) Puntos críticos: x = 0 y x = -1 2) Máximo absoluto: (7,833); mínimo absoluto: (-2,-4), máximo relativo: (-1,1) y mínimo relativo: (0,0) 3) Punto de inflexión: (-0,5 , 0,5)b) 1) Puntos críticos: x = 0 y x = 3 2) Máximo absoluto: no posee; mínimo absoluto: (3,-27), máximo relativo: (-1,5) y mínimo relativo es el mínimo absoluto. 3) Puntos de inflexión: (0, 0) y (2,-16)

64 M

40 M

98


Ejercicio 5:

Ejercicio 6:

Ejercicio 7:

Ejercicio 8: a) 4 b) 6,6 c) 21 d) –7,28

Ejercicio 9: Indicar y calcular la integral que permite encontrar el área A sombreada en

cada caso:a) 6 b) 10,66 c) 4,5

Ejercicio 10: Cantidad de individuos de la población, en el año t, se puede representar

por la función

Ejercicio 15: a) La superficie que se deberá cubrir con materiales especiales para colocar

en la misma el área atención al público es de 341,33 m2.b) La superficie que quedará libre para ocuparse con los automóviles que se

exhibirán es de 2218,67 m2.

a) C++ )()(2 xGxF b) C+- )(5)( xGxF

c) C++ )(3

3

xFx

d) C+- xxF 5)(

a) C++= xx

xF 32

)(

2

b) C++=4

)(

23 x

xxF

c) C+=3

2)(

2/3x

xF d) c+---=

-

xxx

xF 43

5

2)(

32

e) c+-= xxxF cosln)( f) C++= xx

xF5

sen4)(

tetP

03,020000)( =

C+-=2

cos2

1)( xxFa)

c)

e)

b)

d)

f)

C+-= )(cosln)( xxF

C+-

=20

)1()(

102x

xF

C+=

-

4)(

)12( xe

xF

C+-

-=3

)1(2)(

2/13x

xF

( )C+

-=

3

73)(

2/32x

xF

98


Manual Matematica UES21 - Bocco

Documents

Transcript of Manual Matematica UES21 - Bocco