Manual Mate. Matutino

MANUAL PARA EL CURSO DE INDUCCIÓN

DE MATEMÁTICAS

(TURNO MATUTINO)

PROFESORES:

Antonio Aguilar Anguiano

Santa Ávila Arzani

Ernestina Carreón Cordero

Emmanuel De León Ramírez

Blanca Rosa Elena Galeana Cortes

Lázaro García Camacho

Néstor Alejandro Guzmán Gabriel

Teodoro Melchor Ceballos

Adolfo Miranda López

Israel Vázquez Gámez

Teresa Ramírez Rodríguez

Junio 2014

1

CONTENIDO

Pag.

JUSTIFICACIÓN ……………………………………………………... 1

INTRODUCCIÓN …………………………………………………….. 2

1. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES ………………… 3

2. FRACCIONES ………………………………………………… 11

3. TEORIA DE LOS EXPONENTES Y RADICALES …………. 19

4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS ……………………………. 29

5. OPERACIONES ALGEBRAICAS …………………………… 31

6. PRODUCTOS NOTABLES …………………………………... 36

7. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS ……………………… 39

8. TEOREMA DE PITAGORAS ……………………………….. 49

9. RESOLUCION DE PROBLEMAS CON ECUACIONES …… 54

10. GRAFICAS DE FUNCIONES ………………………………... 64

ANEXO ……………………………………………………………….. 88

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ………………………………... 102

2

JUSTIFICACIÓN

El curso de inducción de matemáticas dirigido a los estudiantes de nuevo ingreso al

Instituto Tecnológico de Tlalnepantla, brinda a los estudiantes la relevancia de las

herramientas matemáticas para su adecuado desarrollo académico y formación

profesional en el campo de las carreras que imparte ésta Institución con el fin de vincular

la importancia del aprendizaje adquirido en las aulas con la vida cotidiana.

3

INTRODUCCIÓN

La importancia de contar con un curso propedéutico para apoyar a los estudiantes que

ingresan a una carrera en ingeniería a nivel superior en el desarrollo de habilidades para

manejar el lenguaje científico y técnico ha llevado a profesores de Ciencias Básicas a la

preparación de un manual con el objetivo de proporcionarle al estudiante su ingreso al

sistema de competencias que exige el Instituto Tecnológico de Tlalnepantla.

El presente manual le ofrece practicar al estudiante una serie de ejercicios que le

permitirán adoptar la habilidad en el lenguaje matemático y platear problemas de la vida

real utilizando la poderosa herramienta del lenguaje matemático. En el presente manual

se abordan los temas de: Conjunto de los números reales, Fracciones, Teoría de los

exponentes y radicales, Expresiones algebraicas, Operaciones algebraicas, Productos

notables, Factorización de polinomios, Teorema de Pitágoras, Resolución de problemas

con ecuaciones y Graficas de funciones.

4

1. CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Definición de conjunto. Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos, estos son cada uno de los seres, cosas u objetos que integran un conjunto. Generalmente un conjunto se describe enumerando sus elementos dentro de llaves { }. Las letras mayúsculas son utilizadas para representar conjuntos y las letras minúsculas para representar los elementos de un conjunto. SE CLASIFICAN EN: Números Reales (R): Conjunto de todos los números enteros, racionales e irracionales.

Números Naturales (N): Conjunto de todos los números enteros positivos.

Números Enteros (Z): Conjunto de todos los números positivos y negativos, incluyendo el cero.

Números Racionales (Q): Conjunto de razones (divisiones) de números enteros de la forma a/b donde b es diferente a cero (b ≠ 0).

Todo número racional puede expresarse como un decimal cuyos dígitos forman un modelo repetitivo. Un decimal representa un número racional si y sólo si la sucesión de dígitos forma un modelo repetitivo. Números Irracionales ( I, Q`): Conjunto de números con infinitos decimales en los cuales no hay repetición periódica de dígitos en su parte decimal.

Las letras del alfabeto: se utilizan (minúsculas) para representar a los coeficientes y a las variables en una expresión algebraica (monomio, binomio, etc.). Las primeras letras de la a hasta la w (aproximadamente) en los coeficientes y las últimas letras aproximadamente) de la x hasta la z a las variables. Por lo cual el alfabeto es considerado como otro conjunto que representan números reales.

5

NOTA: Antes de comenzar con la solución a los problemas propuestos, se le pide al estudiante lea al ANEXO correspondiente al CONJUNTO DE LOS NÚMERO REALES. Ejemplo de Problemas y ejercicios de aplicación de suma y resta 1.- Una empresa cobra 12% sobre los ingresos mensuales de 5 franquicias. La cantidad que paga cada una es: $45 400, $38 900, $72 300, $58 600 y $92 100, ¿qué cantidad recibió la empresa en un mes? Solución: Para determinar cuánto recibió la empresa se realiza la suma de las cantidades pagadas.

45 400 38 900 72 300 58 600 92 100

R= 307 300 La empresa recibió $307 300 2.- Al comprar un televisor de $2 809 a crédito, hay que dar un anticipo de $748 y el resto se paga a 6 meses, ¿cuánto resta para terminar de pagar el televisor? Solución: Al costo del televisor se le resta el anticipo para saber cuánto falta por pagar.

2809 748 R= 2 061 Resta pagar $2 061 3.- Una persona le adeuda a su tarjeta de crédito $6 000 y realiza con ella un pago de $2 500, si el banco le cobra $500 de intereses y recargos, ¿cuál es el nuevo saldo de la tarjeta? Solución: Los adeudos de la persona se representan con cantidades negativas; entonces, para obtener su nuevo saldo se efectúa la siguiente operación.

- 6 000 - 2 500 - 500

R= - 9 000 El signo negativo del resultado indica que la persona le adeuda al banco $9 000 Suma y resta con signos de agrupación Al realizar sumas y restas de números enteros que tienen signos de agrupación, primero es necesario eliminar dichos signos, para hacerlo debes seguir el siguiente procedimiento: a) Si a un signo de agrupación lo precede un signo positivo, el número entero que encierra conserva su signo. b) Si un signo de agrupación es precedido por un signo negativo, entonces el entero que encierra cambia su signo 1.- ¿Cuál es el resultado de (− 8) + (− 3)?

6

Solución: Puesto que ambos signos de agrupación están precedidos por signos positivos, entonces se suprime y se realiza la operación para obtener el resultado: (− 8) + (− 3) = − 8 − 3 = −11 2.- Resuelve − (14) − (− 10) = Solución: A los signos de agrupación le anteceden signos negativos, entonces se deben cambiar los signos de los enteros y realizar la operación que resulta − (14) − (−10) = −14 + 10 = − 4 El resultado de la operación es − 4. 3.- ¿Cuál es el resultado de [(− 8 + 6) − (− 3 − 2)] + [4 − (2 − 1)]? Solución: Se efectúan las operaciones contenidas en los paréntesis: [(− 8 + 6) − (− 3 − 2)] + [4 − (2 − 1)] = [(− 2) − (− 5)] + [4 − (1)] = Se eliminan los paréntesis y se realizan las operaciones que encierran los corchetes: = [− 2 + 5] + [4 − 1] = [3] + [3] = 3 + 3 = 6 Actividad 1. Efectúa las siguientes operaciones a. (− 6) + (− 2) = b. - (−15) − (− 9) = c. (5) + (− 3) − (11) = d. (− 3 − 9) − (8 + 7) = e. (− 9) + (−1) − (−10)= f. -5 + {4 + [3 − (4 − 8) + (− 5 − 10)]} = g. − [(8 + 3) − (5 − 1)] + [(8 − 3) − (5 + 1)] = h. {9 − [2 − (1 − 5)]} − [4 − (5 − 4)+ (− 5)] = i. 12 − [(6 − 4) + (8 − 15)] − [4 − (3 + 2) − (1 − 7)] = j. − [− 8 + (4 − 7) + (2 − 5 − 3)] + [(6 − 3) − (2 − 5 − 6) − 12] = k. {9 − [2 − (1 − 5)]} − [4 − (5 − 4)+ (− 5)] = l. [(4 + 2 − 11) + (13 + 9 − 20)] − [(− 3 + 5 − 21) − (18 − 15 + 6)] = Multiplicación La multiplicación es la representación de la suma de una misma cantidad varias veces (suma comprimida). Una multiplicación se representa con los símbolos: “ X ”, “ ⋅ ”, “ ˉ ” o “ () ”. Los elementos de una multiplicación reciben el nombre de factores (lo que conociste como multiplicando y multiplicador) y el resultado como producto o multiplicación. Ley de los signos en la multiplicación (+)(+) = + (+)(−) = − (−)(−) = + (−)(+) = − 1. ¿Cuál es el resultado de 6 − 4{2 − 5(4 − 3) + 3(3 − 2)}? Solución: En este caso, primero se suprimen los paréntesis y los números se multiplican por los números que les anteceden: 6 − 4{2 − 5(4 − 3) + 3(3 − 2)} = 6 − 4{2 − 20 + 15 + 9 − 6} Ahora, se eliminan las llaves al multiplicar por −4, = 6 − 8 + 80 − 60 − 36 + 24

7

Por último, se realiza la operación al agrupar signos iguales y los resultados obtenidos se restan: = 6 + 80 + 24 − 8 − 60 − 36 = 110 − 104 = 6 Ejemplo de Problema y ejercicio de aplicación de la multiplicación 1.- El costo y la disponibilidad de boletos para un concierto en el centro de espectáculos “El Huracán” es: preferente A: 224 a $840, preferente B 184 a $650, balcón C 125 a $430 y balcón D 96 a $280. Si para el día del evento se agotaron los boletos, ¿cuál es el ingreso de las entradas? Solución: Se multiplica el número de boletos por el costo de cada boleto de cada sección, al final se suman los resultados y se obtiene el ingreso total de entradas. Ingreso total = (840)(224) + (650)(184) + (430)(125) + (280)(96) = 188 160 + 119 600 + 53 750 + 26 880 = 388 390 Por tanto, el ingreso total fue de $388, 390 2.- Cada tren del metro de la Ciudad de México tiene 9 vagones, cada uno con 8 puertas y cada una de dos hojas corredizas. Si se desea cambiar las hojas de los 120 trenes existentes en la ciudad, ¿cuántas hojas se van a cambiar? Solución: Para obtener el número total de hojas, se multiplica el número de trenes por el número de vagones por el número de puertas y por el número de hojas. Número de hojas = (120)(9)(8)(2) = 17 280 Entonces, el número de hojas a cambiar son 17 280 Actividad 2. Problemas y ejercicios de aplicación de la multiplicación 1. ¿Cuántos libros hay en 12 repisas, si cada una contiene 15 textos? 2. Karen recibe un salario de $850 semanales y, por ser una buena estudiante, tiene asignada una beca de $1 000 mensuales. ¿Cuál es la cantidad de dinero que recibe en un mes? (Considera un mes igual a 4 semanas.) 3. En la repartición de una herencia el abuelo designa en partes iguales un terreno de 12 hectáreas a 3 de sus nietos, si el precio por metro cuadrado es de $250, ¿cuál es el monto que recibió cada uno de los herederos? (Considera una hectárea igual a 10 000 m2.) 4. Roberto tiene 12 años, Mónica es 4 años más grande que Roberto y Julián tiene el doble de la edad de Mónica. ¿Cuánto es la suma de las edades de Roberto, Mónica y Julián? DIVISIÓN

Si a y b son números enteros, la división de a entre b, siendo b un número entero diferente de cero, consiste en encontrar a los números enteros p y r tales que:

8

a = (b) (p) + r Para todo a > b y b < r Donde a recibe el nombre de dividendo, b el de divisor, p el de cociente y r residuo.

Ejemplo. Dividir 64 entre 8 Solución: a= 64 (dividendo), b= 8 (divisor), p= 8 (cociente), r= 0 (residuo) a = (b) (p) + r por lo tanto 64 = (8) (8) + 0 Cuando en una división el residuo es igual a 0, entonces se dice que la división es exacta. Las divisiones se representan con los siguientes símbolos:

Con una caja divisora Por medio de dos puntos 9 : 7 Con el signo ÷ Con una raya horizontal o diagonal “/”. Ejemplo: 3⁄2,

Ley de los signos en la división + / + = + + / − = − − / − = + − / + = − 1.- En el auditorio de una escuela se presenta una obra de teatro para maestros y alumnos. Si en la escuela hay 28 maestros y 585 alumnos, y el auditorio sólo tiene capacidad para 80 personas, ¿Cuántas presentaciones se deben realizar para que todo el alumnado y todos los profesores la presencien? Solución: En total hay 28 + 585 = 613 personas; luego, se realiza una división entre el total de personas y la capacidad del auditorio para obtener el número de presentaciones.

Se observa que el cociente 7 representa al número de presentaciones con auditorio lleno, pero sobran 53, entonces se necesita una presentación más para que todos puedan asistir a la obra de teatro. Por lo tanto, se tienen que realizar 8 presentaciones. Actividad 3. Problemas y ejercicios de aplicación de división El producto de 2 números es 137 196, uno de ellos es 927, ¿cuál es el otro número? 2) ¿Cuántas horas hay en 3 360 minutos, si se sabe que una hora tiene 60 minutos? 3) ¿En cuántas horas recorrerá 144 kilómetros un automóvil que viaja a 16 kilómetros por hora? 4) ¿Cuántos días necesitará Fabián para capturar en su computadora los datos de un libro de matemáticas que contiene 224 páginas, si copia 4 páginas en una hora y trabaja 8 horas por día?

9

5) En una tienda de ropa, Omar compra igual número de pantalones que de chamarras con un costo total de $1 500, cada pantalón cuesta $200 y cada chamarra $550, ¿cuántos pantalones y chamarras compró? 6) Los 3 integrantes de una familia deciden repartir los gastos que se generan en su casa: el recibo bimestral de luz llega de $320; el recibo del teléfono de $240 mensuales; la televisión por cable $260 mensuales y el predio es de $3 600 anuales. ¿Cuánto dinero le toca aportar mensualmente a cada integrante, si los gastos se reparten de manera equitativa? MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Para calcular el MCD de varios números se descomponen simultáneamente en sus factores primos, hasta que ya no tengan un divisor primo en común. Cuando los números sólo tienen a la unidad como común divisor, los números reciben el nombre de “primos relativos”. EJEMPLOS 1.- Encuentra el máximo común divisor de 48, 36 y 60. Solución: Se descomponen simultáneamente en factores primos. 4, 3 y 5, no tienen divisores primos en común, los números primos obtenidos se multiplican y el producto es el resultado.

2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 Por consiguiente, el máximo común divisor de 48, 36 y 6 es 12.

Encuentra el máximo común divisor de 234, 390 y 546. Solución: Se descomponen simultáneamente en factores primos.

Por consiguiente, el máximo común divisor de 234, 390 y 546 es 78

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) 1.- Calcula el mínimo común múltiplo de 36, 48 y 60. Solución: Se descomponen simultáneamente en factores primos y los números primos que resultan se multiplican. 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 720

Para calcular el MCM de varios números se descomponen simultáneamente en factores primos hasta que los cocientes sean 1, si alguno de los números no es divisible entre el factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida.

Entonces el mcm de 36, 48 y 60 es 720

10

Actividad 4. Calcula el MCD de los siguientes números: a) 108 y 72 b) 270 y 900 c) 243 y 125 d) 60, 72 y 150 e) 27, 25 y 28 f) 80, 675 y 900 g) 216, 300 y 720 h) 126, 210 y 392 i) 308, 1 617 y 1 925 Actividad 5. Calcula el MCM de los siguientes números: a) 108 y 72 b) 18 y 45 c) 27 y 16 d) 36, 20 y 90 e) 28, 35 y 63 f) 20, 30 y 50 g) 720, 600 y 540 h) 605, 1 925 y 2 695 i) 720, 600 y 540

11

2. FRACCIONES Tiempo estimado: 60 min Una fracción o quebrado es una división de dos números enteros a y b, siendo b diferente

de cero. La expresión analítica de una fracción o quebrado es de la forma / , en donde a recibe el nombre de numerador y b el de denominador. A esta expresión se le conoce como fracción común. En una fracción común el denominador indica el número de partes iguales en que se divide la unidad y el numerador indica el número de partes que se toma de la unidad.

EJEMPLO 1.- La fracción ¾, indica que la unidad se divide en 4 partes iguales, de las cuales se toman únicamente 3, la representación gráfica de esta fracción es: La parte sombreada de la figura representa al numerador

2.- La fracción 5/3, indica que la unidad se divide en 3 partes iguales, de las cuales se deben tomar 5, lo cual no es posible. Por lo tanto, se toman 2 unidades y se dividen en 3 partes iguales cada una, de la primera unidad se toman las 3 partes y de la segunda únicamente 2 para completar las 5 partes indicadas en el numerador.

Otra manera de representar la fracción 5/3 es con un número formado por una parte

entera y una parte fraccionaria , este tipo de fracciones reciben el nombre de mixtas.

2.1 PROPIEDADES El valor de una fracción no se altera al multiplicar su numerador y denominador por un mismo número. EJEMPLO: Al multiplicar por 2 al numerador y denominador de la fracción 6/7, se obtiene una fracción equivalente:

El valor de una fracción no se altera cuando al numerador y denominador se les divide entre el mismo número. A este procedimiento se le conoce como “simplificación de una fracción”.

12

EJEMPLO: Simplifica la fracción 12/14. Para simplificar la fracción 12/14, se debe dividir al numerador y denominador entre 2 que es el máximo común divisor de 12 y 14:

El valor de una fracción no se altera cuando el numerador y denominador se descomponen en números primos. EJEMPLO: Simplifica la fracción 10/8. Para simplificar la fracción 10/8, se deben buscar los números primos tanto del numerador y denominador:

Actividad 6. Representa gráficamente las siguientes fracciones.

1) 3/8 2) 1/4 3) 3/5 4) 7/6

Actividad 7. Indica la fracción que representa la parte sombreada de las figuras.

Actividad 8. Resuelve los siguientes problemas 1. Una caja tiene 9 pelotas verdes y 5 azules, ¿qué porción de las pelotas que hay en la caja son azules? 2. ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando un reloj marca las 6:00 p.m.? 3. En una caja hay 40 listones rojos y 60 de color amarillo, ¿qué fracción del total de éstos representan los listones rojos y los amarillos? 4. Un obrero trabaja diariamente jornadas de 8 horas, ¿qué fracción del día ocupa para realizar sus otras actividades?

13

2.2 CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES 2.2.1 Fracciones propias: Son aquellas que tienen el numerador menor que el denominador. EJEMPLO

1.- Las fracciones tienen el numerador menor que el denominador, por lo

tanto, son propias y su representación gráfica es menor que la unidad o figura completa.

En la recta numérica el / su posición será:

Si los resolvemos en una división (la de la casita), quedaría en numerador (dividendo) dentro y el denominador (divisor) afuera.

2.2.2 Fracciones impropias: Son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. EJEMPLO:

1.- Las fracciones son impropias, ya que el numerador es mayor que el

denominador.

Si tomamos la fracción y la representamos gráficamente es mayor que la unidad o figura

completa:

En la recta numérica el su posición será:

1 entero 2 enteros 3 enteros 4

14

Actividad 9. Identifica las fracciones propias y las impropias. Y posteriormente, represéntalas en forma gráfica, recta numérica, y división tradicional (la de la casita).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

2.2.3 Fracciones mixtas. Son aquellas formadas por una parte entera y una parte fraccionaria. EJEMPLO

Las fracciones: son ejemplos de fracciones mixtas.

Para realizar la conversión de una fracción impropia a mixta se efectúa la división del numerador entre el denominador, el cociente es la parte entera, el residuo es el numerador de la fracción y el divisor es el denominador. EJEMPLO

Convierte a fracción mixta

Para realizar la conversión, es necesario efectuar la división (la de la casita):

Por lo tanto, la fracción en forma mixta es

Si tomamos la fracción y la representamos gráficamente es mayor que la unidad o

figura completa:

15

En su forma decimal se representaría:

Por lo tanto, la fracción

Actividad 10. Convierte las siguientes fracciones impropias a fracciones mixtas. Y posteriormente, represéntalas en forma gráfica, recta numérica, y división tradicional (la de la casita).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Para convertir una fracción mixta a impropia se multiplica la parte entera de la fracción mixta por el denominador de la parte fraccionaria y al producto se le suma el numerador. EJEMPLO

1.- Convierte a fracción impropia

Al aplicar el procedimiento anterior se obtiene:

Por consiguiente:


figura completa:

16

2.- Convierte a fracción impropia


figura completa:

Actividad 11. Convierte las siguientes fracciones mixtas a fracciones impropias. Y posteriormente, represéntalas en forma gráfica, recta numérica, y división tradicional (la de la casita).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

2.2.4 Fracciones equivalentes Son aquellas que se expresan de manera diferente, pero representan la misma cantidad. Para averiguar si 2 fracciones son equivalentes se efectúa la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el resultado debe ser igual a la multiplicación del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda; recordar lo de simplificación y MCD. Ejemplo.

1.- ¿Son equivalentes las fracciones ?

Se efectúan las multiplicaciones indicadas y se comparan los resultados: (3) (20) y (4) (15) 60 = 60 Por tanto, las fracciones son equivalentes Multiplicación Actividad 12. Resuelve los siguientes problemas

1) Juan compró en el supermercado ½ kg de azúcar, kg de harina y 1 kg de huevo, estos

productos los colocó en una bolsa, ¿cuántos kilogramos pesa dicha bolsa?

17

2) Al nacer un bebé pesó kilogramos, en su primera visita al pediatra éste informó a los

padres que el niño había aumentado kilogramo; en su segunda visita observaron que su

aumento fue de de kilogramo. ¿Cuántos kilos pesó el bebé en su última visita al médico?

3) La fachada de una casa se va a pintar de color blanco y azul, si se pintan de color

blanco, ¿qué porción se pintará de color azul?

4) Un ciclista se encuentra en una competencia y ha recorrido de la distancia que debe

cubrir para llegar a la meta, ¿qué fracción de la distancia total le falta por recorrer? Actividad 13. Efectúa los siguientes productos

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Actividad 14. Resuelve los siguientes problemas aplicando la multiplicación 1.- Una alberca tiene capacidad para 3 000 litros de agua, si sólo se encuentra a tres cuartas partes de su capacidad, ¿cuántos litros tiene?

2.- El costo de un kilogramo de azúcar es de $8, ¿cuál es el precio de kg?

3.- En un grupo de 60 alumnos, las dos terceras partes se inclinan por la física, de éstos, la mitad quieren ser físicos nucleares y la cuarta parte de ellos desea realizar una maestría en el extranjero. ¿Cuántos alumnos desean estudiar su maestría en otro país? División Para desarrollar la división de fracciones se realizan los siguientes pasos correspondientes a la ley de los medios y extremos o producto cruzado o más conocida como la ley de sándwich: Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, el producto es el numerador de la fracción resultante. Se multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, el producto es el denominador de la fracción resultante.

“Ley del Sandwich” “Producto cruzado”

Ejemplo:

1.- Realiza

Para resolver la división se aplica la ley de los medios y los extremos y se simplifica el resultado:

18

Por producto cruzado:

Por la ley del Sandwich:

2. Realiza

Primero se convierten las fracciones mixtas en impropias y después se realiza la división aplicando la ley de los medios y extremos y se simplifica el resultado:

Actividad 15. Efectúa las siguientes operaciones

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

Actividad 16. Resuelve los siguientes problemas 1. El peso aproximado de una pizza familiar es de un kilogramo y si la pizza se divide en 8 porciones iguales, ¿cuánto pesa cada rebanada? 2. ¿Cuántas botellas de tres cuartos de litro se llenan con 60 litros de agua?

3. Una familia de 6 integrantes consume diariamente litros de leche, si todos ingieren

la misma cantidad, ¿cuánto toma cada uno?

Actividad 17. Resuelve los siguientes problemas

1.- Se sabe que cuando un fluido se congela aumenta del volumen que ocupaba en su

estado líquido, si una botella de agua tiene un volumen de 3 600 mililitros en su estado líquido, ¿cuál será el volumen del mismo fluido en estado sólido?

2.- En una bodega hay 4 cajas de 20 bolsas de kilogramo de detergente, 6 cajas con 15

bolsas de de kilogramo y 3 cajas con 10 bolsas de un kilogramo. ¿Cuántos kilogramos

de detergente hay en la bodega?

19

3. TEORIA DE LOS EXPONENTES Y RADICALES

Tiempo estimado: 20 minutos

Objetivo: Al terminar esté módulo el estudiante tendrá la habilidad de resolver ejercicios y

problemas en los que aplique las leyes de los exponentes y de los radicales.

Potencias y raices es la capacidad de comprender y utilizar los conceptos relacionados

con exponentes y radicales , tanto fijos como como variables. Indispensable para el

manejo y la evaluación de funciones lineales.

Definición y conceptos

Concepto: Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellas, mediante leyes. La operación que da origen al exponente es la potenciación. Potenciación: Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia. 3.1 LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES

3.1.1 POTENCIACIÓN

La potenciación es el algoritmo expresado por “b” tal que:

Teorema 1.

Ejemplos:

Teorema 2. Exponente Nulo:

Ejemplos:

http://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/trmnpot/trmnpot.shtml

20

Teorema 3. Exponente unitario:

Ejemplos:

Teorema 4. Exponente negativo:

Ejemplos:

Teorema 5. Exponente Fraccionario:

Ejemplos:

Teorema 6. Exponente de exponente: (Hacemos cambio de variable)

Ejemplos:

Veamos

21

Teorema 7. Potencia de un producto de igual base

Ejemplos:

Teorema 8. Potencia de un producto de diferente base

Ejemplos:

Teorema 9. Potencia de un cociente de igual base

Ejemplos:

Teorema 10. Potencia de un cociente de diferente base

Ejemplos:

Teorema 11. Potencia de potencia

Ejemplo:

Teorema 12. Potencia de una raíz

Ejemplo:

22

3.1.2 RADICACIÓN

Teorema 13

Teorema 14. Raíz de un producto

Ejemplo:

Teorema 15. Raíz de un cociente

Ejemplo:

Teorema 16. Raíz de raíz

Ejemplo:

Teorema 17. Raíz de raíz con radicandos

Ejemplo:

3.2 ECUACIONES EXPONENCIALES

Teorema 18. Igualdad de bases

Ejemplo:

23

Teorema 19. Igualdad de exponentes

Ejemplo:

Teorema 20. Formas análogas

Ejemplo:

3.1 Uso de potencias y raíces

Procedimiento: Los alumnos resolverán en forma individual los ejercicios utilizando las

Leyes de Potencias y Raíces comparando los resultados con sus compañeros.

Ejercicio 1 Dadas las expresiones

Determinar el orden de mayor a menor:

si

a)

si

b)

Radicación Operación que permite hallar un valor que multiplicado tantas veces como lo indica el índice, dé el valor que se encuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre de radicando. Para lo anterior se define:

Ejemplo.

1. Verifica que cumpla la igualdad

Se descomponen ambas bases en factores primos y se aplica el teorema correspondiente de exponentes y la definición:

Además:

Se observa que los 2 resultados son iguales, entonces se demuestra que

24

NOTA: Las raíces pares de números negativos no pertenecen al conjunto de los números reales ya que son cantidades imaginarias, las raíces impares de números negativos son negativas. EJEMPLO

1.- Aplica la definición de radicación y calcula

Se descompone la base en factores primos y se aplica la definición para obtener el resultado final.

2.- Encuentra la raíz quinta de −1 024. Se descompone −1 024 en sus factores primos y se aplica la definición:

El resultado es -4

Para simplificar un radical, el exponente de la base debe ser mayor que el índice del radical, procedimiento que consiste en expresar un radical en su forma más simple.

25

TEOREMAS Los teoremas de los exponentes también se aplican a radicales, ya que se expresan como exponentes fraccionarios.

Aplicación de la Teoria de los Exponentes y Radicales

Notación científica. Un número escrito en notación científica se expresa como un número

real entre uno y diez multiplicado por una potencia entera de diez.

Regla para expresarlo en notación científica. Si se coloca el punto decimal después del

primer dígito diferente de cero y se determina la potencia de diez contando el número de

lugares que se desplazo el punto decimal. Si se mueve hacia la derecha, la potencia es

negativa; si se mueve a la izquierda, la potencia es positiva.

Ejemplo:

Actividad 18. Aplica las definiciones y los teoremas de los exponentes y efectúa los siguientes ejercicios

1)

2)

3)

4)

Actividad 19. Simplifica las siguientes expresiones.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

26

SUMA Y RESTA CON RADICALES. Estas operaciones se pueden efectuar si y sólo si el índice del radical y el radicando son iguales (radicales semejantes).

NOTA: Si los radicandos son diferentes, no se pueden sumar o restar los radicales de primera instancia, entonces se simplifican; si resultan semejantes se efectúan las operaciones, de lo contrario, se dejan indicadas.

Actividad 20. Simplifique lo siguiente

1)

2)

3)

4)

5)

Actividad 21. Realiza las siguientes operaciones

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

27

Multiplicación y División de Radicales Multiplicación de radicales con índices iguales. Cuando los índices de los radicales son iguales, se multiplican los radicandos y de ser posible se simplifica el resultado. Multiplicación de radicales con índices diferentes. Para multiplicar radicales con índices diferentes se busca un índice común, que resulta del mínimo común múltiplo de los índices de los radicales y recibe el nombre de “mínimo común índice”. Ejemplos

División de radicales con índices iguales. Para efectuar la división se aplica el siguiente teorema

28

Ejemplo

Actividad 22. Realiza las siguientes operaciones

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

29

4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Los modelos algebraicos son una herramienta que nos ayuda a solucionar problemas cotidianos, cuando no contamos con dos datos o más. Para construir este tipo de modelos, debemos traducir el lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico, para lo cual representamos las incógnitas con una literal; formamos una expresión, y hacemos uso de la igualdad “=“ para así establecer la ecuación a resolver. Ejemplo:

La suma de dos números:

La edad de A (x) es igual al doble de la edad de B (y):

Actualmente, mi padre tiene 46 años y yo tengo 17. ¿Dentro de cuántos años, mi edad será exactamente la mitad de la edad que tendrá mi padre? Es claro que actualmente mi edad (17 años), es menor que la mitad de la de mi padre (23

años):

4.1 Expresión algebraica: Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico. Término algebraico: Consta de cuatro elementos que son: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Signo

Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los

términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se

acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va

precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.

Coeficiente

Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para

multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse

como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente

numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad.

Parte literal o variable

La parte literal está formada por las letras que haya en el término.

Grado

Exponentes o grado de un término, puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra. Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales, por ejemplo 5a es de primer grado por que le exponente del factor literal a es 1; el término a2b es de tercer grado por que la suma de los exponentes de sus factores literales es 2+1=3

30

El grado de un término con respecto a una literal es el exponente de dicha letra. Así, por

ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con

respecto a y de primer grado con respecto a z.

4.2 Clasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos. Monomio: Expresión algebraica que consta de un solo término, ejemplo:

Polinomio: Expresión que consta de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o más monomios.

Binomio: Expresión que consta de dos términos, ejemplo:

Trinomio: Expresión que consta de tres términos, ejemplo:

4.3 Clasificación de los términos algebraicos; semejantes o no semejantes. Términos semejantes: Son aquellos que tienen las mismas literales y los mismos exponentes.

4.4 Reducción de términos semejantes.

Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar

varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden

presentarse los tres casos siguientes:

Ejemplo

Reducir las siguientes expresiones:

a)

b)

c)

31

5. OPERACIONES ALGEBRAICAS 5.1 Ley de los signos:

Multiplicación División Suma

Signos iguales

se suman y se coloca el signo

según el caso. Signos diferentes se

restan y se coloca el signo del número mayor o menor.

5.2 Suma de polinomios: es una operación que tiene por objeto reunir dos a más expresiones algebraicas (sumandos) en una solo expresión algebraica (suma). Para reducir términos semejantes, se suman o se restan sus coeficientes, conservando las literales y exponentes. Ejemplos:

a) Sumar

a) Sumar

5.3 Resta de polinomios: para restar un polinomio, es necesario cambiar los signos de

todos los términos del sustraendo, y efectuarlo como una suma.

Ejemplos:

a) De restar

32

b) Restar de

5.4 Multiplicación de polinomios: Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio, teniendo en cuenta las leyes de los signos y se simplifican los términos semejantes. Ejemplos:

a) Multiplicar por

b) Multiplicar por

33

5.5 División de polinomios: Es una operación que consiste, dado el producto de dos

factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). La división es la inversa de la multiplicación es por ello que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo.

5.5.1 División entre un monomio: Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del polinomio entre el monomio.

a) Dividir entre

b) Dividir entre

c) Dividir entre

34

5.5.2 División entre polinomios: Reglas para dividir dos polinomios:

1. Se ordenan el dividendo y el divisor con relación a una misma letra. 2. Si falta algún término, poner cero en su lugar. 3. El primer término, del polinomio de adentro (dividendo) se divide entre el primer

término del polinomio de afuera (divisor). 4. El resultado se coloca en la parte superior (Cociente). 5. Se multiplica este resultado por el divisor y se resta del dividendo. 6. El primer término de este resultado se divide entre el primer término del divisor

repite los pasos anteriores.

Ejemplos:

a) Dividir entre

b) Dividir entre

c) Dividir entre

35

Actividad 23. Ejercicios Propuestos

Clase Tarea


1.

Suma de polinomios:

2.

Resta de polinomios:

3.

Multiplicación de polinomios:

4.

División de polinomios:

5.


1.

2.

Suma de polinomios: 3.

4.

Resta de polinomios:

5.

6.

Multiplicación de polinomios: 7.

8.

División de polinomios: 9.

10.

36

6. PRODUCTOS NOTABLES

Se les llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Ejemplo:

6.1 Triángulo de Pascal

El método propuesto es el triángulo de pascal para la resolución de binomios a la n de la forma :

37

Ejemplo 1

Busca la forma binomio al cuadrado 2ab+

Entonces sustituimos de la forma siguiente

Ahora

Ejemplo 2

Busca la forma binomio al cubo

Entonces sustituimos de la forma siguiente

Esto da como resultado

Ahora la solución

38

6.1.1 Procedimiento largo

=

Actividad 24 Ejercicios propuestos

para la clase :

1)

2)

3)

4)

5)

Tarea :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

39

7. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Los factores de una expresión algebraica son una de dos o más expresiones algebraicas cuyo producto es la expresión algebraica dada.

Caso I. Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común

Ejemplo1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Actividad 25. Ejercicios propuestos

para la clase :

Tarea :

7.1 Factorización de polinomios

7.1.1 Caso II. Factor común por agrupación de términos

Ejemplo 1

Separar elemento común

40

Reacomoda los términos

Ejemplo 2



Ejemplo 3



Ejemplo 4



41


para la clase:

Tarea:

7.1.2 Caso III. Trinomio cuadrado perfecto

Regla para factorizar un t.c.p.

Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica así mismo o se eleva al cuadrado.

Ejemplo 1

Reacomodar los términos

Obtener las raíces del primero y último términos

Tomar el signo del segundo término del trinomio para formar el binomio al cuadrado tomando los términos de los cuales se obtuvo la raíz

Ejemplo 2

Reacomodar los términos

Obtener las raíces del primero y último términos

42

Tomar el signo del segundo término del trinomio para formar el binomio al cuadrado tomando los términos de los cuales se obtuvo la raíz


Para la clase

Tarea

7.1.3 Caso IV. Trinomio de la forma

Métodos: Formula general y método de evaluación

Ejemplo 1

Formula general

Identificar cada uno de los términos constantes para sustituirlos en la formula:

Sustituir en la formula

43

x1 = 4 y x2 = 3

Método de evaluación

Se toman los valores constantes del trinomio como son 1,-7 y 12 (se toman con los signos de origen)

Se baja el primer valor como se muestra.

Ahora tengo que multiplicar por un número real comenzando por los enteros

, ya que este valor tiene que cancelar el último valor de la siguiente

forma:

En este caso se toma el 4

Este valor 4 se multiplica por el uno y se coloca debajo del como sigue

Se simplifica con el -7

Se multiplica el 4 por el 3 y lo que dé se coloca al lado del 12 con el signo que le corresponde

Si el resultado es cero se obtiene el primer elemento de la solución que en este caso es

Posterior se vuelve a realizar el mismo procedimiento pero ahora con los residuos de esta operación como sigue:

44

Se vuelve a elegir un valor que cancele el último de los residuos que en este caso es el 3

Se baja el primer valor

Se multiplica el 3 elemento elegido para anular al menos 3 pero se multiplica ese 3 por el uno y lo que dé se coloca debajo del menos 3

Ahora se obtiene el segundo elemento que es

La solución es

Ver libro BALDOR de algebra para método pag. 175

Ejemplo 2

Identifica para la formula general

Formula general

Sustituir en la formula

Es decir

Método de evaluación

Se toman los valores constantes del trinomio como son 1,7 y 10 (se toman con los signos de origen)

45

Se baja el primer valor como se muestra.

Ahora se multiplica por un número real comenzando por los enteros

, ya que este valor tiene que cancelar el último valor de la siguiente

forma:

Este valor se multiplica por el uno y se coloca debajo del como sigue y se simplifica y se

anota el residuo, ahora se vuelve a reacomodar los términos que resultaron de las operaciones:

Se busca un valor que cancele el dos por tanto se ocupa el y se vuelve a realizar la misma

operación

Ahora se escribe la solución

46


Para la clase

Tarea

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

47

7.1.4 Casos especiales

Diferencia de cuadrados u2 - v2 = (u – v) (u + v)

Ejemplo1

Igualarlo a cero

Despejar

Solución x=


Para la clase

Tarea

1.

2.

3.

4.

5.

1. diferencia de cubos

2. suma de cubos

Ejemplo 1

Paso 1 obtener la raíz cubica de los términos

Sustituir sobre la formula

48

Ejemplo 2

Paso 1 obtener la raíz cubica de los términos

Sustituir sobre la formula


Para clase

1.

2.

3.

4.

5.

Tarea 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

49

8. TEOREMA DE PITAGORAS

8.1 CONCEPTO Y USO DEL TEOREMA DE PITAGORAS 10 MIN

8.2 DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE PITAGORAS 10 MIN

8.3 FORMULA DEL TEOREMA DE PITAGORAS 15 MIN

8.4 EJERCICIOS PRACTICOS 20MIN

8.5 EJERCICIOS PROPUESTOS 5 MIN

TIEMPO ESTIMADO TOTAL: 1 HR.

50

TEOREMA DE PITÁGORAS

CONCEPTOS Y USOS

Para entender bien el Teorema de Pitágoras debemos de tener claros algunos conceptos. Por

ejemplo que sólo es aplicable a los triángulos rectángulos, es decir, a aquellos triángulos que tienen

un ángulo recto. También hemos de saber cuáles son los nombres que reciben los lados de un

triángulo rectángulo: los lados que conforman el ángulo recto se llaman catetos, mientras el lado

opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Otro aspecto importante sobre el Teorema de Pitágoras es el relacionado con sus usos, este teorema

es utilizado en una gran cantidad de situaciones para hallar medidas que desconocemos y que de

otra forma no se podrían calcular de forma exacta o que llevaría mucho tiempo hacerlo.

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS (EUCLIDES)

Euclides fue un matemático y geómetra griego que vivió entre los años 325 y 265 antes de Cristo y

que formuló una de las demostraciones más famosas y fáciles de comprender sobre el teorema de

Pitágoras.

Lo que demostró Euclides fue que el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa de un

triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas que tienen como lado cada uno de los catetos de

ese mismo triángulo. En la siguiente imagen vemos una demostración gráfica de esto que acabamos

de comentar, las áreas coloreadas en verde son iguales, y las áreas coloreadas en azul también lo

son, por tanto el área del cuadrado inferior es igual a la suma de las áreas de los cuadrados

superiores.

http://teoremadepitagoras.net/

51

FÓRMULA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

A continuación vamos a reflejar la fórmula del Teorema de Pitágoras, ya que entre todos los

conocimientos que Pitágoras nos dejó en relación a las proporciones de los lados en un triángulo

rectángulo, no cabe duda que el más importante es la propia fórmula de su teorema, una fórmula que

todos hemos tenido que aprender en algún momento de nuestra vida y que, más allá de eso,

realmente resulta muy útil por el gran número de situación en las que le podemos dar una aplicación

práctica.

El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual

a la raíz cuadrada de la suma de los catetos al cuadrado y que, en ese mismo tipo de triángulo, el

cuadrado de uno de los catetos es igual a la raíz cuadrada de la resta de la hipotenusa al cuadrado

menos el otro cateto al cuadrado. Pero hoy no vamos a ocuparnos de la teoría, si no de ver,

visualmente, de donde sale la fórmula del Teorema de Pitágoras.

Ahora vamos a ver tres ejercicios prácticos sobre el teorema de Pitágoras en los que se nos pide

calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo, bien la hipotenusa o bien uno de los catetos.

http://teoremadepitagoras.net/c/aplicacion/

http://teoremadepitagoras.net/c/formula/

52

PRIMER EJERCICIO: CALCULAR LA HIPOTENUSA

SEGUNDO EJERCICIO: CALCULAR UN CATETO

53

TERCER EJERCICIO: CALCULAR UNO DE LOS LADOS DE UN TRIANGULO RECTANGULO.


1) ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $4cm$ y $3cm$ respectivamente?

2) Una escalera de $10 m$ de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista

$6 m$ de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

3) ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $1$ unidad de longitud cada uno?

4) El teorema de pitágoras sirve para resolver las medidas de:

5) ¿Cuál es el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $6cm$ y $8cm$

respectivamente?

6) ¿Cuánto mide el cateto de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide $13cm$ y su otro cateto mide $5cm$?

7) ¿Cuál es el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $12cm$ y $5cm$

respectivamente?

8) ¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden $3$ y $5$ unidad de longitud respectivamente?

9) ¿Cuánto mide el cateto de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide $10$ y su otro cateto

mide $5$ unidades de longitud?

10) Los catetos de un triángulo rectángulo isósceles miden $3$ unidades de longitud cada uno ¿Cuánto mide su hipotenusa?

http://www.educatina.com/triangulos/ejercicios/teorema-de-pitagoras/ejercicio-760

























54

9. RESOLUCION DE PROBLEMAS CON ECUACIONES

9.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

9.1.1 INTRODUCCION

9.1.2 PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACION DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

9.1.3 EJEMPLOS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

9.1.4 EJERCICIOS DE PRÁCTICA

TIEMPO ESTIMADO: 40 MIN.

9.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA

9.2.1 FORMULAS Y EJEMPLOS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA

9.2.2 EJERCICIOS DE PRACTICA


9.3 MÉTODOS DE SOLUCIÓN A SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS 9.3.1 INTRODUCCION A UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS 9.3.2 METODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS

INCOGNITAS CON EJEMPLOS 9.3.2.1 SUSTITITUCION 9.3.2.2 IGUALACION 9.3.2.3 REDUCCION 9.3.2.4 GRAFICO

9.3.3 EJERCICIOS DE PRÁCTICA


TIEMPO ESTIMADO TOTAL: 120 MIN. (2 HRS)

55

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

INTRODUCCION

Para que exista una ecuación tiene que haber algo igual a algo. Una ecuación es de primer grado cuando la x (la variable) está elevada a uno.

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO

1.-Si hay denominadores, los reducimos a común denominador (calculando el m.c.m ) y suprimimos los denominadores.

2.-Quitamos los paréntesis aplicando la regla de los signos.

3.-Al final tendremos a ambos lados del =, sólo sumas y restas, unos términos llevaran x y otros no.

4.-Trasposición de términos: Pasamos todos los términos con x a un lado de la ecuación, los números al otro lado.

5.-Agrupamos los términos semejantes y al final despejamos la x obteniendo la solución.

6.-Comprobamos la solución sustituyendo el valor de la x obtenida en la ecuación. Nos tiene que dar el mismo resultado a ambos lados de la ecuación.

Soluciones de una ecuación de primer grado.

EJEMPLOS

Un número real: es cuando normalmente decimos que nos da solución.

x + 3 = 5 x + 11 => x - 5 x = 11 - 3 => - 4 x = 8 => x = 8 / - 4 => x = - 2

Todo número real: no importa el valor de x, nos da => 0 x = 0

13 - 3 x - 9 = 8 x + 4 - 11 x => - 3 x - 8 x + 11 x = 4 + 9 - 13 => 0 = 0

Incompatible: se anulan las x y nos da => 0 x = número. No tiene solución.

6 + 5 x + 2 = 4 x - 2 + x => 5 x - 4 x - x = - 2 - 6 - 2 => 0 x = - 10

56

EJERCICIOS RESUELTOS

57

Actividad 32. Ejercicios de práctica

58

ECUACIONES DE 2º GRADO CON UNA INCOGNITA

INTRODUCCION Y EJEMPLOS

Las ecuaciones de segundo grado deben tener una x elevada al cuadrado.

59


60

MÉTODOS DE SOLUCIÓN A SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS INTRODUCCIÓN Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre si, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x+ 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano. Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Representación grafica de la recta −x+ 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el espacio. El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano. Para determinar las ecuaciones de primer grado existen los siguientes métodos para su solución. SUSTITUCIÓN El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente o base, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

EJEMPLO: Si tenemos las siguientes ecuaciones : 3x+y =22 y 4x-3y=-1

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

61

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su

valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto. IGUALACIÓN El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita , se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la . La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y. REDUCCIÓN Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema:

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

62

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de si sustituimos en la primera ecuación es igual a:

MÉTODO GRÁFICO Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos: 1. Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones. 2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de

valores correspondientes. 3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 4. En este último paso hay tres posibilidades:

A. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas (x, y). "Sistema compatible determinado".

B. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».

C. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales.

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesiano

63


Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por los métodos de sustitución, igualación, reducción y grafico.

a) b) c)

64

10. GRAFICAS DE FUNCIONES (Tiempo estimado 2 hrs.) 10.1 ¿QUE ES UNA GRAFICA DE UNA FUNCION? (Tiempo Estimado 5 min) 10.2 LAS 8 GRAFICAS BASICAS DE FUNCIONES 10.2.1 FUNCION LINEAL 10.2.1.1 DEFINICION 10.2.1.2 REPRESENTACION GRAFICA 10.2.1.3 CARACTERISTICAS DE LA FUNCION LINEAL 10.2.1.4 EJEMPLO Y EJERCICIOS PROPUESTOS (Tiempo Estimado 10 min) 10.2.2 FUNCION CUADRÁTICA 10.2.2.1 DEFINICION 10.2.2.2 REPRESENTACION GRAFICA 10.2.2.3 CARACTERISTICAS DE LA PARABOLA 10.2.2.4 EJEMPLO Y EJERCICIOS PROPUESTOS (Tiempo Estimado 10 min) 10.2.3 FUNCION CÚBICA 10.2.3.1 DEFINICION 10.2.3.2 PROPIEDADES 10.2.3.3 CARACTERISTICAS DE LA FUNCION CÚBICA 10.2.3.4 EJEMPLO RESUELTO (Tiempo Estimado 10 min) 10.2.4 FUNCION RAIZ CUADRADA 10.2.4.1 DEFINICION 10.2.4.2 REPRESENTACION GRAFICA 10.2.4.3 CARACTERISTICAS DE LA FUNCION RAIZ CUADRADA 10.2.4.4 EJERCICIOS RESUELTOS (Tiempo Estimado 15 min) 10.2.5 FUNCION VALOR ABSOLUTO 10.2.5.1 DEFINICION 10.2.5.2 REPRESENTACION GRAFICA 10.2.5.3 CARACTERISTICAS DE LA FUNCION VALOR ABSOLUTO 10.2.5.4 EJEMPLO Y EJERCICIOS PROPUESTOS (Tiempo Estimado 15 min) 10.2.6 FUNCION RACIONAL 10.2.6.1 DEFINICIONES 10.2.6.2 TIPOS DE ASINTOTAS 10.2.6.2.1 ASINTOTA VERTICAL 10.2.6.2.2 ASINTOTA HORIZONTAL 10.2.6.2.3 ASINTOTA OBLICUA 10.2.6.3 PASOS PARA GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL 10.2.6.4 EJEMPLO Y EJERCICIOS PROPUESTOS (Tiempo Estimado 25 min) 10.2.7 FUNCION SENO 10.2.7.1 DEFINICION Y REPRESENTACION GRAFICA 10.2.7.2 PROPIEDADES DE LA FUNCION SENO 10.2.7.3 AMPLITUD Y PERIODO DE LA FUNCION SENO 10.2.7.4 EJEMPLO Y EJERCICIOS PROPUESTOS (Tiempo Estimado 15 min) 10.2.8 FUNCION COSENO

65

10.2.8.1 DEFINICION Y REPRESENTACION GRAFICA 10.2.8.2 PROPIEDADES DE LA FUNCION SENO 10.2.8.3 AMPLITUD Y PERIODO DE LA FUNCION COSENO 10.2.8.4 EJEMPLO Y EJERCICIOS PROPUESTOS (Tiempo Estimado 15 min) GRAFICA DE UNA FUNCION La gráfica de una función es la representación geométrica en un plano cartesiano de una función de 2 variables (ecuación de 2 incógnitas). La representación geométrica es una figura dibujada en el plano que se obtiene de unir muchos puntos consecutivos tan juntos que aparentan ser una línea continua. Para encontrar la gráfica de una función de 2 variables (generalmente x y y) se van calculando valores de las variables (para cada valor de x corresponde un valor de y) formándose parejas de números. Cada pareja de valores representa un punto en el plano cartesiano. Cuando se tienen suficientes puntos se pueden ir uniendo por líneas hasta formar figuras características para cada tipo de función. Encontrar la figura que se obtiene de una ecuación o encontrar la ecuación que describe a una figura geométrica son los objetivos que persigue la Geometría Analítica. Para ello se auxilia de la geometría y del álgebra; aunque ésta última es la de mayor importancia para la geometría analítica. Por lo tanto una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los pares ordenados de una tabla. Las gráficas describen relaciones entre dos variables. La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable independiente o variable x. La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente o variable y . La variable y está en función de la variable x. Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer conclus iones. Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al aumentar la variable independiente, x.

66

En esta gráfica observamos que la mayor parte de los alumnos obtienen una nota comprendida entre 4 y 7 LAS 8 GRAFICAS BASICAS DE FUNCIONES

68

FUNCIÓN LINEAL Definición Se llama función de proporcionalidad directa o, simplemente, función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x , y). Su ecuación tiene la forma y = mx o f(x) = mx. El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función porque, indica la inclinación de la recta que la representa gráficamente. Recuerda: dos magnitudes son directamente proporcionales si su cociente es constante. Representación gráfica Como has visto, las funciones lineales se representan gráficamente como líneas rectas. Además, como y=mx, si x=0 entonces y=0; por lo tanto la gráfica de todas las funciones lineales pasa por el punto (0,0). Para dibujar la gráfica basta con: Obtener las coordenadas de otro punto, dando un valor arbitrario a la x e unir ese punto con el origen de coordenadas (0,0). Si x=1, entonces y=m, por tanto m representa la variación de la y por cada unidad de x, es decir, la inclinación o pendiente de la recta. Si m es positiva, representa la cantidad que sube la y por cada unidad de x y si m es negativa la cantidad que baja. Características de la función lineal

F(x) = x Df = R If = R

69

Actividad 35. Dibuja las funciones lineales e indica sus características.

a) y = –4x b) y =14x

c) y = 2/5x d) y = –x e) y = 43x

FUNCIONES CUADRÁTICAS DEFINICION Función Cuadrática. Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma y = ax2 + bx + c, donde a ≠ 0. Ningún término en la función polinomial tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración. Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas. Graficando con Puntos Una función cuadrática es un polinomio de grado 2, es decir, el exponente más alto en la variable es 2. Los siguientes son ejemplos de funciones cuadráticas:

La función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con los valores de esta función, vemos que el rango (los valores de y, o salida) no se comportan como una función lineal. En una función lineal, el valor de y cambia por la misma cantidad cada vez que el valor de x aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática: Características de una Parábola

La forma estándar de una ecuación cuadrática es . Por ejemplo , el valor del coeficiente a es 1, y b y c son 0. Si bien muchas ecuaciones cuadráticas presentan valores de b y c diferentes de cero, la gráfica resultante siempre será una parábola.

70

f(x) = x2 Df =R If =R

x y = x2

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Los valores de y no cambian por una cantidad constante. Grafiquemos los puntos para ver cómo se vería la función:

Una función cuadrática resulta en una gráfica con forma de U, llamada parábola


1. y = -x2+4x-3

2. y = x2+2x+1

3. y = x2+x+1

4. y = x2-5x+3

5. y = 2x2-5x+4

71

FUNCION CUBICA DEFINICION La función cúbica se define como el polinomio de tercer grado; el cual se expresa de la forma: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d con a ≠ 0, a, b, c y d Œ IR PROPIEDADES El dominio de la función es la recta real es decir (-α , α) El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real. La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x). La función es continua en todo su dominio. La función es siempre creciente. La función no tiene asintotas. La función tiene un punto de corte con el eje Y. La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X. Características de la Función Cúbica Básica

f(x) = x3

Df =R If =R

EJEMPLOS Grafique y analice las propiedades de la siguientes funciones a) f(x) = 2x3 + 3x2 - 12x Propiedades Dominio: El conjunto de los Reales Imagen: El conjunto de los Reales Ceros de la función: Se iguala la función a cero 2x3 + 3x2 - 12x = 0 x( 2x2 + 3x - 12) = 0 Extrayendo factor común x = 0 ( 2x2 + 3x + 12)= 0 Igualando a cero ambos factores y realizar la descomposición. Simetría: Demostrar que cumple f(-x)=-f(x).

72

Para demostrar la simetría analíticamente de selecciona un número cualesquiera y su opuesto ejemplo 1 y -1 Demostrar que f(-1) = - f(1) f(-1) = 2(-1)3 + 12 . (-1)2 + 2. (-1 )

= 2.(-1) + 12 . 1 - 2 = -2 + 12 - 2 = 10 - 2 = 8

f(1) = 2(1)3 + 12 . (1)2 + 2. (1 )

= 2.(1) - 12 . 1 + 2 = 2 - 12 + 2 = -10 + 2 = -8

Como f(-1) = - f(1) por tanto la función es simétrica. Continuidad: La función es continua en todo su dominio pues gráficamente se puede observar

que no tiene ningún punto de discontinuidad. La función no tiene asuntotas. Para determinar los puntos donde la función corta el eje de la y Se determina el valor de la función para x=0 f(0) = 2. 03 + 3. 02 - 12. .0 Obteniendo y= 0 y la función corta el eje de la y en el punto (0:0)

b) F(x) = -x3 +8

73

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA DEFINICION

Las funciones raíz cuadrada las escribimos de la forma: Cuyo dominio son todos los números reales positivos (0, ∞), lo cual significa que x no puede ser negativo. Si el valor de x fuese negativo no sería una función raíz cuadrada. La gráfica de una función raíz cuadrada corresponde a la mitad de una parábola como las que conocemos de la función cuadrática, pero en este caso el eje de simetría de la media parábola es horizontal (paralelo al eje de las abscisas).

El gráfico de la función raíz cuadrada

es:

A este gráfico le podemos aplicar traslaciones horizontales, hacia la derecha si hacemos x − 1, y hacía de izquierda si hacemos x + 1.

Por ejemplo, el gráfico

de muestra

que se ha trasladado una unidad hacia la derecha:

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html

74

Veamos otro ejemplo:

Traslado tres unidades hacia la

izquierda Su grafica es:

Características de la Función Raíz

f(x) = √x Df = [0;+1) If = [0;+1)

EJERCICIOS RESUELTOS: Obtener el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

Dominio (3 ,∞) Recorrido (0;∞)

Dominio (-∞, 2) Recorrido (3;∞)

Dominio (5/3 ,∞) Recorrido (-2;∞)

Dominio (-∞, 2) Recorrido (-∞, 1)

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO DEFINICION La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

75

REPRESENTACION GRAFICA En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo. Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x). 2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4. Representamos la función resultante. Características de la Función Valor Absoluto

f(x) = │x│ Df =R If = [0;+∞)

Ejemplo: Sea la función: f(x) = | x2 + 2x - 15 | a) Expresa f(x) como una función definida a trozos b) Dibuja la gráfica de f(x)

a) Expresa la función f(x) como una función definida a trozos

Para definir la función, tenemos que resolver la siguiente ecuación: x2 + 2x - 15 = 0 Las raíces de la ecuación son x = 3 y x = -5 , es decir, tenemos que estudiar cómo se comporta la función en los siguientes intervalos: (-∞, -5), (-5, 3) y (3, +∞)

Intervalo (-∞, -5) (-5, 3) (3, +∞)

Punto de prueba f(-6) > 0 f(0) < 0 f(4) > 0

76

Signo de f (x) + - +

Por lo tanto la función queda definida de la siguiente forma:

b) Dibuja la gráfica de f(x). Las funciones que definen a f son polinómicas, por lo que son continuas en todo R , y en particular, lo son en sus intervalos de definición. A continuación vamos a calcular los puntos de corte: • Corte con el eje OX: f(x) = 0

Los puntos de corte son: (-5, 0) y (3, 0) • Corte con el eje OY: f(0)

El punto de corte es: (0, 15)

Además, la función tiene un eje de simetría para x = - b / 2a . Es decir, x = -1 . Para x = -1 tenemos que f(-1) = 16 . Por lo tanto el vértice es el punto V (-1, 16).

77

Actividad 37. Ejercicios propuestos 1. Representa la siguiente función con todas sus características: y = |x2 - 4|

2. Representa la siguiente función con todas sus características: y = |- x2 + 6x - 8|

FUNCION RACIONAL DEFINICIONES Graficar este tipo de función requiere mayor atención que las otras, sobre todo por la presencia de las “ASÍNTOTAS” y “HUECOS”. Una ASÍNTOTA es una recta a la cual se aproxima la gráfica, al crecer indefinidamente “X” o “Y”, pero nunca la toca.

La figura muestra la gráfica de la

función y podemos observar la presencia de una “asíntota vertical” en X = 3.

78

Un HUECO representa el valor que no se le puede asignar a la función por presentar una indeterminación al sustituir la variable “X en la misma. Recuerde que 0/0 es una indeterminación.

Así, en la gráfica de podemos observar un “hueco” cuando X = 1. TIPOS DE ASÍNTOTAS: Asíntota Horizontal Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se comparan los grados del numerador y denominador.

Si en la función 1) n > m f(x) NO posee asíntota horizontal 2) n = m f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta y=a/b 3) n < m f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X. Ejemplo del caso 1: n > m f(x) NO posee asíntota horizontal.

Ejemplo del caso 2: n = m f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta y=a/b

79

Como a = 4 y b = 2 la asíntota

horizontal será la recta

Ejemplo del caso 3: n < m f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X.

ASÍNTOTA VERTICAL Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las raíces del polinomio que conforma el denominador de la función representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical (Perpendicular al eje X).

80

Cuando X – 3 = 0 ; X = 3 ; nos indica que por X=3 pasará una asíntota vertical (perpendicular al eje X) :

Una función puede tener más de una asíntota vertical, todo depende de las raíces que posee el denominador. Sin embargo, algunas veces, una de las raíces del denominado indica la presencia de un “hueco” de la función (este caso será explicado más adelante con un ejemplo).

Como el denominador posee dos raíces: X = 4 y X = - 4, nos indica la presencia de dos asíntotas verticales (una en cada raíz) ver figura A.

FIGURA A

FIGURA B

Una función puede poseer asíntotas horizontales y verticales a la vez (Figura B). ASÍNTOTA OBLICUA: La asíntota oblicua es una asíntota que no es horizontal ni vertical. ¿Cómo identificar una asíntota oblicua en una función? Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el denominador, la función tiene asíntota oblicua.

81

Una función puede poseer asíntotas oblicuas y verticales a la vez. Observe bien la gráfica anterior y notará que además de la asíntota oblicua señalada también hay una asíntota vertical en X = 2. Aspecto que resulta lógico ya que el denominador de la función es X – 2 Tomando en cuenta los aspectos señalados anteriormente se sugieren los siguientes pasos para graficar una función racional: 1) Identificar y graficar en “líneas punteadas” las posibles asíntotas que pueda tener la función. 2) Determinar si existen cortes con el eje “X” (Esto se obtiene igualando el numerador a cero). 3) Determinar si existen cortes con el eje “Y” (Esto se obtiene haciendo “X=0” en la función). En otras palabras calculando f(0). 4) Calcular tres o cuatro puntos de la función en cada uno de los intervalos en que quedó dividido el sistema de coordenadas una vez graficadas las asíntotas verticales. Con la finalidad de fijar bien los pasos indicados anteriormente se procederá a resolver varios ejercicios de menor a mayor grado de dificultad. Ejercicio 1:

Graficar la función Primero: Identificar y graficar en “líneas punteadas” las posibles asíntotas que pueda tener la función. ASÍNTOTA HORIZONTAL: Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se comparan los grados del numerador y denominador.

Si en la función

82

1) n > m f(x) NO posee asíntota horizontal 2) n = m f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta y = a / b 3) n < m f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X.

Esta función cumple con el caso 2, luego la asíntota horizontal es la recta

ASÍNTOTA VERTICAL: Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las raíces del polinomio que conforma el denominador de la función representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical (Perpendicular al eje X).

Cuando X – 3 = 0; X = 3 Esto nos indica que por “X = 3” pasará una asíntota vertical (perpendicular al eje X):

ASÍNTOTA OBLICUA Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el denominador, la función tiene asíntota oblicua. Como en este caso ambos grados son iguales no hay asíntota oblicua. Segundo: Determinar si existen cortes con el eje “X” (Esto se obtiene igualando el numerador a cero).

83

X + 2 = 0; X = – 2 Esto nos indica que la función corta al eje X en el punto (– 2,0) Tercero: Determinar si existen cortes con el eje “Y” (Esto se obtiene haciendo “X=0” en la función). En otras palabras calculando f(0).

Esto nos indica que la función corta al eje Y en el punto (0, – 0.67) Graficando estos “puntos de corte” en el plano se nos va facilitando la visualización de la futura gráfica:

Actividad 38. Ejercicios propuestos 1)

2)

3)

4)

5)

6)

FUNCIÓN SENO Graficando la Función Seno Las relaciones trigonométricas pueden también ser consideradas como funciones de una variable que es la medida de un ángulo. Esta medida de ángulo puede estar dada en grados o radianes. Aquí, usaremos los radianes.

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/trigonometric-ratios.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/degree-measure-of-an-angle.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/radian-measure-of-an-angle.html

84

La gráfica de una función seno y = sin x se ve de la siguiente forma:

Propiedades de la función seno, y = sin x.

Dominio:

Rango: [–1, 1] or Intercepción en y: (0, 1)

Intercepción en x: , donde n es un entero.

Período:

Continuidad: continua en Simetría: origen (función impar)

El valor máximo de y = sin x occurre cuando , donde n es un entero.

El valor mínimo de y = sin x occurre cuando , donde n es un entero. Amplitud y período de una función seno La amplitud de la gráfica de y = a sin bx es la cantidad entre la cual varia por arriba y debajo del eje de las x. Amplitud = | a | El período de una función seno es la longitud del intervalo más corto en el eje de las x sobre el cual la gráfica se repite.

Período = EJEMPLO: Dibuje las gráficas de y = sin x y y = 2 sin x . Compare las gráficas. Para la función y = 2 sin x, la gráfica tiene una amplitud de 2. Ya que b = 1, la gráfica tiene un período

de . Así, se cicla una vez de 0 a con un máximo de 2, y un mínimo de –2.

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/sine.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/domains.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/range-of-data.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/y-intercepts.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/x-intercepts.html

85

Observe las gráficas de y = sin x y y = 2 sin x. Cada una tiene la misma intercepción en x, pero y = 2 sin x tiene una amplitud que es el doble de la amplitud de y = sin x.

Construir la gráfica de y = sen x. Solución: Primero elaboramos una tabla con los cinco valores cuadrantales del seno. Recordemos que el valor del seno es la coordenada en y de cada ángulo.

x 0 /2 1.57 3.14 3 /2 4.71 2 6.28

y = sen x 0 1 0 –1 0

Luego se puede hacer un bosquejo de la función.


2)

3)

4)

86

5)

FUNCIÓN COSENO

GRAFICANDO LA FUNCIÓN COSENO Las relaciones trigonométricas pueden también ser consideradas como funciones de una variable que es la medida de un ángulo. Esta medida de ángulo puede estar dada en grados o radianes. Aquí, usaremos los radianes.

La gráfica de una función coseno y = cos x se ve de la siguiente forma:

Propiedades de la función coseno, y = cos x.

Dominio:

Rango: [–1, 1] or Intercepción en y: (0, 1)

Intercepción en x: , donde n es un entero.

Período:

Continuidad: continua en Simetría: Eje de las y (función par)

El valor máximo de y = cos x occure cuando , donde n es un entero.

El valor mínimo de y = cos x occure cuando , donde n es un entero. Amplitud y período de una función coseno La amplitud de la gráfica de y = a cos bx es la cantidad entre la cual varia por arriba y debajo del eje de las x. Amplitud = | a | El período de una función coseno es la longitud del intervalo más corto en el eje de las x sobre el cual la gráfica se repite.

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/trigonometric-ratios.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/degree-measure-of-an-angle.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/radian-measure-of-an-angle.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/cosine.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/domains.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/range-of-data.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/y-intercepts.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/x-intercepts.html

87

Período = EJEMPLO: Dibuje las gráficas de y = cos x y y = 2 cos x . Compare las gráficas. Para la función y = 2 cos x , la gráfica tiene una amplitud de 2. Ya que b = 1, la gráfica tiene un

período de . Así, se cicla una vez de 0 a con un máximo de 2, y un mínimo de –2.

Observe las gráficas de y = cos x y y = 2 cos x. Cada una tiene la misma intercepción en x, pero y = 2 cos x tiene una amplitud que es el doble de la amplitud de y = cos x.


2)

3)

4)

5)

88

ANEXO 1. NÚMEROS REALES

1.1.1 La Teoría del Conjunto de los Números Reales ( )

De la literatura existente sobre las matemáticas hoy día, pareciera que no existe un acuerdo sobre el contenido de un buen curso de Cálculo y Geometría Analítica. Se sabe que algunos investigadores de esta ciencia aseguran que el camino que nos conduce a la comprensión y dominio del Cálculo, tiene su origen germinal con un estudio completo del Sistema de los Números Reales (SNR) y extendido con un Proceso Metodológico Formal (PMF) lógico y bastante riguroso. Sin embargo, otros de igual nivel formativo, afirman en que el Cálculo es un instrumento para los ingenieros y físicos; como consecuencia, un curso de Cálculo debe considerar las aplicaciones donde el que aprende tenga la oportunidad de practicar toda la teoría matemática recibida y alcanzar un nivel de destreza y dominio sin error.

Sí, lo que está pensando es cierto; los dos puntos de vista existe mucha razón. El Cálculo es para su conocimiento: una ciencia deductiva y además, una rama de la Matemática Pura (MP). En forma paralela, es muy importante recordar que el Cálculo tiene su campo principal de aplicación en los Problemas del Mundo Real (PMR) y que gran parte de su potencia y belleza deriva de la variedad de sus usos. Sabemos que ahora y de siempre, que podemos combinar su proceso teórico formal con una buena técnica, y este manual representa un esfuerzo por establecer un sensible equilibrio entre estas dos direcciones de llegar a entender el Cálculo. Aunque aceptemos al Cálculo como ciencia deductiva, no será motivo para eximir las aplicaciones de problemas de las ciencias físicas y otras.

1.1.2 Desarrollo Epistemológico del Conjunto de los Números Reales

Desde que se conoció y estableció la teoría del SNR, han existido diferentes métodos para incorporarlos en los planes curriculares de todas y cada una de las carreras de ingeniería. Un método común es empezar con el estudio de los Números Enteros Positivos (Vinogrado, I.);

i. e. y utilizarlo como base para la construcción de un Sistema más completo

que esté conformado con estructuras aritméticas (propiedades) adecuadas. Este método refiere a la toma de los números enteros positivos como base para formar un sistema más completo, que es el del conjunto de los números racionales positivos y cocientes de enteros positivos.

El se utilizan a su vez como base para construir el conjunto de los números no racionales

(irracionales) positivos ; tales como

Que son ejemplos de números no racionales ( ). Y como consecuencia dar paso final a la

construcción de los Números Reales Negativos ( ) y el conjunto del número real cero .

Aclaramos que la parte más trabajosa del proceso total, es el paso de los números racionales a los números no racionales.

89

1.1.3 Estado del arte del Conjunto de los Números Reales

Aunque la necesidad del número no racional se había presentado ya a los matemáticos de la antigua Grecia en sus estudios geométricos, no se introdujeron métodos satisfactorios de construcción de los números reales a partir de los racionales hasta ya avanzado el siglo XIX. En esta época se analizaron tres teorías distintas, la de Karl Weierstrass (1815 1897), Georg

Cantor (1845 1918) y Richard Dedekind (1831 1916). En 1889, el matemático italiano

Giuseppe Peano (1858 1932) acuñó cinco axiomas para el que se utilizaron como fuente

germinal de saber, para la construcción total. Una exposición pormenorizada de esta construcción iniciando por los axiomas de Peano y utilizando el método de Dedekind, R. para la implementación el número no racional, se encuentra en el libro de Landau, E. (1951). Fundamentos del Análisis. Primera edición. New York. Chelsea Publishing Co.

El punto de vista adoptado aquí, no es constructivo. Da inicio el proceso en un punto muy avanzado, considerando los números reales como conceptos primitivos que cumplen a un cierto número de estructuras aritméticas que se toman en este cuaderno de trabajo y consulta entre los axiomas o que se puedan redefinir a través de ellos. Cuando a los números reales se les definen a través de un proceso constructivo, las estructuras aritméticas que se toman como axiomas, tendremos que demostrarlos, mostrarlos, probarlos, comprobarlos o en su caso verificarlos; tal y como uno lo hace con los teoremas.

Mientras no se afirme lo contrario, las letras minúsculas: y que aparecen en los

enunciados algebraicos de los axiomas, representan números reales cualesquiera. Con respecto de éstos, se clasifican de manera natural en tres grandes grupos: los axiomas

de cuerpo, los axiomas de orden y los axiomas del extremo superior y que

también es llamado: axioma de continuidad o axioma de completitud.

Mapas Conceptuales del Conjunto de los Números Reales ( )

90

1.2 Conjunto de los Números Naturales (

Observa que el conteo natural y trivial de las cosas cotidianas permite construir el sistema de los números naturales. Usa esta idea para construir la serie de los números naturales en la forma

Escribe en tu cuaderno el conjunto de los naturales y denótalo con el símbolo ; así que, como

Localice el lugar geométrico de algunos de ellos sobre la recta numérica, dibuja la recta haciendo uso de una regla graduada, de manera que los valores ; se encuentren a la misma

distancia uno del otro. De forma que la escala que uses sea la distancia entre el origen y el 1. Esta

escala también es llamada unidad de medida. La unidad de medida permite medir haciendo uso de números naturales, no obstante, la medición se restringe a solamente cantidades exactas en términos de los números naturales.

1.3 Conjunto de los Números Enteros ( )

Continúa con la construcción de los enteros negativos, el conjunto y positivos ( )

incluyendo en este conjunto al cero, en la forma

Expresa a este último conjunto con el símbolo ( ), escribiéndolo en tu cuaderno como e incorpora

algunos de ellos sobre la recta real

91

1.4 Conjunto de los Números Racionales ( )

Construye un conjunto de números racionales mediante razones de números enteros, en la

forma de donde tu escritura se pueda ver como

1.5 Estructuras Aritméticas del Conjunto de los Números Reales ( )

1) Estructura aritmética de conmutatividad; i. e. .

2) Estructura aritmética de asociatividad, esto implica que

.

3) Existencia del elemento inverso para la suma .

4) Existencia de elemento neutro .

5) Estructura aritmética de conmutatividad para la multiplicación

6) Estructura aritmética de asociatividad para la multiplicación .

7) Existencia de elemento inverso

8) Existencia de elemento neutro o idéntico multiplicativo .

9) Estructura aritmética de distributividad para la suma y multiplicación &

10) Ley de Tricotomía:

92

11) Monotonía de la suma.

12 Monotonía del producto.

13) Estructura aritmética de transitividad: si

14) Estructura aritmética de uniformidad.

Apunte. Los axiomas de los números reales son preposiciones que se toman como verdaderas.

Proposición. Sean .

Entonces y sólo entonces, se satisfacen todas y cada una de las afirmaciones que se muestran

ESTRUCTURA ARITMÉTICA

OPERACIÓN

DEFINICIÓN

SIGNIFICACIÓN MATEMÁTICA

POR EJEMPLO

CONMUTATIVA

Suma Multiplicación

El orden al sumar o multiplicar números reales no altera el resultado.

ASOCIATIVA


Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

IDENTIDAD


Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad sumativa. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa.

INVERSOS


La suma de simétricos es igual cero. La multiplicación del inverso multiplicativo es igual a 1.

93

DISTRIBUTIVA

Suma respecto a Multiplicación

El factor se distribuye a cada sumando. El factor se distribuye con el multiplicado y multiplicador.

1.5.1 Estructuras aritméticas especiales

ESTRUCTURA ARITMÉTICA DE LA SIMTRÍA DE LOS NÚMEROS REALES


EJEMPLO

El simétrico de un simétrico, es el mismo número.

La multiplicación entre números reales de un número negativo por otro positivo, tiene un producto negativo.

La multiplicación entre números reales con signos iguales, converge a producto con signo positivo.

La multiplicación del número

por otro positivo, se

define sobre el espacio de variación de los negativos sobre la recta numérica.

94

1.6 Estructuras Aritméticas del Cero

ESTRUCTURA ARITMÉTICA


Por ejemplo

Todo real que multiplique al cero, es igual a cero.

Si un producto es 0 entonces al menos uno de sus factores es igual a 0

Generalizando

Nota: Siempre tenga presente lo que se indica en la Matriz que se muestra.

OPERACIÒN DEFINICIÒN QUE DICE EJEMPLO

RESTA

La resta es la suma del simétrico del sustraendo.

DIVISIÓN

La división es la multiplicación por el reciproco del divisor.

1.7 Algunos Comentarios Finales de Importancia

CF1) La estructura aritmética de tricotomía, es la que garantiza tres posibilidades dentro de los números reales .

CF2) La estructura aritmética de transitividad nos asegura que siendo números reales; si

; entonces ; asi mismo, se garantiza para los axiomas de orden siendo

números reales, se implica que , entonces y sólo entonces,

95

1.8 Axiomas de Cuerpo

En forma paralela con el conjunto de los números reales, presupondremos la existencia de las operaciones de suma y multiplicación; tales que para cada pareja de números reales, digamos

e podremos formar la suma de e , que viene siendo otro número real denotado por

Mientras que la multiplicación de por , se representará aritméticamente como En la

misma dirección, la suma o simplemente , están sin ninguna duda,

unívocamente determinados por e . A los signos y , no se les asigna otro significado

especial que el que se indica en los axiomas.

Axioma 1 (de conmutatividad). .

Axioma 2 (de asociatividad).

Axioma 3 (de distributividad).

Axioma 4 (de existencia de elementos neutros). Siempre existirán dos números dos números

reales diferentes, que se indican por tales que para cada número real se implica que

.

Axioma 5 (existencia de negativos). Para cada número real , existe un número real tal que

Axioma 6 (existencia del recíproco). Para todo número real , existe un número real ,

tales que

Apunte. Los números de los axiomas 5 y 6, son los mismos que los del axioma 4.

96

De los enunciados de los axiomas anteriores, se desprenden todas las leyes del álgebra fundamental. Entre las más importantes de ellas, se redefinen más adelante como teoremas. Para todos los teoremas, las letras minúsculas representan números reales

cualesquiera.

Teorema . (Ley de simplificación para la suma). Si , entonces y sólo entonces

. Con esto, se prueba que el número del axioma 4 es único.

Teorema . (Posibilidad de la sustracción). Dados , existe uno y sólo un número tal que

El número se define por . En particular se escribe simplemente y se

denomina el negativo de .

Teorema .

Teorema .

Teorema .

Teorema .

Teorema (Ley de simplificación para la multiplicación). Si ; entonces y sólo

entonces . En forma particular, esto prueba que el número 1 del axioma 4, es único.

Teorema (Posibilidad de la división). Conociendo , existe uno y un solo valor de

tales que . Aquí, se define por y se le llama cociente de . En particular se

rescribe también como y se denota como recíproco de .

Teorema . Si , entonces y sólo entonces .

Teorema . Si , entonces y sólo entonces

Teorema . Si , entonces y sólo entonces o o .

Teorema .

Teorema .

Teorema .

Teorema .

Para fundamentar como es que estos teoremas tienen su origen germinal en los axiomas, extendemos las demostraciones de los teoremas del 1 hasta el 4 y, le sugerimos compruebe del 5 al 15.

Problema 1. Demuestre que el teorema de la ley de simplificación para la suma.

Demostración

97

Proposición 1. Sea

Tesis

Por el axioma 5, podemos sugerir la

Proposición 2. Hagamos .

Desarrollo algorítmico de la demostración

Entonces, sumando en ambos lados de (1), al número tenemos

Ahora, abrimos la restricción de

Utilizamos la estructura aritmética de Asociatividad sobre con , en ambos lados de (3) y

sustituimos el valor de en cada lado y efectuamos las operaciones

Esto implica que

Por el axioma 4, podemos asegurar que de (4) se desprende

Mientras que

Lo anterior implica necesariamente que

Observación. El teorema muestra que existe uno y un solo número real que tiene la propiedad del

en el axioma 4. Por consiguiente, si tuvieran ambos esta propiedad, entonces y sólo entonces

De todo esto se desprende

y por la ley de simplificación para la suma, que

98

Comentario Final

CF1) En particular, la demostración que acabamos de extender, sostiene que el número del axioma

4 es único.

Problema 2. Muestre que el teorema de la posibilidad de la sustracción que afirma que dados

existe uno y sólo un número, digamos ; cumple. El número . Aclaración: el

negativo de .

Demostración

Proposición 1. Sea .

Proposición 2. Consideremos que .

Tesis

Desarrollo algorítmico de la demostración

Ayudándonos con lo que se sugiere en las proposiciones, entonces

De donde se desprende

Como consecuencia, existe por lo menos un número

1.9 Comentarios Finales

CF1) Por lo que se asegura en el teorema 1.1, hay a lo sumo una .

CF2) De lo anterior se desprende que existe una y sólo una en estas condiciones.

CF3) La demostración queda concluida.

Problema 3. Pruebe que el teorema 3, que algebraicamente se define por .

Se satisface.

Prueba

Proposición 1. Sea .

Proposición 2. Hacemos .

Objetivo

Probar a partir de la tesis que .

99

Tesis

Desarrollo algorítmico de la prueba

Todos sabemos que por definición que de

, b+

Como consecuencia

Por lo que se sostiene en el teorema 1, se implica que

Problema 4. Compruebe que el teorema 4 definido por la representación algebraica

.

Comprobación

Proposición. Sea .

Tesis

Desarrollo algorítmico de la comprobación

Tenemos

Por la definición conceptual del número negativo . Pero por , afirmamos que es el opuesto

de ; i. e. como se asegura en el teorema 4.

Comentario Final

CF1) La tesis que comprobada.

Axiomas de orden

Este Grupo (G) de axiomas refieren a un concepto por el que establecemos una ordenación entre los

diferentes conjuntos de los números reales . Por esta ordenación podemos decidir si un número

real es mayor ( ) o menor (<) que otro. Aprovechamos el estudio de esta subcompetencia para

efectuar un estudio minucioso de las estructuras aritméticas de orden, como un conjunto de axiomas que están en correspondencia con el nuevo concepto germinal positivo, para extender más adelante los conceptos de mayor que y menor que a partir del de positivo.

Proposición General

100

Partamos de la base que existe un cierto subconjunto, digamos el conjunto de los números reales

positivos que como ya sabemos es un subconjuntos del ; i. e. ; que cumplen los tres

axiomas de orden, veamos

Axioma 7. Si , entonces y sólo entonces, se satisface.

Axioma 8. Para todo , o o , pero no ambos.

Axioma 9. .

Referenciando ahora los axiomas 7, 8 y 9; podemos ya definir los símbolos de llamados

respectivamente menor que, mayor que, menor o igual que y mayor o igual que; en la forma de

, significa que;

, significa que

, significa que 0 o

, significa que 0 o

Como consecuencia, se implica que, tendremos si y sólo si . Por otra parte, si ,

aseguraremos que ; en la misma dirección, si , significa que y, viceversa. La

pareja de desigualdades simultáneas

se escriben frecuentemente en la forma más compacta como

Interpretaciones idénticas se extenderán para las desigualdades compuestas por

Recuerde, de los axiomas de orden, se pueden desprender todas las reglas que se utilizan en el Cálculo con desigualdades, las más importantes de las cuales se expresan como teoremas.

Teorema . (Sobre la estructura aritmética de tricotomía). Si ; se cumple que una y sólo

una de las tres relaciones; i. e. , .

Teorema (De la estructura aritmética de transitividad). Si

Teorema . Si

Teorema . Si

Teorema . Si

Teorema .

101

Teorema . Si

Teorema . Si Caso particular; si .

Teorema . Si son o ambos positivos o ambos negativos.

Teorema . Si

Para esta parte, también demostraremos algunos de estos teoremas.

1.10 Propuesta de tira de problemas para la nivelación académica de los aprendedores

Problema 6. Considerando los ejemplos de mapas conceptuales que se extiende en la cuaderno de trabajo. Construya otro que sea su propuesta.

Problema 7. Construya el modelo geométrico de los subconjuntos del .

Problema 8 Muestre las sumas que se indican ;

y .

Problema 9 Demuestre las sumas que se indican ;

y .

Problema 10. ¿Cuántos cuadernillos de 10 hojas se necesitan para reunir 1000 hojas.

Problema 11. Compruebe que si entonces .

Problema12. Demuestre que si entonces .

Problema 13. Verifique que si entonces

.

102

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Baldor Aurelio, (2004). Álgebra. Publicaciones Culturales, S.A de C.V. México D.F Swokowski Earl, (1982). Álgebra Universitaria. Editorial Continental, S.A de C.V. México D.F Lehmann Chrarles H, (1993). Álgebra. Primera edición. Editorial Limusa.

Rozán, J.E. . Aritmética y nociones de geometría Libro 3. Séptima edición. México. Editorial

Progreso, S.A. Spivak, M. (1974). Cálculo infinitesimal: Calculus. Primera edición. México. Editorial Reverté, S.A. Simmons, G.F. . Cálculo y geometría analítica. Cuarta edición. México. McGraw

Hill/Interamericana.

Manual Mate. Matutino

Documents

Transcript of Manual Mate. Matutino