MANUAL DE LABORATORIO DE CÓMPUTO ECONOMETRÍA II MODELOS DE ELECCIÓN DISCRETA PARA DATOS AGRUPADOS...

MANUAL DE LABORATORIO DE CÓMPUTO

ECONOMETRÍA II

MODELOS DE ELECCIÓN DISCRETA PARA DATOS AGRUPADOS

Profesor: Barland A. Huamán Bravo

2011

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS ECONÓMICAS

Datos Agrupados

En la práctica, muchas veces, en lugar de tener los datos correspondientes a cada uno de los individuos que componen la muestra lo que tenemos son los cuadros resúmen de los datos individuales.Cuando estos cuadros resúmen muestran los datos agrupados de acuerdo a alguna característica (por grupos de edad, educación, etc) los datos reciben el nombre de AGRUPADOS.

Datos AgrupadosEn nuestro primer ejemplo supongamos que tenemos agrupados los datos de las 100 personas que compraron televisores en 5 grupos de ingreso como los siguientes:

3

Obs. ni mi Xi Pi1 20 2 -0.0115 0.12 20 1 -0.1853 0.053 20 0 -0.4353 04 20 1 -0.0467 0.055 20 3 0.1206 0.15

Datos Agrupados

En términos matemáticos supongamos que tenemos ni observaciones en el grupo i y de esas observaciones para mi se cumple el evento analizado y para ni – mi no se cumple.Entonces podemos definir la probabilidad expost de comprar un televisor Sony para cada uno de los grupos como:

i

ii n

mp ~

Datos Agrupados: MPL

Supongamos que escribimos las probabilidades ex ante utilizando el MPL. Esto es:

Esta última ecuación se puede re-escribir como sigue:

5

ii Xp

iii uXp ~Donde

iii ppu ~


En muestras grandes (para valores grandes de ni para todo i) y por lo tanto E(ui) 0.

Por otra parte, por tratarse de una variable binomial. Esta varianza tiene la característica de no ser constante. Esto es, como lo habíamos notado antes, los modelos de variable dependiente categórica son heterocedásticos aún para el caso de datos agrupados.

6

ii pp ~

i

iii n

ppuVar

)1()(


Para poder obtener estimadores eficientes del modelo uno debe corregir la heterocedasticidad.En este caso particular, el método es sencillo porque conocemos la forma funcional de la varianza de los errores del modelo. Lo único que debemos hacer es obtener una estimación de la misma.La estimación puede obtenerse a partir de las probabilidades ex post como sigue.

7


Una vez que tenemos esta varianza definimos el ponderador

8

i

iii n

ppuVar

)~1(~)(

2

1

)~1(~

ii

ii pp

nw


Y aplicamos el método de mínimos cuadrados generalizados estimados:

Los estimadores de los parámetros de la ecuación anterior son insesgados, consistentes y eficientes.

9

iiiiiii uwwXwpw )(~


No obstante, el MPL en el caso de datos agrupados está sujeto a menos críticas que en el caso de micro datos comparte los mismos problemas.Además, uno de los problemas que puede ocurrir es cuando el agrupamiento de los datos (como en el ejemplo de los televisores) deja algún valor de .En este caso no se puede construir el ponderador wi.

10

0~ ip

Datos Agrupados: MPLEjemplo: Una empresa vitivinícola lanzó al mercado hace un año un nuevo vino blanco y está pensando en ofrecer un precio especial como forma de re lanzar su producto. La empresa consideraría esta estrategia si con una disminución del 10% en el precio logra un aumento más que proporcional en la probabilidad de compra del vino.La empresa nos contrata para que ayudemos en la toma de esta decisión.

11

• Para ayudarnos en nuestra investigación la empresa nos entrega (de sus archivos) los siguientes datos agrupados por barrio:


12

BARRIO ni mi Precio Promedio1 203 183 34.1632 196 176 34.7743 164 142 35.2054 159 133 35.4945 169 151 34.0636 214 176 34.9447 189 174 33.4638 195 176 34.2609 219 209 33.575

10 204 183 34.56711 169 153 34.24112 149 133 35.93513 202 178 34.83314 194 175 34.16815 172 149 35.510

Número total de personas en el barrio

Número de personas en el barrio que compra el vino de la empresa

Precio promedio de venta del vino en los comercios del barrio


Para responder a la inquietud de la empresa estimemos la probabilidad de compra de su producto utilizando un MPL.Esto es, especifiquemos el siguiente modelo:

13

iii uXp ~

i

ii n

mp ~ Precio de venta promedio


Como sabemos, este modelo presenta heterocedasticidad por lo tanto debemos emplear el método de mínimos cuadrados generalizados estimados.Para esto, primero debemos construir una estimación de la varianza de los errores utilizando la fórmula:

14

i

iii n

ppuVar

)~1(~)(

15

BARRIO ni mi Precio Promedio1 203 183 34.163 0.901 0.00044 47.812 196 176 34.774 0.898 0.00047 46.253 164 142 35.205 0.866 0.00071 37.584 159 133 35.494 0.836 0.00086 34.095 169 151 34.063 0.893 0.00056 42.146 214 176 34.944 0.822 0.00068 38.287 189 174 33.463 0.921 0.00039 50.868 195 176 34.260 0.903 0.00045 47.099 219 209 33.575 0.954 0.00020 70.89

10 204 183 34.567 0.897 0.00045 47.0011 169 153 34.241 0.905 0.00051 44.4012 149 133 35.935 0.893 0.00064 39.4313 202 178 34.833 0.881 0.00052 43.9214 194 175 34.168 0.902 0.00046 46.8615 172 149 35.510 0.866 0.00067 38.53

ip~

)~( ipVar iw

183/203 = 0.901

0.901*(1-0.901)/203

(1/0.00044)0.5


Ahora estamos en condiciones de crear la variable dependiente y las independientes.La variable dependiente es la multiplicación de la probabilidad de comprar el producto de la empresa por el ponderador wi.Las variables independientes son, el ponderador wi que multiplica a y el precio promedio multiplicado por wi.Estos datos se presentan en la siguiente tabla.

16

17

BARRIO1 43.10 47.81 1633.2552 41.53 46.25 1608.2933 32.54 37.58 1322.8734 28.52 34.09 1210.1305 37.65 42.14 1435.4556 31.48 38.28 1337.6437 46.82 50.86 1701.9028 42.50 47.09 1613.2599 67.65 70.89 2380.200

10 42.16 47.00 1624.69411 40.20 44.40 1520.42912 35.19 39.43 1416.81413 38.71 43.92 1530.05314 42.27 46.86 1601.14715 33.38 38.53 1368.304

ii pw~

iw iiXw

38.33

53.41

10.43

Y

304.136853.38

293.160825.46

255.163381.47

X

YXXX ''ˆˆ 1


Entonces la estimación de los parámetros es:

18

0361.0

1434.2

0.972246

4.28268

0000658.0002267.0

002267.00780464.0

0.972246

4.28268

2.372184687.1081090

7.10810904.31415ˆˆ 1


El modelo estimado es:

Para calcular las varianzas estimadas de los coeficientes del modelo primero debemos estimar la varianza de los residuos a partir de:

19

ii Xp 0361.01434.2~

)0361.01434.2(~ˆ iiiiii Xwwpwu


Entonces:

20

00007050.0002426.0

002426.0083527.0

0000658.0002267.0

002267.00780464.007023.1

'2

ˆ

ˆˆ 11

2

XXn

uVar

n

ii


Para evaluar la estimación podemos realizar los contrastes de hipótesis sobre los coeficientes individuales.

H0: = 0 vs. HA: 0

Como el valor del estadístico de contraste es mayor al valor crítico de la distribución, se rechaza la hipótesis nula.

21

*95.0ˆ 1604.24164.7

083527.0

1434.2

)ˆ(

ˆt

Var

t


H0: = 0 vs. HA: 0

Como el valor del estadístico de contraste es menor al valor crítico de la distribución, se rechaza la hipótesis nula.

Una disminución del 10% en el precio provoca un aumento de 0.361% en la probabilidad de compra del vino.

22

*95.0ˆ 1604.23038.4

00007050.0

036138.0ˆ

)ˆ(

tt

Var

Datos Agrupados: Logit

El modelo Logit para datos agrupados puede interpretarse a través de la definición de la tasa de probabilidad.La tasa de probabilidad se define como el cociente entre la probabilidad de que ocurra el evento que se analiza y la probabilidad de que no ocurra. Esto es:

23

)|0Pr(

)|1Pr(

XY

XY

i

i


La tasa de probabilidad nos dice las “chances” que hay de que el evento que estamos analizando ocurra.Por ejemplo, si Pr(Yi=1 |X)=0.8 y Pr(Yi=0 |X)=0.2, entonces la tasa de probabilidad es 0.8/0.2=4/1. Esto quiere decir que hay chances de 4 a 1 de que ocurra el evento analizado. El evento analizado es 4 veces más probable.

24


Para el modelo Logit la tasa de probabilidad es:

25

i

i

i

i

X

X

X

X

i

i e

e

e

e

XY

XY

1

11

)|0Pr(

)|1Pr(


Por lo tanto, podemos escribir el modelo como:

Como antes, podemos re escribir la ecuación anterior como:

26

iXLn )(

iii

i uXp

pLnLn

~1

~)~(


Donde:

En este caso, como ocurría con el MPL, puede demostrarse que:

27

i

i

i

ii p

pLn

p

pLnu

1~1

~

)1(

1,0)(

iiiii ppnuVaryuE


Como ocurría con el MPL, aquí también se debe estimar por mínimos cuadrados generalizados debido a la heterocedasticidad de los errores del modelo.Para esto calculamos el siguiente ponderador:

28

)~1(~ iiii ppnw


Y aplicamos el método de mínimos cuadrados generalizados estimados:

Los estimadores de los parámetros de la ecuación anterior son insesgados, consistentes y eficientes.

29

iiiiii

iii uwXww

p

pLnwLnw

)(~1

~)~(


Ejemplo (continuación): Resolvamos el problema de la probabilidad de comprar el vino blanco usando un modelo Logit:

En este caso nuestra primera tarea es construir la variable dependiente, es decir el logaritmo de la tasa de probabilidad.

30

iii

i uXp

pLnLn

~1

~)~(

Datos Agrupados: LogitComo este modelo tiene heterocedasticidad debemos calcular una estimación de la varianza de los errores a partir de:

Y los valores del ponderador como:

Estos resultados se muestran en la siguiente tabla:

31

)~1(~1

)(iii

i ppnuVar

)~1(~ iiii ppnw

32

BARRIO ni mi Precio Promedio1 203 183 34.163 0.901 2.2138 0.055 4.2462 196 176 34.774 0.898 2.1748 0.056 4.2383 164 142 35.205 0.866 1.8648 0.052 4.3644 159 133 35.494 0.836 1.6323 0.046 4.6645 169 151 34.063 0.893 2.1269 0.062 4.0106 214 176 34.944 0.822 1.5329 0.032 5.5907 189 174 33.463 0.921 2.4510 0.072 3.7168 195 176 34.260 0.903 2.2260 0.058 4.1419 219 209 33.575 0.954 3.0397 0.105 3.089

10 204 183 34.567 0.897 2.1650 0.053 4.34011 169 153 34.241 0.905 2.2578 0.069 3.80612 149 133 35.935 0.893 2.1178 0.070 3.77913 202 178 34.833 0.881 2.0037 0.047 4.59914 194 175 34.168 0.902 2.2203 0.058 4.14015 172 149 35.510 0.866 1.8685 0.050 4.464

ip~

)~( ipVar iw)~(Ln


Ahora estamos en condiciones de crear la variable dependiente y las independientes.La variable dependiente es la multiplicación del logaritmo de la tasa de probabilidad por el ponderador wi.Las variables independientes son, el ponderador wi que multiplica a y el precio promedio multiplicado por wi.Estos datos se presentan en la siguiente tabla.

33

34

)( iiLnw BARRIO1 9.40 4.246 145.0582 9.22 4.238 147.3653 8.14 4.364 153.6534 7.61 4.664 165.5255 8.53 4.010 136.6056 8.57 5.590 195.3487 9.11 3.716 124.3528 9.22 4.141 141.8739 9.39 3.089 103.722

10 9.40 4.340 150.03111 8.59 3.806 130.31812 8.00 3.779 135.80413 9.21 4.599 160.19014 9.19 4.140 141.45515 8.34 4.464 158.504

iw iiXw

34.8

22.9

40.9

Y

504.158464.4

365.147238.4

058.145246.4

X

YXXX ''ˆˆ 1


Entonces, la estimación de los parámetros es:

35

3478.0

116.14

7.19200

5.554

00891.03092.0

3092.073.10

7.19200

5.554

3.3266661.9383

1.93834.270ˆˆ

1



Ó, escrito en términos de la tasa de probabilidad:

36

iXLn 3478.0116.14)~(

iXe 3478.0116.14~̂



Ó, escrito en términos de la tasa de probabilidad:

37

iXLn 3478.0116.14)~(

iXe 3478.0116.14~̂


La matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores es:

38

00982.03408.0

3408.0829.11

00891.03091.0

3091.073.1010245.1

'2

ˆ11

2

ˆˆ

XXn

un

ii

Var



H0: = 0 vs. HA: 0


39

*95.0ˆ 1604.2104.4

829.11

116.14ˆ

)ˆ(tt

Var


H0: = 0 vs. HA: 0


Los dos coeficientes son estadísticamente significativos. Pero en este caso es más difícil responder a la pregunta de la empresa. Por qué?

40

*95.0ˆ 1604.25097.5

00982.0

3478.0ˆ

)ˆ(

tt

Var


Una posible respuesta es calcular el impacto de una disminución en el precio para el “individuo promedio”. Esto es:

Reemplazando obtenemos que

41

)3478.0(1

1

1

)ˆˆ(3478.0116.143478.0116.14

3478.0116.14

XX

X

i

i

ee

e

X

XF

613.34X

03440.0)ˆˆ(

613.34

Xi

i

X

XF


Esto quiere decir que ante una disminución del 10% la probabilidad de comprar el nuevo vino aumenta 0.344% medida en el individuo promedio.

42

Datos Agrupados: Probit

El modelo Probit para datos agrupados puede escribirse a partir de la siguiente expresión , donde (•) representa la función de distribución acumulada de la Normal.A partir de esta probabilidad y aplicando la función inversa obtenemos:

43

)( ii Xp

ii Xp )(1


Como antes, podemos re escribir la ecuación anterior como:

Donde .Para el modelo Probit puede demostrarse que:

44

iii uXp )~(1

)()~( 11iii ppu

2)(

)1(,0)(

ii

iiii

Xn

ppuVaryuE


Donde (•) es la función de densidad de la distribución Normal.Note que, a diferencia de lo que ocurría con los casos anteriores, no podemos estimar la varianza de los errores simplemente reemplazando la probabilidad ex ante por su estimación ex post. Además, necesitamos la estimación de los parámetros del modelo.

45


Por lo tanto, en el caso de la estimación del modelo Probit con datos agrupados se procede de la siguiente manera:

1. Estime el modelo por mínimos cuadrados y obtenga estimadores de y .2. Calcule el ponderador3. Estime por mínimos cuadrados generalizados:

46

iii uXp )~(1

)~1(~)ˆˆ( 2

ii

iii pp

Xnw

iiiiiii uwXwwpw )()~(1


Los estimadores de los parámetros de la ecuación anterior son insesgados, consistentes y eficientes.Como se puede observar, siempre que se tengan datos agrupados los modelos (MPL, Logit y Probit) se estiman por el método de mínimos cuadrados generalizados estimados, mientras que cuando tenemos micro datos el método utilizado es el de máxima verosimilitud.

47

Datos Agrupados: ProbitEjemplo (continuación): Resolvamos el problema de la probabilidad de comprar el vino blanco usando un modelo Probit:

En este caso nuestra primera tarea es construir la variable dependiente, es decir la inversa de la función de probabilidad acumulada de la normal estandarizada. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

48

iii uXp )~(1

49

BARRIO Constante Precio Promedio1 1.290 1 34.1632 1.270 1 34.7743 1.107 1 35.2054 0.980 1 35.4945 1.245 1 34.0636 0.925 1 34.9447 1.409 1 33.4638 1.296 1 34.2609 1.688 1 33.575

10 1.265 1 34.56711 1.313 1 34.24112 1.241 1 35.93513 1.181 1 34.83314 1.293 1 34.16815 1.109 1 35.510

)~(1 ip

109.1

270.1

290.1

Y

510.351

774.341

163.341

X

YXXX ''ˆˆ 1


Entonces, la estimación de los parámetros es:

50

1785.0

4058.7

9.2668

156.77

0353.0222.1

222.1369.42

9.2668

156.77

1.759188.2189

8.2189187.63ˆˆ

1

Datos Agrupados: ProbitComo este modelo tiene heterocedasticidad debemos calcular una estimación de la varianza de los errores a partir de:

Y los valores del ponderador como:

Estos resultados se muestran en la siguiente tabla:

51

2)ˆˆ(

)~1(~

ii

iii

Xn

ppuVar

)~1(~)ˆˆ( 2

ii

iii pp

Xnw

52

BARRIO ni mi Precio Promedio1 203 183 34.163 0.901 1.290 8.1102 196 176 34.774 0.898 1.270 8.9953 164 142 35.205 0.866 1.107 7.9914 159 133 35.494 0.836 0.980 7.6725 169 151 34.063 0.893 1.245 6.9846 214 176 34.944 0.822 0.925 7.7177 189 174 33.463 0.921 1.409 7.2718 195 176 34.260 0.903 1.296 8.1709 219 209 33.575 0.954 1.688 10.428

10 204 183 34.567 0.897 1.265 8.74011 169 153 34.241 0.905 1.313 7.67012 149 133 35.935 0.893 1.241 9.62213 202 178 34.833 0.881 1.181 8.65214 194 175 34.168 0.902 1.293 7.96015 172 149 35.510 0.866 1.109 8.697

ip~ )~(1 ip

iw


Ahora estamos en condiciones de crear la variable dependiente y las independientes.La variable dependiente es la multiplicación de la inversa de la función de distribución de la normal estandar por el ponderador wi.

Las variables independientes son, el ponderador wi que multiplica a y el precio promedio multiplicado por wi.

Estos datos se presentan en la siguiente tabla.

53

54

BARRIO1 10.46 8.110 277.0632 11.42 8.995 312.8053 8.85 7.991 281.3414 7.52 7.672 272.2915 8.70 6.984 237.8836 7.14 7.717 269.6677 10.25 7.271 243.2918 10.59 8.170 279.9139 17.61 10.428 350.121

10 11.06 8.740 302.11111 10.07 7.670 262.64112 11.94 9.622 345.78213 10.22 8.652 301.38514 10.30 7.960 271.98515 9.64 8.697 308.833

)~(1 ii pw iw iiXw

64.9

42.11

46.10

Y

833.308697.8

805.312995.8

063.277110.8

X

YXXX ''ˆˆ 1


Entonces la estimación de los parámetros es:

55

1857.0

6924.7

45594

4.1319

001828.006334.0

06334.01948.2

45594

4.1319

12573451.36288

1.3628877.1047ˆˆ

1



Ó, escrito en términos de la probabilidad:

56

ii Xp 1857.06924.7)~(1

)1857.06924.7( ii Xp


Para calcular las varianzas estimadas de los coeficientes del modelo primero debemos estimar la varianza de los residuos a partir de:

Entonces, la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores es:

57

)(1857.06924.7)~(ˆ 1iiiiii Xwwpwu


58

00249.00863.0

0863.09896.2

001829.006334.0

06334.01947.236214.1

'2

ˆ11

2

ˆˆ

XXn

un

ii

Var



H0: = 0 vs. HA: 0


59

*95.0ˆ 1604.2449.4

9896.2

6924.7ˆ

)ˆ(tt

Var


H0: = 0 vs. HA: 0


Los dos coeficientes son estadísticamente significativos. Nuevamente en este caso la probabilidad de compra depende del precio.

60

*95.0ˆ 1604.27207.3

002491.0

1857.0ˆ

)ˆ(

tt

Var


Calculando el efecto de un cambio en el precio sobre la probabilidad de

compra obtenemos:

Reemplazando obtenemos que

61

)1857.0())1857.06924.7(1()1857.06924.7()ˆˆ(

XXX

X

i

i

613.34X

01716.0)ˆˆ(

613.34

Xi

i

X

XF


Esto quiere decir que ante una disminución del 10% la probabilidad de comprar el nuevo vino aumenta 0.172% medida en el individuo promedio.

62

MANUAL DE LABORATORIO DE CÓMPUTO ECONOMETRÍA II MODELOS DE ELECCIÓN DISCRETA PARA DATOS AGRUPADOS...

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