manual de iniciacion a octave.pdf

ManualdeiniciacinaGNUOctave

Autor:JosMaraValienteCifuentes

TrabajorealizadodentrodeunProyectoFindeCarreradirigidoporCarlosMedranoSnchez

enlaE.U.PolitcnicadeTeruel

Ao2006

LicenciaCopyright(c)2006JosMaraValienteCifuentes

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Manual de Iniciacin a GNU Octave

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Manual

De

GNU Octave


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1. Operaciones Bsicas

1.1. Operaciones con matrices y vectores

1.1.1. Introduccin de matrices desde el teclado

1.1.2. Operaciones con matrices

1.1.3. Tipos de datos

1.1.3.1. Nmeros reales de doble precisin

1.1.3.2. Nmeros Complejos

1.1.3.3. Cadenas de caracteres

1.1.3.4. Otras formas de definir matrices

1.1.3.4.1 Tipos de matrices predefinidos

1.1.3.4.2 Formacin de una matriz a partir de otras

1.1.3.4.3 Direccionamiento de vectores y matrices a partir de

vectores

1.1.3.4.4 Operador (:)

1.1.3.4.5 Definicin de matrices y vectores desde fichero

1.1.3.5. Operadores Relacionales

1.1.3.6. Operadores Lgicos

1.2. Funciones de Librera

1.2.1 Caractersticas Generales de las funciones de librera

1.2.2. Funciones matemticas elementales que operan de modo escalar

1.2.3. Funciones que actan sobre matrices

1.2.3.1 Funciones elementales

1.2.3.2 Funciones Especiales

1.2.3.3 Funciones de Factorizacin y/o Descomposicin Matricial

1.3. Ms sobre operadores relacionales con vectores y matrices

1.4. Otras funciones que actan sobre vectores y matrices

2. Otros tipos de datos de GNU Octave

2.1. Cadenas de caracteres

2.2 Hipermatrices (arrays de ms de dos dimensiones)

2.2.1 Definicin de Hipermatrices


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2.3 Estructuras

2.3.1 Creacin de Estructuras

2.3.2 Funciones para operar con Estructuras

2.4 Vectores o matrices de celdas (Cell Array)

2.4.1 Creacin de vectores y matrices de Celdas

2.4.2 Funciones para trabajar con vectores y matrices de celda

3. Programacin en GNU Octave

3.1. Bifurcaciones y bucles

3.1.1. Sentencia IF

3.1.2. Sentencia SWITCH

3.1.3. Sentencia FOR

3.1.4. Sentencia DO-UNTIL

3.1.5. Sentencia WHILE

3.1.6. Sentencia BREAK y CONTINUE

3.2 Ficheros *.m

3.2.1 Ficheros de Comandos (SCRIPTS)

3.2.2 Definicin de Funciones

3.2.3. HELP para las funciones de usuario

4. Grficos bidimensionales

4.1 Funciones grficas 2D elementales

4.1.1 Funcin PLOT

4.1.2 Estilos de Lnea y Marcadores para PLOT

4.1.3 Aadir Lneas a un grfico ya existente

4.1.4 Comando SUBPLOT

4.1.5 Control de los Ejes

4.2 Control de ventanas grficas: Funcin Figure

4.3 Otras funciones grficas 2-D

5. Grficos tridimensionales

5.1 Tipos de funciones grficas tridimensionales

5.1.1 Dibujo de lneas: Funcin PLOT3

5.1.2 Dibujo de mallados: Funciones MESHGRID, MESH Y SURF 5.1.3 Dibujo de lneas de contorno: Funcin CONTOUR

5.2. Elementos Generales: Ejes, Puntos de vista, lneas ocultas,


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6. Otros aspectos de GNU Octave

6.1 Guardar variables y estados de una sesin: Comandos save y load

6.2 Guardar sesin: Comando diary

6.3 Medida de tiempos y de esfuerzo de clculo

6.4. Funciones de funcin

6.4.1 Integracin numrica de funciones

6.4.2 Integracin Numrica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias


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1. Operaciones Bsicas

1.1. Operaciones con matrices y vectores

Como se coment en la introduccin que hemos visto en el punto anterior, GNU

Octave es un programa creado para trabajar con matrices, por lo tanto, este punto es

probablemente el ms importante y en el que mejor tenemos que aclararnos para

empezar a trabajar. Tenemos muchas opciones para trabajar con ellas, podemos

intercambiar matrices, permutarlas, invertirlas; GNU Octave es una herramienta de

clculo muy potente en lo que a matrices se refiere.

1.1.1. Introduccin de matrices desde el teclado

Las matrices y vectores son variables del programa cuyos nombres podemos

definir, siempre y cuando no utilicemos los caracteres que el programa tiene como

caracteres prohibidos.

Para definir una matriz en GNU Octave se determina el nmero de filas y de

columnas en funcin del nmero de elementos que se proporcionan (o se utilizan). Las

matrices se definen por filas; los elementos de una misma fila estn separados por

blancos o comas, mientras que las filas estn separadas por pulsaciones intro o por

caracteres punto y coma (;). Tomemos como ejemplo:

octave:31> a=[1 1; 2 5] Cuya salida ser: a = 1 1 2 5

A partir de este momento la matriz a est disponible para hacer cualquier tipo de

operacin con ella (adems de valores numricos, en la definicin de una matriz o

vector se pueden utilizar expresiones y funciones matemticas). Por ejemplo, una


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sencilla operacin con a es hallar su matriz traspuesta. En GNU Octave, el apstrofo

(') es el smbolo de trasposicin matricial. Para calcular a (traspuesta de a) basta

teclear lo siguiente (se aade a continuacin la respuesta del programa): octave:32> a ans = 1 2 1 5

Como el resultado de la operacin no ha sido asignado a ninguna otra matriz,

GNU Octave utiliza un nombre de variable por defecto (ans, de answer), que contiene

el resultado de la ltima operacin. La variable ans puede ser utilizada como operando

en la siguiente expresin que se introduzca. Tambin podra haberse asignado el

resultado a otra matriz llamada b.

Ahora vamos a definir una matriz b diferente para hacer operaciones bsicas

con estas 2 matrices: octave:32> b=[7 6; 8 3] b = 7 6 8 3

Comenzamos con las operaciones ms bsicas que podemos encontrar, la suma

y la resta de matrices: octave:33> a + b ans = 8 7 10 8 octave:34> a -b ans = -6 -5 -6 2

Si realizamos la multiplicacin de matrices con el operando * tendremos que

tener cuidado con que el nmero de columnas de la primera matriz debe coincidir con el

nmero de filas de la segunda:


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octave:35> a * b ans = 15 9 54 27

Tambin podemos utilizar una multiplicacin elemento a elemento, que aunque

no tiene demasiado sentido como multiplicacin de matrices, si que es muy utilizable en

el caso de que la matriz no sea ms que un conjunto ordenado de valores. octave:36> a .* b ans = 7 6 16 15

A continuacin vamos a definir una nueva matriz a a partir de una funcin que

genera valores aleatorios entre 0 y 1. octave:4> a=rand(3); #generar una matriz aleatoria de 3x3 octave:5> a a = 0.6086115 0.0010003 0.3250563 0.4910289 0.2250230 0.4538064 0.6238124 0.5558372 0.9002053

Vamos ahora a crear una matriz 3x3 para realizar nuevos clculos a partir de una

matriz ms manejable si queremos comprobar a mano los datos que creamos. octave:6> a=[1 2 1;1 2 3;4 3.4 4.5] a = 1.0000 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 3.4000 4.5000

A partir de esta matriz a calculamos su inversa con el comando inv(a): octave:7> b=inv(a) b =


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-0.13043 -0.60870 0.43478 0.81522 0.05435 -0.21739 -0.50000 0.50000 0.00000

Podemos comprobar multiplicando una por la otra que el clculo es correcto: octave:9> c=a*b c = 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 1.00000

Si los valores no son exactos podemos utilizar el comando round() ya que

debido a los errores de aproximacin en los clculos podemos encontrar valores como

2.3e-109 que representa un valor extremadamente pequeo. Si queremos comentar las lneas de cdigo que ejecutamos, a continuacin de la

operacin podemos poner un comentario anteponiendo el carcter # o % octave:10> c=a*b #podemos ver que la matriz c es la matriz identidad

De igual manera que se define una matriz podemos definir un vector: octave:49> b=[2 0 0] b = 2 0 0 octave:50> b=[2 0 0] b = 2 0 0

Como podemos observar, podemos definir vectores fila y vectores columna, con

slo hacer la traspuesta del vector en la definicin. Tambin podemos definir un vector

columna como si hicieramos una matriz de 1xn octave:46> b=[1;0];

Como podemos ver, no hemos obtenido resultado tras realizar la operacin; esto

es debido a que hemos puesto un ; al final de la lnea de comando, esto hace que no

salga por pantalla lo que hemos ejecutado, cosa que resulta muy til cuando las


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matrices/vectores son de un nmero muy grande (100, 1000, ) y por lo tanto, difciles

de manejar visualmente.

En GNU Octave se accede a los elementos de un vector poniendo el ndice entre

parntesis (por ejemplo x(3) x(i)). Los elementos de las matrices se acceden poniendo

los dos ndices entre parntesis, separados por una coma (por ejemplo A(1,2) A(i,j)).

Las matrices se almacenan por columnas (aunque se introduzcan por filas, como se ha

dicho antes), y teniendo en cuenta esto puede accederse a cualquier elemento de una

matriz con un slo subndice. Por ejemplo, si A es una matriz (3x3) se obtiene el mismo

valor escribiendo A(1,2) que escribiendo A(4).


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1.1.2. Operaciones con matrices

GNU Octave puede operar con matrices por medio de operadores y por medio

de funciones. Se han visto ya los operadores suma (+), producto (*) y traspuesta ('), as

como la funcin invertir inv( ). Los operadores matriciales de GNU OCTAVE son los

siguientes:

+ adicin o suma

sustraccin o resta

* multiplicacin

' traspuesta

^ potenciacin

\ divisin-izquierda

/ divisin-derecha

.* producto elemento a elemento

./ y .\ divisin elemento a elemento

.^ elevar a una potencia elemento a elemento

Estos operadores se aplican tambin a las variables o valores escalares, aunque

con algunas diferencias. Todos estos operadores son coherentes con las

correspondientes operaciones matriciales: no se puede por ejemplo sumar matrices que

no sean del mismo tamao. Si los operadores no se usan de modo correcto se obtiene un

mensaje de error.

Veamos un ejemplo del uso del divisor: octave:45> #vamos a resolver un sistema de ecuaciones octave:45> #x+y=1 octave:45> #2x+5y=0 octave:45> a=[1 1;2 5]; octave:46> b=[1;0]; octave:47> x=inv(a)*b x = 1.66667 -0.66667


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octave:48> #por tanto x=1.6667 e y=-0.66667 octave:48> a\b ans = 1.66667 -0.66667

Vase el siguiente ejemplo de tres ecuaciones formadas por una recta que no

pasa por el origen y los dos ejes de coordenadas:

octave:49> A=[1 2; 1 0; 0 1], b=[2 0 0]' A = 1 2 1 0 0 1 b = 2 0 0 octave:50> x=A\b, resto=A*x-b x = 0.33333 0.66667 resto = -0.33333 0.33333 0.66667


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Vamos a ver como funcionan una serie de operadores: octave:37> a/b 0.185185 -0.037037 1.259259 -0.851852 octave:38> a\b ans = 9.0000 9.0000 -2.0000 -3.0000 Si los operadores / y \ van precedidos de un . La operacin se realiza elemento

a elemento: octave:39> a./b ans = 0.14286 0.16667 0.25000 1.66667 octave:40> a.\b ans = 7.00000 6.00000 4.00000 0.60000 Podemos comprobar que premultiplicar con / es lo mismo que postmultiplicar con

\ . octave:41> b./a ans = 7.00000 6.00000 4.00000 0.60000


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1.1.3. Tipos de datos

GNU Octave trabaja siempre con el tipo Real de doble precisin, sobre el que se

implementan el resto de tipos, avanzados o no. Este tipo de dato se guarda con un

tamao de 8 bytes, que tiene un tamao de 15 cifras exactas. Adems del tipo Real,

podremos trabajar con strings, matrices, hipermatrices y estructuras ms avanzadas.

1.1.3.1. Nmeros reales de doble precisin

Los elementos constitutivos de vectores y matrices son nmeros reales

almacenados en 8 bytes (53 bits para la mantisa y 11 para el exponente de 2; entre 15 y

16 cifras decimales equivalentes). Es importante saber cmo trabaja GNU Octave con

estos nmeros y los casos especiales que presentan. GNU Octave mantiene una forma

especial para los nmeros muy grandes (ms grandes que los que es capaz de

representar), que son considerados como infinito. Por ejemplo, obsrvese cmo

responde el programa al ejecutar el siguiente comando: octave:52> 1/0 warning: division by zero ans = Inf

As pues, para GNU Octave el infinito se representa como inf Inf. GNU

Octave tiene tambin una representacin especial para los resultados que no estn

definidos como nmeros. Por ejemplo, ejectense los siguientes comandos y obsrvense

las respuestas obtenidas: octave:51> 0/0 warning: division by zero ans = NaN

La respuesta es NaN, que es la abreviatura de Not a Number. Este tipo de

respuesta, as como la de Inf, son enormemente importantes en GNU Octave, pues

permiten controlar la fiabilidad de los resultados de los clculos matriciales. Los NaN

se propagan al realizar con ellos cualquier operacin aritmtica, por ejemplo, cualquier


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nmero sumado a un NaN da otro NaN. GNU Octave tiene esto en cuenta. Algo

parecido sucede con los Inf.

Podemos encontrar 3 variables predefinidas por GNU Octave que nos dan los

valores mximos y mnimos de este tipo de datos:

eps devuelve la diferencia entre 1.0 y el nmero de coma flotante inmediatamente superior. Da una idea de la precisin o nmero de cifras

almacenadas. En un computador, eps vale 2.2204e-016.

realmin devuelve el nmero ms pequeo con que se puede trabajar (2.2251e-308)

realmax devuelve el nmero ms grande con que se puede trabajar (1.7977e+308)

1.1.3.2. Nmeros complejos (complex) Muchas veces nos vamos a encontrar que el clculo que necesitamos ejecutar

nos lleva a tener que definir el cuerpo de los nmeros complejos, dado que el cuerpo de

los nmeros reales no es suficiente, por ejemplo, para realizar transformadas de Fourier

o Laplace. Para ello se define la variable compleja i o j: octave:61> i i = 0 + 1i octave:62> j j = 0 + 1i octave:63> I I = 0 + 1i octave:64> 2J J = 0 + 2i

Como podemos ver, se pueden definir tanto en mayscula como en minscula, y

que no es necesario el uso del operador * para multiplicarlo por un escalar. Debemos

tener la precaucin de no redefinir la variable i o j, ya que nos podra llevar a equvocos. octave:63> i=2 i = 2

Podemos definir a su vez un nmero complejo con la funcin complex: octave:77> complex(7,6) ans = 7 + 6i

Es importante advertir que el operador de matriz transpuesta (), aplicado a

matrices complejas, produce la matriz transpuesta conjugada. Existe una funcin que


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permite hallar simplemente la matriz conjugada (conj()) y el operador punto y apstrofo

(.) que calcula simplemente la matriz transpuesta. octave:78> conj(a) ans = 1 - 1i

Esta funcin conj() puede ser empleada con escalares debido a que podemos

entender dicho escalar como una matriz de 1x1.

1.1.3.3. Cadenas de caracteres Para crear una cadena de caracteres (string) en GNU Octave podemos hacerlo de

estos dos modos: octave:79> s='cadena de caracteres' s = cadena de caracteres octave:80> s="cadena de caracteres" s = cadena de caracteres

Debido a que para su uso es necesario un conocimiento previo de las funciones

orientadas a matrices, postpondr otras explicaciones hasta que se hayan explicado

stas, al igual que con los strings, se postpone la explicacin de hipermatrices, structs

y cell arrays.

Ya han aparecido algunos ejemplos de variables y expresiones matriciales.

Ahora se va a tratar de generalizar un poco lo visto hasta ahora. Una variable es un

nombre que se da a una entidad numrica, que puede ser una matriz, un vector o un

escalar. El valor de esa variable, e incluso el tipo de entidad numrica que representa,

puede cambiar a lo largo de una sesin de GNU OCTAVE o a lo largo de la ejecucin

de un programa. La forma ms normal de cambiar el valor de una variable es

colocndola a la izquierda del operador de asignacin (=).

Una expresin de GNU OCTAVE puede tener las dos formas siguientes:

primero, asignando su resultado a una variable, variable = expresin

y segundo evaluando simplemente el resultado del siguiente modo, expresin

en cuyo caso el resultado se asigna automticamente a una variable interna de GNU

OCTAVE llamada ans (de answer) que almacena el ltimo resultado obtenido. Se

considera por defecto que una expresin termina cuando se pulsa intro. Si se desea que

una expresin contine en la lnea siguiente, hay que introducir tres puntos (...) antes de


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pulsar intro. Tambin se pueden incluir varias expresiones en una misma lnea

separndolas por comas (,) o puntos y comas (;). Si una expresin termina en punto y

coma (;) su resultado se calcula, pero no se escribe en pantalla. Esta posibilidad es muy

interesante, tanto para evitar la escritura de resultados intermedios, como para evitar la

impresin de grandes cantidades de nmeros cuando se trabaja con matrices de gran

tamao.

A semejanza de C, GNU OCTAVE distingue entre maysculas y minsculas

en los nombres de variables. A diferencia del lenguaje C, no hace falta declarar las

variables que se vayan a utilizar. Esto hace que se deba tener especial cuidado con no

utilizar nombres errneos en las variables, porque no se recibir ningn aviso del

ordenador. Cuando se quiere tener una relacin de las variables que se han utilizado en

una sesin de trabajo se puede utilizar el comando who. Existe otro comando llamado

whos que proporciona adems informacin sobre el tamao, la cantidad de memoria

ocupada y el carcter real o complejo de cada variable.

El comando clear tiene varias formas posibles:

clear sin argumentos, clear elimina todas las variables creadas previamente (excepto las variables globales).

clear A, b borra las variables indicadas. clear global borra las variables globales.

1.1.3.4. Otras formas de definir matrices GNU OCTAVE dispone de varias formas de definir matrices. El introducirlas

por teclado slo es prctico en casos de pequeo tamao y cuando no hay que repetir

esa operacin muchas veces. Recurdese que en GNU OCTAVE no hace falta definir el

tamao de una matriz. Las matrices toman tamao al ser definidas y este tamao puede

ser modificado por el usuario mediante adicin y/o borrado de filas y columnas. A

continuacin se van a ver otras formas ms potentes y generales de definir y/o modificar

matrices.


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1.1.3.4.1 Tipos de matrices predefinidos Existen en GNU OCTAVE varias funciones orientadas a definir con gran

facilidad matrices de tipos particulares. Algunas de estas funciones son las siguientes:

eye(2) forma la matriz unidad de tamao (2x2) octave:84> eye(2) ans = 1 0 0 1

zeros(3,5) forma una matriz de ceros de tamao (3x5) octave:83> zeros(3,5) ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

zeros(2) dem de tamao (2x2) octave:85> zeros(2) ans = 0 0 0 0

ones(3) forma una matriz de unos de tamao (3x3) ones(3,4) idem de tamao (3x4)

octave:87> ones(3,4) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

linspace(x1,x2,n) genera un vector con n valores igualmente espaciados entre x1 y x2

octave:88> linspace(1,10,9) ans =


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Columns 1 through 8: 1.0000 2.1250 3.2500 4.3750 5.5000 6.6250 7.7500 8.8750 Column 9: 10.0000 octave:89> #semejante a la definicion 1:1.125:10

logspace(d1,d2,n) genera un vector con n valores espaciados logartmicamente entre 10^d1 y 10^d2.

rand(3) forma una matriz de nmeros aleatorios entre 0 y 1, con distribucin uniforme, de tamao (3x3)

rand(2,5) idem de tamao (2x5) randn(4) forma una matriz de nmeros aleatorios de tamao (4x4), con

distribucin normal, de valor medio 0 y varianza 1.

magic(3) crea una matriz (3x3) con los nmeros 1, 2, ... 3*3, con la propiedad de que todas las filas y columnas suman lo mismo.

octave:92> magic(3) ans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

compan(pol) construye una matriz cuyo polinomio caracterstico tiene como coeficientes los elementos del vector pol (ordenados de mayor

grado a menor). octave:100> compan([1 2 1]) ans = -2 -1 1 0

Hay ms tipos predefinidos de matrices, podemos encontrar en la ayuda todos

estos tipos y otros muchos ms con solo hacer help i matrix.


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1.1.3.4.2 Formacin de una matriz a partir de otras

GNU Octave ofrece tambin la posibilidad de crear una matriz a partir de

matrices previas ya definidas, por varios posibles caminos:

recibiendo alguna de sus propiedades (como por ejemplo el tamao),

por composicin de varias submatrices ms pequeas,

modificndola de alguna forma.

A continuacin se describen algunas de las funciones que crean una nueva

matriz a partir de otra o de otras, comenzando por dos funciones auxiliares:

[m,n]=size(A) devuelve el nmero de filas y de columnas de la matriz A. Si la matriz es cuadrada basta recoger el primer valor de retorno

octave:103> a=[1 2 1;3 2 5;6 7 5]; octave:104> [m,n]=size(a) m = 3 n = 3

n=length(x) calcula el nmero de elementos de un vector x octave:105> x=1:0.00001:2; octave:106> longitud_vector=length(x) longitud_vector = 100001

zeros(size(A)) forma una matriz de ceros del mismo tamao que una matriz A previamente creada.

octave:107> zeros(size(a)) ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ones(size(A)) dem con unos A=diag(x) forma una matriz diagonal A cuyos elementos diagonales son

los elementos de un vector ya existente x.

x=diag(A) forma un vector x a partir de los elementos de la diagonal de una matriz ya existente A.


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octave:111> diag(a) ans = 1 2 5

diag(diag(A)) crea una matriz diagonal a partir de la diagonal de la matriz A.

octave:112> diag(diag(a)) ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 5

triu(A) forma una matriz triangular superior a partir de una matriz A (no tiene por qu ser cuadrada).

octave:110> triu(a) ans = 1 2 1 0 2 5 0 0 5

tril(A) dem con una matriz triangular inferior. octave:109> tril(a) ans = 1 0 0 3 2 0 6 7 5


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rot90(A,k) Gira k*90 grados la matriz rectangular A en sentido

antihorario. k es un entero que puede ser negativo. Si se omite, se supone

k=1 octave:113> rot90(a,1) ans = 1 5 5 2 2 7 1 3 6

flipud(A) halla la matriz simtrica de A respecto de un eje horizontal octave:114> flipud(a) ans = 6 7 5 3 2 5 1 2 1

Un caso especialmente interesante es el de crear una nueva matriz componiendo

como submatrices otras matrices definidas previamente. A modo de ejemplo, vamos a

realizar la matriz generadora de un cdigo ortogonal con M=2: octave:124> a=[0 0;0 1]; octave:125> h2=[a a;a not(a)] h2 = 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0


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1.1.3.4.3 Direccionamiento de vectores y matrices a partir de

vectores Los elementos de una matriz a pueden direccionarse a partir de los elementos de

vectores:

octave:127> a=rand(2,5) a = 0.253124 0.517686 0.089229 0.382511 0.177737 0.081242 0.079172 0.841718 0.649800 0.634496 octave:128> b=[1 2 5]; octave:129> a(b) ans = 0.253124 0.081242 0.089229

Podemos ver que hemos obtenido las posiciones 1, 2 y 5 de la matriz a, que

debemos contar teniendo en cuenta que la matriz se recorre por columnas y no por filas.

Si queremos ver un elemento concreto de la matriz, podemos ejecutar lo

siguiente: octave:132> a(2,1) ans = 0.081242

Creamos esta nueva matriz a para que sea ms fcil seguir los valores: octave:133> a=randn(4)*10 a = -22.94025 6.55306 -2.80857 -1.33060 5.12081 8.98726 1.81236 3.29938 -0.69713 1.40557 25.56103 5.62650 -17.50361 -0.63861 4.61985 1.21845 octave:134> a(2,3) ans = 1.8124


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Ahora podemos ver las columnas 1, 2 y 3 de la 4 fila octave:135> a(4,1:3) ans = -17.50361 -0.63861 4.61985 octave:136> #tercera fila octave:136> a(3,:) ans = -0.69713 1.40557 25.56103 5.62650 octave:137> #tercera columna octave:137> a(:,3) ans = -2.8086 1.8124 25.5610 4.6199

Para ver el ltimo elemento de una matriz podemos usar el direccionamiento

end: octave:139> a(end,end) ans = 1.2185

1.1.3.4.4 Operador (:) Se trata de una de las formas de definir vectores y matrices ms usada y ms

fcil de utilizar, dada la rpida visualizacin de la salida sin necesidad de ver el

resultado: octave:140> x=1:1:10; octave:141> x x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


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En cierta forma se podra decir que el operador (:) representa un rango: en este

caso, los nmeros enteros entre el 1 y el 10. Por defecto el incremento es 1, pero este

operador puede tambin utilizarse con otros valores enteros y reales, positivos o

negativos. En este caso el incremento va entre el valor inferior y el superior, pero

podemos hacer que el incremento sea negativo, o que se haga con un incremento mayor

o menor: octave:142> x=10:-1:1 x = 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1.1.3.4.5 Definicin de matrices y vectores desde fichero GNU Octave acepta el uso de scripts desde los que crear matrices, vectores,

variables, etc; como si estuviramos ejecutndolo desde la propia lnea de comandos.

Por ejemplo, si creamos el fichero matriz_a.m donde creamos una matriz a cualquiera,

al ejecutarla en GNU Octave podremos ver que se crea como si estuvieramos

generndola en el propio programa:

#primer script a=randn(4)*10 #fin del script

octave:133> matriz_a a = -22.94025 6.55306 -2.80857 -1.33060 5.12081 8.98726 1.81236 3.29938 -0.69713 1.40557 25.56103 5.62650 -17.50361 -0.63861 4.61985 1.21845

Nota: Tenemos que estar dentro del directorio de trabajo o

incluir el directorio donde encontrar la funcin dentro del path


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1.1.3.5. Operadores Relacionales El lenguaje de programacin de GNU Octave dispone de los siguientes

operadores relacionales:

< menor que > mayor que = mayor o igual que == igual que ~= distinto que

Obsrvese que, salvo el ltimo de ellos, coinciden con los correspondientes

operadores relacionales de C. Sin embargo, sta es una coincidencia ms bien formal.

En GNU Octave los operadores relacionales pueden aplicarse a vectores y matrices, y

eso hace que tengan un significado especial. Al igual que en C, si una comparacin se

cumple el resultado es 1 (true), mientras que si no se cumple es 0 (false).

Recprocamente, cualquier valor distinto de cero es considerado como true y el cero

equivale a false. La diferencia con C est en que cuando los operadores relacionales de

GNU Octave se aplican a dos matrices o vectores del mismo tamao, la comparacin se

realiza elemento a elemento, y el resultado es otra matriz de unos y ceros del mismo

tamao, que recoge el resultado de cada comparacin entre elementos. octave:147> a=7; octave:148> b=8; octave:149> a a==b ans = 0


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1.1.3.6. Operadores Lgicos Los operadores lgicos de GNU Octave son los siguientes:

& and | or ~ negacin lgica Obsrvese que estos operadores lgicos tienen distinta notacin que los

correspondientes operadores de C (&&, || y !). Los operadores lgicos se combinan con

los relacionales para poder comprobar el cumplimiento de condiciones mltiples. octave:165> a=true a = 1 octave:166> b=not(a) b = 0 octave:167> c=a&b c = 0 octave:168> c=a|b c = 1


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1.2. Funciones de Librera

GNU Octave posee un gran nmero de funciones integradas y de funciones

definidas por el usuario, las primeras son funciones optimizadas para Octave, las

segundas, con extensin *.m son funciones definidas en ficheros, que pueden ser:

o Definidas por GNU Octave o Definidas por grupos/usuarios desinteresados que ofrecen su cdigo a los

dems usuarios de GNU Octave

o Definidas por el propio usuario, para su uso y/o comparticin con otros usuarios.

1.2.1 Caractersticas Generales de las funciones de librera El concepto de funcin en GNU OCTAVE es semejante al de C y al de otros

lenguajes de programacin, aunque con algunas diferencias importantes. Al igual que en

C, una funcin tiene nombre, valor de retorno y argumentos. Una funcin se llama

utilizando su nombre en una expresin o utilizndolo como un comando ms. #funcion de prueba para evaluar function y=prueba(x) y=x+3; endfunction

Podemos ver que esta funcin es solamente la funcin de una recta, cuya

pendiente es de y desplazada 3 unidades. 45

y : es el valor de retorno.

prueba : es el nombre de la funcin.

x : es el argumento de entrada.

Una caracterstica de GNU OCTAVE es que las funciones que no tienen

argumentos no llevan parntesis, por lo que a simple vista no siempre son fciles de

distinguir de las simples variables. Ejemplo: #! hello -qf printf("hello, world \n")


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octave:1> hello hello, word

Los nombres de las funciones de GNU Octave no son palabras reservadas del

lenguaje. Es posible crear una variable llamada sin o cos, que ocultan las funciones

correspondientes. Para poder acceder a las funciones hay que eliminar (clear) las

variables del mismo nombre que las ocultan.

Podemos encontrar gran variedad de tipos de funcin segn lo que resuelvan:

1.- Funciones matemticas elementales.

2.- Funciones especiales.

3.- Funciones matriciales elementales.

4.- Funciones matriciales especficas.

5.- Funciones para la descomposicin y/o factorizacin de matrices.

6.- Funciones para anlisis estadstico de datos.

7.- Funciones para anlisis de polinomios.

8.- Funciones para integracin de ecuaciones diferenciales ordinarias.

9.- Resolucin de ecuaciones no-lineales y optimizacin.

10.- Integracin numrica.

11.- Funciones para procesamiento de seal.

Las caractersticas principales de estas funciones son:

o Los argumentos actuales de estas funciones pueden ser expresiones y tambin llamadas a otra funcin.

o Admite valores de retorno matriciales mltiples. Por ejemplo, en el comando: octave:177> a=[1 2;2 3]; octave:179> [vector_propio, valor_propio]=eig(a) vector_propio = -0.85065 0.52573 0.52573 0.85065


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valor_propio = -0.23607 0.00000 0.00000 4.23607

la funcin eig() calcula los valores y vectores propios de la matriz cuadrada A. Los

vectores propios se devuelven como columnas de la matriz vector_propio, mientras

que los valores propios son los elementos de la matriz diagonal valor_propio.

o Las operaciones de suma y/o resta de una matriz con un escalar consisten en sumar y/o restar el escalar a todos los elementos de la matriz.

o Recurdese que tecleando help nombre_funcion se obtiene de inmediato informacin sobre la funcin de ese nombre.

1.2.2. Funciones matemticas elementales que operan de modo

escalar. Estas funciones, que comprenden las funciones matemticas trascendentales y

otras funciones bsicas, actan sobre cada elemento de la matriz como si se tratase de

un escalar. Se aplican de la misma forma a escalares, vectores y matrices. Algunas de

las funciones de este grupo son las siguientes:

o sin(x) : seno o cos(x) : coseno o tan(x) : tangente o asin(x) : arco seno o acos(x) : arco coseno o atan(x) : arco tangente (devuelve un ngulo entre -90 y 90) o sinh(x) : seno hiperblico o cosh(x) : coseno hiperblico o tanh(x) : tangente hiperblica o asinh(x) : arco seno hiperblico o acosh(x) : arco coseno hiperblico o atanh(x) : arco tangente hiperblica o log(x) : logaritmo natural o log10(x) : logaritmo decimal o exp(x) : funcin exponencial


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o sqrt(x) : raz cuadrada o round(x) : redondeo hacia el entero ms prximo o fix(x) : redondea hacia el entero ms prximo a 0 o floor(x) : valor entero ms prximo hacia - o ceil(x) : valor entero ms prximo hacia + o gcd(x) : mximo comn divisor o lcm(x) : mnimo comn mltiplo o real(x) : partes reales o imag(x) : partes imaginarias o abs(x) : valores absolutos o angle(x) : ngulos de fase

En realidad estas funciones se pueden aplicar tambin a matrices, pero en ese

caso se aplican por separado a cada columna de la matriz, dando como valor de retorno

un vector resultado de aplicar la funcin a cada columna de la matriz considerada como

vector. Si estas funciones se quieren aplicar a las filas de la matriz basta aplicar dichas

funciones a la matriz traspuesta.


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1.2.3. Funciones que actan sobre matrices Las siguientes funciones exigen que el/los argumento/s sean matrices. En este

grupo aparecen algunas de las funciones ms tiles y potentes de GNU OCTAVE. Se

clasificarn en varios subgrupos.

1.2.3.1 Funciones elementales o B = A' calcula la traspuesta (conjugada) de la matriz A

octave:29> a=[1+i,2+3i;1+2i,2+i]; octave:30> b=a' b = 1 - 1i 1 - 2i 2 - 3i 2 - 1i

o B = A.' calcula la traspuesta (sin conjugar) de la matriz A octave:31> b=a.' b = 1 + 1i 1 + 2i 2 + 3i 2 + 1i

o v = poly(A) devuelve un vector v con los coeficientes del polinomio caracterstico de la matriz cuadrada A

octave:35> x=[1 2 1]; octave:36> v=poly(x) v = 1 -4 5 -2

o t = trace(A) devuelve la traza t (suma de los elementos de la diagonal) de una matriz cuadrada A

octave:37> t=trace(c) t = 2


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o [m,n] = size(A) devuelve el nmero de filas m y de columnas n de una matriz rectangular A

octave:38> [m,n]=size(c) m = 2 n = 2

o n = size(A) devuelve el tamao de una matriz cuadrada A octave:39> n=size(c) n = 2

1.2.3.2 Funciones Especiales Las funciones exp(), sqrt() y log() se aplican elemento a elemento a las matrices

y/o vectores que se les pasan como argumentos. Existen otras funciones similares que

tienen tambin sentido cuando se aplican a una matriz como una nica entidad. Estas

funciones son las siguientes (se distinguen porque llevan una "m" adicional en el

nombre):

o expm(A) : si A=XDX, expm(A) = X*diag(exp(diag(D)))*X o sqrtm(A) : devuelve una matriz que multiplicada por s misma da la

matriz A

o logm(A) : es la funcin inversa de expm(A) octave:39> logm(c) ans = 0.8047 + 1.5708i 0.3540 - 1.2825i 0.5309 - 1.9238i 0.8047 + 1.5708i


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1.2.3.3 Funciones de Factorizacin y/o Descomposicin Matricial A su vez este grupo de funciones se puede subdividir en 4 subgrupos:

Funciones basadas en la factorizacin triangular (eliminacin de Gauss):

o [L,U] = lu(A) descomposicin de Crout (A = LU) de una matriz. La matriz L es una permutacin de una matriz triangular inferior (dicha permutacin es

consecuencia del pivotamiento por columnas utilizado en la factorizacin). octave:42> a=rand(3) a = 0.521692 0.247373 0.174305 0.245762 0.047457 0.744174 0.468085 0.375004 0.362295 octave:43> [L,U]=lu(a) L = 1.00000 0.00000 0.00000 0.47109 -0.45134 1.00000 0.89725 1.00000 0.00000 U = 0.52169 0.24737 0.17430 0.00000 0.15305 0.20590 0.00000 0.00000 0.75499


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o B = inv(A) calcula la inversa de A. Equivale a B=inv(U)*inv(L) octave:63> a=[1 1;2 2]; octave:65> inv(a) warning: inverse: matrix singular to machine precision, rcond = 0 ans = 2.00000 2.00000 0.50000 0.00000

o d = det(A) devuelve el determinante d de la matriz cuadrada A. Equivale a d=det(L)*det(U)

o E = rref(A) reduccin a forma de escaln (mediante la eliminacin de Gauss con pivotamiento por columnas) de una matriz rectangular A. Slo se utiliza la

diagonal y la parte triangular superior de A. El resultado es una matriz triangular

superior tal que A = U'*U. octave:46> a=[2 1 3 0;1 2 1 1;1 1 1 3]; octave:47> e=rref(a) e = 1.00000 0.00000 0.00000 13.00000 0.00000 1.00000 0.00000 -2.00000 0.00000 0.00000 1.00000 -8.00000

o c = rcond(A) devuelve una estimacin del recproco de la condicin numrica de la matriz A basada en la norma sub-1. Si el resultado es prximo a 1 la matriz A

est bien condicionada; si es prximo a 0 no lo est.

Funciones basadas en el clculo de valores y vectores propios:

o [X,D] = eig(A) valores propios (diagonal de D) y vectores propios (columnas de X) de una matriz cuadrada A. Con frecuencia el resultado es complejo (si A no

es simtrica).

o [X,D] = eig(A,B) valores propios (diagonal de D) y vectores propios (columnas de X) de dos matrices cuadradas A y B (Ax = Bx).

Funciones basadas en la descomposicin QR:


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o [Q,R] = qr() descomposicin QR de una matriz rectangular. Se utiliza para sistemas con ms ecuaciones que incgnitas.

octave:51> a=[1 1 1 1;1 1 2 4; 1 2 1 2; 1 2 2 3]; octave:52> [q,r]=qr(a); octave:53> q q = -0.50000 -0.50000 0.50000 0.50000 -0.50000 -0.50000 -0.50000 -0.50000 -0.50000 0.50000 0.50000 -0.50000 -0.50000 0.50000 -0.50000 0.50000 octave:54> r r = -2.00000 -3.00000 -3.00000 -5.00000 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -1.00000 -2.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -1.00000

o B = null(A) devuelve una base ortonormal del subespacio nulo (kernel, o conjunto de vectores x tales que Ax = 0) de la matriz rectangular A.

octave:56> a=[1 1; 2 1]; octave:57> null(a) ans = [](2x0)


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o Q = orth(A) las columnas de Q son una base ortonormal del espacio vectorial de las columnas de A, y el nmero de columnas de Q es el rango de A .

octave:62> q=orth(a) q = 0.36060 0.93272 0.93272 -0.36060

Funciones basadas en la descomposicin de valor singular

o B = pinv(A) calcula la pseudo-inversa de una matriz rectangular A octave:63> a=[1 1;2 2]; octave:64> pinv(a) ans = 0.100000 0.200000 0.100000 0.200000

o r = rank(A) calcula el rango r de una matriz rectangular A o nor = norm(A) calcula la norma sub-2 de una matriz (el mayor valor singular) o nor = norm(A,2) lo mismo que la anterior

octave:67> x=rand(1,4) x = 0.84525 0.67284 0.87206 0.57248 octave:68> norm(x,2) ans = 1.5018


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Clculo del rango, normas y condicin numrica:

Existen varias formas de realizar estos clculos, con distintos niveles de esfuerzo

de clculo y de precisin en el resultado. El rango se calcula implcitamente (sin que el

usuario lo pida) al ejecutar las funciones rref(A), orth(A), null(A) y pinv(A).

Normas de vectores:

norm(x,p) norma sub-p, es decir sum(abs(x)^p)^(1/p). norm(x) norma eucldea; equivale al mdulo o norm(x,2). norm(x,inf) norma sub-, es decir max(abs(x)). norm(x,1) norma sub-1, es decir sum(abs(x)).

octave:67> x=rand(1,4) x = 0.84525 0.67284 0.87206 0.57248 octave:68> norm(x,2) ans = 1.5018 octave:69> norm(x,3) ans = 1.2072


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1.3. Ms sobre operadores relacionales con vectores y matrices

Cuando alguno de los operadores relacionales vistos previamente (, =,

== y =) acta entre dos matrices (vectores) del mismo tamao, el resultado es otra matriz (vector) de ese mismo tamao conteniendo unos y ceros, segn los resultados de

cada comparacin entre elementos hayan sido true o false, respectivamente.

De ordinario, las matrices "binarias" que se obtienen de la aplicacin de los

operadores relacionales no se almacenan en memoria ni se asignan a variables, sino que

se procesan sobre la marcha. GNU OCTAVE dispone de varias funciones para ello.

Recurdese que cualquier valor distinto de cero equivale a true, mientras que un valor

cero equivale a false. Algunas de estas funciones son:

any(x) funcin vectorial; chequea si alguno de los elementos del vector x cumple una determinada condicin (en este caso ser distinto de cero). Devuelve

un uno un cero octave:70> any(x) ans = 1

any(A) se aplica por separado a cada columna de la matriz A. El resultado es un vector de unos y ceros all(x) funcin vectorial; chequea si todos los elementos

del vector x cumplen una condicin. Devuelve un uno un cero. octave:71> any(a) ans = 1 1


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all(A) se aplica por separado a cada columna de la matriz A. El resultado es un vector de unos y ceros.

octave:74> all(a) ans = 1 1

find(x) busca ndices correspondientes a elementos de vectores que cumplen una determinada condicin. El resultado es un vector con los ndices de los

elementos que cumplen la condicin. octave:82> x x = 0.84525 0.67284 0.87206 0.57248 octave:83> find(x>0) ans = 1 2 3 4

find(A) cuando esta funcin se aplica a una matriz la considera como un vector con una columna detrs de otra, de la 1 a la ltima.


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1.4. Otras funciones que actan sobre vectores y matrices Las siguientes funciones pueden actuar sobre vectores y matrices, y sirven para

chequear ciertas condiciones:

exist(var) comprueba si la variable var existe isnan() chequea si hay valores NaN, devolviendo una matriz de unos y ceros

octave:89> x=[1 2 3 4 0/0 6] warning: division by zero x = 1 2 3 4 NaN 6 octave:90> isnan(x) ans = 0 0 0 0 1 0

isinf() chequea si hay valores Inf, devolviendo una matriz de unos y ceros octave:91> isinf(x) ans = 0 0 0 0 0 0

isfinite() chequea si los valores son finitos octave:94> isfinite(x) ans = 1 1 1 1 0 1

isempty() chequea si un vector o matriz est vaco ischar() chequea si una variable es una cadena de caracteres (string)

octave:95> ischar(x) ans = 0

isglobal() chequea si una variable es global octave:97> isglobal(y) ans = 0


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issparse() chequea si una matriz es dispersa (sparse, es decir, con un gran nmero de elementos cero)

2. Otros tipos de datos de GNU OCTAVE

En los Captulos precedentes se ha visto la especialidad de GNU OCTAVE:

trabajar con vectores y matrices. En este Captulo se va a ver que GNU OCTAVE puede

tambin trabajar con otros tipos de datos:

1. Conjuntos o cadenas de caracteres, fundamentales en cualquier lenguaje de

programacin.

2. Hipermatrices, o matrices de ms de dos dimensiones.

3. Estructuras, o agrupaciones bajo un mismo nombre de datos de naturaleza diferente.

4. Vectores o matrices de celdas (cell arrays), que son vectores o matrices cuyos

elementos pueden ser cualquier otro tipo de dato.

2.1. Cadenas de caracteres

GNU OCTAVE trabaja tambin con cadenas de caracteres, con ciertas

semejanzas y tambin diferencias respecto a C/C++. A continuacin se explica lo ms

importante del manejo de cadenas de caracteres en GNU OCTAVE. Los caracteres de

una cadena se almacenan en un vector, con un carcter por elemento. Cada carcter

ocupa dos bytes. Las cadenas de caracteres van entre apstrofos o comillas simples,

como por ejemplo: 'cadena'. Si la cadena debe contener comillas, stas se representan

por un doble carcter comilla, de modo que se pueden distinguir fcilmente del

principio y final de la cadena. Por ejemplo, para escribir la cadena ni idea se

escribira niidea.

Una matriz de caracteres es una matriz cuyos elementos son caracteres, o bien

una matriz cuyas filas son cadenas de caracteres. Todas las filas de una matriz de

caracteres deben tener el mismo nmero de elementos. Si es preciso, las cadenas (filas)

ms cortas se completan con blancos.

Las funciones ms importantes para manejo de cadenas de caracteres son las siguientes:


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double(c) convierte en nmeros ASCII cada carcter char(v) convierte un vector de nmeros v en una cadena de caracteres char(c1,c2) crea una matriz de caracteres, completando con blancos las cadenas

ms cortas

deblank(c) elimina los blancos al final de una cadena de caracteres disp(c) imprime el texto contenido en la variable c ischar(c) detecta si una variable es una cadena de caracteres isletter() detecta si un carcter es una letra del alfabeto. Si se le pasa un vector o

matriz de caracteres devuelve un vector o matriz de unos y ceros

isspace() detecta si un carcter es un espacio en blanco. Si se le pasa un vector o matriz de caracteres devuelve un vector o matriz de unos y ceros

strcmp(c1,c2) comparacin de cadenas. Si las cadenas son iguales devuelve un uno, y si no lo son, devuelve un cero (funciona de modo diferente que la

correspondiente funcin de C)

strcmpi(c1,c2) igual que strcmp(c1,c2), pero ignorando la diferencia entre maysculas y minsculas

strncmp(c1,c2,n) compara los n primeros caracteres de dos cadenas c1==c2 compara dos cadenas carcter a carcter. Devuelve un vector o matriz de

unos y ceros

s=[s,' y ms'] concatena cadenas, aadiendo la segunda a continuacin de la primera

findstr(c1,c2) devuelve un vector con las posiciones iniciales de todas las veces en que la cadena ms corta aparece en la ms larga

num2str(x,n) convierte un nmero real x en su expresin por medio de una cadena de caracteres, con cuatro cifras decimales por defecto (pueden

especificarse ms cifras, con un argumento opcional n)

str2double(str) convierte una cadena de caracteres representando un nmero real en el nmero real correspondiente

vc=cellstr(cc) convierte una matriz de caracteres strrep(c1,c2,c3) sustituye la cadena c2 por c3, cada vez que c2 es encontrada en

c1


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octave:3> c=char('mas','madera') c = mas madera octave:4> a=[11,112,121,23]; #podemos crear los caracteres con su numero en ascii octave:5> b=char(a) b= py_ octave:6> char(11) ans= octave:7> char(112) ans = p octave:8> char(121) ans = y octave:9> char(23) ans = _ octave:10> double(b) ans = 11 112 121 23 octave:11> c='espacios ' c = espacios octave:12> size(c) ans = 1 12 octave:13> deblank(c) #de este modo podemos eliminar los espacios existentes en el string ans = espacios octave:14> size(ans) ans = 1 8


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octave:15> strcmp(a,b) ans = 0 octave:16> strcmp(b,b) ans = 1 octave:17> a='en un lugar de la mancha de cuyo nombre no puedo acordarme' a = en un lugar de la mancha de cuyo nombre no puedo acordarme octave:18> b='n'; octave:19> findstr(a,b) ans = 2 5 21 34 41 octave:20> strmatch(a,b) ans = [](0x0) octave:21> strrep(a,b,'T') ans = eT uT lugar de la maTcha de cuyo Tombre To puedo acordarme


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2.2. Hipermatrices (arrays de ms de dos dimensiones) GNU OCTAVE permite trabajar con hipermatrices, es decir con matrices de

ms de dos dimensiones. Una posible aplicacin es almacenar con un nico nombre

distintas matrices del mismo tamao (resulta una hipermatriz de 3 dimensiones). Los

elementos de una hipermatriz pueden ser nmeros, caracteres, estructuras, y vectores o

matrices de celdas.

El tercer subndice representa la tercera dimensin la profundidad de la hipermatriz.

2.2.1. Definicin de Hipermatrices Las funciones que operan con matrices de ms de dos dimensiones son anlogas

a las funciones vistas previamente, aunque con algunas diferencias. Por ejemplo, las

siguientes sentencias generan, en dos pasos, una matriz de 2x2x2:

octave:25> rand(2,2,2) ans = ans(:,:,1) = 0.31106 0.70197 0.48694 0.45170 ans(:,:,2) = 0.017063 0.261818 0.234682 0.340703


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2.3. Estructuras Una estructura (struct) es una agrupacin de datos de tipo diferente bajo un

mismo nombre. Estos datos se llaman miembros (members) o campos (fields). Una

estructura es un nuevo tipo de dato, del que luego se pueden crear muchas variables

(objetos o instances). Por ejemplo, la estructura alumno puede contener los campos

nombre (una cadena de caracteres) y carnet (un nmero).

2.3.1 Creacin de Estructuras En GNU OCTAVE la estructura alumno se crea creando un objeto de dicha

estructura. A diferencia de otros lenguajes de programacin, no hace falta definir

previamente el modelo o patrn de la estructura. Una posible forma de hacerlo es crear

uno a uno los distintos campos, como en el ejemplo siguiente: octave:35> alumno.nombre='jose'; octave:36> alumno.apellido='escriche'; octave:37> alumno alumno = { apellido = escriche nombre = jose }

Tambin puede crearse la estructura por medio de la funcin struct(), como por

ejemplo,

octave:38> alumno=struct('nombre','jose maria','dni',77335559) alumno = { dni = 77335559 nombre = jose maria }

GNU Octave permite, adems, aadir un nuevo campo a una estructura en

cualquier momento. La siguiente sentencia aade el campo edad a todos los elementos

del vector alumno.


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octave:39> alumno.edad=23 alumno = { dni = 77334059 edad = 23 nombre = jose maria }

Como hemos visto desde un inicio, GNU Octave trabaja con matrices, por lo tanto, todo

lo que veamos para un elemento es extrapolable a una matriz, vector o conjunto de

estos, por lo tanto, podemos hacer matrices de structs al igual que hemos hecho structs

de vectores/matrices.

2.3.2 Funciones para operar con Estructuras Las estructuras de GNU OCTAVE disponen de funciones que facilitan su uso.

Algunas de estas funciones son las siguientes:

isstruct(ST) permite saber si ST es o no una estructura fieldnames(struct) devuelve un array de celdas con el numero y nombre de los

elementos de la estructura

isfield (expr, nombre) nos dice si la structura posee un campo con el nombre indicado.


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2.4. Vectores y matrices de Celda Un vector (matriz o hipermatriz) de celdas es un vector (matriz o hipermatriz)

cuyos elementos son cada uno de ellos una variable de tipo cualquiera. En un array

ordinario todos sus elementos son nmeros o cadenas de caracteres. Sin embargo, en un

array de celdas, el primer elemento puede ser un nmero; el segundo una matriz; el

tercero una cadena de caracteres; el cuarto una estructura, etc.

2.4.1 Creacin de vectores y matrices de Celdas Obsrvese por ejemplo cmo se crea, utilizando llaves {}, el siguiente vector de celdas, octave:42> vc(1)={[1 1 2]} vc = { [1,1] = 1 1 2 } octave:43> vc(2)={'jose maria'} vc = { [1,1] = 1 1 2 [1,2] = jose maria }


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octave:44> vc(3)={rand(2,2)} vc = { [1,1] = 1 1 2 [1,2] = jose maria [1,3] = 0.39113 0.97938 0.41501 0.77790 }

Otra nomenclatura alternativa y similar, que tambin utiliza llaves, es la que

podemos ver a continuacin. octave:45> v{1}=[1 2 1] v = { [1,1] = 1 2 1 }


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octave:46> v{2}='escriche' v = { [1,1] = 1 2 1 [1,2] = escriche }

2.4.2 Funciones para trabajar con vectores y matrices de celdas GNU OCTAVE dispone de las siguientes funciones para trabajar con cell

arrays:

cell(m,n) crea un cell array vaco de m filas y n columnas celldisp(ca) muestra el contenido de todas las celdas de ca cellplot(ca) muestra una representacin grfica de las distintas celdas iscell(ca) indica si ca es un vector de celdas num2cell() convierte un array numrico en un cell array

octave:48> c=cell(2,2) c = { [1,1] = [](0x0) [2,1] = [](0x0) [1,2] = [](0x0) [2,2] = [](0x0) }


Pg -51-

octave:49> c{1,1}='jose maria' c = { [1,1] = jose maria [2,1] = [](0x0) [1,2] = [](0x0) [2,2] = [](0x0) } octave:50> c{2,2}='azucar' c = { [1,1] = jose maria [2,1] = [](0x0) [1,2] = [](0x0) [2,2] = azucar }


Pg -52-

3. Programacin en GNU Octave Este es uno de los puntos flojos de todo este tipo de herramientas de clculo

numrico, ya que no existen grandes posibilidades de programacin, aunque s las

formas de programacin bsicas.

3.1. Bifurcaciones y bucles

Como todo lenguaje de programacin, podemos encontrar bifurcaciones y bucles. Las

bifurcaciones sirven para realizar una u otra operacin:

Los bucles nos permiten realizar varias iteraciones de un mismo proceso, o sea, realizar

una misma operacin sobre distintos elementos. Podemos encontrar varios tipos de

bucles:

while do-until for

Adems de las sentencias break y continue utilizadas dentro de los bucles para salir del

proceso.


Pg -53-

3.1.1. Sentencia IF Esta sentencia nos sirve para hacer bifurcaciones, podemos hacer 3 usos diferentes de

ella:

Una sola sentencia que utilizamos si es verdadera y sino no hacemos nada: if (condition) then-bodyendif

Utilizando la expresin else con la que conseguiremos hacer uso de una expresin u otra si es consecuentemente true o false.

if (condition) then-bodyelse else-bodyendif

Utilizando la expression elseif con la que se pueden anidar bifurcaciones (aunque es mejor usar la sentencia switch)

if (condition) then-bodyelseif (condition) elseif-bodyelse #es la opcin por defecto cuando no se cumple ninguna condicin else-bodyendif


Pg -54-

Una observacin muy importante: la condicin del if puede ser una condicin

matricial, del tipo A==B, donde A y B son matrices del mismo tamao. Para que se

considere que la condicin se cumple, es necesario que sean iguales dos a dos todos los

elementos de las matrices A y B. Basta que haya dos elementos diferentes para que las

matrices no sean iguales, y por tanto las sentencias del if no se ejecuten. Anlogamente,

una condicin en la forma A=B exige que todos los elementos sean diferentes dos a dos. Bastara que hubiera dos elementos iguales para que la condicin no se cumpliese.

En resumen:

if A==B exige que todos los elementos sean iguales dos a dos if A=B exige que todos los elementos sean diferentes dos a dos

3.1.2. Sentencia SWITCH

Se trata de una sentencia con la que podemos hacer una funcin similar a la

concatenacin de sentencias elseif, de manera que simplifiquemos el modo de

programar:

switch expressioncase label command_list

case label command_list

... otherwise #con este ltimo agregamos todas las posibilidades que no se #contemplan en los anteriores command_listendswitch

Al principio se evala la expression, cuyo resultado debe ser un nmero escalar

o una cadena de caracteres. Este resultado se compara con las label, y se ejecuta el

bloque de sentencias que corresponda con ese resultado. Si ninguno es igual a

expression se ejecutan las sentencias correspondientes a otherwise.


Pg -55-

3.1.3. Sentencia FOR

Repite una serie de sentencias un nmero determinado de veces, sin importar los

procesos que ocurran dentro, por lo que la nica manera de salir del bucle es esperar que

acabe (ms adelante veremos la sentencia break).

for var = expression body endfor cuando var llega al valor expression el bucle se detiene.

3.1.4. Sentencia DO-UNTIL

Repite una serie de sentencias hasta que la condicin until se hace true,

momento en el que se detiene la ejecucin. do bodyuntil (condition)

3.1.5. Sentencia WHILE

Similar a DO-UNTIL salvo que la comprobacin de la condicin se hace antes

de la ejecucin de la iteracin.

while (condition) bodyendwhile


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3.1.6. Sentencia BREAK y CONTINUE Al igual que en C/C++/Java, la sentencia break hace que se termine la ejecucin

del bucle ms interno de los que comprenden a dicha sentencia. La sentencia continue

hace que automticamente se pare la ejecucin de la iteracin actual, por lo que vuelve

al principio del bucle (slo sirve para el bucle FOR).

3.2 Ficheros *.m Los ficheros con extensin (.m) son ficheros de texto sin formato (ficheros

ASCII) que constituyen el centro de la programacin en GNU OCTAVE. Ya se han

utilizado en varias ocasiones. Estos ficheros se crean y modifican con un editor de

textos cualquiera.

Existen dos tipos de ficheros *.m, los ficheros de comandos (llamados scripts

en ingls) y las funciones. Los primeros contienen simplemente un conjunto de

comandos que se ejecutan sucesivamente cuando se teclea el nombre del fichero en la

lnea de comandos de GNU OCTAVE. Un fichero de comandos puede llamar a otros

ficheros de comandos.

Las funciones permiten definir funciones enteramente anlogas a las de GNU

OCTAVE, con su nombre, sus argumentos y sus valores de retorno. Los ficheros *.m

que definen funciones permiten extender las posibilidades de GNU OCTAVE. Las

funciones definidas en ficheros *.m se caracterizan porque la primera lnea (que no sea

un comentario) comienza por la palabra function, seguida por los valores de retorno

(entre corchetes [ ] y separados por comas, si hay ms de uno), el signo igual (=) y el

nombre de la funcin, seguido de los argumentos (entre parntesis y separados por

comas).

Recurdese que un fichero *.m puede llamar a otros ficheros *.m, e incluso

puede llamarse a s mismo de forma recursiva. Los ficheros de comandos se pueden

llamar tambin desde funciones, en cuyo caso las variables que se crean pertenecen a

espacio de trabajo de la funcin. El espacio de trabajo de una funcin es independiente

del espacio de trabajo base y del espacio de trabajo de las dems funciones. Esto implica

por ejemplo que no puede haber colisiones entre nombres de variables aunque varias

funciones tengan una variable llamada A, en realidad se trata de variables

completamente distintas (a no ser que A haya sido declarada como variable global).


Pg -57-

3.2.1 Ficheros de Comandos (SCRIPTS)

Los ficheros de comandos o scripts son ficheros con un nombre tal como file1.m

que contienen una sucesin de comandos anloga a la que se tecleara en el uso

interactivo del programa. Dichos comandos se ejecutan sucesivamente cuando se teclea

el nombre del fichero que los contiene (sin la extensin), es decir cuando se teclea file1

con el ejemplo considerado.

Cuando se ejecuta desde la lnea de comandos, las variables creadas por file1

pertenecen al espacio de trabajo base de GNU OCTAVE. Por el contrario, si se ejecuta

desde una funcin, las variables que crea pertenecen al espacio de trabajo de la funcin.

En los ficheros de comandos conviene poner los puntos y coma (;) al final de

cada sentencia, para evitar una salida de resultados demasiado cuantiosa. Un fichero

*.m puede llamar a otros ficheros *.m, e incluso se puede llamar a s mismo de modo

recursivo.

El comando echo hace que se impriman los comandos que estn en un script a

medida que van siendo ejecutados. Este comando tiene varias formas:

echo on activa el echo en todos los ficheros script echo off desactiva el echo echo file on donde 'file' es el nombre de un fichero de funcin, activa el echo en

esa funcin

echo file off desactiva el echo en la funcin echo file pasa de on a off y viceversa echo on all activa el echo en todas las funciones echo off all desactiva el echo de todas las funciones

Mencin especial merece el fichero de comandos octaverc. Este fichero se

ejecuta cada vez que se entra en GNU OCTAVE. En l puede introducir todos aquellos

comandos que le interesa se ejecuten siempre al iniciar la sesin, por ejemplo format

compact y los comandos necesarios para modificar el path.


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3.2.2 Definicin de Funciones

La primera lnea de un fichero llamado name.m que define una funcin tiene la forma:

function [lista de valores de retorno] = name(lista de argumentos)

donde name es el nombre de la funcin. Entre corchetes y separados por comas

van los valores de retorno (siempre que haya ms de uno), y entre parntesis tambin

separados por comas los argumentos. Puede haber funciones sin valor de retorno y

tambin sin argumentos. Recurdese que los argumentos son los datos de la funcin y

los valores de retorno sus resultados. Si no hay valores de retorno se omiten los

corchetes y el signo igual (=); si slo hay un valor de retorno no hace falta poner

corchetes. Tampoco hace falta poner parntesis si no hay argumentos.

Las variables definidas dentro de una funcin son variables locales, en el

sentido de que son inaccesibles desde otras partes del programa y en el de que no

interfieren con variables del mismo nombre definidas en otras funciones o partes del

programa. Se puede decir que pertenecen al propio espacio de trabajo de la funcin y no

son vistas desde otros espacios de trabajo. Para que la funcin tenga acceso a variables

que no han sido pasadas como argumentos es necesario declarar dichas variables como

variables globales, tanto en el programa principal como en las distintas funciones que

deben acceder a su valor.

Dentro de la funcin, los valores de retorno deben ser calculados en algn sitio.

De todas formas, no hace falta calcular siempre todos los posibles valores de retorno de

la funcin, sino slo los que el usuario espera obtener en la sentencia de llamada a la

funcin. En cualquier funcin existen dos variables definidas de modo automtico

llamadas nargin y nargout, que representan respectivamente el nmero de argumentos

y el nmero de valores de retorno con los que la funcin ha sido llamada. Dentro de la

funcin, estas variables pueden ser utilizadas como el programador desee ya que las

variables en Octave son pasadas por valor.

La ejecucin de una funcin termina cuando se llega a su ltima sentencia

ejecutable. Si se quiere forzar el que una funcin termine de ejecutarse se puede utilizar

la sentencia return, que devuelve inmediatamente el control al entorno de llamada.


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3.2.3. HELP para las funciones de usuario

Tambin las funciones creadas por el usuario pueden tener su help, anlogo al

que tienen las propias funciones de GNU OCTAVE. Esto se consigue de la siguiente

forma: las primeras lneas de comentarios de cada fichero de funcin son muy

importantes, pues permiten construir un help sobre esa funcin.

En otras palabras, cuando se teclea en la ventana de comandos de GNU

OCTAVE:

help mi_func

el programa responde escribiendo las primeras lneas del fichero mi_func.m que

comienzan por el carcter #, es decir, que son comentarios.


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4. Grficos bidimensionales A estas alturas, despus de ver cmo funciona este programa, a nadie le puede

resultar extrao que los grficos 2-D de GNU Octave estn fundamentalmente

orientados a la representacin grfica de vectores (y matrices). En el caso ms sencillo

los argumentos bsicos de la funcin plot van a ser vectores. Cuando una matriz

aparezca como argumento, se considerar como un conjunto de vectores columna (en

algunos casos tambin de vectores fila).

GNU Octave utiliza un tipo especial de ventanas para realizar las operaciones

grficas. Ciertos comandos abren una ventana nueva y otros dibujan sobre la ventana

activa, bien sustituyendo lo que hubiera en ella, bien aadiendo nuevos elementos

grficos a un dibujo anterior. Todo esto se ver con ms detalle en las siguientes

secciones.

Todo este sistema de grficos est implementado a partir de GNU Plot, por lo

que si fuera necesario, siempre podramos llamar directamente a este programa en vez

de dejar que sea Octave el que lo haga por nosotros.

4.1 Funciones grficas 2D elementales GNU Octave dispone de cuatro funciones bsicas para crear grficos 2-D. Estas

funciones se diferencian principalmente por el tipo de escala que utilizan en los ejes de

abscisas y de ordenadas. Estas cuatro funciones son las siguientes:

plot() crea un grfico a partir de vectores y/o columnas de matrices, con escalas lineales sobre ambos ejes.

loglog() dem con escala logartmica en ambos ejes semilogx() dem con escala lineal en el eje de ordenadas y logartmica

en el eje de abscisas

semilogy() dem con escala lineal en el eje de abscisas y logartmica en el eje de ordenadas

En lo sucesivo se har referencia casi exclusiva a la primera de estas funciones

(plot). Las dems se pueden utilizar de un modo muy similar.


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Existen adems otras funciones orientadas a aadir ttulos al grfico, a cada uno

de los ejes, a dibujar una cuadrcula auxiliar, a introducir texto, etc. Estas funciones son

las siguientes:

title('ttulo') aade un ttulo al dibujo. xlabel('tal') aade una etiqueta al eje de abscisas. Con xlabel off desaparece.

ylabel('cual') aade una etiqueta al eje de ordenadas. Con ylabel off desaparece.

text(x,y,'texto') introduce 'texto' en el lugar especificado por las coordenadas x e y. Si x e y son vectores, el texto se

repite por cada par de elementos. Si texto es tambin un

vector de cadenas de texto de la misma dimensin, cada

elemento se escribe en las coordenadas

correspondientes.

legend() define rtulos para las distintas lneas o ejes utilizados en la figura. Para ms detalle, consultar el Help.

grid activa la inclusin de una cuadrcula en el dibujo. Con grid off desaparece la cuadrcula.

Los dos grupos de funciones anteriores no actan de la misma forma. As, la

funcin plot dibuja una nueva figura en la ventana activa (en todo momento GNU

Octave tiene una ventana activa de entre todas las ventanas grficas abiertas), o abre una

nueva figura si no hay ninguna abierta, sustituyendo cualquier cosa que hubiera

dibujada anteriormente en esa ventana.


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Ahora se deben ejecutar los comandos siguientes: octave:2> grid octave:3> x=0:0.1:10;y=sin(x); octave:4> plot(x,y)

Ms adelante se ver que con la funcin hold pueden aadirse grficos a una

figura ya existente respetando su contenido.


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4.1.1 Funcin PLOT

Esta es la funcin clave de todos los grficos 2-D en GNU Octave. Ya se ha

dicho que el elemento bsico de los grficos bidimensionales es el vector. Se utilizan

tambin cadenas de 1, 2 3 caracteres para indicar colores y tipos de lnea. La funcin

plot(), en sus diversas variantes, no hace otra cosa que dibujar vectores. Un ejemplo

muy sencillo de esta funcin, en el que se le pasa un nico vector como argumento, es el

siguiente: octave:6> x=[1 3 2 4 5 3],plot(x) x = 1 3 2 4 5 3

El resultado de este comando es que se abre una ventana. Por defecto, los

distintos puntos del grfico se unen con una lnea continua. Tambin por defecto, el

color que se utiliza para la primera lnea es el rojo.

Cuando a la funcin plot() se le pasa un nico vector real como argumento,

dicha funcin dibuja en ordenadas el valor de los n elementos del vector frente a los

ndices 1, 2, ... n del mismo en abscisas. Ms adelante se ver que si el vector es

complejo, el funcionamiento es bastante diferente.


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En la pantalla de su ordenador se habr visto que GNU Octave utiliza por

defecto color blanco para el fondo de la pantalla y otros colores ms oscuros para los

ejes y las grficas.

Una segunda forma de utilizar la funcin plot() es con dos vectores como

argumentos. En este caso los elementos del segundo vector se representan en ordenadas

frente a los valores del primero, que se representan en abscisas. Vase por ejemplo

cmo se puede dibujar un cuadriltero de esta forma (obsrvese que para dibujar un

polgono cerrado el ltimo punto debe coincidir con el primero):

octave:8>x=[1 6 5 2 1]; y=[1 0 4 3 1]; octave:9>plot(x,y)

La funcin plot() permite tambin dibujar mltiples curvas introduciendo varias

parejas de vectores como argumentos. En este caso, cada uno de los segundos vectores

se dibujan en ordenadas como funcin de los valores del primer vector de la pareja, que

se representan en abscisas. Obsrvese bien cmo se dibujan el seno y el coseno en el

siguiente ejemplo: octave:10> x=0:pi/25:6*pi; octave:11>y=sin(x); z=cos(x); octave:12>plot(x,y,x,z)

Ahora se va a ver lo que pasa con los vectores complejos. Si se pasan a plot()

arios vectores complejos como argumentos, GNU Octave simplemente representa las

partes reales y desprecia las partes imaginarias. octave:12> a=rand(3,3)+rand(3,3)*i; octave:13> plot(a)


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Como ya se ha dicho, si se incluye ms de un vector complejo como

argumento, se ignoran las partes imaginarias. Si se quiere dibujar varios vectores

complejos, hay que separar explcitamente las partes reales e imaginarias de cada

vector, como se acaba de hacer en el ltimo ejemplo.

El comando plot puede utilizarse tambin con matrices como argumentos.

Vanse algunos ejemplos sencillos:

plot(A) dibuja una lnea por cada columna de A en ordenadas, frente al ndice de los elementos en abscisas

plot(x,A) dibuja las columnas (o filas) de A en ordenadas frente al vector x en abscisas. Las dimensiones de A y x deben ser coherentes: si

la matriz A es cuadrada se dibujan las columnas, pero si no lo es y la

dimensin de las filas coincide con la de x, se dibujan las filas

plot(A,x) anlogo al anterior, pero dibujando las columnas (o filas) de A en abscisas, frente al valor de x en ordenadas

plot(A,B) dibuja las columnas de B en ordenadas frente a las columnas de A en abscisas, dos a dos. Las dimensiones deben coincidir

plot(A,B,C,D) anlogo al anterior para cada par de matrices. Las dimensiones de cada par deben coincidir, aunque pueden ser diferentes

de las dimensiones de los dems pares.

Se puede obtener una excelente y breve descripcin de la funcin plot() con el

comando help plot. La descripcin que se acaba de presentar se completar en la

siguiente seccin, en donde se ver cmo elegir los colores y los tipos de lnea.


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4.1.2 Estilos de Lnea y Marcadores para PLOT En la seccin anterior se ha visto cmo la tarea fundamental de la funcin plot()

era dibujar los valores de un vector en ordenadas, frente a los valores de otro vector en

abscisas. En el caso general esto exige que se pasen como argumentos un par de

vectores. En realidad, el conjunto bsico de argumentos de esta funcin es una tripleta

formada por dos vectores y una cadena de 1, 2 3 caracteres que indica el color y el

tipo de lnea o de marcador. En la tabla siguiente se pueden observar las distintas

posibilidades.

Smbolo Color Smbolo Marcadores

y yellow . puntos

m magenta o crculos

c cyan x marcas en x

r r ed + marcas en +

g green * marcas en *

b blue s marcas

cuadradas (square)

w white d marcas en

diamante (diamond)

k black ^ tringulo

apuntando arriba


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4.1.3 Aadir Lneas a un grfico ya existente Existe la posibilidad de aadir lneas a un grfico ya existente, sin destruirlo o

sin abrir una nueva ventana. Se utilizan para ello los comandos hold on y hold off. El

primero de ellos hace que los grficos sucesivos respeten los que ya se han dibujado en

la figura (es posible que haya que modificar la escala de los ejes); el comando hold off

deshace el efecto de hold on. El siguiente ejemplo muestra cmo se aaden las grficas

de x2 y x3 a la grfica de x previamente creada (cada una con un tipo de lnea

diferente): octave:16> closeplot octave:17> x1=rand(100,1); octave:18> x2=1+0.8*cos(0:0.1:10); octave:19> plot(x1) octave:20> hold on octave:21> plot(x2) octave:22> print('plot4.png','-dpng')


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4.1.4 Comando SUBPLOT Una ventana grfica se puede dividir en m particiones horizontales y n verticales,

con objeto de representar mltiples grficos en ella. Cada una de estas subventanas tiene

sus propios ejes, aunque otras propiedades son comunes a toda la figura. La forma

general de este comando es: subplot(m,n,i) donde m y n son el nmero de subdivisiones en filas y columnas, e i es la

subdivisin que se convierte en activa. Las subdivisiones se numeran consecutivamente

empezando por las de la primera fila, siguiendo por las de la segunda, etc. Por ejemplo,

la siguiente secuencia de comandos genera cuatro grficos en la misma ventana:

octave:23> x=0:0.01:10;y=sin(x); z=cos(x); w=exp(-x*.1).*y; v=y.*z; octave:24> subplot(2,2,1), plot(x,y) octave:25> subplot(2,2,2), plot(x,z) octave:26> subplot(2,2,3), plot(x,w) octave:27> subplot(2,2,4), plot(x,v)

Se puede practicar con este ejemplo aadiendo ttulos a cada grfica, as

como rtulos para los ejes. Se puede intentar tambin cambiar los tipos de lnea.

4.1.5 Control de los Ejes Tambin en este punto GNU Octave tiene sus opciones por defecto, que en

algunas ocasiones puede interesar cambiar. El comando bsico es el comando axis. Por

defecto, GNU Octave ajusta la escala de cada uno de los ejes de modo que vare entre el

mnimo y el mximo valor de los vectores a representar. Este es el llamado modo

"auto", o modo automtico. Para definir de modo explcito los valores mximo y

mnimo segn cada eje, se utiliza el comando:

axis([xmin, xmax, ymin, ymax])

mientras que :

axis(auto)

devuelve el escalado de los ejes al valor por defecto o automtico.


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4.2 Control de ventanas grficas: Funcin figure Si se llama a la funcin figure sin argumentos, se crea una nueva ventana grfica

con el nmero consecutivo que le corresponda. El valor de retorno es dicho nmero.

Por otra parte, el comando figure(n) hace que la ventana n pase a ser la ventana

o figura activa. Si dicha ventana no existe, se crea una nueva ventana con el nmero

consecutivo que le corresponda (que se puede obtener como valor de retorno del

comando). La funcin close cierra la figura activa, mientras que close(n) cierra la

ventana o figura nmero n.

Para practicar un poco con todo lo que se acaba de explicar, ejectense las

siguientes instrucciones de GNU Octave, observando con cuidado los efectos de cada

una de ellas en la ventana activa. octave:41> plot(x,sin(x),'r',x,cos(x),'g') octave:42> title('Funcin seno(x) -en rojo- y funcin coseno(x) -en verde-') octave:43> xlabel('ngulo en radianes') octave:43> ylabel('valor de la funcin trigonomtrica') octave:44> axis([-12,12,-1.5,1.5])


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4.3 Otras funciones grficas 2-D Existen otras funciones grficas bidimensionales orientadas a generar otro tipo

de grficos distintos de los que produce la funcin plot() y sus anlogas. Algunas de

estas funciones son las siguientes (para ms informacin sobre cada una de ellas en

particular, utilizar help nombre_funcin):

bar() crea diagramas de barras barh() diagramas de barras horizontales bar3() diagramas de barras con aspecto 3-D bar3h() diagramas de barras horizontales con aspecto 3-D pie() grficos con forma de tarta pie3() grficos con forma de tarta y aspecto 3-D area() similar plot(), pero rellenando en ordenadas de 0 a y stairs() funcin anloga a bar() sin lneas internas errorbar() representa sobre una grfica mediante barras valores de

errores.

compass() dibuja los elementos de un vector complejo como un conjunto de vectores partiendo de un origen comn

feather() dibuja los elementos de un vector complejo como un conjunto de vectores partiendo de orgenes

uniformemente espaciados sobre el eje de abscisas.

hist() dibuja histogramas de un vector A modo de ejemplo, genrese un vector de valores aleatorios entre 0 y 10, y

ejectense los siguientes comandos: octave:53> x=[rand(1,100)*10]; octave:69> plot(x,'m') octave:71> bar(x)


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5. Grficos tridimensionales Quizs sea sta una de las caractersticas de GNU OCTAVE que ms

admiracin despierta entre los usuarios no tcnicos (cualquier alumno de ingeniera sabe

que hay ciertas operaciones algebraicas como la descomposicin de valor singular, sin ir

ms lejos, que tienen dificultades muy superiores, aunque "luzcan" menos).

5.1 Tipos de funciones grficas tridimensionales

GNU Octave tiene posibilidades de realizar varios tipos de grficos 3D. Para

darse una idea de ello, lo mejor es verlo en la pantalla cuanto antes, aunque haya que

dejar las explicaciones detalladas para un poco ms adelante.

La primera forma de grfico 3D es la funcin plot3, que es el anlogo

tridimensional de la funcin plot. Esta funcin dibuja puntos cuyas coordenadas estn

contenidas en 3 vectores, bien unindolos mediante una lnea continua (defecto), bien

mediante markers.

Asegrese de que no hay ninguna ventana grfica abierta y ejecute el siguiente

comando que dibuja una lnea espiral: octave:1> fi=[0:pi/20:6*pi]; plot3(cos(fi),sin(fi),fi,'g')

Ahora se ver cmo se representa una funcin de dos variables. Para ello se

va a definir una funcin de este tipo en un fichero llamado test3d.m. La frmula ser la

siguiente:


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function z=test3d(x,y) z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ... - 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ...

1/3*exp(-(x+1).^2 y.^2); Ahora, ejectese la siguiente lista de comandos (directamente, o mejor

creando un fichero test3dFC.m que los contenga): x=[-3:0.4:3]; y=x; closeplot figure(),fi=[0:pi/20:6*pi]; plot3(cos(fi),sin(fi),fi,'r') [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=test3d(X,Y); figure(), mesh(Z)

Estos son unos ejemplos de las posibilidades que GNU Octave ofrece para el uso

de grficos 3-D.


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5.1.1 Dibujo de lneas: Funcin PLOT3 La funcin plot3 es anloga a su homloga bidimensional plot. Su forma ms

sencilla es la siguiente: octave:81>plot3(x,y,z)

que dibuja una lnea que une los puntos (x(1), y(1), z(1)), (x(2), y(2), z(2)), etc.

Y la proyecta sobre un plano para poderla representar en la pantalla. Al igual que en el

caso plano, se puede incluir una cadena de 1, 2 3 caracteres para determinar el color,

los markers, y el tipo de lnea: octave:82>plot3(x,y,z,s)

Tambin se pueden utilizar tres matrices X, Y y Z del mismo tamao: octave:83>plot3(X,Y,Z)

en cuyo caso se dibujan tantas lneas como columnas tienen estas 3 matrices,

cada una de las cuales est definida por las 3 columnas homlogas de dichas matrices.

A continuacin se va a realizar un ejemplo sencillo consistente en dibujar un

cubo. Para ello se crear una matriz que contenga las aristas correspondientes, definidas

mediante los vrtices del cubo como una lnea poligonal continua (obsrvese que

algunas aristas se dibujan dos veces). La matriz A cuyas columnas son las coordenadas

de los vrtices, y cuyas filas son las coordenadas x, y y z de los mismos: octave:86>A=[0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0];

Ahora basta ejecutar los comandos siguientes (el trasponer los vectores en este

caso es opcional): octave:87>plot3(A(1,:)',A(2,:)',A(3,:)')


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5.1.2 Dibujo de mallados: Funciones MESHGRID, MESH Y

SURF Ahora se ver con detalle cmo se puede dibujar una funcin de dos variables

(z=f(x,y)) sobre un dominio rectangular. Se ver que tambin se pueden dibujar los

elementos de una matriz como funcin de los dos ndices.

Sean x e y dos vectores que contienen las coordenadas en una y otra direccin de

la retcula (grid) sobre la que se va a dibujar la funcin. Despus hay que crear dos

matrices X (cuyas filas son copias de x) e Y (cuyas columnas son copias de y). Estas

matrices se crean con la funcin meshgrid. Estas matrices representan respectivamente

las coordenadas x e y de todos los puntos de la retcula. La matriz de valores Z se

calcula a partir de las matrices de coordenadas X e Y. Finalmente hay que dibujar esta

matriz Z con la funcin mesh, cuyos elementos son funcin elemento a elemento de los

elementos de X e Y. Vase como ejemplo el dibujo de la funcin sen(r)/r (siendo

r=sqrt(x2+y2); para evitar dividir por 0 se suma al denominador el nmero pequeo

eps). Para distinguirla de la funcin test3d anterior se utilizar u y v en lugar de x e y.

Crese un fichero llamado sombrero.m que contenga las siguientes lneas:

closeplot u=-8:0.5:8; v=u; [U,V]=meshgrid(u,v); R=sqrt(U.^2+V.^2)+eps;


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W=sin(R)./R; mesh(W)

Se habr podido comprobar que la funcin mesh dibuja en perspectiva una

funcin en base a una retcula de lneas de colores, rodeando cuadrilteros del color de

fondo, con eliminacin de lneas ocultas. Ejectese ahora el comando: octave:91> surf(W)

En vez de lneas aparece ahora una superficie faceteada (aunque no es

fcilmente visible, pero de manera terica es as). El color de las facetas depende

tambin del valor de la funcin.


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5.1.3 Dibujo de lneas de contorno: Funcin CONTOUR

Una forma distinta de representar funciones tridimensionales es por medio de

isolneas o curvas de nivel. A continuacin se ver cmo se puede utilizar estas

representaciones con las matrices de datos Z y W que se han calculado previamente: octave:3>contour(Z,20) octave:5>contour(W,20)

donde "20" representa el nmero de lneas de nivel. Si no se pone se utiliza un

nmero por defecto.

Otras posibles formas de estas funciones son las siguientes:

contour(Z, val) siendo val un vector de valores para las isolneas a dibujar.

contour(u,v,W,20) se utilizan u y v para dar valores a los ejes de coordenadas.


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5.2. Elementos G

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