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MANUAL DEL DOCENTE

ÁREA DE MATEMÁTICA

PROGRAMA ESPECIAL HORA LECTIVA ADICIONAL

2007

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1. DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL: ÁREA DE MATEMÁTICA 1.1 OBJETIVOS DEL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL Fortalecer, afianzar, evidenciar el desarrollo de las capacidades matemáticas en las sesiones de aprendizaje del Área de Matemática, aplicando los aprendizajes en la solución de situaciones problemáticas de la vida cotidiana. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional (PEHLA) es un espacio dedicado al fortalecimiento de las capacidades matemáticas (razonamiento y demostración; comunicación matemática; resolución de problemas) que los estudiantes han desarrollado en el tiempo habitual que se otorga al área de Matemática. El fortalecimiento en mención se realiza cuando los aprendizajes logrados en el área son aplicados para dar solución a situaciones problemáticas de la vida cotidiana. En el esquema adjunto se puede apreciar la relación que existe entre el área de Matemática y el PEHLA Del esquema se deduce que el docente del área de Matemática debe garantizar que los aprendizajes del grado se obtengan en el tiempo que habitualmente se dedica al área. Ambos espacios son prácticos, tener en cuenta que la matemática se aprende haciendo; es más, se complementan dado que en el área se desarrollan los aprendizajes y en el PEHLA se los fortalece. Tampoco es aceptable que el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional esté dedicado a resolver una batería de ejercicios de “razonamiento matemático”. El PEHLA es un espacio de fortalecimiento y profundización, no de recuperación. Tampoco se debe entender que en el área de Matemática se desarrolla la teoría y en el PEHLA la práctica1. 1.2 CARACTERÍSTICAS DEL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL El programa es especial, pues se realiza en horas adicionales a las que habitualmente se le asigna al área de Matemática; es decir, si una Institución Educativa otorgaba cinco horas lectivas al desarrollo del área, con la implementación de la hora adicional le corresponde dos horas adicionales. Estas horas adicionales son de fortalecimiento y no de recuperación. Los docentes del área deben garantizar que los aprendizajes se logren en las horas habituales del área. También es especial2 porque prioriza algunos aprendizajes claves para fortalecer las capacidades matemáticas. Estos aprendizajes (denominados aspectos en la Resolución 1 Una distorsión del PEHLA es asumir que está dedicado a resolver batería de ejercicios de “razonamiento matemático”. 2 El programa también es especial dado que, por peculiaridades de la Institución Educativa, puede ser desarrollado por un docente distinto al que desarrolla el área en las horas habituales, lo cual implica una coordinación permanente.

Área de Matemática

Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional

Logro de los aprendizajes esperados

Evidenciar el desarrollo de las capacidades del área

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Ministerial Nº 0027-2007-ED) no son diferentes a los que están en el DCN, sino que han sido extraídos de él por su relevancia para el desarrollo de las capacidades matemáticas. Otra de las características del programa es la de ser eminentemente práctico y vivencial, pues en él se aplican los aprendizajes a la solución de situaciones problemáticas de la vida cotidiana. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional está relacionado directamente con el área de Matemática, pues comparten los mismos propósitos, los mismos aprendizajes, la misma forma de programación y de evaluación. Lo que varía es el énfasis que se pone en algunos aprendizajes vinculados con el desarrollo de las capacidades matemáticas. Sin pérdida de generalidad, se puede afirmar que el área de Matemática atiende un espectro amplio de aprendizajes, mientras que el PEHLA es de carácter focalizado. Las características del PEHLA están representadas en el siguiente esquema:

Es práctico y vivencial Los aprendizajes son aplicados a la solución de situaciones problemáticas de la vida diaria

Es focalizado Se priorizan aprendizajes relevantes para el desarrollo de las capacidades matemáticas

Es parte del área Se preserva el enfoque y los propósitos del área.

Es articulador Convoca la participación de las diferentes áreas curriculares en la ejecución de los proyectos y talleres.

En todos los casos, el PEHLA se desarrolla como parte del área de Matemática, pues los tópicos tratados en el PEHLA guardan relación con la programación del área y porque los resultados de la evaluación realizada en el PEHLA influyen en la promoción o repetición de los estudiantes en el área. Por lo tanto, el PEHLA no es un espacio aislado, mucho menos desvinculado de los aprendizajes del currículo. El PEHLA es un espacio que da la oportunidad para la articulación de las diferentes áreas curriculares, pues en la ejecución de los proyectos se puede aprovechar los aprendizajes obtenidos en todas ellas. 1.3 ORGANIZACIÓN DEL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL La hora adicional se implementa en las Instituciones Educativas de educación secundaria de un solo turno. La distribución de las horas adicionales se realiza luego de que a cada docente se le haya asignado sus 24 horas que le corresponden como parte de su jornada laboral. Esto es así, pues el PEHLA es un espacio para fortalecer los aprendizajes y no forma parte de las horas habituales del área de Matemática3. Por lo tanto, el número de horas destinadas al área deben ser las necesarias para que los estudiantes logren los aprendizajes en ese espacio; existe la necesidad de explicitar las horas adicionales4, con fines de monitoreo y acompañamiento. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional puede ser desarrollado por el mismo profesor del área. En este caso, el docente tendrá una programación del área que garantice el logro de los aprendizajes en las horas habituales, explicitará los aprendizajes esperados a tratar en el marco del PEHLA, así como también explicitará en las sesiones de aprendizaje correspondientes al PEHLA cómo se va a fortalecer los aprendizajes logrados en el área. En el caso hipotético que el docente del área no asuma las horas del PEHLA es importante que los docentes de los dos espacios de aprendizaje mantengan un diálogo franco y abierto para sumar esfuerzos en el mejoramiento de los aprendizajes de los estudiantes. El profesor del área debe

3 Tener en cuenta que si en la Programación Anual se le ha asignado al área de Matemática siete horas semanales, dos horas son del PEHLA 4 Se explicitan como una sesión de aprendizaje de dos horas pedagógicas de duración o dos sesiones de aprendizaje de una hora pedagógica cada una.

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brindar información sobre la situación en que se encuentran los estudiantes y sugerir formas de cómo mejorarlas. Esto es de suma relevancia al iniciar el programa, pues no se puede hacer ninguna planificación de las sesiones de aprendizaje sin tener un diagnóstico de las experiencias que tienen los estudiantes. La coordinación se hace más necesaria cuando se trata de la evaluación de los aprendizajes, porque los resultados obtenidos en el PEHLA forman parte de la evaluación general del área, tomándose en cuenta para los promedios de cada criterio de evaluación; por lo tanto influyen en la promoción o repetición del grado. 1.4 ASPECTOS PRIORIZADOS EN EL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL Se debe tener en cuenta, en el marco del PEHLA, que estudiar nociones o conceptos matemáticos debe ser equivalente a pensar en la solución de alguna situación problemática. Se debe enseñar a usar la matemática; esta afirmación es cierta por las características que presenta la labor matemática en donde la lógica y la rigurosidad permiten desarrollar un pensamiento crítico. La matemática tiene un valor formativo, dado que promueve el desarrollo del pensamiento lógico-matemático de los estudiantes; un valor instrumental, dado que provee al estudiante de capacidades, habilidades y destrezas que se traducen en el manejo preciso y eficaz de procesos operativos; y un valor social, como medio de comunicación. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional ha focalizado su atención en el desarrollo de aprendizajes, considerados como prioritarios para desarrollar las capacidades matemáticas de los estudiantes. Estos aprendizajes no son diferentes a los del área de Matemática, sino que han sido extraídos del Diseño Curricular Nacional de la EBR para abordarlos con especial énfasis, de manera práctica y en situaciones reales. 2. EL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL Y EL ÁREA DE MATEMÁTICA 2.1 DIVERSIFICACIÓN CURRICULAR El Diseño Curricular Nacional (DCN) se caracteriza por ser diversificable, es decir abierto y flexible. Al proceso de ajuste, adecuación, complementación y enriquecimiento del DCN para atender a la diversidad existente en cada aula se denomina diversificación curricular; para la realización de este proceso, se debe tener en cuenta las peculiaridades de cada ámbito geográfico. Para su aplicación a cada realidad, debe ser enriquecido y adecuado a las condiciones reales de cada Institución Educativa y, en especial, a las necesidades de aprendizaje de los estudiantes y a las necesidades, intereses y aspiraciones de la comunidad local. Existen determinados acontecimientos que ocurren en la localidad o que suceden en el contexto regional, nacional e internacional que tienen importancia y repercuten en los procesos pedagógicos porque, precisamente, se pueden utilizar como motivo para programar aprendizajes que se desarrollarán durante el año lectivo. Por ejemplo, la celebración de la fiesta patronal o el aniversario de creación de una determinada ciudad en la que han nacido nuestros padres (acontecimientos locales), las elecciones para el gobierno municipal o regional (acontecimientos regionales), la celebración de la independencia de nuestro país (evento nacional) o la realización de los juegos olímpicos o el campeonato mundial de fútbol (eventos internacionales), pueden aprovecharse en la programación curricular a partir de los aspectos priorizados por el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional. Tanto para el caso de la programación anual como para el de la programación de unidades didácticas, la variable fundamental a considerar es el tiempo. En ambos casos, ese tiempo es de un año escolar, el mismo que suele ser dividido en bimestres o trimestres, según la opción que elija la Institución Educativa sobre este particular. El número de unidades didácticas que se programen guardan estrecha relación con el tiempo (número de horas pedagógicas) asignado a cada una de las áreas curriculares, además del tiempo efectivo que ser disponga para el trabajo

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escolar, la complejidad del contenido, así como de la formulación pertinente de los aprendizajes esperados por cada unidad. 2.2 EL ÁREA DE MATEMÁTICA Y SU DIVERSIFICACIÓN Al presentar los contenidos temáticos del Área de Matemática se debe tener en cuenta las características y necesidades del ámbito geográfico donde se encuentra la institución educativa; las necesidades e intereses de aprendizaje de los estudiantes; el potencial económico regional: producción pecuaria, agrícola; vitivinícola, etc. Cabe precisar que una primera mirada de la diversificación es la adecuación o contextualización de los contenidos a presentar; es decir, desarrollar las capacidades del Área de Matemática abordando situaciones problemáticas de la vida diaria (ámbito regional). Resolver situaciones problemáticas contextualizadas involucra procesos cognitivos de orden superior que permiten una diversidad de transferencias y aplicaciones a otras situaciones y áreas; y en consecuencia, proporciona grandes beneficios en la vida diaria; es decir se desarrolla y se afianza una identidad personal y regional. El Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional preserva el enfoque y organización curricular del área de Matemática, haciendo explícito que en el PEHLA se fortalecen los aprendizajes que los estudiantes ya han logrado en el área. Es importante dejar en claro que los dos espacios son prácticos, por lo tanto no se debe relacionar a uno con la teoría y al otro, con la práctica. Si bien es cierto que desde el Área de Matemática se maneja una carpeta pedagógica (Programación Anual; Unidades Didácticas y sesiones de aprendizaje), se debe explicitar en cada Unidad Didáctica los espacios para tratar los aspectos priorizados por el PEHLA. 2.2.1 PROGRAMACIÓN ANUAL La experticia docente tiene como características el manejo de la información de su área; ser asertivo; identificar las necesidades, intereses y perfiles de sus estudiantes y la voluntad de optimizar los procesos pedagógicos. Son estas razones las que hacen de los docentes los principales actores del proceso de elaboración de los carteles curriculares diversificados5 (cartel de contenidos y cartel de capacidades), los cuales convergen en la Programación Anual. A continuación se presenta un ejemplo de Programación Anual donde se identifican proyectos de investigación relacionados a los procesos productivos y flujo comercial.

PROGRAMACIÓN CURRICULAR ANUAL I. INFORMACIÓN GENERAL Institución Educativa : “PAULO FREIRE” Área : Matemática. Grado : 3ro secundaria. Horas Semanales : 7 horas pedagógicas6. Profesor : Augusto Palmas Zabala II. PRESENTACIÓN

5 Hacemos explícito que la elaboración de sendos carteles es de suma utilidad para el docente en la elaboración e implementación del proceso de diversificación curricular explicitado en la Programación Anual. 6 En el marco del Programa Especial de dos horas lectivas adicionales para el Área de Matemática

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La Institución Educativa “PAULO FREIRE” presenta, en el área de Matemática, un conjunto de actividades para que los estudiantes experimenten diversas y variadas situaciones - relacionadas entre sí - que los lleven a realizar con gusto las tareas matemáticas, desarrollar hábitos mentales matemáticos y entender y apreciar el rol que la matemática cumple en situaciones de la vida cotidiana. Se espera que el estudiante desarrolle las capacidades del área de Matemática de Educación Secundaria al enfrentar situaciones problemáticas que se constituyan en un reto y que pongan en juego un conocimiento matemático relevante. Hay que tener en cuenta que una situación problemática dada puede necesitar de más de una estrategia, lo cual se debe explicitar al implementar la hora lectiva adicional. III. PROPÓSITOS DEL GRADO

IV. TEMAS TRANSVERSALES Y VALORES

TEMAS TRANSVERSALES VALORES

Educación para el emprendimiento Educación para la calidad de vida Educación para la identidad local

Laboriosidad Honestidad Solidaridad Responsabilidad Respeto Tolerancia

V. ORGANIZACIÓN DE LAS UNIDADES DIDÁCTICAS.

CRONO-GRAMA (Trimestres)

NÚMERO DE UNIDAD

TÍTULO DE LA UNIDAD TIPO DE UNIDAD

TIEMPO

I II III

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN

- Interpreta el resultado obtenido al resolver una situación problemática de la vida diaria. - Realiza abstracciones a través del descubrimiento de regularidades numéricas en el plano y el espacio. - Interpreta la información estadística recopilada. Comprende el azar y su medida a partir de experimentos aleatorios reales

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA

- Modela e interpreta representaciones gráficas de objetos tridimensionales en el plano; figuras en el plano, áreas superficiales y sólidos de revolución; así como histogramas, polígonos de frecuencia y ojivas. - Argumenta, gráficamente, la solución a una situación problemática de la vida cotidiana.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

- Modela y resuelve situaciones problemáticas que requieren de ecuaciones e inecuaciones polinomiales; sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables; variables estadísticas; histogramas, polígonos de frecuencia y medidas de tendencia central; así como figuras en el plano, áreas superficiales y sólidos de revolución.

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N°1 Actividades productivas de Tembladera y la solución de ecuaciones e inecuaciones.

Unidad de aprendizaje

08 semanas

N°2 El flujo comercial de Tembladera y la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Proyecto de aprendizaje

06 semanas

N°3 Nociones geométricas del plano y los recursos naturales de Yonán.

Unidad de aprendizaje

05 semanas

N°4 Características geométricas de la Perla del Jequetepeque.

Unidad de aprendizaje

10 semanas

N°5 La noción de espacio y medida y los recursos naturales de Yonán.

Proyecto de aprendizaje

04 semanas

N°6 Recogida de data y probabilidad de sucesos en Tembladera.

Unidad de aprendizaje

07 semanas

VI. ESTRATEGIAS GENERALES DEL ÁREA Y MATERIALES

ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS MEDIOS Y MATERIALES

Método de proyectos. Método demostrativo. Método inductivo/deductivo Técnicas grupales. Dinámicas motivacionales. Investigación bibliográfica

Fólder y papel bond tamaño A4. Juego de escuadras. Lápiz, tajador y borrador. Papelógrafos. Plumones de papel. Cinta maskintape

VII. ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN. - La evaluación será permanente e integral, en cada unidad didáctica se evaluará las tres capacidades priorizadas del área. - El calificativo del trimestre (CT) se obtiene mediante promedio simple de los criterios de

calificación (capacidades de área y actitud ante el área): 4

321 mNANCNCNCCT

+++= ;

donde NCi : nota de la capacidad { })3;2;1( ∈ii , NAm: nota de la actitud frente al área. - El calificativo anual (CA) se obtiene mediante promedio simple de los tres trimestres:

3

321 CTCTCTCA

++= ; donde CTi : nota del trimestre { })3;2;1( ∈ii .

- La evaluación de la actitud ante el área se realizará mediante una lista de cotejo de actitudes. - La autoevaluación y la coevaluación tendrá carácter formativo para identificar avances y dificultades.

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- Los instrumentos que se aplicarán son pruebas de opción múltiple, pruebas de desarrollo, listas de cotejo, fichas de cotejo o verificación, mapas conceptuales y trabajos de investigación realizados por lo estudiantes. VIII. BIBLIOGRAFÍA

� Texto del estudiante de 3º de secundaria. � Manual del docente de 3º de secundaria. � Módulo de biblioteca: Matemática aplicada a situaciones de la vida cotidiana. � Guía para el desarrollo del pensamiento a través de la Matemática. � OTP de Matemática. � Páginas web relacionadas a los contenidos de las Unidades de Aprendizaje.

2.2.2 UNIDAD DIDÁCTICA En relación a la elaboración de la Unidad Didáctica, es muy importante tener en cuenta la pertinencia del número o cantidad de aprendizajes esperados formulados por unidad didáctica; además, no existe una receta o fórmula que me diga cuál es la cantidad de aprendizajes esperados ideal que se deben formular por unidad didáctica, mucho menos podemos pensar que una determinada unidad didáctica no está bien elaborada porque tiene, por ejemplo, sólo tres aprendizajes esperados formulados. Sin embargo, por cuestiones metodológicas inherentes a nuestra labor pedagógica y por la dinámica de la misma no se sugiere atiborrarnos de una cantidad considerable de aprendizajes esperados; dado que existe el riesgo que nuestra labor pedagógica se restringa sólo a aplicar instrumentos de evaluación. Asimismo, el formular de manera pertinente los aprendizajes esperados por Unidad Didáctica nos va a permitir decantar, con naturalidad y sin dificultad, nuestras sesiones de aprendizaje en el marco del PEHLA

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº06 I. INFORMACIÓN GENERAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA : “ PAULO FREIRE” GRADO Y SECCION : 3ro secundaria AREA CURRICULAR : Matemática HORAS SEMANALES : 7 horas pedagógicas7 PROFESOR DEL AREA : Augusto Palmas Zabala II. TÍTULO DE LA UNIDAD: RECOGIDA DE DATA Y PROBABILIDAD DE SUCESOS EN TEMBLADERA. III. JUSTIFICACIÓN. La presente unidad tiene como propósito que los estudiantes recopilen información estadística, discriminen información relevante, infieran información nueva a partir de datos explícitos y emitan apreciaciones personales. Tener en cuenta que la presentación de la Estadística comienza como una metodología de recopilación, presentación e interpretación de datos. Es decir, se debe garantizar la recopilación y organización de datos, representación e interpretación de tablas y gráficas estadísticas. Asimismo se explicita la manera como pueden tratarse matemáticamente situaciones inciertas y graduar la mayor o menor probabilidad de ciertos sucesos o eventos; así como los aspectos priorizados por el PEHLA relacionados a los aprendizajes esperados

7 En el marco del Programa Especial de dos horas lectivas adicionales para el Área de Matemática

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formulados. Los estudiantes deben ser capaces de tomar decisiones pertinentes frente a fenómenos aleatorios. La interpretación de datos y la estadística permiten a los estudiantes establecer conexiones y/o relaciones para la solución de problemas. IV. CAPACIDADES FUNDAMENTALES PRIORIZADAS

- Toma de Decisiones - Solución de Problemas

V. TEMA TRANSVERSAL

- Educación para la identidad local VI. VALORES Y ACTITUDES

Actitudes Valores

actitud frente al área comportamiento Asume la conducción de su equipo y planifica la ejecución de sus tareas.

Aplica normas de higiene en su presentación personal

Cumple con las tareas académicas encomendadas.

Contribuye con la conservación del orden e higiene del aula

Responsabilidad

Asume los errores con naturalidad

Permanece en la institución educativa

Es perseverante en la ejecución de las tareas académicas

Lidera y organiza el equipo, consulta frecuentemente.

Se esfuerza por mejorar en la presentación de sus tareas.

Muestra entusiasmo y dedicación al trabajar

Laboriosidad

Persiste a pesar de los errores.

Reacciona positivamente ante las dificultades

VII. DEFINICIÓN DE LOS APRENDIZAJES ESPERADOS.

Cronograma por semanas del Tercer Trimestre Aprendizajes esperados

1 2 3 4 5 6 7

Discrimina variables estadísticas.

Elabora tablas de distribución de frecuencias.

Elabora diagramas de barras y sectores circulares, histogramas, polígonos de frecuencias y ojivas

Interpreta diagramas de barras y sectores circulares, histogramas, polígonos de frecuencias y ojivas

Interpreta medidas de tendencia central.

Identifica sucesos y espacios muestrales.

Interpreta la probabilidad de un suceso.

Interpreta la esperanza matemática.

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VIII. EVALUACIÓN La evaluación en cada área se realizará a partir de las matrices correspondientes. Sin pérdida de generalidad debemos explicitar siempre el carácter formativo de las evaluaciones.

CRITERIO DE EVALUACIÒN

INDICADORES INSTRUMENTOS

RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN

Identifica variables cualitativas y cuantitativas en una muestra local8. Identifica variables discretas y continuas en una muestra local. Identifica espacios muestrales a partir de un conjunto de experimentos aleatorios. Identifica sucesos a partir de una data local.

Prueba de opción múltiple Mapas conceptuales

COMUNICACIÓN MATEMÁTICA

Elabora tablas de distribución de frecuencias a partir de una data local. Elabora diagrama de barras y sectores circulares(pye), histogramas, polígonos de frecuencias y ojivas a partir de una data local.

Prueba de desarrollo Fichas de cotejo o verificación

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Interpreta medidas de tendencia central en situaciones problemáticas de la vida diaria9. Interpreta la probabilidad de un suceso en situaciones problemáticas de la vida diaria. Interpreta la esperanza matemática en situaciones problemáticas de la vida diaria.

Prueba de desarrollo y de opción múltiple Fichas de cotejo o verificación.

CRITERIO DE EVALUACIÒN

INDICADORES INSTRUMENTOS

ACTITUD ANTE EL ÁREA

Es perseverante en la ejecución de las tareas académicas Se esfuerza por mejorar en la presentación de sus tareas Persiste a pesar de los errores Asume la conducción de su equipo y planifica la ejecución de sus tareas. Cumple con las tareas académicas encomendadas Asume los errores con naturalidad

Lista de cotejo

IX. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA.

� Manual del docente de 3º de secundaria. � Texto del estudiante de 3º de secundaria. � Páginas web relacionadas a los contenidos de las Unidades de Aprendizaje � Guía para el desarrollo del pensamiento a través de la Matemática.

8 Entendemos por muestra o data local al conjunto de recursos naturales, potencialidades turísticas, cultura y folklore de la ciudad de Tembladera. 9 Entendemos por situaciones problemáticas de la vida diaria al conjunto de actividades agrícolas, pecuarias y

artesanales así como al flujo comercial de la ciudad de Tembladera.

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2.2.3 LA ARTICULACIÓN DE COMPONENTES Otro elemento a tener en cuenta en el enfoque de desarrollo de capacidades en el Nivel de Educación Secundaria está vinculado a la articulación pertinente, mas no artificial ni arbitraria, de contenidos en las Unidades Didácticas; definitivamente, partimos de la premisa que el docente tiene un cúmulo de información relacionada a su área y la argumenta con idoneidad; además, teniendo en cuenta que el docente principalmente ha de constituirse en mediador de los procesos de aprendizaje de los estudiantes para el desarrollo de las capacidades del área así como para la comprensión y uso de conocimientos matemáticos, existe la necesidad de explicitar la articulación de los componentes del área de manera natural. Asimismo, queda claro que en el enfoque de desarrollo de capacidades los contenidos temáticos son importantes en tanto y en cuanto nos sirvan como insumos para el logro de los aprendizajes esperados formulados en cada unidad didáctica y, en consecuencia, para el desarrollo de las capacidades del área. Por ejemplo, la geometría es el resultado de una interacción entre el mundo real y nuestra capacidad de abstracción; es decir la componente Geometría y medida debe integrarse (al igual que las componentes Número, relaciones y funciones; Estadística y probabilidad), cuando sea posible, con las otras componentes; lo cual implica planificar, presentar y evaluar los distintos contenidos del área de matemática que enseñamos. A continuación se presenta un ejemplo que aborda, de manera natural, la resolución de problemas teórico prácticos vinculados a situaciones de la vida diaria: Situación problemática10.- La relación entre el peso de una persona y su edad es una relación lineal, la cual se muestra en el gráfico adjunto. ¿Cuál fue su peso a los ocho años?

0

3

15

48

EDAD (años)

PESO (kg.)

Solución 01: Función Lineal.- Se tiene como información un segmento de recta cuya pendiente

es igual a 315

45

015

348==

−

−=m . Sea )3;0(0 =p un punto de paso, entonces:

3333033 +=⇒+=⇒−=− x)x(fxy)x(y

Haciendo x = 8: 273838 =+= )()(f ; es decir, a los ocho años de edad su peso fue de 27 kg. Solución 02: Semejanza de triángulos.- A partir del segmento de recta se establece la siguiente relación de igualdad:

10 Resulta importante que el estudiante tenga la oportunidad de evaluar más de una estrategia de solución.

12

278

3

7

48=⇒

−=

−h

hh;

donde el par ordenado (8; h) pertenece al segmento de recta. Entonces, se puede afirmar que a los ocho años de edad su peso fue de 27 kg. 2.3 EL ÁREA DE MATEMÁTICA Y EL DESARROLLO DE CAPACIDADES El Nivel de Educación Secundaria de la Educación Básica Regular (EBR) con la finalidad de tener un marco teórico orientador para operativizar los logros educativos, asume que las capacidades son potencialidades inherentes a la persona y que ésta puede desarrollarlas a lo largo de toda su vida, dando lugar a la determinación de los logros educativos. Sendas capacidades se cimientan en la interrelación de procesos cognitivos, socio afectivos y motores. Las capacidades al ser desarrolladas, permiten al estudiante egresado de la EBR enfrentar con éxito contextos, problemas y desempeños de la vida cotidiana en el ámbito privado, social o profesional. Las capacidades se pueden desarrollar a lo largo de toda su vida, es decir tienen un desarrollo continuo desde que el hombre nace hasta que muere. Esto se realiza mediante la educación formal, la educación no formal y la experiencia cotidiana al solucionar problemas y para satisfacer necesidades. De lo expuesto se desprende que las capacidades se desarrollan a través de dos modalidades: aprendizaje directo y aprendizaje mediado.

� El aprendizaje directo se realiza mediante la exposición directa del organismo a los

estímulos que provee el contexto, es decir, una capacidad se desarrolla en la vida diaria cuando solucionamos problemas y necesidades reales.

� La experiencia del aprendizaje mediado se realiza por la acción de un mediador (padre, educador, tutor u otra persona relacionada con el sujeto), quien desempeña un rol fundamental en la selección, organización y presentación de los estímulos provenientes del exterior, que permitan la interacción activa entre el individuo y los estímulos para facilitar su comprensión, interpretación y utilización por parte del estudiante.

Las capacidades durante el aprendizaje o en la vida diaria se manifiestan a través de un conjunto de procesos cognitivos, socio afectivos y motores relacionados entre sí; se expresan de distintas formas y complejidad según las características de las etapas de desarrollo del ser humano, es por ello que los sistemas educativos generan diversos niveles de logros de aprendizaje. En el caso de la EBR se han determinado logros de nivel, logros de ciclo, propósitos de grado y aprendizajes esperados en función de capacidades. La formulación de los logros educativos demanda no sólo tener claridad en la conceptualización de las capacidades que se pretende desarrollar, sino también precisión en los procesos cognitivos, motores y socioafectivos que involucra su manifestación en determinados niveles de desarrollo, sobre todo, la plena conciencia de que no es lo mismo realizar sesiones de aprendizaje para desarrollar contenidos que realizar sesiones de aprendizaje orientadas al desarrollo de capacidades. 2.3.1 LOS PROCESOS PEDAGÓGICOS Se parte de la premisa que el docente aprende mientras enseña. Se debe propiciar en el estudiante un interés permanente por desarrollar capacidades matemáticas que le van a ser de utilidad en su futuro profesional o técnico, al concluir sus estudios. En una sociedad en la cual la información cuantitativa y sus representaciones tienen una presencia cada vez mayor, la habilidad para expresar ideas matemáticas en forma coherente es de vital importancia. Resulta importante explicitar en los procesos pedagógicos, de manera natural, las razones por las cuales se han elegido (toma de decisiones) un conjunto de procedimientos en particular – y

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no otros – al realizar una determinada actividad; lo cual implica el seleccionar una determinada estrategia de aprendizaje. Bajo esta mirada, elegir y aplicar una estrategia supone algo más que el dominio o manejo de un conjunto de algoritmos en la resolución de un problema. En relación a los procesos pedagógicos, los cuales son recurrentes y no tienen categoría de momentos fijos, podemos hacer mención de: 2.3.1.1 LA MOTIVACIÓN; es el proceso permanente mediante el cual el docente crea las condiciones propicias para mantener el interés del estudiante por su aprendizaje. Se parte de la premisa que el docente, para motivar, orienta los propósitos, contenidos y actividades de aprendizaje en función de los intereses y necesidades de los estudiantes. Asimismo, diseña actividades y procedimientos que permitan alcanzar los propósitos de aprendizaje y las metas personales de los estudiantes de manera clara y fluida. Intentar hacer interesantes las sesiones de aprendizaje, sin prescindir de la rigurosidad teórica propia del área de matemática es uno de los desafíos del docente de matemática. Se debe explicitar que hacer matemática es una actividad muy distinta que el restringirse a hacer ejercicios desarrollados en el aula. Por ejemplo, es diferente para un estudiante resolver el siguiente triángulo:

Que obtener la solución del siguiente enunciado: Un avión es observado por dos personas que se encuentran a 300 metros de distancia una de la otra. Cuando el avión pasa por la recta que los une, cada observador mide el ángulo de elevación al avión, como indica la figura adjunta. ¿A qué distancia del avión se encuentran las personas en dicho momento?

El docente de matemática debe orientar a los estudiantes en relación a la investigación y las posibles aplicaciones de tópicos del área de matemática que se presentan y desarrollan en la programación curricular. Existe la necesidad de tomar conciencia de las aplicaciones, bagaje histórico, significado e importancia actual de la matemática que se presenta y trabaja en las sesiones de aprendizaje. A continuación presentamos un ejemplo: Bagaje histórico.- Carl Friedrich Gauss fue uno de los genios matemáticos dotados de una excelente habilidad con los números. A la edad de 3 años se cuenta que corrigió la nómina de los empleados de su padre. Un día en la escuela cuando tenía 10 años el maestro propuso como ejercicio sumar los 100 primeros números consecutivos. Gauss usó un método sencillo:

300 m

50° 60°

A B

b a

3 0 0

6 0 ° 5 0 °

14

� La suma 1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . + 97 + 98 + 99 + 100 , la escribió de la siguiente forma: � (1+100) + (2+99) + (3+ 98) + . . . . . . + (50+51) � 101 + 101 + 101 + . . . . . . + 101 = 50 x 101 = 5050

Cuando al cabo de una hora acabaron sus compañeros, el maestro comprobó sorprendido como el resultado de Gauss que aparecía en la pizarra era el correcto. El maestro quedó tan impresionado que de su propio bolsillo compró un libro de aritmética y se lo regaló a Gauss quien rápidamente lo devoró. 2.3.1.2 LOS SABERES PREVIOS; se construyen a partir de las experiencias del estudiante al querer explicar algún hecho o fenómeno cotidiano del mundo que le rodea. En algunas ocasiones son explicaciones que cada quien genera para una mejor comprensión de algún hecho o fenómeno, por ende no necesariamente tiene sustento científico. Tener en cuenta que un aprendizaje es significativo cuando los contenidos son relacionados de manera natural (no arbitrario) y sustancial con los saberes previos de los estudiantes. A continuación, se presenta un ejemplo: Función cuadrática (cuarto grado de secundaria).- Sin pérdida de generalidad, podemos afirmar que la Geometría Cartesiana consiste – básicamente - en interpretar ideas o nociones geométricas mediante ideas algebraicas, por ejemplo la solución de ecuaciones; resolver

algebraicamente la ecuación 062 =−+ xx implica el siguiente proceso: Geométricamente, implica graficar las funciones f(x) = x2 + x – 6 y g(x) = 0, luego identificar los pares ordenados (puntos de intersección) tales que pertenezcan tanto a f como a g y, finalmente, seleccionar las abscisas de sendos pares ordenados como solución. Gráficamente:

{ };-32..

3 2

)03( )02(

0)3)(2(

062

=

−=∨=

=+∨=−

=+−

=−+

SC

xx

xx

xx

xx

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3Gráficas de f y g en

el Plano Cartesiano

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Es decir, la Geometría Cartesiana hace uso de la notación, propiedades y resultados algebraicos. De allí que se necesite como saberes previos del tema Funciones Cuadráticas la información referente a:

� Plano Cartesiano � Definición de función. Regla de correspondencia � Gráfica de una función en el plano cartesiano � Resolución de ecuaciones de segundo grado � Valor numérico

Cabe precisar que los contenidos temáticos mencionados involucran un conjunto de capacidades específicas desarrolladas, a la par, en el estudiante. 2.3.1.3 EL CONFLICTO COGNITIVO; se produce cuando el estudiante, por ejemplo, se enfrenta con una situación que no puede comprender o explicar en su totalidad. Es decir se produce un desequilibrio de las estructuras mentales (los sicólogos hablan de una disonancia cognitiva). Es el catalizador para que se produzca el aprendizaje. Está presente en cada una de las actividades de aprendizaje. Por ejemplo, cuando un estudiante se enfrenta a una situación problemática novedosa que no puede dar solución y – a lo más – se queda en el planteamiento: Enigma (primer grado de secundaria).- Beremiz y un amigo, camino a Bagdad, socorren en el desierto a un rico jeque, que había sido asaltado, y fraternalmente reparten con él su comida, que consistía en ocho panes: cinco de Beremiz y tres del amigo. Al llegar a su destino, el jeque los recompensa con ocho monedas de oro: cinco para Beremiz y tres para el amigo. Todos entonces se sorprenden con la suave protesta de Beremiz; según él, la manera justa de repartir las ocho monedas sería dando apenas una a su amigo y siete para él. ¿Cuál es el proceso aritmético aplicado por Beremiz para justificar su distribución de monedas? 2.3.2 LAS SESIONES DE APRENDIZAJE11 Al elaborar la sesión de aprendizaje se debe tener en cuenta las estrategias que propicien un aprendizaje por descubrimiento y el trabajo en equipo de manera tal que el estudiante participe activamente en la construcción de su propio aprendizaje; los recursos educativos con que se cuenta (texto del estudiante, manual del docente, bibliografía del área, orientaciones para el trabajo pedagógico); y, la evaluación como un proceso permanente con sus respectivos instrumentos de medición. La estructura sugerida de una sesión de aprendizaje está compuesta de:

� Aprendizaje esperado; los aprendizajes esperados están orientados al desarrollo de capacidades y propician el desarrollo de actitudes.

� Secuencia Didáctica; se diseña en términos de actividades de aprendizaje seleccionadas en función de los proceso cognitivos o motores de la capacidad específica.

� Evaluación (indicadores); regula el proceso de aprendizaje, se explicitan los criterios, indicadores, técnicas y de ser el caso los instrumentos. En algunas ocasiones genera un calificativo, en otras no.

Sabemos, a partir de nuestra labor docente y el DCN, que el desarrollo de capacidades implica apelar a constructos pedagógicos (aprendizajes esperados; indicadores) que guarden coherencia interna y dado que el desarrollo de una capacidad específica implica un conjunto de procesos mentales y, por ende, cierto grado de complejidad; debemos tener en cuenta la gradualidad de los procesos mentales involucrados. Es necesario explicitar que no se pueden identificar todos los procesos mentales involucrados en el desarrollo de una capacidad específica (una aproximación formal se puede dar desde la Neurociencia). Apelando a una figura literaria - la metáfora- podemos afirmar que el desarrollo de una capacidad específica es como ascender una escalera, esto es subir un número finito de peldaños

11 Se entiende la sesión de aprendizaje como la interacción, en tiempo real, entre el docente y los estudiantes con la finalidad de desarrollar y lograr determinados aprendizajes.

16

de una escalera atendiendo la gradualidad de los procesos mentales involucrados; es decir, tenemos que subir sendos peldaños gradualmente. 2.3.2.1 Por ejemplo, analizar una función cuadrática, implica que debemos asegurarnos previamente que nuestros estudiantes han logrado u obtenido – al menos - los siguientes aprendizajes esperados:

� Identifica funciones cuadráticas. � Elabora gráficas de funciones cuadráticas. � Infiere el comportamiento de funciones cuadráticas. � Interpreta funciones cuadráticas.

Dado que, por ejemplo, la capacidad específica identifica se entiende como la capacidad para ubicar en el tiempo, en el espacio o en algún medio físico elementos, partes, características, personas, indicaciones u otros aspectos; en nuestro caso el aprendizaje esperado identifica funciones cuadráticas implica: También:

Regla de correspondencia: f(x) = ax2+bx+c

Características: i) Polinomio en una variable ii)Grado absoluto 2

Función Cuadrática

Búsqueda y recepción de la información Caracterización

Expresión o reconocimiento

Gráfica en el plano:

-4 -3 -2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

Características: i) Vértice (h; k) ii)Eje de simetría iii) Concavidad

Función Cuadrática

Búsqueda y recepción de la información

Caracterización Expresión o reconocimiento

ELABORA

IDENTIFICA

INFIERE

INTERPRETA

ANALIZA

17

Como podemos observar la capacidad identifica se manifestó o desarrolló mediante un conjunto de procesos cognitivos. Sin embargo, no se pretende afirmar que el desarrollo de la capacidad identifica involucra sólo tres procesos cognitivos, éstos pueden ser más o menos dependiendo de la complejidad del contenido que se utiliza como medio para desarrollar la capacidad. Tampoco se pretende manifestar que éstos son procesos independientes, por el contrario, están relacionados entre sí y ocurren en forma simultánea en muchos de los casos. Asimismo, no pretendemos señalar que el desarrollo de la capacidad es sólo consecuencia exclusiva de los procesos cognitivos, sino también está supeditada a procesos afectivos, motores y valorativos. 2.3.2.2 Teniendo en cuenta lo expresado en 2.3.2 y en el marco del Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional (PEHLA) se debe evidenciar en las sesiones de aprendizajes:

� Planteamiento de interrogantes que propicien el razonamiento riguroso. � Situaciones problemáticas relacionadas a los contenidos. � Resolución de problemas teóricos prácticos vinculados a la vida diaria. � Elaboración de organizadores visuales. � Recopilación de data vinculada a las características del ámbito geográfico local. � Razonamiento inferencial. � Proyectos de investigación relacionados a procesos productivos y flujo comercial. � Identificar costos y beneficios en el desarrollo de proyectos. � Elementos de contabilidad básica. � Modelización matemática

2.3.2.3 Supongamos que ya hemos presentado la información relacionada con el contenido Funciones Cuadráticas (texto del estudiante de 4º de secundaria: páginas 21 - 26). Luego de presentar la información sobre Funciones Cuadráticas – en cinco horas lectivas - y teniendo en cuenta que los estudiantes están en la capacidad de:

� Identificar funciones cuadráticas a partir de su regla de correspondencia � Identificar funciones cuadráticas en el plano cartesiano � Inferir el comportamiento de funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo o su

punto de mínimo. � Interpretar funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo o su punto de

mínimo. De 2.3.2.1 y 2.3.2.2 y partiendo de la premisa que como docentes planificamos nuestras sesiones de aprendizaje – al menos – con una semana de anticipación se propone, a continuación, una sesión en el marco del PEHLA:

Sesión de Aprendizaje12 (PEHLA)

I. Aprendizaje esperado: Analiza funciones cuadráticas II. Secuencia didáctica: El docente propone y resuelve, en el marco del PEHLA, una situación problemática que se puede modelar mediante la gráfica de una función cuadrática: Situación problemática.- Suponga que el gerente de una empresa que produce y vende CD’s multimedia educativos, ha determinado que su función utilidad se modela mediante la regla de

correspondencia 24)( xxxU −= ; donde U está expresada en miles de dólares y x está expresada en miles de CD’s producidos y vendidos.

12 Tiempo: 2 horas pedagógicas. La estructura sugerida de una sesión de aprendizaje es: Aprendizaje esperado; Secuencia Didáctica y Evaluación (indicadores).

18

1 2 3 4

1

2

3

4V(2;4)

A partir de la gráfica adjunta de la función utilidad U nos piden determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

� Al producir y vender 2 000 cd’s se hace máxima la utilidad. � La utilidad máxima es $ 4 000. � La utilidad es la misma al producir y vender 1000 cd’s que producir y vender 3000 cd’s. � U(1,8) < U(3).

A continuación, se sugiere que los estudiantes – en equipo - resuelvan de su texto las siguientes situaciones problemáticas: 127; 128 y 129 (página 26). Seguidamente, el docente interactúa con los distintos equipos de trabajo conformados. Se invita a los diferentes equipos a exponer sus resultados, asimismo se propicia el intercambio de opiniones entre los estudiantes, lo cual implica la toma de decisiones, comparación y selección de la respuesta apropiada para los requerimientos planteados y comunicación de los alcances de su trabajo desde la modelación matemática con funciones cuadráticas. III. Evaluación (indicadores): Finalmente, teniendo en cuenta que la evaluación es de carácter formativo para regular el proceso de aprendizaje y está dirigida a verificar los avances o dificultades en el desarrollo de los aprendizajes, se solicita a los estudiantes - de manera individual - resolver la siguiente Ficha de Verificación (se entregan dos Fichas de Verificación Fila A y Fila B):

FILA A

Enunciado El precio p y la cantidad vendida x de cierto producto cumplen la ecuación de demanda 100x0 ;100-5px ≤≤+= .

1. Formula el ingreso I como una función de x: I(x) = p.x

19

2. Elabora la gráfica del ingreso I en el plano cartesiano (primer cuadrante)

20 40 60 80 100

100

200

300

400

500

x

I(x)

3. Discrimina el número de artículos que debe venderse para maximizar el ingreso.

4. Identifica el ingreso máximo.

5. Infiere datos implícitos a partir de la regla de correspondencia y de la gráfica de la función I.

FILA B

Enunciado El precio p y la cantidad vendida x de cierto producto cumplen la ecuación de demanda 20p0 ;100-5px ≤≤+= .

1. Formula el ingreso I como una función de p: I(p) = p.x

2. Elabora la gráfica del ingreso I en el plano cartesiano (primer cuadrante).

20

4 8 12 16

100

200

300

400

500

p

I(p)

20

3. Discrimina el precio que debe fijarse para maximizar el ingreso.

4. Identifica el ingreso máximo.

5. Infiere datos implícitos a partir de la regla de correspondencia y de la gráfica de la función I.

En esta sesión de aprendizaje – por ejemplo - el docente ha mediado para que los estudiantes puedan inferir datos implícitos a partir de la regla de correspondencia de una función cuadrática dada. Es decir, apelando a la metáfora de la ascensión de la escalera, tenemos: Dado que la capacidad específica formula se entiende como la capacidad que permite interrelacionar elementos para presentar resultados, nuevas construcciones o solucionar problemas; en nuestro caso de la Ficha de Verificación (Fila A), implica:

ELABORA

FORMULA

DISCRIMINA

IDENTIFICA

INFIERE

21

2.3.3 ¿GRADUALIDAD O JERARQUIZACIÓN DE CAPACIDADES? Considerando que cada sesión de aprendizaje es una situación única e irrepetible13 y apelando a la perspectiva sincrónica y diacrónica14 se puede afirmar que en una sesión de aprendizaje – en un tiempo dado – convergen (sincronía) un conjunto de procesos pedagógicos: motivación permanente, recuperación de saberes previos, conflicto cognitivo, procesamiento de la información, evaluación, retroalimentación, metacognición, entre otros. Asimismo, dado que en el enfoque de desarrollo de capacidades se tiene en cuenta la complejidad del aprendizaje esperado, en dicha sesión de aprendizaje se debe evidenciar la gradualidad (diacronía) de los procesos mentales involucrados en el desarrollo de una capacidad específica. Sin embargo, si bien es cierto que la gradualidad implica cierta jerarquización de los procesos, ésta - obviamente – no es absoluta. Por ejemplo, de la ascensión de la escalera dada en 2.3.2.1: ELABORA se ubica un peldaño inmediato posterior a IDENTIFICA; pero, como consecuencia del instrumento elaborado en 2.3.2.3:

13 La sesión de aprendizaje del cuarto grado de secundaria de la sección A no es la misma que la del cuarto grado de secundaria de la sección B; aún tratando el mismo contenido por primera vez o planteando el mismo aprendizaje esperado. 14 “Curso de Lingüística General”; Ferdinand de Saussure

Enunciado de la Ficha de

Verificación A

xpxI .)( =

520p

x−=

xx

xI

xx

xI

pxxI

205

)(

)5

20()(

)(

2

+−=

−=

=

Búsqueda y recepción de

la información Identificación de los elementos Presentación de

la interrelación

Variables:

I: función ingreso x: nº de artículos p: precio

Interrelación de elementos

ELABORA

IDENTIFICA

INFIERE

INTERPRETA

ANALIZA

22

IDENTIFICA se ubica dos peldaños inmediato posterior a ELABORA; por lo que no es necesariamente cierto que la capacidad específica IDENTIFICA sea más compleja que la capacidad específica ELABORA o que la capacidad específica ELABORA sea más simple que la capacidad específica IDENTIFICA. Lo cual es una riqueza del enfoque de desarrollo de capacidades, dado que no se parte de una suerte de taxonomía de los aprendizajes a rajatabla. 2.3.4 LAS EXPERIENCIAS DE APRENDIZAJE Una Experiencia de Aprendizaje es toda actividad que se orienta intencionalmente a la generación de procesos cognitivos o mentales para el desarrollo de capacidades y actitudes, así como la construcción de conocimientos. Las actividades presentadas implican que los estudiantes experimenten diversas y variadas situaciones, relacionadas entre sí, que los lleven a realizar con gusto las tareas matemáticas, desarrollar hábitos mentales matemáticos y entender y apreciar el rol que la matemática cumple en situaciones de la vida cotidiana. Así, se pretende que los estudiantes:

� Se animen a explorar, realicen estimaciones e inclusive cometan errores y los corrijan de manera que ganen confianza en su propia capacidad de dar respuesta a situaciones problemáticas.

� Puedan leer, escribir, debatir y elaborar conjeturas sobre situaciones problemáticas reales; es decir, que formulen hipótesis, las verifiquen y elaboren argumentos sobre la validez de las hipótesis formuladas.

� Comprendan su entorno haciendo matemática de manera activa. Se espera que el estudiante desarrolle las capacidades del área de Matemática de Educación Secundaria al enfrentar situaciones problemáticas que se constituyan en un reto y que pongan en juego un conocimiento matemático relevante. Hay que tener en cuenta que una situación problemática dada puede necesitar de más de una estrategia. Cada docente puede realizar las adaptaciones o modificaciones pertinentes; claro está, teniendo en cuenta los recursos disponibles y la realidad de su Institución Educativa: currículo diversificable. A fin de que la comprensión de los estudiantes sea más profunda y duradera, se han de proponer situaciones problemáticas – bajo el rótulo de Experiencias de Aprendizaje - cuya solución les posibilite conectar ideas matemáticas. Así, pueden identificar conexiones matemáticas en la interacción entre contenidos matemáticos, en contextos que relacionan la matemática con otras áreas y en sus propios intereses y experiencias. De este modo se posibilita además que se den cuenta de la utilidad de la matemática.

ELABORA

FORMULA

D ISCR IM INA

IDENT IF ICA

INF IERE

23

2.3.5 USO DE RECURSOS EDUCATIVOS Dado que los docentes son los encargados de mediar en los aprendizajes de los estudiantes empleando todos los recursos a su alcance para cumplir con esta responsabilidad, nuestro punto de partida es la optimización del uso de los recursos educativos (texto del estudiante, manual del docente, guías, OTP de Matemática, etc.) durante los procesos pedagógicos. Hay que tener en cuenta que no es suficiente que los recursos educativos lleguen a las instituciones educativas, existe la necesidad que los recursos educativos lleguen a las aulas y sean utilizados tanto por docentes como por estudiantes; para lo cual se necesita que el docente tenga conocimiento de:

� Estrategias que activen los procesos cognitivos y afectivos de los estudiantes. � Actividades que propicien el desarrollo de la curiosidad y el interés en el área que

enseña. � La bibliografía existente en el CRE, por ejemplo los módulos de biblioteca. � Información de la(s) disciplina(s) teórica(s) vinculada(s) con el Área de Matemática.

2.3.5.1 MATERIALES MANIPULATIVOS El MED desarrolla un programa de entrega gratuita de textos para los estudiantes en seis áreas curriculares de secundaria, entre ellas Matemáticas. Asimismo, cada docente recibe un Manual del Docente del área curricular que enseña, así como tiene acceso a material complementario de su área: Orientaciones para el Trabajo Pedagógico; Calculadoras Científicas DS-737CQ15; algeplanos; balanzas; módulos con temática del área; guías metodológicas. Los materiales mencionados se encuentran en el Centro de Recursos de cada Institución Educativa. 2.3.5.2 LAS TICS16 COMO RECURSO DIDÁCTICO Hoy en día no se puede negar que las TICs forman parte del quehacer educativo, convirtiéndose no sólo en una ventaja para quien la utiliza, sino también en una necesidad. Sin embargo, el docente debe seleccionar con criterio los recursos informáticos: software educativo, material audiovisual, multimedia, apletts, Internet (web sites, WebQuest, bloggs, etc.) adecuados para reforzar los aprendizajes. De igual modo, el momento y la forma de utilizar este recurso tecnológico requiere de mucha pericia, que el docente irá perfeccionando con la práctica. Con el desarrollo de las TICs, los procesos pedagógicos encuentran en los recursos informáticos, por ejemplo los softwares educativos, recursos didácticos que favorecen un aprendizaje por descubrimiento y el trabajo en equipo. De lo que se trata es que las nuevas tecnologías favorezcan el desarrollo de las capacidades de área priorizadas en los tres niveles de la EBR17 (Inicial, Primaria y Secundaria). Sin embargo, la tecnología no es una panacea; la tecnología en sí misma no es una actividad educativa, es una herramienta, un medio para alcanzar un objetivo. Se deben encontrar canales viables y productivos para integrar las nuevas tecnologías en los procesos pedagógicos. a. Diagnóstico y elección de software educativo.- Sugerir una lista de cotejo para la evaluación de software educativo puede tener un sesgo en relación a la eficacia y eficiencia en el uso de un determinado software; podría darse el caso que se descarte un software en particular y sin embargo ser útil para el desarrollo de capacidades específicas de una determinada área de la EBR. A continuación se presentan los aspectos relevantes a tener en cuenta en el momento de elegir un software educativo:

15 Se ha entregado a cada Institución Educativa, junto con un manual de uso y conservación. 16 TICs : = Tecnologías de la Información y Comunicación 17 EBR := Educación Básica Regular

24

b. El software como recurso didáctico.- El uso de software educativo constituye una he-rramienta de apoyo efectiva durante las sesiones de aprendizaje18. El docente va a poder organizar y presentar mejor sus clases, lo cual implica ahorro de tiempo a la hora de presentar un tema, menos desgaste físico en cuanto a voz, integración de los recursos educativos ya existentes (texto del estudiante, manual del docente, bibliografía del área, orientaciones para el trabajo pedagógico); retroalimentación efectiva de los temas tratados. Al implementar su uso, se va a propiciar en el estudiante el desarrollo de capacidades específicas al participar activamente en la construcción de su propio aprendizaje, una interacción con el computador, la posibilidad de una educación personalizada así como una retroalimentación inmediata de los contenidos temáticos tratados. c. Perfil del docente usuario de software educativo.- La introducción de las TICs en los procesos pedagógicos se encuentra con una serie de resistencias naturales. Existe resistencia porque la tecnología perturba las formas acostumbradas de enseñanza organizada. Hay que tener en cuenta que la introducción de las TICs en la gestión escolar generan en el docente una serie de interrogantes: ¿qué va a cambiar en mis clases si incorporo estas nuevas herramientas?, ¿cómo las puedo aprovechar en clase?, ¿dónde puedo aprender a usarlas correctamente?, ¿cuenta la institución educativa con infraestructura idónea para el diseño de sesiones de aprendizaje que requieran de TICs? Toda nueva tecnología es utilizada con dominio y naturalidad luego de un proceso de capacitación. El uso del software educativo como herramienta metodológica, implica el dominio instrumental del mismo por parte del docente. Sin embargo, no deja de ser cierto que el dominio de una técnica no garantiza que ésta se use de la mejor manera. Hay que tener en cuenta que nuestras motivaciones, expectativas, temores, dudas, conocimientos y nuestras actitudes favorecen o limitan la incorporación de cualquier tecnología.

18 Se entiende la sesión de aprendizaje como la interacción, en tiempo real, entre el docente y los estudiantes.

SOFTWARE EDUCATIVO

DESARROLLO DE CAPACIDADES

BIBLIOGRAFÍA ESPECIALIZADA

INFRAESTRUCTURA

25

d. Elección de software educativo.- Debemos tener presente que la elección de un software educativo en particular como recurso didáctico, necesita un sustento técnico pedagógico para su uso, dado que por sí mismo no va a resolver los desafíos y las dificultades que se desprenden en los procesos pedagógicos. Son los docentes quienes deben evaluar y seleccionar los softwares educativos de acuerdo con las posibilidades que estos ofrecen como recurso didáctico en su labor docente. Todos los recursos didácticos, convencionales y nuevos, pueden y deben coexistir en el aula. El software educativo surge, en este contexto, como instrumento para ser usado libre y creativamente por docentes y estudiantes en la realización de las actividades más diversas. Profesor y estudiante pasan a ser actores de un mismo proceso: el desarrollo de capacidades. e. Eficacia y eficiencia.- Se entiende por eficacia a la cualidad del software para alcanzar los aprendizajes esperados19 de una determinada unidad didáctica. Cuando un recurso didáctico le da dinámica a los procesos pedagógicos, se puede afirmar que es un recurso eficiente. En este contexto, el software como recurso didáctico es eficiente en la medida que optimiza las energías de los actores involucrados. En consecuencia, al seleccionar un software educativo se debe explicitar: las características técnicas del mismo; los contenidos temáticos a tratar; definir los aprendizajes esperados e indicadores; plantear las situaciones problemáticas a resolver y plantear las actividades y/o estrategias relacionadas a los aprendizajes esperados. 3. ASPECTOS PRIORIZADOS EN EL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL A continuación, a manera de ejemplos, se presentan los aspectos a tratar en la implementación de la hora lectiva adicional. Resulta importante tener en cuenta que el logro de estos aprendizajes (denominados aspectos en la Resolución Ministerial Nº 0027-2007-ED) no son diferentes a los que están en el DCN, sino que han sido extraídos de él por su relevancia para el desarrollo de las capacidades matemáticas. 3.1 PLANTEAMIENTO DE INTERROGANTES QUE PROPICIAN EL RAZONAMIENTO RIGUROSO La geometría es el resultado de una interacción entre el mundo real y nuestra capacidad de abstracción. Esta es la idea central de la presente experiencia de aprendizaje. Específicamente se presenta el cá lculo de áreas superf icia les, e l concepto de volumen y e l cálculo de volúmenes de c il indro circulares rectos. Se pueden hacer variaciones trabajando con otros cuerpos geométricos: prismas, pirámides, esferas, etc. 3.1.1 ¿QUÉ NECESITA SABER EL ESTUDIANTE PARA DAR SOLUCIÓN A ESTA EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE? Cuerpo de revolución.- Son aquellos cuerpos que se generan al rotar una superficie plana alrededor de una recta fija tomada como eje. Por ejemplo el cilindro circular recto:

19 Aprendizaje esperado:= capacidad específica + contenido diversificado

Cilindro Recto R = .................

h = ..................

Área Lateral = ...................

Área Total = .....................

Volumen = ......................

R

h

R

h

26

3.1.2 ¿QUÉ APRENDEN LOS ESTUDIANTES?

� Organizan los datos disponibles. � Identifican interrogantes e incógnitas. � Anticipan argumentos lógicos y el uso pertinente de algoritmos. � Elaboran diseños, tablas y resultados. � Analizan estrategias de resolución de problemas. � Evalúan estrategias metacognitivas para la resolución de problemas.

3.1.3 SECUENCIA DIDÁCTICA Se pide al estudiante que calcule y compare áreas superficiales. El docente pone énfasis en la necesidad que t iene el estudiante de precisar las unidades de medidas a considerar (por ejemplo: cm, cm2, cm3); asimismo es importante reca lcar que e l área es un número que se le asigna a una región determinada. Se sugiere un procedimiento análogo para e l cá lculo y comparación de volúmenes. Se pide a los estudiantes trabajar en equipos conformados por cuatro integrantes. El docente interactúa con los distintos equipos conformados. A continuación se presentan las siguientes actividades: Elaboración de costos: A una Empresa de Servicios se le ha encargado colocar etiquetas a los tarros de leche de una marca conocida. Los tarros de forma cilíndrica, tienen un diámetro de 6 cm y 10cm de altura. La etiqueta debe cubrir toda la superficie lateral. El metro cuadrado de papel que empleará la Empresa de Servicios, cuesta 1,5 nuevos soles. El recorte del papel al tamaño requerido por cada tarro, más la colocación de la misma cuesta 25 céntimos de nuevo sol. Además, la etiqueta de la marca de leche y el dibujo correspondiente cuesta 45 céntimos de nuevo sol para cada tarro. Si en total se encarga la colocación de etiquetas a 20 mil tarros, se quiere saber:

� ¿Qué cantidad de papel, en metros cuadrados, se empleará en esta labor? � ¿Qué costo significa para la Empresa de Servicio cumplir con el trabajo encomendado? � Si se quiere ganar el 30% del costo, ¿cuánto debe cobrar la Empresa de Servicios?

Pozo de agua: Un pozo de agua cuya forma es cilíndrica tiene 15 metros de profundidad, un radio interior de 1,5 metros y el espesor de la pared es de 0,5 metros. Se pide obtener:

� La capacidad de agua al llenar el pozo. � El área lateral y total de la pared interior del pozo. � El área lateral y total de la pared exterior del pozo. � El volumen de la pared del pozo.

h

r

h

r

h

r

h

r

2 π r

r

h

r

2 π r

h

r

h

rr

2 π r

r

27

3.2 SITUACIONES PROBLEMÁTICAS DE LA VIDA DIARIA 3.2.1 Experiencia de Aprendizaje20.- Nuestro amigo Gabino sale de su casa, camina por la calle y se dirige hasta una librería donde compra unos plumones para realizar una asignación; luego, regresa a su casa a cumplir con las labores escolares. El gráfico adjunto describe el movimiento de Gabino teniendo en cuenta que el tiempo transcurre en minutos, desde el instante en que salió de su casa, y la distancia, hasta su domicilio, se expresa en metros en cada instante.

5 10 15 20 25

200

100

distancia

tiempo

Se solicita al estudiante que:

� Formule la regla de correspondencia que expresa la distancia recorrida. � Interprete la función distancia. � Identifique, en el plano cartesiano, la posición inicial y la posición final de Gabino � Discrimine la distancia recorrida por Gabino desde la casa a la librería y el tiempo

que tarda en llegar a ésta. Además, se pide contestar las siguientes preguntas:

� ¿Cuánto tiempo permanece Gabino en la librería? � ¿Cuánto tiempo empleó Gabino para volver a casa?

20 Se hace explícita la necesidad de manejar información de la componente Geometría y Medida (Plano Cartesiano; ejes coordenados; par ordenado; etc.) y la Componente Número, relaciones y funciones (variable dependiente e independiente; regla de correspondencia de una función; dominio de una función; etc.)

r

R

r

R

rr

R

rR rR rR rR

28

3.2.2 En el campo de la Ingeniería Civil al momento de realizar el diseño y posterior construcción de un puente se puede identificar, como en la figura adjunta, un arco semielíptico; dicho arco tiene la forma de la mitad superior de una elipse y es usado para sostener un puente que debe atravesar un río de 24 metros de ancho. En el centro el arco la longitud de la altura es de 8 metros, desde el centro del río. Esta descripción nos invita a plantear una situación problemática de la vida real; por ejemplo se puede pedir que se deduzca la ecuación de la elipse que contiene al arco semielíptico21. Además, se puede pedir encontrar la altura del arco a 3, 6 y 9 metros desde el centro del río. 3.3 ELABORACIÓN DE ORGANIZADORES VISUALES La actividad lúdica y los organizadores visuales.- Los juegos matemáticos, planteados como desafíos cognitivos, posibilitan un acercamiento extraordinario al mundo de los números y de las formas. Tienen la particularidad de traspasar el aula de clase y llegar hasta los hogares como entretenimiento colectivo que al ser compartidos en familia motiva el interés y el placer por aprender. Eric Jensen22 al referirse a la influencia del entorno, plantea que para enriquecer el cerebro se debe entender el aprendizaje como un reto, es decir novedoso y desafiante, y a su vez se requiere de una retroalimentación interactiva o feedback. Sugiere variar las estrategias de enseñanza frecuentemente, por ejemplo el uso de rompecabezas, juego de palabras, acertijos, crucigramas matemáticos son excelentes para generar procesos mentales que converjan al desarrollo de capacidades específicas; también practicar juegos lógicos de computadora, trabajos grupales, realizar excursiones, elaborar revistas, así como realizar proyectos de aprendizaje. En este contexto, dado que se necesita organizar e internalizar la información (entendida como un conjunto de reglas y/o procedimientos a seguir) resulta pertinente apelar a estructuras visuales para organizar tanto la información como los procesos cognitivos involucrados en sendas actividades lúdicas . Se invita a los estudiantes del sexto ciclo a la práctica del cálculo mental, mediante la realización de actividades lúdicas que impliquen el uso de operaciones combinadas:

21 Se sugiere seleccionar un sistema de coordenadas rectangulares adecuado, por ejemplo hacer que el Eje X coincida con el nivel del agua y el Eje Y pase por el centro del arco. 22 Autor del libro “Cerebro y aprendizaje”

24 m

8 m

29

3.3.1 ¿Qué aprenden los estudiantes? - Discriminan procesos cognitivos usados en el razonamiento. - Anticipan el uso pertinente de algoritmos. - Organizan los datos disponibles. - Analizan condiciones determinadas. - Elaboran resultados. - Evalúan conceptos y relaciones. 3.3.2 Secuencia didáctica El docente presenta los juegos a realizar. Se pide a los estudiantes trabajar en equipos conformados por cuatro integrantes. Los estudiantes leen las instrucciones y/o reglas propuestas para todos por igual para así poder participar en el juego matemático respetando los turnos y prestando atención al desarrollo del mismo. El docente interactúa con los distintos equipos conformados. Al finalizar la actividad se puede formular las siguientes preguntas a los participantes: ¿Qué te pareció el juego?, ¿Es un juego donde interviene el azar o el razonamiento?, ¿Qué capacidades crees que desarrollas en la actividad? 3.3.3 Regularidades Numéricas 3.3.3.1 Cuadrados Mágicos.- Las filas, columnas y diagonales tienen la misma suma. Denominándose a dicha suma número mágico. Suma 15: Hay que distribuir los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en los nueve casilleros de un cuadrado de 3x3, de modo que éste sea mágico. Se debe permitir al alumno ensayar hasta obtener el cuadrado mágico deseado, y no darles las respuestas o artificios que inhiben el desarrollo de habilidades, limitándolo a repetir las instrucciones.

2 9 4

7 5 3

6 1 8

3.3.3.2 Triángulos Mágicos.- De manera similar hay que distribuir los números: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9, de modo tal que la suma de cada lado del triángulo sea 20. Presentamos dos soluciones. Anímate a encontrar las otras soluciones. Además de promover la búsqueda de más soluciones, es oportuno también inventar desafíos y discriminar los casos que no son posibles como figuras mágicas. Por ejemplo para el caso de los triángulos mágicos, podemos usar recursos algebraicos para la construcción de estas figuras: Para que sea mágico los lados deben sumar igual a k. Entonces planteamos:

5

2

6

7

8

4

3 1 9

5

2

4

9

8

6

1 7 3

30

x + a + b + y = k y + c + d + z = k x + e + f + z = k Sumando las 3 ecuaciones y reemplazando: x + y + z + 45 = 3k x + y + z mínimo: 1 + 2 + 3 = 6 x + y + z máximo: 7 + 8 + 9 = 24 Entonces “k” puede ser: 17, 18,..., 23 Hemos obtenido un método para inventar triángulos mágicos. Son procesos que el docente y los estudiantes pueden abordar. En nuestro ejemplo presentado: k = 20, luego x + y + z = 15. Estas deducciones nos permiten invertir menor tiempo en nuestros ensayos de solución, así como la imposibilidad de solución. Por ejemplo no hay triángulo mágico, cuyos lados sumen 24. No es necesario intentarlo. Hemos visto que todos podemos identificar las restricciones y de ello deben estar informados los estudiantes 3.3.3.3 Colocar los números del 1 al 8 , uno en cada casilla, en la figura que se muestra, de tal manera que las casillas correspondientes a dos números consecutivos no se toquen ni por los lados ni por los vértices.

3.3.3.4 Los números a partir de 1 son arreglados en cuatro columnas como se muestra a continuación:

A B C D

1 2 3 4

8 7 6 5

9 10 11 12

......... ........ 14 13

¿En qué columna debe aparecer el número 101? 3.3.3.5 Se juega un triangular de fútbol - sala entre Cristal, Alianza y Universitario jugando dos partidos cada equipo. Luego de concluido el triangular, se presenta la siguiente tabla con los goles a favor (GF) y los goles en contra (GC) que tuvo cada equipo. Encontrar cuántos goles hubo en el partido “ CRISTAL - UNIVERSITARIO”

y

c

d

z

b

a

x f e

31

Equipo GF GC

CRISTAL 6 3 Alianza 3 6

Universitario 4 4 3.4 RECOPILACIÓN DE INFORMACIÓN ESTADÍSTICA RELACIONADA A CARACTERÍSTICAS DE UN ÁMBITO GEOGRÁFICO 3.4.1 Una empresa agrícola paga sueldos a sus trabajadores que varían de S/. 300 a S/.800 mensuales, distribuidos en 5 intervalos de igual longitud con frecuencias porcentuales de 15%, 20%, 30%, 20% y 15% respectivamente. Se pide:

� Organizar los datos disponibles en una tabla de distribución para datos agrupados en intervalos.

� Calcular la media de los sueldos. � Calcular la mediana de los sueldos. � Inferir el porcentaje de trabajadores que tienen sueldos superiores al salario medio.

3.4.2 Vitoko estaba interesado en saber con qué frecuencia come fruta, así que durante el mes de mayo apuntó el nombre de cada fruta que comía. Luego elaboró la siguiente tabla:

Fruta Frecuencia

Sauco 8 Plátano 13 Cocona 10 Total 31

Elabora, en la siguiente cuadrícula, un diagrama de barras que represente los datos de la tabla anterior:

3.4.3 En la casa de Wilson crían gallinas blancas (B); negras (N) y rojas (R). Wilson hace el diagrama que se muestra abajo; para representar la cantidad de gallinas de cada color.

32

A partir del diagrama; si hay 15 gallinas blancas; ¿cuántas no son blancas? 3.5 PROYECTOS DE INVESTIGACIÓN RELACIONADOS A PROCESOS PRODUCTIVOS El diseño, elaboración, formulación y aplicación de un proyecto de investigación permite la participación activa de los estudiantes desde su concepción a nivel de idea, hasta su planteamiento como estudio de prefactibilidad y, luego de pasar por una serie de filtros, su viabilidad y aplicación. La posible solución de la situación problemática identificada en el proyecto, debe concretarse en un producto, bien o servicio. 3.5.1 Factibilidad de un proyecto productivo.- Se sugiere la siguiente secuencia:

� Identificar las necesidades, características o demandas del ámbito geográfico local al que se desea dar cobertura con el proyecto de investigación. Por ejemplo, en una Institución Educativa de la amazonía se ha identificado que los estudiantes tienen deficiencia en minerales como el hiero y en vitamina B; una característica de la localidad es la producción de frutos como la cocona.

� Identificar proyectos productivos que respondan a estas necesidades; así como identificar costos y beneficios en el diseño, elaboración, formulación y aplicación de los proyectos

� Realizar una listado de al menos ocho ideas que puedan plasmarse en un proyecto, considerando siempre que las propuestas deben satisfacer las necesidades planteadas: por ejemplo en esta localidad se puede elaborar mermelada de cocona; jugos y zumo de cocona; yogurt de cocona o helados de cocona, chocotejas elaboradas con frutos de la localidad (por ejemplo cocona, sauco). Hasta esta etapa los estudiantes han identificado procesos productivos que presumiblemente tendrán una respuesta del mercado dado que de alguna manera satisfacen una necesidad local.

� Realizar una evaluación (recogida de data, organización y sistematización de la información, interpretación y análisis de la data) exhaustiva para determinar la viabilidad del proyecto formulado: definir una conjunto de filtros que determinen la viabilidad del proyecto.

Teniendo en cuenta la secuencia sugerida, se puede observar que los estudiantes participan en la programación y toma de decisiones; además, un proyecto de investigación puede ser desarrollado por cualquiera de las áreas curriculares o por un conjunto de ellas. Por ejemplo, supongamos que el proyecto empresarial seleccionado es “Producción y comercialización de yogurt de cocona”, de manera natural este proyecto se puede llevar a cabo desde las áreas de CTA; Educación para el Trabajo y Matemática. Sin pérdida de generalidad, si la producción - en un primer momento - es artesanal (yogurt casero), se debe tener en cuenta las siguientes equivalencias:

CostoIngresoUtilidad −=

B N R

ColorCantidad

33

Premisas: i) Costo = Cv + Cf ; donde Cv : costo variable, Cf : costo fijo. ii) Ingreso = (precio unitario)*(número de artículos vendidos) iii) Si la Utilidad es mayor que cero, entonces existe ganancia.

donde Pv : precio de venta, Pc : precio de costo; g : ganancia. Premisas: i) Pv > Pc ii) Si g > 0, se denomina ganancia Si g < 0, se denomina pérdida Si g = 0 , no se gana ni se pierde23 3.6 MODELIZACIÓN MATEMÁTICA Y SITUACIONES PROBLEMÁTICAS DE LA VIDA 3.6.1 En una ciudad de la selva central, el alquiler de motos cuesta S/. 15 el día más S/. 0,50 por kilómetro recorrido.

� Sea x la distancia recorrida, en kilómetros, en un día de alquiler. Sea y el costo de alquilar una moto, por el lapso de un día, para un recorrido de x kilómetros.

� Completa la siguiente tabla:

x: distancia recorrida, en kilómetros, en un día de alquiler

10 20 35 45 58

y: costo de alquiler, por día, en nuevos soles

� Formula la relación o correspondencia que denota el costo de alquilar una moto, en el

lapso de un día, para x kilómetros. 3.6.2 La trayectoria del salto de un animal suele ser parabólica. La figura ilustra el salto de un conejo en un plano coordenado. La longitud del salto es de 9 pies y la altura máxima con respecto al suelo es 3 pies. Encuentre una regla de correspondencia que nos permita calcular la trayectoria del conejo.

23 Sin perdida de generalidad se puede afirmar que se ha perdido tiempo en la ejecución del proyecto y, también, que se ha ganado experiencia en la ejecución del proyecto.

gPP cv +=

34

3.7 RAZONAMIENTO INFERENCIAL DEDUCTIVO 3.7.1 Situación de la vida diaria.- Observa el recibo de luz adjunto y responde las siguientes preguntas:

Detalle de Importes por Consumo

Cargo por Energía Cargo Fijo Alumbrado Público Reposición y Mantenimiento de conexión Interés Compensatorio SUB TOTAL MES ACTUAL I.G.V.

Total importes por Consumo

72.722.067.100.611.12

83.6115.88

S/. 99.49

Datos del Suministro

Alimentador : PA-06 Poten. Contratada : 6.00 kw medidor : MONOFASICO Conexión : SUBTERRANEA

Detalle del Consumo FP

Lectura Actual (09/08/06) 1060 Lectura Anterior (09/07/06) 842 Factor 1 Consumo Kwh. 218 Precio Unitario S/. Kwh. 0.3336

CONSUMO HISTORICO EN KWh

0

50

100

150

200

250

Nv Dc En Fe Mr Ab My Jn Jl Ag

Fecha de Emisión Fecha de vencimiento Total a Pagar

09/AGO/2006 24/AGO/2006 S/.*******99.49

Empresas de Distribución

Eléctrica

Propietario: Inmobiliaria El Derby Usuario: Augusto Palmas Zavala Dirección: Calle El Derby 555 Surco Nº Recibo: B-15645625 Ruta: 88-276-2869-73

Agosto 2006Agosto 2006Agosto 2006Agosto 2006

35

� En el detalle de consumo, ¿cuál es la lectura del mes actual?; ¿cuál es la lectura del mes anterior?

� ¿Cuántos kwh se han consumido desde el 09/07/2006 y el 09/08/2006? � Si el cargo por energía correspondiente al consumo del mes actual es de S/.72,72

¿Cuántos nuevos soles cuesta 1kwh? � Si en el siguiente mes consume 250 kwh, ¿cuánto pagará por cargo de energía? � ¿Cuántos kwh deberá consumir para pagar S/. 66,72?

3.7.2APROXIMACIONES E ITERACIONES La función raíz cuadrada.- La función real de variable real f, cuya regla de correspondencia es

xxf =)( , está definida para el conjunto de números reales no negativos. La notación x se utiliza para representar al número real raíz cuadrada de x, x no negativo:

x 0 1 2 4 9

f(x) 0 1 2 2 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

Función Raíz Cuadrada

La función raíz cuadrada f es una función creciente, es decir:

)()( :)(, 212121 xfxfxxSifDomxx <⇒<∈∀

3.7.2.1 La notación 2 se utiliza para representar al número irracional raíz cuadrada de dos. Existen varias maneras de aproximar este valor; por ejemplo, a partir de la fórmula de recurrencia24:

1 donde );(2

101 =+=+ x

x

axx

n

nn

se puede obtener, mediante iteraciones, el valor de la raíz cuadrada de a. Así, si a = 2:

1 ;2

3)3(

2

1)

1

21(

2

101 ===+= xx

24 Atribuido a Herón de Alejandría

36

12

17)

3

4

2

3(

2

1)

2

3

2

2

3(

2

12 =+=+=x

408

577)

17

24

12

17(

2

1)

12

17

2

12

17(

2

13 =+=+=x

.

.

.

2=∞→xlím n

n

3.7.2.2 También, para hallar el valor del número real 2 podemos hacer uso del Método de Newton de Aproximaciones Sucesivas, teniendo en cuenta que existen algunas condiciones iniciales para su aplicación. Es importante tener en cuenta que no siempre el Método de Newton genera aproximaciones que convergen hacia la raíz que se desea encontrar, una

dificultad es que el valor inicial 0x no esté suficientemente cerca de la raíz a encontrar, para

iniciar el proceso de convergencia; otra dificultad surge cuando f '(x) es cero en la raíz o cerca

de la raíz, dado que )f '(xn se encuentra en el denominador del algoritmo.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

A partir de la gráfica, sea ,2 Si .2)(' ;2)( 0

2 ==−= xxxfxxf entonces la fórmula de

recurrencia es la siguiente: )('

)(1

n

n

nnxf

xfxx −=+ . De donde,

5,12

3

4

221 ==−=x

6416,112

17

3

4

1

2

32 ≈=−=x

37

4142156863,1408

577

6

17144

1

12

173 ≈=−=x

4142135624,196049728

135834828

204

577166464

1

408

5774 ≈=−=x

.

.

.

7168872420973095048804142135623,12 ≈ Tanto en i como en ii, la Calculadora Científica DS-737CQ sirve como medio de comprobación o verificación de resultados. 3.7.2.3 Obviamente, surge una interrogante: ¿Para qué utilizar estos procedimientos si existe la calculadora? Bueno, si bien es cierto que actualmente se puede conocer, presionando un botón, el valor de la raíz cuadrada de a, a no negativo; haciendo un poco de memoria ¿cómo hicieron las civilizaciones antiguas para obtener una aproximación de estos números irracionales? El Antiguo Imperio Babilónico se desarrolló en Mesopotamia entre los años 1900 A.C. y 1600 A.C. Existen, en la actualidad, tabletas cuneiforme de arcilla fielmente resguardadas en museos de universidades de prestigio25 a nivel mundial. La notación cuneiforme expresa números en base sexagesimal. Los babilonios resolvían, de manera natural a partir de un conjunto de tablas de sumas de cuadrados y cubos, ecuaciones de grado dos y grado tres. Sin embargo, resulta interesante cómo es que los babilonios hallaban una buena aproximación a la raíz cuadrada de un número dado. Se asume que los babilonios utilizaban un algoritmo similar al de Herón de Alejandría; es decir, empezaban por una aproximación inicial 0x .

Por ejemplo, para hallar 32 , a partir de la gráfica de la función raíz cuadrada es fácil ver que

6325 << ; entonces 10 ;532 <<+= αα . Elevando al cuadrado ambos términos,

tenemos 2102532 αα ++= . Es decir 10 ;0710 22 <<<=−+ αααα . Sin pérdida de

generalidad, despreciando el valor de 2α , obtenemos 7,010

7==α . Por lo tanto, una primera

aproximación a la 32 es 5+0,7=5,7. Geométricamente: a b a a b b a b

25 Por ejemplo la Colección Babilónica de la Universidad de Yale.

Se observa que el área de la región cuadrada “grande” equivale a la suma de las áreas de las regiones interiores:

222 2)( bababa ++=+ , lo cual implica 22 2 bababa ++=+ .

Si la longitud del lado b es pequeña, entonces 0 a tiende2b ;

haciendo h = 2ab: a

haha

2

2 +≈+ . En nuestro ejemplo:

7,532 )5(2

7575 :7 ;5 2 ≈⇒+≈+== haSi

a2

b2

ab

ab

38

3.8 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS TEÓRICO-PRÁCTICOS 3.8.1 Ley de senos.- Un avión es observado por dos personas que se encuentran a 300 metros de distancia una de la otra. Cuando el avión pasa por la recta que los une, cada observador mide el ángulo de elevación al avión, como indica la figura adjunta. ¿A qué distancia del avión se encuentran las personas en dicho momento?26 Solución: Sea b la longitud, en metros, desde el avión al observador A y sea a la longitud desde el avión al observador B. La medida del ángulo comprendido por las longitudes de los lados b y a es igual 70º (180º-110º). Aplicando la ley de los senos tenemos:

Longitud de a: 47,24494,0

)766,0(300

º70

º50 .300

300

º70 º50 ≈≈=⇒=

sen

sena

sen

a

sen

Longitud de b: 38,27694,0

)866,0(300

º70

º60 .300

300

º70 º60 ≈≈=⇒=

sen

senb

sen

b

sen

Por lo tanto, la distancia a la cual se encuentra la persona desde el punto de observación A es 276,38 metros aproximadamente. La distancia a la cual se encuentra la persona desde el punto de observación B es 244,47 metros aproximadamente. 3.8.2 Ley de cosenos.- Se piensa construir un túnel que atraviese una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo toma las medidas que aparecen en la figura adjunta. Utilice los datos del topógrafo para hacer un cálculo aproximado de la longitud del túnel.

26 cuya respuesta numérica se puede verificar con la Calculadora Científica DS-737CQ:

39

Solución: Sea c la longitud del túnel (AB = c). Aplicando la ley de los cosenos relativa al ángulo C, obtenemos una aproximación de la longitud del túnel:

)º80 )(cos65)(118(2)65()118( 222 −+=c

)174,0)(15340(4225139242 −+≈c

84,154792 ≈c

42,124≈c La longitud del túnel es 124,42 metros aproximadamente. 3.9 CONTABILIDAD BÁSICA EN PROYECTOS EMPRESARIALES Proyectos Empresariales.- Mediante este tipo de proyectos se propicia el desarrollo de capacidades y actitudes emprendedoras y empresariales. Se deben generar espacios, por ejemplo en el trabajo entre áreas, para el desarrollo de sendas potencialidades para que el estudiante pueda incorporarse a la Población Económicamente Activa (PEA) una vez finalizada su educación secundaria. Es necesario explicitar la importancia de la planificación, la noción de inversión, costos y gastos; así como el cálculo de la inversión, cálculo del costo unitario, determinación del precio unitario y el flujo de efectivo. 3.9.1 ELEMENTOS CONTABLES BÁSICOS27 En el marco de los Proyectos Empresariales, desde el área de Matemática se puede sugerir un precio de venta por unidad en función de la estructura de costos. Por ejemplo, en la Institución Educativa Nuestra Señora de la Misericordia, existen diez secciones por grado en el Nivel de Educación Secundaria. Luego de analizar la factibilidad del proyecto, las alumnas de tercero de secundaria (todas las secciones) han optado por la elaboración y confección de faldas para dama. A continuación, el equipo de docentes del área de Matemática presenta – para su adaptación - una experiencia de estructura de costos a las alumnas del tercer grado de secundaria: 3.9.1.1 Proyección de ventas en unidades; es un instrumento de gestión importante para el desarrollo y posicionamiento del proyecto. En la proyección de ventas por unidades se consigna la cantidad de faldas que se espera vender en un intervalo de tiempo (semanas, meses, años). Se sugiere tener en cuenta la estacionalidad28 del producto. Ejemplo:

Periodo (un año) Nº Producto

Ene Feb Mar Abr . . . Oct Nov Dic

Total

1 Falda 700 700 700 650 600 650 650 10000

2

3.9.1.2 Cálculo de la inversión; para lo cual es necesario: i. Cálculo de activo fijo:

I. ACTIVO FIJO : Producción de faldas LISTA DE REQUERIMIENTOS POR RUBRO Infraestructura

27 Tomado de “Desarrollando Capacidades Emprendedoras y Empresariales”- Manual del Docente. 28 La estacionalidad está referida a los intervalos de tiempo en los cuales el producto tiene mayor demanda.

40

Construcción de local Instalación eléctrica Instalación de agua y desagüe Maquinarias y equipos Máquina de costura recta Máquina remalladora Máquina ojalatera Herramientas Tijera Regla curva Agujas

Muebles y enseres Mesa para corte Escritorio Silla Estante

RUBRO VALOR UNITARIO (en nuevos soles)

REQUERIMIENTO (en unidades)

Infraestructura Construcción de local Instalación eléctrica Instalación de agua y desagüe

2000,00 150,00 450,00

01 01 01

Maquinarias y equipos Máquina de costura recta Máquina remalladora Máquina ojalatera

1200,00 1500,00 800,00

02 01 01

Herramientas Tijera Regla curva Agujas

20,00 12,00 2,00

05 10 25

Muebles y enseres Mesa para corte Escritorio Silla Estante

450,00 250,00 20,00 250,00

02 02 06 03

TOTAL (en nuevos soles)

RUBRO

VALOR UNITARIO (en nuevos soles)

REQUERIMIENTO (en unidades) COSTO

FIJO COSTO VARIABLE

Infraestructura Construcción de local Instalación eléctrica Instalación de agua y desagüe

2000,00 150,00 450,00

01 01 01

2000,00 150,00 450,00

Maquinarias y equipos Máquina de costura recta Máquina remalladora Máquina ojalatera

1200,00 1500,00 800,00

02 01 01

2400,00 1500,00 800,00

Herramientas Tijera

20,00

05

100,00

41

Regla curva Agujas

12,00 2,00

10 25

120,00 50,00

Muebles y enseres Mesa para corte Escritorio Silla Estante

450,00 250,00 20,00 250,00

02 02 06 03

950,00 500,00 120,00 750,00

TOTAL 9840,00 ii. Cálculo de gastos preoperativos:

II. GASTOS PREOPERATIVOS TOTAL (en nuevos soles)

RUBRO VALOR UNITARIO (en nuevos soles)

REQUERIMIENTO (en unidades) COSTO

FIJO COSTO VARIABLE

Infraestructura Licencia de funcionamiento Licencia de avisos Elaboración de manuales de operación y producción Estatutos Elaboración de planos Gastos de constitución legal Capacitación del personal Capacitación del empresario

320,00 100,00 250,00 320,00 150,00 800,00 450,00 200,00

01 01 01 01 01 01 01 01

320,00 100,00 250,00 320,00 150,00 800,00 450,00 200,00

TOTAL 2590,00

iii. Cálculo de capital de trabajo; se determina la cantidad de faldas a elaborar según la proyección de ventas por unidades. Asumamos que se van a confeccionar 600 faldas:

III. CAPITAL DE TRABAJO TOTAL (en nuevos soles)

RUBRO

VALOR UNITARIO (en nuevos soles)

REQUERIMIENTO COSTO

FIJO COSTO VARIABLE

Materia prima e insumos Tela color negro Cierres negros de 15cm Botones negros

6,00 0,50 0,10

420 metros 600 unidades 600 unidades

2520,00 300,00 60,00

29 Es necesario explicitar que la mano de obra se puede considerar como costo fijo o costo variable.

42

Hilo Forro Mano de obra29 Costurera(o) Cortador Habilitador/control

5,00 3,00 1,00 1,00 0,83

60 conos 420 metros 600 unidades 600 unidades 600 unidades

300,00 1260,00 600,00 600,00 498,00

TOTAL 6138,00 iv. Cálculo de costos indirectos:

IV. COSTOS INDIRECTOS TOTAL (en nuevos soles)

RUBRO

VALOR UNITARIO (en nuevos soles)

REQUERIMIENTO COSTO

FIJO COSTO VARIABLE

Gastos administrativos Sueldos de personal administrativo. Útiles de oficina Pasajes Alquiler de tienda Mantenimiento Agua Electricidad

450,00 50,00 2,00 150,00 10,00 10,00 300,00

02 01 50 01 01 01 01

900,00 50,00 100,00 150,00 10,00 10,00 300,00

Gastos de ventas Vendedor Publicidad (anuncio en radio por un mes)

500,00 250,00

01 01

500,00 250,00

TOTAL 2270,00 3.10 COSTOS Y BENEFICIOS EN EL DESARROLLO DE PROYECTOS En el marco de los proyectos empresariales y teniendo en cuenta lo tratado en 3.9, a continuación pasamos a calcular los costos y beneficios del proyecto de elaboración y confección de faldas para dama: 3.10.1 Cálculo del costo unitario; se realiza a partir de la estructura de costos: 3.10.1.1 Cálculo del costo fijo unitario:

)

(

)( )(

proyectodelvidadecicloel

enproducidasunidadesdeTotal

CFTTotalFijoCostoCFUUnitarioFijoCosto =

IndirectosCostosseoperativoGastosFijoActivoCFTTotalFijoCosto Pr )( ++=

En nuestro ejemplo:

43

735,020000

14700

20000

227025909840==

++=CFU ;

tener en cuenta que en el denominador se ha considerado 20000 dado que el proyecto tiene un ciclo de vida de dos años. 3.10.1.2 Cálculo del costo variable unitario:

mesunenproducidasunidadesdeTotal

CVTTotalVariableCostoCVUUnitarioVariableCosto

)( )( =

En nuestro ejemplo:

23,10600

6138==CVU ;

en donde el capital de trabajo se asume como el equivalente al costo variable total. 3.10.1.3 Costo total unitario:

CVUCFUCTUUnitarioTotalCosto +=)( En nuestro ejemplo:

965,1023,10735,0 =+=+= CVUCFUCTU 3.10.2 Determinación del precio; obviamente para determinar el precio de venta se debe tener como referencia los costos de producción y, como referencia, el precio de venta del producto en el mercado (la competencia) . Asimismo, se debe considerar si el producto se va a diferenciar en el precio o en calidad. Así:

)()( Pr GGananciaCTUPVVentadeecio += ; donde PV es el precio de la competencia, en nuestro caso 20 nuevos soles. Despejando el valor de G:

77,923,1020 =−=−= CTUPVG ; donde G = 9,77 equivale, aproximadamente, al 95,5% del CTU. De lo expuesto, la ganancia máxima es 9,77 nuevos soles ( 77,90 ≤< G ). Si se va a diferenciar en el precio, entonces

2023,10 << PV . Una vez realizado el cálculo de la inversión, de los costos y fijado el precio por unidad del producto; de manera análoga se efectúa una proyección de ventas y, finalmente, se elabora el flujo de efectivo o caja. 4. EL PROGRAMA ESPECIAL DE LA HORA LECTIVA ADICIONAL Y LA EVALUACIÓN DE APRENDIZAJES La evaluación del aprendizaje en el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional se realiza con el mismo enfoque, criterios e indicadores existentes para evaluar los aprendizajes en el área de Matemática. En ese sentido, la evaluación cumple con el propósito fundamental de mejorar el aprendizaje de los estudiantes. Se realiza en forma permanente, flexible, integral y sistemática. Los resultados de la evaluación obtenidos en el PEHLA forman parte de la evaluación realizada en el área de Matemática.

44

4.1 CRITERIOS DE EVALUACIÓN E INDICADORES Los criterios de evaluación utilizados en el PEHLA son los mismos que los del área de Matemática. Es decir, las capacidades de área siguen siendo las unidades de recojo de información y comunicación de los resultados de la evaluación; así como la actitud frente al área. Los indicadores hacen observable el aprendizaje de los estudiantes y, a partir de ellos, se formulan los reactivos o ítems. Se debe procurar que haya coherencia entre los aprendizajes esperados, los indicadores que los evidencian y las actividades propuestas a los estudiantes para evidenciar que han aprendido. Es importante tener en cuenta que lo que se hace en el PEHLA es fortalecer los aprendizajes que se alcanzaron en el área de Matemática. Por lo tanto, se preservan los criterios de evaluación y los indicadores, aun cuando la situación de evaluación cambie. La evaluación del aprendizaje en el PEHLA se realizará preferentemente en situaciones problemáticas de la vida real, debido a que es un espacio para fortalecer y transferir a situaciones nuevas los aprendizajes desarrollados en el área de Matemática. 4.2 CALIFICACIÓN DE LOS RESULTADOS La valoración de los resultados se realiza de manera análoga que el área de Matemática. Al final de cada periodo (bimestre o trimestre), los estudiantes obtienen un calificativo30 en cada criterio, esta calificación parcial pasa a ser una más de las que obtenga el estudiante, en el mismo periodo, en el área de Matemática. Cuando el área de Matemática y el PEHLA son desarrollados por el mismo docente resulta natural utilizar un solo registro auxiliar, siempre que se reserve un espacio para colocar el calificativo del PEHLA. Dicho registro auxiliar puede tener la siguiente estructura:

REGISTRO AUXILIAR DEL DOCENTE DEL ÁREA DE MATEMÁTICA PRIMER BIMESTRE

Raz. y Dem. Com. Mat. Res. Prob. Actitud Apellido paterno; Nombre MAT PEHLA

Prom.

MAT PEHLA

Prom.

MAT PEHLA

Prom.

MAT PEHLA

Prom.

Melgarejo; Homer

16 15 14 15

Sin pérdida de generalidad, se puede afirmar que el calificativo del bimestre o trimestre de cada criterio en el área de Matemática se obtiene promediando31 los calificativos que el estudiante haya obtenido en dicho periodo en el área de Matemática (MAT) y en el Programa Especial de la Hora Lectiva Adicional (PEHLA). Tener en cuenta que independientemente si es un docente

30 Se utiliza la escala de cero a veinte y los resultados se registran y comunican por cada criterio de evaluación. 31 Promedio aritmético simple.

Este calificativo pasa al registro de evaluación

Calificativo del PEHLA

Calificativos del Área de

Matemática

45

o dos docentes las personas responsables de la calificación del área de Matemática, el calificativo final del bimestre o trimestre es el mismo32. 4.3 INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN Una preocupación permanente durante las sesiones de aprendizaje está relacionada a la elaboración de instrumentos de evaluación y el tiempo empleado en la aplicación de sendos instrumentos; por cuestiones metodológicas inherentes a nuestra labor pedagógica la elaboración de sendos instrumentos deben propiciar el desarrollo de estrategias de resolución de situaciones problemáticas en los estudiantes. Plantear y resolver problemas desarrolla su creatividad en un grado que resulta insospechado. Asimismo, deben generar confianza en sus posibilidades de hacer matemática, estimulando su autonomía y expresando el grado de comprensión de sus conocimientos. Tener en cuenta que la evaluación es de carácter formativo para regular el proceso de aprendizaje y está dirigida a verificar los avances o dificultades en el desarrollo de los aprendizajes. Los instrumentos de evaluación no deben ser considerados como instrumentos de selección para identificar “estudiantes que saben” y “estudiantes que no saben”. Por ejemplo, teniendo en cuenta la situación problemática enunciada en la sesión de aprendizaje

de 2.3.2.3, analizar la función cuadrática 24)( xxxU −= implica que el estudiante de cuarto grado de secundaria:

� Identifique funciones cuadráticas a partir de su regla de correspondencia � Identifique funciones cuadráticas en el plano cartesiano � Infiera el comportamiento de funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo. � Interprete funciones cuadráticas a partir de su punto de máximo;

Lo cual se puede observar, de manera general, en el siguiente recuadro:

Aprendizaje de una sesión

Indicadores Acciones realizadas por el estudiante Instrumentos

Analizar la función utilidad

24)( xxxU −=

1.1 Identifica la función

cuadrática 24)( xxxU −= a partir de su regla de correspondencia. 1.2 Identifica la función

cuadrática 24)( xxxU −= en el plano cartesiano. 1.3 Infiere el comportamiento de la función cuadrática

1.1.1 Identificar la abscisa del vértice de U. 1.1.2 Identificar la ordenada del vértice U. 1.2.1 Identificar el vértice de la parábola U. 1.2.2 Identificar la intersección de la parábola U con los ejes coordenados en el plano cartesiano. 1.3.1 Discriminar los valores x del dominio de U tal que U es creciente o decreciente a partir de su punto de máximo.

Prueba de opción múltiple Ficha de Cotejo o Verificación

32 Dado que el calificativo final (bimestral o trimestral) es por promedio aritmético simple.

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24)( xxxU −= a partir de su punto de máximo 1.4 Interpreta la función

cuadrática 24)( xxxU −= a partir de su punto de máximo.

1.4.1 Identificar el valor máximo de la función cuadrática U. 1.4.2 Interpretar el valor máximo de la función utilidad U.

Del recuadro, los indicadores 1.3 y 1.4 se pueden evidenciar, de manera natural, mediante los siguientes aspectos:

� Planteamiento de interrogantes que propicien el razonamiento riguroso. � Situaciones problemáticas relacionadas a funciones cuadráticas. � Resolución de problemas teóricos prácticos vinculados a la vida diaria. � Proyectos de investigación relacionados a procesos productivos y flujo comercial.

Además, se puede identificar un aspecto que - por su naturaleza - se considera clave al realizar la transferencia de la información obtenida a situaciones reales y se presenta transversalmente:

� La modelación matemática. Sendos aspectos se pueden explicitar mediante reactivos o ítems en, por ejemplo, una Ficha de Verificación o una Prueba Escrita; las cuales inclusive, apelando a las TIC’s, se pueden elaborar en formato multimedia (lenguaje HTML o Java Script). 4.3.1 Elaboración de preguntas Partiendo de la premisa que la evaluación de los aprendizajes debe estar orientada al desarrollo de las capacidades del área y que el pensamiento matemático es un proceso que involucra un conjunto de procesos mentales (cognición) que convergen en la solución de situaciones problemáticas; se presenta a continuación elementos a tener en cuenta en la elaboración de reactivos en el marco del PEHLA 4.3.1.1 La gráfica como complemento de la pregunta.- Una constante en la labor pedagógica del docente de Matemática es ¿qué preguntas formular para evaluar?, el punto de partida debe tener en cuenta qué es lo que están aprendiendo los estudiantes. En este contexto, la evaluación forma parte del proceso de desarrollo de capacidades. Definitivamente, una gráfica complementa la comprensión de un enunciado; por ejemplo: i.- A partir de una caja abierta hay que elaborar una pieza rectangular de cartón de 20 x 30 cm, cortando cuadrados idénticos de área x2 de cada esquina y volteando hacia arriba los lados. Formular el volumen V de la caja como una función de x.

20

?

x x

30

?

x

x

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ii.- En una balanza de platillos se observa que al colocar 3 envases iguales de vidrio y una pesa de 50 gramos en un platillo, estos pesan igual que una pesa de 500 gramos colocada en el otro platillo. ¿Cuánto pesa cada envase de vidrio? 4.3.1.2 Gradualidad.- En relación a la pertinencia de las preguntas formuladas, nuestras pistas se encuentran en las sesiones de aprendizaje y en los ritmos de aprendizaje de los estudiantes. Por ejemplo, es fácil ver que el grado de dificultad del ítem i no es el mismo que el del ítem ii: i.- El tiempo de un ingeniero consultor se factura en $60 la hora y la de su ayudante en $20 la hora. Un cliente recibió una factura por $540 por un determinado trabajo de consultoría. Si el ayudante trabajó 5 horas menos que el ingeniero ¿cuántas horas trabajó el ayudante? ii.- Un organizador de conciertos espera que al próximo evento vayan 25 mil personas. Se está pensando colocar un precio entre $15 y $30 por entrada. Por experiencias anteriores, se sabe que si el precio es de $15, se venderían las 25 mil entradas y que por cada dólar que se aumente al valor de la entrada la asistencia disminuirá en 500 personas. ¿Cuál debe ser el precio de la entrada para garantizar un ingreso de $450000? 4.3.1.3 Ejemplo de reactivos o ítems: i.- Al realizar una votación para la elección del delegado de aula, se obtuvieron los siguientes resultados (en porcentajes): ¿Quién obtuvo más del 10% y menos del 20% de los votos?

Candidatos

Arturo

Juan

Pedro

Rafael

Miguel

José

Luis

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ii.- Entre 1500 profesionales, algunos son ingenieros, otros son abogados y los demás médicos. ¿Cuántos son médicos?

iii.- De acuerdo al gráfico ¿qué porcentaje de personas no tiene ojos negros?

ojos negros

ojos pardos

COLOR DE OJOS

NÚMERO DEPERSONAS

90

150

Ingenieros

Abogados

Médicos

40%

35%

49

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

1. Antibi; A., La Constante Macabra, Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú, 2005. 2. Do Carmo; M., Trigonometría y Números Complejos, IMCA, 1999. 3. Helfgott; M., Geometría Plana, Editorial Escuela Activa S.A. 4. Krantz; S., How to teach mathematics: a personal perspective, American Mathematical Society, 1993. 5. Lima; E., La Matemática en la Enseñanza Media, IMCA, 2000. 6. Lima; E., Mi Profesor de Matemática, IMCA, 1998. 7. Parris; R., Creador del Winplot, http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html 8. Mendoza; M., El Winplot como recurso didáctico en la enseñanza de la matemática, Editorial Horizonte, 2003. 9. Mendoza; M., Trigonometría – Cuaderno de Trabajo, Editorial Horizonte, 2005. 10. Moise; E., Elementos de Geometría Superior, Continental, 1968. 11. Moise; E. y Floyd; D., Geometría, Norma, 1972. 12. Jensen; Eric, Cerebro y Aprendizaje, Editorial Narcea, 2004 13. Módulo de Biblioteca del Centro de Recursos Educativos: 13.1 Matemática aplicada a situaciones de la vida cotidiana

13.2 Proyectos de Matemática 14. Página web de la Dirección de Educación Secundaria: http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/articulo02_07.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/articulowebdesmate.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/articulomatematica0.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/logico%20matematica.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/Guiapensamientomatematica.pdf http://destp.minedu.gob.pe/secundaria/nwdes/pdfs/Guiadesarrollocapacidades.pdf