Manual de Cinemática de Máquinas

Apuntes para la materia de

CINEMTICA DE LAS MQUINAS

MPS ARTURO CASTILLO RAMREZ

Versin 2013

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE SAN LUIS POTOS

FACULTAD DE INGENIERA

REA MECNICA Y ELCTRICA

Rev. nov- 2013

PREFACIO

El propsito de estos apuntes es presentar una exposicin que cubra el contenido del programa de

la materia de Cinemtica de las Mquinas que se imparte en el rea Mecnica y Elctrica de la

Facultad de Ingeniera de la UASLP, como un requisito previo a estudios especficos y avanzados

encaminados al diseo mecnico.

En esta versin se ha procurado actualizar y enriquecer los diferentes temas en relacin a la

versin 2005, se aadi el tema de sntesis grfica de eslabonamientos, en donde se explorarn

algunas tcnicas de sntesis simples que permitan crear soluciones de diseo de eslabonamientos

potenciales para algunas aplicaciones cinemticas tpicas.

En este texto se utiliza de forma amplia el mtodo de anlisis grfico por considerarse que el

clculo grfico es bsico y fcil de usar y casi siempre resulta el mtodo ms rpido para verificar

los resultados del clculo de mquinas y mecanismos coplanares.

Se ha procurado utilizar indistintamente unidades inglesas y del Sistema Internacional de

Unidades (SI) para que el estudiante se familiarice con ambos sistemas.

Algunos temas que se consideran relevantes, se ampliaron con informacin que no se contempla

especficamente en el programa de la materia, pero que enriquece su contenido.

Agradezco la aprobacin de este proyecto a mis compaeros de la Academia de Mecnica del

rea Mecnica y Elctrica y el apoyo de las Autoridades de la Facultad de Ingeniera, para la

elaboracin de este material didctico.

Arturo Castillo Ramrez

septiembre de 2013

ndice

Pgina

1. INTRODUCCIN GENERAL 1

1.1 Propsito 1

1.2 Ciencia de la Mecnica 1

1.3 Breve historia de la cinemtica 4

1.4 Aplicaciones de la cinemtica 6

1.5 Terminologas 8

1.5.1 Definicin de mquina, mecanismo y estructura 8

1.5.2 Los componentes de las mquinas 10

1.5.3 La estructura de las mquinas 12

1.6 La actividad y formacin del ingeniero en el campo de la maquinara 13

1.6.1 Factores humanos en la ingeniera 14

1.6.2 El reporte en ingeniera 15

2. FUNDAMENTOS DE CINEMTICA 18

2.1 Conceptos bsicos topolgicos 18

2.1.1 Eslabn (miembro) 18

2.1.2 Par cinemtico 20

2.1.3 Cadenas cinemticas 25

2.2 Mecanismo 26

2.2.1 Cinemtica de un mecanismo 27

2.2.2 Movimientos relativos de las articulaciones 28

2.2.3 Clasificacin de los mecanismos en funcin de sus movimientos 31

2.3 Representacin de los mecanismos. Diagramas cinemticos 35

2.3.1 Ciclo, periodo, fase y transmisin de movimiento 38

2.4 Movilidad o nmero de grados de libertad de un mecanismo plano 38

2.5 Inversin cinemtica. 43

2.6 Los resortes como eslabones 45

2.7 Mecanismos flexibles 46

2.8 Consideraciones prcticas 47

2.8.1 Juntas de pasador contra correderas y semijuntas 47

2.8.2 Eslabonamientos contra levas 51

3. MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS 54

3.1 Mecanismo de cuatro barras articuladas. 54

3.1.1 Ley de Grashof 55

3.1.2 ndice de merito. Ventaja mecnica 57

3.1.3 Anlisis de posicin 60

3.1.4 Curvas del acoplador 63

3.1.5 Clasificacin del mecanismo de cuatro barras 65

3.2 Mecanismos de lnea recta 68

3.3 Mecanismos de retorno rpido. 69

3.3.1 Mecanismo corredera-manivela descentrado 70

3.3.2 Mecanismo de Whitworth 71

3.3.3 Mecanismo de cepillo de manivela 72

3.3.4 Mecanismo de eslabn de arrastre 72

3.4 Ruedas de cmara. 73

3.5 Mecanismos de movimiento intermitente 74

3.5.1 Ruedas de Ginebra 74

3.5.2 Mecanismo de trinquete 75

3.5.3 Engranaje intermitente 76

3.5.4 Mecanismo de escape 76

4. SNTESIS GRFICA DE ESLABONAMIENTOS 81

4.1 Sntesis 81

4.2 Sntesis dimensional de un eslabonamiento de cuatro barras 86

5 CENTROS INSTANTNEOS 108

5.1 Generalidades 108

5.2 Localizacin de centros instantneos. 109

5.3 Teorema de Kennedy 111

5.4 Nmero de centros instantneos. 112

5.5 Centros instantneos para el cuadro articulado 112

5.6 Centros instantneos para el mecanismo de corredera biela y manivela 113

5.7 Tabulacin de centros instantneos 114

5.8 Centrodas o Curvas Polares 117

5.9 Utilizacin de los centros instantneos en el diseo de mecanismos 119

6 VELOCIDAD Y ACELERACION EN EL MOVIMIENTO COPLANARIO 125

6.1 Velocidades de los centros instantneos 127

6.1.2 Mtodo directo 131

6.2 Velocidades lineales por resolucin 133

6.3 Velocidades angulares 136

6.4 Mtodo de imagen 137

6.4.1 La imagen de velocidad 137

6.4.2 Imagen de aceleraciones 140

6.4.3 Construccin grfica de la aceleracin normal 143

6.5 Aceleracin Coriolis 151

6.5.1 Procedimiento general para resolver problemas por la Ley de Coriolis 155

7. MECANISMOS DE CORREDERA, BIELA Y MANIVELA 165

7.1 Generalidades 165

7.2 Primera inversin. Cadena con par en deslizamiento 166

7.3 Segunda inversin 175

7.4 Tercera inversin. Mecanismo de limadora 176

7.5 Cuarta inversin. Cadena con corredera fija 178

8. LEVAS 183

8.1 Levas 184

8.1.1 Terminologa de levas 185

8.2 Diseo del perfil 187

8.2.1 Velocidad constante 188

8.2.2 Aceleracin constante 189

8.2.3 Movimiento armnico simple 192

8.2.4 Movimiento cicloidal 193

8.3 Seleccin del movimiento 194

8.4 Construccin del perfil de la leva 196

8.5 Leva plana o disco 197

8.5.1 Varilla de punzn 197

8.5.2 Varilla con rodaja 199

8.5.3 Varilla con cara plana o plato 202

8.5.4 ngulo de presin de la leva 205

8.5.6 Dimetro del crculo base 206

8.6 Leva de retorno positivo 207

8.7 Levas tipo cilndrica 209

8..8 Levas de arco circular 209

8.9 Varillas primarias y secundarias 211

9. CONTACTOS CON RODAMIENTO 215

9.1 Condiciones para contactos con rodamiento 215

9.2 Relacin de velocidad angular 216

9.3 Transmisiones friccionales 217

9.4 Disco y rodillo 218

9.5 Rodamiento de dos elipses iguales 219

9.6 Relacin de velocidad de conos que ruedan 221

10. ENGRANES 226

10.1 Los engranes 226

10.2 Clasificacin de los engranes 227

10.3 Relacin de velocidad 231

10.4 Terminologa de los engranes 232

10.5 Paso del engrane 235

10.6 Ley fundamental del engranaje 237

10.7 Accin con deslizamiento de los dientes 238

10.8 Perfil del diente 240

10.9 Dientes cicloidales 241

10.10 Dientes evolventes o de involuta 243

10.11 Produccin de ruedas dentadas 248

10.12 Perfiles de dientes normalizados 250

11. TRENES DE ENGRANES 259

11.1 Valor del tren 259

11.2 Un tren de engranaje simple 259

11.3 Un tren de engranaje compuesto 261

11.3.1 Trenes de engranaje recurrentes compuestos 262

11.4 Trenes de engranes epicicloidales o planetarios 264

11.4.1 Valor epicicloidal 267

11.4.2 Trenes epicicloidales que no tienen un engrane fijo 271

11.5 Aplicaciones de trenes de engranaje epicicloidales 274

11.6 Transmisiones de banda y cadena 276

BIBLIOGRAFA 283

Captulo 1. Introduccin general

1.1 Propsito

El diseo de una mquina moderna es a menudo muy complejo. Por ejemplo, para disear un

nuevo motor, el ingeniero en automovilismo debe dar respuesta a muchas preguntas

interrelacionadas. Cul es la relacin entre el movimiento del pistn y el del cigeal?

Cules sern las velocidades de deslizamiento y las cargas en las superficies lubricadas y qu

lubricantes existen para este fin? Qu cantidad de calor se generar y cmo se enfriar el

motor? Cules son los requisitos de sincronizacin y control, y cmo se satisfarn? Cul

ser el costo para el consumidor, tanto por lo que respecta a la compra inicial como en lo

referente al funcionamiento y mantenimiento continuos? Qu materiales y mtodos de

fabricacin se emplearn? Qu economa de combustible se tendr? Cul ser el ruido y

cules las emisiones de salida o escape? Satisfarn estos ltimos los requisitos legales?

Aunque stas y muchas otras preguntas importantes se deben responder antes de que el diseo

llegue a su etapa final, es necesario reunir personas de las ms diversas especialidades para

producir un diseo adecuado y hacer acopio de muchas ramas de la ciencia.

Este texto se concentrar en los aspectos cinemticos que surgen en el diseo de sistemas

mecnicos. Es decir, la cinemtica de las mquinas y los mecanismos es el foco de atencin

principal.

1.2 Ciencia de la Mecnica

Mecnica es la rama del anlisis cientfico que se ocupa de los movimientos, el tiempo y las

fuerzas, y se divide en dos partes, Esttica y Dinmica. La Esttica trata del anlisis de

sistemas estacionarios, es decir, de aquellos en que el tiempo no es un factor determinante, y la

Dinmica se refiere a los sistemas que cambian con el tiempo.

Como se ilustra en la figura 1.1 la dinmica tambin est constituida por dos disciplinas

generales que Euler fue el primero en reconocer como entidades separadas, en 1775.

Novi comment, Acad. Petrop., vol. 20, 1775; tambin en Theoria motus corporum, 1790.

Cinemtica de las mquinas Introduccin general 2

Estos dos aspectos de la dinmica se reconocieron posteriormente como las ciencias diferentes

denominadas Cinemtica (del vocablo griego kinema, que significa movimiento) y Cintica

que se ocupan, respectivamente, del movimiento y de las fuerzas que lo producen. El

problema inicial en el diseo de un sistema mecnico es, por consiguiente, la comprensin de

su cinemtica.

Cinemtica es el estudio del movimiento independientemente de las fuerzas que lo producen.

De manera ms especfica, la Cinemtica es el estudio de la posicin, el desplazamiento, la

rotacin, la rapidez, la velocidad y la aceleracin.

Es preciso observar con cuidado que Euler bas su divisin de la dinmica en cinemtica y

cintica basndose en la suposicin de que deben tratar con cuerpos rgidos. Esta es una

suposicin de gran importancia que permite que ambos aspectos se traten por separado. En el

caso de cuerpos flexibles las formas mismas de los cuerpos y, por ende, sus movimientos,

dependen de las fuerzas ejercidas sobre ellos. En tal situacin, el estudio de la fuerza y el

movimiento se debe realizar en forma simultnea, incrementando notablemente con ello la

complejidad del anlisis.

Por fortuna, aunque todas las piezas de mquinas reales son flexibles en cierto grado, stas se

disean casi siempre con materiales ms o menos rgidos y manteniendo en un mnimo sus

deformaciones. Por lo tanto, al analizar el funcionamiento cinemtico de una mquina es

prctica comn suponer que las deflexiones son despreciables y que las piezas son rgidas, y

luego, una vez que se ha realizado el anlisis dinmico, cuando las cargas se conocen, se suele

disear las piezas de manera que esta suposicin se justifique.

MECNICA

ESTTICA DINMICA

CINEMTICA CINTICA

Figura 1.1. Ciencia de la Mecnica.


La cinemtica y la cintica son dos conceptos en realidad no se pueden separar. Los separamos

de manera arbitraria por razones didcticas en la educacin de ingeniera. En la prctica de

diseo de ingeniera tambin es vlido considerar primero los movimientos cinemticos

deseados y sus consecuencias, y subsecuentemente investigar las fuerzas cinticas asociadas

con esos movimientos. El estudiante debe considerar que la divisin entre cinemtica y

cintica es bastante arbitraria, y en gran medida se hace por conveniencia. La mayora de los

sistemas mecnicos dinmicos no pueden disearse sin considerar a fondo ambos temas. Es

bastante lgico considerarlos en el orden en que aparecen puesto que, por la segunda ley de

Newton, F = ma, en general se requiere conocer la aceleracin (a) para calcular las fuerzas

dinmicas (F) generadas por el movimiento de la masa (m) del sistema. Tambin existen

situaciones en las que se conocen las fuerzas aplicadas y se tienen que encontrar las

aceleraciones resultantes.

Un objetivo fundamental de la cinemtica es crear (disear) los movimientos deseados de las

partes mecnicas y luego calcular matemticamente las posiciones, velocidades y

aceleraciones que los movimientos crearn en las partes. Como para la mayora de los

sistemas mecnicos ligados a la Tierra la masa en esencia permanece constante con el tiempo,

la definicin de aceleraciones como funcin del tiempo tambin define las fuerzas dinmicas

como una funcin del tiempo. Los esfuerzos, a su vez, sern una funcin tanto de las fuerzas

aplicadas como inerciales (ma).

Como el diseo de ingeniera implica crear sistemas libres de falla durante su vida de servicio

esperada, el objetivo es mantener los esfuerzos dentro de lmites aceptables para los materiales

elegidos y las condiciones ambientales encontradas. Esto, obviamente, requiere que todas las

fuerzas que actan en el sistema sean definidas y se mantengan dentro de los lmites deseados.

En maquinaria que se mueve (la nica interesante), con frecuencia las fuerzas ms grandes

encontradas son las generadas por la dinmica de la misma mquina. Estas fuerzas dinmicas

son proporcionales a la aceleracin, la cual lleva de nuevo a la cinemtica, el fundamento del

diseo mecnico.

Las decisiones bsicas y tempranas en el proceso de diseo que implican principios

cinemticos pueden ser cruciales para el xito de cualquier diseo mecnico. Un diseo con

cinemtica deficiente resultar problemtico y funcionar mal.


1.3 Breve historia de la cinemtica

Las mquinas y mecanismos fueron ideados desde el amanecer de la historia. Los antiguos

egipcios idearon mquinas primitivas para la construccin de las pirmides y otros

monumentos. Aunque los egipcios del Imperio antiguo no conocan la rueda y la polea

(montadas en un eje), utilizaron la palanca, el plano inclinado (o cua) y probablemente el

rodador de troncos. La rueda y el eje definitivamente no eran conocidos. Su primera aparicin

quizs ocurri en Mesopotamia alrededor de 3000 a 4000 a.C. Desde los primeros tiempos se

dedicaron grandes esfuerzos a resolver el problema de la medida o cmputo del tiempo, lo que

dio como resultado relojes ms complejos. Mucho del diseo primitivo de mquinas estuvo

dirigido hacia aplicaciones militares (catapultas, aparatos para escalar muros, etc.). Ms

adelante fue acuado el trmino ingeniera civil para diferenciar las aplicaciones civiles de las

militares.

La ingeniera mecnica tuvo sus principios en el diseo de mquinas, a medida que las

invenciones de la Revolucin Industrial requeran soluciones ms complicadas en problemas

de control de movimiento. James Watt (1736-1819) probablemente merece el ttulo de primer

cinematiciano por su sntesis de un eslabonamiento de lnea recta para guiar los pistones de

carrera muy larga en las entonces nuevas mquinas de vapor. Puesto que an no se inventaba

el cepillo mecnico (1817) no .haba ningn medio para fabricar una gua larga y recta que

funcionara como una cruceta en la maquilla de vapor. Watt, ciertamente, fue el primero en

reconocer el valor de los movimientos del eslabn acoplador en el eslabonamiento de cuatro

barras. Oliver Evans (1755-1819) un inventor estadounidense, tambin dise un

eslabonamiento en lnea recta para un motor de vapor. Euler (1707-1783) fue contemporneo

de Watt, aun cuando aparentemente nunca se conocieron. Euler present un tratamiento

analtico de mecanismos en su Mechanica sive Motus Scienta Analytice Exposita (1736-

1742), en la que incluy el concepto de que el movimiento plano consta de dos componentes

independientes, a saber, la traslacin de un punto y la rotacin del cuerpo en torno a dicho

punto. Tambin sugiri la separacin del problema de anlisis dinmico en "geomtrico" y

"mecnico" para simplificar la determinacin de la dinmica del sistema. Dos de sus

contemporneos, dAlembert y Kant, tambin propusieron ideas similares. ste es el origen de

la divisin del tema en cinemtica y cintica, como se describi previamente.


A principio de los aos de 1800, L'Ecole Polythecnic, en Pars, Francia, era la institucin

depositaria de los conocimientos de ingeniera. Lagrange y Fourier formaron parte de su

cuerpo de profesores. Uno de sus fundadores fue Gaspard Monge (1746-1818), inventor de la

geometra descriptiva (la cual fue mantenida como secreto militar por el gobierno francs

durante 30 aos por su valor en la planificacin de fortificaciones). Monge cre un curso de

elementos de mquinas y emprendi la tarea de clasificar todos los mecanismos y mquinas

conocidos por la humanidad! Su colega, Hachette, complet el trabajo en 1806 y lo public

como lo que probablemente fue el primer texto sobre mecanismos en 1811. Andre Marie

Ampere (1775-1836), tambin profesor en el L'Ecole Polythecnic, emprendi la formidable

tarea de clasificar "todo el conocimiento humano". En su Essai sur la Philosophie des

Sciences, fue el primero en utilizar el trmino cinematique, derivado de la palabra griega para

movimiento, para describir el estudio del movimiento al omitir las fuerzas, y sugiri que "esta

ciencia tiene que incluir todo lo que se puede decir con respecto al movimiento en sus

diferentes clases, independientemente de las fuerzas mediante las cuales se produjo". Ms

adelante su trmino fue incluido en los anglicismos como kinematics y en alemn como

kinematik.

Robert Willis (1800-1875) escribi el texto Principies of Mechanisms, en 1841, mientras se

desempeaba como profesor de Filosofa Natural en la Universidad de Cambridge, Inglaterra.

Intent sistematizar la tarea de sntesis de mecanismos. Cont cinco formas de obtener

movimiento relativo entre eslabones de entrada y salida: contacto rodante, contacto deslizante,

eslabonamientos; conectores envolventes (bandas, cadenas) y polipastos (malacates de cuerda

o cadena). Franz Reuleaux (1829-1905), public Theoretische Kinematik en 1875. Muchas de

sus ideas todava son actuales y tiles. Alexander Kennedy (1847-1928) tradujo a Reuleaux al

ingls en 1876. Este texto lleg a ser el fundamento de la cinemtica moderna y se imprime

actualmente! l proporcion el concepto de un par cinemtico (junta), cuya forma e

interaccin definen el tipo de movimiento transmitido entre los elementos del mecanismo.

Reuleaux defini seis componentes mecnicos bsicos: el eslabn, la rueda, la leva, el tornillo,

el trinquete y la banda. Tambin defini los pares "superiores" e "inferiores", los superiores

tienen un contacto lineal o puntual (como en un cojinete de rodillos o bolas) y los inferiores

tienen un contacto superficial (como en las juntas de pasador).


Reuleaux en general es considerado como el padre de la cinemtica moderna, y es responsable

de la notacin simblica de eslabonamientos esquelticos genricos utilizados en todos los

textos de cinemtica modernos. En el siglo xx, antes de la segunda guerra mundial, la mayor

parte del trabajo terico sobre cinemtica se realiz en Europa, sobre todo en Alemania.

Algunos resultados de esta investigacin estuvieron disponibles en ingls.

En Estados Unidos, la cinemtica fue ampliamente ignorada hasta los aos 40, cuando A.E.R.

deJonge escribi What Is Wrong with Kinematics and Mecanisms lo que hizo que las

instituciones de educacin en ingeniera mecnica estadounidenses prestaran atencin a los

logros europeos en este campo. Desde entonces, se ha realizado mucho trabajo nuevo,

especialmente en sntesis cinemtica, por ingenieros e investigadores estadounidenses y

europeos, tales como J. Denavit, A. Erdman, F. Freudenstein, A.S. Hall, R.Hartenberg, R.

Kaufman, B. Roth, G. Sandor y A. Soni (todos estadounidenses) y K. Hain (de Alemania).

Desde de la cada de la "Cortina de Hierro" mucho trabajo original realizado por cinematistas

rusos soviticos ha llegado a estar disponible en Estados Unidos, tales como el realizado por

Artobolevsky. Muchos investigadores estadounidenses utilizaron la computadora para resolver

problemas previamente intratables, tanto de sntesis como de anlisis, e hicieron un uso

prctico de muchas de las teoras de sus predecesores.

1.4 Aplicaciones de la cinemtica

Una de las primeras tareas al resolver cualquier problema de diseo de mquinas es determinar

la configuracin cinemtica necesaria para producir los movimientos deseados. En general, los

anlisis de fuerzas y esfuerzos no pueden ser realizados hasta que los problemas cinemticos

hayan sido resueltos. Este texto aborda el diseo de dispositivos cinemticos tales como

eslabonamientos, levas y engranes. Cada uno de estos trminos ser definido a cabalidad en

captulos subsiguientes, pero puede ser til mostrar algunos ejemplos de aplicaciones

cinemticas en este captulo introductorio. Probablemente el lector ha utilizado muchos de

estos sistemas sin pensar en su cinemtica. Virtualmente cualquier mquina o dispositivo que

se mueve contiene uno o ms elementos cinemticos, tales como eslabonamientos, levas,

engranes, bandas, cadenas. La bicicleta puede ser un ejemplo simple de un sistema cinemtico

que contiene una transmisin de cadena para generar la multiplicacin del par de torsin, y


eslabonamientos operados por cables simples para el frenado. Un automvil contiene muchos

ms dispositivos cinemticos. Su sistema de direccin, la suspensin de las llantas y el motor

de pistones contienen eslabonamientos; las vlvulas del motor son abiertas por levas, y la

transmisin tiene muchos engranes. Incluso los limpiaparabrisas son operados por

eslabonamientos.

La figura 1-2a muestra un eslabonamiento espacial utilizado para controlar el movimiento de

la rueda trasera de un automvil moderno al pasar sobre baches.

Equipos de construccin como tractores, gras y retroexcavadoras utilizan extensamente

eslabonamientos en su diseo. La figura 1-2b muestra una pequea retroexcavadora cuyo

eslabonamiento es propulsado por cilindros hidrulicos. Otra aplicacin que utiliza

eslabonamientos es la del equipo ejercitador como el mostrado en la figura 1-2c. Los ejemplos

de la figura 1-2 son todos bienes de consumo que se pueden encontrar a diario. Muchos otros

ejemplos cinemticos se dan en el dominio de los elementos de produccin, mquinas

utilizadas para fabricar los diversos bienes de consumo que se utilizan. Es menos probable

encontrarlos fuera del ambiente industrial. Una vez asimilados los trminos y principios de la

cinemtica, el lector ya no podr mirar cualquier mquina o producto sin distinguir sus

aspectos cinemticos.

Figura 1.2. Ejemplos de dispositivos cinemticos de uso general

a) Suspensin trasera con

eslabonamientos espaciales

c) Mecanismo ejercitador

accionado por un eslabonamiento b) un tractor con retroexcavadora


1.5 Terminologas

1.5.1 Definicin de mquina, mecanismo y estructura

Aun cuando prcticamente todas las personas usan cotidianamente gran nmero de mquinas,

pocas son las que pueden definir con claridad lo que se puede entender por mquina. Ni

siquiera los especialistas en este campo han llegado a una definicin clara y nica de este

concepto, debido, entre otras cosas, a su gran complejidad y a los diferentes enfoques que se le

puede dar a la propia mquina.

As, se lee el diccionario de la Real Academia Espaola de la Lengua, mquina es cualquier

artificio que sirve para aprovechar, dirigir o regular la accin de una fuerza. Segn

Reuleaux, define una mquina como una combinacin de cuerpos resistentes de tal manera

que, por medio de ellos, las fuerzas mecnicas de la naturaleza se pueden encausar para

realizar un trabajo acompaado de movimiento determinado. Tambin define un mecanismo

como una combinacin de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones

mviles para formar una cadena cinemtica cerrada con un eslabn fijo, y cuyo propsito es

transformar el movimiento.

Debido a estas diferencias, para nuestro estudio utilizaremos los siguientes conceptos:

Una mquina es una combinacin de cuerpos rgidos, conectados por medio de articulaciones

que les permiten un movimiento relativo definido y son capaces de transmitir o transformar

energa. Una mquina siempre debe ser abastecida con energa de una fuente externa. Su

utilidad consiste en su habilidad para alterar la energa suministrada y convertirla eficazmente

para el cumplimiento de un servicio deseado.

En una mquina, los trminos fuerza, momento de torsin (o par de motor), trabajo y potencia

describen los conceptos predominantes. Un motor de combustin interna es un ejemplo de una

mquina, transforma la energa de presin del gas en trabajo mecnico entregndolo en el

cigeal, esta mquina transforma un tipo de energa a otro.

Un mecanismo es una combinacin de cuerpos rgidos, conectados por medio de

articulaciones que les permiten un movimiento relativo definido, enfocado a la transformacin

F. Reuleaux (1829-1905), especialista alemn en cinemtica cuyo trabajo marc el principio de un estudio

sistemtico de la cinemtica. Ver A.B.W. Kennedy, Reuleaux, Kinematics of Machinery, Macmillan, Londres, 1876.


del movimiento. En un mecanismo, aunque puede transmitir la potencia de una fuerza, el

concepto predominante que tiene presente el diseador es lograr un movimiento deseado.

Cuando se habla de un mecanismo, se piensa en un dispositivo que producir ciertos

movimientos mecnicos, haciendo a un lado el problema de si est capacitado para hacer un

trabajo til.

El modelo en funcionamiento de cualquier mquina, el conjunto de las piezas de un reloj, y las

partes mviles de un instrumento de ingeniera, reciben el nombre de mecanismos, por que la

energa transmitida es muy poca, precisamente lo suficiente para sobreponer la friccin, y el

factor importante lo forman los movimientos producidos. Otros ejemplos son: un sacapuntas,

un obturador de cmara fotogrfica, un reloj anlogo, una silla plegable, una lmpara de

escritorio ajustable y un paraguas.

Se puede arrojar ms luz sobre estas definiciones contrastndolas con el trmino estructura,

que es tambin una combinacin de cuerpos (rgidos) resistentes conectados por medio de

articulaciones, pero cuyo propsito no es efectuar algn trabajo ni transformar el movimiento.

Una estructura (como por ejemplo, una armadura o chasis) tiene por objeto ser rgida; tal vez

pueda moverse de un lado a otro y, en ese sentido es mvil, pero carece de movilidad interna,

no tiene movimientos relativos entre sus miembros, mientras que las mquinas y mecanismos

lo tienen. Otros ejemplos seran los puentes y los edificios.

Existe una analoga directa entre los trminos estructura, mecanismos y mquina y las tres

ramas de la Mecnica especificadas en la Figura 1.1. El trmino estructura es a la Esttica lo

que el termino mecanismo es a la Cinemtica y el trmino mquina es a la Cintica.

Modernamente la mquina se considera el resultado de un diseo (de una construccin) en el

que intervienen dos grupos de factores: uno de naturaleza puramente mecnica (las piezas y

los mecanismos que la constituyen) y otros de naturaleza no mecnica (esttica, mercado,

impacto social, rgimen poltico imperante, etc.). Ambas consideraciones hacen que las

mquinas modernas adquieran diversas configuraciones y caractersticas segn el entorno

sociopoltico y econmico en el que se disean, construyen y utilizan.

En la era tecnolgica que vivimos la mquina ocupa un papel primordial. Sin el concurso de

estos ingenios, la vida sera realmente imposible. La mquina se encuentra presente en todas

las actividades del ser humano, desde la vida cotidiana hasta los sectores productivos y de

servicios, incluyendo los de formacin. Con los notables avances realizados en el diseo de


instrumentos, controles automticos y equipo automatizado, el estudio de los mecanismos

toma un nuevo significado.

1.5.2 Los componentes de las mquinas

Cualquier mquina se compone de un nmero determinado de elementos (piezas)

componentes, unos fijos y otros mviles, agrupados a veces para ejecutar tareas diferentes

dentro de una misma mquina (formando mecanismos diversos).

As, se encuentran mquinas y mecanismos muy simples, constituidas por pocas piezas, hasta

otras ms complejas, constituidas por miles de piezas como el motor de combustin interna.

A pesar de la enorme complejidad, en algunos casos, la realidad es que el nmero de

componentes de las mquinas, conceptualmente diferente, es bastante limitado (aun cuando en

cada mquina puedan presentar formas y tamaos diversos). Por ejemplo:

Figura 1.3 Despiece de motor de combustin interna


Elementos de soporte:

Bastidores

Cojines de friccin

Cojinetes de rodamientos

Ejes

Elementos neumticos e hidrulicos

Cilindros

Vlvulas

Bombas

Elementos de los sistemas de control

Sensores (mecnicos, elctricos, etc.)

Igual que el nmero de componentes diferentes de las mquinas est limitado, tambin lo

estn los diferentes materiales con que pueden ser construidos:

Hierro y sus aleaciones

Aluminio, magnesio, cobre, etc. y sus aleaciones.

Goma, madera, cuero, etc.

Plsticos y fibras sintticas, cermicas, etc.

Es evidente que todos, y cada uno de los elementos de las mquinas han de ser calculados para

resistir, sin fallos, todas las acciones que sobre ellos actan. El nmero de tales acciones esta

tambin bastante limitado, siendo las ms importantes:

Fuerzas y pares, permanentes y transitorios.

Impactos, choques y vibraciones.

Acciones trmicas.

Acciones corrosivas.

Otras (de menor entidad, como elctricas, magnticas, etc.)

Figura 1.4 Rodamiento de bolas

Figura 1.5 Amortiguadores con sensores

electrnicos


1.5.3 La estructura de las mquinas

El conjunto de elementos y mecanismos que constituyen todas las mquinas pueden a su vez

agruparse en un conjunto de sistemas o subsistemas que de una u otra forma, con mayor o

menor virtualidad, estn presentes en todas las mquinas. Estos sistemas son:

Sistemas de adquisicin, transformacin o generacin de energa motriz. (En el caso

de un automvil, el motor transforma la energa qumica del combustible en energa

mecnica, es decir, en el giro del cigeal con un par determinado).

Sistema de transmisin y conversin de movimientos y fuerzas, conducente en ltima

estancia, a la realizacin del trabajo til. (En caso del automvil, este sistema est

constituido por el embrague, caja de cambios, transmisin y mecanismo diferencial que

acciona las ruedas motrices y permiten el movimiento del vehculo.)

Sistema de control. Que permite dirigir y controlar la potencia, movimientos etc., de la

propia mquina. (En el caso del automvil se encuentran dos subsistemas: la direccin,

que permite dirigir la ruta del vehculo, y el freno, acelerador y palanca y caja de cambios,

que permiten controlar la potencia del motor y la velocidad del vehculo.)

Sistema de lubricacin, imprescindible en todas las mquinas, que permite disminuir los

rozamientos y desgastes entre los elementos en contacto con movimiento relativo entre

ellos. (En el caso del automvil est formado por el depsito de aceite, bomba de

impulsin, conductos, filtros, etc.)

Sistemas de adquisicin, transformacin o

generacin de energa motriz

Sistema de transmisin y conversin de

movimientos y fuerzas

Sistema de lubricacin Sistema de control

Figura 1.6 Estructura general de las mquinas.


1.6 La actividad y formacin del ingeniero en el campo de la maquinara

Se puede asegurar que en la actualidad todas las personas tienen un contacto continuo con

multitud de mquinas (a nivel de usuarios y de operadores de estas) y un grupo muy reducido,

pero tambin muy numeroso, tienen un contacto ms intenso, en diferentes ordenes de

actividad.

En el caso de la mquina automvil, esta es operada por millones de usuarios, comercializada

por miles de tcnicos, economistas, publicistas, vendedores, etc., mantenida tambin por miles

de tcnicos de mantenimiento, fabricada por un nmero relativamente alto de tcnicos e

ingenieros de fabricacin de diversas especialidades (mecnica, electricidad, qumica, etc.),

diseada, ensayada y verificada por un nmero ms reducido de tcnicos, ingenieros y otros

especialistas altamente calificados y, finalmente, los continuos avances habidos en sus

materiales, componentes mtodos de clculo y sistemas de produccin, son el resultado de las

actividades de investigacin y desarrollo de un grupo aun ms reducido de tcnicos y

cientficos de elevada cualificacin y especializacin. Con las diferentes actividades

relacionadas con el mundo de las mquinas, el ingeniero juega un papel importante y

mantiene una relacin constante y dinmica.

Para desarrollar las actividades expuestas en el punto anterior, es claro que el ingeniero tiene

que poner en juego una serie de conductas adquiridas a travs de un proceso de aprendizaje.

Tales conductas han de adquirirse en tres dominios diferentes:

a) el cognoscitivo o adquisicin de nuevos conocimientos;

b) el psicomotriz, o la adquisicin de habilidades manuales;

c) el afectivo-volitivo, o la adquisicin de conductas en el plano psicolgico (como

seguridad en s mismo, capacidad de relacionarse con otros colegas, etc.)

En el caso de los ingenieros, su campo de actividad principal se mueve entre los campos de

investigacin y desarrollo (que son por otra parte las que impulsan el desarrollo tecnolgico) y

las de diseo, verificacin y ensayos, fabricacin operacin y mantenimiento.

Por otra parte, las diferentes actividades exigen conductas predominantes en unos y otros

dominios; as, en la fase de investigacin, desarrollo y diseo predominan los conocimientos

sobre las habilidades manuales, mientras que en las fases de operacin y mantenimiento

predominan las conductas del rea psicomotriz.


En el campo de la maquinaria y en el dominio cognoscitivo, el ingeniero ha de poseer

conocimientos sobre la topologa de las mquinas (es decir, tipos, formas, usos, etc. de los

componentes de las mquinas y sobre sus mecanismos y subsistemas constituyentes).

Tambin ha de poseer conocimientos sobre anlisis de mquinas, que le permitan interpretar

sus diferentes partes y especialmente conocer las relaciones entre los movimientos y las

fuerzas que sobre el conjunto y sus partes pueden actuar.

As mismo ha de poseer conocimientos de diseo y clculo de los elementos mecnicos, que le

permitan construir mquinas seguras, que no fallen durante su vida til.

Igualmente debe tener conocimientos sobre sntesis de mquinas y sus mecanismos

constituyentes que le permitan el rediseo o diseo puro de nuevas mquinas, en funcin de

las necesidades cambiantes.

En el dominio psicomotriz el ingeniero ha de poseer habilidades en el manejo de diverso

instrumental al servicio del control de las mquinas (como sensores), as como labores de

verificacin, ensayos y mantenimiento.

Finalmente en el dominio afectivo-volitivo el ingeniero ha de tener la mxima seguridad en s

mismo en cualquier actividad que ejecute relacionada con la maquinaria y capacidad para

relacionarse con otros profesionales en el entorno en que confluyen muchas personas, de

muchas especialidades diferentes.

El aprendizaje de todas estas conductas requiere la posesin de una serie de conductas previas,

adquiridas en otras disciplinas de la carrera de ingeniera, y entre las que se podran destacar

en el conjunto de materias bsicas las matemticas y la fsica (especialmente la mecnica) y en

el conjunto de materias tecnolgicas, el dibujo tcnico, la elasticidad y resistencia de

materiales la tecnologa mecnica y el conocimiento de materiales. Sin descartar muchas otras

materias que con mayor o menor intensidad han de tener presentes para acometer con xito la

amplia gama de actividades relacionadas con la maquinaria.

1.6.1 Factores humanos en la ingeniera

Con pocas excepciones, todas las mquinas se disean para ser usadas por humanos. Incluso

los robots deben ser programados por humanos. La ingeniera d factores humanos es el

estudio de la interaccin hombre-mquina y se define como una ciencia aplicada que coordina


el diseo de dispositivos, sistemas, y condiciones de trabajo fsicas con las capacidades y

requerimientos del trabajador. El diseador de una mquina debe estar consciente de este tema

y disear dispositivos que se "adapten al hombre" en lugar de esperar que el hombre se adapte

a la mquina. El trmino ergonmico es sinnimo de ingeniera de factores humanos. A

menudo se hace referencia a la buena o mala ergonoma del interior de un automvil, o de un

aparato domstico. Una mquina diseada con ergonoma deficiente ser incmoda y fatigosa

e incluso puede ser peligrosa.

Existe una abundancia de datos de factores humanos disponibles en la literatura. El tipo de

informacin que podra requerirse en un problema de diseo de mquina va desde las

dimensiones del cuerpo humano y su distribucin entre la poblacin por edad y gnero, la

habilidad del cuerpo humano de soportar aceleraciones en varias direcciones, hasta

resistencias y fuerzas tpicas que generan habilidad en varias posiciones. Obviamente, si se

piensa disear un dispositivo que ser controlado por un humano (tal vez un cortador de

csped), se debe saber cunta fuerza puede ejercer el usuario con su manos mantenidas en

varias posiciones, su alcance y cunto ruido pueden soportar sus odos sin sufrir daos. Si el

dispositivo transportar al usuario, se necesitan datos sobre los lmites de aceleracin que el

cuerpo puede tolerar. Existen datos sobre todos estos temas. Parte de la investigacin de

fondo de cualquier diseo de mquina deber incluir algo de investigacin de factores

humanos.

1.6.2 El reporte en ingeniera

La comunicacin de las ideas y resultados es un aspecto muy importante de la ingeniera.

Muchos estudiantes de ingeniera se ven a s mismos en la prctica profesional ocupados la

mayor parte de su tiempo realizando clculos de una naturaleza similar a los que realizaron

como estudiantes. Afortunadamente, es raro que esto ocurra, ya que sera muy aburrido. En

realidad, los ingenieros ocupan mayormente su tiempo en comunicarse unos con otros, ya sea

oralmente o por escrito. Redactan propuestas y reportes tcnicos, llevan a cabo presentaciones

e interactan con los gerentes y el personal de apoyo. Cuando se realiza su diseo, en general

es necesario presentar los resultados a su cliente, compaeros o empleador. La forma usual de

presentacin es un reporte formal de ingeniera. Por lo tanto, es muy importante que el


estudiante de ingeniera desarrolle sus habilidades de comunicacin. Puede ser la persona ms

lista del mundo, pero nadie lo sabr si no puede comunicar sus ideas con claridad y brevedad.

De hecho, si no puede explicar lo que ha realizado, probablemente ni usted mismo se entienda.


Cuestionario

1.1.- Defina Cinemtica y ubique su posicin dentro de la Mecnica.

1.2.- Cul es la diferencia entre Cinemtica y Cintica?

1.3.- Quin es considerado el padre de la cinemtica y por qu?

1.4 Qu elementos cinemticos se observan en un automvil?

1.5.- Qu es una mquina?

1.6.- Cul es la diferencia entre una mquina y un mecanismo?

1.7.- Qu es una estructura?

1.8.- Describa las tareas que desempea un rodamiento de bolas, el material del que puede

estar hecho y el tipo de esfuerzo al que se somete.

1.9.- Considerando la estructura general de las mquinas dentro de que sistema ubicara el

sistema de encendido de un motor? y el subsistema del carburador?.

1.10.- Dentro de que dominio ubicara la habilidad de un ingeniero para comunicarse con las

personas?

1.11.- Cul es la diferencia entre el dominio cognoscitivo y psicomotriz?

1.12.- Establezca la relacin de la mecnica, y en particular de la cinemtica, con otras reas

de conocimiento que se imparten en su carrera.

Describa el concepto de ingeniera de factores humanos.

1.13.- Cul es la importancia del reporte en ingeniera?

Captulo 2. Fundamentos de cinemtica

Concepto topolgico de mecanismos

El estudio topolgico de mecanismos comprende el anlisis de los elementos que lo componen

en cuanto a: sus formas, el nmero de elementos, las uniones entre ellos, los tipos de

movimientos que stos pueden efectuar, las leyes por las que se rigen, etc. El estudio

topolgico de los mecanismos engloba los aspectos relativos a su configuracin geomtrica y

las consecuencias que de ella puedan derivarse. En este captulo se presentan definiciones de

varios trminos y conceptos fundamentales para la sntesis y anlisis de los mecanismos.

2.1 Conceptos bsicos topolgicos

Cuando en un mecanismo se van separando cada una de las partes que lo forman, se llega

finalmente a tener una serie de partes indivisibles, generalmente rgidas (aunque no

necesariamente) llamadas piezas.

En la Figura 2.1 se ha representado el conjunto de piezas que forman la biela de un automvil.

Un automvil de serie llega a tener un promedio de 16,000 piezas.

Figura 2.1 Piezas de una biela

2.1.1 Eslabn (miembro)

Un conjunto de piezas unidas rgidamente entre s, sin movimiento posible entre ellas, se

denomina eslabn o miembro.

Cinemtica de las mquinas Fundamentos de cinemtica

19

En Figura 2.2 se presenta el eslabn biela de un motor alternativo.

Una vez acopladas las piezas, forman un conjunto rgido, actuando, desde el punto de vista

topolgico (y tambin cinemtico y dinmico), como un solo miembro o eslabn.

Un eslabn es un elemento de una mquina o mecanismo que conecta a otros elementos y que

tiene movimiento relativo a ellos.

Un eslabn o miembro puede servir de soporte, como gua de otros eslabones, para transmitir

movimientos o bien funcionar de las tres formas.

Clasificacin de los eslabones

Eslabones rgidos. Estn capacitados para transmitir fuerza, para jalar o empujar. A sta

clase pertenece la mayora de las partes metlicas de las mquinas.

Eslabones flexibles. Son los que estn constituidos para ofrecer resistencia en una sola

forma (rigidez unilateral)

Eslabones que actan a tensin: cuerdas, bandas, cadenas

Eslabones que actan a presin: agua, aceite hidrulico, conducen fuerzas de empuje.

Los eslabones rgidos poseen por lo menos dos nodos que son puntos de unin con otros

eslabones.

Figura 2.3 Eslabones de diferente orden

Figura 2.2 Eslabn

biela de un motor


20

Eslabn binario, el que tiene dos nodos

Eslabn ternario, el que tiene tres nodos

Eslabn cuaternario, el que tiene cuatro nodos.

Los puntos de unin o nodos permiten la conexin entre eslabones.

2.1.2 Par cinemtico

Los eslabones pueden estar conectados unos a otros de varias maneras. El contacto puede

ocurrir sobre una superficie, a lo largo de una lnea, o en un punto. A aquellas partes de dos

eslabones que estn en contacto con movimiento relativo entre ellos se les denomina pares

cinemticos (tambin llamados juntas)

Clasificacin de los pares

Los pares pueden clasificarse:

1. Atendiendo la superficie de contacto entre los dos miembros que constituyen el par:

Pares superiores o de contacto lineal o puntual (leva-varilla, cojinetes de bolas y

engranes).

Pares inferiores o de contacto superficial (cilindro-embolo, perno-soporte), las

superficies de los eslabones son geomtricamente similares.

La principal ventaja de prctica de los pares inferiores sobre los superiores es la capacidad de

capturar el lubricante entre sus superficies envolventes. Esto es especialmente cierto para los

pares de pasador de rotacin. El lubricante es expulsado con mayor facilidad por una junta de

par superior no envolvente, como resultado, se prefiere el par de pasador por su bajo desgaste

y larga vida, incluso sobre su relacionado par inferior, la junta prismtica o de corredera.

Figura 2.4 Pares superiores (a) y pares inferiores (b)


21

Es importante mencionar que las conexiones de miembros por pares superiores pueden ser

reemplazadas por conexiones por pares inferiores, cuando se desee disminuir la presin de

contacto y el rozamiento. En la figura 2.5 puede verse el mecanismo empleado para mover

bombas de vapor de doble accin; en la figura (a) se observa un par superior entre los

eslabones 2 y 3. La figura (b) muestra este mecanismo con par inferior entre 3 y 4. El par

inferior fue producido por la adicin de un eslabn.

2. Atendiendo el movimiento relativo entre sus puntos:

Lineal, cuando cualquier punto de uno de los eslabones describe una lnea en su

movimiento relativo respecto del otro eslabn del par.

a) Par prismtico: un punto P describe una lnea recta.

b) Par rotacin: el punto P describe una circunferencia.

c) Par helicoidal: el punto P describe una hlice.

Figura 2.6 Pares lineales

Figura 2.5 Movimiento de una vlvula de una bomba de vapor con pares

superiores (a) e inferiores (b).

a b


22

Superficial, cuando cualquier punto de uno de los miembros describe una superficie en

su movimiento.

En la figura 2.7 se puede observar que al realizar el cuerpo su movimiento, el punto P

describe:

a) Par plano: el punto P describe un plano.

b) Par cilndrico: el punto P describe un cilindro.

c) Par esfrico: el punto P describe una esfera.

Espacial, cuando un punto de uno de los eslabones describe una curva alabada. Por

ejemplo, una esfera movindose dentro de un tubo de igual dimetro.

Figura 2.8 Pares espacial

Figura 2.7 Pares superficiales


23

3. Atendiendo al tipo de rozamiento entre los miembros, se clasifican:

Par con deslizamiento: uno de los eslabones se desliza sobre otro en su movimiento

relativo. Ejemplo: cilindro-pistn figura 2.4 (b).

Par con rodadura: uno de los eslabones rueda sobre otro, en su movimiento relativo.

Ejemplo: rueda de tren sobre un riel.

Par con pivotamiento: uno de los eslabones pivota sobre otro, en su movimiento

relativo. Ejemplo: bisagras de una puerta.

4. Atendiendo a los grados de libertad que posee el movimiento relativo de los miembros que

forman el par se clasifican en pares de I, II, III, IV y V grados de libertad.

Un cuerpo rgido en el espacio posee seis grados de libertad (puede realizar seis movimientos

independientes entre s; o tambin se puede decir que hacen falta seis variables para definir el

movimiento, Figura 2.9 (a) que vendrn representados por tres rotaciones paralelas al eje x, y,

z y tres traslaciones segn esos tres ejes coordenados.

Al formarse un par cinemtico, un cuerpo libre se ve obligado a permanecer en contacto con

otro. Por tanto los seis grados de libertad del primero se reducen, segn sea el tipo del par ( de

los seis movimientos posibles de un miembro libre, al unirse a otro formando un par los

reducir a 5, 4, 3, 2, o 1).

En general es fcil comprender que cuando un eslabn (2) se mantiene en contacto con otro

(1), al cual se pueden fijar los ejes coordenados, los movimientos posibles del eslabn 2

Figura 2.9 Grados de libertad de un cuerpo rgido en el espacio y formando un par

cinemtico

a) b)


24

pueden ser tres rotaciones y slo dos traslaciones (una separacin de 2 respecto de 1, segn

OZ, implica la rotura del par, es decir, su separacin), como se observa en la Figura 2.9 (b).

En la tabla 2.1 se expone una clasificacin general de los pares cinemticos, atendiendo a sus

grados de libertad.

5. Clasificacin de pares atendiendo al nmero de barras que conectan.

Atendiendo al nmero de barras que conectan los pares tambin se pueden clasificar en

binarios (cuando conectan dos eslabones)

ternarios (conectan tres eslabones), etc.

En general p-ario ser el que conecta p miembros. En la Figura 2.3 se tienen ejemplos de

diferentes pares.

Tabla 2.1 Esquemas, nombres y smbolos de pares cinemticos


25

2.1.3 Cadenas cinemticas

Definicin de las cadenas. Cuando un nmero de eslabones estn conectados unos a los otros

por pares elementales, de tal forma que permitan que el movimiento se efecte en

combinacin, se denomina cadena cinemtica. Una cadena cinemtica no es necesariamente

un mecanismo; se convierte en uno cuando se define el eslabn fijo.

Clasificacin de las cadenas. Pueden clasificarse en dos grupos:

Cadenas cerradas, cuando todos y cada uno de los miembros se une a otros dos.

Cadena abierta, cuando hay algn miembro no unido a otros dos.

La figura 2-10 muestra tanto mecanismos abiertos como cerrados. Un mecanismo cerrado no

tendr puntos de fijacin abiertos o nodos, y puede tener uno o ms grados de libertad. Un

mecanismo abierto con ms de un eslabn siempre tendr ms de un grado de libertad, por lo

que requiere tantos actuadores (motores) como grados de libertad tenga. Un ejemplo comn

de un mecanismo abierto es un robot industrial. Una cadena cinemtica abierta de dos

eslabones binarios y una junta se llama dada.

Un mecanismo con varios grados de libertad (GDL), tal como un robot, estar limitado en sus

movimientos en tanto se suministre el nmero de entradas necesario para controlar todos sus

GDL.

Constitucin de las cadenas. Una cadena cinemtica puede estar constituida por pares

superiores, inferiores, o ambos simultneamente. Al mismo tiempo, tambin puede contener

pares de igual o de diferente grado. La cadena cinemtica ms sencilla contendr slo dos

miembros (un par), siendo necesariamente abierta. Un ejemplo puede constituirlo la cadena

formada por un tornillo y su tuerca o un cerrojo de pasador. Las cadenas cinemticas cerradas

ms simples pueden formarse con slo tres miembros. Sin embargo, no siempre con tres

Figura 2.10 Cadenas cinemticas


26

miembros puede formarse una cadena cinemtica, dependiendo para lograrlo del tipo de pares

que la formen.

Utilizando tres miembros con pares de grado diferente se pueden formar una multitud de

cadenas cinemticas. As, por ejemplo, con dos pares inferiores y uno superior (de contacto

puntual o lineal) puede formarse las cadenas cinemticas de las levas, engranajes, etc.

(Fig.2.11a). Con mayor nmero de miembros puede formarse todo tipo de cadenas

cinemticas. En la Fig. 2.11b se representa una cadena tpica; como se ve consta de 5

eslabones y seis pares. Se puede observar que los eslabones 1 y 4 son ternarios, y los

eslabones 2,3 y 5 son binarios.

Las cadenas cinemticas se nombran por el nmero de miembros y de pares de cada grado.

As, la cadena (n2, p2; n3, p3; n4, . . ) es la formada por n2 eslabones binarios, n3 ternarios, y

n4 cuaternarios, as como p2 pares binarios, p3 ternarios y ningn cuaternario. La cadena

cinemtica de la Fig. 2. 10b tiene la configuracin (3,6; 2), es decir, 3 eslabones binarios, 6

pares binarios y 2 eslabones ternarios, nicamente.

2.2 Mecanismos

Un mecanismo es una cadena cinemtica a la que se le ha inmovilizado uno de sus miembros,

a este eslabn fijo se le llama bastidor o bancada. Puede haber una mquina compuesta por

varios mecanismos en la que un miembro mvil de uno de ellos sea el bastidor (eslabn fijo)

de otro mecanismo.

En la mayora de las mquinas el eslabn fijo de todos los mecanismos que la componen es un

eslabn nico (por ejemplo los diferentes mecanismos que componen un motor de explosin

Figura 2.11 Cadenas cinemticas

a) b)


27

tienen como eslabn fijo al bastidor, formado por la culata, el bloque y el carter) lo que

tampoco implica que este bastidor sea un elemento totalmente inmvil (por ejemplo los

diferentes mecanismos que componen un vehculo automvil tienen un bastidor nico, pero

mvil con el auto).

Recordando la definicin de Reuleaux de un mecanismo, es evidente que se necesita tener una

cadena cinemtica cerrada con un eslabn fijo. Cuando se hable de un eslabn fijo se da a

entender que se elige como marco de referencia para todos los dems eslabones, es decir, que

los movimientos de todos los dems eslabones se medirn con respecto a se en particular ya

que se le considera como fijo.

Se define una manivela como un eslabn que realiza una revolucin completa y est

pivotada a la bancada, un balancn como un eslabn que tiene un movimiento de rotacin

oscilatorio (de vaivn) y esta pivotado a la bancada, y un acoplador o biela como un eslabn

que tiene movimiento complejo y no est pivotado a la bancada.

Se suele definir tambin al mecanismo, como la parte del diseo de las mquinas que se

interesa en el diseo cinemtico (es decir, se ocupa de los requerimientos de movimientos, sin

abordar los requerimientos de fuerza) de los dispositivos que contienen eslabones articulados,

levas, engranes y trenes de engranes, que son los componentes que estudiaremos.

2.2.1 Cinemtica de un mecanismo

Una vez que se designa el marco de referencia (y se satisfacen otras condiciones) la cadena

cinemtica se convierte en un mecanismo y conforme el eslabn que acciona al mecanismo (el

impulsor) se mueve pasando por varias posiciones denominadas fases, todos los dems

eslabones manifiestan movimientos bien definidos con respecto al marco de referencia

elegido. Se deduce que de una cadena cinemtica pueden obtenerse tantos mecanismos como

eslabones se tenga, a medida que se fijen sucesivamente cada uno de ellos. Cada uno de estos

mecanismos se llama una inversin del que se ha tomado como fundamental.

Para que un mecanismo sea til, los movimientos entre los eslabones no tienen que ser

arbitrarios, stos tambin tienen que restringiese para producir los movimientos relativos

adecuados, los que determine el diseador para el trabajo particular que se deba desarrollar.


28

Estos movimientos relativos deseados se obtienen mediante la seleccin correcta del nmero

de eslabones y las articulaciones utilizadas para conectarlos.

Por consiguiente para determinar la cinemtica de un mecanismo se requiere esencialmente:

la distancia entre articulaciones sucesivas; la naturaleza de estas articulaciones y los

movimientos relativos que permitan. Por esta razn es vital que se examine en forma

minuciosa la naturaleza de las articulaciones.

Funciones cinemticas de eslabones y articulaciones. Como ya se menciono, la funcin

cinemtica de un eslabn es mantener una relacin geomtrica fija entre los elementos del par.

Del mismo modo la nica funcin cinemtica de una articulacin o par es determinar el

movimiento relativo entre los eslabones conectados. Todas las dems caractersticas se

determinan por otras razones y no tienen importancia para el estudio de la cinemtica.

2.2.2. Movimientos relativos de las articulaciones.

El factor de control que determina los movimientos relativos que permite una articulacin

dada, es la forma que tengan las superficies o eslabones pareados. Cada tipo de articulacin

posee sus propias formas caractersticas para los elementos y cada una permite un tipo de

movimiento especfico, el cul es determinado por la manera posible en que estas superficies

elementales se pueden mover una en relacin con otra.

Por ejemplo, el par o junta cilndrica (Fig. 2.12), tambin llamada articulacin de pasador o

espiga, tiene elementos cilndricos y, suponiendo que los eslabones no se pueden deslizar en

sentido axial, estas superficies permiten slo un movimiento rotatorio (par de revoluta). Por

ende, una articulacin de revoluta deja que los dos eslabones conectados experimenten una

rotacin relativa en torno al pasador central. De la misma manera las dems articulaciones

tienen sus propias formas de los elementos y sus propios movimientos relativos y constituyen

las condiciones limitantes o restricciones impuestas al movimiento del mecanismo.

Es conveniente sealar, que a menudo, las formas de los elementos suelen disfrazarse

sutilmente, lo que los hace difcil de reconocer. Por ejemplo, una articulacin de pasador

podra incluir un cojinete de agujas, de modo que las dos superficies pareadas no se distingan

como tales. Sin embargo, si los movimientos de los rodillos individuales carecen de inters,

los movimientos permitidos por las articulaciones son equivalentes y los pares pertenecen al


29

mismo tipo genrico. Por ende, el criterio para distinguir clases distintas de pares se basa en el

movimiento relativo que permiten y no necesariamente en las formas de los elementos, aunque

estos suelen revelar indicios muy importantes. El dimetro del pasador usado (u otros datos

dimensionales) tampoco tiene ms importancia que las magnitudes y formas exactas de los

eslabones conectados.

Figura 2.12 Pares o juntas de varios tipos

La figura 2-12b muestra dos formas de una junta (o par) plana de un grado de libertad (1

GDL), esto es, una junta de pasador rotatoria (revoluta) (R) y una junta de corredera


30

(prismtica) de traslacin (P). Estas tambin se conocen como juntas completas (es decir,

completa = 1 GDL) y son pares inferiores. El par o junta de pasador permite un grado de

libertad (1 GDL) y la junta de corredera permite un GDL traslacional entre los eslabones

conectados. Estas dos juntas estn contenidas en una junta comn de un GDL, la de tronillo y

tuerca (figura 2.12a). El movimiento del tornillo o tuerca con respecto al otro produce

movimiento helicoidal. Si el ngulo de la hlice es cero, la tuerca gira sin avanzar y se

convierte en un par de pasador. Si el ngulo de la hlice es de 90 grados, la tuerca se trasladar

a lo largo del eje del tornillo y se transformar en un par de corredera.

La figura 2-12c muestra ejemplos de juntas de dos grados de libertad (2GDL, pares

superiores) que de forma simultnea permiten dos movimientos relativos independientes, es

decir, de traslacin y rotacin, entre los eslabones conectados. Paradjicamente, esta junta de

dos grados de libertad en ocasiones se conoce como "semijunta", con sus dos grados de

libertad colocados en el denominador. La semijunta tambin se llama junta rodante-deslizante

porque permite tanto rodamiento como deslizamiento. Una junta esfrica o de rtula (figura 2-

12a) es un ejemplo de una junta de tres grados de libertad (3 GDL), que permite tres

movimientos angulares independientes entre los dos eslabones conectados. Este joystick

(bastn de mando) o junta de rtula se utiliza por lo general en mecanismos tridimensionales,

un ejemplo son las juntas de rtula en un sistema de suspensin automotriz.

Una junta con ms de un grado de libertad tambin puede ser un par superior, como se muestra

en la figura 2- 12c .Las juntas completas (pares inferiores) y las semijunts (pares superiores)

se utilizan tanto en mecanismos planos (2-D) como en mecanismos espaciales (3-D). Hay que

observar que si no se permite que los dos eslabones en la figura 2-12c conectados por una

junta rodante-deslizante se deslicen, tal vez con la generacin de un alto coeficiente de

friccin entre ellos, se puede "bloquear" el grado de libertad de traslacin (x) y eso hara que

se comporte como una junta completa. Esta se llama entonces junta rodante pura y slo tiene

libertad rotacional (). Un ejemplo comn de este tipo de junta son las llantas del automvil

que ruedan en contacto con el suelo, como se muestra en la figura 2-12e. En uso normal existe

rodamiento puro y sin deslizamiento en esta junta, a menos, desde luego, que se tope con un

camino congelado o que se entusiasme con la aceleracin o con tomar las curvas a gran

velocidad. Si se bloquean los frenos sobre el hielo, esta junta se convierte en deslizante pura,


31

como la corredera deslizante de la figura 2-12b. La friccin determina el nmero real de

libertades en esta clase de junta. Puede ser rodante pura, deslizante pura o rodante-deslizante.

Para visualizar el grado de libertad de una junta en un mecanismo es til "desconectar

mentalmente" los dos eslabones que crean la junta del resto del mecanismo. De esta manera,

se puede ver con ms facilidad cuntas libertades tienen los dos eslabones conectados uno con

respecto al otro.

La figura 2-12c tambin muestra ejemplos de juntas con cierre de forma y con cierre de

fuerza. Una junta con cierre de forma se mantiene unida o cerrada por su geometra. Un

pasador en un orificio o una corredera en una ranura de dos caras son juntas con cierre de

forma. En contraste, una junta con cierre de fuerza, un pasador en un semicojinete o una

corredera sobre una superficie, requieren alguna fuerza externa para mantenerlas en contacto

o cerradas. Esta fuerza podra ser suministrada por la gravedad, un resorte o cualquier medio

externo. Puede haber diferencias sustanciales en el comportamiento de un mecanismo debido a

la eleccin del cierre de fuerza o de forma, como se ver. La eleccin se deber considerar con

cuidado. En eslabonamientos, se prefiere el cierre de forma, y es fcil de lograr. Pero en los

sistemas de leva y seguidor, a menudo se prefiere el cierre de fuerza.

La figura 2-12d muestra ejemplos de juntas de varios grados, donde el orden de la junta se

define como el nmero de eslabones conectados menos uno. Se requieren dos eslabones para

formar una junta simple; por lo tanto, la combinacin ms simple de dos eslabones es una

junta de orden uno. Conforme se van colocando ms eslabones en la misma junta o par, el

orden de sta se incrementa de uno en uno. El orden de la junta tiene importancia en la

determinacin apropiada del grado total de libertad del ensamble.

2.2.3 Clasificacin de los mecanismos en funcin de sus movimientos

Mecanismos planos, esfricos y espaciales. Los mecanismos se pueden clasificar de diversas

maneras haciendo hincapi en sus similitudes y sus diferencias. Uno de estos agrupamientos

en funcin de los movimientos que producen los mecanismos los divide en: mecanismos en

planos, esfricos y espaciales; y los tres grupos poseen muchas cosas en comn; sin embargo,

el criterio para distinguirlos se basa en las caractersticas de los movimientos de los eslabones.


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Un mecanismo plano de cuerpo rgido consiste en rotaciones respecto a ejes perpendiculares

al plano del movimiento y en traslaciones en las que todos los puntos del cuerpo se mueven en

trayectorias rectas o curvilneas paralelas y todas las lneas contenidas en el cuerpo

permanecen paralelas a sus orientaciones originales; en otras palabras, los lugares geomtricos

de todos los puntos son curvas planas paralelas a un solo plano comn. Esta caracterstica hace

posible que el lugar geomtrico de cualquier punto elegido de un mecanismo plano se

represente con su verdadero tamao y forma real, en un solo dibujo o una sola figura. La

transformacin del movimiento de cualquier mecanismo de esta ndole se llama coplanar. El

eslabonamiento plano de cuatro barras, la leva de placa y su seguidor, y el mecanismo de

corredera-manivela (figura 2.13) son ejemplos muy conocidos de mecanismos planos. La

vasta mayora de mecanismos en uso hoy en da son del tipo plano. Los mecanismos planos

que utilizan slo pares inferiores se conocen con el nombre de eslabonamientos planos y slo

pueden incluir revolutas y pares prismticos. El movimiento plano requiere, como ya se

comento, que los ejes de revoluta sean paralelos y normales al plano del movimiento, y todos

los ejes de los prismas se encuentren en l.

Mecanismo esfrico es aquel en el que cada eslabn tiene algn punto que se mantiene

estacionario conforme el eslabonamiento se mueve, y en el que los puntos estacionarios de

todos los eslabones estn en una ubicacin comn; en otras palabras, el lugar geomtrico de

cada punto es una curva contenida dentro de una superficie esfrica y las superficies esfricas

definidas por varios puntos arbitrariamente elegidos son concntricas.

Por ende, los movimientos de todas las partculas se pueden describir por completo mediante

sus proyecciones radiales, o "sombras", proyectadas sobre la superficie de una esfera, con un

centro seleccionado en forma apropiada. La articulacin universal de Hooke es quiz el

ejemplo ms conocido de un mecanismo esfrico.

Eslabonamientos esfricos son aquellos que se componen exclusivamente de pares de

revoluta. Un par esfrico no producira restricciones adicionales y, por ende, sera equivalente

Figura 2.13

Mecanismo de

corredera

(cruceta), biela y

manivela


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a una abertura en la cadena, en tanto que todos los dems pares inferiores poseen movimientos

no esfricos. En el caso de eslabonamientos esfricos, los ejes de todos los pares de revoluta se

deben intersecar en un punto.

Los mecanismos espaciales no incluyen, por otro lado, restriccin alguna en los movimientos

relativos de las partculas. La transformacin del movimiento no es necesariamente coplanar,

como tampoco es preciso que sea concntrica. Un mecanismo espacial puede poseer partculas

con lugares geomtricos de doble curvatura.

Cualquier eslabonamiento que comprenda un par de tornillo, por ejemplo, es un mecanismo

espacial, porque el movimiento relativo dentro del par de tornillo es helicoide. Por lo tanto, la

categora abrumadoramente ms numerosa de mecanismos planos y la de los esfricos son

apenas unos cuantos casos especiales, o subconjuntos, de la categora general de mecanismos

espaciales. Estos se obtienen como una consecuencia de la geometra especial en las

orientaciones particulares de los ejes de sus pares. Si los mecanismos planos y esfricos son

slo casos especiales de mecanismos espaciales, por qu es aconsejable identificarlos por

Figura 2.14 Junta universal de Hooke o Cardan

Figura 2.15

Mecanismo

espacial.

Mecanismo de

placa oscilante


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separado? Debido a que por las condiciones geomtricas particulares que identifican estas

clases, es factible hacer multitud de simplificaciones en su diseo y anlisis.

Puesto que no todos los mecanismos espaciales poseen la geometra afortunada de un

mecanismo plano, su concepcin mediante tcnicas grficas se hace ms difcil y es necesario

desarrollar tcnicas ms complejas para su anlisis como el mtodo analtico.

Dado que la inmensa mayora de mecanismos en uso hoy en da son planos, nuestro estudio se

centrar en ellos, sin minimizar la importancia de los mecanismos esfricos y espaciales.

Como se seal con anterioridad, se pueden observar los movimientos de todas las partculas

de un mecanismo plano en el tamao y forma reales, desde una sola direccin. En otras

palabras, es factible representar grficamente todos los movimientos en una sola perspectiva,

de donde, las tcnicas grficas son muy apropiadas para su solucin.

Mecanismos planos contra mecanismos espaciales. Se vive en un mundo tridimensional, y

los mecanismos deben funcionar en ese mundo. Los mecanismos espaciales son dispositivos

tridimensionales. Su diseo y anlisis son mucho ms complejos que los de mecanismos

planos, los cuales son dispositivos bidimensionales. El estudio de mecanismos espaciales

queda fuera del mbito de este texto introductorio. Sin embargo, el estudio de mecanismos

planos no est limitado en la prctica como puede parecer ya que muchos dispositivos en tres

dimensiones se construyen de mltiples conjuntos de dispositivos bidimensionales acoplados.

Un ejemplo es cualquier silla plegable. Tendr alguna clase de eslabonamiento .en el plano

lateral izquierdo que permita plegarla. Habr un eslabonamiento idntico en el lado derecho de

la silla. Estos dos eslabonamientos planos XY estarn conectados por medio de alguna

estructura en la direccin Z, la que sujeta a los dos eslabonamientos planos en un ensamble

tridimensional. Muchos mecanismos reales estn acomodados de esta manera, como

eslabonamientos planos duplicados, desplazados en direccin Z en planos paralelo y

rgidamente conectados. Cuando se abre el cofre de un auto se observa su mecanismo de

bisagra en cada lado del automvil. El cofre y la carrocera sujetan los dos eslabonamientos

planos en un ensamble tridimensional. Se pueden encontrar muchos ejemplos como se de

ensambles de eslabonamientos planos en configuraciones tridimensionales. De este modo, se

demostrar tambin que las tcnicas bidimensional de sntesis y anlisis aqu presentadas son

de valor prctico al disear en tres dimensiones.


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2.3 Representacin de los mecanismos. Diagramas cinemticos

Con este diagrama se puede trabajar mucho ms fcilmente y le permite al diseador separar

los aspectos cinemticos del problema ms complejo del diseo de la mquina.

El anlisis de mecanismos requiere que se dibujen diagramas cinemticos claros, simples y

esquemticos de los eslabones y juntas con los que estn formados dichos mecanismos. Con el

fin de simplificar el estudio de los mecanismos, nunca se dibujan stos en su totalidad con la

forma y dimensiones de cada uno de los eslabones y pares, sino que se sustituye el conjunto

por un esquema o diagrama simplificado, formado generalmente por los ejes de los diferentes

miembros (o por lneas de unin de cada uno de sus articulaciones). Estas no se dibujan por

regla general (aunque algunas veces pueden representarse por medio de pequeos crculos,

rectngulos, etc.).

Algunas veces puede ser difcil identificar los eslabones y juntas cinemticos en un

mecanismo complicado. A menudo, los alumnos principiantes en este tema tienen esta

dificultad. En la presente seccin se define un enfoque para elaborar diagramas cinemticos

simplificados. Los eslabones reales pueden tener cualquier forma, pero un eslabn

"cinemtico", o borde de eslabn, se define como una lnea entre juntas que permite el

movimiento relativo entre eslabones adyacentes. Las juntas pueden permitir rotacin,

traslacin o ambos movimientos entre los eslabones unidos. Los movimientos posibles de la

junta deben ser claros y obvios en el diagrama cinemtico.

En la figura 2-16 se muestran las notaciones esquemticas que se recomiendan para los

eslabones binarios, ternarios y de orden superior, y para las juntas mviles y fijas con

libertades de rotacin y traslacin, adems de un ejemplo de su combinacin. Son posibles

Figura 2.16 Notacin esquemtica para diagramas cinemticos


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muchas otras notaciones, pero independientemente de la que se utilice, es crucial que el

diagrama indique cules eslabones o juntas estn fijos o pueden moverse. En caso contrario,

nadie ser capaz de interpretar la cinemtica el diseo. Se debe usar el sombreado para indicar

que un eslabn es slido.

En las figuras 2.17 y 2.18 se representan respectivamente una gra flotante, una puerta de

acceso para una aeronave y al lado su correspondiente esquema simplificado. Obsrvese que el

eslabn fijo se representa siempre con un rayado de lnea de tierra.

En el estudio que seguir y ha efecto de uniformizar la nomenclatura, se denominar siempre

al eslabn fijo de cualquier mecanismo con el nmero 1, numerando el resto de los eslabones

por orden creciente con nmeros sucesivos, 2, 3, etc.

Puede ser difcil identificar el mecanismo cinemtico en una fotografa o en un dibujo de una

mquina completa. La figura 2.19 muestra el conjunto cigeal-biela-pistn y su

correspondiente diagrama cinemtico.

Figura 2.17 Gra flotante con su diagrama esquemtico

Figura 2.18 Puerta de acceso para aeronave con su diagrama esquemtico


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En la figura 2-20a se muestra una fotografa de un mecanismo simple que se utiliza para

entrenamiento fsico llamado mquina de presin en piernas.

Este mecanismo consta de seis eslabones unidos mediante pasadores, los cuales se indican

como Ll a L6 y siete juntas de pasador. Los pivotes mviles se llaman A, E, C y D; 02, 04 y

06 denotan los pivotes fijos de sus nmeros de eslabn respectivos. A pesar de que sus

eslabones estn en planos paralelos separados por cierta distancia en la direccin z, puede

analizarse en forma cinemtica como si todos los eslabones estuvieran en un plano comn.

Para utilizar la mquina de presin en piernas, el usuario debe cargar cierto peso sobre el

eslabn 6 en la parte superior derecha, colocarse en el asiento ubicado abajo a la derecha,

poner ambos pies contra la superficie plana del eslabn 3 (un acoplador) y empujar con las

piernas para levantar los pesos mediante el eslabonamiento. La geometra del eslabonamiento

est diseada para proporcionar una ventaja mecnica variable que se relaciona con la

capacidad humana para proporcionar fuerza en el rango de movimiento de las piernas. En la

figura 2-16b se muestra un diagrama cinemtico de su mecanismo bsico. Observe que aqu

todos los eslabones se han llevado a un plano comn. El eslabn 1 est fijo. Los eslabones 2, 4

Figura 2.19 Motor de

combustin interna con

mecanismo de corredera-

biela- manivela y su

representacin grfica

Figura 2.20 Un mecanismo y su diagrama cinemtico


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y 6 son balancines. Los eslabones 3 y 5 son acopladores. La fuerza de entrada F se aplica al

eslabn 3. La resistencia del peso W de "salida" acta en el eslabn 6. Observe la diferencia

entre los contornos real y cinemtico de los eslabones 2 y 6.

En otra seccin se analizan las tcnicas para determinar la movilidad de un mecanismo. Ese

ejercicio depende de un conteo preciso del nmero de eslabones y juntas que tiene el

mecanismo. Sin un diagrama cinemtico adecuado, claro y completo del mecanismo, ser

imposible realizar el conteo correcto y, por ende, obtener la movilidad correcta.

2.3.1 Ciclo, periodo, fase y transmisin de movimiento

Cuando las partes de un mecanismo han pasado por todas las posiciones posibles que pueden

tomar despus de iniciar su movimiento desde algn conjunto simultaneo de posiciones

relativas y han regresado a sus posiciones relativas originales, han creado un ciclo de

movimiento. El tiempo requerido para un ciclo de movimiento es el periodo. Las posiciones

relativas simultneas de un mecanismo en un instante dado durante un ciclo determinan una

fase.

La transmisin del movimiento de un miembro a otro en un mecanismo se realiza en tres

formas: a) contacto directo entre dos miembros, tales como levas y seguidor o entre engranes

b) por medio de un eslabn intermedio o biela y c) por medio de un conector flexible como

una banda o una cadena

2.4 Movilidad o nmero de grados de libertad de un mecanismo plano

Una de las primeras preocupaciones, ya sea en el diseo o en el anlisis de un mecanismo, es

el nmero de grados de libertad, conocido tambin como movilidad del dispositivo. La

movilidad de un mecanismo es el nmero de parmetros de entrada (casi siempre variables

del par) que se deben controlar independientemente, con el fin de llevar al dispositivo a una

posicin en particular. Si por el momento se hace caso omiso de ciertas excepciones que se

mencionarn ms adelante, es factible determinar la movilidad de un mecanismo directamente

a travs de un recuento del nmero de eslabones y la cantidad y tipos de articulaciones que

incluye.


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Una definicin equivalente de movilidad se puede expresar como, el nmero mnimo de

coordenadas independientes requeridas para especificar la posicin de cada uno de los

eslabones de un mecanismo.

Un eslabn sencillo, restringido o limitado a moverse con movimiento plano, como el

mostrado en la figura 2.21, posee tres grados de libertad.

La figura muestra un lpiz colocado sobre una hoja de papel junto con su sistema de

coordenadas x, y. Si se restringe este lpiz a permanecer siempre en el plano del papel, se

requieren tres parmetros (GDL) para definir la posicin de cualquier punto en el lpiz, una

coordenada angular (ngulo ) para definir el ngulo del punto con respecto a los ejes y las

coordenadas x, y. Este sistema de lpiz en un plano tiene por tanto tres grados de libertad.

Hay que observar que los parmetros particulares elegidos para definir su posicin no son

nicos. Se podran utilizar un conjunto alterno de tres parmetros para definir la posicin del

sistema debido a que un cuerpo rgido en movimiento plano tiene tres grados de libertad. As

mismo, un cuerpo en el espacio posee seis grados de libertad (ver figura 2.9)

Cuando los eslabones se conectan para formar mecanismos, pierden grados de libertad.

Cualquier eslabn en un plano tiene tres GDL. Como se muestra en la figura 2.22a, donde los

dos eslabones no conectados tienen un total de seis GDL. Cuando estos eslabones estn

conectados por una junta completa en la figura 2- 22b, y1 y y2 se combinan como y, y x1

y x2 se combinan como x. Esto elimina dos GDL y deja cuatro. En la figura 2- 22c la

semijunta elimina slo un GDL del sistema (porque una semijunta tiene dos GDL) y deja el

sistema de dos eslabones conectados por una semijunta con un total de cinco GDL. Adems,

cuando cualquier eslabn est conectado a tierra o unido al marco de referencia, se eliminarn

sus tres GDL.

Figura 2.21 Un cuerpo

rgido en un plano tiene

3 grados de libertad


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Para desarrollar una ecuacin general que ayude a predecir la movilidad de cualquier

mecanismo plano podemos utilizar la siguiente lgica derivada del ejemplo anterior. Antes de

conectarse entre s, cada eslabn de un mecanismo plano posee tres grados de libertad cuando

se mueven en relacin al eslabn fijo. Por consiguiente, sin contar este ltimo, un mecanismo

plano de n eslabones posee 3(n - 1) grados de libertad antes de conectar cualquiera de las

articulaciones. Al conectar una articulacin con un grado de libertad, como por ejemplo, un

par de revoluta, se tiene el efecto de proveer dos restricciones entre los eslabones conectados.

Si se conecta un par con dos grados de libertad, se proporciona una restriccin. Cuando las

restricciones de todas las articulaciones se restan del total de grados de libertad de los

eslabones no conectados, se encuentra la movilidad resultante del mecanismo conectado.

Cuando se usa j1, para denotar el nmero de pares de un solo grado de libertad y j2 para el

nmero de pares con dos grados de libertad, la movilidad resultante m de un mecanismo plano

de n eslabones est dada por:

m = 3(n - 1) - 2jl - j2 (2.1)

Figura 2.22 Las juntas eliminan grados de libertad


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Escrita en esta forma, la ecuacin 2.1 se conoce como criterio de Kutzbach para la movilidad

de un mecanismo plano, que es una modificacin de la ecuacin de Grebler, en la que:

m = movilidad o nmero de grados de libertad

n = nmero total de eslabones, incluyendo al fijo

j1 = nmero de pares de un grado de libertad

j2 = nmero de pares de dos grados de libertad.

Su aplicacin se ilustra para varios casos simples en las figura 2.23 y 2.24

Esta ecuacin de Kutzbach permite determinar la movilidad de cualquier me

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