Manual de Aprendizaje Matemáticas III y IV Ciclo de ...
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Colegio Mixto Preuniversitario Bilingüe Intercultural Manual de Aprendizaje Matemáticas III y IV Ciclo de Educación básica TZOLOK CHI NAJ XYANQ Segundo año, Ciclo de Educación básica por Madurez Ixcán, Quiché, 2016
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Colegio Mixto Preuniversitario Bilinguumle Intercultural
Manual de Aprendizaje Matemaacuteticas III y IV
Ciclo de Educacioacuten baacutesica
TZOLOK CHI NAJ XYANQ
Segundo antildeo Ciclo de Educacioacuten baacutesica por Madurez
Ixcaacuten Quicheacute 2016
2
Colegio Mixto Preuniversitario Bilinguumle Intercultural
Representante Legal
Mauricio Yat Luc
Director Teacutecnico Administrativo
Mauricio Yat Luc
Autores
Mauricio Yat Luc
Hermelindo Quim Cuc
Rigoberto Morales
Pedro Tzuy Caal
Revisor
Mauricio Yat Luc
Manual de Aprendizaje para estudiantes Nivel baacutesico
Playa Grande Ixcaacuten
No se autoriza la reproduccioacuten total o parcial de este libro
3
Tercer semestre ndash segundo antildeo
CONTENIDOS PAGINAS
Portada ----------------------------------------------------------------------------- 1
Tabla de contenidos ------------------------------------------------------------ 2
Descripcioacuten general ------------------------------------------------------------- 5
Polinomios y sus operaciones y propiedades --------------------------- 6
Polinomios ordenados productos notables ------------------------------ 7
Cuadrado de un binomio ------------------------------------------------------ 8
Cuadrado de un polinomio ---------------------------------------------------- 10
Teacuterminos agrupados ------------------------------------------------------------ 10
Binomio de newton -------------------------------------------------------------- 14
Ejercicios del binomio de newton -------------------------------------------- 14
Binomio de newton -------------------------------------------------------------- 15
Triangulo de pascal o de tartaglia ------------------------------------------- 19
Factorizacioacuten --------------------------------------------------------------------- 20
Medidas relacionadas con figuras planas y cuerpos soacutelidos -------- 21
Circulo y segmentos asociados tipos de segmentos ------------------ 22
Tipos de cuerpos solidos ------------------------------------------------------ 24
Razones trigonomeacutetricas en triaacutengulos obtusaacutengulos ----------------- 26
Teorema de Pitaacutegoras ---------------------------------------------------------- 29
Loacutegica ------------------------------------------------------------------------------- 34
Teorema --------------------------------------------------------------------------- 34
Falacia loacutegica --------------------------------------------------------------------- 36
Relacioacuten entre conjuntos y propiedades de las operaciones --------- 38
Operaciones con conjuntos --------------------------------------------------- 39
Producto cartesiano representacioacuten propiedades y aplicaciones - 39
Conjuntos homoacutelogos ---------------------------------------------------------- 41
Aplicacioacuten suprayectiva -------------------------------------------------------- 42
Relaciones binarias simeacutetrica ----------------------------------------------- 43
Estructuras algebraicas con dos leyes de composicioacuten espacio
vectorial ----------------------------------------------------------------------------
46
Tipos de funciones (inyectiva sobreyectiva biyectiva inversa
etceacutetera) ----------------------------------------------------------------------------
47
Funcioacuten lineal funcioacuten cuadraacutetica ------------------------------------------- 48
Ecuaciones de segundo grado (cuadraacuteticas) ----------------------------- 52
Solucioacuten por factorizacioacuten ----------------------------------------------------- 52
Cuarto Semestre ndash Segundo antildeo 63
Intervalo abierto y el intervalo cerrado ------------------------------------- 64
Sistemas de ecuaciones lineales de dos o tres variables ------------- 67
4
Meacutetodo de igualacioacuten ----------------------------------------------------------- 68
Sistemas de ecuaciones no lineales ---------------------------------------- 73
Conjunto de nuacutemeros reales orden operaciones y propiedades --- 79
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten) ----------- 81
El conjunto de los nuacutemeros Reales ----------------------------------------- 85
Densidad de la recta y de los reales ---------------------------------------- 86
Los nuacutemeros reales y la recta real ------------------------------------------ 86
Nuacutemeros Complejos moacutedulo conjugado opuesto --------------------- 89
Operaciones baacutesicas con nuacutemeros complejos Medidas de
dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten
rango rango intercuartiacutelico correlacioacuten -----------------------------------
90
Sistemas posicionales decimales binarios y vigesimales ----------- 92
Notacioacuten decimal ---------------------------------------------------------------- 92
Sistema binario ------------------------------------------------------------------- 94
Sistema de numeracioacuten octal Sistema hexadecimal ------------------ 97
Operaciones baacutesicas con diferentes sistemas --------------------------- 96
Resta de nuacutemeros naturales -------------------------------------------------- 99
Operaciones baacutesica nuacutemeros enteros ------------------------------------- 100
La matemaacutetica en Ameacuterica de las culturas precolombinas ----------- 103
Diagrama de flujo ---------------------------------------------------------------- 106
Simbologiacutea y significado ------------------------------------------------------- 108
Bibliografiacutea -----------------------------------------------------------------------
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DESCRIPCIOacuteN GENERAL En la actualidad no es posible reducir la definicioacuten de las matemaacuteticas a las
ciencias de los nuacutemeros (aritmeacutetica) y las formas (geometriacutea) El uso de siacutembolos
(aacutelgebra y teoriacutea de conjuntos) el estudio del cambio (caacutelculo) y de la
incertidumbre (estadiacutestica y probabilidad) el anaacutelisis de las formas de
razonamiento (loacutegica matemaacutetica) y las consideraciones acerca de los enfoques
matemaacuteticos en diferentes grupos culturales (etnomatemaacutetica) son objeto de
estudio de las Matemaacuteticas contemporaacuteneas
Tampoco es deseable considerar a las Matemaacuteticas aisladas de la tecnologiacutea
variada que el presente ofrece Tanto para estudiar la ciencia como para mejorarla
o utilizarla la tecnologiacutea de ordenadores la internet la telecomunicacioacuten los
medios audiovisuales la calculadora (desde la aritmeacutetica hasta la cientiacutefica y la
graacutefica) y otros instrumentos (aacutebacos instrumentos de medicioacuten y dibujo entre
otros) deberaacuten volverse de uso comuacuten en las aulas para fortalecer el aprendizaje y
abrir a las y los estudiantes oportunidades de trabajo comunicacioacuten y
aprovechamiento del tiempo
La ciencia matemaacutetica actual reconoce y valora la presencia de los meacutetodos y las
visiones matemaacuteticas en los diferentes Pueblos y grupos culturales pasados y
presentes Por lo tanto el Curriculum favoreceraacute la integracioacuten de los diferentes
elementos culturales con el conocimiento praacutectico
Por uacuteltimo seraacute importante considerar las Matemaacuteticas como integradoras de
saberes enfoques meacutetodos y auacuten de valores y actitudes para que su aporte al
Curriculum sea significativo
Por tanto orientar el desarrollo del pensamiento analiacutetico y reflexivo mediante la
integracioacuten de la buacutesqueda de patrones y relaciones la interpretacioacuten y el uso de
un lenguaje particular simboacutelico abstracto el estudio y representacioacuten de figuras
la argumentacioacuten loacutegica y la demostracioacuten la formulacioacuten y aplicacioacuten de modelos
variados (aritmeacuteticos geomeacutetricos y trigonomeacutetricos y algebraicos) asiacute como
proporcionar herramientas uacutetiles para recolectar presentar y leer informacioacuten
analizarla y utilizarla para resolver problemas praacutecticos de la vida habitual son
propoacutesitos del aacuterea de Matemaacuteticas
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POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES Y PROPIEDADES
En este post vamos a ver las propiedades de los polinomios queacute son queacute grado tienen
si estaacuten ordenados o completos y aprender a ordenarlos y a completarlos
Para los que vean por primera vez el concepto de polinomio recomiendo leer antes el
post de la semana pasada sobre las propiedades de los monomios para comprender
mejor ciertos conceptos que se ven en este post
Vamos a empezar viendo queacute son los polinomios
Un polinomio es un conjunto formado por varios monomios
Los polinomios suelen nombrarse con letras mayuacutesculas (normalmente empezando por
la P) y se escriben entre pareacutentesis las variables que tiene el polinomio
P (a b c) = a2bc3 ndash 3a3c6 + 6ac4 + 2b
El polinomio P contiene las variables a b y c Estaacute compuesto por 4 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 4 teacuterminos
Q (p q) = -10p6 + pq2
El polinomio Q contiene las variables p y q Estaacute compuesto por 2 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 2 teacuterminos
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios
Vamos a ver el grado de los polinomios anteriores
El polinomio P tiene 4 monomios
a2bc3 ndashgt Grado =6
-3a3c6 ndashgt Grado = 9
6ac4 ndashgt Grado = 5
2b ndashgt Grado = 1Por lo tanto el grado del polinomio P es 9
El polinomio Q tiene dos monomios
-10p6 ndashgt Grado = 6
pq2 ndashgt Grado = 3
Por lo tanto el polinomio Q tiene grado 6
Ahora os propongo un ejercicio iquestCuaacutel es el grado de este polinomio
Polinomios ordenados
Un polinomio estaacute ordenado cuando sus monomios estaacuten ordenados de mayor a menos
grado
Volviendo a los polinomios anteriores el polinomio P tiene los monomios de
7
grados 6 9 5 1 Como no estaacuten ordenados de mayor a menos podemos decir que el
polinomio P no estaacute ordenado o lo que es lo mismo estaacute desordenado
El polinomio Q tiene los monomios de grados 6 3 En este caso los grados de los
monomios se encuentran ordenados de mayor a menor grado por lo tanto el
polinomio Q estaacute ordenado
Os propongo otro ejercicio iquestEl siguiente polinomio estaacute ordenado
Polinomios completos
Un polinomio estaacute completo cuando tiene todos los teacuterminos con grados desde el mayor
hasta grado cero
El polinomio P que contiene los grados 6 9 5 y 1 Estaacute incompleto porque faltan los
teacuterminos de grado 8 7 4 3 2 y 1
El polinomio Q tambieacuten estaacute incompleto porque tiene los teacuterminos de grado 6 y 3 por lo
tanto faltan los teacuterminos de grado 5 4 2 1 y 0
Un uacuteltimo ejercicio iquestEstaacute completo este polinomio
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas cuyo resultado se puede escribir mediante
simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Factor comuacuten
Visualizacioacuten de la regla de factor comuacuten Forma un gnomon
El resultado de multiplicar un binomio por un teacutermino se
obtiene aplicando la propiedad distributiva
En la figura adjunta se observa que aacuterea del rectaacutengulo es es decir el
producto de la base por la altura y tambieacuten puede obtenerse como la suma
de las dos aacutereas coloreadas y
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CUADRADO DE UN BINOMIO
Ilustracioacuten graacutefica del binomio al cuadrado
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir
multiplicarlo por siacute mismo) se suman los cuadrados
de cada teacutermino con el doble del producto de ellos
Asiacute
La expresioacuten siguiente se conoce
como trinomio cuadrado perfecto
Cuando el segundo teacutermino es negativo
la igualdad que se obtiene es
Ejemplo
Simplificando
Dos binomios con un teacutermino comuacuten
Ilustracioacuten graacutefica del producto de binomios con un teacutermino comuacuten
Para efectuar un producto de dos binomios con teacutermino comuacuten se
tiene que identificar el teacutermino comuacuten en este caso x luego se
aplica la foacutermula siguiente
Ejemplo
9
Tres binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
Binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
xn + (suma de teacuterminos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de teacuterminos
no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +hellip + (producto del nuacutemero de teacuterminos)
Producto de dos binomios conjugados
Conjugado (matemaacutetica)
Producto de binomios conjugados
Dos binomios conjugados se
diferencian soacutelo en el signo de la
operacioacuten Para su multiplicacioacuten basta
elevar los monomios al cuadrado y
restarlos (obviamente un teacutermino conserva el signo negativo) con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
A este producto notable tambieacuten se le conoce como suma por la diferencia
En el caso
1 aparecen polinomios
10
CUADRADO DE UN POLINOMIO
Elevacioacuten de un trinomio al cuadrado de forma graacutefica
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de
teacuterminos se suman los cuadrados de cada teacutermino
individual y luego se antildeade el doble de la suma de los
productos de cada posible par de teacuterminos
Ejemplo
Multiplicando los monomios
TEacuteRMINOS AGRUPANDOS
Luego
Romper moldes
2
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Cubo de un binomio
Descomposicioacuten volumeacutetrica del binomio al
cubo
Para calcular el cubo de un binomio se
suman sucesivamente
El cubo del primer teacutermino
El triple producto del cuadrado del primero
por el segundo
El triple producto del primero por el cuadrado
del segundo
El cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Si la operacioacuten del binomio implica resta el resultado es
El cubo del primer teacutermino
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Maacutes el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Menos el cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
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de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
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Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
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Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
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Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
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exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
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El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
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forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
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CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
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Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
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3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
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CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
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RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
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coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
28
Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
39
Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
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se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
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Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
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Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
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Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
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Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
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Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
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Aires Docencia 1981
2
Colegio Mixto Preuniversitario Bilinguumle Intercultural
Representante Legal
Mauricio Yat Luc
Director Teacutecnico Administrativo
Mauricio Yat Luc
Autores
Mauricio Yat Luc
Hermelindo Quim Cuc
Rigoberto Morales
Pedro Tzuy Caal
Revisor
Mauricio Yat Luc
Manual de Aprendizaje para estudiantes Nivel baacutesico
Playa Grande Ixcaacuten
No se autoriza la reproduccioacuten total o parcial de este libro
3
Tercer semestre ndash segundo antildeo
CONTENIDOS PAGINAS
Portada ----------------------------------------------------------------------------- 1
Tabla de contenidos ------------------------------------------------------------ 2
Descripcioacuten general ------------------------------------------------------------- 5
Polinomios y sus operaciones y propiedades --------------------------- 6
Polinomios ordenados productos notables ------------------------------ 7
Cuadrado de un binomio ------------------------------------------------------ 8
Cuadrado de un polinomio ---------------------------------------------------- 10
Teacuterminos agrupados ------------------------------------------------------------ 10
Binomio de newton -------------------------------------------------------------- 14
Ejercicios del binomio de newton -------------------------------------------- 14
Binomio de newton -------------------------------------------------------------- 15
Triangulo de pascal o de tartaglia ------------------------------------------- 19
Factorizacioacuten --------------------------------------------------------------------- 20
Medidas relacionadas con figuras planas y cuerpos soacutelidos -------- 21
Circulo y segmentos asociados tipos de segmentos ------------------ 22
Tipos de cuerpos solidos ------------------------------------------------------ 24
Razones trigonomeacutetricas en triaacutengulos obtusaacutengulos ----------------- 26
Teorema de Pitaacutegoras ---------------------------------------------------------- 29
Loacutegica ------------------------------------------------------------------------------- 34
Teorema --------------------------------------------------------------------------- 34
Falacia loacutegica --------------------------------------------------------------------- 36
Relacioacuten entre conjuntos y propiedades de las operaciones --------- 38
Operaciones con conjuntos --------------------------------------------------- 39
Producto cartesiano representacioacuten propiedades y aplicaciones - 39
Conjuntos homoacutelogos ---------------------------------------------------------- 41
Aplicacioacuten suprayectiva -------------------------------------------------------- 42
Relaciones binarias simeacutetrica ----------------------------------------------- 43
Estructuras algebraicas con dos leyes de composicioacuten espacio
vectorial ----------------------------------------------------------------------------
46
Tipos de funciones (inyectiva sobreyectiva biyectiva inversa
etceacutetera) ----------------------------------------------------------------------------
47
Funcioacuten lineal funcioacuten cuadraacutetica ------------------------------------------- 48
Ecuaciones de segundo grado (cuadraacuteticas) ----------------------------- 52
Solucioacuten por factorizacioacuten ----------------------------------------------------- 52
Cuarto Semestre ndash Segundo antildeo 63
Intervalo abierto y el intervalo cerrado ------------------------------------- 64
Sistemas de ecuaciones lineales de dos o tres variables ------------- 67
4
Meacutetodo de igualacioacuten ----------------------------------------------------------- 68
Sistemas de ecuaciones no lineales ---------------------------------------- 73
Conjunto de nuacutemeros reales orden operaciones y propiedades --- 79
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten) ----------- 81
El conjunto de los nuacutemeros Reales ----------------------------------------- 85
Densidad de la recta y de los reales ---------------------------------------- 86
Los nuacutemeros reales y la recta real ------------------------------------------ 86
Nuacutemeros Complejos moacutedulo conjugado opuesto --------------------- 89
Operaciones baacutesicas con nuacutemeros complejos Medidas de
dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten
rango rango intercuartiacutelico correlacioacuten -----------------------------------
90
Sistemas posicionales decimales binarios y vigesimales ----------- 92
Notacioacuten decimal ---------------------------------------------------------------- 92
Sistema binario ------------------------------------------------------------------- 94
Sistema de numeracioacuten octal Sistema hexadecimal ------------------ 97
Operaciones baacutesicas con diferentes sistemas --------------------------- 96
Resta de nuacutemeros naturales -------------------------------------------------- 99
Operaciones baacutesica nuacutemeros enteros ------------------------------------- 100
La matemaacutetica en Ameacuterica de las culturas precolombinas ----------- 103
Diagrama de flujo ---------------------------------------------------------------- 106
Simbologiacutea y significado ------------------------------------------------------- 108
Bibliografiacutea -----------------------------------------------------------------------
111
5
DESCRIPCIOacuteN GENERAL En la actualidad no es posible reducir la definicioacuten de las matemaacuteticas a las
ciencias de los nuacutemeros (aritmeacutetica) y las formas (geometriacutea) El uso de siacutembolos
(aacutelgebra y teoriacutea de conjuntos) el estudio del cambio (caacutelculo) y de la
incertidumbre (estadiacutestica y probabilidad) el anaacutelisis de las formas de
razonamiento (loacutegica matemaacutetica) y las consideraciones acerca de los enfoques
matemaacuteticos en diferentes grupos culturales (etnomatemaacutetica) son objeto de
estudio de las Matemaacuteticas contemporaacuteneas
Tampoco es deseable considerar a las Matemaacuteticas aisladas de la tecnologiacutea
variada que el presente ofrece Tanto para estudiar la ciencia como para mejorarla
o utilizarla la tecnologiacutea de ordenadores la internet la telecomunicacioacuten los
medios audiovisuales la calculadora (desde la aritmeacutetica hasta la cientiacutefica y la
graacutefica) y otros instrumentos (aacutebacos instrumentos de medicioacuten y dibujo entre
otros) deberaacuten volverse de uso comuacuten en las aulas para fortalecer el aprendizaje y
abrir a las y los estudiantes oportunidades de trabajo comunicacioacuten y
aprovechamiento del tiempo
La ciencia matemaacutetica actual reconoce y valora la presencia de los meacutetodos y las
visiones matemaacuteticas en los diferentes Pueblos y grupos culturales pasados y
presentes Por lo tanto el Curriculum favoreceraacute la integracioacuten de los diferentes
elementos culturales con el conocimiento praacutectico
Por uacuteltimo seraacute importante considerar las Matemaacuteticas como integradoras de
saberes enfoques meacutetodos y auacuten de valores y actitudes para que su aporte al
Curriculum sea significativo
Por tanto orientar el desarrollo del pensamiento analiacutetico y reflexivo mediante la
integracioacuten de la buacutesqueda de patrones y relaciones la interpretacioacuten y el uso de
un lenguaje particular simboacutelico abstracto el estudio y representacioacuten de figuras
la argumentacioacuten loacutegica y la demostracioacuten la formulacioacuten y aplicacioacuten de modelos
variados (aritmeacuteticos geomeacutetricos y trigonomeacutetricos y algebraicos) asiacute como
proporcionar herramientas uacutetiles para recolectar presentar y leer informacioacuten
analizarla y utilizarla para resolver problemas praacutecticos de la vida habitual son
propoacutesitos del aacuterea de Matemaacuteticas
6
POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES Y PROPIEDADES
En este post vamos a ver las propiedades de los polinomios queacute son queacute grado tienen
si estaacuten ordenados o completos y aprender a ordenarlos y a completarlos
Para los que vean por primera vez el concepto de polinomio recomiendo leer antes el
post de la semana pasada sobre las propiedades de los monomios para comprender
mejor ciertos conceptos que se ven en este post
Vamos a empezar viendo queacute son los polinomios
Un polinomio es un conjunto formado por varios monomios
Los polinomios suelen nombrarse con letras mayuacutesculas (normalmente empezando por
la P) y se escriben entre pareacutentesis las variables que tiene el polinomio
P (a b c) = a2bc3 ndash 3a3c6 + 6ac4 + 2b
El polinomio P contiene las variables a b y c Estaacute compuesto por 4 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 4 teacuterminos
Q (p q) = -10p6 + pq2
El polinomio Q contiene las variables p y q Estaacute compuesto por 2 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 2 teacuterminos
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios
Vamos a ver el grado de los polinomios anteriores
El polinomio P tiene 4 monomios
a2bc3 ndashgt Grado =6
-3a3c6 ndashgt Grado = 9
6ac4 ndashgt Grado = 5
2b ndashgt Grado = 1Por lo tanto el grado del polinomio P es 9
El polinomio Q tiene dos monomios
-10p6 ndashgt Grado = 6
pq2 ndashgt Grado = 3
Por lo tanto el polinomio Q tiene grado 6
Ahora os propongo un ejercicio iquestCuaacutel es el grado de este polinomio
Polinomios ordenados
Un polinomio estaacute ordenado cuando sus monomios estaacuten ordenados de mayor a menos
grado
Volviendo a los polinomios anteriores el polinomio P tiene los monomios de
7
grados 6 9 5 1 Como no estaacuten ordenados de mayor a menos podemos decir que el
polinomio P no estaacute ordenado o lo que es lo mismo estaacute desordenado
El polinomio Q tiene los monomios de grados 6 3 En este caso los grados de los
monomios se encuentran ordenados de mayor a menor grado por lo tanto el
polinomio Q estaacute ordenado
Os propongo otro ejercicio iquestEl siguiente polinomio estaacute ordenado
Polinomios completos
Un polinomio estaacute completo cuando tiene todos los teacuterminos con grados desde el mayor
hasta grado cero
El polinomio P que contiene los grados 6 9 5 y 1 Estaacute incompleto porque faltan los
teacuterminos de grado 8 7 4 3 2 y 1
El polinomio Q tambieacuten estaacute incompleto porque tiene los teacuterminos de grado 6 y 3 por lo
tanto faltan los teacuterminos de grado 5 4 2 1 y 0
Un uacuteltimo ejercicio iquestEstaacute completo este polinomio
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas cuyo resultado se puede escribir mediante
simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Factor comuacuten
Visualizacioacuten de la regla de factor comuacuten Forma un gnomon
El resultado de multiplicar un binomio por un teacutermino se
obtiene aplicando la propiedad distributiva
En la figura adjunta se observa que aacuterea del rectaacutengulo es es decir el
producto de la base por la altura y tambieacuten puede obtenerse como la suma
de las dos aacutereas coloreadas y
8
CUADRADO DE UN BINOMIO
Ilustracioacuten graacutefica del binomio al cuadrado
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir
multiplicarlo por siacute mismo) se suman los cuadrados
de cada teacutermino con el doble del producto de ellos
Asiacute
La expresioacuten siguiente se conoce
como trinomio cuadrado perfecto
Cuando el segundo teacutermino es negativo
la igualdad que se obtiene es
Ejemplo
Simplificando
Dos binomios con un teacutermino comuacuten
Ilustracioacuten graacutefica del producto de binomios con un teacutermino comuacuten
Para efectuar un producto de dos binomios con teacutermino comuacuten se
tiene que identificar el teacutermino comuacuten en este caso x luego se
aplica la foacutermula siguiente
Ejemplo
9
Tres binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
Binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
xn + (suma de teacuterminos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de teacuterminos
no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +hellip + (producto del nuacutemero de teacuterminos)
Producto de dos binomios conjugados
Conjugado (matemaacutetica)
Producto de binomios conjugados
Dos binomios conjugados se
diferencian soacutelo en el signo de la
operacioacuten Para su multiplicacioacuten basta
elevar los monomios al cuadrado y
restarlos (obviamente un teacutermino conserva el signo negativo) con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
A este producto notable tambieacuten se le conoce como suma por la diferencia
En el caso
1 aparecen polinomios
10
CUADRADO DE UN POLINOMIO
Elevacioacuten de un trinomio al cuadrado de forma graacutefica
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de
teacuterminos se suman los cuadrados de cada teacutermino
individual y luego se antildeade el doble de la suma de los
productos de cada posible par de teacuterminos
Ejemplo
Multiplicando los monomios
TEacuteRMINOS AGRUPANDOS
Luego
Romper moldes
2
11
Cubo de un binomio
Descomposicioacuten volumeacutetrica del binomio al
cubo
Para calcular el cubo de un binomio se
suman sucesivamente
El cubo del primer teacutermino
El triple producto del cuadrado del primero
por el segundo
El triple producto del primero por el cuadrado
del segundo
El cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Si la operacioacuten del binomio implica resta el resultado es
El cubo del primer teacutermino
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Maacutes el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Menos el cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
17
exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
18
El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
19
forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
22
CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
24
3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
25
CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
26
RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
28
Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
39
Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
52
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
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nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
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(ICMI Study Series) USA Cambridge University Press 1990
7 SANTALOacute Luis ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica en la escuela mediardquo Buenos
Aires Docencia 1981
3
Tercer semestre ndash segundo antildeo
CONTENIDOS PAGINAS
Portada ----------------------------------------------------------------------------- 1
Tabla de contenidos ------------------------------------------------------------ 2
Descripcioacuten general ------------------------------------------------------------- 5
Polinomios y sus operaciones y propiedades --------------------------- 6
Polinomios ordenados productos notables ------------------------------ 7
Cuadrado de un binomio ------------------------------------------------------ 8
Cuadrado de un polinomio ---------------------------------------------------- 10
Teacuterminos agrupados ------------------------------------------------------------ 10
Binomio de newton -------------------------------------------------------------- 14
Ejercicios del binomio de newton -------------------------------------------- 14
Binomio de newton -------------------------------------------------------------- 15
Triangulo de pascal o de tartaglia ------------------------------------------- 19
Factorizacioacuten --------------------------------------------------------------------- 20
Medidas relacionadas con figuras planas y cuerpos soacutelidos -------- 21
Circulo y segmentos asociados tipos de segmentos ------------------ 22
Tipos de cuerpos solidos ------------------------------------------------------ 24
Razones trigonomeacutetricas en triaacutengulos obtusaacutengulos ----------------- 26
Teorema de Pitaacutegoras ---------------------------------------------------------- 29
Loacutegica ------------------------------------------------------------------------------- 34
Teorema --------------------------------------------------------------------------- 34
Falacia loacutegica --------------------------------------------------------------------- 36
Relacioacuten entre conjuntos y propiedades de las operaciones --------- 38
Operaciones con conjuntos --------------------------------------------------- 39
Producto cartesiano representacioacuten propiedades y aplicaciones - 39
Conjuntos homoacutelogos ---------------------------------------------------------- 41
Aplicacioacuten suprayectiva -------------------------------------------------------- 42
Relaciones binarias simeacutetrica ----------------------------------------------- 43
Estructuras algebraicas con dos leyes de composicioacuten espacio
vectorial ----------------------------------------------------------------------------
46
Tipos de funciones (inyectiva sobreyectiva biyectiva inversa
etceacutetera) ----------------------------------------------------------------------------
47
Funcioacuten lineal funcioacuten cuadraacutetica ------------------------------------------- 48
Ecuaciones de segundo grado (cuadraacuteticas) ----------------------------- 52
Solucioacuten por factorizacioacuten ----------------------------------------------------- 52
Cuarto Semestre ndash Segundo antildeo 63
Intervalo abierto y el intervalo cerrado ------------------------------------- 64
Sistemas de ecuaciones lineales de dos o tres variables ------------- 67
4
Meacutetodo de igualacioacuten ----------------------------------------------------------- 68
Sistemas de ecuaciones no lineales ---------------------------------------- 73
Conjunto de nuacutemeros reales orden operaciones y propiedades --- 79
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten) ----------- 81
El conjunto de los nuacutemeros Reales ----------------------------------------- 85
Densidad de la recta y de los reales ---------------------------------------- 86
Los nuacutemeros reales y la recta real ------------------------------------------ 86
Nuacutemeros Complejos moacutedulo conjugado opuesto --------------------- 89
Operaciones baacutesicas con nuacutemeros complejos Medidas de
dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten
rango rango intercuartiacutelico correlacioacuten -----------------------------------
90
Sistemas posicionales decimales binarios y vigesimales ----------- 92
Notacioacuten decimal ---------------------------------------------------------------- 92
Sistema binario ------------------------------------------------------------------- 94
Sistema de numeracioacuten octal Sistema hexadecimal ------------------ 97
Operaciones baacutesicas con diferentes sistemas --------------------------- 96
Resta de nuacutemeros naturales -------------------------------------------------- 99
Operaciones baacutesica nuacutemeros enteros ------------------------------------- 100
La matemaacutetica en Ameacuterica de las culturas precolombinas ----------- 103
Diagrama de flujo ---------------------------------------------------------------- 106
Simbologiacutea y significado ------------------------------------------------------- 108
Bibliografiacutea -----------------------------------------------------------------------
111
5
DESCRIPCIOacuteN GENERAL En la actualidad no es posible reducir la definicioacuten de las matemaacuteticas a las
ciencias de los nuacutemeros (aritmeacutetica) y las formas (geometriacutea) El uso de siacutembolos
(aacutelgebra y teoriacutea de conjuntos) el estudio del cambio (caacutelculo) y de la
incertidumbre (estadiacutestica y probabilidad) el anaacutelisis de las formas de
razonamiento (loacutegica matemaacutetica) y las consideraciones acerca de los enfoques
matemaacuteticos en diferentes grupos culturales (etnomatemaacutetica) son objeto de
estudio de las Matemaacuteticas contemporaacuteneas
Tampoco es deseable considerar a las Matemaacuteticas aisladas de la tecnologiacutea
variada que el presente ofrece Tanto para estudiar la ciencia como para mejorarla
o utilizarla la tecnologiacutea de ordenadores la internet la telecomunicacioacuten los
medios audiovisuales la calculadora (desde la aritmeacutetica hasta la cientiacutefica y la
graacutefica) y otros instrumentos (aacutebacos instrumentos de medicioacuten y dibujo entre
otros) deberaacuten volverse de uso comuacuten en las aulas para fortalecer el aprendizaje y
abrir a las y los estudiantes oportunidades de trabajo comunicacioacuten y
aprovechamiento del tiempo
La ciencia matemaacutetica actual reconoce y valora la presencia de los meacutetodos y las
visiones matemaacuteticas en los diferentes Pueblos y grupos culturales pasados y
presentes Por lo tanto el Curriculum favoreceraacute la integracioacuten de los diferentes
elementos culturales con el conocimiento praacutectico
Por uacuteltimo seraacute importante considerar las Matemaacuteticas como integradoras de
saberes enfoques meacutetodos y auacuten de valores y actitudes para que su aporte al
Curriculum sea significativo
Por tanto orientar el desarrollo del pensamiento analiacutetico y reflexivo mediante la
integracioacuten de la buacutesqueda de patrones y relaciones la interpretacioacuten y el uso de
un lenguaje particular simboacutelico abstracto el estudio y representacioacuten de figuras
la argumentacioacuten loacutegica y la demostracioacuten la formulacioacuten y aplicacioacuten de modelos
variados (aritmeacuteticos geomeacutetricos y trigonomeacutetricos y algebraicos) asiacute como
proporcionar herramientas uacutetiles para recolectar presentar y leer informacioacuten
analizarla y utilizarla para resolver problemas praacutecticos de la vida habitual son
propoacutesitos del aacuterea de Matemaacuteticas
6
POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES Y PROPIEDADES
En este post vamos a ver las propiedades de los polinomios queacute son queacute grado tienen
si estaacuten ordenados o completos y aprender a ordenarlos y a completarlos
Para los que vean por primera vez el concepto de polinomio recomiendo leer antes el
post de la semana pasada sobre las propiedades de los monomios para comprender
mejor ciertos conceptos que se ven en este post
Vamos a empezar viendo queacute son los polinomios
Un polinomio es un conjunto formado por varios monomios
Los polinomios suelen nombrarse con letras mayuacutesculas (normalmente empezando por
la P) y se escriben entre pareacutentesis las variables que tiene el polinomio
P (a b c) = a2bc3 ndash 3a3c6 + 6ac4 + 2b
El polinomio P contiene las variables a b y c Estaacute compuesto por 4 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 4 teacuterminos
Q (p q) = -10p6 + pq2
El polinomio Q contiene las variables p y q Estaacute compuesto por 2 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 2 teacuterminos
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios
Vamos a ver el grado de los polinomios anteriores
El polinomio P tiene 4 monomios
a2bc3 ndashgt Grado =6
-3a3c6 ndashgt Grado = 9
6ac4 ndashgt Grado = 5
2b ndashgt Grado = 1Por lo tanto el grado del polinomio P es 9
El polinomio Q tiene dos monomios
-10p6 ndashgt Grado = 6
pq2 ndashgt Grado = 3
Por lo tanto el polinomio Q tiene grado 6
Ahora os propongo un ejercicio iquestCuaacutel es el grado de este polinomio
Polinomios ordenados
Un polinomio estaacute ordenado cuando sus monomios estaacuten ordenados de mayor a menos
grado
Volviendo a los polinomios anteriores el polinomio P tiene los monomios de
7
grados 6 9 5 1 Como no estaacuten ordenados de mayor a menos podemos decir que el
polinomio P no estaacute ordenado o lo que es lo mismo estaacute desordenado
El polinomio Q tiene los monomios de grados 6 3 En este caso los grados de los
monomios se encuentran ordenados de mayor a menor grado por lo tanto el
polinomio Q estaacute ordenado
Os propongo otro ejercicio iquestEl siguiente polinomio estaacute ordenado
Polinomios completos
Un polinomio estaacute completo cuando tiene todos los teacuterminos con grados desde el mayor
hasta grado cero
El polinomio P que contiene los grados 6 9 5 y 1 Estaacute incompleto porque faltan los
teacuterminos de grado 8 7 4 3 2 y 1
El polinomio Q tambieacuten estaacute incompleto porque tiene los teacuterminos de grado 6 y 3 por lo
tanto faltan los teacuterminos de grado 5 4 2 1 y 0
Un uacuteltimo ejercicio iquestEstaacute completo este polinomio
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas cuyo resultado se puede escribir mediante
simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Factor comuacuten
Visualizacioacuten de la regla de factor comuacuten Forma un gnomon
El resultado de multiplicar un binomio por un teacutermino se
obtiene aplicando la propiedad distributiva
En la figura adjunta se observa que aacuterea del rectaacutengulo es es decir el
producto de la base por la altura y tambieacuten puede obtenerse como la suma
de las dos aacutereas coloreadas y
8
CUADRADO DE UN BINOMIO
Ilustracioacuten graacutefica del binomio al cuadrado
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir
multiplicarlo por siacute mismo) se suman los cuadrados
de cada teacutermino con el doble del producto de ellos
Asiacute
La expresioacuten siguiente se conoce
como trinomio cuadrado perfecto
Cuando el segundo teacutermino es negativo
la igualdad que se obtiene es
Ejemplo
Simplificando
Dos binomios con un teacutermino comuacuten
Ilustracioacuten graacutefica del producto de binomios con un teacutermino comuacuten
Para efectuar un producto de dos binomios con teacutermino comuacuten se
tiene que identificar el teacutermino comuacuten en este caso x luego se
aplica la foacutermula siguiente
Ejemplo
9
Tres binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
Binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
xn + (suma de teacuterminos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de teacuterminos
no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +hellip + (producto del nuacutemero de teacuterminos)
Producto de dos binomios conjugados
Conjugado (matemaacutetica)
Producto de binomios conjugados
Dos binomios conjugados se
diferencian soacutelo en el signo de la
operacioacuten Para su multiplicacioacuten basta
elevar los monomios al cuadrado y
restarlos (obviamente un teacutermino conserva el signo negativo) con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
A este producto notable tambieacuten se le conoce como suma por la diferencia
En el caso
1 aparecen polinomios
10
CUADRADO DE UN POLINOMIO
Elevacioacuten de un trinomio al cuadrado de forma graacutefica
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de
teacuterminos se suman los cuadrados de cada teacutermino
individual y luego se antildeade el doble de la suma de los
productos de cada posible par de teacuterminos
Ejemplo
Multiplicando los monomios
TEacuteRMINOS AGRUPANDOS
Luego
Romper moldes
2
11
Cubo de un binomio
Descomposicioacuten volumeacutetrica del binomio al
cubo
Para calcular el cubo de un binomio se
suman sucesivamente
El cubo del primer teacutermino
El triple producto del cuadrado del primero
por el segundo
El triple producto del primero por el cuadrado
del segundo
El cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Si la operacioacuten del binomio implica resta el resultado es
El cubo del primer teacutermino
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Maacutes el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Menos el cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
17
exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
18
El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
19
forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
22
CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
24
3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
25
CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
26
RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
28
Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
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Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
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Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
52
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
1 De GUZMAacuteN Miguel ldquoTendencias actuales de la ensentildeanza de la
matemaacuteticardquo Estudio Pedagoacutegico Espantildea Revista de Ciencias de la Educacioacuten
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3 _______________ ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica y de las cienciasrdquo Madrid
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Study Series) Cambridge University Press 1990
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School Mathematicsrdquo USA NCTM 2005
6 NESHER P and Kilpatrick J ldquoMathematics and Cognition A Research
Synthesis by the International Group for Psychology of Mathematics Educationrdquo
(ICMI Study Series) USA Cambridge University Press 1990
7 SANTALOacute Luis ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica en la escuela mediardquo Buenos
Aires Docencia 1981
4
Meacutetodo de igualacioacuten ----------------------------------------------------------- 68
Sistemas de ecuaciones no lineales ---------------------------------------- 73
Conjunto de nuacutemeros reales orden operaciones y propiedades --- 79
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten) ----------- 81
El conjunto de los nuacutemeros Reales ----------------------------------------- 85
Densidad de la recta y de los reales ---------------------------------------- 86
Los nuacutemeros reales y la recta real ------------------------------------------ 86
Nuacutemeros Complejos moacutedulo conjugado opuesto --------------------- 89
Operaciones baacutesicas con nuacutemeros complejos Medidas de
dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten
rango rango intercuartiacutelico correlacioacuten -----------------------------------
90
Sistemas posicionales decimales binarios y vigesimales ----------- 92
Notacioacuten decimal ---------------------------------------------------------------- 92
Sistema binario ------------------------------------------------------------------- 94
Sistema de numeracioacuten octal Sistema hexadecimal ------------------ 97
Operaciones baacutesicas con diferentes sistemas --------------------------- 96
Resta de nuacutemeros naturales -------------------------------------------------- 99
Operaciones baacutesica nuacutemeros enteros ------------------------------------- 100
La matemaacutetica en Ameacuterica de las culturas precolombinas ----------- 103
Diagrama de flujo ---------------------------------------------------------------- 106
Simbologiacutea y significado ------------------------------------------------------- 108
Bibliografiacutea -----------------------------------------------------------------------
111
5
DESCRIPCIOacuteN GENERAL En la actualidad no es posible reducir la definicioacuten de las matemaacuteticas a las
ciencias de los nuacutemeros (aritmeacutetica) y las formas (geometriacutea) El uso de siacutembolos
(aacutelgebra y teoriacutea de conjuntos) el estudio del cambio (caacutelculo) y de la
incertidumbre (estadiacutestica y probabilidad) el anaacutelisis de las formas de
razonamiento (loacutegica matemaacutetica) y las consideraciones acerca de los enfoques
matemaacuteticos en diferentes grupos culturales (etnomatemaacutetica) son objeto de
estudio de las Matemaacuteticas contemporaacuteneas
Tampoco es deseable considerar a las Matemaacuteticas aisladas de la tecnologiacutea
variada que el presente ofrece Tanto para estudiar la ciencia como para mejorarla
o utilizarla la tecnologiacutea de ordenadores la internet la telecomunicacioacuten los
medios audiovisuales la calculadora (desde la aritmeacutetica hasta la cientiacutefica y la
graacutefica) y otros instrumentos (aacutebacos instrumentos de medicioacuten y dibujo entre
otros) deberaacuten volverse de uso comuacuten en las aulas para fortalecer el aprendizaje y
abrir a las y los estudiantes oportunidades de trabajo comunicacioacuten y
aprovechamiento del tiempo
La ciencia matemaacutetica actual reconoce y valora la presencia de los meacutetodos y las
visiones matemaacuteticas en los diferentes Pueblos y grupos culturales pasados y
presentes Por lo tanto el Curriculum favoreceraacute la integracioacuten de los diferentes
elementos culturales con el conocimiento praacutectico
Por uacuteltimo seraacute importante considerar las Matemaacuteticas como integradoras de
saberes enfoques meacutetodos y auacuten de valores y actitudes para que su aporte al
Curriculum sea significativo
Por tanto orientar el desarrollo del pensamiento analiacutetico y reflexivo mediante la
integracioacuten de la buacutesqueda de patrones y relaciones la interpretacioacuten y el uso de
un lenguaje particular simboacutelico abstracto el estudio y representacioacuten de figuras
la argumentacioacuten loacutegica y la demostracioacuten la formulacioacuten y aplicacioacuten de modelos
variados (aritmeacuteticos geomeacutetricos y trigonomeacutetricos y algebraicos) asiacute como
proporcionar herramientas uacutetiles para recolectar presentar y leer informacioacuten
analizarla y utilizarla para resolver problemas praacutecticos de la vida habitual son
propoacutesitos del aacuterea de Matemaacuteticas
6
POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES Y PROPIEDADES
En este post vamos a ver las propiedades de los polinomios queacute son queacute grado tienen
si estaacuten ordenados o completos y aprender a ordenarlos y a completarlos
Para los que vean por primera vez el concepto de polinomio recomiendo leer antes el
post de la semana pasada sobre las propiedades de los monomios para comprender
mejor ciertos conceptos que se ven en este post
Vamos a empezar viendo queacute son los polinomios
Un polinomio es un conjunto formado por varios monomios
Los polinomios suelen nombrarse con letras mayuacutesculas (normalmente empezando por
la P) y se escriben entre pareacutentesis las variables que tiene el polinomio
P (a b c) = a2bc3 ndash 3a3c6 + 6ac4 + 2b
El polinomio P contiene las variables a b y c Estaacute compuesto por 4 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 4 teacuterminos
Q (p q) = -10p6 + pq2
El polinomio Q contiene las variables p y q Estaacute compuesto por 2 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 2 teacuterminos
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios
Vamos a ver el grado de los polinomios anteriores
El polinomio P tiene 4 monomios
a2bc3 ndashgt Grado =6
-3a3c6 ndashgt Grado = 9
6ac4 ndashgt Grado = 5
2b ndashgt Grado = 1Por lo tanto el grado del polinomio P es 9
El polinomio Q tiene dos monomios
-10p6 ndashgt Grado = 6
pq2 ndashgt Grado = 3
Por lo tanto el polinomio Q tiene grado 6
Ahora os propongo un ejercicio iquestCuaacutel es el grado de este polinomio
Polinomios ordenados
Un polinomio estaacute ordenado cuando sus monomios estaacuten ordenados de mayor a menos
grado
Volviendo a los polinomios anteriores el polinomio P tiene los monomios de
7
grados 6 9 5 1 Como no estaacuten ordenados de mayor a menos podemos decir que el
polinomio P no estaacute ordenado o lo que es lo mismo estaacute desordenado
El polinomio Q tiene los monomios de grados 6 3 En este caso los grados de los
monomios se encuentran ordenados de mayor a menor grado por lo tanto el
polinomio Q estaacute ordenado
Os propongo otro ejercicio iquestEl siguiente polinomio estaacute ordenado
Polinomios completos
Un polinomio estaacute completo cuando tiene todos los teacuterminos con grados desde el mayor
hasta grado cero
El polinomio P que contiene los grados 6 9 5 y 1 Estaacute incompleto porque faltan los
teacuterminos de grado 8 7 4 3 2 y 1
El polinomio Q tambieacuten estaacute incompleto porque tiene los teacuterminos de grado 6 y 3 por lo
tanto faltan los teacuterminos de grado 5 4 2 1 y 0
Un uacuteltimo ejercicio iquestEstaacute completo este polinomio
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas cuyo resultado se puede escribir mediante
simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Factor comuacuten
Visualizacioacuten de la regla de factor comuacuten Forma un gnomon
El resultado de multiplicar un binomio por un teacutermino se
obtiene aplicando la propiedad distributiva
En la figura adjunta se observa que aacuterea del rectaacutengulo es es decir el
producto de la base por la altura y tambieacuten puede obtenerse como la suma
de las dos aacutereas coloreadas y
8
CUADRADO DE UN BINOMIO
Ilustracioacuten graacutefica del binomio al cuadrado
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir
multiplicarlo por siacute mismo) se suman los cuadrados
de cada teacutermino con el doble del producto de ellos
Asiacute
La expresioacuten siguiente se conoce
como trinomio cuadrado perfecto
Cuando el segundo teacutermino es negativo
la igualdad que se obtiene es
Ejemplo
Simplificando
Dos binomios con un teacutermino comuacuten
Ilustracioacuten graacutefica del producto de binomios con un teacutermino comuacuten
Para efectuar un producto de dos binomios con teacutermino comuacuten se
tiene que identificar el teacutermino comuacuten en este caso x luego se
aplica la foacutermula siguiente
Ejemplo
9
Tres binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
Binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
xn + (suma de teacuterminos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de teacuterminos
no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +hellip + (producto del nuacutemero de teacuterminos)
Producto de dos binomios conjugados
Conjugado (matemaacutetica)
Producto de binomios conjugados
Dos binomios conjugados se
diferencian soacutelo en el signo de la
operacioacuten Para su multiplicacioacuten basta
elevar los monomios al cuadrado y
restarlos (obviamente un teacutermino conserva el signo negativo) con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
A este producto notable tambieacuten se le conoce como suma por la diferencia
En el caso
1 aparecen polinomios
10
CUADRADO DE UN POLINOMIO
Elevacioacuten de un trinomio al cuadrado de forma graacutefica
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de
teacuterminos se suman los cuadrados de cada teacutermino
individual y luego se antildeade el doble de la suma de los
productos de cada posible par de teacuterminos
Ejemplo
Multiplicando los monomios
TEacuteRMINOS AGRUPANDOS
Luego
Romper moldes
2
11
Cubo de un binomio
Descomposicioacuten volumeacutetrica del binomio al
cubo
Para calcular el cubo de un binomio se
suman sucesivamente
El cubo del primer teacutermino
El triple producto del cuadrado del primero
por el segundo
El triple producto del primero por el cuadrado
del segundo
El cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Si la operacioacuten del binomio implica resta el resultado es
El cubo del primer teacutermino
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Maacutes el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Menos el cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
17
exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
18
El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
19
forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
22
CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
24
3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
25
CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
26
RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
28
Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
39
Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
52
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
1 De GUZMAacuteN Miguel ldquoTendencias actuales de la ensentildeanza de la
matemaacuteticardquo Estudio Pedagoacutegico Espantildea Revista de Ciencias de la Educacioacuten
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3 _______________ ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica y de las cienciasrdquo Madrid
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Study Series) Cambridge University Press 1990
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School Mathematicsrdquo USA NCTM 2005
6 NESHER P and Kilpatrick J ldquoMathematics and Cognition A Research
Synthesis by the International Group for Psychology of Mathematics Educationrdquo
(ICMI Study Series) USA Cambridge University Press 1990
7 SANTALOacute Luis ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica en la escuela mediardquo Buenos
Aires Docencia 1981
5
DESCRIPCIOacuteN GENERAL En la actualidad no es posible reducir la definicioacuten de las matemaacuteticas a las
ciencias de los nuacutemeros (aritmeacutetica) y las formas (geometriacutea) El uso de siacutembolos
(aacutelgebra y teoriacutea de conjuntos) el estudio del cambio (caacutelculo) y de la
incertidumbre (estadiacutestica y probabilidad) el anaacutelisis de las formas de
razonamiento (loacutegica matemaacutetica) y las consideraciones acerca de los enfoques
matemaacuteticos en diferentes grupos culturales (etnomatemaacutetica) son objeto de
estudio de las Matemaacuteticas contemporaacuteneas
Tampoco es deseable considerar a las Matemaacuteticas aisladas de la tecnologiacutea
variada que el presente ofrece Tanto para estudiar la ciencia como para mejorarla
o utilizarla la tecnologiacutea de ordenadores la internet la telecomunicacioacuten los
medios audiovisuales la calculadora (desde la aritmeacutetica hasta la cientiacutefica y la
graacutefica) y otros instrumentos (aacutebacos instrumentos de medicioacuten y dibujo entre
otros) deberaacuten volverse de uso comuacuten en las aulas para fortalecer el aprendizaje y
abrir a las y los estudiantes oportunidades de trabajo comunicacioacuten y
aprovechamiento del tiempo
La ciencia matemaacutetica actual reconoce y valora la presencia de los meacutetodos y las
visiones matemaacuteticas en los diferentes Pueblos y grupos culturales pasados y
presentes Por lo tanto el Curriculum favoreceraacute la integracioacuten de los diferentes
elementos culturales con el conocimiento praacutectico
Por uacuteltimo seraacute importante considerar las Matemaacuteticas como integradoras de
saberes enfoques meacutetodos y auacuten de valores y actitudes para que su aporte al
Curriculum sea significativo
Por tanto orientar el desarrollo del pensamiento analiacutetico y reflexivo mediante la
integracioacuten de la buacutesqueda de patrones y relaciones la interpretacioacuten y el uso de
un lenguaje particular simboacutelico abstracto el estudio y representacioacuten de figuras
la argumentacioacuten loacutegica y la demostracioacuten la formulacioacuten y aplicacioacuten de modelos
variados (aritmeacuteticos geomeacutetricos y trigonomeacutetricos y algebraicos) asiacute como
proporcionar herramientas uacutetiles para recolectar presentar y leer informacioacuten
analizarla y utilizarla para resolver problemas praacutecticos de la vida habitual son
propoacutesitos del aacuterea de Matemaacuteticas
6
POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES Y PROPIEDADES
En este post vamos a ver las propiedades de los polinomios queacute son queacute grado tienen
si estaacuten ordenados o completos y aprender a ordenarlos y a completarlos
Para los que vean por primera vez el concepto de polinomio recomiendo leer antes el
post de la semana pasada sobre las propiedades de los monomios para comprender
mejor ciertos conceptos que se ven en este post
Vamos a empezar viendo queacute son los polinomios
Un polinomio es un conjunto formado por varios monomios
Los polinomios suelen nombrarse con letras mayuacutesculas (normalmente empezando por
la P) y se escriben entre pareacutentesis las variables que tiene el polinomio
P (a b c) = a2bc3 ndash 3a3c6 + 6ac4 + 2b
El polinomio P contiene las variables a b y c Estaacute compuesto por 4 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 4 teacuterminos
Q (p q) = -10p6 + pq2
El polinomio Q contiene las variables p y q Estaacute compuesto por 2 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 2 teacuterminos
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios
Vamos a ver el grado de los polinomios anteriores
El polinomio P tiene 4 monomios
a2bc3 ndashgt Grado =6
-3a3c6 ndashgt Grado = 9
6ac4 ndashgt Grado = 5
2b ndashgt Grado = 1Por lo tanto el grado del polinomio P es 9
El polinomio Q tiene dos monomios
-10p6 ndashgt Grado = 6
pq2 ndashgt Grado = 3
Por lo tanto el polinomio Q tiene grado 6
Ahora os propongo un ejercicio iquestCuaacutel es el grado de este polinomio
Polinomios ordenados
Un polinomio estaacute ordenado cuando sus monomios estaacuten ordenados de mayor a menos
grado
Volviendo a los polinomios anteriores el polinomio P tiene los monomios de
7
grados 6 9 5 1 Como no estaacuten ordenados de mayor a menos podemos decir que el
polinomio P no estaacute ordenado o lo que es lo mismo estaacute desordenado
El polinomio Q tiene los monomios de grados 6 3 En este caso los grados de los
monomios se encuentran ordenados de mayor a menor grado por lo tanto el
polinomio Q estaacute ordenado
Os propongo otro ejercicio iquestEl siguiente polinomio estaacute ordenado
Polinomios completos
Un polinomio estaacute completo cuando tiene todos los teacuterminos con grados desde el mayor
hasta grado cero
El polinomio P que contiene los grados 6 9 5 y 1 Estaacute incompleto porque faltan los
teacuterminos de grado 8 7 4 3 2 y 1
El polinomio Q tambieacuten estaacute incompleto porque tiene los teacuterminos de grado 6 y 3 por lo
tanto faltan los teacuterminos de grado 5 4 2 1 y 0
Un uacuteltimo ejercicio iquestEstaacute completo este polinomio
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas cuyo resultado se puede escribir mediante
simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Factor comuacuten
Visualizacioacuten de la regla de factor comuacuten Forma un gnomon
El resultado de multiplicar un binomio por un teacutermino se
obtiene aplicando la propiedad distributiva
En la figura adjunta se observa que aacuterea del rectaacutengulo es es decir el
producto de la base por la altura y tambieacuten puede obtenerse como la suma
de las dos aacutereas coloreadas y
8
CUADRADO DE UN BINOMIO
Ilustracioacuten graacutefica del binomio al cuadrado
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir
multiplicarlo por siacute mismo) se suman los cuadrados
de cada teacutermino con el doble del producto de ellos
Asiacute
La expresioacuten siguiente se conoce
como trinomio cuadrado perfecto
Cuando el segundo teacutermino es negativo
la igualdad que se obtiene es
Ejemplo
Simplificando
Dos binomios con un teacutermino comuacuten
Ilustracioacuten graacutefica del producto de binomios con un teacutermino comuacuten
Para efectuar un producto de dos binomios con teacutermino comuacuten se
tiene que identificar el teacutermino comuacuten en este caso x luego se
aplica la foacutermula siguiente
Ejemplo
9
Tres binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
Binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
xn + (suma de teacuterminos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de teacuterminos
no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +hellip + (producto del nuacutemero de teacuterminos)
Producto de dos binomios conjugados
Conjugado (matemaacutetica)
Producto de binomios conjugados
Dos binomios conjugados se
diferencian soacutelo en el signo de la
operacioacuten Para su multiplicacioacuten basta
elevar los monomios al cuadrado y
restarlos (obviamente un teacutermino conserva el signo negativo) con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
A este producto notable tambieacuten se le conoce como suma por la diferencia
En el caso
1 aparecen polinomios
10
CUADRADO DE UN POLINOMIO
Elevacioacuten de un trinomio al cuadrado de forma graacutefica
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de
teacuterminos se suman los cuadrados de cada teacutermino
individual y luego se antildeade el doble de la suma de los
productos de cada posible par de teacuterminos
Ejemplo
Multiplicando los monomios
TEacuteRMINOS AGRUPANDOS
Luego
Romper moldes
2
11
Cubo de un binomio
Descomposicioacuten volumeacutetrica del binomio al
cubo
Para calcular el cubo de un binomio se
suman sucesivamente
El cubo del primer teacutermino
El triple producto del cuadrado del primero
por el segundo
El triple producto del primero por el cuadrado
del segundo
El cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Si la operacioacuten del binomio implica resta el resultado es
El cubo del primer teacutermino
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Maacutes el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Menos el cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
17
exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
18
El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
19
forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
22
CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
24
3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
25
CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
26
RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
28
Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
39
Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
52
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
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matemaacuteticardquo Estudio Pedagoacutegico Espantildea Revista de Ciencias de la Educacioacuten
21 19-2 1989
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3 _______________ ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica y de las cienciasrdquo Madrid
OEI (Organizacioacuten de Estados Iberoamericanos) 1993
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Study Series) Cambridge University Press 1990
5 National Council of Teachers of Mathematics ldquoPrinciples and Standards of
School Mathematicsrdquo USA NCTM 2005
6 NESHER P and Kilpatrick J ldquoMathematics and Cognition A Research
Synthesis by the International Group for Psychology of Mathematics Educationrdquo
(ICMI Study Series) USA Cambridge University Press 1990
7 SANTALOacute Luis ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica en la escuela mediardquo Buenos
Aires Docencia 1981
6
POLINOMIOS Y SUS OPERACIONES Y PROPIEDADES
En este post vamos a ver las propiedades de los polinomios queacute son queacute grado tienen
si estaacuten ordenados o completos y aprender a ordenarlos y a completarlos
Para los que vean por primera vez el concepto de polinomio recomiendo leer antes el
post de la semana pasada sobre las propiedades de los monomios para comprender
mejor ciertos conceptos que se ven en este post
Vamos a empezar viendo queacute son los polinomios
Un polinomio es un conjunto formado por varios monomios
Los polinomios suelen nombrarse con letras mayuacutesculas (normalmente empezando por
la P) y se escriben entre pareacutentesis las variables que tiene el polinomio
P (a b c) = a2bc3 ndash 3a3c6 + 6ac4 + 2b
El polinomio P contiene las variables a b y c Estaacute compuesto por 4 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 4 teacuterminos
Q (p q) = -10p6 + pq2
El polinomio Q contiene las variables p y q Estaacute compuesto por 2 monomios por lo
tanto podemos decir que el polinomio tiene 2 teacuterminos
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios
Vamos a ver el grado de los polinomios anteriores
El polinomio P tiene 4 monomios
a2bc3 ndashgt Grado =6
-3a3c6 ndashgt Grado = 9
6ac4 ndashgt Grado = 5
2b ndashgt Grado = 1Por lo tanto el grado del polinomio P es 9
El polinomio Q tiene dos monomios
-10p6 ndashgt Grado = 6
pq2 ndashgt Grado = 3
Por lo tanto el polinomio Q tiene grado 6
Ahora os propongo un ejercicio iquestCuaacutel es el grado de este polinomio
Polinomios ordenados
Un polinomio estaacute ordenado cuando sus monomios estaacuten ordenados de mayor a menos
grado
Volviendo a los polinomios anteriores el polinomio P tiene los monomios de
7
grados 6 9 5 1 Como no estaacuten ordenados de mayor a menos podemos decir que el
polinomio P no estaacute ordenado o lo que es lo mismo estaacute desordenado
El polinomio Q tiene los monomios de grados 6 3 En este caso los grados de los
monomios se encuentran ordenados de mayor a menor grado por lo tanto el
polinomio Q estaacute ordenado
Os propongo otro ejercicio iquestEl siguiente polinomio estaacute ordenado
Polinomios completos
Un polinomio estaacute completo cuando tiene todos los teacuterminos con grados desde el mayor
hasta grado cero
El polinomio P que contiene los grados 6 9 5 y 1 Estaacute incompleto porque faltan los
teacuterminos de grado 8 7 4 3 2 y 1
El polinomio Q tambieacuten estaacute incompleto porque tiene los teacuterminos de grado 6 y 3 por lo
tanto faltan los teacuterminos de grado 5 4 2 1 y 0
Un uacuteltimo ejercicio iquestEstaacute completo este polinomio
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas cuyo resultado se puede escribir mediante
simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Factor comuacuten
Visualizacioacuten de la regla de factor comuacuten Forma un gnomon
El resultado de multiplicar un binomio por un teacutermino se
obtiene aplicando la propiedad distributiva
En la figura adjunta se observa que aacuterea del rectaacutengulo es es decir el
producto de la base por la altura y tambieacuten puede obtenerse como la suma
de las dos aacutereas coloreadas y
8
CUADRADO DE UN BINOMIO
Ilustracioacuten graacutefica del binomio al cuadrado
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir
multiplicarlo por siacute mismo) se suman los cuadrados
de cada teacutermino con el doble del producto de ellos
Asiacute
La expresioacuten siguiente se conoce
como trinomio cuadrado perfecto
Cuando el segundo teacutermino es negativo
la igualdad que se obtiene es
Ejemplo
Simplificando
Dos binomios con un teacutermino comuacuten
Ilustracioacuten graacutefica del producto de binomios con un teacutermino comuacuten
Para efectuar un producto de dos binomios con teacutermino comuacuten se
tiene que identificar el teacutermino comuacuten en este caso x luego se
aplica la foacutermula siguiente
Ejemplo
9
Tres binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
Binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
xn + (suma de teacuterminos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de teacuterminos
no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +hellip + (producto del nuacutemero de teacuterminos)
Producto de dos binomios conjugados
Conjugado (matemaacutetica)
Producto de binomios conjugados
Dos binomios conjugados se
diferencian soacutelo en el signo de la
operacioacuten Para su multiplicacioacuten basta
elevar los monomios al cuadrado y
restarlos (obviamente un teacutermino conserva el signo negativo) con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
A este producto notable tambieacuten se le conoce como suma por la diferencia
En el caso
1 aparecen polinomios
10
CUADRADO DE UN POLINOMIO
Elevacioacuten de un trinomio al cuadrado de forma graacutefica
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de
teacuterminos se suman los cuadrados de cada teacutermino
individual y luego se antildeade el doble de la suma de los
productos de cada posible par de teacuterminos
Ejemplo
Multiplicando los monomios
TEacuteRMINOS AGRUPANDOS
Luego
Romper moldes
2
11
Cubo de un binomio
Descomposicioacuten volumeacutetrica del binomio al
cubo
Para calcular el cubo de un binomio se
suman sucesivamente
El cubo del primer teacutermino
El triple producto del cuadrado del primero
por el segundo
El triple producto del primero por el cuadrado
del segundo
El cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Si la operacioacuten del binomio implica resta el resultado es
El cubo del primer teacutermino
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Maacutes el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Menos el cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
17
exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
18
El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
19
forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
22
CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
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3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
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CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
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RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
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Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
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Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
39
Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
52
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
1 De GUZMAacuteN Miguel ldquoTendencias actuales de la ensentildeanza de la
matemaacuteticardquo Estudio Pedagoacutegico Espantildea Revista de Ciencias de la Educacioacuten
21 19-2 1989
2 _______________ ldquoPara pensar mejorrdquo Madrid Labor 1991
3 _______________ ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica y de las cienciasrdquo Madrid
OEI (Organizacioacuten de Estados Iberoamericanos) 1993
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Study Series) Cambridge University Press 1990
5 National Council of Teachers of Mathematics ldquoPrinciples and Standards of
School Mathematicsrdquo USA NCTM 2005
6 NESHER P and Kilpatrick J ldquoMathematics and Cognition A Research
Synthesis by the International Group for Psychology of Mathematics Educationrdquo
(ICMI Study Series) USA Cambridge University Press 1990
7 SANTALOacute Luis ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica en la escuela mediardquo Buenos
Aires Docencia 1981
7
grados 6 9 5 1 Como no estaacuten ordenados de mayor a menos podemos decir que el
polinomio P no estaacute ordenado o lo que es lo mismo estaacute desordenado
El polinomio Q tiene los monomios de grados 6 3 En este caso los grados de los
monomios se encuentran ordenados de mayor a menor grado por lo tanto el
polinomio Q estaacute ordenado
Os propongo otro ejercicio iquestEl siguiente polinomio estaacute ordenado
Polinomios completos
Un polinomio estaacute completo cuando tiene todos los teacuterminos con grados desde el mayor
hasta grado cero
El polinomio P que contiene los grados 6 9 5 y 1 Estaacute incompleto porque faltan los
teacuterminos de grado 8 7 4 3 2 y 1
El polinomio Q tambieacuten estaacute incompleto porque tiene los teacuterminos de grado 6 y 3 por lo
tanto faltan los teacuterminos de grado 5 4 2 1 y 0
Un uacuteltimo ejercicio iquestEstaacute completo este polinomio
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas cuyo resultado se puede escribir mediante
simple inspeccioacuten sin verificar la multiplicacioacuten
Cada producto notable corresponde a una foacutermula de factorizacioacuten Por ejemplo la
factorizacioacuten de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados y reciacuteprocamente
Factor comuacuten
Visualizacioacuten de la regla de factor comuacuten Forma un gnomon
El resultado de multiplicar un binomio por un teacutermino se
obtiene aplicando la propiedad distributiva
En la figura adjunta se observa que aacuterea del rectaacutengulo es es decir el
producto de la base por la altura y tambieacuten puede obtenerse como la suma
de las dos aacutereas coloreadas y
8
CUADRADO DE UN BINOMIO
Ilustracioacuten graacutefica del binomio al cuadrado
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir
multiplicarlo por siacute mismo) se suman los cuadrados
de cada teacutermino con el doble del producto de ellos
Asiacute
La expresioacuten siguiente se conoce
como trinomio cuadrado perfecto
Cuando el segundo teacutermino es negativo
la igualdad que se obtiene es
Ejemplo
Simplificando
Dos binomios con un teacutermino comuacuten
Ilustracioacuten graacutefica del producto de binomios con un teacutermino comuacuten
Para efectuar un producto de dos binomios con teacutermino comuacuten se
tiene que identificar el teacutermino comuacuten en este caso x luego se
aplica la foacutermula siguiente
Ejemplo
9
Tres binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
Binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
xn + (suma de teacuterminos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de teacuterminos
no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +hellip + (producto del nuacutemero de teacuterminos)
Producto de dos binomios conjugados
Conjugado (matemaacutetica)
Producto de binomios conjugados
Dos binomios conjugados se
diferencian soacutelo en el signo de la
operacioacuten Para su multiplicacioacuten basta
elevar los monomios al cuadrado y
restarlos (obviamente un teacutermino conserva el signo negativo) con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
A este producto notable tambieacuten se le conoce como suma por la diferencia
En el caso
1 aparecen polinomios
10
CUADRADO DE UN POLINOMIO
Elevacioacuten de un trinomio al cuadrado de forma graacutefica
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de
teacuterminos se suman los cuadrados de cada teacutermino
individual y luego se antildeade el doble de la suma de los
productos de cada posible par de teacuterminos
Ejemplo
Multiplicando los monomios
TEacuteRMINOS AGRUPANDOS
Luego
Romper moldes
2
11
Cubo de un binomio
Descomposicioacuten volumeacutetrica del binomio al
cubo
Para calcular el cubo de un binomio se
suman sucesivamente
El cubo del primer teacutermino
El triple producto del cuadrado del primero
por el segundo
El triple producto del primero por el cuadrado
del segundo
El cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Si la operacioacuten del binomio implica resta el resultado es
El cubo del primer teacutermino
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Maacutes el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Menos el cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
17
exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
18
El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
19
forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
22
CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
24
3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
25
CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
26
RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
28
Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
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En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
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Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
52
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
1 De GUZMAacuteN Miguel ldquoTendencias actuales de la ensentildeanza de la
matemaacuteticardquo Estudio Pedagoacutegico Espantildea Revista de Ciencias de la Educacioacuten
21 19-2 1989
2 _______________ ldquoPara pensar mejorrdquo Madrid Labor 1991
3 _______________ ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica y de las cienciasrdquo Madrid
OEI (Organizacioacuten de Estados Iberoamericanos) 1993
4 HOWSON AG and Kahane JP ldquoThe Popularization of Mathematicsrdquo (ICMI
Study Series) Cambridge University Press 1990
5 National Council of Teachers of Mathematics ldquoPrinciples and Standards of
School Mathematicsrdquo USA NCTM 2005
6 NESHER P and Kilpatrick J ldquoMathematics and Cognition A Research
Synthesis by the International Group for Psychology of Mathematics Educationrdquo
(ICMI Study Series) USA Cambridge University Press 1990
7 SANTALOacute Luis ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica en la escuela mediardquo Buenos
Aires Docencia 1981
8
CUADRADO DE UN BINOMIO
Ilustracioacuten graacutefica del binomio al cuadrado
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir
multiplicarlo por siacute mismo) se suman los cuadrados
de cada teacutermino con el doble del producto de ellos
Asiacute
La expresioacuten siguiente se conoce
como trinomio cuadrado perfecto
Cuando el segundo teacutermino es negativo
la igualdad que se obtiene es
Ejemplo
Simplificando
Dos binomios con un teacutermino comuacuten
Ilustracioacuten graacutefica del producto de binomios con un teacutermino comuacuten
Para efectuar un producto de dos binomios con teacutermino comuacuten se
tiene que identificar el teacutermino comuacuten en este caso x luego se
aplica la foacutermula siguiente
Ejemplo
9
Tres binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
Binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
xn + (suma de teacuterminos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de teacuterminos
no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +hellip + (producto del nuacutemero de teacuterminos)
Producto de dos binomios conjugados
Conjugado (matemaacutetica)
Producto de binomios conjugados
Dos binomios conjugados se
diferencian soacutelo en el signo de la
operacioacuten Para su multiplicacioacuten basta
elevar los monomios al cuadrado y
restarlos (obviamente un teacutermino conserva el signo negativo) con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
A este producto notable tambieacuten se le conoce como suma por la diferencia
En el caso
1 aparecen polinomios
10
CUADRADO DE UN POLINOMIO
Elevacioacuten de un trinomio al cuadrado de forma graacutefica
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de
teacuterminos se suman los cuadrados de cada teacutermino
individual y luego se antildeade el doble de la suma de los
productos de cada posible par de teacuterminos
Ejemplo
Multiplicando los monomios
TEacuteRMINOS AGRUPANDOS
Luego
Romper moldes
2
11
Cubo de un binomio
Descomposicioacuten volumeacutetrica del binomio al
cubo
Para calcular el cubo de un binomio se
suman sucesivamente
El cubo del primer teacutermino
El triple producto del cuadrado del primero
por el segundo
El triple producto del primero por el cuadrado
del segundo
El cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Si la operacioacuten del binomio implica resta el resultado es
El cubo del primer teacutermino
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Maacutes el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Menos el cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
17
exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
18
El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
19
forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
22
CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
24
3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
25
CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
26
RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
28
Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
39
Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
52
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
1 De GUZMAacuteN Miguel ldquoTendencias actuales de la ensentildeanza de la
matemaacuteticardquo Estudio Pedagoacutegico Espantildea Revista de Ciencias de la Educacioacuten
21 19-2 1989
2 _______________ ldquoPara pensar mejorrdquo Madrid Labor 1991
3 _______________ ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica y de las cienciasrdquo Madrid
OEI (Organizacioacuten de Estados Iberoamericanos) 1993
4 HOWSON AG and Kahane JP ldquoThe Popularization of Mathematicsrdquo (ICMI
Study Series) Cambridge University Press 1990
5 National Council of Teachers of Mathematics ldquoPrinciples and Standards of
School Mathematicsrdquo USA NCTM 2005
6 NESHER P and Kilpatrick J ldquoMathematics and Cognition A Research
Synthesis by the International Group for Psychology of Mathematics Educationrdquo
(ICMI Study Series) USA Cambridge University Press 1990
7 SANTALOacute Luis ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica en la escuela mediardquo Buenos
Aires Docencia 1981
9
Tres binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
Binomios con teacutermino comuacuten
Foacutermula general
xn + (suma de teacuterminos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de teacuterminos
no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +hellip + (producto del nuacutemero de teacuterminos)
Producto de dos binomios conjugados
Conjugado (matemaacutetica)
Producto de binomios conjugados
Dos binomios conjugados se
diferencian soacutelo en el signo de la
operacioacuten Para su multiplicacioacuten basta
elevar los monomios al cuadrado y
restarlos (obviamente un teacutermino conserva el signo negativo) con lo cual se obtiene
una diferencia de cuadrados
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
A este producto notable tambieacuten se le conoce como suma por la diferencia
En el caso
1 aparecen polinomios
10
CUADRADO DE UN POLINOMIO
Elevacioacuten de un trinomio al cuadrado de forma graacutefica
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de
teacuterminos se suman los cuadrados de cada teacutermino
individual y luego se antildeade el doble de la suma de los
productos de cada posible par de teacuterminos
Ejemplo
Multiplicando los monomios
TEacuteRMINOS AGRUPANDOS
Luego
Romper moldes
2
11
Cubo de un binomio
Descomposicioacuten volumeacutetrica del binomio al
cubo
Para calcular el cubo de un binomio se
suman sucesivamente
El cubo del primer teacutermino
El triple producto del cuadrado del primero
por el segundo
El triple producto del primero por el cuadrado
del segundo
El cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Si la operacioacuten del binomio implica resta el resultado es
El cubo del primer teacutermino
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Maacutes el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Menos el cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
17
exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
18
El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
19
forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
22
CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
24
3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
25
CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
26
RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
28
Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
39
Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
52
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
1 De GUZMAacuteN Miguel ldquoTendencias actuales de la ensentildeanza de la
matemaacuteticardquo Estudio Pedagoacutegico Espantildea Revista de Ciencias de la Educacioacuten
21 19-2 1989
2 _______________ ldquoPara pensar mejorrdquo Madrid Labor 1991
3 _______________ ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica y de las cienciasrdquo Madrid
OEI (Organizacioacuten de Estados Iberoamericanos) 1993
4 HOWSON AG and Kahane JP ldquoThe Popularization of Mathematicsrdquo (ICMI
Study Series) Cambridge University Press 1990
5 National Council of Teachers of Mathematics ldquoPrinciples and Standards of
School Mathematicsrdquo USA NCTM 2005
6 NESHER P and Kilpatrick J ldquoMathematics and Cognition A Research
Synthesis by the International Group for Psychology of Mathematics Educationrdquo
(ICMI Study Series) USA Cambridge University Press 1990
7 SANTALOacute Luis ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica en la escuela mediardquo Buenos
Aires Docencia 1981
10
CUADRADO DE UN POLINOMIO
Elevacioacuten de un trinomio al cuadrado de forma graacutefica
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de
teacuterminos se suman los cuadrados de cada teacutermino
individual y luego se antildeade el doble de la suma de los
productos de cada posible par de teacuterminos
Ejemplo
Multiplicando los monomios
TEacuteRMINOS AGRUPANDOS
Luego
Romper moldes
2
11
Cubo de un binomio
Descomposicioacuten volumeacutetrica del binomio al
cubo
Para calcular el cubo de un binomio se
suman sucesivamente
El cubo del primer teacutermino
El triple producto del cuadrado del primero
por el segundo
El triple producto del primero por el cuadrado
del segundo
El cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Si la operacioacuten del binomio implica resta el resultado es
El cubo del primer teacutermino
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Maacutes el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Menos el cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
17
exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
18
El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
19
forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
22
CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
24
3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
25
CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
26
RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
28
Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
39
Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
52
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
1 De GUZMAacuteN Miguel ldquoTendencias actuales de la ensentildeanza de la
matemaacuteticardquo Estudio Pedagoacutegico Espantildea Revista de Ciencias de la Educacioacuten
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3 _______________ ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica y de las cienciasrdquo Madrid
OEI (Organizacioacuten de Estados Iberoamericanos) 1993
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Study Series) Cambridge University Press 1990
5 National Council of Teachers of Mathematics ldquoPrinciples and Standards of
School Mathematicsrdquo USA NCTM 2005
6 NESHER P and Kilpatrick J ldquoMathematics and Cognition A Research
Synthesis by the International Group for Psychology of Mathematics Educationrdquo
(ICMI Study Series) USA Cambridge University Press 1990
7 SANTALOacute Luis ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica en la escuela mediardquo Buenos
Aires Docencia 1981
11
Cubo de un binomio
Descomposicioacuten volumeacutetrica del binomio al
cubo
Para calcular el cubo de un binomio se
suman sucesivamente
El cubo del primer teacutermino
El triple producto del cuadrado del primero
por el segundo
El triple producto del primero por el cuadrado
del segundo
El cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Si la operacioacuten del binomio implica resta el resultado es
El cubo del primer teacutermino
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo
Maacutes el triple producto del primero por el cuadrado del segundo
Menos el cubo del segundo teacutermino
Identidades de Cauchy
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
17
exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
18
El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
19
forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
22
CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
24
3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
25
CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
26
RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
28
Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
39
Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
52
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
1 De GUZMAacuteN Miguel ldquoTendencias actuales de la ensentildeanza de la
matemaacuteticardquo Estudio Pedagoacutegico Espantildea Revista de Ciencias de la Educacioacuten
21 19-2 1989
2 _______________ ldquoPara pensar mejorrdquo Madrid Labor 1991
3 _______________ ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica y de las cienciasrdquo Madrid
OEI (Organizacioacuten de Estados Iberoamericanos) 1993
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Study Series) Cambridge University Press 1990
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School Mathematicsrdquo USA NCTM 2005
6 NESHER P and Kilpatrick J ldquoMathematics and Cognition A Research
Synthesis by the International Group for Psychology of Mathematics Educationrdquo
(ICMI Study Series) USA Cambridge University Press 1990
7 SANTALOacute Luis ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica en la escuela mediardquo Buenos
Aires Docencia 1981
12
Ejemplo
Agrupando teacuterminos
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artiacuteculo principal Identidad de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo no existe una lista
determinante que indique a cuaacuteles productos se les puede considerar notables y a
cuaacuteles no A otras foacutermulas aunque menos usadas que las anteriores en ciertos
contextos se les puede calificar de productos notables Entre ellas se destacan
Adicioacuten de cubos
Diferencia de cubos
Es maacutes frecuente listar las dos expresiones anteriores como las foacutermulas
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
17
exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
18
El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
19
forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
21
lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
22
CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
24
3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
25
CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
26
RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
28
Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
39
Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
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se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
94
sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
106
2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
107
Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
108
La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
109
almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
110
Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
111
BIBLIOGRAFIA
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matemaacuteticardquo Estudio Pedagoacutegico Espantildea Revista de Ciencias de la Educacioacuten
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(ICMI Study Series) USA Cambridge University Press 1990
7 SANTALOacute Luis ldquoEnsentildeanza de la matemaacutetica en la escuela mediardquo Buenos
Aires Docencia 1981
13
de factorizacioacuten ya que los productos no tienen una forma particularmente simeacutetrica
pero el resultado siacute (contraacutestese por ejemplo con la foacutermula de binomio al cubo)
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias
de potencias eneacutesimas (o n - eacutesimas xn)
Suma de potencias eneacutesimas
Si -soacutelo si- n es
impar
Diferencia de potencias eneacutesimas
Las foacutermulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante
el teorema del binomio
Para representar el cubo de un monomio como diferencia de dos cuadrados existe
una foacutermula3 ingeniosa
BINOMIO DE NEWTON
La foacutermula que nos permite hallar las potencias de un binomio se conoce
como binomio de Newton
Podemos observar que
El nuacutemero de teacuterminos es n+1
14
Los coeficientes son nuacutemeros combinatorios que corresponden a la fila eneacutesima
del triaacutengulo de Tartaglia
En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo de uno en uno
de n a cero y los exponentes de b van aumentando de uno en uno de cero a n de
tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada teacutermino es igual a n
En el caso que uno de los teacuterminos del binomio sea negativo se alternan los
signos positivos y negativos
Ejercicios del binomio de Newton
1
2
Caacutelculo del teacutermino que ocupa el lugar k
15
Ejemplos
1El teacutermino quinto del desarrollo de es
2El teacutermino cuarto del desarrollo de es
3Hallar el teacutermino octavo del desarrollo de
BINOMIO DE NEWTON
Vamos a deducir la foacutermula que nos permitiraacute elevar a cualquier potencia de exponente
natural n un binomio Esto es la forma de obtener
Para ello veamos coacutemo se van desarrollando las potencias de (a+b)
16
Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta
secuencia
Esto es el triaacutengulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nuacutemeros
combinatorios desde los de numerador 1
O sea que cada uno de esos nuacutemeros corresponde al valor de un nuacutemero combinatorio
asiacute
Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1 que los nuacutemeros que
aparecen forman una fila simeacutetrica o sea el primero es igual al uacuteltimo el segundo igual
al penuacuteltimo etc y cada nuacutemero es la suma de los dos que tiene encima
Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nuacutemero combinatorio
cualquiera recordando que se calculan por la siguiente foacutermula
Por ejemplo si quiero calcular
Por otra parte observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias
de a empiezan elevadas a n va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero A los
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exponentes de b les ocurre lo contrario
Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b)
sus coeficientes seraacuten la fila quinta del triaacutengulo de Tartaglia
Y ya podemos escribir la foacutermula general del llamado binomio de Newton
que tambieacuten se puede escribir de forma abreviada asiacute
Ejemplos
1) Desarrollar la potencia
La fila 15 del triaacutengulo de Tartaglia es 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435
5005 3003 1365 455 105 15 1
Que seraacuten los valores de los coeficientes
2) Calcular sin desarrollar el teacutermino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de
(a2+3b)100
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El primer teacutermino tiene de coeficiente el segundo el tercero etc
Por tanto el teacutermino de lugar 50 seraacute
= 98913082887808032681188722800 =
En general el teacutermino de lugar k+1 en el desarrollo de es
Ejercicios
3) Si el segundo teacutermino de un desarrollo de la potencia de un binomio
es iquestCuaacutel es el teacutermino penuacuteltimo iquestY cuaacutel es el binomio y su potencia
El penuacuteltimo teacutermino seraacute el de lugar 12 pues habraacute 13 teacuterminos y
vale
El binomio y su potencia seraacute
4) Hallar el teacutermino medio del desarrollo de
Como estaacute elevado a 14 habraacute 15 teacuterminos por tanto el teacutermino que estaacute en medio es el
de lugar 8 tiene 7 por delante y 7 por detraacutes
Vamos a desarrollarlo
5) Escribe el teacutermino que contiene x31 en el desarrollo de
El teacutermino de lugar k+1 como hemos dicho antes tiene esta
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forma
Veamos coacutemo quedan las potencias x y de y
Dividiendo las potencias de la misma base restando los exponentes
tenemos
Por tanto el exponente de x es 40-3k Como queremos obtener x31 basta igualar 40-
3k=31 de donde k=3 Se trata por tanto del teacutermino de lugar 4
Ahora escribimos el teacutermino completo
TRIAacuteNGULO DE PASCAL O DE TARTAGLIA
En matemaacutetica el triaacutengulo de Pascal es una representacioacuten de los coeficientes
binomiales ordenados en forma triangular Es llamado asiacute en honor al matemaacutetico
franceacutes Blaise Pascal quien introdujo esta notacioacuten en 1654 en suTraiteacute du triangle
arithmeacutetique Si bien las propiedades y aplicaciones del triaacutengulo fueron conocidas con
anterioridad al tratado de Pascal por matemaacuteticos indios chinos o persas fue Pascal
quien desarrolloacute muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la informacioacuten de
manera conjunta
La construccioacuten del triaacutengulo estaacute relacionada con los coeficientes binomiales seguacuten la
foacutermula (tambieacuten llamada Regla de Pascal)
Si entonces para todo
entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n3
20
El triaacutengulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores La versioacuten de tres
dimensiones se llama piraacutemide de Pascal o tetraedro de Pascal mientras que las
versiones maacutes generales son llamadas simplex de Pascal
FACTORIZACIOacuteN
Factorizar una expresioacuten algebraica es hallar dos o maacutes factores cuyo producto es igual
a la expresioacuten propuesta
La factorizacioacuten puede considerarse como la operacioacuten inversa a la multiplicacioacuten pues
el propoacutesito de eacutesta uacuteltima es hallar el producto de dos o maacutes factores mientras que en
la factorizacioacuten se buscan los factores de un producto dado
Se llaman factores o divisores de una expresioacuten algebraica a los teacuterminos que
multiplicados entre siacute dan como producto la primera expresioacuten
Factorizacioacuten
Multiplicacioacuten
Al factorizar una expresioacuten escribimos la expresioacuten como un producto de sus factores
Supongamos que tenemos dos nuacutemeros 3 y 5 y se pide que los multipliquemos
escribiremos En el proceso inverso tenemos el producto 15 y se nos pide que
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lo factoricemos entonces tendremos
Al factorizar el nuacutemero 20 tendremos o
Advierte que y no estaacuten factorizados por completo Contienen
factores que no son nuacutemeros primos Los primeros nuacutemeros primos son 2 3 5 7 11
etc Puesto que ninguna de esas factorizaciones estaacute completa notamos que en la
primera factorizacioacuten de modo que mientras que la segunda
factorizacioacuten de modo que en cualquier caso la factorizacioacuten
completa para 20 es
De ahora en adelante cuando digamos factorizar un nuacutemero queremos decir factorizarlo
por completo Ademaacutes se supone que los factores numeacutericos son nuacutemeros primos De
esta manera no factorizamos 20 como
Con estos preliminares fuera del camino ahora podemos factorizar algunas expresiones
algebraicas
MEDIDAS RELACIONADAS CON FIGURAS PLANAS Y CUERPOS SOacuteLIDOS
Geometriacutea plana
La geometriacutea plana estudia las figuras planas que tienen uacutenicamente dos dimensiones largo y ancho
Para comprender la geometriacutea plana de manera maacutes clara es indispensable comenzar por la definicioacuten de conceptos elementales hasta llegar a nociones maacutes complejas
Conceptos baacutesicos de geometriacutea
Para el estudio de la geometriacutea es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto recta y plano Estos son teacuterminos no definidos que proveen el inicio de la geometriacutea
Punto es el objeto fundamental en geometriacutea el punto representa solo posicioacuten y no tiene dimensioacuten es decir largo cero ancho cero y altura cero Se representan por letras mayuacutesculas
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CIacuteRCULO Y SEGMENTOS ASOCIADOS
1 Ciacuterculos y segmentos y aacutengulos relacionados Circunferencia es el conjunto de
todos los puntos en un plano que estaacuten a una distancia fija de un punto dado conocido
como centro Ciacuterculos es el aacuterea de los puntos que se encuentran en una circunferencia
Radio el radio de un ciacuterculo es un segmento que une el centro del ciacuterculo con un punto
en el ciacuterculo Cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de un ciacuterculo
Diaacutemetro el diaacutemetro de un ciacuterculo es un arco que contiene el centro del ciacuterculo
Ciacuterculos Congruentes son dos o maacutes ciacuterculos que tienen radios congruentes Ciacuterculos
Conceacutentricos son coplanares y tienen un centro en comuacuten
2 Aacutengulo central es un aacutengulo cuyo veacutertice es el centro del ciacuterculo y cuyos lados son
radios del ciacuterculo Arco intersectado estaacute determinado por los dos puntos de interseccioacuten
del aacutengulo con el ciacuterculo y todos los puntos del arco en el interior del aacutengulo cero Donde
el arco intersectado es AB Postulado 1 La suma de las medidas de los arcos
consecutivos que forman unciacuterculo es de exactamente 360deg En la figura 68 m arco AB
= 90deg m arco BCD = 180deg y m arco AD = 90deg Se deduce que m arco AB + m arco BCD
+ m arco AD = 360deg
TIPOS DE AacuteNGULOS EN EL CIacuteRCULO
AacuteNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Puedes pinchar en alguno de los dibujos para acceder al applet en que se comprueba la propiedad expresada
Aacutengulo central es el aacutengulo que tiene su veacutertice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella
La medida del arco AB es la del aacutengulo central AOB
Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Aacutengulo AOB
Esta igualdad nos permite medir en funcioacuten del aacutengulo central o arco el resto de aacutengulos que pueden definirse en la circunferencia
23
Angulo inscrito es aquel que tiene su veacutertice en la circunferencia
El aacutengulo semiinscrito (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular o caso liacutemite
El aacutengulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende
Angulo interior tiene su centro en un punto interior del ciacuterculo
La medida del aacutengulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden eacutel y su opuesto
Aacutengulo exterior es aquel que tiene su veacutertice en un punto exterior de la circunferencia pudiendo ser sus lados tangentes o secantes a la misma
La medida del aacutengulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca
1 Aacutengulo central
El aacutengulo centra l t iene su veacuter t ice en e l centro de la c ircunferencia y
sus lados son dos radios
La medida de un arco es la de su aacutengulo centra l correspondiente
2 Aacutengulo inscrito
El aacutengulo inscr i to t iene su veacuter t ice estaacute en la c ircunferencia y sus lados
son secantes a e l la
Mide la mitad del arco que abarca
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3 Aacutengulo semi- inscrito
El veacutert ice de aacutengulo semiinscr i to estaacute en la c ircunferenc ia un lado
secante y e l otro tangente a el la
Mide la mitad del arco que abarca
4 Aacutengulo interior
Su veacuter t ice es inter ior a la c i rcunferencia y sus lados secantes a el la
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus
lados y las pro longaciones de sus lados
5 Aacutengulo exter ior
Su veacuter t ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos
son o secantes a e l la o uno tangente y ot ro secante o tangentes a e l la
Su veacutert ice es un punto exter ior a la c ircunferenc ia y los lados de sus aacutengulos son o
secantes a el la o uno tangente y otro secante o tangentes a e l la
TIPOS DE CUERPOS SOacuteLIDOS
Clasificacioacuten de soacutelidos
Los cuerpos geomeacutetricos son los elementos que ya sean reales o ideales que existen
en la realidad o pueden concebirse mentalmente ocupan un volumen en el espacio
desarrollaacutendose por lo tanto en las tres dimensiones de alto ancho y largo y estaacuten
compuestos por figuras geomeacutetricas
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CLASIFICACIOacuteN
Los cuerpos geomeacutetricos se pueden clasificar en poliedros o cuerpo geomeacutetrico
redondo
Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos son cuerpos geomeacutetricos cuyas caras son todas figuras
geomeacutetricas planas exclusivamente Entre los maacutes conocidos
Piraacutemide
Prisma
Redondos
Los cuerpos redondos son aquellos que tienen al menos una de sus caras o superficies
de forma curva Entre los maacutes conocidos
Esfera
Cono
Cilindro
Estos cuerpos son rebeldes a aunque estos cuerpos son dantildeonsada
PIRAMIDE PRISMA
ESFERA CONO CILINDRO
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RAZONES TRIGONOMEacuteTRICAS EN TRIAacuteNGULOS OBTUSAacuteNGULOS
La trigonometriacutea enfocada en sus inicios solo al estudio de los triaacutengulos se utilizoacute durante siglos en topografiacutea navegacioacuten y astronomiacutea
Etimoloacutegicamente trigon significa triaacutengulo y metron medida Por lo tanto trigonometriacutea se puede definir como medida de triaacutengulos
Para establecer las razones trigonomeacutetricas en cualquier triaacutengulo rectaacutengulo es necesario conocer sus elementos Para ello veamos la figura a la derecha
Los aacutengulos con veacutertice en A y C son agudos el aacutengulo con veacutertice en B es recto
Este triaacutengulo se caracteriza por que los lados de los aacutengulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto y los lados del aacutengulo recto (β) son los catetos
Cada uno de los aacutengulos agudos del triaacutengulo uno de cuyos lados es la hipotenusa se relaciona con los catetos que pueden ser cateto opuesto al aacutengulo o cateto adyacente al aacutengulo
Cateto adyacente es aquel que forma parte del aacutengulo al cual se hace referencia
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del aacutengulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este
Con los siguientes ejemplos veamos lo dicho
Si consideramos el aacutengulo α Si consideramos el aacutengulo γ
cateto adyacente
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto opuesto
Por convencioacuten como vemos en los ejemplos los trazos que son lados del triaacutengulo se pueden representar con las letras mayuacutesculas correspondientes a sus dos extremos
27
coronadas con una liacutenea o bien con una letra minuacutescula enfrentando a la correspondiente mayuacutescula de los aacutengulos
Aprendido y recordado lo anterior veremos ahora que las razones o relaciones trigonomeacutetricas se establecen entre dos lados de un triaacutengulo rectaacutengulo en relacioacuten con cada uno de sus aacutengulos agudos Tambieacuten se llaman Funciones trigonomeacutetricas
Seis son las razones o funciones trigonomeacutetricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos aacutengulos agudos en un triaacutengulo rectaacutengulo de ellas tres son fundamentales y tres son reciacuteprocas como lo vemos en el siguiente cuadro
Funciones (razones) trigonomeacutetricas
Fundamentales Reciacuteprocas
sen seno cosec csc) cosecante
cos coseno sec secante
tan (tg) tangente cotan (cotg) cotangente
Veamos un ejemplo para un aacutengulo α
Sea el aacutengulo BAC de
medida α (siempre menor de 90ordm)
en el triaacutengulo rectaacutengulo ABC
Los lados BC y BA son los catetos
y AC la hipotenusa
En este triaacutengulo rectaacutengulo las razones trigonomeacutetricas con respecto a alfa (α) se definen como
Seno
Seno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto opuesto al aacutengulo y la hipotenusa
Coseno
coseno es la razoacuten (divisioacuten) entre el cateto adyacente al aacutengulo y la hipotenusa
Tangente
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Tangente es la razoacuten entre el cateto opuesto al aacutengulo y el cateto adyacente al mismo
Estas tres (seno coseno tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un aacutengulo agudo y los lados del triaacutengulo rectaacutengulo del cual forman parte
A cada razoacuten fundamental corresponde una razoacuten reciacuteproca llamadas asiacute porque cada una es la inversa de otra fundamental
Las tres siguientes son las razones reciacuteprocas que se pueden establecer respecto al mismo aacutengulo
Cosecante
cosecante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto opuesto al aacutengulo y como es la reciacuteproca del seno
de α se puede expresar como
Secante
secante es la razoacuten entre la hipotenusa y el cateto adyacente al aacutengulo y como es la reciproca del
coseno de α se puede expresar como
Cotangente
cotangente es la razoacuten entre el cateto adyacente al aacutengulo y el cateto puesto al mismo y como es
la reciacuteproca de la tangente de αse puede expresar como
29
Ahora hagamos un ejercicio
Dado el triaacutengulo ABC rectaacutengulo en B (figura a la derecha)
Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm
TEOREMA DE PITAacuteGORAS y calculamos la
hipotenusa que es
82 + 62 = 102 o sea es igual a 10 cm
entonces podemos calcular las razones trigonomeacutetricas
Triaacutengulos rectaacutengulos En geometriacutea se llama triaacutengulo rectaacutengulo a todo triaacutengulo que posee un aacutengulo recto es decir un
30
aacutengulo de 90 grados Las razones entre las longitudes de los lados de un triaacutengulo rectaacutengulo es un enfoque de la trigonometriacutea plana En particular en un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el llamado teorema de Pitaacutegoras ya conocido por los babilonios Terminologiacutea
Se denomina hipotenusa al lado mayor del triaacutengulo el lado
opuesto al aacutengulo recto Se llaman catetos a los dos lados
menores los que conforman el aacutengulo recto cada cateto se
opone a un aacutengulo agudo Solo si la medida de los tres lados son nuacutemeros enteros estos constituyen un
triacuteo de nombre terna pitagoacuterica
Si los catetos son iguales se llama triaacutengulo rectaacutengulo isoacutesceles ( 45-90-45) siendo
0
Un triaacutengulo rectaacutengulo escaleno muy conocido es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la
hipotenusa y estos dos lados forman un aacutengulo agudo de 30ordm y el otro aacutengulo de 60ordm (30-90-60) y se
obtiene al bisecar un triaacutengulo equilaacutetero por su altura resultan estas razones entre dichos lados
1
2 3
31
Teorema de senos y de cosenos
Teorema del seno
Cada lado de un tr iaacutengulo es di rec tamente
proporc ional a l seno del aacutengulo opuesto
Teorema del coseno
En un tr iaacutengulo e l cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos menos e l doble producto del producto de ambos por e l coseno del aacutengulo
que forman
Teorema de la tangente
Aacutengulo de un triaacutengulo
El aacuterea de un t r iaacutengulo es la mitad del producto de una base por la al tura
32
correspondiente
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l semi producto de dos de sus lados por e l seno del
aacutengulo que forman
El aacuterea de un tr iaacutengulo es e l coc iente entre el producto de sus lados y cuatro veces
e l radio de su c ircunferenc ia c ircunscr i ta
El aacuterea de un t r iaacutengulo es igual al producto del radio de la c ircunferenc ia inscr i ta por
su semiperiacutemetro
Foacutermula de Heroacuten
AXIOMA POSTULADO TEOREMA Y COROLARIO
Axioma
11 Un axioma es una premisa que se considera laquoevidenteraquo y es aceptada sin requerir
una demostracioacuten previa En un sistema hipoteacutetico-deductivo es toda proposicioacuten que no
se deduce de otras sino que constituye una regla general de pensamiento loacutegico por
oposicioacuten a los postulados
En matemaacutetica un axioma es una premisa que por considerarse evidente se acepta sin
demostracioacuten como punto de partida para demostrar otras foacutermulas Tradicionalmente
33
los axiomas se eligen de entre las consideradas laquoverdades evidentesraquo porque permiten
deducir las demaacutes foacutermulas
En loacutegica matemaacutetica un postulado es una proposicioacuten no necesariamente evidente
una foacutermula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deduccioacuten para llegar a
una conclusioacuten
En matemaacutetica se distinguen dos tipos de proposiciones axiomas loacutegicos y postulados
12 Etimologiacutea la palabra axioma proviene del griego αξιωμα que significa ldquolo que parece
justordquo o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostracioacuten La
palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa ldquovalorarrdquo que a su vez procede de
αξιος (axios) que significa ldquovaluablerdquo o ldquodignordquo Entre los antiguos filoacutesofos griegos un
axioma era aquello que pareciacutea ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocerrsquo o lsquoadquisicioacuten de conocimiento cientiacuteficorsquo Del anaacutelisis de
esta forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
LOacuteGICA
La loacutegica del axioma es partir de una premisa calificada verdadera por siacute misma (el
axioma) e inferir sobre eacutesta otras proposiciones por medio del meacutetodo deductivo
obteniendo conclusiones coherentes con el axioma Los axiomas han de cumplir soacutelo un
requisito de ellos y de reglas de inferencia han de deducirse todas las demaacutes
proposiciones de una teoriacutea dada
Ejemplo Otro ejemplo interesante es el de la instanciacioacuten universal Para una foacutermula
en un lenguaje de primer orden una variable y un teacutermino que es sustituible por en la
foacutermula es vaacutelida universalmente
En teacuterminos informales este ejemplo nos permite afirmar que si conocemos que una
cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en nuestra
estructura entonces deberiacuteamos ser capaces de afirmar De nuevo estamos afirmando
que la foacutermula es vaacutelida esto es debemos ser capaces de dar una prueba de este
hecho o mejor dicho una meta prueba
El axioma es uno de los conceptos fundamentales de la forma de conocer que llamamos
lsquoforma cientiacutefica de conocer o adquisicioacuten de conocimiento cientiacutefico Del anaacutelisis de esta
forma de conocer se ocupa la epistemologiacutea
14 EJEMPLOS
Axiomas baacutesicos
1- El espacio tiene infinitos puntos rectas y planos
34
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas
3- La recta tiene infinitos puntos
4- Por un punto pasan infinitas rectas
5- Por una recta pasan infinitos planos
Los axiomas son ciertas foacutermulas en un lenguaje que son universalmente vaacutelidas esto
es foacutermulas que son satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcioacuten
variable En teacuterminos coloquiales son enunciados que son verdaderos en cualquier
mundo posible bajo cualquier interpretacioacuten posible y con cualquier asignacioacuten de
valores Usualmente se toma como axiomas un conjunto miacutenimo de tautologiacuteas que son
suficientes para probar una teoriacutea
Ademaacutes de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geomeacutetrico
necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostracioacuten por resultar
evidentes a dichos postulados los llamaremos axiomas Los axiomas tambieacuten resultan
ser entonces el punto de partida todas los otros postulados que vayamos construyendo
necesitaraacuten demostracioacuten es decir que utilizaremos la loacutegica junto con los conceptos
primitivos y los axiomas para validarlos Estos nuevos postulados recibiraacuten el nombre de
teoremas y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes
postulados o propiedades
TEOREMA
Del latiacuten teorema un teorema es una proposicioacuten que puede demostrarse de forma
loacutegica a partir de un axioma o de otros teoremas que fueron demostrados con
anterioridad
Un teorema es una afirmacioacuten que puede ser demostrada dentro de un sistema formal
Demostrar teoremas es un asunto central en la matemaacutetica
Un teorema generalmente posee un nuacutemero de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano Luego existe una conclusioacuten una afirmacioacuten matemaacutetica la cual
es verdadera bajo las condiciones dadas El contenido informativo del teorema es la
relacioacuten que existe entre la hipoacutetesis y la tesis o conclusioacuten
Teoremas dentro de la loacutegica matemaacutetica un teorema requiere de un marco loacutegico este
marco consistiraacute en un conjunto de axiomas (sistema axiomaacutetico) y un proceso de
inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han
sido derivados previamente
35
En loacutegica matemaacutetica y loacutegica proposicional cualquier afirmacioacuten demostrada se
denomina teorema Maacutes concretamente en loacutegica matemaacutetica se llama demostracioacuten a
una secuencia finita de foacutermulas bien formadas (foacutermulas loacutegicas bien formadas) F1 Fn
tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos foacutermulas
anteriores Fj y Fk (tales que jlti y klti) mediante una regla de deduccioacuten Dada una
demostracioacuten como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un
teorema
Un teorema es una foacutermula bien formada que no es un axioma y que puede ser el
elemento final de alguna demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien
formada para la cual existe una demostracioacuten
Teoremas dentro de otras ciencias con frecuencia en fiacutesica o economiacutea algunas
afirmaciones importantes que pueden ser deducidas o justificadas a partir de otras
afirmaciones o hipoacutetesis baacutesicas se llaman comuacutenmente teoremas Sin embargo
frecuentemente las aacutereas de conocimiento donde aparecen esas afirmaciones con
frecuencia no han sido formalizadas adecuadamente en forma de sistema axiomaacutetico por
lo que estrictamente deberiacutea usarse con cautela el teacutermino teorema para referirse a esas
afirmaciones demostrables o deducibles de supuestos maacutes baacutesicos
Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente un teorema es una foacutermula bien
formada que no es un axioma y que puede ser el elemento final de alguna
demostracioacuten es decir un teorema es una foacutermula loacutegica bien formada para la cual
existe una demostracioacuten
EJEMPLO
Teorema de Pitaacutegoras
En un triaacutengulo rectaacutengulo el cuadrado del lado maacutes largo (la ldquohipotenusardquo) es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos)
Se establece en esta foacutermula a2 + b2 = c2 Teorema de Thales Si dos rectas cuales
quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra
De los dos teoremas de Tales El primero de ellos explica esencialmente una forma de
construir un triaacutengulo semejante a uno previamente existente (los triaacutengulos semejantes
36
son los que tienen iguales aacutengulos)
Mientras que el segundo desentrantildea una propiedad esencial de los circuncentros de
todos los triaacutengulos rectaacutengulos (encontrandose eacutestos en el punto medio de su
hipotenusa) que a su vez en la construccioacuten geomeacutetrica es ampliamente utilizado para
imponer condiciones de construccioacuten de aacutengulos rectos
25 iquestDoacutende se aplica el teorema de Pitagoras El Teorema de Pitaacutegoras se aplica en los
triaacutengulos rectaacutengulos
En un triaacutengulo rectaacutengulo dos de sus tres lados se cortan formando un aacutengulo recto
esto es una esquina se denominan catetos El otro lado el que estaacute situado enfrente
del aacutengulo recto se denomina hipotenusa
FALACIA LOacuteGICA
En loacutegica una falacia (del latiacuten fallacia lsquoengantildeorsquo) es un argumento que parece vaacutelido
pero no lo es Algunas falacias se cometen intencionalmente para persuadir o manipular
a los demaacutes mientras que otras se cometen sin intencioacuten debido a descuidos o
ignorancia En ocasiones las falacias pueden ser muy sutiles y persuasivas por lo que
se debe poner mucha atencioacuten para detectarlas
El que un argumento sea falaz no implica que sus premisas o su conclusioacuten sean falsas
ni que sean verdaderas Un argumento puede tener premisas y conclusioacuten verdaderas y
aun asiacute ser falaz Lo que hace falaz a un argumento es la invalidez del argumento en siacute
De hecho inferir que una proposicioacuten es falsa porque el argumento que la contiene por
conclusioacuten es falaz es en siacute una falacia conocida como argumento ad logicam
El estudio de las falacias se remonta por lo menos hasta Aristoacuteteles quien en
sus Refutaciones sofiacutesticas identificoacute y clasificoacute trece clases de falacias Desde
entonces cientos de otras falacias se han agregado a la lista y se han propuesto varios
sistemas de clasificacioacuten
Las falacias son de intereacutes no solo para la loacutegica sino tambieacuten para la poliacutetica
la retoacuterica el derecho la ciencia la religioacuten el periodismo la mercadotecnia el cine y
en general cualquier aacuterea en la cual la argumentacioacuten y la persuasioacuten sean de especial
relevancia
37
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Y PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES
Un conjunto es una coleccioacuten de objetos considerada como un objeto en siacute Un conjunto
estaacute definido uacutenicamente por los elementos que lo componen y no por la manera en la
que se lo representa
Existe una serie de relaciones baacutesicas entre conjuntos y sus elementos
Pertenencia La relacioacuten relativa a conjuntos maacutes baacutesica es la relacioacuten de
pertenencia Dado un elemento x eacuteste puede o no pertenecer a un conjunto dado A
Esto se indica como x isin A
Igualdad Dos conjuntos son iguales si y soacutelo si tienen los mismos elementos Este
principio denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un
conjunto queda definido uacutenicamente por sus elementos
Inclusioacuten Dado un conjunto A cualquier sub-coleccioacuten B de sus elementos es
un subconjunto de A y se indica como B sube A
El conjunto vaciacuteo es el conjunto sin ninguacuten elemento y se denota por empty o por
El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles dentro
del contexto considerado Por ejemplo si se estudian los nuacutemeros naturales el conjunto
universal es el conjunto de todos ellos N De manera general el conjunto universal se
denota por U
Ejemplos
Cada nuacutemero natural es elemento del conjunto N = 1 2 3 de los nuacutemeros
naturales 1 isin N 2 isin N etc Cada nuacutemero par es tambieacuten un nuacutemero natural por lo
que el conjunto P de los nuacutemeros pares P = 2 4 6 es un subconjunto
de N P sube N
Dado el conjunto de letras V = o i e u a se cumple por ejemplo que a isin V o
tambieacuten i isin V El conjunto de letras U = vocales del espantildeol contiene los mismos
elementos que V por lo que ambos conjuntos son iguales V = U
Operaciones con conjuntos
38
Unioacuten
Interseccioacuten
Diferencia
Complemento
Diferencia simeacutetrica
Las operaciones baacutesicas del aacutelgebra de conjuntos son
Unioacuten La unioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cup B que contiene todos los
elementos de A y de B
Interseccioacuten La interseccioacuten de dos conjuntos A y B es el conjunto A cap B que
contiene todos los elementos comunes de A yB
Diferencia La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene
todos los elementos de A que no pertenecen a B
39
Complemento El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene
todos los elementos que no pertenecen a A
Producto cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A times B que contiene todos los pares ordenados (a b) cuyo primer elemento
pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B
Propiedades
Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con
nuacutemeros naturales Por ejemplo la unioacuten y la interseccioacuten
son conmutativas y asociativas El conjunto vaciacuteo es el elemento neutro de la unioacuten y
el elemento absorbente de la interseccioacuten y el producto cartesiano El conjunto
universal es el elemento neutro de la interseccioacuten y el elemento absorbente de la unioacuten
Ademaacutes las operaciones de unioacuten interseccioacuten diferencia y complemento son muy
similares a las operaciones en un aacutelgebra de Boole asiacute como a los conectores loacutegicos de
la loacutegica proposicional
PRODUCTO CARTESIANO REPRESENTACIOacuteN PROPIEDADES Y
APLICACIONES
Si tenemos dos conjuntos A y B y tratamos de armar todos los pares
posibles formados por un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto
B obtendremos el producto cartesiano de los dos conjuntos Se
escribe
Podemos representarlo de diferentes formas diagramas de flechas
diagramas arbolados tablas y graacuteficos cartesianos Cada par que formemos
con un elemento de A y uno de B en ese orden recibe el nombre de par
ordenado
Llamaremos producto cartesiano de dos conjuntos que simbolizaremos como AXB a
todos los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B
Ejemplo
Sea los conjuntos A=123 y B=456 se tiene
AXB=(14)(15)(16)(24)(25)(26)(34)(35) (36)
40
El producto cartesiano AXB no es igual al producto cartesiano BXA
Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (aa) se les llama elementos diagonales
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de forma
simboacutelica como A2
Si el producto cartesiano lo forman maacutes de dos conjuntos los elementos del producto
cartesiano lo formaran grupos de elementos tomados ordenadamente de cada uno de
los conjuntos que lo forman tomando un elemento del primer conjunto otro del segundo
otro del tercero y asiacute hasta llegar al uacuteltimo
Para representar graacuteficamente el producto cartesiano utilizaremos la representacioacuten
cartesiana que consiste en trazar unos ejes perpendiculares en el eje horizontal
colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto
Blos elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepcioacuten que se
obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los
elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal
Ver la representacioacuten del ejemplo
Para saber el nuacutemero de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de aacuterbol
41
tenemos nueve elementos que es el resultado de multiplicar el nuacutemero de elementos del
conjunto A por los del conjunto B
Podemos saber el nuacutemero de elementos de un producto cartesiano formado por n
conjuntos multiplicando el nuacutemero de elementos de cada uno de los conjuntos que
intervienen
card(AXBZ)=card(A)card(B)Card(Z)
Correspondencias entre conjuntos
Llamamos correspondencia entre los conjuntos A y B y que representaremos por la letra
f a cualquier subconjunto del producto cartesiano AXB
Una correspondencia presenta los siguientes elementos
ELEMENTOS HOMOacuteLOGOS
Se dice que dos elementos a b son homoacutelogos en la correspondencia f cuando el par (a
b) pertenece al subconjunto es decir
Siendo G el subconjunto
La primera componente del par (ab) que pertenece a G se llama elemento original
mientras que la segunda componente recibe el nombre de elemento imagen Cuando b
42
es el elemento imagen del a por la correspondencia f escribiremos b = f(a)
Conjunto inicial
Llamaremos asiacute al conjunto A
Conjunto final
Es el conjunto B
Conjunto original
Se llama conjunto original y lo designaremos por orig(f) al conjunto formados por todos
los elementos de A que son elementos originales por la correspondencia f
Conjunto imagen
Se llama conjunto imagen y se representa por imag(f) al conjunto formados por todos los
elementos de B que son elementos imaacutegenes por la correspondencia f
Grafo de la correspondencia
Se llama grafo de la correspondencia al subconjunto
Correspondencia inversa
Se llama correspondencia inversa a la correspondencia que resulta de cambiar el orden
de los conjuntos AXB por BXA
La correspondencia inversa la designaremos por f-1
Ejemplo
Sea f la correspondencia definida por el grafo
G=(a1)(a2)(b3)(c5)
La correspondencia inversa f-1 seraacute
G-1=(1a)(2a)(3b)(5c)
Aplicaciones
43
Se llama aplicacioacuten entre los conjuntos A y B a la correspondencia de A en B tal que
Todos los elementos de A son elementos originales El transformado de cada elemento
es uacutenico
APLICACIOacuteN SUPRAYECTIVA
Se llama asiacute una aplicacioacuten donde el conjunto final coincide con el conjunto imagen esto
es cuando todos los elementos de B son elementos imaacutegenes de alguacute elemento de A
f suprayectiva equivale a Card (A) es mayor o igual a Card (B)
Aplicacioacuten inyectiva
Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde cada elemento imagen lo es de un solo
original
f inyectiva equivale a Card (A) es menor o igual a card (B)
Aplicacioacuten biyectiva Se llama asiacute a una aplicacioacuten de A en B donde es al
supreyectiva e inyectiva Para que una aplicacioacuten sea biyectiva es necesario que ambos
conjuntos tengan el mismo nuacutemero de elementos
Aplicacioacuten inversa Si la aplicacioacuten es biyectiva la correspondencia inversa siempre
seraacute una aplicacioacuten
Aplicacioacuten Compuesta Si tenemos una aplicacioacuten f de A en B y otra aplicacioacuten g de B
en C tal que imag(f) =o rig(g) llamaremos aplicacioacuten compuesta y denotaremos
por a una nueva aplicacioacuten de A en C definida del siguiente modo
RELACIONES BINARIAS
Se llama relacioacuten binaria definida en un conjunto A a la correspondencia de A en A
Propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son
Reflexiva simeacutetrica antisimeacutetrica y transitiva
44
Reflexiva
Se llama relacioacuten reflexiva cuando un elemento estaacute relacionado con sigo mismo y se
escribe aRa para todo a que pertenece al conjunto
Simeacutetrica
Se llama relacioacuten simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a esta
relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el elemento
a
Anti simeacutetrica
Se llama relacioacuten anti simeacutetrica si para todo par de elemento ocurre que el elemento a
esta relacionado con el elemento b entonces el elemento b estaacute relacionado con el
elemento a y ademaacutes se deduce que a = b
Transitiva
Se llama asiacute cuando se verifica que si el elemento a esta relacionado con el elemento b y
el elemento b estaacute relacionado con el elemento c entonces el elemento a esta
relacionado con el elemento c
Leyes de composicioacuten
Se dice que en A se ha definido una ley de composicioacuten interna u operacioacute cuando se
define una aplicacioacuten del producto cartesiano AXA en A de tal forma que el par de
elementos (ab) genere otro elemento c tal que c tambieacuten pertenece al conjunto A
Para representar el elemento imagen del par (ab) se utiliza la notacioacuten c=afb donde f es
cualquier simbolo Por ejemplo
Se dice que en A se a definido una ley de composicioacuten externa sobre el conjunto B
cuando se define una aplicacioacuten del producto cartesiano BXA en A
A los elementos del conjunto B se les llama escalares
llamando a a los elementos pertenecientes al conjunto A y b a los elementos que
pertenecen al conjunto B tenemos que c=afb donde c pertenece al conjunto A
Propiedades de las leyes de composicioacuten
45
Asociativa
Se dice que la ley de composicioacuten es asociativa cuando para cualquier elementos abc
pertenecientes al conjunto A se verifica
(a b) c = a (b c)
Conmutativa
Se dice que la ley de composicioacuten es conmutativa cuando para cualquier elementos
abc pertenecientes al conjunto A se verifica
a b = a b
Elemento neutro
Se dice que la ley de composicioacuten posee elemento neutro cuando existe un elemento n
de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica
a n = a
Elemento simeacutetrico
Se dice que la ley de composicioacuten que posee elemento neutro es simetrizable cuando
para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a de A tal
que
aa=n
Donde n es el elemento neutro
Distributiva entre dos operaciones
Se dice que la ley de conposicioacuten es distributiva respecto de la operacioacuten curren cuando
cualesquiera que sean los elementos a b c pertenecientes al conjunto A se verifica
a (b curren c)= a b curren a c
Estructuras algebraicas
Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias
leyes de composicioacuten
46
Estructuras algebraicas con una ley de composicioacuten
Semi-grupo Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene
estructura de semi-grupo si la ley es asociativa
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez el
semi-grupo se llama conmutativo con elemento neutro o conmutativo con elemento
neutro respectivamente
Grupo
Se dice que el conjunto A con la ley de composicioacuten interna tiene estructura de grupo si
la ley es asociativa posee elemento neutro y es simetrizable
Si la operacioacuten posee la propiedad conmutativa entonces el grupo se llama
conmutativo o abeliano
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS LEYES DE COMPOSICIOacuteN
Semi-anillo
Se llama semi-anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de semi-grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es
distributiva respecto a la otra
Anillo
Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten interna
una que tiene estructura de grupo y la otra de semi-grupo y ademaacutes una ley de
composicioacuten es distributiva respecto a la otra
Cuerpo
Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composicioacuten
interna que tienen estructura de grupo y ademaacutes una ley de composicioacuten es distributiva
respecto a la otra
Espacio vectorial
Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A
una estructura de cuerpo conmutativo i una ley externa sobre el conjunto B que
47
satisfacen las siguientes condiciones
A con la ley es un grupo conmutativo
Distributiva de la ley externa curren respecto de la interna en A
Distributiva de la ley externa curren respecto de la enterna en B
Asociativa mixta
Neutralidad de la ley externa
TIPOS DE FUNCIONES (INYECTIVA SOBREYECTIVA BIYECTIVA
INVERSA ETCEacuteTERA)
Funcioacuten inyectiva
Ejemplo de funcioacuten inyectiva
En matemaacuteticas una funcioacuten es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde
un valor distinto en el conjunto (imagen) de Es decir a cada elemento del conjunto A le
corresponde un solo valor tal que en el conjunto A no puede haber dos o maacutes elementos que
tengan la misma imagen
Asiacute por ejemplo la funcioacuten de nuacutemeros reales dada por no es inyectiva puesto que el valor 4
puede obtenerse como f(2) y f( minus 2) Pero si el dominio se restringe a los nuacutemeros positivos
obteniendo asiacute una nueva funcioacuten entonces siacute se obtiene una funcioacuten inyectiva
48
Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y entre los cuales existe una funcioacuten inyectiva tienen cardinales que
cumplen
Si ademaacutes existe otra aplicacioacuten inyectiva entonces puede probarse que existe una aplicacioacuten
biyectiva entre A y BFuncioacuten biyectiva
Ejemplo de funcioacuten biyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva Formalmente
Para ser maacutes claro se dice que una funcioacuten es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada que es la regla de la funcioacuten inyectiva sumaacutendole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada en este caso (y) que es la norma que exige la funcioacuten sobreyectiva
Teorema
Si es una funcioacuten biyectiva entonces su funcioacuten inversa existe y tambieacuten es biyectiva
Ejemplo
La funcioacuten es biyectiva
Luego su inversa tambieacuten lo es
Funcioacuten sobreyectiva
49
Ejemplo de funcioacuten sobreyectiva
En matemaacutetica una funcioacuten es sobreyectiva (epiyectiva suprayectiva suryectiva o
exhaustiva) si estaacute aplicada sobre todo el codominio es decir cuando la imagen o en
palabras maacutes sencillas cuando cada elemento de Y es la imagen de como miacutenimo un
elemento de X
FUNCIOacuteN LINEAL FUNCIOacuteN CUADRAacuteTICA
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Las funciones lineales y cuadraacuteticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b y f(x)
= ax2 + bx + c respectivamente quieres saber a detalle que son las funciones lineales y
cuadraacuteticas coacutemo se representan en la graacutefica y algunos ejemplos Sigue leyendo
Funciones lineales y cuadraacuteticas
Una funcioacuten lineal es una funcioacuten polinoacutemica de primer grado en un graacutefica se
representa como una liacutenea recta y se escribe f(x) = mx + b
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera
potencia cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe
m = pendiente de la recta (constante)
b = punto de corte de la recta con el eje y (constante)
x = variable
Cuando modificamos ldquomrdquo en una funcioacuten lineal se modifica la pendiente es decir la
inclinacioacuten de la recta si cambiamos ldquobrdquo la liacutenea se mueve haciacutea arriba o abajo
Estos son los tres tipos de funciones
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
50
cartesiano
funciones lineales y cuadraacuteticas 4
Funciones cuadraacutetica Una funcioacuten cuadraacutetica es una funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 + bx + cfunciones lineales y cuadraacuteticas
a b y c = nuacutemeros reales diferentes a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la
parte superior de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
Igualar la ecuacioacuten a cero
Factorizar la ecuacioacuten
Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
Estos son los tres tipos de funciones
51
Ejemplo
Tenemos la siguiente funcioacuten y = 15 x + 3
La pendiente es 32 cuando aumentamos x en una unidad ldquoyrdquo aumenta en 32 de
unidad b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3
Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano
cartesiano
Funciones cuadraacuteticas
Una funcioacuten cuadraacutetica es una
funcioacuten polinoacutemica de segundo
grado que se escribe f(x) = ax2 +
bx + c
a b y c = nuacutemeros reales diferentes
a cero
Si agt0 el veacutertice de la paraacutebola estaraacute en la parte
inferior y si o alt0 el veacutertice estaraacute en la parte superior
de la paraacutebola
La graacutefica de una funcioacuten cuadraacutetica es una paraacutebola de la cual el eje de simetriacutea es
paralelo al eye de las ldquoyrdquo
Modificaciones en la funcioacuten si sumamos o restamos dentro del pareacutentesis la paraacutebola
52
se mueve hacia la izquierda o la derecha respectivamente Si restamos o sumamos en la
funcioacuten fuera del pareacutentesis la paraacutebola se mueve hacia abajo o hacia arriba
Para obtener la raiacuteces de la ecuacioacuten seguimos estos pasos
1 Igualar la ecuacioacuten a cero
2 Factorizar la ecuacioacuten
3 Igualar cada factor a cero y obtener las raiacuteces
Para graficar la funcioacuten seguimos estos pasos
1 Con el valor de ldquoardquo determinar si la paraacutebola abre haciacutea arriba o hacia abajo
2 Obtener los puntos de interseccioacuten los del eje ldquoxrdquo se obtienen con las raiacuteces de la
ecuacioacuten para obtener las intersecciones en ldquoyrdquo igualamos la x a cero
3
4 Obtener el veacutertice de la funcioacuten el punto ldquoxrdquo de la coordenada del veacutertice se obtiene con
la foacutermula -b2a y el punto ldquoyrdquo se obtiene sustituyendo x en la funcioacuten
5 Graficar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 para graficar la curva
6 Espero te haya quedado muy claro que son las funciones lineales y cuadraacuteticas y sus
caracteriacutesticas
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (CUADRAacuteTICAS)
Ecuaciones de segundo grado y una incoacutegnita
Sabemos que una ecuacioacuten es una relacioacuten matemaacutetica entre nuacutemeros y letras
Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que soacutelo hay una letra
llamada incoacutegnita que suele ser la x
Resolver la ecuacioacuten consiste en encontrar un valor (o varios) que al sustituirlo por la
incoacutegnita haga que sea cierta la igualdad
Ese valor es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Ejemplo Resolver la ecuacioacuten x minus 1 = 0
El nuacutemero que hace que esa ecuacioacuten sea cierta es el 1 ya que 1 ndash 1 = 0 por lo tanto 1
es la solucioacuten de la ecuacioacuten
Si en la ecuacioacuten la incoacutegnita estaacute elevada al cuadrado decimos que es una ecuacioacuten
de segundo grado (llamadas tambieacuten ecuaciones cuadraacuteticas) que se caracterizan
porque pueden tener dos soluciones (aunque tambieacuten una sola e incluso ninguna)
Cualquier ecuacioacuten de segundo grado o cuadraacutetica se puede expresar de la siguiente
forma
53
ax2 + bx + c = 0
Donde a b y c son unos paraacutemetros que habraacute que sustituir por los nuacutemeros reales que
corresponda en cada caso particular
Solucioacuten de ecuaciones cuadraacuteticas
Hemos visto que una ecuacioacuten cuadraacutetica es una ecuacioacuten en su forma ax2 + bx + c = 0
donde a b y c son nuacutemeros reales
Pero este tipo de ecuacioacuten puede presentarse de diferentes formas
Ejemplos
9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9 b = 6 c = 10
3x2 ndash 9x + 0 = 0 a = 3 b = ndash9 c = 0 (el cero la c no se escribe no estaacute)
ndash6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6 b = 0 c = 10 (el cero equis la b no se escribe)
Para resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las
formas mostradas) puede usarse cualquiera de los siguientes meacutetodos
SOLUCIOacuteN POR FACTORIZACIOacuteN
En toda ecuacioacuten cuadraacutetica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y
el otro es cero entonces cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse
tenemos que convertirlo en un producto de binomios
Obtenido el producto de binomios debemos buscar el valor de x de cada uno
Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable Igualamos a
cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero uno de sus multiplicandos o
ambos es igual a cero
Ejemplos
1) Resolver
(x + 3)(2x minus 1) = 9
Lo primero es igualar la ecuacioacuten a cero
Para hacerlo multiplicamos los binomios
Ahora pasamos el 9 con signo contrario al primer miembro para igualar a cero
54
Ahora podemos factorizar esta ecuacioacuten
(2x minus 3)(x + 4) = 0
Ahora podemos igualar a cero cada teacutermino del producto para resolver las incoacutegnitas
Si
2x minus 3 = 0
2x = 3
Si
x + 4 = 0
x = minus4
Esta misma ecuacioacuten pudo haberse presentado de varias formas
(x + 3)(2x minus 1) = 9
2x2 + 5x minus 12 = 0
2x2 + 5x = 12
2x2 minus 12 = minus 5x
En todos los casos la solucioacuten por factorizacioacuten es la misma
2) Halle las soluciones de
La ecuacioacuten ya estaacute igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a
cero y luego resolver en teacuterminos de x
Ahora si
x = 0
o si
55
xminus 4 = 0
x = 4
Solucioacuten por la foacutermula general
Existe una foacutermula que permite resolver cualquier ecuacioacuten de segundo grado que es la
siguiente
La foacutermula genera dos respuestas Una con el signo maacutes (+) y otra con el signo menos
(minus) antes de la raiacutez Solucionar una ecuacioacuten de segundo grado se limita entonces a
identificar las letras a b y c y sustituir sus valores en la foacutermula
La foacutermula general para resolver una ecuacioacuten de segundo grado sirve para resolver
cualquier ecuacioacuten de segundo grado sea completa o incompleta y obtener buenos
resultados tiene que ver con las teacutecnicas de factorizacioacuten
Ejemplo
Resolver la ecuacioacuten 2x2 + 3x minus 5 = 0
Vemos claramente que a = 2 b = 3 y c = minus5 asiacute es que
Ahora tenemos que obtener las dos soluciones con el + y con el minus
y tambieacuten
Asiacute es que las soluciones son
Aquiacute debemos anotar algo muy importante
En la foacutermula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresioacuten
Esa raiacutez cuadrada soacutelo existiraacute cuando el radicando (b2 minus 4ac) sea positivo o
56
cero
El radicando b2 ndash 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ El nuacutemero de
soluciones (llamadas tambieacuten raiacuteces) depende del signo de Δ y se puede determinar
incluso antes de resolver la ecuacioacuten
Entonces estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto) podemos saber el
nuacutemero de soluciones que posee
Si Δ es positivo la ecuacioacuten tiene dos soluciones
Si Δ es negativo la ecuacioacuten no tiene solucioacuten
Si Δ es cero la ecuacioacuten tiene una uacutenica solucioacuten
En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49 positivo por eso la ecuacioacuten teniacutea dos
soluciones
Obtendremos dos soluciones una cuando sumamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a y
otra solucioacuten cuando restamos a minus b la raiacutez y lo dividimos por 2a
Trabajando con ecuaciones de segundo grado
Como lo dijimos al comienzo cualquier ecuacioacuten de segundo grado puede mediante
transformaciones expresarse en la forma ax2+ bx + c = 0 donde a y b son
los coeficientes de los teacuterminos x2 y x respectivamente y c es el teacutermino
independiente
Ecuacioacuten de segundo grado completa
Una ecuacioacuten de segundo grado es completa cuando los tres
coeficientes a b y c son distintos de cero
Entonces la expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado completa es
ax2 + bx + c = 0
Ecuacioacuten de segundo grado incompleta
57
Una ecuacioacuten de segundo grado es incompleta cuando los teacuterminos b o c o ambos
son cero
(Si a = 0 la ecuacioacuten resultante seriacutea bx + c = 0 que no es una ecuacioacuten de segundo
grado)
La expresioacuten de una ecuacioacuten de segundo grado incompleta es
ax2 = 0 si b = 0 y c = 0
ax2 + bx = 0 si c = 0
ax2 + c = 0 si b = 0
Algunos ejemplos con soluciones
1) Resolver minus 5x2 + 13x + 6 = 0
Se identifican las letras cuidando que la ecuacioacuten esteacute ordenada respecto a la x de
grado mayor a menor Con esta condicioacuten tenemos a = minus 5 b = 13 c = 6
Se aplica la foacutermula
Como la raiacutez buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289) se tiene entonces que
Seguacuten esto tendremos dos raiacuteces diferentes una usando el signo + y otra usando el
signo minus
Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones que seraacuten
Ambos valores de x satisfacen la ecuacioacuten es decir al sustituirlos en ella producen una
identidad Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuacioacuten se le denomina verficacioacuten
Probando con x = 3 Resulta minus5 bull (3)2 + 13 bull (3) + 6 = minus45 + 39 + 6 = 0 tal como se
esperaba en el segundo miembro
58
Probando con se tiene
Como ambas respuestas producen identidades ahora es seguro que 3 y son las
raiacuteces de minus 5x2 + 13x + 6 = 0
2- Resolver 6x minus x2 = 9
Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacioacuten tenga la forma conocida
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta
minus x2 + 6x minus 9 = 0 Ahora se identifican las letras
a = minus1 b = 6 c = minus9 y se aplica la foacutermula
El discriminante (Δ) es igual a cero por lo cual se producen dos raiacuteces iguales a 3 es
decir x1 = x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuacioacuten original se verifica que 6bull3 minus 32 = 18 minus 9 =
9 con lo cual se ha comprobado la respuesta
Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadraacuteticas
En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden
expresarse como una ecuacioacuten de segundo grado
Para hacerlo hay que entender la loacutegica del problema identificando como x a una de las
variables que el problema establece luego deben escribirse las relaciones entre la
variable de acuerdo al planteamiento y finalmente se resuelve la ecuacioacuten
59
Hay que destacar que soacutelo la experiencia mejora los resultados Para practicar los
interesados pueden consultar el Algebra de Aurelio Baldor que para muchos es la
biblia del aacutelgebra
Problema 1
La suma de dos nuacutemeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58 Halle ambos
nuacutemeros
Primero se asigna la variable x a una de las incoacutegnitas del problema Hay dos incoacutegnitas
que son ambos nuacutemeros como el problema no hace distincioacuten entre uno y otro puede
asignarse x a cualquiera de los dos por ejemplo
x = Primer nuacutemero
Como la suma de ambos es 10 entonces necesariamente el otro seraacute
10 minus x = Segundo nuacutemero
Para entenderlo mejor
Si entre su amigo y usted tienen $ 1000 y su amigo tiene $ 400 iquestCuaacutento tiene usted
obviamente restando el total menos 400 es decir 1000 minus 400 = $ 600 Si su amigo tiene
$ x la cuenta no cambia soacutelo que no sabraacute el valor sino en funcioacuten de x es decir usted
tiene 1000 minus x
La condicioacuten final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos
nuacutemeros resulta 58 entonces
x2 + (10 - x)2 = 58
Esta es la ecuacioacuten a resolver
Para hacerlo aplicamos algunas teacutecnicas de aacutelgebra elemental y luego reordenamos
para llegar a la foacutermula conocida
Vemos que la operacioacuten indicada entre pareacutentesis es el cuadrado de un binomio Es un
error muy comuacuten que los estudiantes escriban (a minus b)2 = a2 minus b2 lo cual es incorrecto
La expresioacuten correcta es (a minus b)2 = a2 minus 2bullabullb + b2
Desarrollando la ecuacioacuten se tiene x2 + 102 minus 2bull10bullx + x2 = 58 = x2 + 100 minus 20bullx + x2 =
58
Ordenando y agrupando 2x2 minus 20bullx+ 42 = 0
Dividiendo entre 2 toda la ecuacioacuten
x2 minus 10x + 21 = 0
60
Ahora podemos aplicar la foacutermula general para resolver la ecuacioacuten de segundo grado y
llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3
Veamos si tenemos
a = 1 b = minus10 c = 21
Los nuacutemeros buscados son 7 y 3
Problema 2
El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho Si el ancho
aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m el aacuterea se duplica Halle el aacuterea original de la
sala
Largo y ancho son diferentes El problema permite que la variable x se asigne a
cualquiera de las dos incoacutegnitas largo o ancho
Supongamos que
x = ancho de la sala
El largo es 3 metros mayor que el ancho asiacute es que
x + 3 = largo de la sala
El aacuterea de un rectaacutengulo es la multiplicacioacuten de ambos
x bull (x + 3 ) = aacuterea de la sala
61
Teacutengase en cuenta que estos son los datos iniciales
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo
aumenta en 2 metros asiacute que luego del aumento quedan
x + 3 = nuevo ancho de la sala
x + 5 = nuevo largo de la sala
(x + 3 ) bull (x + 5) = nueva aacuterea de la sala
Seguacuten los datos del problema el aacuterea se ha duplicado asiacute es que planteamos la
ecuacioacuten
(x + 3 ) bull (x + 5) = 2 bull x bull (x + 3)
Se efectuacutean las multiplicaciones x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x
Se pasa todo al primer miembro x2 + 5x + 3x + 15 minus 2x2 minus 6x = 0
Se simplifica minus x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacioacuten a resolver
Se aplica la foacutermula conocida y resulta x1 = 5 y x2 = minus3
La solucioacuten x = minus3 se desecha ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo
Se toma como uacutenica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros
Como el largo inicial x + 3 = 8 metros el aacuterea original era 8m bull 5m = 40 m2
Problema 3
Halle el aacuterea y periacutemetro del triaacutengulo rectaacutengulo mostrado Las dimensiones estaacuten
en metros
62
Como es un triaacutengulo rectaacutengulo se cumple el Teorema de Pitaacutegoras El cuadrado de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c2 = a2 + b2) La
hipotenusa es el lado mayor (2x minus 5) y los otros dos son los catetos se plantea entonces
la ecuacioacuten
(x + 3)2 + (x minus 4)2 = (2x minus 5)2
Desarrollando cada binomio al cuadrado se tiene
x2 + 2 bull 3 bull x + 32 + x2 minus 2 bull 4 bull x + 42 = (2x)2 minus 2 bull (2x) bull 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x +
16 = 4x2 minus 20x + 25
Reagrupando
x2 + 6x + 9 + x2 minus 8x + 16 minus 4x2 + 20x minus 25 = 0
Finalmente minus2x2 + 18x = 0
Es la ecuacioacuten a resolver
Las raiacuteces de la ecuacioacuten son x1 = 0 y x2 = 9
La solucioacuten x = 0 se desecha ya que entonces un cateto seriacutea minus4 m lo cual no es
posible La solucioacuten es entonces x = 9 De esta manera el triaacutengulo queda con catetos
12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros
El aacuterea de un triaacutengulo es base por altura dividido 2 la base y la altura son los dos
catetos que estaacuten a 90deg por lo tanto el aacuterea es
El periacutemetro es la suma de los lados es decir P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m
63
CONOCER CONOCER Y CONOCER
La historia de la humanidad va de la mano de la historia del conocimiento Aplicando una
rdquoregla de resrdquo bien sencilla podemos afirmar que ldquoa mayor conocimiento mayor
desarrollo y progreso de la humanidadrdquo
El conocimiento ha permitido hacer grandes obras e ingenieriacutea como un avioacuten que viaja
a altas velocidades o en el aacuterea de la medicina y de la cirugiacutea con operaciones tan
complicadas coma las del corazoacuten y las del cerebro El conocimiento es tan amplio que
seriacutea imposible que una sola persona que la conociera todo Pero pensamos en un
momento en lo que nosotros conocemos y en lo que podemos conocer
Tambieacuten nuestra historia personal estaacute encargada de conocimiento por un lado lo que
hemos aprendido por las experiencias de la vida y por otro lado todo lo aprendido de las
diferentes ciencias
QUERIDOS Y APRESIABLES AMIGOSAS ESTUDIANTE
iexclA ESTUDIAR SE HA DICHO
64
INTERVALO ABIERTO Y EL INTERVALO CERRADO
Definicioacuten de intervalo
Se llama intervalo al conjunto de nuacutemeros reales comprendidos entre otros dos
dados a y b que se llaman extremos del intervalo
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales mayores que
a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
Intervalo semi-abierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que b
(a b] = x a lt x le b
65
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos los
nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Nomenclatura para varios conjuntos
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o maacutes
de estos intervalos se uti l iza el signo unioacuten) entre ellos
Los intervalos estaacuten determinados por dos nuacutemeros que se llaman
extremos En un intervalo se encuentran todos los nuacutemeros
comprendidos entre ambos y tambieacuten pueden estar los extremos
Intervalo abierto
Intervalo abierto (a b) es el conjunto de todos los nuacutemeros reales
mayores que a y menores que b
(a b) = x a lt x lt b
Intervalo cerrado
Intervalo cerrado [a b] es el conjunto de todos los nuacutemeros
reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b
[a b] = x a le x le b
66
Intervalo semiabierto por la izquierda
Intervalo semiabierto por la izquierda (a b] es el conjunto de
todos los nuacutemeros reales mayores que a y menores o iguales que
b
(a b] = x a lt x le b
Intervalo semiabierto por la derecha
Intervalo semiabierto por la derecha [a b) es el conjunto de todos
los nuacutemeros reales mayores o iguales que a y menores que b
[a b) = x a le x lt b
Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o
maacutes de estos intervalos se uti l iza el signo (unioacuten) entre ellos
67
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores
desconocidos de las variables que satisfacen todas las ecuaciones
Estudiaremos la resolucioacuten de los siguientes t ipos de sistemas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Sistemas de dos ecuaciones con dos incoacutegnitas
Meacutetodo de sustitucioacuten
1 Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
2 Se sustituye la expresioacuten de esta incoacutegnita en la otra ecuacioacuten
obteniendo una ecuacioacuten con una sola incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en la ecuacioacuten en la que apareciacutea la
incoacutegnita despejada
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos una de las incoacutegnitas en una de las dos ecuaciones
Elegimos la incoacutegnita que tenga el coeficiente maacutes bajo
68
2 Sustituimos en la otra ecuacioacuten la variable x por el valor anterior
3 Resolvemos la ecuacioacuten obtenida
4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada
5 Solucioacuten
MEacuteTODO DE IGUALACIOacuteN
1 Se despeja la misma incoacutegnita en ambas ecuaciones
2 Se igualan las expresiones con lo que obtenemos una ecuacioacuten con
una incoacutegnita
3 Se resuelve la ecuacioacuten
4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones
en las que apareciacutea despejada la otra incoacutegnita
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
Ejemplo
1 Despejamos por ejemplo la incoacutegnita x de la primera y segunda
ecuacioacuten
69
2 Igualamos ambas expresiones
3 Resolvemos la ecuacioacuten
4 Sustituimos el valor de y en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la x
5 Solucioacuten
Meacutetodo de reduccioacuten
1 Se preparan las dos ecuaciones multipl icaacutendolas por los nuacutemeros
que convenga
2 La restamos y desaparece una de las incoacutegnitas
3 Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se
resuelve
5 Los dos valores obtenidos constituyen la solucioacuten del sistema
70
Ejemplo
Lo maacutes faacutecil es suprimir la y de este modo no tendriacuteamos que preparar
las ecuaciones pero vamos a optar por suprimir la x para que veamos
mejor el proceso
Restamos y resolvemos la ecuacioacuten
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacioacuten inicial
Solucioacuten
Sistemas de tres ecuaciones con tres incoacutegnitas
Meacutetodo de Gauss
Este meacutetodo consiste en util izar el meacutetodo de reduccioacuten de
manera que en cada ecuacioacuten tengamos una incoacutegnita menos
71
que en la ecuacioacuten precedente
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
Ejemplo
1ordm Ponemos como primera ecuacioacuten la que tenga el
como coeficiente de x 1 oacute -1 en caso de que no fuera posible lo
haremos con y o z cambiando el orden de las incoacutegnitas
72
2ordm Hacemos reduccioacuten con la 1ordf y 2ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x de la 2ordf ecuacioacuten Despueacutes ponemos
como segunda ecuacioacuten el resultado de la operacioacuten
E2 = E2 minus 3E1
3ordm Hacemos lo mismo con la ecuacioacuten 1ordf y 3ordf ecuacioacuten
para eliminar el teacutermino en x
E3 = E3 minus 5E1
4ordm Tomamos las ecuaciones 2ordf y 3ordf trasformadas para hacer
reduccioacuten y eliminar el teacutermino eny
E3 = E3 minus 2E2
73
5ordm Obtenemos el sistema equivalente escalonado
6ordm Encontrar las soluciones
z = 1
minus y + 4 middot1 = minus2 y = 6
x + 6 minus1 = 1 x = minus4
SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
74
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
Ejemplo
La resolucioacuten de estos sistemas se suele hacer por el meacutetodo de
sustitucioacuten para ello seguiremos los siguientes pasos
1ordm Se despeja una incoacutegnita en una de las ecuaciones
preferentemente en la de primer grado
y = 7 minus x
2ordm Se sustituye el valor de la incoacutegnita despejada en la otra
ecuacioacuten
x2 + (7 minus x)2 = 25
3ordm Se resuelve la ecuacioacuten resultante
x2 + 49 minus 14x + x2 = 25
2x2 minus 14x + 24 = 0
x2 minus 7x + 12 = 0
75
4ordm Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuacioacuten se obtienen asiacute los valores correspondientes de la otra
incoacutegnita
x = 3 y = 7 minus 3 y = 4
x = 4 y = 7 minus 4 y = 3
En el curso de aacutelgebra aprendiste a trabajar con ecuaciones lineales en dos variables
como una ecuacioacuten de la forma ax + by = c donde a b y c son constantes pero a y b
son diferentes de cero La solucioacuten de estas ecuaciones eran pares ordenados Ahora
estudiaremos lo que se conoce como un sistema de ecuaciones lineales en dos
variables
Definicioacuten Un sistema de ecuaciones lineales en dos variables x y y consiste de
dos ecuaciones de la forma
donde abcdr y s son constantes
El conjunto solucioacuten de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es el
76
conjunto de todos los pares ordenados que satisfacen las dos ecuaciones del sistema
Al resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables tenemos una de estas
tres posibilidades como solucioacuten
una solucioacuten uacutenica esto es que las rectas se intersecan en un punto En este
caso se dice que el sistema es independiente Ejemplo
Las rectas tienen pendientes diferentes
ninguna solucioacuten esto es que las rectas son paralelas El sistema
es inconsistente Ejemplo
77
Las rectas tienen la misma pendiente pero los interceptos en y son diferentes
infinito nuacutemero de soluciones esto es que las rectas coinciden El sistema
es dependiente Ejemplo
Las rectas tienen la misma pendiente y el mismo intercepto en y
Tenemos tres meacutetodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos
78
variables estos son meacutetodo graacutefico meacutetodo de sustitucioacuten y meacutetodo de eliminacioacuten
(adicioacuten) El meacutetodo graacutefico es un meacutetodo que requiere la construccioacuten de
graacuteficas Los meacutetodos de sustitucioacuten y eliminacioacuten son meacutetodos algebraicos
Ejemplos para discusioacuten (por los meacutetodos graacutefico sustitucioacuten y eliminacioacuten)
Si consideramos el siguiente sistema de ecuaciones lineales en dos variables
El determinante es el nuacutemero ad ndash bc que nos dice algo acerca de la solucioacuten del
sistema de ecuaciones Esto es si
ad ndash bc ne 0 entonces el sistema tiene una solucioacuten uacutenica iquestCuaacutel es el
determinante de ________________________________
ad ndash bc = ) entonces el sistema tiene infinito nuacutemero de soluciones o ninguna
solucioacuten iquestCuaacutel es el determinante de cada uno de los siguientes sistemas
79
CONJUNTO DE NUacuteMEROS REALES ORDEN OPERACIONES Y
PROPIEDADES
Los nuacutemeros reales (designados por ) son casi todos los nuacutemeros que podemos
escribir o conocer
Seguacuten esto en los reales se incluyen
Los nuacutemeros racionales (Q) ya sea como fracciones o como decimales (34 68 -
0234 6 589 etc)
Los nuacutemeros naturales (N) y los nuacutemeros enteros Z) (1 2 3 4 5 etc)
Los nuacutemeros irracionales (I)
(Pi phi raiacutez de 2 de 3 de 5 etc)
Los nuacutemeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos
nuacutemeros enteros tal como 34 ndash213 5 0 12 mientras que los irracionales son todos
los demaacutes
Los nuacutemeros racionales tambieacuten pueden describirse como aquellos cuya representacioacuten
decimal es eventualmente perioacutedica mientras que los irracionales tienen una expansioacuten
decimal aperioacutedica
Los nuacutemeros reales pueden ser positivos negativos o cero
Entre los que no son reales tenemos la raiacutez cuadrada de menos 1 que es un nuacutemero
imaginario
El nuacutemero infinito tampoco es un nuacutemero real al igual que otros que usan los
matemaacuteticos
Propiedades de los reales en la suma o adicioacuten
La suma de nuacutemeros reales tambieacuten llamada adicioacuten es una operacioacuten que se efectuacutea
entre dos nuacutemeros pero se pueden considerar tambieacuten maacutes de dos sumandos Siempre
que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden sumar entre siacute
80
La suma de nuacutemeros reales tiene las siguientes propiedades
Propiedad Interna
El resultado de sumar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los sumandos no variacutea el resultado
Propiedad Conmutativa
El orden de los sumandos no variacutea la suma
Propiedad del Elemento neutro
El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo nuacutemero sumado con eacutel da el
mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso
Todo nuacutemero real tiene un inverso aditivo lo que quiere decir que si se suman el nuacutemero
y su inverso el resultado es 0 (cero) si a es un nuacutemero real entonces
El opuesto del opuesto o inverso de un nuacutemero es igual al mismo nuacutemero
81
PROPIEDADES DE LOS REALES EN LA DIFERENCIA (RESTA O
SUSTRACCIOacuteN)
La diferencia de dos nuacutemeros reales se define como la suma del minuendo maacutes el
opuesto del sustraendo
a ndash b = a + (ndashb)
La resta es la operacioacuten inversa de la suma es una operacioacuten entre dos nuacutemeros el
minuendo y el sustraendo Siempre que se tengan dos nuacutemeros reales se pueden
restar por ejemplo
132 ndash 178 = ndash46
Minuendo ndash sustraendo = resto
Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los nuacutemeros
Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los
signos
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es mayor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es positivo
Por ejemplo
278 ndash 121 = 157
bull Si el minuendo y el sustraendo son positivos y el minuendo es menor que el
sustraendo se efectuacutea la resta y el resultado es negativo
Por ejemplo
121 ndash 278 = ndash157
bull Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo se efectuacutea la suma de ambos
nuacutemeros y al resultado se le pone el signo menos
Por ejemplo
ndash218 ndash 121 = ndash339
bull Restar un nuacutemero positivo es lo mismo que sumar un nuacutemero negativo
82
Por ejemplo
278 ndash 121 = 278 + (ndash121) = 157
bull Restar un nuacutemero negativo es lo mismo que sumar un nuacutemero positivo
Por ejemplo
278 ndash (ndash121) = 278 + 121 = 339 ndash278 ndash (ndash121) = ndash278 + 121 = 121 ndash 278 = ndash157
Aunque la resta estaacute muy emparentada con la suma no tiene todas las propiedades de
la suma
Por ejemplo la resta no es una operacioacuten conmutativa
542 ndash 331 = 211
y ese resultado es distinto de
331 ndash 542 = ndash211
Propiedades de los reales en un Producto (multiplicacioacuten)
La regla de los signos que se aplica para el producto de los nuacutemeros enteros y
racionales se sigue manteniendo con todos los nuacutemeros reales
Entre las propiedades del producto o multiplicacioacuten con nuacutemeros reales tenemos
Propiedad Interna
El resultado de multiplicar dos nuacutemeros reales es otro nuacutemero real
Propiedad Asociativa
El modo de agrupar los factores no variacutea el resultado
Si se tienen maacutes de dos factores da igual cuaacutel de las multiplicaciones se efectuacutee
primero
Si a b y c son nuacutemeros reales cualesquiera se cumple que
83
Propiedad Conmutativa
La expresioacuten usual de esta propiedad es el orden de los factores no altera el producto
Si a y b son dos nuacutemeros reales entonces
Propiedad del Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicacioacuten porque todo nuacutemero multiplicado por eacutel da
el mismo nuacutemero
Propiedad del Elemento opuesto
Un nuacutemero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad
Propiedad Distributiva
El producto de un nuacutemero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
nuacutemero por cada uno de los sumandos
Propiedad que permite Sacar factor comuacuten (factorizar)
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva
Si varios sumandos tienen un factor comuacuten podemos transformar la suma en producto
extrayendo dicho factor
Propiedades de los reales en la Divisioacuten
84
La divisioacuten es la operacioacuten inversa de la multiplicacioacuten es una operacioacuten entre dos
nuacutemeros el dividendo y el divisor Con una excepcioacuten siempre que se tengan dos
nuacutemeros reales se pueden dividir por ejemplo
186 divide 31 = 06
Dividendo divisor cociente
La excepcioacuten es que el divisor no puede ser cero Esto es no se puede dividir entre
cero
Pero ojo que el dividendo siacute puede ser cero y cuando esto ocurre el resultado o
cociente siempre es cero
Por ejemplo
0 divide 541 = 0
Las reglas de los signos en el caso de la divisioacuten son las mismas que para la
multiplicacioacuten
bull el cociente de dos nuacutemeros de igual signo siempre es positivo
bull el cociente de dos nuacutemeros de distinto signo siempre es negativo
Aunque la divisioacuten estaacute muy emparentada con la multiplicacioacuten no tiene todas las
propiedades de la multiplicacioacuten
Por ejemplo la divisioacuten no es una operacioacuten conmutativa
Como vemos en
624 divide 3 = 208
y ese resultado es distinto de
3 divide 624 asymp04807
La divisioacuten no es una operacioacuten asociativa
Como vemos en
(8 divide 4) divide 2 = 1
mientras que
8 divide (4 divide 2) = 4
85
EL CONJUNTO DE LOS NUacuteMEROS REALES
Operaciones definidas en el conjunto de los nuacutemeros reales
En el conjunto de los nuacutemeros reales estaacuten definidas dos operaciones que
llamaremos adicioacuten y multiplicacioacuten
Decir que la adicioacuten y la multiplicacioacuten son operaciones definidas en el conjunto de los
nuacutemeros reales significa que si dos nuacutemeros reales se relacionan mediante alguna de
estas dos operaciones el resultado en un nuacutemero real
Propiedades de adicioacuten en el conjunto de los nuacutemeros reales
Sean entonces (la adiccioacuten es conmutativa)
Por ejemplo
Sean entonces (la adicioacuten es
asociativa)
Por ejemplo
Existe tal que para cada ( es el elemento neutro aditivo)
Por ejemplo
Para cada existe tal que (cada nuacutemero real posee
inverso aditivo)
Por ejemplo el inverso aditivo de es pues
86
DENSIDAD DE LA RECTA Y DE LOS REALES
El conjunto de los nuacutemeros reales
Al conjunto de los nuacutemeros reales se llega por sucesivas ampliaciones del campo
numeacuterico a partir de los nuacutemeros naturales En cada una de las ampliaciones se avanza
y mejora respecto de la anterior
Con los nuacutemeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede restar
(a b) si a b Se definen asiacute los nuacutemeros negativos o enteros negativos que al unirse
con el cero y los naturales constituyen el conjunto de los nuacutemeros enteros (Z) Con los
nuacutemeros enteros (Z) se puede sumar restar multiplicar
Pero no dividir si a no es muacuteltiplo de b
Se definen asiacute los nuacutemeros fraccionarios que unidos a los enteros constituyen el
conjunto de los nuacutemeros racionales
Todo nuacutemero racional se puede expresar como un nuacutemero decimal
exacto o como un nuacutemero decimal perioacutedico es decir con infinitas
cifras decimales que se repiten
Con los nuacutemeros racionales se puede sumar restar multiplicar y dividir ( si b 0) Si
bien el conjunto de los nuacutemeros racionales tiene una muy buena estructura para realizar
las diferentes operaciones quedan
Algunas situaciones que no se pueden considerar dentro de eacutel ( entre otros)
Surgen los nuacutemeros irracionales para dar respuesta a estas instancias
Los nuacutemeros irracionales se pueden expresar como nuacutemeros decimales de infinitas
cifras decimales no perioacutedicas
Los nuacutemeros irracionales (I) unidos a los racionales (Q) definen el conjunto de los
nuacutemeros reales (R)
87
Los nuacutemeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres categoriacuteas propiedades
algebraicas propiedades de orden y de completitud Las propiedades algebraicas
establecen que los nuacutemeros reales pueden ser sumados restados multiplicados y
divididos (excepto por cero) obtenieacutendose otro nuacutemero real
Los nuacutemeros reales y la recta real
En la geometriacutea analiacutetica el paso importante fue establecer una correspondencia entre
los nuacutemeros reales y los puntos de la recta Existe una condicioacuten que cumplen los
nuacutemeros reales llamada axioma de completitud que garantiza una correspondencia
biuniacutevoca (uno a uno) entre el conjunto de los nuacutemeros reales y el conjunto de puntos en
la recta o eje A cada nuacutemero real le corresponde un uacutenico punto sobre la recta y a cada
punto en la recta o eje se le asocia un uacutenico nuacutemero real Como se observa en el graacutefico
se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen Se
selecciona ademaacutes una unidad de longitud para medir distancias Se elige tambieacuten un
sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al
sentido opuesto A cada nuacutemero real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo
en cuenta lo siguiente
se asocia al origen el nuacutemero 0
se asocia a cada nuacutemero positivo p un punto que estaacute a una distancia de p unidades del
origen en la direccioacuten positiva
se asocia a cada nuacutemero negativo p el punto que estaacute a p unidades de distancia del
origen en la direccioacuten negativa
Los puntos en la recta se identifican con los nuacutemeros que representan El nuacutemero real
que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto
y la recta recibe el nombre de recta real recta coordenada recta numeacuterica o recta de los
88
nuacutemeros reales Tambieacuten se la conoce como eje coordenado o eje real
El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar huecos
Ejemplo
Orden
Los nuacutemeros reales estaacuten ordenados cumpliendo soacutelo una de las afirmaciones
siguientes dados dos nuacutemeros reales a y b puede ser que a sea menor que b a sea
mayor que b o a sea igual a b
Puede observarse en la recta que a b si y soacutelo si el punto que representa al
nuacutemero a estaacute a la izquierda del punto que representa al nuacutemero b
Anaacutelogamente a b siacute y soacutelo siacute el punto que representa al nuacutemero a se halla a la
derecha del que representa a b
Si a b los puntos se superponen
La relacioacuten de orden queda establecida teniendo en cuenta que el punto a precede al
punto b si el nuacutemero real a es menor que el nuacutemero real b (a b)
89
NUacuteMEROS COMPLEJOS MOacuteDULO CONJUGADO OPUESTO
Nuacutemeros complejos iguales
Dos nuacutemeros complejos son iguales si tienen el mismo moacutedulo y el mismo argumento
Nuacutemeros complejos conjugados
Dos nuacutemeros complejos son conjugados si tienen el mismo moacutedulo y opuestos sus
argumentos
Nuacutemeros complejos opuestos
Dos nuacutemeros complejos son opuestos si tienen el mismo moacutedulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes
Nuacutemeros complejos inversos
El inverso de un nuacutemero complejo no nulo tiene por moacutedulo el inverso del moacutedulo y
por argumento su opuesto
90
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS COMPLEJOS
Un nuacutemero complejo viene dado por la expresioacuten z=a+bi donde a es la parte real y b
la parte imaginaria La letra i se denomina unidad imaginaria y verifica que i^2=-1
La representacioacuten graacutefica de un nuacutemero complejo es el vector que une el origen de
coordenadas con el punto (ab) llamado afijo del nuacutemero complejo El eje x constituye
el eje real mientras que el eje y representa al imaginario
El conjugado de un nuacutemero complejo se define como su simeacutetrico respecto al eje real es
decir si z=a+bi su conjugado seriacutea a-bi
Por otro lado el opuesto de un nuacutemero complejo es simeacutetrico respecto al origen y queda
dado por -a-bi
El inverso de un nuacutemero complejo (z^-1) queda en la misma direccioacuten que el conjugado
en la representacioacuten graacutefica ya que z^-1=1a+bi=(a-bi)(a+bi)(a-bi)=(a-bi)[a+bi]^2
[ ]=valor absoluto
En este applet podeacuteis comprobar la relacioacuten graacutefica entre el conjugado opuesto e
inverso respecto a cualquier nuacutemero complejo
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN DESVIACIOacuteN COVARIANZA
COEFICIENTE DE VARIACIOacuteN RANGO RANGO INTERCUARTIacuteLICO
CORRELACIOacuteN
Medidas de dispersioacuten Desviacioacuten covarianza coeficiente de variacioacuten rango rango
intercuartiacutelico correlacioacuten
MEDIDAS DE DISPERSIOacuteN
Varianza
Desviacioacuten Estaacutendar
Desviacioacuten Absoluta Media
Coeficiente de variacioacuten
Rango Intercuartiacutelico
Se llaman medidas de dispersioacuten aquellas que permiten retratar la distancia de los
valores de la variable a un cierto valor central o que permiten identificar la concentracioacuten
de los datos en un cierto sector del recorrido de la variable Se trata de coeficiente para
variables cuantitativas
Varianza (ir arriba)
El cuadrado de la desviacioacuten estaacutendar recibe el nombre de varianza y se representa por
91
S2 La suma de los cuadrados de los desviacuteos de la totalidad de las observaciones
respecto de la media aritmeacutetica de la distribucioacuten es menor que la suma de los
cuadrados de los desviacuteos respecto de cualquier otro valor que no sea la media
aritmeacutetica
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera
=var(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Estaacutendar (ir arriba)
Es la raiacutez cuadrada de la varianza representando se con la letra S y se define como la
la muestra menos uno Tiene las mismas unidades que los datos de la muestra
estadiacutestica
Una de las caracteriacutesticas es que es menos sensible que el rango a valores extremos
pero maacutes sensible que el rango intercuartiacutelico
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvest(rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Desviacioacuten Absoluta Media (ir arriba) Eacutel es promedio de las desviaciones absolutas de
los datos respecto a la media Eacutesta medida se obtiene calculando la media aritmeacutetica de
la muestra y luego realizando la sumatoria de las diferencias de todos los valores con
respecto de la media Luego se divide por el nuacutemero de observaciones Una medida
como eacutesta tiene la ventaja de que utiliza cada observacioacuten y corrige la variacioacuten en el
nuacutemero de observaciones al hacer la divisioacuten final Y por uacuteltimo tambieacuten se expresa en
las mismas unidades que las observaciones mismas
Utilizando una herramienta o funcioacuten de Excel la podremos determinar de la siguiente
manera =desvprom (rango)
Donde el rango viene siendo todos los datos de la muestra
Coeficiente de variacioacuten (ir arriba) Para comparar la dispersioacuten de variables que
aparecen en unidades diferentes (metros kilos etc) o que corresponden a poblaciones
extremadamente desiguales es necesario disponer de una medida de variabilidad que
no dependa de las unidades o del tamantildeo de los datos Este coeficiente uacutenicamente
sirve para comparar las dispersiones de variables correspondientes a escalas de razoacuten
92
Una manera de construir una medida de variabilidad que cumpla los requisitos anteriores
es el llamado coeficiente de variacioacuten
(Las barras del denominador representan el valor absoluto es decir indican que debe
prescindirse de la unidad de medida de la media) A menor coeficiente de variacioacuten
consideraremos que la distribucioacuten de la variable medida es maacutes homogeacutenea
Rango intercuartiacutelico (ir arriba)
El rango intercuartiacutelico RI es sencillamente la diferencia entre el tercer y el primer
cuartil es decir
Esto nos dice en cuaacutentas unidades de los valores que toma la variable se concentra el
cincuenta por ciento central de los casos
SISTEMAS POSICIONALES DECIMALES BINARIOS Y VIGESIMALES
Sistemas decimal binario octal y hexadecimal
SISTEMA DECIMAL
El sistema de numeracioacuten decimal tambieacuten llamado sistema decimal es un
sistema de numeracioacuten posicional en el que las cantidades se representan
utilizando como base aritmeacutetica las potencias del nuacutemero diez El conjunto de
siacutembolos utilizado (sistema de numeracioacuten araacutebiga) se compone de diez cifras
diferentes cero (0) uno (1) dos (2) tres (3) cuatro (4) cinco (5) seis (6) siete
(7) ocho (8) y nueve (9)
Excepto en ciertas culturas es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y
en todas las aacutereas que requieren de un sistema de numeracioacuten Sin embargo hay
ciertas teacutecnicas como por ejemplo en la informaacutetica donde se utilizan sistemas de
numeracioacuten adaptados al meacutetodo del binario o el hexadecimal
NOTACIOacuteN DECIMAL
Al ser posicional se trata de un sistema de 9 etapas naturales el sistema decimal
es un sistema de numeracioacuten en el cual el valor de cada diacutegito depende de su
posicioacuten dentro del nuacutemero Al primero corresponde el lugar de la unidades el
diacutegito se multiplica por 100 (es decir 1) el siguiente las decenas (se multiplica por
93
10) centenas (se multiplica por 100) etc
HISTORIA
Seguacuten los antropoacutelogos el origen del sistema decimal estaacute en los diez dedos que
tenemos los humanos en las manos los cuales siempre nos han servido de base
para contar
Tambieacuten existen algunos vestigios del uso de otros sistemas de numeracioacuten como
el quinario el duodecimal y el vigesimal
En un sistema de numeracioacuten posicional de base racional como la decimal
podemos representar nuacutemeros enteros sin parte decimal y nuacutemeros
fraccionarios un nuacutemero fraccionario que tiene los mismos divisores que la base
dara un nuacutemero finito de cifras decimales racional exacto las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que
factorizan la base no tienen representacioacuten finita la parte fraccionaria presentaraacute
un periacuteodo de recurrencia pura nuacutemeros racionales perioacutedicos puros cuando no
haya ninguacuten factor primo en comuacuten con la base y recurrencia mixta nuacutemeros
racionales perioacutedicos mixtos (aquella en la que hay diacutegitos al comienzo que no
forman parte del periacuteodo) cuando haya al menos un factor primo en comuacuten con la
base
La escritura uacutenica (sin secuencias recurrentes) puede ser de tres tipos
sect Desarrollo decimal finito
sect Desarrollo decimal perioacutedico
sect Desarrollo ilimitado no-perioacutedico (nuacutemero irracional)
Esta ley de tricotomiacutea aparece en todo sistema de notacioacuten posicional en base
entera n e incluso se puede generalizar a bases irracionales como la base aacuteurea
sect Nuacutemeros araacutebigos
sect Sistema de numeracioacuten
sect Notacioacuten posicional
sect Sistema sexagesimal
sect Sistema vigesimal
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sect Sistema duodecimal
sect Nuacutemero decimal
sect Representacioacuten decimal
sect Notacioacuten cientiacutefica
SISTEMA BINARIO
El sistema binario en matemaacuteticas e informaacutetica es un sistema de numeracioacuten en
el que los nuacutemeros se representan utilizando solamente
las cifras cero y uno (0 y 1) Es el que se utiliza en las computadoras debido a que
trabajan internamente con dos niveles de voltaje por lo cual su sistema de
numeracioacuten natural es el sistema binario (encendido 1 apagado 0)
HISTORIA
El antiguo matemaacutetico hinduacute Pingala presentoacute la primera descripcioacuten que se
conoce de un sistema de numeracioacuten binario en el siglo tercero antes de nuestra
era lo cual coincidioacute con su descubrimiento del concepto del nuacutemero cero
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (anaacutelogos a 3 bit) y nuacutemeros
binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto claacutesico del I Ching
Series similares de combinaciones binarias tambieacuten han sido utilizadas en
sistemas de adivinacioacuten tradicionales africanos como el Ifaacute asiacute como en
la geomancia medieval occidental
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching representando la
secuencia decimal de 0 a 63 y un meacutetodo para generar el mismo fue desarrollado
por el erudito y filoacutesofo Chino Shao Yong en el siglo XI
En 1605 Francis Bacon habloacute de un sistema por el cual las letras del alfabeto
podriacutean reducirse a secuencias de diacutegitos binarios las cuales podriacutean ser
codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto
arbitrario
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz en el
siglo XVII en su artiacuteculo Explication de lArithmeacutetique Binaire En eacutel se
mencionan los siacutembolos binarios usados por matemaacuteticos chinos Leibniz utilizoacute el
0 y el 1 al igual que el sistema de numeracioacuten binario actual
En 1854 el matemaacutetico britaacutenico George Boole publicoacute un artiacuteculo que marcoacute un
95
antes y un despueacutes detallando un sistema de loacutegica que terminariacutea
denominaacutendose Aacutelgebra de Boole Dicho sistema desempentildeariacutea un papel
fundamental en el desarrollo del sistema binario actual particularmente en el
desarrollo de circuitos electroacutenicos
Aplicaciones
En 1937 Claude Shannon realizoacute su tesis doctoral en el MIT en la cual
implementaba el Aacutelgebra de Boole y aritmeacutetica binaria
utilizando releacutes y conmutadores por primera vez en la historia Titulada Un Anaacutelisis
Simboacutelico de Circuitos Conmutadores y Releacutes la tesis de Shannon baacutesicamente
fundoacute el disentildeo praacutectico de circuitos digitales
En noviembre de 1937 George Stibitz trabajando por aquel entonces en
los Laboratorios Bell construyoacute una computadora basada en releacutes mdasha la cual
apodoacute Modelo K (porque la construyoacute en una cocina en ingleacutes kitchen)mdash que
utilizaba la suma binaria para realizar los caacutelculos
Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigacioacuten a finales
de 1938 con Stibitz al mando
El 8 de enero de 1940 terminaron el disentildeo de una Calculadora de Nuacutemeros
Complejos la cual era capaz de realizar caacutelculos con nuacutemeros complejos En una
demostracioacuten en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemaacuteticas el 11
de septiembre de 1940 Stibitz logroacute enviar comandos de manera remota a la
Calculadora de Nuacutemeros Complejos a traveacutes de la liacutenea telefoacutenica mediante
un teletipo Fue la primera maacutequina computadora utilizada de manera remota a
traveacutes de la liacutenea de teleacutefono Algunos participantes de la conferencia que
presenciaron la demostracioacuten fueron John von Neumann John Mauchly y Norbert
Wiener quien escribioacute acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de
memorias en la cual alcanzoacute diferentes logros
Un nuacutemero binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (diacutegitos
binarios) que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos
estados mutuamente excluyentes Las siguientes secuencias de siacutembolos podriacutean
ser interpretadas como el mismo valor numeacuterico binario
El valor numeacuterico representado en cada caso depende del valor asignado a cada
siacutembolo En una computadora los valores numeacutericos pueden representar dos
voltajes diferentes tambieacuten pueden indicar polaridades magneacuteticas sobre un disco
magneacutetico Un positivo siacute o sobre el estado no es necesariamente el
equivalente al valor numeacuterico de uno esto depende de la nomenclatura usada
De acuerdo con la representacioacuten maacutes habitual que es usando nuacutemeros aacuterabes
los nuacutemeros binarios comuacutenmente son escritos usando los siacutembolos 0 y 1 Los
96
nuacutemeros binarios se escriben a menudo con subiacutendices prefijos o sufijos para
indicar su base Las notaciones siguientes son equivalentes
sect 100101 binario (declaracioacuten expliacutecita de formato)
sect 100101b (un sufijo que indica formato binario)
sect 100101B (un sufijo que indica formato binario)
sect bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 1001012 (un subiacutendice que indica base 2 (binaria) notacioacuten)
sect 100101 (un prefijo que indica formato binario)
sect 0b100101 (un prefijo que indica formato binario comuacuten en lenguajes de
programacioacuten)
Sistema octal
El sistema numeacuterico en base 8 se llama octal y utiliza los diacutegitos 0 a 7
Para convertir un nuacutemero en base decimal a base octal se divide por 8
sucesivamente hasta llegar a cociente 0 y los restos de las divisiones en orden
inverso indican el nuacutemero en octal Para pasar de base 8 a base decimal solo hay
que multiplicar cada cifra por 8 elevado a la posicioacuten de la cifra y sumar el
resultado
Es maacutes faacutecil pasar de binario a octal porque solo hay que agrupar de 3 en 3 los
diacutegitos binarios asiacute el nuacutemero 74 (en decimal) es 1001010 (en binario) lo
agrupariacuteamos como 1 001 010 despueacutes obtenemos el nuacutemero en decimal de
cada uno de los nuacutemeros en binario obtenidos 1=1 001=1 y 010=2 De modo que
el nuacutemero decimal 74 en octal es 112
En informaacutetica a veces se utiliza la numeracioacuten octal en vez de la hexadecimal y
se suele indicar poniendo 0x delante del nuacutemero octal Tiene la ventaja de que no
requiere utilizar otros siacutembolos diferentes de los diacutegitos Sin embargo para
trabajar con bytes o conjuntos de ellos asumiendo que un byte es una palabra de
8 bits suele ser maacutes coacutemodo elsistema hexadecimal por cuanto todo byte asiacute
definido es completamente representable por dos diacutegitos hexadecimales
97
SISTEMA DE NUMERACIOacuteN OCTAL
El sistema de numeracioacuten octal es un sistema de numeracioacuten en base 8 una base
que es potencia exacta de 2 o de la numeracioacuten binaria Esta caracteriacutestica hace
que la conversioacuten a binario o viceversa sea bastante simple El sistema octal usa 8
diacutegitos (0 1 2 3 4 5 6 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de
numeracioacuten decimal
Sistema hexadecimal
El sistema numeacuterico hexadecimal o sistema hexadecimal (a veces abreviado
como Hex no confundir con sistema sexagesimal) es un sistema de
numeracioacuten que emplea 16 siacutembolos Su uso actual estaacute muy vinculado a
la informaacutetica y ciencias de la computacioacuten pues los computadores suelen utilizar
el byte u octeto como unidad baacutesica de memoria y debido a que un byte
representa valores posibles y esto puede representarse como
Que seguacuten el teorema general de la numeracioacuten posicional equivale al nuacutemero
en base 16 dos diacutegitos hexadecimales corresponden exactamente mdashpermiten
representar la misma liacutenea de enterosmdash a un byte
En principio dado que el sistema usual de numeracioacuten es de base decimal y por
ello soacutelo se dispone de diez diacutegitos se adoptoacute la convencioacuten de usar las seis
primeras letras del alfabeto latino para suplir los diacutegitos que nos faltan El conjunto
de siacutembolos seriacutea por tanto el siguiente
Se debe notar que A = 10 B = 11 C = 12 D = 13 E = 14 y F = 15 En ocasiones
se emplean letras minuacutesculas en lugar de mayuacutesculas Como en cualquier sistema
de numeracioacuten posicional el valor numeacuterico de cada diacutegito es alterado
dependiendo de su posicioacuten en la cadena de diacutegitos quedando multiplicado por
una cierta potencia de la base del sistema que en este caso es 16 Por ejemplo
3E0A16 = 3times163 + Etimes162 + 0times161 + Atimes160 = 3times4096 + 14times256 + 0times16 + 10times1 =
15882
El sistema hexadecimal actual fue introducido en el aacutembito de la computacioacuten por
primera vez por IBM en 1963 Una representacioacuten anterior con 0ndash9 y undashz fue
usada en 1956 por la computadora Bendix G-15
98
OPERACIONES BAacuteSICAS CON DIFERENTES SISTEMAS
OPERACIONES BASICAS CON NUacuteMEROS NATURALES
1 ndash SUMA DE NUMEROS NATURALES En toda suma de nuacutemeros hay varios
elementos los nuacutemeros que se van a sumar llamados sumandos y el
resultado de la operacioacuten llamado suma
Ejemplo
20 + 56 + 9 = 85
Suma
Sumandos
En cualquier suma se verifica que sumando desconocido = suma ndash sumando conocido
Ejemplos
57 + = 73
= 73 ndash 57
12 +25 + = 84
= 16
37 + = 84
= 84 ndash 37
= 47
ACTIVIDADES
1) Calcula
a) 239 + 2 + 39
b) 3753 + 64 + 8 + 643
c) 646 + 4 + 6545 + 37
2) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
99
a) 354 + = 643
b) 43 + 78 + = 421
c) 12 + + 64 = 327
d) 74 + + 842 = 7327
3) iquestCuaacutento suman los 10 primeros nuacutemeros impares
4) iquestCuaacutento suman todos los nuacutemeros acabados en 2 que hay entre el 100 y el 150
5) Ana tiene 45 antildeos Beatriz tiene 18 antildeos maacutes que Ana y Carmen tiene 9 antildeos maacutes
que Beatriz
iquestCuaacutentos antildeos tienen entre las tres
RESTA DE NUMEROS NATURALES
En toda resta de nuacutemeros hay tres elementos el nuacutemero del que vamos a restar llamado
minuendo el nuacutemero que restamos llamado sustraendo y el resultado de la operacioacuten
llamado resta o diferencia
Ejemplo
9ndash6=3
Minuendo
Diferencia
Sustraendo
En cualquier resta se verifica que minuendo = sustraendo + diferencias sustraendo =
minuendo + diferencia
Ejemplos
ndash 8 = 47
= 47 + 8
37 - = 29
= 37 ndash 29
= 55
=8
100
ACTIVIDADES
6) Calcula
a) 6478 ndash 4359
b) 85468 ndash 3949
c) 6477 - 678
7) Averigua el nuacutemero que hay que poner en lugar de las interrogaciones en las
siguientes expresiones
a) 354 - = 143
b) ndash 54 = 543
c) 433 - = 285
d) ndash 433 = 285
8) Ana tiene 23 antildeos y Pablo 31 antildeos iquestqueacute edad tendraacute Ana cuando Pablo tenga 52
antildeos
9) Luiacutes tiene 28 antildeos Pablo tiene 13 antildeos menos que Luiacutes y Jorge tiene 18 antildeos maacutes
que Pablo iquestcuaacutentos
antildeos tienen entre los
OPERACIONES BAacuteSICA NUacuteMEROS ENTEROS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Enteros
1 Dibuja una recta numeacuterica y ubica en ella los siguientes nuacutemeros enteros
a) ndash4 b) 7 c) +2 d) 0 e) ndash5
(Encierra conun ciacuterculo de color azul los enteros positivos y uno de color rojo para los
negativos)
2 Determina los siguientes valores absolutos
a) | - 40 | = b) | 18 | = c) | 0 | = d) | + 37 | = e) | - 2 |= f) | + 40 | = g) | - 37 | =
3 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros positivos que sean mayores que 10 y
menores que 23
4 Escribe un conjunto de nuacutemeros enteros negativos que sean menores que ndash 8 y
mayores o iguales que ndash 12
101
5 Interpreta las siguientes situaciones escribiendo en cada caso el nuacutemero entero
6 Investiga las fechas de los siguientes acontecimientos iquestQueacute tipo de nuacutemeros enteros
utilizariacuteas para representar los antildeos
a Nacimiento de Arquiacutemedes b Batalla de Rancagua
c Hundimiento del Titanic d Combate naval de Iquique
e Premio No belde literatura a Pablo Neruda f Nacimiento de Pitaacutegoras
g Nacimiento de Jesuacutes
7 Completa seguacuten tu conocimiento adquirido
La gaviota estaacute volando a _________ m _________ el nivel del mar El nintildeo estaacute
buceando a _________ m _________ el nivel del mar
El pez estaacute nadando a _________ m
El cangrejo se encuentra a _________ m
El peliacutecano vuela a _________ m
8 Dibuja en el graacutefico
9 Con ayuda de la recta numeacuterica responden iquestCuaacutel es la diferencia de temperaturas
extremas cada diacutea
Temperatura Miacutenima
Temperatura Maacutexima
11ordm25ordm
92ordm
185ordm
0ordm
73ordm
-15
4ordm
-15
-28
10 Completa la siguiente tabla
20 +20 =
-3 + 4 =
25 +25 =
102
-023 + 1 =
20 +10 =
-3 + 3 =
25 +2 =
-023 + 07 =
20 +0 =
-3 + 2 =
25+15 =
-023 + 04 =
20 +-10 =
-3 + 1 =
25 +1=
-023 + 01 =
20 +-20 =
-3 + 0 =
25 +05 =
-023 + -02 =
20 +-30 =
-3 + -1 =
25 + 0 =
-023 + -05 =
20 +-40 =
-3 + -2 =
25
OPERACIONES BAacuteSICAS CON NUacuteMEROS FRACCIONARIOS
GUIA DE EJERCICIOS
Operaciones Baacutesicas con Nuacutemeros Fraccionarios
Grafica las siguientes fracciones propias e impropias
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16) 17) 18) 19) 20)
Convierte a fraccioacuten las siguientes fracciones impropias dibuja para conseguirlo1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)
Completa las siguientes igualdades
1) 4 = 2) 5 = 3) 4 = 4) 7 = 5) 9 =
103
6) 11 = 7) 5 = 8) 13 = 9) 28 =10) 8 =
11) 30 = 12) 9 = 13) 6 = 14) 7 = 15) 8 =
16) 6 = 17) 12 = 18) 20= 19) 49 = 20) 52 =
Completa simplificando la fraccioacuten
1) 2) 3) 4) 5)
6) 7) 8) 9) 10)
11) 12) 13) 14) 15)
16)17) 18) 19) 20)
Simplifica las siguientes fracciones
1) R 2) R 3) R 4) R
5) R 6) R 7) R 8) R
9)R 10) R 11) R 12) R
13) R 14) R 15) R 16) R
17) R 18) R 19) R 20) R
21) R 22) R 23)R 24) R
Escribe como nuacutemero mixto las siguientes fracciones Escribe con el mismo denominador
las siguientes fracciones
1) R 2) R
3) R 4) R
5) R 6) R
7) R 8) R
9) R 10) R
11) R 12) R
LA MATEMAacuteTICA EN AMEacuteRICA DE LAS CULTURAS
PRECOLOMBINAS
Matemaacutetica precolombina
La civilizacioacuten de los incas hubo de entrantildear forzosamente una serie de conocimientos
matemaacuteticos que a falta de cualquier vestigio escrito no han podido ser reconstruidos
Mejor informacioacuten se conoce sobre los mayas y sus herederos culturales los aztecas
quienes poseiacutean una escritura (pictograacutefica y jerogliacutefica Todo su esfuerzo parece haber
versado sobre el caacutelculo del tiempo sobre el problema del calendario y sobre la previsioacuten
de los acontecimientos astronoacutemicos El primer diacutea de su era coincide con el 12 de
agosto del antildeo 3113 a C y sus observaciones tuvieron lugar durante un periacuteodo de por
lo menos treinta y ocho siglos Algunas inscripciones fijan con gran precisioacuten la
desviacioacuten entre el antildeo solar real y el antildeo ritual de 365 diacuteas Esta ciencia fue a la par con
104
el exacto manejo de un aparato aritmeacutetico fundado en un sistema de numeracioacuten de
base 20 Fueron las primeras civilizaciones en inventar un siacutembolo para representar el
nuacutemero cero
LA MATEMAacuteTICA EN OTRAS CULTURAS EN EL MUNDO
La historia de las matemaacuteticas es el aacuterea de estudio de investigaciones sobre los
oriacutegenes de descubrimientos en matemaacuteticas de los meacutetodos de la evolucioacuten de sus
conceptos y tambieacuten en cierto grado de los matemaacuteticos involucrados El surgimiento de
la matemaacutetica en la historia humana estaacute estrechamente relacionado con el desarrollo
del concepto de nuacutemero proceso que ocurrioacute de manera muy gradual en las
comunidades humanas primitivas Aunque disponiacutean de una cierta capacidad de estimar
tamantildeos y magnitudes no poseiacutean inicialmente una nocioacuten de nuacutemero Asiacute los nuacutemeros
maacutes allaacute de dos o tres no teniacutean nombre de modo que utilizaban alguna expresioacuten
equivalente a muchos para referirse a un conjunto mayor
El siguiente paso en este desarrollo es la aparicioacuten de algo cercano a un concepto de
nuacutemero aunque muy incipiente todaviacutea no como entidad abstracta sino como
propiedad o atributo de un conjunto concreto1 Maacutes adelante el avance en la complejidad
de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la
matemaacutetica Los problemas a resolver se hicieron maacutes difiacuteciles y ya no bastaba como en
las comunidades primitivas con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del
conjunto contado sino que llegoacute a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores
cuantificar el tiempo operar con fechas posibilitar el caacutelculo de equivalencias para el
trueque Es el momento del surgimiento de los nombres y siacutembolos numeacutericos
Antes de la edad moderna y la difusioacuten del conocimiento a lo largo del mundo los
ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemaacuteticos saliacutean a la luz solo en unos pocos
escenarios Los textos matemaacuteticos maacutes antiguos disponibles son la tablilla de
barro Plimpton 322 (c 1900 a C) el papiro de Moscuacute (c 1850 a C) el papiro de
Rhind(c 1650 a C) y los textos veacutedicos Shulba Sutras (c 800 a C) En todos estos
textos se menciona el teorema de Pitaacutegoras que parece ser el maacutes antiguo y extendido
desarrollo matemaacutetico despueacutes de la aritmeacutetica baacutesica y lageometriacutea
Tradicionalmente se ha considerado que la matemaacutetica como ciencia surgioacute con el fin
de hacer los caacutelculos en el comercio para medir la Tierra y para predecir los
acontecimientos astronoacutemicos Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en
cierta forma a la subdivisioacuten amplia de la matemaacutetica en el estudio de la estructura el
espacio y el cambio
Las matemaacuteticas egipcias y babiloacutenicas fueron ampliamente desarrolladas por
la matemaacutetica heleacutenica donde se refinaron los meacutetodos (especialmente la introduccioacuten
del rigor matemaacutetico en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta
105
ciencia2 La matemaacutetica en el islam medieval a su vez desarrolloacute y extendioacute las
matemaacuteticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales
Muchos textos griegos y aacuterabes de matemaacuteticas fueron traducidos al latiacuten lo que llevoacute a
un posterior desarrollo de las matemaacuteticas en la Edad Media Desde
el renacimiento italiano en el siglo XV los nuevos desarrollos matemaacuteticos
interactuando con descubrimientos cientiacuteficos contemporaacuteneos han ido creciendo
exponencialmente hasta el diacutea de hoy
Sistema chino de numeracioacuten con varillas
Mucho antes de los primeros registros escritos hay
dibujos que indican alguacuten conocimiento de
matemaacuteticas elementales y de la medida del tiempo
basada en las estrellas Por ejemplo
los paleontoacutelogos han descubierto rocas de ocre en
la Cueva de Blombos en Sudaacutefrica de
aproximadamente 70000 antildeos de antiguumledad que
estaacuten adornados con hendiduras en forma
de patrones geomeacutetricos3 Tambieacuten se
descubrieron artefactos prehistoacutericos en Aacutefrica y
Francia datados entre el 35000 y
el 20000 a C4 que sugieren intentos iniciales de
cuantificar el tiempo5
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo
menstrual de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra seguidas de una marca distintiva
Maacutes auacuten los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno dos y muchos asiacute
como la idea de ninguno o cero cuando hablaban de manadas de animales6 7 El hueso
de Ishango encontrado en las inmediaciones del riacuteo Nilo al noreste del Congo puede
datar de antes del 20000 a C Una interpretacioacuten comuacuten es que el hueso supone la
demostracioacuten maacutes antigua conocida4 de una secuencia denuacutemeros primos y de
la multiplicacioacuten por duplicacioacuten
Primeras civilizaciones
En el periodo predinaacutestico de Egipto del V milenio a C se representaban pictoacutericamente
disentildeos espaciales geomeacutetricos Se ha afirmado que los monumentos megaliacuteticos en
Inglaterra y Escocia del III milenio a C incorporan ideas geomeacutetricas tales
como ciacuterculos elipses y ternas pitagoacutericas en su disentildeo8
Las primeras matemaacuteticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 -
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2600 a C en la Cultura del Valle del Indo (civilizacioacuten Harappa) del norte de la India y
Pakistaacuten Esta civilizacioacuten desarrolloacute un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba
el sistema decimal una sorprendentemente avanzada tecnologiacutea con ladrillos para
representar razones calles dispuestas en perfectos aacutengulos rectos y una serie de formas
geomeacutetricas y disentildeos incluyendo cuboides barriles conos cilindros y disentildeos de
ciacuterculos y triaacutengulos conceacutentricos y secantes Los instrumentos matemaacuteticos empleados
incluiacutean una exacta regla decimal con subdivisiones pequentildeas y precisas unas
estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un
instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegacioacuten
La escritura hinduacute no ha sido descifrada todaviacutea de ahiacute que se sepa muy poco sobre las
formas escritas de las matemaacuteticas en Harappa Hay evidencias arqueoloacutegicas que han
llevado a algunos a sospechar que esta civilizacioacuten usaba un sistema de numeracioacuten de
base octal y teniacutean un valor para π la razoacuten entre la longitud de la circunferencia y
su diaacutemetro
Por su parte las primeras matemaacuteticas en China datan de la Dinastiacutea
Shang (1600 minus 1046 a C) y consisten en nuacutemeros marcados en un caparazoacuten de
tortuga11 Estos nuacutemeros fueron representados mediante una notacioacuten decimal Por
ejemplo el nuacutemero 123 se escribiacutea de arriba a abajo como el siacutembolo para el 1 seguido
del siacutembolo para 100 luego el siacutembolo para el 2 seguido del siacutembolo para 10 y por
uacuteltimo el siacutembolo para el 3 Este era el sistema de numeracioacuten maacutes avanzado en su
tiempo y permitiacutea hacer caacutelculos para usarlos con el suanpan o el aacutebaco chino La fecha
de invencioacuten del suanpan no se conoce con certeza pero la mencioacuten escrita maacutes antigua
data del 190 d C en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras de Xu Yues
DIAGRAMAS DE FLUJO
El diagrama de flujo o diagrama de actividades es la representacioacuten
graacutefica del algoritmo o proceso Se utiliza en disciplinas
como programacioacuten economiacutea procesos industriales y psicologiacutea cognitiva
En Lenguaje Unificado de Modelado (UML) un diagrama de actividades representa
los flujos de trabajo paso a paso de negocio y operacionales de los componentes en un
sistema Un diagrama de actividades muestra el flujo de control general
En SysML el diagrama ha sido extendido para indicar flujos entre pasos que mueven
elementos fiacutesicos (p ej gasolina) o energiacutea (p ej presioacuten) Los cambios adicionales
permiten al diagrama soportar mejor flujos de comportamiento y datos continuos
Estos diagramas utilizan siacutembolos con significados definidos que representan los pasos
del algoritmo y representan el flujo de ejecucioacuten mediante flechas que conectan los
puntos de inicio y de fin del proceso
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Normas de trabajo
Un diagrama de flujo presenta generalmente un uacutenico punto de inicio y un uacutenico punto de
cierre aunque puede tener maacutes siempre que cumpla con la loacutegica requerida
Las siguientes son acciones previas a la realizacioacuten del diagrama de flujo
Identificar las ideas principales al ser incluiacutedas en el diagrama de flujo Deben estar
presentes el autor o responsable del proceso los autores o responsables del proceso
anterior y posterior y de otros procesos interrelacionados asiacute como las terceras
partes interesadas
Definir queacute se espera obtener del diagrama de flujo
Identificar quieacuten lo emplearaacute y coacutemo
Establecer el nivel de detalle requerido
Determinar los liacutemites del proceso a describir
Los pasos a seguir para construir el diagrama de flujo son
Establecer el alcance del proceso a describir De esta manera quedaraacute fijado el
comienzo y el final del diagrama Frecuentemente el comienzo es la salida del
proceso previo y el final la entrada al proceso siguiente
Identificar y listar las principales actividadessubprocesos que estaacuten incluidos en el
proceso a describir y su orden cronoloacutegico
Si el nivel de detalle definido incluye actividades menores listarlas tambieacuten
Identificar y listar los puntos de decisioacuten
Construir el diagrama respetando la secuencia cronoloacutegica y asignando los
correspondientes siacutembolos
Asignar un tiacutetulo al diagrama y verificar que esteacute completo y describa con exactitud el
proceso elegido
Descripcioacuten
En UML 1x un diagrama de actividades es una variacioacuten del diagrama de estado UNL
donde los estados representan operaciones y las transiciones representan las
actividades que ocurren cuando la operacioacuten es completa
El diagrama de mensajes de UML 20 mientras que es similar en aspecto al diagrama de
actividades UML 1x ahora tiene semaacutenticas basadas en redes de Petri En UML 20 el
diagrama general de interaccioacuten estaacute basado en el diagrama de actividades El diagrama
de actividad es una forma especial de diagrama de estado usado para modelar una
secuencia de acciones y condiciones tomadas dentro de un proceso
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La especificacioacuten del Lenguaje de Notificacioacuten Unificado (UNL) define un diagrama de
actividad como
ldquohellip una variacioacuten de una maacutequina estados lo cual los estados representan el
rendimiento de las acciones o sub actividades y las transiciones se provocan por la
realizacioacuten de las acciones o subactividadesrdquo1
El propoacutesito del diagrama de actividad es modelar un proceso de flujo de trabajo
(workflow) yo modelar operaciones
Una Operacioacuten es un servicio proporcionado por un objeto que estaacute disponible a traveacutes
de una interfaz
Una Interfaz es un grupo de operaciones relacionadas con la semaacutentica
Tipos de diagramas de flujo
Formato vertical En eacutel el flujo y la secuencia de las operaciones va de arriba hacia
abajo Es una lista ordenada de las operaciones de un proceso con toda la
informacioacuten que se considere necesaria seguacuten su propoacutesito
Formato horizontal En eacutel el flujo o la secuencia de las operaciones va de izquierda
a derecha
Formato panoraacutemico El proceso entero estaacute representado en una sola carta y puede
apreciarse de una sola mirada mucho maacutes raacutepido que leyendo el texto lo que facilita
su comprensioacuten aun para personas no familiarizadas Registra no solo en liacutenea
vertical sino tambieacuten horizontal distintas acciones simultaacuteneas y la participacioacuten de
maacutes de un puesto o departamento que el formato vertical no registra
Formato Arquitectoacutenico Describe el itinerario de ruta de una forma o persona sobre
el plano arquitectoacutenico del aacuterea de trabajo El primero de los flujo gramas es
eminentemente descriptivo mientras que los utilizados son fundamentalmente
representativos
SIMBOLOGIacuteA Y SIGNIFICADO
Oacutevalo o Elipse Inicio y Final (Abre y cierra el diagrama)
Rectaacutengulo Actividad (Representa la ejecucioacuten de una o maacutes actividades o
procedimientos)
Rombo Decisioacuten (Formula una pregunta o cuestioacuten)
Ciacuterculo Conector (Representa el enlace de actividades con otra dentro de un
procedimiento)
Triaacutengulo boca abajo Archivo definitivo (Guarda un documento en forma
permanente)
Triaacutengulo boca arriba Archivo temporal (Proporciona un tiempo para el
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almacenamiento del documento)
Cartograma
Se trata de la maacutes comuacuten y praacutectica entre todas las clases de diagramas de flujo
Describe el flujo de informacioacuten en un ente u organizacioacuten sus procesos sistemas
administrativos y de control Permite la impresioacuten visual de los procedimientos y una
clara y loacutegica interpretacioacuten
Simbologiacutea y normas del curso grama
Ciacuterculo Procedimiento estandarizado
Cuadrado Proceso de control
Liacutenea continua Flujo de informacioacuten viacutea formulario o documentacioacuten en soporte de
papel escrito
Liacutenea interrumpida Flujo de informacioacuten viacutea formulario digital
Rectaacutengulo Formulario o documentacioacuten Se grafica con un doble de ancho que su
altura
Rectaacutengulo Pequentildeo Valor o medio de pago (cheque pagareacute etc) Se grafica con
un cuaacutedruple de ancho que su altura siendo su ancho igual al de los formularios
Triaacutengulo (base inferior) Archivo definitivo
Triaacutengulo Invertido (base superior) Archivo Transitorio
Semioacutevalo Demora
Rombo Divisioacuten entre opciones
Trapezoide Carga de datos al sistema
Elipsoide Acceso por pantalla
Hexaacutegono Proceso no representado
Pentaacutegono Conector
Cruz de Diagonales Destruccioacuten de Formularios
Seguacuten la normativa el flujo presupuesto es de izquierda a derecha y de arriba hacia
abajo siendo optativo el uso de flechas Cuando el sentido es invertido (de derecha a
izquierda o de abajo hacia arriba) es obligatorio el uso de la flecha
Historia
La paternidad del diagrama de flujo es en principio algo difusa El meacutetodo estructurado
para documentar graacuteficamente un proceso como un flujo de pasos sucesivo y alternativo
el proceso de diagrama de flujo fue expuesto por Frank Gilbreth en la Sociedad
Americana de Ingenieros Mecaacutenicos (ASME) en 1921 bajo el enunciado de Proceso de
Graacuteficas-Primeros pasos para encontrar el mejor modo Estas herramientas de Gilbreth
raacutepidamente encontraron sitio en los programas de ingenieriacutea industrial
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Al principio de los 30 un ingeniero industrial Allan H Mogensen comenzoacute la formacioacuten
de personas de negocios en Lake Placid Nueva York incluyendo el uso del diagrama de
flujo Art Spinanger asistente a las clases de Mogesen utilizoacute las herramientas en su
trabajo en Procter amp Gamble donde desarrolloacute su ldquoPrograma Metoacutedico de Cambios por
Etapasrdquo Otro asistente al grupo de graduados en 1944 Ben S Graham director de
ingenieriacutea de Formcraft Standard Register Corporation adaptoacute la graacutefica de flujo de
procesos al tratamiento de la informacioacuten en su empresa Y desarrolloacute la graacutefica del
proceso de muacuteltiples flujos en muacuteltiples pantallas documentos y sus relaciones En
1947 ASME adoptoacute un conjunto de siacutembolos derivados de la obra original de Gilbreth
como Norma ASME para los graacuteficos de procesos (preparada Mishad Ramsan y
Raiaan)
Sin embargo seguacuten explica Douglas Hartree fueron originalmente Herman
Goldstine y John von Neumann quienes desarrollaron el diagrama de flujo (inicialmente
llamado diagrama) para planificar los programas de ordenador Las tablas de
programacioacuten original de flujo de Goldstine y von Neumann aparecen en un informe no
publicado Planificacioacuten y codificacioacuten de los problemas de un instrumento de
computacioacuten electroacutenica la Parte II Volumen 1 (1947) reproducido en las obras
completas de von Neumann
Inicialmente los diagramas de flujo resultaron un medio popular para describir algoritmos
de computadora y auacuten se utilizan con este fin Herramientas como los diagramas de
actividad UML pueden ser considerados como evoluciones del diagrama de flujo
En la deacutecada de 1970 la popularidad de los diagramas de flujo como meacutetodo propio de la
informaacutetica disminuyoacute con el nuevo hardware y los nuevos lenguajes de programacioacuten
de tercera generacioacuten Y por otra parte se convirtieron en instrumentos comunes en el
mundo empresarial Son una expresioacuten concisa legible y praacutectica de algoritmos
Actualmente se aplican en muchos campos del conocimiento especialmente como
simplificacioacuten y expresioacuten loacutegica de procesos etc
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