Manual 2008 Nivelacion a

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A nuestros alumnos: Toda carrera de tipo profesional se sustenta bsicamente en el pensamiento lgico y racional, es por ello la insistente enseanza de las asignaturas vinculadas con el rea de las Matemticas. Siendo sta un rea con mayor dificultad para los estudiantes, es que los Departamentos de Ciencias Bsicas del Instituto Profesional Virginio Gmez de las Sedes Concepcin, Los Angeles y Chilln, propusieron confeccionar un apunte que consta de un marco terico de fcil entendimiento para el alumno y una recopilacin de ejercicios, de aquellas unidades estudiadas en la Enseanza Media, que pretende apoyar el trabajo prctico de las asignaturas relacionadas con el rea Matemtica. Te invitamos a comenzar tu carrera desarrollando estos ejercicios y no olvides que: "Todo est en el estado mental; porque muchos desafos se han perdido antes de haberse iniciado. Piensa en grande y tus hechos crecern. Piensa que puedes y podrs; todo est en tu mente y en el deseo de superacin"

LOS AUTORES Departamento de Ciencias Bsicas. Sedes Concepcin, Los ngeles, Chillan. ______________________________________________________________________________ Departamento de Ciencias Bsicas Concepcin - Chilln - Los ngeles 1

______________________________________________________________________________ INDICE Contenidos Pgina

Los Nmeros................................................................................................... 3 Potencias......................................................................................................... 14 Races.............................................................................................................. 21 Trminos Semejantes....................................................................................... 28 Productos Notables......................................................................................... 33 Factorizacin................................................................................................... 39 Racionalizacin................................................................................................ 50 Ecuaciones...................................................................................................... 55 Sistema de Ecuaciones de Primer Grado.......................................................... 65 Ecuaciones de Primer Grado con Enunciado..................................................... 71 Problemas con Enunciado de Sistema de Ecuaciones........................................ 80 Ecuacin de Segundo Grado............................................................................ 85

______________________________________________________________________________ Departamento de Ciencias Bsicas Concepcin - Chilln - Los ngeles 2

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LOS NMEROSQu son los nmeros? Por una necesidad de agrupar algo nacen en forma natural los nmeros, es decir, son ideas de cantidad para determinada situacin; corto dos rboles, veo tres animales, etc. Es as que en forma 'Natural' asociamos smbolos a esta necesidad de agrupar algo y construimos una coleccin llamada Nmeros Naturales, que se designan con la letra . Bsicamente, los nmeros naturales o simplemente naturales se pueden construir a partir de tres postulados fundamentales. Sea " el primer nmero natural. Si + es un nmero natural, entonces + " tambin es un natural (Llamado el sucesor de a) Si hay dos nmeros naturales + y , tales que sus sucesores son diferentes, entonces + y , son nmeros naturales diferentes. As,

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..... }

Mencionamos slo algunas de las propiedades y relaciones en este conjunto: Todo nmero natural tiene un sucesor, por ejemplo: el sucesor de #$ es #% Todo nmero natural excepto el 1 tiene antecesor, por ejemplo: el antecesor de "!) es "!( Entre dos nmeros naturales consecutivos no existe otro nmero natural, por ejemplo: entre el "$ y "% no existe otro nmero natural. Avanzando un poco ms y reconociendo la importancia del cero como nmero, "se agrega" este elemento al conjunto , formando un nuevo conjunto de nmeros llamado Cardinales, ! :

N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..... }Al efectuar operaciones de adicin o multiplicacin entre elementos de estos conjuntos se ve fcilmente que no hay dificultad:


______________________________________________________________________________La suma de dos nmeros naturales es un nmero natural, por ejemplo:

Si multiplicamos dos nmeros naturales el resultado es un nmero natural, por ejemplo:

4 6 = 24

La multiplicacin de dos nmeros naturales da como resultado un N natural

Sin embargo, la sustraccin de dos nmeros naturales en algunos casos no est definida, por ejemplo:

Para enfrentar situaciones como esta ltima, el hombre descubre nuevos nmeros que le permitan seguir avanzando en su conocimento. As define los Nmeros Enteros :

Z = {... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..... }Todo nmero entero situado en la recta numrica y a la derecha de otro es mayor que l a b. Por ejemplo:

-1 est a la derecha de 4. Por lo tanto, -1 ES MAYOR QUE 4.

# es mayor que % ! es mayor que &

a # %b a ! &b


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I Inverso aditivoEl inverso aditivo del entero "+" es " + " por ejemplo: el inverso aditivo de el inverso aditivo de ellos Ejemplo: a %b a "!b "% a 'b a )b "% % es % "! es "!

Para sumar dos nmeros enteros de igual signo se suman sus valores y se conserva el signo de

Para sumar dos nmeros enteros de distinto signo se restan sus valores y se conserva el signo del mayor de ellos, por ejemplo: a %b a #!b #! % "' "' ") a "#b a $!b $! "# ")

La sustraccin de dos nmeros enteros " + " y " , " es igual a la suma de " + " y el inverso aditivo de ",", es decir:

a b = a + ( b)Ejemplo: a) a &b a %b a &b a %b "

b) a 'b a "#b a 'b a "#b ") c)

a $b a "&b a $b a "&b "#

Para la multiplicacin de nmeros enteros, es necesario tener presente que:


______________________________________________________________________________ Regla de Los Signos(+) (+) = (+) (+) () = () () () = (+) () (+) = ()La multiplicacin de nmeros enteros da como resultado tambin un nmero entero. Ejemplo: a) b) c) d) a &b a %b #! a "#b a %b %) a 'b a "#b (# ( ) &'

II Distancia entre dos nmerosPara determinar la magnitud o distancia entre dos nmeros (con respecto al cero u origen) de los ya mencionados, se usa el concepto de valor absoluto, que es nada ms que el resultado numrico con signo positivo. Es decir:

a) ( (

(distancia desde el origen al siete).| -7 | = 7

7 6 5 4 3

2 1

0

c) # & $ $

b) "# "#

(distancia desde el 12 al origen). (distancia entre dos y cinco).|25 |=|3|=3

1

0

1

2

3

4

5

6

d) $ # & &

(distancia entre $ y 2)


______________________________________________________________________________ EJERCICIOSI Obtenga el resultado de: " $ II a #b a $b a )b a'b a $b a "!b # % a&b a %b a"#b a#b a$b a 'b

Determine el valor de: " $

( ! a# %b

$ # a &b

# %

") #& a "#b

& a )b ' a& a# a "bbb

III

Calcule el resultado de: " $ ( ( % # %

# %

% ' "# #

SolucionesI II III 1) 1) 1) "$ * ( 2) 2) 2) #" #$% # 3) 3) 3) "$ %# "" 4) 4) 4) ( $$ !


______________________________________________________________________________Al plantear la necesidad de dividir nmeros enteros surge un problema: el cuociente de dos nmeros enteros no siempre es otro nmero entero.Resultado pertenece a Z.

8 84 = = 2 4

52 =

5 = ?? 2

Resultado NO pertenece a Z.

Para dar solucin al problema, se "ampli" el conjunto de los enteros formndose as un nuevo conjunto: el de los nmeros racionales . + siendo + y , nmeros enteros, con , distinto de ,

es el conjunto de los nmeros de la forma cero.

Numerador

Denominador

Ejemplos: " $ & % ( ) #& $ $ "!!! " # ) $

Por supuesto, los nmeros enteros estn includos en . As, el nmero entero $ puede tomar la $ ' * forma racional o bien etc. " # $ Al efectuar la divisin entre dos nmeros enteros, se obtiene un "desarrollo decimal". Por " ejemplo, para obtener el desarrollo decimal correspondiente a basta efectuar la divisin " (. ( " ( ! "%#)&("%#)&("%$


______________________________________________________________________________Cuando el numerador y el denominador de una fraccin se multiplican por un mismo nmero se obtiene otra fraccin equivalente, esto se llama amplificar la fraccin, por ejemplo: # amplificada por $ es igual $ # $ ' $ $ *

Cuando el numerador y el denominador de una fraccin se dividen por un mismo nmero se obtiene otra fraccin equivalente, esto se llama simplificar la fraccin, por ejemplo: * * $ $ simplificada por $ es igual #% #% $ )

III Adicin y sustraccin de fraccionesAl sumar o restar fracciones de distinto denominador, estos se deben convertir a un mismo denominador llamado comn denominador aCDb. Esto se logra amplificando cada fraccin por un nmero adecuado. Entonces al quedar las fracciones con el mismo denominador, ste se conserva y se suman o restan los numeradores, por ejemplo: a)

3 1 + = 4 5En este caso el CD es 20

luego, la primera fraccin la amplificamos por 5 y la segunda por 4. $ " $& "% "& % "* % & %& &% #! #! #! " # $ $ "& &

b)

en este caso el CD entre $ "5 y 5 es 15,

" # $ "& #" $$ & # * & a #b * "# $ "& & $ & "& " & $ "& "& & "& "& " ( " (# " "% " "& # " # "# # # # #

luego, la primera fraccin la amplificamos por 5 , la segunda por 1 y la tercera por 3.

c)

(


______________________________________________________________________________Ejercicios: Efecte las siguientes operaciones: 1 " $ " # % & " $ " & ( # Resp.: Resp.: Resp.: " #! "9 70

2 3

#& ( & "# % $ "& " % % # & $ $ ' %

"$ ' $ 4 "7 12 %( #" "(( ##

4 5

Resp.: Resp.:

6

( $ & $ ( "! $ "" ##

Resp.:

7 (

Resp.:

IV Multiplicacin de fraccionesPara multiplicar dos o ms fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores entre s, por ejemplo: & " & " &" & % $ % $ %$ "# $ # ) $ # ) a $b a #b %) "# % & " % & "%& #! &

a)

b)

)


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V Divisin de fraccionesEn el conjunto , cada nmero fraccionario aexceptuando el cerob tiene un inverso multiplicativo, tal que el producto de ambos es uno aelemento neutro multiplicativob. Por ejemplo & $ & $ &$ "& y son inversos multiplicativos, ya que " $ & $ & $& "&

En es posible la divisin, excepto por el racional cero, ya que ste no tiene inverso multiplicativo (diremos en este caso que la divisin se indetermina, no confundiremos con el concepto de infinito). Dividir por un nmero racional diferente de cero, equivale a multiplicar por su inverso multiplicativo. Ejemplo: a) $ & $ ( #" % ( % & #! " # "! b) & & "! # " "

EJERCICIOSI Obtenga el inverso multiplicativo de los siguientes racionales: " $ " " # $ $ " ) % # % $ ( & "! & * ( )

II

Obtenga el resultado de las siguientes operaciones: " $ " # & # ( $ # % # " ) $ ) " % $ ) $ & % " " # $

%

&

$ "# %

'

SolucionesI II " ' & $ $& # "! # $ % $ $$! ) & % % &' #$ $ ) & "' ' $ #

"


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VI Nmeros irracionalesEl conjunto de los nmeros irracionales corresponde al conjunto de todos aquellos nmeros que + no se pueden escribir de la forma , + y , enteros, , !. , BB posee infinitas cifras decimales y no sigue ningn patrn repetitivo Por ejemplo: & # #$'!'(*( / # (")#)")#) 1 $ "%"&*#'& $ " ($#!&!)!

VII Nmeros complejos y realesExisten nmeros decimales peridicos y no peridicos. Ambos casos corresponden a nmeros racionales e irracionales respectivamente. Todos los nmeros estudiados se caracterizan por tener un desarrollo decimal, sea peridico o no peridico. Se forma as un importante conjunto numrico: Los Nmeros Reales . El conjunto de los nmeros reales es, entonces, el conjunto de todos los desarrollos decimales. Por ltimo, tenemos los nmeros imaginarios puros que nacen del clculo de races de nmeros negativos que no veremos hasta el curso de lgebra. Los nmeros que engloban tanto los reales como los imaginarios puros se conocen como Complejos.


______________________________________________________________________________ EJERCICIOSI. Ubique los siguiente nmeros en la recta numrica y luego ordnelos de mayor a menor. # II % & $ # ! "! ! #& ! ( 1 % )

Resuelva " " # " # # $ & $

#

# " " " $ & % & & " $ ' % # & # # " " " $ & # % " " # # a #b $ % & ( " " $% # "% #

$

%

&

' ( ) * "!

$! "! & # ' ' a$! "!b & # a' 'b a%! "!b a$ # 'b )

a&! #! & & %b a( "! & ( $ ""b

SolucinII " & "$ "% "$' "& # &* &' $ ( $% "!* %! % ) % $" "#

' ! "! #

* "!


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POTENCIASQu es una Potencia? Una forma abreviada de escribir una multiplicacin donde se repite el mismo factor 8 veces se denomina Potencia. El factor que se repite se llama base y las veces que se repite se llama exponente. As, para todo 8 que pertenece a , se tiene:

Ejemplo: a) b)

La cuarta potencia de # se escribe La quinta potencia de $ se escribe

#% # # # # "' 3& $ $ $ $ $ #%$

Propiedades I. Potencias de igual base3) Multiplicacin de potencias de igual base: Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

a n a m = a n+ m

Ejemplos: a) 2# #$ # # # # # # veces $ veces # #$ # & b) $ # $ % $ ) $ # % ) $"%


______________________________________________________________________________33) Divisin de potencias de igual base: Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.

an n m nm m = a :a = a aEjemplos: a) b) (& ($

; con a 0

(& ( &$ (# ($

#% #' #%a'b #%a'b ##

II. Potencias de igual exponente3) Multiplicacin de potencias de igual exponente:Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se conservan los exponentes.

(a b )mEjemplos: a) b)

= am bm

%# %# a% %b# "'# #&'

" $ $ $ # $ " # $$ #( # #

33) Divisin de potencias de igual exponente:Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y se conserva el exponente.

am m m m m = a : b = (a : b ) bEjemplos: a) b)

; con b 0

%& #& % #& #& $# ")' *' a") * b' #' '%


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III. Potencia elevada a potenciaPara elevar una potencia a una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

(a n )m = a nmEjemplos: a) $# $ a$ b $# $' $ ' %* $ ( # ( # $ ( )" * * *

b)

IV. Otras propiedades- Toda potencia elevada a exponente uno es igual a su base. a" a Ejemplo: #$) " #$) - Toda potencia (de base distinta de cero) de exponente cero es igual a uno. +! " , + 0 Ejemplo: a$ $& %&$ &%&' b "!


______________________________________________________________________________ Toda potencia de exponente negativo es igual al inverso multiplicativo de la base con exponente positivo.

a n esta expresin se puede escribir como: a n =

1an

; a 0

Ejemplo:y 7Aplicando Propiedad

1y 7

1y7

Aplicando Propiedad

y 7

Toda potencia de base fraccionaria con exponente negativo es igual al recproco de la base y exponente positivo. + 8 , 8 = , + !, , ! , +

Ejemplo:% $ % &$ $ & $


______________________________________________________________________________ EJERCICIOSI Simplifique las siguientes expresiones y luego calcule el resultado" $ & ( ) * "! "" "# "$ "% "& "' "( $# $& $% #$ # $' *' ")# '# # % ' ## % #' "" " ( # #$ ($ # $

"" "# "$ "% "& # $ $# %# #$ #$ #% #& &" & &! (" '! '# )" #" "# "# "$ #& #% %# $# #$ # % % # $$ $# #" $" %# $" &$ #

)# $ #$ % %# $

") "* #!

$$ $# #"'" ## $#

#&$ &$ #&' )# %$ ## #& "&

II

Simplifique las siguientes expresiones y luego calcule el resultado


______________________________________________________________________________a$ # b # $ #

"

#

$# &'$

$ & (

a $# b $

&$ &

% '" #

$& $# a$ # ( b # & #"

$ &

"

& ( $ &!

)

& ( $ # $

*

$ $ $ % % %#

"!

" " # #& $

" %

""

" " & & & " &% $

"#

" " " " # % # %

$

"$

a # b$ a % b % a ) b $ )$ %% # $ " " " # # ## $ # %

"%

& % % % & &$ '

#

"&

" #

" #(

$

" #'

%

"'

%$ #$ " " # %% $ %

"(

" " " & & &'

a#&b %

")

" #"' " ' $' $% $

"*

a" $b# a# %b$ a$ &b( " & " % " % % # $& $ %

#!


______________________________________________________________________________ Solucin" '% ( ! "" " "& " "* )!!!

I

" #( " & )" * '% "$ ! "( #")

# % ' #*% "! " "% " ") '

$

% " ) "$' "# " "' " "#&

#! #

II )

" $ & (

$% #' #& (#* ( $ #( '% " #& " " # &") #

# % ' )

" "#& #( "('% *) %& " "' " % & ) # * $ %%

* "" "$

"! "# "%

"&

"'

"(

")

"*

%!*'

#!


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RAICESQu es una Raz? Es uno de los procesos inversos de las potencias que consiste en hallar la base , de modo que 8 ,8 +. Su smbolo es +.n

a =b

bn = a

8 La expresin + se lee " raz 8- sima de +" en que 8 se llama ndice de la raz y + es la cantidad subradical.

Indice de la raz

n

aCantidad subradical

Smbolo radical

Ejemplos: a) b) c)

$ # ) porque #$ )

& $ #%$ , porque $& #%$ # % "' porque %# "'


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I Potencia de exponente fraccionarioToda raz se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario cuyo numerador es el exponente de la cantidad subradical y el denominador es el ndice de la raz.n p p

a

=

an

; de este modo

n

an = a

Ejemplos: a)

% & % &$ $

b)

( *( *

c)

% % # ( # ( & &

d)

# # ( & ( & "$ "$

Observacin: El exponente fraccionario 8 se puede amplificar o simplificar segn convenga sin que cambie el :

valor.

Ejemplo:

$! & Simplificar la raz: $") $!' $")' $$

Observacin:

8 + ,

8 8 + ,

Ejemplo:

'% $' "!!

'% $' )' "%

"!


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II Propiedades de las races3 Multiplicacin de races de igual ndicePara multiplicar races de igual ndice se conserva el ndice y se multiplican las cantidades subradicales.n

a

n

b =

n

a b

;

n

a ,

n

b

Ejemplos: a) b) c)

# ") # ") $' ' * %=* % $' ' %

& (

% & % % %* %* $& (

33

Divisin de races de igual ndicePara dividir races de igual ndice se conserva el ndice y se dividen las cantidades subradicales y viceversa.n n

a b

=

n

a = b

n

a:b

; b0 ;

n

a ,

n

b

Ejemplos: a)

$# ) $# % # ) $ $ ) ) # $ "#& "#& &

b)

c)

%

% * * '% % % % % % % % #&' * '% * '% * * )" $

Observacin: Para introducir un nmero dentro de una raz , se eleva el nmero al ndice de la raz. Ejemplo:$& $# & %&


______________________________________________________________________________ 333 Raz de una raz o producto de ndicesPara extraer raz de una raz se multiplican los ndices y se conserva la cantidad subradical.

mn

a =

mn

a

; con n a

; con

mn

a

Ejemplos: a) b) c)

$ ' # #$ # # $ % "# $ %$ $ $ & %! % % ) % % ) %%! ) %! #)$

d)

%! % % ### ## ## % a#$ b% # #"$ &

3@

Potencia de una razPara elevar una raz a una potencia se transforma la raz a potencia de exponente fraccionario y se aplica la propiedad de potencia elevada a una potencia.

n aq Ejemplos: a) b) c)

p

q p a n

=

n

a q p

%# % & $ % & %'&

$

#

'

&

& " & & & ( ( & ( & (

$ #

#

$ # # $# # # * # ")"

#

"

#


______________________________________________________________________________ EJERCICIOSI $ " ) & $ $#

Simplifique las siguientes expresiones radicales

% # "'

$ $ $ % # ' "!! #

& # $# ) #

(

)

% %) % $

$ $ * )" $

"" $ %) "$

$ "! "'

% "# # #%$

"& " #$

" $ "#) #

"' &"# $(&

"%

$ )

II

Multiplicar

$ $ " $ *

$ & "#& & (#) $&

% '#% )

$ $ # "' %

' ' "#$ # # $! & '

III Dividir

" #"

$ (& "# $ & &! &"# (## #

$ (

% (# "!) $!! ' ' "# $ "&$ "( $!% "*


______________________________________________________________________________( $ ' # ) #) "(& '$ (

(&

#%

#))

IV Simplifique las siguientes expresiones:" &$

# 2)% % #$& $

$ ##$ $ & & 235

V

Desarrolle a la mnima expresin:" ") &! (#

# $) #$# (&! '*) % $ #%$ (& "*# $ $ ' $ )" #( &$

$ &) #%& $#! &! $ $ & %! $#! %"$& #%&

% % ( ( $""# ##) &&'(

) ) %) #") &! $"# $ $ $ "! "' "#) "' )"

* %(& %"# (# "# "#&


______________________________________________________________________________Solucin $ #

I

" # & ) * $$ "$ ##

# # '

$ # ( #

%

$ "! ##

"" "#$ "& $!(

% "# '$

) #

"%

" $ # #

"' %&! % "# %$

II

" $

& "% (&

# %

' $# #$ ' #'

$ #&

III " (& # ' IV " % % #) $% &

# ' ' "

$ $ ( "% $ )

% #$ ## ) !

# #$! & #"& $& &

V

" ##

$ "!#$ & "%& % ( #"( $(

# (#

% #$$

* "!$ '# &&

$ $ "! '# % $$

) # #$

$ ' )$ #$


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TERMINOS SEMEJANTESI Conceptos preliminaresTrmino algebraico: es una combinacin de nmeros y de letras unidas por la operacin multiplicacin y/o divisin. Expresin algebraica: es un conjunto de trminos algebraicos unidos por la adicin y/o sustraccin.

Ejemplo:

125 t 3 + 27mn 5 z

+

Otros ejemplos: a)(+ ,

b)

#- a$+ &- (,# b

c)

# $ * & B C $ &

Toda expresin algebraica puede estar formada por uno o ms trminos algebraicos. Segn la cantidad de trminos que posea se clasifican en 1) Monomio: es la expresin algebraica que posee slo un trmino.

Ejemplo:

$+#

,#

#BC

2) Binomio: es la expresin algebraica que posee dos trminos.

Ejemplo:

$+ %,

B #C

$B# C &BC #

3) Trinomio: es la expresin algebraica que posee tres trminos.

Ejemplo: ! #+ ! (, ! %-

B $C &D

# & # + , $ ' *

4) Multinomio o polinomio: es la expresin algebraica que posee ms de tres trminos.

Ejemplo #B $C %D )A

! (+ (

&, - &

%. # &/


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II Trminos semejantesSon dos o ms trminos que tienen el mismo factor literal pudiendo tener diferentes los coeficientes numricos. Son trminos semejantes: a) 2+# B$ &+# B$ )B$ +# " b) %+B +B ! #+B # No son trminos semejantes: a) $B $B# B$ b %+# B &+B# $+# B#

III Reducir trminos semejantesConsiste en sumar o restar los coeficientes numricos de aquellos trminos que son semejantes.

Ejemplo:: Dada la siguiente expresin: 2a + 3b 5a 2 + 3a b Ejemplo Dada la siguiente expresin: 2a + 3b 5a + 3a b Se tienen los siguientes trminos semejantes: Se tienen los siguientes trminos semejantes:2a + 3b 5a 22 + 3a b = 5a + 3b 5a 22 b = 5a + 2b 5a 22 2a + 3b 5a + 3a b = 5a + 3b 5a b = 5a + 2b 5aTrminos Semejantes Trminos Semejantes Resultado Final

2

Otros ejemplos: a) #B# &!+, &B #+, &B# (B# +, &B b) "!! >% - #BCD >% - "!BCD **>% - "#BCD c) ! $: ! (; * %: ) *; * ": * '; Para agrupar expresiones algebraicas se usan parntesis en tres formas: redondos ( ), cuadrados o de corchete y de llaves; la raya de fraccin es un signo de agrupacin que equivale a dos parntesis entre los cuales hay un signo de divisin: Ejemplo:B& aB &b a& Bb &B


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IV Para suprimir parntesis3

Si est precedido del signo positivo a b tcito o escrito, elimine el parntesis sin alterar los signos de sumas o restas que en l se incluye.

Ejemplo 5a ( ( 3a 4b 4 ab) = 5a +3a 4b 4 ab = 8a 4 b 4 ab Ejemplo: : 5a + + 3a 4b 4 ab) = 5a +3a 4b 4 ab = 8a 4 b 4 abSigno Positivo Antes del Parntesis Los signos al interior del parntesis no cambian Resultado Final

33

Si el signo negativo a b precede al parntesis, elimine el parntesis cambiando todos los signos de sumas o restas interiores.Ejemplo: Ejemplo: 7x ( 3x + 9) + (x 1) = 7x 3x 9 + x 1 = 5x 10 7x ( 3x + 9) + (x 1) = 7x 3x 9 + x 1 = 5x 10Los signos al interior del parntesis cambian Resultado Final

Signo Negativo Antes del Parntesis

333

Ejemplo: $B (B a$ &Bb $B (B $ &B $B (B $ &B *B $ 3@ Si el signo de multiplicacin a b precede al parntesis aplique la distributividad del a b sobre a b.

Cuando un signo de agrupacin incluye a otro es conveniente empezar a resolver desde el interior al exterior.

Ejemplo: Dada la siguiente expresin: x x siguientes3 (5 x 10 semejantes: Ejemplo: Se tienen los+ 2 x 3x trminos ) =2a + de x Por propiedad 3b 5a= + 3a las potencias2

[

]

Se multiplica trmino a trmino

[ b+ 22x15xx 3+ 30 x ) b x = x 5a3+ b 5a ] 443 2

= 5a + 2b 5a 2Se multiplica trmino a trmino

= x1/ 2 x + 2 x 3x44 + 30 x 3 2x 15x + 30x3]

[

]

3/ = x3/22 + 2 x3/22 3x9/22 + 30xx 7 / 2 + 2 x 3 / 15x 9 / + 30 7/2

= 3x 3 / 2 15x9/22 + 30xx 7 / 2 3x 9 / + 30 7/2

Reduccin de Trminos Semejantes

EJERCICIOS ______________________________________________________________________________ Departamento de Ciencias Bsicas Concepcin - Chilln - Los ngeles 30

______________________________________________________________________________" B $ ## $B C = # BC $B# C #BC %BC # &B# C $ %B &C )B %C % #B &C ( $B % & %B# $B# # C $BB C B %BC = ' $#B #B $ & %B# $ %B = ( #+ $, &- a%+ #,b *- = ) "#+,# &+# , $+# , "!+, # *+, # = * % &+ (, " %, ! '+ , & $, = "! C %B #C & 'C B " $ # " "" ! %B# C $" BC# ! 'C $ B# C ! #BC # C $ ' ) & % "# B C B C C B B C "$ $!B "! &B % ' $ #B "% #"B $B #C )B 'C % (B $ $C & B "& + , + , + , + , + , "' B% C B$ C# B# C )B% C B# C "! B$ C # (B$ C # * #"B% C C $ &! "( # " $ & # " (&7 ! $(& " " 7 = # ) "' $

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______________________________________________________________________________Solucin # )B# C %BC# BC

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______________________________________________________________________________

PRODUCTOS

NOTABLES

Son ciertas formas de multiplicaciones de multinomios por multinomios cuyo resultado se escribe directamente previa inspeccin de los datos; no es necesario escribir el proceso de la multiplicacin. Los principales productos notables son:

I. Cuadradro de binomio( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 Ejemplo: a) (4 + b) 2 = ( 4 ) 2 + 2 ( 4 )( b ) + ( b ) 2 = 16 + 8b + b2 ( x y ) 2 = x 2 2 xy + y 2

Primer trmino al cuadrado.

Segundo trmino al cuadrado.

El doble producto del primero por el segundo trmino.

Otros ejemplos: b) B (# B# #B( (# B# "%B %* c) ) ># )# #)> ># '% "'> ># d) B "# B #B" "# B #B "#

" " # " # " " " # " " " " # " e) # # # # #& & && & & g) +,# #D & # a+,# b #+, # #D & #D & # +# , % %+, # D & %D "!# #

f) 'B &C# a'Bb# #'B&C &C# $'B# '!BC #&C #


h) $+$ ),% # a$+$ b #$+$ ),% ),% # *+' %)+$ , % '%, )

______________________________________________________________________________

II Cubo de binomio( x + y ) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3( x y ) 3 = x 3 3 x 2 y + 3 xy 2 y 3

Ejemplos: a) B %$ B$ $B# % $B%# %$ B$ "#B# %)B '% b) # ba"b

As,

*># '> " $> "#


______________________________________________________________________________ 33) Trinomio con trmino comn: toda expresin de la forma B# :B ; puede escribirse como:aB +baB ,b donde : + , y ; +,

Ejemplos: a)B# &B ' aB #baB $b

donde : & # $ y ; '#$ aB %baB $b

b)

B# B "#

donde : " a %b $ y ; "# a %b $

c)

B# 11B $! aB &baB 'b

donde : "" a &b a 'b y ; $! a &b a 'b

d)

B# 1!B #" aB $baB (b

donde : "! $ ( y ; #" $ (


______________________________________________________________________________ 333) Diferencia de cuadrados: toda expresin de la forma +# ,# puede escribirsecomo:a+ ,ba+ ,b

a)

b)

* # %* # + , "' )"#

* # $ + + "' % %* # ( , , )" *

#

Luego,

* # %* # + , "' )"

=

$ ( $ ( + , + , % * % *


______________________________________________________________________________ 3@ Polinomio cbico perfecto: toda expresin de la forma +$ $+# , $+,# ,$ puede escribirse comoa+ ,b$ , as tambin +$ $+# , $+, # , $ puede escribirse como a+ , b$

Ejemplo : a) 1.- Factorice x 3 6 x 2 y + 12 xy 2 8 y 3

x3

Escribiendo el primer trmino al cubo

(x )3

8y3

Escribiendo el segundo trmino al cubo

( 2y )33( x )2 ( 2 y )

6x 2 y

Escribiendo el triple del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino

12 xy 2

Escribiendo el triple del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino

3( x )( 2 y )2

As,x 3 6 x 2 y + 12 xy 2 8 y 3 = ( x )3 + 3(x )2 ( 2 y ) + 3( x )( 2 y )2 + ( 2 y )3 = ( x 2 y )3

Luego,

x 3 6 x 2 y + 12 xy 2 8 y 3 = ( x 2 y )3

b)

" $ " # " " + + , +,# ,$ ) % ' #( $ $ " $ " " $ " + + , , ) # #( $ # # " # " " " # " " + , $ + , +, $ + , % # $ ' # $ $ " $ " # " " " " As, + + , +,# ,$ + , ) % ' #( # $


______________________________________________________________________________ @) Suma y diferencia de polinomio cbico:+$ ,$ a+ ,ba+# +, , # b +$ , $ a+ , ba+# +, , # b

Ejemplo : 1.a) Factorice 27 a 3 64b 3 Veamos si son cubos perfectosEscribiendo el primer trmino al cubo

27 a

3

(3a )3

64b

3

Escribiendo el segundo trmino al cubo

( 4b)3

As,

27 a 3 64b 3 = (3a )3 + ( 4b )3 = (3a )3 (4b )3

Luego,

27 a 3 64b 3 = (3a 4b ) 9a 2 + 12ab + 16b 2

(

)

b)

) $ "#& $ B C #( #"'

Veamos si son cubos perfectos) $ # B B #( $$

"#& $ & C C #"' '

$

Luego,

) $ "#& $ # & % "! #& B C B C B# BC C# #( #"' $ ' * ") $'


______________________________________________________________________________ EJERCICIOSI Factorice las siguientes expresiones" "#+# "#+ "#+B $ B# #B "& & +,# $+# , ( BC# %* * B% "' "" +, + , " "$ + +, , , # "& )>$ #( "( #BC 'C BD $D$ $ "* B# #B "

# %+# " % B% "!B# #& ' )B# C$ %B$ C% "#B& C ' ) B# B *! "! +# ,# - # #,"# B$ $B# B $ "% B C$ B$ C $ "' B$ B& ") B& B% B " #! B# ##BC #C#

II

Reduzca a la mnima expresin." $ #, +, #, %B %C #C #B B# &B "% B# #B$ %B# 'B #B $+# ,# )B% C& %B# C$ *+& ,# # % +$ , # - % +,$ - # #B B# % ># "' >$ '% >% "' >$ #># %> ) %+# "#+ * % $, "' *,# #+ $

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+B ,B C+" C,"

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______________________________________________________________________________ Solucin I 1$ & ( * "" "$ "& "( "* "#++ " B B $B & +,, $+ BC (BC ( B# %B 2B # + ", " " ,+ , a#> $ba%># '> *b #C DB $ B $ "#"

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II

Reduzca a la mnima expresin" " " + # & B ( #B# C# $+$ +B % :;: ; :; # ' +# - # , >% ># %> "' #+ $ % $, + " #B $ # ( B# #B $ " B# B# (C $C "!& + , # $ B +, C "& &B C"*#

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#!7$ %7# )7 )


______________________________________________________________________________

RACIONALIZACINProceso matemtico que consiste en eliminar del denominador de una fraccin las races. Para ello basta amplificar adecuadamente la fraccin

I Racionalizacin de un monomio con ndice radical dos:misma raz del denominador.

Se amplifica por la

x x = y yEjemplo: a)

y y

=

x y y

b)

C B# C B# C B# C B# C C #+C #+ #+C #+C C )+ )+ $,#%+,# # % # '+,$ .# $ .# $,$,$,*, - . $, - # .

& & # & # # # # #

c)

II Racionalizacin de un monomio con ndice mayor que dos:

Se amplifica por la raz que tiene por cantidad subradical la potencia que falta para completar el valor del ndice.

an

bm

=

an

bm

n n

b nm b nm

a n b nm = b

con n < m

Ejemplo: a)

% % $$ # # ##( % % % $ $ $$ $

b)

III Racionalizacin de un binomio con la suma o diferencia de races de ndice dos: Se amplifica por el factor que falta para formar la suma por su diferencia.______________________________________________________________________________ Departamento de Ciencias Bsicas Concepcin - Chilln - Los ngeles 50

& &a#Bb#

( C

& &a#Bb#

( C

& a#Bb$

& a#Bb$

& (C )B$

"!B

______________________________________________________________________________

x+ y a( x + y ) a( x + y ) a a = = = x y x y ( x y ) ( x + y ) ( x )2 + ( y )2

Ejemplo: a)$ & # (

$ & #$ "! #$ "! ## ## $& $ & # (

b)

+ # , $

( + # , $ + # , $ #+# $,# + # , $ + # , $

IV Racionalizacin de un binomio con la suma o diferencia de races de ndice tres.Sabemos que : si LuegoB$ C$ aB CbaB# BC C# b$ B + $ C , entonces B$ +

/

/

C$ ,

a + b = ( 3 a + 3 b )( 3 a 2 3 ab + 3 b 2 )

De igual forma si Luego,

B$ C$ aB CbaB# BC C # b$ B +

/

$ C , entonces B$ +

/

C$ ,

a b = (3 a

3

b )( 3 a 2 +

3

ab +

3

b2 )


______________________________________________________________________________Ejemplo: a)$ $ # &

%

$ $ $ $ $ # & ## "!

%

$ $ $ ## "!

$ $ $ %% "! #& $ $ $ %% "! #&

#&

$ $ $ %% "! #&

$

$

EJERCICIOSI Racionalice las siguientes expresiones" ( $ # ( $ & B B# C %(

#

& ' ( * & +# # #B C $ B C $ & # B & $"! # B B C C B B C C

$

%

&

'

(

"$ B& %" * ( C

)

*

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"$

#B # B C

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B" #B B# "


______________________________________________________________________________"& # # B B 2 " " 2$

#

"'

$ $

$

"(

B B

")

& # ' & # '

"*

#!

B $ B C$

#"

+, $ + ,$

##

> $ $ > + +

II

Simplifique y racionalice las siguientes expresiones:

BC # 1) B C # $

#

" > ># " " " = = " &= & ="

$

%> # $ "'

%


______________________________________________________________________________Solucin ( $ ' & ' %#$ (#& &

I

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C

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B$ #BCBC C$ #B B# " "B " # $ $ #$ $ $ BB# BC C#

B$"! #& (!

B$

C$

# B# B C # B C#

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$ $ $ ## > +# +> + +#

BC

II

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B C #! %> > #

# a" >b" > %

$

= = "= " &


______________________________________________________________________________

ECUACIONESUna ecuacin es una igualdad en que intervienen cantidades conocidas y desconocidas o incgnitas cuyo valor debe determinarse. Esta igualdad se satisface slo para determinados valores de la incgnitas transformndola en una identidad. Por eso se puede decir que una ecuacin es una igualdad condicionada que se satisface para determinados valores de la incgnita. Normalmente las incgnitas de una ecuacin son letras minsculas, tales como, 7 8 B C ... etc. Ejemplo:(B $ %B

Esta ecuacin se satisface slo para B " ya que si se sustituye este valor en la ecuacin se satisface la igualdad.("$ %" % %

El conjunto solucin es {1}.

Propiedades que se cumplen en una igualdad :

1) Si se suma o resta una misma cantidad a ambos miembros de una ecuacin se obtiene una ecuacin equivalente, es decir, la igualdad, persiste. 2) Si se multiplica o divide a ambos lados de una ecuacin por una misma cantidad, se obtiene una igualdad, equivalente a la anterior. 3) Si se cambian los signos de todos los trminos de ambos lados de una ecuacin se obtiene una ecuacin equivalente.


______________________________________________________________________________Ejemplo:

Ecuacin

64 744 4 8 5 x + 12 = 2 x5 x + 12 = 2 x / - 2x

Agrupamos la incgnita x en un solo miembro de la ecuacin Se agrega 2x en cada lado de la igualdad

5 x + 12 2 x = 2 x - 2 x 3 x + 12 = 0 3x + 12 12 = 0 12 3x = 12 3 x = 12 3 x 12 = 3 3 x =4Resultado final Para despejar la variable x se agrega 12 a la ecuacin

/ :3

Se divide por 3 para encontrar el valor de x

I Tipos de ecuaciones de primer grado3 Ecuaciones con parntesis:$#B & #&B % (#B " $B "

Ejemplo:

Primero se resuelven los parntesis, es decir:$#B & #&B % (#B " $B " 'B "& "!B ) "%B ( $B "

Se reducen los trminos semejantes'B "& "!B ) %B #$ "%B ( $B " ""B )


______________________________________________________________________________Se ordena la ecuacin, es decir, se escriben los trminos que tienen B en un lado y los sin B en el otro para ello aplicamos los respectivos inversos aditivos e inversos multiplicativos %B #$ ""B +#$ %B #$ ""B ) ""B +#$ ""B +#$ ""B ) " "&B "& "& " " "& "&B "& "& "& "& B "& "& B "

Por lo tanto, el valor de B que satisface la igualdad es 1.

33 Ecuaciones fraccionarias con denominador numrico o algebraico:B " #B $ B "! & ' ) %

Ejemplo 1:

Se les da previamente la forma entera multiplicando todos los trminos de ambos lados de la ecuacin por el mnimo comn mltiplo MCM de todos los denominadores existentes en la ecuacin, quedando entre parntesis el numerador de la fraccin.B " #B $ & ' ) #% B" #B $ #% #% & ' ) %B " $#B $ "#! %B % 'B * "#! #B "!( #B 'B )B B "! % B "! % 'B "! 'B '! 'B '! "!( '! %( %( ) %( ) #% #%

B B El conjunto solucin es %( )


______________________________________________________________________________Ejemplo 2:B" ( #B #B % $B '

Estas ecuaciones se resuelven en forma anloga al caso anterior, slo que en este caso el MCM es una expresin algebraca.B" #aB #b ( #B $ aB # b

Factorizar los denominadores MCM es 'B #( #B $B #

B" ( #B #B # $B # 'B # B" #B # $B " $B $ (B B 'B # #( #B "% %B "" "" ( "" (

El conjunto solucin es

333 Ecuaciones Literales:Son aquellas en que adems de aparecer nmeros como cantidades conocidas tambin existen letras que no operan como incgnitas de la ecuacin, sino como, constantes. Para resolverlas, el procedimiento es el mismo y slo hay que tener cuidado con la identificacin de la incgnita y en la reduccin de trminos semejantes. Ejemplo 1: Solucin: Resolver para " a " , $+B ' #$+$+B ' #$+ $+B #$+ ' +$B #$ ' + ' $B #$ ,# > $B #$ !

Ejemplo 2:

Resolver para " t ", +> #C+> ,# > #C >+ ,# #C #C > + ,2

+ ,2 !


______________________________________________________________________________ EJERCICIOSI Resuelva las siguientes ecuaciones segn incgnita indicada:" # $ % & ' ( ) * "! "" "# "$ "% "& "' "( ") "* #! $+ # &+ ' #* {&B ' #B '} B ) & %> # #> ( " #> ' #7 &7 " "!7 #77 " # #$ B $B " ) #B # 'B ""B "! )( #" "$B ++ B ,, B B ? &" "%B $B # c"#B "%B $ ' d c$ #B %d "#+ ($+ & '+ ""'+ "" "## %$+ '2 %&2 "! '2 "!'2 "! & &B + c$B #, + #+ ,d %+ , (B , &B " c" #aB "bd $c" a#B $bd #BaB (b *! &BaB (b Ba$B %b #aB %b# aB #b# aB )b# a'B (ba&B %b 'a&B# "b #B &aB "b ' %aB #b aB $b# aB "b# (B &Ba) Bb $Ba& $Bb #' #Ba( #Bb aB #ba#B "b aB 'ba#B $b $a&B "b &a$B "b 'B , ?


______________________________________________________________________________II Resuelva, para la incgnita correspondiente:+" + " $ % # $ #C $ &C $ #

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9 10) 11) 12) 13) 14) 15)

$A ' #A & A % & "! # !%B &, !$B ".&, "( #- $ - & $ " * ' # #B ( $B & ) (B " *B 'B % ) & "! 0 &0 " 0 " $0 " 0 & %0 " ' # % $ * B ?

#$B & $%B & &'B ( $ " "& ( #" & #B ) #B $ B $ # % % #B &B ' &B %

: $ #: " &: $ ) ' * 2 " #2 $ 2 "! & ' ) % $ B B B " (B # $ #

#B $ &B " %B " % '


______________________________________________________________________________16) 17) 18) 19) 20)'> " > " ! & # % #B $B & B $ "& #! & $B "( " %B "B *B ) "$ % ' $C "" &C " C ( &C ' #! "% "! #" B &B B# # $

III Resuelva, para la incgnita correspondiente: 1) 2 3 4 5 6 7 8 9"# ( % " &A $ "! $A $ $! &B $ %B * # (B * * (B &C #C $ $C # %C " # #C # $C $ %C % &C & )7 % (7 7# " # ! 7" 7" 7 " # '> & $ # #& %> & "'> %> & D( %% #D ( " # #D $ %D * %D ' &B B "( # & B " B #B " (B & 'B " " # " B% B$ B (B "# ( & % $ "" $B &B # $ % B &B # " #

" 0


______________________________________________________________________________11)" " $ : " " $ : $ : ) "" : "" B ? B ?

12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

,B -B +- #B 2 +B +B + B2 +B , +B +, # # +B , +B , + B ,# " $ &B "B B B" B " " " B" B# aB "baB #b $B ' (B # "! B " B #B $ B $ ( ) * " $" (B #B $B %B $ 'B &B# #(B " B ' &B $ B &B# *B "* " "!B# &B ) # #B " B$ " B$ B"

IV Dadas las siguientes ecuaciones, despeje la variable que se pide: 1 I 2 / 2 T Z 8VX 3 7 4G" : ". 2 ? V ? : ? ; ?

" " # : ; V


______________________________________________________________________________5 Q 6) W 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)P #& " J 0

;0 ?+ ? J ?

+ +< 8 "< & J $# *

G

a+ )b +aB $b #+ &; con + ! B+ B, # , +

;B ?B? B? B? V ? .? B? B?

+aB ,b +# ,# ,aB +b +B ,aB ,b + , + R/ V R< EO %1 .

M

G

L L CD [ [ B #+ #B '+# "#,# $, $B , +, +

SolucionesI " $ ' ( "" *B ""+ ( #'$ "$

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"' C# $+C #+# ! ") ,># a+ , b> + ! #! ,C# #+C $- !

II Determine una ecuacin cuyas races son:" ! y $ % " $ y " $ # " y & 7 y $ % 7 # $ # y # ' $- y (-

III Factorizar las siguientes expresiones algebraicas, utilizando la frmula para resolver una ecuacin de segundo grado" B# B # $ $B# (B # & B# $+B #+# # #B# 'B % % )B# #B " ' $'B# "#+B +#


______________________________________________________________________________ SolucinI " B" ' # B# ' #

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Ms ejercicios...

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

a) Resolver las siguientes ecuaciones" #B # 8 ! # B "B " ! $ B# )B '& ! % B# )B ! & )!! %B "! )!! B

Sol: B " 2 B # # Sol: B " " B# " Sol: B " "$ B # & Sol: B " ! B # ) Sol: B" &! B# %!


______________________________________________________________________________ Sol: B" %! B# $! ' B# (! B# &!#( B $# #B "' ! #B $ "$ $ #B ' B# B # % # &B ) (B % B" B# B% B# " B& B$ #% B# "& # B& B &B

Sol: B" !* %

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Sol: B"

B# "

Sol: B" % B# # Sol: B" % Sol: B" $ B# & #

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B# ""

Sol: B" $ B# &

b) Determine la ecuacin cuyas races son:"& ! y % "' # y # "( : y : # " %

Sol: B # % B ! Sol: B # # ! Sol: #B # $:B :# ! Sol: %B # $B " ! Sol: B # # B " !

") " y

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Manual 2008 Nivelacion a

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