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Manual de Prácticas

Fundamentos físicos de la Informática

INGENIERÍA EN INFORMÁTICA

AparatoDetector

Rejilla dedifracción

Fuente de Luz

Voltímetro

E.T.S. de INGENIERÍA INFORMÁTICA

Departamento de Física Aplicada I

Universidad de Sevilla

Indice general

0. Tratamiento de Errores 3

0.1. Error absoluto y error relativo.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2. Clasificacion de los errores.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.3. Estimacion de errores en las medidas.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.3.1. Medida directa de una magnitud fısica.- . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.3.2. Medida indirecta de una magnitud fısica.- . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.4. Presentacion de resultados numericos.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.5. Recta de mınimos cuadrados.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

0.6. Realizacion de graficas.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.7. Memorias de las practicas.- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1. Osciloscopio 21

2. Interferencia de microondas 30

3. Corriente Continua 35

4. Induccion Electromagnetica 40

5. Corriente Alterna 47

6. Efecto Hall 58

7. Anchura Banda Prohibida en Ge 64

8. Curva caracterıstica de un diodo 67

2

Practica 0

Tratamiento de Errores

Las medidas de las diferentes magnitudes fısicas que intervienen en una experiencia dada, yase hayan obtenido de forma directa o a traves de su relacion mediante una formula con otrasmagnitudes medidas directamente, nunca pueden ser exactas. Debido a la precision limitadaque todo instrumento de medida tiene, ası como a otros factores de distinta naturaleza que masadelante consideraremos, debe aceptarse el hecho de que no es posible conocer el valor exactode ninguna magnitud. Por tanto, cualquier resultado numerico obtenido experimentalmente debepresentarse siempre acompanado de un numero que indique cuanto puede alejarse este resultadodel valor exacto.

0.1. Error absoluto y error relativo.-

En general, se define como error absoluto de una medida a la diferencia existente entre el valorexacto de la magnitud y el valor obtenido experimentalmente. Ahora bien, como no podemossaber el valor exacto, tampoco podemos conocer el error absoluto ası definido. El objetivo dela teorıa de errores es la estimacion de la incertidumbre asociada a un resultado dado. A estaincertidumbre se le denomina tambien error absoluto, y es esta segunda definicion la quenosotros utilizaremos.

El resultado experimental para una magnitudm lo expresaremos como sigue:

m(±∆m) (1)

siendo∆m el error absoluto. El doble signo± se coloca porque el error puede producirse porexceso o por defecto. No obstante, el error absoluto de una medida no nos informa por sı solode labondadde la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1cm. al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio. Por ello, se definecomoerror relativo al cociente:

∆m

m(2)

que a veces se multiplica por cien, cualificando la incertidumbre en porcentaje de la medidarealizada.

3

Practica – 0. Tratamiento de Errores 4

0.2. Clasificacion de los errores.-

Fundamentalmente, los errores se clasifican en dos grandes grupos: errores sistematicos y erro-res casuales.

1. Errores sistematicos.Son errores que se repiten constantemente en el transcurso de unexperimento, y que afectan a los resultados finales siempre en el mismo sentido. Se pue-den distinguir varias fuentes de errores sistematicos:

Errores de calibracion (o errores de cero) de los aparatos de medida. Es el caso,por ejemplo, del error que se comete cuando la aguja de un aparato analogico demedida (amperımetro, balanza, ...) no marca cero en la posicion de reposo. Estetipo de errores tambien pueden aparecer en los aparatos electronicos digitales comoconsecuencia de una mala calibracion interna.

Condiciones experimentales no apropiadas. Ocurren cuando se utilizan los instru-mentos de medida bajo condiciones de trabajo (presion, temperatura, humedad, fre-cuencia de la red, etc.) diferentes de las recomendadas.

Formulas o modelos aproximados. Este tipo de error aparece al pretender obtenerdemasıadas cifras significativas en los resultados extraıdos de un modelo o de unaformula aproximados. Por ejemplo, si se quiere medir la aceleracion de la grave-dad con mas de tres cifras significativas no se puede usar la formulag = 4π2L/T 2

(pendulo simple) porqueesta es una aproximacion que supone una serie de condi-ciones ideales, a saber:

• La cuerda no tiene masa (en la practica sı la tiene, entrando en juego el momentode inercia del hilo y cambiando la longitud efectiva del pendulo).

• El extremo de suspension del hilo es puntiforme (en realidad el pendulo oscilaalrededor de un eje de grosor finito).

• El roce con el aire es nulo (nunca puede reducirse a cero el rozamiento con elaire, y esto ocasiona que las oscilaciones vayan decreciendo en amplitud y queel periodo de oscilacion no sea constante).

• Las oscilaciones tienen lugar sobre un plano fijo (por mucho cuidado que seponga, existen siempre pequenas oscilaciones laterales y rotaciones adicionalesde la masa en suspension.

• La amplitud de oscilacion debe ser pequena (la formula anterior es tanto mejorcuanto mas proxima a cero sea la amplitud de oscilacion).

Por definicion, una medida es tantomas exactacuanto menores son los errores sistemati-cos.

2. Errores casuales o aleatorios.Como el propio nombre indica, no existe una causa pre-determinada para este tipo de errores. Son imposibles de controlar y alteran, tanto en unsentido como en otro (por exceso y por defecto), la medida realizada. Este tipo de erroresse someten a estudios estadısticos. Existen varias fuentes de errores casuales:

El cambio durante el experimento de las condiciones en el entorno, provoca errorescuya evaluacion es solo posible a partir de un estudio estadıstico hecho con medidasrepetitivas.


Falta de definicion en la cantidad a medir, lo que provoca valores diferentes en lasdistintas medidas realizadas. Por ejemplo, el diametro de una esfera metalica real noes una cantidad definida exactamente porque la esfera no es perfecta; si uno mide elvalor de varios diametros encontrara valores numericos diferentes.

Errores de precision, debidos a que el aparato de medida tiene una sensibilidad dada.Se define lasensibilidadcomo la unidad mas pequena que puede detectar un aparatode medida.

Errores de apreciacion, debidos a posibles defectos (visuales, auditivos, etc.) delobservador, o tambien a la estimacion a ojo que se hace de una cierta fraccion de lamas pequena division de la escala de lectura de los aparatos de medida.

Por definicion, una medida es tantomas precisacuanto mas pequenos son los errorescasuales.

0.3. Estimacion de errores en las medidas.-

La teorıa de los errores casuales proporciona un metodo matematico para calcular con buenaaproximacion cuanto puede alejarse del valor verdadero, el valor medido experimentalmente pa-ra una magnitud fısica dada. Debido al caracter aleatorio de los errores casuales, distribuyendo-se estos al azar por exceso o por defecto, se puede estudiar su influencia mediante tecnicasestadısticas. No ocurre ası con los errores sistematicos, los cuales afectan en un sentido dadoal resultado, sin tener, por tanto, caracter aleatorio. Las normas para estimar errores absolutosque a continuacion expondremos solo sirven para errores casuales, y presuponen que los erroressistematicos han sido cuidadosamente evitados. Hablaremos de una medida muy precisa cuan-do, una vez eliminados gran parte de los errores sistematicos, consigamos errores casuales muypequenos, y esto permitira escribir el resultado final con bastantes cifras significativas.

El objetivo de este apartado es establecer lo que nosotros vamos a definir como resultado expe-rimentalm de una medida y como error absoluto∆m de la misma. Distinguiremos dos situa-ciones: medida directa y medida indirecta.

0.3.1. Medida directa de una magnitud fısica.-

El procedimiento no sera el mismo si se hace una sola medida de la magnitud fısica que si sehacen varias.

Una sola medida:

En principio, cualquier medida experimental debe ser repetida varias veces. Cuando se observeque el resultado obtenido es siempre identicamente el mismo, y solo en ese caso, estara justi-ficado el quedarse con una sola medida. Dicha medidam1 sera el valor experimental obtenidoparam. Como error absoluto,∆m, se adoptara la mitad de la sensibilidad(S/2) del aparato demedida sieste esanalogico, y la propia sensibilidad(S), si esdigital (Sensibilidad(S): es la


unidad mas pequena que el aparato puede apreciar en la escala utilizada). En cuanto al resulta-do medidom1 hay que decir que en el caso de aparatos analogicos (con aguja, con diales, conniveles de mercurio, ...) existe la posibilidad de que la aguja (o cualquier otro mecanismo demedida) quede en el espacio intermedio entre dos marcas de la escala de medida. En este caso,puede adoptarse como valor de la medida el de la marca mas cercana a la posicion de la aguja,o bien, si se prefiere, cuantificar a ojo esa fraccion de unidad que no aparece ya en la escala.Con los aparatos digitales no puede darse esta posibilidad. Resumiendo, en los casos en que serealice una sola medida de valorm1, nuestro resultado sera:

m1(±S/2) analogicos (3)

m1(±S) digitales (4)

Ejemplos: Supongamos que un amperımetro analogico (medidor de intensidad de corriente) tiene unaescala de lectura que aprecia hasta decimas de amperio (sensibilidad:S = 0,1A), y al hacer una medidala aguja se queda a la mitad de camino entre 0.6 A y 0.7 A. En ese caso, se podra tomar como valorexperimentalm1 = 0,65A y como error absoluto0,1/2 = 0,05A. Se dira que la intensidad de corrien-te es de0,65(±0,05)A.. Supongamos que un cronometro digital que mide hasta milesimas de segundo(sensibilidad:S = 1 ms.) estima el perıodo de oscilacion de un pendulo en 882 milisegundos; entoncesm1 = 882 ms. y el error absoluto1 ms., y el resultado se dara como882(±1)ms.

Varias medidas:

Analicemos ahora la situacion mas habitual que corresponde al caso en que se realizanvariasmedidas de una magnitud fısica. La caracterizacion de los errores casuales se hace en estecaso mediante la ayuda de la Estadıstica. La filosofıa del metodo parte del hecho de que elvalor exacto de la magnitud es inaccesible, y el proceso de medida es un proceso aleatorio queviene gobernado por una distribucion de probabilidadnormal o gaussianacuya representaciongrafica (campana de Gauss) es

La forma funcional de esta distribucion es

P (x) =1

σ√

2πexp

((x− µ)2

2σ2

)(5)


Observese quex = µ es el valor mas probable al realizar una medida ya que para ese valorla distribucion de probabilidad presenta un maximo. El parametroσ nos da una medida de laanchura de la campana. La probabilidad de que al realizar una medida obtengamos un valorcomprendido en un intervalo cualquiera viene dada por elarea que hay bajo la curva gaussianaen ese intervalo. Ası, por ejemplo, la probabilidad de que el valor de una medida caiga den-tro del intervaloµ± σ es del68,30 %, dentro del intervaloµ± 2σ es del95,45 %, y dentro delintervaloµ±3σ es del99,73 %. El area total bajo la campana es logicamente1, ya que la proba-bilidad de encontrar el valor de una medida entre−∞ y +∞ es del100 %. La justificacion delestudio estadıstico radica en la suposicion de que el valor mas probableµ del proceso aleatoriocoincide precisamente con el valor verdadero de la magnitud fısica, y por ello nuestro objetivosera determinar con la mayor precision posible el valor deµ, y asimismo dar una expresionpara el margen de error en nuestra estimacion deµ. Observese que si los errores sistematicos(de caracter no aleatorio) no hubiesen sido previamente eliminados, no coincidirıanµ y el valorverdadero de la magnitud fısica.

Para determinar con exactitudµ habrıa que hacer infinitas medidas. Sin embargo, en el laborato-rio realizaremos un numero finiton de medidas que nos daran los valoresm1,m2,m3, . . . , mn.Sobre ese conjunto finito de medidas, la Estadıstica nos permite definir y calcular una serie deestadısticos(ciertas cantidades de interes estadıstico), a saber:

Valor medio o media aritmeticade losn valoresmi (i = 1, . . . , n):

m =1

n

n∑i=1

mi (6)

Desviacion de la medidami respecto de la media:

hi = mi −m (7)

Tambien se puede hacer una extension del concepto a desviacion respecto de un parametroa cualquiera:

hi,a = mi − a (8)

Una propiedad interesante que tiene el valor medio que lo hace ser muy representativo deun conjunto de medidas es precisamente el ser el parametro respecto del cual es mınimala suma de los cuadrados de las desviaciones, es decir, matematicamente:

(d (

∑ni=1(hi,a)

2)

da

)

a=m

= 0 ;

(d2 (

∑ni=1(hi,a)

2)

da2

)

a=m

> 0 (9)

Error cuadr atico medioo desviacion tıpica de lasn medidas:

s =

√∑ni=1 h2

i

n− 1(10)

El valor des nos da una idea de la dispersion de las medidasmi respecto de la mediam.


Error cuadr atico de la mediao desviacion estandar de lasn medidas:

sm =s√n

=

√ ∑ni=1 h2

i

n(n− 1)(11)

El valor desm es muy importante porque nos informa de como de parecido es el valormediom de nuestrasn medidas al valor mas probableµ del proceso aleatorio global(recuerdese nuestra hipotesis de partida de queµ es a todos los efectos el valor verda-dero de la magnitud fısica). De hecho, puede demostrarse que la probabilidad de quemeste dentro del intervaloµ ± 3sm es del99,73 % (distribucion gaussiana de los valoresmedios).

Como conclusion podemos decir quem nos da una estimacion deµ, y que cuanto menor seala desviacion estandarsm tanto mas se parece realmentem a µ. Evidentemente, la desviacionestandar decrece a medida que el numeron de medidas es mayor. Hay que senalar que muchasde las consideraciones estadısticas que se han hecho solo son estrictamente ciertas cuandones grande (por ejemplo,n > 30). No obstante, nosotros nos conformaremos con un numeroinferior de medidas, por ejemplo,10.

Como consecuencia de todo esto, nuestra forma de proceder sera la siguiente: se realizara uncierto numero (por ejemplo, 10) de medidas de una magnitud fısica, se calculara el valor medioy la desviacion estandar de todas ellas mediante las ecuaciones (6) y (11), se considerara comovalor experimentalm el valor medio y como error absoluto el triple de la desviacion estandar.Es decir, daremos como resultado final:

m(±3sm) (12)

Ejemplo: Supongamos que se desea medir con un cronometro digital que mide hasta milisegundos elperıodo de un pendulo. Se realizan10 medidas de dicho perıodo, y se obtienen los siguientes valoresen milisegundos (ms):902, 850, 915, 930, 888, 875, 889, 902, 902 y 890. A continuacion, se procedea calcular el valor medio mediante (6) obteniendose894,3 ms, y la desviacion estandar mediante (11)obteniendose6,9 ms. Tomamos como valor experimental el valor medio y como error absoluto el triplede la desviacion estandar. El resultado se expresarıa como894(±21) ms, donde se han hecho ciertosredondeos de acuerdo con las normas que daremos mas adelante en lo que concierne a presentacion deresultados.

En algunas ocasiones puede ocurrir que una medida suelta este especialmente alejada de todaslas demas, en ese caso puede descartarse dicha medida y sustituirse por una nueva, ya que lomas probable es que se haya tomado mal esa lectura concreta. Estas medidas incorrectas danlugar a los denominados puntos experimentales erroneos, los cuales deben ser indicados en lasrepresentaciones graficas. Como norma, si la desviacion de una medida dudosa,hi = mi −m,es mayor o igual que cuatro veces la desviacion promedio, se puede rechazar la medida dudosa.

Cuando se observa una fuerte dispersion en las medidas tomadas para una magnitud dada, sepuede aumentar el numero de medidas para ası reducir la desviacion estandar.


0.3.2. Medida indirecta de una magnitud fısica.-

Cuando se utiliza una formula para calcular el valor de una magnitud fısica a partir de otrasmagnitudes que se han medido directamente y de constantes fısicas, decimos que estamos ha-ciendo una medida indirecta. Es de suma importancia para este caso saber como sepropaganloserrores de las magnitudes medidas directamente hacia la que se esta obteniendo indirectamen-te. Dicho de otra forma, hay que ser capaces de dar una expresion para el error absoluto de lamagnitud medida indirectamente en funcion de los errores absolutos de las magnitudes medidasdirectamente. El tratamiento riguroso de la teorıa de propagacion de errores se fundamenta enel calculo diferencial. En algunas ocasiones, una magnitud fısica es medida indirectamente apartir de otraunica magnitud (funcion de una sola variable), pero, en general, es medida a partirde varias magnitudes cada una de las cuales viene afectada por un margen de error (funcion devarias variables).

Funcion de una sola variable:

La primera situacion que nos podemos encontrar es el caso de una magnitudy que va a sermedida indirectamente mediante una formula a partir de otraunica magnitudx que ha sidomedida directamente y que tiene un error absoluto∆x:

y = f(x) (13)

Como valor experimental dey adoptaremos el que resulta de evaluar (13) para el valor experi-mental dex. Por otra parte, el calculo diferencial nos asegura que siempre que el error no seademasiado grande y podamos aproximar∆x ∼ dx, podemos obtener de forma aproximada elerror absoluto eny como sigue:

∆y =

∣∣∣∣df(x)

dx

∣∣∣∣ ∆x (14)

donde se supone supone que∆y ∼ dy y estando la derivada que aparece evaluada en el valorexperimental dex. Hay que destacar que (14) es valida tanto si el valor experimental dex y suerror absoluto∆x fueron calculados por procedimientos estadısticos (ecuacion (12)) como sifueron calculados por procedimientos no estadısticos (ecuaciones (3) y (4)). En consecuencia,el resultado paray con su error vendra dado como:

y (±∆y) = f(x)±(∣∣∣∣

df(x)

dx

∣∣∣∣ ∆x

). (15)

Como caso particular de interes, el estudio anterior conduce a que el error relativo en una mag-nitud indirecta es el mismo que el de la magnitud medida directamente en el caso en que ambasmagnitudes seandirecta o inversamenteproporcionales. Ası si y = ax o y = a/x siendoa unaconstante (sin error), partiendo (14), tras realizar la correspondiente en derivada y dividiendoambos miembros pory, se tiene

Si y = ax o y =a

x⇒ ∆y

y=

∆x

x. (16)

Un problema que puede surgir (en casos excepcionales) cuando se utiliza (14) para el calculodel error absoluto de una medida indirecta es quedf

dxsea cero para el valor experimental de


x. Aparentemente, esto nos llevarıa a que∆y = 0, pero esto no es cierto. Hay que tener encuenta que (14) es lo que se denomina una aproximacion de primer orden del error. En el casocomentado habrıa que recurrir a la aproximacion de segundo orden:∆y = |d2f/dx2|∆x2 queevidentemente nos darıa un error muy pequeno pero distinto de cero.

Funcion de varias variables:

Consideremos ahora el caso de que en la formula de la magnitud indirectay aparezcan variasmagnitudes medidas directamente, por ejemplo:

y = f(x, z, t) (17)

De nuevo, se toma como valor experimental dey el que resulte de evaluar (17) para los valoresexperimentales dex, z y t. En cuanto al error absoluto dey, hay que distinguir ahora entre laposibilidad de que todas las magnitudes medidas directamente lo hayan sido mediante procedi-mientos estadısticos y la posibilidad de que una o varias de ellas hayan sido medidas medianteprocedimientos no estadısticos.

Todas las variables obtenidas por procedimientos estadısticosEn el supuesto de quetodas las variables hayan sido medidas medianteprocedimientosestadısticos(ecuacion (12) o rectas de mınimos cuadrados), se puede demostrar que ladesviacion estandar asociada ay viene dada en funcion de las desviaciones estandar desus variables por:

sy =

√(∂f

∂x

)2

s2x +

(∂f

∂z

)2

s2z +

(∂f

∂t

)2

s2t

(18)

donde∂f/∂x es la derivada parcial de la funcionf con respecto ax, y ası sucesivamente.Todas las derivadas parciales se evaluan en los valores experimentales dex, z y t.

Por tanto, en esta situacion particular escribiremos como resultado:

f(x, z, t)(±3sy) (19)

Alguna (o todas) las variables procedentes de una sola medidaEn estos casos usaremos como error absoluto en las variables que proceden de una solamedida el relacionado con la sensibilidadS del aparato utilizado, de acuerdo con (3)y (4), y como error absoluto para las variables estadısticas el triple de su desviacionestandar, de acuerdo con (12). Una vez asignados los errores absolutos, nuevamente elcalculo diferencial (de funciones de varias variables en este caso) nos permite obteneruna aproximacion para el error absoluto∆y en funcion de los errores absolutos de lasvariables directas:

∆y =

∣∣∣∣∂f

∂x

∣∣∣∣ ∆x +

∣∣∣∣∂f

∂z

∣∣∣∣ ∆z +

∣∣∣∣∂f

∂t

∣∣∣∣ ∆t (20)

y como resultado escribiremos como resultado:

f(x, z, t) (±∆y) . (21)


En el supuesto de que aparezcan constantes fısicas en la formula, se elegiran con unnumero suficiente de decimales para que su precision sea tal que podamos suponer quesu error absoluto sea cero.

Como ejemplo de especial interes, el estudio anterior conduce a que el error relativoen una magnitud indirecta,z, obtenida comocociente o productode dos magnitudes demedida directa (no estadısticas),x e z, tiene como error relativo la suma de los erroresrelativos de las dos variables directas. Ası si y = axz o y = ax/z, dondea es unaconstante sin error, tras realizar la derivadas parciales y dividiendo ambos miembros pory en (20) se tiene

∆y

y=

∆x

x+

∆z

zSi y = axz o y =

ax

z. (22)

Finalmente, como caso mas trivial pero de interes, si la magnitud indirecta se obtienecomo suma de las magnitudes directas,y = x + z + t, la ecuacion (20) nos indica que elerror absoluto sera la suma de los errores absolutos,∆y = ∆x + ∆z + ∆t.

En definitiva, para medidas indirectas de una magnitud se tomara como valor experimentalde la misma el que resulte de evaluar la formula para los valores experimentales previamenteobtenidos de cada una de sus variables, y como error absoluto el que corresponda segun loscasos de (14), (18) o (20).

Ejemplo: Supongamos que se ha medido una magnitud fısica x obteniendose un valor experimental0,442(±0,003) y que tenemos interes en medir indirectamente otra magnitud fısica que es precisamentey = x2. En primer lugar, el valor experimental dey esy = (0,442)2 = 0,195. El error absoluto dey secalcula de acuerdo con (15):∆y = |2x|∆x = 2 · 0,442 · 0,003 = 0,003. Por tanto, el valor experimentaldey es0,195(±0,003).

Ejemplo: Supongamos que se ha medido de forma directa la tension e intensidad en una resistenciaobteniendoseV = 10,0(±0,1) V e I = 2,50(±0,05) A. Determinaremos el valor deR = V/I (ley deOhm) con su error. Dado que se trata de un cociente, el error relativo enR sera la suma de los erroresrelativos enV e I (vease (22). Luego

∆R

R=

0,110

+0,052,50

= 0,03 (23)

por tanto

R =10,02,50

(±0,03× 10,0

2,50

)= 4,00(±0,12)Ω (24)

Ejemplo: Se han medido mediante procedimientos estadısticos la longitudL de un pendulo obteniendose1,453(±0,001)m y para el periodoT del mismo2,42(±0,01)s, y se desea calcular la aceleracion de lagravedadg a partir de la formula aproximada

g =4π2L

T 2. (25)


En primer lugar, se estima el valor experimental indirecto deg sustituyendo en (25) los valores experi-mentales deL y T :

g =4 · (3,1416)2 · 1,453

(2,42)2= 9,79 ms−2 . (26)

A continuacion, hay que evaluar el error absoluto deg. Dado queL y T fueron obtenidas por proce-dimientos estadısticos usaremos (18). Los valores de las desviaciones estandar son conocidos y estanimplıcitos en los errores absolutos que se han dado (recuerdese que∆m = 3sm), por tanto:

sL =∆L

3=

0,0013

= 0,0003m sT =∆T

3=

0,013

= 0,003s. (27)

y aplicando (18):

sg =

√(4π2

T 2

)2

(0,0003)2 +(

4π2L−2T 3

)2

(0,003)2 (28)

y sustituyendo los valores deL y T se obtienesg = 0,024ms−2. En consecuencia,∆g = 3sg =0,07 ms−2, y el resultado de la medida indirecta deg es9,79(±0,07) ms−2.

Como nota final, puede comprobarse que no es necesario tomar mas cifras de la constanteπ para poderconsiderarla como una constante sin error, ya que si se tomasen mas cifras el resultado final deg solo severıa afectado en cifras no significativas (por debajo del margen de error).

Ejemplo: Supongamos que nuevamente deseamos obtener el valor de la gravedad de acuerdo con (25),habiendo sido en este casoL y/o T obtenidas mediante una sola medida. En este caso, tras asignar loserrores absolutos, segun corresponda (a partir de la sensibilidadS o de la desviacion estandar, depen-diendo de como se obtuvo la medida), aplicando (20) se obtiene:

∆g =∣∣∣∣∂g

∂L

∣∣∣∣∆L +∣∣∣∣∂g

∂T

∣∣∣∣∆T =4π2

T 2∆L + 4π2L

2T 3

∆T (29)

y sustituyendo los valores deL, T , ∆L y ∆T del ejemplo anterior, se obtiene∆g = 0,09 ms−2. Portanto, el resultado de la medida indirecta deg en este segundo caso es9,79(±0,09) ms−2.

0.4. Presentacion de resultados numericos.-Cualquier valor experimentalm de una magnitud fısica debe expresarse con un determinadonumero de cifras, que viene limitado por el valor del error absoluto. El numero de cifras quehay desde la primera cifra distinta de cero empezando por la izquierda hasta la primera cifra quevenga afectada por el error absoluto, ambas inclusive, es el numero decifras significativas (N s)del resultado. Es evidente que no tiene sentido escribir cifras no significativas de un resultado.Ademas, el convenio de solo escribir las cifras significativas de un resultado nos hace tenerinformacion inmediata sobre su error absoluto por el mero hecho de verlo escrito.

Ejemplo: Si nos dicen que la longitud de un cuerpo es de14,7 m sabemos que se ha medido con unaprecision de decımetros y que, por ello, nos dan3 cifras significativas. Si la precision de la medidahubiese sido de centımetros, entonces nos habrıan dicho14,70 m (4 cifras significativas).


El expresar un resultado en una u otra unidad no cambia su numero de cifras significativas.Por eso, los ceros a la izquierda de un numero no son cifras significativas y solo se utilizanpara situar el lugar decimal. Los ceros a la izquierda pueden evitarse usando notacion cientıfica(potencias de10).

Ejemplo: Decir que una masa es de 2.342 g. o decir que es de 0.002342 kg., no cambia el numero decifras significativas que en ambos casos esN s = 4. En notacion cientıfica se escribirıa2,342 · 10−3Kg.

Los ceros al final de una medida pueden ser o no ser cifras significativas.

Ejemplo: Si nos dicen que en Espana hay 40000000 de personas puede que los haya exactamente, encuyo caso el cuatro y todos los ceros son cifras significativas, o puede que se haya redondeado a unnumero entero de millones, en cuyo caso solo el cuatro y el primer cero son cifras significativas. Paraestaultima situacion, lo mas aconsejable para evitar ambiguedades serıa entonces haber escrito40 · 106

o 40 millones.

Cuando se hace una medida tanto directa como indirectamente puede que se obtenga el resultadocon mas cifras de las significativas. De acuerdo a los antes expuesto, sera el error absoluto dela medida el que nos determine las cifras significativas con que debemos presentar el resultado.Ası, tras obtener el error absoluto, sera necesario llevar a cabo un redondeo en el valor de lamedida para conservar solo cifras significativas. A este fin, utilizaremos la tecnica deredondeo.En concreto, supongamos que el error nos indica que debemos conservar cifras hasta una dada;si la cifra siguiente a ella es cinco o mayor que cinco, entonces debemos aumentarla en unaunidad, pero si es menor que cinco, entonces no se modifica laultima cifra conservada.

Finalmente, hay que especificar como se aplica elredondeoa la propia expresion delerrorabsoluto. Debido al significado de incertidumbre en el resultado que se asocia al error absoluto,este mismo no debe expresarsenunca con mas de dos cifras. Por convenio, el error absoluto seexpresara con dos cifras si la primera de ellas es un1, o, si siendo un2, no llega a5 la segunda.En los demas casos, el error absoluto debera expresarse con una sola cifra obtenida medianteredondeo.

Ejemplos: Veamos algunos casos de resultados expresados correcta e incorrectamente.

INCORRECTO CORRECTO

5,619(±0,126) 5,62(±0,13)8,4(±0,06) 8,40(±0,06)345,233(±0,18) 345,23(±0,18)2,023(±0,0261) 2,02(±0,03)


Aunque la determinacion precisa del error y, por tanto, del numero de cifras significativas enuna magnitud calculada a partir de otras magnitudes debe llevarse a cabo mediante la tecnicade transmision de errores 0.3.2, podemos no obstante estimar el numero de cifras significativasen algunos casos sin necesidad de obtener previamente el error. Ası, en calculos que implicanmultiplicaci on, division y extraccion de raıcesde numeros, el resultado final no puede tenermas cifras significativas que los datos con menor numero de ellas. En calculos desumasy restasde numeros, el resultado final no tiene mas cifras significativas despues de la coma decimalque las de los datos con menor numero de ellas despues de la coma decimal. En el caso derestas entre numeros muy parecidos suele ocurrir que el resultado tiene muchas menos cifrassignificativas que cada uno de ellos.

Ejemplo: Tras medir los tres lados de un paralelepıpedo se han obtenido los siguientes resultados:a = 12,3 (±0,1) cm, b = 8,5 (±0,1) cm y c = 0,3 (±0,1) cm. Deseamos estimar el numero de cifrassignificativas para su volumen obtenido comoV = abc. De acuerdo con lo expuesto, el resultado finaldel volumen tendra solo una cifra significativa, ya que la medida con menos cifras significativas,c, poseeuna sola. Podemos verificar que lo anterior es cierto calculando el posible valor maximo y mınimo parael volumen:Vmın. = (12,2)(8,4)(0,2) = 20,496 cm3 y Vmax = (12,4)(8,6)(0,4) = 42,656 cm3. Como esposible comprobar, la primera cifra del volumen es distinta en cada caso, luego esta afectada de error (esincierta), y por lo tanto el resultado debera redondearse a una sola cifra:V = (12,3)(8,5)(0,3) = 31, 365cm3 que tras el redondeo resulta a una cifra quedaV = 0,00003 m3 o V = 3× 10−5 m3.

Cuando aparezcan constantes en las expresiones a evaluar, tomaremos dichas constantes con un numeromayor o, al menos, igual de cifras significativas que el que corresponda a la medida con mas cifras signi-ficativas. De esta forma evitamos que las constantes introduzcan errores adicionales (podemos entoncesconsiderarlas como exactas).

Ejemplo: Se quiere calcular el volumen de un cilindro recto de radior y alturah, siendor = 4,5(±0,1)cm yh = 55,7(±0,1) cm. El volumen esπr2h. La constanteπ debe tomarse como mınimo con3 cifrassignificativas para no ser causa de errores adicionales. El volumen se obtiene con dos cifras significativas,al igual que la medida con menos cifras significativas,r.

La importancia de conocer los errores absolutos de las medidas de las magnitudes fısicas a lahora de obtener conclusiones cientıficas queda de manifiesto con el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Supongamos que se desea determinar si la temperaturaT tiene algun efecto sobre la resistenciaelectrica de una bobina de alambre de cobre. Se miden dos valores de la resistenciaR para dos tempera-turas distintas y se obtiene:

T1 = 20oC R1 = 4,024 ΩT2 = 30oC R2 = 4,030 Ω

Sin los errores absolutos para cada valor de la resistencia no podemos sacar conclusiones cientıficas. Siel error de cada medida es de 0.002, entonces podemos concluir que la resistencia electrica aumenta conla temperaturaT . En cambio, si el error fuese de0,008 entonces no tenemos bases para llegar a la mismaconclusion.


0.5. Recta de mınimos cuadrados.-

El problema de la ciencia experimental no se reduce a medir ciertas magnitudes con la maximaprecision posible, sino que es, fundamentalmente, buscar una ley cuantitativa entre dos o masmagnitudes que estan variando en manera correlacionada.

Supongamos que el fenomeno que se quiere estudiar dependa de dos magnitudesx e y. La leyque gobierna el fenomeno relaciona una magnitudx con la otray de tal manera que duranteuna serie de experiencias se determinan los valores de una de ellas (y) que corresponden a losdistintos valores de la otra (x). Si se han hechon pares de medidas:

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) , (30)

nos preguntamos si es posible conocer la relacion funcional entre las magnitudesx e y. Dicharelacion puede ser formulada, diciendo que una de ellas es funcion de la otra:

y = y(x) . (31)

En otros terminos, se pretende encontrar lacurva de mejor ajustepara el conjunto de valoresexperimentales (30). El problema ası formulado es muy complicado debido al hecho de queexisten infinitas funciones a las que pertenecen losn puntos dados en (30). No obstante, en lapractica, el problema al que nos enfrentamos es de naturaleza mas simple, ya que la forma dela funcion y(x) es casi siempre conocida de antemano, de acuerdo con una determinada teorıao modelo. Por tanto, en primer lugar, elegirıamos el tipo de comportamiento funcional queconvenga a nuestro problema. Por ejemplo, podrıa ser alguno de los siguientes, dependiendodel fenomeno estudiado:

y = ax + b , y = b + a/x , y = ax2 + bx + c , y = aebx , . . . (32)

Una vez elegida la forma dey(x) adecuada, solo quedarıa determinar los valores de los parame-trosa, b, c, etc. que aparezcan eny(x), de forma que la funcion se “ajuste” lo mejor posible conla nube de puntos experimentales.

Aunque el concepto de mejor ajuste no es unıvoco, esto es, pude haber diferentes criterios sobreque considerar como mejor ajuste, elegiremos el denominado ajuste de acuerdo almetodo delos mınimos cuadrados. A continuacion, explicaremos esta tecnica para el caso de dependencialineal, y(x) = ax + b. Es decir, vamos a definirla recta de mejor ajuste en el sentido demınimos cuadrados, tambien denominadarecta de regresion. Las ideas basicas de la tecnicaque desarrollaremos pueden ser utilizadas para ajustar por mınimos cuadrados cualquier otrotipo de funcion. En cualquier caso, el ajuste tipo recta de mınimos cuadrados sera el unico queempleemos en las practicas que llevaremos a cabo durante el curso.

Supongamos, pues, que la funcion elegida para el ajuste sea una recta:

y = ax + b , (33)

dondea serıa la pendiente yb la ordenada en el origen. El objetivo sera determinara y b paraque (33) sea la recta que mejor se ajuste a la coleccion de datos experimentales (30) segun elcriterio que veremos a continuacion. Comenzaremos por definir elresiduode cada punto de(30) con respecto a la recta (33) como la cantidad:

ri = yi − y(xi) = yi − (axi + b) (i = 1, . . . , n) , (34)


cantidad que puede ser positiva o negativa segun el punto experimental(xi, yi) en cuestioneste por encima o por debajo, respectivamente, de la recta. En el caso particular de que el puntoestuviese sobre la propia recta su residuo serıa nulo.

En principio el valor de los residuos dependera de la recta elegida (determinada por los valoresconcretos elegidos paraa y b). El criterio de ajuste por mınimos cuadrados que utilizaremosconsistira en elegir la recta de forma quela suma de los cuadrados de los residuos sea mınima.Esto es, hemos de determinara y b de forma que

n∑i=1

r2i =

n∑i=1

(yi − axi − b)2 (35)

sea mınima. La suma anterior puede verse como una funcion de dos variables,∑n

i=1 r2i =

f(a, b), ya que, para un conjunto dado de datos experimentales, el resultado de dicha sumadependera solo de los valores elegidos dea y b, que actuan ahora como variables de la funcion.En este sentido, para determinar los valores dea y b que hacen mınima af(a, b) puede utilizarsela tecnica de calculo de maximos y mınimos de funciones de varias variables. Ası, exigiendo quelas derivadas parciales de la funcion f(a, b) con respecto a los variablesa y b, esto es(∂f/∂a)y (∂f/∂b), sean nulas se obtiene finalmente:

a =nC −DE

nF −D2b =

FE −DC

nF −D2(36)

siendo:

C =n∑

i=1

xiyi ; D =n∑

i=1

xi ; E =n∑

i=1

yi ; F =n∑

i=1

x2i . (37)

Puede demostrarse que la recta de mınimos cuadrados tiene la propiedad de que pasa por elpunto medio de los valores experimentales(x, y).

La pendientea y la ordenada en el origenb de la recta de mınimos cuadrados son en muchasocasionesmagnitudes fısicasque se quieren medir. Por ello, es importante establecer que errorabsoluto vamos a considerar para dichos parametros ası calculados. Se puede demostrar que ladesviacion estandar dea y b viene dada por:

sa =

√n

∑ni=1 r2

i

(n− 2)(nF −D2)(38)

sb =

√F

∑ni=1 r2

i

(n− 2)(nF −D2)(39)

Por tanto, como vimos en su momento (12), tomaremos como error absoluto de la pendientey de la ordenada en el origen de una recta de mınimos cuadrados al triple de sus desviacionesestandar respectivas:

a(±3sa) (40)

b(±3sb) (41)

Conviene senalar que, en algunas ocasiones, esta banda de error paraa y parab resulta serexcesiva, resultando aparentemente imposible seleccionar ni siquiera una sola cifra significativa


de los resultados. Cuando ello ocurra, es aceptable adoptar uncriterio de error mas suave(porejemplo, las propias desviaciones estandar en lugar del triple de las mismas).

La recta de regresion obtenida nos permitira, si lo deseamos, estimar el valor de la magnitudypara valores dex distintos a los inicialmente medidos. Se puede demostrar el valor obtenido,yo, utilizando la recta de regresion para un cierto valor,xo (no medido), viene afectado por unadesviacion estandar:

syo=

√∑ni=1 r2

i

(n− 2)

[D − 2xoD + nxo

nF −D2

], (42)

y como error absoluto del valor deyo estimado adoptaremos el triple de su desviacion estandar:

y(±3syo) . (43)

Existe un parametro muy importante denominadocoeficiente de correlacion lineal r de las va-riablesx ey, que nos permite determinar la bondad del ajuste de la recta de mınimos cuadrados.Una de las formas de expresarlo es:

r =nC −DE√

(nF −D2)(nG− E2)(44)

siendoG =∑n

i=1 y2i . El coeficiente de correlacion puede ser positivo o negativo y su valor

absoluto,|r|, varıa entre0 y 1; el ajuste es tanto mejor cuanto mas proximo este |r| de la unidad.Un valor de|r| proximo a cero indica que no hay mucha correlacion lineal entre los datos, yque posiblemente haya que buscar una correlacion mas complicada (es decir, la nube de puntosexperimentales se ajustarıa mejor con una funcion distinta de una recta).

Muchascalculadorasası comoprogramas para representacion graficade funciones traen in-corporadas como utilidad estadıstica el calculo derectas de regresion, proporcionando todoslos parametros del ajuste para los pares de valores(xi, yi) que se utilicen como datos.

Finalmente, cabe indicar que el estudio anterior llevado a cabo para la recta de mejor ajuste,tiene un doble interes: por un lado, la dependencia tipo recta es muy frecuente entre magnitudesfısicas y, por otro lado, muchas otras dependencias mas complicadas pueden reducirse a unadependencia tipo recta mediante un cambio de variables adecuado. A continuacion se exponenalgunos ejemplos

funcion inicial cambio forma lineal

y = ax2 x2 = z y = azy = a

√x

√x = z y = az

y = Aexp(−x) ln(y) = z ; ln(A) = b z = −x + by = Axn ln(y) = z ; ln(A) = b; ln(x) = t z = b + nt

0.6. Realizacion de graficas.-

Las representaciones graficas son una herramienta imprescindible para la fısica experimental.Con el fin de que la graficas aporten toda la informacion necesaria de la forma mas adecuadadeben seguirse ciertas normas de caracter general:


Las graficas podran realizarse manualmente o bien haciendo uso de algunsoftwaregrafi-co. Caso de hacerse manualmente debera utilizarse papel milimetrado.

Los datos experimentales siempre deben aparecer nıtidamente en la grafica. Se presenta-ran como un conjunto de puntos. En este sentido,no deben unirse dichos puntosentresı mediante segmentos formando una extrana lınea quebrada (debe controlarse esta opcionen los programas desoftwaregrafico).

la recta de regresion se dibujara sobre la nube de puntos experimentales enuna unicagrafica.

Los intervalos de valores considerados en los ejes deben ser tales que la recta represen-tada se visualice convenientemente en la graficaocupando la mayorarea posibley noaparezca concentrada en una fraccion de ella (es decir, evitar que la grafica quede en unaesquina y el resto de papel vacıo).

Debeespecificarsesiempre sobre los ejes horizontal y vertical cuales son lasmagnitudesallı representadas, ası como lasunidadesfısicas a que corresponden.

0.7. Memorias de las practicas.-

La realizacion de un trabajo experimental en el laboratorio ira siempre acompanada de la pos-terior presentacion de una Memoria de la Practica. Cada pareja de practicas presentara unaMemoria de cada Practica realizada.

La presentacion de las Memorias debera estar dentro de los margenes de claridad y limpiezaexigibles a un alumno de ensenanzas superiores.La utilizacion de ordenadores e impresoraspara la elaboracion de las Memorias es la opcion mas recomendable, no obstante, puedenrealizarse manualmente si el alumno no dispusiese de medios adecuados. La presentacion ex-tremadamente cuidada sera un factor positivo a tener en cuenta, pero en ningun caso la excusapara descuidar el contenido escrito de las Memorias.

Un esquema general (aunque flexible) del contenido de una Memoria es el que sigue:

1. Una primera pagina con tıtulo, autores y fecha de realizacion de la Practica en el labora-torio.

2. Unabreveintroduccion para marcar los objetivos de la Practica.

3. Una descripcion del montaje experimental utilizado en el laboratorio: aparatos, tecnicasde medida, etc.

4. Presentacion de resultados: tablas, graficas, etc. Los resultados deberan venir acompanadosde sus correspondientes errores, cuando ası se especifique. No olvidar nunca presentar losresultados con sus unidadescorrespondiente, en otro caso carecerıan de significado.

5. Interpretacion de los resultados y conclusiones. Comentarios sobre cualquier aspecto deltrabajo experimental, detalles acerca del desarrollo del experimento, posibles fuentes deerrores sistematicos no eliminadas, sugerencias, etc.


6. Un ultimo punto que se debe anadir a la practica y de fundamental importancia conciernea laconfrontacion de los resultados obtenidos mediante las rectas de mınimos cuadradoscon los resultados predichos por la teorıa correspondiente. Una memoria de practicas sinestos comentarios se considerara incompleta y se puntuara en consecuencia.


RESUMEN: Estimacion de Errores en las Medidas

1. Medidas directas

a) Una unica medida

Valor verdadero: el medido,m

Error cometido: Aparatos analogicos, la sensibilidadS del aparato⇒m± S.En aparatos digitales,S/2⇒m± S/2.

b) Varias medidas

Valor verdadero: el valor medio,m

Error cometido: El triple de la desviacion standard media,sm ⇒ m± 3sm.

2. Medidas Indirectas: y = f(x, z, t, . . .)

a) Medidas obtenidas de una sola medicion

Valor experimental dey: el que resulta de evaluar la funcion y para los valoresobtenidos directamente dex, z, t, . . .

Error cometido: aproximamos mediante tecnicas de calculo diferencial

dy = ∆y =

(∂f

∂x

)∆x +

(∂f

∂z

)∆z +

(∂f

∂t

)∆t + · · · ,

los∆x, ∆z, ∆t, . . . se obtendran de las sensibilidades de los aparatos de medi-das.

b) Medidas obtenidas por tecnicas estadısticas

Valor verdadero:x −→ x± 3sx

z −→ z ± 3sz

t −→ t± 3st

y por tanto valor experimentaly = f(x, z, t, . . .).

Error absoluto cometido en y,±sy, se obtiene de tecnicas estadısticas:

sy =

√(∂f

∂x

)2

s2x +

(∂f

∂z

)2

s2z +

(∂f

∂t

)2

s2t

3. Recta de Mınimos Cuadrados: y = ax + bError cometido ena y b, es suficiente cona± sa, b± sb.

Buen ajuste si valor absoluto coeficiente de correlacion, |r|, proximo a la unidad.

Practica 1

Osciloscopio

Conceptos Implicados

Senales periodicas, amplitud, frecuencia, periodo, desfase.

Fundamento Teorico

El osciloscopio es el instrumento masutil para el estudio ymedida de senales electricas pe-riodicas. Permite la visualizacion en una pantalla de senalesexternasproducidas por fuentes,circuitos, antenas, etc.

El corazon del osciloscopio es un tubo de rayos catodicos. En su interior existe un canonde electrones que produce un fino haz de electrones de gran velocidad que incide en la pantalla(ver Fig.1.1). Dicho haz en su trayectoria hacia la pantalla, pasa entre dos placas de desviacion

Figura 1.1:

horizontal y dos de desviacion vertical. Al aplicarse senales de tension en las placas deflectoras,la trayectoria del haz varıa de acuerdo a estas senales. El haz se desvıa a causa de la fuerzatransversal que ejercen los campos electricos creados por las placas. Si no se aplica tensionalguna a las placas, el haz produce una mancha puntual en el centro de la pantalla.

La principal funcion del osciloscopio es la visualizacion y medicion de senales periodicasen los circuitos. La senal que se quiere observar se aplica a las placas deflectoras verticales.Las placas horizontales se someten a una senal de tension en diente de sierra que produce unmovimiento horizontal del haz a velocidad constante. Esta senal en diente de sierra es producida

21

Practica – 1. Osciloscopio 22

internamente por el osciloscopio. Al aplicar esta senal en diente de sierra se dice que se haestablecido una base de tiempos (mando de TIME/DIV).

Las sucesivas posiciones verticales del punto de incidencia del haz en pantalla, depen-dientes de los sucesivos valores que la senal de tension aplicada a las placas verticales tomaen el tiempo, experimentan un desplazamiento horizontal hacia la derecha debido a la senalen diente de sierra aplicada a las placas horizontales. Normalmente las senales aplicadas a lasplacas, deberan ser atenuadas o amplificadas, a este efecto el osciloscopio va provisto de dosamplificadores de desviacion vertical y uno para la horizontal (mandos de VOLTS/DIV).

En resumen, el punto luminoso se ve sometido a dos senales, una horizontal, que causara elmovimiento horizontal a velocidad constante y periodicamente, y otra vertical que es la quequeremos ver representada en funcion del tiempo. Por tanto, el ejex se dice que representauna base de tiempos. Es posible si se desea, aplicar tambien una senal externa a las placasdeflectoras horizontales. En este caso la senal interna de diente de sierra queda desactivada(modo de trabajo XY).

Para obtener una senal fija en al pantalla, es necesario que la frecuencia de la senal aplicadaen las placas verticales sea un multiplo de la frecuencia de barrido de la senal de diente desierra. Si no ocurre esto, la mancha luminosa no trazarıa siempre el mismo camino sobre lapantalla, y la imagen deslizarıa o saltarıa. Por tanto, la frecuencia de la senal de barrido debesincronizarse con la senal aplicada a las placas verticales mediante circuitos auxiliares asociadosal osciloscopio (circuitos de disparo).

Determinados osciloscopios denominados de doble traza, permiten la visualizacion si-multanea de dos senales externas aplicadas a las placas verticales. Para visualizar de formaestable en pantalla ambas senales, es necesario que la frecuencia de ambas sea la misma omultiplo entero una de otra.

Controles del osciloscopio

El osciloscopio, como cualquier aparato de medida, esta provisto de una serie de mandos ycontroles que permiten realizar la medida en las condiciones masoptimas. Todos estos mandos,no varıan la senal externa que se esta midiendo. La forma masoptima para realizar una medidaconsiste en visualizar al maximo la parte de la senal que se desee medir, utilizando las escalasde tiempo y de amplitud mas pequenas posibles. De esta forma se minimiza el error en lamedida. Este proceso es equivalente, en el caso de medidas de longitudes, al uso de una reglagraduada en milımetros para medir centımetros, frente a graduacion en centımetros para medircentımetros.


MONTAJE Y REALIZACI ON

En primer lugar debe notarse que el osciloscopio es uninstrumento de mediday que, por tanto,cualquier manipulacion que se haga en los mandos del osciloscopioNO modifica en modoalguno la senal analizada, sino que simplemente afecta a su visualizacion en la pantalla. Estapantalla presenta unas divisiones mayores (que corresponden a las cuadrıculas) ademas de unassubdiviones menores en los ejes principales, que corresponden a 1/5 del tamano de una de lasdivisiones mayores.

Cualquier medida que se haga en el osciloscopio consistira siempre en una medida decuantas divisiones y subdivisiones “ocupa” la senal (al igual que ocurre al medir con una regla).No obstante, a diferencia de lo que pasa con una regla, las escalas del osciloscopio puedenvariarse mediante los mandos de control 10 (TIME/DIV) y 24 y 30 (VOLTS/DIV). De estemodo, mediante los mandos VOLTS/DIV se regula el valor en voltios de cada division vertical(eje y), controlando de esta forma el tamano vertical de la senal y permitiendo una medidaprecisa de la amplitud de la misma. Por su parte, mediante el control TIME/DIV controlaremosel valor en tiempo de cada division en el eje horizontal (ejex), lo que nos permitira ajustar lavision de la senal a fin de medir con precision su periodo temporal.

I. Medida de una senal de continua

La medicion de una senal de continua puede llevarse a cabo adecuadamente con un polımetro,ya que visualizarla en la pantalla de un osciloscopio no anade informacion; en concreto, se verıauna recta horizontal indicando que el valor de la tension es igual para todo instante de tiempo.No obstante, en este apartado llevaremos a cabo la medida de este tipo de senal con el objetivode aprender la tecnica de medida del osciloscopio del que disponemos.

1. Conmute el mando de control de entrada a GD (mando 22) y situe mediante el controlde posicion vertical (botones Y-POS. 21 o 36, dependiendo del canal usado) el nivel dereferencia de 0 voltios (tierra) en la lıneainferior de la pantalla del osciloscopio. De estaforma, dispondremos del mayorarea de pantalla posible para llevar a cabo las medidas.

2. Una vez realizado el ajuste anterior, conmute ahora el mando 22 a la posicion DC, conel fin de poder medir senales de continua, y conecte la sonda del osciloscopio a la pila,de manera que la pinza de referencia de la sonda este conectada en el polo negativo de lapila.

3. Ajuste el mando VOLTS/DIV de forma que vea la senal de continua (lınea recta) en lapantalla lo mas alto posible sobre la lınea de tierra (lınea inferior de la pantalla). Mida latension suministrada por la pila y apunte el resultado junto con su correspondiente erroren la medida.

4. Repita esta medida con una escala distintas de tension. Para ello, cambie de escala enel control VOLTS/DIV de forma que vea la senal mas cerca de la parte inferior de lapantalla. Tome nota de los resultados en esta escala.


Trabajo a realizar posteriormente:

Presente los resultados experimentales obtenidos para las dos escalas de medida junto consus errores correspondientes, y saque conclusiones sobre la mayor o menor precision que seconsigue al usar escalas con mayor o menor valor por division. Para presentar los resultados,siga las instrucciones que se exponen a continuacion en un ejemplo.

El error en la medida del osciloscopio (debido a que se mide sobre una lınea con divisiones y subdi-visiones, como si fuese una regla) es siempre la mitad de la subdivision mınima. En nuestro caso, lasubdivision mınima es 1/5 = 0,2 de la division mayor, ya que esta esta dividida en cinco subdivisiones.Por tanto, la precision visual sera 0,1, esto es, un decimo de la division mayor. En concreto, si por ejem-plo los medidas obtenidas hubiesen sido 6 divisiones enteras y 3,5 subdivisiones en la escala 1V/DIV,y 3 divisiones enteras y 2 subdivisiones en la de 2V/DIV, los resultados se presentarıan como sigue:

V = (6,7± 0,1)(DIV)× (1V/DIV) = 6,7(±0,1) V , (escala 1V/DIV)

V = (3,4± 0,1)(DIV)× (2V/DIV) = 6,8(±0,2) V , (escala 2V/DIV) .

II. Medida de senales periodicas

I MEDIDA DEL PERIODO Y AMPLITUD DE UNA SENAL SENOIDAL

En este apartado fijaremos en la fuente una cierta senal y la mediremos con precision con elosciloscopio.

1. Fije el nivel de tierra del osciloscopio (GD) en la lınea intermedia de la pantalla. Con-mute a AC el control de entrada. Conecte la fuente de tension a uno de los canales delosciloscopio (mediante un coaxial que va directamente de la fuente a la entrada del canalelegido).

2. Fije en la fuente de tension, mediante el control de frecuencia, una senal senoidalentre900 Hz y 1.5 kHz.Noes necesario que apunte la frecuencia ya que el objetivo sera, comoveremos posteriormente, determinarla con precision usando los resultados experimenta-les.

3. Manipulando los controles de escala de voltaje (VOLTS/DIV) y tiempo (TIME/DIV),optimize la visualizacion de la senal en la pantalla del osciloscopio. Mida su periodo yamplitud y apunte estos resultados junto con sus correspondientes errores.


Obtenga el valor experimental de la frecuencia junto con su error correspondiente a partir de losvalores experimental medido para el periodo con su error. Para obtener el valor experimentalde la frecuencia y su correspondiente error lea la breve explicacion a continuacion.

El valor experimental de la frecuencia sera logicamente el inverso del valor experimental del periodomedido. Por su parte, el calculo del error en la frecuencia (magnitud obtenida de forma indirecta) apartir del valor del periodo con su error (magnitud medida de forma directa) haremos uso de la teorıade transmision de errores (vease la seccion 0.3.2 de la practica 0 sobre errores), segun la cual sededuce que magnitudes proporcionales o inversamente proporcionales poseen igual error relativo. Ası,si T ±∆T es el periodo medido,

∆f

f=

∆T

T⇒ ∆f =

f∆T

T=

∆T

T 2,


por tanto, el valor experimental de la frecuencia sera

f ±∆f =1T± ∆T

T 2.

I ESTUDIO DE UNA SENAL PERIODICA CUADRADA

Este apartado tiene por objeto familiarizarse con las senales periodicas cuadradas. Con eseobjeto analizaremos, con ayuda del osciloscopio, una senal cuadrada. Ademas, mediremos eltiempo aproximado que emplea la senal en pasar de su valor mınimo a su valor maximo, lo quedenominaremos tiempo de subida.

1. Conecte el coaxial que va desde la fuente hasta el osciloscopio en la salida de la fuentecorrespondiente a senales cuadradas.

2. Fije con el dial del generador una frecuencia comprendida entre 150 y 200 kHz. Visualicela senal en el osciloscopio y manipule el control de amplitud del generador hasta que ladiferencia entre el valor maximo y mınimo de la senal este comprendida entre 1 y 3 V.Finalmente optimice la visualizacion de la senal en el osciloscopio (para ver al menosun periodo completo) y tome nota de los valores experimentales de ambas magnitudes(frecuencia y amplitud) con su error.

3. Manipule ahora la escala TIME/DIV del osciloscopio a fin de ampliar en lo posible elflanco de subida de la senal (parte en que comienza a subir). Anote el valor aproximado(no es necesario apuntar error) del tiempo que la senal emplea en pasar desde su va-lor mınimo hasta su valor maximo (vease la Fig.1.2). Denominaremos a este tiempo,tstiempo de subida de la senal.

ts

Figura 1.2:


Presente los resultados experimentales obtenidos para el periodo y la diferencia entre valoresmaximo y mınimo de la senal con su errores correspondientes ası como el valor aproximadomedido para el tiempo de subida.

I DESFASE ENTRE DOS SENALES SENOIDALES

En este apartado visulizaremos simultaneamente dos senales senoidales de igual frecuencia perodesfasadas, esto es, que no alcanzan los valores maximos y mınimos simultaneamente. Adelantode una senal respecto de la otra,δt, se denomina desfase temporal. Como veremos el desfasepuede expresarse tambien como unangulo.


1. Fije en la fuente de tension, mediante el control de frecuencia, una senal senoidalde 10kHz.

2. Ponga el osciloscopio en el modo dual (para ver dos senales simultaneamente) y aseguresede que las tierras de ambos canales (GD) coinciden.

3. En el circuito serie resistencia condensador (RC serie) montado en la regleta (vease esque-ma en Fig.1.3) visualice simultaneamente por el canal CH I la tension en el condensador,V1 = VC(t), (use la sonda) y por el canal CH II la tension total suministrada por la fuente,V2 = VC(t) + VR(t) (use el coaxial).(aviso: al conectar la sonda en el condensador para medirV1, tenga en cuenta que la pinzade cocodrilo de la sonda debe conectarse al extremos del condensador conectado a tierra,ya que dicha pinza va internamente conectada a tierra)

R

C

VR

VC

V2 (CH II)

V1 (CH I)

Punta de la sonda

Pinza de la sonda

Figura 1.3: Circuito RC serie para medir el desfase,δt, entreV2 y V1.

4. Ajusteremos ahora las senales a 10 kHz con mayor precision antes de medir tiempos. Elijapor ejemplo la senalV2. Su periodo debe ser1/104 s=100µs, esto es, debera ocupar 5 di-visiones en la escala 20µs/DIV, en caso contrario ajustelo mediante el dial de frecuenciasdel generador.

5. Tome nota del periodo obtenido para la senal V2 junto con su correspondiente error (re-cuerde que ambas senalesV1 y V2 poseen igual periodo, no siendo necesario, por tanto,medir el periodo deV1).

6. Mida en el osciloscopio el desfase temporal,δt, entre las dos senales y tome nota de suvalor junto con su correspondiente error. Se recomienda medirδt entre los cortes de lassenales con el eje horizontal (ejex), ya que se observa notablemente mejor que midiendo-lo entre maximos.

7. Tome nota de los valores usados deR y C.


1. Calcule el desfase angular en radianes, φ, entre las senales armonicas V1(t) y V2(t) juntocon su error correspondiente (lea previamente la breve explicacion teorica del final).


Para el calculo del error en el desfase tendremos en cuenta que la teorıa de errores en medidasindirectas (vease la seccion 0.3.2 de la practica 0 sobre errores) conduce que el error relativo delcociente es la suma de los errores relativos del numerador y denominador. Ası si φ = 2πδt/T ,como se explica al final, se tiene:

∆φ

φ=

∆δt

δt+

∆T

T⇒ ∆φ = 2π

δt

T

[∆δt

δt+

∆T

T

].

2. Compare el resultado experimental obtenido para φ con el resultado teorico

φ = arctan(ωRC) ,

que se obtendrıa de un analisis mediante las tecnicas de corriente alterna.

Breve explicaci on te orica

Sean dos senales senoidales cualesquiera, VA y VB , de igual frecuencia pero que no oscilan enfase. Supongamos que sea la senal VB la que adelanta en δt segundos a la senal VA, entoncestendremos:

VA(t) = A cos(ωt)VB(t) = B cos[ω(t + δt)] = B cos(ωt + ωδt)

= B cos(ωt + φ) ,

donde φ = ωδt serıa, por tanto, el valor en radianes del desfase, o desfase angular, correspon-diente al desfase temporal δt. Teniendo en cuenta que ω = 2π/T , tambien podemos escribir el

desfase angular en terminos del periodo: φ = 2πδt

T(rad.).

Utilizando esta ultima expresion es facil ver que, por ejemplo, un desfase de angular φ = π/2radianes (900) corresponde a una diferencia de tiempo de δt = T/4, un desfase φ = π radianes(1800) a δt = T/2, etc.

t

dt

V (t)B

V (t)A

Practica 2

Interferencia de microondas


Longitud de onda, frecuencia, onda estacionaria, reflexion, interferometro de Michelson.

Principios fısicos

Un haz de microondas, que se refleja en una pantalla metalica o en una placa de vidrio, interfierecon las ondas primarias. A partir de las interferencias resultantes se determina la longitud deonda y la frecuencia de trabajo.

Objetivos

Medida de la longitud de onda de microondas por generacion de interferencias

1. por reflexion en la pantalla metalica,

2. con el interferometro de Michelson.

Fundamento teorico

1. Si tal como se muestra en la Fig.2.1, una onda plana producida por la bocina incide a lolargo del ejex (regla graduada) y es reflejada por una pantalla metalica situada perpendi-cularmente a dicho eje, las ondas incidentes y reflejadas interferiran, esto es

E = A cos ω(t− x

c

)− A cos ω

(t +

x

c

)

= 2Asenωtsenωx

c

siendoω la frecuencia angular yc la velocidad de propagacion de la onda en el vacıo (k =2π/λ = ω/c). Debido a este proceso de interferencia se forma unaonda estacionaria,cuyosnodos(posiciones donde la magnitud del campo electricoE se hace nula) verifican

x = nλ

2, n = 0, 1, 2, · · ·

30

Practica – 2. Interferencia de microondas 31

Osciloscopio

Generadorde microondas

Bocina

Detector

Figura 2.1: Interferencia en una pantalla metalica

y susvientres(posiciones donde el campo electricoE se hace maximo)

x = (2m + 1)λ

2, m = 0, 1, 2, · · · .

A partir de la distancia entre los maximos o mınimos de intensidad de la onda estacionaria,es posible conocer el valor de la longitud de onda, (λ) y, por tanto, la frecuencia,f , de laemision (f = c/λ , c ≈ 3× 108 m/s).

2. Si un haz de microondas incidente es dividido en dos nuevos haces coherentes (haces (1) y(2) en Fig.2.2) utilizando una placa de vidrio, de manera que estos nuevos haces recorrancaminos distintos antes de llegar al detector (utilizando para ello las pantallas metalicas),es posible detectar interferencias que seran constructivas (maximos) o destructivas (mıni-mos) dependiendo del valor de la diferencia de camino recorrido por ambas ondas hastael detector (interferometro de Michelson: ver Fig.2.2).

Al detector mostrado en la Fig.2.2 llegan los haces (1) y (2) que pueden escribirse como

(1) A1 cos(ωt− kr1 + φ)

(2) A2 cos(ωt− kr2 + φ) ,

siendor1 − r2 = 2x1 − 2x2 la diferencia de distancias recorridas por los haces (1) y (2),y φ el desfase acumulado en el recorrido comun de los dos haces. Utilizando la notacioncompleja asociada y tomando como origen de tiempos aquel que impliqueφ = 0, lasondas anteriores pueden escribirse como sigue

(1) A1e−jkr1eωt

(2) A2e−jkr2eωt .


45O

(1)

(1) (1)

(2)

(2)x1

x2

vidrio

Pantalla 2

Panta

lla1

osciloscopio

bocina

generador

detector

Figura 2.2: Montaje de Michelson para la interferencia de microondas

La perturbacion resultante en el detector sera la interferencia producida por la superposi-cion de (1) y (2):

(1) + (2) =[A1e

−jk2r1 + A2e−jk2r2

]eωt .

La amplitud de esta perturbacion resultante sera

A =√

A21 + A2

2 + 2A1A2 cos(k∆r)

con∆r = 2x1 − 2x2.

Esta amplitud, y por tanto la intensidad de la onda, presentara maximos y mınimos cuandose satisfagan las siguientes condiciones:

k∆r =

2nπ maximos

(2n + 1)π mıminosn = 0, 1, 2, . . . ,

esto es, cuando

x1 − x2 =

nλ/2 maximos2n + 1

4λ mıminos.

El estudio del valor de la amplitud de interferencia,A, en funcion dex1 − x2, permitedeterminar la longitud de onda de la senal ası como su frecuencia.


La bocina mostrada en la Fig.2.1 es una fuente de senales de microondas de frecuencia fija(se denominan microondas a aquellas ondas cuya frecuencia,f , esta comprendida en el rango300 MHz < f < 300 GHz). La amplitud de la senal de microondas emitida por la bocinaesta modulada internamente por una senal periodica cuadrada de frecuencia 50 Hz con el fin depoder observarla en el osciloscopio. La amplitud de la senal observada en el osciloscopio (esdecir, la senal envolvente de baja frecuencia), es proporcional a la intensidad de la microonda.


Reflexion en una pantalla metalicaPor superposicion de la onda incidente mas la reflejada en la pantalla se obtiene un pa-tron de ondas estacionarias en la region comprendida entre el generador y la pantalla.La senal de baja frecuencia observada en el osciloscopio es una senal detension que esproporcional a lamagnituddel campo electrico medido en el detector. Moviendo el de-tector tendremos que esta senal varıa siguiendo justamente el patron de interferencia. Noobstante, en esta practica no es de esperar la existencia de una onda estacionaria puradebido a que las ondas incidente y reflejada no tienen exactamente la misma amplitud.Esto provoca que no exista una cancelacion total de campo electrico en los mınimos (estoes, los nodos no seran puntos de intensidad nula).

1. Monte esta primera parte de la practica tal como se muestra en la Fig.2.1.

2. Varıe la posicion de la pantalla dejando fijo el detector (lo cual es equivalente adejar fija la pantalla y desplazar el detector). Observara que la senal visualizada enel osciloscopio muestra distintos maximos y mınimos consecutivos en funcion de laposicion de la pantalla.

3. Tome nota de la posicion de al menosdiezmaximos y mınimos consecutivos. No esnecesario tomar nota del valor de tension de la senal visualizada en el osciloscopio.


1. Obtenga la longitud de onda de la microonda emitida por el generador a partir de ladistancia promedio entre maximos y mınimos consecutivos. Obtenga asimismo elerror en la medida anterior mediante el tratamiento que se explica en el Apartado0.3.1 para el caso de varias medidas directas.

2. A partir del resultado obtenido para λ y su correspondiente error, obtenga la fre-cuencia de emision junto con su error. En este caso, para calcular el error, utiliceel tratamiento correspondiente a medidas indirectas de una magnitud que dependede una sola variable (ver Apartado 0.3.2).

Interfer ometro de MichelsonLa Fig. 2.2 muestra el esquema basico del interferometro de Michelson. Las ondas (1)y (2) que llegan al detector procedentes de las placas metalicas interfieren entre sı trashaber recorrido diferentes distancias. En el osciloscopio se observa la amplitud de lasenal de baja frecuencia (50 Hz) que es proporcional a la amplitud de la interferencia.Para una posicion fija del detector, la amplitud de interferencia detectada depende de ladiferencia de las distancias recorridas por ambas ondas (segun se explico anteriormente).Si la pantalla metalica 2 se deja fija, la variacion de∆x es equivalente a la variacion de ladistancia2x1.

1. Monte la experiencia mostrada en la Fig.2.2.

2. Desplace la pantalla metalica 1 y observe como la senal del osciloscopio muestradistintos maximos y mınimos consecutivos en funcion de la posicion de dicha pan-talla.

3. Tome nota de la posicion de la pantalla,x1, para la cual se observen al menos diezmaximos y mınimos consecutivos en la senal del osciloscopio.


1. Obtenga la longitud de onda de la microonda emitida por el generador a partir de ladistancia promedio entre maximos y mınimos consecutivos. Obtenga asimismo elerror en la medida anterior mediante el tratamiento que se explica en el Apartado0.3.1 para el caso de varias medidas directas.

2. A partir del resultado obtenido para λ y su correspondiente error, obtenga la fre-cuencia de emision junto con su error. En este caso, para calcular el error, utiliceel tratamiento correspondiente a medidas indirectas de una magnitud que dependede una sola variable (ver Apartado 0.3.2).

Practica 3

Corriente Continua


Corriente electrica, ley de Ohm, fuerza electromotriz, asociacion de resistencias, ley de Kirch-hoff.

Principios fısicos

Corriente electrica. Es el movimiento de cargas en un conductor debido al empuje deun campo electrico aplicado. La corriente electrica se mide por su intensidad,I, definidacomo la carga que atraviesa una seccion del conductor por unidad de tiempo. La unidad deI en el sistema internacional es el amperio (A). La intensidad se mide con el amperımetro.

Diferencia de potencial. El campo electrico que da lugar al movimiento de cargas enun circuito tiene asociado un potencial. En concreto, la diferencia de potencial entre dospuntos cualesquiera del circuito sera el trabajo por unidad de carga realizado por el campoentre esos puntos. La unidad del potencial en el sistema internacional es el voltio (V). Ladiferencia de potencial entre dos puntos, tambien llamada caıda de potencial, se mide conel voltımetro.

Ley de Ohm. Esta ley es basica para el analisis de circuitos. De acuerdo con dicha ley,la relacion que existe entre la diferencia de potencial,V , medida en los extremos de unconductor y la intensidad que pasa porel es lineal:V = IR, donde el parametroR, deno-minado resistencia, indica la “resistencia” que ofrece el conductor al paso de la corriente.La resistencia de una determinada muestra depende del tipo de material utilizado, de sugeometrıas ası como de la temperatura de trabajo. La unidad de la resistencia en el sis-tema internacional es el ohmio (Ω). Generalmente, la resistencia de los cables utilizadospara montar un circuito es mucho menor que las restantes resistencia presentes, y se pue-den depreciar (cables∼ conductores perfectos). El valor de las resistencias utilizadas encircuiterıa viene indicado por una serie de anillos de diferentes colores que responden aldenominado codigo de colores.

Fuente de fuerza electromotriz. Son dispositivos capaces de mantener una diferencia depotencial constante entre sus bornes dando lugar ası al campo que ha de mover las cargas

35

Practica – 3. Corriente Continua 36

a lo largo del circuito. La diferencia de potencial entre los bornes de la fuente se denominasu fuerza electromotriz (fem) y se mide en voltios. Como ejemplo caben citar las baterıasy las pilas. Las baterıas y pilas reales tiene ciertas perdidas en su interior que puedenmodelarse mediante una resistencia interna.

Leyes de Kirchhoff. Un circuito es una interconexion de elementos. En esta practica noslimitaremos a interconectar resistencias y baterıas. Las corrientes en un circuito puedenser determinadas mediante las dos leyes de Kirchhoff:(1) La suma de caıdas de tension (diferencias de potencial) a lo largo de cualquier caminocerrado (malla) del circuito es nula. Esta ley se explica facilmente teniendo en cuenta quela suma de las caıdas de potencial (esto es, diferencias de potencial) en los diversos ele-mentos (resistencias y baterıas) de un camino cerrado es igual a la diferencia de potencialentre el punto inicial y el punto final del camino que, obviamente, sera cero en un caminocerrado (el punto inicial y final coinciden).(2) La corriente total que entra en cualquier nudo (punto del circuito al cual llegan y salenvarıas intensidades) es igual a la que sale. Esta ley indica que la carga no se acumula enlos nudos y, dado que la carga no se crea ni se destruye en el circuito, la intensidad totalque entra en cualquier nudo del circuito debe ser igual a la intensidad total que sale delmismo.

Objetivos

1. Verificacion de la ley de Ohm

2. Verificacion de las reglas de asociacion de resistencias

3. Comprobacion de las leyes de Kirchhoff



I. Verificaci on de la ley de OhmEn este apartado tomaremos varios valores de la tension e intensidad en una resistencia y veri-ficaremos que se cumple la ley de Ohm. Calcularemos igualmente el valor experimental de laresistencia utilizada.

1. Monte el circuito mostrado en la Fig.3.1, donde se muestra una resistencia sometida a

A

V

e

R

Figura 3.1: Montaje para medir la tension e intensidad en una resistencia.

un tension continua que procede de un generador de fuerza electromotriz. El voltımetromedira la diferencia de tension, V , en los extremos de la resistenciaR. Mediante unmiliamperımetro conectado en serie se mide la intensidad,I (en mA), que atraviesa laresistencia.

2. Tome nota del valor de la resistencia usada.

3. Variando el control de amplitud del generador, tome nota de 10 pares de valores deV eI. (No debe tomarse nota del valor de tension mostrado en el generador).


1. Represente en una grafica los puntos correspondientes a los valores experimentalesde V (eje y) frente a los de I (eje x) junto con la correspondiente recta de regresionobtenida aplicando la tecnica de mınimos cuadrados (ver seccion 0.5). No olvide indicarclaramente la unidades en los ejes (aviso: no una los puntos experimentales mediantesegmentos).

2. Calcule el valor del coeficiente de correlacion, r, (ver seccion 0.5) para verificar la bondaddel ajuste. Si dicho coeficiente es proximo a la unidad existe una relacion lineal entre losvalores de V e I indicando que se verifica la ley de Ohm.

3. A partir del valor de la pendiente de la recta de regresion con sus unidades (que debenser indicadas), obtenga el valor experimental de la resistencia utilizada con sus unidades.

4. Compare el valor experimental obtenido para la resistencia con el valor nominal dadopor el fabricante, indicando el porcentaje de diferencia entre los mismos. Ambos valoresdeben ser similares (no seran identicos ya que los aparatos de medida siempre introdu-cen imprecisiones y ademas los valores nominales de fabrica se dan siempre con ciertomargen de error).


II. Verificaci on de la reglas de asociacion de resistenciasEn este punto calcularemos el valor experimental de la resistencia equivalente a la asociacionde dos resistencia,R1 = 100 Ω y R2 = 330 Ω, tanto en serie como en paralelo. El valor expe-rimental de la resistencia equivalente,Requiv., de cualquier asociacion se calcula por definicioncomo el cociente entre la tension,V , en los extremos de la asociacion dividida por la intensidad,I, circula por la asociacion:

Requiv. =V

I.

Compararemos luego dichos valores experimentales con los calculados teoricamente por lasreglas de asociacion de resistencias. Si no dispone de las resistencias antes mencionadas pudeutilizar otras distintas pero no olvide tomar nota de sus valores e indicarlo en las memorias.

ASOCIACION EN SERIE

A

V

R1R2

Requiv

ASOCIACION EN PARALELO

A

V

R1

R2

Requiv

1. Monte los circuitos anteriores

2. Tomeuna sola medidade la tension e intensidad junto con su error asociado a la sensibi-lidad de los aparatos (ver apartado 0.3).


1. A partir de los valores experimentales de V e I, calcule el valor experimental de la resis-tencia equivalente, Requiv. = V/I, de ambas asociaciones junto con su correspondienteerror. Para calcular el error absoluto en el cociente V/I, parta del hecho de que el errorrelativo en el cociente es la suma de los errores relativos del numerador y denominador,segun se expuso en la ecuacion (22) de la seccion 0.3.2.


2. Calcule el valor teorico de la resistencia equivalente de las asociaciones y comparecon el correspondiente valor experimental indicando su porcentaje de diferencia. Ambosvalores deben ser similares indicando que se verifican las reglas de asociacion.

IV. Comprobacion de las leyes de KirchhoffEn este punto comprobaremos que se cumplen las dos leyes de kirchhoff midiendo las tensionesen una malla y las intensidades en un nudo del circuito.

1. Monte el circuito de la Fig.3.2. Si no dispone de las resistencias de la figura pude utilizarotras distintas pero no olvide tomar nota de sus valores e indicarlo en las memorias.

1kW

500 W

100 WI1

A B

CD (= A)

I2

I

N

Figura 3.2: Circuito para verificar las leyes de Kirchhoff. Los puntos D y A son electricamente equivalentes al estarunidos por un cable, esto es:VD = VA, por tantoVDA = 0 V.

2. Midas las diferencias potencialVAB, VBC y VCD con ayuda del voltımetro. Apunte las va-lores obtenidos con su signo correspondiente (aviso: asegurese de conectar el voltımetrocon la polaridad adecuada de forma que mida las tensiones que se piden, en caso contrarioobtendrıa el signo de la tension incorrectamente).

3. Usando el amperımetro, tome nota de la intensidadI que llega al nudoN y de las inten-sidadesI1 e I2 que salen del mismo.


1. Comprueba la ley de las mallas verificando que la suma algebraica de las tensiones dela malla es nula: VAB +VBC +VCD +VDA = 0, tenga en cuenta que la tension no medida,VDA, es nula, segun se explica en el pie de la figura.

2. Compruebe la validez de la ley de los nudos verificando que la intensidad total entranteen el nudo N es igual a la intensidad total saliente del mismo: I = I1 + I2.

Practica 4

Induccion Electromagnetica


Ley de Faraday, fuerza electromotriz inducida, campo magnetico en solenoides esbeltos, flujomagnetico, autoinduccion e induccion mutua.

Principios fısicos

Cuando la corriente que atraviesa un bobinado varıa, el flujo que atraviesa dicho bobinadovariara y se inducira entre sus extremos una fuerza electromotriz (fenomeno de autoinduccion),de acuerdo con la Ley de Faraday. Si se usa un segundo bobinado de forma que parte del flujovariable del primero atraviese el segundo, entre los extremos deeste se inducira tambien unafuerza electromotriz (fenomeno de induccion mutua).

Objetivos

1. Calculo del coeficiente de autoinduccion de un solenoide esbelto.

2. Calculo del coeficiente de induccion mutuaM21 entre un solenoide esbelto y una bobinacorta.

3. Calculo del coeficiente de induccion mutuaM12 entre un solenoide esbelto y una bobinacorta.

Fundamento teorico

En una espira conductora atravesada por un flujo magnetico,Φ, aparece una fuerza electromo-triz, E , que viene dada por laley de Faraday(segunda ecuacion de Maxwell):

E = −dΦ

dt.

El origen de esta fuerza electromotriz (fem), al contrario de las conocidas hasta entonces basa-das en la transformacion de energıas mecanicas o quımicas en energıa electrica, parecıa estar

40

Practica – 4. Induccion Electromagnetica 41

en la transformacion de energıa magnetica en electrica. Esto es, la variacion con el tiempo delflujo magneticoΦ que atraviesa la espira,

Φ =

∫

S

B · dS ,

induce una fuerza electromotrizE ,

E =

∮

Γ

E · dl ,

siendoE y B los vectores campo electrico y magnetico respectivamente,Γ es el contorno dela espira yS la superficie encerrada poresta. En esta practica utilizaremos dos bobinados paraestudiar la ley de Faraday poniendo de manifiesto la aparicion de fem inducida mediante lasvariaciones de los flujos magneticos asociados a las bobinas.

Para cubrir el primer objetivo de la presente practica, el campo magnetico generado porel solenoide esbelto (bobinado (1)) se hara variar haciendo que circule por dicho solenoide unaintensidad alterna

I1(t) = I1,0 cos ωt ,

siendoI1,0 la amplitud yω = 2πf la frecuencia angular de la corriente alterna. Por ser unsolenoide esbelto, en su interior obtendremos un campo axial de valor

B1 = µ0n1I1(t) ,

dondeµ0 = 4π×10−7 H/m es la permeabilidad magnetica del vacıo yn1 es el numero de espiraspor unidad de longitud del solenoide. Para determinar la fem inducida entre los extremos delsolenoide hemos de calcular primero el flujo magnetico que lo atraviesa. Dado que el campo esuniforme en el interior del solenoide y perpendicular a cada espira, el flujo que atravesara cadaespira seraS1B1, dondeS1 es elarea transversal del solenoide. Teniendo en cuenta que hayN1

espiras, el flujo total que atraviesa el solenoide debido a la intensidad que lo circula sera

Φ11 = N1B1S1 = N1µ0n1I1(t)S1 = µ0n21S1l1I1(t) = L1I1(t) ,

siendol1 la longitud del solenoide (note queN1 = n1l1) y L1 = µ0n21S1l1 el coeficiente de auto-

induccion del solenoide (bobinado (1)), que relaciona el flujo magnetico que lo atraviesa con laintensidad que lo circula. Finalmente, de acuerdo con la ley de Faraday, la fuerza electromotrizinducida en los extremos del solenoide debido a las variaciones de su flujo sera:

E1 = −dΦ11

dt= −L1

dI1(t)

dt= L1ωI1,0 sen(ωt) = E1,0 sen(ωt) .

En conclusion, la fem inducida es alterna, de igual frecuencia que la intensidad (como era deesperar) y siendo su valor eficazV1,ef = E1,0/

√2, sustituyendo obtenemos finalmente

V1,ef = L1ωI1,ef ,

dondeI1,ef = I1,0/√

2 es el valor eficaz de la intensidad.

Para el estudio del efecto de induccion mutua, objeto del segundo de los objetivos antescitado, introduciremos una bobina corta (bobinado (2)) en el interior del solenoide esbelto (bo-binado (1)) de forma que ambos bobinados seran coaxiales. Si hacemos circular nuevamente


una corrienteI1(t) alterna por el solenoide, parte del flujo creado en su interior atravesara labobina (2). Ası el flujo en una espira de la bobina (2) debido al campo creado por el solenoide(1) seraB1S2, dondeS2 es elarea de la seccion transversal de la bobina (2). Dado que la bobina(2) poseeN2 espiras, el flujo magnetico total que el solenoide (1) crea en la bobina (2) sera

Φ21 = N2B1S2 = N2µ0n1I1(t)S2 = µ0N2n1S2I1(t) = M21I1(t) ,

siendoM21 = µ0N2n1S2 el coeficiente de induccion mutua entre ambos bobinados, que rela-ciona el flujo que atraviesa la bobina (2) debido a la corriente que circula por el solenoide (1).Finalmente, de acuerdo con la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida en los extremosde la bobina (2) debido a las variaciones de la corriente en el solenoide (1) sera

E2 = −dΦ21

dt= −M21

dI1(t)

dt= M21ωI1,0 sen(ωt) = E2,0 sen(ωt) ,

siendo su valor eficazV2,ef = E2,0/√

2. Sustituyendo obtenemos finalmente

V2,ef = M21ωI1,ef ,

donde nuevamenteI1,ef = I1,0/√

2 es el valor eficaz de la intensidad en (1).

El tercer objetivo sera el estudio del fenomeno de induccion mutua entre los ya citadosbobinados (1) y (2) pero siendo ahora la bobina corta (2) la que actua como fuente de flujomagnetico. Para ello haremos circular una corriente alternaI2(t) = I2,0 cos(ωt) y mediremosla tension eficaz inducida en los extremos del solenoide (1). Expresando en este caso el flujo en(1) debido al campo creado por (2) comoΦ12 = M12I2(t), la ley de Faraday lleva a la expresionsiguiente

V1,ef = M12ωI2,ef .

El estudio es, por tanto, similar al caso anterior, salvo que en este caso no podemos conocer laexpresion matematica del coeficiente de induccion mutuaM12 dada la dificultad de obtener laexpresion del campo magnetico creado por una bobina corta (campoB2).

Los coeficientes de autoinduccion e induccion mutua tratados en esta practica relacionanflujos magneticos con intensidades; sus unidades son Webber/Amperio (Wb/A), unidad deno-minada Henrio (H).

Porultimo, cabe senalar algunosaspectos de interes. En concreto, en un sistema de dos bo-binados acoplados, (1) y (2), en el caso mas general (no tratado en este practica) circulara inten-sidad por ambos bobinadossimultaneamente. En ese caso el flujo total en el bobinado (1) serıael creado por sı mismo mas el que le viene de (2), esto es,Φ1 = Φ11+Φ12 = L1I1(t)+M12I2(t),de igual forma, el flujo total en el bobinado (2) serıaΦ2 = L2I2(t) + M21I1(t), y las correspon-dientes fuerzas electromotrices inducidas en cada bobinado se calcularıa nuevamente mediantela Ley de Faraday derivando el flujo total de cada bobinado. Como segundo aspecto de interes,cabe recordar la igualdad de los coeficientes de induccion mutua:M21 = M12 = M , denomi-nada igualdad de Neumann entre los coeficientes de induccion mutua. En los resultados que seobtendran en la presente practica se pondra de manifiesto dicha igualdad.


MONTAJE y REALIZACI ON

I. Calculo del coeficiente de autoinduccion del solenoide esbelto

1. Monte el circuito de la Fig.4.1 y fije una frecuencia de 5 kHz en el dial del generador detension alterna.

Generador

~

mA

V

I1

Solenoide

V1

Figura 4.1: Tension inducida en un solenoide esbelto circulado por una intensidad alterna.

2. Seleccione en el amperımetro la posicion de corriente alterna (AC) y la escala de 200 mA(maximo). Igualmente en el voltımetro seleccione la posicion de corriente alterna (AC)y la escala de 20 V (maximo). No varıe las escalas en el proceso de toma de datos quellevara a cabo a continuacion.

3. Manipulando el boton de AMPLITUDE del generador, varıe la amplitud de la senal delgenerador y tome nota dediezvalores de la intensidad eficaz en el solenoide (1),I1,ef, yde la tension eficaz inducida entre sus extremos,V1,ef. Recuerde que los polımetros midendirectamente los valores eficaces de senales alternas.

4. Mida la longitud total del solenoidel1 con ayuda de una regla.


Calculo teorico de L1

Utilizando la expresion obtenida en la seccion anterior (Fundamento teorico), calcule elvalor teorico del coeficiente de autoinduccion del solenoide, L1, usando el dato medidode su longitud y sabiendo que posee 485 espiras/metro, siendo el diametro de su secciontransversal 79 mm (este dato lo utilizara para calcular el area de la seccion transversalS1). No olvide presentar el resultado con sus unidades correspondientes.


Representacion grafica. Calculo experimental de L1

1. A partir de la tabla de valores experimentales, represente en una grafica los puntoscorrespondientes a los distintos valores V1,ef (eje y) frente a los de la intensidad efi-caz I1,ef (eje x) junto con la correspondiente recta de regresion obtenida aplicandola tecnica de mınimos cuadrados (ver Apartado 0.5). No olvide indicar claramenteen los ejes las unidades correspondientes (aviso: no una los puntos experimen-tales mediante segmentos). Indique tambien el valor del coeficiente de regresionpara poner de manifiesto la bondad del ajuste

2. De la pendiente de la recta de regresion, con sus unidades correspondientes quedeben ser indicadas, obtenga el valor experimental del coeficiente de autoinduccionL1 del solenoide.

Comparacion entre los resultados teorico y experimental

Compare los valores teorico y experimental obtenidos para L1, indicando el porcentajede diferencia entre los mismos. Es interesante hacer notar que los elementos de medidautilizados introducen necesariamente ciertos errores en la medida, lo que justifica enparte las diferencias entre los valores teorico y experimental.

II. C alculo del coeficiente de induccion mutua M21 entre un solenoide es-belto y una bobina corta.

1. Monte el circuito de la Fig.4.2 y fije nuevamente una frecuencia de 5 kHz en el dial delgenerador de tension alterna.

Generador~

mA

I1

Solenoide (1)V

2

vBobina (2)

Figura 4.2: Tension inducida en una bobina corta (2) mediante la variacion del flujo magnetico en un solenoideesbelto (1).

2. Seleccione en el amperımetro la posicion de corriente alterna (AC) y la escala de 200 mA(maximo). Igualmente en el voltımetro seleccione la posicion de corriente alterna (AC) yla escala de 200 mV (maximo).

3. Mediante el boton de AMPLITUDE del generador, fije un valor para la intensidad eficazen el solenoide (1),I1,ef, y tome nota del mismo. Anote la tension eficaz que se induceentre los extremos de la bobina corta (2),V2,ef para el valor fijado para la intensidad.


4. Tome nota del numero total de vueltas,N2, de la bobina corta (2) utilizada ası como desu diametro (este dato le permitira calcularS2).


Utilizando la expresion obtenida en la seccion anterior (Fundamento teorico), calculeel valor teorico del coeficiente de induccion mutua, M21, usando los datos relativos alas bobinas previamente anotados. No olvide presentar el resultado con sus unidadescorrespondientes.

De los valore medidos para I1,ef y V2,ef, deduzca el valor experimental de M21 indicandoclaramente sus unidades. Para ello haga uso de la expresion V2,ef = M21ωI1,ef , deducidaen la introduccion teorica de esta practica.

Compare los valores teorico y experimental obtenidos para M21, indicando el porcentajede diferencia entre los mismos.

III. Verificaci on experimental de la igualdad entre los coeficientes de in-duccion mutua M12 y M21.

1. Monte el circuito de la Fig.4.3 y mantenga la misma frecuencia de 5 kHz en el dial delgenerador de tension alterna.

Generador

I2

Solenoide (1)

V1

v

Bobina (2)~

mA

Figura 4.3: Tension inducida en un solenoide esbelto (1) mediante la variacion del flujo de una bobina corta (2).

2. Seleccione en el amperımetro la posicion de corriente alterna (AC) y la escala de 200 mA(maximo). Igualmente en el voltımetro seleccione la posicion de corriente alterna (AC) yla escala de 200 mV (maximo).

3. Mediante el boton de AMPLITUDE del generador, fije un valor para la intensidad eficazen la bobina (2),I2,ef, y tome nota del mismo. Anote la tension eficaz que se induce entrelos extremos del solenoide (1),V1,ef para el valor fijado para la intensidad.



De los valore medidos para I2,ef y V1,ef, deduzca el valor experimental de M12 indicandoclaramente sus unidades. Para ello haga uso de la expresion V1,ef = M12ωI2,ef , deducidaen la introduccion teorica de esta practica.

Compare el valor experimental obtenido de M12 con el correspondiente valor experimen-tal obtenido en la seccion II para M21. De acuerdo con la igualdad de Neumann (verseccion de Fundamento teorico), ambos deben ser iguales, no obstante habra ciertasdiscrepancias debidas a los errores del proceso de medicion. Indique el porcentaje dediferencia entre ambos valores.

Practica 5

Corriente Alterna


Senales alternas senoidales. Amplitud y fase. Concepto de fasor. Impedancia.

Principios fısicos

En esta practica se estudiaran tres circuitos sencillo en regimen de corriente alterna. En di-cho regimen, las tensiones e intensidades en el circuito son senoidales (o armonicas):V (t) =V0 cos(ωt+φv) eI(t) = I0 cos(ωt+φi) respectivamente, siendoω = 2πf la frecuencia angular(radianes/segundo) y f la frecuencia (Hz). En otras palabras, cualquier senal en el circuito es dela forma generica

A(t) = A0 cos(ωt + φ) ,

y, dado queω es la misma para todas las senales, cada senal quedara completamente descritapor dos parametros: suamplitud A0 y su faseφ.

I CONCEPTO de FASORLa tecnica de los fasores se basa en asignar un numero complejo a cada senal armonica. Tienepor objeto facilitar el estudio de sistemas fısicos donde las magnitudes varıen de forma armoni-ca. En esencia, consiste en asignar a cada senal un numero complejo (formado por parte real eimaginaria) que contenga la doble informacion, amplitud y fase, que describe a la senal. Es im-portante senalar que previamente a asignar los fasoresescribiremos siempre las senales usandoel coseno(de seno a coseno se pasa facilmente restandoπ/2 al angulo:sen(α) = cos(α−π/2)).

En la Fig.5.1 se muestra en el plano complejo como se lleva a cabo la asignacion del fasor a unasenal armonica:

f

Real

Imag

A 0 A a jb= +

a

bA

Figura 5.1: Asignacion del numero complejo o fasor,A, asociado a la senalA(t) = A0 cos(ωt + φ).

47

Practica – 5. Corriente Alterna 48

El fasorA asociado aA(t), puede describirse dando su modulo y fase:

A = A0 \φ ,

denominandose representacion modulo–argumentodef fasor (en el campo complejo losangu-los se denominan argumentos), o bien se puede expresar en la forma

A = a + jb ,

denominada formabinomica. Ambas formas contienen igual informacion pudiendose pasarfacilmente de una a la otra segun se deduce facilmente en la Fig.5.1:

a = A0 cos(φ) b = A0 sen(φ)

A0 =√

a2 + b2 φ = arctan(b/a) .

Existe una tercera representacion denominadaexponencialy que se basa en el uso de la identi-dad de Euler para la exponencial compleja, segun la cual:ejφ = cos φ + j sen φ. Utilizando lasexpresiones ya vistas junto con la identidad de Euler se tiene:

A = a + bj = A0 cos φ + jA0 sen(φ) = A0(cos φ + j sen φ) = A0ejφ .

La expresion obtenidaA0ejφ es la representacion exponencial del fasorA.

Tras llevar a cabo un analisis que permitiera obtener los fasores en un circuito en regimen dealterna, la determinacion de las correspondientes senalesinstantaneas(en funcion del tiempo)serıa inmediata, pues la amplitud y fase determinan totalmente a cualquier senal armonicaA(t),segun vimos anteriormente.

Es usual llevar a cabo las derivadas de senales armonicas. El resultado es tambien una senal armonica y tendra sucorrespondiente fasor asociado. Ası seaA(t) = A0 cos(ωt + φ), entonces

dA(t)dt

= −ωA0 sen(ωt + φ) = ωA0 cos(ωt + φ + π/2) = B0 cos(ωt + γ)

por tanto, el fasorB asociado a la derivada tiene como moduloB0 = ωA0 y como faseγ = φ + π/2. Utilizandoahora la representacion exponencial es inmediato demostrar la relacion siguiente:

B = jωA .

I IMPEDANCIA

En el analisis de circuitos en AC que contengan resistencias (R), bobinados (L) y condensadores(C) se debe partir de las relacionesV/I (o I/V ) que ligan las senales instantaneas en dichoselementos:

V (t) = RI(t) Resistencia

V (t) = Ld

dtI(t) Bobina

I(t) = Cd

dtV (t) Condensador


La relacionV/I en las resistencia no es mas que la Ley de Ohm; por su parte, la relacionV/I enla bobina pone de manifiesto el fenomeno de autoinduccion en los bobinados y puede deducirsede la Ley de Faraday; porultimo, la relacion I/V en el condensador surge de la expresion parala carga en el mismoQ(t) = CV (t) junto con la definicion general de intensidad instantanea,I(t) = dQ(t)/dt.

En regimen armonico, tanto las funciones como las derivadas que aparecen en las relacionesV/I anteriores seran funciones armonicas. Si tomamos fasores en dichas expresiones y utiliza-mos la relacion ya vista para el fasor asociado a la derivada, las relacionesV/I se transformanen sus correspondientes relaciones fasorialesV /I:

V = RI Resistencia

V = jωLI Bobina

V = −j1

ωCI Condensador.

A la vista de lo anterior, de forma general puede escribirse

V = ZI ,

dondeZ es, en general, un numero complejo denominadoimpedancia(cuyas unidades en elSI seran vlotio/amperio=ohmioΩ) que relaciona los fasores intensidad,I, y tension, V , en unelementoR, L o C.

La definicion de impedanciaZ = V /I se generaliza tambien para cualquier asociacion quecontengaR, L y C, siendoV e I los fasores asociados a la tension entre los extremos de la aso-ciacion y a la intensidad que la circula, respectivamente. Finalmente, Es interesante relacionarlos modulos y fases de los fasoresV e I con el modulo y fase de la impedancia. Ası, teniendola propiedad del cociente entre numeros complejos segun la cualel modulo de un cociente esel cociente de los modulos y el argumento (fase) del cociente es la diferencia de argumentos(fases) entre numerador y denominador, se tiene:

Z =V

I⇒ |Z| = V0

I0

y φz = φv − φi ,

donde|Z| es el modulo deZ, φv y φi son las fases de la tension e intensidad, respectivamente,y φz la fase de la impedancia. Esta propiedad se empleara en los ejemplos que se detallan masadelante.

Como comentario final, cabe resaltar que La similitudformal existente entre la ley de Ohm(valida solo para resistencias) y la ecuacion V = ZI (valida para R, L y C y sus asociaciones)en el dominio fasorial para circuitos de alterna, reducira el analisis de estosultimos a termi-nos formalmente identicos a los correspondientes al analisis de circuitos en corriente continuacon resistencias y baterıas, salvo el hecho de que todas las magnitudes seran ahora numeroscomplejos.

I ORIGEN DE FASES

Como hemos visto, las senales de tension e intensidad en un circuito de corriente alterna tienentodas la misma frecuencia del generador, diferenciandose tan solo en la amplitud y fase. Siempre


es posible elegir fase0 en una de la senales del circuito, lo que equivale a elegir el origen detiempos,t = 0, cuando dicha senal esta en un maximo. De esta forma la senal de fase cerosera de la formaA(t) = A0 cos(ωt+0) = A0 cos(ωt), que ent = 0 se encuentra en un maximo.La fase del resto de las senales queda entonces condicionada a la eleccion realizada ya quedependera del retraso o adelanto respecto a la elegida como origen de fase. En la practica querealizaremos elegiremos siempre fase 0 en la senal suministrada por el generador que sera puesde la formaV (t) = V0 cos(ωt).

I VALORES EFICACES

Al medir mediante polımetros senales de intensidad o tension en regimen alterno (posicionAC en el aparato), la lectura del polımetro proporciona la denominadamagnitud eficaz de lasenal. En concreto, si la senal instantanea (de tension o intensidad) es de la formaA(t) =A0 cos(ωt + φ), su valor eficaz serıa

Ae = A0/√

2 .

Los valores eficaces tienen especialmente significado cuando se estudia la potencia en AC,apareciendo el factor1/

√2 tras realizar determinados promedios de energıa.

I EJEMPLO de ANALISIS de CIRCUITOS UTILIZANDO TECNICA FASORIAL

Como se menciono anteriormente, el analisis de circuitos en regimen de corriente alterna sepuede llevar a cabo de forma muy simple utilizando la tecnica de fasores. A continuacion, seanalizaran dos circuitos utilizando la tecnica de fasores. El analisis pondra de manifiesto comodicha tecnica permite en gran medida trasladar el formalismo de corriente continua para resolverlas ecuaciones circuitales que resultan de aplicar las reglas de Kirchhoff en circuitos en regimenarmonico.

I I Analisis de un circuito serie

En el dominio fasorial, la ley de Kirchhoff para el circuito serie de la Fig.5.2 se escribe comosigue:

Z2 V

2

V1

V

Z1

I

Figura 5.2:

V = V1 + V2 = Z1I + Z2I (5.1)

V = (Z1 + Z2)I = ZI

siendo, por tanto,Z = Z1 + Z2 la impedancia total del circuito. Conocido el fasorV , el fasorIpuede calcularse como

I =V

Z,


y consecuentemente determinar tambien V1 = IZ1 y V2 = IZ2 a partir del valor deI antesobtenido.

Si se desea la relacion entre los valores eficaces de la tension del generador y la intensidad,basta recordar que dichos valores eficaces son los modulos de los fasores divididos por

√2. Ası,

partiendo de la igualdad vista mas arribaV0 = |Z|I0, dividiendo ambos miembros por√

2 seobtiene:

Ve = |Z|Ie ,

donde|Z| = |Z1 + Z2| es el modulo de la impedancia total de la serie.

En la Fig.5.3 se ha representado el diagrama fasorial correspondiente a los fasores tensionV , V1 y V2. A la vista de este diagrama puede concluirse tambien la siguiente relacion para losvalores eficaces de las tensiones representadas:

Ve =√

V 2e,1 + V 2

e,2 + 2Ve,1Ve,2 cos(φ1 − φ2) .

(notese que esta expresion serıa valida tambien con los valores maximosV0,i, ya que son pro-porcionales a los eficaces). Como nota final de interes, cabe indicar que en el anterior diagramafasorial puede verse como se verifica la ecuacion de Kirchhoff:V = V1 + V2 (regla del parale-logramo para la suma de vectores valida tambien para la suma de fasores).

V~

V~

1

V~

2

f1

f2

f

Figura 5.3: Diagrama fasorial de tensiones

En el caso particular de que los elementos del circuito serie fuesen una resistencia (R) y un condensador(C), la impedancia total de la asociacion serıa:

Z = R +−j

ωC, siendo su modulo: |Z| =

√R2 +

1ω2C2

.

por tanto, se tiene (vease mas arriba elitemrelativo la impedancia)

Ve = Ie |Z| = Ie

√R2 +

1ω2C2

, y φv − φi = φz = − arctan(1/(ωRC) .


I IAnalisis de un circuito paralelo

Utilizando la tecnica fasorial en el circuito paralelo de la Fig.5.4,

Z2Z

1V

I1

I2I

Figura 5.4:

la ley de Kirchhoff para los nudos conduce a

I = I1 + I2 .

Al estar en paralelo, las tensiones en los dos dispositivos seran identicas

V1 = V2 = V .

En este caso, conocidaV del generador, puede calcularseI como sigue:

I = I1 + I2 =V

Z1

+V

Z2

= V

(1

Z1

+1

Z2

)=

V

Z,

dondeZ−1 = Z−11 + Z−1

2 , siendoZ la impedancia total de la asociacion paralelo. Notese quela expresion obtenida es formalmente igual a la correspondiente a la asociacion en serie deresistencias vista en corriente continua.

Para los valores eficaces se tendrıa nuevamente la relacion:

Ve = |Z|Ie ,

y del diagrama fasorial para intensidades (vease Fig.5.5) se obtiene ademas la relacion:

Ie =√

I2e,1 + I2

e,2 + 2Ie,1Ie,2 cos(φ1 − φ2)

En el caso particular de que los elementos del circuito paralelo fuesen una resistencia (R) y un conden-sador (C), la impedancia total de la asociacion verificarıa:

1Z

=1R

+ jωC ,

y por tanto, operando se obtiene:

Z =R

1 + jωCR, siendo su modulo: |Z| = R√

1 + (ωCR)2.


II

1

I2

f1

f2

f

Figura 5.5: Diagrama fasorial de intensidades

por tanto, en este caso

Ve = Ie |Z| = IeR√

1 + (ωCR)2, y φv − φi = φz = − arctan(ωRC) .

Objetivos

1. Determinacion de la capacidad de un condensador.

2. Estudio de un circuito R-C paralelo.

3. Estudio de un circuito R-C serie.



I. Determinacion de la capacidad de un condensador

1. Monte el circuito de la Fig.5.6(a)

2. Fije una frecuencia de 1 kHz en el mando de control de frecuencia del generador dealterna y asegurese de que el tipo de senal elegido es sinusoidal.

3. Variando el mando de amplitud de tension suministrada por la fuente (mando AMPLITU-DE), mida y tome nota de 10 pares de valores eficaces de la intensidad,Ie y de la tension,Ve, en el condensador.

4. Tome nota delvalor nominalde C proporcionado por el fabricante, con el fin de unaposterior comparacion con el valor que se calculara experimentalmente.

A

I

VC

I

V

f fi-

v=90

0

(a) (b)

V

Figura 5.6: a) Circuito para determinar la impedancia de un condensador; b) diagrama fasorial.

Trabajo a realizar posteriormente

1. Represente en una grafica los puntos correspondientes a los valores experimentalesde Ve (eje y) frente a los de Ie (eje x) junto con la correspondiente recta de regresionobtenida aplicando la tecnica de mınimos cuadrados (ver seccion 0.5). No olvide indicarclaramente la unidades en los ejes (aviso: no una los puntos experimentales mediantesegmentos).

2. Calcule e indique el valor absoluto del coeficiente de correlacion (ver seccion 0.5) paraverificar la bondad del ajuste. Si dicho valor es proximo a la unidad existe una relacionlineal entre los valores de Ve e Ie indicando que se verifica la ecuacion Ve = |Z|Ie.

3. A partir del valor de la pendiente de la recta de regresion con sus unidades (que debenser indicadas), obtenga el valor experimental de |Z| y de dicho valor el valor experimentalde la capacidad C. Compare el valor obtenido experimentalmente para C con el valornominal proporcionado por el fabricante indicando el porcentaje de diferencia.


Segun se vio en el desarrollo teorico de la practica, la impedancia de un condensador esZ = −j/(ωC); teniendo en cuenta que V /I = Z se tiene pues:

Ve

Ie= |Z| ⇒ Ve

Ie=

1ωC

φv − φi = φz ⇒ φv − φi = −900 ,

luego la intensidad adelanta a la tension en 900, segun se indica en el diagrama fasorial de laFig.5.6(b) (un adelanto de 900 equivale en tiempo a T/4, siendo T el periodo).


II. Estudio de un circuito R-C paralelo .

1. Monte el circuito R-C paralelo de la Fig.5.7 y tome nota del valor de la resistenciaRutilizada.

I1

I2I

V R C

AB

D

E

Figura 5.7: Circuito R-C paralelo. Los cables que llegan al nudoE procedentes de los puntosA, B y D facilitaranla posterior colocacion del amperımetro.

2. Fije en el generador una senal sinusoidal de 1 kHz (como en el apartado anterior) y de laamplitud (boton AMPLITUDE), Ve, que desee y tome nota del mismo.

3. Para el valor antes fijado deVe, mida y tome nota de los correspondientes valores eficacesIe, Ie,1 e Ie,2.

Para medir las distintas intensidades, note que debe sustituir el cable correspondiente por el am-perımetro. De este modo, para medirIe,1, sustituya el cable que une los puntos B y E por elamperımetro. Para medirIe,2, restituya el cable quitado anteriormente y sustituya el cable que unelos puntos D y E por el amperımetro. La misma operacion debe realizarse entre los puntos A y Epara medirIe.


I DIAGRAMA FASORIAL DE INTENSIDADES

Utilizando los valores Ie, Ie,1 e Ie,2 medidos en el apartado (3), construya el diagrama fasorialde intensidades siguiendo los pasos que se detallan a continuacion:

A fin de facilitar la realizacion del diagrama, utilice como modulos de los fasores susvalores eficaces medidos con el polımetro, esto es, I1 ≡ I1,e, I2 ≡ I2,e, e I ≡ Ie (el usode los valores maximos en lugar de los eficaces en el diagrama solo variarıa el tamanodel mismo en el factor

√2).

Elija fase cero para I1 (φ1 = 0) y represente este fasor. Note que la eleccion de faserealizada equivale a elegir fase cero en la tension del generador, V , (φv = 0) ya quedicha tension esta en fase con la intensidad en la resistencia (R no introduce desfase).

Determine el desfase φ21 = φ2−φ1 existente entre I2 e I1 mediante la expresion general:

φ21 = arc cos[(

I2 − (I21 + I2

2 ))/2I1I2

],


y compruebe que dicho desfase es muy proximo al teorico, esto es 900 (note que eldesfase calculado corresponde tambien al que habrıa entre la tension y la intensidaden el condensador, ver Fig. 5.6(b), ya que la fase de I1 es la misma que la de V ).Represente, por tanto, I2 formando 900 con I1.

La expresion utilizada para calcular φ21 es una expresion general que permite calcular la diferen-cia de fase entre dos fasores cualesquiera, I1 e I2, conocidos sus modulos, I1 e I2, ası como elmodulo, I, del fasor suma I = I1 + I2

Teniendo en cuenta que I = I1 + I2 (ley de Kirchhoff para los nudos), represente I comola diagonal del rectangulo formado por los fasores I1 e I2.

De acuerdo con el diagrama obtenido se tiene que

Ie =√

I2e,1 + I2

e,2 .

Compare finalmente el valor ası calculado para Ie con el medido en el laboratorio ycompruebe que son similares (teoricamente iguales). Indique el porcentaje de diferenciaentre ambos valores.

I CALCULO DEL DESFASE ENTREI E I1

Calculo teorico

Mediante un analisis teorico del circuito deduzca la expresion φ = arctan(RωC), pa-ra el desfase entre I1 y el fasor intensidad total, I, en funcion de R, C y ω. Sustituyaen dicha expresion los valores concretos de R, ω y C (utilice para C el valor obtenidoanteriormente).

Para el calculo teorico de φ tenga en cuenta que dicho desfase es el mismo que existe entre I

y V , ya que I1 y V estan en fase. Por tanto, φ = φi − φv, donde φi es la fase de I y φv = 0 lade V ; de esta forma, podemos utilizar los resultados del circuito R-C paralelo presentados en elsegundo ejemplo en su parte final.

Calculo experimental

Calcule el desfase, φ, entre I e I1 en el diagrama fasorial representado: φ = arctan(I2/I1).Finalmente, compare este resultado experimental con el resultado teorico que se obtuvoen el punto anterior, indicando el porcentaje de diferencia entre ambos.

I COMPROBACION DE LA LEY DE ASOCIACION DE IMPEDANCIAS

Calculo teorico del modulo de la impedancia paralelo

Tras analizar teoricamente el circuito, obtenga la expresion del modulo de la impedanciaequivalente de la asociacion en terminos de R, C y ω (ver final del segundo ejemplo).Sustituya en el resultado obtenido los valores concretos R, C y ω correspondientes anuestro problema.

Calculo experimental del modulo de la impedancia paralelo

A partir del valor de la tension y de intensidad total determine el valor experimental delmodulo de la impedancia del circuito como el cociente de ambas magnitudes |Z| = Ve/Ie.


Comprobacion de la ley

Finalmente, a fin de verificar la ley de asociacion de impedancias, compruebe que losvalores experimental y teorico antes obtenidos para |Z| son muy similares e indique elporcentaje de diferencia entre ambos.

III. Estudio de un circuito R-C SERIE

1. Monte el circuito R-C serie representado en la Fig.5.8, y asegurese de que el generadorproporciona una senal senoidal de 1 kHz como en los puntos anteriores.

2. Coloque el aperımetro para medir la intensidad en el circuito y el voltımetro para medirla tension suministrada por el generador. Mediante el boton AMPLITUDE de la fuentefije un valor para la intensidad eficazIe y la tension eficaz,Ve, del generador y tome notade los mismos.

IV

RC

A

Figura 5.8: Circuito R-C serie.


COMPROBACION EXPERIMENTAL DE LA LEY DE ASOCIACION DE IMPEDANCIAS

Calculo teorico del modulo de la impedancia serie

De forma teorica, obtenga la expresion del modulo de la impedancia de la asociacionR-C serie en terminos de R, C y ω (ver final del primer ejemplo presentado). Sustituyaen dicha expresion los valores concretos de R, C y ω de nuestro problema.

Calculo experimental del modulo de la impedancia serie

A partir del valor de la tension y de intensidad total determine el valor experimental delmodulo de la impedancia del circuito como el cociente de ambas magnitudes |Z| = Ve/Ie.

Comprobacion de la ley

Verifique la validez de la ley de asociacion de impedancias comparando los resultadosexperimental y teorico antes obtenidos. Compruebe que ambos resultados son muy si-milares e indique el porcentaje de diferencia entre ellos.

Practica 6

Efecto Hall


Semiconductor, signo de los portadores de carga, fuerza de Lorentz y coeficiente Hall.

Objetivos

Los objetivos de esta practica seran:

1. Determinacion del signo de los portadores de carga.

2. Calculo de la concentracion de portadores en la muestra.

3. Calculo de la velocidad de los portadores para un valor dado de la intensidad.

Fundamento teorico

El efecto Hall consiste en la aparicion de una diferencia de potencial en una cinta conductora(metalica o semiconductora) circulada por una intensidadI y sometida a un campo magneticoexterno perpendicular a la direccion de la corriente. Dicha diferencia de potencial se debe a laacumulacion de portadores de carga en los lados de la muestra causada por la fuerza magneticaque actua sobre los mismos

Fm = q(v ×B) ,

dondev es la velocidad de los portadores yq su carga, que podra ser positiva o negativa. Enla figura Fig.6.1 se muestra como dicha fuerza desvıa a los portadores de su trayectoria y losacumula en un lado de la cinta. En el lado opuesto aparecen las cargas fijas descompensadas(recuerdese que la cinta es neutra y existen cargas fijas junto a portadores moviles). Comoconsecuencia, aparece un campo electrico,EH , debido a la carga acumulada y una diferenciade potencial entre los puntos(1) y (2). Asumiendo queEH es basicamente uniforme en lamuestra se tiene

V12 =

∫ (2)

(1)

EH · dl = EH · d

donded es el vector dirigido desde el punto (1) hasta el (2) cuyo modulo,d, es la anchura de lacinta.

58

Practica – 6. Efecto Hall 59

(1)

(2)

EH

FmI I

v

B

Figura 6.1:Cinta conductora en un campo magnetico uniforme en la cinta y perpendicular a la misma. Lafuerza magnetica desvıa a los portadores de su trayectoria y los acumula en un lado de la cinta. El dibujocorresponde al caso de portadores positivos.

El proceso descrito no es indefinido. Ası los portadores acumulados comienzan a ejercerfuerza electrica sobre los portadores en movimiento, llegando finalmente dicha fuerza a ser igualen modulo pero de sentido contrario a la fuerza magnetica. Alcanzado dicho estado, se llega alequilibrio de fuerzas y los portadores de corriente siguen nuevamente trayectorias rectilıneassin desviarse. Si denominaremos campo de Hall al campoEH una vez alcanzado el equilibrio,igualando losmodulosde la fuerza magnetica y electrica sobre los portadores llegamos a laexpresion valida para el equilibrio:

Fm = FE ⇒ |q|EH = |q|vB ⇒ EH = vB .

Al valor de la diferencia de potencial entre los puntos (1) y (2) una vez alcanzada la situacionequilibrio la denominaremos tension o voltaje HallVH .

El efecto Hall antes descrito puede ser utilizado para determinar el signo de la carga de losportadores (polaridad) ya que dicho signo no podrıa deducirse de la simple lectura del sentidode la intensidad mediante un amperımetro. Ası, un cierto sentido de la intensidad puede corres-ponder a movimiento de cargas de un determinado signo en un sentido o de signo contrario ensentido contrario, y en ambos casos el amperımetro indicarıa igual sentido deI.

Notese que la densidad de corrienteJ = nqv tiene elmismosigno tanto para una carga positiva (+q)desplazandose con una velocidad+v como para una carga negativa (−q) moviendose con una velocidaden sentido opuesto (−v) por el doble cambio de signo.

En la figura Fig.6.2 se han representado las dos posibles situaciones correspondientes a unmismo sentido deI. Como puede verse, aunque el amperımetro senale la misma lectura, unvoltımetro dispuesto para medirVH = V12 darıa lectura positiva o negativa si la polaridad delos portadores fuese positiva o negativa respectivamente.

Finalmente, si la cinta tiene seccion rectangular siendo su grosorh, tendiendo en cuentaqueI = qnv/S, siendoS = dh el area transversal yn la concentracion de portadores, queademasVH = EHd (en el caso positivo) y la relacion de equilibrio entre modulosEH = vB, seobtiene la expresion siguiente:

VH =1

nq

IB

h.

La expresion anterior es valida tambien para el caso negativo si sustituimosq con su signo,obteniendose ası un valor negativo paraVH en este caso. En la expresion anterior, se denomina


(1)

(2)

EH

FmI I

v

B

FE

d

V VH 12 H= =E d 0

(1)

(2)

EH

FmI I

v

B

FE

d

V VH 12 H= =E d 0

A

A

Figura 6.2: En ambas muestras la intensidad tiene igual sentido. El signo de los portadores se determina medianteel signo de la tension Hall.

constante Hall a

RH =1

nq(m3/C)

que depende del tipo del material usado y de la temperatura de trabajo (a traves den).

En la mayorıa de los metales, los portadores de corriente son los electrones siendoq = −edondee = 1,6× 10−19 C. No obstante, en algunos metales alcalinoterreos, como el magnesio,los portadores son positivos y se denominan huecos (q = +e). Por su parte, en los semiconduc-tores puros (intrınsecos) hay tantos portadores positivos como negativos, es decir, tantos huecoscomo electrones. No obstante, es posible mediante tecnicas denominadas de dopado anadirato-mos de impurezas a las muestras intrınsecas transformandolas en extrınsecas. Dependiendo deltipo de impurezas agregado, se consigue que haya mas portadores positivos que negativos (tipoP) o viceversa (tipo N). En estos casos, el signo observado en el voltaje Hall es el correspon-diente a los portadores mas abundantes, denominadosmayoritarios. En las muestras extrınsecasla concentracion de portadores mayoritarios es siempre mayor que la correspondiente al casointrınseco.



La Fig.6.3 muestra un esquema del montaje que se utilizara en esta practica para la medicion delefecto Hall en una muestra semiconductora de germanio extrınseco. Este montaje es delicado ydebe realizarse con la presencia del profesor.

BFuente

Alimentación

Bobinas

Fuente

Alimentación

Placa Semiconductor

Teslámetro

VH

mAI

I

V

Figura 6.3:Montaje para la medicion del efecto Hall sobre una muestra semiconductora de germanio.

La corriente,I, que atraviesa la muestra es suministrada por una fuente externa y su valormedido mediante un amperımetro. El valor de dicha corrienteno debe sobrepasar los 30 mA.

El campo magnetico normal a la muestra es producido por dos bobinas conectadas en seriey arrolladas a un nucleo magnetico. La intensidad que circula por las bobinas es suministradapor la salida DC de una fuente de alimentacion. El campo magnetico se medira con el teslame-tro, cuya sonda esta situada sobre la muestra.El sentido del campo magnetico existente entrelos entrehierros del electroiman (donde se encuentra la muestra) puede determinarse utilizan-do la regla de la mano derecha ya que se conoce el sentido de la corriente por las bobinas(tal como indica el dibujo existente en las mismas). De esta manera sabremos que sentido delcampo magnetico esta asociado al signo positivo o negativo de la medida proporcionada por elteslametro.

Finalmente, el voltaje Hall,VH se medira con el voltımetro debidamente dispuesto a talefecto.


I. Determinacion del signo de los portadores de cargaEn este apartado reproduciremos el esquema de la figura Fig.6.2 de modo que la lectura del sig-no del voltımetro nos permita conocer la polaridad de los portadores de corriente mayoritarios.

1. Conecte la salida de los cables de ambas fuentes debidamente para que el sentido de laintensidadI en la muestra y del campo magnetico sobre la misma correpondan al esquemade la figura Fig.6.2 cuando se mira la muestra de frente (desde el puesto derecho).

2. Asegurese que el voltımetro se ha conectado adecuadamente con la polaridad indicadaen la figura Fig.6.2, (+) arriba y (-) abajo. De esta forma mediremosVH = V12; en casocontrario podrıamos estar midiendoV21 llegandose a conclusiones erroneas.

3. Imponga un valor del campoB de aproximadamente 200 mT y haga pasar corriente porla placa (I ∼ 20mA).

4. Tome nota del valor y signo del voltaje Hall indicado en el voltımetro.


A partir del signo del voltaje Hall y de acuerdo con el esquema de la figura Fig.6.2, deduzcael signo de los portadores de carga mayoritarios. Dicho signo le indicara el tipo de portadoresde corriente, esto es, si se trata de electrones (negativos, semiconductor tipo N) o huecos(positivos, semiconductor tipo P).

II. Medida del voltaje Hall en funci on de la intensidad,I, en la placa

1. Sin variar los sentidos deB e I del apartado anterior, imponga un valor de campoB delorden de 200 mT, tomando nota de dicho valor.

2. Tome nota de diez valores del voltaje Hall,VH , y de la intensidad que recorre la placa, enun rango de variacion para la intensidad comprendido como maximo entre0 < I(mA)<30.

3. Cambie ahora el sentido deI variando las conexiones en la salida de la fuente y tome notade nuevo de diez valores del voltaje Hall,VH , y de la intensidad que recorre la placa, enel mismo rango0 < I(mA)< 30 (note que el signo menos en la intensidad indicara querecorre la muestra de dcha. a izq.)


1. A partir de la tabla de valores experimentales, represente en una grafica los puntoscorrespondientes a los distintos valores VH (eje y) frente a los de intensidad (eje x),junto con la correspondiente recta de regresion obtenida aplicando la tecnica de mınimoscuadrados (ver seccion 0.5). No olvide indicar claramente la unidades en los ejes (aviso:no una los puntos experimentales mediante segmentos).

2. A partir del valor de la pendiente de la recta de regresion con sus unidades (que de-ben ser indicadas), obtenga el valor de la constante Hall, RH , ası como el de la con-centracion de portadores mayoritarios indicando igualmente sus unidades (electrones ohuecos/m3). Para el calculo de la concentracion de portadores a partir de la pendiente,utilice h = 1mm, para el grosor de la cinta, y asuma que |q| = e = 1,6× 10−19 C.


3. Calcule el valor del coeficiente de correlacion, r, (ver seccion 0.5) para verificar la bondaddel ajuste. Si dicho coeficiente es proximo a la unidad existe una relacion lineal entre losvalores de VH e I.

4. A partir del valor obtenido para la concentracion de portadores mayoritarios, verifique queel material analizado es efectivamente un semiconductor extrınseco verificando que laconcentracion de portadores obtenida es mayor que la correspondiente al semiconductorintrınseco (ni = 2,5× 1018 portadores/m3, para Ge intrınseco).

5. Utilizando el valor para la concentracion de portadores obtenido en el apartado anterior,deduzca el valor de la velocidad promedio, vd, de los portadores que corresponderıa auna intensidad de I = 10 mA. Para ello utilice la expresion I = qnvdS, donde S = dh esel area de la seccion de la cinta, siendo el ancho de la misma d = 10 mm.

Practica 7

Anchura Banda Prohibida en Ge


Semiconductor intrınseco, teorıa de bandas, banda prohibida, banda de valencia, banda de con-duccion, electrones, huecos, conductividad intrınseca.

Objetivo

Determinacion de la anchura energetica de la banda prohibida de una muestra semiconductorade Germanio intrınseco.

Fundamento teorico

Los semiconductores son materiales solidos cuya conductividad se encuentra entre la de los me-tales y la de los aislantes. Un semiconductor puro se denomina tambienintrınseco. Estos solidosson materiales cristalinas cuyosatomos estan unidos en la red mediante enlaces covalentes. AT = 0K, estos materiales son aislantes puros dado que no posee cargas libres susceptibles detransportar una corriente electrica. AT > 0K, debido a la agitacion termica, algunos electronesson capaces de “escapar” de los enlaces covalentes del material pasando a comportarse comoelectrones cuasi-libres posibilitando la corriente electrica. Desde el punto de vista de la teorıade bandas energeticas, lo anterior equivale a decir que los electrones abandonan la banda de va-lencia y pasan a la banda de conduccion. Esta transicion solo puede ocurrir si la energıa termicarecibida es mayor queEg, que es la anchura energetica de la banda prohibida existente entre labanda de valencia y la de conduccion. El paso de los electrones a la banda de conduccion ge-nerahuecos(equivalentes en cierta medida a cargas positivas moviles) en la banda de valencia.Ambos tipos de portadores ası generados, electrones y huecos, contribuyen como portadoresindependientes de carga a los mecanismos de conduccion en el semiconductor. En los semi-conductores intrınsecos el numero de huecos por unidad de volumen, que se denomina por laletrap, es igual al numero de electrones de conduccion por unidad de volumenn, dado que lageneracion termica de portadores produce pares electron-hueco.

Para un semiconductor intrınseco, la conductividad crece exponencialmente al aumentar

64

Practica – 7. Anchura Banda Prohibida en Ge 65

la temperatura debido a la generacion termica de portadores (pares electron-hueco):

σ = σ0 exp

(− Eg

2kBT

), (7.1)

donde la constanteσ0 practicamente no depende de la temperatura,kB = 1,38 × 10−23 J/K =8,62 × 10−5 eV/K es la constante de Boltzmann,T la temperatura en grados Kelvin y1 eV =1,6× 10−19J.

La anchura de la banda energetica,Eg, puede obtenerse facilmente como la pendiente dela curva experimental resultante de la representacion delln σ frente aT−1

ln σ = ln σ0 − Eg

2kB

1

T. (7.2)


Segun se muestra en la Fig.7.1, la pieza de Ge es conectada en serie con una resistencia a la

Corriente de

calentamiento

Ge

Figura 7.1:Montaje para la determinacion de la anchura de la banda prohibida

salida de corriente continua de la fuente de tension. En la placa y detras de la pieza de germanioexiste una resistencia de caldeo que es alimentada por la salida de alterna de la fuente de tension(corriente de calentamiento). La temperatura de la pieza se medira usando el termopar de unpolımetro.

1. Alimente la resistencia de caldeo con la corriente de calentamiento, aplicando inicialmen-te una tension alterna de 2V. Espere unos minutos hasta que la temperatura de la placa

Practica – 7. Anchura Banda Prohibida en Ge 66

se estabilice. Repita el proceso anterior aplicando ahora una tension de 4V. La tempera-tura de la pieza de semiconductorno debe sobrepasar los 100oC. (La finalidad de esteproceso es aumentar de forma progresiva la temperatura de la muestra.)

2. Una vez que se ha alcanzado el valor maximo de temperatura en la muestra de semicon-ductor, aplique una tension decontinuaa la placa para conseguir que la intensidad de lacorriente que pase por la pieza de semiconductor sea aproximadamente de 30 mA.

3. Tome medida de la temperatura,T (oC), tension en los extremos de la pieza semiconduc-tora,V , e intensidad de la corriente,I, que la atraviesa.

4. Desconecte la fuente de alterna que alimenta la resistencia de caldeo y tome aproxima-damente veinte valores de tension, intensidad y temperatura a medida que la placa vayaenfriandose. Dado que la placa se enfrıa rapidamente al principio, tenga previamente pre-parada una tabla donde apuntar diligentemente los valores medidos.


1. A partir de los valores de tension, V , e intensidad, I, determine los valores de conducti-vad, σ, a partir de la resistencia electrica de la muestra semiconductora correspondientea cada temperatura.

La resistencia electrica de la muestra semiconductora,Rs, es el cociente entre la tension y laintensidadRs = V/I, estando este parametro relacionado con la conductividad electrica, segunRs = l/(σA), dondel es la longitud yA el area de la seccion transversal de la pieza rectangularsemiconductora. (en el presente casol ≈ 2cm yA ≈ 10−5 m2).

2. A partir de la tabla de valores experimentales, σ y T , represente en una grafica lospuntos correspondientes a los distintos valores de ln σ (eje Y ) frente a los del inverso dela temperatura, 1/T , expresada esta en grados Kelvin.

3. Aplicando la tecnica de mınimos cuadrados (ver Apartado 0.5), obtenga la recta de mejorajuste de los puntos anteriores. Especifique claramente el valor de la pendiente de dicharecta. Tenga en cuenta que las unidades de esta pendiente son K (grados Kelvin).

4. En la grafica anterior, superponga esta recta a los puntos ya representados.

5. A partir del valor de la pendiente de la recta anterior, obtenga el valor experimental (enunidades de eV) de la anchura de la banda prohibida Eg.

6. Compare el valor experimental de Eg con el valor tıpico para que se proporciona para elgermanio en los textos (≈ 0,7 eV).

Practica 8

Curva caracterıstica de un diodo

Conceptos implicados

Elementos lineales y no lineales, caracterısticasI/V , diodo, recta de carga, rectificado desenales.

Principios fısicos

Los elementos utilizados en circuiterıa pueden clasificarse en lineales y no lineales enfuncion de la relacion existente entre la tension (V ) y la intensidad (I) en el elemento. Ası,un elemento se denomina lineal si existe una relacion lineal (proporcional) entre la tension yla intensidad en el mismo. Por ejemplo, las resistencias son elementos lineales pues existe unarelacion lineal entreV e I dada por la ley de Ohm:V = RI. Por su parte, un elemento sera nolineal si la relacionV frente aI en el mismo no es de tipo lineal. Por ejemplo, la relacion I/Ven un diodo es de tipo exponencial, por tanto, el diodo es un elemento no lineal.

Un elemento de circuito queda descrito adecuadamente mediante la denominadacurvacaracterısticaI/V del elemento. Dicha caracterıstica da cuenta de la relacion existente entre laintensidad que circula el elemento y la tension en los extremos del mismo. De acuerdo con loantes expuesto, la curva caracterıstica de un elemento lineal sera una linea recta. Logicamente,en elemento no lineales la curva sera mas compleja. Como aspecto de interes cabe indicar queaunque una resistencia o un diodo son elementos dedosterminales, existen tambien elementosde mas terminales. En dichos elementos existenfamiliasde curvas caracterısticas, ya que ahorason varios los parametros que podemos medir y variar. El elemento mas notable de mas de dosterminales es quizas el transistor, que posee tres terminales.

En esta practica estudiaremos el diodo semiconductor como elemento no lienal mas basico.Por ello, a continuacion se explicaran brevemente los aspectos fısicos fundamentales del diodosemiconductor con el fin de entender su comportamiento no lineal.

Los semiconductores son materiales cristalinos cuya conductividad se encuentra entre la delos metales y la de los aislantes. Un cristal semiconductor puro se denomina tambien intrınse-co. Desde una perspectiva sencilla, en un semiconductor intrınseco, losatomos que lo formanse unen a losatomos vecinos mediante enlaces covalentes en los que comparten electrones devalencia. Dicho electrones estan ligados al enlace y no son libres de moverse por el cristal. Portanto, en principio un semiconductor intrınseco es un material aislante al no disponer de porta-

67

Practica – 8. Curva caracterıstica de un diodo 68

dores libres de corriente. No obstante, debido a la agitacion termica, algunos enlaces covalentesse rompen y los electrones pasan a ser libres (pueden moverse en la red) dejando a su vez unhueco en el enlace. Dichos huecos son equivalentes en cierta medida acargas positivasmoviles,que contribuyen junto con los electrones a la conduccion electrica. Ası pues, la conductividadde un semiconductor intrınseco aumente con la temperatura, ya que se generan portadores (alcontrario que los semiconductores, los metales poseen de por sı electrones libres y la agitaciontiene solo el efecto de aumentar las colisiones de los mismos con los iones de la red disminu-yendo ası la conductividad). La concentracion de huecos por unidad de volumen se denota porla letrap y la de electrones libres porn. Logicamente como los portadores se forman por parejas(electron-hueco), en un semiconductor intrınseco se tiene:n = p = ni, dondeni se denominaconcentracion intrınseca que depende del semiconductor y de la temperatura de trabajo.

Si a un semiconductores se le agregan de forma controladaatomos de otro elemento sedice que el semiconductor resultante esextrınseco. Los atomos agregados se denominanimpu-rezasy el proceso de anadirlasdopadoo drogado del semiconductor. Mediante el dopado seconsigue que los electrones o bien los huecos, dominen en el material. Cuando tras el dopadola concentracion de huecos resulta mayor que la de electrones (p > n) el semiconductor sedice que es de tipo P y las impurezas anadidas se denominanaceptoras. Por el contrario, si seconsigue que haya mas electrones que huecos (n > p) el semiconductor se denomina de tipoN y la impurezas anadidasdonadoras. En los semiconductores extrınsecos los portadores queestan en mayor cuantıa se denominanmayoritarios, denominandoseminoritariosa los que seencuentran en menor cantidad. Es interesante indicar que la conductividad de un semiconductoraumenta notablemente con la agregacion de pequenas concentraciones de impurezas.

Un diodo semiconductor esta formado por una union por contacto de dos semiconductoresde diferente tipo: union PN. Debido a la no uniformidad de las concentraciones de los portadoresen ambos lados de la union, los portadores mayoritarios en cada lado se difunden hacia el ladode tipo contrario donde estan en minorıa. Ası, Los huecos fluyen de la region P hacia la N, ylos electrones al contrario. El proceso se estabiliza debido al aparicion de una zona de carga(iones fijos) denominadazona de deplexion o region de carga espacial. Esta zona de carga daorigen a un campo electrico que se opone al proceso de difusion antes descrito, llegandose ası aun equilibrio. La diferencia de potencial entre ambos lados de la union debida a dicho campoelectrico se denomina potencial de contacto (usualmente de una magnitud de decimas de voltio).Ası, diremos que el potencial de contacto se opone al proceso de difusion.

Cuando entre los extremos del diodo se aplica un potencial externos se dice entonces quela union esta polarizada. Si se aplica dicho potencial de forma que se reduzca la barrera depotencial de contacto se dice que el diodo esta enpolarizacion directa. Al reducirse el potencialde contacto, se rompe el equilibro antes descrito y un gran numero de huecos de la region P(donde son mayoritarios) se difunden hacia la zona N. De igual forma, los electrones de lazona N (donde son mayoritarios) se difunden hacia la region P. Ambos flujos de difusion deportadores mayoritarios, pese a ser en sentidos opuestos, contribuyen a la intensidad total en unmismo sentido (dado que son de signo diferente). Si por el contrario polarizamos la union deforma que la barrera de potencial de contacto aumente se dice que el diodo esta inversamentepolarizado. En esta situacion, la difusion de mayoritarios es basicamente nula y solo existira unapequena corriente de minoritarios debida al campo electrico, esto es, de electrones de la parte P(donde son minoritarios) hacia la N y de huecos de la parte N (donde son minoritarios) hacia laP.


Todo lo anterior queda reflejado en la correspondientecurva caracterıstica del diodo, que,como se comento previamente, es la grafica de la intensidad en el diodo,I, frente al potencialaplicado externamente,V .

Finalmente, conviene senalar la indiscutible utilidad del diodo como elemento de circui-terıa (circuitos recortadores, rectificadores, demoduladores, puertas logicas, etc.) siendo ademasla base de otros dispositivos mas complejos como son los transistores.

Objetivos

1. Determinacion de la curva caracterıstica de un diodo.

2. Determinacion grafica del punto de trabajo de un diodo.

3. Visualizacion de un rectificado de media onda.



I. Determinacion de la curva caracterıstica de un diodoEn este apartado tomaremos medidas de la tension e intensidad en el diodo con el fin de poderdibujar la curva caracterısticaI/V .

1. Asegurese de que el circuito del que dispone responde al esquema de la figura 8.1 (verifi-que que el circuito esta conectado a la salida decontinuadel generador, que se encuentraa la izquierda).

A B C

I

V

A

Figura 8.1:Circuito para el estudio de la caracterıstica de un diodo. En el dibujo el diodo se halla enpolarizacion directa.

2. Variando la tension del generador, tome nota deveintevalores de la intensidad,I, y de latension en el diodo,Vd = VAB en una rango0 ≤ VAB ≤ 0,9 V. Para medir la intensidadelija la escala de 200 mA (maximo) en el amperımetro. Los valores medidos correspondenapolarizacion directadel diodo. Antes de medir lea el aviso a continuacion.

La intensidad en el diodo comienza a ser notable solo cuandoVd supera determinado valor deno-minado tension umbral,Vγ (del orden de0,5 V en este diodo). Por tanto, los valores debe tomarlosrealmente en el intervaloVγ ≤ Vd ≤ 0,9 V. No obstante, compruebe que realmente la intensidades sensiblemente menor para tensiones menores que la tension umbral. Para ello, basta que hagasolo una o dos medidas paraVd < Vγ con el amperımetro en la posicion de microamperios (µA).

3. Ponga a cero la tension del generador einvierta la posicion del diodo para obtener la partede la curva caracterıstica correspondiente a valores deVd negativos. En esta situacion eldiodo esta enpolarizacion inversa. Aumente ahora la tension de la fuente y limıtese acomprobar con dos o tres medidas queI es practicamente despreciable para cualquiervalor negativo deVd. Dado que la intensidad es muy pequena en polarizacion inversa,debera colocar el amperımetro para medir microamperios (µA).

Aunque la lectura en el voltımetro y el amperımetro seguira dando valorespositivos, debe enten-derse queestos sonnegativosrespecto a la situacion anterior de polarizacion directa y por tantoles asignaremos signo negativo.



1. A partir de la tabla de valores experimentales, represente en una grafica los puntoscorrespondientes a los distintos valores de I (eje y) frente a los de tension, Vd (eje x)(no olvide indicar las unidades en los ejes). Dada la pequena magnitud de la intensidadpara valores menores que la tension umbral y en polarizacion inversa frente, asuma queI = 0 en esos casos.

2. Trace una curva suave que interpole los puntos anteriores. La grafica ası obtenida sedenomina curva caracterıstica del diodo. Interprete el significado de esta curva obtenida.

II. Determinaci on grafica del punto de trabajo de un diodoEn este apartado determinaremos graficamente el punto de trabajo del diodo, esto es, el valorde su tension Vd y de su intensidadI correspondientes a un valorconocidode la tension delgenerador. Finalmente, para verificar los resultados obtenidos graficamente los compararemoscon los valores medidos paraVd e I.

1. Disponga el diodo en la posicion de polarizacion directa (Fig.8.1). Para un valor dado (aelegir) de la tension del generador,Vt = VAC , tome nota de los tres valores siguientes:Vt ≡ VAC , Vd ≡ VAB e I (asegurese que el valor de la intensidad se encuentre entre 60 y100 mA para facilitar la posterior representacion).


1. Haga una grafica donde se represente la recta de carga superpuesta a la curva carac-terıstica del diodo, de acuerdo con la breve explicaci on te orica que se expone masadelante. No es necesario que en la grafica aparezca el punto de corte de la recta decarga con el eje x, correspondiente a Vt, pues comprimirıa la grafica excesivamente ha-cia la izquierda. Basta dibujar tan solo un tramo de la recta de carga suficientementelargo para que corte al eje y y a la curva caracterıstica del diodo.

2. En la grafica anterior, determine la coordenadas del de interseccion de ambas graficas.Dicho punto nos permitira obtener graficamente los valores Vd e I, esto es, el punto detrabajo del diodo correspondiente al voltaje del generador Vt elegido.

3. Con el fin de verificar la validez del metodo grafico, compruebe que los valores medidosde I y Vd son similares (en teorıa iguales) a los que se han obtenido graficamente, eindique el resultado de dicha comparacion.


De acuerdo con las leyes de Kirchhoff, cuando circula una intensidad, I, por el circuito serie formadopor la resistencia y el diodo, la tension total, Vt, sera la suma de la tension en la resistencia, VR = IR,mas la del diodo, Vd, esto es:

Vt = RI + Vd . (8.1)


Si deseamos calcular el punto de trabajo del diodo, esto es, los valores I y Vd, necesitamos una ecua-cion mas, ya que tenemos dos incognitas. Esta ecuacion es la que relaciona la intensidad con la tensionen el diodo (correspondiente a la curva caracterıstica):

I = I(Vd) . (8.2)

En principio, las dos ecuaciones anteriores permiten obtener los valores deseados de I y Vd. No obs-tante, dado que el diodo es un elemento no lienal, la relacion que existe entre I = I(Vd) es de tipoexponencial (tal como ha debido de poner de manifiesto la representacion de la curva caracterıstica).En esta situacion, la resolucion del sistema no lineal formado por las dos ecuaciones anteriores no estrivial matematicamente (como ejemplo piense en dificultad de solucionar la ecuacion Aex = x). Debidoa ello, es usual recurrir a un metodo grafico para determinar el punto de trabajo del diodo. Para ello sebasta superponer la grafica grafica correspondiente a la ecuacion (8.1) a la grafica correspondiente ala caracterıstica del diodo (8.2), representando los valores de I en el eje (eje y) frente a Vd en el eje x.Previamente reescribiremos la ecuacion (8.1)despejando I:

I = −Vd

R+

Vt

R,

La ecuacion (8.1)ası escrita corresponde a una recta de ordenada en el origen Vt/R y pendiente −1/R.Dicha recta se denomina recta de carga del diodo. La representacion conjunta de las dos ecuacionesqueda, pues, como se indica en la Fig. 8.2.

V /Rt

I(mA)

Vt Vd

(volt)

Curva característica

Recta de carga

Punto de trabajo

Valor de obtenidograficamenteI

I

Valor de obtenido

graficamenteI

Vd

Figura 8.2:Obtencion grafica del punto de trabajo del diodo.

El punto de interseccion de ambas graficas es el unico que verifica ambas ecuaciones, por tanto, pro-porciona los valores I y Vd buscados.

III. Visualizaci on de un rectificado de media ondaEn este apartado veremos como es posible rectificar una senal de alterna de forma muy sencillamediante un diodo. El rectificado que veremos es el mas sencillo y se denomina de media onda,ya que se limita a suprimir la parte de senal alterna negativa.

1. En el circuito de la Fig.8.1, sustituye el diodo por un cortocircuito y cambie los cablesde salida del generador a senal alterna (parte derecha del panel del generador). La senalsuministrada por el generador sera ahora de 50 Hz y con una amplitud 2V (asegurese queesta en la posicion 2V en la ruleta que hay sobre la salida).


2. Conecte el coaxial que se suministra a un canal del osciloscopio y a los extremos de laresistencia para visualizar la senalVBC(t), asegurandose que el terminal a tierra del coaxialesta conectado al punto C. Tome nota mediante un dibujo aproximado de la forma de lasenal que observa.

3. Cambie ahora el cortocircuito por el diodo y tome mediante un dibujo aproximado de lasenal rectificada de media onda que observa.


Asumiendo un modelo sencillo para el diodo que consiste en un cortocircuito en polarizaciondirecta y en un abierto el polarizacion inversa, explique la forma observada para la senal VBC(t)rectificada.

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