8/10/2019 MAMT1_U1_EA_KAAM

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Anlisis matemtico 1Unidad 1.Espacios vectoriales

Evidencia de aprendizaje. Aplicaciones en espacios vectoriales.

1. Considera el espacio de las sucesiones de nmeros reales que convergen a 0.

a) Demuestra que , con la suma de sucesiones y el producto de un real poruna sucesin, es un espacio vectorial

Las dos operaciones debern estar bien definidas en ; es decir que las sumas desucesiones que convergen a cero, es una sucesin que tambin converge a cero; y que elproducto de un nmero real por una sucesin que converge a cero, tambin es unasucesin que converge a cero.

Ambas operaciones se hacen trmino a trmino

1. {an} + {bn} = {a1+ b1, a2+ b2, a3+ b3.. an+ bn} = {an+ bn}2. SI ,

Para la suma. Por demostrar que si , , entonces

Por lo que para todo existe tal que n>N:

| |

Por hiptesis:

, =0

|| y ||

|| || De la desigualdad del triangulo

| | || ||Lo que se quera demostrar.

Para el producto. Por demostrar que si , entonces , esto esse quiere demostrar que para todo

||

Por hiptesis

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||

||

Lo que queramos demostrar

Sin embargo se debe aun de verificar que satisface las 8 propiedades deespacio vectorial.

1. Simetra , 2. Asociativa 3. Neutro Vectorial , 4. Inverso Vectorial 5. Asociativa. 6. Neutro escalar para 1 elemento de R y 7. Distributiva (escalares) para toda a,b elementos de R

8. Distributiva (vectores, en este espacio cada sucesin es un vector o un punto delespacio)

b) Define una norma en y comprueba que, en efecto, cumple laspropiedades de norma.

Primero recordemos la definicin de norma en general:

Sea U un espacio vectorial sobre un campo K. Una norma en U es una funcin : U R,

con las siguientes propiedades:

a) (u) 0 para todo u en U.b) (u) = 0 si, y slo si, u = 0c) U, a K, (au) = |a|(u)d) u, vU, (u +v) (u) + (v) desigualdad del tringulo

Denotaremos:

Hay que traducir la definicin de norma al espacio de las sucesiones que convergen

a 0, es una funcin que va del espacio de las sucesiones que convergen a 0 a los

nmeros reales y debe satisfacer:a) n para toda sucesin {an} que converge a 0.b) n si y slo si n}c) kn |k | n para todo k d) an}+{bn anbn

Entonces, en este ejercicio debes dar una norma (un ejemplo de norma) para este

espacio de sucesiones que convergen a 0.

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Podemos usar el hecho de que toda sucesin que converge, es acotada; y, por el

teorema del supremo, el conjunto:

||

Tiene supremo. Entonces una posibilidad es definir la norma de una sucesin como:

||

Entonces se debe demostrar que cumple las cuatro propiedades de norma.

Las propiedades a y b son sencillas. Slo escriban bien lo que deben demostrar (conla definicin de norma dado) y usen que el valor absoluto siempre es mayor o igualque cero.

Para la propiedad c (saca escalares),

Hagamos la siguiente notacin:

|| ||

Lo que queremos demostrar es:

|| =||||

Es decir

||Como

|||| ||

||

||

Como la desigualdad anterior se cumple para todo , significa que ||

es una cota

superior de || y como el supremo de un conjunto es menor que cualquierotra cota superior, entonces:

||

Ahora slo hay que demostrar que

|| y se terminar la demostracin, pues la

nica posibilidad ser la igualdad.

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Para la propiedad d (desigualdad del tringulo), observa que

an}+{bn an+bn| |

Entonces lo que se quiere demostrar es:

| | || ||

Por la desigualdad del tringulo para el valor absoluto, para todo n en los naturalesse tiene que:

| | || ||

|| || Ser una cota superior de | | ; y como el supremo de unconjunto es menor que cualquier otra cota superior.

c) Define una mtrica en y comprueba que, en efecto, cumple laspropiedades de distancia.

Se debe escribir definicin de distancia o mtrica en un espacio vectorial en generaly tradcela al espacio donde cada vector es una sucesin que converge a cero.

Luego, da una distancia (un ejemplo de distancia entre dos sucesiones) en eseespacio:

Puedes dar la distancia inducida por la norma que hayas dado:

| |

Entonces esto debe cumplir las cuatro propiedades de distancia o mtrica.

d) Proporciona y describe los siguientes ejemplos de conjuntos en .i) A = una bola abierta

Primero recordamos la definicin de bola y la traducimos al espacio de sucesionesque convergen a 0, :

Una vecindad o bola abierta con radio r y centro en u 0, como el conjunto:

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En el espacio , el centro de la bola es un elemento de (es decir, unasucesin) sera:

{ }

ii) B = una bola cerrada

La bola cerrada es lo mismo salvo que entran las que la distancia es r

{ }

iii) C = conjunto de puntos de acumulacin de A

Los puntos de acumulacin de A son aquellos que cualquier abierto con centro en

ellos tiene algn punto de A distinto de los puntos de acumulacin. Todo punto interno

de la bola A es de acumulacin y los puntos a distancia r tambin lo son ya que

cualquier abierto de ellos tiene puntos de A. Luego los puntos de acumulacin son la

bola B, aquellas sucesiones bn tales que:

{ }