PROGRAMA DESARROLLADOUnidad 1.Espacios vectoriales

Actividad 1. Propiedades de los números realesKarla Judith Andrew Méndez.AL12509552

Instrucciones: lee con atención cada enunciado y realiza la demostración de acuerdo a lo que se te pide.

1. Demuestra que todo conjunto no vacío de números reales, acotado inferiormente, tiene ínfimo en los reales.

A={a1 , a2….am }

B= {b1 ,b2…bm }

Y tenemos que: A<B

Y que: a1<a2<…am<b1<b2<…bm

El teorema del supremo nos dice que:

Para todo ε ≥0 Tal que infB B≤b<inf B+ε

Y

Para todo ε ≥0 Tal que supA-ε <a≤supA

Si como mencionamos

A<B y a1<a2<…am<b1<b2<…bm

Entonces:

infA≥ supB

2. Sean A y B dos conjuntos de números reales, no vacíos y B acotados. Demuestra que si el conjunto A está contenido en el conjunto B, entonces:

supA ≤ supB y infB ≤ infA

Si toda x en A≤ SupBEntonces:

supA≤supB

Y si también:

PROGRAMA DESARROLLADOUnidad 1.Espacios vectoriales

Si toda x en A≥ infB

Entonces:

infV ≤infA

Por lo tato tenemos que A está contenido en B.

3. Demuestra que si x es cualquier número real mayor que cero, x > 0, entonces

existe N en los naturales tal, que: 1

N 3<x

Dadocualquier número x>0 , y y=1en los reales. Por el principio de

y = 1, por la propiedad arquimedeana, existe N tal que y = 1 < Nx, en consecuencia 1N

<x y si1N

> 1N3

tenemos por lotantoque1

N3<x

4. Demuestra que √3 no es un número racional.

Para la demostración suponemos que √3 es un número racional

Siendo p y q enteros y distintos de 0

√3=fracciónirreducible por lotanto tienen comomáximodivisor el 1Tenemos entonces que:

√3= pq

3= p2

q2→3q2=p2

Por lo que p2 es un número par entonces p también lo es. Es decir existe un número

entero c tal que: p=2c.

Ahora sustituimos en la igualdad de 1

3q2=p2=(3c)2=4c2→q2=(2c )2

Así que q también es un número par; por consiguiente, p y q son pares y tienen como divisor al 2, lo que contradice el hecho de que su máximo común divisor es 1. Por lo tanto

PROGRAMA DESARROLLADOUnidad 1.Espacios vectoriales

√3 no es un número racional