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COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
PEE Programa de Engenharia Eletrica
COE-736 Controle digital
Prof. Ramon
1
COE-736 Controle digital 2
Organizacao do curso
Sala de aula : H-312D
Horario : 3a. feira 08:00 – 10:00
: 5a. feira 08:00 – 10:00
Atendimento : 4a. feira 10:00 – 12:00
Professor : Ramon R. Costa
Laboratorio : H-345
Telefone : 2562-8604
e-mail : [email protected]
Homepage : http://www.coep.ufrj.br/∼ramon
: http://www.coep.ufrj.br/∼teleduc
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Pre-requisitos
⋆ Sistemas Lineares I
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Objetivos do curso
⋆ Analise de sistemas lineares discretos.
⋆ Projeto de sistemas de controle discreto.
⋆ ...
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Plano de aulas simplificado
Semana # 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Paginas 1 a 46]
• Organizacao do curso
• Capıtulo 1 : Introducao
• Capıtulo 2 : Sistemas discretos no tempo
• Exercıcios
Semana # 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Paginas 47 a 83]
• Capıtulo 2 : Continuacao
• Capıtulo 3 : Analise de sistemas discretos
• Exercıcios
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Semana # 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Paginas 84 a 119]
• Capıtulo 3 : Continuacao
• Exercıcios
Semana # 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Paginas 120 a 164]
• Capıtulo 4 : Projeto: enfoque por variaveis de estado
• Exercıcios
Semana # 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Paginas 165 a 223]
• Capıtulo 5 : Projeto: enfoque polinomial
• Exercıcios
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Semana # 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Paginas 242 a 292]
• Capıtulo 7 : Modelos orientados a processos
• Exercıcios
Semana # 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Paginas 293 a 369]
• Capıtulo 8 : Aproximacao de controladores contınuos
• Capıtulo 9 : Implementacao de controladores digitais
• Exercıcios
Semana # 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Paginas 370 a 407]
• Capıtulo 10 : Modelos de disturbios
• Exercıcios
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Semana # 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Paginas 408 a 446]
• Capıtulo 11 : Projeto otimo: enfoque por variaveis de estado
• Exercıcios
Semana # 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [Paginas 447 a 527]
• Capıtulo 12 : Projeto otimo: enfoque polinomial
• Capıtulo 13 : Identificacao
• Exercıcios
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Duracao do curso
Inıcio : 12/jun
Termino : 30/ago
⋆ 12 semanas
⋆ 40 horas-aula
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Em resumo
Aproximadamente 1 capıtulo por semana !
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Livros textos
[1] Karl J. Astrom & Bjorn Wittenmark ,
Computer Controlled Systems ,
3a. edicao, Prentice–Hall, 1997.
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Bibliografia complementar
[1] Gene Franklin & J. David Powell & Michael L. Workman ,
Digital Control of Dynamic Systems ,
Addison–Wesley , 1990.
[2] Charles L. Phillips & H. Troy Nagle ,
Digital Control Systems Analysis and Design ,
3a. ed., Prentice–Hall , 1995.
[3] C. T. Chen ,
Analog & Digital Control System Design ,
Saunders , 1993.
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COE-736 Controle digital 13
Bibliografia complementar
[4] Benjamin C. Kuo ,
Digital Control Systems ,
Saunders , 1992.
[5] K. Ogata ,
Discrete Control Systems ,
2a. edicao, Prentice–Hall , 1995.
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Avaliacao
⋆ Serao aplicadas 2 provas .
⋆ Todas as provas sao sem consulta .
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Criterio
Avaliacao:
Peso
Provas 75%
Exercıcios 10%
Trabalhos 15%
Total 100%
Criterio:
Grau Nota
A n ≥ 8
B 6 ≤ n < 8
C 4 ≤ n < 6
D n < 4
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Datas das provas
Prova Peso Data
1a. 1 24/jul/2007
2a. 1 30/ago/2007
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COE-736 Controle digital 17
Conteudo do curso 1. Introducao
2. Modelos discretos no tempo
3. Analise de sistemas discretos
4. Projeto: enfoque por variaveis de estado
5. Projeto: enfoque polinomial
6. Metodologia de projeto
7. Modelos orientados a processos
8. Aproximacao de controladores contınuos
9. Implementacao de controladores digitais
10. Modelos de disturbios
11. Projeto otimo: enfoque por variaveis de estado
12. Projeto otimo: enfoque polinomial
13. Identificacao
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COE-736 Controle digital
Capıtulo # 1
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COE-736 Controle digital 19
1 Introducao
Conteudo 1. Motivacao
2. Descricao do funcionamento
3. Justificativa para amostragem periodica
4. Desenvolvimento da tecnologia
5. Sistema de aquisicao de dados
6. Modulacao
7. Fenomenos
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COE-736 Controle digital 20
1.1 Motivacao
Por que estudar controle digital ?
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COE-736 Controle digital 21
⋆ Porque praticamente todos os sistemas de controle industriais sao
atualmente implementados em computadores digitais.
⋆ Existem diferencas fundamentais em relacao aos controladores
analogicos/contınuos.
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COE-736 Controle digital 22
Mais motivos...
⋆ Facilidade de implementacao.
⋆ Custo reduzido para aplicacoes simples.
⋆ Existencia de elementos muito eficientes.
⋆ Maior flexibilidade.
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COE-736 Controle digital 23
Exemplo 1 (Diniz, Silva & Neto 2002, pag. 5)
Suponha que se deseja fazer a seguinte operacao com um sinal contınuo :
y(t) =cosh
[
ln(|x(t)|
)+ x3(t) + cos3
(√
|x(t)|)]
5x5(t) + ex(t) + tan(x(t)
)
Sinal de entrada . . . . . x(t)
Sinal de saıda . . . . . . . y(t)
⋆ Virtualmente, nao ha limites para a complexidade!
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COE-736 Controle digital 24
Exemplo 2 Elementos eficientes : DSPs da Analog Devices
TigerSHARCr Processor families
⋆ ADSP-TS201S operates at 600 MHz with 24 Mbits on-chip memory and
executes 4.8 billion MACS while achieving the world’s highest floating-point
DSP performance.
⋆ ADSP-TS202S operates at 500 MHz with 12 Mbits on-chip memory.
⋆ ADSP-TS203S operates at 500 MHz with 4 Mbits on-chip memory.
Page : http://www.analog.com/processors/tigersharc/index.html
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COE-736 Controle digital 25
1.2 Controle analogico versus digital
(...)
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COE-736 Controle digital 26
r(t) e(t) Controlador
(P,PI,PID,...)
u(t)Processo
y(t)+
−
Figura 1: Diagrama de blocos de um controlador analogico.
⋆ O controlador implementa uma lei ou logica de controle utilizando o sinal
de erro e(t).
⋆ Quanto mais elaborada e a lei de controle tanto mais complexa e a sua
implementacao.
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COE-736 Controle digital 27
Alternativa: Utilizar um computador digital .
A/Dy(tk)
D/Au(t)
Processoy(t)
Micro
r(tk)
u(tk)
Figura 2: Diagrama de blocos de um controlador digital.
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COE-736 Controle digital 28
1.3 Descricao do funcionamento
⋆ O conversor A/D transforma o sinal de saıda y(t) em uma sequencia
y(tk) apropriada para ser processada pelo computador.
⋆ Esse processo e denominado amostragem ou aquisicao .
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COE-736 Controle digital 29
⋆ Utilizando as informacoes y(tk) e r(tk) o computador calcula, atraves
de um algoritmo ja programado, a sequencia de controle u(tk).
⋆ A sequencia de controle u(tk) e convertida em um sinal contınuo analogico
u(t) pelo conversor D/A para poder ser aplicado a planta.
Este processo e denominado reconstrucao ou modulacao .
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COE-736 Controle digital 30
⋆ Para gerar um sinal contınuo e necessario fazer a conversao D/A no instante
tk e alem disso fazer uma extrapolacao , i.e., gerar um sinal analogico ate
o instante tk+1.
⋆ O modo mais simples de se fazer isto e utilizando um
extrapolador de ordem zero (ZOH) .
⋆ O ZOH simplesmente mantem o sinal de controle constante durante as
conversoes.
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COE-736 Controle digital 31
0 1 2 3 4 5 6 7 t
u(t)
3
2
1
0
-1
-2
-3
Figura 3: (Pulse Amplitude Modulation) ou ZOH (Zero Order Hold).
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COE-736 Controle digital 32
⋆ As conversoes sao comandadas pelo computador de maneira sincronizada
pelo seu relogio de tempo real .
⋆ As conversoes sao periodicas , i.e.,
tk = kh
onde k = 0, 1, 2, · · · e h e o perıodo de amostragem .
⋆ fs = 1/h e a frequencia de amostragem (em Hz)
⋆ ws = 2πfs e a frequencia angular de amostragem (em rad/s).
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COE-736 Controle digital 33
⋆ Um sistema contendo somente variaveis discretas e denominado
sistema discreto no tempo .
⋆ Um sistema contendo tanto variaveis discretas quanto contınuas denomina–
se sistema de dados amostrados .
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COE-736 Controle digital 34
Exemplo 1 Discretizacao.
0 1 2 3 4
x(t) : FuncaoSequencia : x(k)
⋆ Sinais discretos sao representados matematicamente como sequencias .
⋆ Cuidado : nao e correto assumir x(k) = 0 para k nao inteiro.
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COE-736 Controle digital 35
⋆ Os conversores A/D , ao fazerem uma amostragem, fornecem uma
representacao binaria do sinal utilizando um numero limitado de bits
(geralmente entre 10 e 14).
Isto significa que o sinal amostrado sofre uma quantizacao .
⋆ O erro cometido e denominado erro de quantificacao ou resolucao .
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COE-736 Controle digital 36
Exemplo 2 Erro de quantizacao.
0.0 0.25 0.50 0.75 1.00 Tensao
Codigo
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 0 1
1 1 0
1 1 1
Figura 4: Exemplo de um conversor A/D de 3 bits (ideal).
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COE-736 Controle digital 37
Neste exemplo: Erro de quantizacao = 0.125 (1/8)
[7
16< V <
9
16] → 1 0 0 (binario)
largura = 0.125 (= 2−n)
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COE-736 Controle digital 38
⋆ Os conversores D/A tem um problema semelhante, i.e., possuem tambem
uma determinada resolucao maxima, limitada pela complexidade dos
circuitos, que nao permitem gerar qualquer valor de tensao na saıda.
⋆ Um sinal que ao mesmo tempo e discreto e quantizado e denominado
sinal digital .
⋆ Assim, o projeto e a analise de controladores digitais considera–se de al-
guma maneira ambos os efeitos. Um sinal digital e aquele que e quantizado
no tempo e na amplitude.
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COE-736 Controle digital 39
Exemplo 3 Digitalizacao.
0 1 2 3 4
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COE-736 Controle digital 40
Importante :
⋆ A digitalizacao e uma operacao nao linear .
⋆ A discretizacao e uma digitalizacao com precisao infinita.
⋆ Neste curso consideraremos apenas sinais discretos de 1 dimensao.
⋆ O efeito da digitalizacao e avaliado via simulacao.
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COE-736 Controle digital 41
Importante :
⋆ Sob certas condicoes, as representacoes contınua e discreta de um mesmo
sinal sao equivalentes .
⋆ Nem toda sequencia e obtida por discretizacao.
⋆ Existem diferencas fundamentais entre sistemas contınuos e discretos.
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COE-736 Controle digital 42
Resumo da notacao
Sinal analogico : x(t)
Sequencia : x(kh) , (0 < k < ∞)
Intervalo de amostragem : h
Frequencia de amostragem : fs =1
h
Frequencia angular de amostragem : ωs = 2πfs =2π
h
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COE-736 Controle digital 43
1.4 Justificativa para amostragem periodica
Operacoes lineares com sequencias:
• Multiplicacao por constante
• Soma
• Shift para a direita (atraso)
• Shift para a esquerda (avanco)
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COE-736 Controle digital 44
· +
>> <<
u(k) y(k)
· +
∫d
dt
u(t) y(t)
Figura 5: Operacoes lineares.
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COE-736 Controle digital 45
Figura 6: Operacoes lineares com sequencias.
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COE-736 Controle digital 46
1.5 Desenvolvimento da tecnologia
⋆ A ideia de se utilizar um computador digital para implementar a lei de
controle surgiu em torno de 1950 .
⋆ O desenvolvimento que se seguiu pode ser dividido em:
• Perıodo pioneiro . . . . . . . . . . . . . . . . . ≈ 1955
• Direct-Digital-Control . . . . . . . . . . . . ≈ 1962
• Perıodo dos minicomputadores . . . .≈ 1967
• Perıodo dos microcomputadores . . .≈ 1972
• Uso geral do controle digital . . . . . .≈ 1980
• Controle distribuıdo . . . . . . . . . . . . . . ≈ 1990
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COE-736 Controle digital 47
Velocidade dos microcomputadores
Benchmarks: 106 multiplicacoes e divisoes com 80 bits.
Ano Micro Frequencia Tempo de execucao
1983 XT 4.7 Mhz 2m 06.43s
1986 AT 8 Mhz 1m 35.70s
1989 386 25 Mhz 0m 18.40s
1992 486 33 Mhz 0m 03.13s
1992 486 50 Mhz 0m 02.80s
1994 486 66 Mhz 0m 01.37s
1995 Pentium 90 Mhz 0m 00.82s
1996 Pentium 100 Mhz 0m 00.??s
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COE-736 Controle digital 48
1.6 Sistema de aquisicao de dados
sinalanalogico
SensorCircuitocondicio-
nador
Filtroanalogico S&H
MUX
CAD
Relogioprogram.
Sinal decontrole
Sinaldigital
Figura 7: Sistema de aquisicao de dados tıpico.
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COE-736 Controle digital 49
1.7 Modulacao
0 1 2 3 4 5 6 7 k
u(k)
3
2
1
0
-1
-2
-3
Figura 8: Sequencia de controle u(k).
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COE-736 Controle digital 50
0 1 2 3 4 5 6 7 t
u(t)
3
2
1
0
-1
-2
-3
Figura 9: (Pulse Amplitude Modulation) ou ZOH (Zero Order Hold).
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 51
0 1 2 3 t
u(t)
3
2
1
0
-1
-2
-3
Figura 10: (Pulse Width Modulation).
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COE-736 Controle digital 52
Vantagem : Melhor eficiencia dos atuadores (somente dois modos
de operacao sao necessarios).
Desvantagem : O PWM e nao linear e de analise muito mais difıcil
do que o PAM.
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COE-736 Controle digital 53
1.8 Fenomenos
Nos sistemas digitais ocorrem fenomenos que devem ser considerados com
cuidado:
1. Os sistemas digitais sao variantes no tempo
2. Atraso de h/2 inerente ao ZOH
3. Aliasing
4. Controle tipo deadbeat
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COE-736 Controle digital 54
Sistema variante no tempo
Figura 11: Resposta de um filtro digital ao degrau unitario.
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COE-736 Controle digital 55
Atraso
⋆ Fenomeno associado a toda implementacao digital de controladores.
t
u(t)
uZOH(t)
umedio(t)
Figura 12: Interpretacao do atraso de h/2.
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COE-736 Controle digital 56
Aliasing
E um fenomeno relacionado a amostragem de sinais periodicos.
A amostragem cria novas frequencias .
Figura 13: Exemplo de aliasing.
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COE-736 Controle digital 57
Problema : Quando um sinal analogico e dado de maneira unica pelas
suas amostragens?
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COE-736 Controle digital 58
T/2 T
x
t
Figura 14: ωs = 2ω0.
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COE-736 Controle digital 59
Solucao : Teorema da amostragem
ωs > 2ω0
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COE-736 Controle digital 60
T/2 T
y
t
Figura 15: ωs > 2ω0.
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COE-736 Controle digital 61
Interpretacao em termos de espectro
−ω0 ω0 ω
Figura 16: Espectro do sinal analogico.
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COE-736 Controle digital 62
−ωN ωN ω
· · · · · ·
ωs−ωs
ωs ω
· · · · · ·
−ωs
−ωN ωωN
1
2ωs−2ωs
Xc(jω)
S(jω)2πT
Xs(jω)1T
Figura 17: Espectro do sinal amostrado.
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COE-736 Controle digital 63
−ωN ωN ω
· · · · · ·
ωs−ωs
ωs ω
· · · · · ·
−ωs
−ωN ωωN
1
2ωs−2ωs
Xc(jω)
S(jω)2πT
Xs(jω)1T
Figura 18: Espectro do sinal amostrado.
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COE-736 Controle digital 64
Controle deadbeat
Exemplo 1 Controle de um drive de disco.
Modelo : G(s) =k
Js2
onde : J e o momento de inercia
k e uma constante
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COE-736 Controle digital 65
Controle lead-lag : U(s) =bK
aUc(s) − K
s + b
s + aY (s)
onde : a = 2ω0
b = ω0/2
K = 2Jω2
0
k
ω0 e uma frequencia arbitraria
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COE-736 Controle digital 66
k
Js2+
−
Ks + b
s + a
Kb
a
Uc U Y
Figura 19: Diagrama de blocos do sistema em malha fechada.
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COE-736 Controle digital 67
Figura 20: Simulacao do controle de um drive de disco.
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COE-736 Controle digital 68
Figura 21: Controle deadbeat do drive de disco.
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Capıtulo # 2
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COE-736 Controle digital 70
2 Modelos discretos no tempo
Conteudo 1. Introducao
2. Representacao usando estado
3. Solucao das equacoes de estado
4. Modelo entrada/saıda
5. Operador q
6. Pulse–transfer operator
7. Transformada z
8. Exemplos
9. Exercıcios
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COE-736 Controle digital 71
2.1 Introducao
⋆ Modelo discreto e um modelo do ponto de vista do computador.
u(t)u(tk) y(t) y(tk)A/DPROCESSOD/A
Figura 22: Os sinais de entrada e saıda sao discretos.
Dois tipos de modelos : • Estado
• Entrada/saıda
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COE-736 Controle digital 72
2.2 Representacao usando estado
Sistema contınuo :
x = Ax + Bu
y = Cx + Du
onde : x ∈ Rn , u ∈ Rr , y ∈ Rp
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COE-736 Controle digital 73
Hipotese: O sinal de controle e constante durante o intervalo de amostragem.
k
u(k)
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COE-736 Controle digital 74
Solucao do sistema linear :
x(t) = eA(t−t0)x(t0) +
∫ t
t0
eA(t−s′)Bu(s′)ds′ t ≥ t0
Dados u(kh) e x(kh) pode–se calcular x(kh + h) :
x(kh + h) =[eAh
]x(kh) +
[∫ kh+h
kh
eA(kh+h−s′)Bds′
]
u(kh)
⋆ u(kh) e constante durante o intervalo de amostragem.
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COE-736 Controle digital 75
Resultado :x(kh + h) = Φx(kh) + Γu(kh)
y(kh) = Cx(kh) + Du(kh)
onde : Φ = eAh e Γ =
∫ h
0
eAsBds
⋆ Este modelo e denominado equivalente ZOH .
⋆ Exato nos instantes de amostragem.
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COE-736 Controle digital 76
Notacao. E usual simplificar a notacao eliminando a dependencia explıcita de h.
Equivalente ZOH :x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k)
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COE-736 Controle digital 77
Calculo de eAh
1. Expansao em serie : Φ = eAh = I + Ah +A2h2
2!+ · · ·
2. Transformada de Laplace : eAt = L−1[(sI − A)−1
]
3. Decomposicao espectral : A = V ΛV −1 ⇒ eAh = V eΛh V −1
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COE-736 Controle digital 78
Exemplo 1 Duplo integrador
x =
0 1
0 0
x +
0
1
u
y =[
1 0]
x
Φ = eAh = I + Ah +A2h2
2!+ · · · =
1 0
0 1
+
0 h
0 0
+ · · · =
1 h
0 1
Γ =
∫ h
0
eAsBds =
∫ h
0
1 s
0 1
0
1
ds =
∫ h
0
s
1
ds =
h2/2
h
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COE-736 Controle digital 79
Equivalente ZOH :
x(k + 1) =
1 h
0 1
x(k) +
h2/2
h
u(k)
y(k) =[
1 0]
x(k)
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COE-736 Controle digital 80
Exemplo 2 Motor DC normalizado
x =
−1 0
1 0
x +
1
0
u
y =[
0 1]
x
Usando Transformada de Laplace : eAt = L−1[(sI − A)−1
]
(sI − A)−1 =1
s(s + 1)
s 0
1 s + 1
eAt = L−1[(sI − A)−1
]=
e−t 0
1 − e−t 1
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COE-736 Controle digital 81
Portanto :
Φ = eAh =
e−h 0
1 − e−h 1
Γ =
∫ h
0
eAsBds =
∫ h
0
e−s 0
1 − e−s 1
1
0
ds =
−e−h + 1
h + e−h − 1
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COE-736 Controle digital 82
Equivalente ZOH :
x(k + 1) =
e−h 0
1 − e−h 1
x(k) +
−e−h + 1
h + e−h − 1
u(k)
y(k) =[
0 1]
x(k)
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COE-736 Controle digital 83
Modelos de sistemas com atraso
Sistema contınuo : x = Ax + Bu(t − τ) , τ < h
Nota. Isto nao e modelo de estado.
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COE-736 Controle digital 84
k − 1 k k + 1
t
u(t)u(k)
u(k − 1)
u(t − τ)
t
u(k)
u(k − 1)
Figura 23: Sinal de controle atrasado de τ .
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COE-736 Controle digital 85
A solucao agora e :
x(kh + h) =[eAh
]x(kh) +
[∫ kh+τ
kh
eA(kh+h−s′)Bds′
]
u(kh − h)
+
[∫ kh+h
kh+τ
eA(kh+h−s′)Bds′
]
u(kh)
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COE-736 Controle digital 86
Resultado :
x(k + 1) = Φx(k) + Γ1 u(k − 1) + Γ0 u(k)
y(k) = C x(k) + D u(k)
onde : Γ0 =
∫ h−τ
0
eAsBds e Γ1 = eA(h−τ)
∫ τ
0
eAsBds
⋆ A solucao vale para τ = h ⇒ Γ0 = 0.
⋆ Isto tambem nao e modelo de estado .
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COE-736 Controle digital 87
Definindo-se : z(k) = u(k − 1) , z ∈ Rr
z(k + 1) = u(k)
Novo vetor de estado : X(k) =
x(k)
z(k)
Atrasou(k) = z(k + 1) z(k) = u(k − 1)
Figura 24: Atraso unitario.
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COE-736 Controle digital 88
Resultado :X(k + 1) =
Φ Γ1
0 0
X(k) +
Γ0
I
u(k)
y(k) =[
C 0]
X(k)
⋆ Sistema contınuo ⇒ dimensao infinita.
⋆ Sistema discreto ⇒ dimensao n + r.
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COE-736 Controle digital 89
Exemplo 3 Duplo integrador com atraso τ < h
Φ =
1 h
0 1
Γ0 =
∫ h−τ
0
eAsBds =
∫ h−τ
0
1 s
0 1
0
1
ds =
(h − τ)2/2
h − τ
Γ1 = eA(h−τ)
∫ τ
0
eAsBds =
1 h − τ
0 1
τ2/2
τ
ds =
τ(h − τ/2)
τ
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COE-736 Controle digital 90
Portanto,
X(k + 1) =
Φ Γ1
0 0
X(k) +
Γ0
I
u(k)
=
1 h τ(h − τ/2)
0 1 τ
0 0 0
X(k) +
(h − τ)2/2
h − τ
1
u(k)
y(k) =[
C 0]
X(k)
=[
1 0 0]
X(k)
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COE-736 Controle digital 91
Modelos de sistemas com atraso longo
Sistema contınuo : x = Ax + Bu(t − τ) , τ > h
Nota. Isto nao e modelo de estado.
Podemos exprimir τ como : τ = (d − 1)h + τ ′
onde : 0 < τ ′ ≤ h e d = inteiro
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COE-736 Controle digital 92
k − 1 k k + 1
t
u(t)u(k)
u(k − 1)
u(t − τ)
t
u(k)
u(k − 1)
u(k − 2)
u(k − 2)
Figura 25: Sinal de controle atrasado de τ > h, caso d = 2.
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COE-736 Controle digital 93
Neste caso, o sistema amostrado resulta
x(k + 1) = Φx(k) + Γ0 u(k − d + 1) + Γ1 u(k − d)
Definindo-se : z1(k + 1) = u(k)
z2(k + 1) = z1(k) = u(k − 1)...
...
zd(k + 1) = zd−1(k) = u(k − d + 1)
Atraso
z1(k + 1) z2(k + 1)
Atraso
z3(k + 1)
Atraso
zd(k)zd(k + 1)· · ·
u(k) z1(k) z2(k) zd−1(k) u(k − d)
Figura 26: Trem de atrasos unitarios.
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COE-736 Controle digital 94
Novo vetor de estado : X(k) =
x(k)
zd(k)...
z1(k)
O modelo de estado agora resulta na forma :
X(k + 1) =
Φ Γ1 Γ0 0 · · · 0
0 0 I 0 · · · 0...
......
......
0 0 0 0 · · · I
0 0 0 0 · · · 0
X(k) +
0
0...
0
I
u(k)
⋆ z1 ∈ Rr e o sistema amostrado tem dimensao n + dr.
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COE-736 Controle digital 95
Exemplo 4 Duplo integrador com (h = 1) e (τ = 0.5).
Φ =
1 h
0 1
=
1 1
0 1
Γ0 =
∫ h−τ
0
eAsBds =
(h − τ)2/2
h − τ
=
0.125
0.5
Γ1 = eA(h−τ)
∫ τ
0
eAsBds =
τ(h − τ/2)
τ
=
0.375
0.5
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COE-736 Controle digital 96
Portanto,
X(k) =
x(k)
z(k)
X(k + 1) =
1 1 0.375
0 1 0.5
0 0 0
X(k) +
0.125
0.5
1
u(k)
y(k + 1) =[
1 0 0]
X(k)
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COE-736 Controle digital 97
Exemplo 5 Duplo integrador com h = 1 e τ = 1.5 .
Neste caso d = 2 e τ ′ = 0.5 .
Portanto,
X(k) =
x(k)
z2(k)
z1(k)
X(k + 1) =
Φ Γ1 Γ0
0 0 1
0 0 0
X(k) +
0
0
1
u(k)
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COE-736 Controle digital 98
X(k + 1) =
1 1 0.375 0.125
0 1 0.5 0.5
0 0 0 1
0 0 0 0
X(k) +
0
0
0
1
u(k)
Nota. A dimensao do sistema depende de h.
h = 0.2 ⇒ d = 8 , τ ′ = 0.1
h = 0.1 ⇒ d = 15
h → 0 ⇒ d → ∞
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COE-736 Controle digital 99
Transformacoes de coordenadas
Sistema original : x = Ax + Bu
Transformacao : z = Tx
Resultado : T x = TAx + TBu ⇒ z = TAT−1z + TBu
Definindo-se : A = TAT−1 e B = TB
Sistema transformado : z = Az + Bu
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COE-736 Controle digital 100
Sistema original : x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
Transformacao : z = Tx
Resultado : Tx(k + 1) = TΦx(k) + TΓu ⇒ z(k + 1) = TΦT−1z(k) + TΓu(k)
Definindo-se : Φ = TΦT−1 e Γ = TΓ
Sistema transformado : z(k + 1) = Φz(k) + Γu(k)
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COE-736 Controle digital 101
Propriedade : A equacao caracterıstica e invariante sob transformacoes de
coordenadas.
⋆ Em outras palavras, Φ e Φ possuem a mesma equacao caracterıstica .
Prova.
det(λI − Φ) = det(λTT−1 − TΦT−1
)
= (det T ) det (λI − Φ) (det T−1)
= det(λI − Φ)
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COE-736 Controle digital 102
Forma canonica de Jordan
⋆ A seguir vamos revisar o metodo de determinacao da forma canonica de
Jordan de uma matriz.
Forma geral de um bloco de Jordan de ordem n :
Jn =
λ 1 0 0 · · · 0 0
0 λ 1 0 · · · 0 0
0 0 λ 1 · · · 0 0...
......
......
...
0 0 0 0 · · · λ 1
0 0 0 0 · · · 0 λ
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COE-736 Controle digital 103
Exemplo 6 Seja a matriz triangular
A =
1 2
0 1
.
Autovalores repetidos : λ1 = λ2 = 1
Os autovetores associados sao obtidos de :
(A − λI)v =
0 2
0 0
v = 0 ⇒ v1 =
1
0
⋆ Somente um unico autovetor!
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COE-736 Controle digital 104
Problema: Determinar um 2o. vetor v2 para compor uma matriz de
transformacao M ,
M =[
v1 v2
]
tal que
J = M−1A M
onde J e uma matriz na forma de Jordan .
Solucao: Recorremos a utilizacao dos denominados autovetores generalizados .
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COE-736 Controle digital 105
Definicao. Os autovalores generalizados gi, associados ao autovalor λ,
sao obtidos utilizando-se o seguinte procedimento
Av = λv (A − λI)v = 0
Ag1 = λg1 + v (A − λI)g1 = v
Ag2 = λg2 + g1 (A − λI)g2 = g1
......
Nota. Utilizando notacao matricial, podemos escrever
A[
v g1 g2
]
︸ ︷︷ ︸
M
= AM =[
λv λg1 + v λg2 + g1
]
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COE-736 Controle digital 106
ou melhor,
AM =[
λv λg1 + v λg2 + g1
]
=[
λv λg1 λg2
]
+[
0 v g1
]
=[
v g1 g2
]
︸ ︷︷ ︸
M
Λ +[
0 v g1
]
= MΛ +[
0 v g1
]
Porem,
[
0 v g1
]
=[
v g1 g2
]
︸ ︷︷ ︸
M
0 1 0
0 0 1
0 0 0
︸ ︷︷ ︸
J0
= MJ0
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COE-736 Controle digital 107
Portanto,
AM = MΛ + MJ0
= M(Λ + J0)
= MJ
J = Λ + J0 A = MJM−1
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COE-736 Controle digital 108
Voltando ao exemplo...
Precisamos determinar v2 tal que
(A − λI)v2 = v1
Resultado :
0 2
0 0
v2 =
1
0
⇒ v2 =
1
1/2
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COE-736 Controle digital 109
Verificacao: A matriz M encontrada,
M =[
v1 v2
]
=
1 1
0 1/2
tem a propriedade requerida :
J = M−1AM = 2
1/2 −1
0 1
1 2
0 1
1 1
0 1/2
= 2
1/2 0
0 1
1 1
0 1/2
=
1 1
0 1
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COE-736 Controle digital 110
Exemplo 7 Considere agora a matriz (que ja esta na forma de Jordan)
A =
1 1 0
0 1 0
0 0 1
O autovalor λ = 1 tem multiplicidade 3.
A matriz tem : • 1 bloco de Jordan de 2a. ordem
• 1 bloco de Jordan de 1a. ordem
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COE-736 Controle digital 111
Os autovetores associados sao obtidos resolvendo-se a equacao
(A − λI)v =
0 1 0
0 0 0
0 0 0
v = 0
Encontramos 2 solucoes :
v1 =
1
0
0
e v2 =
0
0
1
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COE-736 Controle digital 112
O autovetor generalizado v3 e obtido resolvendo-se :
(A − λI)v3 = v1
0 1 0
0 0 0
0 0 0
v3 =
1
0
0
⇒ v3 =
0
1
0
Nota. Nao existe autovetor generalizado associado a v2 :
(A − λI)v3 =
0 1 0
0 0 0
0 0 0
v3 =
0
0
1
= v2 Nao tem solucao!
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COE-736 Controle digital 113
Verificacao:
M =[
v1 v3 v2
]
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⋆ Observe a ordem dos autovetores na matriz M .
⋆ O autovetor generalizado v3 aparece logo apos o autovetor v1, que e o
autovetor ao qual esta associado e a partir do qual foi gerado.
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COE-736 Controle digital 114
Exemplo 8 Dada a matriz
A =
1 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
1 0 0 1
determine a transformacao de similaridade que a coloque na forma de Jordan.
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COE-736 Controle digital 115
Solucao. A matriz dada esta na forma triangular por blocos
A =
1 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
1 0 0 1
Autovalores: λ = 1 com multiplicidade 4 (basta uma simples inspecao !)
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COE-736 Controle digital 116
Os autovetores associados sao obtidos resolvendo-se
(A − λI)v =
0 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
v = 0 .
Encontramos 2 autovetores :
v1 =
0
1
0
0
e v2 =
0
0
1
0
.
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COE-736 Controle digital 117
Precisamos de 2 autovetores generalizados v3 e v4.
Vamos tentar obte-los a partir de v1 :
(A − λI)v3 = v1 ⇒
0 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
v3 =
0
1
0
0
⇒ v3 =
0
0
0
1
(A − λI)v4 = v3 ⇒
0 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
v4 =
0
0
0
1
⇒ v4 =
?
∗
∗
0
⋆ v4 nao pode ser derivado de v3 !
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COE-736 Controle digital 118
Vamos tentar derivar v4 a partir de v2 :
(A − λI)v4 = v2 ⇒
0 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
v4 =
0
0
1
0
⇒ v4 =
?
∗
∗
0
⋆ v4 tambem nao pode ser derivado de v2 !
Problema: Como obter v4 ?
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COE-736 Controle digital 119
Solucao: So resta escolher outro autovetor generalizado v3.
(A − λI)v3 = v1 ⇒
0 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
v3 =
0
1
0
0
⇒ v3 =
0
0
1
1
(A − λI)v4 = v3 ⇒
0 0 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0
v4 =
0
0
1
1
⇒ v4 =
1
0
0
0
⋆ Ok. Desta vez foi !
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COE-736 Controle digital 120
Portanto, a matriz pedida e:
M =[
v1 v3 v4 v2
]
=
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 1
0 1 0 0
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COE-736 Controle digital 121
Verificacao :
J = M−1AM
=
26666640 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 −1
377777526666641 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
1 0 0 1
377777526666640 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 1
0 1 0 0
3777775 =
26666641 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1
3777775Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 122
Solucao via Matlab
(...)
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COE-736 Controle digital 123
Exercıcio.
1. Encontre uma forma de Jordan para as seguintes matrizes :
(a) A =
1 0 1
0 1 0
0 0 1
.
(b) A =
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
.
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COE-736 Controle digital 124
Exercıcio.
2. Verifique que para o bloco de Jordan
J =
λ 1 0
0 λ 1
0 0 λ
tem-se que
eJt =
eλt teλt 12 t2eλt
0 eλt teλt
0 0 eλt
.
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COE-736 Controle digital 125
2.3 Solucao das equacoes de estado
Sistema discreto :
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k)
Dados x(0) e u(k), a solucao e obtida recursivamente :
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COE-736 Controle digital 126
x(1) = Φx(0) + Γu(0)
x(2) = Φx(1) + Γu(1)
= Φ [Φx(0) + Γu(0)] + Γu(1)
= Φ2x(0) + ΦΓu(0) + Γu(1)
x(3) = Φx(2) + Γu(2)
= Φ[Φ2x(0) + ΦΓu(0) + Γu(1)
]+ Γu(2)
= Φ3x(0) + Φ2Γu(0) + ΦΓu(1) + Γu(2)
...
Portanto : y(k) = CΦkx(0) +k−1∑
j=0
CΦk−j−1Γu(j) + Du(k)
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COE-736 Controle digital 127
⋆ Matriz de transicao : Φk
⋆ A solucao pode ser obtida em funcao dos autovalores e autovetores :
Φk = V Jk V −1
⋆ Note que :
Φk =(eAh
)k= eAkh = eAtk
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COE-736 Controle digital 128
2.4 Modelo entrada/saıda
A relacao entre a entrada e a saıda de um sistema linear pode ser expressa pela sua
resposta ao impulso unitario .
Pulso unitario:
u(0) = 1
u(k) = 0 , ∀k 6= 0
k
u(k)
−3 −2 −1 1 2 3
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COE-736 Controle digital 129
Considere N observacoes da entrada u e da saıda y.
Modelo linear geral : Y = HU + Yp
onde : U =[
u(0) u(1) · · · u(N − 1)]T
Y =[
y(0) y(1) · · · y(N − 1)]T
H e uma matriz N × N
Yp depende das condicoes iniciais (c.i.’s)
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COE-736 Controle digital 130
Modelo linear geral : Y = HU + Yp
Se o sistema e causal , entao a matrix H e triangular inferior,
H =
h(0, 0) 0 0 · · ·
h(1, 0) h(1, 1) 0 · · ·
h(2, 0) h(2, 1) h(2, 2) · · ·...
......
⋆ h(k, j) e a resposta ao pulso ou funcao ponderacao .
⋆ h(k, j) e a resposta em k devido a um pulso aplicado em j.
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COE-736 Controle digital 131
Expandindo :
y(0) = h(0, 0) u(0) + yp(0)
y(1) = h(1, 0) u(0) + h(1, 1) u(1) + yp(1)
y(2) = h(2, 0) u(0) + h(2, 1) u(1) + h(2, 2) u(2) + yp(2)
...
Portanto : y(k) =
k∑
j=0
h(k, j)u(j) + yp(k) ( Somatorio de convolucao )
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COE-736 Controle digital 132
Para sistemas lineares invariantes no tempo (SLITs) :
h(k, j) = h(k − j)
Portanto : y(k) =k∑
j=0
h(k − j)u(j) + yp(k) ( Somatorio de convolucao )
Solucao do sistema discreto :
y(k) = CΦkx(0) +
k−1∑
j=0
CΦk−j−1Γu(j) + Du(k)
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COE-736 Controle digital 133
Comparando as 2 solucoes, conclui-se que :
h(k) =
0 se k < 1
CΦk−1Γ se k ≥ 1
Nota. h(k) e a funcao resposta ao pulso do sistema.
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COE-736 Controle digital 134
Propriedade : h(k) e invariante com relacao a transformacoes de coordenadas.
Prova. h(k) = CΦk−1Γ
= (CT−1) (TΦk−1T−1) (TΓ)
= CΦk−1Γ
= h(k)
Nota. h(k) e um modelo temporal .
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COE-736 Controle digital 135
Exemplo 1
(...)
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COE-736 Controle digital 136
2.5 Operador q
Para equacoes diferenciais : operador diferencial p =d
dt
Para equacoes a diferencas : operador de avanco q
Operador de atraso q−1
Sequencias duplamente infinitas : f(k) = ak | k = · · · ,−1, 0, 1, · · ·
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COE-736 Controle digital 137
Propriedade : qf(k) = f(k + 1)
q−1f(k) = f(k − 1)
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COE-736 Controle digital 138
Nota.
Operador Variavel complexa
Sistemas contınuos p s
Sistemas discretos q z
⋆ Em alguns livros p e s assim como q e z sao usados indistintamente.
Funcionalmente iguais .
Formalmente diferentes .
⋆ O operador q serve para simplificar a notacao de equacoes a diferencas.
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COE-736 Controle digital 139
Exemplo 1 Equacao a diferencas de ordem na. na ≥ nb
y(k + na) + a1y(k + na − 1) + · · · + anay(k) = b0u(k + nb) + · · · + bnb
u(k)
Pode ser escrita como : A(q)y(k) = B(q)u(k)
onde :
A(q) = qna + a1qna−1 + · · · + ana
B(q) = b0qnb + b1q
nb−1 + · · · + bnb
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COE-736 Controle digital 140
Definicao. A∗(z) = polinomio recıproco
A(z) = zna + a1zna−1 + · · · + ana
A∗(z) = 1 + a1z + · · · + anazna = znaA(z−1)
A∗(z−1) = 1 + a1z−1 + · · · + ana
z−na = z−naA(z)
Portanto : A(q)y(k) = B(q)u(k)
[q−naA(q)]y(k) = [q−naB(q)]u(k)
A∗(q−1)y(k) = [q−(na−nb)q−nbB(q)]u(k)
A∗(q−1)y(k) = [q−(na−nb)B∗(q−1)]u(k)
A∗(q−1)y(k) = B∗(q−1)u(k − d) , d = na − nb
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COE-736 Controle digital 141
Exemplo 2 Equacao a diferencas de 3a. ordem
y(k + 3) + 2y(k + 2) + 3y(k + 1) + 4y(k) = 5u(k + 2) + 6u(k + 1) + 7u(k)
Aplicando o operador q :
(q3 + 2q2 + 3q + 4)y(k) = (5q2 + 6q + 7)u(k)
Multiplicamos ambos os lados por q−3 :
(1 + 2q−1 + 3q−2 + 4q−3)y(k) = (5q−1 + 6q−2 + 7q−3)u(k)
ou melhor,
(1 + 2q−1 + 3q−2 + 4q−3)y(k) = (5 + 6q−1 + 7q−2)u(k − 1)
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COE-736 Controle digital 142
2.6 Pulse–transfer operator
Se :
y(0) = 0 ; k ≤ 0
u(k) = 0 ; k < 0
entao pode–se definir divisao de polinomios em q.
Portanto : y(k) =B(q)
A(q)u(k)
⋆ A relacaoB(q)
A(q)e denominada pulse–transfer operator .
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COE-736 Controle digital 143
Dado :
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k)
Aplicando o operador q : qx(k) = Φx(k) + Γu(k)
Explicitamos x(k) : x(k) = (qI − Φ)−1Γu(k)
E portanto : y(k) = [C(qI − Φ)−1Γ + D]u(k) = H(q)u(k)
Pulse–transfer operator : H(q) = C(qI − Φ)−1Γ + D
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COE-736 Controle digital 144
Se o sistema e single-input-single-output (SISO) :
H(q) =B(q)
A(q)
Nota. H(q) =qnbB∗(q−1)
qnaA∗(q−1)=
B∗(q−1)
qdA∗(q−1)= H∗(q−1)
Nota. Em geral, os sistemas controlados por computador nao possuem termo
direto (i.e., b0 = 0 )
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COE-736 Controle digital 145
Exemplo 1 Realimentacao unitaria de um integrador.
∫ x y+
u
⇒
x(k + 1) = x(k) + u(k) m1
y(k) = x(k) + u(k) m2
Lei de controle : u(k) = β[r(k) − y(k)
] m3
Seja : x(0) = 0 e r(0) = 1
de m2 : y(0) = u(0)
de m3 : u(0) = β[r(0) − y(0)
]⇒ so se r(0) = 0 (?!)
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COE-736 Controle digital 146
Explicacao : Apos medir y(k) o computador levara um certo tempo para
calcular u(k).
Como y(k) pode depender de u(k) ?!
∫ x y
+ur
β
Figura 27: Malha fechada com loop algebrico.
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COE-736 Controle digital 147
Exemplo 2 Duplo integrador
Φ =
1 h
0 1
, Γ =
0.5h2
h
, C =[
1 0]
H(q) = C[qI − Φ]−1Γ =[
1 0]
q − 1 −h
0 q − 1
−1
0.5h2
h
Pulse–transfer operator : H(q) =0.5h2(q + 1)
(q − 1)2
h = 1 : H(q) =0.5(q + 1)
(q − 1)2⇒ H(q−1) =
0.5(q−1 + q−2)
1 − 2q−1 + q−2
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COE-736 Controle digital 148
H(q) =0.5(q + 1)
(q − 1)2⇒ H(q−1) =
0.5(q−1 + q−2)
1 − 2q−1 + q−2
• Sistema com 2 polos e 1 zero !
• Interpretacao do zero :
ZOH ∼= atraso de 0.5h = e−0.5hs = 1 − 0.5hs + · · ·
• Localizacao de y :h
(q − 1)
yy h(q + 1)
2(q − 1)
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COE-736 Controle digital 149
Exemplo 3 Duplo integrador com atraso τ = 0.5 (< 1)
x(k + 1) = Φx(k) + Γ0u(k) + Γ1u(k − 1)
Aplicando o operador q : H(q) = C[qI − Φ]−1(Γ0 + Γ1q−1)
Como :
Φ =
1 h
0 1
, Γ0 =
0.125
0.5
, Γ1 =
0.375
0.5
, C =[
1 0]
Entao : H(q) =0.125(q2 + 6q + 1)
q(q2 − 2q + 1)=
0.125(q−1 + 6q−2 + q−3)
1 − 2q−1 + q−2
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COE-736 Controle digital 150
Duplo integrador com atraso :
H(q) =0.125(q2 + 6q + 1)
q(q2 − 2q + 1)
⋆ Observe que apareceu outro polo em 0.
⋆ O sistema com atraso tem ordem 3 (como esperado).
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COE-736 Controle digital 151
Exemplo 4 Sistema de 2a. ordem na forma canonica observavel
Φ =
−a1 1
−a2 0
, Γ =
b1
b2
, C =[
1 0]
E facil verificar que : H(q) =b1q + b2
q2 + a1q + a2=
b1q−1 + b2q
−2
1 + a1q−1 + a2q−2
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COE-736 Controle digital 152
Propriedade : H(q) independe da representacao de estado.
Prova.
H(q) = C[qI − Φ]−1Γ
= CT−1[qI − TΦT−1]−1TΓ
= CT−1[T (qI − Φ)T−1]−1TΓ
= C(qI − Φ)−1Γ
= H(q)
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COE-736 Controle digital 153
Tabela 3.1 : Relacao de G(s) mais comuns e respectivas H(q).
: G(s) H(q) (Equivalente ZOH)
11
s
h
q − 1
21
s2
h2(q + 1)
2(q − 1)2
3 e−sh q−1
4a
s + a
1 − e−ah
q − e−ah
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COE-736 Controle digital 154
2.7 Transformada z
Apresentacao baseada em :
[1] A. Oppenheim & R. Schafer ,
Discrete Time Signal Processing ,
Prentice Hall , 1989.
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COE-736 Controle digital 155
A transformada e uma ferramenta importante para a analise de sistemas lineares.
⋆ Contınuos (SLIT’s) : Transformada de Laplace .
⋆ Discretos (SDLIT’s) : Transformada z .
Nesta apresentacao :
⋆ Origem a partir da Transformada de Laplace.
⋆ Generalizacao da Transformada de Fourier .
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COE-736 Controle digital 156
Vantagens em relacao a Transformada de Fourier :
• A Transformada de Fourier nao converge para todas as sequencias.
• Notacao mais conveniente.
• Utilizacao para solucao de equacoes a diferencas .
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COE-736 Controle digital 157
Origem da transformada z
Problema : Como usar a Transformada de Laplace com sequencias ?
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COE-736 Controle digital 158
Ideia : Substituir a sequencia por um trem de impulsos .
k
f(k)
t
f∗(t)
Figura 28: Modulacao por impulsos.
Nota. A informacao contida nas 2 representacoes e a mesma.
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COE-736 Controle digital 159
A funcao f∗(t) pode ser expressa como
f∗(t) = f(0)δ(t) + f(1)δ(t − h) + f(2)δ(t − 2h) + · · ·
=∞∑
k=0
f(k)δ(t − kh)
Aplicando a Transformada de Laplace :
F ∗(s) = Lf∗(t)
= f(0) + f(1)e−sh + f(2)e−s2h + · · ·
=
∞∑
k=0
f(k)e−skh
⋆ Qual e o problema ?
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COE-736 Controle digital 160
Problema : F ∗(s) nao e uma funcao racional em s.
F ∗(s) =∞∑
k=0
f(k)e−skh
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COE-736 Controle digital 161
Solucao : Introduzir uma nova variavel complexa
z = esh
Como resultado obtem-se a seguinte transformada :
F ∗(z) =
∞∑
k=0
f(k)z−k
⋆ F ∗(z) e uma funcao contınua racional na variavel complexa z.
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COE-736 Controle digital 162
Definicao. A Transformada z de uma sequencia semi-infinita
a direita f(k) e definida como :
F (z) = Zf(k)
=
∞∑
k=0
f(k) z−k
(Transformada z unilateral )
⋆ As sequencias tratadas no livro
Karl J. Astrom & Bjorn Wittenmark ,
Computer Controlled Systems ,
3a. edicao, Prentice–Hall , 1997.
sao do tipo semi-infinitas a direita.
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COE-736 Controle digital 163
Definicao. A Transformada z de uma sequencia duplamente-infinita
f(k) e definida como :
F (z) = Zf(k)
=
∞∑
k=−∞
f(k) z−k
(Transformada z bilateral )
⋆ As sequencias tratadas no livro
A. Oppenheim & R. Schafer ,
Discrete Time Signal Processing ,
Prentice Hall , 1989.
sao do tipo duplamente-infinitas .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 164
Nota. Se a sequencia e tal que
f(k) = 0 , k < 0
entao as 2 transformadas sao equivalentes .
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COE-736 Controle digital 165
Comparacao
Transformada de Fourier de f(k) : F(ejω)
=
∞∑
k=−∞
f(k) e−jωk
Transformada de Laplace de f∗(t) : F ∗(s) =
∞∑
k=−∞
f∗(kh) e−skh
Transformada z de f(k) : F (z) =∞∑
k=−∞
f(k) z−k
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COE-736 Controle digital 166
Notacao :
F (z) = Z
f(k)
F (z)Z
f(k)
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COE-736 Controle digital 167
Interpretacao :
Sequenciastemporais
Funcoes
contınuas navariavel complexa z
f(k) F (z)
Z
Z−1
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COE-736 Controle digital 168
Propriedades da Transformada z
(...)
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COE-736 Controle digital 169
Funcao de transferencia discreta
(...)
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COE-736 Controle digital 170
Generalizacao da Transformada de Fourier
A variavel complexa z pode ser escrita como : z = r ejω
Portanto :F(
r ejω)
=
∞∑
k=−∞
f(k)(
r ejω)−k
=
∞∑
k=−∞
(
f(k) r−k)
e−jωk
⋆ A Transformada z de f(k) pode ser interpretada como a Transformada de
Fourier de f(k) r−k.
⋆ r−k e uma exponencial !
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COE-736 Controle digital 171
Nota. A Transformada de Fourier e uma particularizacao da Transformada z,
F(ejω)
= F (z)∣∣∣z=ejω
i.e., e uma particularizacao para r = 1 .
z = ejω
ω
1
Im
Re
Figura 29: Cırculo unitario no plano z.
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COE-736 Controle digital 172
Convergencia
⋆ A Transformada de Fourier converge ⇔ f(k) e absolutamente somavel .
⋆ A Transformada de Fourier nao converge para uma classe significativa de
sinais.
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COE-736 Controle digital 173
Definicao. Regiao de convergencia
ROC =
z∣∣ Zf(k)
converge.
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COE-736 Controle digital 174
⋆ Para que a Transformada z seja convergente , devemos ter
∞∑
k=−∞
∣∣f(k) r−k
∣∣ < ∞
⋆ Basta que exista uma exponencial r−k tal que f(k) r−k seja absolutamente
somavel.
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COE-736 Controle digital 175
Exemplo 1
A sequencia x(k) = degrau unitario nao e absolutamente somavel.
⋆ x(k)r−k e abs. somavel para r > 1.
⋆ Quer dizer, existe uma Transformada z do degrau unitario com
ROC : |z| > 1.
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COE-736 Controle digital 176
Fato. A ROC e um anel no plano z centrado na origem.
Im
Re
⋆ Se o circulo unitario pertence ao anel, entao a Transformada de Fourier
tambem existe.
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COE-736 Controle digital 177
Nota. No caso de sequencias nao absolutamente somaveis e nao quadratica-
mente somaveis, a Transformada de Fourier e definida usando impulsos .
Para estes casos,
F(ejω)6= F (z)
∣∣∣z=ejω
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COE-736 Controle digital 178
⋆ A Transformada z e mais util quando expressa em forma fechada .
Formula util : A soma de uma PG e dada por :
N2∑
n=N1
αn =αN1 − αN2+1
1 − α, N2 > N1
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COE-736 Controle digital 179
Prova.
N2∑
n=N1
αn = αN1 + αN1+1 + · · · + αN2
α
N2∑
n=N1
αn = αN1+1 + · · · + αN2 + αN2+1
Subtraindo :
(1 − α)
N2∑
n=N1
αn = αN1 − αN2+1
Portanto :
N2∑
n=N1
αn =αN1 − αN2+1
1 − α
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COE-736 Controle digital 180
Exemplo 2 Pulso unitario
Pulso unitario : x(k) =
1 se k = 0
0 se k 6= 0
Usando a definicao :
X(z) = x(0) + x(1)z−1 + x(2)z−2 + · · · = 1
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COE-736 Controle digital 181
Exemplo 3 Degrau unitario
Degrau unitario : x(k) =
0 se k < 0
1 se k ≥ 0
Usando a definicao : X(z) = 1 + z−1 + z−2 + · · ·
Condicao para convergencia : |z| > 1
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COE-736 Controle digital 182
Forma fechada :
X(z) =
(z−1
)0−(z−1
)∞
1 − z−1=
1
1 − z−1=
z
z − 1
⋆ Dentro da regiao de convergencia,(z−1
)∞= 0 .
Solucao : X(z) =z
z − 1ROC: |z| > 1
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COE-736 Controle digital 183
Exemplo 4 Sequencia exponencial semi-infinita a direita.
Exponencial : x(k) = ak, k ≥ 0
Usando a definicao : X(z) =
∞∑
k=0
akz−k =
∞∑
k=0
(az−1)k
Condicao para convergencia : |az−1| < 1 ⇒ |z| > |a|
Nota.(ak)r−k =
(a
r
)k
abs. somavel ⇒ |r| > |a| ⇒ |z| > |a| .
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COE-736 Controle digital 184
Forma fechada :
X(z) =(az−1)0 − (az−1)∞
1 − az−1=
1
1 − az−1=
z
z − a
⋆ Dentro da regiao de convergencia,(az−1
)∞= 0 .
Solucao : X(z) =z
z − aROC: |z| > |a|
Nota. Para |a| > 1 a Transformada de Fourier nao converge.
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COE-736 Controle digital 185
Im
Rea 1
Figura 30: ROC com |a| < 1.
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COE-736 Controle digital 186
Exemplo 5 Solucao usando Matlab.
Exponencial : x(k) = ak, k ≥ 0.
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COE-736 Controle digital 187
>> syms a z n
>> F =ztrans(a^n) % F = symsum(a^n/z^n,n,0,inf)
F =
z/a/(z/a-1)
>> F =simple(F)
F =
-z/(-z+a)
>> pretty(F)
z
- ------
-z + a
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COE-736 Controle digital 188
Exercıcio. Mostre que a transformada z da sequencia exponencial a esquerda
x(k) =
−ak se k ≤ −1
0 se k ≥ 0
e dada por : X(z) =z
z − aROC: |z| < |a|
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COE-736 Controle digital 189
Exemplo 6 Solucao usando Matlab.
x(k) =
−ak se k ≤ −1
0 se k ≥ 0
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COE-736 Controle digital 190
O Matlab pode nao achar a forma fechada ...
>> syms a z n
>> F =symsum(-a^n/z^n,n,-1,-inf)
F =
sum(-a^n*z^(-n),n = -1 .. -inf)
>> F=simple(F)
F =
-sum(a^n/(z^n),n = -1 .. -inf)
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COE-736 Controle digital 191
Porem, apos uma troca de sinais dos limites do somatorio ...
>> F =symsum(-a^(-n)/z^(-n),n,1,inf)
F =
-z/(-z+a)
>> pretty(F)
z
- ------
-z + a
⋆ Mesma solucao!
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COE-736 Controle digital 192
Exemplo 7
(...)
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COE-736 Controle digital 193
Exercıcio.
(...)
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UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro
COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
PEE Programa de Engenharia Eletrica
COE-736 Controle digital
Capıtulo # 3
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COE-736 Controle digital 195
3 Analise de sistemas discretos
Conteudo 1. Estabilidade
2. Sensibilidade e robustez
3. Controlabilidade e alcancabilidade
4. Observabilidade
5. Revisao: BIBO estabilidade
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COE-736 Controle digital 196
3.1 Estabilidade
• Introducao
• Estabilidade entrada/saıda
– Definicoes: [Sinal limitado ] [Estabilidade BIBO ]
– Teoremas: [Estabilidade BIBO ] [Resposta em regime ] [FT BIBO ]
• Testes de estabilidade
– Metodos: [Routh/Hurwitz ] [Jury ] [Nyquist ] [Lugar das Raızes ]
• Estabilidade interna
– Definicoes: [Equilıbrio ] [E Lyapunov ] [EA ]
• Metodo de Lyapunov
– Teoremas: [E ]
– Teoremas: [Unicidade da solucao ]
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COE-736 Controle digital 197
Introducao
Referencias auxiliares utilizadas nessa secao :
[1] C. T. Chen ,
Linear Systems Theory and Design ,
3rd Edition, Oxford , 1999.
[2] Charles L. Phillips & H. Troy Nagle ,
Digital Control Systems Analysis and Design ,
3rd Edition, Prentice–Hall , 1995.
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COE-736 Controle digital 198
⋆ Estabilidade e uma propriedade fundamental para qualquer sistema.
Propriedade. A resposta de um SDLIT pode ser decomposta como
Resposta de um SDLIT
y(Kk)=
Resposta com
x(0) = 0+
Resposta com
u(k) ≡ 0
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COE-736 Controle digital 199
⋆ Podemos estudar a estabilidade de cada resposta separadamente:
Estabilidade BIBO
→ para resposta com x(0) = 0
Estabilidade interna
(Estabilidade assintotica)
→ para resposta com u(k) ≡ 0
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COE-736 Controle digital 200
Modelos
Estado :
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k)
Entrada/saıda :
A(q)y(k) = B(q)u(k)
A(q) = qn + a1qn−1 + · · · + an
B(q) = b1qn−1 + · · · + bn (b0 = 0)
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COE-736 Controle digital 201
Estabilidade entrada/saıda
Modelo do SDLIT : g(k) = resposta ao pulso unitario.
SDLIT
u(k)
x(0)
y(k)
Figura 31: Resposta com estado nulo.
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COE-736 Controle digital 202
A resposta e dada pela convolucao :
y(k) =
k∑
m=0
g(k − m) u(m)
=
k∑
m=0
u(k − m) g(m)
⋆ g(k) = resposta ao pulso unitario aplicado em k = 0 com x(0) = 0.
⋆ A convolucao e comutativa .
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COE-736 Controle digital 203
Definicao. (Sinal limitado)
Um sinal x(k) e dito limitado ou bounded se existe uma
constante x tal que
|x(k)| ≤ x < ∞ , ∀k ≥ 0 .
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COE-736 Controle digital 204
Definicao. (Estabilidade BIBO)
Um sistema e dito BIBO estavel se, para toda entrada limitada,
a saıda e limitada
∀u(t) u.l. ⇒ y(t) u.l .
(u.l. = uniformemente limitada )
(BIBO = bounded input/bounded output )
Nota. Lembrar que as c.i.’s sao nulas !
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COE-736 Controle digital 205
Teorema. (BIBO estabilidade)
BIBO estabilidade ⇔ g(k) absolutamente somavel .
⋆ g(k) absolutamente somavel ⇒∞∑
k=0
∣∣g(k)
∣∣ ≤ M < ∞
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COE-736 Controle digital 206
Prova. ( ⇐ )
y(k) =
k∑
m=0
g(m)u(k − m) ⇒∣∣y(k)
∣∣ =
∣∣∣∣∣
k∑
m=0
g(m)u(k − m)
∣∣∣∣∣
≤k∑
m=0
∣∣g(m)
∣∣∣∣u(k − m)
∣∣
︸ ︷︷ ︸
≤u
≤ u
k∑
m=0
∣∣g(m)
∣∣
︸ ︷︷ ︸
≤M
≤ u M < ∞.
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COE-736 Controle digital 207
Exercıcio. Provar ( ⇒ ).
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COE-736 Controle digital 208
Fato. f(k) absolutamente somavel ⇔ f(k) → 0.
Nota. Para sistemas contınuos ...
Fato. f(t) absolutamente integravel 6⇔ f(t) → 0.
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COE-736 Controle digital 209
Teorema. (Resposta em regime)
Se um sistema com resposta ao impulso g(k) e BIBO estavel,
entao :
(1) u(k) ≡ a ⇒ limk→∞
y(k) = G(1) a
(2) u(k) = sin (ω0k) ⇒ limt→∞
y(k) =∣∣G(ejω0)
∣∣ sin
(
ω0k+ <)[G(ejω0)
])
⋆ G(z) = Z[g(k)
].
⋆ G(1) = ganho DC.
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COE-736 Controle digital 210
Exercıcio. Provar.
Nota. Este e um resultado basico!
ejωt e uma autofuncao do sistema.
Ref. : Oppenheim & Schafer , 1989, pag. 39.
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COE-736 Controle digital 211
Teorema. (Funcao de transferencia BIBO)
Um SDLIT com funcao de transferencia G(z) e BIBO estavel
sse todos os polos de G(z) tem modulo menor do que 1 .
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COE-736 Controle digital 212
Exercıcio. Provar.
(...)
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COE-736 Controle digital 213
Testes de estabilidade
• Calculo dos autovalores
• Criterio de Routh/Hurwitz
• Criterio de Jury
• Criterio de Nyquist
• Lugar das Raızes
(...)
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COE-736 Controle digital 214
Calculo dos autovalores
Existem varios aplicativos para o calculo de autovalores de matrizes (e/ou raızes
de polinomios caracterıstico) :
⋆ Matlab
⋆ Maple
⋆ Mathematica
⋆ ...
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COE-736 Controle digital 215
Exemplo 1 Calculo de autovalores e autovetores usando Matlab.
>> help eig
EIG Eigenvalues and eigenvectors.
E = EIG(X) is a vector containing the eigenvalues of a
square matrix X.
[V,D] = EIG(X) produces a diagonal matrix D of eigenvalues
and a full matrix V whose columns are the corresponding
eigenvectors so that X*V = V*D.
(...)
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COE-736 Controle digital 216
>> A = [0 1; -2 -3]
A =
0 1
-2 -3
>> a = eig(A)
a =
-1
-2
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COE-736 Controle digital 217
>> [v,a] = eig(A)
v =
0.7071 -0.4472
-0.7071 0.8944
a =
-1 0
0 -2
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COE-736 Controle digital 218
Exemplo 2 Calculo de raızes de polinomio usando Matlab.
>> pol = [1 3 2]
pol =
1 3 2
>> roots(pol)
ans =
-2
-1
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COE-736 Controle digital 219
Criterio de Routh/Hurwitz
⋆ Desenvolvido originalmente para determinar a estabilidade de sistemas
contınuos.
⋆ Para ser empregado em sistemas discretos e necessaria uma transformacao
de coordenadas (bilinear) :
z =1 + 0.05w
1 − 0.05w
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COE-736 Controle digital 220
Criterio de Jury
Dado o polinomio : A(z) = a0zn + a1z
n−1 + · · · + an
Arranjo proposto por Jury para fazer o teste de estabilidade :
(1) a0 a1 · · · an
(2) an an−1 · · · a0 (αn = ana0
)
(1) − αn(2) β1 = a0 − αnan a1 − αnan−1 · · · an−1 − αna1 0
an−1 − αna1 an−2 − αna2 · · · β1 (αn−1 =an−1−αna1
β1)
β2 · · · 0
.
.
.
βn
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COE-736 Controle digital 221
Teorema. Se a0 > 0 , entao
(1) Termos βi > 0 ⇔ |λi| < 1.
(2) Numero de β’s < 0 = numero de raızes com modulo > 1.
Obs. Condicao equivalente :
βn > 0 ⇒A(1) > 0
(−1)nA(−1) > 0
⋆ Estas condicoes sao necessarias para estabilidade.
⋆ Podem ser verificadas facilmente antes de se aplicar o criterio de Jury.
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COE-736 Controle digital 222
Exemplo 3 A(z) = z2 + a1z + a2
Arranjo de Jury :
1 a1 a2
a2 a1 1 (α2 = a2)
β1 = 1 − a22 a1 − a1a2 0
a1 − a1a2 1 − a22 (α1 = a1
1+a2)
β2 = β1 −a21(1−a2)1+a2
Condicao β2 > 0 ⇒A(1) = 1 + a1 + a2 > 0
(−1)2A(−1) = 1 − a1 + a2 > 0
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COE-736 Controle digital 223
Condicao para estabilidade :
a2 < 1
a2 > −1 + a1
a2 > −1 − a1
a1
a2
−2 2
−1
1
Figura 32: Regiao de estabilidade (igual Routh-Hurwitz!).
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COE-736 Controle digital 224
Exemplo 4 Considere o sistema a laco fechado
+
−
K
s(s + 1)1 − e−sh
s
ZOH
h = 0.1
Figura 33: Diagrama de blocos do sistema a laco fechado.
Utilizando a tabela 2.1 (pg. 54 de Astrom & Wittenmark, 1997) :
G(z) ∼= K0.00484z + 0.00468
z2 − 1.905z + 0.905
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COE-736 Controle digital 225
(a) Criterio de Routh-Hurwitz :
Transformacao de coordenadas :
z =1 + 0.05w
1 − 0.05w
G(w) = K−0.00016w2 − 0.1872w + 3.81
3.81w2 + 3.8w
Sistema a laco fechado : H(w) =G
1 + G=
N
D + N
Equacao caracterıstica de H(w) :
(3.81 − 0.00016K)w2 + (3.8 − 0.1872K)w + 3.81K = 0
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COE-736 Controle digital 226
Condicao para estabilidade :
3.81 − 0.00016K > 0 ⇒ K < 23500
3.8 − 0.1872K > 0 ⇒ K < 20.3
3.81K > 0 ⇒ K > 0
Portanto : 0 < K < 20.3 ⇔ Estabilidade .
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COE-736 Controle digital 227
(b) Criterio de Jury :
Equacao caracterıstica de H(z) :
z2 + (0.00484K − 1.905)z + (0.905 + 0.00468K) = 0
Condicoes para estabilidade :
A(1) > 0 ⇒ 0.00952K > 0 ⇒ K > 0
(−1)nA(−1) > 0 ⇒ 2 − 0.00016K > 0 ⇒ K < 12500
β1 = 1 − a22 = 1 − (0.905 + 0.00468K)2 > 0 ⇒ K < 20.3
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COE-736 Controle digital 228
Arranjo de Jury :
1 (0.00484K − 1.905) (0.905 + 0.00468K)
(0.905 + 0.00468K) (0.00484K − 1.905) 1
β1 = 1 − (0.905 + 0.00468K)2
Condicao para estabilidade :
β1 = 1 − (0.905 + 0.00468K)2 > 0 ⇒ K < 20.3
Portanto : 0 < K < 20.3 ⇔ Estabilidade .
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COE-736 Controle digital 229
Criterio de Nyquist
Dado o sistema
+
−
H(z) =H0(z)
1 + H0(z)
ZOH
uc e yH0(z) ≡
uc y
⋆ A estabilidade de H(z) (malha fechada) pode ser investigada a partir do
diagrama de Nyquist de H0(z) (malha aberta).
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COE-736 Controle digital 230
Base : Princıpio dos Argumentos de Cauchy.
Princıpio Seja uma curva fechada C no plano z. O mapeamento de C via
H0(z) e dado por CH . Se H0(z) e analıtica dentro de C a menos de
um numero finito de polos e H0(z) nao tem polos nem zeros sobre
C, entao
N = Z − P
onde : Z = numero de zeros de H0(z) dentro de C.
P = numero de polos de H0(z) dentro de C.
N = numero de circundamentos que CH faz em torno da origem,
tomados no mesmo sentido em que C foi percorrido.
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COE-736 Controle digital 231
Exemplo 5 N = 1 − 2 = −1
z
C
z
H0CH
0
Figura 34: Princıpio de Cauchy.
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COE-736 Controle digital 232
Vamos aplicar o Princıpio para a funcao : 1 + H0(z)
Note que : 1 + H0(z) = 1 +N
D=
D + N
D
H(z) =H0
1 + H0=
N
D + N
Agora : Z = numero de zeros de 1 + H0(z) dentro de C
= numero de polos de H(z) dentro de C.
P = numero de polos de 1 + H0(z) dentro de C
= numero de polos de H0(z) dentro de C.
N = numero de circundamentos que CH faz em torno do ponto −1,
tomados no mesmo sentido em que C foi percorrido.
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COE-736 Controle digital 233
Contorno de Nyquist no plano s
s
C
s
1 + H0
Se H0(z) e estavel : P = 0
N = Z= numero de polos de H(z) dentro de C
= numero de polos instaveis de H(z).
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COE-736 Controle digital 234
Contorno de Nyquist no plano z
⋆ Neste caso, em vez de se mapear a regiao de instabilidade , e mais facil
mapear a regiao de estabilidade .
z
C
1
Figura 35: Contorno de Nyquist no plano z.
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COE-736 Controle digital 235
⋆ ZD e PD = polos e zeros de H0 dentro de C.
ZF e PF = polos e zeros de H0 fora de C.
⋆ C e percorrido no sentido anti–horario .
⋆ N = −(ZD − PD) e o numero de entornos de −1 no sentido horario .
Para 1 + H0(z) :
ZD + ZF = m
PD + PF = m
Numerador e denominador de
mesma ordem!
Resultado : N = −(m − ZF − m + PF ) = ZF − PF
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COE-736 Controle digital 236
Resumo do Criterio de Nyquist no plano z
N = Z − P
onde : Z = numero de polos de H(z) fora de C.
P = numero de polos de H0(z) fora de C.
N = numero de voltas que CH faz em torno do ponto −1
no sentido horario .
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COE-736 Controle digital 237
Exemplo 6 (Phillip & Nagle, 1990, pag. 242.)
Sistema contınuo : H0(s) =1
s(s + 1)
Equivalente ZOH : H0(z) =0.368z + 0.264
(z − 1)(z − 0.368)(h = 1)
+−
uc e u yK H0(z)
Figura 36: Diagrama de blocos da malha fechada.
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COE-736 Controle digital 238
z
C
1
Figura 37: Contorno de Nyquist no plano z.
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COE-736 Controle digital 239
(a) Contorno do ponto 1 : z = 1 + δ| θ ∼= 1
H0(z)|z=1+δ| θ =0.368
(1 + δ| θ
)+ 0.264
(δ| θ
)(1 + δ| θ − 0.368
)
∼=0.632
δ| θ (0.632)
∼=1
δ| θ
∼=1
δ| −θ
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COE-736 Controle digital 240
z
CH
1/δ
Figura 38: Contorno do ponto 1.
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COE-736 Controle digital 241
(b) Contorno correspondente ao cırculo unitario : z = 1|ωh = ejωh
H0(z)|z=1| ω =0.368|ω + 0.264
(1|ω − 1)(1|ω − 0.368)
⋆ Como o contorno e cıclico, basta fazer o grafico correspondente a ω variando
de −ωN ate ωN .
Lembrete : ωN =ωs
2=
2πfs
2= π
(1
h
)
=π
h⇒ ωNh = π
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COE-736 Controle digital 242
Definicao. Frequencia de Nyquist
ωN =ωs
2
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COE-736 Controle digital 243
(c) Ponto ω = ωN : z = 1| −π = −1
H0(z)|z=−1 =0.368z + 0.264
(z − 1)(z − 0.368)
∣∣∣z=−1
=0.368(−1) + 0.264
(−1 − 1)(−1 − 0.368)
= −0.038
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COE-736 Controle digital 244
z
CH
1/δ−0.038
Figura 39: Contorno do cırculo unitario.
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COE-736 Controle digital 245
−0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0−0.4
−0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
Figura 40: Diagrama de Nyquist usando MATLAB. (Script: dnyq1.m )
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COE-736 Controle digital 246
z
CH
1/δ
−0.038
−0.418−1
Figura 41: Diagrama completo.
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COE-736 Controle digital 247
Dica O ganho K pode ser visto como parte da planta :
Planta = K H0(z) =KN
D
Dessa forma, o sistema em malha fechada e dado por :
H(z) =KH0
1 + KH0=
H01K + H0
⋆ E mais facil analisar a estabilidade em funcao do ponto − 1K .
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COE-736 Controle digital 248
z
CH
1/δ
−0.038
−0.418−
1
K
Figura 42: Diagrama completo.
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COE-736 Controle digital 249
Portanto,
−1
K= −0.418 ⇒ K = 2.39
−1
K= −0.038 ⇒ K = 26.3
Conclusao :
K < 2.39 ⇒ Sistema estavel
2.39 < K < 26.3 ⇒ 2 polos instaveis
K > 26.3 ⇒ 1 polo instavel
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COE-736 Controle digital 250
Exercıcio. Sistema em malha aberta instavel
Sistema contınuo : H0(s) =1
(s − 1)(s + 1)
Equivalente ZOH : H0(z) =0.005(z + 1)
(z − 0.9)(z − 1.1)(h = 0.1)
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COE-736 Controle digital 251
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2−0.015
−0.01
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
Figura 43: Diagrama de Nyquist usando MATLAB. (Script: dnyq2.m )
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COE-736 Controle digital 252
Metodo do Lugar das Raızes (RL)
⋆ Este metodo se aplica tanto para sistemas contınuos quanto para sistemas
discretos.
Ideia : Dados dois polinomios P e Q cujas raızes sao conhecidas, o metodo
fornece o RL de P + KQ = 0 em funcao do parametro K.
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COE-736 Controle digital 253
Passos para o tracado do RL :
(1) Desenhar a configuracao basica
(2) Tracar os ramos sobre o eixo real
(3) Localizar os pontos multiplos
(4) Tracar os ramos complexos
(5) Determinar a intersecao com o cırculo unitario
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COE-736 Controle digital 254
Exemplo 7 Motor normalizado
+−
uc e u yK H0(z)
Figura 44: Diagrama de blocos da malha fechada.
Modelo do motor : H0(z) =0.368(z + 0.717)
(z − 1)(z − 0.368)
Malha fechada : H(z) =0.368K(z + 0.717)
(z − 1)(z − 0.368) + 0.368K(z + 0.717)
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COE-736 Controle digital 255
Definicao : K1 = 0.368K
Malha fechada : H(z) =K1(z + 0.717)
(z − 1)(z − 0.368) + K1(z + 0.717)
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COE-736 Controle digital 256
(1) Desenho da configuracao basica
10.368−0.717
Im
Re
Figura 45: Configuracao basica.
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COE-736 Controle digital 257
(2) Tracado dos ramos sobre o eixo real
10.368−0.717
Im
Re
Figura 46: Tracado dos ramos reais.
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COE-736 Controle digital 258
(3) Localizacao aproximada dos pontos multiplos
10.368−0.717
Im
Re
Figura 47: Localizacao dos pontos multiplos.
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COE-736 Controle digital 259
(4) Tracado aproximado dos ramos complexos
10.368−0.717
Im
Re
Figura 48: Tracado aproximado do RL.
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COE-736 Controle digital 260
Determinacao da intersecao com o cırculo unitario
Equacao caracterıstica da malha fechada :
z2 + (K1 − 1.368)z + (0.368 + 0.717K1) = 0 (1)
Pontos de intersecao : z = a ± jb com a2 + b2 = 1
Os pontos de intersecao devem satisfazer a equacao :
(z − a + jb)(z − a − jb) = 0 ⇒ z2 − 2az + a2 + b2 = 0
Portanto : z2 − 2az + 1 = 0 (2)
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COE-736 Controle digital 261
Comparando (1) e (2) :
−2a = K1 − 1.368
1 = 0.368 + 0.717K1
A solucao e dada por :
K1 = 0.881 ⇒ K = 2.395
a = 0.2435
b = 0.97
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COE-736 Controle digital 262
Determinacao dos pontos multiplos
Pontos multiplos : z = a
Os ponto multiplos devem satisfazer a equacao :
(z − a)2 = 0 ⇒ z2 − 2az + a2 = 0 (3)
Comparando (1) e (3) :
−2a = K1 − 1.368
a2 = 0.368 + 0.717 K1
Eliminando K1 das equacoes tem-se que :
a = 0.6479
a = −2.0819
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COE-736 Controle digital 263
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Real Axis
Imag
Axi
s
Figura 49: Tracado exato gerado com o MATLAB.
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COE-736 Controle digital 264
Estabilidade interna
Seja o sistema com entrada u(k) ≡ 0 : x(k + 1) = f(x(k)
)
(...)
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COE-736 Controle digital 265
Definicao. (Ponto de equilıbrio)
x e um ponto de equilıbrio de x(k + 1) = f(x(k)
)sse
x = f(x)
Nota. Tambem denominado ponto singular ou ponto crıtico .
Nota. x(k) = x, ∀k, pode ser visto como uma trajetoria .
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COE-736 Controle digital 266
Definicao. (Estabilidade Lyapunov)
A solucao x(k) e estavel se
∀ǫ > 0 ,
∃δ(ǫ, k0) > 0
tal que para toda solucao x(k)
∥∥x(k0) − x(k0)
∥∥ < δ ⇒
∥∥x(k) − x(k)
∥∥ < ǫ, ∀k≥k0
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COE-736 Controle digital 267
Raciocınio δ − ǫ :
x(k0) dentro da bola-δ ⇒ x(k) dentro da bola-ǫ
Intuicao : Uma solucao e estavel se, apos uma pequena perturbacao,
ela fica proxima da solucao original (nao perturbada).
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COE-736 Controle digital 268
Interpretacao geometrica x(k) = x(k0) (ponto de equilıbrio)
ǫ
δ
x1
x2
Figura 50: Interpretacao geometrica.
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COE-736 Controle digital 269
Interpretacao no tempo
t
ǫ
δ
Figura 51: Trajetoria estavel.
Nota. A trajetoria permanece dentro do cone com diametro inicial 2δ e
diametro final 2ǫ.
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COE-736 Controle digital 270
Exemplo 8 Oscilador harmonico (contınuo).
x =
a b
c −a
x
Equacao caracterıstica : s2 + ω2 = 0 , ω2 = −(a2 + bc)
Autovalores : λ1 =√
−(a2 + bc) ,
λ2 = −√
−(a2 + bc)
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COE-736 Controle digital 271
⋆ Este sistema tem um unico equilıbrio x = 0.
⋆ Usando a definicao, verifica-se que x e estavel .
⋆ Neste caso, diz-se que o sistema e estavel .
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COE-736 Controle digital 272
δ
ǫ
Figura 52: Plano de fase para a = 1 e bc = −4.
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COE-736 Controle digital 273
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Figura 53: Resultado de simulacao usando MATLAB. (Script: exemplo01.m )
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COE-736 Controle digital 274
Definicao. (Estabilidade assintotica)
A solucao x(k) e assintoticamente estavel se :
(1) x(k) e estavel
(2) x(k) e atrativa , i.e., ∃δ(k0) > 0 tal que para toda solucao x(k)
∥∥x(k0) − x(k0)
∥∥ < δ ⇒ lim
k→∞||x(k) − x(k)|| = 0
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COE-736 Controle digital 275
Exemplo 9 SLIT assintoticamente estavel.
x =
0 1
−2 −3
x
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COE-736 Controle digital 276
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
x1
x2
Plano de Fase
Figura 54: Plano de fase.
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COE-736 Controle digital 277
Exemplo 10 Contra exemplo devido a Vinograd.
(...)
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COE-736 Controle digital 278
Sistemas discretos (SDLIT)
⋆ No caso de SDLIT, a estabilidade e uma propriedade que depende somente
dos autovalores de Φ.
Fato. Estabilidade ⇔ |λi| ≤ 1 (se |λi| = 1, λi deve ser simples )
Fato. Estabilidade assintotica ⇔ |λi| < 1
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COE-736 Controle digital 279
Exemplo 11 SDLIT
Duplo integrador : Φ =
1 1
0 1
⇒ Instavel!
Dois integradores : Φ =
1 0
0 1
⇒ Estavel!
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COE-736 Controle digital 280
Fato. EA ⇒ BIBO
EA : BIBO
E ; BIBO
⋆ Ver C. T. Chen (1984), pag. 73, 121, 394.
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COE-736 Controle digital 281
Exemplo 12 (Astrom) Oscilador harmonico
Φ =
cos ωh sinωh
− sinωh cos ωh
, Γ =
1 − cos ωh
sinωh
, C =
1
0
Equacao caracterıstica : det(λI − Φ) = λ2 − 2λ cos(ωh) + 1 = 0
Autovalores : λ = cos(ωh) ± j sin(ωh)
|λ1| = |λ2| = 1 ⇒ estavel
Nao e BIBO estavel!
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COE-736 Controle digital 282
Figura 55: Instabilizacao.
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COE-736 Controle digital 283
Metodo de Lyapunov
⋆ E o metodo mais geral existente para a determinacao da estabilidade de um
sistema de EDO’s e equacoes a diferencas (lineares ou nao).
⋆ Uma referencia : Williamson, 1991.
Sistema : x(k + 1) = f (x(k)) , f(0) = 0 (1)
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COE-736 Controle digital 284
Teorema. A solucao x(k) = 0 (⇒ f(0) = 0) e AE se existir uma funcao
V (x) tal que
(1) V (x) e contınua em x e V (0) = 0
(2) V (x) > 0
(3) ∆V (x) = V(f(x)
)− V (x) < 0
(Neste caso, V (x) e dita Funcao de Lyapunov .)
Alem disso, se
(4) V (x) > φ(||x||
)> 0, φ
(||x||
)→ ∞ para x → ∞
entao a solucao e AE ∀x(k0), i.e., globalmente AE (GAE) .
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COE-736 Controle digital 285
⋆ A dificuldade do metodo de Lyapunov e achar V (x).
⋆ No caso de sistemas lineares esta busca e relativamente mais simples.
Basta escolher uma funcao quadratica.
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COE-736 Controle digital 286
Exemplo 13 Sistema de primeira ordem
x(k + 1) = ax(k)
Funcao de Lyapunov : V (x) = x2(k)
Calculo da variacao de V : ∆V = x2(k + 1) − x2(k) = (a2 − 1)x2(k)
Condicao para estabilidade : (a2 − 1) < 0 ⇒ |a| < 1
Conclusao : O sistema e AE para |a| < 1.
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COE-736 Controle digital 287
Exemplo 14 Sistema de ordem n
x(k + 1) = Φx(k)
Funcao de Lyapunov : V (x) = xT (k)P x(k) , P = PT > 0
Variacao de V : ∆V = xT (k + 1)Px(k + 1) − xT (k)Px(k)
= xT (k)[ΦT PΦ − P︸ ︷︷ ︸
−Q
]x(k)
= −xT (k)Qx(k)
Condicao para AE : Q = QT > 0
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COE-736 Controle digital 288
Exemplo 15 Sistema de 2a ordem.
Este exemplo ilustra uma dificuldade do metodo.
Eq. caracterıstica : z2 + a1z + a0 = 0
Matriz correspondente :
−a1 1
−a0 0
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COE-736 Controle digital 289
A condicao para estabilidade e :
P =
p1 p3
p3 p2
> 0 ⇒
p1 > 0
p1p2 − p23 > 0
ΦT PΦ − P =
a21p1 + 2a0a1p3 + a2
0p2 − p1 −a1p1 − a0p3 − p3
−a1p1 − a0p3 − p3 p1 − p2
< 0
⋆ Por este caminho nao e facil encontrar condicoes de estabilidade algebrica
para os coeficientes a0 e a1.
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COE-736 Controle digital 290
Pelo criterio de Jury as condicoes sao :
a0 < 1
a0 > −1 + a1
a0 > −1 − a1
a1
a0
−2 2
−1
1
Figura 56: Regiao de estabilidade pelo criterio de Jury.
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COE-736 Controle digital 291
Fato. A equacao
X − AXB = C
onde : X, C ∈ Rn×m
A ∈ Rn×n
B ∈ Rm×m
pode ser escrita na forma
Mx = c
onde : x e um vetor formado pelas colunas de X
c e um vetor formado pelas colunas de C.
⋆ A equacao X − AXB = C e na verdade um sistema de equacoes lineares.
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COE-736 Controle digital 292
Exemplo 16 Sistema de ordem 2.
ΦT PΦ − P = −Q
A equacao acima pode ser escrita como :
ΦT[
p1 p2
]
Φ −[
p1 p2
]
= −[
q1 q2
]
[
ΦT p1 ΦT p2
]
φ11 φ12
φ21 φ22
−[
p1 p2
]
= −[
q1 q2
]
ou melhor :
φ11ΦT p1 + φ21Φ
T p2 − p1 = −q1
φ12ΦT p1 + φ22Φ
T p2 − p2 = −q2
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COE-736 Controle digital 293
Resultado :
φ11Φ
T φ21ΦT
φ12ΦT φ22Φ
T
− I
p1
p2
= −
q1
q2
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COE-736 Controle digital 294
Teorema. (Unicidade da solucao da equacao de Lyapunov)
Para o sistema x(k + 1) = Φx(k) ,
∣∣λi(Φ)
∣∣ < 1 ⇔
∀Q = QT > 0 ,
∃! P = PT > 0
tal que ΦT PΦ − P = −Q .
⋆ ΦT PΦ − P = −Q e denominada equacao de Lyapunov .
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COE-736 Controle digital 295
Teorema. (Solucao da equacao de Lyapunov)
Se∣∣λi(Φ)
∣∣ < 1, entao a equacao de Lyapunov ΦT PΦ − P = −Q tem uma
unica solucao dada por
P =∞∑
m=0
(
ΦT)m
QΦm
para toda matriz Q = QT > 0.
⋆ Como∣∣λi(Φ)
∣∣ < 1, a serie infinita e convergente .
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COE-736 Controle digital 296
Verificacao
ΦT PΦ − P = ΦT
(∞∑
m=0
(
ΦT)m
QΦm
)
︸ ︷︷ ︸
P
Φ −∞∑
m=0
(
ΦT)m
QΦm
︸ ︷︷ ︸
P
=∞∑
m=1
(
ΦT)m
QΦm
︸ ︷︷ ︸
−∞∑
m=1
(
ΦT)m
QΦm − Q
︸ ︷︷ ︸
= −Q
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COE-736 Controle digital 297
Exemplo 17 Sistema de 2a ordem.
Eq. caracterıstica : z2 + a1z + a0 = 0
Matriz correspondente : Φ =
−a1 1
−a0 0
⇒ ΦT =
−a1 −a0
1 0
Equacao de Lyapunov :
φ11Φ
T φ21ΦT
φ12ΦT φ22Φ
T
− I
p1
p2
= −
q1
q2
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COE-736 Controle digital 298
Equacao de Lyapunov :
a21 − 1 a0a1 a0a1 a2
0
−a1 −1 −a0 0
−a1 −a0 −1 0
1 0 0 −1
p1
p2
= −
q1
q2
Para Q = I,
a21 − 1 a0a1 a0a1 a2
0
−a1 −1 −a0 0
−a1 −a0 −1 0
1 0 0 −1
p11
p21
p12
p22
= −
1
0
0
1
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COE-736 Controle digital 299
Como p12 = p21 , o sistema pode ser reduzido para
a21 − 1 2a0a1 a2
0
−a1 −1 − a0 0
1 0 −1
︸ ︷︷ ︸
M
p11
p21
p22
= −
1
0
1
Condicao para EA : det(M) 6= 0 e P > 0
Ou melhor :
det(M) = a21 − a2
1a0 − 1 − a0 + a20 + a3
0
= (a0 − 1)(a0 − a1 + 1)(a0 + a1 + 1) 6= 0
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COE-736 Controle digital 300
Pelo criterio de Jury as condicoes sao :
a0 < 1
a0 > −1 + a1
a0 > −1 − a1
a1
a0
−2 2
−1
1
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COE-736 Controle digital 301
As retas que definem o triangulo obtido pelo criterio de Jury sao dadas por :
a0 − 1 = 0
a0 − a1 + 1 = 0
a0 + a1 + 1 = 0
O produto dos membros resulta
(a0 − 1)(a0 − a1 + 1)(a0 + a1 + 1) = a21 − a2
1a0 − 1 − a0 + a20 + a3
0︸ ︷︷ ︸
det(M)
= 0
⋆ Sobre os lados do triangulo, det(M) = 0 !
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COE-736 Controle digital 302
Solucao da equacao de Lyapunov :
P =1
det(M)
−(1 + a0)(1 + a2
0) a1(1 + a20)
a1(1 + a20) −2(1 + a0) + a2
1(1 − a0)
det(M) = (a0 − 1)(a0 − a1 + 1)(a0 + a1 + 1)
Condicao para P > 0 :
∆1 =−(1 + a0)(1 + a2
0)
det(M)> 0
∆2 = det(P ) =2(1 + a2
0)
(a0 − 1) det(M)> 0
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COE-736 Controle digital 303
Note que dentro do triangulo
det(M) = (a0 − 1)︸ ︷︷ ︸
<0
(a0 − a1 + 1)︸ ︷︷ ︸
>0
(a0 + a1 + 1)︸ ︷︷ ︸
>0
< 0
(1 + a0) > 0
⋆ Portanto, dentro do triangulo, ∆1 > 0 e ∆2 > 0 ⇒ P > 0 !
⋆ Vide script lyapunov example.m .
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COE-736 Controle digital 304
Exemplo 18 Sistema nao-linear (cf. Astrom & Wittenmark, 1991, p.14 e 143) :
x(k + 1) = 3 −√
x(k)
Pontos de equilıbrio : x(k + 1) = x(k) = x
x(k) = 3 −√
x(k) ⇒ x2(k) − 7x(k) + 9 = 0 ⇒ x =
1.697
5.303
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COE-736 Controle digital 305
3
1.697 5.303
x(k + 1)
x(k)
x(k + 1) = x(k)
Raız negativa
Raız positiva
Figura 57: Interpretacao geometrica.
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COE-736 Controle digital 306
Seja o ponto x = 1.697
Definicao : z = x − x ⇒ x = z + x
Portanto : z(k + 1) = 3 − x −√
z(k) + x ⇒ z = 0
Funcao de Lyapunov escolhida : V (z) = z2(k)
∆V =[
3 − x −√
z(k) + x]2
− z2(k)
= (3 − x)2 − 2(3 − x)√
z(k) + x + z(k) + x − z2(k)
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COE-736 Controle digital 307
Fazendo :
a = (3 − x)2 + x = 3.3944
b = 2(3 − x) = 2.6056
Resultado : ∆V = a − b√
z(k) + x + z(k) − z2(k)
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COE-736 Controle digital 308
∆V
z
−x
z ∆V
−x -1.18
-1 -0.78
0 0
0.5 -0.22
1 -0.88
5 -23.3
Conclusao: ∆V < 0 ⇒ o ponto x = 1.697 e AE.
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COE-736 Controle digital 309
Exercıcio. O ponto x = 1.697 e globalmente AE?
Exercıcio. Repetir o procedimento para o ponto x = 5.303.
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COE-736 Controle digital 310
3.2 Sensibilidade e robustez
⋆ E importante determinar a sensibilidade do sistema a malha fechada com
relacao a tolerancia dos componentes.
Sejam : Hr(z) = FT real (desconhecida)
Hn(z) = FT nominal (aproximacao de Hr(z))
Problema : Em que condicoes a analise de estabilidade do sistema em
malha fechada utilizando Hn(z) e confiavel?
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COE-736 Controle digital 311
Hr(z)
1 + Hr(z)Hr(z) ≡ ≡ Sr(z)+
−
Figura 58: Diagrama de blocos.
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COE-736 Controle digital 312
⋆ Os polos de Sr sao os zeros da funcao 1 + Hr︸ ︷︷ ︸
, a qual pode ser escrita como :
1 + Hr = [1 + Hn] + [Hr − Hn]
Fato. Z − P e o mesmo para [1 + Hn] e [1 + Hr] desde que
||1 + Hn|| > ||Hr − Hn||
sobre o cırculo unitario.
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COE-736 Controle digital 313
Interpretacao geometrica
−1
0
||Hn||||1 + Hn||
Im
Re
max ||Hr − Hn||
Figura 59: Interpretacao geometrica da relacao |H0 − H| < |1 + H|.
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COE-736 Controle digital 314
Teorema. O sistema Sr e estavel se :
(1) Sn e estavel
(2) Hn e Hr possuem o mesmo numero de polos instaveis
(3) ||1 + Hn|| > ||Hr − Hn|| sobre o cırculo unitario
(i.e., o n de circundamentos N e invariante)
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COE-736 Controle digital 315
Conclusao : Para se projetar um sistema realimentado baseado em um mo-
delo aproximado e importante :
• Conhecer o numero de polos e zeros instaveis
• Ter um modelo que descreva o sistema com precisao para as frequencias em
que o |Hr(z) ∼= −180.
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COE-736 Controle digital 316
3.3 Controlabilidade e alcancabilidade (Co/Al)
• Introducao
• Definicoes: [Co] [Al]
• Criterios de alcancabilidade
– Definicoes: [Matriz Wc ]
– Teorema
• Subespaco alcancavel
• Forma canonica Co
– Propriedade
– Teorema
– Transformacao para FC Co
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COE-736 Controle digital 317
Introducao
Modelo de estado :
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k)
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COE-736 Controle digital 318
Relembrando a solucao: O valor de x no instante n e dado por :
x(n) = Φnx(0) + WcU
onde : Wc =[
Γ ΦΓ · · · Φn−1Γ]
U =
u(n − 1)...
u(0)
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COE-736 Controle digital 319
Definicao. O sistema e controlavel se e possıvel achar u(k)
tal que x(N) = 0, N finito.
x(0)
x(N)
Figura 60: Controlabilidade.
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COE-736 Controle digital 320
Exemplo 1 x(n) = Φnx(0) + WcU = 0
Se Φnx(0) = 0, entao pode-se escolher U = 0 ⇒ o sistema e Co
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COE-736 Controle digital 321
Definicao. O sistema e alcancavel se e possıvel achar u(k) tal que
qualquer x(N) pode ser alcancado ∀x(0) e N finito.
x(0)
x(N)
Figura 61: Interpretacao geometrica.
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COE-736 Controle digital 322
Exemplo 2 Sistema SISO.
x(n) = Φnx(0) + WcU ⇒ U = W−1c [x(n) − Φnx(0)]
⋆ O sistema e Al se ∃W−1c .
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COE-736 Controle digital 323
Criterios de alcancabilidade
(...)
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COE-736 Controle digital 324
Teorema. O sistema e alcancavel sse ρ[Wc] = n .
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COE-736 Controle digital 325
Fato. Os estados alcancaveis pertencem ao subespaco gerado pelas colunas
de Wc.
(cf. Astrom & Wittenmark, 1991, p.128)
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COE-736 Controle digital 326
Exemplo 3 Sistema de 2a ordem
Φ =
1 1
−0.25 0
Γ =
1
−0.5
x(0) =
2
2
Achar u(t) tal que x(2) =
−0.5
1
.
−0.5
1
︸ ︷︷ ︸
x(2)
= Φ2
2
2
︸ ︷︷ ︸
x(0)
+
1 0.5
−0.5 −0.25
︸ ︷︷ ︸
Wc
u(1)
u(0)
1 0.5
−0.5 −0.25
u(1)
u(0)
=
−4
2
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COE-736 Controle digital 327
Uma solucao :
u(1)
u(0)
=
−4
0
Outra solucao :
u(1)
u(0)
=
−3
−2
⇒ ∃ infinitas solucoes.
⋆ Como ρ[Wc] = 1 ⇒ o sistema e Al .
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COE-736 Controle digital 328
Importante : Se x(0) = 0, so se pode alcancar os pontos pertencentes ao
subespaco [1 − 0.5]T (subespaco gerado pelas colunas de
Wc).
A equacao
x1(2)
x1(2)
=
1 0.5
−0.5 −0.25
u(1)
u(0)
so tem solucao se x1 = −2x2
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COE-736 Controle digital 329
Exemplo 4
1
−0.5
=
1 0.5
−0.5 −0.25
2
−2
⇒ u(1) = 2 , u(0) = −2
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COE-736 Controle digital 330
Obs. :
⋆ Se o sistema tem 1 entrada , em geral sao necessarios n passos para ir de
x(0) para qualquer ponto.
⋆ Se o sistema tem n entradas , isto pode ser feito em 1 passo.
⋆ Co 6⇒ Al Co ⇐ Al
⋆ Se Φ e inversıvel, Co ⇔ Al
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COE-736 Controle digital 331
Forma canonica controlavel
Se o par Φ, Γ e Al , entao existe uma transformacao T tal que (z = Tx)
z(k + 1) =
−an−1 −an−2 · · · −a1 −a0
1 0 0 0
0 1 0 0...
......
...
0 0 1 0
z(k) +
1
0
0...
0
u(k)
y(k) =[
bn−1 bn−2 · · · b1 b0
]
z(k)
Equacao caracterıstica : λn + an−1λn−1 + · · · + a1λ + a0 = 0
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COE-736 Controle digital 332
Propriedade
(...)
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COE-736 Controle digital 333
Teorema
(...)
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COE-736 Controle digital 334
Obtencao da transformacao T
Sistema original : Wc =[
Γ ΦΓ · · · Φn−1Γ]
Sistema transformado : Wc =[
Γ ΦΓ · · · Φn−1Γ]
=[
TΓ TΦT−1TΓ · · · TΦn−1T−1TΓ]
= T[
Γ ΦΓ · · · Φn−1Γ]
= TWc
Portanto : T = Wc W−1c
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COE-736 Controle digital 335
Exemplo 5 Achar a forma canonica Co do seguinte sistema :
Φ =
−1 0
1 2
, Γ =
1
0
, C =[
1 0]
O sistema e Co : Wc =
1 −1
0 1
Eq. caracterıstica : det
λ + 1 0
−1 λ − 2
= λ2 − λ − 2 = 0
Portanto : Φ = TΦT−1 =
1 2
1 0
e Γ = TΓ =
1
0
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COE-736 Controle digital 336
Para o sistema transformado :
Wc =[
Γ ΦΓ]
= T[
Γ ΦΓ]
= TWc =
1 1
0 1
A matriz de transformacao e :
T = Wc W−1c =
1 1
0 1
1 1
0 1
=
1 2
0 1
T−1 =
1 −2
0 1
Portanto : C = C T−1 =[
1 −2]
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 337
Resumindo :
Φ =
1 2
1 0
Γ =
1
0
C =[
1 −2]
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COE-736 Controle digital 338
Exemplo 6 Sistema de 3a ordem na forma canonica Co
Φ =
−a1 −a2 −a3
1 0 0
0 1 0
, Γ =
1
0
0
Neste caso,
Wc =[
Γ ΦΓ Φ2Γ]
=
1 −a1 a21 − a2
0 1 −a1
0 0 1
W−1c =
1 a1 a2
0 1 a1
0 0 1
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COE-736 Controle digital 339
3.4 Observabilidade (Ob)
• Introducao
• Definicoes: [Ob]
• Criterios de observabilidade
– Definicoes: [Matriz Wo ]
– Teorema
• Subespaco inobservavel
• Forma canonica Ob
– Propriedade
– Teorema
– Transformacao para FC Ob
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COE-736 Controle digital 340
Introducao
Modelo de estado :
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k)
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COE-736 Controle digital 341
Definicao. (Observabilidade)
O estado x 6= 0 e inobservavel se ∃k1 ≥ n − 1 finito,
tal que y(k) = 0, 0 ≤ k ≤ k1, quando x(0) = x e u = 0.
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COE-736 Controle digital 342
Interpretacao :
z−1x3 x2r = 0
z−1y = x1
z−1
x3(0) = α
x2(0) = 0
x1(0) = 0
x3(1) = 0
x2(1) = α
x1(1) = 0
x3(2) = 0
x2(2) = 0
x1(2) = α
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COE-736 Controle digital 343
⋆ O sistema e observavel se ∃k finito tal que o conhecimento de
u(0)...
u(k − 1)
e
y(0)...
y(k − 1)
e suficiente para se calcular x(0).
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COE-736 Controle digital 344
Criterios de observabilidade
Seja :
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k)
⋆ Sem perda de generalidade podemos fazer u(k) = 0 .
Solucao :
y(0) = Cx(0)
y(1) = CΦx(0)...
y(n − 1) = CΦn−1x(0)
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COE-736 Controle digital 345
Representacao matricial :
C
CΦ...
CΦn−1
︸ ︷︷ ︸
Wo
x(0) =
y(0)
y(1)...
y(k − 1)
︸ ︷︷ ︸
Y
Se o sistema e SISO : x(0) = W−1o Y
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COE-736 Controle digital 346
Teorema. Observabilidade ⇔ ρ[Wo] = n.
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COE-736 Controle digital 347
Exemplo 1
Φ =
1.1 −0.3
1 0
, C =[
1 − 0.5]
Wo =
1 −0.5
0.6 −0.3
⇒ Ob
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COE-736 Controle digital 348
Subespaco inobservavel
Fato. Os estados inobservaveis pertencem ao subespaco nulo de Wo.
Notacao : N[Wo
].
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COE-736 Controle digital 349
Exemplo 2 Para o sistema do exemplo anterior :
Φ =
1.1 −0.3
1 0
, C =[
1 − 0.5]
Wo =
1 −0.5
0.6 −0.3
⇒ Ob
Portanto,
N[Wo
]=
1
2
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COE-736 Controle digital 350
Forma canonica observavel
Se o par Φ, C e Ob , entao existe uma transformacao T tal que (z = Tx)
z(k + 1) =
−an−1 1 0 · · · 0
−an−2 0 1 · · · 0...
......
...
−a1 0 0 · · · 1
−a0 0 0 · · · 0
z(k) +
bn−1
bn−2
...
b1
b0
u(k)
y(k) =[
1 0 0 · · · 0]
z(k)
Equacao caracterıstica : λn + an−1λn−1 + · · · + a1λ + a0 = 0
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 351
Obtencao da transformacao T
Para o sistema original : Wo =
C
CΦ...
CΦn−1
Para o sistema transformado :
Wo =
C
CΦ...
CΦn−1
=
CT−1
CΦT−1
...
CΦn−1T−1
=
C
CΦ...
CΦn−1
T−1 = WoT−1
Portanto : T = W−1o Wo
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 352
Exemplo 3 Achar a forma canonica Ob do seguinte sistema :
Φ =
−1 0
1 2
, C =[
1 1]
O sistema e Ob : Wo =
C
CΦ
=
1 1
0 2
Eq. caracterıstica : det
λ + 1 0
−1 λ − 2
= λ2 − λ − 2 = 0
Portanto : Φ = TΦT−1 =
1 1
2 0
e C = CT−1 =[
1 0]
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 353
Para o sistema transformado :
Wo =
C
CΦ
=
C
CΦ
T−1 = WoT−1 =
1 0
1 1
A matriz de transformacao e :
T = W−1o Wo =
1 0
−1 1
1 1
0 2
=
1 1
−1 1
T−1 =1
2
1 −1
1 1
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 354
Portanto : Γ = T Γ = (...)
Resumindo :
Φ =
1 1
2 0
Γ =
∗
∗
C =[
1 0]
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COE-736 Controle digital 355
Exemplo 4 Sistema de 3a ordem na forma canonica Ob
Φ =
−a2 1 0
−a1 0 1
−a0 0 0
, C =[
1 0 0]
Neste caso,
Wo =
C
CΦ
CΦ2
=
1 0 0
−a2 1 0
a22 − a1 −a2 1
W−1o =
1 0 0
a2 1 0
a1 a2 1
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COE-736 Controle digital 356
Apendice 1 Revisao: BIBO estabilidade
Revisao baseada em :
[1] C. T. Chen ,
Analysis and Synthesis of Linear Control Systems ,
Hrw Series , 1984.
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COE-736 Controle digital 357
Sistemas contınuos no tempo
Integral de convolucao : y(t) =
∫ ∞
−∞
g(t, τ)u(τ)dτ
onde : g(·, τ) = resposta ao impulso aplicado em τ .
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COE-736 Controle digital 358
Sistema invariante : g(t + α, τ + α) = g(t, τ)
Se α = −τ , g(t, τ) = g(t − τ, 0) = g(t − τ)
Sistema causal : g(t, τ) = 0 , t < τ
(A resposta antes de aplicar o impulso e zero.)
Sistema relaxado : y(t) = Hu(t)|(−∞,t0) = 0 , t > t0
(O efeito de u(t)|(−∞,t)) em y(t)|t>t0 e zero.)
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COE-736 Controle digital 359
Sistema relaxado, causal e invariante (com t0 = 0) :
y(t) =
∫ t
0
g(t − τ)u(τ)dτ =
∫ t
0
g(t)u(t − τ)dτ
Fato. Causalidade ⇔ g(t) = 0, t < 0
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COE-736 Controle digital 360
Funcao de transferencia :
Y (s) = L[y] =
∫ ∞
0
y(t)e−stdt
=
∫ ∞
0
[∫ ∞
0
g(t − τ)u(τ)dτ
]
e−stdt
=
∫ ∞
0
[∫ ∞
0
g(t − τ)e−s(t−τ)dt
]
u(τ)e−sτdτ
=
[∫ ∞
0
g(v)e−svdv
][∫ ∞
0
u(τ)e−sτdτ
]
= G(s)U(s)
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COE-736 Controle digital 361
Exemplo 5
G(s) =2
(s + 1)(s + 2)=
2
s + 1−
2
s + 2
⇒ g(t) = 2e−t − 2e−2t
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COE-736 Controle digital 362
Fato. BIBO ⇔
∫ t
−∞
g(t, τ)dτ leqK < ∞, ∀t
⋆ g(t, τ) e absolutamente integravel .
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COE-736 Controle digital 363
Fato. G(s) e BIBO ⇔ G(s) e assintoticamente estavel .
Prova. G(s) e uma funcao racional
⇒ G(s) =∑ β
(s − λi)k⇒ g(t) =
∑
(tk−1eλit)
Portanto : g(t) absolutamente integravel ⇒ Re(λi) < 0
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COE-736 Controle digital 364
Sistemas discretos no tempo
Sistema geral : y(k) =∞∑
m=−∞
g(k, m)u(m)
Sistema relaxado, causal e invariante (com t0 = 0) :
y(k) =
k∑
m=0
g(k − m)u(m)
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COE-736 Controle digital 365
Funcao de transferencia discreta :
Y (z) = Z[y(k)
]=
∞∑
k=0
y(k) z−k
=∞∑
k=0
[∞∑
m=0
g(k − m) u(m)
]
z−(k−m) z−m
=∞∑
m=0
[∞∑
k=0
g(k − m) z−(k−m)
]
u(m) z−m
=
[∞∑
j=0
g(j)z−j
][∞∑
m=0
u(m)z−m
]
= G(z) U(z)
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COE-736 Controle digital 366
Exemplo 6
G(z) =z
z − a⇒ g(k) = ak
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COE-736 Controle digital 367
Fato. BIBO ⇔∞∑
k=0
|g(k)| ≤ K < ∞
Detalhe : g(k) e absolutamente somavel .
Fato.g(k) e absolutamente somavel ⇒ g(k) → 0
g(t) e absolutamente integravel 6⇒ g(t) → 0
Fato. g(z) e BIBO ⇔ |λi| < 1 AE
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COE-736 Controle digital 368
Exemplo 7 G(z) =z
z − a⇒ g(k) = ak
∞∑
k=0
|g(k)| =
∞∑
k=0
|ek| < ∞ ⇒ |a| < 1
Nota. Segundo Kailath (1980), a definicao de BIBO estabilidade assume
que x(k0) = 0.
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UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro
COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
PEE Programa de Engenharia Eletrica
COE-736 Controle digital
Capıtulo # 4
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COE-736 Controle digital 370
4 Metodos de projeto baseados em espaco de estado
Conteudo 1. Realimentacao de estado
2. Observadores/estimadores de estado
3. Realimentacao do estado observado
4. Problema do rastreamento
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COE-736 Controle digital 371
4.1 Regulacao por realimentacao de estado
• Formulacao do problema
• Solucao geral
• Formula de Ackermann
• Controle deadbeat
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COE-736 Controle digital 372
Formulacao do problema
Processo (SLIT SISO) : x = Ax + Bu
Modelo discreto (eq. ZOH) : x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
Perturbacao : condicao inicial x(0).
Objetivo : Levar o estado para 0 apos uma perturbacao na condicao inicial.
⋆ Problema de (regulacao) .
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COE-736 Controle digital 373
Especificacoes : Polos de malha fechada (alocacao de polos).
Lei de controle : u(k) = −Lx(k)
Hipotese : O estado x e mensuravel.
⋆ A lei de controle e uma combinacao linear das medidas de todos os estados.
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COE-736 Controle digital 374
Sx
x(0)
y
x
−L
u
Figura 62: Realimentacao de estado.
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COE-736 Controle digital 375
Exemplo 1 Duplo integrador.
Modelo : x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
Φ =
1 h
0 1
, Γ =
0.5h2
h
Lei de controle : u(k) = −[
l1 l2
]
x(k)
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COE-736 Controle digital 376
Malha fechada :
x(k + 1) = (Φ − ΓL)x(k) =
1 − 0.5 l1h
2 h − 0.5 l2h2
−l1h 1 − l2h
x(k)
Eq. caract. : z2 +(0.5 l1h
2 + l2h − 2)z +
(0.5 l1h
2 − l2h + 1)
= 0
Eq. caract. desejada : z2 + p1z + p2 = 0
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COE-736 Controle digital 377
Igualando–se os coeficientes :
p1 = 0.5l1h2 + l2h − 2
p2 = 0.5l1h2 − l2h + 1
Solucao : l1 =(1 + p1 + p2)
h2l2 =
(3 + p1 − p2)
2h
⋆ Se h for muito pequeno −→ problemas.
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COE-736 Controle digital 378
Solucao geral
Se o par Φ, Γ e Al, entao :
(1) ρ[Wc] = n
(2) ∃T = WcW−1c tal que
Φ = TΦT−1 =
−a1 −a2 · · · −an
I 0
, Γ = TΓ =
1
0
Eq. caracterıstica : A(z) = zn + a1zn−1 + · · · + an = 0
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COE-736 Controle digital 379
Estado transformado : v = Tx ⇒ x = T−1v
Lei de controle : u = −Lx = −LT−1v ⇒ u = −Lv
Sistema em malha fechada : v(k + 1) = Φv(k) + Γu(k) = [Φ − ΓL]v(k)
onde : [Φ − ΓL] =
(−a1 − l1) (−a2 − l2) · · · (−an − ln)
I 0
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COE-736 Controle digital 380
Eq. caracterıstica de malha fechada :
zn + (a1 + l1)zn−1 + · · · + (an + ln) = 0
Eq. caracterıstica desejada : P (z) = zn + p1zn−1 + · · · + pn = 0
Portanto : L =[
(p1 − a1) (p2 − a2) · · · (pn − an)]
Nas coordenadas originais : L = LT
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COE-736 Controle digital 381
Exemplo 2 Duplo integrador
Modelo : Φ =
1 h
0 1
Γ =
0.5h2
h
Polinomio caract. : A(z) = z2 − 2z + 1
Modelo transformado : Φ =
2 −1
1 0
Γ =
1
0
Matriz de transformacao :
Wc =
h2/2 3h2/2
h h
e Wc =
1 2
0 1
⇒ T =
1/h2 0.5/h
1/h2 −0.5/h
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COE-736 Controle digital 382
Polinomio caract. dado : A(z) = z2 − 2z + 1
Polinomio caract. desejado : P (z) = z2 + p1z + p2
Portanto : L =[
(p1 + 2) (p2 − 1)]
Resultado : L = LT =
[1 + p1 + p2
h2
3 + p1 − p2
2h
]
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COE-736 Controle digital 383
Formula de Ackermann
Para sistemas SISO : L =[
0 · · · 0 1]
W−1c P (Φ)
onde : Wc e a matriz de controlabilidade,
P (·) e o polinomio caracterıstico desejado.
Obs. Segundo Astrom & Wittenmark este algoritmo nao e bom
numericamente.
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COE-736 Controle digital 384
Exercıcio. Demonstrar a formula de Ackermann.
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COE-736 Controle digital 385
Exemplo 3 Duplo integrador.
Modelo : Φ =
1 h
0 1
Γ =
0.5h2
h
Polinomio caract. desejado : P (z) = z2 + p1z + p2
Wc =[
Γ ΦΓ]
=
h2/2 3h2/2
h h
⇒ W−1c =
−1/h2 3/2h
1/h2 −1/2h
P (Φ) = Φ2 + p1Φ + p2I =
1 + p1 + p2 2h + p1h
0 1 + p1 + p2
Pela formula de Ackermann : L =
[1 + p1 + p2
h2
3 + p1 − p2
2h
]
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COE-736 Controle digital 386
Exercıcio. Estudar/simular o Exemplo 4.4 do livro
Astrom & Wittenmark, p. 128.
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COE-736 Controle digital 387
Controle Deadbeat
Neste caso, o polinomio desejado e : P (z) = zn = 0
Resultado : Φc = Φ − ΓL ⇒ Φnc = 0
Quer dizer, o estado vai para zero em n instantes :
x(k) = Φkcx(0) = 0 , k = n
Apenas um parametro de projeto : h
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COE-736 Controle digital 388
Exemplo 4 Deadbeat para o duplo integrador.
p1 = p2 = 0 ⇒ L =
[1
h2
3
2h
]
Dado : x(0) =
1
1
h 100 10 1 0.1 0.01
u(0) -0.0151 -0.16 -2.5 -115 -10150
u(h) 0.0051 0.06 1.5 105 10050
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COE-736 Controle digital 389
uScope
r
Referencia
u
y
x2
Planta
Mux
Mux 2
r
y
x2
u
Controlador
Figura 63: Diagrama de blocos do sistema planta/controlador em SIMULINK.
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COE-736 Controle digital 390
Duplo integrador
yu x2
2
x2
1
y
y
To Workspace 2
x2
To Workspace 1
1s
Integrator 2
1s
Integrator 1
k
Ganho
1
u
Figura 64: Diagrama de blocos da planta.
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COE-736 Controle digital 391
CONTROLADOR DEADBEAT
1
u
ZOH 3
ZOH 2
ZOH 1
u
To WorkspaceL2
Ganho 3
L1
Ganho 2
L0
Ganho 1
3
x2
2
y
1
r
Figura 65: Diagrama de blocos do controlador deadbeat.
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COE-736 Controle digital 392
r1
r
r
To Workspace 2
t
To Workspace 1
Degrau
Clock
Figura 66: Diagrama de blocos do gerador de sinal de referencia.
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COE-736 Controle digital 393
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1Sinal de saída
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1
−0.5
0
0.5
1Sinal de controle
Figura 67: Resultado da simulacao.
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COE-736 Controle digital 394
4.2 Observadores ou estimadores de estado
• Introducao
• Calculo direto
• Observador dinamico
• Current estimator
• Formula de Ackermann
• Observador de Luenberger
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COE-736 Controle digital 395
Introducao
Problema : Nem sempre se tem acesso a todo o estado de um sistema.
Solucao : Utilizacao de observadores ou estimadores de estado .
Vamos estudar 2 casos : • Calculo direto
• Observador dinamico
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COE-736 Controle digital 396
Condicoes necessarias para estimar o estado :
• O modelo matematico deve ser conhecido
• O sistema deve ser completamente observavel
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COE-736 Controle digital 397
Calculo direto das variaveis de estado
Sistema discreto :
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k)
Aplicando–se recursivamente,
x(k) = Φn−1W−1o
y(k − n + 1)
y(k − n + 2)...
y(k)
+ Ψ
u(k − n + 1)
u(k − n + 2)...
u(k − 1)
⋆ Ver detalhes em [Astrom& Wittenmark, 1997], pag. 135.
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COE-736 Controle digital 398
onde : x(k) = valor estimado de x(k)
n = ordem do sistema
Ψ =[Φn−2Γ Φn−3Γ · · · Γ
]− Φn−1W−1
o Ω
Ω =
0 0 · · · 0
CΓ 0 · · · 0...
......
CΦn−2Γ CΦn−3Γ · · · CΓ
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COE-736 Controle digital 399
Note que x(k) e uma combinacao linear das medidas :
y(k) , y(k − 1) , · · · , y(k − n − 1)
u(k − 1) , · · · , u(k − n − 1)
Portanto, a expressao para x(k) pode ser escrita como :
x(k) = F ∗(q−1)y(k) + G∗(q−1)u(k − 1)
ou como : x(k) =F (q)
qn−1y(k) +
G(q)
qn−1u(k) (Estimador deadbeat)
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COE-736 Controle digital 400
Exemplo 1 Duplo integrador (n = 2).
Φ =
1 h
0 1
Γ =
h2/2
h
C =[
1 0]
ΦW−1o =
1 h
0 1
1 0
1 h
−1
=
0 1
−1/h 1/h
Ψ = Γ − ΦW−1o Ω =
h2/2
h
−
0 1
−1/h 1/h
0
CΓ
=
0
h/2
Resultado : x1(k) = y(k) x2(k) =y(k) − y(k − 1)
h+
h
2u(k − 1)
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COE-736 Controle digital 401
Note que x2→y quando h→0.
Neste caso : F ∗(q−1) =1
h(1 − q−1) =
q − 1
hq
G∗(q−1) =h
2
⇒ x =q − 1
hqy +
h
2qu
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COE-736 Controle digital 402
Observador dinamico
Caracterısticas da estimativa por calculo direto :
⋆ Estimativa apos n passos.
⋆ Muito sensıvel a perturbacoes.
Solucao : Observador baseado em sistema dinamico.
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COE-736 Controle digital 403
Suponha um sistema : x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
φ, Γ
Φ, Γ
xu
x
Figura 68: Observador dinamico sem realimentacao.
Nota. x(0) = x(0) ⇒ x(k) = x(k)
x(0) 6= x(0) ⇒ x(k) → x(k) se for estavel.
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COE-736 Controle digital 404
O estimador pode ser melhorado introduzindo–se uma realimentacao do erro de
estimativa da saıda (y − y = y − Cx).
φ, Γ
Φ, Γ
xu
x
C
Cy
y
K
−
+
Figura 69: Observador dinamico com realimentacao do erro.
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COE-736 Controle digital 405
Γ z−1
Φ
Cx(k)u(k) y(k)
Γ z−1x(k)
K
Φ−KC
++
++
Figura 70: Representacao alternativa para o observador dinamico realimentado.
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COE-736 Controle digital 406
Resultado : (Predictor estimator ou Forma Preditiva)
x(k + 1|k) = Φx(k|k − 1) + Γu(k) + K [y(k) − Cx(k|k − 1)]
onde : K = matriz de ganhos a ser definida.
Notacao: x(k|k− 1) = estimativa de x(k) baseada em medicoes
feitas ate o instante k − 1.
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COE-736 Controle digital 407
Definicao. x = x − x (erro de estimativa de estado)
Entao,
x(k + 1|k) = x(k + 1) − x(k + 1|k) = [Φ − KC]︸ ︷︷ ︸
x(k|k − 1)
Objetivo : Determinar a matriz K tal que [Φ − KC] seja AE ⇒ x→0.
Nota. A planta pode ser instavel.
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COE-736 Controle digital 408
Current estimator
Forma preditiva : x(k|k − 1)
⋆ Ha um atraso de um intervalo de amostragem na atualizacao da estimativa.
⋆ A estimativa em k utiliza medidas feitas somente ate o instante k − 1.
Forma current : x(k|k)
⋆ A estimativa em k utiliza as medidas feitas no instante k.
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COE-736 Controle digital 409
Modificacao :
x(k|k) = Φx(k − 1|k − 1) + Γu(k − 1) + Kc [y(k) − y(k|k)]
y(k|k) = C [Φx(k − 1|k − 1) + Γu(k − 1)]
onde y(k|k) e a previsao de y(k).
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COE-736 Controle digital 410
Eliminando-se y(k|k) das equacoes :
x(k|k) = Φx(k − 1|k − 1) + Γu(k − 1) − KcCΦx(k − 1|k − 1) − KcCΓu(k − 1)
= [I − KcC][
Φx(k − 1|k − 1) + Γu(k − 1)]
+ Kcy(k)
Para o erro de estimacao tem–se :
x(k|k) = x(k) − x(k|k) = [I − KcC]Φx(k − 1|k − 1)
⋆ Kc deve ser escolhido de modo que (Φ − KcCΦ) seja estavel.
⋆ Mais detalhes : (cf. Franklin & Powell, 1990, p. 256)
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COE-736 Controle digital 411
A equacao do estimador current pode ser escrita na forma
x(k|k) = x(k|k − 1) + Kc[y(k) − Cx(k|k − 1)] (1)
x(k|k − 1) = Φx(k − 1|k − 1) + Γu(k − 1) (2)
Substituindo (??) em (??), vem :
x(k + 1|k) = Φx(k|k) + Γu(k)
= Φx(k|k − 1) + ΦKc[y(k) − Cx(k|k − 1)] + Γu(k)
= Φx(k|k − 1) + Γu(k) + ΦKc[y(k) − y(k)] (3)
Comparando esta equacao com a equacao do estimador na forma predictor, a unica
diferenca e o termo ΦKc.
⇒ O estimador current e igual ao predictor com K = ΦKc
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COE-736 Controle digital 412
Γ
Φx(k|k)
Kc
z−1
y(k)
Cx(k + 1|k) y(k)u(k) x(k|k − 1)
−
++
+
++
Figura 71: Estimador current. Eqs. (??) e (??).
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COE-736 Controle digital 413
Fato : Φ, CΦ e Ob ⇐⇒ Φ, C e Ob e Φ e regular
Obs. O estimador current nao pode ser implementado exatamente pois e
impossıvel amostrar, calcular e achar x(k|k) sem nenhum atraso.
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COE-736 Controle digital 414
Formula de Ackermann
K = P (Φ)W−1o [0 · · · 0 1]T Kc = Φ−1K
Obs. Se Φ e singular, como acontece com sistemas com atraso, a formula
anterior nao pode ser aplicada.
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COE-736 Controle digital 415
Observador de Luenberger
Estimador de ordem mınima :
y(k) − y(k|k) = y(k) − Cx(k|k)
= Cx(k|k)
= C[I − KcC]Φx(k − 1|k − 1)
= [I − CKc]CΦx(k − 1|k − 1)
p saıdas : dim[C] = p × n e dim[I − CKc] = p × p
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COE-736 Controle digital 416
A matriz Kc pode ser escolhida tal que : I − CKc = 0
⇒ y(k|k) = y(k) (a saıda e estimada sem erro)
O Observador de Luenberger e dito de ordem reduzida, pois elimina p equacoes.
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COE-736 Controle digital 417
Exemplo 2 Duplo integrador + observador completo (predictor)
Φ − KC =
1 h
0 1
−
k1
k2
[1 0] =
1 − k1 h
−k2 1
Eq. caract. : z2 − (2 − k1)z + (1 − k1 + k2h) = 0
Eq. caract. desejada : z2 + p1z + p2 = 0
Solucao :
k1 = 2 + p1
k2 = (1 + p1 + p2)/h
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COE-736 Controle digital 418
Exemplo 3 Idem com duplo integrador na forma observavel.
Φ =
2 1
−1 0
, C = [1 0]
Φ − KC =
2 1
−1 0
−
k1 0
k2 0
=
2 − k1 1
−1 − k2 0
⇒ K =
2 + p1
p2 − 1
Nas coordenadas x : K tal que (Φ − KC) estavel
Nas coordenadas z = Tx : K tal que (Φ − KC) estavel
Portanto : Φ − KC = T−1(Φ − KC)T ⇒ K = T−1K
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COE-736 Controle digital 419
Exemplo 4 Duplo integrador + observador completo (current)
Observador : x(k|k) = [I −KcC]Φx(k − 1|k − 1) + [I −KcC]Γu(k − 1) + Kcy(k)
[I − KcC] =
1 − k1 0
−k2 1
[I − KcC]Φ =
1 − k1 h(1 − k1)
−k2 1 − hk2
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COE-736 Controle digital 420
Eq. caract. : z2 − (k1 + hk2 − 2)z + (1 − k1) = 0
Eq. caract. desejada : z2 + p1z + p2 = 0
Solucao : Kc =
1 − p2
(1 + p1 + p2)/h
Verificacao :
Kc = Φ−1K =
1 −h
0 1
2 + p1
(1 + p1 + p2)/h
=
1 − p2
(1 + p1 + p2)/h
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COE-736 Controle digital 421
Exemplo 5 Duplo integrador + observador de Luenberger (current)
Observador : x(k|k) = [I −KcC]Φx(k − 1|k − 1) + [I −KcC]Γu(k − 1) + Kcy(k)
[I − CKc] = 1 − k1 = 0 ⇒ k1 = 1
[I − KcC]Φ =
1 − k1 h(1 − k1)
−k2 1 − hk2
=
0 0
−k2 1 − hk2
[I − KcC]Γ =
(1 − k1)h
2/2
h(1 − hk2/2)
0
h(1 − hk2/2
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COE-736 Controle digital 422
Resultado :
x1(k|k) = y(k)
x2(k|k) = −k2y(k − 1) + (1 − hk2)x2(k − 1|k − 1) +
h(1 − hk2/2)u(k − 1) + k2y(k)
Nota : (1 − hk2) pode ter qualquer valor.
Se k2 =1
h⇒ deadbeat
x2(k|k) =y(k) − y(k − 1)
h+
h
2u(k − 1)
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COE-736 Controle digital 423
Exemplo 6 Simulacao utilizando Matlab/Simulink.
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COE-736 Controle digital 424
yu
yhatp
yhatc
u
y
ZOH 1
Scope2
Scope1
Scope
r
Referencia
x’ = Ax+Bu y = Cx+Du
Planta
y
u
yhatc
yhatp
Observador
Figura 72: Diagrama de blocos do sistema planta/observador em SIMULINK.
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COE-736 Controle digital 425
x^(k|k)
y^(k)x^(k|k−1)
2
yhatp
1
yhatc
xhatc
xhatp ZOH 2
ZOH 1
z
1
Unit Delay
Phi* u Kc* u
K*u
Gamma
C* u
C* u
C* u2
u
1y
Figura 73: Diagrama de blocos do observador.
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COE-736 Controle digital 426
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
2
4
6
8
10
12
14
Figura 74: Resultado da simulacao. Observadores preditivo e current. (Script:
fig2.m )
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COE-736 Controle digital 427
4.3 Realimentacao de estado estimado
φ, Γ, Cyu
Lx
Φ, Γ, K, C
+−
Figura 75: Realimentacao de estado estimado.
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COE-736 Controle digital 428
⋆ Observador + matriz de ganhos L = compensador dinamico
Planta :
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k)
Observador : x(k + 1|k) = [Φ − KC]x(k|k − 1) + Γu(k) + Ky(k)
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COE-736 Controle digital 429
Definicao : X = [x x]T
Planta + observador em malha aberta :
X(k + 1) =
Φ 0
KC Φ − KC
X(k) +
Γ
Γ
u(k)
y(k) = [C 0]X(k)
Obs. x e inobservavel e incontrolavel.
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COE-736 Controle digital 430
Supondo n = 1,
Wo =
C 0
CΦ 0
e Wc =
Γ ΦΓ
Γ ΦΓ
Sx
u y
Sx
x
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COE-736 Controle digital 431
Controle : u(k) = −Lx(k|k − 1) + r(k) = [0 − L]X(k) + uc(k)
Planta + observador em malha fechada :
X(k + 1) =
Φ −ΓL
KC Φ − KC − ΓL
X(k) +
Γ
Γ
uc(k)
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COE-736 Controle digital 432
Transformacao : X = TX = [x x]T T = T−1 =
1 0
1 −1
Sistema transformado :
X(k + 1) =
Φ − ΓL ΓL
0 Φ − KC
X(k) +
Γ
0
uc(k)
y(k) = [C 0]X(k)
Obs. x e incontrolavel por uc. Porem x e observavel por y.
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COE-736 Controle digital 433
Sx
uc y
Sx
x
Figura 76: x e incontrolavel por r.
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COE-736 Controle digital 434
Exemplo 1 Duplo integrador + observador completo
(...)
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COE-736 Controle digital 435
Problema do rastreamento
Rastreamento : uc 6= 0
y → uc quando k → ∞ ou
x → xr quando k → ∞
Na pratica as especificacoes podem envolver regulacao e rastreamento.
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COE-736 Controle digital 436
Gff Gfb Gp+
−
Figura 77: Estrutura 2DOF.
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COE-736 Controle digital 437
Estrutura 2DOF : permite resolver os problemas separadamente.
⋆ Projeto de Gfb tal que o sistema a laco fechado seja insensıvel as per-
turbacoes e incertezas.
⋆ Projeto de Gff para atender as especificacoes de rastreamento.
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COE-736 Controle digital 438
Realocacao de polos
Quando o estado nao e mensuravel : usar observador
Ruıdo de medicao afeta o projeto do observador.
Dinamica do observador : A0(z) = det(zI − Φ + KC)
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COE-736 Controle digital 439
Posicao dos polos do observador :
• nao podem ser muito lentos → convergencia lenta
• nao podem ser muito rapidos → amplificacao de ruıdos
Dinamica de malha fechada : Ar(z) = det(zI − Φ + ΓL)
Posicao dos polos de malha fechada : determinacao envolve compromisso entre
• influencias das perturbacoes
• influencias do ruıdo de medicao
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COE-736 Controle digital 440
Rastreamento
Problema de regulacao : basicamente posicao dos polos de m.f.
Problema de rastreamento : posicao dos zeros de m.f.
Interpretacao de polos e zeros
Polos : ligacoes/acoplamentos internos
Zeros : ligacoes com o exterior
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COE-736 Controle digital 441
Especificacoes
Planta : y(k) =B(q)
A(q)uc(k)
Modelo de referencia : ym(k) =Bm(q)
Am(q)uc(k)
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COE-736 Controle digital 442
Solucao
Lei de controle : u(k) = −Lx(k) + uc(k)
Sistema em m.f. : y(k) =B(q)
Ar(q)uc(k)
O compensador feedforward da estrutura 2DOF deve ser :
uc(k) =Bm(q)Ar(q)
B(q)Am(q)uc(k)
Obs. Usualmente Ar(q) = Am(q)
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COE-736 Controle digital 443
O compensador feedforward Gff so pode ser implementado se :
(1) deg B ≥ deg Bm
(2) B e estavel (Hurwitz)
Caso B seja instavel : B = B+B− B+ e parte instavel
B+ nao pode ser cancelado ⇒ Bm = B+B−m
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COE-736 Controle digital 444
Implementacao
Planta :
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k)
Feedforwad :
xf (k + 1) = Φfxf (k) + Γfuc(k)
uc(k) = −Lfxf (k) + lcuc(k)
Observador :
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) + K[y(k) − Cx(k)]
Lei de controle : u(k) = −Lx(k) − Lfxf (k) + lcuc(k)
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COE-736 Controle digital 445
Feedforwad Lf
lc
uc xf
L Planta
x
yu−
+
−
+
Figura 78: Diagrama de blocos.
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COE-736 Controle digital 446
Em malha fechada : y(k) =B(q)
Ar(q)
Bf (q)
Af (q)uc(k)
Rastreamento perfeito : Bf (q) = Ar(q)Bm(q)
Af (q) = Am(q)B(q)
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COE-736 Controle digital 447
Inclusao de integradores
Para entender o problema, vamos considerar inicialmente um exemplo simples.
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COE-736 Controle digital 448
Exemplo 2 Sistema contınuo.
Planta : g(s) =k
s
Controle : u = −ly + lcuc
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COE-736 Controle digital 449
lc
uc k
s
−l
yu+
+
Figura 79: Malha fechada.
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COE-736 Controle digital 450
Sistema em malha fechada : y =klc
s + luc
Condicao para estabilidade : l > 0
Condicao para rastreamento : klc = l ⇒ lc = l/k
Problema : parametro k incerto
Modificacao : Inclusao de integradores
u = −l1y + lcuc +l2s
e
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COE-736 Controle digital 451
l2s
k
s
−l1
yuuc
lc
e v+
−
+
+
+
Figura 80: Malha fechada com integradores.
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COE-736 Controle digital 452
Malha fechada : y =klcs + kl2
s2 + kl1s + kl2uc
Portanto : • erro de regime nulo para entrada degrau
• parametros l1 e l2 → polos
• parametro lc → zero
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COE-736 Controle digital 453
Rastreamento com integradores : caso discreto
Lei de controle : u(k) = −Lx(k) + ln+1v(k) + u(k)
x(k) = estado estimado
v(k) =1
q − 1e(k) = integral do erro
e(k) = uc(k) − y(k) = erro de rastreamento
u(k) =Bm(q)Ar(q)
B(q)Am(q)uc(k) = feedforward
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 454
Quando o sinal de saıda e muito ruidoso : e(k) = uc(k) − y(k)
O observador funciona como um filtro .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 455
1
q − 1ln+1
Gffuc
uc vPlanta
u y
Ob
−L
x
e+−
++
+
Figura 81: Rastreamento com integradores.
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UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro
COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
PEE Programa de Engenharia Eletrica
COE-736 Controle digital
Capıtulo # 5
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COE-736 Controle digital 457
5 Projeto: enfoque polinomial
Conteudo 1. Introducao
2. Formulacao do problema
3. Sobre as perturbacoes e incertezas
4. Resumo do problema #1
5. Solucao
6. Cancelamentos necessarios
7. Resumo do problema #2
8. Determinacao de R, S e T
9. Grau do polinomio 0
10. Resumo do problema #3
11. Inclusao de integradores
12. Algoritmo de projetoProf. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 458
5.1 Introducao
Objetivo : Resolver o problema de realocacao de polos usando
realimentacao da saıda via enfoque polinomial
Neste capıtulo : • Realimentacao de saıda
• Problema de rastreamento
• Inclusao de integradores
• Robustez
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COE-736 Controle digital 459
Recapitulacao
Planta
Observador
L
u y
x
+−
Figura 82: Realimentacao de estado observado.
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COE-736 Controle digital 460
Interpretacao : Controlador dinamico entrada/saıda
Figura 83: Realimentacao dinamica.
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COE-736 Controle digital 461
Formulacao do problema
Processo (SISO) : H(z) =B(z)
A(z)
uH(z)
y
Hipotese: A(z) e B(z) nao possuem fatores comuns .
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COE-736 Controle digital 462
Especificacoes de projeto:
⋆ A FT de laco fechado desejada e dada por
Hm(z) =Bm(z)
Am(z)( modelo de referencia )
⋆ E necessario especificar-se tambem o polinomio A0 do observador .
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COE-736 Controle digital 463
Tipos de perturbacoes
• variacao de carga
• erro de medicao
• incerteza parametrica
Para minimizar os efeitos das perturbacoes :
• escolha adequada de Hm
• projeto do observador (A0)
• definicao de leis de controle admissıveis
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COE-736 Controle digital 464
Em geral temos que :
• Hm influencia a sensibilidade a :
- erros de modelagem
- ruıdo de medicao de alta freq.
• A0 influencia a sensibilidade a :
- variacao de carga
- ruıdo de medicao
Importante : Os requisitos de sensibilidade conflitam com o rastreamento
rapido do modelo
(sao introduzidos filtros passa-baixas no sistema).
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COE-736 Controle digital 465
Lei de controle linear geral : Ru = Tuc − Sy
Hipotese : R e monico
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COE-736 Controle digital 466
T
R
Hff
H
u y
S
R
Hfb
+
−
Figura 84: Diagrama de blocos.
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COE-736 Controle digital 467
Condicoes para causalidade do controle :
deg R ≥ deg T deg R ≥ deg S
Se o tempo para calcular o controle e uma pequena fracao de h, entao
deg R = deg S = deg T se Tu << h (caso mais comum)
Se o tempo para calcular u e da ordem de h, entao
deg R = deg S + 1 = deg T + 1 se Tu∼= h (⇒ um atraso de h)
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COE-736 Controle digital 468
Sobre as perturbacoes e incertezas
B
A
S
R
+
Figura 85: Ganho de malha.
Definicao. Ganho de malha : Hl =SB
RA
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COE-736 Controle digital 469
Para se ter erros pequenos devido as perturbacoes de baixa freq.,
|Hl(ejωh)| deve ser grande para ω pequeno
Isto pode ser feito exigindo-se que R(z) seja da forma
R = (z − 1)lR′1
Para reduzir os efeitos das perturbacoes de alta freq., deve-se escolherS
Rde
modo que
|Hl(ejωh)| seja pequeno para ω grande
Importante : As altas frequencias presentes no sistema dependem da
escolha do filtro anti-aliasing e do intervalo h.
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COE-736 Controle digital 470
x
y
0
Zona proibida
Zona proibida
Figura 86: Diagrama de magnitude de Hl(ejωh) e as zonas proibidas.
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COE-736 Controle digital 471
Resumo do problema #1
Dada a planta : H(z) =B(z)
A(z)
achar uma lei de controle : Ru = Tuc − Sy
tal que o sistema em malha fechada tenha uma FT dada por
Hm(z) =Bm(z)
Am(z)
e um observador com polinomio caracterıstico A0.
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COE-736 Controle digital 472
Diagrama de blocos
uc
Ru = Tuc − Syu
v
B
A
e
y+
+
+
+
Figura 87: Diagrama de blocos com perturbacoes v e e.
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COE-736 Controle digital 473
Solucao
A relacao entrada/saıda em malha fechada e dada por :
y =BT
AR + BS︸ ︷︷ ︸
Hm
uc +BR
AR + BSv +
AR
AR + BSe (4)
Portanto :BT
AR + BS=
Bm
Am
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COE-736 Controle digital 474
Problema : Achar R, S e T tal que a relacao acima seja satisfeita
bem como os demais requisitos relacionados a rejeicao de
disturbios.
⋆ Em geral, este problema tem varias solucoes .
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COE-736 Controle digital 475
Solucao via feedforward :
S = 0
R = BAm T = ABm
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COE-736 Controle digital 476
uc ABm
BAm
Controle
B
A
Planta
y
Figura 88: Solucao via feedforward.
⋆ Neste caso o controlador contem o inverso da planta.
⋆ Como nao ha feedback, as demais exigencias nao podem ser satisfeitas.
⋆ Por exemplo : ganho de malha grande para freq’s. baixas.
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COE-736 Controle digital 477
Solucao via realimentacao do erro (e = uc − y)
R = T = (Am − Bm)B S = ABm
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COE-736 Controle digital 478
e uuc S
R=
BmA
(Am − Bm)BB
A
y+
−
Figura 89: Solucao via feedback do erro.
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COE-736 Controle digital 479
Cancelamentos necessarios
AR + BS = 0 ⇒ Polos de malha fechada
T = 0 e B = 0 ⇒ Zeros de malha fechada
⋆ Para se satisfazer a equacao
BT
AR + BS=
Bm
Am
deve-se cancelar alguns polos e zeros.
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COE-736 Controle digital 480
Suponha que B = B+B−
onde : B− tem todas as raızes fora do cırculo unitario
B+ tem todas as raızes dentro do cırculo
⋆ B− nao pode ser cancelado (e instavel) .
Hipotese : B+ e monico
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COE-736 Controle digital 481
⋆ B− nao pode ser cancelado : e instavel .
⇒ B− nao pode ser fator de AR + BS
⇒ B− deve ser fator de Bm
⇒ Bm = B−B′m
⋆ Zeros instaveis nao podem ser cancelados.
⇒ Devem ser incluıdos no modelo (em Bm).
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COE-736 Controle digital 482
⋆ B+ sera cancelado
⇒ B+ e um fator de AR + BS
⇒ B+ e um fator de R
⇒ R = B+R′
Portanto,
BT
AR + BS=
B+B−T
AB+R′ + B+B−S=
B+B−T
B+(AR′ + B−S)=
B−B′m
Am
ou melhor,
T
AR′ + B−S=
B′m
Am
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COE-736 Controle digital 483
⋆ O polinomio do observador A0 e cancelado
⇒ A0 e um fator de AR + BS
⇒ A0 e um fator de AR′ + B−S
⇒AR′ + B−S = A0Am
T = A0B′m
⋆ Eq. caracterıstica antes dos cancelamentos : AR + BS = B+A0Am
⋆ Cancelamentos necessarios : A0 e B+
Nota : Pode-se cancelar um ou mais polos estaveis.
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COE-736 Controle digital 484
Exemplo 1
H(z) =(z + 0.2)
(z + 0.1)(z + 0.5)
Hm(z) =1
(z + 1)
O polo em −0.5 e realocado para −0.2 e cancelado com o zero.
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COE-736 Controle digital 485
Interpretacao
⋆ Eq. caract. da malha fechada : B+A0Am = 0
Comparando com o desenvolvimento do capıtulo 4 :
Am(z) = det(zI − φ + ΓL)
A0(z) = det(zI − φ + KC)
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COE-736 Controle digital 486
Resumo do problema #2
Achar R, S e T tal que :BT
AR + BS=
Bm
Am
(1) R e monico
(2) Causalidade
deg R ≥ deg T
deg R ≥ deg S
(3) B = B+B−
(4) B+ monico estavel
(5) Bm = B−B′m
(6) R = B+R′
(7) A0 (observador)
(8)
AR′ + B−S = A0Am
T = A0B′m
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COE-736 Controle digital 487
Determinacao de R, S e T
Problema : dados A, B e C, determinar X e Y tal que
AX + BY = C (eq. Diophantina)
⋆ Se C = qm, AX + BY = qm (identidade de Bezout)
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COE-736 Controle digital 488
Exemplo 2 3x + 2y = 5, x e y inteiros
Solucao particular : x = 1 e y = 1
Solucoes :
x = x0 + 2n
y = y0 − 3n
(n inteiro)
x · · · -3 -1 1 3 5 · · ·
y · · · 7 4 1 -2 -5 · · ·
∃ uma unica solucao tal que 0 ≤ x ≤ 2 ou 0 ≤ y ≤ 3 .
Anel dos inteiros ∼ Anel dos polinomios
Propriedade : Possuem as mesmas regras para operacoes.
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COE-736 Controle digital 489
Exemplo 3 4x + 6y = 1, x e y inteiros
⋆ Nao existe solucao.
⋆ ∀x, y ∈ Z ⇒ 4x + 6y e par.
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COE-736 Controle digital 490
Teorema. (Existencia)
Sejam A, B e C polinomios ∈ R[z].
A equacao AX + BY = C tem solucao sse o maior fator comum de A e B
divide C.
Se X0 e Y0 e uma solucao, entao tambem sao solucoes
X = X0 + QB ,
Y = Y0 − QB , Q polinomio qualquer
Portanto, se ∃ 1 solucao ⇒ ∃ ∞ solucoes.
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COE-736 Controle digital 491
Corolario (Unicidade)
∃ uma unica solucao X, Y tal que
deg X < deg B
ou
deg Y < deg A .
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COE-736 Controle digital 492
Exemplo 4
A = a2z2 + a1z + a0 deg A = 2
B = b0 deg B = 0
C = c3z3 + c2z
2 + c1z + c0 deg C = 3
Escolhemos : deg Y < deg A ⇒ Y = y1z + y0
AX + BY = C ⇒ max(2 + deg X), (0 + 1) = 3 ⇒ deg X = 1
Escolhemos : X = x1z + x0
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COE-736 Controle digital 493
Solucao :
AX +BY = a2x1z3 +(a2x0 +a1x1)z
2 +(a0x1 +a1x0 +b0y1)z+(a0x0 +b0y0) = C
⋆ A eq. Diophantina pode ser transformada em um sistema de eqs. lineares
(cf. C. T. Chen, 1993) :
AX + BY = C ⇒
a0 b0 0 0
a1 0 a0 b0
a2 0 a1 0
0 0 a2 0
x0
y0
x1
y1
=
c0
c1
c2
c3
Obs. : Solucao pode ser facilmente implementada em MATLAB.
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COE-736 Controle digital 494
Exercıcio.
A = z2 + 3z + 2
B = z + 3
C = z2
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COE-736 Controle digital 495
Exercıcio.
A = a2z2 + a1z + a0
B = b0
C = c4z4 + c3z
3 + c2z2 + c1z + c0
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 496
Grau do polinomio 0
Problema : Qual o grau do polinomio 0 ?
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COE-736 Controle digital 497
Seja : Pn = polinomio de grau n
Pm = polinomio de grau m
Propriedades : (1) grau(
Pn + Pm
)
= max
grau(
Pn
)
, grau(
Pm
)
(2) grau(
PnPm
)
= grau(
Pn
)
+ grau(
Pm
)
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COE-736 Controle digital 498
Exemplo 5
(a) (z + 1)(2) = 2z + 2
grau(2z + 2) = grau(z + 1) + grau(2) = 1 + 0 = 1
(b) (z + 1)(0) = 0
grau(0) = grau(z + 1) + grau(0) = 1 + 0 = 1 ?!
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COE-736 Controle digital 499
Definicao. grau(0) = −∞
⋆ Dessa forma o exemplo anterior resulta:
(b) (z + 1)(0) = 0
grau(0) = grau(z + 1) + grau(0) = 1 −∞ = −∞
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COE-736 Controle digital 500
Resumo do problema #3
u≡
uc yuc
Ru = Tuc − SyB
A
y Bm
Am
Controle : Ru = Tuc − Sy
Condicoes :
AR′ + B−S = A0Am
T = A0B′m
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COE-736 Controle digital 501
Controle : Ru = Tuc − Sy
Condicoes :
AR′ + B−S = A0Am
T = A0B′m
Como por hipotese A e B nao possuem fatores comuns, pelo Teorema
∃R′ e S | AR′ + B−S = A0Am
Causalidade :
deg R ≥ deg T
deg R ≥ deg S
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COE-736 Controle digital 502
Teorema. Existe uma unica solucao para o problema de realocacao de polos se
deg Am − deg Bm ≥ deg A − deg B (1)
deg A0 ≥ 2 deg A − deg Am − deg B+ − 1 (2)
Obs. (1) e uma condicao intuitiva.
O atraso em Hm nao pode ser menor do que o atraso em H.
(2) e uma condicao sobre o observador.
O grau de A0 deve ser suf. grande para garantir uma solucao causal.
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COE-736 Controle digital 503
Prova. Ver Astrom & Wittenmark, 1990.
⋆ E obtida a partir das condicoes de causalidade e unicidade .
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COE-736 Controle digital 504
Inclusao de integradores
Objetivo : Ganho de malha alto para baixas freq’s.
Modificacao : R = (z − 1)lR1 (R = B+R′)
R = (z − 1)lB+R′1
Nova equacao : A(z − 1)l
︸ ︷︷ ︸
A′
R′1 + B−S = A0Am
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COE-736 Controle digital 505
≡
≡
T
R
1
(z − 1)l+B
A
S
R
T
R(z − 1)l+
B
A
S
R(z − 1)l
Figura 90: Problema equivalente ao de uma planta aumentada de l integradores.
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COE-736 Controle digital 506
Algoritmo de projeto
(1) Fatorar B e Bm
B = B−B+ Bm = B−B′m
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COE-736 Controle digital 507
(2) Resolver (z − 1)lAR′1 + B−S = A0Am
com
deg A0 ≥ 2 deg A − deg Am − deg B+ + l − 1
deg S < deg A + l
deg R′1 < deg A0 + deg Am − deg A − l
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COE-736 Controle digital 508
(3) A lei de controle e Ru = Tuc − Sy
onde
R = B+(z − 1)lR′1
T = A0B′m
Obs. Aumentando a dimensao da planta de l a dimensao do
observador tambem deve ser aumentada de l.
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COE-736 Controle digital 509
Exemplo 6 O zero do processo e cancelado (realocado).
Cuidado : o zero do processo nao DESAPARECE!
Planta : H(z) =K(z − b)
(z − 1)(z − a)
Modelo : Hm(z) =(1 + p1 + p2)z
z2 + p1z + p2
B = K(z − b) ⇒ B− = K B+ = z − b (cancelado)
Bm = B′mB− = (1 + p1 + p2)
︸ ︷︷ ︸
Km
z ⇒ B′m =
Km
Kz
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COE-736 Controle digital 510
Projeto sem integradores ⇒ l = 0
deg A0 ≥ 2 deg A︸ ︷︷ ︸
4
−deg Am︸ ︷︷ ︸
2
−deg B+
︸ ︷︷ ︸
1
−1 ⇒ deg A0 ≥ 0
Escolhemos A0 = 1 (deg A0 = 0)
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COE-736 Controle digital 511
deg S = deg A − 1 = 1 ⇒ S = s0z + s1
deg R′ = deg A0︸ ︷︷ ︸
0
+ deg Am︸ ︷︷ ︸
2
−deg A︸ ︷︷ ︸
2
= 0 ⇒ R′ = 1
Portanto, AR′ + B−S = A0Am
⇒ z2 + (−1 − a + Ks0)z + (a + Ks1) = z2 + p1z + p2
Solucao : s1 = (p2 − a)/K s0 = (1 + a + p1)/K
Finalmente, T = B′mA0 ⇒ T =
Km
Kz = t0z
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COE-736 Controle digital 512
Lei de controle : Ru = Tuc − Sy
⇒ (z − b)u(k) = t0zuc(k) − (s0z + s1)y(k)
Portanto :
(1 − bz−1)u(k) = t0zuc(k) − (s0 + s1z−1)y(k)
⇒ u(k) = bu(k − 1) + t0uc(k) − s0y(k) − s1y(k − 1)
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COE-736 Controle digital 513
Simulacao
0 5 100
1
Ou
tpu
t
(a)
0 5 10
0
1
2
Inp
ut
Time
0 5 100
1
Ou
tpu
t
(b)
0 5 10
0
1
2
Inp
ut
Time
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COE-736 Controle digital 514
Exemplo 7 O zero do processo e mantido (nao realocado).
Modelo : Hm(z) =K ′
m(z − b)
z2 + p1z + p2K ′
m = 1+p1+p2
1−b
B = K(z − b) ⇒ B− = K(z − b) (nao cancela) B+ = 1
Bm = B′mB− = K ′
m(z − b) ⇒ B′m =
K ′m
K
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COE-736 Controle digital 515
Projeto sem integradores ⇒ l = 0
Grau do polinomio do observador :
deg A0 ≥ 2 deg A︸ ︷︷ ︸
4
−deg Am︸ ︷︷ ︸
2
−deg B+
︸ ︷︷ ︸
0
−1 ⇒ deg A0 ≥ 1
Escolhemos A0 = z (Deadbeat)
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COE-736 Controle digital 516
deg S = deg A − 1 = 1 ⇒ S = s0z + s1
deg R′ = deg A0︸ ︷︷ ︸
1
−deg Am︸ ︷︷ ︸
2
−deg A︸ ︷︷ ︸
2
= 1 ⇒ R = R′ = z + r1
Substituindo-se os polinomios na identidade
AR + BS = A0Am
temos :
(z − 1)(z − a)(z + r1) + K(z − b)(s0z − s1) = z(z2 + p1z + p2)
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COE-736 Controle digital 517
A solucao da identidade :
(z − 1)(z − a)(z + r1) + K(z − b)(s0z − s1) = z3 + p1z2 + p2z
e obtida com : r1 = −b +b(b2 + p1b + p2)
(b − 1)(b − a)
s0 =a3 + p1a
2 + p2a
K(a − b)(a − 1)−
Km
K(a − 1)
s1 = −a3 + p1a
2 + p2a
K(a − b)(a − 1)+
Km
K(a − 1)
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COE-736 Controle digital 518
Finalmente, T = B′mA0 ⇒ T =
Km
Kz = t0z
Lei de controle : u(k) = t0uc(k) − s0y(k) − s1y(k − 1) − r1u(k − 1)
⋆ Mesma forma. Mudaram apenas os coeficientes.
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COE-736 Controle digital 519
Simulacao
0 5 100
1
Ou
tpu
t
(a)
0 5 10
0
1
2
Inp
ut
Time
0 5 100
1
Ou
tpu
t
(b)
0 5 10
0
1
2
Inp
ut
Time
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COE-736 Controle digital 520
Sensibilidade a erros de modelagem
Os modelos utilizados para projeto sao usualmente inacurados.
Modelo da planta : H =B
A
Modelo verdadeiro/real : H0 =B0
A0
Questao : em que condicoes um projeto feito para o modelo nominal H
funciona (e estavel) quando aplicado ao sistema real H0?
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COE-736 Controle digital 521
Revisao do Capıtulo 3
No Capıtulo 3 foi visto uma realimentacao unitaria.
≡H0 S0+
−
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COE-736 Controle digital 522
A condicao para estabilidade do sistema a laco fechado e :
(1) S estavel
(2) H e H0 possuem o mesmo numero de polos instaveis
(3) |H0 − H| < |1 + H| para |z| = 1
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COE-736 Controle digital 523
−1
0
||Hn||||1 + Hn||
Im
Re
max ||Hr − Hn||
Figura 91: Interpretacao geometrica da relacao |H0 − H| < |1 + H|.
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COE-736 Controle digital 524
No caso do controle 2DOF, tem-se,
Hff +−
H
Hfb
≡ Hm
Hff +−
H0
Hfb
≡ H0m
⋆ Interessa garantir a estabilidade de H0m.
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COE-736 Controle digital 525
Teorema. H0m e estavel se :
(1) Hm e estavel
(2) H e H0 possuem o mesmo numero de polos instaveis
(3) |H − H0| <
∣∣∣∣
HT
HmS
∣∣∣∣=
∣∣∣∣
H
Hm
∣∣∣∣
∣∣∣∣
Hff
Hfb
∣∣∣∣
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COE-736 Controle digital 526
Prova : A condicao acima pode ser colocada na forma
|Hl − H0l | < |1 + Hl| com Hl = HHfb e H0
l = H0Hfb
A estabilidade segue pelo Teorema 5.4.
Obs. A relacao acima e satisfeita automaticamente se
|Hl| < 1/3
|H0l | < 1/3
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COE-736 Controle digital 527
Aspectos praticos
Como determinar/especificar Hm e A0 ?
Especificacoes de desempenho : ζ e ω
Sistema de 2a. ordem : P (z) = z2 + p1z + p2
onde : p1 = −2e−ζωh cos(ωh√
1 − ζ2 e p2 = e−2ζωh
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COE-736 Controle digital 528
Portanto :
Hm =P (1)
B−(1)
B−(z)
zdP (z)
onde zd e o atraso ja existente na planta. Nao pode ser tirado.
O esforco de controle pode ser estimado pela relacao
u =Hm
Huc
⇒ Quanto maior a banda passante desejada, maior o es-
forco de controle necessario.
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COE-736 Controle digital 529
Efeito do polinomio A0
Exemplo 8 Sistema de primeira ordem sem observador
u 0.1
z − 1
y
ev
−2
2uc
++
++
++
Figura 92: Diagrama de blocos com perturbacoes v e e.
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COE-736 Controle digital 530
Planta : H(z) =0.1
z − 1Modelo : Hm(z) =
0.2
z − 0.8
Observador : A0 = 1
Lei de controle : u(k) = 2uc(k) − 2y(k)
Malha fechada : y =0.2
z − 0.8uc +
0.1
z − 0.8v −
0.2
z − 0.8e
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COE-736 Controle digital 531
0.01 0.1 1 10
0.1
1
Ga
in
Frequency, rad/s
(a)
0.01 0.1 1 10
0.1
1
Ga
in
Frequency, rad/s
(b)
Figura 93: Diagrama de magnitude de |Hv| e |He|.
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COE-736 Controle digital 532
Exemplo 9 Mesmo sistema de primeira ordem com observador
Planta : H(z) =0.1
z − 1
Modelo : Hm(z) =0.2
z − 0.8
Observador : A0 = z − a
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COE-736 Controle digital 533
Lei de controle : Tu(k) = Ruc(k) − Sy(k)
com : R = z − 1
S = (12 − 10a)z + (8a − 10)
T = 2(z − a)
Malha fechada :
y =0.2
z − 0.8uc +
0.1(z − 1)
(z − a)(z − 0.8)v −
(1.2 − a)z − 1 + 0.8a
(z − a)(z − 0.8)e
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COE-736 Controle digital 534
0.01 0.1 1 10
0.1
1
Ga
in
Frequency, rad/s
(a)
0.01 0.1 1 10
0.1
1
Ga
inFrequency, rad/s
(b)
Figura 94: Diagrama de magnitude de |Hv| e |He|.
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UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro
COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
PEE Programa de Engenharia Eletrica
COE-736 Controle digital
Capıtulo # 6
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COE-736 Controle digital 536
6 Metodologia de projeto
...
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COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
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COE-736 Controle digital
Capıtulo # 7
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COE-736 Controle digital 538
7 Amostragem de sinais contınuos
Conteudo 1. Introducao
2. Representacao no domınio da frequencia
3. Reconstrucao de sinais
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COE-736 Controle digital 539
7.1 Introducao
⋆ Sinais discretos aparecem em muitas situacoes praticas.
⋆ Situacao mais comum : amostragem de sinais contınuos .
⋆ O processamento de sinais contınuos pode ser implementado fazendo-se
• amostragem
• processamento discreto das sequencias e
• reconstrucao do sinal contınuo processado.
⋆ Sob certas condicoes, um sinal contınuo pode ser adequadamente represen-
tado por suas amostras.
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COE-736 Controle digital 540
Historico
Nyquist (1928) : Observou que era possıvel reconstruir uma senoide a
partir de suas amostrar se a frequencia de amostragem
fosse maior do que 2 vezes a frequencia do sinal.
Shannon (1949) : Formalizou o resultado (apresentado nesse capıtulo).
Kotelnikov (1933) : Introduziu o resultado na literatura Sovietica.
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COE-736 Controle digital 541
7.2 Amostragem
⋆ Metodo mais usual : amostragem periodica .
Sequencia amostrada : x(k) = xc(kh)
h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . intervalo de amostragem
fs =1
h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . frequencia de amostragem
ωs = 2πfs =2π
h. . . . frequencia angular de amostragem
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COE-736 Controle digital 542
C/Dx(t) x(k) = xc(kh)
h
Figura 95: Conversor Contınuo/Discreto ideal .
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COE-736 Controle digital 543
Modelagem matematica
⋆ E conveniente separar o processo de amostragem em 2 etapas :
• Modulador por trem de impulsos
• Conversor de trem de impulsos para sequencias
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COE-736 Controle digital 544
Conversor de trem
xs(t) x(k) = xc(kh)
×xc(t)
Conversor C/D
s(t)
de impulsos para
sequencia discreta
Figura 96: Representacao : Modulador + conversor.
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COE-736 Controle digital 545
k
x(k)
t
x(t)s(t)
−3h −2h −h h 2h 3h 4h
−3 −2 −1 1 2 3 4
Figura 97: Modulacao e amostragem.
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COE-736 Controle digital 546
⋆ A saıda do modulador xs(t) e um trem de impulsos (sinal contınuo).
⋆ A saıda do conversor x(k) e uma sequencia (sinal discreto).
⋆ Essa representacao matematica da operacao de amostragem permite obter
de maneira mais simples alguns resultados.
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COE-736 Controle digital 547
Reconstrucao
⋆ Em geral, nao e possıvel reconstruir o sinal contınuo a partir de suas
amostras.
Problema : Muitos sinais contınuos produzem as mesmas sequencias de
amostragem.
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COE-736 Controle digital 548
Exemplo 1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
−1
−0.5
0
0.5
1
n
Figura 98: Aliasing.
Script exemplo01.m .
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COE-736 Controle digital 549
Solucao Para se eliminar essa ambiguidade e necessario restringir a classe de
sinais no amostrador.
⋆ O sinal contınuo a ser amostrado deve ter banda limitada .
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COE-736 Controle digital 550
7.3 Representacao no domınio da frequencia
Para derivar a representacao no domınio da frequencia do conversor C/D ideal,
vamos inicialmente considerar a modulacao por trem de impulsos de xc(t).
×xc(t)
s(t)
xs(t)
Figura 99: Modulacao por trem de impulsos.
Trem de impulsos : s(t) =
∞∑
k=−∞
δ(t − kh)
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COE-736 Controle digital 551
Sinal modulado :
xs(t) = xc(t) s(t)
= xc(t)
∞∑
k=−∞
δ(t − kh)
Usando propriedade da funcao impulso (Delta de Dirac) :
xs(t) = xc(t)
∞∑
k=−∞
δ(t − kh)
=
∞∑
k=−∞
xc(kh) δ(t − kh)
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COE-736 Controle digital 552
⋆ s(t) e um sinal periodico com frequencia ωs =2π
h.
Transformada de Fourier de s(t) :
S(jω)
=2π
T
∞∑
k=−∞
δ(ω − kωs)
Portanto,
Xs
(jω)
=1
2πXc
(jω)∗ S(jω)
ou melhor,
Xs
(jω)
=1
T
∞∑
k=−∞
Xc
(jω − kjωs
)
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COE-736 Controle digital 553
Interpretacao
−ω0 ω0 ω
· · · · · ·
ωs−ωs
ωs ω
· · · · · ·
−ωs
−ω0 ωω0
1
2ωs−2ωs
Xc(jω)
S(jω)2πT
Xs(jω)1T
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COE-736 Controle digital 554
−ω0 ω0 ω
· · · · · ·
ωs−ωs
ωs ω
· · · · · ·
−ωs
−ω0 ωω0
1
2ωs−2ωs
Xc(jω)
S(jω)2πT
Xs(jω)1T
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COE-736 Controle digital 555
7.4 Reconstrucao de sinais
Problema: Quando um sinal analogico e dado de maneira unica pelas suas
amostragens?
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COE-736 Controle digital 556
Teorema. (Shannon)
Um sinal contınuo com transformada de Fourier zero fora do inter-
valo (−ω0, ω0) e dado unicamente pelos seus valores em instantes
equidistantes se
ωs > 2ω0
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COE-736 Controle digital 557
Formula de reconstrucao
f(t) =
∞∑
k=−∞
f(k) sinc(ωs
2(t − kh)
)
sinc(x) =sin(x)
x
⋆ ωs = 2πfs , fs =1
h
⋆ ωN =ωs
2= Frequencia de Nyquist .
⋆ Formula nao causal .
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COE-736 Controle digital 558
Prova
...
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COE-736 Controle digital 559
Metodos de reconstrucao
• ZOH
• FOH preditivo
• Formula de Shannon
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COE-736 Controle digital 560
ZOH
E o metodo de reconstrucao mais simples.
f(t) = f(k)
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COE-736 Controle digital 561
Figura 100: Reconstrucao FOH.
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COE-736 Controle digital 562
FOH
Formula de reconstrucao FOH :
f(t) = f(k) +t − kh
h
(
f(k) − f(k − 1))
Desvantagem: O sinal reconstituıdo e descontınuo.
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COE-736 Controle digital 563
Figura 101: Reconstrucao FOH.
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COE-736 Controle digital 564
FOH preditivo
Formula de reconstrucao :
f(t) = f(k) +t − kh
h
(
f(k + 1) − f(k))
Para t = kh → f(t) = f(k)
Para t = kh + h → f(t) = f(k + 1)
Problema : Nao causal.
Solucao : usar predicao de f(k + 1)
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COE-736 Controle digital 565
Figura 102: Reconstrucao FOH preditivo.
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COE-736 Controle digital 566
Exemplo 1 Reconstrucao usando ZOH e formula de Shannon.
Sinal contınuo :
x(t) = 0.5 + 2 sin(0.7t + 1) + sin(1.25t + 2) + 1 sin(3.1t + 3)
Maior frequencia : 3.1 rad/s
Frequencia de amostragem : 2π rad/s
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COE-736 Controle digital 567
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5Sinal original
Figura 103: Sinal original.
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COE-736 Controle digital 568
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−3
−2
−1
0
1
2
3
4Sinal amostrado
Figura 104: Sinal amostrado.
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COE-736 Controle digital 569
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−3
−2
−1
0
1
2
3
4Reconstrucao com ZOH
Figura 105: Reconstrucao usando ZOH.
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COE-736 Controle digital 570
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5Comparacao das reconstrucoes
Figura 106: Reconstrucao usando formula de Shannon.
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COE-736 Controle digital 571
40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5Comparacao das reconstrucoes
Figura 107: Detalhe da reconstrucao usando formula de Shannon.
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COE-736 Controle digital 572
Aliasing
E um fenomeno relacionado a amostragem de sinais periodicos.
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COE-736 Controle digital 573
Filtro anti-aliasing
Para evitar o problema de aliasing, e necessario garantir que o sinal analogico (que
sera amostrado) tenha banda limitada.
Para tanto, introduz-se um Filtro Passa-Baixas antes do amostrador.
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COE-736 Controle digital 574
sinalanalogico
SensorCircuitocondicio-
nador
Filtroanalogico S&H
MUX
CAD
Relogioprogram.
Sinal decontrole
Sinaldigital
Figura 108: Sistema de aquisicao de dados.
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UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro
COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
PEE Programa de Engenharia Eletrica
COE-736 Controle digital
Capıtulo # 8
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COE-736 Controle digital 576
8 Aproximacao de controladores contınuos
Conteudo 1. Introducao
2. Metodos de aproximacao
3. Estabilidade das aproximacoes
4. Distorcao de frequencia
5. Outras aproximacoes
6. Comparacao das aproximacoes
7. Controladores PID
8. Forma incremental
9. Anti–reset windup
10. Controle bumpless
11. Controladores tipo cascata
12. Metodos de sintonia de controladores PID
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COE-736 Controle digital 577
8.1 Introducao
Situacao : O controlador analogico ja existe , funciona perfeitamente e
nao deve ser modificado.
O equipamento, no entanto, vai ser substituıdo por
um com tecnologia digital .
Problema : Substituir o controlador analogico por um controlador digital
com as mesmas propriedades .
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COE-736 Controle digital 578
Situacao : A funcao de transferencia G(s) do controlador analogico e
conhecida.
Deseja-se obter uma aproximacao discreta H(z).
Solucao : Utilizar aproximacoes para o operador de diferenciacao (s).
⋆ Se h for suficientemente pequeno , entao G(s) ≃ H(z)
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COE-736 Controle digital 579
Observacoes :
⋆ A utilizacao desta tecnica limita o desempenho do sistema aquele que se
pode obter com controladores analogicos.
⋆ As tecnicas de controle digital nao sao empregadas .
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COE-736 Controle digital 580
8.2 Metodos de aproximacao
• Aproximacao da diferenciacao
• Aproximacao da integracao
• Interpretacao das aproximacoes
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COE-736 Controle digital 581
Aproximacoes da diferenciacao
Forward ou Euler :dx(t)
dt≃
x(k + 1) − x(k)
h⇒ dx(t)
dt=
q − 1
hx(t)
t
x
k k + 1
dxdt
Euler
Figura 109: Aproximacao Forward ou Euler da derivada.
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COE-736 Controle digital 582
Backward :dx(t)
dt≃
x(k) − x(k − 1)
h⇒ dx(t)
dt=
q − 1
hqx(t)
t
x
kk − 1
dxdt
Backward
Figura 110: Aproximacao Backward da derivada.
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COE-736 Controle digital 583
Tustin : (inclinacao media)dx(t)
dt=
2(q − 1)
h(q + 1)x(t)
t
x
k k + 1k − 1
dxdt
EulerTustin
Backward
Figura 111: Aproximacao Tustin da derivada.
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 584
t
x
k k + 1k − 1
dxdt
EulerTustin
Backward
Figura 112: Comparacao das aproximacoes.
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COE-736 Controle digital 585
Exemplo 1 G(s) =1
s(s + 1)
Usando Euler : H(z) =1
(z−1
h
) (z−1
h + 1) =
h2
(z − 1)(z − 1 + h)
Usando Backward : H(z) =1
(z−1hz
) (z−1hz + 1
) =
(h2
h+1
)
z2
(z − 1)(
z − 1h+1
)
Usando Tustin : H(z) =1
(2(z−1)h(z+1)
)(2(z−1)h(z+1) + 1
) =
(h2
2(h+2
)
(z + 1)2
(z − 1)(
z + h−2h+2
)
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COE-736 Controle digital 586
Aproximacoes da integracao
Euler :
I(k) = I(k − 1) + hx(k − 1)
(1 − z−1)I(k) = hz−1x(k)
⇒ I(k) =h
z − 1x(k)
⇒ s =z − 1
ht
x
k k + 1k − 1
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COE-736 Controle digital 587
Backward :
I(k) = I(k − 1) + hx(k)
(1 − z−1)I(k) = hx(k)
⇒ I(k) =hz
z − 1x(k)
⇒ s =z − 1
hzt
x
k k + 1k − 1
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COE-736 Controle digital 588
Trapezios :
I(k) = I(k− 1)+ h2 (x(k)+x(k− 1))
(1 − z−1)I(k) = h2 (1 + z−1)x(k)
⇒ I(k) =h
2
z + 1
z − 1x(k)
⇒ s =2
h
z − 1
z + 1
t
x
k k + 1k − 1
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COE-736 Controle digital 589
Resumo : Para obter uma aproximacao discreta do controlador G(s)
basta substituir a variavel s por um dos valores de s′ dado
na tabela abaixo.
Forward ou Euler s′ =z − 1
h
Backward s′ =z − 1
hz
Tustin s′ =2
h
z − 1
z + 1
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COE-736 Controle digital 590
Interpretacao das expansoes
⋆ As aproximacoes podem ser interpretadas em termos da expansao em serie
da relacao :
z = esh
Euler : z = esh ≃ 1 + sh
Backward : z = esh ≃1
1 − sh= 1 + sh + s2h2 + · · ·
Tustin : z = esh ≃1 + 0.5sh
1 − 0.5sh= 1 + sh + 0.5s2h2 + 0.25s3h3 + · · ·
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COE-736 Controle digital 591
8.3 Estabilidade das aproximacoes
⋆ A regiao de estabilidade no plano s e mapeada no plano z pelas relacoes
que definem cada uma das aproximacoes.
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COE-736 Controle digital 592
Re
Im
Re
Im
−1/h
z = 1 + sh
Plano s Plano z
Figura 113: Regiao de estabilidade da aproximacao por Euler .
Obs. Note que os polos contınuos situados fora do cırculo de raio 1/h e
centro em −1/h sao mapeados fora do cırculo unitario.
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 593
Re
Im
−1/h
z = 11−sh
Plano s Plano z
Re
Im
Figura 114: Regiao de estabilidade da aproximacao por Backward .
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COE-736 Controle digital 594
Re
Im
−1/h
z = 1+sh/21−sh/2
Plano s Plano z
Re
Im
Figura 115: Regiao de estabilidade da aproximacao por Tustin .
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COE-736 Controle digital 595
8.4 Distorcao de frequencia
Problema : Distorcao da escala de frequencia (frequency warping) .
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COE-736 Controle digital 596
Exemplo 1 Considere uma aproximacao H(z) de G(s) via Tustin.
A resposta em frequencia e dada por:
H(ejωh) =1
jωh(1 − e−jωh)
︸ ︷︷ ︸
ZOH
G(2
h
ejωh − 1
ejωh + 1︸ ︷︷ ︸
Tustin
)
Note que :2
h
ejωh − 1
ejωh + 1=
2
h
ejωh/2 − e−jωh/2
ejωh/2 + e−jωh/2=
2j
htan(
ωh
2)
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COE-736 Controle digital 597
Exemplo 2 Discretizacao de um filtro notch G(s).
Propriedade desejada para o filtro em uma dada freq. ω′ : G(jω′) = 0
Porem, devido a distorcao : H(ejω′h) 6= 0
Quer dizer, o filtro discretizado nao eliminara a frequencia ω′ mas sim a frequencia
ω dada por :
ω′ =2
htan
(ωh
2
)
⇒ ω ≃ ω′
[
1 −(ω′h)2
12
]
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COE-736 Controle digital 598
ω′
ω2π/hπ/h
π/h
Figura 116: Curva de distorcao. Para ωh pequeno, ω ≃ ω′.
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COE-736 Controle digital 599
Correcao da distorcao
Dada uma frequencia ω1, para obter
H(ejω1h) = G(jω1)
deve-se modificar a transformacao de Tustin para
s′ =ω1
tan(ω1h2 )
z − 1
z + 1( Tustin com prewarping )
Nota. A distorcao continua para frequencias ω 6= ω1.
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 600
Exemplo 3 G(s) =1
s
Usando Tustin com prewarping, tem-se :
H(z) =tan(ω1h
2 )
ω1
z + 1
z − 1
cuja resposta em frequencia e dada por :
H(jω) =tan(ω1h
2 )
ω1
1
j tan(ωh2 )
⇒ H(ejωh) = G(jω) para ω = ω1.
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 601
Exercıcio. Mostrar queejωh + 1
ejωh − 1=
1
j tan(ωh2 )
.
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COE-736 Controle digital 602
8.5 Outras aproximacoes
• Aproximacao por degraus ( Step invariance )
• Aproximacao por rampas ( Ramp invariance )
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COE-736 Controle digital 603
Aproximacao por degraus (Step invariance)
Ideia : Usar a tecnica de obtencao do equivalente ZOH.
Aproximacao : Supoe-se que exista um ZOH na frente do bloco do
controlador.
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 604
Equiv. ZOH︷ ︸︸ ︷
⇓
C(s)y(t) u(t)
C(z) ZOH G(s) A/Du(k) u(t) y(t)y(k) y(k)
Figura 117: Aproximacao por degraus.
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 605
Aproximacao por rampas (Ramp invariance)
Ideia : Usar a tecnica de obtencao do equivalente FOH.
Aproximacao : Supoe-se que exista um FOH na frente do bloco do
controlador.
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 606
h 2h 3h
Figura 118: Aproximacao por rampas.
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COE-736 Controle digital 607
8.6 Comparacao das aproximacoes
(...)
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 608
8.7 Controladores PID
Conteudo 1. Versao academica
2. Modificacao #1 : Eliminacao dos impulsos
3. Modificacao #2 : Eliminacao da derivacao pura
4. Modificacao #3 : Suavizacao do termo proporcional
5. Versao pratica
6. Discretizacao do PID
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COE-736 Controle digital 609
Versao academica
⋆ A grande maioria dos controladores industriais e do tipo PID.
⋆ Atualmente, todos os PID’s sao implementados digitalmente .
Vantagens : (1) Simplicidade de sintonia
(2) Bem conhecido pelos tecnicos
A forma geral do PID ( versao academica ) e:
u(t) = K
[
e(t) +1
Ti
∫ t
0
e(s)ds + Tde(t)
]
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COE-736 Controle digital 610
yuuc e
Tds
1
TisK Processo+
−
++
+
Figura 119: Diagrama de blocos do PID versao academica.
Nomenclatura : K — ganho proporcional
Ti — tempo integral ou de reset
Td — tempo derivativo
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 611
Modificacao 1 : Eliminacao de uc.
O termo derivativo pode ser escrito como:
Td e = Td(uc − y)
Problema : Nos sistemas controlados por computador o set-point
uc e descontınuo.
Portanto, o sinal uc pode conter impulsos .
Solucao : Eliminar o sinal uc da sinal de comando, i.e.,
Td e → −Td y
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 612
Modificacao 2 : Substituicao do termo Td s.
Problema : A variavel y e usualmente medida com ruıdo.
O termo derivativo −Td y nao pode ser dire-
tamente implementado devido ao problemas de
amplificacao do ruıdo .
Solucao : Na pratica utiliza-se a aproximacao :
Td s ≈Td s
1 + Td sN
onde N e um parametro na faixa [3,20].
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 613
Note que,Td s
1 + Td sN
=N
NTd s + 1
→ N quando ω → ∞
Quer dizer, N e o limite de amplificacao do ruıdo .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 614
Modificacao 3 : Reducao do termo proporcional.
Problema : Em certas aplicacoes um erro proporcional e = uc − y
muito grande pode causar overshoot inaceitavel.
Solucao : Reduzir o erro proporcional introduzindo-se o parametro b , i.e.,
uc − y → buc − y b < 1
⋆ O parametro b diminui o efeito de variacoes bruscas de uc.
⋆ O erro de regime deve ser compensado pelo termo integral.
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 615
Versao pratica
Uma versao pratica do PID e :
u = K
[
buc − y +1
Tise −
Tds
1 + TdsN
y
]
⋆ Existem muitas outras variantes que nao serao discutidas aqui.
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 616
Discretizacao do PID
⋆ A discretizacao pode ser obtida por qualquer metodo de aproximacao dis-
cutido (Tustin, Euler, etc.)
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 617
Exemplo 1 Discretizacao “especial” do PID.
A lei de controle PID pode ser escrita como :
u(t) = P (t) + I(t) + D(t)
onde : P (t) = K [buc(t) − y(t)]
I(t) =K
Tise(t)
D(t) = −KTds
1 + TdsN
y(t)
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COE-736 Controle digital 618
O termo proporcional nao precisa de aproximacao :
P (k) = K [buc(k) − y(k)]
O termo integral pode ser aproximado por Euler :
I(k + 1) = I(k) +Kh
Tie(k)
Para o termo derivativo pode-se usar Backward. :
D(k) =Td
Td + NhD(k − 1) −
KTdN
Td + Nh[y(k) − y(k − 1)]
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COE-736 Controle digital 619
O resultado da discretizacao e dado por :
u(k) = P (k) + I(k) + D(k)
Obs. A vantagem desse procedimento e que cada um dos termos
e obtido separadamente.
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COE-736 Controle digital 620
Exemplo 2 Discretizacao do PID usando Euler .
Aproximacao Euler : s →z − 1
h
O resultado e
u(k) = K
[
buc(k) − y(k) +h
Ti(z − 1)e(k) −
N(z − 1)
Nh + Td(z − 1)y(k)
]
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COE-736 Controle digital 621
Definindo-se : A = 1 −Nh
Td
Pode-se reescrever o PID na seguinte forma (polinomial) :
(z − 1)(z − A)u(k) = Kb(z − 1)(z − A)uc(k) − K(z − 1)(z − A)y(k)+
+Kh
Ti(z − A)e(k) −
KN
Td(z − 1)2y(k)
= Kb(z + A)
(
z − 1 +h
Tib
)
uc(k)−
− K
[
(z − A)
(
z + 1 +h
Ti
)
+N
Td(z − 1)2
]
y(k)
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COE-736 Controle digital 622
A forma geral para a expressao anterior e :
R(z)u(k) = T (z)uc(k) − S(z)y(k)
onde : R(z) = (z − 1)(z − A)
S(z) = s2z2 + s1z + s0
T (z) = t2z2 + t1z + t0
⋆ As formas discretizadas sao similares .
⋆ Os coeficientes variam ligeiramente e sao mais proximos se h → 0.
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COE-736 Controle digital 623
Tabela de coeficientes
Coeficiente Especial Tustin Aproximacao por rampas
ATd
Nh + Td
2Td − Nh
2Td + Nhe−
NhTd
s0 K(1 + NA) K
1 +
h
Ti
NA
!K(1 +
h
Ti
NA)
s1 −K(1 + A + 2NA −
h
Ti
) −K(1 + A + 2NA −
h(1 − A)
Ti
) −K(1 + A + 2NA −
h(1 − A)
Ti
)
s2 K(A + NA −
Ah
Ti
) K(A + NA −
Ah
Ti
) K(A + NA −
Ah
Ti
)
t0 Kb K(b +h
Ti
) K(b +h
Ti
)
t1 −K(b(1 + A) −
h
Ti
) −K(b(1 + A) −
h(1 − A)
Ti
) −K(b(1 + A) −
h(1 − A)
Ti
)
t2 KA(b −
h
Ti
) KA(b −
h
Ti
) KA(b −
h
Ti
)
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COE-736 Controle digital 624
8.8 Forma incremental
Ate agora, os algoritmos de controle PID estudados estavam em uma forma
denominada posicional .
Algoritmo PID posicional : R(z)u(k) = T (z)uc(k) − S(z)y(k)
⋆ Nessa forma, o sinal de controle u(k) calculado e absoluto.
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COE-736 Controle digital 625
Problema : O controle de processos industriais sao usualmente iniciados
por um operador humano .
O operador gera um sinal de comando manual uM .
Ao atingir o ponto desejado de operacao, o operador liga o
PID que passa a gerar um sinal de comando automatico UA.
Se uM 6= uA, pode-se gerar um transitorio muito grande no
momento do chaveamento (fenomeno chamado bump ).
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COE-736 Controle digital 626
Solucao : Utilizar a forma incremental do PID.
⋆ Nessa forma apenas um incremento de controle ∆u(k) e calculado a cada
instante.
⋆ Na passagem do modo Manual para Automatico so ocorrera um tran-
sitorio de um incremento.
⋆ E necessario um acumulador para gerar o sinal de controle total u(k).
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COE-736 Controle digital 627
Partindo da forma posicional : R(z)u(k) = T (z)uc(k) − S(z)y(k)
tem-se :
(z − A)(z − 1)u(k) = T (z)uc − S(z)y
(z − A)∆u(k + 1) = T (z)uc − S(z)y
onde :
∆u(k + 1) = u(k + 1) − u(k)
Obs. Se o algoritmo for P ou PD, nao aparece o termo (z − 1) no mem-
bro esquerdo e, portanto podem ocorrer problemas para a sua imple-
mentacao.
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COE-736 Controle digital 628
Figura 120: Forma posicional × Forma incremental.
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COE-736 Controle digital 629
8.9 Anti–reset windup
⋆ Na pratica, todo atuador possui um nıvel de saturacao.
⋆ Um regulador com acao integral (PI ou PID) combinado com um
atuador saturado pode geral efeitos indesejaveis.
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COE-736 Controle digital 630
Exemplo 1 Controle PI de um sistema de 1a. ordem.
euc yusu+
−
PI1
s
G(s)saturacao
Figura 121: Controle PI + saturacao.
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COE-736 Controle digital 631
A FT em malha fechada dentro da regiao linear e (Script ft mf.m ) :
H(s) =Ks + K
Ti
s2 + Ks + KTi
Funcao de transferencia de um sistema de 2a. ordem padrao :
F (s) =ω2
0
s2 + 2ζω0s + ω20
Comparando as expressoes acima, tem-se que :
ω20 =
K
Ti⇒ Ti =
K
ω20
K = 2 ζ ω0
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COE-736 Controle digital 632
Em malha fechada : K = 2 ζ ω0 e Ti =K
ω20
Para obter : ζ = 1.0 e ω0 = 1.0
escolhemos : K = 2 e Ti = 2
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COE-736 Controle digital 633
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
y(t)
0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5
0
0.5
1
1.5
2
u(t)
t
ζ = 1
ω0 = 1
K = 2
Ti = 2
Figura 122: Resposta do sistema sem saturacao. Script simu1.m .
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COE-736 Controle digital 634
Hipotese : uc e um degrau de amplitude relativamente grande aplicado
por um perıodo de tempo suficientemente longo para que o
sistema sature.
euc yusu+
−
PI1
s
G(s)saturacao
Nestas condicoes : uc grande ⇒ e grande ⇒ u grande ⇒ us saturado ⇒
e permanece grande ⇒ aumenta ainda mais u ⇒ · · · ⇒
longo tempo para voltar ao normal.
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COE-736 Controle digital 635
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
1
1.5
2y(
t)
0 5 10 15 20 25 30 35 40−2
0
2
4
6
u sat(t
)
t
ζ = 1
ω0 = 1
K = 2
Ti = 2
umin = −0.1
umax = 0.1
Figura 123: Resposta do sistema com saturacao. Script simu2.m .
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COE-736 Controle digital 636
Solucao : Parar de integrar quando o atuador satura.
⋆ Esta estrategia e denominada (anti–reset windup) .
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COE-736 Controle digital 637
Outra solucao : Realimentacao segundo o diagrama abaixo.
K
Ti
1
s
K
KTdsy
e
1
Tt
Atuador
u
es
v
− +
++
+
++
Figura 124: Anti–reset windup. A saıda do atuador e medida.
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COE-736 Controle digital 638
e u
es
v
KTds
K ++
+
− +1
s
K
Ti
++
Atuador
1
Tt
y
Modelo doatuador
Figura 125: Anti–reset windup utilizando um modelo do atuador.
⋆ Esta e uma estrategia que pode ser aplicada a qualquer tipo de saturacao.
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COE-736 Controle digital 639
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
1
1.5
2y(
t)
0 5 10 15 20 25 30 35 40−2
0
2
4
6
u sat(t
)
t
ζ = 1
ω0 = 1
K = 2
Ti = 2
Tt = 1
umin = −0.1
umax = 0.1
uMmin= −0.1
uMmax= 0.1
Figura 126: Resposta do sistema com saturacao e anti- windup. Script simu3.m .
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COE-736 Controle digital 640
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
1
1.5
2y(
t)
0 5 10 15 20 25 30 35 40−2
0
2
4
6
u sat(t
)
t
ζ = 1
ω0 = 1
K = 2
Ti = 2
Tt = 1
umin = −0.1
umax = 0.1
uMmin= −0.5
uMmax= 0.5
Figura 127: Resposta do sistema com saturacao e anti- windup. Script simu4.m .
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COE-736 Controle digital 641
yuy
To Workspace2
u_sat
To Workspace1
r
Set point
SaturationPID
num(s)
den(s)
G(s)
Figura 128: Diagrama de blocos do sistema usando Matlab/Simulink.
Script anti reset1.mdl .
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COE-736 Controle digital 642
r
y
PID controller with set point weighting and anti−windup.
e I
P
D
1
u
b
set point weighting
v
To Workspace2
u
To Workspace1
Saturation
K
Proportional
1
Ti.s
Integrator
−Tds
Td/N.s+1
Derivative
1/Tt
Anti Windup Gain
2
y
1
r
Figura 129: Expansao do bloco PID.
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COE-736 Controle digital 643
8.10 Controle bumpless
Vide Figura 8.12.
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COE-736 Controle digital 644
8.11 Controladores tipo cascata
Kp Kd F (s)1
s
x x+−
+−
Figura 130: Controlador PD.
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COE-736 Controle digital 645
Kp21
s
x x+−
+−
Kp1 +Ki
sF (s)
Figura 131: Controlador P-PI.
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COE-736 Controle digital 646
PID PID F (s)1
s
x x+−
+−
Figura 132: Controlador PID-PID.
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COE-736 Controle digital 647
Exemplo 1 Simulacao de um controlador PID aplicado a uma planta de
3a. ordem com atraso dominante.
u y
Scope
r
Referencia
u y
Planta
r
y
u
PID
Mux
Mux 2
Figura 133: Malha de controle.
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COE-736 Controle digital 648
Planta de 3a. ordem com atraso dominante
yu1
y
y
To Workspace
2
Ganho
1
10s+1
Bloco 3
1
20s+1
Bloco 2
1
40s+1
Bloco 1 Atraso
1
u
Figura 134: Planta de 3a. ordem com atraso dominante.
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COE-736 Controle digital 649
CONTROLADOR PID DISCRETO
e
1
u
u
To Workspace
1
1
Termo P
numI(z)
denI(z)
Termo I
numD(z)
denD(z)
Termo D
Sum2
Sum1Kp
Ganho
2
y
1
r
Figura 135: Controlador PID discreto.
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COE-736 Controle digital 650
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4y(t)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75u(t)
Figura 136: Simulacao do PID contınuo.
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COE-736 Controle digital 651
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4y(t)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−4000
−2000
0
2000
4000
6000u(t)
Euler
h = 0.5
h = 3
Figura 137: Simulacao do PID discreto. (Script fig forward.m ).
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COE-736 Controle digital 652
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4y(t)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1u(t)
Backward
h = 0.5
h = 20
Figura 138: Simulacao do PID discreto. (Script fig backward.m ).
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COE-736 Controle digital 653
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4y(t)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000.4
0.5
0.6
0.7
0.8u(t)
Tustin
h = 0.5
h = 20
Figura 139: Simulacao do PID discreto. (Script fig tustin.m ).
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COE-736 Controle digital 654
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4y(t)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1u(t)
Forward
h = 2
Backward
h = 20
Tustin
h = 20
Figura 140: Comparacao das aproximacoes. (Script fig comparacao.m ).
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COE-736 Controle digital 655
8.12 Metodos de sintonia de controladores PID’s
Metodos bem conhecidos utilizados na pratica para ajustar experimentalmente os
parametros do PID :
• Metodo da resposta ao degrau
• Metodo de sensibilidade de Ziegler-Nichols
• Metodo do rele de Astrom-Haglund
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COE-736 Controle digital 656
Metodo da resposta ao degrau
Aplicacao : Plantas de 1a. ordem com atraso.
G(s) =Ke−ds
τs + 1
⋆ Os parametros sao obtidos pela analise da resposta da planta ao degrau.
⋆ Para aplicar o metodo e necessario determinar-se experimentalmente o
parametro L.
⋆ L e denominado atraso aparente .
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COE-736 Controle digital 657
Figura 141: Figura 8.13. e Tabela 8.2.
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COE-736 Controle digital 658
Metodo de sensibilidade de Ziegler-Nichols
Ideia do metodo : Levar o sistema a uma oscilacao constante
(limite de estabilidade).
Isso permite determinar o ponto em que a
curva de Nyquist (resposta em frequencia)
cruza o eixo real.
⋆ Para aplicar o metodo e necessario fechar a malha de controle somente com
um ganho proporcional.
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COE-736 Controle digital 659
Do experimento determina-se :
• Ganho crıtico (Ku) - E o ganho necessario para atingir o limite de estabili-
dade.
• Perıodo crıtico (Tu) - E o perıodo de oscilacao observado no experimento.
A Tabela 8.3 fornece os parametros do PID.
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COE-736 Controle digital 660
Figura 142: Tabela 8.3.
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UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro
COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
PEE Programa de Engenharia Eletrica
COE-736 Controle digital
Capıtulo # 9
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 662
9 Implementacao de controladores digitais
...
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UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro
COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
PEE Programa de Engenharia Eletrica
COE-736 Controle digital
Capıtulo # 10
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 664
10 Modelos de disturbios
Objetivo : Fazer um tratamento sistematico dos disturbios.
Conteudo deste capıtulo :
Metodos para reduzir o efeito de disturbios :
• Feedback
• Feedforward
• Predicao
Modelagem estocastica de disturbios.
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COE-736 Controle digital 665
Metodos para reducao dos efeitos dos disturbios
• Reducao das fontes geradoras de disturbios
• Reducao via feedback de alto ganho
• Reducao via feedforward
Neste caso, o disturbio e medido .
• Reducao via predicao
Extensao do metodo anterior para o caso em que o disturbio nao pode ser
medido.
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COE-736 Controle digital 666
Disturbios determinısticos
Para caracterizar o problema, vamos tomar o exemplo abaixo.
Exemplo 1 Preditor para um sinal degrau.
y(k + m | k) = y(k)
Note que o sinal sera previsto sem erro a partir do instante k = m + 1
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COE-736 Controle digital 667
⋆ O problema com o preditor do exemplo anterior e que o sinal a ser
“previsto” e muito regular.
⋆ O exemplo nao esta de acordo com a nocao intuitiva de que um disturbio e
muito difıcil de ser previsto.
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COE-736 Controle digital 668
Solucao : Usar um modelo mais realista do disturbio.
• O disturbio e gerado por um sistema dinamico linear
• A entrada do gerador de disturbio sao pulsos isolados,
espacados de pelo menos n intervalos
• O instante de aplicacao do pulso e desconhecido
• A amplitude do pulso tambem e desconhecida
⋆ Os sinais gerados dessa forma sao denominados
sinais determinısticos por partes .
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COE-736 Controle digital 669
Signal y
Prediction y
LEGEND
Figura 143: Sinal determinıstico por partes.
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COE-736 Controle digital 670
Signal y
Prediction y
LEGEND
Figura 144: Sinal determinıstico por partes.
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COE-736 Controle digital 671
Modelos estocasticos de disturbios
⋆ Os disturbios serao gerados por sistema lineares excitados com
ruıdo branco .
⋆ Vamos comecar revendo alguns topicos da teoria de processos aleatorios.
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COE-736 Controle digital 672
Processos estocasticos
Revisao de conceitos : Material avulso
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COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
PEE Programa de Engenharia Eletrica
COE-736 Controle digital
Capıtulo # 11
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COE-736 Controle digital 674
11 Projeto otimo: enfoque por variaveis de estado
Conteudo 1. Introducao
2. Controle linear quadratico
3. Filtro de Kalman
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COE-736 Controle digital 675
11.1 Introducao
Neste capıtulo considera-se um problema mais geral de controle.
A planta e linear porem pode ser :
• variante no tempo
• multivariavel
Os modelos incluem :
• ruıdos de estado
• ruıdos de medicao
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COE-736 Controle digital 676
⋆ O problema de sıntese e formulado de maneira a minimizar um criterio que
e uma funcao quadratica dos estados e dos sinais de controle.
Sao considerados :
1. Problema de controle Linear Quadratico ( LQ )
2. Problema de controle Linear Quadratico Gaussiano ( LQG )
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COE-736 Controle digital 677
Problema de controle Linear Quadratico (LQ)
Hipotese para a solucao : o estado e mensuravel .
A estrategia de controle gerada e otima pois e sintetizada
de maneira a minimizar um criterio que e uma funcao
quadratica dos estados e dos sinais de controle.
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COE-736 Controle digital 678
Problema de controle Linear Quadratico Gaussiano (LQG)
Neste caso, somente as saıdas da planta sao mensuraveis.
Para reconstruir o estado utiliza-se um
observador otimo denominado filtro de Kalman .
⋆ O termo gaussiano se deve ao modelo utilizado para os ruıdos.
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COE-736 Controle digital 679
No capıtulo 4 :
• Problema formulado de modo a satisfazer um criterio de estabilidade
• Dificuldade : escolha dos polos de malha fechada
Neste capıtulo :
• Problema formulado de modo a satisfazer um criterio de otimalidade
• Dificuldade : escolha das matrizes de ponderacao
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COE-736 Controle digital 680
Formulacao do problema
Modelo do processo : dx = Axdt + Budt + dv
onde A e B sao matrizes variantes no tempo.
O processo estocastico v tem : • media nula
• covariancia incremental R1cdt
• incrementos descorrelacionados
Cuidado : Sistema variante no tempo.
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COE-736 Controle digital 681
Modelo discreto do sistema :
(Equivalente ZOH)
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) + v(k)
y(k) = Cx(k) + e(k)
Hipotese : v(k) e e(k) sao ruıdos brancos Gaussianos com
E v(k) = 0
E e(k) = 0
E v(k)vT (k) = R1 R1 ≥ 0
E v(k)eT (k) = R12
E e(k)eT (k) = R2 R2 ≥ 0
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COE-736 Controle digital 682
Hipotese : A condicao inicial x(0) tem distribuicao Gaussiana com
• E x(0) = m0
• cov(
x(0))
= E(
x(0) − m0
)(
x(0) − m0
)T
= R0, R0 ≥ 0
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COE-736 Controle digital 683
Criterio
O criterio quadratico adotado tem a forma :
J = E
N−1∑
k=0
x(k)
u(k)
T
Q1 Q12
QT12 Q2
x(k)
u(k)
+ xT (N)Q0x(N)
onde : Q0 = QT0 ≥ 0
Q1 = QT1 ≥ 0
Q2 = QT2 > 0
⋆ Note que J nao e funcao de u(N) !
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COE-736 Controle digital 684
Problema : encontrar u(k) que minimize o funcional J .
Parametros de projeto : • Intervalo de amostragem h
• Matrizes Q0, Q1 e Q2
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COE-736 Controle digital 685
Completando os quadrados
⋆ Neste capıtulo veremos varias vezes o problema de minimizacao de funcoes
quadraticas.
O resultado a seguir e fundamental .
Problema : Queremos encontrar u que minimize o seguinte criterio
J(x, u) =[
xT uT]
Qx Qxu
QTxu Qu
x
u
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COE-736 Controle digital 686
Suponha que exista uma matrix L satisfazendo
QuL = QTxu
Entao, o criterio pode ser escrito como
J(x, u) =[
xT uT]
Qx Qxu
QTxu Qu
x
u
= xT Qxx + xT Qxuu + uT QTxux + uT Quu
= xT Qxx + xT LT Quu + uT QuLx + uT Quu
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COE-736 Controle digital 687
Observamos que
(u + Lx)T Qu(u + Lx) = uT Quu + xT LT Quu + uT QuLx + xT LT QuLx
ou melhor
uT Quu + xT LT Quu + uT QuLx = (u + Lx)T Qu(u + Lx) − xT LT QuLx
Substituindo esta ultima relacao na expressao de J , tem-se :
J(x, u) = xT(Qx − LT QuL
)x + (u + Lx)T Qu(u + Lx)
⋆ Este procedimento e chamado de completando os quadrados .
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COE-736 Controle digital 688
Apos completar os quadrados :
J(x, u) = xT(Qx − LT QuL
)x + (u + Lx)T Qu(u + Lx)
Como J(x, u) ≥ 0 ⇒ os 2 termos sao ≥ 0 .
Portanto, o mınimo e obtido quando : u = −Lx
A matriz L e unica se Qu > 0 : L = Q−1u QT
xu
O mınimo procurado e dado por : Jmin = xT(Qx − LT QuL
)x
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COE-736 Controle digital 689
11.2 Controle linear quadratico (LQ)
Hipotese : O estado e medido.
Vamos considerar 2 casos separadamente :
• Caso determinıstico (sem disturbios)
• Caso estocastico (com disturbios)
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COE-736 Controle digital 690
Caso determinıstico
Neste caso (sem disturbios) :
• v(k) = 0
• e(k) = 0
Modelo do sistema :x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
y(k) = Cx(k)
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COE-736 Controle digital 691
Princıpio da otimalidade
Princıpio : “Uma estrategia otima tem a propriedade de,
qualquer que seja o estado inicial e
qualquer que seja a decisao inicial ,
as decisoes seguintes devem ser otimas em relacao ao estado
resultante da primeira decisao.”
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COE-736 Controle digital 692
⋆ Este princıpio captura a ideia de recursividade .
⋆ Note que o passado remoto nao e explicitamente considerado.
⋆ Exemplo: modelo discreto do SDLIT.
Toda informacao do passado esta no estado anterior.
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COE-736 Controle digital 693
Utilizacao do princıpio
1. Inicia-se o algoritmo pelo instante final k = N e retrocede-se no tempo .
Dessa forma, e possıvel determinar a melhor lei de controle para o ultimo passo,
independentemente de como o estado no instante k = N − 1 foi atingido.
2. Itera-se retroativamente ate o instante k = 0.
No final obtem-se a estrategia de controle otimo .
⋆ Este procedimento e denominado programacao dinamica e foi introduzido
por Bellman.
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COE-736 Controle digital 694
Teorema. (Controle LQ de um sistema determinıstico)
Seja a equacao de Riccati :
S(k) = ΦT S(k + 1)Φ + Q1−
−(
ΦT S(k + 1)Γ + Q12
)(
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
)−1(
ΓT S(k + 1)Φ + QT12
)
com condicao final : S(N) = Q0
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COE-736 Controle digital 695
Se : Q0 ≥ 0 e Q2 + ΓT S(k)Γ > 0
Entao ∃ uma unica lei de controle : u(k) = −L(k)x(k)
onde : L(k) =(
Q2 + ΓT S(k + 1)Γ)−1(
ΓT S(k + 1)Φ − QT12
)
que minimiza o funcional J .
Alem disso :
• minJ = V0 = xT (0)S(0)x(0)
• S(k) ≥ 0
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COE-736 Controle digital 696
Prova.
Ideia : Usar programacao dinamica .
t0 k − 1 k N
Vk
Direcao das iteracoes
Figura 145: Procedimento de aplicacao da programacao dinamica.
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COE-736 Controle digital 697
Vamos chamar Vk o custo entre os instante k e N (loss-to-go) :
Vk = minu(k),...,u(N−1)
N−1∑
i=k
x(i)
u(i)
T
Q1 Q12
QT12 Q2
x(i)
u(i)
+ xT (N)Q0x(N)
Interpretacao : Vk e a parcela do funcional que precisa ser minimizada entre
os instantes k e N .
⋆ Essa minimizacao devera fornecer a sequencia de controle u(k), . . . , u(N − 1) .
⋆ Note que Vk e uma funcao de x(k) (estado no instante k).
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COE-736 Controle digital 698
Para k = N , temos que : VN = xT (N)S(N)x(N) = xT (N)Q0x(N)
Como Q0 ≥ 0 , entao VN ≥ 0
Vamos mostrar que Vk e uma funcao quadratica em x(k) para todo k.
⋆ Como vimos no procedimento completando os quadrados , o mınimo e
obtido eliminando-se o u(k) do funcional, i.e.,
Termo quadratico em u(k) = 0.
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COE-736 Controle digital 699
Para o instante k = N − 1 temos :
VN−1 = minu(N−1)
x(N − 1)
u(N − 1)
T
Q1 Q12
QT12 Q2
x(N − 1)
u(N − 1)
+ VN
⋆ VN−1 e positiva semi-definida.
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COE-736 Controle digital 700
Utilizando a equacao do modelo : x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
expandimos VN :
VN = xT (N)S(N)x(N)
=[
Φx(N − 1) + Γu(N − 1)]T
S(N)[
Φx(N − 1) + Γu(N − 1)]
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COE-736 Controle digital 701
Substituindo VN em VN−1 :
VN−1 = minu(N−1)
x(N − 1)
u(N − 1)
T
·
·
Q1 + ΦT S(N)Φ ΓT S(N)Φ + Q12
ΦT S(N)Γ + QT12 ΓT S(N)Γ + Q2
x(N − 1)
u(N − 1)
que e uma funcao quadratica em x(N − 1) e u(N − 1).
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COE-736 Controle digital 702
A lei de controle para o instante N − 1 e :
u(N − 1) = −L(N − 1)x(N − 1) (Obs.: u = −Lx, ∀k)
onde : L(N − 1) =(
Q2 + ΓT S(N)Γ)−1(
ΦT S(N)Γ + QT12
)
Com essa lei cancelamos u(N − 1) de VN−1 o que resulta no mınimo :
VN−1 = xT (N − 1)S(N − 1)x(N − 1)
que e quadratica em x(N − 1) !
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COE-736 Controle digital 703
Note que para k = N − 1 :
S(N − 1) = ΦT S(N)Φ + Q1−
−(
ΦT S(N)Γ + Q12
)(
ΓT S(N)Γ + Q2
)−1(
ΓT S(N)Φ + QT12
)
Da equacao de L(N − 1) tiramos que :(
ΓT S(N)Φ + QT12
)
=(
ΓT S(N)Γ + Q2
)
L(N − 1)
Portanto :
S(N − 1) = ΦT S(N)Φ + Q1 − LT (N − 1)(
ΓT S(N)Γ + Q2
)−1
L(N − 1)
Como VN−1 ≥ 0 entao S(N − 1) ≥ 0
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COE-736 Controle digital 704
Vamos agora para o instante k = N − 2.
Aplicando novamente programacao dinamica , tem-se :
VN−2 = minu(N−1),u(N−2)
N−1∑
i=N−2
x(i)
u(i)
T
Q1 Q12
QT12 Q2
x(i)
u(i)
+ xT (N)Q0x(N)
= minu(N−1),u(N−2)
x(N − 2)
u(N − 2)
T
Q1 Q12
QT12 Q2
x(N − 2)
u(N − 2)
+ VN−1
e assim, o procedimento pode ser repetido ate k = 0 .
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COE-736 Controle digital 705
Em k = 0 teremos que o mınimo de J e :
V0 = xT (0)S(0)x(0)
Conclusao : A cada passo do procedimento aplicamos o procedimento
completando os quadrados e assim minimizamos toda a
sequencia de funcoes VN , · · · , V0.
Em cada instante eliminamos o termo u(k) fazendo
Termo quadratico em u(k) = 0.
O teorema esta provado .
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COE-736 Controle digital 706
E interessante observar que S(k) tambem pode ser escrito como :
S(k) =
Φ
−ΓL(k)
T
S(k + 1)
Φ
−ΓL(k)
+[
I −LT (k)]
Q
I
−L(k)
Portanto : se S(N) = Q0 ≥ 0 ⇒ S(K) ≥ 0
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COE-736 Controle digital 707
Verificacao :
Usando : L(k) =(
Q2 + ΓT S(k + 1)Γ)−1(
ΓT S(k + 1)Φ − QT12
)
tiramos que :(
ΓT S(k + 1)Φ − QT12
)
=(
Q2 + ΓT S(k + 1)Γ)
L(k)
Substituindo na expressao original de S(k) :
S(k) = ΦT S(k + 1)Φ + Q1−
−(
ΦT S(k + 1)Γ + Q12
)(
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
)−1(
ΓT S(k + 1)Φ + QT12
)
= ΦT S(k + 1)Φ + Q1 − LT (k)(
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
)
L(k)
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COE-736 Controle digital 708
ou melhor :
S(k) = ΦT S(k + 1)Φ + Q1 − LT (k)(
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
)
L(k)
= ΦT S(k + 1)Φ − LT (k)ΓT S(k + 1)ΓL(k) + LT (k)Q12L(k) + Q1
=
Φ
−ΓL(k)
T
S(k + 1)
Φ
−ΓL(k)
+
I
−L(k)
T
Q
I
−L(k)
e o resultado esta verificado.
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COE-736 Controle digital 709
O seguinte fato sera provado e utilizado no tratamento do caso estocastico.
Fato. Utilizando o procedimento de completar os quadrados ,
o criterio quadratico
J = xT (N)Q0x(N) +
N−1∑
k=0
x(k)
u(k)
T
Q1 Q12
QT12 Q2
x(k)
u(k)
pode ser reescrito na forma :
J = xT (0)Q0x(0) +
N−1∑
k=0
(
Formas quad. em u(k) − L(k)x(k))
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COE-736 Controle digital 710
Caso estocastico
⋆ A seguir vamos tratar o caso estocastico (nao determinıstico).
⋆ Iniciaremos pelo caso mais simples em que x(0) e incerto .
Quer dizer, x(0) sera caracterizado pelas suas propriedades estatısticas.
⋆ Antes, precisamos de algumas ferramentas para tratar esses novos
elementos.
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COE-736 Controle digital 711
Valor medio de uma forma quadratica
Seja x um processo estocastico gaussiano com :
E x = m
cov x = E (x − m)(x − m)T = R
Problema : Queremos determinar E xT Sx
Solucao : E xT Sx = mT Sm + tr[
SR]
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COE-736 Controle digital 712
Prova. Considere a expressao :
E (x − m)T S(x − m) = E[
(x − m)T Sx − (x − m)T Sm]
= E[
xT Sx − mT Sx − xT Sm + mT Sm]
Entao : E xT Sx = E (x − m)T S(x − m) + E mT Sx + E xT Sm − E mT Sm
Porem : E mT Sx = mT S(
E x)
= mT Sm
E xT Sm =(
E xT)
Sm = mT Sm
E mT Sm = mT Sm
Entao : E xT Sx = E (x − m)T S(x − m) + mT Sm
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COE-736 Controle digital 713
Fato : xT Sx e um escalar e portanto podemos escrever que
E xT Sx = E tr(
xT Sx)
Propriedade da funcao tr(·) : tr(
xT Sx)
= tr(
SxxT)
Verificacao com exemplo 2 × 2 :
E xT Sx = E
[
x1 x2
]
S1 S2
S2 S3
x1
x2
= E(
S1x21 + 2S2x1x2 + S3x
22
)
( Escalar ! )
= E tr(
xT Sx)
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COE-736 Controle digital 714
Verificacao com exemplo 2 × 2 :
tr(
xT Sx)
= tr(
SxxT)
= tr
S1 S2
S2 S3
x2
1 x1x2
x1x2 x22
= tr
S1x
21 + S2x1x2 S1x1x2 + S2x
22
S2x21 + S3x1x2 S2x1x2 + S3x
22
=(
S1x21 + 2S2x1x2 + S3x
22
)
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COE-736 Controle digital 715
Voltando a nossa forma quadratica original :
E (x − m)T S(x − m) = E tr[
(x − m)T S(x − m)]
= E tr[
S(x − m)(x − m)T]
= tr[
S E (x − m)(x − m)T]
= tr[
SR]
Resultado : E xT Sx = mT Sm + tr[
SR]
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COE-736 Controle digital 716
Voltando ao ... Caso estocastico
Estamos prontos para considerar o caso em que x(0) e incerto.
Hipotese : E x(0) = m0
E(
x(0) − m0
)(
x(0) − m0
)T
= R0,
Relembrando : A funcao custo e dada por
J = E
N−1∑
k=0
x(k)
u(k)
T
Q1 Q12
QT12 Q2
x(k)
u(k)
+ xT (N)Q0x(N)
A seguir vamos proceder de modo a completar os quadrados .
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COE-736 Controle digital 717
Considere o termo xT (N)Q0x(N).
Sabemos que : xT (N)Q0x(N) = xT (N)S(N)x(N)
Trick : Seja a seguinte identidade
xT (N)S(N)x(N) = xT (0)S(0)x(0)+
+
N−1∑
k=0
xT (k + 1)S(k + 1)x(k + 1) −N−1∑
k=0
xT (k)S(k)x(k)
⋆ Observe que apos expandir os somatorios e fazer todos os cancelamentos,
sobra somente o termo xT (N)S(N)x(N).
Olhando somente para a variavel S(·), a expressao acima corresponde a :
S(N) = S(0)− S(0) + S(1)− S(1) + · · ·+ S(N − 1)− S(N − 1) + S(N)
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COE-736 Controle digital 718
A seguir vamos utilizar a equacao do modelo :
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
para expandir cada um dos termos do 1o. somatorio e obter :
xT (k + 1)S(k + 1)x(k + 1) =[
Φx(k) + Γu(k)]T
S(k + 1)[
Φx(k) + Γu(k)]
⋆ Com isso uniformizamos a expressao de modo a ficar tudo em funcao de
x(k) e u(k) (somente no instante k ).
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COE-736 Controle digital 719
No 2o. somatorio usamos a expressao de S(k)
S(k) = ΦT S(k + 1)Φ + Q1 − LT (k)(
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
)
L(k)
para obter :
xT (k)S(k)x(k) = x(k)[
ΦT S(k+1)Φ+Q1−LT (k)(
ΓT S(k+1)Γ+Q2
)
L(k)]
x(k)
⋆ Com isso uniformizamos a expressao de modo a ficar tudo em funcao de
S(k + 1) (somente no instante k + 1 ).
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COE-736 Controle digital 720
Agora vamos substituir as expansoes dentro dos somatorios :
xT (N)S(N)x(N) = xT (0)S(0)x(0)+
+
N−1∑
k=0
[
Φx(k) + Γu(k)]T
S(k + 1)[
Φx(k) + Γu(k)]
−
−N−1∑
k=0
xT (k)[
ΦT S(k + 1)Φ + Q1 − LT (k)(
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
)
L(k)]
x(k)
⋆ A seguir rearrumamos os termos ...
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COE-736 Controle digital 721
Rearrumando os termos :
xT (N)S(N)x(N) = xT (0)S(0)x(0)+
+
N−1∑
k=0
uT (k)[
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
]
u(k) − uT (k)Q2u(k)+
+ uT (k)[
ΓT S(k + 1)Φ + QT12
]
x(k) − uT (k)QT12x(k)+
+ xT (k)[
ΦT S(k + 1)Γ + Q12
]
u(k) − xT (k)Q12u(k)+
+ xT (k)LT (k)[
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
]
L(k)x(k) − xT (k)Q1x(k)
⋆ Os termos vermelhos foram somados e subtraıdos na equacao.
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COE-736 Controle digital 722
Relembrando : L(k) =(
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
)−1(
ΓT S(k + 1)Φ − QT12
)
Portanto :(
ΓT S(k + 1)Φ − QT12
)
=(
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
)
L(k)
Substituindo ...
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COE-736 Controle digital 723
xT (N)S(N)x(N) = xT (0)S(0)x(0)+
+
N−1∑
k=0
uT (k)[
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
]
u(k)+
+ uT (k)[
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
]
L(k)x(k)+
+ xT (k)LT (k)[
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
]
u(k)+
+ xT (k)LT (k)[
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
]
L(k)x(k)−
− uT (k)Q2u(k) − uT (k)QT12x(k) − xT (k)Q12u(k) − xT (k)Q1x(k)
⋆ Proximo passo : juntar os termos com fator ΓT S(k + 1)Γ + Q2.
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COE-736 Controle digital 724
Resultado :
xT (N)S(N)x(N) = xT (0)S(0)x(0)+
+
N−1∑
k=0
[
u(k) + L(k)x(k)]T [
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
][
u(k) + L(k)x(k)]
−
− uT (k)Q2u(k) − uT (k)QT12x(k) − xT (k)Q12u(k) − xT (k)Q1x(k)
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COE-736 Controle digital 725
Substituindo a expressao acima na funcao custo J , resulta :
J = E(
xT (0)S(0)x(0)+
+
N−1∑
k=0
[
u(k) + L(k)x(k)]T [
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
][
u(k) + L(k)x(k)])
⋆ Note o cancelamento dos termos vermelhos e azuis .
⋆ Relembrando : o que fizemos aqui foi somente completar os quadrados .
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COE-736 Controle digital 726
De volta ao nosso ... Caso estocastico
A minimizacao do criterio :
J = E(
xT (0)S(0)x(0)+
+N−1∑
k=0
[
u(k) + L(k)x(k)]T [
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
][
u(k) + L(k)x(k)])
e obtida com a lei : u(k) = −L(k)x(k)
e o mınimo e : Jmin = E[
xT (0)S(0)x(0)]
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COE-736 Controle digital 727
Aplicando o resultado sobre valor medio de uma forma quadratica :
Jmin = mT0 S(0)m0 + tr
[
S(0)R0
]
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COE-736 Controle digital 728
Caso estocastico com v(k) 6= 0
Hipotese : Ev(k) = 0
Ev(k)vT (k) = R1, R1 ≥ 0
Para resolver esse caso precisamos novamente completar os quadrados .
Resultado :
J = E(
xT (0)S(0)x(0) +
N−1∑
k=0
vT (k)S(k + 1)v(k)+
+
N−1∑
k=0
[
u(k) + L(k)x(k)]T [
ΓT S(k + 1)Γ + Q2
][
u(k) + L(k)x(k)])
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COE-736 Controle digital 729
Prova. Fica como exercıcio !
O procedimento e semelhante ao que foi feito para o caso com x(0) incerto.
Dicas :
1. Agora o modelo da planta e x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) + v(k)
2. Usar o fato de que v(k) e independente de x(k) e u(k).
Quer dizer, x(k) e u(k) nao afetam a ocorrencia de v(k).
Portanto : Ev(k)xT (k) = Ev(k)uT (k) = 0
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COE-736 Controle digital 730
O mınimo do novo funcional e obtido com a lei :
u(k) = −L(k)x(k)
e o mınimo e :
Jmin = E[
xT (0)S(0)x(0) +
N−1∑
k=0
vT (k)S(k + 1)v(k)]
Aplicando o resultado sobre valor medio de uma forma quadratica :
Jmin = mT0 S(0)m0 + tr
[
S(0)R0
]
+
N−1∑
k=0
tr[
S(k + 1)R1
]
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COE-736 Controle digital 731
Caso invariante no tempo
⋆ Neste caso, usualmente, so um controle estacionario e empregado.
⋆ Este controle e obtido da solucao da equacao algebrica de Riccati :
S = ΦT SΦ + Q1 −(
ΦT SΓ + Q12
)(
ΓT SΓ + Q2
)−1(
ΓT SΦ + QT12
)
⋆ S pode ser obtido resolvendo-se a equacao de Riccati ate S(k) convergir.
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COE-736 Controle digital 732
Existencia e unicidade de S
Como Q = QT =
Q1 Q12
QT12 Q2
≥ 0, entao, ∃Cℓ e Dℓ tal que
Q =
CT
ℓ
DTℓ
[
Cℓ Dℓ
]
Condicao para existencia e unicidade da solucao S :
A matrix
−zI + Φ Γ
Cℓ Dℓ
possui todas as colunas l.i. quando |z| ≥ 1.
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COE-736 Controle digital 733
Exemplo 1 Controle LQ do duplo integrador.
Dados : h = 1, Q1 =
1 0
0 0
, Q2 = ρ, x(0) =
1
0
Criterio (determinıstico) : J =∑(
x21(k) + ρu2(k)
)
Problema de regulacao : x(N) = 0
Vamos usar a solucao estacionaria : u(k) = −Lx(k)
L =(ρ + ΓT SΓ
)−1 (ΓT SΦ
)
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COE-736 Controle digital 734
Para obter a solucao, usamos o Control Toolbox do MATLAB.
Comando : DLQR (Discrete LQ Regulator)
Sintaxe : [L, S, a] = dlqr(Φ, Γ, Q1, Q2, Q12)
onde a e o vetor de autovetores de (Φ − ΓL)
Scripts desse exemplo : fig112.m
fig113.m
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COE-736 Controle digital 735
0 2 4 6 8 10−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2rho=0.016
0 2 4 6 8 10−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2rho=0.05
0 2 4 6 8 10−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2rho=0.5
0 2 4 6 8 10−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2rho=10
Figura 146: Resultado de simulacao com ρ = 0.016, 0.05, 0.5, 10.
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COE-736 Controle digital 736
100
105
0
0.5
1
1.5
2
rho
L
Figura 147: Variacao dos ganhos em funcao de ρ.
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COE-736 Controle digital 737
Exemplo 2 Controle LQ do integrador simples.
Modelo : x(k + 1) = x(k) + u(k) x(0) = 1
Criterio (determinıstico) : J =
4∑
k=0
[x2(k) + 10u2(k)
]+ q0x
2(5))
⋆ Problema de horizonte finito (5 passos).
Solucao da equacao de Riccati : S(k) = S(k + 1) + 1 −S2(k + 1)
S(k + 1) + 10
L(k) =S(k + 1)
S(k + 1) + 10
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COE-736 Controle digital 738
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
5
10
s(k)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
l(k)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
Time
x(k)
Figura 148: Resultado de simulacao com q0 = 10, 3.7, 0.
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COE-736 Controle digital 739
Estabilidade do controle LQ
Seja a planta : x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k)
Criterio : J = E
N−1∑
k=0
x(k)
u(k)
T
Q
x(k)
u(k)
+ xT (N)Q0x(N)
onde Q =
Q1 Q12
QT12 Q2
> 0.
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COE-736 Controle digital 740
Se existe solucao S da equacao algebrica de Riccati, entao a lei de controle :
u(k) = −Lx(k)
L =(Q2 + ΓT SΓ
)−1 (ΓT SΦ + QT
12
)
resulta em um sistema em malha fechada
x(k + 1) = (Φ − ΓL)x(k)
globalmente assintoticamente estavel (GAS).
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COE-736 Controle digital 741
Matrizes de ponderacao
Problema : Como determinar as matrizes de ponderacao ?
(...)
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COE-736 Controle digital 742
11.3 Filtro de Kalman
Referencias para esta secao :
[1] Arthur Gelb ,
Applied Optimal Estimation ,
MIT Press, 1988.
[2] Karl J. Astrom & Bjorn Wittenmark ,
Computer Controlled Systems ,
3a. edicao, Prentice–Hall, 1997.
[3] Brown & Hwang ,
Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering ,
John Wiley, 1992.
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COE-736 Controle digital 743
Breve historico
Desenvolvimento dos metodos de processamento de dados para sistemas com
variaveis aleatorias :
• 1800 — Gauss
Inventou o Least-Square determinıstico .
• 1910 — Fisher
Introduziu o metodo de estimacao de maxima probabilidade .
• 1940 — Wiener
Desenvolveu o projeto de filtros otimos (no sentido estatıstico) no
domınio da frequencia .
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COE-736 Controle digital 744
• 1940 — Kolmogorov
Tratou o mesmo problema no domınio discreto no tempo .
• 1960 — Kalman
Apresentou o metodo de projeto de filtros otimos recursivos baseado em
espaco de estado .
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COE-736 Controle digital 745
Redundancias
⋆ Gauss ja tinha observado a necessidade de se dispor de dados redundantes
para reduzir/eliminar a influencia dos erros de medicao.
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COE-736 Controle digital 746
O que e um Estimador otimo?
Um estimador otimo e um algoritmo computacional que processa medidas de
modo a deduzir/obter uma estimativa do estado de um sistema, com erro mınimo,
usando :
• Conhecimento do modelo do sistema
• Conhecimento da dinamica da medicao
• Estatısticas dos ruıdos do sistema
• Estatısticas dos erros de medicao
• Informacoes sobre a condicao inicial
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COE-736 Controle digital 747
Exemplo 1 (Exemplo mais simples possıvel ! )
Considere o problema de se medir uma grandeza x que e invariante no tempo .
Modelo para a dinamica de x :
x = c , c = constante
x = 0
∫
x(0) = c
xx = 0+
z
v
Figura 149: Diagrama de blocos do sistema.
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COE-736 Controle digital 748
Sistema de medicao
⋆ O sistema de medicao dispoe de 2 sensores .
⋆ Sao feitas 2 medidas z1 e z2, cada uma com um sensor, na presenca de um
ruıdo aleatorio.
⋆ As medidas podem ser representadas por
z1 = x + v1
z2 = x + v2
⋆ v1 e v2 sao ruıdos gaussianos com
E [v1] = 0 E [v21 ] = σ2
1
E [v2] = 0 E [v22 ] = σ2
2
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COE-736 Controle digital 749
⋆ Supoe-se que os ruıdos sejam independentes, i.e.,
E [v1v2] = 0
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COE-736 Controle digital 750
Problema : Como processar/combinar as medidas de modo a obter uma
estimativa otima (no sentido estatıstico) de x ?
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COE-736 Controle digital 751
Ideia : Fazer uma combinacao linear das medidas.
Estimativa : x = k1z1 + k2z2
onde k1 e k2 sao ganhos a serem especificados.
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COE-736 Controle digital 752
Definicao. O erro de estimativa e dado por
x = x − x
⋆ x e o valor correto (desconhecido e nao aleatorio!)
Criterio : Vamos minimizar o valor medio quadratico do erro de estimativa
J = E[x2]
⋆ Em outras palavras, vamos determinar k1 e k2 de modo a minimizar o
criterio acima.
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COE-736 Controle digital 753
Vamos primeiro tomar o valor medio de x :
E[x]
= E[x − x
]
= E[k1z1 + k2z2 − x
]
= E[k1(x + v1) + k2(x + v2) − x
]
= k1E[v1
]
︸ ︷︷ ︸
0
+ k2E[v2
]
︸ ︷︷ ︸
0
+E[(k1 + k2 − 1)x
]
︸ ︷︷ ︸
(k1+k2−1)E [x]
= (k1 + k2 − 1)x
⋆ E[x]
= x (x nao e aleatorio!)
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COE-736 Controle digital 754
⋆ O mınimo que se pode esperar de um bom estimador e que o valor medio
do erro de estimativa seja nulo, isto e,
E[x]
= 0
⋆ Para que isso ocorra, devemos necessariamente ter
k1 + k2 = 1
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COE-736 Controle digital 755
Portanto:
⋆ A estimativa otima deve ser uma combinacao linear convexa das medidas .
⋆ Caso contrario, a estimativa sera tendenciosa .
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COE-736 Controle digital 756
Interpretacao
0 z1 z2x
Figura 150: A estimativa x deve pertencer ao intervalo [z1, z2].
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COE-736 Controle digital 757
Media simples :
Se as 2 medidas forem feitas com o mesmo instrumento, entao
k1 = k2 = 0.5
Media ponderada :
k1 = 0.25
k2 = 0.75
Reflete o fato de que a 2a. medida e “melhor” do que a 1a.
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COE-736 Controle digital 758
Usando a relacao : k2 = 1 − k1
podemos escrever :
x = k1z1 + k2z2
= k1z1 + (1 − k1)z2
= k1(x + v1) + (1 − k1)(x + v2)
= k1x + k1v1 + (x + v2) − k1x − k1v2
= x + k1v1 + (1 − k1)v2
Portanto : x = x − x = k1(v1 − v2) + v2
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COE-736 Controle digital 759
Vamos agora determinar k1 de modo a minimizar J :
J = E[x2]
= E[(
k1(v1 − v2) + v2
)2]
= E[(k1v1)
2 + (1 − k1)2v2
2 + 2k1(1 − k1)v1v2
]
= k21E[v21
]+ (1 − k1)
2E[v22
]+ 2k1(1 − k1)E
[v1v2
]
︸ ︷︷ ︸
0
⋆ Como os erros de medicao v1 e v2 sao independentes , i.e., a ocorrencia
de um nao interfere na ocorrencia do outro, entao
E[v1v2
]= 0
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COE-736 Controle digital 760
Portanto,
J = E[x2]
= k21E[v21
]+ (1 − k1)
2E[v22
]
Lembrando que os ruıdos sao gaussianos :
E[v21
]= σ2
1
E[v22
]= σ2
2
Resultado : J = E[x2]
= k21σ
21 + (1 − k1)
2σ22
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COE-736 Controle digital 761
Para encontrar o mınimo de J fazemos
∂J
∂k1=
∂
∂k1
(
k21σ
21 + (1 − k1)
2σ22
)
= 2k1σ21 − 2(1 − k1)σ
22 = 0
Portanto : k1 =σ2
2
σ21 + σ2
2
⋆ So depende dos instrumentos !!
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COE-736 Controle digital 762
O mınimo para o criterio e dado por :
Jmin = k21σ
21 + (1 − k1)
2σ22
= k21
(σ2
1 + σ22
)+ σ2
2 − 2k1σ22
=σ4
2
(σ21 + σ2
2)2(σ2
1 + σ22) + σ2
2 − 2σ2
2
(σ21 + σ2
2)σ2
2
= σ22 −
σ42
(σ21 + σ2
2)
=σ2
1σ22
(σ21 + σ2
2)
⋆ E a combinacao em “paralelo” de σ21 e σ2
2 .
⋆ So depende dos instrumentos !!
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 763
Conclusao: A variancia do erro de estimativa e menor do σ21 ou σ2
2 .
⋆ A estimativa e melhor do que qualquer medida.
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COE-736 Controle digital 764
A estimativa otima procurada e dada por :
x = k1z1 + (1 − k1)z2
=
(σ2
2
(σ21 + σ2
2)
)
z1 +
(σ2
1
(σ21 + σ2
2)
)
z2
⋆ Note que se σ21 = σ2
2 (p. ex. se as 2 medidas forem feitas com o mesmo
instrumento) :
x =1
2z1 +
1
2z2
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COE-736 Controle digital 765
Neste exemplo :
⋆ Sistema escalar (1 variavel).
⋆ Dinamica de ordem zero (variavel de interesse constante).
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COE-736 Controle digital 766
Exercıcio. [Gelb:88], pag. 7
Refazer o exemplo 1 para o caso em que os erros dos instrumentos sao
correlacionados, isto e,
E[v1v2
]= ρ σ1 σ2
(|ρ| ≤ 1
)
onde ρ e o coeficiente de correlacao.
Mostre que
k1 =σ2
2 − ρσ1σ2
σ21 + σ2
2 − 2ρσ1σ2
k2 =σ2
1σ22
(1 − ρ2
)
σ21 + σ2
2 − 2ρσ1σ2
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COE-736 Controle digital 767
Exercıcio. [Gelb:88], pag. 8
Considere um caso similar ao do exemplo 1 onde s ao disponıveis 3 medidas
independentes ao inves de somente 2. O estimador linear neste caso e
x = k1z1 + k2z2 + (1 − k1 − k2)z3
Determine os valores otimos de k1 e k2 e mostre que
E[x2]
=
(1
σ21
+1
σ22
+1
σ23
)−1
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COE-736 Controle digital 768
Exercıcio. [Gelb:88], pag. 8
A concentracao de uma substancia em uma solucao decresce exponencialmente
durante um experimento. Medidas da concentracao (com ruido) sao feitas nos
instantes t1 e t2 tais que
z1 = x0e−t1 + v1
z2 = x0e−t2 + v2
Mostre que um estimador (nao tendencioso) para a estimativa da concentracao x0 e
x0 =(k e−t1
)z1 +
[(1 − k) e−t2
]z2
onde k e uma constante. Mostre que o valor de k que minimiza a media quadratica
do erro de estimacao e
k =σ2
2
σ21 e−2(t2−t1) + σ2
2
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COE-736 Controle digital 769
Interpretacao usando “completando os quadrados”
J = k21σ
21 + (1 − k1)
2σ22
= k21σ
21 + (1 − 2k1 + k2
1)σ22
= k21σ
21 + σ2
2 − 2k1σ22 + k2
1σ22
=[1]σ2
2 +[− 2k1
]σ2
2 +[k21
](σ2
1 + σ22
)
Note que :
[
1 −k1
]
a b
b c
1
−k1
= [1] a + [−2k1] b + [k21] c
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COE-736 Controle digital 770
Portanto, usando o procedimento de completar os quadrados :
J =[1]σ2
2 +[− 2k1
]σ2
2 +[k21
](σ2
1 + σ22
)
=[
1 −k1
]
σ2
2 σ22
σ22 σ2
1 + σ22
1
−k1
Resultado conhecido : ∃L =b
c=
σ22
σ21 + σ2
2
tal que
J = 1
(
σ22 −
b
c
(σ2
1 + σ22
)b
c
)
1 +
(
−k1 +σ2
2
σ21 + σ2
2
)(σ2
1 + σ22
)(
−k1 +σ2
2
σ21 + σ2
2
)
ou melhor,
J = 1
(σ2
1σ22
σ21 + σ2
2
)
1 +
(σ2
2
σ21 + σ2
2
− k1
)(σ2
1 + σ22
)(
σ22
σ21 + σ2
2
− k1
)
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 771
Resumindo,
J = 1
(σ2
1σ22
σ21 + σ2
2
)
1 +
(σ2
2
σ21 + σ2
2
− k1
)(σ2
1 + σ22
)(
σ22
σ21 + σ2
2
− k1
)
Portanto, o valor de k1 que minimiza o funcional J e :
k1 =σ2
2
σ21 + σ2
2
e o mınimo de J e dado por
Jmin =σ2
1σ22
σ21 + σ2
2
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COE-736 Controle digital 772
Exemplo 2 Agora vamos considerar um problema um pouco mais difıcil.
⋆ A grandeza y que se deseja estimar varia no tempo .
Hipotese : y e a posicao de um ponto deslocando-se com velocidade constante
( movimento retilıneo uniforme ).
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COE-736 Controle digital 773
Modelo para a dinamica de y :
y = c2 , c2 = constante
y = 0
∫
y(0) = c2
yy = 0
y(0) = c1
y∫
x1x2
z
e
+
Figura 151: Diagrama de blocos do sistema.
⋆ e e o ruıdo de medicao.
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COE-736 Controle digital 774
Modelo discreto : Duplo integrador com u = 0
x(k + 1) =
1 h
0 1
x(k)
y(k) =[
1 0]
x(k)
ou melhor
x(k + 1) = φ x(k)
y(k) = C x(k)
⋆ Por simplicidade, adotamos h = 1
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COE-736 Controle digital 775
Suponha que sejam feitas medidas da saıda y a intervalos constantes de tempo :
z(k) = y(k) + e(k) ⇒ z(k) = Cx(k) + e(k)
⋆ e(k) e o ruıdo de medicao.
⋆ O ruıdo e(k) e gaussiano :
E[e(k)
]= 0
E[e2(k)
]= R2
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COE-736 Controle digital 776
Nota. Nao e razoavel estimar y fazendo uma simples combinacao linear das
medidas.
A estimativa
y(1) = k1z(0) + k2z(1)
nao tem sentido!
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COE-736 Controle digital 777
Ideia : Usar o modelo do sistema para fazer uma predicao de y
yp(1) = predicao de y(1) usando z(0)
e usar o estimador
y(1) = k1yp(1) + k2z(1)
⋆ A predicao e na realidade uma atualizacao das informacoes disponıveis
para o instante de interesse.
⋆ A estimativa deve ser uma combinacao linear convexa de uma predicao e de
uma nova medida.
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COE-736 Controle digital 778
Modelo de predicao :
xp(k) = φ x(k − 1)
yp(k) = Cxp(k)
⋆ Lembrar que este exemplo nao tem u(k) !
⋆ Obviamente, vamos ter que estimar todo o estado para poder fazer a
predicao.
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COE-736 Controle digital 779
Interpretacao
xp(k − 1)
yp(k − 1) yp(k)
xp(k)x(k − 1)
y(k − 1) y(k)
x(k)
kk − 1
z(k − 1) z(k)
Usar modelo
φ
C
Figura 152: Interpretacao da predicao.
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 780
Verificacao :
⋆ A melhor informacao sobre y no instante k − 1 e y(k − 1).
Para fazer a predicao usamos a formula
yp(k) = Cφx(k − 1)
=[
1 0]
1 h
0 1
x1(k − 1)
x2(k − 1)
= x1(k − 1) + h x2(k − 1)
ou seja, yp(k) = (posicao) + h (velocidade) como era esperado!
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 781
Como temos que estimar o estado e o modelo e conhecido , podemos usar um
observador :
x(k + 1∣∣k) = φx(k
∣∣k − 1) + K
[z(k) − y(k)
]
y(k) = Cx(k∣∣k − 1)
⋆ (Forma preditiva!)
⋆ Note a presenca da medida z(k) no algoritmo.
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COE-736 Controle digital 782
Definicao. Erro de estimativa x = x − x
Desenvolvendo a equacao do erro, temos :
x(k + 1) = x(k + 1) − x(k + 1∣∣k)
= φx(k) − φx(k∣∣k − 1) − K
[z(k) − Cx(k
∣∣k − 1)
]
= φx(k) − K[Cx(k) + e(k) − Cx(k
∣∣k − 1)
]
=(φ − KC
)x(k) − Ke(k)
⋆ Essa equacao ja e nossa conhecida!
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 783
Podemos reescrever a equacao do erro de estimativa como
x(k + 1) =[
I −K]
φx(k)
Cx(k) + e(k)
⋆ Alguma semelhanca com o caso anterior (ordem zero)?
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COE-736 Controle digital 784
⋆ No capıtulo 4 a matriz K foi projetada de forma a realocar os polos de
(φ − KC), i.e., de modo a satisfazer um criterio de estabilidade.
⋆ Aqui vamos determinar K de modo a satisfazer um criterio de otimalidade.
⋆ Note que agora temos a presenca do ruıdo e(k).
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COE-736 Controle digital 785
Criterio : Minimizar a variancia do erro de estimativa.
min P (k) = E[x(k)xT (k)
]
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COE-736 Controle digital 786
Para o instante k + 1 , temos
P (k + 1) = E[x(k + 1)xT (k + 1)
]
= E
[
I −K]
φx(k)
Cx(k) + e(k)
φx(k)
Cx(k) + e(k)
T
I
−KT
=[
I −K]
φE[x(k)xT (k)
]φT φE
[x(k)xT (k)
]CT
CE[x(k)xT (k)
]φT R2 + CE
[x(k)xT (k)
]CT
I
−KT
=[
I −K]
φE[x(k)xT (k)
]φT φE
[x(k)xT (k)
]CT
CE[x(k)xT (k)
]φT R2 + CE
[x(k)xT (k)
]CT
I
−KT
=[
I −K]
φP (k)φT φP (k)CT
CP (k)φT R2 + CP (k)CT
I
−KT
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COE-736 Controle digital 787
⋆ Compare esta ultima equacao com a equacao obtida no caso anterior (ordem
zero).
⋆ O mınimo pode ser facilmente obtido aplicando-se o procedimento de
“completar os quadrados”.
Ver Astrom & Wittenmark , 1997, pag. 430.
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COE-736 Controle digital 788
Resultado : P (k + 1) e minimizado por K satisfazendo
K[R2 + CP (k)CT
]= φP (k)CT
Se[R2 + CP (k)CT
]> 0, entao
K = φP (k)CT[R2 + CP (k)CT
]−1
⋆ K e variante no tempo!
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COE-736 Controle digital 789
Pode-se verificar facilmente que o valor mınimo de P (k + 1) e :
P (k + 1) = φP (k)φT −(φP (k)CT
)[R2 + CP (k)CT
]−1(CP (k)φT
)
ou melhor
P (k + 1) = φP (k)φT − K(k)(CP (k)φT
)
⋆ O termo φP (k)φT e a parte da variancia devido a dinamica do sistema.
⋆ O termo K(k)(CP (k)φT
)e o decrescimo na variancia devido as
informacoes fornecidas pela medidas.
⋆ Note que P (k) nao depende das observacoes .
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COE-736 Controle digital 790
Algoritmo (Filtro de Kalman na forma preditiva )
Processo :
x(k + 1) = φx(k) + v(k)
z(k) = Cx(k) + e(k)
Observador :
x(k + 1
∣∣k) = φx(k
∣∣k − 1) + K(k)
[z(k) − y(k
∣∣k − 1)
]
y(k∣∣k − 1) = Cx(k
∣∣k − 1)
Ganho de Kalman :
K(k∣∣k − 1) =
(
φP (k∣∣k − 1)CT + R12
)(
R2 + CP (k∣∣k − 1)CT
)−1
P (k + 1∣∣k) = φP (k
∣∣k − 1)φT + R1 − K(k
∣∣k − 1)
(
CP (k∣∣k − 1)φT + R12
)
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COE-736 Controle digital 791
Variancias :
E
v(k)
e(k)
[
vT (k) eT (k)]
=
R1 R12
RT12 R2
Condicoes iniciais :
x(0) = x0
P (0) = R0
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COE-736 Controle digital 792
Exemplo 3 Sistema de 1a. ordem
x(k + 1) = x(k)
y(k) = x(k) + e(k)
Variancia : E [e2(k)] = σ2 = 1
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UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro
COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
PEE Programa de Engenharia Eletrica
COE-736 Controle digital
Capıtulo # 12
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 794
12 Metodos de projeto otimos : enfoque polinomial
...
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UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro
COPPE Coordenacao dos Programas de Pos-Graduacao em Engenharia
PEE Programa de Engenharia Eletrica
COE-736 Controle digital
Capıtulo # 13
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COE-736 Controle digital 796
13 Identificacao
Conteudo 1. Introducao
2. Least square
• Equacao normal
• Interpretacao geometrica
3. Weighted least square
4. Least square recursivo
• Lema da inversao
• Resumo do algoritmo
• Cascata de atrasadores
• Simulador
5. Exemplos de simulacao:
[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]
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COE-736 Controle digital 797
13.1 Introducao
(...)
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COE-736 Controle digital 798
13.2 Least square
Hipotese : A planta possui um modelo ARMA.
Planta:y(k) + a1y(k − 1) + · · · + any(k − n)−
− b1u(k − 1) − · · · − bnu(k − n) = e(k)
⋆ ARMA = Auto-regressive moving average.
Seja : θ =[
a1 · · · an b1 · · · bn
]T
φ(k) =[
−y(k − 1) · · · −y(k − n) u(k − 1) · · · u(k − n)]T
Modelo da planta : y(k) = θT φ(k) + e(k)
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COE-736 Controle digital 799
Modelo da planta : y(k) = θT φ(k) + e(k) (ARMA)
⋆ θ = vetor de parametros.
⋆ φ(k) = vetor regressor (o de medidas).
⋆ Importante : y(k) e linear em θ (ou φ).
⋆ Note a semelhanca desta equacao com a equacao (...).
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COE-736 Controle digital 800
Apos N observacoes da saıda, tem-se
Perıodo transitorio
y(0) = φT (0) θ + e(0)
y(1) = φT (1) θ + e(1)...
y(n) = φT (n) θ + e(n)...
y(N) = φT (N) θ + e(N)
⋆ Somente a partir da medida n o vetor de regressao φ(k) esta completo e o
modelo pode ser utilizado.
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COE-736 Controle digital 801
Apos N observacoes da saıda,
y(n) = φT (n) θ + e(n)...
y(N) = φT (N) θ + e(N)
Definicoes :
Y (N) =
y(n)
y(n + 1)...
y(N)
, Φ(N) =
φT (n)
φT (n + 1)...
φT (N)
, ε(N) =
e(n)
e(n + 1)...
e(N)
.
Portanto,
Y = Φ θ + ε
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COE-736 Controle digital 802
⋆ Seja θ uma estimativa de θ.
Previsao : Y = Φ θ
Erro de previsao : ǫ = Y − Y = Y − Φ θ
Problema : Estimar o parametro θ que minimiza o criterio
J = ǫT ǫ
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COE-736 Controle digital 803
Para achar o mınimo do funcional J , calculamos
∂J
∂θ=
∂
∂θ
[ǫT ǫ]
=∂
∂θ
[Y T Y − 2Y T Φθ + θT ΦT Φθ
]
= −2ΦT Y + 2ΦT Φθ
∂J
∂θ= 0 ⇒
(ΦT Φ
)θ = ΦT Y (Equacao normal)
⋆ Se ∃(ΦT Φ
)−1 ⇒ θ =(ΦT Φ
)−1ΦT Y
⋆ A condicao acima e denominada condicao de excitacao .
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COE-736 Controle digital 804
Interpretacao geometrica
a
p
b−xa
b − xa
Figura 153: Projecao de b sobre a reta a.
p = xa
(b − xa) ⊥ a ⇒ aT (b − xa) = 0 ⇒ aT b − aT xa = 0 ⇒ x =
(aT
aT a
)
b
Projecao de b sobre a reta a : p = xa = ax =
(aaT
aT a
)
b
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COE-736 Controle digital 805
13.3 Weighted least square
Neste caso o criterio e dado por : J = ǫT Wǫ
⋆ W e uma matriz de ponderacao .
E facil verificar que a estimativa quer minimiza este criterio e dada por :
θ =(ΦT WΦ
)−1ΦT WY
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COE-736 Controle digital 806
13.4 Least square recursivo
Estimador : θ =(ΦT WΦ
)−1ΦT WY
⋆ W = I → LS ordinario.
Escolha comum de W : w(k) = aγN−k (Exponentially weighted LS)
⋆ N e o ultimo instante, ou instante atual , e k = n, . . . , N .
⋆ γ ≤ 1 e chamado de fator de esquecimento .
⇒ W = diag
aγN−n, aγN−n+1, · · · , a
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COE-736 Controle digital 807
Resumo :
θ(N) =(
ΦT (N)W (N)Φ(N))−1
ΦT (N)W (N)Y (N)
W (N) =
aγN−n 0 · · · 0
0 aγN−n+1 · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · a
Y (N) =
y(n)
y(n + 1)...
y(N)
, Φ(N) =
φT (n)
φT (n + 1)...
φT (N)
.
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COE-736 Controle digital 808
Para o instante N + 1 :
θ(N + 1) =(
ΦT (N + 1)W (N + 1)Φ(N + 1))−1
ΦT (N + 1)W (N + 1)Y (N + 1)
W (N + 1) =
aγN+1−n 0 · · · 0
0 aγN+2−n · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · a
=
γW (N) 0
0 a
Y (N + 1) =
y(n)
y(n + 1)...
y(N + 1)
, Φ(N + 1) =
φT (n)
φT (n + 1)...
φT (N + 1)
.
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COE-736 Controle digital 809
Estimador : θ(N + 1) =(ΦT WΦ
)−1ΦT WY (Instante N + 1 )
Para obter a forma recursiva , escreve-se o termo(ΦT WΦ
)como :
(ΦT WΦ
)=
N+1∑
k=n
φ(k)w(k)φT (k)
=
N∑
k=n
φ(k)w(k)φT (k)
︸ ︷︷ ︸
Ate o instante N
+ φ(N + 1)w(N + 1)φT (N + 1)︸ ︷︷ ︸
Instante N + 1
⋆ Vide Franklin & Powell & Workman, 1990, pag. 379.
⋆ w(k) = aγN+1−k ⇒ w(N + 1) = aγ0 = a .
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COE-736 Controle digital 810
Portanto,
(ΦT WΦ
)=
N∑
k=n
φ(k)w(k)φT (k) + φ(N + 1)w(N + 1)φT (N + 1)
= γ Φ(N)W (N)ΦT (N)︸ ︷︷ ︸
P−1(N)
+φ(N + 1) aφT (N + 1)
⋆ Lembrete : ΦT (N) =[
φ(n) · · · φ(N) φ(N + 1)]
.
Definicao : P (N + 1) =[ΦT (N + 1) W (N + 1) Φ(N + 1)
]−1
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COE-736 Controle digital 811
Portanto, P (N + 1) pode ser escrito como :
P (N + 1) =[γP−1(N) + φ(N + 1) aφ(N + 1)
]−1
Lema da inversao :
(A + BCD)−1 = A−1 − A−1B(C−1 + DA−1B)−1DA−1
Aplicando : A = γP−1(N)
B = φ(N + 1) = φ
C = w(N + 1) = a
D = φT (N + 1) = φT
Resultado : P (N + 1) =P (N)
γ−
P (N)
γφ
[1
a+ φT P (N)
γφ
]−1
φT P (N)
γ
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COE-736 Controle digital 812
Resultado : P (N + 1) =P (N)
γ−
P (N)
γφ
[1
a+ φT P (N)
γφ
]−1
︸ ︷︷ ︸
escalar!
φT P (N)
γ
⋆ Cuidado : nesta formula φ = φ(N + 1).
⋆ Esta e a forma recursiva para se calcular(ΦT WΦ
)−1.
⋆ Lembrete : P (N) =[ΦT (N)W (N)Φ(N)
]−1
.
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COE-736 Controle digital 813
Voltando ao estimador : θ(N + 1) =(ΦT WΦ
)−1ΦT WY
O termo ΦT WY pode ser escrito como :
ΦT WY =[
Φ(N) φ(N + 1)]
γ W (N) 0
0 a
Y (N)
y(N + 1)
= γ ΦT (N)W (N)Y (N) + φ(N + 1) a y(N + 1)
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COE-736 Controle digital 814
Substituindo as expansoes de(ΦT WΦ
)−1e ΦT WY na expressao do estimador :
θ(N + 1) =(ΦT WΦ
)−1ΦT WY
=
[
P (N)
γ−
P (N)
γφ
[1
a+ φT P (N)
γφ
]−1
φT P (N)
γ
]
·
·[
γ ΦT (N)W (N)Y (N) + φT (N + 1) a y(N + 1)]
= P (N)ΦT (N)W (N)Y (N)︸ ︷︷ ︸
θ(N)
+[
· · ·]
Obtem-se, assim, a forma recursiva para o estimador :
θ(N + 1) = θ(N) +[
· · ·]
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COE-736 Controle digital 815
Apos algumas manipulacoes algebricas, chega-se a expressao :
θ(N + 1) = θ(N) + L(N + 1)︸ ︷︷ ︸
Ganho
[
y(N + 1) − φT (N + 1)θ(N)︸ ︷︷ ︸
Erro
]
onde :
L(N + 1) =P (N)
γφ(N + 1)
[1
a+ φT (N + 1)
P (N)
γφ(N + 1)
]−1
P (N + 1) =P (N)
γ− L(N + 1)φT (N + 1)
P (N)
γ
⋆ Em Astrom& Wittenmark, 1997, pag. 515, o ganho e denotado por K(N) .
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COE-736 Controle digital 816
Resumo do algoritmo
Nova medida : y(N + 1)
Regressor : φT (N + 1) =
h−y(N) · · · − y(N+1−n) u(N) · · · u(N+1−n)
i
Predicao : y(N + 1) = φT (N + 1) θ(N)
Erro de predicao : ǫ(N + 1) = y(N + 1) − y(N + 1)
Ganho : L(N + 1) =P (N)
γφ(N + 1)
1
a+ φT (N + 1)
P (N)
γφ(N + 1)
−1
Atualizacao de P : P (N + 1) =P (N)
γ− L(N + 1)φT (N + 1)
P (N)
γ
Estimador : θ(N + 1) = θ(N) + L(N + 1)ǫ(N + 1)
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COE-736 Controle digital 817
Cascata de atrasadores (Implementacao do regressor)
O diagrama abaixo ilustra a regressao de y para o caso em que n = 3 .
1
z
1
z
1
z x1x2x3
y(k)
y(k − 1)
y(k − 2)
y(k − 3)
Figura 154: Cascata de atrasadores para gerar o vetor regressor.
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COE-736 Controle digital 818
Realizacao :
x(k + 1) =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
x(k) +
0
0
1
y(k)
Y1(k) =
y(k − 1)
y(k − 2)
y(k − 3)
=
x3(k)
x2(k)
x1(k)
=
0 0 1
0 1 0
1 0 0
x(k)
⋆ Esta realizacao foi implementada no simulador dos exemplos a seguir.
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COE-736 Controle digital 819
Simulador
yu uk yk
thetaZOH 2ZOH 1
u
Sinal de excitacao
uk y
Planta
yk
uk
theta
Identificador
22
Figura 155: Diagrama de blocos do sistema completo.
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COE-736 Controle digital 820
ud
noised
yyp1
y
uk
y
noise
Noise generator
x’ = Ax+Bu y = Cx+Du
G(s)
d
Disturbance generator
1
uk
Figura 156: Diagrama de blocos da planta.
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COE-736 Controle digital 821
e
theta(N+1) theta(N)1
thetaz
1
yk
theta
e
yk
uk
phi
Regressor
theta
phi
yhat
Predicao
[theta]
phi L
Ganho
[theta]
2
uk
1
yk
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Figura 157: Diagrama de blocos do algoritmo de identificacao.
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COE-736 Controle digital 822
1
yhat
yhat
2
phi
1
theta
22
2
2
Figura 158: Diagrama de blocos do algoritmo de predicao.
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COE-736 Controle digital 823
P phi L(N+1)
P(N+1) P(N)
1
L
z
1
P
L
MatrixMultiply
MatrixMultiply
uT
1
u
[P]
[phi]
[L]
[L]
[phi]
[P]
1/a
Constant
K*u
1/gamma
K*u
1/gamma
1
phi
2
222
[2x2]
2
22
[2x2]
[2x2]
2
2
22
2 [1x2]
2
2[2x2]
[2x2]
[2x2]
[2x2][2x2][2x2]
[2x2][2x2]
[2x2]
Figura 159: Diagrama de blocos do algoritmo de calculo do ganho.
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COE-736 Controle digital 824
y(k)
u(k)phi
1
phi
phi
y(n)=Cx(n)+Du(n)x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)
y(n)=Cx(n)+Du(n)x(n+1)=Ax(n)+Bu(n)
−1* u
(−1)
2
uk
1
yk
Figura 160: Diagrama de blocos da cascata de atrasadores para o regressor.
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COE-736 Controle digital 825
Exemplo 1 Planta de 1a. ordem (n = 1) .
Planta : g(s) =3
(s + 0.5)
Equiv. ZOH : h(z) =2.361
(z − 0.6065)(h = 1)
Neste caso : θ∗ =[
−0.6065 2.361]
(Parametro ideal)
Resultado apos 30 s de simulacao : θ =[
−0.6070 2.3580]
Script deste exemplo : cap13ex1.m
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COE-736 Controle digital 826
0 5 10 15 20 25 30−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5θ
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5|θ|
Figura 161: Resultado de simulacao com n = 1 , a = 1 , γ = 1 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 827
0 5 10 15 20 25 30−2
0
2
4
6
8
10ǫ
0 5 10 15 20 25 30−10
0
10
20
30y(k), y(k)
Figura 162: Resultado de simulacao com n = 1 , a = 1 , γ = 1 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 828
0 5 10 15 20 25 300
2
4
6
8
10|P (k)|
0 5 10 15 20 25 300
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25|L(k)|
Figura 163: Resultado de simulacao com n = 1 , a = 1 , γ = 1 .
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COE-736 Controle digital 829
Exemplo 2 Mesma planta de 1a. ordem, porem supondo n = 3 .
Planta : g(s) =3
(s + 0.5)
Neste caso : θ∗ =[
−0.6065 2.361]
(Parametro ideal)
Resultado apos 30 s de simulacao :
θ =[
−0.5900 −0.0121 0.0012 2.3589 0.0403 −0.0046]
Script deste exemplo : cap13ex2.m
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 830
0 5 10 15 20 25 30−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5θ
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5|θ|
Figura 164: Resultado de simulacao com n = 3 , a = 1 , γ = 1 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 831
0 5 10 15 20 25 30−2
0
2
4
6
8
10ǫ
0 5 10 15 20 25 30−10
0
10
20
30y(k), y(k)
Figura 165: Resultado de simulacao com n = 3 , a = 1 , γ = 1 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 832
0 5 10 15 20 25 3010
10
10
10
10
10
10
10|P (k)|
0 5 10 15 20 25 300
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25|L(k)|
Figura 166: Resultado de simulacao com n = 3 , a = 1 , γ = 1 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 833
Exemplo 3 Mesma planta de 1a. ordem com n = 1 , porem com γ = 0.9 .
Planta : g(s) =3
(s + 0.5)
Neste caso : θ∗ =[
−0.6065 2.361]
(Parametro ideal)
Resultado apos 30 s de simulacao :
θ =[
−0.6066 2.3604]
Script deste exemplo : cap13ex3.m
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 834
0 5 10 15 20 25 30−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5θ
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5|θ|
Figura 167: Resultado de simulacao com n = 1 , a = 1 , γ = 0.9 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 835
0 5 10 15 20 25 30−2
0
2
4
6
8
10ǫ
0 5 10 15 20 25 30−10
0
10
20
30y(k), y(k)
Figura 168: Resultado de simulacao com n = 1 , a = 1 , γ = 0.9 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 836
0 5 10 15 20 25 300
2
4
6
8
10
12
14|P (k)|
0 5 10 15 20 25 300
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25|L(k)|
Figura 169: Resultado de simulacao com n = 1 , a = 1 , γ = 0.9 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 837
Exemplo 4 Planta de 2a. ordem (n = 2) .
Planta : g(s) =0.5(s + 2)
(s2 + s + 1)
Equiv. ZOH : h(z) =0.6071z − 0.02507
z2 − 0.7859z + 0.3679(h = 1)
Neste caso : θ∗ =[
−0.7859 0.3679 0.6071 −0.02507]
Resultado apos 50 s de simulacao : θ =[
−0.7475 0.3501 0.6027 0.0010]
Script deste exemplo : cap13ex4.m
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 838
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1
−0.5
0
0.5
1 θ
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4|θ|
Figura 170: Resultado de simulacao com n = 2 , a = 1 , γ = 1 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 839
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5ǫ
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−4
−2
0
2
4
6y(k), y(k)
Figura 171: Resultado de simulacao com n = 2 , a = 1 , γ = 1 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 840
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
2
4
6
8
10|P (k)|
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1|L(k)|
Figura 172: Resultado de simulacao com n = 2 , a = 1 , γ = 1 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 841
Exemplo 5 Mesma planta de 2a. ordem, porem supondo que n = 4 .
Planta : g(s) =0.5(s + 2)
(s2 + s + 1)
Neste caso : θ∗ =[
−0.7859 0.3679 0.6071 −0.02507]
Resultado apos 50 s de simulacao : θ =[
−0.6231 0.2505 0.0485 0.0044 0.6086 0.0718 0.0028 −0.0030]
Script deste exemplo : cap13ex5.m
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 842
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1θ
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8|θ|
Figura 173: Resultado de simulacao com n = 4 , a = 1 , γ = 1 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 843
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5ǫ
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−4
−2
0
2
4
6y(k), y(k)
Figura 174: Resultado de simulacao com n = 4 , a = 1 , γ = 1 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 844
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5010
10
10
10
10
10
10
10|P (k)|
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1|L(k)|
Figura 175: Resultado de simulacao com n = 4 , a = 1 , γ = 1 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 845
Exemplo 6 Mesma planta de 2a. ordem com n = 2 , porem γ = 0.9 .
Planta : g(s) =0.5(s + 2)
(s2 + s + 1)
Neste caso : θ∗ =[
−0.7859 0.3679 0.6071 −0.02507]
Resultado apos 50 s de simulacao : θ =[
−0.7843 0.3671 0.6069 −0.0240]
Script deste exemplo : cap13ex6.m
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 846
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−1
−0.5
0
0.5
1 θ
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4|θ|
Figura 176: Resultado de simulacao com n = 2 , a = 1 , γ = 0.9 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 847
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5ǫ
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−4
−2
0
2
4
6y(k), y(k)
Figura 177: Resultado de simulacao com n = 2 , a = 1 , γ = 0.9 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 848
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
5
10
15
20
|P (k)|
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4|L(k)|
Figura 178: Resultado de simulacao com n = 2 , a = 1 , γ = 0.9 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 849
Exemplo 7 Mesma planta de 2a. ordem com n = 4 e γ = 0.9 .
Planta : g(s) =0.5(s + 2)
(s2 + s + 1)
Neste caso : θ∗ =[
−0.7859 0.3679 0.6071 −0.02507]
Resultado apos 50 s de simulacao : θ =[
−0.6326 0.2592 0.0470 0.0044 0.6071 0.0679 0.0033 −0.0004]
Script deste exemplo : cap13ex7.m
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 850
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1θ
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8|θ|
Figura 179: Resultado de simulacao com n = 4 , a = 1 , γ = 0.9 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 851
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5ǫ
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−4
−2
0
2
4
6y(k), y(k)
Figura 180: Resultado de simulacao com n = 4 , a = 1 , γ = 0.9 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007
COE-736 Controle digital 852
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
500
1000
1500
2000|P (k)|
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1|L(k)|
Figura 181: Resultado de simulacao com n = 4 , a = 1 , γ = 0.9 .
Prof. Ramon [Indice] [08:05] 14 de Junho de 2007