Maestría en Ciencias en Ciencias de la Computación · ii Resumen de la tesis que presenta David...

CentrodeInvestigaciónCientíficaydeEducaciónSuperiordeEnsenada,BajaCalifornia

MaestríaenCienciasenCienciasdelaComputación

Optimizaciónmultiobjetivoparalaplanificacióndetransportepúblicoaplicandotécnicasmetaheurísticas

Tesisparacubrirparcialmentelosrequisitosnecesariosparaobtenerelgradode

MaestroenCiencias

Presenta:

DavidPeñaMorales

Ensenada,BajaCalifornia,México2017

TesisdefendidaporDavidPeñaMorales

yaprobadaporelsiguienteComité

DavidPeñaMorales©2017Quedaprohibidalareproducciónparcialototaldeestaobrasinelpermisoformalyexplícitodelautorydirectordelatesis.

Dr.AndreyChernykhDirectordetesis

Dr.CarlosAlbertoBrizuelaRodríguez

Dr.JesúsFavelaVara

M.C.JorgeEnriquePreciadoVelasco

Dr.JesúsFavelaVaraCoordinadordelPosgradoenCienciasdela

Computación

Dra.RufinaHernándezMartínezDirectoradeEstudiosdePosgrado

ii

ResumendelatesisquepresentaDavidPeñaMoralescomorequisitoparcialparalaobtencióndelgradodeMaestroenCienciasenCienciasdelaComputación.

Optimizaciónmultiobjetivoparalaplanificacióndetransportepúblicoaplicandotécnicasmetaheurísticas

Resumenaprobadopor:

Dr.AndreyChernykhDirectordetesis

El transporte público es un tema importante para el desarrollo de las ciudades, dado que afectadirectamenteelbienestardelaspersonasquedebentrasladarseportrabajo,estudio,asistenciamédicaoentretenimiento.Lacalidaddelserviciodebegarantizarunaexperienciaquecumplaconcriterioscomodisponibilidad,comodidad,seguridadytiemposdeesperacortos.Porotrolado,lasempresasproveedorasdelserviciobuscanreducir loscostosdeoperación(combustible,mantenimientoopagoalconductor);porloque,unaasignaciónadecuadadelaflotaparaciertademandadepasajerosreducelacirculacióndevehículossemivacíoshaciendomásrentablelaoperación,asimismofavorececonladescongestióndelasvíasyelimpactoambiental,aldisminuirelconsumoinnecesariodecombustible.Eldiseñodehorariosylacalendarizacióndelosvehículosformanpartedeunconjuntodetareasimportantesparalaplanificacióndetransportepúblico;yaqueambosdependendelestudioyoptimizacióndelafrecuenciadecirculación,porconsiguiente,esimportanteparaevitarsobrecostosymejorarlacalidaddelserviciopercibidaporelusuario;locualesesencialalahoradeproponeraltransportepúblicocomounaopciónatractivafrentealtransporteprivado.Enestatesisseproponeunalgoritmoevolutivomultiobjetivoparalacreacióndehorarios utilizando vehículos de diferentes tipos (diferente capacidad y costo de funcionamiento),considerandolasrestriccionesdelasentidadesgubernamentalesparalossistemasdetransportepúblicoenelcontextodeciudadesinteligentes.Losobjetivosenconflictoabordadosson:laminimizacióndelcostototaldecirculación,queafectaaloperador,ylaminimizacióndelnúmerodepasajerosquenopuedentrasladarseenunperiododetiempo, locualsuponeunareducciónen lacongestiónde losvehículosymenortiempodeespera.Unconjuntodesolucionesno-dominadasrepresentadiferentesasignacionesdevehículosaunhorario,quesatisfaceunconjuntodeviajesparaunarutadefinida,enestedocumentosepresentael análisis experimental realizado, asimismo la comparaciónentre los resultadosobtenidos yaquellos generados por el algoritmo evolutivo multiobjetivo NSGA-II, en donde se evidencia unrendimientocompetitivodelalgoritmopropuestoentérminosdeconvergenciaydiversidad.

Palabras clave: algoritmos evolutivos, ciudades inteligentes, metaheurísticas, optimizaciónmultiobjetivo,transportepúblico.

iii

AbstractofthethesispresentedbyDavidPeñaMoralesasapartialrequirementtoobtaintheMasterofSciencedegreeinComputerScience

Multiobjectiveoptimizationforpublictransportplanningusingmetaheuristic

Abstractapprovedby:

Dr.AndreyChernykhThesisDirector

Publictransportisanimportanttopicforthecitiesdevelopment,becauseitaffectsdirectlythepeople’swelfarewhentheymoveforworking,studying,healthcareorentertainment.Thequalityofservicemustguaranteeagoodexperienceintermssuchascomfort,safety,availabilityandshorterwaitingtime.Ontheotherhand,thetransportcompanieslookforreducingtheoperationalcost(e.g.fuel,maintenanceordriver).Therefore,foragivenpassengerdemandanappropriatefleetassignmentcanreducethefluxofempty vehicles, fuel consumption and the associated costs, helping to reduce traffic jams, negativeenvironmentalimpactandoperationcosts.Timetablingandvehicleschedulingareimportantactivitiesinpublictransportplanning.Thetimetablesdependonthestudyandoptimizationinvehicles’frequency;hence,theyareimportanttoavoidadditionalcostsandimprovethequalityofserviceperceivedbyusers,whichisessentialtomakingpublictransportmoreattractive,andtoincreaseitsusecomparedtoprivatetransportmethods. This paper presents a heuristic based onMOCell (a cellular genetic algorithm formultiobjectiveoptimization)tocreatebustimetablesusingmultiplevehicletypes(i.e.differentcapacityandoperatingcost),consideringrestrictionsofgovernmentagenciesforpublictransportsystemsinthecontextofsmartcities,alsoknownasIntelligentTransportSystem(ITS).Theconflictingobjectivestackledin this work are the minimization of the overall cost, that affects the operator's business and theminimizationofthenumberofpassengersthatcannotmoveinatime-period,whichsupposeareductionin vehicles overload and less waiting time. A set of non-dominated solutions represents differentassignments of vehicles covering a given set of trips in a defined route, this document includes theexperimentalanalysisandthecomparisonbetweentheresultsandthenon-dominatedsetsprovidedbyamultiobjectiveevolutionaryalgorithmknownasNSGA-II,thisstudyshowsacompetitiveperformanceoftheproposedalgorithmintermsofconvergenceanddiversity.

Keywords:evolutionaryalgorithms,metaheuristics,multiobjectiveoptimization,publictransportation,smartcities.

iv

Dedicatoria

A Colombia,

Robinson y Alexander

“Educationisthepassporttothefuture,fortomorrow

belongstothosewhoprepareforittoday”

—MalcolmX

v

Agradecimientos

Amispadresyhermano,porsuapoyoincondicionaldesdeladistanciayserunamotivaciónparaalcanzargrandeslogros.

AlDr.AndreyChernykh,porsuapoyoyacompañamientofundamentalparaelaborareltrabajodetesis.

Alosmiembrosdemicomitédetesis,porsusconsejos,indicacionesycolaboraciónesestetrabajo.

Amisamigosqueestuvieronapoyándome,tolerándomeyaconsejándomedurantelaslargassesionesdeestudio.

AlCentrodeInvestigaciónCientíficaydeEducaciónSuperiordeEnsenada(CICESE),enespecialatodoelDepartamentodeCienciasdelaComputación(DCC)quemehabrindadoungranapoyoenmiestanciaenlainstitución.

AlConsejoNacionaldeCienciayTecnología(CONACyT)porbrindarmeelapoyoeconómicopararealizarmisestudiosdemaestría.

vi

Tabladecontenido

Resumen.................................................................................................................................ii

Abstract.................................................................................................................................iii

Dedicatoria............................................................................................................................iv

Agradecimientos.....................................................................................................................v

Listadefiguras......................................................................................................................viii

Listadetablas.........................................................................................................................xi

Capítulo1. Introducción.....................................................................................................11.1 Motivación...........................................................................................................................11.2 Antecedentes.......................................................................................................................3

1.2.1 HeurísticasTempranas............................................................................................................51.2.2 MétodosMatemáticos............................................................................................................61.2.3 MétodosMetaheurísticos.......................................................................................................6

1.3 Objetivos............................................................................................................................111.3.1 Objetivogeneral....................................................................................................................111.3.2 Objetivosespecíficos.............................................................................................................11

1.4 OrganizacióndelaTesis......................................................................................................11

Capítulo2. Transportepúblico..........................................................................................132.1 Introducción.......................................................................................................................132.2 Creacióndehorariosocalendarios......................................................................................152.3 Conceptosbásicos...............................................................................................................162.4 Creacióndehorariosocalendariosconvehículosdediferentestipos..................................182.5 Trabajosrelacionados.........................................................................................................182.6 Definicióndelproblema......................................................................................................20

2.6.1 Planteamientodelproblema.................................................................................................202.6.2 Definiciónformaldelproblema.............................................................................................21

Capítulo3. Optimizaciónmultiobjetivo(OMO).................................................................233.1 Introducción.......................................................................................................................233.2 ConceptosbásicosdeOMO.................................................................................................23

3.2.1 Vectorideal............................................................................................................................263.2.2 ConceptosdedominanciayPareto.......................................................................................27

3.3 Métodosdesolución...........................................................................................................313.3.1 ClasificacióndelosmétodosparaPOMO..............................................................................323.3.2 Métododelcriterioglobal(métodosinpreferencia)............................................................333.3.3 Ordenamientolexicográfico(métodoapriori)......................................................................343.3.4 Restricción−𝝐(métodoaposteriori).....................................................................................343.3.5 Optimizaciónevolutivamultiobjetivo(métodoaposteriori)................................................35

Capítulo4. AlgoritmosevolutivosparaproblemasdeOMO..............................................374.1 Introducción.......................................................................................................................374.2 ConceptosbásicosdeAlgoritmosevolutivos(AE)................................................................38

4.2.1 ComponentesdeunAE.........................................................................................................404.2.2 Representacióndelindividuo................................................................................................424.2.3 Población...............................................................................................................................43

vii

4.2.4 Funciónparaevaluacióndeaptitud(funcióndecalidad)......................................................444.2.5 Mecanismoparalaseleccióndepadres................................................................................444.2.6 Recombinación......................................................................................................................444.2.7 Mutación...............................................................................................................................464.2.8 Mecanismodeseleccióndelossobrevivientes(Reemplazo)................................................47

4.3 AEconenfoquemultiobjetivo(AEMO)................................................................................474.3.1 ClasificacióndelosAEMO......................................................................................................484.3.2 NondominatedSortingGeneticAlgorithmII(NSGA-II).........................................................494.3.3 MultiObjectiveCellulargeneticalgorithm(MOCell).............................................................51

4.4 AEMOpropuesto................................................................................................................534.4.1 Representación(codificación)...............................................................................................534.4.2 Funcionesobjetivoyevaluacióndeaptitud..........................................................................554.4.3 Operadoresgenéticos............................................................................................................56

Capítulo5. Resultadosexperimentales.............................................................................585.1 Indicadoresdecalidad(métricasderendimiento)...............................................................59

5.1.1 Espaciadoypropagación.......................................................................................................595.1.2 Hipervolumen........................................................................................................................615.1.3 Cubrimientoentredosconjuntos..........................................................................................625.1.4 Indicador−𝝐...........................................................................................................................63

5.2 Diseñodeexperimentos.....................................................................................................655.3 Resultadosexperimentales.................................................................................................685.4 Análisisderesultadosydiscusión........................................................................................73

Capítulo6. Conclusionesytrabajofuturo.........................................................................76

Literaturacitada....................................................................................................................78

viii

Lista de figuras

Figura 1. Relaciones importantes entre entidades comprendidas en ciudades inteligentes con los principales retos involucrados. .................................................... 2

Figura 2. Línea de tiempo de la evolución en al ámbito de la investigación de operaciones sobre el estudio de problemas de optimización asociados a sistemas de transporte. ................................................................................................................... 4

Figura 3. Portada y una página de “Bus Scheduling Manual" Agosto de 1947 (Ceder, 2007). ........................................................................................................................... 4

Figura 4. Trazado de la ruta y sus respectivas paradas definidas al momento del diseño topológico de R (izquierda). Tipos vehículos disponibles, calendario propuesto que asigna cada vehículo (i) a un viaje (tk) y su comportamiento para una demanda de pasajeros obtenida en un periodo de tiempo j (derecha). ................... 22

Figura 5. Representación gráfica del espacio de decisión (Ω) y su correspondiente espacio objetivo (Λ). .................................................................................................. 25

Figura 6. Soluciones óptimas de Pareto (frente de Pareto) en el espacio objetivo (Λ), para los cuatro casos posibles con dos funciones objetivo (f1 y f2). a). Minimización-Minimización. b). Minimización-Maximización. c). Maximización-Minimización. d). Maximización-Maximización. ................................ 29

Figura 7. Vector objetivo ideal (z*) y ficticio (z**), frente de Pareto (PF) y dos posibles conjuntos de soluciones P1, y P4 (izquierda). Asimismo, tres vectores objetivo diferentes (P1, P2, P3) y su respectivo PF (derecha), para dos POMO de minimización con dos funciones objetivo f1 y f2. ..................................................... 30

Figura 8. Componentes principales de un genotipo que define los rasgos de un organismo, manifestados, según el ambiente al que está expuesto, como: colores, formas, y demás características visibles del individuo (fenotipo). .............. 39

Figura 9. Ejemplo de una representación binaria para un conjunto de individuos con diferentes características. Analogía entre los conceptos computacionales y su contraparte biológica, estructura de los datos y terminología. ................................ 39

Figura 10. Ciclo evolutivo tradicional para un AG con población panmíctica............................ 41

Figura 11. “One-point crossover” (arriba) con un ρ = 3, “n-point crossover” (medio) para un n = 3, ρ = 1,3,5 y cruzamiento uniforme (abajo) para un arreglo de números aleatorios = 0.1, 0.7, 0.8, 0.2, 0.9, 0.8, 0.2 y ρ = 0.5. ............................... 45

Figura 12. Mutación “swap” (arriba) para un κ = 2,3,7, “random resetting” (abajo) para un cromosoma de con representación binaria. ......................................................... 46

ix

Figura 13. Cuadro esquemático de los pasos que ejecuta NSGA-II para producir una nueva generación Pi + 1. .......................................................................................... 50

Figura 14. Cálculo de la distancia de apiñamiento (“crowding distance”), para los valores extremos del frente se asigna una distancia infinita. ................................................ 51

Figura 15. Diferentes tipos de poblaciones utilizadas en algoritmos evolutivos a) Panmíctica, b) Islas conectadas, c) Vecindarios superpuestos. ................................. 51

Figura 16. Vecindarios diferentes, a) cuatro, b) ocho, c) doce, para dos individuos I1 =(x, y) e I2 = (x-1, y-1)............................................................................................... 52

Figura 17. Ciclo de reproducción para un algoritmo genético celular con cuatro vecinos por individuo y un conjunto no dominado de cuatro individuos. ............................. 52

Figura 18. Representación para dos individuos vecinos y su respectivo comportamiento para un periodo de tiempo y una carga de pajeros definida. ................................... 54

Figura 19. Perfil de carga para una ruta con seis paradas si, i = 1, … ,6, una carga máxima de 250 pasajeros en la tercera parada, una capacidad de vehículos total igual a 200 y un factor de carga LF2 = 75%. LQ3 = 100 indica que en la tercera parada se están perdiendo cien pasajeros ya que no pueden ser transportados por la flota asignada. .................................................................................................. 55

Figura 20. Método de recombinación implementado, modificación del tradicional “one-point crossover”. ........................................................................................................ 56

Figura 21. Método de mutación implementado, con un k = 3 (cantidad de genes que pueden ser modificados). .......................................................................................... 57

Figura 22. Ejemplo de la representación de una solución (cromosoma) para un caso con tres tipos de vehículos diferentes y un total de seis viajes en tres periodos de tiempo. Etapas de reproducción para un algoritmo celular asíncrono. .................... 57

Figura 23. Distancias entre las soluciones de un P. ................................................................... 60

Figura 24. Distancias entre las soluciones de un P, incluidas las distancias entre los extremos del frente de Pareto y las soluciones más cercanas. ................................. 61

Figura 25. El hipervolumen encerrado por las soluciones que pertenecen al conjunto de soluciones no dominado P1 y el punto W (izquierda). Comparación entre el hipervolumen construido por P1 y P2 (derecha). ..................................................... 62

Figura 26. Ejemplo de la interacción de dos conjuntos de soluciones P1 y P2 y sus posibles relaciones de dominancia. ........................................................................... 63

Figura 27. Cada una de las áreas marcadas representa el espacio que es ϵ- dominado al calcular la métrica así: IϵP1, P2 = 0.88, IϵP1, P3 = 1, IϵP1, Pf = 4

x

.Multiplicando a la solución P1 los valores obtenidos para Iϵ se obtienen las áreas que representan cada uno de los tres posibles casos de ϵ. ............................. 64

Figura 28. Mapa digital de la ciudad de Los Ángeles, California EEUU con las paradas de la ruta 217 resaltadas en sentido sur-norte y norte-sur (Esidian, 2017). .................. 66

Figura 29. Carga de prueba utilizada para la ejecución de los algoritmos, representa el promedio de la demanda de pasajeros por cada una de las 59 paradas en intervalos de tiempo de una hora (19 intervalos en total) para la ruta 217 en LA, carga máxima de pasajeros (481) en la parada Fairfax/ Rosewood durante las 17:00 a las 18:00 horas (hora pico). ..................................................................... 66

Figura 30. Mapa de calor para el rendimiento promedio (IHV) de los resultados del algoritmo genético celular basado en MOCell en su versión asíncrona. ................... 68

Figura 31. Degradación del promedio de IHV para las 342 combinaciones de parámetros para el algoritmo genético celular (Pr y Pm). ............................................................ 69

Figura 32. Impacto de la variación de la probabilidad de recombinación con un mismo valor de Pm. ............................................................................................................... 69

Figura 33. Rendimiento del hipervolumen en 30 ejecuciones independientes del algoritmo genético celular para 100 generaciones, es decir, evaluar la malla toroidal completa, individuo por individuo. .............................................................. 70

Figura 34. Mapa de calor para el rendimiento promedio (IHV) de los resultados del algoritmo genético NSGA-II........................................................................................ 71

Figura 35. Conjunto de soluciones obtenido con el algoritmo genético celular, correspondiente a un IHV = 0.4398 en comparación a la población inicial para una ejecución con Pr = 0,95 y Pm = 0,3. ........................................................ 71

Figura 36. Mejor aproximación al frente de Pareto obtenida para MOCell y NSGAII, correspondiente a un IHV= 0.4398 𝑦 0.3866 respectivamente (izquierda). Mejor aproximación al frente de Pareto obtenida, mediante la unión de las 30 soluciones encontradas en cada ejecución de los algoritmos (derecha). ................. 72

Figura 37. Comparación entre un frente de Pareto artificial y dos conjuntos de soluciones no dominadas. .......................................................................................... 74

Figura 38. Ejemplo de tres calendarios diferentes (fenotipo) al interpretar tres cromosomas ubicados en el espacio objetivo (izquierda). Comparación de los tres horarios encontrados versus el costo de operación de una asignación vehicular observada en la ruta 217 en Los Ángeles, California EEUU. ...................... 75

xi

Lista de tablas

Tabla 1. Relaciones de dominancia entre dos soluciones (puntos en el espacio objetivo) y entre dos conjuntos de aproximación al frente de Pareto. .................................. 30

Tabla 2. Resumen general de las métricas binarias Indicador-ϵ y Cubrimiento entre dos conjuntos en términos de las relaciones de dominancia. Los espacios vacíos indican que no hay un método de comparación que permita definir que es completamente compatible con esta relación de dominancia. .............................. 65

Tabla 3. Parámetros de configuración iniciales para el algoritmo genético celular. ............... 67

Tabla 4. Parámetros de configuración iniciales para el algoritmo genético NSGA-II. ............. 70

Tabla 5. Métricas para POMO como indicadores de calidad calculadas para AGC y NSGA-II. ............................................................................................................................... 72

Tabla 6. Comparación de resultados aplicando la métrica ITSCX', X'' donde X'y X''representan el algoritmo en la fila y en la columna respectivamente. ............... 72

Tabla 7. Comparación de resultados aplicando la métrica IϵA, B donde A y B representan el algoritmo en la fila y en la columna respectivamente. ........................................ 73

1

Capítulo1. Introducción

Enunmundocadavezmásinterconectadoyglobalizado,en2014másdelamitaddeloshabitantes(54%)

seencuentraenzonasmetropolitanas,adiferenciadel30%estimadoen1950.Esteabruptocrecimiento

implica cambios importantes tanto en el tamaño como en la densidad de población, este efecto se

acentuaráenlaspróximasdécadas,conuncrecimientoestimadodel70%delapoblaciónmundialviviendo

enlasciudadesenel2050(UnitedNations,2014),locualconllevaaunincrementodelademandadelas

infraestructurasqueinteractúandirectamenteconlaspersonasquesuelenmoversealasáreasurbanas

en busca de oportunidades y una calidad de vidamejor, lo que implica diversos problemas como la

congestión,aumentando lautilizacióndeunacantidad limitadade recursosnaturalesyotrosbieneso

servicioscomo:laenergía,elagua,laeducación,losserviciosdesaludoeltransporte.

1.1 Motivación

Actualmente, las principales dificultades para las ciudades en términos de movilidad urbana suelen

relacionarseconlaincapacidaddelossistemasdetransportepúblicoparasatisfacerlasnecesidadesde

unnúmerocrecientedeusuariosyaunquecadaciudadtieneproblemáticasadicionalesdiferentes, las

autoridadesoentesresponsablesdelamovilidadcompartenretoscomunescomo(Houghtonetal.,2011):

• Reducir la congestión vehicular mejorando el flujo del tráfico, concibiendo un ambiente

sustentableymáslimpio.

• Incentivarelusodeltransportepúblicoyotrasopcionesdedesplazamientomásecológicascomo

labicicleta.

Adicionalmente, es importante impulsar una reducción en el uso del vehículo particular, el cual en

promediotransportamenosdedospersonas,ocupandoelmismoespacioparatrasladaracincopasajeros;

generandomás polución y agravando el efecto invernadero, este uso desmedido del espacio público

aumentaeltráfico,perjudicandonotablementeeltiempodesplazamientodelosciudadanos.

2

Anteestepanorama,sehacenecesarioeldesarrollodemetodologíasparaeldiseñoyplanificacióndelos

sistemasdetransportepúblicoquebrindenunserviciodecalidadalosciudadanos.

"Unaciudadavanzadanoesenlaquelospobrespuedenmoverseencarro,sinounaenla

queinclusolosricosutilizaneltransportepúblico"(Peñalosa,2013).

Lasciudadesinteligentes(“SmartCities”)proponenlaincorporacióndetecnologíasparalacohesiónde

los aspectosque involucranproblemasde tipo social, institucional e infraestructura enunecosistema

urbano(Albinoetal.,2015).Áreastandiversascomolaadministraciónciudadana,educación,serviciosde

salud, seguridadpública,vivienda,energía, transportey logística,puedenmejorarse, interconectarsey

tornarsemáseficientesgraciasalaincorporacióndetecnología(WashburnySindhu,2010).Lasciudades

inteligentespermitenreducircostos,hacerunusoresponsabledelosrecursosyfomentarlaparticipación

activa de los ciudadanos en los procesos de toma de decisiones, con el fin de alcanzar una ciudad

sustentableeinclusiva(verFigura1).

Figura1.Relacionesimportantesentreentidadescomprendidasenciudadesinteligentesconlosprincipalesretosinvolucrados.

3

Paraelcasopuntualdeltransporte,seintroduceelconceptode“SmartMobility”osistemadetransporte

inteligente (ITS: por sus siglas en inglés “Intelligent Transportation System”) en el que se integran

tecnologíasdelainformaciónylacomunicación(TIC),aplicadasalsectordeltransporte(Alametal.,2016).

Losavancestecnológicos,enespecialencienciascomputacionalesysistemasdecomunicación,permiten

recolectarungranvolumendedatosdeltransporteylamovilidaddelaspersonasenlasciudades,delos

cuales se puede extraer información relevante, la cual compromete a los ITS con los usuarios,

organizacionesgubernamentalesyoperadoresdediferentesserviciosacontarconnuevasherramientas

yaplicacionesproductodelarduotrabajodelacomunidadcientífica.

LosobjetivosdelosITS,generalmenteseformulan,mediantelaparametrizacióndemetasestablecidas

porentesinteresados(Gordon,2016):

• Mejorarlaseguridaddelossistemasdetransporte.

• Incrementarlaeficienciaoperativaycapacidaddelossistemasdetransporte.

• Reducirelconsumodeenergíayelimpactoambiental.

• Mejorar laproductividadeconómicatantodeusuarioscomodeoperadoresde lossistemasde

transporte.

• Mejorarlamovilidadindividual,laconvivenciaycomodidadparalospasajerosenlossistemasde

transporte

• CrearunentornoquepermitaeldesarrolloydesplieguedenuevastecnologíasdeITS.

1.2 Antecedentes

Diferentes modelos y algoritmos han sido desarrollados para resolver problemas relacionados con el

transporte, en especial transporte público urbano. Lamayoría de estos trabajos se basan enmodelos

planteadoshacealgunasdécadas,loscualessonabordadoscontécnicasdeinteligenciacomputacional,

buscandoaproximarmejor lasposiblessoluciones,debidoalacomplejidadcomputacionalquepueden

presentaralgunossub-problemascomolacreacióndehorariosolacalendarizacióndelosvehículos.Enla

Figura 2 semuestra una línea de tiempo de los esfuerzos que se están realizando en este campo de

investigación.

4

Figura 2. Línea de tiempo de la evolución en al ámbito de la investigación de operaciones sobre el estudio deproblemasdeoptimizaciónasociadosasistemasdetransporte.

Sehanpropuestodiferentes algoritmospara la solucióna lasproblemáticasdeplanificaciónde rutas,

calendarizacióndeconductores,asignacióndevehículos(tamañodelaflotarequerida)yasignaciónde

frecuencias de despacho para viajes en una ruta especifica. Este conjunto de problemáticas se puede

englobarenelproblemadeplanificacióndeltransportepúblico,elcualatravésdelahistoriahatenido

unaevoluciónquesurgedesde ladécadadel40 (verFigura3)endiferentes lugares (Ceder,2007),en

dondemanualesparalacalendarizacióndebuseshacíanunaapariciónenunsistemaquerequeríamayor

detalleparaunacomprensióncompletadelosproblemasasociados.

Figura3.Portadayunapáginade“BusSchedulingManual"Agostode1947(Ceder,2007).

5

En losaños70aparecennuevas ideasbasadasen la intuición,peroaúnnosecontabaconunmodelo

concreto,enladécadadelos80aparecenformulacionesparaalgunasfuncionesobjetivo(p.ej.reducirel

tiempode esperaominimizar el costodeoperación) y algunosparámetros para el cubrimientode la

demanda; luego a inicios de los 90 aparecennuevos enfoques ligados a la exploracióndel espaciode

solucionesylautilizacióndemodelosestocásticos(Ramírezetal.,2015).

Para realizar la planificación de un sistema de transporte público es necesario solucionar todos los

problemasrelacionados,algunosautores(Ceder,2016;Ibarra-Rojasetal.,2015)proponenunaseriede

pasosofasesdelasiguientemanera:

• Diseñoderecorridosparalasrutas.

• Definicióndefrecuenciasdelosvehículos.

• Determinacióndelatabladehorarios,horadesalidayhoradellegada.

• Asignacióndevehículosparacubrirlosviajes.

• Asignacióndelosconductoresydemáspersonalrequeridoparalaoperación.

Todas lasetapasdebenser tratadas simultáneamenteparaasegurarmejores resultados, sinembargo,

debidoalacomplejidaddedesarrollarunsistemacompleto,sedefinenunaseriedesub-problemas,los

cuales se desarrollan de manera individual y secuencial, no obstante, comparten características que

puedensercomparadasyexaminadasendetalle.

1.2.1 HeurísticasTempranas

Llamaremosheurísticastempranasalasprimerasaproximacionesalproblema,lascualesnoteníanalgún

modelomatemáticodesarrolladoysebasabanenbuscarunasolucióninicialeirrefinándolaalmáximo

porexploraciónconalgúnmétodonoriguroso.

El sistema TRACS (“Techniques for Running Automatic Crew Scheduling”) fue desarrollado en la

UniversidaddeLeedsen1967,comounodelosprimerosesquemaspropuestoselcualseenfocabaen

generar la mejor solución inicial posible, debido a que no consideraba la posibilidad de hacer

modificacionesconbuenrendimientousandolastécnicasdisponiblescomoeltanteo;TRACSgenerabael

calendarioinicialparalaasignacióndeconductoresmediantelacombinacióndedistribucionesquecubren

6

las horas de mayor demanda, generando pequeños bloques que podían ser eliminados ya que se

superponíancon laactividaddeotroconductor (J. Li,2002).En los70’ssurgeel sistemaRUCUS (“Run

Cutting and Scheduling”), en Hamburgo se propone el HOT (“HamburgOptimization Techniques”) los

cualesgenerabanalgunaposiblesolucióniniciallacualseexplotabaconunatécnicadebúsquedalocal

buscandomejorarla. En ladécadade losochentase incorporaunpaquetedeprogramaciónconocido

como BUSMAN, el cual contenía un algoritmo de nombre COMPACS (“Computer Assisted Crew

Scheduling”)elcualutilizabalassolucionesinicialesgeneradasporTRACSparaluegomodificarlasenbusca

demejorasmediantelainteracciónentrelasolucióninicialylasposiblesvariaciones(ChamberlainyWren,

1992).

1.2.2 MétodosMatemáticos.

El problemadeasignaciónde autobuseso calendarizaciónde conductorespuedemodelarse comoun

cubrimientode conjuntos (“set covering”) (Chvatal, 1979)oparticiónde conjuntos (“setpartitioning”)

(Biancoetal.,1994),modelosmatemáticosdegrafosampliamenteconocidos.

Afinalesdelosaños70sedesarrollóIMPACS(“IntegerMathematicalProgrammingforAutomaticCrew

Scheduling”) instalado en Londres en 1984. Luego apareció TRACS II como una nueva generación de

software para programación de conductores basado en programación matemática que garantiza un

calendarioóptimo(Foresetal.,1999).En1992sepresentóEXPRESSunsistemadesarrolladoparaNueva

Zelandafundamentadoenelmodelodeparticióndeconjuntos(J.Li,2002).

DadoquelacantidaddecombinacionesesmuyaltayestosproblemassondetipoNP-difícil(Ceder,2007),

sepropusieronimplementacionesencombinaciónconheurísticasparareducirsudimensionalidadypoder

encontrarsolucionesfactiblesentiemposrazonables.

1.2.3 MétodosMetaheurísticos

Variosinvestigadoresutilizandiferentestécnicasdeinteligenciacomputacionalcombinadasconmétodos

propiosdelainvestigacióndeoperacionesparatratardeencontrarsolucionesóptimasalosproblemas

relacionadoscontransportecomolaplanificacióndeltransportepúblico.Estosehacenecesarioenvista

dequelaprogramacióndefrecuenciasparadespachodevehículosolaasignacióndeconductoresson

problemascombinatorios,dondelasvariablesdedecisióndebendefinirsedentrodeunespaciodiscreto

7

yelnúmerodealternativasesequivalenteatodaslascombinacionesposiblesdetodoslosvaloresdelas

variablesinvolucradas.

Sehanrealizadonumerosaspropuestasdemétodosdeoptimizaciónpararesolverlos,loscualespueden

clasificarse en exactos y heurísticos. Los exactos garantizan encontrar el óptimo global, perohaymuy

pocas aplicaciones en la literatura, debido a su ineficiencia por la alta dimensionalidad que debe

manejarse. Los heurísticos ometaheurísticos solo permiten aproximarse a la solución óptima (óptimo

global),perosonmáseficientesy flexiblescon losrecursosnecesariosparasuejecución.Losmétodos

heurísticossiguenengeneralunadelasdosestrategiasbásicas:“divideyvencerás”ymejoraiterativa.Los

primeros,fraccionanapropiadamenteelproblemaensub-problemasdetamañomás“manejable”yluego

enlazanlassolucionesencontradasparacadaunodeellos.Losalgoritmosdemejoraiterativainiciancon

unaposiblesoluciónalproblemalacualdemaneracontinuaesmodificadahastaquesemejorelafunción

objetivo.Estabúsquedapuedeestancarseenunvaloróptimolocalporloqueesrecomendablehacerel

proceso varias veces utilizando diferentes configuraciones generadas aleatoriamente, guardando los

mejoresresultados.Adicionalalacomplejidadantesmencionada,haydiversosproblemasconmúltiples

objetivosquepuedenestarenconflictolocualaumentaelcostoyladificultadcomputacionalalahorade

intentar resolverlos. En el caso del transporte público, como se pudo observar en la Figura 3, se han

implementadodiferentesmétodosheurísticos,metaheurísticosyexactos;algunosdeellosbasadosenel

aporterealizadoporIsraeli,Ceder,BaajyMahmassani.

BaajyMahmassani(1995)proponenvariasrestriccionesalproblemadeplanificacióndetransportecon

parámetrosquetienenencuentadiversosaspectosimportantescomolafrecuenciadelosvehículos,el

tamañodelaflotayelfactordecargadelospasajeros.Elmodeloestádefinidocomo:

Minimizar 𝐶" 𝑑$%𝑡$%'%(" + 𝐶* 𝑓,𝑡,'

%("'$("

Sujetoa 𝑓, ≥ 𝑓.$'∀𝑘 ∈ 𝑅 (1)

𝐿𝐹, =789:;

<8=≤ 𝐿𝐹.?@∀𝑘 ∈ 𝑅 (2)

𝑁,,∈B = 𝑓,𝑡,,∈B ≤ 𝐹𝑆 (3)

Donde:

𝑛 Cantidaddenodosdelared.

𝑑$% Demandaentrelosnodos𝑖y𝑗.

𝑡$% Tiempodeviajeentre𝑖y𝑗.

8

𝑓, Frecuenciadelosvehículosqueoperanlaruta𝑘.

𝑓.$' Frecuenciamínimapermitidaparacualquierruta.

𝑡, Tiempototaldeviajedelaruta𝑘.

𝑄,.?@ Máximoflujoporarcodelaruta𝑘.

𝛼 Capacidaddepasajerosenlosvehículos.

𝐿𝐹, Factordecargaenlaruta.

𝐿𝐹.?@ Factordecargamáximopermitido.

𝑁, Cantidaddebusesoperandolaruta𝑘.

𝐹𝑆 Tamañodelaflotadisponible.

𝑅 Conjuntoderutas.

𝐶"𝑦𝐶* Pesosrelativosparalafunciónaminimizar.

Paraestemodeloseproponeunasoluciónheurísticabasadoen lacombinaciónderutas,enelcual la

poblacióninicialsegeneraapartirdeidentificarloscaminosmáscortosentrelosnodosdealtademanda.

Por otra parte, se propusieron algoritmos de búsqueda local, para un modelo de optimización

multiobjetivo,endondesepretendeminimizareltamañodelaflotayreducirelcostoquerepresentala

cantidaddepasajerosporhora,tiempodeesperadelospasajerosentrecadaparadaytiempodeviajeen

elqueelbusseencuentravacío(IsraeliyCeder,1995).

Minimizar: 𝑓" = 𝐶" 𝑃𝐻$%$,%∈M

+ 𝐶* 𝑊𝐻$%$,%∈M

+ 𝐶O 𝐸𝐻QQ∈B

(4)

y (6)

𝑓* = 𝐹𝑆 (5)

Donde:

𝑃𝐻$% Pasajeros/horaentrelosnodos𝑖y𝑗.

𝑊𝐻$% Tiempodeesperadelospasajerosentrelosnodos𝑖y𝑗.

𝐸𝐻$% Espaciovacíoporhoraenlaruta𝑟.

𝐹𝑆 Tamañodelaflotadisponible.

𝑅 Conjuntoderutas.

𝐶", 𝐶*𝑦𝐶O Pesosrelativosparalafunción𝑓"aminimizar.

9

Elmodeloseresuelveentresmomentos:

• Se generan varios conjuntos de soluciones no dominados, mediante la solución al problema

asociadodecubrimientodeconjuntos.

• Sedeterminalasfrecuenciasdedespachodecadavehículo.

• Para laexploracióndesoluciones,se implementaunmétododebúsqueda local, finalmentese

evalúanyseleccionanlasmejoressolucionesdelconjuntoPareto-óptimo.

Latécnicaconocidacomo“recocidosimulado”secaracterizaporalterarunasoluciónfactibleseleccionada

aleatoriamente. Esta perturbación producirá una nueva alternativa que sustituirá a la anterior. El

reemplazoseráaceptadoonoenfuncióndealgunaregladedecisión.Elprocesoserepiteiterativamente

hastaqueseconsiderequesellegóalóptimooconunaaproximaciónaceptable(Kirkpatricketal.,1983).

Elmétodosebasaenel "recocido simulado" realizadoenmecánicaestadística, La técnica consisteen

calentary luegoenfriarelmaterialcomoelaceroo lascerámicas,variandosuscaracterísticas,elcalor

promueve un cambio en la energía de los átomos alcanzando los valores iniciales (mínimo local del

problema),luegoelenfriamientocontroladopretendealcanzarlosvalorescuyorendimientotengamenor

energíaquelosvaloresiniciales(mínimoglobaldelproblema).Serafini(1994)utilizaalgoritmosbasados

en “recocido simulado” y sugiere su uso en problemas conmúltiples objetivos; empleando reglas de

agregaciónponderadadevaloresdelosobjetivos,diferentealosalgoritmosclásicosderecocidosimulado

para un solo objetivo. Costa et al. (2016), presentan un algoritmo en el campo de los trenes de alta

velocidad,inicializadodemaneraaleatoriayutilizandotécnicasclásicasdeenfriamientoparamejorarla

soluciónyescapardeóptimoslocales.

Algoritmosbasadosen“BúsquedaTabú”,unmétodointroducidoporGloveren1989comounatécnica

iterativaqueescapadeóptimos localesaceptandosolucionesnotanbuenas,moviéndosepasoapaso

haciaunasoluciónlomáscercanaposibleaunóptimoglobal(Gloveretal.,2007).Labúsquedatabú,al

contrario de otrosmétodos que tratan de escapar de los óptimos locales aleatoriamente, utiliza una

exploracióninteligentebasadaenformassistemáticas,estametaheurísticaestábasadaenlapremisade

que para clasificar un procedimiento de solución como “inteligente”, es necesario que éste incorpore

memoriayexploraciónadaptativa.ElsistemaHACS(ShenyKwan,2001)aplicabúsquedatabúalproblema

delaasignacióndeconductores.Unmétododebúsquedatabúfueaplicadoparaeldiseñoderedesde

transportecondemandavariablebasadoeneltrabajodeBaajyMahmassani(1995)conenfoquenolineal

ymultiobjetivo(FanyMachemehl,2008).

10

Losmétodosconocidoscomooptimizaciónporcoloniasdehormigasseinspiraronenlosestudiossobreel

comportamientodelascoloniasdehormigasycomolograndeterminarcaminoscortoshaciafuentesde

alimentos a través de la búsqueda semi-aleatoria de un grupo de hormigas que depositan feromonas

(Dorigoetal.,2006).Laferomonadepositadaconstituyelainformaciónquepermitelacoordinaciónde

losesfuerzosdelenjambreenbuscadecomida,unahormigaestámásinclinadaaseguirunatrayectoria

cuantomásfuerteseaelrastrodeferomonadepositadaenella.¿Cómoayudaestoaencontrarelcamino

más cortoa la comida?Pues resultaque lahormigaqueda con la comidaprimero (presumiblemente

porqueencontróuncaminomásomenoscortohaciaelalimento)tambiéneslaprimeraendepositarel

dobledeferomonasobreunatrayectoriaalseguiréstaensucaminodevueltaalacolonia.Otrashormigas

preferirán ligeramente esta trayectoria en comparación con otras que solo cuentan con la mitad de

feromonaenellas,yalhacerlointensificanelrastrodeferomonahaciendolarutaaúnmásatractivapara

nuevashormigas.Comoalprincipioelrastrodeferomonanoesmuyfuerte,lasprimerashormigasque

siguenelcaminohacialacomidapuedendesviarseyencontraratajos,conloqueseperfeccionalasolución

propuesta.Eventualmentelamayorpartedehormigassiguenelcaminohastaagotarlafuentedealimento

(Quintero,2005).Mehretal.(2016)implementanestetipodemetaheurísticapararesolveralproblema

dediseñodelíneasparatrenesligerosobusesdetránsitorápidoenlaciudaddeMashhadenIrán.

Unatécnicamuyutilizadasonlosalgoritmosgenéticos(AG),inspiradosenlosconceptosdelagenéticay

laselecciónnatural.Sehanrealizadovariosaportespordiferentesinvestigadoresparaeldiseñoderedes

detransporte(topologíaytrayectosdelasrutas)ylacreacióndehorariosocalendarios,desdemediados

delosaños90,porejemploPattnaiketal.(1998)secentranenminimizarelcostoasociadotantoparael

operadorcomoparaelusuario,conunAG,queconstadedosfases:primerosegeneraunapoblación

inicialdecandidatosasersolucionesfactiblesalproblema,luegosehacentorneostípicosenAGcomo

ejemplo de selección natural para podermejorar los individuos, finalizando con un selecto grupo de

posiblessolucionesconunaltodesempeño.Biellietal.(2002)proponenunAGconunafunciónobjetivo

que llaman 𝑓𝑓, la cual se caracteriza por tener una metodología de cómputo que genera nuevas

poblaciones,evaluadasdemanera iterativa conenfoquesmultiobjetivo, conel findediseñar lamejor

infraestructuradebusesquesatisfagaunademandayofertaparadeterminadoscasos.Chakroborty(2003,

2004)mencionalaaltaefectividaddelosalgoritmosgenéticosparasolucionarelproblemadediseñode

redesdetransporteurbano(UTNDPporsussiglaseninglés:“UrbanTransitNetworkDesignProblem”).

ChewyLee(2012)desarrollanunmarcodetrabajo(“framework”)usandoAGcuyafinalidadesreducirel

costo para los pasajeros, resolviendoel problemadediseñode rutas en tránsito urbano.Utilizanuna

estructurabasadaenpermutacióndeenterosyoperacionesclásicasdecruzamientoymutaciónparadicha

representación.

11

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivogeneral

Diseñar e implementar un algoritmo para la planificación táctica en sistemas de transporte público

utilizandovehículosdediferentestiposenelcontextodeciudadesinteligentes;aplicandometaheurísticas

para optimización combinatoriamultiobjetivo, apoyandoen la reducciónde los costos operativos y la

disminucióndelaperdidadelacalidaddelservicio.

1.3.2 Objetivosespecíficos

• Analizar información relevante al transporte público (p.ej. comportamiento de la demanda de

pasajeros),quepermitadetectarlaproblemáticaadesarrollar.

• Modelar el problema con un enfoque de optimización combinatoria (función(es) de costo y

representacióndelindividuo),aplicandométodosestocásticosometaheurísticas(p.ej.algoritmos

genéticos).

• Diseñar e implementar un algoritmo que entregue una solución al problema propuesto con

enfoquemultiobjetivo.

• Encontrarlosparámetrosylasrestriccionesadecuadasquepermitanalalgoritmoentregaruna

solución(es)alproblemacapazdeminimizarelcostodeoperación,disminuyendolaperdidala

calidaddelservicio,considerandolasnormasestablecidasporlasautoridadescompetentes.

1.4 OrganizacióndelaTesis

Este trabajoestádivididoencapítulosquedesglosan la investigacióndesarrollada.EnelCapítulo2 se

presentanalgunosdetalleseinformaciónrelevantealtransportepúblicoysuplanificación,asícomouna

seriedeconceptosbásicosqueseutilizaránalolargodeldocumento,porúltimo,sepresentaladefinición

formal del problema planteado. En el Capítulo 3 se introducen los conceptos teóricos pertinentes a

optimización,particularmenteconmúltiplesobjetivosyalgunosmétodosdesoluciónparaestetipode

12

problemas.EnelCapítulo4sehaceénfasisaunodelosposiblesmétodosdesoluciónparaproblemascon

objetivosenconflictoconocidocomoalgoritmosevolutivos,detallandosufuncionamiento,características

y componentes principales, finalizando con la presentación del algoritmo elegido para resolver el

problemaantesplanteado.EnelCapítulo5 sepresentan los resultadosexperimentalesobtenidosy la

metodología que se utilizó para obtenerlos, describiendo cada una de las métricas utilizadas como

indicadoresdecalidad.Porúltimo,sepresentanalgunasconclusionesyposibletrabajofuturoenelárea.

13

Capítulo2. Transportepúblico

2.1 Introducción

Esposibledividirunproblemadeplanificacióndetransportepúblico(PTP)encuatroetapasprincipales,

ejecutadashabitualmentedemanerasecuencial,iniciandoporladefinicióndelaruta,lacreacióndelos

horarios, la calendarización de los vehículos y por último la calendarización del personal a cargo del

funcionamiento del sistema (Ceder, 2007, 2016). Por otra parte algunos autores sugieren hacer una

divisiónmásespecíficafraccionandoelproblemademaneraqueincluyendecisionestácticas,estratégicas

yoperacionales,manteniendoelconceptodedividirelproblemaensub-problemas,enalgunoscasoscon

complejidad computacionalNP-difícil, lo cual comprueba ladificultadde abordarunproblemadePTP

comountodo(Ceder,2016;HassoldyCeder,2014;Ibarra-Rojasetal.,2015).

DeformagenéricalasfasesnecesariasparaabordarunproblemadePTPson:

A. Diseñodelarutaored(planificaciónestratégica):enestafasesedefinelatopologíayestructura

delasrutas,ademásdelpuntodepartidayllegada,sedefinenlacantidadnecesariadeparadasy

ladistanciaentrelasmismas,paraloqueesnecesarioconocerlademandadepasajeros.Estafase

estáacargodelasentidadesreguladoras,buscandominimizaralgunasfuncionesobjetivocomo

el costo de operación, costos para los pasajeros y tiempos de viaje. Este tipo de procesos

estratégicostienenunhorizontetemporalalargoplazodadolacomplejidaddelainfraestructura

ydemásimplicacionesalahoradeentregarlaslíneasorutasconsusrespectivasparadas.

B. Determinacióndelafrecuencia(planificacióntáctica):sebuscadeterminarlafrecuenciamínima

deoperaciónporperiodosdetiempobasadoenelestudiodelademandadepasajerosdeuna

rutaespecífica.Esimportantetenerencuentadetallescomolashoraspicoylashorasvalle,ya

quemarcanunaseriedepatronescaracterísticosqueenriquecenlaplanificación.Esposibleque

lasentidadesreguladorasacargorealicenestafaseapoyadosconlosproveedoresdelserviciocon

elfindereducirloscostosdeoperación,lostiemposdeviaje,lostiemposdeesperapriorizando

unserviciodecalidadparalosusuarios.Debidoaloscambiosqueseproducenencuantoalclima,

festividades(diferentesencadalugar),eventos,cambiosenlademandaoalgúnacontecimiento,

estetipodeprocesossedefinenamedianoplazo,monitoreandosufuncionamientopararealizar

loscambiospertinentes.

14

C. Construccióndehorarios(planificacióntáctica):enestaetapaseplasmalafrecuenciadeseada

enunatabladehorariosquedefinenlahoradepartidaydellegadadelosvehículos,paracada

parada y las terminales involucradas en cada ruta. Para resolver esta etapa del proceso los

operadoresdelservicio,basadosenlasrestriccionesdelenteregulador,definenelhorariodecada

vehículodetalmaneraquesatisfagaciertademandadepasajeros,maximizandoelconfort(menos

tiempodeespera,menossobrecargaomásseguridad).Usualmenteeloperadorapoyadoenla

capacidaddelvehículoy lospatronesde lademandaconstruye loshorariosamedianoycorto

plazodebidoalavolatilidaddelaoperación,dondeaveríasenlosvehículos,algúnfalloenlared

vialoimprevistoshacennecesariotomarmedidasrápidasyprecisas.

D. Asignacióndelaflotaocalendarizacióndelosvehículos(planificaciónoperacional):enestafase

losoperadoresdelserviciobuscanengranmedidaminimizarelcostodeoperación,reutilizando

al máximo los vehículos, cumpliendo los viajes estipulados en la fase anterior lo que implica

cumplirconlafrecuenciaqueexigelaentidadreguladoraquegarantizaunserviciodecalidadpara

elusuario.Aligualqueenlaconstruccióndehorarios,estafasetieneunhorizontetemporalde

medianoacortoplazo.

E. Asignacióndelosconductoresocalendarizacióndelosconductores(planificaciónoperacional):

estafasepuedeonoincluiralrestodelpersonalnecesarioparalaoperaciónexitosadeunsistema

detransportepúblico,sinembargo,enesenciasebuscadistribuirdemaneraqueelcostototal

sea reducido al personal encargado a cada área, puntualmente los conductores son un ente

importante para el buen funcionamiento del sistema, dado su alto nivel de interacción con el

usuario final o pasajero. Lo anterior sin desconocer las implicaciones legales de cualquier

trabajador,resaltandolaimportanciadenosobrecargaralosconductoresyponerenriesgono

sololaoperacióndelsistemadetransportesinolasvidaseintegridaddelospasajeros.Esunafase

proyectadaamedianoycortoplazoyesejecutadaexclusivamenteporlosoperadores.

En este trabajo nos enfocaremos en la creación de los horarios de los vehículos (planificación táctica

descritaenlasección2.1.C),basadoenunanálisisdelafrecuenciaparaunproblemaqueincluyevehículos

con diferentes capacidades, en este capítulo abordaremos con más detalle las dos etapas que se

pretendenabordar(determinacióndefrecuenciasycreacióndehorarios),definiendoalgunosconceptos

básicosenelcampodeltransportepúblico,posteriormenteseintroducirálasimplicacionesdetrabajar

conlaparticularidaddecontarconvehículosdediferentestipos,finalizandoconladefinicióndetallada

delproblemaquesedesearesolver.

15

2.2 Creacióndehorariosocalendarios

La planeación o planificación táctica, es la encargada de la asignación o distribución de los recursos

necesariosproyectadosenlaplanificaciónestratégica,dondesedefinenlasmetasquesedeseanalcanzar.

Debeserunprocesoconstanteycontinuoquedeberealizareloperadordelservicio.Estatareaserealiza

acortoomedianoplazo,puestoque,altomarunhorizontetemporalmáslargo,seconsideraríapartede

laplanificaciónestratégica (comoeldiseñodel trazadode la ruta). Lasdecisiones tácticas tienenuna

implicacióndirectasobreelfuturodelaoperación,yaqueestablecendetallessobreelcomportamiento

delsistema,tiempoderespuesta,efectividadyeficiencia;porlotanto,debenserestablecidasmediante

unprocesoiterativoyflexiblequepuedaaceptarcorreccionesyajustesdurantesuejecución.

Paraelcasoespecíficodeltransportepúblico,lasdecisionestácticastienenunaimplicacióndirectasobre

elincrementodelacalidaddelservicioylareduccióndeloscostosoperacionales.Esnecesarioconocerel

diseñotopológicode larutayunamatrizdedemandaorigen-destinooporparadas.Enesteordende

ideas, las problemáticas que se pueden abordar en esta etapa de la planificación de un sistema de

transportepúblicoson(Ibarra-Rojasetal.,2015):

• Lafrecuenciayflota(cantidadytipodevehículos)asignadosparacubrirdiferentesrutasenciertosperiodosdetiempo.

• La construcción de los horarios, que incluyan la frecuencia mínima de operación y demásrestricciones que las entidades gubernamentales disponen para un funcionamiento con ciertoniveldecalidad.

• Losposiblesdiseñosdeestrategiasoperacionalespuedenserconsiderados,enprodeaumentarelrendimientodelaplanificación.

Porlotanto,eldiseñodetablasdehorariodebesatisfacerlademandaalmismotiempoquecumplecon

restriccionescomolasregulacionesentemasdeseguridadolafrecuenciadeoperación,contandoconuna

serie de elementos como parámetros de entrada adicionales como: la ruta, tipo y capacidad de los

vehículos, paradas, perfil de la demanda, factor de carga (cantidad deseada de pasajeros a bordo del

vehículo)ytiemposdeduracióndelaruta.

Ceder(2007,2016)proponelossiguientesobjetivos,relevantesalahoradediseñarhorarioscomoparte

delaplanificacióntácticadeunsistemadetransporte:

• Evaluarlasposiblestablasdehorariosentérminosderecursosrequeridos.

16

• Mejorar el ajuste entre los tiempos de partida para cada viaje con la demanda de pasajeros,minimizandolosrecursosnecesariossimultáneamente.

• Incluirexcepcionesparaviajesquenodependendedatosdedemandadepasajeros,peroquetienenotrasrazonesconocidasporelplanificador.

• Proponer diferentes métodos de cálculo de la frecuencia de operación y para la creación dehorarios.

Entoncesesposibleestructurarlasdosfases,determinacióndelafrecuenciaycreacióndehorarios,en

unasolaactividadconocidacomoeldesarrollooconstruccióndehorarios.

2.3 Conceptosbásicos

Algunos conceptos importantes pueden ser necesarios para comprender mejor el problema que se

pretendeabordar,algunosdeestosson:

Red de rutas (líneas): una zona urbana con una demanda de pasajeros específica necesita una red o

conjuntoderutas(paradasyterminales),estaredpuederepresentarsecomoungrafo𝑁(𝑉, 𝐴),dondelos

nodos 𝑉 representan puntos o zonas geográficas y mientras que un conjunto de aristas (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴

representanunconjuntodeposiblesmétodosdetransportequeconectaelnodo𝑖conelnodo𝑗.Esposible

diseñareltrazadodelarutacomounconjuntodearistasqueconectendospuntosdeinterés(terminalde

salida y llegada), por otro lado, las paradas de la ruta pueden ser los lugares con una demanda

potencialmentealtaoqueconecteconotroslugaresdemaneraquesebusquecentralizarellugardonde

sedeseaubicarlaparada,estodebidoaqueentremenosparadasesposiblequeeldesplazamientosea

másrápido.

Frecuenciadeoperación:lafrecuenciaestádefinidacomoelnúmerodevecesqueserepiteunevento

periódicoporunidaddetiempo,paraelcasodeltransportepúblico,definelacantidaddevehículosque

debencircularencadalapso.Laideaprincipalespodergarantizarelacomodamientodelmayornúmero

depasajerosabordoencondicionesadecuadasentérminosdeconfortyseguridad.Deformageneraly

basadoen la cantidadmáximadepasajeros en algúnpuntode la ruta𝑅 (horapico), la frecuencia de

operación(𝑓%)estádadapor:

𝑓% =𝑃%.?@

𝐿𝐹%𝐶𝐴𝑃$, 𝑖 = 1, … , 𝑛 (6)

𝑃%.?@ = max\∈B]

𝑃%\ (7)

17

Paracadaperiododetiempo𝑗(p.ej.unahora)secalculaunafrecuenciaenbasealacargamáxima𝑃%.?@,

quepuedeserelmáximoflujodepasajerosenalgunaparada𝑠delconjuntodeparadas𝑅\,eneltiempo

𝑗.𝐶𝐴𝑃$ es lacapacidadmáximadeunvehículodetipo𝑖,esdecir, lacantidaddesillasdisponibleso la

cantidaddepasajerosquepuedensertransportados,ladefineelfabricanteenbasealoscriteriosparalos

que fueron diseñados los𝑛 tipos de vehículos diferentes. 𝐿𝐹% (factor de carga) donde 0 < 𝐿𝐹% ≤ 1,

representaproporcióndelacapacidadmáximadeunvehículopermisibleparalaoperaciónenelperiodo

detiempo𝑗.

Frecuenciamínimadeoperación:escomúnqueporpolíticasgubernamentalessedefinaunafrecuencia

mínimadeoperación𝑓%.$'delosvehículosduranteeldía,estétipodemedidasafectandirectamenteala

definicióndelafrecuencia𝑓%,estableciendolafórmuladelasiguientemanera:

𝑓% = max%(",…,a

𝑃%𝐿𝐹%𝐶𝐴𝑃$

, 𝑓%.$' (8)

𝑃% eselpromediodepasajerosalolargodetodaslasparadasde𝑅\duranteelperiodo𝑗.

Intervalos:denotalosintervalosdetiempoentrecadaviaje,𝐻eselinversodelafrecuencia(cantidadde

vehículosporunidaddetiempo).

𝐻% =1𝑓% (9)

Tiempodeespera:estáasociadoaltiempoqueinviertenlospasajerosenunaparada𝑠 ∈ 𝑅\esperando

la llegada de un vehículo que pueda transportarlo a su destino. Aunque este concepto depende

significativamentedelospatronesdellegadadelospasajerosencadaparada,alconocerselostiempos

desalidayllegadadelosbusesacadaparada,eltiempodeesperaestaríarelacionadoconelmomentoen

elqueelpasajerollegaalaparada(antes,despuésoaltiempo),demaneraquesepuededividirentres

grupos,lospasajerosquelleganaunaparadademaneraquecoincidanconelbus,tienenunaprobabilidad

𝜌c, los que llegan a la parada a la horaóptima (1 − 𝜌c)𝜌e y los que llegandemanera aleatoria (1 −

𝜌c)(1 − 𝜌e)(JolliffeyHutchinson,1975;Luethietal.,2006).

Demandadepasajeros:esunode losconceptoscrucialespara laplanificacióndel transportepúblico,

debidoaqueinteractúaactivamenteencadaunadelasfases,sepuededividirentresniveles:regional,

gruposderutasyrutaespecífica.Lademandaanivelregionalesútilparalaprimerafase(planificación

estratégica)alahoradediseñarlatopologíadelasrutas(trayectosyparadas).Porgruposderutasesútil

para sincronizar horarios y reducir el tiempo de desplazamiento con viajes que incluyen el uso de

18

transferencias.Porúltimoyelconceptomásrelevanteparaestetrabajoeslademandadepasajerospor

rutaespecífica,estosdatospuedenseradquiridosdediferentesmanerascomo:verificadoresenpuntos

geográficos,verificadoresabordodelosviajesoboletoselectrónicos.

2.4 Creacióndehorariosocalendariosconvehículosdediferentestipos

Laplanificacióndel transportepúblico considerael balanceentreel costooperacional y la calidaddel

serviciopara lospasajeros,porotraparte,es importanteconsiderarel impactoambientalypensaren

posiblesmejorasquenosolobrindenunbuenservicio,sinoqueseanamigablesconelambiente.Utilizar

vehículosdegranenvergadurasignificaunagrancantidaddeenergía,porelpesoytamañodelvehículo

ademásdelgrannúmerodepasajerosquepuedetrasladar,estoimplicaqueparaminimizarelconsumo

deenergíaporpasajero-kilometrotrasladado,solosepuedeutilizarestetipodevehículosconunaalta

demandadepasajerosyconunfactordecargaquegaranticelacalidaddelservicio.Enperiodosenlos

quelademandadepasajerosesbaja(p.ej.horasvalle)esrecomendableutilizarvehículospequeños,ya

que tienenunmenorconsumodeenergíay tienen laposibilidaddeutilizarenergías renovablescomo

bateríaseléctricas,siendobeneficiosoparaelambiente,reduciendocostosymanteniendolacalidaddel

servicio(Potter,2003).

Loshorariosestándiseñadosenbasealafrecuenciadeoperaciónmínimarequeridaparasatisfacerun

niveldeservicio,posteriormentealahoradecalendarizarlosvehículosnecesariosseconsideraelcosto

de operación y posibles combinaciones entre diferentes tipos de vehículos, diferentes autores han

abordadoelproblemadecreacióndehorarioscondiferentesenfoquesyestrategiasparaelcálculodela

frecuenciadeoperación.

2.5 Trabajosrelacionados

Unode losprimerosaportesaláreaespecíficade lacreacióndehorariosbasadosen ladeterminación

previadelafrecuenciaen1971,proponeminimizareltiempodeesperadelospasajeros,comparando

unconjunto𝑛devehículos(buses,trenes,etc.)quetienenalgunahoradesalidaasignada𝑡%, 𝑗 = 1, … , 𝑛

conunafunciónsuavizadadellegadadepasajeros,presentandocomoresultadosquelafrecuenciaóptima

paravehículosdegrantamañovariaconeltiempo,aproximadamentecomolaraízcuadradadelatasade

19

llegadadelospasajeros(Newell,1971).FurthyWilson(1981)propusieronunmodeloquemaximizael

beneficiosocialcompleto;elmodelosecomponedelosbeneficiosdelospasajeros,comoladisminución

deltiempodeespera.Elmodeloincorporarestriccionesrelacionadasconeltamañodelaflota,intervalos

deoperaciónpermitidos(máximocasopermitidocomoinversoalafrecuenciamínimaantesdescrita)yel

presupuestototal.ElmodelodeFurthyWilsonfueextendidoporKoutsopoulosyWilson(1985),quienes

simplificaronelproblema,dividiéndoloenintervalosdeoperaciónequidistantes,resolviéndolomediante

programación lineal. Proponen una formulación basada en las implicaciones sociales, dividida en tres

componentes:loscostosdefuncionamiento,lostiemposdeesperaylosinconvenientesdelhacinamiento

delospasajeros.Cederrecopilaydefinecuatrométodosdiferentesparaelcálculodelafrecuenciaque

dependen del perfil de carga de la demanda de pasajeros y las restricciones que estipulen los entes

reguladores,presentandocómoobtenerhorariosóptimosal seleccionar lacargamáximadepasajeros

comopuntodereferencia(Ceder,1984,2007,2016).

HadasyShnaiderman(2012)abordanlaminimizacióndelcostototalbasadoenelespaciovacío(p.ej.los

asientos desocupados) y la demandaqueno es atendida. Los autores definieron las distribuciones de

probabilidadparalostiemposdeviajeylademandadepasajerosconherramientasdegeolocalización.

Basándose en esta información, definieron un enfoque de optimización analítica que determina las

frecuenciasyeltamañodelosvehículos.La implementaciónconelenfoquepropuestomuestraquela

reducción de costos más significativa se obtiene en casos con bajo nivel de servicio. Li et al. (2013)

consideranparámetrosestocásticos talescomodemanda, tiemposdeespera, tiemposdeembarqueo

descensoy tiemposdeviaje. Losautoresdefinenunmétododeoptimizaciónestocásticahíbridopara

encontrarlafrecuenciaqueminimizaeltiempodeesperaparalospasajerosymaximizalasgananciasdel

operador.Lietal.desarrollanunAGpararesolverelproblemaycomparansuenfoqueconlosmodelos

tradicionales(analíticos)paraelajustedelafrecuenciapropuestosporNewell(1971)yCeder(1984b).Los

autoresafirmanquelosintervalosobtenidossongeneralmentemásgrandesquelosqueusanelenfoque

deNewell ymás cortosque losqueusanCeder.Además,mencionanqueestos intervalosmoderados

proporcionanunmejorequilibrioentreloscostosoperativosdelbusylasatisfaccióndelospasajeros.

VerbasyMahmassaniamplíanelmodelopresentadoporFurthyWilson(1981)considerandolavariación

delademandaalolargodeltiempoylarutalineal.Elproblemaseformulaconprogramaciónnolineal

paraminimizarlasumadelospasajerosyeltiempodeesperaentodaslasparadas,rutaseintervalosde

tiempo,sujetoarestriccionestalescomo:presupuesto,tamañodelaflotayfactoresdecarga(Verbas&

Mahmassani,2013;Verbas&Mahmassani,2015).

20

Paraelcasoconenfoquemultiobjetivo,KwanyChang(2008)presentanunaformulaciónparaelproblema

dediseñodehorarioscondosobjetivosenconflicto:minimizarelcostodelacantidaddetransferencias

necesarias y minimizar el costo causado por las desviaciones de un cronograma inicial. Los autores

implementan un algoritmo genético clásico para resolver problemas conmúltiples objetivos conocido

comoNSGA II (Debetal.,2002), combinadoconotrosmétodos (p.ej.búsqueda local)para resolver la

formulacióndelproblema.HassoldyCeder(2014),estudianelproblemadelacreacióndehorariosconel

objetivodeminimizareltiempodeesperaparalospasajeros(comounindicadordecalidaddelservicio)y

unapenalizaciónbasadaenelespacio sinocuparen los vehículos (comoeficienciaoperativa). La idea

principaldelestudioespodercombinardiferentestiposdevehículosbasadosenlaideadePotter(2003)

buscando evitar sobrecargas mejorando la utilización de los vehículos. Los autores implementan una

heurísticabasadaengrafoscon laquecombinandiferenteshorariosenbuscadelconjuntoóptimode

Pareto. Los resultados numéricos para un caso de estudio en Nueva Zelanda muestran un ahorro

significativoenlostiemposdeesperadelospasajeros,perotambiénunacargadepasajerosaceptableen

todoslosvehículos.

2.6 Definicióndelproblema

2.6.1 Planteamientodelproblema

El problema que se aborda en el presente trabajo es: la creación de horarios utilizando vehículos de

diferentestipos(capacidadycostodeoperación)medianteelcálculodelafrecuenciadeoperaciónbasado

en lademandadepasajeros (MVTTPpor sus siglasen inglés: “MultiobjectiveVehicle-TypeTimetabling

Problem”).Seproponeentoncesunaformulacióncomounproblemadeoptimizacióncondosobjetivos

enconflicto: reducirelcostodeoperaciónpara losproveedoresdelservicioyminimizarelnúmerode

pasajerosquenopuedensertransportadosencadaparadacomoindicadordecalidaddeservicio.MVTTP

modelaentoncesunescenariorealistadondeunconjuntodevehículosdediferentestipos(p.ej.buses

articulados,minibuses,colectivos,busesestándar,busesdedosniveles,etc.)esasignadoparacubrirun

conjuntodeviajesdeunarutaespecifica.

Minimizar la función asociada al costo de operación𝑓*, adicionalmente contribuye a la reducción del

impactoambientalocontaminaciónalreducirelusodecombustiblesfósilescomolagasolinaogasóleo

(enmotoresdiésel),mejoraelflujodeltráficoalreducirlaflotanecesariaparacubrirunconjuntodeviajes

oasignarvehículospequeñosqueutilizanmenosespacioenlasvías.

21

Lafunciónparalademandadepasajerosnosatisfecha(𝑓*)tieneefectosadicionalesenelretrasopara

abordar un vehículo (tiempode espera) y el confort asociado al factor de carga y la capacidadde los

vehículos,yaquesebuscaasignarunconjuntodevehículosquepresentenlamenorsobrecargaposible.

2.6.2 Definiciónformaldelproblema

LaformulaciónformalparaelproblemaMVTTPes:Dadounsuperconjuntodevehículosconvehículosde

diferentes tipos𝐵 = {𝑏", … , 𝑏'}, en el que𝑏$ es la cantidad de vehículos de tipo 𝑖,𝑛 la cantidad de

diferentestiposdevehículos 𝑏$'$(" eslaflotadisponible.𝑇esunconjuntode𝑚viajes𝑇 = {𝑡", … , 𝑡.}

deunarutaespecifica𝑅.

MVTTPsedefineapartirdedosfuncionesobjetivo𝑓"y𝑓*asi:

Minimizar 𝑓" = 𝜔$

'

$("

(10)

y 𝑓* = 𝐿𝑄%\

\∈B

mn

%("

(11)

sujetoa: 𝑐$ = 𝑐$pq\ + 𝑐$r?\ + 𝑐$sQ$tuQ (12)

𝜔$ = 𝑐$𝑚$ (13)

𝑓% ≥ 𝑓%.$' (14)

𝐿𝐹% =vw9:;

xyvz×<w≤ 𝐿𝐹%.?@, 𝑖 = 1, … , 𝑛 (15)

𝐿𝑄%\ = 𝑚𝑎𝑥 𝑃%\ − 𝐿𝐹%×𝐶𝐴𝑃$$∈~w , 0 (16)

Donde:

𝑐$r?\ Costodelcombustibleparacadatipodevehículo.

𝑐$sQ$tuQ Costoasociadoalconductorparacadatipodevehículo.

𝑐$pq\ Costoasociadoalaoperacióndelvehículo(p.ej.mantenimiento).

𝑐$ Costototalinvolucradoenunviajeparaunvehículodetipo𝑖.

𝑚$ Cantidaddevehículosdetipo𝑖necesariosparacubrirlosviajesde𝑇.

𝜔$ Costototalalutilizar𝑚$ vehículosdetipo𝑖.

𝑃%.?@ Cantidadmáximadepasajerosencualquierparada𝑠enellapso𝑗.

22

𝑃%\ Cantidaddepasajerosenunaparada𝑠enellapso𝑗.

𝑓% Frecuenciadeoperaciónenellapso𝑗.

𝑓%.$' Frecuenciamínimadeoperaciónenellapso𝑗.

𝐿𝐹% Factordecargaenellapso𝑗.

𝐿𝐹%.?@ Factordecargamáximoenellapso𝑗.

𝑀% Conjuntodevehículosutilizadosenellapso𝑗.

𝐶𝐴𝑃$ Capacidaddelosvehículosdetipo𝑖.

𝐿𝑄%\Demandadepasajerosenlaparadasquesobrepasalacapacidaddelosvehículos𝑖 ∈𝑀% enellapso𝑗.

𝐿𝑝 Últimoperiododetiempo.

EnlaFigura4semuestrauncasoespecíficocontresdiferentesvehículos,(bus,busetaymicrobús)con

capacidadycostodeoperacióndiferentes.Sepresentaunaruta(𝑅),concincoparadas(𝑠),lacualdebe

sercubiertaporunconjuntodeviajes(𝑇),utilizandounaasignacióndevehículosacadaviaje𝑡,,esposible

trasladaraungrupodepasajeros.Sinembargo,debidoalaeleccióndevehículosrealizadasetieneuna

pérdidadeusuariosenlaterceraparada,yaquelademandaenestepunto(𝑃%\)excedelacapacidadde

losvehículoselegidosparaeseperiododetiempo(𝑗).

Figura4.Trazadodelarutaysusrespectivasparadasdefinidasalmomentodeldiseñotopológicode𝑅

(izquierda).Tiposvehículosdisponibles,calendariopropuestoqueasignacadavehículo(𝑖)aunviaje(𝑡,)

ysucomportamientoparaunademandadepasajerosobtenidaenunperiododetiempo𝑗(derecha).

23

Capítulo3. Optimizaciónmultiobjetivo(OMO)

3.1 Introducción

Diversosproblemasasociadosasistemasrealesenbiología,medicina,economía,industria,ingenieríay

otrasdisciplinasexhibenuncomportamientoenlosquedosomásdesusobjetivosestánenconflictode

maneranatural,porestarazónencontrarunasolucióndecalidad,enunlapsodetiempoaceptable,ha

sidoysiguesiendoobjetodeestudioporpartedelosinvestigadores.Enlainvestigacióndeoperacionesy

otras áreas afines, se han propuesto diferentes técnicas para abordar los problemas de decisión con

múltiplesobjetivosomúltiplescriterios,debidoalacomplejidaddelosmismosserequierendiferentes

enfoquesqueproveanmejoresresultados.

Losproblemasasociadosaoptimizaciónmultiobjetivo(OMO),secomponendedosomásobjetivosque

entranenconflictocasidemaneraevidente,latareaesencontrarelconjuntodesolucionesquesatisfagan

las restricciones y optimicen las funciones objetivo, las cuales deben satisfacerse con un grado de

aceptabilidaddefinidodesdeelpuntodevistadeldiseño,adiferenciadeunproblemaconunsoloobjetivo

enelquesolosebuscaunasoluciónqueoptimicelaúnicafunciónobjetivoycumplaconlasrestricciones

delproblema(Coelloetal.,2007;Debetal.,2016).

Enestecapítulo,sepresentaunabreveintroducciónaOMOypartedelaterminologíaimportantequese

utilizaráalolargodeldocumento.Brevementesepresentaránlasrelacionesdedominanciaysediscutirán

algunosmétodosdesolución,incluidoelusodealgoritmosevolutivos.

3.2 ConceptosbásicosdeOMO

Unproblemadeoptimizaciónmultiobjetivo(POMO)secomponedeunnúmero𝑘defuncionesobjetivo,

lascualesdebenserminimizadasomaximizadassimultáneamenteyaligualqueenlosproblemasdeúnico

objetivo, cualquier solución factible (incluida la solución óptima), debe satisfacer ciertas restricciones

definidas para cada caso particular. Con la finalidad de comprender los detalles de un POMO y las

necesidadesespecíficasquesepretendenabordarconlosmétodosdesoluciónpropuestos,iniciaremos

ladiscusiónpartiendodeunproblemaconunobjetivodefinidoporCoelloetal. (2007)de lasiguiente

forma:

24

Demanerageneralunproblemadeoptimizaciónmono-objetivoestádefinidocomounaminimización(o

maximización)deunafunción𝑓(𝕩)sujetoa𝑔$ 𝕩 ≤ 0,𝑖 = {1, … ,𝑚},yℎ% 𝕩 = 0,𝑗 = 1, … , 𝑝 , 𝕩 ∈ Ω.

Unasoluciónqueminimice (omaximice) la funciónescalar𝑓(𝕩)donde𝕩esunvectordevariablesde

decisióndimensión𝑁,𝕩 = (𝑥", . . . , 𝑥M),paraalgúnuniversoΩ.

Se puede observar que 𝑔$ 𝕩 ≤ 0 y ℎ% 𝕩 = 0 representan las restricciones que se deben satisfacer

mientrasseoptimiza𝑓(𝕩).EluniversoΩcontienetodaslasposiblessolucionesquepuedenserutilizadas

parasatisfacerlafunciónysusrestricciones.

Porlotanto,unmétodoquepermitaencontrarlasoluciónqueproveeunvalorconsideradocomoóptimo

global (que puede no ser única) para un problema con una sola función objetivo, se conoce como

optimizaciónglobal,ysepuededefinirparauncasodeminimización(sinperdergeneralidad)como:Dada

unafunción𝑓:ϕ ⊆ ℝ' → ℝ,ϕ ≠ ∅,paraun𝒙 ∈ ϕelvalorde𝑓∗ ≜ 𝑓 𝕩∗ > −∞seconocecomoóptimo

globalsiysolosi∀𝕩 ∈ ϕ:𝑓 𝕩∗ ≤ 𝑓 𝕩 .Donde𝕩∗eslasoluciónmínimaglobal,𝑓eslafunciónobjetivoy

el conjuntoϕ es la región factible de𝕩 (Coello et al., 2007). Por otraparte, en los POMO, es posible

encontrar un conjunto de soluciones en algunos casos infinito que, al ser evaluados, producen unos

vectorescuyoscomponentesrepresentanlosvaloresdeΩenelespacioasociadoalasfuncionesobjetivo.

Osyczka(1985)defineunPOMOcomo:

“Encontrarunvectordevariablesdedecisiónquesatisfaga lasrestriccionesyoptimice

unafunciónvectorialcuyoselementosrepresentanlasfuncionesobjetivo.Estasfunciones

sonunadescripciónmatemáticadecriteriosderendimientoloscualesusualmenteestán

enconflictounosconotros.”

Entonces,podemosdefinir(matemáticamente)demanerageneralunPOMOdelasiguientemanera:

Minimizar/maximizar

𝑓, 𝕩 ,𝑘 = 1, … , 𝑛 (17) sujetoa:

𝑔$ 𝕩 ≤ 0, 𝑖 = 1, … ,𝑚 (18)

ℎ% 𝕩 = 0, 𝑗 = 1, … , 𝑝 (19)

𝕩 ∈ Ω (20)

Dondeunasolución𝕩esunavariablededecisiónvectorialdedimensión𝑁,𝕩 = [𝑥", . . . , 𝑥M]�,enalgún

universoΩ(espaciodedecisión).Porlogeneral,paraunPOMO,existenvariassolucionescondiferentes

25

niveles de compensación para las 𝑛 funciones objetivo, que satisfacen las 𝑚 + 𝑝 restricciones del

problemaycomponenelconjuntoóptimodePareto,debidoaquesonaquellasquepresentanelmejor

rendimientoposible.EnlamayoríadelosPOMO,sepresentanlimitacionesproducidasporelmanejode

losrecursosdisponiblesparasuejecuciónosituacionesparticularesenelambienteoentornodelmismo,

unasoluciónalproblemadebecumplirconcadaunadeestaslimitanteslascualessonconocidascomo

restricciones y pueden ser representadas matemáticamente como desigualdades, 𝑔$ 𝕩 ≤ 0, o

igualdades,ℎ% 𝕩 = 0.Por lo tanto, secuentacon𝑚 restriccionesdedesigualdady𝑝 restriccionesde

igualdad;siunasolución𝕩satisfacetodaslas𝑚 + 𝑝restriccionesesconocidacomosoluciónfactible,la

cualformapartedeunconjuntooregiónfactible𝒮 ⊆ Ω(espaciodebúsqueda).

Losproblemasconmúltiplesobjetivossonaquellosenlosquelametaesoptimizar𝑛funcionesobjetivo

simultáneamente (Coello et al., 2007). Los objetivos del problema, también conocidos como criterios,

debenserminimizadosomaximizadossegúnlodefinacadaproblema,sinembargo,escomúnabordar

problemasúnicamentedeminimizaciónencadaunodesusobjetivosdadalaposibilidaddemodificarun

problema con objetivos mixtos (minimización y maximización combinados) mediante el teorema de

dualidad(S.S.Rao,2009).Elvectorde𝑛funcionesobjetivo,𝔽 𝕩 = [𝑓" 𝕩 , … , 𝑓' 𝕩 ]�,defineunespacio

coordenado (espacioobjetivoΛ) en el que cada soluciónpuede ser representada; demaneraque, se

cuenta con un espacio de variables de decisión con dimensión 𝑁, en el que cada eje coordenado

correspondea loscomponentesdelvector𝕩,yelespacioobjetivodedimensión𝑛,enelquecadaeje

coordenadocorrespondeauncomponentevectorial𝑓, 𝕩 .Entoncesparacadasolución𝕩enelespacio

dedecisiónexisteunpuntoenelespacioobjetivoelcualesmapeadoatravésdelasfuncionesobjetivo,

laFigura5muestralosdosespaciosdefinidosanteriormenteylarelaciónentreellos.

Figura5.Representacióngráficadelespaciodedecisión(Ω)ysucorrespondienteespacioobjetivo(Λ).𝑓"

26

Porende,esposibledividirelespaciodebúsquedaendoszonasquenosesuperponen,unaendondese

encuentranlassolucionesóptimasdePareto(regiónóptima)yotraconlassolucionesrestantes.Comose

mencionóanteriormente,escomúnencontrarmúltiplessolucionesen laregiónóptima, locual impide

elegirunaúnicasoluciónparaelPOMOcuandonosecuentaconinformaciónadicionalsobreelproblema,

por loquetodas lassolucionesóptimasdeParetosonigualde importantes.Por locual,es importante

encontrarlamayorcantidaddesolucionesParetoóptimascomoseaposible,loquepermiteestructurar

dosmetaspertinentesenOMO,primeroencontrarel conjuntode solucionesmás cercanoa la región

óptimarealdelproblema,conocidacomofrentedeParetoyqueasuvezsealomás“diverso”posible

tantoenel espaciodedecisión comoenel espacioobjetivo, ladiversidadestáasociadaa ladistancia

euclidianaentrelassoluciones.

3.2.1 Vectorideal

UnasoluciónparticularparaunPOMOconocidacomoelvectorideal,consisteenunvectordevariables

queoptimizacadaunodelas𝑛funcionesobjetivo:

𝕩∗(,) = 𝑥"∗(,), 𝑥*

∗(,), … , 𝑥M∗(,) � (21)

Porloquetenemosqueun𝕩∗(,) ∈ Ωeselqueoptimizala𝑘-ésimafunciónobjetivo𝑓, 𝕩 ,esdecir:

𝑓, 𝕩∗(,) = ó𝑝𝑡𝑖𝑚𝑜𝕩 ∈ Ω

𝑓, 𝕩 (22)

Entonceselvectorobjetivoideal𝕫∗es:

𝕫∗ = 𝔽∗ = 𝑓"∗, 𝑓*∗, … , 𝑓'∗ � (23)

𝑓,∗representaelvaloróptimodela𝑘-ésimafunciónobjetivo,elpuntoenℝ'queseobtieneapartirde𝔽∗

seconsideralasoluciónidealparaelproblemapropuesto.Entérminosgenerales,elvectoridealesuna

soluciónquenoexistedebidoaquelasoluciónóptimaparaunPOMOdebeserdiferenteparacadafunción

objetivo y la únicamanera de queun vector ideal sea una solución factible, es cuando las soluciones

óptimassoniguales;enestecaso,lasfuncionesobjetivonoestaríanenconflicto.

Porotraparte,esposibledefinirunvectorobjetivo ficticio𝕫∗∗ cuyoscomponentes sonestrictamente

menores(parauncasodeminimización)queelvectorobjetivoideal,esdecir𝕫,∗∗ = 𝕫,∗ − 𝛽, con𝛽, > 0

paratodo𝑘 = 1,2, … , 𝑛.CuyautilidadradicaenlaimplementacióndealgoritmosparasolucionarPOMO

27

que requieren una solución que sea estrictamente mejor que cualquiera posible en el espacio de

búsqueda,diferentealafuncióndecotainferiordelvectorideal,considerandolaposibilidaddequealguna

solucióncompartaporlomenosunodesuscomponentes.

3.2.2 ConceptosdedominanciayPareto

Algunosde losalgoritmosutilizadosenOMOutilizanelconceptodedominancia (≺)odominanciade

Pareto,permitiendocomparardossolucionesobtenidas(𝑢y𝑣)yconcluircuáldelasdosdominaalotro,

lo que puede implicar cuál de los dos es mejor, podemos definirlo como: dados dos vectores 𝑢 =

(𝑢", … , 𝑢') y 𝑣 = (𝑣", … , 𝑣'), donde 𝑢, = 𝑓, 𝕩′ y 𝑣, = 𝑓, 𝕩 , podemos decir que 𝑢 domina 𝑣,

expresado como𝑢 ≺ 𝑣, si y solo si𝑢 esmenor o igual a𝑣 (para un casodeminimización) pero𝑢 es

estrictamentemenorque𝑣enalmenosunodesuscomponentes,i.e.,∀𝑘 ∈ 1, … , 𝑛 , 𝑢, ≤ 𝑣, ∧ ∃𝑘 ∈

1, … , 𝑛 : 𝑢, < 𝑣,.

Debidoaestopodemosplanteartresposibilidadesalahoradecomparardossoluciones:

• 𝑢dominaa𝑣(𝑢 ≺ 𝑣).

• 𝑢esdominadopor𝑣(𝑣 ≺ 𝑢).

• 𝑢y𝑣nosoncomparables,dadoqueunonodominaalotroyviceversa.

Loanteriorpermiteidentificarunapropiedadinteresantedeladominancia,dondesiunasolución𝑢no

dominaaunasolución𝑣,noimplicaque𝑣dominea𝑢.Debetal.,(2016)proponenalgunaspropiedades

importantesdeloperadordedominancia:

• Reflexividad:larelacióndedominanciaesirreflexivadebidoaquecualquiersolución𝑢nopuede

dominarseasímisma.

• Simetría:larelacióndedominanciaesasimétricadebidoaquesi𝑢dominaa𝑣noimplicaque𝑣

dominea𝑢.Porloqueelcasocontrarioescierto,si𝑢dominaa𝑣entonces𝑣nodominaa𝑢.

• Transitividad: la relacióndedominanciaes transitiva, lo cual significaque si𝑢 dominaa𝑣 y𝑣

dominaa𝑤,entonces𝑢dominaa𝑤.

28

Así entonces se facilita comprender el concepto de un “óptimo”, debido a que como se mencionó

anteriormenteloquesebuscacomosoluciónaunPOMO,esunconjuntodesolucionesóptimasqueno

seandominadasporningunaotrasoluciónenelespaciodebúsqueda.

Propuesto inicialmente por Francis Ysidro Edgeworth en su trabajo relacionado con las curvas de

indiferenciaeneconomíaafinalesdelsigloXIX(Edgeworth,1881)yextendidoen1896porVilfredoPareto

(Pareto,1896),eltérminoóptimodeEdgeworth-Pareto,másconocidocomoóptimodePareto,puede

definirseformalmentecomo:

OptimalidaddePareto:Unasolución𝕩 ∈ ΩesóptimadeParetoconrespectoaΩsiysolosinoexisteun

𝕩′ ∈ Ωtalque𝔽 𝕩′ ≺ 𝔽 𝕩 ,i.e.𝔽 𝕩′ = 𝑓" 𝕩′ , … , 𝑓' 𝕩′ dominea𝔽 𝕩 = 𝑓" 𝕩 , … , 𝑓' 𝕩 .Porlo

quelafrase“óptimodePareto”hacereferenciaalespaciodedecisión.

BasadoenlaoptimalidaddePareto,Coelloetal.(2007)definenalgunosconceptosútilesparalasolución

dePOMOcomoelconjuntoóptimodePareto,tambiénconocidocomoconjuntodePareto(conjuntode

soluciones no dominadas 𝒫¥ en el espacio de decisión) y el conjunto de soluciones no dominadas

representadas a través de la evaluaciónde todas las posibles soluciones enΩmediante las funciones

objetivoquealplasmarseenelespacioobjetivoseconocecomofrentedePareto(𝒫¦).

ConjuntodePareto:ParaunPOMOdado,𝑓 𝕩 ,elconjuntoóptimodePareto,𝒫¥,sedefinecomo:

𝒫¥ = {𝕩 ∈ Ω|∄𝕩© ∈ Ω𝑓(𝕩©) ≺ 𝑓(𝕩)} (24)

FrentedePareto:ParaunPOMOdado,𝑓 𝕩 ,yunconjuntoóptimodePareto,𝒫¥,elfrentedePareto𝒫¦

sedefinecomo:

𝒫¦ = {𝑓 𝕩 ∈ ℝ'|𝕩 ∈ 𝒫¥} (25)

Esimportanteresaltarque,parauncasomono-objetivo,cadaproblematieneunaúnicasoluciónyenlos

POMOnormalmenteelfrentedeParetocontieneunnúmerodesolucionesquepuedeserinfinito,porlo

tanto,enmuchasocasionesnoseconoceel𝒫¦ ysebuscanlasmejoresaproximacionestantoencercanía

comoendiversidaddelmejorconjuntosoluciónencontrado(verFigura6).

29

𝑎) 𝑏) 𝑐) 𝑑)

Figura6.SolucionesóptimasdePareto(frentedePareto)enelespacioobjetivo(Λ),paraloscuatrocasosposiblescon dos funciones objetivo (𝑓" y 𝑓*). 𝑎). Minimización-Minimización. 𝑏). Minimización-Maximización.𝑐).Maximización-Minimización.𝑑).Maximización-Maximización.

La relación de dominancia (≺) presenta una debilidad en el sentido que no permite relacionar dos

conjuntosigualesoqueunconjuntocontengaunmayornúmerodesolucionesnodominadasqueotro,es

necesariootrotipodeenfoquequepermitaplantear larelacióndelosconjuntosnosoloenelespacio

objetivo sino preguntarnos por el comportamiento de los conjuntos en el espacio de decisión, de ahí

algunos autores proponen un par de definiciones adicionales que permite comparar los conjuntos

soluciones para los POMO, garantizando entregar siempre lamejor aproximación al frente de Pareto

(Zitzleretal.,2003;Debetal.,2016).

Dominanciafuerte(≺≺):unasolución𝑣esfuertementedominadaporunasolución𝑢(𝑢 ≺≺ 𝑣),sipara

las𝑛funcionesobjetivo,𝑢tieneunmejorrendimientoque𝑣i.e.∀𝑘 ∈ 1, … , 𝑛 : 𝑢, < 𝑣,.

Dominanciadébil(≼):unconjuntosolución𝒫"esdébilmentedominadoporunconjunto𝒫*(𝒫* ≼ 𝒫"),

siparalas𝑛funcionesobjetivo,ningunadelassolucionesen𝒫*dominafuertementeaalgúnmiembrode

𝒫".

Parahacerclaridaddeladominanciadébil(Zitzleretal.,2003)proponenutilizarlarelación“mejorque”

(⊲),demaneraquesi𝒫*esalmenostanbuenocomo𝒫"pero𝒫"noestanbuenocomo𝒫*,i.e.𝒫* ≼

𝒫" ∧ 𝒫" ⋠ 𝒫*, en otras palabras Deb et al. (2016) sugiere que una dominancia débil es cuando la

cardinalidaddelconjuntodébilmentedominado( 𝒫" )es inferioro iguala lacardinalidaddelconjunto

( 𝒫* ),dadoquedebeconteneralmenoslasmismassoluciones.Porloquepodemosdefinirladominancia

débil(≼)partirdelarelación⊲(mejorque)como:𝒫* ≼ 𝒫" ⟹ 𝒫* ⊲ 𝒫" ∨ 𝒫* = 𝒫",esdecir,si𝒫*domina

débilmentea𝒫",entonces𝒫*esmejorque𝒫"osoniguales.EnlaTabla1sepresentaunresumendelas

relacionesdedominanciapresentadasanteriormente.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5𝑓" 𝑓" 𝑓" 𝑓"

𝑓* 𝑓* 𝑓* 𝑓*

30

Tabla1.Relacionesdedominanciaentredossoluciones(puntosenelespacioobjetivo)yentredosconjuntosdeaproximaciónalfrentedePareto.

Relación Espacioobjetivo(ℝ𝒏) Conjuntosdeaproximaciónen𝜴

Incomparables 𝑢 ∦ 𝑣 Ni𝑢dominadébilmentea𝑣niviceversa. 𝒫* ∦ 𝒫"

Ni𝒫*dominadébilmentea𝒫"niviceversa.

Dominanciadébil 𝑢 ≼ 𝑣 𝑢noespeorque𝑣paratodoslos𝑛objetivos. 𝒫* ≼ 𝒫"

Cada𝑣 ∈ 𝒫"esdominadodébilmenteporalmenosun

𝑢 ∈ 𝒫*.

Mejorque ______ ______ 𝒫* ⊲ 𝒫"Cada𝑣 ∈ 𝒫"esdominadodébilmenteporalmenosun

𝑢 ∈ 𝒫*y𝒫* ≠ 𝒫".

Dominancia 𝑢 ≺ 𝑣𝑢noespeorque𝑣paratodos

los𝑛objetivos,peroesmejorenmínimounobjetivo.

𝒫* ≺ 𝒫"Cada𝑣 ∈ 𝒫"esdominadoporal

menosun𝑢 ∈ 𝒫*.

Dominanciafuerte 𝑢 ≺≺ 𝑣 𝑢mejorque𝑣paratodoslos𝑛objetivos. 𝒫* ≺≺ 𝒫"

Cada𝑣 ∈ 𝒫"esfuertementedominadoporalmenosun

𝑢 ∈ 𝒫*.

Comoejemplo,laFigura7presentaelfrentedePareto(𝒫²)dedosPOMOdiferentes,paradoscasosde

minimizacióncondosfuncionesobjetivo(𝑓"y𝑓*):Semuestragráficamenteelvectorobjetivoideal(𝕫∗ =

(𝕫"∗ , 𝕫*∗)), a partir de los valores extremos de 𝒫², un vector objetivo ficticio (𝕫∗∗) y un conjunto

aproximaciónalfrentedePareto(𝒫³),elcualpuedeserconsideradocomolamejorsoluciónposiblesise

comparacon𝒫"(izquierda).Porotraparteparalostresvectoresobjetivo𝒫",𝒫*,y𝒫Opresentadosenla

partederechadelafigura, lasrelacionesdedominanciason:𝒫O ≺≺ 𝒫",𝒫* ≺≺ 𝒫",𝒫O ≺ 𝒫",𝒫* ≺ 𝒫",

𝒫O ⊲ 𝒫",𝒫O ⊲ 𝒫*,𝒫* ⊲ 𝒫",𝒫O ≼ 𝒫",𝒫O ≼ 𝒫*,𝒫* ≼ 𝒫",𝒫O ≼ 𝒫O,𝒫* ≼ 𝒫*y𝒫" ≼ 𝒫".

FrentedePareto 𝒫" 𝒫* 𝒫O 𝒫³

Figura7.Vectorobjetivoideal(𝕫∗)yficticio(𝕫∗∗),frentedePareto(𝒫¦)ydosposiblesconjuntosdesoluciones𝒫",y𝒫³ (izquierda).Asimismo, tres vectoresobjetivodiferentes(𝒫",𝒫*, 𝒫O) y su respectivo𝒫¦ (derecha), paradosPOMOdeminimizacióncondosfuncionesobjetivo𝑓"y𝑓*.

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

𝕫∗𝕫"∗

𝕫"∗

𝑓" 𝑓"

𝑓* 𝑓*

𝕫∗∗

31

3.3 Métodosdesolución

Solucionarproblemasdeoptimizaciónhasidoobjetodeestudiodurantemuchosaños,dondelosmétodos

debúsquedaparaencontrarlamejorsoluciónposibleosencillamentetécnicasdeoptimizaciónpueden

sertansimplescomounaselecciónaleatoriaotancostosos(entérminoscomputacionales)comohacer

unabúsquedaexhaustivaentodoelespaciodedecisión,evaluandounaporunacadasoluciónfactible,

realizando un ranking que permita seleccionar la solución con mejor rendimiento. Sin embargo, es

evidente que para un problema con un espacio de búsqueda muy grande este tipo de técnicas es

ineficiente,oimposibleenalgunoscasos.Conelavanceenmatemáticasysistemascomputacionaleses

posibledividirlastécnicasdeoptimizaciónendosgrupos:losmétodosexactos,p.ej.búsquedaexhaustiva

oprogramaciónlineal,ylasheurísticascomorecocidosimulado,búsquedatabúoalgoritmosgenéticos.

Muchosde losproblemasencienciaso ingenieríatienenobjetivosenconflictoysenecesitaencontrar

soluciones“aceptables”enuntiempo“aceptable”(Coelloetal.,2007),porloquelaimplementaciónde

métodosexactosesinviabledadoquepuedenserproblemasconunadimensionalidadalta,discontinuos

y/o NP-completos. Para abordar estos casos se hace necesario guiar la búsqueda o limitar el espacio

basado en conocimiento previo del problema (heurísticas), diferentes métodos estocásticos han sido

desarrollados gracias a la facilidad de implementación, bajo consumo de recursos computacionales y

velocidad de respuesta aceptable, estos métodos utilizan una función de “fitness” o aptitud, con la

intención de asignar un valor a cada posible solución y una codificación omapeo entre el espacio de

soluciónyelalgoritmo.Estetipodetécnicaseventualmentepuedelograralcanzarelcasoóptimoparaun

problema dado, sin embargo, en la mayoría de los casos no se puede garantizar que en todas las

ejecucionesesposiblealcanzarlasoluciónóptima,peroengenerallassolucionesqueresultanconeste

tipodetécnicassonconsideradas“aceptables”encomparaciónalesfuerzoquedeberealizarunmétodo

determinista.

Técnicassimplescomobúsquedaocaminataaleatoria,dondeencadaiteraciónseseleccionalamejor

opción(unvaloraltoen“fitness”)deciertacantidaddesolucionesaleatorias,otécnicasmásrobustas

comobúsquedatabúorecocidosimulado,dondelabúsquedaserealizadeformaguiadapordiferentes

factoresenprodealcanzarunasoluciónóptima,sinembargo,comosemencionóanteriormenteparaun

POMOnoseencuentraunaúnicasoluciónsinounconjuntodesolucionesnocomparablesentreellas,por

loqueuna técnicade tipopoblacional como losalgoritmosevolutivos (AE)puedepresentarunmejor

rendimiento,yaqueelconjuntosoluciónevolucionaalmismotiempopermitiendoconvergeralfrentede

Paretoconelpasodecadaiteracióndelalgoritmo.

32

Los AE están inspirados en la evolución natural, se basan en el concepto de “selección natural” y la

“supervivenciadelmásapto”,conceptoclásicoenlateoríaevolutivadeCharlesDarwin.Estatécnicaserá

detalladayampliadaenelCapítulo4delpresentedocumento.

3.3.1 ClasificacióndelosmétodosparaPOMO

ParaPOMOsehanpropuestodiferentesestrategiasotécnicas,lascualessepuedenclasificarmediantela

interacciónconeltomadordedecisiones,elcualseencargadeseleccionarodecidir,comosunombrelo

indica,cuáldelassolucionestieneunacompensaciónparacadaunodelosobjetivosenconflictolacual

satisfacelosrequerimientosespecíficosquedependendelconocimientoaprioridelproblema,esdecir,

cuántoseestádispuestoaganaroperderparacadaobjetivoyevaluarlasoluciónquemejorseacomode

aestasrestricciones.EltomadordedecisionesjuegaunrolimportantealahoradesolucionarunPOMO,

por esta razónespopular la clasificaciónbasadaen su aportedurante la búsquedadeuna solución y

consisteenlossiguientesmétodos:

• Método sin preferencias: este tipo de técnicas no considera información del tomador de

decisiones para resolver un POMO, entregando como resultado un conjunto de soluciones

ordenadasporalgúncriteriodecompromisoentreobjetivosde talmaneraqueel tomadorde

decisionespuedeaprobarorechazardichasolución.Estecasosucedecuandonosecuentaconel

tomadordedecisionesoestenocuentaconinformaciónrelevantequeaportealasolucióndel

problema.

• Métodoapriori:paraestetipodemétodosseconsultaaltomadordedecisionesantesderealizar

labúsquedadetalmaneraqueseutilizalainformacióndepreferenciasqueproveeeltomadorde

decisionesconelfindeestructurarlasfuncionesobjetivoyqueelconjuntosoluciónsatisfagaestos

requerimientos,dosde losmétodosapriorimásconocidossonelordenamiento lexicográfico

(Fishburn,1974)y“goalprogramming”(programaciónpormetas)(CharnesyCooper,1961).

• Métodoaposteriori:en losmétodosaposteriori,unconjuntodesolucionesnodominadases

presentadoanteeltomadordedecisioneselcualseleccionaunaovariassolucionesbasadoensus

preferencias,técnicascomo“𝝐 −constraint”(Haimesetal.,1971)olacombinaciónlineal(Zadeh,

1963)sonutilizadoscomométodosaposteriori.

33

• Métodointeractivo:enlosmétodosinteractivos,eltomadordedecisionesactúaencadaunade

lasiteracionesdelalgoritmo,sedefinentresetapasdentrodelmétodo,laprimeraesencontrar

unconjuntodesolucionesno-dominadas,luegoapartirdelareaccióndeltomadordedecisiones

al evaluar el conjunto de soluciones,modificar las preferencias de las funciones objetivo, por

últimorepetirlosdospasosanterioreshastaquenosepresentennuevasmejorasoeltomador

dedecisionesestésatisfecho.

3.3.2 Métododelcriterioglobal(métodosinpreferencia)

Yu (1973) introduce el términode vector utópico (anteriormentemencionado como vector ideal, ver

Capítulo3 sección3.2.1) con la intencióndeencontraruna soluciónóptimadePareto lomás cercana

posiblea𝕫∗,sehanpropuestométricasdiferentesparaevaluaresta“cercanía”,sinembargo,unadelas

másutilizadaseslamétrica𝐿n.

𝐿n 𝔽 = 𝑓,∗ − 𝑓,(𝕩) n'

,("

"/n

(26)

Estemétodoconocidocomométododecriterioglobalo“compromiseprogramming”,buscaminimizarel

valorde𝐿npara1 ≤ 𝑝 ≤ ∞talque𝕩 ∈ Ω,detalmaneraquesepuedeobtenerunasoluciónóptimade

Paretoparacadavalorde𝑝.Estemétodohasidoestudiadofuertementedurantedécadasmodificando

lasmétricasconlafinalidaddeencontrarlasmejoressolucionesparadiferentesproblemas.

La idea básica de no contar con la información del tomador de decisiones para realizar la búsqueda

(métodossinpreferencia)sepuedeobservarenestetipodetécnicas;sinembargoesposiblemodificarlas

detalmaneraquefuncionenigualqueunmétodoaprioricomoloproponeWierzbicki(1980),quienutiliza

unvectorficticio(𝕫∗∗)paradireccionarlabúsqueda.

Por lotanto 𝕫∗∗ = 𝔽∗∗ = 𝑓"∗∗, 𝑓*∗∗, … , 𝑓'∗∗ � eselpuntodereferenciaenelespacioobjetivo,elcuales

elegidoporeltomadordedecisionesyesconsideradoelvectorconvaloresdeseadosoaceptables.

34

3.3.3 Ordenamientolexicográfico(métodoapriori)

Estemétodoutiliza la informacióndel tomadordedecisionesparadefinirun rankingde las funciones

objetivo.Laideaesbuscarunasoluciónquesealamejorposible(oelóptimoenalgunoscasos)parael

primer objetivo del ranking, continuando con cada uno de los objetivos hasta elmenos relevante. La

soluciónalfinaldelaejecución,i.e.𝕩'∗ paraunproblemade𝑛objetivos,espresentadacomolasolución

finalalPOMO(𝕩∗)(S.Rao,1984).

Combinación lineal (método a posteriori): para este método se utiliza un vector de pesos 𝕨 =

(𝑤", … , 𝑤')� tal que 𝑤$ ≥ 0 para todos los 𝑖 = 1, … , 𝑛 y 𝑤$'$(" = 1, con el que se realiza una

combinaciónlinealdelos𝑛objetivos,buscandoresolverelproblemautilizandotécnicasparaproblemas

deunúnicoobjetivo,minimizandolasumaponderadadeloscomponentesdelafunciónvectorialobjetivo

𝔽.

Elproblemadeoptimizacióndeunsoloobjetivo(mono-objetivo)aresolverenelmétododecombinación

lineales:

Minimizar

𝑤$𝑓$(𝕩)'

$("

(27)

sujetoa:

𝕩 ∈ Ω (28)

Una vez que se obtiene una solución, esta es revisada por el tomador de decisiones quien evalúa la

viabilidadde seleccionarlaoporel contrarioprocederaajustar los valoresde𝕨 y volvera realizarel

proceso.

3.3.4 Restricción−𝝐(métodoaposteriori)

UnmétodoquesebasaenlalinealidaddeunPOMOeselmétododerestricciónépsilonmásconocido

como“𝜖 −constraint”eninglés,dondeunodelosobjetivosesseleccionadocomolafunciónaoptimizar

ylosobjetivosrestantespasanaserrestriccionesdelproblemaquedefinencotasespecíficas.

35

Paraunproblemadondesebuscaminimizartodas lasfuncionesobjetivoserepresentade lasiguiente

manera:

Minimizar

𝑓%(𝕩) (29) sujetoa:

𝑓, 𝕩 ≤ 𝝐,∀𝑘 ≠ 𝑗 (30)

𝕩 ∈ Ω (31)

𝝐, representa una cota superior para cada función objetivo; por lo tanto, al variar los valores𝝐, y/o

seleccionarotrafunciónobjetivo𝑓% aoptimizar,esposibleobtenerdiferentessolucionesnodominadas,

hayquesercuidadoso,debidoaquenormalmentenoseconocedeantemanolosvalorespara𝝐, que

puedenproveerlosmejoresresultados.Estemétodo,tambiénconocidocomométododecompensación

(“trade-offmethod”),generalmenteesutilizadocomounmétodoaposteriori,aunqueesposibleutilizar

lainformacióndeltomadordedecisionespreliminarmenteconelfindeestablecerunosvaloresiniciales

para𝝐,.

3.3.5 Optimizaciónevolutivamultiobjetivo(métodoaposteriori)

Schafferesconsideradocomoelprimer investigadorenutilizar losalgoritmosevolutivospararesolver

múltiplesobjetivos(AEMOdeahoraenadelante)ensutesis“Someexperimentsinmachinelearningusing

vectorevaluatedgeneticalgorithms”,sualgoritmoVEGA(siglaseningléspara:“VectorEvaluatedGenetic

Algorithm”)implementabalostresoperadoresgenéticosclásicos(selección,cruzamientoymutación)de

talmaneraquecíclicamenteevolucionabalosindividuosmedianteunmétododeselecciónbasadoenlas

funciones objetivo, por lo que para cada objetivo realizaba una selección y aplicaba cruzamiento y

mutación(Schaffer,1984).

LosAEMOsonunmétodoaposteriorifundamentadoenlosprincipiosdelosalgoritmosevolutivos(AE)

para optimización mono-objetivo, los cuales están descritos en el Capítulo 4 sección 4.2. Como se

mencionó los AE son una estrategia atractiva para abordar POMO dada su capacidad de trabajar

simultáneamenteconunconjuntodeposiblessoluciones,conocidocomopoblación,loscualespueden

perteneceralconjuntoóptimodeParetoyesposiblealcanzarlosenunasolaejecución,adiferenciadeun

métodotradicionaldondeenejecucionesindependientesseencuentranlassoluciones.Adicionalmente

36

losAEsonmenossusceptiblesalaformaycontinuidaddelfrentedePareto,esdecir,puedenoperarcon

frentescóncavosodiscontinuos.

Paraelpresentetrabajo,seproponeabordarelproblemadeMVTTPdefinidoenelCapítulo2sección2.6

conuntipodeAEconocidoscomoalgoritmosgenéticos(AG),puntualmenteAGdetipocelular(AGC)(Alba

yDorronsoro,2008;Nebroetal.,2009a),puestoquevariosautoreshandestacadoelrendimientodeeste

tipodetécnicasparacasosdeoptimizaciónmultiobjetivocomolosdiferentes“benchmark”oproblemas

de referencia propuestos por Deb et al. (2005) y Zitzler et al. (2000), al igual que para posibles

implementaciones reales en ingeniería o calendarización (Guzek et al., 2014; Zavala et al., 2015).

AdicionalmentelosAGCpuedenserimplementadosenparalelo,loquesuponeunareduccióneneltiempo

deejecucióndelmismo,aumentandosuversatilidadyrendimiento.Losdetallesycaracterísticasdelos

AE,ysusdiferentesvariantes,sonpresentadosenelCapítulo4.

37

Capítulo4. AlgoritmosevolutivosparaproblemasdeOMO

4.1 Introducción

El cómputo evolutivo (CE) es un área de investigación dentro de las ciencias computacionales que en

términosgeneralesproponemétodosdebúsquedaestocásticos inspiradosenelprocesodeevolución

natural, el CE propone técnicas como los algoritmos genéticos (AG), programación genética (PG),

estrategiasevolutivas(EE)yprogramaciónevolutiva(PE),queengeneralseconocencomoalgoritmos

evolutivos(AE).EibenySmith(2015)proponenlasiguientemetáfora:

“The fundamental metaphor of evolutionary computing relates this powerful natural

evolutiontoaparticularstyleofproblemsolving–thatoftrial-and-error.”

Lo que supone que la inspiración en procesos naturales proviene de la capacidad de las especies de

evolucionaryesevidentequehoyendíaestosprocesossemantienenfuertesymoldeannuestroentorno,

esinteresantecomoespecies“débiles”oconunnúmeroreducidodeindividuos,hanperduradoatravés

de losañosycontinúanmejorandoconelpasarde lasgeneraciones. Elconceptodeselecciónnatural

dondeprevalecelasupervivenciadelmásapto,propuestoporDarwinen1859ensuobra“Elorigendelas

especies”,complementadoconlanecesidaddeadaptaciónalcambiocomométododesupervivencia,otro

conceptoimportantetambiénprovenientedeldarwinismo,sugierenque,mediantelaherencia,lasnuevas

generaciones tienen en su ADN toda la información que ha permitido que la especie evolucione y

sobreviva.Lainformacióngenéticaheredadapuedesufriralgunoscambiosomutacionesmedianteprueba

y error, generando nuevas características y habilidades, posibilitando que un individuo en la última

generaciónpuedaonoconvertirseenelmásapto.

EntérminosgeneralesunAEestá inspiradoenelprocesodeselecciónnatural,creandounapoblación

inicial(conjuntodeposiblessoluciones)paradespuésmanipularlainformacióngenéticadelosindividuos,

buscandoevolucionarhasta encontrar el individuo conmayornivel de aptitudparaunobjetivodado,

comúnmenteconocidocomofuncióndecalidad,aptitudo“fitness”.Porlotanto,losalgoritmosevolutivos,

resultanunaherramientaútilpararesolverproblemasenloscualeslasoluciónnosepuedeobtenerde

maneraanalíticay/oeltamañodelespaciodesolucionesesmuygrandeparaserabordadoporunmétodo

determinístico,dadasuparticularestrategiabasadaenpoblaciones,dondeesposibleorientarlabúsqueda

endiferentesdireccioneslograndoescapardeóptimoslocalesypermitiendounmejorrendimientoala

horadeaproximarsealasoluciónóptima.

38

En ladécadade los40s,AlanTuringhacereferenciaa labúsquedagenéticaoevolutiva,ensureporte

titulado“IntelligentMachinery”(Turing1948,sección12,página18),aldecir:

“Thereisthegeneticalorevolutionarysearchbywhichacombinationofgenesislookedfor,thecriterionbeingthesurvivalvalue.”

Turingnoespecificabacomorealizaroquéseriedepasosseguirparaestabúsquedagenéticaoevolutiva,

pero sí permitió abstraer la idea de aplicar los principios de darwinismo para resolver problemas de

maneraautónomaantesdelaaparicióndelascomputadoras(EibenySmith,2015;Kozaetal.,2005).

Dosdécadasdespués,tresinvestigacionesdiferentesestabansiendodesarrolladas,basadosenlamisma

idea,entres lugaresdiferentes.EnAlemania,RechenbergySchwefel inventan lasEEmientrasque,en

EEUU,L.Fogel,OwensyWalshproponenlaPEyJohnHollanencolaboraciónconsuscolegasyestudiantes

enlaUniversidaddeMichigandesarrollanlosalgoritmosgenéticos,estastrestécnicasemergentessolose

vieronunidashastaladécadadelos90’s,cuandosurgeelCEyKozaintroducelaprogramacióngenética.

Enestecapítuloapartedelabrevehistoriadelcómputoevolutivo,definiremosalgunosconceptosbásicos

paralosalgoritmosevolutivos(AE),profundizandoenalgoritmosgenéticosysuaplicaciónpararesolver

problemasdeoptimización,particularmente,optimizaciónconmúltiplesobjetivos,describiremosalgunos

delosAEmultiobjetivo(AEMO)clásicosyprecisaremoselAEMOpropuestoparaelpresentetrabajo.

4.2 ConceptosbásicosdeAlgoritmosevolutivos(AE)

Comopunto de partida para entender el proceso de evolución natural, es importante definir algunos

conceptosdesdeunpuntodevistamicroscópico.Lagenética, según ladefiniciónde laRealAcademia

Españolaes:“Partede labiologíaquetratade laherenciayde lo relacionadoconella”,precisavarios

términosimportantesmuyutilizadosenelCE,yaquesussignificadossonanálogos.Lagenéticaaborda

temasrelacionadosconlaherenciadecaracterísticasdeunageneraciónaotraycomoestainformación

estacodificadaenelADN.

Entérminosgeneraleslosrasgosdeunindividuouorganismoanivelexternoovisibles,porejemplo,en

loshumanoselcolordecabelloolaestatura,seconocecomofenotipo,elcualesunarepresentaciónde

ungenotipoenunambienteespecífico,estesecomponedegenesquesolopuedentomarciertosvalores

definidosporlosalelos.LosgenesestáncodificadosencromosomasofilamentosdeADN,cuyonúmero

esconstanteparalascélulasdecadaespecie(verFigura8).

39

Figura8.Componentesprincipalesdeungenotipoquedefinelosrasgosdeunorganismo,manifestados,segúnelambientealqueestáexpuesto,como:colores,formas,ydemáscaracterísticasvisiblesdelindividuo(fenotipo).

El genoma define la secuencia de nucleótidos que constituyen el ADN, es decir contiene toda la

informacióngenéticadeunorganismo,dentrodeunaespecielamayorpartedelmaterialgenéticoesigual

asíelfenotiposeaaparentementemuydiferente,estamanifestaciónpuedetenerdosopciones,queun

gen afecte varios rasgos o que varios genesmodifiquen una sola característica, en general pequeños

cambiosenelgenotipoinducepequeñoscambiosenelfenotipo,comoelcolordelosojos.

La combinacióndelmaterial genético entre el padre y lamadre, es consecuencia de la fertilización al

momentodefusionarlosgametos(célulassexuales),sinembargo,enCElacombinacióndecaracterísticas

de dos individuos se conoce como cruzamiento, continuando con la analogía de estos conceptos a

términoscomputacionales, los individuosse formancomoentidadesdualapartirdeungenotipo,que

puede serunarreglodeenteros, tuplas, cadenasde caractereso simplementenúmerosbinarios, que

representaunasituaciónoproblemaespecífico(fenotipo).Losgenotiposseformancomocromosomas,

enlosquecadagenpuedetomarciertosvalores(alelos),porejemplo,parauncromosomabinariocada

gensolopuedetomarlosvaloresdeunoocero(verFigura9).

Figura 9. Ejemplo de una representación binaria para un conjunto de individuos con diferentes características.

Analogíaentrelosconceptoscomputacionalesysucontrapartebiológica,estructuradelosdatosyterminología.

Gen Cromosoma ADN

Fenotipo

40

Teniendounaestructura(genotipo)quepuedesermodificadamedianteoperadoresgenéticos,esposible

implementar una población que se define como un grupo de individuos de la misma especie o que

comparten el mismo hábitat y se reproducen entre ellos, en donde estos operadores modificarán la

información genética de una generación buscando mejorar las próximas generaciones, por ejemplo,

individuosmásfuertes,atractivos,conmanosgrandes,etc.

Laclaveparalograrmejorarlacalidaddelosindividuosmedianteherenciaeslareproducción,dadoque

nuevos individuos son generados a partir de uno (reproducción asexual) o dos padres (reproducción

sexual)quesonseleccionadosdentrodevarioscandidatosconalgunaprobabilidad(igualprobabilidad

parapoblacionespanmíctica), enambos casosel genomadelnuevo individuonoes idénticoalde los

padres,yaqueesposiblelaaparicióndecambiosomutacionesdelgenotipoquesevenreflejadascomo

variacionesdelfenotipo.

SirRonaldAylmerFisher,consideradounodelosfundadoresdelagenéticapoblacional,iniciasuobracon

la frase: “La selección natural no es evolución”, haciendo referencia al papel del concepto de la

supervivenciadelmásaptocomopartedelcicloevolutivo,peroquehasidoconfundidoconevolución,sin

demeritar la importanciade la teoríadeDarwin (Fisher,1930).Fisher introduceconceptosclavespara

comprendermejorelcicloevolutivo,iniciandoconlaconservacióndelavariedad,lacualpermiteauna

población posibilitar la supervivencia de individuos poco aptos pero que pueden aportar con algún

componentegenéticodealtovalorparafuturasgeneraciones,porotroladoloscambiospoblacionalesse

producencuandoelnúmerode individuos se incrementahaciendoqueprobablemente seaumenteel

númerode“buenos”individuosloquesuponemáscompetencia,esentoncesnecesarioadaptarestetipo

deanálisisalosmétodoscomputacionales,definiendoeltiempodevidadelosindividuos,posibilidades

de supervivencia ométodos de recambio generacional, todo esto en pro de lograr un ciclo evolutivo

fructíferoparaelproblemaplanteado.

4.2.1 ComponentesdeunAE

Para poder conocer que conforma un AE, es necesario resolver la pregunta ¿Qué es un algoritmo

evolutivo?EibenySmith(2015)mencionanque,aunquehayvariantesenlosAE,engenerallaideadetrás

deestastécnicaseslamisma:Dadounconjuntodeindividuosenunapoblaciónquecompartelosrecursos

limitadosenalgúnambienteocontextoespecífico,lacompetenciaporestosrecursosprovocalaselección

natural(supervivenciadelmásapto).

41

Porlotanto,podemosdefinirunAEcomo:

Dadaunafunciónobjetivo(funcióndecalidadoaptitud)quedebesermaximizada,podemoscrearun

conjunto de posibles soluciones (población de individuos) de manera aleatoria, como elementos del

dominiodelafunciónquealserevaluadospermiteobtenerdemaneraabstractaunvalordeaptitud(el

valormásaltoeselmejor individuo).Conbaseenestosvaloresdecalidad, lasmejoressolucionesson

seleccionadascomosemillasparalasiguientegeneración,paraluegoaplicarlesalgúnoperadorgenético

derecombinacióny/omutación.Recombinaciónseaplicaadosomáscandidatosseleccionados(también

conocidos como padres o semillas), produciendo una o más posibles soluciones nuevas (hijos o

descendencia). Lamutación tiene la capacidad demodificar cada posible solución generando nuevos

candidatos(hijosmodificados).

Entonces después de aplicar recombinación y mutación se produce un conjunto de nuevas posibles

soluciones(descendencia),quienestienenunvalordeaptitudquelespermitecompetirporunlugarenla

siguientegeneración(supervivencia).Serepiteesteprocesohastaqueun individuoalcanceelvalorde

aptituddeseado(soluciónóptima)opresentesuficientecalidadcomoparaserconsideradocomosolución,

adicionalesposibledefiniralgúnlimitecomputacionalcomo:máximonúmerodeiteraciones,cantidadde

memoriaoCPUutilizada,elvalormáximodeaptitudsemantieneduranteun largoperiododetiempo

(númerodeiteracionesotiempodeejecución)ocuandoladiversidaddelapoblaciónbajadeunnivel

establecido(verFigura10).

Figura10.CicloevolutivotradicionalparaunAGconpoblaciónpanmíctica.

42

Los algoritmos evolutivos se componen de varios procesos que en su mayoría son estocásticos, por

ejemplo,durante lacreaciónaleatoriade lasposiblessoluciones inicialesoenelprocesodeselección,

teniendoencuentaquelosmejoresindividuosnoseobtienendemaneradeterminística,facilitandoque

los individuos “débiles” conserven alguna oportunidad de ser padres o sobrevivir para la siguiente

generación.

En larecombinaciónymutación, lamagnitudyel lugardondeserealizará lamodificaciónsedefinede

maneraaleatoria.Estetipodedecisionespermitenaumentarladiversidadenlabúsqueda,promoviendo

el proceso de adaptación al entorno por parte de la población. El proceso evolutivo resulta entonces

cuandounapoblaciónpuedeadaptarsedemaneraincrementalalentorno.

ElpseudocódigodeunAEdemaneragenéricapuedeser:

Algoritmo1Algoritmoevolutivo

1: Inicialización:Secrean𝑁posiblesindividuos(𝑥)paraunapoblacióninicial(𝕏).𝑥", … , 𝑥M ∈ 𝕏

2: Evaluación:Seevalúanloscandidatosconlafuncióndeaptitud.𝑥$ → 𝑓?nÏ$Ïqs 𝑥$ , 𝑖 =1, … , 𝑁

3: Mientras(Lacondicióndeterminación≠verdadero)4: Seleccionarlos𝑗padresde𝕏.ℙ = 𝑝", … , 𝑝% 5: Crearlos𝑘hijosmedianterecombinación.ℍ = ℎ", … , ℎ, 6: Mutarℎ$7: Evaluarℎ$ → 𝑓?nÏ$Ïqs ℎ$ , 𝑖 = 1, … , 𝑘8: Seleccionarindividuosdeℎ$ ∪ 𝕏paralanuevageneración𝕏′9: 𝕏 → 𝕏′10: Fin

4.2.2 Representacióndelindividuo

El primer paso para poder diseñar un algoritmo evolutivo (AE) es unir elmundo real con el computo

evolutivo,loquesignificacrearunaestructuradedatosquerepresentelascaracterísticasdelproblemay

sucontexto,lacualdebeestardiseñadadetalmaneraqueunsistemacomputacionalpuedamanipularla,

en otros términos, toda la información inherente al problema y su contexto son los fenotipos y su

codificación,creaunaestructuradedatosenunentornodeAEquecontienelosgenotipos(verFigura9)..

43

Comosehamencionadoanteriormente,existenvariosAE,condiferenciascomolarepresentacióndelos

individuos,particularmenteparalosalgoritmosgenéticos(AG)escomúnutilizarcaracteresdeunalfabeto

finito,enlasestrategiasevolutivasseutilizanvectoresdenúmerosreales,máquinasdeestadofinitopara

laprogramaciónevolutivaclásicay representaciónconárbolespara laprogramacióngenética (Eibeny

Smith,2015;Goldberg,1989).

4.2.3 Población

Unapoblaciónesunconjuntodeindividuosdelamismaespecie,porloqueenelcontextodeAEesun

multiconjuntodecromosomas.Lapoblaciónseconvierteentoncesen launidaddelprocesoevolutivo,

dadoquelosindividuosnopuedenevolucionarporsisolos,necesitanlainteracciónconsusparespara

lograrcambiosoadaptarse.Inicializarunapoblaciónesunatareasimple,teniendoencuentaquesoloes

necesariodefinircuantosindividuoscontieneoeltamaño.

EnlamayoríadelasaplicacionesdeAEeltamañodelapoblaciónpermanececonstantedurantetodoel

proceso evolutivo, aumentando la competencia, dada la necesidad de sobrevivir en el recambio

generacional. En cuanto a tipos de poblaciones, en implementaciones clásicas es común utilizar

poblacionesdetipopanmíctica,enlasqueelapareamientoeslibreyalazar(conigualprobabilidad).Por

otra parte, en algoritmosmás sofisticados, típicamente se utilizan poblaciones distribuidas en islas o

vecindarios, lo que reduce el número de individuos con los que se puede interactuar y se comparte

informacióngenéticaentresubpoblacionescadaciertotiempo.

La idea principal detrás de esta limitación es aumentar la diversificaciónde la población en general e

incrementar la explotación en los grupos de individuos que están distribuidos. La diversidad de la

poblaciónesunconceptomuyutilizadoenAEyrepresentalacantidaddeindividuosdiferentesdentrode

la población, comúnmente asociado a individuos con diferente valor de aptitud, sin embargo, no

necesariamenteesasí,puestoquediferentesgenotipospuedentenerelmismorendimientoentérminos

de calidad. Herramientas estadísticas como la entropía pueden ayudar a medir la diversidad de una

poblaciónespecíficaosimplementeelnúmerodefenotiposy/ogenotiposdiferentes.

44

4.2.4 Funciónparaevaluacióndeaptitud(funcióndecalidad)

Entérminosgeneraleslafunciónobjetivoparaunproblemadeoptimización,quedefinelascondiciones

deoptimalidad,puedeserlamismafuncióndecalidad(eneldominiodelAE)oenalgunoscasosrequerir

algunamodificación, que permite evaluar el rendimiento de los individuos, es decir que tan “bien” el

candidatosatisface lascondiciones,calculandounvalordeaptitudpara losgenotiposquedescribeun

mayor o menor nivel en los fenotipos según sea el caso. La mayoría de problemas de optimización

requierenserminimizados(costos,esfuerzo,distancia,etc.),peroentérminosdecalidad,escomúnmente

asociadoconmaximización,yaqueunvalormásaltosuponeunmejorrendimiento.Sinembargo,pasar

de un problema deminimización amaximización y viceversa es una tarea simple, permitiendo poder

abordarcualquierproblemadeoptimizaciónconAE.

4.2.5 Mecanismoparalaseleccióndepadres

SelecciónportorneoorankingsonlosmecanismosmáspopularesimplementadosenAE,loscualesson

implementados de manera probabilística de tal manera que los mejores individuos tengan una

probabilidadmayordeserelegidoscomopadre,adiferenciadelosindividuosconbajorendimiento,no

obstante,estosindividuossiemprecuentanconlaoportunidad(pequeñaenlamayoríadecasos)deser

seleccionados,denoserasí,ladiversidadenlapoblaciónseveríareducidaylabúsquedaseconvertiría

enunmétodoavaroyelitistaquesoloseevolucionaentornoalaprimermejoraencontrada,loquepuede

ocasionarestancamientosenóptimoslocalesdisminuyendolaposibilidaddelograrlasoluciónóptima.

4.2.6 Recombinación

Eloperadorgenéticoconocidocomorecombinaciónocruzamientocombinalainformacióngenéticade

dosomás individuos(padres)enunoomásdescendientes(hijos).Lamayoríadeestosmétodosestán

restringidosalusodedospadres,aunqueestádemostradoqueelusodemultipadres,asínosetengauna

contrapartebiológica,proveeefectospositivosparaelalgoritmo(Eiben,2003).

Elprocesoderecombinaciónbuscadistribuirlosgenes“buenos”decadapadreenlosnuevosindividuos,

combinandolasmejorescaracterísticasdecadauno,sinembargo,estateoríanosiempresecumple,ya

queenAEserealizademaneraprobabilística,esimportanteresaltarqueparacadarepresentaciónexisten

45

diferentesmetodologíasderecombinación,paraelpresentetrabajonosinteresanlosmétodosutilizados

paraAGenrepresentaciónbinariaoentera.

Losoperadoresderecombinaciónpuedenrealizarsegmentaciónycombinacióndelmaterialgenéticode

lospadresorealizaroperacionesaritméticasquemodifiquenlametodologíaparacrearelnuevogenotipo

apartirdelassemillasutilizadas.

Hollandproponeelmétodo“One-pointcrossover”ocruzamientoenunpunto,elcualprimerocalculaun

númeroaleatorio(𝜌)enunrangoentre[1, 𝑙 − 1],donde𝑙representaeltamañodelaestructuradedatos

de la codificación (cromosoma), para luegoutilizarlo comopuntode cruce, dividiendo losdospadres,

cabezaantesde𝜌ycoladespuésde𝜌,loshijosentoncessonlaunióndelacabezadeunpadreconlacola

del otro (Holland, 1992). Estemétodo se puede generalizar en “𝑛 −point crossover”, el cual divide el

individuoenmásdedossegmentosyreconstruyendoelmaterialgenéticodecadapadrealternandolos

segmentosparaformarladescendencia;seseleccionaunnúmero𝑛depuntosdecortecomoseilustraen

laFigura11.

Figura11.“One-pointcrossover”(arriba)conun𝜌 = 3,“𝑛 −pointcrossover”(medio)paraun𝑛 = 3, 𝜌 = 1,3,5 ycruzamientouniforme(abajo)paraunarreglodenúmerosaleatorios= 0.1, 0.7, 0.8, 0.2, 0.9, 0.8, 0.2 y𝜌 = 0.5.

46

Por último el método conocido como cruzamiento uniforme, propone tratar cada gen de manera

independienteyrealizarunaselecciónparacadahijoquedeterminaelvalordelalelo(s)enelcromosoma,

haciendounaelecciónaleatoriaquedeterminaquepadreheredaestevalor,enotraspalabras,sedefine

unvalorpara𝜌entre0y1(comúnmente0,5)luegodemaneraaleatoriaseobtieneotrovalorentre0y1

elcualpuedesermayora𝜌indicandoquedebetomarelmaterialgenéticodelpadre1odelpadre2para

elcasoqueseamenoroiguala𝜌(verFigura11).

Existenvariosmétodosderecombinaciónadicionalestantopararepresentacionesconpermutaciónde

enterosorepresentaciónconnúmerosreales,algunospopularescomoPMXy“Cut-and-crossfill”porlo

queserecomiendarevisar(EibenySmith,2015;Goldberg,1989).

4.2.7 Mutación

El segundométodoprincipaldecambiosevolutivoses lamutación,el cualesunoperadorunarioque

modificadirectamenteelmaterialgenéticodeunhijoodescendencia.Comosalida,un“mutante”siempre

dependedeunaseriedeeleccionesaleatoriaspor lo tanto lamutaciónesunprocesocompletamente

estocástico.EsteoperadorescomúnmenteutilizadoendiferentesáreasdelCE,porejemplo,enPEesel

únicooperadorqueseutilizaoenAGeselencargadodeproporcionarnuevomaterialgenético,útilpara

laexplotaciónyexploracióndelapoblación.Elmétododemutaciónconocidocomo“Bitwise”(similaral

método “swap” en representaciones por permutación de enteros), propone la posibilidad (con

probabilidad𝑝.)de intercambiarelvalorenunoo 𝜅 −genes,determinadodemaneraaleatoriauna

cantidaddevaloresa𝑘$ entre1yeltamañodelcromosomacomoposicionesdelgenamodificar,conun

nuevo valor seleccionado demanera aleatoria de algún conjunto de valores permitidos. Estemétodo

funciona tanto para representaciones enteras como binarias, fácilmente modificable a un método

conocidocomo“randomresetting”o“scramble”(paraunarepresentacióndepermutacióndeenteros),

enelquesiempreseintercambiantodoslosgenesdelcromosoma(verFigura12).

Figura12.Mutación“swap”(arriba)paraun𝜅 = 2,3,7 ,“randomresetting”(abajo)parauncromosoma

deconrepresentaciónbinaria.

47

4.2.8 Mecanismodeseleccióndelossobrevivientes(Reemplazo)

Laestrategiadereemplazofuncionademanerasimilaralmecanismodeseleccióndelospadres,utilizando

ranking o torneo para decidir que individuos deben dejar la población y dar paso al nuevo material

genéticoquecontienenloshijos,seconocecomoseleccióndesobrevivientes,dadoqueparauncasoen

elqueelnúmerodehijosesmásdelamitaddelaantiguapoblación,esnecesarioeliminarungrannúmero

deindividuosquepuedenserseleccionadosporedad,bajodesempeñoodemaneraaleatoria.Cuandose

generandoshijosporgeneración,esposiblehablardereemplazo,yaqueportorneobinariosepuede

definirquiencontinuaonoformandopartedelapoblaciónaevolucionar.

4.3 AEconenfoquemultiobjetivo(AEMO)

Como se mencionó anteriormente los AE son una herramienta útil para problemas de optimización,

utilizandolafunciónobjetivocomofuncióndecalidad(oconalgunamodificación)parauncasoconun

únicoobjetivo,realizandociertacantidaddeiteracionesquepermitanqueunoomásindividuosalcancen

algún valor aproximado aceptable o la solución óptima para el mejor de los casos. La estructura de

funcionamiento de los AE basada en exploración y explotación, facilita escapar de óptimos locales y

direccionarlabúsquedahaciaelóptimoglobal.

El problema entonces surge a partir de la discusión de cómo comparar dos individuos que tienen un

rendimiento diferente para cada una de las funciones de aptitud para un POMO, es decir que

compensaciónproducecadaunode los individuospara losobjetivosenconflicto,porejemplo,parael

problemaclásicodelamochila(“knapsackproblem”)conenfoquemultiobjetivo,enelquelosobjetivos

enconflictosonaumentarlasgananciasydisminuirelpeso,cadaposiblesolucióncodificadabajoalguna

representación(estructuradedatosdelcromosoma)simbolizaunconjuntodeítemsconunpesoyvalor

asociados, por lo tanto algún individuo puede contener el peso mínimo pero no la mejor suma de

ganancias, mientras que otra posible solución maximiza las ganancias pero el peso excede el valor

deseado; cada candidato realiza una compensación entre los objetivos, complicando la decisión que

puede definir cuál es lamejor solución al problema planteado. Es posible buscar una solución a este

problemaconmétodoscomolacombinaciónlinealdeobjetivos,ordenamientolexicográficooalgunode

losdetalladosenelCapítulo3delpresentedocumento,sinembargo,losAEpermitenlidiarconPOMO

gracias a su estrategia de evolución de un multiconjunto de posibles soluciones (población)

simultáneamente. Esta interacción entre candidatos a solución del POMO permite intercambiar las

48

mejores característicasohabilidadesde cada individuo, facilitandocrearunaposible soluciónen cada

recambiogeneracionalqueseaproximealfrentedePareto(verCapítulo3).Schaffersurgeentoncescomo

pionero con el algoritmo “Vector Evaluated Genetic Algorithm” (VEGA) modificando los operadores

genéticosenunAG,realizandociclosdeselecciónindependientesparacadaobjetivo(unoporuno)hasta

obtenerunsubgrupodeindividuosalosqueaplicacruzamientoymutación(Schaffer,1984).

Sinembargo,sehacenecesarioencontrarunamétricaparaevaluarlosindividuosbajomúltiplesfunciones

objetivos,yaquelosAEutilizanlafuncióndecalidadparalareproducciónyevoluciónenelcasomono

objetivo. Goldberg (1989) introduce el término de dominancia (ver Capítulo 3) y “niching” (operador

utilizadoparacontrolarladiversidaddelapoblación)conlaintencióndesubdividirlapoblaciónengrupos

enlosquenoesposibledefinircuálesmejorparatodoslosobjetivosenconflicto,surgeentonceseluso

deconjuntosnodominadoscomometodologíaparadireccionarlabúsquedayevolucióndeunAEpara

POMO.EncontrarelfrentedeParetodeunPOMOesunatareadifícilenlamayoríadecasos,porloque

sepermiteencontraruna“buena”aproximaciónenuntiempodeejecuciónrazonable.Lasmetodologías

basadasenAE (AEMO)presentanunbuen rendimiento y aunquenoesposible considéralas comoun

método universal, “No free lunch theorem” (Wolpert y Macready, 1997), en general poseen una

implementación sencilla que permite guiar la búsqueda con información obtenida en el dominio del

problema,loqueacelerasudesarrollo,ejecución,evaluaciónyentendimiento.

4.3.1 ClasificacióndelosAEMO

En la literatura normalmente se dividen a los AEMO en dos generacionesmarcadas por el uso de un

mecanismodeselecciónconocidocomo“preservaciónelitista”osencillamenteelitismo.Lainclusióndel

elitismoproporcionaunrendimientonodegradante,debidoaquesemantienenalosindividuosconmejor

rendimientodurantecadarecambiogeneracional.Elusoeimplementacióndemetodologíasparaaplicar

elelitismoesladiferenciaprincipalentrelosalgoritmosqueformanpartedelasegundageneración.En

losúltimosañossehanclasificadolosAEMOentrescategorías:losbasadosendominancia,losmétodos

pordescomposiciónylosqueutilizanalgúnindicador.Losprimerosbasadosenelconceptopropuestopor

Goldbergcomo:StrengthParetoEvolutionaryAlgorithm(SPEA,SPEA2),NondominatedSortingGA(NSGA,

NSGA-II)oParetoEnvelope-basedSelectionAlgorithm(PESA,PESAII) (algunosalgoritmospopularesde

segunda generación) utilizan la dominancia como se describió anteriormente, Después encontramos

algoritmoscomoMOEA/D(Multi-objectiveevolutionaryalgorithmbasedondecomposition),queutilizan

elmétododedescomposición,dividiendounPOMOenvariosproblemasconunúnicoobjetivoyqueson

49

resueltossimultáneamente,loscualeshanganadobastanteatenciónporlosinvestigadoresdebidoalas

dificultadesquepresentan losAEMOcuandoseabordanproblemasconcuatroomásobjetivos,estas

complicacionesestándirectamenterelacionasalusodelosconceptosdeParetoalintentardiscriminarun

conjuntodesolucionesúnicamenteutilizandoladominancia(VonLückenetal.,2014).Porúltimolosque

utilizanalgúnindicadorporejemplo,HypE(HipervolumeEstimationBasedMOGA),queutilizalamétrica

hipervolumencomovalordeaptitudparalosindividuosenunAE(Debetal.,2016).Dadaladimensióndel

problemaabordadoenestetrabajo(dosobjetivosenconflicto)sedecideutilizarunaversiónadaptadade

MOCell(MultiObjectiveCellulargeneticalgorithm)(Nebroetal.,2009)comopropuestainicialycomparar

losresultadosobtenidoscontraunAEMOmuypopularendiversostrabajosdeaplicaciónaproblemas

realescomoloesNSGA-II(NondominatedSortingGeneticAlgorithmII)(Debetal.,2002).

4.3.2 NondominatedSortingGeneticAlgorithmII(NSGA-II)

La relación dedominancia descrita en el Capítulo 3 sección 3.2.2 permite relacionar dos soluciones o

individuos,utilizadaporvariosalgoritmoscomounoperadorbinario,enelqueunasolución𝐴dominao

noauna solución𝐵,𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎(𝐴, 𝐵) = 1 o𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎(𝐴, 𝐵) = 0, respectivamente.Coelloet al.

(2007)definentresposiblesmétodosqueutilizanelconceptodedominanciaparahacerordenamiento:

• Rankingpordominancia:elmétodosebasaendefinirunnivelparacadaindividuomedianteel

cálculodelacantidaddeindividuosenlapoblaciónactualporlacualestádominado.Algoritmos:

“Multi-ObjectiveGeneticAlgorithm”(MOGA)y“NichedParetoGeneticAlgorithm”(NPGA)

• Dominanciapor conteo: el criterio sebasa en cuántasposibles soluciones sondominadaspor

algúnindividuo.Algoritmos:“StrengthParetoEvolutionaryAlgorithm”(SPEAySPEA2)

• Dominanciaporprofundidad:estemétododistribuyelosindividuosen“frentes”dedominancia,

paraluegoordenarlosdetalmaneraqueelfrenteunocontienelosmejoresindividuos.Quienes

dominanalrestodelapoblación.Algoritmos:“NondominatedSortingGeneticAlgorithm”(NSGA

yNSGA-II).

NSGA-IIesunodelosAEMOmáspopularesdesarrolladoporDebetal.(2002)elcualutilizaelprincipiode

elitismo (AEMO de segunda generación) y la relación de dominancia en profundidad, además de un

mecanismoquepreservaladiversidadconocidocomo“crowdingdistance”odistanciadeapiñamiento.

Paracadageneraciónelalgoritmocombinalapoblaciónactual(𝑃$)detamaño𝑁conladescendencia(𝐷$)

50

resultanteparacadaiteración𝑖(𝑁númerodehijos),obtenidosconlosoperadoresgenéticostradicionales

(selección,recombinaciónymutación).Luegoseconstruyeunanuevapoblación(𝑄$)detamaño2𝑁lacual

esclasificadaen“frentes”nodominados,luegoencadafrentesecalculaladistanciadeapiñamientocon

la finalidad de poder clasificar a los individuos de unmismo frente en un ranking determinando que

individuoaportamásomenosa ladiversidaddel frente;por lo tanto, tenemoscada individuoconun

vectorde𝑘valoresdeaptitud(paraunPOMOde𝑘objetivos)unfrenteasociadoyunvalordedistancia

de apiñamiento. Por último, se construye una nueva población (𝑃$ã") seleccionando los individuos de

mejorapeor,esdecir,losquepertenecenalosmejoresfrentesylosquegeneranmayordiversidad(ver

Figura13).

Figura13.CuadroesquemáticodelospasosqueejecutaNSGA-IIparaproducirunanuevageneración𝑃$ã".

Ladistanciadeapiñamientoesunamedidadelespacioobjetivoalrededordeunasolución𝑢quenoes

ocupadaporningunaotrasolución,porlotanto,sencillamentesecalculaelperímetrodeunrectángulo

construidoenelespacioobjetivoutilizando losvecinos inmediatos (𝑢 − 1y𝑢 + 1)comodiagonal (ver

Figura 14). Aunque NSGA-II es un algoritmo relativamente viejo, sigue siendo muy utilizado para

problemasconpocosobjetivosenconflicto,yaquerecientesestudiosproponenqueelusodelindicador

dedominanciaesinútilaltrabajarunacantidaddeobjetivosalta.Enestecasolapresióndeselecciónque

utilizaNSGA-II(ylosdemásalgoritmossimilares)solopuedeencontrarungruporeducidodesoluciones,

estancándosesinposibilidaddeenfocarlabúsquedahaciaelconjuntoóptimodePareto.

!"#$%#&

!"#$%#'

!"#$%#(

!"#$%#)

!"#$%#*

+,

-,

.

.

!"#$%#)Ordenamientopordominancia

Ordenamientoporapiñamiento

Nuevageneración+,/&

.

!"#$%#&

!"#$%#'

!"#$%#(

!"#$%#)

51

Figura14.Cálculodeladistanciadeapiñamiento(“crowdingdistance”),paralosvaloresextremosdelfrenteseasignaunadistanciainfinita.

4.3.3 MultiObjectiveCellulargeneticalgorithm(MOCell)

Variosalgoritmosevolutivosaplicanlosoperadoresgenéticosenunapoblacióndondetodoslosindividuos

tienenlamismaprobabilidaddeserseleccionados(poblaciónpanmíctica)oconalgúntipodepreferencias

sobre los individuos con mejor rendimiento (elitismo). Por otra parte, existe un gran número de

implementacionesdealgoritmosdemaneradistribuida,enislasconectadas,porejemplo(verFigura15).

Figura15.Diferentestiposdepoblacionesutilizadasenalgoritmosevolutivosa)Panmíctica,b)Islasconectadas,c)Vecindariossuperpuestos.

MOCell(“MultiObjectiveCellulargeneticalgorithm”)esunalgoritmopropuestoporNebroetal.(2009)el

cual distribuye los individuosdeunapoblaciónenunamalla, para luegoasignarun vecindario a cada

individuo(eltamañodelvecindariopuedecambiarsegúnlorequieraelproblema,verFigura16).Seutiliza

unamallatoroidalconelfindegarantizarquetodoslosindividuostenganlamismacantidaddevecinos.

Estealgoritmodetipocelularrealizaestaclasededistribucióndelapoblaciónconelfinderestringirla

cantidaddeindividuosquepuedeninteractuarentresí,estasrestriccionespromuevenlaexploracióndel

espaciodebúsquedademaneraquesetransmitengenesentrevecindariossinnecesidaddeenfocarse

únicamenteenelmejorindividuodecadasubgrupo,manteniendounaaltadiversidaddebidoaladifusión

52

“lenta”delmaterialgenético.Porotrapartecomolosindividuossolopuedeninteractuarconunreducido

grupodevecinos,sebuscafomentarlaexplotaciónencadavecindario,utilizandolastécnicasderanking

ydistanciadeapiñamientopropuestasporDebetal.(2002)enNSGA-IIencadavecindarioyasífomentar

elelitismoalahoradeaplicarlosoperadoresgenéticos.

Figura16.Vecindariosdiferentes,a)cuatro,b)ocho,c)doce,paradosindividuos𝐼" = (𝑥, 𝑦)e𝐼* = (𝑥 − 1, 𝑦 − 1).

MOCellconstruyeunconjunto(𝒫Må)de𝑁individuosnodominados(lacardinalidaddelconjuntoimplica

elimpactodelelitismoenelalgoritmo)ordenadospor“crowdingdistance”,conlosqueseretroalimenta

lapoblación.Elalgoritmonoutilizaelconceptoderecambiogeneracionaldelamismamaneraquelos

demásAE,enestealgoritmoesnecesariorevisarindividuoporindividuoparacompletarunageneración

delapoblación,esdecirencadaevaluacióndeunindividuoserealizauntorneoentrelosvecinospara

elegirlospadresosemillas,loscualesseutilizaránenelprocesoderecombinaciónparaluegoemplearel

operadordemutaciónconloshijosresultantes.Unavezfinalizadoesteprocesosehaceunrankingentre

los hijos, los padres seleccionados y el individuo que está siendo evaluado con el fin de definir quién

ocuparáesteespacioenlapoblación(eldemejorrendimiento)ycontinuarconelsiguienteindividuo.Por

último,alfinalizarlarevisióndetodoslosindividuos,demaneraaleatoriaseseleccionan𝑁individuosque

seránintercambiadosporloqueseencuentranalojadosenelconjunto𝒫Må(verFigura17).

Figura17.Ciclodereproducciónparaunalgoritmogenéticocelularconcuatrovecinosporindividuoyunconjuntonodominadodecuatroindividuos.

53

4.4 AEMOpropuesto

ParaabordarelproblemaplanteadoenelCapítulo2sección2.6seproponeunAE,específicamenteun

algoritmogenéticodetipocelular,basadoenMOCellensuversiónasíncrona(verAlgoritmo2).

Algoritmo2.PseudocódigodelametaheurísticabasadaenMOCell.1. 𝑑𝑎𝑡𝑎 =setup();/*Configuracióndeparámetrosdelalgoritmoydatosdeentrada*/2. 𝑝𝑜𝑝 =popGen()/*Crealapoblacióninicial*/3. 𝑝𝑜𝑝 =toroidal(𝑝𝑜𝑝);/*Distribuyelosindividuosenunamallatoroidal*/4. 𝒫Må = [];/*Creaunconjuntoparaalmacenarlosindividuosnodominados*/5. Mientras(condiciónDeterminación==falso)hacer6. Para𝑘 = 1hasta 𝑝𝑜𝑝 hacer7. 𝐼𝑘 = 𝑝𝑜𝑝(𝑘);/*individuo𝑘*/8. 𝑣𝑃𝑜𝑝 =vecindario(𝑝𝑜𝑝,𝐼𝑘);9. 𝑝𝑎𝑑𝑟𝑒𝑠 =selección(𝑣𝑃𝑜𝑝);10. ℎ𝑖𝑗𝑜𝑠 =recombinación(𝑑𝑎𝑡𝑎,𝑝𝑎𝑑𝑟𝑒𝑠);11. ℎ𝑖𝑗𝑜𝑠=mutación(𝑑𝑎𝑡𝑎,ℎ𝑖𝑗𝑜𝑠);12. 𝑝𝑜𝑝(𝑘) =reemplazo(𝑣𝑃𝑜𝑝,ℎ𝑖𝑗𝑜𝑠);13. 𝒫Må =agregar(pop(𝑘),𝒫Må);14. Fin15. 𝑝𝑜𝑝 =retroalimentación(𝒫Må);16. Fin

4.4.1 Representación(codificación)

Larepresentaciónocodificacióndelasposiblessolucionesestáexpresadocomounarreglodenúmeros

enterosquesimbolizaneltipodevehículoasignadoparacubrirunviajeconunahoradepartidaestipulada

porlaposicióndelnúmeroenteroenelarreglo,enotrostérminos,lahoradepartidadelvehículoladefine

laposicióndelgenenelcromosomayeltipodevehículoestádeterminadoporelaleloenestegen.

Eltamañodelarregloestádefinidoapartirdeunestudiopreviodelademandadepasajerosenunaruta

específica, haciendo un análisis preliminar de la frecuencia mínima de operación para la capacidad

promedio de los vehículos disponibles para cubrir la ruta (𝐶𝐴𝑃). El método seleccionado calcula una

frecuenciadeoperación (𝐹%)apartirdelperfildecargaporperiodosde tiempo, fundamentadoen los

mecanismosdiscutidosenelCapítulo2sección2.1paraelcálculodelafrecuenciamínimadeoperación,

losvaloresobtenidosseconsiderancomounacotainferiordelafrecuencia,yaquepuedesermodificados

losintervalosporelAE.

54

Unavezquesetieneelhorariopreliminar,paralacreacióndelosindividuossedivideelcromosomacon

unaseriedegenesconvalorcero(valordelalelo)quesirvenparamarcarlosiniciosdecadaperiodode

tiempoconelfindepoderevaluarelrendimientodelindividuoenintervalosduranteladuracióntotaldel

funcionamientoyasítenerunamejorideadelcomportamientoparalosdosobjetivosenconflicto(costo

deoperaciónypérdidadelacalidaddeservicio),ladistribucióndeloscerospuedesermodificada,pero

nopuedenexistirdoscerosconsecutivosdadalarestriccióndelproblemaqueestableceunafrecuencia

mínima de operación (𝑓.$'), todos los periodos de tiempo tienen lamisma duración y pueden estar

relacionadosconeltiempototalqueutilizaunvehículoparacubrirunviaje(verFigura18).

Elmétodoutilizadoparaconstruirelcromosomaestádefinidopor:

𝐹% = 𝑚𝑎𝑥𝐴%

LFð ∙ CAP ∙ 𝐿,𝑃%.?@

CAP, 𝑓.$' (32)

𝐴% = 𝑃%\×ℓó\∈B

(33)

𝐿 = ℓó\∈B

(34)

Figura18.Representaciónparadosindividuosvecinosysurespectivocomportamientoparaunperiododetiempoyunacargadepajerosdefinida.

55

Donde𝑃%\eselflujoocantidaddepasajerosenlaparada𝑠delaruta𝑅(𝑃%.?@paraelcasomáximo),𝐴% es

eláreabajolacurvaformadaporlacantidaddepasajerosalolargodetodalaruta.𝐿𝐹% eselfactorde

cargadefinidoparaelperiodo 𝑗o lamáximaocupaciónpermitidaenesteperiodode tiempo.ℓóes la

distanciaentrelaparada𝑠ylaparada𝑠 + 1,quealsumarlasentreganladistanciatotalrecorrida𝐿para

laruta𝑅(verFigura19).

4.4.2 Funcionesobjetivoyevaluacióndeaptitud

El POMOes formuladoproponiendoun vector condos funciones objetivo en conflicto𝔽 = 𝑓", 𝑓* , la

primerafunciónrepresentaelcostoasociadoalaoperacióndeunaflotadevehículosdediferentestipos

establecidos para cubrir un conjunto de viajes necesarios en una ruta específica, el cual debe ser

minimizadocomoobjetivodelproblema.Porotrolado,tambiénsedeseaminimizarlafunción𝑓*lacual

evalúalapérdidadelacalidaddelserviciocuandolademandadepasajerosnosepuedesatisfacerencada

periododetiempo.

Figura19.Perfildecargaparaunarutaconseisparadas𝑠$, 𝑖 = 1, … ,6,unacargamáximade250pasajerosen laterceraparada,unacapacidaddevehículostotaliguala200yunfactordecarga𝐿𝐹* = 75%.𝐿𝑄O = 100indicaqueenlaterceraparadaseestánperdiendocienpasajerosyaquenopuedensertransportadosporlaflotaasignada.

56

Laecuaciónpara𝑓" (verCapítulo2sección2.6)consisteenlasumatoriadetodos loscostosparacada

vehículoasignadoaunviaje,elcualescalculadodependiendodelcalendario(horario)yelcostodelas

variablesdependendeltipodevehículo.𝑓*indicalacantidaddepasajerosporkilómetroquenopueden

sertransportadosporlaflotillaquedebecircularencadaperiododetiempo(verFigura19).

Losvaloresdeaptitudqueentreganlasfuncionessonnormalizados,debidoaqueesposibleconocerel

costomáximodeoperaciónalseleccionarúnicamentelosvehículosmáscostososdisponiblesparacubrir

todos los viajes del calendario, por otra parte, cuando se seleccionan solo los vehículos con menor

capacidad,lapérdidadepasajerosserálamásaltaposibleparaunconjuntodevehículosdisponibles.

4.4.3 Operadoresgenéticos

Inicialización de la población: el conjunto de individuos inicial (población) es generado de manera

aleatoria asignando diferentes tipos de vehículos disponibles (proporcionados como parámetro de

entradadelalgoritmo),teniendoencuentaeltamañodelhorariocalculadopreviamenteyladistribución

delosceros,despuésdeestoseprocedeadistribuirlosindividuosenunamallatoroidal.

Selección: se realiza una selección por torneo para cada individuo y su correspondiente vecindario,

obteniendodosindividuosutilizadoscomosemillasparaelnuevomaterialgenético.Estetorneoutilizaun

rankingenfrentesydistanciadeapiñamientodesernecesarioparaelegiralosdosmejores.

Recombinación:seutilizaunaadaptacióndelmétodoclásico“𝑛 −pointcrossover”elcualserestringelos

puntosdondepuedecortareloperadorasololaubicaciónenlaqueseencuentranlosgenesconvalorde

cero.Estarestricciónseproponeconelfindepreservarelordendelosvehículosenperiodosdetiempo

quepresentanunbuenrendimientoyfomentarelelitismo(verFigura20).

Figura20.Métododerecombinaciónimplementado,modificacióndeltradicional“one-pointcrossover”.

57

Mutación:sedefinecomométododemutaciónunmecanismodeintercambio,enelqueseselecciona

𝜅 −genes, determinado de manera aleatoria una cantidad de valores a 𝑘$ entre 1 y el tamaño del

cromosomacomoposicionesenlasqueintercambiaráelvehículoasignadoporotro(dediferentetipo)

disponible(verFigura21).

Figura21.Métododemutaciónimplementado,conun𝑘 = 3(cantidaddegenesquepuedensermodificados).

Reemplazo:paracadaunadelasceldasdelamallatoroidalserealizauntorneoentrelospadres,loshijos

yelindividuo,elquepresenteunmejorrendimientoocuparáestelugarenlapoblaciónyseintegrarácon

𝒫Måendondecompetiráconlosindividuos,queseencuentranalmacenadospreviamente,porunlugar

enel conjuntode individuosnodominados.Porúltimo, cuando seevalué la totalidadde lapoblación

(individuo por individuo) se procede a realizar una selección aleatoria de 𝒫Må individuos que serán

eliminadosyreemplazadosporlosalmacenadosen𝒫Må(verFigura22).

Figura 22. Ejemplo de la representación de una solución (cromosoma) para un caso con tres tipos de vehículosdiferentesyuntotaldeseisviajesentresperiodosdetiempo.Etapasdereproducciónparaunalgoritmocelularasíncrono.

58

Capítulo5. Resultadosexperimentales

Paralograrencontrarunasolución(ouna“buena”aproximación)paraunPOMO,sehandesarrolladoun

número considerabledemétodos y algoritmosdurantedécadas, entre estos se encuentran losAE los

cuálesproducenunconjuntodesolucionesnodominadasqueseaproximanalfrentedePareto(conjunto

desolucionesóptimoparaunPOMO)paraproblemascondosomásobjetivos.Elaumentodelinteréspor

este tipo de métodos incrementó la necesidad de diseñar mecanismos que permitan comparar los

resultados entregados por dos algoritmos y determinar cuál presentó unmejor rendimiento. Esto es

complicadodebidoaquelosAEMOnoproducenunnúmeroescalarcomoindicadordeaptitud,elcual

puedesertratadocondiversosmétodosestadísticos.Encontraparte,entreganunconjuntodesoluciones

nodominadas(puntosenelespacioobjetivo)comoresultado(KnowlesyCorne,2002),porlotantosehan

propuestonumerosasmétricasdecomparaciónderendimientocomoindicadoresdecalidad,permitiendo

lacomparaciónentreconjuntosobtenidosmediantelaimplementacióndeAEMO.

EnelCapítulo3seintroducendosconceptosclavesparaelusodeestetipodemétricas:laproximidadal

frentedeParetoyladiversidaddelconjuntosolución,variosautoresproponentresobjetivosenlosque

debenenfocarselosmétodosdesoluciónparaunPOMO(Okabeetal.,2003;Zitzleretal.,2000):

• MinimizarladistanciaentreelvectordesolucionesnodominadasyelfrentePareto(𝒫¦),enotras

palabras,sebuscaestarlomáscercaposibledelasoluciónóptima(convergencia).

• Obtener una buena (uniforme de preferencia) distribución de las soluciones del conjunto no

dominadoenelespacioobjetivo(diversidad).

• Maximizarlacardinalidaddelconjuntosolución(cantidaddesolucionesnodominadas)

Lasmétricaspuedenserunariasobinarias(m),enfuncióndecuantosconjuntossoluciónpuedenevaluar

simultáneamente,evaluandoalguno(s)de los trescriteriosantesmencionados, (Riquelmeetal.,2015)

listanuntotalde54métricasdiferentes,citadasentre2005y2013.

Lapreguntaquesurgees¿Cuántasocuálesmétricasderendimientosedebenutilizar?apoyadoenel

mismoestudio, se examinó las diezmétricasmásutilizadas conel fin de seleccionarun conjuntoque

evaluélostrescriteriosderendimientoypermitacompararlosresultadosobtenidosdedosalgoritmos

diferentes.

59

Enestecapítulosedescribeeldiseñodelosexperimentosimplementados,asícomolosindicadoresde

calidad (métricasde rendimiento)utilizadosparaevaluareldesempeñodel algoritmogenético celular

(AGC)propuesto.Porúltimo,sepresentanlosresultadosexperimentalesjuntoaunadiscusiónentorno

alanálisisdelosmismos.

5.1 Indicadoresdecalidad(métricasderendimiento)

Antes de describir las métricas utilizadas para evaluar el rendimiento del algoritmo propuesto, es

importanterevisarlosconceptosdescritosenelCapítulo3.

Zitzleretal.(2003)definenunamétricaderendimientocomo:

Unindicadordecalidad𝐼deorden𝑚esunafunción𝐼:ℙ. → ℝ,lacualasignaparacadaconjuntoℙ =

[𝒫", … , 𝒫.]de𝑚conjuntosdeaproximación,unvalorreal𝐼 𝒫", … , 𝒫. .Esposibleclasificarlasmétricas

derendimientoentrescategorías(Okabeetal.,2003;Riquelmeetal.,2015):

• Métricasdecardinalidad:lacardinalidaddeunconjuntosoluciónℙserefierealacantidadde

soluciones𝒫existentes.

• Métricasdeexactitud:estetipodemétodosevalúanelniveldeconvergenciadeun𝒫,esdecir,

indicacuantadistanciasepara𝒫de𝒫¦ siesteúltimoesconocido,delocontrarioseutilizaráun

𝒫B (regularmentecalculadodeformaexperimental)comoreferencia(Hipervolumen,“Twoset

coverage”,indicador−𝜖).

• Métricasdediversidad:estetipodeindicadorevalúaladistribuciónyextensióndelassoluciones

en𝒫,aunquesondostérminosquepuedensonarmuysimilares, ladistribuciónrepresenta la

distancia relativa entre las soluciones no dominadas, mientras que la extensión se refiere al

espacioquecubreunasoluciónen𝒫(“Spacing”,“Spread”,Hipervolumen).

5.1.1 Espaciadoypropagación

Elindicadordecalidadconocidocomoespaciado(Schott,1995),másconocidocomo“spacing”,esuna

métrica evalúa la distribución de las soluciones no dominadas obtenidas mediante un AEMO en un

60

conjunto𝒫,calculandolavarianzadeladistanciarelativaentredossolucionesconsecutivas.Escalculada

enelespacioobjetivo,comounamétricaunaria,delasiguienteforma:

𝐼¥ =1𝒫

(𝑑$ − 𝑑)*𝒫

$(" (35)

𝑑$ = min%

𝑢"$ − 𝑢"% + 𝑢*$ − 𝑢*

% (36)

𝐼¥calculaladesviaciónestándardelosvaloresde𝑑$ (𝑑eselpromediodelasdistanciasmostradasenla

Figura23),porlotanto,unconjunto𝒫conmenor“spacing”esconsideradomejor,debidoaquesupone

unadistribuciónuniformedelassoluciones.

Figura23.Distanciasentrelassolucionesdeun𝒫.

Lamétricadepropagaciónproponelainclusióndelassolucionesqueseubicanenlosextremosdelfrente

Paretoparaevaluarlaextensióndelassolucionessobre𝒫¦ (Deb, 2001; Debetal. , 2002).𝐼∆o“spread”

emplealosmismosvaloresde𝑑$ y𝑑utilizadospor𝐼¥ademásdeladistanciaentrelosextremosdelfrente

deParetoylasoluciónen𝒫máscercana(𝑑,u)paralas𝑛funcionesobjetivo(verFigura24).

𝐼∆ =𝑑,u'

,(" + 𝑑$ − 𝑑𝒫$("

𝑑,u',(" + 𝒫 𝑑

(37)

Elindicadortomaelvalordecero𝐼∆ = 0paraunadistribuciónidealqueincluyelosextremosdelfrente

deParetoenelconjunto𝒫.Porlotanto,cuandounalgoritmocalculaunconjuntoconunvalorpequeño

61

de𝐼∆esposibleencontrarunamejordiversidaddelassolucionesnodominadas,dadoquelaextensión

delasmismasalolargodelfrenteesbuenaencomparaciónconotro𝒫queobtengavaloresaltospara𝐼∆.

Figura24.Distanciasentrelassolucionesdeun𝒫,incluidaslasdistanciasentrelosextremosdelfrentedeParetoylassolucionesmáscercanas.

5.1.2 Hipervolumen

Esteindicadordecalidadcalculalaregión𝑛 −dimensionalencerradaentreelpuntoquerepresentauna

soluciónnodominadaenelespacioobjetivoyunpuntode referencia𝑊 (ZitzleryThiele,1999). Siel

conjuntoaproximaciónestámuycerca(distancia)de𝒫¦ aumentaelvalordeesteindicador.Porotraparte,

siladiversidad(distribuciónydispersión)de𝒫presentaunbuenrendimiento,seincrementael𝐼ö÷.Por

lotanto,unconjuntosolución𝒫queobtengaelvalormásaltode𝐼ö÷ esconsideradomejor,debidoaque

elvalormásalto(valoróptimo)deestamétricaseobtienealevaluarelfrentedePareto.

Paracalcularelhipervolumenesnecesariocolocarlassolucionesenelespacioobjetivoyelegirunpunto

𝑊quenosearebasadoporningunasoluciónfactible(p.Ej.construirunvectorcon lospeoresvalores

posiblesdelasfuncionesobjetivo).Unhipercubo(𝐻𝐶,)esconstruidoparacadasoluciónutilizandocomo

esquinasdereferenciaelpuntodelasoluciónyelpuntodereferencia(verFigura25).Porúltimo,serealiza

launióndeestoshipercubosyseprocedeacalcularelhipervolumen,matemáticamente:

𝐼ö÷ = volumen 𝐻𝐶,

𝒫

,("

(38)

62

Figura25.Elhipervolumenencerradoporlassolucionesquepertenecenalconjuntodesolucionesnodominado𝒫"yelpunto𝑊(izquierda).Comparaciónentreelhipervolumenconstruidopor𝒫"y𝒫*(derecha).

Estamétricaessusceptiblea laescaladelasfuncionesobjetivo,por loqueserecomiendautilizarlaen

espaciosobjetivonormalizados.Paraelcasodedosfuncionesobjetivo(𝑛 = 2)secalculaeláreadeun

rectángulo,construidoalutilizarlalínearectaentreelpuntoy𝑊comodiagonalprincipal(verFigura25).

5.1.3 Cubrimientoentredosconjuntos

ZitzleryThiele(1998)proponenunindicadordecalidadbasadoenelcubrimientodeconjuntos(“Twoset

coverage”),utilizadoparaevidenciarquétantolosresultadosdeunalgoritmodominanalosresultados

deotro,enotraspalabras,puedeestimarelporcentajedesoluciones,calculadoporunalgoritmo,que

dominanalassolucionesdeotro.Estamétricaproveeunacomparaciónrelativaentredosconjuntosde

vectoresdedecisión𝑋©,𝑋©© ∈ Ωbasadoensurelacióndedominanciadelasiguientemanera:

𝐼�¥x 𝑋©, 𝑋©© =𝑎©© ∈ 𝑋©©; ∃𝑎© ∈ 𝑋©: 𝑎© ≽ 𝑎©©

𝑋©© (39)

Elvalorde𝐼�¥x 𝑋©, 𝑋©© = 1representaquetodaslassolucionesen𝑋©©sondominadasosonigualesa𝑋©.

Porotraparte,elcasocuandoningunodelospuntosen𝑋©©soncubiertospor𝑋©,𝐼�¥x 𝑋©, 𝑋©© = 0.Ambos

𝐼�¥x 𝑋©, 𝑋©© y𝐼�¥x 𝑋©©, 𝑋© debenserconsideradosparaunaevaluaciónderendimiento,debidoaque

63

𝐼�¥x 𝑋©, 𝑋©© noesnecesariamenteiguala1 − 𝐼�¥x 𝑋©©, 𝑋© .Esteindicadorbinarioesbastanteaceptado

paracomparardosconjuntos,aunquenoreflejaenquémedidaunoesmejorqueelotro(verFigura26).

Figura26.Ejemplodelainteraccióndedosconjuntosdesoluciones𝒫"y𝒫*ysusposiblesrelacionesdedominancia.

5.1.4 Indicador−𝝐

Zitzleretal.(2003)introducenlamétrica𝐼ú,esteindicadorbinariopermitecalcularunfactor𝜖queinduce

unarelacióndequétantounconjuntodesolucionesespeorqueotro.EntoncesparaunPOMOcon𝑛

objetivosenconficltoaminimizar𝔽(𝑍©) → ℝ',unvectorobjetivo𝑍© = 𝑧"© , … , 𝑧'© sedicequeesdominado

en factor𝜖por𝑍©© = 𝑧"©©, … , 𝑧'©© ,escritode lasiguiente forma:𝑍© ≽ú 𝑍©©, siysolosiparaun𝜖 > 0 se

cumple:

∀1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛: 𝑧$© ≤ 𝜖. 𝑧$©© (40)

Esposibledefinirelindicador−𝜖(𝐼ú)como:

𝐼ú 𝒫", 𝒫* = infú∈ℝ

∀𝑍©© ∈ 𝒫*∃𝑍© ∈ 𝒫": 𝑍© ≽ú 𝑍©© (41)

Entoncesparadosconjuntosdeaproximación𝒫", 𝒫* ∈ Ω,𝐼ú 𝒫", 𝒫* esigualalmínimovalorde𝜖talque

paracualquiersoluciónen𝒫*existealmenosunasoluciónen𝒫",multiplicadapor𝜖,quenoespeoral

considerar todos los𝑛 objetivos. Este tipo demétrica es relativamente simple de calcular en tiempo

𝑂(𝑛 𝒫" 𝒫* )delasiguientemanera(Zitzleretal.,2003):

𝐼ú 𝒫", 𝒫* = maxþÿÿ∈𝒫!

minþÿ∈𝒫"

max"#$#'

𝑧$©

𝑧$©© (42)

64

Elvalorde𝐼ú puedebrindarinformacióncompletasobrelarelaciónentrelosresultadosdedosalgoritmos,

debido a que este indicador puede calcular cuánto un conjunto de aproximación es mejor que otro

(Riquelmeetal.,2015).EnlaFigura20sepuedeobservarelcomportamientodeunconjuntodesoluciones

no dominado al multiplicarlo por tres diferentes valores de 𝜖, y su interacción con otros conjuntos

aproximados.EnlaTabla2seresumeelcomportamientodelosmétodosbinariosutilizadosconrespecto

alasrelacionesdedominanciaabordadasenelCapítulo2(Zitzleretal.,2003).

Figura27.Cadaunade lasáreasmarcadasrepresentaelespacioquees𝜖 −dominadoalcalcular lamétricaasí:𝐼ú 𝒫", 𝒫* = 0.88,𝐼ú 𝒫", 𝒫O = 1,𝐼ú 𝒫", 𝒫< = 4 .Multiplicandoa la solución𝒫" losvaloresobtenidospara𝐼ú seobtienenlasáreasquerepresentancadaunodelostresposiblescasosde𝜖.

65

Tabla2.ResumengeneraldelasmétricasbinariasIndicador-ϵyCubrimientoentredosconjuntosentérminosdelasrelacionesdedominancia.Losespaciosvacíosindicanquenohayunmétododecomparaciónquepermitadefinirqueescompletamentecompatibleconestarelacióndedominancia.

Métrica

𝐼ú 𝐼�¥x Re

lación

dedo

minan

cia

≻≻𝐼ú 𝒫", 𝒫* < 1 −

≻ − 𝐼�¥x 𝒫", 𝒫* = 1𝐼�¥x 𝒫*, 𝒫" = 0

⊳ 𝐼ú 𝒫", 𝒫* ≤ 1𝐼ú 𝒫*, 𝒫" > 1

𝐼�¥x 𝒫", 𝒫* = 1𝐼�¥x 𝒫*, 𝒫" < 1

≽ 𝐼ú 𝒫", 𝒫* ≤ 1 𝐼�¥x 𝒫", 𝒫* = 1

= 𝐼ú 𝒫", 𝒫* = 1𝐼ú 𝒫*, 𝒫" = 1

𝐼�¥x 𝒫", 𝒫* = 1𝐼�¥x 𝒫*, 𝒫" = 1

∦ 𝐼ú 𝒫", 𝒫* > 1𝐼ú 𝒫*, 𝒫" > 1

0 < 𝐼�¥x 𝒫", 𝒫* < 10 < 𝐼�¥x 𝒫*, 𝒫" < 1

5.2 Diseñodeexperimentos

Paravalidarlaimplementacióndelalgoritmoexistendiferentesindicadoresdecalidadenfocadosaevaluar

la convergencia y la diversidad del conjunto de soluciones no dominadas resultante, sin embargo, es

necesario encontrar la mejor combinación de los parámetros de ejecución que entregan losmejores

resultados.Seutilizael𝐼ö÷ paralaevaluacióndelrendimientoyseleccióndeparámetros,debidoaqueen

un solo valor entrega información relevante en cuanto a cercanía al conjunto óptimo de Pareto y la

distribucióndelassolucionesalolargodelfrenteaproximadoencontrado.Luegoseutilizanlasmétricas

binariasparahacerunacomparaciónentrelosresultadosdelosdosalgoritmos.Paralaimplementación

se supone que la topología de la ruta está trazada (planificación estratégica), las paradas tienen una

ubicacióngeográfica

Pararealizarlosexperimentosseutilizóunacargadepruebaencontradaenlaliteraturaquerepresenta

elcomportamientodelaruta217ensentidosur-norteenlaciudaddeLosÁngeles,CaliforniaEEUU(ver

Figura28),losdatostienenlaestructuradeunamatrizconelvalordelademandapromediodepasajeros

porparadaen intervalosde tiempodeunahora (verFigura29). Esteconjuntodedatos se selecciona

debidoa laposibilidaddehacerunacomparacióncon laasignacióndevehículosqueseobservóenel

momentodelarecoleccióndelosdatosdelademandadepasajerosyunaasignacióndevehículosiguales

(Ceder,2016).

66

Figura28.MapadigitaldelaciudaddeLosÁngeles,CaliforniaEEUUconlasparadasdelaruta217resaltadasensentidosur-norteynorte-sur(Esidian,2017).

Figura29.Cargadepruebautilizadaparalaejecucióndelosalgoritmos,representaelpromediodelademandadepasajerosporcadaunadelas59paradasenintervalosdetiempodeunahora(19intervalosentotal)paralaruta217enLA,cargamáximadepasajeros(481)enlaparadaFairfax/Rosewooddurantelas17:00alas18:00horas(horapico).

Pasajeros

400

200

0

7:00-8:00 9:00-10:00

11:00-12:00 13:00-14:00

15:00-16:00 17:00-18:00

19:00-20:00 21:00-22:00

23:00-24:00 Adams/ Washingt

Fairfax/ Saturn

Fairfax/ Drexel

Fairfax/ Sunset

Hollywood/ Highland

Grower/ Franklin

Beachwood/ Westshir

67

[email protected],4GBRAM1.6GHzDDR3consistema

operativo64bitmacOSSierraversión10.12.1.

Eldesempeñodelaplanificacióntácticadeltransportepúblicodependedelascaracterísticaspropiasdel

problema,losmétodosdesoluciónylosparámetrosdelalgoritmoseleccionado.Porlotanto,esnecesario

realizardiferentescombinacionesyanálisisestadísticosquepermitaninterpretarlosresultados,validando

lashipótesis.ComosedescribióenelCapítulo4losalgoritmosevolutivosconstandeseccionesqueoperan

condiferentesprobabilidadesdeelección(recombinación,mutaciónoselección)ademásdeelementos

de tamaño variable (población, torneo de selección o conjunto de individuos no dominados para

retroalimentación)queafectandirectamenteenelcomportamientodelalgoritmo.

Losprimerosparámetrosparaanalizarsonlaprobabilidadderecombinación𝑃Qymutacion𝑃.,porlocual

dosposiblespadresosemillaspuedenonocrearnuevomaterialgenéticoenfunciónde𝑃Q,delamisma

maneraestadescendenciapuedepresentaronomutacionesestocásticasenfunciónde𝑃..

Paraelalgoritmogenéticocelular(AGC)propuestoserealizan30ejecucionesindependientescon10000

evaluaciones de calidad de los individuos para las combinaciones posibles entre probabilidades de

recombinaciónymutación,en total seobtienen resultados significativosparaun intervalode𝑃B y𝑃.

diferentes, desde 0.15 hasta 1 con incrementos de 0.05, para un total de 324 combinaciones de

parámetrosdiferentes(verTabla3).Seejecutaentoncesuntotalde9720vecescadaalgoritmoyseevalúa

elrendimientodecadafrenteaproximadoresultantemediante𝐼ö÷.

Tabla3.Parámetrosdeconfiguracióninicialesparaelalgoritmogenéticocelular.

Condicióndeparada 10000evaluacionesdecalidaddelindividuoTamañodelapoblación 100individuos(10x10)Tamañodelvecindario 8vecinoscircundantesSelección TorneobinarioRecombinación Cruzamiento(posiblespuntosdecorteúnicamenteenaliniciodecadalapso)𝑃Q [0.15,1]Mutación Intercambioaleatorio𝑃. [0.15,1]Reemplazo Reemplazoporrankingdedominanciay/odistanciadeapiñamientoEstimadordedensidad DistanciadeapiñamientoRetroalimentación 20individuos

68

5.3 Resultadosexperimentales

Tomando como referencia los resultadospresentados en elmapade calor en laFigura 30, es posible

observareláreadondelosvaloresparalaprobabilidaddelosoperadoresderecombinaciónymutación

(𝑃Q y 𝑃.) presentan un mejor rendimiento en términos de hipervolumen (valor promedio de las 30

ejecuciones),serealizaunaverificacióndelanormalidaddelconjuntodedatosconeltestShapiro–Wilk,

obteniendoquelos318delos324experimentospresentanunadistribuciónnormal(𝑝 > 0,05),porlo

tanto se aplica una prueba de Friedman (prueba no paramétrica), utilizando el software estadístico

MiniTabversión17.1.0.

Figura30.Mapadecalorparaelrendimientopromedio(𝐼ö÷)delosresultadosdelalgoritmogenéticocelularbasadoenMOCellensuversiónasíncrona.

Seobtienecomoresultadounvalorde𝑝 = 2.20𝑒 − 16,elcualesmenorque0.05porloquesepuede

rechazarlahipótesisnulaconstatando,indicandounadiferenciaestadísticamentesignificativa.Parapoder

seleccionar un conjunto de parámetros se decide validar el efecto de la recombinación utilizando la

mutaciónconmejorrendimientopromedio(𝑃. = 0.95)(verFigura31).

Probabilidaddemutación(𝑃.)

Probabilidadderecombinación(𝑃

Q)

1

1 0.15 0.15

69

Figura31.Degradacióndelpromediode𝐼ö÷paralas342combinacionesdeparámetrosparaelalgoritmogenéticocelular(𝑃Qy𝑃.).

DespuésdeverificarlacombinacióndeparámetrosadecuadaparaelAGCseseleccionanuna𝑃𝑚 = 0.95

y𝑃𝑟 = 0.3,dadoquetieneunrendimientopromediodel98.3%enbasealamejorsoluciónencontrada

enelprimerexperimento(verFigura30)yenelsegundo(verFigura32)generóelvalordehipervolumen

máximoencontradoademásdelrendimientopromediomásalto.

Figura32.Impactodelavariacióndelaprobabilidadderecombinaciónconunmismovalorde𝑃..

EnlaFigura33semuestraelrendimientoentérminosde𝐼ö÷ delAGCconlosparámetroselegidospara

30ejecucionesindependientes,sebuscaevidenciaruncomportamientoqueincrementeelvalorde𝐼ö÷

encadaiteración,yaqueestádemostradoqueelvalormáximoposibleeselcorrespondientealfrentede

Pareto(Zitzleretal.,2003).

0,80,820,840,860,880,90,920,940,960,981

Pr=0,2-Pm=0,95

Pr=0,2-Pm=0,7

Pr=0,3-Pm=0,65

Pr=0,1-Pm=0,8

Pr=0,5-Pm=0,75

Pr=0,4-Pm=0,75

Pr=0,1-Pm=0,7

Pr=0,2-Pm=0,55

Pr=0,15-Pm

=0,5

Pr=0,45-Pm

=0,75

Pr=0,3-Pm=0,45

Pr=0,1-Pm=0,45

Pr=0,4-Pm=0,55

Pr=0,2-Pm=0,45

Pr=0,25-Pm

=0,35

Pr=0,6-Pm=0,7

Pr=0,45-Pm

=0,7

Pr=0,4-Pm=0,45

Pr=0,1-Pm=0,25

Pr=0,7-Pm=0,7

Pr=0,65-Pm

=0,65

Pr=0,35-Pm

=0,35

Pr=0,6-Pm=0,45

Pr=0,2-Pm=0,25

Pr=0,75-Pm

=1

Pr=0,15-Pm

=0,3

Pr=0,75-Pm

=0,5

Pr=0,35-Pm

=0,3

Pr=0,4-Pm=0,25

Pr=0,5-Pm=0,25

Pr=0,85-Pm

=0,75

Pr=0,7-Pm=0,4

Pr=0,9-Pm=0,55

Pr=0,9-Pm=0,8

Pr=0,55-Pm

=0,25

Pr=0,15-Pm

=0,2

Pr=0,75-Pm

=0,3

Pr=0,35-Pm

=0,15

Pr=0,85-Pm

=0,4

Pr=0,5-Pm=0,15

Pr=1-Pm=0,9

Pr=0,95-Pm

=0,95

Pr=0,95-Pm

=0,5

Pr=0,9-Pm=0,25

Pr=0,95-Pm

=0,35

Pr=1-Pm=0,3

Pr=1-Pm=0,2

Pr=1-Pm=0,15

Pr=0,8-Pm=0,1

Pm=0.95Pr=0.2

Pm=0.95Pr=0.3

Pm=0.95Pr=0.4 Pm=0.95

Pr=0.5 Pm=0.95Pr=0.6 Pm=0.95

Pr=0.7 Pm=0.95Pr=0.8 Pm=0.95

Pr=0.9

Pm=0.95Pr=1

0,37

0,38

0,39

0,4

0,41

0,42

0,43

70

Figura33.Rendimientodelhipervolumenen30ejecucionesindependientesdelalgoritmogenéticocelularpara100generaciones,esdecir,evaluarlamallatoroidalcompleta,individuoporindividuo.

ParaelalgoritmoNSGA-IIserealizóunprocedimientosimilarconunapoblaciónde100individuosy1000

iteracionesdelalgoritmocomocriteriodeparada,posteriormentesemodificólacantidaddeindividuosy

elnúmerodeiteracionesutilizandolamejorcombinaciónentremutaciónycruzamiento(verTabla4),sin

embargoparaelalgoritmoscelularnopresentómejoras,adiferenciadeNSGA-IIdondeconunapoblación

másgrandey/omayornúmerodeiteracionespresentabaciertamejoraentérminosdediversidad.

Tabla4.ParámetrosdeconfiguracióninicialesparaelalgoritmogenéticoNSGA-II.

Condicióndeparada 1000evaluacionesdecalidadTamañodelapoblación 100individuosSelección TorneobinarioRecombinación Cruzamiento(posiblespuntosdecorteúnicamenteeneliniciodecadalapso)𝑃Q [0.15,1]Mutación Intercambioaleatorio𝑃. [0.15,1]Reemplazo Reemplazoporrankingdedominanciay/odistanciadeapiñamientoEstimadordedensidad Distanciadeapiñamiento

10

20

30

0

20 40 60 80 100

0.44

0.42

0.4

0.38

0.36

0.34

Rendimiento(𝐼𝐻𝑉)

71

Despuésdedefinirlosparámetrosparacadaalgoritmoseestudiasucomportamientoenelespaciodelas

funcionesobjetivo, seanaliza los frentesaproximados resultantes,en términosde𝐼ö÷(convergenciay

dispersión)(verFiguras30y34).EnlaFigura35sepresentaladiferenciaentrelapoblacióninicialyla

últimaparaunaejecucióndelAGC.Conlafinalidaddeevidenciardemaneragráficacómoelalgoritmo

evoluciona la población conforme pasan las generaciones, realizando cambios en los individuos que

representanunamejoraenlacalidaddecadaunadelassolucionesfactiblesparacadafunciónobjetivo.

Figura34.Mapadecalorparaelrendimientopromedio(𝐼ö÷)delosresultadosdelalgoritmogenéticoNSGA-II.

Figura35.Conjuntodesolucionesobtenidoconelalgoritmogenéticocelular,correspondienteaun𝐼ö÷ = 0.4398encomparaciónalapoblacióninicialparaunaejecucióncon𝑃𝑟 = 0,95y𝑃𝑚 = 0,3.

Costodeoperación(01)

Pérdidadelacalidaddelservicio(0 7)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,45 0,55 0,65 0,75

Lastpopulation FirstpopulationPoblacióninicialUltimapoblación

Probabilidaddemutación(𝑃.)

Probabilidadderecombinación(𝑃

Q)

1

1 0.15 0.15

72

EnlaFigura36sepresentaelconjuntodesolucionesnodominadasresultantesconmejorrendimiento

paralosdosalgoritmos,ademásdeunacomparaciónalunirlosconjuntosdesolucionesde30corridas

diferentesyencontrarlaaproximaciónalfrentedeParetoresultante.

Figura36.MejoraproximaciónalfrentedeParetoobtenidaparaMOCellyNSGAII,correspondienteaun𝐼ö÷=0.4398𝑦0.3866respectivamente(izquierda).MejoraproximaciónalfrentedeParetoobtenida,mediantelaunióndelas30solucionesencontradasencadaejecucióndelosalgoritmos(derecha).

Por último, se realiza una comparación entre los resultados de los dos algoritmos implementados

utilizandotantolasmétricasunariascomolasbinarias(verTabla5-7).

Tabla5.MétricasparaPOMOcomoindicadoresdecalidadcalculadasparaAGCyNSGA-II.Indicadordecalidad AGC NSGA-II

PuntosnodominadosMax 30 39Media 19.066 30.233𝜎 1.4840 3.4209

Spread(𝐼∆)Min 0.6186 0.7415Media 0.8112 1.0547𝜎 0.1097 0.1569

Hipervolumen(𝐼ö÷)Max 0.4398 0.3866Media 0.4193 0.3663𝜎 0.0069 0.0096

Tabla6.Comparaciónderesultadosaplicandolamétrica𝐼�¥x 𝑋©, 𝑋©© donde𝑋©y𝑋©©representanelalgoritmoenlafilayenlacolumnarespectivamente.

NSGA-II AGC

NSGA-II media − 0.0721max − 0.2857

AGC media 0.6613 −max 1 −

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,45 0,55 0,65 0,75

MOCell NSGAII

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75

MOCell NSGAII

Costo deoperación (01)

Pérdida

delacalidadde

lservicio(0 7)

73

Tabla7.Comparaciónderesultadosaplicandolamétrica𝐼ú 𝐴, 𝐵 donde𝐴y𝐵representanelalgoritmoenlafilayenlacolumnarespectivamente.

NSGA-II AGC

NSGA-II media − 1.3035min − 1.0653

max − 2.1065

AGC media 1.0167 −min 0.9760 −

max 1.4250 −

5.4 Análisisderesultadosydiscusión

SepuedeobservarenlasFigura30y34unpatróndecomportamientocaracterísticoencadaalgoritmo,

sinembargo,esmásnotorioparaelAGC(verFigura30),enamboscasospredominaunaaltaprobabilidad

paraeloperadorgenéticodemutaciónyporelcontrariolaprobabilidadderecombinaciónquegeneraba

mejores resultados, tenía valores medios o bajos (ver Figura 31). Estos resultados resaltan las

características del problema y la representación utilizada (cromosoma), dado que es más sensible a

cambiosdrásticosproducidosporelmétododerecombinaciónypresentamejorasalintercambiarunoo

varios vehículos, pero dentro del mismo intervalo de tiempo. El AGC implementado presenta un

comportamiento similar en cada ejecución, corroborando que la elección de los parámetros para los

operadores genéticos utilizados afecta positivamente lasmanipulaciones estocásticas del cromosoma,

incrementandoelvalordelhipervolumenpromediodelconjuntoresultanteencadageneración,loque

implica mejores aproximaciones al frente Pareto tanto en convergencia como en diversidad de las

solucionesnodominadas,conformeavanzanlasgeneracionesenelAGC.

EnlaFigura35sepuedeapreciarcomoelAGCtienelacapacidaddemovergranpartedelapoblación

inicialendirecciónalfrentedePareto,aunquelacantidaddeindividuosdiferentessereduce(loqueno

necesariamentesignificaquedosindividuostenganelmismocromosoma).

AdiferenciadelAGCelalgoritmoNSGA-IIpuedeencontrarunnúmeromayordepuntosdiferentes(30%

másindividuosenpromedio).Sinembargo,ladispersiónoextensióndelassolucionesalolargodelfrente

aproximadoentregadoporAGCpresentaunrendimiento31%mejorenelcasopromedio.Paraelcasodel

hipervolumen,elalgoritmogenéticocelularpuedeencontrarunfrenteaproximado14%másgrandeen

promedio que los entregados por NSGA-II (ver Tabla 5), lo cual supone que AGC tiene un mejor

rendimientoentérminosdeconvergenciaalfrentedePareto,yaqueentérminosdediversidadpueden

sersimilares.

74

Paravalidarlainformaciónanterior,enlaTabla6sepresentanlascomparacionesrealizasentérminosde

cubrimientodeconjuntos,dondeseindicaqueAGCcubreodominaenpromedioel66%delassoluciones

deunconjuntocalculadoconNSGA-II(100%paraelcasomáximo),loquesuponeunaventajaentérminos

deconvergencia,aunquenoindicacuántooquétancercaestaACGdelfrentedePareto(Zitzleretal.,

2003).

Paradiscutirloanterior,enlaTabla8sepresentalosvaloresparaelindicador-𝜖demostrandoqueambos

algoritmosentreganresultadosquetienenunadistanciaalfrentedeParetomuysimilar,basadosenel

conceptopresentadoenla

Tabla2alevaluar30resultadosdiferentesparacadaalgoritmo,soloel9%delosresultadosdeAGCson

mejorodominacompletamentealgúnresultadodeNSGA-IIylosfrentesaproximadosrestantesnoson

comparables,estosepuedeevidenciarenlaTabla8,considerandoqueenpromedioambosalgoritmos

tienenun𝐼𝜖 > 1.

ParavisualizarloanteriordeunamaneragráficaenlaFigura37sepresentaunfrentedeParetoartificial,

construidoapartirdelaunióndelos300frentesaproximadosencontradosenelexperimentopresentado

enlaFigura32yelposteriorcálculodelconjuntonodominado,comparadocondosfrentesaproximados

calculadosporlosalgoritmos.

Figura37.ComparaciónentreunfrentedeParetoartificialydosconjuntosdesolucionesnodominadas.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75

Pérdidadelacalidaddelservicio

Costodeoperacion

AGC NSGA-II Frenteartificial

75

EntérminosdelrendimientodelalgoritmocomosoluciónalproblemaMVTTPpropuesto,secomparacon

losvehículosobservadosporunverificador.EnlaFigura38sepuedeobservarqueutilizandolosextremos

yunpuntointermediodeunfrenteaproximadocalculadoporAGC(valoresmásaltosdel indicadorde

densidad),ningunadelastresasignacionesresultasermáscostosa,aunquelacalidaddelserviciosevea

disminuida entre más económica sea la asignación. Es posible suponer entonces que mediante la

implementación del AE se pueden lograr horarios o calendarios que brinden un servicio de calidad a

diferentes niveles sin elevar los costos. El tomador de decisiones puede seleccionar alguna de las

soluciones no dominadas y evaluar su viabilidad únicamente en términos de la calidad de servicio,

teniendo en cuenta que el máximo costo puede no superar el umbral que tenían previamente

presupuestado.

Figura38.Ejemplodetrescalendariosdiferentes(fenotipo)alinterpretartrescromosomasubicadosenelespacioobjetivo(izquierda).Comparacióndelostreshorariosencontradosversuselcostodeoperacióndeunaasignaciónvehicularobservadaenlaruta217enLosÁngeles,CaliforniaEEUU.

76

Capítulo6. Conclusionesytrabajofuturo

Enresumen,elproblemaMVTTPseformulóconunenfoquedeoptimizaciónmultiobjetivo,estableciendo

dosobjetivosconinteresesconflictivoscomolosonreducirloscostosdeoperaciónyminimizarlapérdida

de la calidad de servicio. Se definieron restricciones basadas en los lineamientos de los ITS como la

frecuenciamínimadeoperaciónyelfactordecargaparacadalapso.

SediseñóeimplementóunalgoritmogenéticocelularbasadoenlaversiónasíncronadeMOCellqueutiliza

unmétodoanalíticoparaeldiseñodelcromosomadelosindividuos.Seutilizóunacargadepasajeroscon

59paradasdeunarutaenLosÁngeles,California,EEUUylospromediosdelflujodepasajeros(perfilde

carga)durante19intervalosdeunahora.Seejecutaronmásde500corridasindependientesdelalgoritmo

conparámetrosdiferentesenbuscadelacombinaciónadecuadadelosmismos,deigualmaneraconla

intención de comparar los resultados con un algoritmo genéticomultiobjetivo clásico se implementó

NSGA-II,realizandounmétododesintonizaciónsimilarparalacombinacióndeparámetros.

Es posible resaltar el buen desempeño del algoritmo genético de tipo celular para las condiciones y

característicasdelproblemapropuesto.Predominandosiempreunrendimientosuperiorenconvergencia

ydiversidadsobreNSGA-II,ambosoperandoconlosparámetrosquemejorrendimientoproporcionaban

paracadaejecución.Loquepermiteafirmarquelosalgoritmosgenéticosdetipocelularpuedenseruna

herramientaútilparaplanificacióntácticaensistemasdetransportepúblico.

El análisis experimental demostró la capacidad del algoritmo propuesto para encontrar diferentes

calendarios con asignación de vehículos diferentes para cubrir los viajes de una ruta especifica.

Encontrandolasmejorescompensacionesentrecalidaddeservicioparalospasajerosycostodeoperación

para los proveedores. Permitiendo el uso de diferentes restricciones y limitantes que pueden ser

implementadasporlostransportadores,yaqueesunmétodoflexiblecontiemposaceptablesenfunción

del horizonte temporal de las decisiones que implican la planificación táctica del transporte público

(mediano/cortoplazo)conlocualsecumpleelobjetivopropuestoparaestatesis.

Esposiblediseñareimplementarotrotipodeestrategiasuoperadoresgenéticosqueexplorenyexploten

elespaciodesolucionesdemejormaneraapartirde laexperienciaobtenidadelpresentetrabajo.Así

comohacermodificacionesdirectamentealoscalendariosquepuedanincrementarlacalidaddeservicio

sindañarelcostodeoperación(p.ej.dividirunintervaloacargodeunvehículograndeendosasignados

aminibuseseléctricos).Demodoquesemodifiqueelestiloaposterioridelalgoritmopropuestoporun

77

estilointeractivoquepuedabrindarsolucionesmáseficientes,calendariosmásefectivosymétodosde

optimizaciónmásrápidos.

Partiendo del trabajo realizado es posible modificar el problema planteado, modificando el objetivo

relacionadoconelcostodeoperación,detalmaneraquecobrerelevanciaelimpactoambientalgenerado

porelusodeenergíasnorenovablescomogasolinaogasóleo(diésel)para lossistemasdetransporte,

estodebidoaquesonunodelosprincipalesgeneradoresdegasesdeefectoinvernadero(GEI),p.ej.27%

deltotaldeGEI,ocupandoelsegundolugardespuésdelageneracióndeenergíaeléctrica(29%)parael

casodeEEUU (Environmental ProtectionAgency, 2017). Por lo tanto,mediantedecisiones logísticas y

operativassepuedereducirlosíndicesdecontaminaciónpartiendodesdeunaplaneacióntácticapensada

paratalfinalidad.

Unodelosposiblestrabajosfuturosbasadosenlapresentetesis,estáencaminadoenlainclusióndela

planificación operativa (calendarización de vehículos y del personal como conductores) dentro de un

mismo sistema, realizando así las cinco etapas completas para la planificación de transporte publico

descritaseneldocumento,suponiendoquelaetapadeplanificaciónestratégicaestáresuelta(trazadoy

todas lascaracterísticas físicasde la redderutas).Esta integraciónelevaríasignificativamenteelcosto

computacional y el reto de encontrar soluciones que satisfagan los objetivos en conflicto con una

compensaciónaceptable.

Comounalíneadetrabajofuturoadicionalseproponelainclusióndeincertidumbrecomoelusodecargas

dinámicasdepasajeros,dadoquelaintegracióndelibreríasjMetalconplataformasdedatosentiempo

realcomo“Spark” (Corderoetal.,2016) facilitanestetipode implementaciones.Esposibleampliarel

vectorobjetivoybuscarotro tipodecompensaciones,dependiendode lasnecesidadeso información

adicionaldeltomadordedecisiones,elcualpuedeimplementarotraheurísticacomobúsquedalocalpara

modificarlaestructuradelcalendarioyaumentarsurendimiento.

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Maestría en Ciencias en Ciencias de la Computación · ii Resumen de la tesis que presenta David...

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