MACROECONOMÍA- MODELO DE RAMSEY

Macroeconomía Avanzada IIModelo Ramsey-Cass-Koopmans

Daniela Hauser

Universitat Autónoma de Barcelona - Programa Universidad - Empresa

Abril 2013

Daniela Hauser (UAB) Macroeconomía Avanzada II Abril 2013 1 / 26

Modelo Ramsey-Cass-Koopmans

Modelo Ramsey-Cass-Koopmans (RCK) (1)

Extensión lógica del modelo de Solow: los agentes económicos deciden la parte

de sus ingresos dedicado al consumo en el periodo actual y la parte que

ahorran para el consumo en periodos más avanzados. Los supuestos basicos

del modelo RCK:

I los agentes económicos trabajan y reciben salarios, prestan capital a las

empresas y reciben tipo de interés, compran el bien de consumo

producido por las empresas y ahorran

I los agentes económicos toman en cuenta el bienestar de las futuras

generaciones (interacción intergeneracional) → asumimos un horizonte

in�nito, es decir, asumimos que los agentes económicos tienen una vida

�nita, pero que la familia extendida tiene una vida eterna y cada

miembro es altruístico

I los agentes económicos esperan que el tamaño de su familia crezca a una

tasa constante, n > 0, (crecimiento de la población)




En el modelo RCK trabajamos en tiempo continuo, tal que cada

variable es una función del tiempo. Ejemplo: La población, L(t)

I L(t) crece a una tasa constante, n > 0, normalizando L(0) = 1tenemos

L(t) = entL(0) = ent

I La tasa de crecimiento de la población viene de�nido por

n =L(t)

L(t)

L(t) =∂L(t)

∂t= nent → L(t)

L(t)=nent

ent= n

I En tiempo discreto:

Lt+1 − LtLt

= n→ Lt+1 = (1 + n)Lt




I Agregamos todos los agentes económicos en un agente económico

representativo.

I No hay incertidumbre tal que el agente económico tiene una

previsión perfecta del futuro ("perfect foresight" en inglés).

I Producción a través de una tecnología con rendimientos constantes

a escala Y (t) = A(t)F [K(t), L(t)] con A(t) = egt



Agente económico (1)

Los agentes económicos deciden en cada momento del tiempo como dividir susingresos entre consumo y ahorro, tal que su utilidad sea máxima. Enparticular, el agente económico representativo resuelve el problema siguiente:

maxU0 =

∫ ∞0

e−ρtu [c(t)]L(t)dt

donde U0 es la sume de utilidades instantáneas entre 0 y ∞, ρ es la tasa dedescuento, L(t) = ent es el crecimiento de la población y c(t) es el consumoper cápita en t.

Con u [c(t)] = c(t)1−σ

1−σ siendo cóncava (agente económico alisa su consumo a lolargo del tiempo)

maxU0 =

∫ ∞0

e−ρtc(t)1−σ

1− σL(t)dt

sujeto a la restricción presupuestaría.




I Los agentes económicos ofrecen una unidad de trabajo en el

mercado laboral en cada momento del tiempo. La oferta de trabajo

es exógena y no tomamos en cuenta el desempleo (cada agente

económico siempre trabaja).

I Función de utilidad con aversión al riesgo constante (constant

relative risk aversion utility function, CRRA, en inglés). Cuando σconverge a uno la función de utilidad converge a una función

logarítmica.




En tiempo discreto tenemos:

U0 = u(c0) + (1 + n)βu(c1) + (1 + n)2β2u(c2) + ...

=

∞∑t=0

βt(1 + n)tu(ct)

con β ≡ 11+ρ (relación entre tasa y factor de descuento)

U0 = u(c0) +

(1 + n

1 + ρ

)u(c1) +

(1 + n

1 + ρ

)2

u(c2) + ...

=

∞∑t=0

(1 + n

1 + ρ

)tu(ct) =

∞∑t=0

βt (1 + n)t u(ct)

Fijarse, que

e−ρt=

(1

1 + ρ

)t= βt




Activos �nancieros:

B(t) > 0 activo (préstamo a otro)

B(t) < 0 pasivo (deuda)

con Bt siendo la variación al largo del tiempo, es decir B(t) = ∂B(t)∂t que

en tiempo discreto sería 4Bt = Bt −Bt−1 por cada periodo t Larestricción presupuestaría:

B(t) = W (t)L(t) + r(t)B(t)− C(t)

El agente económico es competitivo, es decir toma como dado el tipo de

interés, r(t), y el salario, W (t). Para simpli�car la notación nos

abstraemos de la dependencia de las variables del tiempo (t):

B = WL+ rB − C




Queremos expresar la restricción presupuestaria en terminos per cápita

tal que b(t) = B(t)L(t)

b =∂b

∂t=∂BL∂t

=BL−BL

L2

=B

L− B

L

L

L=B

L− nb

con lo que

B = WL+ rB − C

en términos per cápita es

b = w + rb− c− nb

Los activos �nancieros per cápita aumentan con el ingreso per cápita,

w + rb, disminuyen con el consumo per cápita, c, y disminuyen por el

crecimiento de la población, nb.Daniela Hauser (UAB) Macroeconomía Avanzada II Abril 2013 9 / 26



El agente económico resuelve el problema siguiente:

maxU0 =

∫ ∞0

e−(ρ−n)tc1−σ

1− σdt

sujeto a

b = w + rb− c− nb (1)

= w + (r − n) b− c

asumimos que ρ > n

De�nición:

I variable de estado (información que tenemos en t, variable con

un b): activos �nancieros b

I variable de control (variable que se elige de manera óptima):

consumo c



CPO del Hamiltoniano (1)

Para resolver este problema por el método del Hamiltoniano simplemente hay que seguir las instrucciones

siguientes:

1. De�nir la función hamiltoniania al añadir a la función de utilidad (función objetivo) un

multiplicador de Lagrange (λ) multiplicando la parte derecha de la función de transición (1):

H = e−(ρ−n)tc1−σ

1− σ+ λ [w + (r − n) b− c]

2. Derivar la función hamiltoniana respecto a la variable de control (la que queremos maximizar, es

decir c) e igualando esta derivada a cero:

∂H

∂c= e−(ρ−n)tc−σ − λ = 0 (2)

Interpretación económica: valor marginal del consumo es igual al valor marginal de la inversión

3. Derivar la función hamiltoniana respecto a la variable de estado (variable que aparece con b en la

función de transición) e igualando esta derivada al valor negativo de la derivada del multiplicador

λ respecto al tiempo:

∂H

∂b= λ(r − n) = −∂λ

∂t= −λ (3)




Condición de transversalidad:

limt→∞

λ(t)b(t) = 0

Interpretación económica:

Los agentes económicos no quieren dejar nada que tenga valor positivo

para después de su muerte, ya que dejarían de obtener rendimiento por

ello. Si dejasen algo de valor para el �nal, podrían haberlo consumido

antes y obtener utilidad. Si pudiesen haber obtenido más utilidad

antes, la solución no era la óptima.

O dicho de otra mañera: En el caso que b(t) se queda positivo en el

limite, entonces su precio, λ(t), tiene que converger a cero.




Para analizar las CPO en más detalle, seguimos las siguientes

instrucciones (para combinar (2) y (3) y eliminar el multiplicador λ):

1. Tomamos logaritmos de la CPO respecto al consumo (2):

−(ρ− n)t− σ log c(t) = log λ(t)

2. Derivamos respecto al tiempo:

−(ρ− n)− σ cc

=λ

λ

3. Sustituimos esta expresión en la CPO de los activos �nancieros (3):

γc =c

c=r − ρσ

½Y ya tenemos la ecuación de Euler!



Ecuación de Euler (1)

Interpretación de la ecuación de Euler:

γc =c

c=r − ρσ

La ecuación de Euler de�ne la decisión óptima del consumo a lo largo del

tiempo, donde

I ρ es el aumento en la utilidad por consumir en el presente y no en el

futuro

I r es el tipo de interés asociado a los activos �nancieros, es decir el

rendimiento neto del ahorro (precio del mercado de consumir en el

presente y no en el futuro)

I por ρ = r tenemos cc = 0 tal que no hay alisamiento en el consumo (se

consume la misma cantidad en cada periodo)

I por σ > 0 el consumidor desea avanzar el (acordarse que 1σ denota la

elasticidad de sustitución intertemporal tal que más bajo el valor de σ,

menos el consumidor quiere alisar su consumo y más se trasladen

cambios en r en cambios en γc). consumo

¾Quería el agente económico bajar su consumo hoy para aumentar su

consumo de mañana?



Ecuación de Euler (2)

¾Quería el agente económico bajar su consumo hay para aumentar su

consumo de mañana? Depende de r...

I Disminuir el consumo hoy implica que cc aumenta y por lo tanto el

ahorro aumenta

I El agente económico solo hará esto si la compensación por el ahorro

adicional es su�ciente

ρ+ σc

c= r

Para que la ecuación se siga cumpliendo r debe aumentar

I el aumento en r depende del parámetro σ (aversión al riesgo del agente

económico, inversa de la elasticidad de sustitución intertemporal):

σ4 c

c= 4r

cuanto mayor sea σ mayor será el aumento requerido de r, es decir, elagente económico quiere alisar más su consumo y menos lo quiere

sustituir a lo largo del tiempo.



Empresas (1)

Las empresas alquilan trabajo y capital a precios w(t) y r(t) y venden

su producción a precio p(t) = 1. Las empresas son perfectamente

competititivas (toman todos los precios como dados) y producen con

una función de producción que:

I tiene rendimientos constantes a escala tal que el tamaño de las

empresas no importa y podemos agregar todas las empresas en una

sola (empresa representativa)

I tiene una productividad marginal positiva y decreciente de todos

los factores de producción

I satisface la condición de Inada



Empresas (2)

Las empresas eligen la cantidad óptima de todos los factores de

producción (tal que maximizan sus bene�cios, Π(t)):

max Π = maxF (K,L)− (r + δ)K − wL

con F (K,L) = AKαL1−α las condiciones de primer orden son:

[K] : αAKα−1L1−α = r + δ

[L] : (1− α)AKαL−α = w

en términos per cápita:

f ′(k) = r + δ (4)

f(k)− kf ′(k) = w (5)

Fijaros que en el problema de las empresas no hay ningún elemento

intertemporal, dado que el problema de maximizar el valor presente

de todos los futuros bene�cios se reduce a un problema de maximizar

bene�cios en cada periodo.Daniela Hauser (UAB) Macroeconomía Avanzada II Abril 2013 17 / 26


Equilibrio competitivo (1)

I Los precios deben ser iguales para los agentes económicos y para

las empresas, es decir:

I salario pagado por las empresas = salario recibido por los agenteseconómicos

I tipo de interés pagado por las empresas = tipo de interés recibidopor los agentes económicos

I precio pagado por los agentes económicos = precio recibido por lasempresas

I Todos los mercados se vacían:

I trabajo ofrecido de los agentes económicos = trabajo demandadopor las empresas

I producción de las empresas = consumo de los agentes económicosI Como la economía es cerrada y no hay gobierno, todo lo prestado

tiene que ser igual a lo que reciben los prestatarios, es decir lo queprestan los agentes económicos es igual al capital que las empresasutilicen en su producción: b = k (en equilibrio, r se ajusta para quese cumpla esta igualdad)




Analizamos en más detalle el comportamiento de b y k en equilibrio. Sustituir

la restricción presupuestaría y (4) en (5):

w = f(k)− k(r + δ)

b− rb+ nb+ c = f(k)− k(r + δ)

sabiendo que b = k en equilibrio:

k = f(k)− c− (δ + n)k

que nos indica el comportamiento dinámico de k (capital per cápita) que es la

misma ecuación que en el modelo Solow. Sustituir (4) en la ecuación de Euler:

c

c=

1

σ

[f ′(k)− ρ− δ

](6)

Para que el agente económico tome una senda de consumo creciente, cc > 0, sele ha de recompensar con un producto marginal mayor, f ′(k) ↑Fijaros que en el modelo Solow (6) está sustituido por el supuesto de una tasa

de ahorro constante, c = (1− s)f(k)Daniela Hauser (UAB) Macroeconomía Avanzada II Abril 2013 19 / 26



El equilibrio competitivo del modelo RCK está de�nido por las dos

ecuaciones:

k = f(k)− c− (δ + n)k

c

c=

1

σ

[f ′(k)− ρ− δ

]Es decir, dada una condición inicial k(0) y junto con la condición de

transversalidad, estas dos ecuaciones de�nen la senda al largo del

tiempo de k y c.



Asignación óptima: El problema del plani�cador social (1)

El plani�cador social maximiza el bienestar social, medido por la

función de utilidad de los agentes, tomando en cuenta todas las

restricciones de�nidas el equilibrio.

I El plani�cador es como una institución retomando el rol de los

mercados, asignando

I a todos los agentes el consumo y las horas trabajadas quemaximizan su bienestar

I a todas las empresas los factores de producción que maximizan susbene�cios

I En el mundo del plani�cador no existen ni mercados, ni precios.

I El problema del plani�cador social es un caso interesante y un

punto de partida en el análisis de distintas políticas y para

comparar el equilibrio de mercados competitivos con el caso

óptimo ("�rst-best")




¾Como eligería un plani�cador social consumo y ahorro a lo largo del

tiempo?

max

∫ ∞0

e−(ρ−n)tc(t)1−σ

1− σdt

sujeto a

K(t) = F [K(t), L(t)]− C(t)− δK(t) (7)

La producción se usa para consumo e inversión. Expresar (7) en per

cápita:

K

L= f(k)− c− δk

k = f(k)− c− (δ + n)k

Anota: k = KL → k = KL−LK

L2 = KL − nk →

KL = k + nk




Resolvemos el problema del plani�cador social según el Hamiltoniano:

HP = e−(ρ−n)tc1−σ

1− σ+ λ [f(k)− c− (δ + n)k]

Condiciones de primer orden (CPO):

[c] : HP,c = e−(ρ−n)tc−σ = λ

[k] : HP,k = −λ = λ(f ′(k)− δ − n)

De la condición de primer orden con respecto al capital, podemos

expresar el stock de capital óptimo de la economía (stock de capital de

la regla de oro):

HP,k = −λ = λ(f ′(k)− δ − n)⇒f ′(k)− δ − n = 0⇔

f ′(k) = δ + n

donde la última ecuación de�ne el stock de capital per capita en el

estado estacionario que maximiza el consumo per capita.Daniela Hauser (UAB) Macroeconomía Avanzada II Abril 2013 23 / 26



En el caso de una función de producción Cobb-Douglas, el stock de capital

óptimo, es decir el stock de capital según la regla de oro, está de�nido por:

kRO =

(αA

δ + n

) 11−α

Combinando las dos CPO:

tomando log en [c] :

−(ρ− n)t− σ log c(t) = log λ(t)

derivando respecto al tiempo:

−(ρ− n)− σ cc

=λ

λ

sustituyendo en [k] :c

c=

1

σ

[f ′(k)− ρ− δ

]Daniela Hauser (UAB) Macroeconomía Avanzada II Abril 2013 24 / 26



Asumiendo una función de producción tipo Cobb-Douglas, podemos

comparar el stock de capital óptimo (stock de capital de la regla de oro,

es decir el stock de capital que maximiza el consumo per capita)

kRO =

(αA

δ + n

) 11−α

con el stock de capital que escoge el plani�cador social

kPLAN =

(αA

δ + ρ

) 11−α

Acordar, que asumimos ρ > n, tal que kOPT > kPLAN . Aunque el

plani�cador social podría aumentar el consumo per cápita en el estado

estacionario incrementando el stock de capital, tomando en cuenta la

impaciencia de los agentes no es óptimo hacerlo (aumentar el stock de

capital en el estado estacionario implica reducir el consumo en la

transición).Daniela Hauser (UAB) Macroeconomía Avanzada II Abril 2013 25 / 26



La ecuación que caracteriza la economía bajo el plani�cador social es:

c

c=

1

σ

[f ′(k)− ρ− δ

]Fijaros que la solución del plani�cador social es idéntica a (6) del

equilibrio competitivo. Es decir la solución del plani�cador y del

equilibrio competitivo son iguales por lo que la solución de los mercados

es óptima.


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