M A T R I C E S · Web viewResuelven sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer....

CUARTO AÑO PLAN COMÚN

SEGUNDA UNIDAD :

MATRICES Y DETERMINANTES.

PROFESOR ENCARGADO : GEORG STÜCKRATH M.

1

COLEGIO SAN MATEO OSORNO.

APRENDIZAJES ESPERADOS : Los alumnos : Reconocen la utilidad de las diferentes clases de números para ordenar, expresar

códigos, aproximar y estimar medidas.

Incorporan al lenguaje habitual la expresión con distintas clases de números para comunicar los hechos de forma más completa y precisa.

Entienden el concepto de matriz como una ordenación de números, su uso y sus características.

Operan la adición y multiplicación con las matrices, sus características y propiedades.

Establecen relación entre las matrices y los números reales mediante la ponderación.

Definen determinante y expresan sus propiedades.

Resuelven sistemas de ecuaciones lineales mediante la regla de Cramer.

ACTIVIDADES SUGERIDAS:Realizan una investigación sobre las diversas clases de números de acuerdo a las necesidades presentadas.Resuelven ejercicios para determinar la necesidad de crear nuevos números.Analizan las operatorias con matrices y aplican en las diferentes definiciones axiomáticas de adición y multiplicación de ellas. Conocimiento y aplicación de las diferentes formas de resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado.Tenacidad en la búsqueda de soluciones a los problemas con diferentes tipos de números.Confianza en encontrar procedimientos y estrategias para resolver y solucionar problemas.

Consultan libros :Matemática Ed. Arrayán 4º año

Matemática Ed. Santillana 4º año

2

PROGRAMACIÓN DIDÁCTICAALUMNO : _________________________________________

SECTOR DE FORMACIÓN : MATEMÁTICA ÁREA TEMÁTICA : MATEMÁTICACURSO : CUARTO AÑO MEDIO.PL COMÚN.PROFESOR : GEORG STÜCKRATH M.UNIDAD DIDÁCTICA N° 2 : MATRICES Y DETERMINANTES TIEMPO : 16 HORASFECHA INICIO : 2002FECHA TÉRMINO :

Texto San MateoFundamentos de Matemática Moderna Colección Schaum

PLAN DE TRABAJO

Lo que voy a hacer NOCIONES :

Inicio Término

Aprendido Indicaciones

Definición de matrizIgualdad de matrices.Definición de matriz traspuesta.Adición de matrices.Propiedades de la adición de matrices.Propiedades de la adición de matrices.Matriz nula y opuesta de una matrizPonderación de una matriz por un realMultiplicación de matrices.Propiedades de la multiplicación de matricesMatriz unidad e inversa de una matrizDivisión de matricesFunción determinanteMatriz de los cofactores.Regla de Cramer

Al término de esta unidad, tú :1. Entender la utilización de diferentes formas de expresar

números.2. Reconocerás una matriz, su orden y su uso3. Operarás la adición y la multiplicación de matrices4. Reconocerás el determinante de una matriz y lo usarás

para resolver sistemas de dos y tres incógnitas

M A T R I C E S.

CONCEPTO GENERAL : Es un ordenamiento rectangular de elementos de un cuerpo K ( para nuestro caso K = IR ) , es decir , en la forma :

A =

a11 a a a aa a a a a

a a a a a

a a a a a

j m

j m

i i i ij im

n n n nj nm nxm

12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

1 2 3

aij IK , i , j , i = 1,2,3,...,n ; j = 1,2,3,....,m.Cada “ aij “ recibe el nombre de componente de una matriz.

Cada línea horizontal de componentes es una fila, cada línea vertical es una columna.

Los subíndices indican la posición de cada componente, el primero “n” a la fila a que

Una matriz de “n” filas y “m” columnas la llamaremos matriz de orden “n por m “ y

3

pertenece y el segundo “m” a la columna.

su notación es “ nxm ”.

Ejemplo : La matríz A = 4 3 4 100 7 5 85 12 9 0

tiene 3 filas y 4

columnas,es decir es de orden 3 x 4 .

Aquí , podemos identificar algunos elementos : a13 = -4 , a32 = -7 , etc.

Si una matriz tiene el mismo número de filas que de columnas se dice que es una matriz cuadrada de orden según el número de filas y columnas que tenga.

IGUALDAD DE MATRICES .

Dos matrices pertenecientes a Iknxm ( del mismo orden ) son iguales si tienen los mismos elementos en las mismas posiciones , es decir :

a bc d

yz w

x

a = x b = yc = z d = w

Ejercicios :

Encuentra el valor de las variables en cada caso.

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ :

Sea A = a aa a

11 12

21 22

se llama matriz traspuesta a la que se obtiene

intercambiando las filas por las columnas, es decir a : AT = a aa a

11 21

12 22

Ejemplo : Dado A = 3 1 012 10 6

entonces AT =

3 121 10

0 6

Ejeercicios :

Encuentra la matriz transpuesta de :

4

HORA DE HACER EL TALLER Nº 3

ADICION DE MATRICES .

Dadas las matrices A, B , C IKnxm , entonces :

A + B = C cij = aij + bij , aij A , bij B

Ejemplo : En IK2x2

A+ B = a aa a

bb b

b a ba b a b

11 12

21 22

12

21 22

11 12 12

21 21 22 22

+

b =

a11 11

PROPIEDADES DE LA ADICION DE MATRICES.

Dadas las matrices A, B , C y 0 IKnxm , entonces :

1) COMPOSICION INTERNA : A + B IKnxm2) ASOCIATIVA : A + (B + C) = (A + B) + C

3) CONMUTATIVA : A + B = B + A

4) ELEMENTO NEUTRO ADITIVO :

A IKnxm , ! 0 IKnxm : A + 0 = A = 0 + A

5) ELEMENTO INVERSO : A IKnxm , ! (-A) IKnxm : A + ( - A) = 0 = (-A) + A

E J E R C I C I O S.

Dada la matriz : A =

5 10 37 4 2

10 5 0 encuentra :

5. 3a12 + 5a32 - a33 = 6,. -2a21 + 6a11 + 7a22 = 7. 5a32 + 3a31 =

8. En un Preuniversitario hay 5 clases ; en la primera hay 30 chicas y 5 chicos ; en la 2ª , 25 chicas y 12 chicos ; en la 3ª , 20 chicas y 20 chicos ; en la 4ª , 13 chicas y 25 chicos ; y , en la 5ª , 19 chicas y 11 chicos . Haz una matriz en la que pongas un 1 si el número de chicas excede al de chicos ; un 0 si es al revés ; y un 2 si son iguales. Así te podrás hacer una idea de la proporción de chicos y chicas estudiando en ese Preuniversitario.

Determina las matrices aij IK3x4 , tales que :

9. aij = 0 , si i = j 10. aij = 1 , si i < j 11. aij = -1 , si i > j

5

Realiza las siguientes adiciones :

12. 2 3 56 1 5 2

62 3 7 2

4 112 5 8

x yz w

yz w

yz w

+

5 - x -

5x - 2 =

Encuentra el valor de las variables :

13. 2 33 4

5 28 1

5 01 5

xw

x yw z

Resuelve las ecuaciones matriciales :

14. x + 2 53 12

6 13 0

15. 12 0

6 92 5 3 6

4 5 5 8

X

, ,, ,

PONDERACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR :

Sea p IK , aij IKnxm , entonces p aij = bij , aij A , bij B

Ejemplo :

p a aa a

p a p ap a p a

11 12

21 22

11 12

21 22

Ejemplo : 5 6 32 10

30 1510 50

PROPIEDADES DE LA PONDERACION. p , q IK , A IKnxm

1) p(A + B) = pA + pB

2) (p + q)A = pA + q A

3) (pq)A = p(qA)

4) 1 A = A , 1 = neutro multiplicativo en IK.

E J E R C I C I O SDadas las matrices : A = 3 2

1 0

,B = 5 3

4 9

, calcula en cada

caso :

16. 2(A + B) = 17. 3A + 2B = 18. (2A - B)T =

Determina el valor de las variables , en las expresiones :

19. x

4 02 1

2 yw z


6

MULTIPLICACION DE MATRICES .

La multiplicación de matrices en IK2x2 , tales como las matrices

A a aa a

11 12

21 22 , B =

b bb b

11 12

21 22 se define así :

A B = a a

a ab bb b

a b a b a b a ba b a b a b a b

11 12

21 22

11 12

21 22

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22

Ejemplo :

3 42 0

2 51 6

3 2 4 1 3 5 4 62 2 0 1 2 5 0 6

2 94 10

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION .

1. Propiedad General : La multiplicación entre matrices sólo existe entre aquellas matrices cuadradas del mismo orden y entre aquellas que tienen el número de columnas de la primera matriz igual al número de filas de la segunda matriz, es decir, una matriz perteneciente a IKnxm se puede multiplicar sólo con una matriz perteneciente Ikmxp , resultando una matriz de orden nxp .

2. La multiplicación de matrices es una ley de composición interna para aquellas

matrices que cumplen la propiedad general.

3. La multiplicación de matrices es asociativa.

4. En Iknxn existe la matriz identidad I :

A IKnxn , ! I Iknxn : AI = A = IA

5. La multiplicación de matrices en Iknxn es distributiva sobre la adición :

A(B + C) = AB + AC

EJERCICIOS .

En IK2x2 determina el elemento identidad :

Dadas las matrices : A =

3 24 1 , B = 2 5

0 1

, C = 2 3 4

5 1 0

i) determina :

20. A B = 21. A2 = 22. (A + B)C = 23. AC + BC =


7

24. 3 12 1

19

xy

LA FUNCION DETERMINANTE.

Dada la matriz A = a bc d

, se define el determinante de A , como sigue :

det A = A = a bc d = ad - bc

Ejemplo :

4 32 5

= 45 - (3)(-2) = 20 - 6 = 14

En el caso de las matrices de orden 3 : A = a b cd e fg h i

det A = A = a b cd e fg h i

be

g h ad = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

Ejemplo :

6 4 21 2 03 1 3

=

6 4 21 2 03 1 3

6 - 41 - 23 1

= 6(-2)3 + (-4)03 + 211 - 2(-2)3 -

601 - (-4)13 = -36 + 0 + 2 + 12 - 0 + 12 = 10

EJERCICIOS .

Dadas las matrices A = 53 3 -1

, B = 5

0 21

, C =

41

- 2 3

Hallar :

25. A = 26. B = 27. A + C = 28 . 2B =

29. Hallar el determinante de :A = a - 2b3a - 5b

30. Hallar el valor de k para que : k k 4 2k

= 0

31 Dada la matriz A = 2 1 -1 4 5 2 3 7 6

demostrar que det A = 1

8


INVERSA DE UNA MATRIZ

Si A = a bc d

y det A 0 A-1 = 1

a d b cd bc a

Observar que si det A = 0 , no existe A-1 .

Ejemplo : Si A = 3 2

1 1

, entonces

A-1 = 13 1 2 1

1 21 3

11

1 21 3

11 21 3

1 21 3

( ) ( )

( )

EJERCICIOS .Hallar la inversa de cada matriz , si ésta es no - singular :

32. 1 3 2 1

33. 1 2

-1 3

MATRIZ DE LOS COFACTORES O DE LAS MENORES .Llamaremos matriz menor de una matriz A a la matriz que resulte luego de eliminar una fila y una columna de A.Ejemplo :

Sea A = 2 3 4 2 -1 0 3 0 - 2

M11 = -1 0 0 - 2

M21 =

3 4 0 - 2

Y M31 = El signo de la menor estará dado por la expresión ( -1) i + j . También podremos calcular el determinante de una matriz de 3 x 3 según el método de las menores :

A = 2 3 4 2 -1 0 3 0 - 2

= 2 -1 0 0 - 2

- 3 2 0 3 - 2

+ 4 2 -1 3 0

EJERCICIOS .

9

34. Dadas la matrices A = 5 - 2 1 0

, B = 6 2

- 3 -1

determina :

a) A-1, si existe.

b) B-1 , si existe.

c) A-1 · B =

d) det A + det B =

Encuentra la inversa de cada matriz , si existe :

35. A = 1 3 2 1

36. B = 1 2

-1 3

Según el método de las menores calcula :

37. 3 5 2 7 9 3 3 0 - 2

APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES .

REGLA DE CRAMER : Se pueden usar determinantes para resolver sistemas de ecuaciones con 2 , 3 ó más incógnitas, como sigue :

1. Para sistemas de la forma : a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2

se tiene que : = a ba b

1 1

2 2 , x = c b

c b1 1

2 2 , y = a c

a c1 1

2 2

entonces el valor de las incógnitas se encuentra como : x x

, y = y

2. Para sistemas de la forma : a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 se tiene que :

a b ca b ca b c

d b cd b cd b c

a d ca d ca d c

a b da b da b d

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3

, , , x y z

Así , el valor de las incógnitas se encuentra mediante :

x x

, y = , z = y z

E J E R C I C I O S. Resuelve los sistemas usando el método de Cramer :

38. 6x + 8y = 1 39. 4x - 3y = 1 40. x + y = 8

10

3x + 7y = 4 5x - 4y = -1 2x - y = 4


COLEGIO SAN MATEO/

TALLER N O 3. CUARTO AÑO MEDIO PLAN COMÚN. PROF. GEORG STÜCKRATH M.

NOMBRE

1. El consumo, en kilógramos de pan, carne y mantequilla de una familia durante los últimos cuatro años, se puede disponer así

PAN CARNE MANTEQUILLA1996 430 157 81997 390 162 61998 410 169 101999 360 180 9

La caja de números es una matriz.

Sus elementos aparecen dispuestos en filas ( líneas horizontales ) y columnas (líneas verticales ). Esta matriz tiene 4 filas y 3 columnas, lo que se resume diciendo que es una matriz de 4x3.

2. En las siguientes matrices, colocarás el orden a que pertenecen filas __ columnas ____ orden ______

filas __ columnas ____ orden ______

filas __ columnas ____ orden ______

3. Consuelo contabiliza las horas semanales que dedica a “ clases “ ; “ estudio y lectura “ ; “ televisión “ y “ salidas, amigos, excursiones…” día a día de la semana del modo que se indica en la tabla

11

clases estudio

TV Amigos

Lunes 6 2 1 2Martes 5 3 2 1Miércoles 8 1 0 2Jueves 6 1 2 1Viernes 5 4 0 4Sábado 1 2 3 6domingo 0 2 4 6

Realiza tres preguntas que se podrían contestar con sólo mirar la tabla.

Dada la matriz : A =

5 10 37 4 2

10 5 0 encuentra :

4. 3a12 + 5a32 - a33 = 5,. -2a21 + 6a11 + 7a22 = 6. 5a32 + 3a31 =

7. En una tienda se venden cajas de leche de 1, 2, 3, 4 y 5 kilos. El precio de cada una de ellas es de $ 1.600 , $ 3.300 , $ 5.000 , $ 6.800 y $ 9.000 , respectivamente. Ordena estos datos en una matriz.

8. Las existencias de 5 artículos A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , en una cadena de tres almacenes B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , vienen indicados por la siguiente tabla ( en miles de unidades) :

a) ¿ Qué almacén dispone de un mayor stock de artículos A3 ?

b) ¿ A qué término corresponde este dato ?

¿ Cuál es su valor ?

c) ¿ Qué representa el elemento a32 ? ¿ Y el a23 ?

IGUALDAD DE MATRICES .

Encuentra el valor de las variables en cada caso.

11. 7x + 1 y + 3

-5 0

12. a + b b

b - c 4 7 - 25 4

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ :

Encuentra la matriz transpuesta de :

A1 A2 A3 A4 A5 B1 3 4 1 3 4 B2 3 2 5 3 2 B3 7 4 3 2 3

12

COLEGIO SAN MATEO/


NOMBRE

INVERSA DE UNA MATRIZ

Hallar la inversa de cada matriz , si ésta es no - singular :

1. 1 2 2 4

2. 3 -1

4 2

3. C = 13

- 34

34

35

4. D = 3 3 2 2

- 2 5 3

APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES .

Resuelve los sistemas usando el método de Cramer :

5 2x + 3y = 3 6. 3x + 2y = 0 7. 3x + 2y = 4 4x - 5y = 10 -2x + 3y = 0 5x - 3y = 2

8. -ax + y = ab 9. x + y + z = 6 10. 2x - 2y + z = -1 ax + 2y = 5ab 2x - y + z = 3 x - 4y + z = -3 3x + 2y - 5z = -8 4x + 6y - z = 7

11. 2x + 3y = 12. x - 2y = z 13. 2x + 3y = 5 x + y + z = 10 y + z = x x + y + z = 10 2y + 3z = 8 x - z = y 2y + 3z = 8

Sin calcular , indica cuáles de los siguientes determinantes son nulos :

13

14. 1 2 3 3 1 2 5 5 5

15. 3 7 - 2 8 -13 19 3 7 - 2

16. -1 2 -1 3 - 4 3 10 12 10

Encuentra en cada caso el valor de la variable :

17 2 0 0 x - 1 = 0 18. 5 - 3

2 k =

3 k -1 4

19. x 1

x + 6 -12

= 0 20.

1 t t 1 2 4 1 3 9

= 0

2

COLEGIO SAN MATEO/


NOMBRE

MULTIPLICACION DE MATRICES .

En IK2x2 determina el elemento identidad :


3 24 1 , B = 2 5

0 1

, C = 2 3 4

5 1 0

Si f(x) = x2 + 3x + 2I , g(x) = 2x + 3I , I = identidad , encuentra :

1). f(A) = 2) f(B) + g(A) = 3) f(A) g(B) =

Comprueba si :

4. A B = B A 5. ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2

6. (A + B)(A - B) = A2 - B2 7. A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2)


8. 3 12 1

19

xy 9.

32

13

15

2

18

xy

10. 9 812 1

53

xy

14

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ .

Dadas las matrices A = 53 3 -1

, B = 5

0 21

, C =

41

- 2 3

Hallar :11. B =2 12. A - C = 13. - A = 14. A B =

15. Hallar el determinante de : B = a b a b a + b

16. Calcular los siguientes determinantes :

a) 4 - 5 6 0 2 -1-1 5 0

b) - 6 5 - 2 0 -1 3 2 - 3 1

c) 0 4 1 4 0 -1 1 - 4 0

COLEGIO SAN MATEO/


NOMBRE

ADICION DE MATRICES . Dadas las matrices A = 3 4

1 6

, B =

2 63 2 , C = 5 3

7 5

Encuentra :1. A + B = 2. A + ( B - C ) = 3. (B + C)T =

4. A - ( B + C ) = 5. A - CT = 6. BT - AT =

7. ¿ Son iguales AT + BT y (A + B)T ?

8. 3 5 8 6 5 73 2 5 4 8

10 5 2 5 6

6 2 66 12 3 3 9

8 10 3 3 7

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

x x x x x xx x xx x x

x x x xx x xx x x

+

- 3x + x2


9. x y wy z y

y x x wz z

12 2 6

6 41

15

10. w xx w

yw z

2 0 00 0

Resuelve las ecuaciones matriciales :

11. x - 3

12

34

0 2

745

067

,

12. 12

25

32

0 5

52

0 8

3 565

,

,

,X

PONDERACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR :

Dadas las matrices : A = 3 21 0

, B = 5 3

4 9

, calcula en

cada caso :

13. 2A + 3B - 4C= 14. 5(A + B)T = 15. 23

2 ( )A B

16. Si f(x) = 3x , encuentra f(A) + f(2B) =

Determina el valor de las variables , en las expresiones :

17. w

xy z

58 3

1 3

18. x

33 2

2xw z

x yy w


1 2 30 5 3 ,B = 4 2 1

3 0 4

, C = 0 2 4

1 0 5

Resuelve las ecuaciones :

19. 3X = A + B 20. 2X + B = C 21. 3A + X = 2B - C 22. 1

2A X B

23. 5(X - C) = 23A 24. 5(2A - 3X ) = B - C

COLEGIO SAN MATEO

16

CUARTO MEDIO UNIDAD 2 :

“MATRICES”

Área de Matemática Prof.Georg Stückrath M

Nombre :FECHA : PUNTOS : NOTA :

Dadas las siguientes matrices :

Determina :1. (A + C ) T =

2. C · B =

3. D2 =

4. C-1 =

5. =

6. Si f(x) = x2 –3x + 2I F( C ) =

1. Encuentra la matriz A para que se verifique la siguiente igualdad :

3A - 52. Dada una matriz A, ¿existe una matriz B , tal que el producto A·B,

o bien B·A , sea una matriz de una sola fila ? Poner un ejemplo con A =

3.

4.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones mediante la regla de Cramer :

10. 3x - y = 11 11. 2x - 5y = 2 x + 4y = 8 2y - 8z = -4 7x + 2z = 8

17

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