Lugar de las raices
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Lugar de las raíces
Lugar de las raíces
Los polos de lazo abierto de un sistema representan características propias del mismo, no pueden ser modificados a menos que se modifique el sistema o se agreguen otros elementos dinámicos.
Lugar de las raíces
57+s
Time (sec.)
Am
plit
ude
Step Response
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4From: U(1)
To:
Y(1
)
57+s4
Time (sec.)A
mplit
ude
Step Response
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
1
2
3
4
5
6From: U(1)
To: Y
(1)
1.4
5.6
57+s2
1+s
Time (sec.)
Am
plit
ude
Step Response
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4From: U(1)
To: Y
(1)
Respuesta
No cambia el tiempo de respuesta, solo la amplitud.
El tiempo de respuesta cambia, Solo agregando otra dinámica.
1.4
0.7
Sistema de primer orden ante una entrada escalón:
Lugar de las raíces
Por otra parteLos polos de lazo cerrado pueden ser fácilmente modificados sin alterar la naturaleza del sistema.
Las características de estabilidad de un sistema en lazo cerrado están íntimamente ligadas con la ubicación de los polos de lazo cerrado
¿Porqué modificar los polos de lazo cerrado
Entonces:• Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de respuesta de salida sin alterar su naturaleza.• Sistemas inestables (estables) pueden llegar a ser estables (inestables) utilizando realimentación y, en el caso más sencillo, modificando una simple ganancia.
veamos un ejemplo…
Lugar de las raíces
Sea el sistema de lazo cerrado
)7( +ssK
+-
Polos de lazo abierto:
7,0 −== ss
)(sC)(sREn lazo cerrado
KssK
sRsC
++=
)7()()(
La ecuación característica es
072 =++ Kss
)(sB
En lazo abierto
)7()()(
+=
ssK
sEsB
Las raíces de la ecuación característica son los polos de lazo cerrado (p.l.c)
Ks −±−= 25.125.312
y dependen del valor de K
Lugar de las raíces
Para diferentes valores de K:
K cerradolazodepolos
5707.35.3 js +−= 5707.35.3 js −−=25
8541.6−=s 1459.0−=s1
5.3−=s 5.3−=s25.12
5−=s10 2−=s
5.14 5.15.3 js +−= 5.15.3 js −−=
25.112 105.3 js +−= 105.3 js −−=
1.0 98568.6−=s 014314.0−=s
Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente
Lugar de las raíces
1.0=K
25.112=K
La ubicación de estas raíces en el plano s
Saltar gráficas
Lugar de las raíces
1.07
1.0)()(
2 ++=
sssRsC
clp .. 014314.02 −=s98568.61 −=s
Lugar de las raíces
17
1)()(
2 ++=
sssRsC
clp .. 01459.02 −=s8541.61 −=s
Lugar de las raíces
107
10)()(
2 ++=
sssRsC
clp .. 22 −=s51 −=s
Lugar de las raíces
25.127
25.12)()(
2 ++=
sssRsC
clp .. 5.32 −=s5.31 −=s
Lugar de las raíces
257
25)()(
2 ++=
sssRsC
clp .. 5707.35.32 js −−=5707.35.31 js +−=
Lugar de las raíces
25.1127
25.112)()(
2 ++=
sssRsC
clp .. 105.32 js −−=105.31 js +−=
Lugar de las raíces
Entonces si se evaluara para todos los valores positivos de K se obtendría El lugar de las raíces de ese sistema en particular. Regresando al ejemplo:
Variando el valor de la ganancia K, se tiene acceso a cualquier valor de polos de lazo cerrado (región verde-azul).
Otro valor fuera de esa región, no es posible obtenerlo solamente con el cambio de K
Lugar de las raíces
El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de la ecuación de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro parámetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuación de lazo abierto GH(s):
Definición:
Condición de ángulo y magnitud
La ecuación característica0)()(1 =+ sHsG 1)()( −=sHsG
por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ángulo:
1)()( =sHsG ,...2,1,0,360180)()( =°±°=∠ kksHsG
Condición de magnitud Condición de ángulo
Todas las raíces del lugar de las raíces cumplen con la condición de ángulo y magnitud.
Lugar de las raíces
Retomando el ejemplo anterior con 25.112=K
σ
ωj10j
10j−
1A2A
)7(25.112
)(+
=ss
sG clp .. 105.32 js −−=105.31 js +−=
1)(21
==AA
KsG
1)7(
25.112
105.3
=+ +−= jsss7−
Condición de magnitud
alp ..
alp ..
... clp
... clp Cumple con la condición de magnitud
Lugar de las raíces
°±°=∠ 360180)(sG
21)( θθ +=∠ sG
Condición de ángulo
σ
ωj10j
10j−
1θ2θ
7−
alp ..
alp ..
... clp
... clp
+°= −
105.3
90 11 tgθ
= −
5.3101
2 tgθ
°=∠ 180)(sG
Cumple con la condición de ángulolugar de las raíces
Cualquier otro polo de lazo cerrado fuera del lugar de las raíces no cumple con la condición de magnitud ni de ángulo.
Cualquier otro polo de lazo cerrado dentro del lugar de las raíces cumple con la condición de magnitud y de ángulo.
Lugar de las raíces
Reglas de construcción para el lugar de las raíces
Se expondrán las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las raíces de
1.- Puntos de origen (k = 0)
Los puntos de origen del lugar de las raíces son los polos de GH(s). Los polos incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
)5)(4()()(
++=
sssK
sHsG
polos finitos .5,4,0 −=−== sss
ceros finitos hayno Gráfica
2.- Puntos terminales (k = ∞)
Los puntos terminales del lugar de las raíces son los ceros de GH(s). Los ceros incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
Lugar de las raíces
3.- Número de ramas separadas
P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de ramas separadas.
ZPN −=
303 =−=NRamas separadas
4.- Asíntotas del lugar de las raíces
Njo
j)12(180 +=θ
j = 0, 1, 2, 3, … hasta N -1= P - Z - 1
.2,1,0,3 == jN
°== 603
1801
o
θ °== 1803
)3(1802
o
θ °== 3003
)5(1802
o
θ
Lugar de las raíces
5.- Intersección de las asíntotas con el eje real.
N∑−∑= GH(s) de ceros de raícesGH(s) de polos de raíces
1σ
33
)0()540(1 −=−−−=σ
Gráfica
6.- Lugar de las raíces sobre el eje real
Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las raíces si el número total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto considerado es impar.
Lugar de las raíces
7.- Ángulos de salida y llegada
El ángulo de salida del lugar de las raíces de un polo o el ángulo de llegada de un cero de GH(s) puede determinarse suponiendo un punto S1 muy próximo al polo o al cero aplicando la siguiente ecuación:
)12(180)( +=∑−∑=∠ jsGH ozp φφ
En el caso del ejemplo, los polos están en el eje real y puede calcularse el ángulo de salida por simple inspección. Si se usa la fórmula, se define un punto muy cercano al polo o cero a calcular su ángulo de salida o llegada.
°=−−− 180540 φφφ°=−−− 1800180 4φ
0φ5φ
°= 04φ
punto de prueba
Lugar de las raíces
8.- Intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario
Sobre el eje imaginario el valor de es , por eso se cambia en la ecuación característica . Se obtiene el valor de y el de .ωjs→ ω K
s ωj
0209)()(1 23 =+++=+ KssssHsG
0)(20)(9)( 23 =+++ Kjjj ωωω
0209 23 =++−− Kjj ωωω
1−=j
se separan las parte real e imaginaria
09 2 =+− Kω 0203 =+− ωω jj
0203 =+− ωω jj
20=ω180=K
Lugar de las raíces
9.- Puntos de separación Los puntos de separación o de ruptura es un valor donde dos polos dejan de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando:
0=dsdK
ticacaracterísecuaciónladedespejaseK
sssK 209 23 −−−=
020183 2 =−−−= ssdsdK
020183 2 =++ ss
4724.1−=s5275.4−=s
Lugar de las raíces
10.- Cálculo del valor de K en el lugar de las raíces
1)()( =sHsG
Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener los polos de lazo cerrado deseados, utilizando la condición de magnitud.
Lugar de las raíces
Paso 1
Paso 2hayno
Paso 3
Paso 4
3=N
°= 601θ °=1802θ°−= 602θ
Paso 5
31 −=σPaso 6
Inicio
3−
Lugar de las raíces
3−
Paso 7
°=1800φ °= 04φ°=1805φ
Paso 8
20=ω180=K
20j
20j−
Paso 9
4724.1−=s
Este es el lugar de las raíces del sistema.
Lugar de las raíces
Configuraciones típicas del lugar de las raíces
))(()()(
bsassK
sHsG++
=
)54)(52()()( 22 ++++
=ssss
KsHsG
Lugar de las raíces
)134(
)1()()( 2 ++
+=ss
sKsHsG
)134)(1()()( 2 +++
=sss
KsHsG