Los procesos de convención matemática como generadores de ...

Revista Latinoamericana de Investigación en

Matemática Educativa

ISSN: 1665-2436

[email protected]

Comité Latinoamericano de Matemática

Educativa

Organismo Internacional

Martínez, Gustavo

Los procesos de convención matemática como generadores de conocimiento

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 8, núm. 2, julio, 2005, pp.

195-218

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa

Distrito Federal, Organismo Internacional

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=33580206

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Los procesos de convención matemática como

generadores de conocimiento

Gustavo Martínez *

RESUMEN

En este artículo se presenta una articulación teórica de la noción de “convenciónmatemática” como proceso de generación de conocimiento en el marco de laaproximación socioepistemológica en Matemática Educativa. Para lograr esto primerose hace una breve descripción de los que a nuestro parecer son las nociones básicasde la aproximación socioepistemológica y se presentan las evidencias básicas quepermiten interpretar a la “convención matemática” como generadora de conocimientodesde este marco. Después se bosquejan algunos ejemplos que dan evidencias delfuncionamiento de la noción como proceso constituyente en la construcción delconocimiento matemático.

PALABRAS CLAVE: Convención matemática, socioepistemología, construcciónsocial de conocimiento, práctica social.

ABSTRACT

In this paper is presented a theoretical articulation of the notion of “mathematicalconvention” as knowledge generation process in the framework of the socioepistemologicapproximation in Mathematics Education. To achieve this, is done a brief description ofthe basic notions of the socioepistemologic approximation and are presented the basicevidences that allow to interpret the “mathematical convention” as a generator ofknowledge in this framework. Later we are sketched some examples that give evidencesof the operation of this notion as constituent process in the construction of themathematical knowledge.

KEY WORDS: Mathematical convention, socioepistemology, social constructionof the knowledge, social practice.

Relime Vol. 8, Núm. 2, julio, 2005, pp. 195-218.

Este trabajo forma parte del proyecto financiado por el Fondo Mixto CONACYT-Gobierno del Estado de Guerrero.

Clave GUE-2002-C01-7626.

* Centro de Investigación en Matemática Educativa. Facultad de Matemáticas. Universidad Autónoma de Guerrero, México

Fecha de recepción: Noviembre de 2004 / Fecha de aceptación: Marzo de 2005

Relime196

RESUMO

Neste artigo apresenta-se uma articulação teórica da noção de “convenção matemática”como processo de geração de conhecimento no marco da aproximação sócio -epistemológica em Matemática Educativa. Para obter isto primeiro faz-se uma brevedescrição do que a nosso parecer são as noções básicas da aproximação sócio –epistemológica e apresentam-se as evidencias básicas que permitem interpretar a“convenção matemática” como geradora de conhecimento desde este marco. Depoisbosquejam-se alguns exemplos que dão evidencias do funcionamento da noção comoprocesso constituinte na construção do conhecimento matemático.

PALAVRAS CHAVES: Sócioepistemología, prática social, convençãomatemática, construção social do conhecimento.

RÉSUMÉ

Dans cet article, nous présentons une articulation théorique de la notion de “conventionmathématique” comme processus générateur de la connaissance dans le cadre del’approximation socioépistémologique en Mathématique Educative. Et pour ce faire, nousfaisons tout d’abord une brève description de ce qui, nous semble-t-il, sont les notionsde base de l’approximation socioépistémologique et nous présentons les évidences debase permettant d’interpréter la “convention mathématique” comme génératrice de laconnaissance à partir de ce cadre-ci. On brosse ensuite quelques exemples qui mettenten évidence le fonctionnement de la notion comme processus constituant et entrantdans la construction de la connaissance mathématique.

MOTS CLÉS: socioépistémologie, pratique sociale, convention mathématique,construction sociale de la connaissance.

1. Introducción

Este artículo parte de la idea de que unos delos principales objetivos de la matemáticaeducativa es explicar cómo se construyeconocimiento matemático. Dentro de nuestrogrupo de investigación existen diversaslíneas que persiguen este objetivo (Buendía2004; Arrieta 2003). Éstas se aproximan a laproblemática de la explicación del

conocimiento de maneras diversas, perotodas ellas exploran el papel de “lo social”en la construcción de conocimiento. Estosacercamientos posibilitan hacer énfasis nosólo en los aspectos cognitivos yepistemológicos, que por supuesto son desuma importancia, y amplían la explicaciónclásica del conocimiento.

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Al respecto, para Cantoral (2002, p. 35),por ejemplo, “el términosocioepistemología, pretende plantear unadistinción de origen con las perspectivasepistemológicas tradicionales”. Laepistemología tradicional asume que elconocimiento es el resultado de laadaptación de las explicaciones teóricascon las evidencias empíricas. De estamanera el ser humano era consideradocomo un “científico activo” que construíahipótesis sobre el mundo, que reflexionabasobres sus experiencias, que interactuabacon su entorno físico y que elaborabaestructuras de pensamiento cada vez máselaboradas. En el plano del conocimientomatemático esta explicación se vereflejada en diversas investigacionesbasadas en la epistemología genéticapiagetiana; que da cuenta de laconstrucción de conocimiento matemáticoa través de los procesos de “abstracciónreflexiva” (Piaget y García, 1991).

Sin abandonar los resultados de laepistemología tradicional, hoy es cada vezmás claro el papel que los escenarioshistóricos, culturales e institucionalesdeben desempeñar en una explicación deconocimiento desde la MatemáticaEducativa. Por ejemplo, dentro de la teoríade situaciones didácticas, la introducciónde la noción de contrato didáctico hapermitido incluir el papel del contextoescolar y nos ha permitido abandonar elideal de “pureza científica” en que se basanlas aproximaciones epistemológicastradicionales. En el mismo sentido en lateoría antropológica de lo didáctico se ponede manifiesto el papel de las instituciones;ya que “sitúa la actividad matemática, y enconsecuencia la actividad del estudio enmatemáticas, en el conjunto de actividadeshumanas y de instituciones sociales”(Chevallard, 1997a).

En el marco de las investigaciones que nos

son más cercanas se ha demostrado ladebilidad de la epistemología tradicionalpara la matemática educativa. Por ejemploen Cantoral y Farfán (2003) se concluyelo siguiente con respecto a la investigaciónreportada por Farfán (1997): “En síntesisel tipo de estudio epistemológico querealizamos nos proporcionó la explicaciónque niega, parcialmente, nuestra hipótesisde partida, a saber, si bien es cierto que elconcepto [de convergencia de series]surgió en el ámbito de la determinación delestado estacionario; éste no resultapropicio para recrearse en el aula puesresulta ser mas complejo que aquél quedeseamos introducir. Esto último nos indujoal estudio socioepistemológico en lasdiversas formaciones profesionales denuestro sistema de educación superior” (p.265).

En el contexto señalado anteriormente, enel presente escrito se presenta unaarticulación teórica de la noción de“convención matemática” con laaproximación socioepistemológica enMatemática Educativa. Esta articulaciónserá realizada tomando en cuenta lasnociones teóricas básicas de lasocioepistemología que tratan de darcuenta de “lo social” en la construcción delconocimiento. De esta manera sedefenderá la tesis de que los procesos deconvención matemática son procesossociales de construcción de conocimiento.

2. Aproximación socioepistemológicaen Matemática Educativa

2.1. Panorama global

La presente investigación se enmarcadentro de los esfuerzos de un grupo deinvestigadores mexicanos que se han dado


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a la tarea de caracterizar los procesos deconstrucción social del conocimientomatemático. Algunos de los trabajosrepresentativos de este grupo estánrepresentados por Cantoral y Farfán (2003,2004), Arrieta (2003), Buendía (2003),Buendía y Cordero (en prensa) y Ferrari yFarfán (2004).

Dentro de este grupo partimos del supuestode que los saberes matemáticos son unbien cultural y que son producto de laactividad humana en su práctica demodificar y construir su realidad, tantonatural como social. Trabajamos con lahipótesis del origen social delconocimiento, asumiendo que los procesosde construcción y de creación humana sonprocesos de síntesis1 de los objetos yherramientas culturales presentes en unasociedad o un grupo específico. Desde estepunto de vista los “nuevos” conocimientosserían aquellos que surgen emergentes enlos procesos de síntesis de “viejos”conocimientos.

Así, consideramos que el pensamientomatemático es una forma de pensarparticular que permite al ser humanotransformarse a si mismo y a su realidad.Nuestro interés básico, como matemáticoseducativos, consiste, entonces, encontribuir a entender el desarrollo delpensamiento matemático en situaciónescolar; para que los conocimientosconstruidos en su seno formen parte “viva”de la manera de pensar de las personas;es decir que sean conocimientosfuncionales. Este tipo de conocimientosserían los elementos constituyentes delpensamiento matemático.

De esta manera, nuestros esfuerzos deinvestigación se encaminan a determinar

bajo qué condiciones las personas soncapaces de poner en funcionamiento losconocimientos matemáticos antesituaciones problemáticas que lorequieren. Nuestra apuesta teóricaconsiste en formular la hipótesis de queson las circunstancias de construcción deconocimiento las que determinan/condicionan la emergencia delconocimiento funcional. Es por ello quenuestras investigaciones se inscribendentro de la problemática general quebusca entender las circunstancias en lacuales son llevados a cabo los procesosde construcción de conocimiento.Entender estas circunstancias esinterpretada como la elaboración de unateoría que los describa, explique y predigalos procesos de construcción deconocimiento.

Dentro de la perspectivasocioepistemológica en MatemáticaEducativa se considera que al menoscuatro grandes circunstanciascondicionan/determinan la construccióndel conocimiento matemático en laspersonas: las cognitivas, las didácticas, lassociales y las epistemológicas. Lasdidácticas son aquellas propias de laconformación de los diferentes sistemasdidácticos, las cognitivas son propias delfuncionamiento mental, lasepistemológicas son propias de lanaturaleza y significados del conocimientomatemático y las sociales. Nuestro interéses el estudio sistémico de todas lascircunstancias.

2.2. Nociones teóricas básicas

De acuerdo con Cantoral (2002) lasocioepistemología se plantea el examen

1 En este escrito se entenderá por síntesis o integración al proceso de interrelación de algunas “partes” para conformar

un “todo”. Una propiedad emergente sería aquella presente en el “todo” y no presente en las “partes”.

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del conocimiento situado, aquel queatiende a las circunstancias y escenariosparticulares. El conocimiento en este caso,se asume como el fruto de la interacciónentre la epistemología y factores sociales.Esta consideración general plantea alprograma socioepistemológico problemasteóricos y empíricos para explicar laconstrucción del conocimiento. El principalproblema consiste en llevar a la prácticala postura sistémica para analizar lasinteracciones entre la epistemología delconocimiento, su dimensión sociocultural,los procesos cognitivos que le sonasociados y sus mecanismos de suinstitucionalización vía la enseñanza. Lasolución clásica a este problema es através del establecimiento de unidades deanálisis, cada una de las cuales retiene enforma simple las propiedades significativasde todo el sistema2. En matemáticaeducativa podemos encontrar diversasnociones teóricas que desempeñan estepapel. Por ejemplo, dentro de la metáforadel aprendizaje por adaptación al medio,contenida en la teoría de situacionesdidácticas, las nociones de contratodidáctico y obstáculo epistemológicojuegan este papel en relación al sistemadidáctico. La primera da cuenta de lacomplejidad del sistema didáctico(constituido por el saber, aquél quiénaprende y el quién enseña en un mediodeterminado); ya que el contrato son lascláusulas, mayoritariamente implícitas,que regulan las relaciones entre el profesory el alumno respecto a un conocimientomatemático. Mientras que la segunda dacuenta de las relaciones entre la cognicióny la epistemología; ya que un obstáculoepistemológico es un conocimiento

adecuado para un amplio dominio desituaciones, de ahí su resistencia a serabandonado, que fuera de éste resultainadecuado. Para algunos investigadoresla noción de obstáculo epistemológico esel “corazón” de una situación didáctica; esdecir, motor de la evolución del sistemadidáctico.

A nuestro parecer algunas nocionesacuñadas en la perspectivasocioepistemológica tienen la característicade ser unidades de análisis para explorarel origen social del conocimiento. De entreellas retomamos tres que aparecenfundamentales: actividad humana,resignificación y práctica social.

La noción de actividad humana surge conla intención de contrastar la noción deactividad matemática descrita por laepistemología tradicional (que ofrece unaexplicación del conocimiento a través dela adaptación de una teoría con el materialempírico). De acuerdo con Cordero (2001)las epistemologías basadas en la actividadmatemática explican construcciones através de la manipulación de los objetosmatemáticos, mientras que unaepistemología de la actividad humanaexplicaría el conocimiento en términos deherramientas3 que usa el hombre parahacer matemáticas. Desde este punto devista es posible explicar, por ejemplo, porqué la noción de función fue usada antesde ser un concepto central en la síntesiseuleriana del Cálculo.

La noción de resignificación busca haceruna distinción de origen con respecto a laidea platónica que establece la

El concepto “herramienta” lo utilizaremos según las aproximaciones socioculturales en las cuales se destaca su papel3

crucial como instrumentos mediadores; de esta manera la acción se considera siempre mediada por herramientas (Wertsch, 1993).

2 Hemos tomado ésta caracterización de unidad de análisis de Vigotsky (1996), cuando establece, para su explicaciónde las relaciones entre pensamiento y lenguaje, como tal a la “significación de la palabra”.


Relime200

preexistencia4 de los objetos y procesosmatemáticos y que implica considerar launicidad de sus significados. La noción deresignificación emerge, entonces, comoelemento para dar cuenta de que elconocimiento tiene significados propios,contextos, historia e intención; lo que señalala posibilidad de enriquecer el significado delos conocimientos en el marco de los gruposhumanos. En este marco explicativo esposible plantearse, por ejemplo, resignificarla derivada a través de la linealidad de lospolinomios5 (Rosado, 2004).

La noción de práctica social es quizá la partemedular de la perspectivasocioepistemológica. Se entiende porpráctica social a aquellas accionesintencionales de los grupos humanos paratransformar su realidad social y material. Porejemplo, Arrieta (2003), Buendía (2004),Buendía y Cordero (en prensa) y Ferrari yFarfán (2004) sostienen que son lasprácticas sociales las que generanconocimiento. Respectivamente para estosautores las prácticas generadoras deconocimiento son: las de “modelación”, enel sentido de actividad con la intención decomprender y transformar la naturaleza, esconsiderada como fuente que desarrollaprocesos de matematización, la de“predicción” para la emergencia de loperiódico y la de “multiplicar sumando” parala emergencia de la variación logarítmica.

3. La noción de convenciónmatemática cómo practica social de

integración sistémica deconocimientos

La noción de “convención” usualmente esconsiderada dentro de la cultura escolar

como preestablecida e inmóvil. Se leconcibe como una norma a la que hay queatender. En los procesos de enseñanza yaprendizaje de las matemáticas lasconvenciones ocupan una parte delamplio espectro de aquellos objetos yprocesos matemáticos (comodefiniciones, axiomas y algoritmos) quedentro del funcionamiento didáctico delconocimiento se considera comonecesario ser memorizados porestudiantes y profesores. Dentro de unaperspectiva teórica, la socioepistemología,que busca explicar la construcción deconocimiento situado, aquel que atiendea las circunstancias y escenariossocioculturales particulares, nospreguntamos en qué contribuye el manejoescolar de las convenciones al desarrollodel pensamiento matemático de losestudiantes. Para abordar este problemageneral, nos dimos a la tarea de construirnuestro objeto de estudio relacionado connoción general de convención. Utilizandocomo unidad de análisis la construcciónde significados relacionadas con losexponentes no naturales elaboramos lacaracterización de la noción de“convención matemática”; entendida estacomo un proceso de construcción deconocimiento que posibilita, por ejemplo,establecer la igualdad 20=1.

Para ello, en el plano de la construccióndel conocimiento matemático, utilizamosla noción de convención matemática conla intención de cuestionar la idea de validezuniversal del conocimiento matemático einvitar a preguntarse las condicionessociales de dicha validez convencional. Enprincipio seguimos a Poincaré (La scienceet l’hipothése 1902 Cap. III, tomado dePoincaré 1984, p. 160) cuando al

En si misma esta es idea a-social, debido a que se considera al conocimiento como independiente del ser humano.

En el contexto gráfico-analítico se tiene que la parte lineal de un polinomio P (x) es la recta tangente a su grafica en el punto (0, P(0)).

4

5

201

reflexionar acerca de la geometría noeuclidiana, insiste que tales construccionestienen que ser descritas como<convenciones libres>, es decir; sonprincipios científicos que no son nievidencias, ni generalizacionesexperimentales, ni hipótesis planteadas amanera de conjetura con la intención dese verificación. Al referirse a los axiomasen geometría señala (Las cursivas sonnuestras):

“Los axiomas geométricos no son,por tanto, ni juicios sintéticos a priorini hechos experimentales. Sonconvenciones: nuestra elecciónentre todas las convencionesposibles es guiada por laexperimentación, pero permanecelibre, y sólo responde a la necesidadde evitar cualquier contradicción[…] .Una geometría no puede sermás verdadera que otra; solamentepuede ser más cómoda. ” (Poincaré,1984).

Por nuestro lado la acepción que utilizamospara convención es la que señala aquelloque es conveniente para algún fin específico;entonces una convención matemática esuna conveniencia para las matemáticas(evitar contradicciones o dar unidad, porejemplo). Al respecto el análisisepistemológico del desarrollo del conceptode exponente no natural muestra lapresencia de una manera común de generarsignificados, presente en las distintasformulaciones que se han podido determinar(Martínez, 2003) a lo largo de la historia delas ideas entre los siglos XIV y XVIII. Sepuede resumir que: el significado de losexponentes no naturales es convenido paraposibilitar la construcción de cuerposunificados y coherentes de conocimientomatemático (es decir para la integraciónsistémica de conocimientos). Es por ello quede manera sintética designamos a esa

manera de construir conocimiento con laexpresión: convención matemática. Lasformas o realizaciones de este mecanismopueden ser una definición, un axioma, unainterpretación, o una restricción, entreotras. La elección de la forma depende delos objetivos teóricos específicos.

En el sentido anterior entonces, un procesode convención matemática puede serentendido como un proceso de búsquedade consensos al seno de la comunidad quetrabaja en dar unidad y coherencia a unconjunto de conocimientos. La producciónconsensos es posible debido a que en estacomunidad existe la práctica de integraciónsistémica de los conocimientos; es decirexiste la actividad intencional de relacionardiversos conocimientos y articularlos en untodo coherente e interrelacionado. Por sunaturaleza esta práctica se encuentra enel plano de la teorización matemática,entendiendo por esto a la elaboración deconceptos interrelacionados que intentandescribir, explicar un objeto de estudio, elcuál es, en este caso el sistema deconocimientos aceptados. Este proceso desíntesis conlleva al surgimiento depropiedades emergentes no previstas porlos conocimientos anteriores. Lasconvenciones matemáticas serían unaparte de las propiedades emergentes.

Dos ejemplos en relación a los exponentes,extraídos de la historia de las ideas, serviránpara precisar nuestro planteamiento del“principio de conveniencia” en el quedescansa nuestra caracterización deconvención matemática (primer ejemplo) ysu carácter relativo al conjunto deconocimientos de referencia (segundoejemplo).

Primer ejemplo. Hacia finales del SigloXVI se sabía que las curvas y = kxn (n = 1,2, 3, 4,…), llamadas de índice n, tenían una


Relime202

propiedad que era llamada su “razóncaracterística”. Este conocimiento era partegeneral de la problemática fundamental dela época referente al cálculo de áreasdeterminadas por distintas curvas, tantomecánicas como algebraicas (Bos, 1975),y a los significados que las áreas guardanen contextos de variación6. Tomando comoejemplo la curva y = x2 se decía que tienerazón característica igual a 1/3; ya que sitomamos un punto C arbitrario de la curva(Figura 1) el área de AECBA guarda unaproporción de 1:3 con respecto al área delrectángulo ABCD o lo que el mismo que laproporción entre el área de AECBA y elárea AECDA es de 1:2. En general se sabíade que la razón característica de la curvade índice n es 1/(n +1) para todos losenteros positivos n7.

7

6 Por ejemplo es bien conocida la forma en que Galileo estableció su ley de caída de los cuerpos a través de

entender el área determinada por una gráfica velocidad-tiempo como la distancia recorrida por el cuerpo.

En términos modernos la noción de razón característica se apoya en que ( > 0) )1(:1: 1

0

+=

+∫ nadxx n

a

n

Figura 1. Razón Característica de la curva y = x2

En sus investigaciones acerca de lacuadratura de las curvas John Wallis(Struik, 1986) utilizó lo anterior para hacerel siguiente razonamiento, que en el fondoes una manera de convenir que el índicede debe ser igual a 1/2 con elobjetivo de unificar la noción de razóncaracterística con la noción de índice (aquípresentamos una reconstrucción posibledel razonamiento):

2 xy =

‘Como la curva y = x2 tieneuna razón característica de 1/3, la curva tamb iéndebe poseer una razóncaracterística y debe serigual a 2/3 (baste observarque las áreas debajo deambas curvas secomplementan para formar elrectángulo). Además, comola curva de índice 2 poseerazón característica es desuponer que una curva queposea razón característicatambién posea un índice,entonces ¿Qué índice debetener la curva ? Como2/3=1/(1+1/2) el índice debeser 1/2’

A continuación Wallis afirma (Confrey yDennis, 2000) que el índice apropiado de

debe ser p/q y que su razóncaracterística es 1/(1+p/q); pero al no tenermanera de verificar directamente la razóncaracterística de tales índices, por ejemplode , Wallis retoma el principio deinterpolación el cual afirma que cuando sepuede discernir un patrón de cualquier tipoen una sucesión de ejemplos, uno tiene elderecho de aplicar ese patrón paracualesquiera valores intermedios. En elcaso que interesa, él hace la siguiente tablade razones características conocidas [R(i/j)denota la razón característica,desconocida, de índice i/j]:

2 xy =

2 xy =

q pxy =

3 2xy =

an

203

q/p 0 1 2 3 4 5 6 71 1=1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/82 1=2/2 2/3 2/4 R(3/2) 1/3=2/6 R(5/2) 1/4=2/8 R(7/2)3 1=3/3 3/4 R(2/3) 1/2=3/6 R(4/3) R(5/3) 1/3=3/9 R(7/3)4 1=4/4 4/5 2/3=4/6 R(3/4) 1/2=4/8 R(5/4) R(3/2) R(7/4)5 1=5/5 5/6 R(2/5) R(3/5) R(4/5) 1/2=5/10 R(6/5) R(7/5)6 1=6/6 6/7 3/4=6/8 2/3=6/9 R(2/3) R(5/6) 1/2=6/12 R(7/6)7 1=7/7 7/8 R(2/7) R(3/7) R(4/7) R(5/7) R(6/7) 1/2=7/148 1=8/8 8/9 4/5=8/10 R(3/8) 2/3=8/12 R(5/8) R(3/4) (7/8)9 1=9/9 9/10 R(2/9) 3/4=9/12 R(4/9) R(5/9) R(2/3) R(7/9)

Al aplicar el principio de interpolación sobrela fila 5 se puede conjeturar, por ejemplo,que R(3,5)=5/8 y sobre la columna 3 queR(3,5)=5/8. Razonamiento semejante sepuede hacer sobre la fi la 10 paraestablecer que R(3,5)=10/16 y sobre lacolumna 6 que R(3,5)=10/16.

Segundo ejemplo. Wallis también interpretaa los números negativos como índices8.Define el índice de 1/x como -1, el índice de1/x2 como -2, etc. A continuación el intentadar coherencia a estos índices y a la nociónde razón característica (Confrey y Dennis,2000). En el caso de la curva y = 1/x la razón

característica debe ser 9. 1 = 1=

-1+1 0

8

Wallis aceptó este cociente comorazonable debido a que el área bajo lacurva 1/x diverge; el cual, al parecer, eraun hecho conocido en la época. Lo anteriorpuede ser interpretado como que laproporción entre el área de ABCEFA(Figura 2) y el área del rectángulo ABCDes de 1:0. Cuando la curva esla razón característica debe ser 1/(-2+1)=1/-1. Aquí, la concepción de Wallis sobre la

9

8 Deseamos aclarar que a través de la literatura consultada no fue posible determinar claramente los motivos que tuvo

Wallis para realizar hacer tales definiciones; pero es de suponer que fueron tomadas de las convenciones de los exponentes

que ya se trabajaban en esa época en el contexto algebraico (Martínez, 2003).

Lo que hoy se entiende por fracciones, en la época de Wallis se concebía como proporcionalidad por lo que 1 es 0

(nada) como es a 1.

2/1 xy =

razón difiere de la aritmética moderna denúmeros negativos. Él no utiliza la igualdad1/-1 = -1, más bien él construye unacoherencia entre diversasrepresentaciones; que es en esencia unaconvención matemática. Debido a que elárea sombreada bajo la curvaes más grande que el área bajo la curva1/x, concluye que la razón 1/-1 es mayorque infinito (ratio plusquam infinita).Continúa concluyendo que 1/-2 es inclusomás grande. Esto explica el plural en eltítulo de su tratado Arithmetica Infinitorum,de la cual, la traducción más adecuadasería La Aritmética de los Infinitos.

8

2/1 xy =

E

A B

C

F

E

A B

C

F

D

Figura 2. Razón Característica de la curva y = 1/x


Relime204

Lo anterior motiva a centrar nuestraatención en los procesos de integraciónsistémica de un conjunto de conocimientos.Teóricamente, desde un principio, estabúsqueda de integración, que es unabúsqueda de relaciones, puede tener dossalidas: 1) La ruptura ocasionada por dejara un lado un significado por otro queeventualmente es construido para la tareade integración; es decir cambiar lacentración de significado y 2) Lacontinuidad al conservar un significado enla tarea de integración. Entonces laconvención matemática, en tanto producto,puede ser interpretada como unapropiedad emergente para establecer unarelación de continuidad o de ruptura designificados.

En nuestros ejemplos respecto a lasformulaciones de Wallis, la búsqueda decoherencia entre la noción de índice y derazón característica (en donde la razón/proporción posee significados específicosque difiere de considerarla como número)provoca dos convencionalismos: el índicede como 1/2 y diversos tipos deinfinito representados por 1/0, 1/-1, 1/-2,etc. Esto señala el carácter conveniente yrelativo de la convención matemáticarespecto a la integración de las nocionesde índice y razón característica y lasrepresentaciones algebraicas y gráficas.Hoy en día la convención de considerar alas proporciones 1/0, 1/-1, 1/-2 comodiversos tipos de infinitos no es coherentecon la interpretación numérica de lasproporciones como números.

Lo anterior da cuenta de un “estatusmetamatemático” (la convenciónmatemática) no considerado en otrasinvestigaciones. Citemos, por ejemplo, losdiferente niveles de nociones que YvesChevallard establece en su Teoría de laTransposición Didáctica (Chevallard,1997b) y los argumentos, presentes en los

2 xy =

libros de texto, para establecer la igualdad20=1. De acuerdo a nuestra aproximaciónal aula tales argumentos no son objeto deestudio por lo que no son nocionesmatemáticas, tampoco son reconocidos ydesignados por lo que tampoco sonnociones paramatemáticas y ademásnunca son utilizados en la práctica deninguna de las tareas algebraicas por loque no son nociones protomatemáticas.Dentro de nuestra elaboración teóricaconstruimos la idea de la existencia denociones metamatemáticas, cuandofuncionan como organizadoras de lasnociones protomatemáticas,paramatemáticas y matemáticas.Señalamos que esta organización no esun proceso lógico sino producto de otrasnecesidades; como por ejemplo laorganización teórica de, por ejemplo, ladefinición formal del límite o la funciónunificadora de los exponentes nonaturales.

4. La práctica de integraciónsistémica de los conocimientos:

continuidad y ruptura de significados

Se ha dicho que la convenciónmatemática, en tanto producto, puede serinterpretada como una propiedademergente para establecer una relación decontinuidad o de ruptura de significados.Es por ello que de manera específica laconvención matemática ha resultado útilpara describir y explicar los fenómenos decontinuidad y ruptura de significados en elcontexto escolar. En particularmostraremos aquellos relacionados con eltratamiento escolar de los exponentes yque interpretamos como parte de lapráctica social de integración sistémica deconocimientos.

El discurso matemático escolar tradicionalasume que el significado de los

205

exponentes no naturales es un problema de extensión numérica del exponente en unaexpresión de la forma ax. Esto emana de la concepción moderna de la construcción delos números reales en tanto, también, problema de extensión del tipo:

Naturales cero enteros negativo racionales irracionales.

Lo anterior señala que la vida escolar de los exponentes puede ser descrita a través delos momentos escolares del tratamiento de los exponentes, que son:

MMR: El momento del exponente como multiplicación reiterada.MEC: El momento del exponente cero.MEN: El momento del exponente negativo.MEF: El momento del exponente fraccionario.

El análisis del contenido de los libros revela que la introducción de exponentes no naturales sebasa en la consideración de extensión de las Leyes de los Exponentes para los Naturales (LEN):1) AnAm=An+m, 2) An/Am=An-m con n>m y 3) (An)m=Anm. Más precisamente, los argumentos centran laatención en la estructura operativa de las LEN para construir el significado de los exponentes nonaturales. La Tabla 1 proporciona dos ejemplos del tipo de argumentos utilizados.

Tabla 1. Argumentos en los textos para introducir exponentes no naturales


Libro Argumento para introducir el exponente ceroArgumento para introducir exponentes

no naturales

Wentworth y Smith(1985).Elementos deálgebra.

“Los exponentes fraccionarios (negativos)deben interpretarse de manera tal que aellos se apliquen todas las leyes que seaplican a los exponentes enterospositivos”

nmaa

a nm

n

m

>= − ,

“Para que el símbolo obedezca las leyes

generales de las otras potencias, debe

tenerse: ; o, lo que

es lo mismo, ; y por tanto,

. Así pues,nmnm aaa +=⋅

0a

mmm aaaa ==⋅ +00

mm aaa ⋅=⋅ 10

10 =a

Toda cantidad elevada a la cero es igual a 1”

Rees et al.(1982). Álgebracontemporánea.

Para el caso de los exponentes negativosque se cumpla la ley de los exponentespara la división

Para el caso de los exponentes de la

forma que se cumpla la ley de la

potencia de una potencia.

n

1

“ley de los exponentes para la división:

nmaa

a nm

n

m

>= − ,

Se demostrará más adelante que esta leyse cumple si pero aquí seconsiderará el caso particular cuando .En este caso, se obtiene

nm <

nm = 0aa

a

a nn

n

n

== −

La definición es válida únicamente para el

caso en que n sea un entero positivo por lo

que no tiene sentido; sin embargo,0a

1=n

n

a

ade donde es lógico definir a

como el número 1”.0a

Relime

LEN en que se apoya el argumento

AnAm=An+m An / Am = An-m (An ) m=An m

Cero

A0A

2 = A

2

⇒⇒⇒⇒

A0 = 1

1=A4 / A

4 = A

4- 4 = A

0

⇒⇒⇒⇒

A0 = 1

No hay argumentos

Negativo

A-2

A2 = A

-2+2 = A

0 =1

⇒⇒⇒⇒

A-2

= 1/A2

1/A2 =A

4 / A

6 = A

4- 6 =A

- 2

⇒⇒⇒⇒

1/A2

= A- 2

No hay argumentos

E

XP

ON

EN

TE

Fraccionario

A1/2A1/2 = A1/2+1/2 = A1=A ⇒⇒⇒⇒

(A1/2

)2 = A

⇒⇒⇒⇒

A1/2 = √√√√ A

No hay argumentos

(A1/2

)2 = A

1 = A

⇒⇒⇒⇒

A1/2 = √√√√ A

206

En la Tabla 2 se presenta un resumen de los distintos argumentos, basadas en las LEN,que hemos encontrado en diversos libros de texto.

Tabla 2. Libros de texto y argumentos apoyados en las LEN

Así, desde el punto de vista anterior, elúnico significado posible para losexponentes no naturales es aqueldeterminado por su operatividad comonúmeros y su relación con las LEN. Lossignificados son construidos comoextensión de una función que satisfacealguna de las propiedades: f(x)f(y)=f(x+y),f(x)/f(y)=f(x-y) o (f(x))n=f(xn), en donde sólola primera es capaz de proporcionarargumentos para todos los tipos deexponentes.

Por otra parte, de nuestro estudio congrupo de 18 profesores10 podemosestablecer dos posibles escenariosescolares en torno a las argumentacionespara establecer el significado de losexponentes no naturales:

10 La mayoría de los profesores (16) que contestaron el cuestionario laboran en bachillerato y todos han impartido al

menos un curso de álgebra

Donde todas las igualdades sean tratadas como leyes (“leyes de los exponentes”).

Donde los argumentos tienen un alcanceparcial: 1) Ninguno de los profesores quecontestaron el cuestionario establecióargumentos para las igualdades queinvolucraban exponentes fraccionarios,2) Algunos profesores sóloargumentaban el exponente cero.

La lectura de los argumentos nos muestraque los profesores consideran que lanoción de exponente cero y negativo esuna noción matemática que se puede“demostrar” (a través de algún argumentoque involucra una “ley de los exponentes”),ninguno de los profesores menciona, por

207Los procesos de convención matemática como generadores de conocimiento

ejemplo, que su introducción obedece ala necesidad (en el contexto algebraico)de uniformizar dichas leyes y noestrictamente como consecuencia deellas. Dicho en otras palabras: losprofesores asumen, implícitamente, queel significado de los exponentes cero ynegativo son una noción matemática yno una convención matemática (nociónmetamatemática). Veamos un ejemploque resume todo lo anterior (para másdetalles véase el Anexo B de (Martínez,2000) ):

« La forma de argumentación podría serla siguiente:

1. 23/23 = 2*2*2/2*2*2 = 23/23 = 23 – 3 = 20

=1

2. 23/25 = 2*2*2/2*2*2*2*2 = 23 – 5 = 2 -2=2*2*2/2*2*2*2*2 = 1 / 42-2= 1/22 = 1 / 4

3. 2 1/2 = 2 n/m = m√2n = 2√21 = 2√2

La concepción de que la noción deexponente no natural es una nociónmatemática que se puede “demostrar”también puede explicar la falta deargumentos para establecer una igualdadque involucre los exponentesfraccionarios; ya que “demostrarlas” (enel sentido de usar una “ley de losexponentes” como hace el profesoranterior) requiere suponer su existenciay no deducirla. Aclaremos este punto.Para “demostrar” que 20=1 se utiliza la“ley de los exponentes” para la divisiónde la siguiente manera: 1=22/22=20

entonces 20=1, es decir que su valor sededuce. En cambio para “demostrar”que 21/2=√2 se podría utilizar la “ley de

los exponentes” para la multiplicación de lasiguiente manera: 21/221/2=21=2=(21/2)2

entonces 21/2=√2, es decir que en esteargumento se debe suponer la existencia de21/2, lo cual puede no considerarse unadeducción en el estricto sentido del término.Creemos que esta suposición de existenciaes lo que impide a los profesores dar estosargumentos. Lo anterior también muestraque la igualdad 20=1 no se puede demostrarsino se debe convenir.

Un hecho a resaltar dentro del contextoanterior es que los significados queescolarmente son asociados a los diferentestipos de números no son considerados. Porejemplo, el cero sólo representa al númeroque es el neutro aditivo y ya no aquel querepresenta la “ausencia” o el punto dereferencia. Aquí es donde encontramos laprimera ruptura de los significados; pero elhecho de interés para esta investigaciónconsiste en observar una tendencia a lacontinuidad de los significados ocasionadapor la práctica de la integración sistémicade conocimientos.

El primer ejemplo al respecto lo encontramosen los diversos tipos de razonamientos deestudiantes al momento de ser cuestionadoscon respecto a igualdades que involucranexponentes no naturales. En diversosniveles escolares, pero particularmente enel nivel secundario (alumnos de 12-15 años)y en medio superior (alumnos de 15-18años), podemos encontrar argumentos comolos siguientes (Martínez, 2002, 2003):

Argumento A. 20= 0 ya que ‘el 2 no semultiplica ninguna vez y queda nada’.

Argumento B. 20 = 2 ya ‘el 2 no semultiplica ninguna vez por lo que quedaun 2’.

Relime208

En otras investigaciones (Sierpinska,1994) la concepción anterior, el cero como“nada”, ha sido catalogada como unobstáculo epistemológico en relación a laconstrucción de su significado comoexponente. Nuestro interés aquí consisteen dar cuenta el origen social de estasrespuestas, que descansa en la existenciade una práctica de integración deconocimientos y que se expresa al integrarel significado del exponente comomultiplicación reiterada y el significado delcero como ‘nada’. Al respecto, puedeencontrase en algunos argumentos que sehan encontrado en libros de texto y en lasexplicaciones de profesores en servicio. Enprimera instancia presentamos tresargumentos que intentan rescatar elsignificado de multiplicación reiterada parael caso del exponente cero en relación alsignificado de cero como representante dela «nada» o de la «ausencia”. Al segundoy al tercer argumentos los hemosclasificado como argumentos ad hocdebido a que en realidad ya se sabe que20=1 y se construye un argumentoadecuado para llegar a esto.

Álgebra de Phill ips (1985):«Supongamos que a0 significamultiplicar cero veces a la base a,entonces el producto de a0 por an serámultiplicar a (n+0)-veces [es decir n

veces] y el único número que dejainvariable a un número pormultiplicación es el uno por lo quea0=1».

Un profesor de bachillerato: «Si23=2*2*2*1; 22=2*2*1; 21=2*1; 20=1;el exponente cero indica cuantasveces se multiplica el 2 por la unidad».

Un profesor de bachillerato: «Tenemos que ; ;

; ».

2

222223 ×××

= 2

22222 ××

=

2

2221 ×

= 12

220 ==

En el mismo sentido que el anterior existentratamientos que son la respuesta porconciliar el MMR y otros significados de losnúmeros negativos, como lo es ciertanoción de negatividad como “procesoinverso” y “estar a la izquierda” al momentode reforzar la explicación. Comorepresentantes de esto tenemos:

Curso propedéutico. Física yMatemáticas (Conalep-Sep, 1988)(lossubrayados son nuestros, negritas enel original)

«Los ejemplos anteriores representanpotencias con exponentes positivos:102, 103, 104, etc. Pero ¿qué significauna potencia con exponente negativo?10-2, 10-3, 10-4, etc.

El inverso de un número es el cocientede dividir 1 entre ese número. Elinverso de 84 es 1/84; El inverso de100 es 1/100; 102 es una potencia de10 y el inverso se esta potencia es 1/102.

Esto se puede representar así:Con una base y un exponente: 10-2;

Como un producto: por su

valor efectuado: 01.0100

1=

El signo - (menos) colocado delante del exponente de una potencia representa el inverso de esa

potencia. […]

10

1

10

1×

22

10

110 =−

Un profesor de bachillerato «Segúnentiendo 2 elevado a la potencia 2, seinterpreta como 2*2, 2 elevado a lapotencia 3, se interpreta como 2*2*2,etc., según el documento debemos

209

diseñar una situación en la cual lamultiplicación reiterada no puede sermantenida fuera de los casos 2, 3, 4,... aunque me permito afirmar losiguiente:

El número 2 elevado a la potencia –2,se interpreta como 1/

2* 1/

2, el numero 2

elevado a la potencia –3, se interpretacomo 1/

2* 1/

2* 1/

2, etc., en consecuencia

afirmo que la multiplicación reiteradasi puede ser mantenida fuera de loscasos 2,3,4, .....

Según mi experiencia docente 2elevado a la potencia n, es multiplicar2 n – veces, aquí debemos entenderque estamos multiplicandoreiteradamente la base (2).

Para el caso 2 elevado a la potencia –n,se debe entender que la base ya no esel 2, sino que la base es 1/

2, en

consecuencia se debe ser cuidadosocon las bases cuando se esta usandola multiplicación reiterada, todo loanterior puede ser generalizado paracualesquier base x, con x distinto decero y por tanto creo que si puede sermantenida la multiplicación reiteradafuera de los casos 2, 3,4,...”.

Caso semejante ocurre con los númerosfraccionarios. Un ejemplo al respecto es elsiguiente:

Curso de Álgebra. (Anfossi yMeyer, 1985). “En toda extracciónde raíz de un monomio, debedividirse el exponente de cadaliteral entre el índice de la raíz […].Si el cociente no es un númeroentero, sólo se indica la división, yresulta un exponente fraccionario.[…] Nota: Según se ha visto en(No. 9), un exponente indica elproducto de tantos factores iguales

a la base como unidades tienedicho exponente ¿Tienesignificado análogo un exponentefraccionario? […] En general: an/m

indica el producto de n factoresiguales a a1/m, es decir, unexponente fraccionario tiene unsignificado análogo al delexponente entero”.

5. Algunos procesos de convenciónmatemática.

Dentro de nuestras investigaciones que seencuentran en desarrollo, el primer pasoha sido la búsqueda de procesos deconstrucción de conocimiento que puedanser explicados a través de los elementosconstituyentes de nuestra caracterizacióndel mecanismo de convención matemática.Los primeros ejemplos son extraídos de lahistoria de las ideas, mientras que en lossiguientes ponemos a consideración ladescripción de procesos de construcciónde conocimiento que plantean unaresignificación de diversos contenidosmatemáticos vía la conformación deescenarios en donde está presente la“práctica social” de integración sistémicade conocimientos matemáticos, que es laque posibilita la presencia de procesos deconvención matemática y por ende lageneración de conocimiento.

5.1. El carácter convencional de laemergencia del neutro multiplicativo enla matemática de las variables

Dentro de la tradición euclidiana el productode dos longitudes es interpretada como lasuperficie de un rectángulo construidosobre las dos longitudes que hacen lamultiplicación (Primera definición, Libro II,Elementos de Euclides). A su vez lamultiplicación de tres longitudes puede serinterpretada como el volumen de un prisma


Relime

rectangular construido sobre las treslongitudes que hacen la multiplicación. Yadentro de la tradición euclidiana Diofantoutil izó el producto de hasta cincocantidades; sin embargo estas ideas fueronparte marginal del pensamiento de suépoca, debido seguramente al la falta designificados geométricos. Debido a loanterior, dentro de la tradición euclidiana,el producto de cuatro o más longitudes notenía sentido. ¿Qué hizo posible laconstrucción de la idea de que es posiblemultiplicar más de tres cantidades? Unarespuesta en este sentido puede serentendida como el funcionamiento de unproceso de convención matemática ante lanecesidad de unificar diferentes campos deconocimiento. Los ejemplos que aquí seconsideran son los de la unificación de lasintaxis algebraica de las variables y laconstrucción de la representación graficade las variables.

Hasta donde sabemos el uso de lamultiplicación de más de tres cantidadesaparece con el surgimiento de aparatosimbólico algebraico; lo que en la épocamedieval se conocía como el estudio delas “cosas”. Sin embargo, este tipo deproductos fueron parte marginal de laciencia de la época y no es sino hasta eluso de los sistemas de referencia gráficosque tales productos son parte fundamentalde la matemática11.

11 Baste recordar el papel protagónico que tuvieron las ecuaciones polinomiales, y en particular y = x (p entero positivo),

en la construcción de ideas y métodos del cálculo infinitesimal.

En cuanto al pensamiento algebraico, enMartínez (2003) se ha explicado el procesode convención matemática que estuvopresente en una construcción de lasnociones de exponente no natural (cero ynegativo). Ahí se describe de manera ampliala manera en que Chuquet (s. XIV) utilizó lanoción de exponente cero utilizando elsignificado de “ausencia” que este tiene. Deesta manera Chuquet estableció, pordefinición, el siguiente uso para losexponentes: 22:= 2x2, 21 := 2x, 20 := 2 ya queno tiene ninguna x. El punto de interés dentrodel marco de las sintaxis algebraicasresulta de la consideración de que losconvencionalismos tienen por finalidad elincluir nuevos objetos algebraicos a laestructura operativa conformada por losdiferentes caracteres cósicos12. En cuantoa la multiplicación, la regla de Aurel (s. XVI)se basa en el comportamiento especial delas sucesiones: la relación entre laprogresión aritmética y progresióngeométrica (relación PA-PG)13. Con estemarco de referencia se determinan losconvencionalismos para incluir al númeroen la estructura operativa del conjunto{x, x2, x3, x4, x5,...}, que en la notación deMarco Aurel (Meavilla, 1993) correspondeal conjunto {ϕ, χ, ξ, ζ, ξξ, β, ξζ, bβ, ξξξ,ζζ,...}. De esta manera el número 5 esrepresentado como 5ϕ y es multiplicadocon los demás a través de una nueva tablade caracteres cósicos que tienen la misma

En el lenguaje moderno se puede identificar estos caracteres cósicos con la segunda potencia, la tercera potencia…

de la incógnita.

Es decir, si se coloca la progresión aritmética que representa el número de multiplicaciones de la base y la progresión

geométrica que representa las potencias, se tiene que la adición (resta) en la parte superior (la serie aritmética) corresponde

a la multiplicación (división) de la serie de abajo (geométrica):

A la relación expresada en el enunciado anterior la abreviaremos, en lo sucesivo, como la relación entre la progresión

aritmética y geométrica (relación PA-PG).

12

13

2, 3, 4, 5, 6,

4, 8, 16, 32, 64,

210

p

regla operativa referente a la relación entre la progresión aritmética y geométrica. Loanterior está expresada en los siguientes términos (Meavilla, 1993, p.72) (se conservael español original):

“Y cuando tu querras multiplicar vna dignidad, grado, o carácter con otro, mira lo queesta encima de cada uno y junta lo simplemente, y aquello que verna, mira encima dequal carácter estara: tal diras que procede de tal multiplicacion”.

Así al utilizar la Tabla 3 se pueden hacer, por ejemplo, las multiplicaciones contenidas laTabla 4.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9ϕ χ ξ ζ ξξ β ξζ bβ ξξξ ζζ

Tabla 3. Caracteres cósicos de Aurel y la relación PA-PG

8ξ 23β 2χ 4ϕ

___ ___ 16ζ 92β

13ξξ 50ϕ 2ξξ 6ξ

___ ___ 26ξξξ 300ξ

Tabla 4. Multiplicaciones en la notación de Aurel

El ejemplo de Marco Aurel señala lanecesidad, para incluir a los númerosdentro de la operatividad de los caracterescósicos, de convenir la existencia de unneutro multiplicativo que ahí no esidentificado con el número uno.

En el marco de la representación gráficade las variables algo semejante a loanterior fue construido por Descartes ensu Géométrie (1637). Ahí, por ejemplo, elproducto de dos longitudes aparece comouna longitud y ya no más, según la tradicióneuclidiana, como una superficie. En lainterpretación de Descartes se encuentralo que podríamos llamar la “linealización”de la aritmética (Dhombres, 2000); ya quese establecía la correspondencia queexiste entre longitudes geométricas y

números. La necesidad básica es que lacorrespondencia fuera operatoria, es decirque las operaciones sobre los números (laadición, la sustracción, la multiplicación,la división y la extracción de raíces sonlas operaciones enumeradas porDescartes) correspondan con operacionescon longitudes geométricas(representadas por longitudes en el plano).

Para que esta correspondencia puedaejercerse es necesario que lasoperaciones con los segmentos seacerrada (que el producto de dossegmentos sea otro segmento, porejemplo). La elección de Descartesconsiste en usar la construcción de lacuarta proporcional y la identificación,como convención, de una longitud unitaria


Notación de Aurel

Relime

con el número 1; así el referencial semuestra por la unidad algebraica delcálculo; el elemento neutro de lamultiplicación – como se le llamaría mástarde – proporciona el referencial querequiere la razón (Descartes, 1997/1637):

“Como la Aritmética consiste sólo encuatro o cinco operaciones, a saber,suma, resta, multiplicación, división y laextracción de raíces, que puedeinterpretarse como una especie dedivisión, de manera que, en laGeometría, para encontrar las líneasrequeridas es meramente necesariosumar o restar otras líneas; o de otraforma, tomando una línea que llamareunidad para relacionarla tanto como sepueda a números, y que, en general,puede escogerse arbitrariamente, yhabiendo dado dos líneas más,encontrar una cuarta que será a una delas líneas dadas como la otra es a launidad (que es lo mismo que lamultiplicación) […] Por ejemplo, tómeseAB como unidad, y sea requerida paramultiplicar BD por BC. Sólo tengo queunir los puntos A y C, y trazar DEparalela a CA; entonces BE es elproducto de BD y BC”. (p. 13).

B A

C

E

D

Es interesante señalar el papel de la unidadcuando los números fueron consideradoscomo fundamentales en las matemáticas.Euler por ejemplo, en sus Elements ofAlgebra (1984 /1770) sentencia:

“4. Entonces la determinación, o lamedida de todos los tipos de magnitud,se reduce a lo siguiente: se fija a placeruna cantidad conocida de la mismaespecie que se busca determinar y seconsidera a esta como la medida

(measure) o unidad (unit); entonces sedetermina la proporción de la magnitudpropuesta con esta medida. Estaproporción siempre puede serrepresentada por números, y losnúmeros no son otra cosa que laproporción de una magnitudarbitrariamente asumida como unidad”(p. 2).

5.2. Unificación del cálculo segúnLeibniz

Es significativo hacer una somera revisiónde los avances de Leibniz para unificar elcálculo diferencial e integral. La ideacentral está basada en la observación dealgunas analogías con respecto a losoperadores d y ∫ y las reglas operativasde los exponentes al convenir lainterpretación de la integral como ladiferencia menos uno.

En una carta dirigida a L´Hospital en 1695(Leibniz, 1971) se expresa de la siguientemanera en relación al libro de L´Hospital(traducción libre del francés original): “Labase del Método de Diferencias de suescrito, produce, Monsieur, virtualmente elMétodo de las Sumas, ya que en efectoyo no distingo los dos cálculos. De estamanera su escrito será una introduccióna ambos cálculos en donde uno seconsidera el recíproco del otro”. La ideaen que se basó Leibniz fue precisamenteen la operatividad del álgebra de laspotencias de las variables. Así, porejemplo, él notó la similitud del desarrollodel binomio a la n-ésima potencia con elcálculo de de n-ésima diferencial delproducto de dos variables (Leibniz, 1971),conocida en nuestros días como eldesarrollo de Leibniz, que se muestra enla Tabla 5.

212

yxp +0 ypxp 00 . 1

yxp +1 yxppyxpp 0110 .1.1 + xy 11 +

yxp +2 yxppyxppyxpp021120 .1.2.1 ++ 22 121 xxyy ++

yxp +3 yxppyxppyxppyxpp 03122130 .1.3.3.1 +++ 3223 1331 xyxxyy +++

xyd0 ydxd 00 . xy

xyd1 yxddyxdd 0110 .1.1 + ydxxdy 11 +

xyd2 yxddyxddyxdd 021120 .1.2.1 ++ ddxydxdyxddy ++ 21

xyd3 yxddyxddyxddyxdd 03122130 .1.3.3.1 +++ xydddxdydxddyyxd 33 1331 +++

Tabla 5. Analogía n-ésima diferencial del producto vs. n-ésima potencia de la suma

A partir de esta analogía uso el binomio de Newton para establecer la siguiente serieque ya había sido construida, por otras técnicas, por él y Bernoullí (series universalissima)

(Leibniz, 1971):

Ya que de otra forma esta carta quedaría incompleta, ahora haré algunosseñalamientos sobre la analogía entre las potencias y las diferencias,por ejemplo,

etc. =

etc. De este modo

etc.

Ahora en lugar de la letra x ponemos dx y en vez se d-.. … d-.. ponemos f.. tenemosque:

etc.

4

3

31 11

x

y

x

yy

xx

y

xyxyxp −+−=

+=+−

ypxpypxpypxpypxp 34231201 .... −−−− −+−

ydxdydxdydxdydxdxydxy 342312011 .... −−−−− −+−==∫

∫

∫

∫∫∫∫∫ −+−=3

22 xydxydxdyyxydx

Es útil señalar, que si bien la interpretación anterior no es adecuada desde el punto devista de los operadores univaluados (entendidos estos como funciones que toma porargumentos otras funciones) debido a que la integral indefinida de una función es unafamilia de funciones, ésta fue usada para explorar problemas (y por tanto puede serconsiderado un conocimiento funcional), como por ejemplo en la solución de ecuacionesdiferenciales. Tomemos el caso de la ecuación diferencial . Utilizando lanotación con operadores la ecuación queda como . Ahora “despejando” y“desarrollando” en serie de potencias tenemos que:

2' xyy =+2)1( xyD =+

22)...)(1()(1

1 224322 +−=−+−+−=+

= xxxDDDDxD

y

La cuál es efectivamente una solución14.

14 Queda claro que la limitante de este método es aquel relativo la convergencia de series de funciones.


Relime

5.3. Orden y operatividad de númerosnegativos vía la variación

Dentro de la organización axiomática de lasmatemáticas la operatividad de losnúmeros queda establecida a través de losaxiomas de campo. A partir de esosaxiomas y algunas definiciones es posibledemostrar, por ejemplo, que oque . Estaperspectiva es producto de laaritmetización de las matemáticas; es decirconsiderar la axiomatización de losnúmeros reales para fundamentar las

( )( )a b ab− − =

( / ) ( / ) ( ) /( )a b c d ad bc bd+ = +

matemáticas.

Desde la perspectiva de construcción deconocimiento que aquí se presenta cabepreguntarse cómo es posible construir laoperatividad de los números. Está reflexiónnos ha llevado a construir hipótesis deconstrucción de conocimiento en relacióna procesos de convención matemática yotras nociones como la de variación. Alrespecto tenemos el siguiente marco queplantea la posibilidad de unaresignificación del orden y operatividad denúmeros con signo a través de la variación.

Orden: ¿Por qué -3>-4?• 4>3• Se desea que la relación de orden de los números se cumpla cuando se resta en cada miembro de la relación.• 4-7>3-7• Entonces se debe convenir que -3>-4

Operatividad: ¿Por qué -3(-2)=6?• y = 15-2(x)• Evaluando construimos una tabla para tomando x = 1,2,3,4,5

x 1 2 3 4 5y 13 11 9 7 5

•Notando que ∆x=1 y ∆y=2 , es posible continuar la tabla sin evaluar de la siguiente manera:

x -2 -1 0 1 2y 19 17 15 13 11

•Sustituyendo en la fórmula los valores encontrados por la variación tenemos: 19 = 15 -2(-3) -3(-2)=6.•Para que la variación se conserve es necesario convenir que -3(-2)=6.

5.4. Construcción de las convenciones de los exponentes vía la variación

•¿Por qué ?••Evaluando construimos una tabla para tomando

02 1= 2 ny =

1, 2,3,4, 5n =

214

n 1 2 3 4 5y 2 4 8 16 32

•Notando que ∆x=1 y yfinal

/ yinicial

= 2, es posible continuar la tabla sin evaluar de la siguiente manera:

x -2 -1 0 1 2y 1/4 1/2 1 2 4

•Sustituyendo en la fórmula los valores encontrados por la variación tenemos que 20=1.•Para que la variación se conserve es necesario convenir que 20=1.

6. A manera de conclusión

En este escrito se ha proporcionado unaarticulación de la noción de convenciónmatemática, en tanto proceso deconstrucción de conocimiento, con laaproximación socioepistemológica enMatemática Educativa. Se ha explicado elorigen de este proceso a través de lapráctica social de integración sistémica deconocimientos. Por su naturaleza estapráctica se encuentra en el plano de lateorización matemática, entendiendo poresto a la elaboración de conceptosinterrelacionados que intentan describir yexplicar un objeto de estudio, el cuál es,en este caso el sistema de conocimientosaceptados. En particular se ha descrito unmecanismo que construye los significadosy funcionalidad de los convencionalismosrelativos a los exponentes y se hanpresentado otros ejemplos que danevidencias del funcionamiento del procesocomo constituyente en la construcción deconocimiento matemático. Con respecto aéstos últimos citemos, por ejemplo, laidentificación cartesiana de la unidad demedida con el neutro multiplicativo con elobjetivo de “linealizar” las operacionesentre magnitudes geométricas.

De esta manera, en este artículo seproporcionan evidencias que dan cuentade un “estatus metamatemático” (laconvención matemática) no consideradoen otras investigaciones. Al respectorecordemos, por ejemplo, nuestraafirmación de que la igualdad 20=1 no sepuede demostrar sino se debe convenir.Así, nuestra investigación muestra lapresencia de conocimientos, dentro de lamatemática escolar, que poseen lacomplejidad propia de tal estatus y que esla fuente de diversos fenómenos en losniveles cognitivo (concepciones deestudiantes y profesores), didáctico(diversas explicaciones en clase y en librosde texto) y epistemológico (ejemplos deconstrucción de conocimiento). Es por elloque la investigación contribuye alentendimiento del funcionamiento delconocimiento matemático desde laperspectiva socioepistemológica.

Como vimos en este artículo, nuestroanálisis socioepistemológico produce ideaspara la conformación de escenarios deresignificación de algunos contenidosmatemáticos y por tanto proporciona


Relime

elementos para el rediseño del discursomatemático escolar. Los ejemplos aquípresentados, referentes a la variación, sonmuestra de ellos y señalan el camino de

investigaciones futuras que busquenindagar aspectos convencionalespresentes en la construcción deconocimiento matemático.

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Dr. Gustavo MartínezCentro de Investigación en Matemática EducativaFacultad de MatemáticasUniversidad Autónoma de GuerreroMéxico

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