longitud de arco usando integrales

SUPERFICIES DE REVOLUCINTema 16.5 * 2 BCT

Matemticas 2 Bachillerato C.T.

SUPERFICIES DE REVOLUCINREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIN

Imaginemos un arco de la curva expresada de forma explcita y = f(x). La hacemos girar alrededor del eje de abscisas entre x=a y x=b. Se habr generado un cuerpo de revolucin ( puede ser un cilindro, un cono, un tronco de cono, una esfera, un baln de rugby, o miles ms de todas las formas imaginables ).

El rea de la superficie as generada por la curva y = f(x) definida en un intervalo [a, b], al girar en torno del eje OX se calcula con la formula: b brea = 2.. y.(1+(y)2 )dx = 2.. f(x). (1+ [ f (x) ] 2 ) dx a a cuyos pasos para resolver la integral son los mismos que para el clculo de reas, sin ms que hallar y =f(x)=dy/dx y elevarla al cuadrado previamente.


EJEMPLO_1Hallar el rea de la curva:y= xEntre los puntos A(0,0) y B(4,2) El rea generada ser: 4 A = 2.. f(x). (1+ [ f (x) ] 2 ) dx 0 y = 1 / 2.x 4 A = 2.. x. [ 1 + (1 / 2.x)2 ]. dx = 0 4 4= 2.. x. [ 1 + 1 / 4x ]. dx = 2.. [ x + 1 / 4 ]. dx ; 0 0 4,25 4,25 Cambio: x+0,25 = t ; dx = dt 2.. t . dt = 2..(2/3).[ t3/2 ] = 36,177 0,25 0,25 y= x 0 1 2 3 4 x2-2


EJEMPLO_2Hallar el rea de la curva:y= x2Entre los puntos A(0,0) y B(2,4) El rea generada ser: 2 A = 2.. f(x). (1+ [ f (x) ] 2 ) dx ,, y= 2x 0 2 2 A = 2.. x2 [ 1 + (2x)2 ]. dx = 2.. x2 . (1 + 4.x2 ) dx = 0 0 y= x2 0 1 2 x4


EJEMPLO_3Hallar el rea engendrada por la rotacin entorno al eje X de la curva:9.y2 = x.(3 x)2

y2 = (1/9).x. (3 x)2 Corta en x= 0 y en x = 3y= (1/3). x. (3 x)Consideramos la rama positiva.y = (1/3). (1 / 2x). (3 x) + (1/3).x. ( 1) 3 x x(y )2 = (--------- -------)2 6x 3 El rea ser: 3 (3 x)2 x 3 x A = 2. (1/3). x. (3 x). [ 1 + ---------- + ------- ---------- ]. dx = 0 36.x 9 9 3 36.x + 9 6x + x2 + 4.x2 12.x + 4x2 = 2. (1/3). x. (3 x). [ ------------------------------------------------ ]. dx 0 36.x


3 9.x2 + 18.x + 9 = 2. (1/3). x. (3 x). [ -------------------- ]. dx 0 36.x 3 x2 + 2x + 1 = 2. (1/3). x. (3 x). [ ---------------- ]. dx 0 4.x 3 (x + 1) = 2. (1/3). x. (3 x). ------------. dx 0 2. x 3 = 2. (1/6). (3 x). (x + 1). dx 0 3 = 2. (1/6). (3 x). (x + 1). dx 0 3 3 = 2. (1/6). (2.x + 3 x2 ) dx = 2..(1/6).[ x2 + 3x (1/3).x3 ] = 3. u2 0 00 1 2 3


LONGITUD DE UN ARCOLONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EN EL PLANO

Sea una curva (funcin) expresada en forma explcita: y = f(x).Si la funcin, en lugar de representar una curva, representara a una lnea recta, la longitud del segmento AB sera:|AB| = [(x2 x1)2 + (y2 y1)2 ], como se vi en cursos pasados.Donde A(x1 y1) y B(x2 y2)Se fundamentaba en que la medida del segmento AB era hipotenusa del tringulo rectngulo cuyos catetos eran los incrementos de las variables:|AB| = [ (x)2 + (y)2 ]

Pues bien, en el caso de curvas en el plano, la longitud del arco se halla de forma muy similar. En lugar de los incrementos utilizamos las diferenciales, dx y dy: b b dy Longitud AB = L = [(dx)2 + (dy)2 ] = [ 1 + (------)2 ]. dx a a dx

Siendo a= xa y b=xb ; y sabiendo que f (x) = dy / dx.


EJEMPLO_1Hallar la longitud de la curva:y= xEntre los puntos A(1,1) y B(4,2) La longitud ser: 4 dy L = [ 1 + (------)2 ]. dx 1 dxComo dy / dx = y y = 1 / 2.x 4 L = [ 1 + (1 / 2.x)2 ]. dx = 1 4 4= [ 1 + 1 / 4x ]. dx = [ x + lnx] = 1 1

= (4 + 0,25.ln4)(1+0,25.ln1)= 3+0,25.1,3862 = 3,3466y= x 0 1 2 3 4 X21


EJEMPLO_2Hallar la longitud de la curva:y= x2Entre los puntos A(-1,1) y B(2,4) La longitud ser: 2 dy L = [ 1 + (------)2 ]. dx -1 dxComo dy / dx = y y = 2x 2 L = [ 1 + (2x)2 ]. dx = -1 2 2= [ 1 + 4x2 ]. dx = [ x + 4. x3 / 3 ] = -1 -1

= (2 + 4.8/3)(-1-4.1/3)= 38/3 + 7/3 = 45/3 = 15 Mal ?????-2 -1 0 1 2 X41y= x2


EJEMPLO_2Hallar la longitud de la curva: x2 y2 ----- + ------ = 1 , para valores de y positivos, entre los puntos x= -2 y x=4 25 16

Operando: 16.x2 + 25.y2 = 400 y = (400 16.x2) / 5 = (4/5). (25 x2) y = dy / dx = - 4.x / 5. (25 x2) La longitud ser: 4 dy L = [ 1 + (------)2 ]. dx -2 dx 4 L = [ 1 + [- 4.x / 5. (25 x2)]2 ]. dx = -2 4 = [ 1 + 16x2 / (625 25.x2 ) = -2 4 = [ (625 9.x2 ) / (625 25.x2 ) = -2

4-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X


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