Lgica de Primer Orden

Ref. Cap VIIhttp://www.massey.ac.nz/~mjjohnso/notes/59302/l07.html

Lgica de Primer OrdenLa lgica proposicional slo puede representar hechos acerca del mundo.La lgica de primer orden describe un mundo que consta de objetos y propiedades (o predicados) de esos objetos.Entre los objetos, se verifican varias relaciones p.ej. Progenitor(Marcos, Jos).Una funcin es una relacin en la cual slo hay un valor para un input dado.EjemplosObjetos: gente, casas, nmeros, planetas,...Relaciones: progenitor, hermano-de, mayor-que,...Propiedades: rojo, pequeo, primo,...Funciones: padre-de, uno-ms-que

Lgica de Primer OrdenEjemplos:Uno ms uno igual a dos."Cuadrados vecinos del Wumpus son malolientes."La lgica de primer orden es universal porque puede expresar cualquier cosa que pueda ser programada.

Syntaxis y semntica

La lgica de primer orden tiene sentencias como lgica proposicional y, adems, tiene trminos, que representan objetos. Para construr trminos se usan smbolos constantes, variables y funciones, y cuantificadores y smbolos predicado son usados para construr sentencias.

Lgica de Primer Orden: BNF

:= | | ,... | | ()

:= (,...) | =

:= (,...) | |

:=^ | | | => := | := Martin | 59302 | Gato | X | ... := a | x | s | ... := Previo | Gusta | Llueve | Falla | ... := Padre | Cabellode | 10043nota | ...

Lgica de Primer OrdenSmbolos constantes: A, B, C, 1, Juan,... Cada smbolo constante nombra a exactamente un objeto en el mundo, no todos los objetos necesitan tener nombres y algunos pueden tener ms de un nombre.Smbolos predicado: Vecino, Hermano,...Un smbolo predicado se refiere a una relacin particular en el modelo. Por ejemplo, Hermano ; dado que Hermano es un smbolo de relacin binaria, la relacin a que se refiere debe ser tambin binaria, es decir, debe darse o fallar entre pares de objetos.Smbolos de funcin: Coseno, Padrede, PiernaIzquierdadeUna relacin funcional relaciona un objeto a exactamente otro nico objeto. El ltimo elemento en la tupla es el valor de la funcin para los otros elementos. ej. Oficinade(Mara,bas1.240)

Lgica de Primer OrdenTrminosUn trmino es una expresin lgica que se refiere a un objeto. Los smbolos constantes son trminos. Los trminos tambin se pueden construr a partir de smbolos de funciones y smbolos de constantes, ej., Padrede(Juan).La semntica formal de los trminos es la siguiente: Una interpretacin especifica una relacin funcional referida por el smbolo funcion y objetos referidos por los smbolos constantes. En consecuencia, un trmino funcin se refiere a el objeto n+1 en una tupla cuyos primeros n elementos son aquellos referidos por los argumentos de la funcin.Sentencias atmicasUna sentencia atmica est formada por un smbolo predicado seguido por una lista entre parntesis de trminos, por ejemplo, Hermano(Roberto,Juan) indica que el objeto referido por Roberto es el hermano del objeto referido por Juan.

Lgica de Primer OrdenLas sentencias atmicas pueden tener argumentos que son trminos complejos: Casado(Padrede(Roberto),Madrede(Juan))Sentencias complejasPodemos usar conectores lgicos para construr sentencias ms complejas. La semntica de stas es la misma usada en lgica proposicional. EjemplosHermano(Roberto,Juan) Hermano(Juan,Roberto) es verdad en el caso en que Juan es hermano de Roberto y Roberto es hermano de Juan.Mayor(Juan,30) Menor(Juan,30) es verdad cuando Juan es mayor de 30 o es menor que 30.

Lgica de Primer OrdenCuantificadoresNos permiten expresar propiedades de colecciones de objetos.Hay dos cuantificadores en lgica de primer orden: universal y existencial.

Cuantificacin universal ()Usando esta cuantificacin podemos decir cosas tal como, Todos los hamsters son mamferos."

x Hamster(x) Mamifero(x)En consecuencia, una sentencia x (x) es verdad en un modelo solo si es verdad para todos los objetos en el modelo.

Lgica de Primer OrdenNotar la diferencia entrex Hamster(x)Mamifero(x) y x Hamster(x)Mamifero(x)Las afirmaciones universales son verdad si son verdad para cada individuo en el mundo. Se pueden pensar como una conjuncin infinita.Cuantificacin existencialRealiza afirmaciones acerca de al menos algn objeto. Para decir, por ejemplo que Mancha tiene una hermana que es un hamster, escribimosx Hermana(x,mancha) Hamster(x)x P es verdad si P es verdad para algn objeto en el mundo. Se puede pensar como una disyuncin infinita.Cuantificadores anidadosSe pueden realizar afirmaciones muy complejas si se anidan cuantificadores.

Lgica de Primer OrdenSin mezclar tipos de cuantificadores, podemos decir cosas comox,y Progenitor(x,y) Hijo(y,x)Tambin podemos mezclar cuantificadores,xy Buenopara(x,y) Todos somos buenos para alguna cosa"Conexiones entre y Hay una ntima conexin entre los dos cuantificadores. Para ver esto, considerar la sentenciax Gusta(x,LideresDecepcionantes)Para todo x, x no gusta de los lderes decepcionantes."Otra forma de decir esto es, No existe un x que guste de los lderes decepcionantes. x Gusta(x,LideresDecepcionantes)Esto es verdad en general porque es una conjuncin sobre todos los objetos y es una disyuncin sobre todos los objetos.

Lgica de Primer Orden De hecho, todo lo siguiente tambin es verdadx P x P PQ (PQ)x P xP (PQ) P Qx P x P P Q (P Q)x P x P P Q (P Q)IgualdadCon frecuencia el smbolo de igualdad se incluye como un smbolo especial. Esto se debe a que la nocin de igualdad es muy importante en nuestro modo de pensar. Con este smbolo, podemos escribir cosas como Padre(Juan)=Jose, con el objeto de afirmar que el objeto que es padre de Juan es el mismo que el objeto Jos. Igualdad puede ser pensada como un smbolo de relacin binaria ordinaria, as la interpre-tacin de = es un conjunto de pares.

Lgica de Primer OrdenLa igualdad puede ser usada para decir que hay dos o ms individuos con una propiedad particularx,y Hermana(Mancha,x) Hermana(Mancha,y) (x=y)Hay un x y un y que son hermanas de Mancha y no son el mismo individuo."El smbolo de igualdad tambin puede ser usado para restringir el nmero de objetos que tienen cierta propiedad, por ejemplo,x,y P(x) P(y) x=yTodo par de objetos con la propiedad P son iguales." Esta afirmacin los restringe a ser un objeto con la propiedad P.Con frecuencia se usa la forma reducida ! x Rey(x) que significax Rey(x) y Rey(y) x=y

Lgica de Primer OrdenEn la representacin del conocimiento, un dominio es una seccin del mundo acerca del cual deseamos expresar algn conocimiento. Un ejemplo simple y muy conocido del uso de LPO para codificar dominios es el dominio de relaciones familiares.Axiomas, Definiciones y TeoremasLos axiomas capturan los hechos bsicos acerca de un dominio. Los axiomas son luego usados para probar teoremas.

Haciendo preguntas y obteniendo respuestasPara agregar sentencias a la base de conocimiento, llamamos a TELL, por ej., TELL(KB, m,c Madre(c)=m Hembra(m) Progenitor(m,c))TELL se usa para axiomas(como aqu arriba) y hechos especficos acerca de una situacin particular comoTELL(KB,(Hembra(Maxi)Progenitor(Maxi,Mancha)Progenitor(Mancha,Boots)))

Lgica de Primer OrdenCon el agregado de estos hechos podemos

ASK(KB,Abuela(Maxi,Boots))

Y recibir respuesto si/no. Tambin podemos hacer preguntas para obtener informacin adicional en las respuestas, como

ASK(KB, x hijo(x,Mancha)).

Aqu no solo queremos la respuesta si/no, querramos conocer el trmino x que denota objetos en el dominio. En general, para un query con variables existencialmente cuantificadas, queremos conocer las particularizaciones de dichas variables. Entonces, ASK retorna una lista de particularizaciones, ej., {x/boots}.

Agentes lgicos para el mundo de Wumpus

Agente reflejo. Meramente clasifica sus percepciones y acta de acuerdo a dicha clasificacin.Agente basado en modelo. Construye una representacin interna del mundo y la usa para actuar.Agente basado en objetivos. Forma objetivos y trata de alcanzarlos

Agentes lgicos para el mundo de Wumpus

El primer paso es definir la interface entre el agente y el mundo. La secuencia de percepcin debe contener las percepciones y el momento en que ocurrieron. Usaremos enteros para las etapas temporales, asi una tpica sentencia de percepcin seraPercepcion([Hedor,Brisa,Brillo,Nada,Nada],5)La accin del agente debe ser una de:Girar(Derecha), Girar(Izquierda), Avanzar, Disparar, Tomar, Liberar, TreparPara determinar cul es la mejor accin, creamos un query tal como Accion(a,5). Si hemos presentado las cosas de manera correcta, este query retornar una lista de particularizac. tal como {a/Tomar}.

Clculo de situacin es el nombre dado a un modo particular de describir cambio en LPO. Concibe al mundo como una secuencia de situaciones, cada una de las cuales es un instante en el estado del mundo. Las situaciones son generadas a partir de situaciones previas por medio de acciones.Cada relacin cuya verdad pueda cambiar con el tiempo, es manejada dndole un argumento extra de situacin al correspondiente smbolo de predicado. Por convencin, ubicamos el argumento de situacin siempre al final. As, en vez de En(Agente,Ubicacion), deberemos tener En(Agente,[1,1],S0) En(Agente,[1,2],S1).Las relaciones o propiedade que no cambian con el tiempo no necesitan el argumento extra, ej., ParedEn([0,1]).Clculo de situacin

Clculo de situacin