LÓGICA09 de mayo de 2008

I.     RAZONEMOS UN POCOII.    DEFINICIÓN DE LA LÓGICAIII.   LÓGICA PROPOSICIONALIV.   FORMALIZACIÓNV.    LA DEDUCCIÓNVI.   LÓGICA DE PRIMER ORDEN Y PERSPECTIVAS ACTUALES EN LA LÓGICA SIMBÓLICAVII.  DIRECCIONES DE INTERÉSVIII. BIBLIOGRAFÍA

 

«-Sospecho que intentas desanimarme. Puesto que los conozco, me parece difícil creer que cualquiera de los dos sea el asesino, aunque he intentado dejar a un lado mis opiniones subjetivas y ceñirme a la lógica. Anoche, antes de dormirme, hice una lista con todos los...-No hay nada mejor que la lógica para combatir el insomnio. Se parece a...-no concluí la frase.» (Dashiell Hammett. El hombre delgado)

«-Me asombra, Holmes -señalé mientras me alejaba de la ventana soleada, ya sin esperanzas-. ¡Conque un filósofo matemático! No tenía la menor idea de que sus intereses incluyeran este tipo de cosas. Yo mismo le he oído muchas veces referirse a ellas como sandeces sin sentid.-El siglo veinte es una nueva era -dijo Holmes-. Nuevas ideas surgen de las mejores mentes de esta época y nuestros científicos y filósofos de Cambridge están a la cabeza. ¿No ha oído usted hablar de la escisión del átomo por un individuo llamado Rutherford? Y Russell, junto con su compañero Whitehead, ha publicado recientemente un trabajo en el que han escindido, por así decirlo, algo mucho más difícil: nuestro sistema numérico en pequeñas partículas de pura lógica. Han consumido unas doscientas páginas antes de llegar al número uno» (Randall Collins. DR. J.H. Watson. El caso del anillo de los filósofos)

«-(Bebiendo cerveza)¡Por la lógica!, el origen y la solución de todos nuestros problemas» (Homer Simpson. En el texto original dice "por la cerveza", pero creo que también suscribiría esto.)

RAZONEMOS UN POCO¿Crees que un hombre puede casarse con la hermana de su viuda?Tomando las siguientes premisas intenten vuesas mercedes resolver estos enigmas lógicos:   

       a) Los caballeros siempre dicen la verdad

       b) Los escuderos siempre mienten

     Primer caso: Hay dos individuos, A y B, cada uno de los cuales es caballero o escudero. A dice :"Uno al menos de nosotros es escudero". ¿Qué son A y B?Segundo caso: Supóngase que A dice ," O yo soy escudero o B es un caballero". ¿Qué son A y B?Tercer caso: Supóngase que A dice "yo soy escudero, pero B no lo es". ¿Qué son A y B?Cuarto caso: Ahora tenemos a tres personas, A, B, C, cada una de las cuales es caballero o escudero. A y B dicen lo siguiente:

                        A: Todos nosotros somos escuderos                                 

                        B: Uno de nosotros, y sólo uno es un caballero

                   ¿Qué son A, B y C ?

 

    La situación ha cambiado, ahora el malvado rey del país de la lógica propone un nuevo juego donde te la juegas de verdad. Te colocarán en una habitación donde hay dos puertas con unos letreros, en dichas puertas puede haber o una dama (las chicas pueden, si lo prefieren, cambiar la dama por un guapo mozetón) o un tigre. Salvar la vida o ir de juerga depende de tu capacidad lógica para leer e interpretar correctamente los carteles de las puertas.

                                            Prueba Nº 1

Puerta I

En esta habitación hay una dama, y en la otra un tigre

 

 

Puerta II

En una de estas habitaciones hay

una dama, y en una de estas habitaciones hay un tigre

 

      -¿Es verdad lo que dicen los letreros? - preguntaste-Uno de ellos dice la verdad -te contestó el rey-, pero el otro no.

    ¿Qué puerta debes abrirás suponiendo, por supuesto, que prefieras a la dama, o al apuesto galán?

Prueba Nº 2

Puerta I

Al menos en una de estas habitaciones hay una dama

 

Puerta II

Hay un tigre en la otra habitación

 

     -¿Es verdad lo que dicen los letreros?-O bien los dos dicen la verdad, o bien los dos mienten.

(Estos y otros divertimentos lógicos los podéis encontrar en los libros de Smullyan citados en la bibliografía)

DEFINICIÓN DE LÓGICA

Siguiendo a Alfredo Deaño[1] la lógica es la «ciencia que estudia la validez formal de las inferencias». Para comprender esta definición necesitamos entender qué es una inferencia y qué se entiende por ‘validez formal’.

     Inferencia. Una inferencia es, de forma intuitiva, un razonamiento o una argumentación. Lo característico de esta forma pensamiento es que en él pasamos de un conjunto de afirmaciones a las que denominamos premisas a otra afirmación a la que llamamos conclusión.

     La validez de un razonamiento es independiente de la verdad o falsedad de sus premisas. Lo fundamental es comprender que para que un razonamiento sea válido (formalmente válido), no puede darse el caso que si sus premisas son verdaderas, la conclusión sea falsa.

La lógica únicamente se preocupa de los esquemas de razonamiento, y para eso, la lógica toma la forma de una ciencia deductiva. Como en cualquier otra ciencia, la lógica es un sistema de enunciados, con la peculiaridad, en este caso, de que los enunciados se encuentran deductivamente ligados formando un cálculo o un sistema de cálculo.

          Un sistema de cálculo se compone de los siguientes elementos:

1.      Un conjunto de elementos primitivos (símbolos elementales) que constituyen las herramientas básicas con las que se construye el sistema.

2.     Un conjunto de reglas (reglas de formación) Mediante estas reglas podemos realizar las combinaciones correctas de símbolos elementales. Gracias a este conjunto de reglas podemos determinar cuando una expresión pertenece al sistema de cálculo. Aquellas expresiones que estén bien construidas pertenecerán al sistema.

3.     Un conjunto de reglas de transformación que nos permiten transformar una expresión bien construida de símbolos en otra expresión que estará también bien construida.

Todo sistema de cálculo se tiene un carácter autárquico, esto quiere decir que son sistemas que sólo refieren a sí mismos y no tienen nada que ver con el mundo real o con algo ajeno a ellos.

 LÓGICA DE PROPOSICIONES

La base del cálculo lógico son los enunciados o proposiciones. El sistema de cálculo divide el lenguaje en dos elementos básicos:

    Oraciones

    Conjunciones, elementos del sistema que sirven para enlazar oraciones simples y formar oraciones compuestas

Así que lo que tenemos es por un lado oraciones, y por otro, elementos que nos permiten formar estructuras más complejas a partir de la unión de oraciones.

Lo característico de la Lógica de Proposiciones es que no analiza el interior de éstas, su análisis, lo que es relevante desde el punto de vista lógico de la lógica de proposiciones es la oración tomada como un todo, sin adentrarnos en los elementos que las componen. En otros términos también se dice que la lógica de proposiciones sólo está interesada en la forma de las oraciones. Veamos un ejemplo:

 Si Ulises fue el rey de ÍtacaY Homero no dice que el rey de Ítaca fue el responsable de la caída de TroyaEntonces, Ulises fue el responsable de la caída de Troya

    Desde un punto de vista lógico la forma lógica de este razonamiento sería:

Si…, y…, entonces…

 Para poder expresar inferencias si tener que comprometerse con un contenido concreto, esto es, buscando exclusivamente la forma lógica de la inferencia, en lógica se van a usar unos signos a los que se denominan ‘variables’, y dado la lógica de proposiciones sólo se ocupa de enunciados, estas variables serán variables enunciativas o proposicionales. Las variables proposicionales son signos, previamente especificados del sistema, que hacen las veces u ocupan el lugar de un enunciado en una inferencia. Los signos que sustituyen a los enunciados en el sistema de cálculo lógico se forman con las últimas letras del abecedario, a partir de la letra ‘p’.

 ‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, ‘t’, ‘u’, ‘v’, ‘x’, ‘y’, ‘z’ son todas variables enunciativas.

 Valores de verdad

     Toda variable puede tener dos valores de verdad, o dicho de otra manera, en el sistema lógico que vamos a estudiar, toda oración tiene dos valores de verdad; o es verdadera o es falsa. Para expresar la verdad o falsedad de una oración vamos a utilizar la siguiente convención:

‘1’ significará que la oración es verdadera y ‘0’ que la oración es falsa

          De modo que una oración ‘p’ podrá tener sólo dos valores de verdad, y eso lo expresamos de la siguiente manera:

p1

0

 Si en lugar de una variable tomamos dos ‘p’ y ‘q’ y combinamos sus valores de verdad posibles obtendremos la siguiente tabla:

p  q   1   1

1   0

0   1

0   0

 Si tuviésemos tres variables, entonces tendríamos ocho posibilidades:

 

 

En general, dado un número n  de variables, o de enunciados, el número de combinaciones posibles de sus valores de verdad sería 2n

    

 

 

 

 

Además de los signos que nos permiten identificar enunciados, existen un segundo tipo de signos que posibilitan la formación de estructuras más complejas mediante conexiones entre oraciones simples.

 Las conextivas

 a) El Negador (¬)

 Dado un enunciado p, podemos formar su negación superponiendo en el parte superior izquierda de la variable el signo de la negación: ¬p que se leerá ‘no p’. Su tabla de verdad es:

p  ¬p1    0

0    1

 b) El conjuntor ()

La unión de dos letras enunciativas mediante le símbolo de la conjunción permite construir enunciados moleculares (enunciados cuyos componentes son enunciados). Si tenemos dos variables enunciativas ‘p’ y ‘q’ podemos formar la oración ‘p ^ q’. Para construir la tabla de verdad de una conjunción hay que tener en cuenta que la conjunción es verdadera sólo cuando son verdaderas las variables que la componen.

p   q    r 1     1    1

1     1    0

1     0    1

1     0    0

0     1    1

0     1    0

0     0    1

0     0    0

p q p q1 1 11 0 00 1 00 0 0

 La forma lógica de un enunciado como ‘voy a casa y veré la película’ será:

p q

Donde ‘p’ es la letra enunciativa de la oración “voy a casa” y ‘q’ es la letra enunciativa que se corresponde con la oración “veré la película”.

 c). El disyuntor .

El símbolo lógico de la disyunción es «» y se puede traducir, aunque de una forma parcial e incompleta, con la partícula del lenguaje natural «o». También se le denomina como el símbolo de la suma lógica.

Podemos entonces construir una disyunción a partir de dos variables enunciativas de la siguiente forma: pq

Con respecto a su valor de verdad, una disyunción es verdadera cuando al menos una de las proposiciones (variables enunciativas) lo es, y también, por supuesto, cuando ambas lo son.

Veamos la tabla de verdad de la oración “vienes o te quedas”

p q pq1 1 11 0 10 1 10 0 0

 d) El implicador o condicional.

El símbolo «» es la formalización de la partícula del lenguaje ordinario «si…, entonces…» La expresión que se sitúa a la izquierda del símbolo lógico se le denomina antecedente y a la expresión que queda a la derecha consecuente. Una implicación será verdadera siempre que no se dé el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso; y falsa cuando sea ese el caso. Dicho de otra forma: sólo hay un caso en el que una implicación será falsa, y es cuando siendo su antecedente verdadero, el consecuente es falso. Veamos su tabla de verdad

p q pq

1 1 11 0 00 1 10 0 1

El caso 3 podría parecer extraño. Podíamos pensar que si el antecedente de una implicación es falso y el consecuente verdadero, la implicación no sería ni verdadera ni falsa, o que fuese falsa. Pero tenemos que recordar que estamos ante una lógica bivalente y esto implica que toda enunciado debe tener un valor de verdad. Por otro lado, lo que se quiere decir en ese caso es que el antecedente es una condición suficiente para determinar el valor de verdad de la implicación, pero no una condición necesaria. Es decir, el consecuente podría ser verdadero por otras razones que no aparecen implicadas en el condicional

 f) El coimplicador o bicondicional.

 El signo lógico que se corresponde con el bicondicional es «». Mediante este signo, que se correspondería con la expresión “si y sólo si”, lo que queremos decir es que el antecedente es una condición suficiente y necesaria para que se de el consecuente. Pero si el antecedente es una condición necesaria y suficiente para que se dé el consecuente, entonces, si el consecuente se ha dado, también podemos inferir el consecuente.

Con respecto a su valor de verdad, un bicondicional es verdadero siempre que a) cuando son verdaderos tanto el antecedente como el consecuente; o b) cuando ambos son falsos.

p q pq1 1 11 0 00 1 00 0 1

Veamos la tabla de verdad de todos los signos lógicos

p q ¬p pq pq pq pq1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 00 1 1 0 1 1 00 0 1 0 0 1 1

Podemos ahora empezar a realizar tablas de verdad de expresiones más complejas.

[(pq)t](pt)

Paso 1: asignar valores de verdad a las variables enunciativas

 

Hay que tener en cuenta que tenemos tres variables, y especialmente importante hacer bien la asignación de

los valores de verdad al comienzo de

Paso 2: leer bien la fórmula y determinar que tipo de fórmula es. Vemos que se trata de un condicional, por lo que comenzaremos a realizar la asignación de valores al antecedente. Pero oh! Cielos, resulta que es una fórmula compuesta. Ante todo mucha calma, sólo tenemos que descomponerlo en una fórmula más simple.

 

La fórmula a la que tenemos que asignar valores es una conjunción, por lo que tendremos que recordar las condiciones que hacía verdadera a una conjunción.

 

 

Paso 3: Terminamos de completar la asignación de valores al antecedente de la fórmula principal. Para ello tenemos que componer la fórmula.

 

La nueva fórmula es una disyunción. Ahora tendremos que recordar las condiciones que hace verdadera a una disyunción. Hay que tener en cuenta que debemos de comparar los valores de las columnas 3 y 4.

 

 

p q t1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0

p q t pq1 1 1 11 1 0 11 0 1 01 0 0 00 1 1 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

p q t pq (pq)t1 1 1 1 11 1 0 1 11 0 1 0 11 0 0 0 00 1 1 0 10 1 0 0 00 0 1 0 10 0 0 0 0

Paso 4: Ya tenemos resuelto el antecedente, ahora pasamos a leer el consecuente de la fórmula principal. De nuevo se trata de una fórmula molecular, en este caso una disyunción, pues nada a asignar los valores a la disyunción

 

Ahora tenemos que comparar los valores de las columnas 1 y 3

 

 

Paso 5: Una vez que tenemos asignados los valores al antecedente y al consecuente, podemos asignar los valores de verdad al condicional. Recordemos las condiciones que hacen verdadero y falso a un condicional.

 

Para la asignación de valores tenemos que tener cuidado al comparar las columnas, en este caso 5 y 6, y

hacerlo en el orden adecuado.

 

 

En función de sus valores de verdad las expresiones que pertenecen al cálculo lógico se dividen en:

Tautologías: En la expresiones tautológicas la última columna sólo contiene valores de verdad verdaderos (1).Contradicciones: En este caso en la última columna sólo encontramos valores de verdad falsos (0)Expresiones consistentes: Fórmulas que se caracterizan porque al desarrollar su tabla de verdad, en la última columna encontramos valores de verdad verdaderos y falsos.

Noción de fórmula.

p q t pq (pq)t pt1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 11 0 1 0 1 11 0 0 0 0 10 1 1 0 1 10 1 0 0 0 00 0 1 0 1 10 0 0 0 0 0

p q t pq (pq)t pt [(pq)t] (pt)1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 1 1 11 0 1 0 1 1 11 0 0 0 0 1 10 1 1 0 1 1 10 1 0 0 0 0 10 0 1 0 1 1 10 0 0 0 0 0 1

Para definir qué es una fórmula o una expresión bien formada del cálculo es necesario definir previamente la noción de 'fórmula' o fórmula atómica. En el cálculo de la lógica proposicional (para una lógica de nivel superior sería necesario introducir nuevas cláusulas) una fórmula atómica se forma con una variable enunciativa, por ejemplo: p, q, p1, w2. Para componer fórmulas más complejas se siguen las siguientes reglas de formación:

R1: Una fórmula atómica es una fórmulaR2: Si A es una fórmula, entonces ¬A también lo esR3: Si A y B son fórmulas, entonces A B, A B, AB y A B son fórmulas 

Intentemos ahora hacer las siguientes tablas de verdad

[(p q) r] (p r)

(p q) (¬p q)

[(p q) (r ¬p)] [p (q r)]

[p ¬(q r) q] ¬p

FORMALIZACIÓN

Formalizar enunciados del lenguaje natural consiste en operar sobre nuestro lenguaje ordinario sustituyendo los signos que nos permiten enlazar enunciados del lenguaje por los símbolos correspondientes del lenguaje lógico. Para realizar estas operaciones hay que seguir un cierto procedimiento. En primer lugar hay que tener en cuenta que estamos en una lógica que sólo se ocupa de proposiciones, esto es, que trata a las oraciones como un todo. Por eso, al traducir el lenguaje cotidiano al lenguaje de la lógica (formalización), debemos sustituir cada oración por una variable enunciativa. En segundo lugar, aplicaremos las conectivas, los símbolos lógicos, a las letras enunciativas considerando el siguiente esquema de traducción:

símbolo lógico lenguaje natural

Para realizar la tabla de la última fórmula hay que tener en cuenta que lo que aparece negado en el consecuente del antecedente es una fórmula entera. En estos casos, lo que haremos será habilitar una columna para realizar elvalor de la fórmula como si no estuviese negada, y, posteriormente, en otra columna, invertir sus valores de verdad

'y', 'ni', 'pero', 'que

'o', 'o...o' 'bien...bien'

¬ 'no'

'si...entonces', '...luego...', '... en consecuencia','... se deduce de' 

Para ayudarnos en los trabajos de formalización también se recurre al uso e paréntesis, corchetes y otros signos no lógicos. En general, para realizar ejercicios de formalización seguiremos los siguientes pasos:

1. localizar las conectivas2. indicar las proposiciones que están unidas mediante los

juntores o signos lógicos3. adjudicar las variables enunciativas a las proposiciones,

teniendo en cuenta que a las proposiciones con el mismo significado deberá corresponderle la misma letra enunciativa.

4. unirlas mediante los símbolos lógicos

La formalización y la utilización de tablas de verdad nos permiten conocer cuando un inferencia está bien planteada, o bien diseñada, y a la vez, conocer las circunstancias (lógicas) que harán verdadera o falsa a la oración. En este sentido, se consideró que la lógica sería un instrumento para la clarificación o para la limpieza del lenguaje cotidiano. Veamos algunos ejemplos:

si hoy llueve, entonces, iré al cine

1º Localizar las conectivas

si hoy llueve, entonces, iré al cine

2º Señalar las proposiciones que aparecen unidas mediante los juntores.

Si hoy llueve, entonces, iré al cine

'si hoy llueve' --> 'p''iré al cine' --> 'q'

Mediante la formalización podemos ver cuál es la forma lógica de la proposición: 'P q'

En la formalización es conveniente hacer uso de los paréntesis. En general, los paréntesis se usan para delimitar el alcance de un juntor. Toda fórmula encerrada en un paréntesis y precedida de un juntor se ve afectada por el juntor. Veamos algunos ejemplos:

Si llegas después de las ocho y media te encontrrás la puerta cerrada y no podrás entrar al centro.                                                                       p (q ¬t) 

Formalización de Argumentos

Para formalizar argumentos hay que tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. Localizar los juntores2. Señalar las proposiciones que unen los juntores3. Asignar una variable enunciativa a cada una de las oraciones,

teniendo en cuenta que se tienen que asignar las mismas letras a aquellas oraciones que tengan igual contenido

4. No formalizar formalizar expresiones del leguaje natural como frases hechas, introducciones retóricas a los argumentos, exclamaciones, etc.

5. La conclusión de un argumento viene precedida por expresiones del tipo 'en conclusión...', 'consecuentemente...', ¡por tanto...' y similares. Para simbolizar la conclusión de un argumento se usa el símbolo de la deducción

LA DEDUCCIÓN

Para expresar los esquemas de las fórmulas vamos a recurrir al uso de metavariables (X, Y, Z), esto es, variables de variables. Las metavatiables hacen las veces de las variables enunciativas, de forma que pueden ser sustituidas por cualesquiera expresiones compuestas de variables de enunciado. Así la expresión 'X Y' puede ser sustituida por:                                                              p qo por:                                                     (p q) (r s)

Reglas del cálculo

Existirá una regla para introducir una conectiva y otra regla para su eliminación.

Regla Esquema de Fórmula Abreviación

Introducción del conjuntor     X   Y ______  X Y

I. C.

 

Eliminación de la conjunción 

 X Y    X Y         ______  _____             X            Y 

E. C.

Introducción del disyuntor

X             XY             Y______  ______  X Y      Y X

I. D.

Eliminación de la disyunción

X Y      X Y¬X           ¬Y______   ______Y              X

E. D.

Eliminación de la disyunciónpor casos

    X Y     X

     Z     Y

      Z______     Z 

E. D. cas.

Introducción del condicional

    X

    Y______X Y

I. Con.

Modus Ponens

X    YX______Y

M. P.

Modus Tolens

X    Y¬Y______¬X

M. T.

Doble negación¬¬X______X

D.N.

Salvo en las deducciones axiomáticas, los esquemas de inferencia tendrán la siguiente forma:

Todas las líneas irán numeradas en el margen izquierdoLas líneas que actúen como premisas deberán ser indicadas. Para ello irán precedidas de un guión '-'. Así una expresión como '1    - p (q ¬t)' querrá decir que en la línea 1 tenemos esa premisa.Cada vez que construyamos una nueva fórmula, en el margen derecho habrá que escribir, de forma abreviada, el nombre de la regla de deducción que usemos y los números de las líneas que intervengan. Por ejemplo:

        1     -p        2      p q  I.D. 1

Este esquema quiere decir que en la línea 2 hemos construido una disyunción y que para ello hemos usado la regla de Introducción de la Disyunción y la hemos aplicado sobre la línea 1

La forma tradicional de presentar un argumento es exponer primero las premisas y finalmente la conclusión. Recurriendo a nuestras metavariables un argumento tendrá esta estructura

1. -X2.  Yn. Z

 

En las línea 1 y 2  tendríamos las premisas (recordad que X puede ser sustituida por cualquier fórmula que pertenezca al cálculo lógico) y en la línea n tendríamos la conclusión. La deducción consiste en aplicar sobre las premisas las reglas del cálculo para transformar las fórmulas en una que sea formalmente idéntica a la conclusión.Tanto las premisas como las reglas de inferencia se conocen como supuestos iniciales de la deducción, pero existe un segundo tipo de supuestos que se conocen como supuestos provisionales, que sirven momentáneamente de apoyo a la deducción pero que tendremos que una vez usados no pueden volver a utilizarse en la deducción (veremos más tarde el uso de estos supuestos provisionales).

Podemos decir ahora que una deducción formal es una secuencia finita de fórmulas tales que cada una de ellas es un supuesto inicial, o un supuesto provisional, o una

fórmula que se deriva lógicamente de otras anteriores por inferencia inmediata.

El proceso de la demostración

Distintas estrategias para realizar las demostraciones

Caso Uno: estrategia genérica. Antes de iniciar el proceso de deducción hay que leer con detenimiento tanto las fórmulas que

constituyen las premisas de la demostración como la conclusión a la que debemos llegar. Ahora se nos presentan dos posibilidades:a) que la conclusión que buscamos forme parte de una fórmula molecular. En este caso la fórmula que buscamos estará encajada en alguna de las premisas. La tarea consistirá en despejar la fórmula que queremos que deseamos y liberarla del resto de componentes de la expresión. En el siguiente argumento podemos ver como tenemos una premisa en la línea 1 y a partir de ella tenemos que deducir 'q'                   

1. -(pq) ¬t2.  pq           E.D.1          3.  q               E.D.2

 

Si nos fijamos bien la conclusión aparece en la premisa 1pero incrustada en una fórmula principal un conjuntor y unasegunda fórmula que también resulta ser una conjunción. Porla aplicación de E.D en 1 hacemos una primera liberación. Como la fórmula resultante es también una conjunción, uno decuyos miembros es la fórmula que buscamos, pues volvemos a repetir la operación en la línea 2. El resultado es q que erala fórmula que buscábamos

  

b) la segunda posibilidad es que la fórmula que buscamos no aparezca en ninguna de las premisas. En esta caso, tendremos que componer la fórmula obteniendo sus componentes de las premisas y demás líneas que aparezcan en la demostración. En este ejemplo la conclusión a la que deberemos llegar es 't w'

 

1. - r t2. - ¬r          3.     t          E.D.1,24.     t w    I.D.3

 

En este caso la fórmula que buscamos no aparece como tal en laspremisas, pero si podemos a partir de ellas construir la fórmula.Como sabemos que la conclusión es una disyunción, entonces lo quelo que debemos hacer es introducir la disyunción, y para ello sólonecesitamos uno de los miembros de la disyunción, en este caso 't'.Una vez que t está libre, entonces podremos unirlo a otra fórmula,'w' mediante I.D. y construir de la fórmula que buscábamos

  

En los casos a los que hace referencia la opción b) habrá que tener en cuenta lo siguiente:

Esquema de fórmula de la conclusión  Tener en cuenta que

necesitamos un sólo miembro de la disyunción

necesitamos los dos miembros para formar la conjunción

se introduce como un supuesto provisional el antecedente del condicional y se deduce el consecuente. Una vez que se ha hecho esto, cerramos el supuesto y por I.Con. obtenemos la fórmula que buscábamos

El siguiente caso es un ejemplo de aplicación de un supuesto provisional:La conclusión a la que debemos llegar es: p (p q)

1.  – q ¬p2.      p3.      q          E.D.1,24.      p q    I.C. 2,3  5.      p (p q) I.C. 2-4

Como lo que debemos deducir es un condicional, como estrategia general debemos introducir provisionalmente su antecedente, tal y como se ha hecho aquí en la línea 2. Una vez que hemos obtenido la fórmula que compone el consecuente del condicional, cerraremos el supuesto provisional e introduciremos el consecuente. 

Nota Importante: siempre que se introduce un supuesto provisional hay que hacer lo siguiente: 1º cerrar siempre el supuesto; una deducción no puede nunca quedar con supuestos abiertos. 2º Cuando se ha cerrado un supuesto, las fórmulas que aparecen en él no pueden volver a ser utilizadas en la deducción

Caso 2: Reducción al absurdo.Esta es una forma indirecta de resolver un ejercicio de deducción. La idea con la que aquí se juega es que si partimos de la negación de aquello que queremos demostrar y en el proceso de la deducción encontramos una contradicción, entonces el supuesto del que partíamos es falso, y dado que ese supuesto estaba negado, al volver a negarlo lo que hacemos es afirmarlo. ¡Que lío!. No desesperes vamos a ver un ejemplo. Cómo aún no hemos visto algunas reglas que necesitaremos vamos a recurrir al uso de metavariables.

Y    Z

¬Z Y           E.C.1 Y ¬Y   I.C. 2,3 ¬¬Z       R.abs.3-5

            D.N. 6

En la línea 2 hemos introducido un supuesto provisional:la negación de la concusión. Lo que hacemos a continuación es buscar una contradicción, esto es, formar una conjunción con dos fórmulas idénticas donde una está negada. En la línea 6 tenemos la negación del supuesto del que partíamos; y en 7 por la ley de doble negación obtenemos la fórmula que buscamos

Caso 3: Deducción axiomática.

Las deducciones axiomáticas son aquellas en la que no existen premisas, tan sólo tenemos la conclusión a la que queremos llegar. En estos casos la fórmula final estará formada por una serie de expresiones enlazadas mediante condicionales. La estrategia será la de introducir como supuestos provisionales los antecedentes de los condicionales. Estos quedan convertidos en "premisas" de la deducción, y el consecuente último que nos quede será la "conclusión" a la que tendremos que llegar una vez que cerremos los supuestos abiertos.

Y) (YZ)] (X Z)

Y) (Y Z)

Y

Z) Y) (YZ)] (X Z)

En este caso no tenemos premisas, por lo que pasamos a descomponer la fórmula suponiendo los antecedentes de los condicionales que

encontramos. El primer antecedente es (X Y) (Y Z). Como la fórmula que nos queda es otro condicional, pasamos entonces a suponer su

antecedente que es X. Ahora Z se queda como la conclusión que debemos obtener. Es muy importante introducir los supuestos de forma ordenada para que puedan cerrarse correctamente. En la línea

7 el planteamiento es: dado que en 2 supuse X y he deducido Z ,entonces por I.Con. puedo pasar a X Z  Y en 8 el planteamiento es similar: como en 1 supuse (X Y) (Y Z) y he deducido X Zentonces puedo pasar a afirmar [(X Y) (Y Z)] (X Z) (Los [] se usan para facilitar la lectura de la expresión)

 Reglas derivadas de inferencia

Con el fin de que no os asustéis más de lo que ya lo estáis, vamos a ver unas pocas leyes de redefinición de unas expresiones por otras. Se trata de leyes muy útiles, sobre todo si queremos iniciar una estrategia de deducción basada en la Reducción al absurdo

Regla Esquema de Fórmula Abreviación

Redefinición del condicional 

¬(X Y_____  X ¬Y

 

Redf.

Redefinición de la conjunción(Ley de De Morga)

¬(X Y)_____¬X ¬Y

 

Redf.

Redefinición de la disyunción(Ley de De Morga)

¬(X Y)_____¬X ¬Y

Redf.

 

A partir de ahora, con la inestimable ayuda de tu nunca lo suficientemente valorado profesor, podrás iniciarte en los procelosos caminos de la lógica. Todo lo que tienes que hacer es asistir a clase, hacer los ejercicios y preguntar todas las dudas que tengas.

En el manual de Alfredo Deaño hay una gran cantidad de ejercicios resueltos. Una parte importante de ellos los resolveremos en clase.

LÓGICA DE PRIMER ORDEN Y PERSPECTIVAS ACTUALES EN LA LÓGICA SIMBÓLICA

 

Lógica cuantificacional.

 Hay argumentos que pueden ser formalizados y resueltos mediante los mecanismos que nos proporciona la lógica de enunciados. sin embargo, existen otros muchos enunciados, que aún siendo elementales no pueden ser resueltos por la lógica de enunciados. Por ejemplo:

            - Todo griego es europeo

            - Todo ateniense es griego

            ________________________

            -  Todo ateniense es europeo

 Este argumento es formalmente válido, sin embargo, las estructuras lógicas que lo justifican no son las que se utilizan en la lógica de enunciados, y esto lo podemos observar porque si asignamos una letra proposicional a cada uno de los enunciados, la formulación resultante no resultaría convincente:

            -p, q r

 Por que no hay ninguna ley de la lógica proposicional que permita concluir ' r' partiendo de las premisas 'p' y 'q'. Esto sucede porque la forma lógica de este argumento no puede ser captada con los medios de la lógica de enunciados. Para captar la forma lógica de estos argumentos es necesario penetrar en la estructura interna de los predicados. Así, en el caso anterior, la pieza clave de la estructura que justifica su validez la forman las palabras "todo" y "algún". Estos

términos rebasan el ámbito de la lógica de enunciados.La Lógica Cuantificacional o Lógica de Predicados, a diferencia de la lógica proposicional, se interna en las proposiciones y las examina por dentro. Esto no quiere decir que la lógica cuantificacional abandone la lógica proposicional. La lógica no puede considerarse como un conjunto de cálculos desperdigados o un conjunto de cálculos superpuestos unos encima de otros de forma que unos sean la negación de los demás. La lógica es más bien una acumulación organizada de cálculos donde cada uno de los cuales supone la integración de los anteriores en un sistema más amplio.

El análisis de la lógica cuantificacional descubre en los enunciados dos cosas fundamentales:

Expresiones que se refieren a individuoExpresiones que refieren a propiedadesExpresiones que atribuyen propiedades a individuos.[Cuantificadores]

Cuantificador universal

Se presenta mediante un condicional, ya que todo enunciado universal expresa una conexión entre dos predicados, de tal forma, que todos los sujetos del  primero son sujetos del segundo. Así, si decimos "Todas las personas normales son aburridas" lo representaríamos del modo siguiente:

x (Px Qx)

Donde:

‘P’ representa la propiedad de ‘ser una persona normal’

‘R’ representa la propiedad de ‘ser aburrida’

‘x’ es una variable que representa a los sujetos sobre los que se predica la propiedad.

La expresión anterior se leería: Para todo x, si x es una persona normal, entonces x es una persona aburrida.

Cuantificador existencial

 Está ligado a la conjunción en un sentido y a la disyunción en otro. El particularizador se expresa mediante una conjunción porque lo que afirmamos mediante él es que hay ciertos individuos que a la posesión de una cierta propiedad unen la posesión de otra. lo que se expresa es la coincidencia de predicados . Así, si decimos : "Algunos vampiros son hemofílicos" lo formalizamos del siguiente modo:

 x (Px Qx)

 Mediante esta formalización, lo que se quiere decir es que si, el universo de los vampiros está formado por cuatro elementos: {a, b, c, d }, entonces, 'a' es un vampiro y es hemofílico, o bien lo es 'b', o 'c' o lo es 'd'; o lo que es lo mismo, estamos presentando la siguiente disyunción (Pa Qa) (Pb Qb) (Pc Qc) (Pd Qd)

 El cuantificador existencial recibe su nombre porque al usarlo estamos afirmando la existencia de algo. Nos comprometemos a admitir que en el mundo se dan determinadas entidades.(Vampiros ¡ uhh!).

Cuantificadores numéricos

 Mediante la relación de identidad podemos ampliar el radio expresivo del lenguaje simbólico de la lógica. Si mediante el cuantificador universal podemos afirmar que todos los individuos de un determinado conjunto poseen una determinada propiedad, y mediante el cuantificador existencial afirmamos que sólo un determinado número de individuos poseen un propiedad, mediante la relación de igualdad y con la ayuda de los cuantificadores podemos expresar formalmente enunciados como:

 

1)    Hay al menos un individuo que pose la propiedad P

   x Px

2)   Hay al menos dos individuos que poseen la propiedad P

   xy (Px Py) (x y)

3)Hay a lo sumo un individuo que posee la propiedad P

   xy (Px Py) (x = y)

4)   Hay a lo sumo dos individuos que poseen la propiedad P

    xyz (Px Py Pz) [ (x = y) (y = z) (x = z)]

5)    Hay exactamente un individuo que tiene la propiedad P

(xPx) (xy) [(Px Py) (x = y)

Lógica de Relaciones

 Tal y como señala De Morgan la lógica tradicional  es incapaz de resolver argumentos como el siguiente:

 "Todo caballo es animal. Por lo tanto, toda cabeza de caballo es la cabeza de un animal". Realmente, si intentamos resolver este razonamiento mediante la  lógica cuantificacional veremos que esto no es posible. La clave está en que tanto la expresión "cabeza de caballo" como la expresión "cabeza de animal" no son predicados absolutos, sino dos combinaciones de predicados relativos (El mismo en cada una de ellas) con un predicado absoluto (Distinto en cada una).

 La lógica simbólica ha hecho dos interpretaciones de la lógica de relaciones, así, ante la oración: "Pepe es menchevique" podemos interpretarla de dos modos distintos: o bien como un enunciado que expresa que un cierto individuo posee una cierta propiedad, o bien, como la aserción de que el individuo pertenece a una clase dada. Según la interpretación que se de a la frase, esta tomará la forma lógica de ' Pa ' o ‘a A’

Adoptando los términos clásicos de intensión e intensión cabría decir que cada clase es la extensión de un predicado, en la medida en que reúne a todos los individuos de los que ese predicado es verdadero, o bien, que los predicados son clases vistas en su intensión, en la medida en que sabiendo lo que significa un predicado, sabemos lo que significa pertenecer a la clase correspondiente.

La lógica y el lenguaje cotidiano

 Tomemos en consideración los siguientes razonamientos:

 

            A)  - Clotilde es guapa

                  - Te vas a casar con Clotilde

                 _____________________________

                Por lo tanto, te vas a casar con alguien guapo

 

            B)   - Alguien es guapo

                   - Te vas  a casar con alguien

                  _____________________________

                   Por lo tanto te vas a casar con alguien guapo

 

¿Por qué el primero de los silogismos es correcto y el segundo no?. Para un lógico la diferencia reside en la forma lógica de los enunciados. Este caso se resolvería con una notación lógica especial. Ahora bien, es posible formalizar todo el lenguaje natural?. Este intento de relacionar los lenguajes naturales y los lenguajes formales presupone dos principios básicos:

      1º.-  No existe una diferenciación entre el lenguaje natural y el lenguaje formal, y por lo tanto, podemos construir lenguajes formales cuyas propiedades sean similares a las que presentan los lenguajes naturales.

2º.-  Es posible desarrollar un lenguaje formal lo suficientemente rico y completo como para que posea características análogas a las lenguas naturales.

 

Como consecuencia de estos principios podemos extraer la conclusión de que si es posible concebir la semántica de las lenguas naturales en términos de lógica formal. Ahora bien, esto nos obliga a introducir mecanismos adicionales para relacionar la semántica con la sintaxis de la lengua natural que se considere. En última instancia se tiende a considerar que el aparato estándar de la lógica clásica es demasiado estrecho para poder abarcar ciertas construcciones lingüísticas concretas o bien que la lógica clásica no consigue dar soluciones satisfactorias a ciertos problemas que se derivan de  teorías de la física actual.

Lógica Difusa

 Una gran parte del discurso informal se nos presenta en gran medida como un discurso vago, poco definido si lo comparamos con la exactitud del lenguaje formal, y surge por ello la necesidad de si la lógica debería de tener en cuenta este hecho, y de ser así cómo. En el lenguaje natural existen numerosas ocasiones en las que las oraciones se nos presentan vagamente definidas, nos dan un discurso difuso que muchas veces necesitará del contexto para que puedan ser significativas, sin embargo, estas oraciones desempeñan un papel importante en la argumentación.

Estos enunciados difusos presentan ciertas dificultades para la aplicación del aparato lógico estándar y esta situación nos lleva a

idear algún sistema lógico formal alternativo que se aplique a estos enunciados.

Este tipo de lógica llamada Lógica difusa fue propuesta por Zadeh sobre la base de una teoría no estándar de conjuntos. Mientras que en la teoría clásica de conjuntos un objeto pertenece o no pertenece a un conjunto dado, en la teoría difusa de conjuntos la pertenencia es una cuestión de grados. El grado de pertenencia a un conjunto vago se presenta por medio de un número real comprendido entre 0 y 1, donde 0 denota nula pertenencia y 1 pertenencia completa.

Ahora bien, la lógica difusa de conjuntos puede utilizarse para caracterizar semánticamente a la lógica no estándar o lógica divergente . Así, como valores de letras oracionales tendremos, en lugar de los valores clásicos, un número indeterminado -en principio- de valores del intervalo (0 1).

Aplicaciones de la lógica difusa

Un tipo de lógica que reconoce más que simples valores verdaderos y falsos. Con lógica difusa, las proposiciones pueden ser representadas con grados de veracidad o falsedad. Por ejemplo, la sentencia "hoy es un día soleado", puede ser 100% verdad si no hay nubes, 80% verdad si hay pocas nubes, 50% verdad si existe neblina y 0% si llueve todo el día.

La Lógica Difusa ha sido probada para ser particularmente útil en sistemas expertos y otras aplicaciones de inteligencia artificial. Es también utilizada en algunos correctores de voz para sugerir una lista de probables palabras a reemplazar en una mal dicha. La Lógica Difusa, que hoy en día se encuentra en constante evolución, nació en los años 60 como la lógica del razonamiento aproximado, y en ese sentido podía considerarse una extensión de la Lógica Multivaluada. La Lógica Difusa actualmente está relacionada y fundamentada en la teoría de los Conjuntos Difusos. Según esta teoría, el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto va a venir determinado por una función de pertenencia, que puede tomar todos los valores reales comprendidos en el intervalo [0,1].

La Lógica Difusa (llamada también Lógica Borrosa por otros autores) o Fuzzy Logic es básicamente una lógica con múltiples valores, que permite definir valores en las áreas oscuras entre las evaluaciones convencionales de la lógica precisa: Si / No, Cierto / Falso, Blanco / Negro, etc. Se considera un súper conjunto de la Lógica Booleana. Con la Lógica Difusa, las proposiciones pueden ser representadas con grados de certeza o falsedad. La lógica tradicional de las computadoras opera con ecuaciones muy precisas y dos respuestas:

Si o no, uno o cero. Ahora, para aplicaciones de computadores muy mal definidas o sistemas vagos se emplea la Lógica Difusa.

Por medio de la Lógica Difusa pueden formularse matemáticamente nociones como un poco caliente o muy frío, para que sean procesadas por computadoras y cuantificar expresiones humanas vagas, tales como "Muy alto" o "luz brillante". De esa forma, es un intento de aplicar la forma de pensar humana a la programación de los computadores. Permite también cuantificar aquellas descripciones imprecisas que se usan en el lenguaje y las transiciones graduales en electrodomésticos como ir de agua sucia a agua limpia en una lavadora, lo que permite ajustar los ciclos de lavado a través de sensores. La habilidad de la Lógica Difusa para procesar valores parciales de verdad ha sido de gran ayuda para la ingeniería. En general, se ha aplicado a:

Sistemas expertos.Verificadores de ortografía, los cuales sugieren una lista de palabras probables para reemplazar una palabra mal escrita.Control de sistemas de trenes subterráneos.

Artículos de interés

La lógica difusa hace posible el vuelo de un helicóptero sin pilotoEl poder de la imprecisiónEntrevista a Lofti Zadeh

DIRECCIONES DE INTERÉSSociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la Cienciawww.solofici.org

Laberinto lógicowww.filosofia.net/materiales/rec/laberint.htm

Sociedad Española de Filosofía Analíticahttp://fs-morente.filos.ucm.es/sefa/sefa.htm

Sociedad Europea de Filosofía Analíticawww.dif.unige.it/esap

BIBLIOGRAFÍA

Bochenski, I.M. Historia de la lógica formal. GredosDeaño, Alfredo. Introducción a la lógica formal. Alianza Universidad Textos

Garrido, Manuel. Lógica Simbólica. TecnosHaack, Susan. Filosofía de las lógicas CátedraKosko, Bart. Pensamiento borroso. CríticaMosterín, Jesús. Lógica de Primer Orden. ArielNidditch, P.H. El desarrollo de la lógica matemática. CátedraPaulos, John Allen. Pienso, luego río. CátedraQuesada, Daniel. La lógica y su filosofía. Introducción a la lógica. BarcanovaSmullyan, Raymond. ¿Cómo se llama este libro?. El enigma del conde Drácula y otros pasatiempos lógicos. CátedraSmullyan, Raymond. ¿La dama o el tigre? Y otros pasatiempos lógicos. Cátedra.

[1] Deaño, A.(1988) Introducción a la lógica formal. Madrid, Alianza Universidad textos

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Selección de ejercicios de Lógica   proposicional

Publicado el 28 octubre, 2008 por Eugenio Sánchez Bravo

Ejercicios de lógica1. Ejercicios de cálculo proposicional tomados de Eulalia Pérez Sedeño:

Ejercicios de Lógica, Madrid: s. XXI de España Editores,1991.

2. Ejercicios de cálculo proposicional tomados de Pedro Montaner, Hilari Arnau: Teoría ypráctica de la lógica proposicional. 3ª ed. Barcelona: Vicens-Vives,1997

3. Más ejercicios de cálculo proposicional

1. Ejercicios de cálculo proposicional tomados de Pérez Sedeño, Eulalia: Ejercicios de Lógica, s. XXI.

1

EC, ID, DN, IC

-1 (s -> t) & (r & t)

I- (s -> t) & r2

EC, ID, DN, IC

-1 (p & q) & (r & s)

I- p & r3

EC, ID, DN, IC

-1 (p -> q) & ¬¬ (r v q)

I- (p -> q) & ( r v s)4

EC, ID, DN, IC

-1 p & (q & r)

I- (p & q) & r

5

MP

-1. t -> q

-2. s v r -> v

-3. v & q -> p

-4. t & s

I- p6 -1. p v q -> (q -> p & q)

IB

-2. r & (p & q -> q)

-3. ¬¬p

I- q <-> p & q

7

IB

-1. p & ¬¬(q -> r)

-2. r -> q

I- q <-> r

8

EB

-1. p <-> q

-2. r <-> (p & q)

-3. ¬¬p

I- r v s

9

EB

-1. p <-> t

-2. ¬s <-> t

-3. ¬¬ (t -> ¬s) <-> ¬¬q

-4. p

I- p & q

10

IN

-1 p & q -> r

-2 r -> s

-3 q & ¬s

I- ¬p

11

IN

-1 q & (r <-> q)

-2 ¬ r -> p

I- ¬ r

12

IC

-1 t -> q

-2 w -> r

-3 r & q -> p

I- t & w -> p13 -1 p -> r

IC -2 ¬ (q -> r)

I- ¬ (q -> p)

14

IC

-1 p -> (q -> r)

-2 s -> p & q

I- ¬¬s -> r15

IC

-1 p & q -> r

I- p -> (q -> r)

16

ED

(144)

- 1 ¬q -> r

- 2 t -> ¬ q

- 3 ¬ s -> ¬ q

I-t v ¬s -> r

17

ED

-1 p -> q

-2 r -> p

-3 t -> r

-4 s -> r

-5 t v s

I- q v ¬w18

ED

-1 p & (q v r)

I- (p & q) v (p & r)19

ED

-1 (p v q) v r

I- p v (q v r)

20

REGLAS BÁSICAS

-1 q -> ¬p

-2 r -> q

-3 r

I- ¬p21

REGLAS

-1 ¬ p -> ¬ q

BÁSICAS

-2 s v ¬q -> ¬¬ r

-3 ¬p

I- r

22

REGLAS BÁSICAS

-1 p <-> ¬¬ (q & r)

-2 q & (r -> s)

-3 p

I- s

23

REGLAS BÁSICAS

-1 ¬p <-> q

-2 s v t -> ¬p

-3 ¬¬ s

I- q v r

24

REGLAS BÁSICAS

-1 p

-2 p -> ¬ q

-3 (p & ¬q) -> ¬¬s

-4 s -> ¬¬ t

I- t

25

REGLAS BÁSICAS

-1 p

-2 p -> q

-3 ¬¬( q -> ¬ s)

I- ¬s26

REGLAS DERIVADAS

-1 p -> q

I- ¬q -> ¬p

27

REGLAS DERIVADAS

-1 ¬ p -> ¬q

-2 q

I- p28 -1 q & r -> ¬s

REGLAS DERIVADAS

-2 s

I- ¬q v ¬r

29

REGLAS DERIVADAS

-1 p -> q & r

-2 ¬ q v ¬ r

I- ¬p

30

REGLAS DERIVADAS

-1 p v q -> r

-2 ¬ r

I- ¬q

31

REGLAS DERIVADAS

-1 ¬ p

-2 q -> p

-3 ¬q -> r

I- r v s

32

REGLAS DERIVADAS

-1 p v q

-2 q -> t

-3 ¬ t

I- p

33

REGLAS DERIVADAS

-1 ¬r v ¬q

-2 t v s -> r

-3 q v ¬s

-4 ¬t

I- ¬(t v s)

34

REGLAS DERIVADAS

-1 p v q

-2 t -> ¬p

-3 ¬(q v r)

I- ¬t35

REGLAS

-1 p -> ¬s

DERIVADAS

-2 s v ¬r

-3 ¬ (t v ¬r)

I- ¬p

36

REGLAS DERIVADAS

-1 p -> q v r

-2 q -> ¬p

-3 s -> ¬r

I- p -> ¬s

37

IC

-1 p v ¬s

-2 ¬r -> s

I- ¬p -> r

38

IC

-1 ¬(r & s)

-2 q -> s

I- r -> ¬q

39

IC

-1 s -> r

-2 s v p

-3 p -> q

-4 r -> t

I- ¬q -> t

40

IC

-1 ¬s <-> t & p

-2 r -> ¬ s

I- r-> t

41

IC

-1 s & (¬p v t)

-2 t -> q v r

I- p -> (¬q -> r)42

IC

-1 p -> q

-2 q -> r

-3 r -> s v t

I- ¬s & ¬t -> ¬p43

IC

-1 p v q -> (r v s -> t)

I- p -> (r -> t)

44

IC

-1 ¬ q -> ¬p

-2 p -> (q -> r)

-3 ¬(r -> s) -> ¬q

I- p -> s

45

IC

(146)

1 ¬s v ¬p

-2 q -> ¬r

-3 t -> s & r

I- t -> ¬(p v q)

46

IC

(136)

- 1 (r v q) -> p

- 2 t -> (¬p&¬m)

- 3 t v s

I- r -> s

47

IN

-1 ¬ (p & q)

-2 ¬r -> ¬p

-3 ¬q -> ¬r

I- ¬p

48

IN

-1 t -> ¬s

-2 r -> ¬t

-3 s v r

I- ¬t49

IN

-1 ¬(p & q)

-2 ¬ q -> r

-3 ¬r -> p

I- r

50

IN

-1 ¬(q v r)

-2 t <-> ¬p

-3 p v q

I- ¬t

51

IN

-1 s -> ¬p

-2 s v ¬r

-3 ¬(t v¬r)

I- ¬p

52

IN

-1 p -> q v r

-2 q -> ¬p

-3 s -> ¬r

I- ¬ (p & s)

53

IN

-1 ¬r -> ¬s

-2 t & r <-> ¬s

I- r

54

IN

-1 ¬r v ¬q

-2 t v s -> r

-3 q v ¬s

-4 ¬t

I- ¬(t v s)55

IN

(152)

-1 (p v q) -> (r & s)

-2 ¬r

I- ¬ p56

IN

-1 s -> p

-2 r v ¬ p

-3 t -> ¬r

I- ¬s v ¬t

57

IN

-1 p -> ¬ q

-2 r -> q

I- ¬(p & q)58

IN

-1 ( ¬q -> ¬p) & (¬p -> q)

I- q

59

IN

-1 ¬(¬p & ¬r)

-2 ¬s -> ¬r

-3 p -> q

I- q v s

60

IN

-1 ¬p -> s v r

-2 ¬p & r

-3 s -> q

I- q v r

61

REGLAS DERIVADAS

-1 p v ¬(¬q & ¬r)

-2 ¬p & ¬q

I- r v s

62

IC

-1 ¬p -> q

-2 q -> ¬r

I- r -> p

63

IN

-1 p -> q

-2 ¬(p & r) & (r v ¬q)

I- ¬p

2. Ejercicios de cálculo proposicional tomados de Montaner Pedro y Arnau Hilari: Teoría y práctica de la lógica proposicional, Vicens-Vives

64 - 1 s -> r

- 2 s v p

- 3 p -> q

- 4 r -> t

I- ¬ q -> t

65

- 1 t -> ¬s

- 2 q -> ¬t

- 3 s v q

I- ¬t

66

- 1 (m&n)-> ¬t

- 2 t v¬s

- 3 ¬ (p v ¬s)

I- ¬(m & n)

67

- 1 ¬ q v s

- 2 ¬s

- 3 ¬(r & s) -> q

I- r

68

- 1 p v¬r

- 2 ¬r -> s

- 3 p -> t

- 4 ¬s

I- t

69

- 1 p-> ¬(s v ¬r)

- 2 q -> ¬(m v r)

- 3 ¬(¬u & ¬p)

- 4 ¬(¬u & ¬q)

I- u

70

- 1 p -> q

- 2 (p->r) -> (svq)

- 3 (p & q) -> r

- 4 ¬s

I- q

71

- 1 p -> ¬r

- 2 q -> ¬s

- 3 m -> (r & s)

- 4 n -> (r & s)

- 5 t -> ¬¬m

- 6 ¬t -> ¬¬n

I- ¬p v ¬q

72

- 1 (t & r) <-> s

- 2 ¬r -> ¬s

I- r

73

- 1 (p v q) -> r

- 2 w-> ¬(m&s)

- 3 ¬(tvn) ->m

- 4 q <-> t v n

- 5 s

I- w -> r

74

- 1(p->q) & (r -> s)

- 2 ¬q v ¬s

- 3 ¬(p & r)->t

I- t75 - 1 ¬(¬q v ¬t)

- 2 p -> m

- 3 n -> ¬q

- 4 p v n

I- m

76

- 1¬p -> q

- 2 ¬m -> n

- 3 ¬r -> s

- 4 ¬s -> x

- 5 ¬(¬¬p v ¬¬m)

- 6¬(¬¬r v ¬¬s)

- 7 ¬(s -> ¬q) -> w

- 8 ¬(n -> ¬x)-> u

I- ¬(¬w v ¬u)

77

- 1 ¬(pvq) ->r

- 2 ¬(w v m)

- 3 ¬(z v n)

- 4 ¬(mvn) ->t

- 5 ¬(svp)

- 6 ¬(u vq)

I-¬(¬r v¬t)

78

- 1 p -> w

- 2 q v ¬ w

- 3 ¬( p & q)

I- ¬ p79 - 1 ¬(p & q)

- 2 ¬r -> q

- 3 ¬p -> r

I- r

80

- 1 p -> q

- 2 ¬ q

- 3 ¬ p -> ( r & s)

I- r & s

81

- 1 p & q

- 2 r -> ¬q

- 3 ¬r -> s

I- s v¬p

82

- 1 r v s

- 2 ¬t -> ¬p

- 3 r -> ¬q

I- (p & q) -> (s & t)

83

- 1 q -> p

- 2 t v s

- 3 q v ¬s

I- ¬(p v r) -> t

84

- 1 p -> q

- 2 (p & q) -> r

- 3 ¬(p & r)

I- ¬p

85

- 1 r -> ¬p

- 2 ¬ (q & ¬r)

I- p -> ¬q86 - 1(s & ¬r) -> q

- 2(¬t & ¬q) -> w

- 3 t -> ¬m

- 4 s

- 5 ¬p v ¬q

- 6 ¬(¬m & r)

I- p -> w

87

- 1 ¬m v p

- 2 q -> m

- 3 x v t

- 4 t -> (r & s)

- 5 ( s & r )->w

I-(¬p->¬q)->(¬w->x)

88

- 1 (p&q)->¬r

- 2 r v (s&t)

- 3 p <-> q

I- p -> s

89

- 1 p->¬(¬rv¬s)

- 2 ¬¬s ->¬u

- 3 ¬m v n

- 4¬n

- 5 p & q

I-¬(u v m)90 - 1 t -> m

- 2 ¬(u & p)

- 3 n ->¬m

- 4¬(¬p & ¬w)

- 5 ¬n -> ¬s

- 6 z -> u

- 7 ¬(r v ¬t)

- 8 ¬z -> s

I- w v q

91

- 1 ¬p -> ¬ s

- 2 ¬p v r

- 3 r -> ¬t

I- ¬s v ¬t

92

- 1 ¬t v ¬r

- 2 ¬r -> p

- 3 ¬(¬r &p)

I- ¬t

93

- 1 r -> s

- 2 s -> q

- 3 r v (s & t)

I- ¬q -> (t &s)

94

- 1 ¬r -> s

- 2 s -> (p &q)

- 3 r -> t

- 4 ¬t

I- q95 - 1 ¬s v ¬r

- 2 ¬r -> ¬t

- 3 ¬p

I- ¬t & ¬p

96

- 1 (r v q) -> p

- 2 t -> (¬p&¬m)

- 3 t v s

I- r -> s

97

- 1 r -> n

- 2 t -> (p v r)

- 3 (q v n) -> t

- 4 ¬n

I- ¬p -> ¬q

98

- 1 ¬q -> ¬(mvt)

- 2 ¬r -> ¬(p&q)

- 3 ¬s -> p

- 4 ¬n-> t

I- ¬(r v s) -> n

99

- 1 p -> q

- 2 p->(q -> r)

- 3 q->( r -> s)

I- p -> s

100

- 1 ¬p -> ¬s

- 2¬p v r

- 3 r -> ¬t

I- ¬s v ¬t101 - 1 ¬(m v n)

- 2 s -> ¬t

- 3 ¬m -> t

I- ¬(s & q)

102

- 1 p->(q<->s)

- 2 ¬s & m

- 3 p v ¬q

- 4 q & t

I-(¬p &t) v (w & r)

3. Más ejercicios de cálculo proposicional

103

- 1¬(m & ¬n)

- 2¬(t & ¬u)

- 3 ¬(n &¬p)

- 4 ¬(s & ¬t)

- 5¬(q & ¬r)

- 6¬ (u v w)

- 7 ¬(r &¬s)

- 8 ¬(p &¬q)

I- ¬m

104

- 1 s -> r

- 2 s v p

- 3 p -> q

- 4 r -> t

I- ¬ q -> t

105

- 1 t -> ¬s

- 2 q -> ¬t

- 3 s v q

I- ¬t106 - 1 (m&n)-> ¬t

- 2 t v¬s

- 3 ¬ (p v ¬s)

I- ¬(m & n)

107

- 1 ¬ q v s

- 2 ¬s

- 3 ¬(r & s) -> q

I- r

108

- 1 p v¬r

- 2 ¬r -> s

- 3 p -> t

- 4 ¬s

I- t

109

- 1 p-> ¬(s v ¬r)

- 2 q -> ¬(m v r)

- 3 ¬(¬u & ¬p)

- 4 ¬(¬u & ¬q)

I- u

110

- 1 p -> q

- 2 (p->r) -> (svq)

- 3 (p & q) -> r

- 4 ¬s

I- q111 - 1 p -> ¬r

- 2 q -> ¬s

- 3 m -> (r & s)

- 4 n -> (r & s)

- 5 t -> ¬¬m

- 6 ¬t -> ¬¬n

I- ¬p v ¬q

112

- 1 (t & r) <-> s

- 2 ¬r -> ¬s

I- r

113

- 1 (p v q) -> r

- 2 w-> ¬(m&s)

- 3 ¬(tvn) ->m

- 4 q <-> t v n

- 5 s

I- w -> r

114

- 1(p->q) & (r -> s)

- 2 ¬q v ¬s

- 3 ¬(p & r)->t

I- t

115

- 1 ¬(¬q v ¬t)

- 2 p -> m

- 3 n -> ¬q

- 4 p v n

I- m116 - 1¬p -> q

- 2 ¬m -> n

- 3 ¬r -> s

- 4 ¬s -> x

- 5 ¬(¬¬p v ¬¬m)

- 6¬(¬¬r v ¬¬s)

- 7 ¬(s -> ¬q) -> w

- 8¬(n -> ¬x)-> u

I- ¬(¬w v ¬u)

117

- 1 ¬(pvq) ->r

- 2 ¬(w v m)

- 3 ¬(z v n)

- 4 ¬(mvn) ->t

- 5 ¬(svp)

- 6 ¬(u vq)

I-¬(¬r v¬t)

118

- 1 p -> w

- 2 q v ¬ w

- 3 ¬( p & q)

I- ¬ p

119

- 1 ¬(p & q)

- 2 ¬r -> q

- 3 ¬p -> r

I- r

120

- 1 p -> q

- 2 ¬ q

- 3 ¬ p -> ( r & s)

I- r & s121 - 1 p & q

- 2 r -> ¬q

- 3 ¬r -> s

I- s v¬p

122

- 1 r v s

- 2 ¬t -> ¬p

- 3 r -> ¬q

I- (p & q) -> (s & t)

123

- 1 q -> p

- 2 t v s

- 3 q v ¬s

I- ¬(p v r) -> t

124

- 1 p -> q

- 2 (p & q) -> r

- 3 ¬(p & r)

I- ¬p

125

- 1 r -> ¬p

- 2 ¬ (q & ¬r)

I- p -> ¬q

126

- 1(s & ¬r) -> q

- 2(¬t & ¬q) -> w

- 3 t -> ¬m

- 4 s

- 5 ¬p v ¬q

- 6 ¬(¬m & r)

I- p -> w127 - 1 ¬m v p

- 2 q -> m

- 3 x v t

- 4 t -> (r & s)

- 5 ( s & r )->w

I-(¬p->¬q)->(¬w->x)

128

- 1 (p&q)->¬r

- 2 r v (s&t)

- 3 p <-> q

I- p -> s

129

- 1 p->¬(¬rv¬s)

- 2 ¬¬s ->¬u

- 3 ¬m v n

- 4¬n

- 5 p & q

I-¬(u v m)

130

- 1 t -> m

- 2 ¬(u & p)

- 3 n ->¬m

- 4¬(¬p & ¬w)

- 5 ¬n -> ¬s

- 6 z -> u

- 7 ¬(r v ¬t)

- 8 ¬z -> s

I- w v q

131

- 1 ¬p -> ¬ s

- 2 ¬p v r

- 3 r -> ¬t

I- ¬s v ¬t

132

- 1 ¬t v ¬r

- 2 ¬r -> p

- 3 ¬(¬r &p)

I- ¬t

133

- 1 r -> s

- 2 s -> q

- 3 r v (s & t)

I- ¬q -> (t &s)

134

- 1 ¬r -> s

- 2 s -> (p &q)

- 3 r -> t

- 4 ¬t

I- q

135

- 1 ¬s v ¬r

- 2 ¬r -> ¬t

- 3 ¬p

I- ¬t & ¬p

136

- 1 (r v q) -> p

- 2 t -> (¬p&¬m)

- 3 t v s

I- r -> s

137

- 1 r -> n

- 2 t -> (p v r)

- 3 (q v n) -> t

- 4 ¬n

I- ¬p -> ¬q138 - 1 ¬q -> ¬(mvt)

- 2 ¬r -> ¬(p&q)

- 3 ¬s -> p

- 4 ¬n-> t

I- ¬(r v s) -> n

139

- 1 p -> q

- 2 p->(q -> r)

- 3 q->( r -> s)

I- p -> s

140

- 1 ¬p -> ¬s

- 2¬p v r

- 3 r -> ¬t

I- ¬s v ¬t

141

- 1 ¬(m v n)

- 2 s -> ¬t

- 3 ¬m -> t

I- ¬(s & q)

142

- 1 p->(q<->s)

- 2 ¬s & m

- 3 p v ¬q

- 4 q & t

I-(¬p &t)v(w & r)143 - 1¬(m & ¬n)

- 2¬(t & ¬u)

- 3 ¬(n &¬p)

- 4 ¬(s & ¬t)

- 5¬(q & ¬r)

- 6¬ (u v w)

- 7 ¬(r &¬s)

- 8 ¬(p &¬q)

I- ¬m

144

-1 ¬q -> r

-2 t -> ¬ q

-3 ¬ s -> ¬ q

I- t v ¬s -> r

145

1. – ¬(p & q)

2. – p -> r

3. – q v ¬r

I- ¬p

146

1. ¬s v ¬p

2. – q -> ¬r

3. – t -> s & r

I- t -> ¬(p v q)

147

1. – p &¬q

2. – ¬r -> q

3. – r -> s

I- p & s

148

1. – p & ¬t

2. – s -> t

3. s v q

4. – (q v p)-> u

I- u149 1. – ¬r -> s

2. – s -> (p & q)

3. – r -> (t & w)

4. – ¬ t

I- q v (m & n)

150

1.-m->¬ (¬p&¬q)

2. – q -> t

3. – p -> s

I- m -> ¬(¬t & ¬s)

151

1. – p & ¬q

2. – q v ¬r

3. – p -> ¬s

I- ¬(s v r)

152

1. – (p v q) -> (r&s)

2. – ¬r

I- ¬p

153

1. – p -> q

2. – q v r

3.- (r&¬p)->(s&¬p)

4.- ¬q

I- s

154

1.- ¬s->¬(p v ¬t)

2.- t->¬(¬w v ¬n)

3. – ¬s & ¬w

I- m v n155 1. – ¬(¬mv¬s)

2. – u -> q

3. – t -> ¬q

4. – w -> t

5. – ¬m v w

I- ¬(u & n)

156

1. – p -> q

2. – t -> m

3. – ¬(u &w)

4. – ¬(¬p v ¬z)

5. – ¬r -> ¬q

6. – n -> u

7. – ¬t -> s

8. -¬(m & ¬n)

9. – r -> ¬s

I-¬w

MUy Buenos, sus ejercicios.Gracias, por compartir

o Eugenio Sánchez Bravo , on 4 mayo, 2011 at 16:43 said:

Hola Chelo, me alegra que te hayan sido útiles.

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Datos personales

Eugenio Sánchez Bravo. Profesor de Filosofía.Tenerife.

eugeniosanchezbravo@gmail.comMi otro blog, sólo de libros: