LOGICA DIFUSA
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Mg. Abraham Gamarra Moreno i
SERIE INTELIGENCIA ARTIFICIAL
LOGICA DIFUSA
MG. GAMARRA MORENO, ABRAHAM
LIMA - PERÚ
- Noviembre de 2006 -
Mg. Abraham Gamarra Moreno ii
CONTENIDO
LOGICA DIFUSA .......................................................................................................... 1 1. TEORIA DE LA CERTEZA ................................................................................ 1
1.1. FACTOR DE CERTEZA............................................................................... 2 1.2. FACTORES DE CERTEZA EN SISTEMAS BASADOS EN REGLAS.......... 2
2. LOGICA DIFUSA................................................................................................ 5 2.1. HISTORIA DE LA LOGICA DIFUSA .......................................................... 5 2.2. ¿Que es la Logica Difusa? ........................................................................... 7 2.3. VARIABLES LINGÜÍSTICAS....................................................................... 9 2.4. TEORÍA DE CONJUNTOS DIFUSOS....................................................... 10 2.5. APROXIMACION DE LAS FUNCIONES DE PERTENENCIA EN LOS CONJUNTOS DIFUSOS ........................................................................................ 15 2.6. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS DIFUSOS ................................... 18
3. DESARROLLO DE UN SISTEMA DIFUSO BASADO EN REGLAS ............ 20 3.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ............................................................... 20 3.2. DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES LINGÜÍSTICAS ............................... 20 3.3. DEFINICIÓN DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS...................................... 21 3.4. DEFINICIÓN DE LA REGLAS DIFUSAS ................................................. 23 3.5. CONSTRUIR EL SISTEMA ........................................................................ 25 3.6. PROBAR EL SISTEMA............................................................................... 25 3.7. DEFUZZIFICACION DE LA VARIABLE DE SALIDA ............................. 28
Mg. Abraham Gamarra Moreno 1
LOGICA DIFUSA
1. TEORIA DE LA CERTEZA Una alternativa a la teoría de la probabilidad para el
razonamiento inexacto en los sistemas expertos es la teo-
ría de la certeza.
Los expertos a menudo toman juicios cuando resuelven un
problema. La información que se tiene puede ser incomple-
ta y el conocimiento utilizado para interpretar la infor-
mación puede crear desconfianza en el resultado final.
Una pregunta para un problema medico puede ser la si-
guiente : ¿Tiene una fuerte jaqueca?. La respuesta es in-
cierta, porque es subjetiva y requiere que el usuario
elabore un juicio al contestar la pregunta; por supuesto
el usuario se siente mejor al contestar con verdadero o
falso. Por otro lado, el usuario podría contestar asig-
nando un número subjetivo a su respuesta entre 0 y 1, tal
como 0.7, que significa 70% de certeza en su respuesta.
El número no tiene base estadística ni probabilística,
más bien es el nivel de creencia de la respuesta dada.
Mg. Abraham Gamarra Moreno 2
1.1. FACTOR DE CERTEZA
“Medida de la creencia que tiene un experto humano
en la ocurrencia de un hecho”.
“Número que refleja el nivel de creencia de una hi-
pótesis”.
La ilustración 1 muestra como se interpreta la teo-
ría de la certeza.
Ilustración 1 Factor de Certeza
1.2. FACTORES DE CERTEZA EN SISTEMAS BASADOS EN REGLAS
Los sistemas basados en reglas utilizan la siguien-
te representación:
SI (CONDICION ) ENTONCES (CONCLUSION)
Añadiremos ahora el factor de certeza (FC) a los
elementos de la regla de la siguiente forma:
Rx : SI p Y q ENTONCES r
FCx FCp FCq FCr
Factor de certeza
Falso Verdadero
Mg. Abraham Gamarra Moreno 3
Para obtener la certeza de la conclusión en una re-
gla de condición simple, se tiene que dado:
Rx : SI p ENTONCES r
FCx FCp FCr
El Factor de certeza de la conclusión es:
FCr = FCp * FCx
La certeza de una conclusión en reglas de condición
múltiple, se obtiene considerando si existe conjun-
ción o disyunción.
Para reglas donde exista conjunción, se tiene que
dado:
Rx : SI p Y q Y r ..Y.. z ENTONCES c
FCx FCp FCq FCr FCz FCc
El Factor de certeza de la conclusión es:
FCc = min (FCp, FCq, FCr, ... , FCz)* FCx
La función min retorna el mínimo valor del conjunto
de números.
Para reglas donde exista disyunción, se tiene que
dado:
Rx : SI p O q O r ..O.. z ENTONCES c
FCx FCp FCq FCr FCz FCc
El Factor de certeza de la conclusión es:
FCc = max (FCp, FCq, FCr, ... , FCz)* FCx
Mg. Abraham Gamarra Moreno 4
La función max retorna el máximo valor del conjunto
de números.
Ejemplo: Encontrar el factor de certeza de x
(FCx=?). Si se tienen las siguientes reglas:
R1 : SI a Y b ENTONCES c
0.9 0.8 0.85 FCc
R2 : SI c O d ENTONCES e
1.0 0.90 FCe
R3 : SI e Y f ENTONCES x
0.8 0.8 FCx
Solución:
Hallando FCc
FCc = min(0.8, 0.85)*0.9 = 0.8*0.9 = 0.72
Hallando FCe
FCe = max(FCc, 0.9)*1.0 = max(0.72, 0.9)*1.0
FCe = 0.9 * 1.0 = 0.9
Hallando FCx
FCx = min(FCe, 0.8)*0.8 = min(0.9, 0.8)*0.8
FCx = 0.8 * 0.8 = 0.64 (Respuesta)
Si las conclusiones son similares dado dos o más
reglas como se muestra a continuación:
Mg. Abraham Gamarra Moreno 5
Dados
R1 : SI a Y b ENTONCES x
FCR1 FCa FCb FCx_R1
R2 : SI c O d ENTONCES x
FCR2 FCc FCd FCx_R2
El factor de certeza se calcula utilizando la si-
guiente expresión:
FCx_R1_R2 = FCx_R1 + FCx_R2 – FCx_R1 * FCx_R2
El cálculo de FCx_R1 y FCx_R2 utiliza los procedi-
mientos ya mencionados anteriormente.
2. LOGICA DIFUSA
2.1. HISTORIA DE LA LOGICA DIFUSA
Los conjuntos difusos fueron introducidos por pri-
mera vez en 1965; la creciente disciplina de la ló-
gica difusa provee por sí misma un medio para aco-
plar estas tareas. En cierto nivel, la lógica difu-
sa puede ser vista como un lenguaje que permite
trasladar sentencias sofisticadas en lenguaje natu-
ral a un lenguaje matemático formal. Mientras la
motivación original fue ayudar a manejar aspectos
imprecisos del mundo real, la práctica temprana de
la lógica difusa permitió el desarrollo de aplica-
ciones prácticas. Aparecieron numerosas publicacio-
nes que presentaban los fundamentos básicos con
aplicaciones potenciales. Esta frase marcó una
fuerte necesidad de distinguir la lógica difusa de
Mg. Abraham Gamarra Moreno 6
la teoría de probabilidad. Tal como la entendemos
ahora, la teoría de conjuntos difusos y la teoría
de probabilidad tienen diferentes tipos de incerti-
dumbre.
En 1994, la teoría de la lógica difusa se encontra-
ba en la cumbre, pero esta idea no es nueva, para
muchos, estuvo bajo el nombre de lógica difusa du-
rante 25 años, pero sus orígenes se remontan hasta
2,500 años. Aún Aristóteles consideraba que existí-
an ciertos grados de veracidad y falsedad. Platón
había considerado ya grados de pertenencia.
En el siglo XVIII el filósofo y obispo anglicano
Irlandés, George Berkeley y David Hume describieron
que el núcleo de un concepto atrae conceptos simi-
lares. Hume en particular, creía en la lógica del
sentido común, el razonamiento basado en el conoci-
miento que la gente adquiere en forma ordinaria me-
diante vivencias en el mundo. En Alemania, Immanuel
Kant, consideraba que solo los matemáticos podían
proveer definiciones claras, y muchos principios
contradictorios no tenían solución. Por ejemplo la
materia podía ser dividida infinitamente y al mismo
tiempo no podía ser dividida infinitamente. Parti-
cularmente la escuela americana de la filosofía
llamada pragmatismo fundada a principios de siglo
por Charles Sanders Peirce, cuyas ideas se funda-
mentaron en estos conceptos, fue el primero en con-
siderar ''vaguedades'', más que falso o verdadero,
como forma de acercamiento al mundo y a la forma en
que la gente funciona.
Mg. Abraham Gamarra Moreno 7
La idea de que la lógica produce contradicciones
fue popularizada por el filósofo y matemático bri-
tánico Bertrand Russell, a principios del siglo XX.
Estudio las vaguedades del lenguaje, concluyendo
con precisión que la vaguedad es un grado. El filo-
sofo austríaco Ludwing Wittgenstein estudió las
formas en las que una palabra puede ser empleada
para muchas cosas que tienen algo en común. La pri-
mera lógica de vaguedades fue desarrollada en 1920
por el filósofo Jan Lukasiewicz, visualizó los con-
juntos con un posible grado de pertenencia con va-
lores de 0 y 1, después los extendió a un número
infinito de valores entre 0 y 1. En los años sesen-
tas, Lofti Zadeh inventó la lógica difusa, que com-
bina los conceptos de la lógica y de los conjuntos
de Lukasiewicz mediante la definición de grados de
pertenencia.
2.2. ¿QUE ES LA LOGICA DIFUSA?
Es una rama de la lógica que usa grados de membre-
sía (pertenencia) a los conjuntos en lugar de per-
tenecer a ellos como verdadero o falso
El término “difuso” procede de la palabra inglesa
“fuzz” que sirve para denominar la pelusa que recu-
bre el cuerpo de lo polluelos al poco de salir del
huevo. Este término inglés significa “confuso, bo-
rroso, indefinido o desenfocado”. Este término se
traduce por “flou” en frances y “aimai” en japones.
Aunque la teoría de conjuntos difusos presente
cierta complejidad, el concepto básico es fácilmen-
te comprensible.
Mg. Abraham Gamarra Moreno 8
Tomemos como ejemplo el concepto de “mediana edad”.
Al escuchar el termino “mediana edad”, nuestra men-
te asocia automáticamente la imagen de ciertas per-
sonas o tipos de personas. Pero este es un concepto
con límites imprecisos que no puede ser tratado por
el programa de un ordenador, que ordinariamente
exige que las cosan sean definidas. Es aquí donde
entra la Lógica Difusa. Supongamos que hemos llega-
do a la conclusión de que la edad mediana son los
45 años. Sin embargo no podemos descartar a las
personas de 35 o 55 anos como edad mediana. Por el
contrario, los menores de 30 años y los mayores de
60 tampoco se pueden considerar radicalmente como
no de mediana edad. De tal forma creamos tres cír-
culos. El primero, el de los jóvenes va de los 0
hasta los treinta y cinco anos, el segundo el de la
“mediana edad” va de los treinta hasta los cincuen-
ta y cinco anos, y por ultimo el de la tercera edad
que va de los cincuenta en adelante. Podemos obser-
var que desde el punto de vista de los “conjuntos
difusos” el periodo de edad de los treinta a los
treinta y cinco puede considerarse tanto dentro de
el circulo “joven” como el de “mediana edad”. Otro
tanto ocurre entre los cincuenta y los cincuenta y
cinco años que pueden concebirse dentro de la “me-
diana edad” y de la “tercera edad”.
Estas transiciones de valoración facilitan la ex-
presión matemática de las expresiones difusas o in-
definidas, y con ello dan la posibilidad de hacer
programas para ordenadores que interpreten las ex-
presiones humanas que normalmente son imprecisas
para la matemática tradicional.
Mg. Abraham Gamarra Moreno 9
2.3. VARIABLES LINGÜÍSTICAS
Los Conjuntos Difusos son capaces de captar por sí
mismos la vaguedad lingüística de palabras y frases
comúnmente aceptadas, como "gato pardo" o "ligero
cambio". La habilidad humana de comunicarse median-
te definiciones vagas o inciertas es un atributo
importante de la inteligencia.
Una Variable Lingüística es aquella variable cuyos
valores son palabras o sentencias son vagas o im-
precisas. Para estas variables lingüísticas se uti-
lizará un nombre y un valor lingüístico sobre un
Universo de Discurso.
Los Conjuntos Difusos pueden utilizarse para repre-
sentar expresiones tales como:
x es PEQUEÑO. (X es una variable lingüística)
La velocidad es RÁPIDA. (velocidad es una variable
lingüística)
El ganso es CLARO. (ganso es una variable lingüís-
tica)
Las expresiones anteriores pueden dar lugar a ex-
presiones lingüísticas más complejas como:
x no es PEQUEÑO.
La velocidad es RÁPIDA pero no muy RÁPIDA.
El ganso es CLARO y muy ALEGRE.
También se puede utilizar los distintos modificado-
res lingüísticos como muy, poco, rápido, lento,
etc.
Mg. Abraham Gamarra Moreno 10
2.4. TEORÍA DE CONJUNTOS DIFUSOS
Una buena estrategia para presentar la teoría de
Conjuntos Difusos, consiste en recordar algunos as-
pectos de la teoría de conjuntos convencionales
(que llamaremos conjuntos concretos), y a partir de
allí hacer una extensión a los conjuntos difusos:
Un conjunto concreto se define como una colección
de elementos que existen dentro de un Universo.
Así, si el universo consta de los números enteros
no negativos menores que 10:
U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
entonces podemos definir algunos conjuntos como,
por ejemplo:
A={0,2,4,6,8}
B={1,3,5,7,9}
C={1,4,7}, etc.
Con estas definiciones hemos establecido que cada uno
de los elementos del Universo pertenecen o no a un de-
terminado conjunto. Por lo tanto, cada conjunto puede
definirse completamente por una función de pertenen-
cia, que opera sobre los elementos del Universo, y que
le asigna un valor de 1 si el elemento pertenece al
conjunto, y de 0 si no pertenece.
Tomando como ejemplo el conjunto C enumerado arriba, su
función de pertenencia uC(x) sería de la siguiente for-
ma:
uC(0)=0, uC(1)=1, uC(2)=0, uC(3)=0, uC(4)=1,
uC(5)=0, uC(6)=0, uC(7)=1, uC(8)=0, uC(9)=0
Mg. Abraham Gamarra Moreno 11
Ahora bien, un Conjunto Difuso se define de forma si-
milar, con una diferencia conceptual importante: un
elemento puede pertenecer parcialmente a un conjunto.
De esta forma, un conjunto difuso D definido sobre el
mismo universo U puede ser el siguiente:
D={20%/1,50%/4,100%/7}1
La definición anterior significa que el elemento 1 per-
tenece en un 20% al conjunto D (y por tanto pertenece
en un 80% al complemento de D), en tanto que el elemen-
to 4 pertenece en un 50%, y el elemento 7 en un 100% .
En forma alternativa, diríamos que la función de perte-
nencia uD(x) del conjunto D es la siguiente:
uD(0)=0.0, uD(1)=0.2, uD(2)=0.0, uD(3)=0.0,
uD(4)=0.5, uD(5)=0.0, uD(6)=0.0, uD(7)=1.0,
uD(8)=0.0, uD(9)=0.0
Las primeras diferencias que se hacen evidentes entre
los Conjuntos Concretos y los Conjuntos Difusos son las
siguientes:
• La función de pertenencia asociada a los conjuntos
concretos sólo puede tener dos valores: 1 ó 0, mientras
que en los conjuntos difusos puede tener cualquier va-
lor entre 0 y 1.
• Un elemento puede pertenecer (parcialmente) a un con-
junto difuso y simultáneamente pertenecer (parcialmen-
te) al complemento de dicho conjunto.
1 Se ha empleado una notación frecuente, en donde el signo "/" no significa "dividido por".
Mg. Abraham Gamarra Moreno 12
Lo anterior no es posible en los conjuntos concretos,
ya que constituiría una violación al principio del
tercer excluido.
• Las fronteras de un conjunto concreto son exactas, en
tanto que las de un conjunto difuso son, precisamente,
difusas, ya que existen elementos en las fronteras mis-
mas, y estos elementos están a la vez dentro y fuera
del conjunto.
¿Qué sentido puede tener el pertenecer parcialmente
a un conjunto? En muchos casos puede tener más sen-
tido que pertenecer totalmente a un conjunto; vea-
mos algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Supóngase que se desea definir el con-
junto de los estudiantes de la carrera de Ingenie-
ría de Sistemas de la Universidad que están cursan-
do el quinto semestre de la carrera. ¿Cómo clasifi-
car a un estudiante que cursa dos materias de cuar-
to semestre, tres de quinto y una de sexto? ¿y a
otro que toma una materia de quinto semestre, y
cinco de sexto? Evidentemente ambos son en parte
miembros del conjunto Estudiantes de quinto semes-
tre, pero sólo lo son parcialmente.
Ejemplo 2: Supóngase que se desea clasificar a los
miembros de un equipo de fútbol según su estatura
en tres conjuntos, Bajos, Medianos y Altos. Podría
plantearse que se es Bajo si se tiene una estatura
inferior a, por ejemplo, 160 cm, que se es Mediano
si la estatura es superior o igual a 160 cm e infe-
rior a 180 cm, y se es alto si la estatura es supe-
rior o igual a 180 cm, con lo que se lograría una
clasificación en conjuntos concretos.
Mg. Abraham Gamarra Moreno 13
Sin embargo, qué tan grande es la diferencia que
existe entre dos jugadores del equipo, uno con es-
tatura de 179.9 cm y otro de 180.0 cm? Ese milíme-
tro de diferencia quizás no represente en la prác-
tica algo significativo, y sin embargo los dos ju-
gadores han quedado rotulados con etiquetas distin-
tas: uno es Mediano y el otro es Alto. Si se optase
por efectuar la misma clasificación con conjuntos
difusos estos cambios abruptos se evitarían, debido
a que las fronteras entre los conjuntos permitirían
cambios graduales en la clasificación.
Ilustración 2 Funciones de pertenencia del ejemplo 2 La ilustración 2 muestra cómo podría hacerse tal
clasificación: El universo de discurso sería el
conjunto continuo de todas las posibles estaturas
(el intervalo [130cm,210]cm por ejemplo). Las fun-
ciones de pertenencia de cada uno de los tres con-
juntos Bajo, Mediano y Alto se han graficado. La
forma de estas funciones de pertenencia no debe ser
necesariamente la de la ilustración 2, pues depende
de lo que se entienda por "Bajo", "Mediano" y "Al-
to". Las ilustraciones 3 y 4 muestran otras al-
ternativas para definir dichas funciones.
Mg. Abraham Gamarra Moreno 14
Ilustración 3 Representación alternativa del ejemplo 2
Ilustración 4 Representación alternativa del ejemplo 2
Ejemplo 3: Tómese un individuo x cuya edad sea de
20 años. Como se puede observar en la ilustración
5, pertenece al Conjunto Difuso "Joven" y al Con-
junto Difuso "Maduro". Se puede observar que posee
un grado de pertenencia µA(x) de 0.6 para el Con-
junto Difuso "Joven" y un grado de 0.4 para el Con-
junto Difuso "Maduro"; también posee un grado de 0
para "Viejo". De este ejemplo se puede deducir que
un elemento puede pertenecer a varios Conjuntos Di-
fusos a la vez aunque con distinto grado. Así,
nuestro individuo x tiene un grado de pertenencia
mayor al conjunto "Joven " que al conjunto "Madu-
ro"(0.6 > 0.4), pero no se puede decir, tratándose
Mg. Abraham Gamarra Moreno 15
de Conjuntos Difusos, que x es joven o que x es ma-
duro de manera rotunda.
Ilustración 5 Ejemplo de Conjuntos Difusos en el universo de la edad.
2.5. APROXIMACION DE LAS FUNCIONES DE PERTENEN-CIA EN LOS CONJUNTOS DIFUSOS
Para realizar la aproximación de las funciones de
pertenencia de los conjuntos difusos, comenzaremos
definiendo que conjuntos difusos formaran el uni-
verso de discurso.
Supongamos la variable lingüística edad y sus con-
juntos difusos joven y adulto, los cuales fueron
utilizados en una encuesta a 10 personas para saber
cual es el rango en años para definir estas edades.
Las preguntas utilizadas fueron:
¿Cuál es el rango en años para un joven?
¿Cuál es el rango en años para un adulto?
Las respuestas se muestran en la tablas 1 y 2.
Mg. Abraham Gamarra Moreno 16
Tabla 1 Rango en años para definir a un joven
El valor de FREC. Difuso se calcula de acuerdo a la
siguiente formula:
FRECMAXIMOFRECDIFUSAFREC
__ =
Con el resultado de las tablas 1 y 2, realizamos
una grafica con la EDAD y FREC DIFUSO que represen-
tan a las funciones de pertenencia. Las funciones
de pertenencia se muestran en las ilustraciones 6 y
7 para edad joven y edad adulta.
Mg. Abraham Gamarra Moreno 17
Tabla 2 Rango en años para definir a un adulto
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
15 18 21 24 27 30 33
Ilustración 6 Función de pertenencia de edad joven
Mg. Abraham Gamarra Moreno 18
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
26 27 28 2930 313233 34 35 3637 38 3940 4142 4344 45 4647 48 49 50 5152 5354 55 56 5758 59 60
Ilustración 7 Función de pertenencia de edad adulta
Una vez obtenidas las funciones podríamos aproxi-
marlos a una de las funciones estándar que se mues-
tran en las ilustraciones 2, 3 y 4.
2.6. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS DIFUSOS
Los Conjuntos Difusos se pueden operar entre sí del
mismo modo que los conjuntos clásicos. Puesto que
los primeros son una generalización de los segun-
dos, es posible definir las operaciones de inter-
sección, unión y complemento haciendo uso de las
mismas funciones de pertenencia:
Intersección: (u)=min( (u), (u)) u
Unión: (u)=max( (u), (u)) u
Complemento: (u)=1- (u), (u)) u
Mg. Abraham Gamarra Moreno 19
Las ilustraciones de la intersección, unión y com-
plemento de la ilustración 2, se muestran en la
ilustración 6,7 y 8 respectivamente.
Ilustración 2. Funciones de pertenencia del ejemplo 2
Ilustración 8 Intersección de la ilustración 2.
Mg. Abraham Gamarra Moreno 20
Ilustración 9 Unión de la ilustración 2.
Ilustración 10 Intersección de la ilustración 2.
3. DESARROLLO DE UN SISTEMA DIFUSO BASADO EN REGLAS
3.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
Se desea diseñar un sistema difuso para estimar las
ventas mensuales de computadoras teniendo como da-
tos de entrada el precio de la computadora y el
nivel de ingresos del cliente.
3.2. DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES LINGÜÍSTICAS
Las variables del ítem 3.1. son:
• Precio de la computadora y Nivel de ingreso:
Variables independientes.
• Ventas: Variables dependientes.
Sistema Difuso
Precio
Nivel de Ingreso
Ventas
Mg. Abraham Gamarra Moreno 21
El universo de discurso de cada variable será:
Precio de la computadora: $500 - $2500
Nivel de ingresos del cliente: $100 - $1000
Ventas mensuales de computadoras: $10 000 - $50 000
3.3. DEFINICIÓN DE LOS CONJUNTOS DIFUSOS
Para cada una de las variables, definimos los con-
juntos difusos, de acuerdo a los adjetivos típicos
utilizados en relación con estas variables.
A continuación se muestra la definición de los con-
juntos difusos para cada variable:
VARIABLE ADJETIVOS RANGO
Barato 500 - 1500
Accesible 1000 – 2000 Precio
Caro 1500 - 2500
Bajo 100 –500
Medio 300 - 800 Nivel de Ingreso
($)
Alto 600 – 1000
Baja 10 –30 (x 103)
Normal 10 –50 (x 103) Ventas
($) Alta 30 –50 (x 103)
Mg. Abraham Gamarra Moreno 22
La representación de las funciones de pertenencia
se muestran en las ilustraciones 9, 10 y 11.
Ilustración 11 Funciones de pertenencia para la variable Precio de la Computadora
Ilustración 12 Funciones de pertenencia para la variable Nivel de Ingreso del Cliente.
Ilustración 13 Funciones de pertenencia para la variable Ventas mensuales
500 1000 1500 2000 2500
10 20 30 40 50
100 200 300 500 600 800 900 1000
Barato
Accesible
Caro
Bajo Medio Alto
Baja Normal Alta
Mg. Abraham Gamarra Moreno 23
3.4. DEFINICIÓN DE LA REGLAS DIFUSAS
Para definir las reglas utilizamos la siguiente ta-
bla de decisiones:
VARIABLES DE ENTRADA VARIABLE DE SA-LIDA
Precio (barato, accesi-
ble y caro)
Nivel de ingreso(bajo, medio y
alto)
Ventas (baja, normal y
alta) Barato Bajo Baja Barato Medio Normal Barato Alto Alta Accesible Bajo Baja Accesible Medio Baja Accesible Alto Normal Caro Bajo Baja Caro Medio Baja Caro Alto Normal
Las reglas serán:
---------------------------------------- RULE NUMBER: 1 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 2 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL ---------------------------------------- RULE NUMBER: 3 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE ALTO THEN: VENTAS MENSUALES ALTA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 4 IF:
Mg. Abraham Gamarra Moreno 24
PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 5 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 6 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE and NIVEL DE INGRESO CLIENTE ALTO THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL ---------------------------------------- RULE NUMBER: 7 IF: PRECIO DE COMPUTADORA CARO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 8 IF: PRECIO DE COMPUTADORA CARO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO THEN: VENTAS MENSUALES BAJA ---------------------------------------- RULE NUMBER: 9 IF: PRECIO DE COMPUTADORA CARO and NIVEL DE INGRESO CLIENTE ALTO THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL ----------------------------------------
Mg. Abraham Gamarra Moreno 25
3.5. CONSTRUIR EL SISTEMA
Esta tarea involucra la codificación de los conjun-
tos difusos, reglas y procedimientos para desarro-
llar funciones de lógica difusa tal como la infe-
rencia difusa. Se puede construir el sistema utili-
zando un lenguaje de programación o construir el
sistema utilizando un Shell.
3.6. PROBAR EL SISTEMA
Esta tarea sirve para ver si el sistema alcanza las
especificaciones dados en la definición del proble-
ma.
Para el ejemplo que se esta desarrollando se proba-
rá con los siguientes datos de entrada:
Precio de la computadora = 1400
Nivel de Ingreso del Cliente = 450
Evaluando el grado pertenencia a los conjuntos di-
fusos se tiene:
500 1000 1500 2000 2500
Barato Caro
Accesible
1400
Mg. Abraham Gamarra Moreno 26
Ilustración 14 Grado de pertenencia para la variable Precio de la Computadora
El grado de pertenencia a los conjuntos difusos del
precio de compra es:
µbarato(precio) = 0.2
µaccesible(precio) = 0.8
Obteniendo el grado de pertenencia de la variable
Nivel de ingreso del cliente de acuerdo a la ilus-
tración 13 se tiene:
Ilustración 15 Grado de pertenencia para la variable Nivel de Ingreso del Cliente.
El grado de pertenencia a los conjuntos difusos del
Nivel de ingreso del cliente es:
µbajo(Nivel de ingreso) = 0.167
µmedio(Nivel de ingreso) = 0.5
Las reglas que se dispararán son las reglas 1, 2, 4
y 5 con las siguientes características:
---------------------------------------- RULE NUMBER: 1 IF:
100 200 300 500 600 800 900 1000
Bajo Medio Alto
450
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PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 2 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL (FCvmn=0.2) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 4 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 5 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (FCvmb=0.5) ----------------------------------------
El factor de certeza de las VENTAS MENSUALES NORMAL
es FCvmn=0.2 (RESPUESTA)
El factor de certeza de las VENTAS MENSUALES BAJA
se calcula teniendo en cuenta las reglas 1,4 y 5.
RULE NUMBER: 1 (FCR1=FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 4 (FCR4=FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 5 (FCR5=FCvmb=0.5) ----------------------------------------
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Para calcular el Factor de certeza final FCvmb se
tiene:
FCR1R4 = FCR1 + FCR4 – FCR1*FCR4
FCR1R4 = 0.167 + 0.167 - 0.167 * 0.167 = 0.3061
FCR1R4R5 = FCR1R4 + FCR5 – FCR1R4 * FCR5
FCvmb = FCR1R4R5 = 0.3061 + 0.5 - 0.3061 * 0.5
FCvmb = FCR1R4R5 = 0.6530 (RESPUESTA)
El sistema difuso arroja las siguientes conclusio-
nes:
Las Ventas Mensuales es BAJA (Factor de Certeza =
0.653) y es NORMAL (Factor de Certeza = 0.2)
3.7. DEFUZZIFICACION DE LA VARIABLE DE SALIDA
Para defuzzificar la variable de salida, se tiene
en cuenta el grado de pertenencia de las conclusio-
nes, de aquellas reglas que se dispararon.
---------------------------------------- RULE NUMBER: 1 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (µ(y1)=FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 2 IF: PRECIO DE COMPUTADORA BARATO (0.2) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES NORMAL (µ(y2)=FCvmn=0.2) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 4
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IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE BAJO (0.167) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (µ(y3)=FCvmb=0.167) ---------------------------------------- RULE NUMBER: 5 IF: PRECIO DE COMPUTADORA ACCESIBLE (0.8) and NIVEL DE INGRESO CLIENTE MEDIO (0.5) THEN: VENTAS MENSUALES BAJA (µ(y4)=FCvmb=0.5) ----------------------------------------
Una vez ubicado el grado de pertenencia de las con-
clusiones, se debe encontrar el centroide para los
conjuntos difusos BAJA Y NORMAL. Este procedimiento
se muestra en la ilustración 14.
Para defuzzificar las ventas mensuales se utilizan
la siguiente expresión:
( )
( )∑
∑
=
=
∗= N
KK
N
KKK
Y
YYVARIABLE
1
1
µ
µ
Donde:
YK = Centroide del conjunto difuso involucrado en
la conclusión, cuando se dispara una regla.
Mg. Abraham Gamarra Moreno 30
µ(YK)= Grado de pertenencia al conjunto difuso de
la conclusión.
Para el ejemplo que estamos desarrollando y1, y2,
y3 y y4 son los centroides de los conjuntos difusos
que están en las conclusiones de las reglas 1, 2, 4
y 5 respectivamente.
Ilustración 16 Grado de pertenencia para la variable Ventas mensuales
La venta mensual es:
Venta = y1*µ(y1)+ y2*µ(y2)+ y3*µ(y3)+ y4*µ(y4) Mensual µ(y1)+ µ(y2)+ µ(y3)+ µ(y4) Venta = 16.7*0.167+30*0.2+ 16.7*0.167+ 16.7*0.5 Mensual 0.167 + 0.2 + 0.167 + 0.5 Venta = 19.272534 x 103 Mensual
Venta = 19272.5 = $ 19273 (Respuesta) Mensual
10 20 30 40 50
Baja Normal Alta
Y1=Y3=Y4=Centroide BAJA=16.7 Y2=Centroide NORMAL = 30