Capıtulo 2

Paridad y casillas.

2.1. Paridad

Los numeros 2, 4, 6, . . . se dicen que son numeros pares, mientras que losnumeros 1, 3, 5 . . . son impares. De una manera mas formal:

Definicion 1. Si un entero k es multiplo de 2, se dice que es par, en otro caso,se dice que es impar1. Entenderemos por paridad de un entero, la cualidad deser par o impar.

Una propiedad interesante de los numeros pares, es que su suma, resta ymultiplicacion, siempre nos da numeros pares2. Ası mismo, un numero imparal sumarle o restarle un numero par, seguira siendo impar. Esto lo podemosenunciar como: La paridad de un entero no cambia si le sumamos o restamosun par. Formalmente, esto se enuncia como:

Proposicion 1. 1. La suma, resta y multiplicacion de dos numeros pares,nos da como resultado un numero par.

2. La paridad de un entero es invariante ante sumas y restas de pares.

Demostracion. Sean a!, b!, dos numeros pares, por definicion estos son enterosmultiplos de 2. Luego, existen enteros a, b tales que 2a = a! y 2b = b!. Por loanterior, tendremos que:

a! + b! = 2a + 2b = 2(a + b)

a! ! b! = 2a! 2b = 2(a! b)

a! " b! = 2a" 2b = 2(2ab)

1Tambien puede decirse que es non2Es facil ver que la division no siempre es ası, como ejemplo tomemos 6/2 = 3.

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6 CAPITULO 2. PARIDAD Y CASILLAS.

Por otra parte, para demostrar que la paridad es invariante ante sumas y restasde enteros, tomemos un entero cualquiera a, se dan dos casos posibles:

1. a Es par: Por lo que acabamos de demostrar, al sumarle o restarle unnumero par, el resultado sera par.

2. a Es impar: Sumemos (restemos) un par b y digamos que el resultado esc. Si c fuera par, al restarle (sumarle) b, que tambien es un par, debera darun resultado par, pero a es impar, lo cual es una contradiccion.Concluimos que al sumarle o restarle un par, el resultado seguira siendoimpar.

Ejemplo: En el pizarron se tienen escritos once numeros 1. Se permite tomardos numeros y sumarle 1 a ambos, restarle 1 a ambos, o sumarle 1 a uno yrestarle 1 al otro. ¿Es posible mediante estas operaciones tener escritos en elpizarron once numeros 10? (16a Olimpiada en San Luis Potosı).

Solucion: Al principio, tenemos once numeros 1, Entonces la suma de estos es11. Existen tres operaciones, analicemos lo que le sucede a la suma en cada caso:

Tomar dos numeros y a ambos sumarles 1: En este caso, si la sumade los numeros en el pizarron, antes de aplicar la operacion, es s; obten-dremos s + 2 como resultado.

Tomar dos numeros y a ambos restarles 1: En este caso, si la sumade los numeros en el pizarron, antes de aplicar la operacion, es s; obten-dremos s! 2 como resultado.

Tomar dos numeros, a uno sumarle 1 y al otro restarle 1: Eneste caso, si la suma de los numeros en el pizarron, antes de aplicar laoperacion, es s; obtendremos s + 1! 1 = s como resultado.

En cualquier caso, la paridad de la suma no cambia, y como 11 es impar, alaplicar las operaciones solo podremos tener resultados impares como suma delos numeros escritos en el pizarron. Pero la suma de once 10’s es 110, el cual esun numero par. Por lo tanto, no es posible llegar a pintar once numeros 10 enel pizarron.

2.2. CASILLAS 7

2.1.1. Ejercicios.

2.1.2. Sugerencias para los ejercicios.

2.1.3. Conclucion.

La idea de paridad es sencilla y es de gran ayuda para resolver algunosproblemas, pero es muy limitada en el sentido de considerar solamente numerospares. Sin embargo, esta idea se puede extender a enteros multiplos de 3, de4, de 5, etc. Con el simple hecho de tomar en cuenta los residuos de estos. lapropiedad enunciada cambiara a la siguiente forma:

Proposicion 2. 1. La suma, resta y multiplicacion de dos numeros multi-plos de n, nos da como resultado un numero multiplo de n.

2. El residuo al dividir entre n a un entero, es invariante ante sumas y restasde multiplos de n.

Demostracion. Sean a!, b!, dos numeros multiplos de n. Luego, existen enterosa, b tales que na = a! y nb = b!. Por lo anterior, tendremos que:

a! + b! = na + nb = n(a + b)

a! ! b! = na! nb = n(a! b)

a! " b! = na" nb = n(nab)

Por otra parte, para demostrar que el residuo es invariante ante sumas y restasde multiplos de n, tomemos un entero cualquiera a, se dan dos casos posibles:

1. a Es multiplo de n: Por lo que acabamos de demostrar, al sumarle orestarle un numero multiplo de n, el resultado sera multiplo de n.

2. a Deja residuo r: Tomemos b un entero multiplo de n y sumemoselo(restemoselo) a a, y busquemos el residuo que deja a± b al dividirlo entren, Para esto, es facil ver que a± b = a± b! r + r = (a! r)± b + r, pero,al dejar a residuo r al dividirse entre n, a ! r sera multiplo de n. luego,a± b deja residuo r.Concluimos que al sumarle o restarle un multiplo de n, el residuo seguira sien-do r.

2.2. Casillas

Imagina que tienes tres palomas y dos palomares. Si todas las palomas estanen los palomares, puedes asegurar que al menos dos de ellas estan en el mismopalomar. Esta idea es muy simple, y sin embargo, es muy poderosa. Demos unenunciado formal del principio y a continuacion veamos un ejemplo:

8 CAPITULO 2. PARIDAD Y CASILLAS.

Proposicion 3. (Principio de casillas3) Si tenemos kn + 1 elementos arepartir entre n conjuntos, podemos asegurar que habra almenos un conjuntocon k + 1 elementos.

Demostracion. Supongamos que cada conjunto tiene a lo mas k elementos, al sern conjuntos, habra a lo mas kn elementos, contradiciendo el hecho de que son n+1 elementos. Por lo tanto, habra un conjunto con al menos k + 1 elementos.

Ejemplo: En un triangulo, de area 4 se colocan 9 puntos. Muestre que hay tresde ellos que forman un triangulo de area menor o igual que 1.

Solucion. Primero, trazemos paralelas a los lados, del triangulo, como en 2.2,de tal manera que cada triangulo interior tenga area 1.

2.2

Como hay 9 puntos, y 4 triangulos, por principio de palomares, habra un tri-angulito que contenga al menos 3 puntos, por lo que el triangulo que formentendra area menor o igual a 1.

2.2.1. Ejercicios.

2.2.2. Sugerencias para los ejercicios.

2.2.3. Conclucion.

Este principio es realmente simple, pero sus implicaciones son muy fuertes.Se recomienda hacer al menos 10 ejercicios de Casillas para poder manejar bienla idea.

3Tambien se conoce como principio de palomares o de Dirichlet.