7/21/2019 Logaritmos

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Los logaritmos

Definicion:   LogaritmoSean a, x n ´ umeros reales positivos con a > 0, a = 1. El logaritmo de x en la base a es el n´ umero de veces que se debemultiplicar el n ´ umero a para obtener como resultado el n´ umero x.

loga x  =  y   ⇔   a y = x

La funci´ on y =  loga x se conoce como la funci´ on logarıtmica en la base a.

De la definicion de logaritmo se deduce inmediatamente:

i. loga 1 =  0, pues  a0 = 1 ii. loga a  =  1, pues  a1 = a

Las propiedades mas basicas de los logaritmos son:

i. loga(u · v) = loga u + loga v

ii. loga

u

v

 =  loga u − loga v

iii. loga(un) = n  loga u

iv. loga x  =  logb x

logb a

De las propiedades de los logaritmos se deduce:

i. loga

1u

 = − loga(u), porque loga(1) = 0.

ii. loga(ax) = x , porque a x = a x

iii.   aloga(x) = x , porque y  =  loga(x)   ⇒   a y = aloga (x) = x

Estas tres propiedades ayudan mucho a simplificar expresiones exponenciales y logarıtmicas.

Una forma de explicar la simplificacion de expresiones exponenciales es que el estudiante observe que enlos  ultimos dos casos se repite la base a:

loga(ax) = x   ⇒   log

  

a(  ax) = x

Puede imaginar que en este caso se  cancela la base por estar repetida.

En el siguiente caso podemos suponer lo mismo:

aloga (x) = x   ⇒   alog

  a(x)

= x

Esto puede ayudarte a recordar como simplificar las expresiones logarıtmicas y exponenciales a los estu-diantes.

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