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LIC. ESP. BLANCA N. CASTILLO R. PERIODO I

GUIA NO. 1

3 semanas

ENERO 25 AL 1 DE

ABRIL 2016

Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos

Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas Justifico la teoría de las relaciones trigonométricas en el cálculo de ejercicios EJE TEMATICO : PENSAMIENTO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO VARIACIONAL

LO QUE DEBO APRENDER:

MOTIVACIÓN: “Para ganarme una beca del gobierno debo prepararme y ser el (la) mejor”

CONCEPTUALIZACIÓN

Función matemática

En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados. En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados.

Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida»

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r (el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A =π·r2). Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que se desplace el tren (la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v). A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

Funciones 1. Función

1.1 concepto 1.2 Dominio y rango 1.3 Clases de funciones 2. Representación de funciones 2.1 Gráficos 2.2 Función creciente y decreciente 2.3 funciones pares e impares 2.4 Funciones periódicas 2.5 Función inversa 3. Función de variable real 3.1 Función lineal y afín 3.2 Función cuadrática y cubica 4. Función exponencial y logarítmicas 5. Función definidas a trozos 5.1 Función parte entera 5.2 Función valor absoluto

Funciones trigonométricas Conceptos previos

1. Ángulos 1.1 Ángulos en el plano cartesiano 1.2 Medición de ángulos 1.3 Longitud de arco 1.4 Velocidad angular y lineal 1.5 Triángulos 2. Funciones trigonométricas 2.1 Definición de las funciones trigonométricas de unos ángulos en su posición normal 2.2 Signo de las funciones trigonométricas 2.3 Funciones trigonométricas en los cuadrantes 3. Relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo 4. Reducción al primer cuadrante 5. Problemas de aplicación

2 En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cadanúmero entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

... −2 → +4, −1 → +1, 0 → 0,

+1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, ...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español. La manera habitual de denotar una función f es: f: A → B a → f(a), Donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como: f: Z → N k → k2, o sencillamente f(k) = k2; g: V → A p → Inicial de p; si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}. Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función. Introducción

Representación gráfica de la velocidad de un cuerpo acelerado a 0,66 m/s2. Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre la posición y el tiempoen el movimiento de un cuerpo. Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s2 recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurridot. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.) Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distintos:

Tiempo t (s) Distancia d (m)

0,0 0,0

0,5 0,1

1,0 0,3

1,5 0,7

2,0 1,3

2,5 2,0

La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión: d = 0,33 × t2,

donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes. Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a y t; en particular, d = a·t2/2. Las funciones también se utilizan

para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una función que a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de la semana le asigna el siguiente:

3 Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes Definición La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.

Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación6 f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio(también conjunto de llegada o conjunto final).

Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genérico b del dominio B es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza una definición formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto. Ejemplos

Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a cada número en el dominio R le asigna su cubo en el codominio R.

Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único inverso. Existe entonces la función «inverso» cuyo dominio son los números reales no nulos R \ {0}, y con codominio R.

Cada mamífero conocido se clasifica en un género, como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto una función «clasificación en géneros» que asigna a cada mamífero de la colección M = {mamíferos conocidos} su género. El codominio de «clasificación en géneros» es la colección G = {géneros de Mammalia}.

Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección T de todos ellos, su dominio),

le asigna su área, un número real, luego su codominio es R.

En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, existe una función «voto» que asigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una función entre ellos.

Funciones con múltiples variables Notación. Nomenclatura La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominio B es:

También se dice que f es una función «de A a B» o «entre A y B». El dominio de una función f se denota también por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento

de B asociado a un cierto a ∈ A, denominado la imagen de a.6 Ejemplos

La función «cubo» puede denotarse ahora como f: R → R, con f(x) = x3 para cada número real x.

La función «inverso» es g: R \ {0} → R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo.

La función «clasificación en géneros» puede escribirse como γ: M → G, donde γ(m) = Género de m, para cada mamífero conocido m.

La función «área» se puede denotar como A: T → R, y entonces A(t) = Área de t = B · H/2, donde t es un triángulo del plano, B su base, y H su altura.

La función «voto» se puede escribir como v: E → P, donde v(a) = Partido que a votó, para cada votante a.

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas Artículos principales: Función inyectiva, Función suprayectiva y Función biyectiva.

La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente clasificación: Se dice que una función f : A → B es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas:

o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a elementos idénticos:

Una función f : A → B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio:

o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algún elemento del dominio:

Composición de funciones

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La composición g ∘ f actúa sobre el objeto x transformándolo según f, y después transformando f(x) mediante g. Artículo principal: Composición de funciones

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valores de salida de una de ellas como valores de entrada para la otra., creando una nueva función.

Sean dos funciones f : A → B y g : C → D, tales que el recorrido de la primera esté contenido en el dominio de la segunda, Im(f) ⊆ C. Entonces puede formarse la composición de g con f, la función g ∘ f : A → D que a cada a en el dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a) = g(f(a)).

Funciones Inyectiva No inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva

5 1. Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. Las funciones algebraicas pueden ser: Funciones explícitas Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución. f(x) = 5x − 2 Funciones implícitas Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x − y − 2 = 0 1.1 Funciones polinómicas Son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn

Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen. 1.1.1 Funciones constantes El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. 1.1.2 Funciones polinómica de primer grado f(x) = mx + n Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Son funciones de este tipo las siguientes: Función afín. Función lineal. Función identidad. 1.1.3 Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx + c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. 1.2 Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. 1.3 Funciones radicales El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. 1.4 Funciones algebraicas a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. Funciones en valor absoluto. Función parte entera de x. Función mantisa. Función signo. 2. Funciones trascendentes La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría. 2.1 Funciones exponenciales

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llamafunción exponencial de base a y exponente x. 2.2 Funciones logarítmicas La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

2.3 Funciones trigonométricas Función seno f(x) = sen x Función coseno f(x) = cos x Función tangente f(x) = tg x Función cosecante f(x) = cosec x Función secante f(x) = sec x Función cotangente f(x) = cotg x

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AUTOEVALUACIÓN

EN CLASE:

Se revisa la palabra del vocabulario, y los ejercicios del taller

Debo estudiar todos los días : Tema visto tema evaluado

Debo desarrollar en clase los ejercicios indicados por la docente de las pág. 11,12,19,21,23,28,34 texto

de Santillana para grado 10

Debo traer siempre el cuaderno y la carpeta de matemática igual los implementos necesarios

Debo traer en todas las clases una palabra (temas clase) para armar el vocabulario que se entregara en

la última clase del periodo. Total 20semans por tres igual 60 palabras (aprender su significado)

Debo escribir la fecha en mi cuaderno de todas las clases de Matemática que reciba en el periodo

EN CASA:

Debo ver los siguientes videos

Clases de funciones - YouTube

▶ 11:30

https://www.youtube.com/watch?v=oo-OlMQI7nI 12 mar. 2014 - Subido por Tareasplus En este tutorial se muestran diferentes clases de funciones, incluyendo además un bosquejo de gráfica ..

Clases de funciones - YouTube ▶ 11:30 https://www.youtube.com/watch?v=oo-OlMQI7nI 12 mar. 2014 - Subido por Tareasplus En este tutorial se muestran diferentes clases de funciones, incluyendo además un bosquejo de gráfica ... TIPO DE FUNCIONES - YouTube ▶ 12:06 https://www.youtube.com/watch?v=j_f_IEjiXrA 30 sept. 2010 - Subido por Humberto Aguilar M.4A.9.T.10 - Tipos de funciones - Duration: 15:37. Canal ahoraloentiendo 8,824 views. 15:37. Funciones ... Clases de Funciones - YouTube ▶ 7:37 https://www.youtube.com/watch?v=YJl_LQDwTMM 24 ago. 2011 - Subido por Erick Bonilla Ingresa a: http://mihijoconbuenanotaenmate.com/ cuales son las clases de funciones mas conocidas.

Consulta quien fue :

Debo desarrollar lo que no termine en clase de las pág. 11,12,19,21,23,28,34 texto de Santillana para grado 10

(fotocopiadora)

Debo estudiar siempre que haya clase. Debo estar atento siempre a y preguntar lo que no entienda

Debo preparar el Icfes con los cuadernillos de Procesos del Saber de Helmer Pardo (actualizados) y entregarlos

en la última clase de final de periodo en papel cuadriculado y dentro de una carpeta

Debo leer todo el libro durante los cuatro periodos del divertido juego de las matemáticas y proponer en clase los

ejercicios que mas le interesen realizando un juego en el aula de clase realizar un juego cada semana

Debo corregir las evaluaciones y guardarlas en la carpeta que entregare al final de periodo

POR FAVOR SU CARPETA DEBE ESTAR ORGANIZADA ASI: CONSULTAS E INVESTIGACIONES,

VOCABULARIO, EVALUACIONES, TALLERES DESARROLLADOS ESTA TIENE UNA CALIFICACION

EN EL HACER Y SABER

“SI TE PREPARAS HOY SERAS ALGUIEN EN EL MAÑANA, ADELANTE APUNTALE A SER EL (LA)

MEJOR”

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LO QUE DEBO APRENDER Funciones trigonométricas Conceptos previos

1. Ángulo

Un ángulo positivo de 45°.

Ángulo de 1° (amplitud de 1 grado sexagesimal). Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente. Definición y características Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano: Forma geométrica: Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Transportador de ángulos. Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son: Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)

Grado sexagesimal

Grado centesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc. Tipos de ángulos Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo. 1.1 Ángulos en el plano cartesiano

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Tipo Descripción

Ángulo nulo

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y

menor de rad. Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).

Ángulo recto

Un ángulo recto es de amplitud igual a rad. Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales). Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí. La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad. Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).

Ángulo llano

El ángulo llano tiene una amplitud de rad. Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

Ángulo cóncavo

Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto. Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Ángulo completo o perigonal

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad. Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

9 Ángulos convexo y cóncavo En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):1

Tipo Descripción

Ángulo convexo o saliente

Es el que mide menos de rad. Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).

Ángulo cóncavo, reflejo o entrante

Es el que mide más de rad y menos de rad. Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).

Ángulos relacionados En función de su posición, se denominan: Ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, y semirrectas opuestas, pero no tienen ningún punto interior común, y suman 180°. Ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común. Ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas. En función de su amplitud, se denominan: Ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo. Ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°. Ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°. Ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°. Cuando dos rectas son cortadas por una tercera en distindo punto:3

Recta Que Corta Ángulos alternos: ángulos dispuestos a distinto lado de una recta que corta otras dos pero que no comparten

lado.

o es alterno a o a

o es alterno a o a y viceversa. Ángulo alternos internos: ángulos comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta

cortante.

es alterno interno a

es alterno interno a Ángulo alternos externos: ángulos no comprendidos entre dos rectas pero situados a distinto lado de la recta que corta.

es alterno externo a

es alterno externo a

10 Ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal. Se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la transversal y uno pertenece a la región interior y otro a la región exterior. Son congruentes. Ángulos de un polígono En función de su posición, se denominan: ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente. ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente. Ángulos respecto de una circunferencia

Ángulos en la circunferencia. Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales. Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser: Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca. Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos. La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.) Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre esta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el

punto de tangencia el propio vértice. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca. Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones; Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de esta. TRABAJO EN CASA: 1. Debajo de cada ángulo escriba su medida y clasifíquelo

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1.2 Medida de ángulos y conversiones de una sistema a otro

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice. El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario. Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades:

1 Grado sexagesimal (°):

Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal. Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

2 Radián (rad):

Es la medida de un ángulo cuyo arco mide un radio.

Ejemplo:

2π rad = 360° π rad = 180°

30º rad

/3 rad º

TALLER EN CLASE NO. 1 1. Desarrolla los ejercicios indicados pág. 40 Texto de Santillana No. 10 2. Consulta próxima clase operaciones con ángulos

3. Longitud del arco

4. Velocidad angular y velocidad lineal

5. Lee pág. 46 y 47 y escribe sus propios conceptos de la lectura anéxala a la carpeta para presentar final de periodo

6. Saca las copias del texto guía pag. 45, 56, 60

7. Entrega como calificación adicional la pag. 66 (opcional para obtener una calificación mas )Ver TODOS

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Calcular la longitud de un arco de Circunferencia

Arco, como ya lo sabemos es un trozo, una parte de la longitud de la circunferencia.

El arco es la parte de la longitud de la circunferencia que corresponde al ángulo central O de 82º. Compruebas que una circunferencia de radio 3,41cm., cuya longitud total sería

de Esta longitud corresponde a la longitud total de la circunferencia, es decir, a los 360º. Lo que tenemos que calcular ahora es la longitud del trozo de circunferencia que corresponde a 82º. Para ello, con una regla de tres podemos conocerla:

Vemos que la longitud del arco es de 4,88 cm.

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esofisicaquimica/4quincena2/4q2_con

tenidos_2c.htm

La Velocidad Angular (W): es el ángulo girado por el móvil en la unidad de tiempo. es decir es la rapidez con que varia

el ángulo a medida que transcurre el tiempo, su unidad de medida según el S.I es [rad/s].

La Velocidad Lineal (v): es la longitud del arco recorrido Δs en la unidad de tiempo, su unidad de medida según el S.I es

[m/s].

http://www.cinematik3d.com/index.php/mc/velocidad-angular-lineal

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EVALUACION

14 DEFINICION DE RAZONES TRIGONOMETRICAS

RAZONES TRIGONOMETRICAS Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triangulo rectangulo

asociado a sus ángulos.

Existen seis funciones trigonométricas básicas.

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que

contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.

El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es

igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0

y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para

angulos de este rango

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo

ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.

2) El coseno de un ángulo la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

TALLER EN CLASE no.2 1. Desarrolla en clase los ejercicios indicados pág. 45 2. Estudia próxima clase temas vistos

TALLER EN CLASE NO. 3

1. Desarrolla los ejercicios indicados pag. 56 y 60

2. Lo que no termine lo realiza en clase

3. Se prepara para una evaluación

15 ANGULOS DE 30,45 Y 60 GRADOS

Razones trigonométricas de 30° y 60

Estas funciones se deducen del triángulo equilátero que tiene 1 unidad de longitud por cada lado, como indica la figura:

En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60°. La altura, h, del triángulo equilátero coincide con uno de los catetos.

Razones trigonométricas de 45°

Esta razón se deduce de un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos tienen de medida 1 unidad, sus ángulos agudos

miden 45° cada uno. La hipotenusa de este tipo de triángulo rectángulo es:a

REGLA PARA CALCULAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS MAS IMPORTANTES

Numeramos los ángulos de 0 a 4 en orden creciente. El número que corresponde a cada ángulo será el n del mismo.

Numerados así el seno de un ángulo será la raíz de su npartida por 2. De esta forma obtenemos la fila de los senos. Para

obtener la fila de los cosenos no hace falta ningún cálculo, simplemente colocamos la fila que hemos obtenido antes en

orden inverso. Y para obtener la de las tangentes simplemente divididos el valor del seno entre el valor del coseno.

REPRESENTACION GRAFICA Representación gráfica de las funciones trigonométricas

Es imprescindible familiarizarse con las gráficas de cada una de estas funciones y conocer sus características principales.

https://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/REPRESENTACION+GRAFICA

https://relacionestrigonometricas.wikispaces.com/VIDEO+TUTORIAL+DE+RELACIONES+TRIGONOMETRICAS

CONSULTA TODAS LAS DIRECCIONES DE INTERNET Y VEA LOS VIDEOS INDICADOS ASI APRENDERA

MAS

IDENTIDADES BASICAS DE TRIGONOMETRIA.pptx

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17 http://math.kendallhunt.com/documents/dg3/condensedlessonplansspanish/dg_clps_12.pdf

TRIGONOMETRIA

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la

medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο "triángulo" + μετρον "medida". La trigonometría es la

rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las

razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.

PIRÁMIDE MAYA

Las pirámides mayas responden a distintas exigencias. La diferencia principal entre una pirámide maya y una egipcia está

en que la primera, igual que el zigurat babilónico,

tiene como función principal soportar un templo, lo que no ocurría con las construcciones faraónicas. El edificio maya es

ante todo un monumental zócalo sobre el cual se alza el sanctasanctórum, el lugar del culto consagrado a las divinidades

APLICACIÓNES DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS

La trigonometría, en sus inicios, se concretó al estudio de los triángulos. Por varios siglos se empleó en topografía,

navegación y astronomía. En la aplicación de los triángulos rectángulos se deben manejar dos conceptos fundamentales

además del manejo de las relaciones trigonométricas ellos son ángulo de elevación y ángulo de depresión.

Equipo de topografía

El ingeniero de la izquierda mira a través de un teodolito la barra marcada que sostiene otro ingeniero situado más lejos.

Algunas de las medidas topográficas consisten en ver la diferencia de elevación entre la barra y el teodolito, las distancias

horizontales y los ángulos verticales y horizontales. El tercer miembro del equipo registra los datos medidos.

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

El ángulo que se forma entre la línea visual y la horizontal es el ángulo de elevación, o el de depresión.

18 PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. El extremo superior de una escalera esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 3m. Si forma un

ángulo 51º con el suelo, ¿Cuál es el largo de la escalera?

2. Un observador se encuentra en un faro al pie de un acantilado. Esta a 687m sobre el nivel del mar, desde este punto

observa un barco con un ángulo depresión de 23º. Se desea saber a que distancia de la base del acantilado se encuentra el

barco.

AREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Multiplicar la longitud de los catetos y dividirlo entre 2

Un observador tiene un nivel visual de 1.70 m de altura, y se encuentra a 30 m de una antena. Al ver la punta de la antena,

su vista forma un ángulo de elevación de 33° ¿Cuál es la altura de la antena? Solución: Utilizamos la siguiente figura, en

la cual calcularemos h primero.

Por lo tanto, la altura de la antena = h + el nivel visual del observador. De modo que la altura de la antena es: 19.48 + 1.70

= 21.18 m.

19

EJERCICIOS:

1) Un observador tiene un nivel visual de 1.40 m de altura, y se encuentra a 65 m de un árbol. Al ver la punta del árbol, su

vista forma un ángulo de elevación de 24°. ¿Cuál es la altura del árbol?

30.34 m

2) Un observador sobre un edificio tiene un nivel visual de 1.50 m de altura. Al ver un automóvil estacionado, el ángulo

de depresión de su vista es de 52°. Si la base del edificio se encuentra a 70 m del automóvil, ¿cuál es la altura del edificio?

88.10 m

TALLER EN CLASE DÍA 29 DE AGOSTO

Para este día los estudiantes deberán resolver los siguientes ejercicios en clase, sin la guia del profesor, lo cual evidencie

el grado o nivel de aprendizaje del tema.

Cada ejercicio deberá tener un dibujo o gráfica que mejor represente la situación dada en él.

3) Un observador tiene un nivel visual de 1.80 m de altura. Al ver la punta de un árbol de 15 m de altura, su vista forma

un ángulo visual de elevación de 41°. ¿A qué distancia horizontal se encuentra el observador de la base del árbol?

15.18 m

4) Un observador sobre un muelle tiene un nivel visual de 1.30 m. El muelle sobresale 2.45 m por encima del agua. Al

mirar una roca, el ángulo de depresión de su vista es de 17°. ¿Cuál es la distancia mínima (diagonal) entre los ojos del

observador y la roca?

12.83 m

5) Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con

respecto al piso.

5 m

6) Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el

piso, y que tiene un largo de 13.75 m.

56°57

TALLER EN CLASE NO. 4

5) Obtener la altura de una pared, sobre la cual se encuentra recargada una escalera de 4.53 m de longitud que forma un

ángulo de 30° con respecto al piso.

RTA:2.26m

TOMADO DE https://docs.google.com/document/d/1DhUJjlxuUqs4xzqzE0W1GfzQMnfeiI2VD4KcWbwnymM/edit#