Límites y Continuidad - WordPress.com · 2016. 10. 26. · Asíntotas y ramas inﬁnitas 4...

Límites y Continuidad2◦

Bachillerato Ciencias Sociales

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2015/16

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Límites Curso 2015/16 1 / 38

Índice

1 IntroducciónIntervalos y entornosLímite de una funciónLímites lateralesLímite infinitoLímites en el infinito¿Y cómo calculamos límites?

2 Operaciones con límitesOperaciones

3 Cálculo de límitesReglas básicas de cálculoIndeterminaciones k/0Indeterminaciones ∞/∞

Indeterminaciones 0/0Indeterminaciones 0 · ∞Indeterminaciones ∞−∞Indeterminaciones 1∞

Asíntotas y ramas infinitas4 Continuidad

DefiniciónDiscontinuidad. Tipos

5 Problemas Propuestos6 Personajes en la Historia

Cauchy y Dirichlet7 Bibliografía8 Créditos


Introducción

Ir a Índice

1| Introdu ión


Introducción Intervalos y entornos

Para dar la definición precisa de límite, necesitamos los conceptos de intervalo y entorno,conceptos que ya vimos en primero de bachillerato.




Intervalo

Sólo recordamos las definiciones de intervalo abierto e intervalo cerrado. Un intervalo es unconjunto de números reales de la recta real. Vienen determinados por sus extremos. Según seincluyan o no los puntos extremos en estos conjuntos, los intervalos pueden ser abiertos ycerrados. Así tenemos:




Intervalo


Intervalo abierto, (a, b): {x |a < x < b}, no se incluyen los extremos




Intervalo



Intervalo cerrado, [a, b]: {x |a ≤ x ≤ b}, se incluyen los extremos.




Intervalo




Entorno

Un entorno es un intervalo abierto. Hay varios tipos:

Entorno simétrico, E(c, ε), de centro c y radio ε, es el intervalo abierto (c − ε, c + ε).Ejemplo: E(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3 + 0.5) = (2.5, 3.5)




Intervalo




Entorno



Entorno reducido,E∗(c, ε), es el entorno simétrico que no incluye el centro, es decir,E(c, ε)− {c}.Ejemplo: E∗(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3 + 0.5)− {3} = (2.5, 3.5) − {3}




Intervalo




Entorno



Entorno reducido,E∗(c, ε), es el entorno simétrico que no incluye el centro, es decir,E(c, ε)− {c}.Ejemplo: E∗(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3 + 0.5)− {3} = (2.5, 3.5) − {3}Entorno lateral a la derecha,E+(c, ε), es el intervalo (c − ε, c).Ejemplo: E+(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3) = (2.5, 3)




Intervalo




Entorno



Entorno reducido,E∗(c, ε), es el entorno simétrico que no incluye el centro, es decir,E(c, ε)− {c}.Ejemplo: E∗(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3 + 0.5)− {3} = (2.5, 3.5) − {3}Entorno lateral a la derecha,E+(c, ε), es el intervalo (c − ε, c).Ejemplo: E+(3, 0.5) = (3 − 0.5, 3) = (2.5, 3)

Entorno lateral a la izquierda,E−(c, ε), es el intervalo (c, c + ε).Ejemplo: E−(3, 0.5) = (3, 3 + 0.5) = (3, 3.5)


Introducción Límite de una función

Límite de una función

Una función f (x) tiene por límite l cuando x tiende a c y escribimos

limx→c

f (x) = l

si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno E(c, δ), de modo que para todo x que pertenezcaal entorno reducido E∗(c, δ) se cumpla que f (x) pertenece al entorno E(l , ε).Las funciones que cumplen esta definición se llaman convergentes en c.


Introducción Límite de una función

Límite de una función

Una función f (x) tiene por límite l cuando x tiende a c y escribimos

limx→c

f (x) = l

si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno E(c, δ), de modo que para todo x que pertenezcaal entorno reducido E∗(c, δ) se cumpla que f (x) pertenece al entorno E(l , ε).Las funciones que cumplen esta definición se llaman convergentes en c.

Nota: Para que una función tenga límite enun punto no es necesario que la funciónesté definida en ese punto.


Introducción Límites laterales

Límites laterales

Una función tiene por límite l cuando x tiende a c por la izquierda y escribimos

limx→c−

f (x) = l

si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno lateral a la izquierda E(c, δ) = (c − δ, c), demodo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece alentorno E(l , ε).



Límites laterales


limx→c−

f (x) = l


Una función tiene por límite l cuando x tiende a c por la derecha y escribimos

limx→c+

f (x) = l

si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno lateral a la derecha E(c, δ) = (c, c + δ), demodo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece alentorno E(l , ε).



Límites laterales


limx→c−

f (x) = l


Una función tiene por límite l cuando x tiende a c por la derecha y escribimos

limx→c+

f (x) = l

si para todo entorno E(l , ε) existe un entorno lateral a la derecha E(c, δ) = (c, c + δ), demodo que para todo x que pertenezca a este entorno lateral se cumpla que f (x) pertenece alentorno E(l , ε).

Si se cumple que limx→c−

f (x) = limx→c+

f (x) = l , entonces

limx→c

f (x) = l


Introducción Límite infinito

Límite infinito

Una función tiene por límite +∞ o −∞ cuando x tiende a c si para todo número real M existeun entorno reducido E∗(x , δ) de modo que para todo x que pertenece a ese entorno se verificaque |f (x)| en mayor que |M|, y escribimos

limx→c

f (x) = ±∞

olim

x→c−f (x) = ±∞ y lim

x→c+f (x) = ±∞

Estas funciones se llaman divergentes. En las figuras de abajo "vemos" la idea de límite infinito.

Figure: f (x) =1

|x − c| Figure: f (x) =1

x − c


Introducción Límites en el infinito

Límites finitos en el infinito

Una función tiene por límite l ∈ IR cuando x tiende a +∞ si para todo ε positivo existe un numeroreal M de modo que para todo x > M se verifica que f (x) está en el entorno E(l , ε), y escribimos

limx→∞

f (x) = l

En la siguiente gráfica vemos la situación

Vemos que cuando x → ∞ entoncesf (x) → l , y esto lo expresamos como

limx→+∞

f (x) = l

De igual manera

limx→−∞

f (x) = l


Introducción ¿Y cómo calculamos límites?

¿Y cómo calculamos límites?

Ya vimos en el curso anterior que para calcular límites debemos sustituir en la función el valorhacia el que tiende x y operar. Veamos algunos ejemplos:





limx→1

(3x − 1) = limx→1

(3 · 1 − 1) = 2

limx→2

1

x − 1= lim

x→2

1

2 − 1= 1





limx→1

(3x − 1) = limx→1

(3 · 1 − 1) = 2

limx→2

1

x − 1= lim

x→2

1

2 − 1= 1

limx→−1

2x = limx→−1

2−1 = 2−1 =1

2

A veces no es posible calcular directamente estos límites. Por ejemplo, en el segundo límite quehemos calculado, si hacemos tender x hacia 1, tenemos

limx→1

1

x − 1= lim

x→1

1

1 − 1=

1

0=???

A estos casos los denominamos indeterminaciones, y los veremos más adelante.





limx→1

(3x − 1) = limx→1

(3 · 1 − 1) = 2

limx→2

1

x − 1= lim

x→2

1

2 − 1= 1

limx→−1

2x = limx→−1

2−1 = 2−1 =1

2


limx→1

1

x − 1= lim

x→1

1

1 − 1=

1

0=???


Hay otras expresiones "raras", que no son indeterminaciones y que tienen un valor definido,siendo conveniente recordarlas. Aquí tenemos algunas





limx→1

(3x − 1) = limx→1

(3 · 1 − 1) = 2

limx→2

1

x − 1= lim

x→2

1

2 − 1= 1

limx→−1

2x = limx→−1

2−1 = 2−1 =1

2


limx→1

1

x − 1= lim

x→1

1

1 − 1=

1

0=???


Hay otras expresiones "raras", que no son indeterminaciones y que tienen un valor definido,siendo conveniente recordarlas. Aquí tenemos algunas

k

±∞ = 0, k ∈ IR±∞k

= ±∞, k ∈ IR0

k= 0, k 6= 0

k+∞ = +∞, k > 1 k+∞ = 0, 0 < k < 1


Operaciones con límites

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2| Opera iones

on límites


Operaciones con límites Operaciones


Sean f (x) y g(x) dos funciones convergentes en x = c; es decir

limx→c

f (x) = l y limx→c

g(x) = m

Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Límite de la suma o diferencia de funciones

limx→c

[f (x)± g(x)] = limx→c

f (x)± limx→c

g(x) = l ±m





limx→c


g(x) = m



limx→c


f (x)± limx→c

g(x) = l ±m

Límite del producto de funciones

limx→c

[f (x) · g(x)] =[

limx→c

f (x)

]

·[

limx→c

g(x)

]

= l ·m





limx→c


g(x) = m



limx→c


f (x)± limx→c

g(x) = l ±m


limx→c

[f (x) · g(x)] =[

limx→c

f (x)

]

·[

limx→c

g(x)

]

= l ·m

Límite del cociente de funciones

limx→c

[

f (x)

g(x)

]

=

limx→c

f (x)

limx→c

g(x)=

l

m, m 6= 0





limx→c


g(x) = m



limx→c


f (x)± limx→c

g(x) = l ±m


limx→c

[f (x) · g(x)] =[

limx→c

f (x)

]

·[

limx→c

g(x)

]

= l ·m

Límite del cociente de funciones

limx→c

[

f (x)

g(x)

]

=

limx→c

f (x)

limx→c

g(x)=

l

m, m 6= 0

Límite de la potencia de funciones

limx→c

[f (x)]g(x) =

[

limx→c

f (x)

] limx→c

g(x)= lm, l > 0


Cálculo de límites

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3| Cál ulo de

límites


Cálculo de límites Reglas básicas de cálculo

Reglas básicas de cálculo

Para el cálculo de límites tendremos en cuenta las siguientes reglas:





Regla I: Para calcular límites debemos sustituir en la función el valor hacia el que tiende x yoperar. Si no sale al sustituir ninguna indeterminación (que las vemos más abajo), elproblema está resuelto. En caso contrario debemos "deshacer" la indeterminación.






Regla II: Las funciones polinómicas, cuando x tiende a +∞ o −∞, se comportan como sutérmino de mayor grado; es decir:

limx→±∞

(

anxn · · ·+ a2x

2 + a1x + a0

)

= limx→±∞

(anxn)







limx→±∞

(

anxn · · ·+ a2x

2 + a1x + a0

)

= limx→±∞

(anxn)

Regla III: Si aparece alguna indeterminación, debemos "deshacerlas". Lasindeterminaciones son:

k

0

∞∞

0

00 · ∞

∞−∞ 1∞ 00 ∞0







limx→±∞

(

anxn · · ·+ a2x

2 + a1x + a0

)

= limx→±∞

(anxn)

Regla III: Si aparece alguna indeterminación, debemos "deshacerlas". Lasindeterminaciones son:

k

0

∞∞

0

00 · ∞

∞−∞ 1∞ 00 ∞0

A continuación se explica como "deshacer" cada una de las indeterminaciones.


Cálculo de límites Indeterminaciones k/0

Indeterminaciones del tipok

0Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones. Estas indeterminaciones tienen tres tiposde soluciones: +∞, −∞ y ∄. Cuando aparezca, se deben estudiar los límites laterales. Veamosun ejemplo de cada tipo de solución:





limx→1

3x

|x2 − 1|=

3

0=

limx→1−

3x

|x2 − 1| = +∞

limx→1+

3x

|x2 − 1|= +∞

=⇒ limx→1

3x

|x2 − 1|= +∞





limx→1

3x

|x2 − 1|=

3

0=

limx→1−

3x

|x2 − 1| = +∞

limx→1+

3x

|x2 − 1|= +∞

=⇒ limx→1

3x

|x2 − 1|= +∞

limx→2

3x

x − 2=

6

0=

limx→2−

3x

x − 2= −∞

limx→2+

3x

x − 2= +∞

=⇒ No existe





limx→1

3x

|x2 − 1|=

3

0=

limx→1−

3x

|x2 − 1| = +∞

limx→1+

3x

|x2 − 1|= +∞

=⇒ limx→1

3x

|x2 − 1|= +∞

limx→2

3x

x − 2=

6

0=

limx→2−

3x

x − 2= −∞

limx→2+

3x

x − 2= +∞

=⇒ No existe

limx→−1

3x

|x2 − 1|=

−3

0=

limx→−1−

3x

|x2 − 1|= −∞

limx→−1+

3x

|x2 − 1|= −∞

=⇒ limx→−1

3x

|x2 − 1|= −∞


Cálculo de límites Indeterminaciones ∞/∞

Indeterminaciones del tipo∞∞

Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas. Se resuelven aplicando laRegla II. Así, tenemos:





limx→±∞

anxn + · · ·+ a2x

2 + a1x + a0

bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0

= limx→±∞

anxn

bmxm= lim

x→±∞

(

an

bn

)

xn−m





limx→±∞

anxn + · · ·+ a2x

2 + a1x + a0

bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0

= limx→±∞

anxn

bmxm= lim

x→±∞

(

an

bn

)

xn−m

Veamos unos ejemplos:





limx→±∞

anxn + · · ·+ a2x

2 + a1x + a0

bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0

= limx→±∞

anxn

bmxm= lim

x→±∞

(

an

bn

)

xn−m


limx→−∞

3x5 − 7x2 + 2

−x2 + 4x + 1=

∞∞ = lim

x→−∞

3x5

−x2= lim

x→−∞

(

3

−1

)

x3 = +∞





limx→±∞

anxn + · · ·+ a2x

2 + a1x + a0

bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0

= limx→±∞

anxn

bmxm= lim

x→±∞

(

an

bn

)

xn−m


limx→−∞

3x5 − 7x2 + 2

−x2 + 4x + 1=

∞∞ = lim

x→−∞

3x5

−x2= lim

x→−∞

(

3

−1

)

x3 = +∞

limx→−∞

x3 − 7x2 + 2

−x4 + 4x + 1=

∞∞ = lim

x→−∞

x3

−x4= lim

x→−∞

(

1

−1

)

x−1 = 0





limx→±∞

anxn + · · ·+ a2x

2 + a1x + a0

bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0

= limx→±∞

anxn

bmxm= lim

x→±∞

(

an

bn

)

xn−m


limx→−∞

3x5 − 7x2 + 2

−x2 + 4x + 1=

∞∞ = lim

x→−∞

3x5

−x2= lim

x→−∞

(

3

−1

)

x3 = +∞

limx→−∞

x3 − 7x2 + 2

−x4 + 4x + 1=

∞∞ = lim

x→−∞

x3

−x4= lim

x→−∞

(

1

−1

)

x−1 = 0

limx→−∞

4x5 − x2 + 2

8x5 + 4x3 + x=

∞∞

= limx→−∞

4x5

8x5= lim

x→−∞

(

4

8

)

x0 =1

2





limx→±∞

anxn + · · ·+ a2x

2 + a1x + a0

bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0

= limx→±∞

anxn

bmxm= lim

x→±∞

(

an

bn

)

xn−m


limx→−∞

3x5 − 7x2 + 2

−x2 + 4x + 1=

∞∞ = lim

x→−∞

3x5

−x2= lim

x→−∞

(

3

−1

)

x3 = +∞

limx→−∞

x3 − 7x2 + 2

−x4 + 4x + 1=

∞∞ = lim

x→−∞

x3

−x4= lim

x→−∞

(

1

−1

)

x−1 = 0

limx→−∞

4x5 − x2 + 2

8x5 + 4x3 + x=

∞∞

= limx→−∞

4x5

8x5= lim

x→−∞

(

4

8

)

x0 =1

2

Es fácil darse cuenta que cuando tenemos un cociente de funciones polinómicas,f (x)

g(x), se

cumple:

grado f (x) > grado g(x) =⇒ limx→−∞

f (x)

g(x)= ±∞





limx→±∞

anxn + · · ·+ a2x

2 + a1x + a0

bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0

= limx→±∞

anxn

bmxm= lim

x→±∞

(

an

bn

)

xn−m


limx→−∞

3x5 − 7x2 + 2

−x2 + 4x + 1=

∞∞ = lim

x→−∞

3x5

−x2= lim

x→−∞

(

3

−1

)

x3 = +∞

limx→−∞

x3 − 7x2 + 2

−x4 + 4x + 1=

∞∞ = lim

x→−∞

x3

−x4= lim

x→−∞

(

1

−1

)

x−1 = 0

limx→−∞

4x5 − x2 + 2

8x5 + 4x3 + x=

∞∞

= limx→−∞

4x5

8x5= lim

x→−∞

(

4

8

)

x0 =1

2


g(x), se

cumple:


f (x)

g(x)= ±∞

grado f (x) < grado g(x) =⇒ limx→−∞

f (x)

g(x)= 0





limx→±∞

anxn + · · ·+ a2x

2 + a1x + a0

bmxm + · · ·+ b2x2 + b1x + b0

= limx→±∞

anxn

bmxm= lim

x→±∞

(

an

bn

)

xn−m


limx→−∞

3x5 − 7x2 + 2

−x2 + 4x + 1=

∞∞ = lim

x→−∞

3x5

−x2= lim

x→−∞

(

3

−1

)

x3 = +∞

limx→−∞

x3 − 7x2 + 2

−x4 + 4x + 1=

∞∞ = lim

x→−∞

x3

−x4= lim

x→−∞

(

1

−1

)

x−1 = 0

limx→−∞

4x5 − x2 + 2

8x5 + 4x3 + x=

∞∞

= limx→−∞

4x5

8x5= lim

x→−∞

(

4

8

)

x0 =1

2


g(x), se

cumple:


f (x)

g(x)= ±∞

grado f (x) < grado g(x) =⇒ limx→−∞

f (x)

g(x)= 0

grado f (x) = grado g(x) =⇒ limx→−∞

f (x)

g(x)=

an

bm


Cálculo de límites Indeterminaciones 0/0

Indeterminaciones del tipo0

0Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas o funciones irracionales. En elcociente de funciones polinómicas, aparecen porque los polinomios tienen factores comunes y, portanto, debemos en primer lugar factorizar el numerador y el denominador, bien aplicando la reglade Ruffini o bien sacando factor común. En el caso de funciones irracionales multiplicamosnumerador y denominador por el conjugado o factorizando y operando.




0Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas o funciones irracionales. En elcociente de funciones polinómicas, aparecen porque los polinomios tienen factores comunes y, portanto, debemos en primer lugar factorizar el numerador y el denominador, bien aplicando la reglade Ruffini o bien sacando factor común. En el caso de funciones irracionales multiplicamosnumerador y denominador por el conjugado o factorizando y operando.Veamos ejemplos:





limx→1

x2 − x

x2 − 3x + 2=

0

0= lim

x→1

x ·✘✘✘(x − 1)

✘✘✘(x − 1) · (x − 2)

= limx→1

x

(x − 2)=

1

−1= −1





limx→1

x2 − x

x2 − 3x + 2=

0

0= lim

x→1

x ·✘✘✘(x − 1)

✘✘✘(x − 1) · (x − 2)

= limx→1

x

(x − 2)=

1

−1= −1

limx→1

√x2 + 3 − 2

x2 − x=

0

0= lim

x→1

(√x2 + 3 − 2

)

·(√

x2 + 3 + 2)

(x2 − x) ·(√

x2 + 3 + 2) =

limx→1

(

x2 − 1)

(x2 − x) ·(√

x2 + 3 + 2) = lim

x→1

✘✘✘(x − 1) · (x + 1)

x ·✘✘✘(x − 1) ·

(√x2 + 3 + 2

) =1

2


Cálculo de límites Indeterminaciones 0 · ∞

Indeterminaciones del tipo 0 · ∞Este tipo de indeterminaciones se pueden convertir en indeterminaciones tipo

∞∞

o tipo0

0, y

resolverlas por los procedimientos explicados anteriormente.Veamos un ejemplo:

limx→∞

(

1

x·√x + 1

)

= 0 · ∞ = limx→∞

Å√x + 1

x

ã

=∞∞

= limx→∞

…

x + 1

x2= lim

x→∞

…

1

x+

1

x2= 0


Cálculo de límites Indeterminaciones ∞ − ∞

Indeterminaciones del tipo ∞−∞Aparecen al calcular límites de diferencias de funciones racionales o de funciones irracionales. Enel primer caso se resuelven restando las fracciones y operando, y en el segundo caso,multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión irracional.



Indeterminaciones del tipo ∞−∞Aparecen al calcular límites de diferencias de funciones racionales o de funciones irracionales. Enel primer caso se resuelven restando las fracciones y operando, y en el segundo caso,multiplicando y dividiendo por el conjugado de la expresión irracional.Veamos un ejemplo de cada tipo:




limx→∞

Å

x2 − 1

x− x3 − 1

x2

ã

= ∞−∞ = limx→∞

Å

x3 − x − x3 + 1

x2

ã

= limx→∞

(−x + 1

x2

)

=

∞∞

= limx→∞

(−1

1

)

1

x= 0




limx→∞

Å

x2 − 1

x− x3 − 1

x2

ã

= ∞−∞ = limx→∞

Å

x3 − x − x3 + 1

x2

ã

= limx→∞

(−x + 1

x2

)

=

∞∞

= limx→∞

(−1

1

)

1

x= 0

limx→∞

√

x2 − 1 − x = ∞−∞ = limx→∞

(√x2 − 1 − x

)

·(√

x2 − 1 + x)

√x2 + 1 + x

=

limx→∞

−1√x2 + 1 + x

=−1

∞= 0


Cálculo de límites Indeterminaciones 1∞

Indeterminaciones del tipo 1∞

Este tipo de indeterminación se llaman "números e", porque su resolución lleva a una potenciadel número e. Para resolverlas damos a continuación, sin demostrar, una expresión

limx→c

f (x) = 1

limx→c

g(x) = ±∞

⇒ limx→c

[f (x)]g(x) = elimx→c

[g(x) · (f (x)− 1)]





limx→c

f (x) = 1

limx→c

g(x) = ±∞

⇒ limx→c


[g(x) · (f (x)− 1)]

Veamos dos ejemplos:





limx→c

f (x) = 1

limx→c

g(x) = ±∞

⇒ limx→c


[g(x) · (f (x)− 1)]


limx→∞

(

x + 1

x − 1

)x−1

= 1∞ = elim

x→∞

[

(x − 1) ·(

x + 1

x − 1− 1

)]

= elim

x→∞

(

2(x − 1)

x − 1

)

= e2





limx→c

f (x) = 1

limx→c

g(x) = ±∞

⇒ limx→c


[g(x) · (f (x)− 1)]


limx→∞

(

x + 1

x − 1

)x−1

= 1∞ = elim

x→∞

[

(x − 1) ·(

x + 1

x − 1− 1

)]

= elim

x→∞

(

2(x − 1)

x − 1

)

= e2

limx→0

(1 − 2x)1x = 1∞ = e

limx→0

1

x(1 − 2x − 1)

= elimx→0

−2x

x = e−2


Cálculo de límites Asíntotas y ramas infinitas

Asíntotas

Las asíntotas son rectas (verticales, horizontales u oblicuas) hacia las cuales se acerca la gráficade una función sin llegar a tocarlas. Veamos los tipos y definición de cada una de ellas:

Asíntotas verticales: son las rectas de la forma x = c que verifican

limx→c−

f (x) = ±∞ o limx→c+

f (x) = ±∞



Asíntotas



limx→c−


f (x) = ±∞

Asíntota horizontal: son las rectas de la forma y = l que verifican

limx→+∞

f (x) = l o limx→−∞

f (x) = l



Asíntotas



limx→c−


f (x) = ±∞


limx→+∞


f (x) = l

Asíntota oblicua: son rectas de la forma y = mx + n, donde

{

m = limx→±∞f (x)x

n = limx→±∞ [f (x)−mx ]



Asíntotas



limx→c−


f (x) = ±∞


limx→+∞


f (x) = l

Asíntota oblicua: son rectas de la forma y = mx + n, donde

{

m = limx→±∞f (x)x

n = limx→±∞ [f (x)−mx ]

Ramas infinitas o parabólicas

Cuando existe alguno de los cuatro límites

limx→±∞

f (x) = ±∞

y la función no tenga asíntota oblicua, decimos que f (x) tiene una rama infinita.



Ejemplo de cálculo de asíntotas

Vamos a estudiar las asíntotas de la función f (x) =x2 + 1

x:





x:

Asíntotas horizontales: son las rectas de la forma y = l que verifican

limx→+∞


f (x) = l

limx→+∞

x2 + 1

x=

∞∞

= limx→+∞

1

1x = ∞

Y por tanto no tiene asíntota horizontal





x:


limx→+∞


f (x) = l

limx→+∞

x2 + 1

x=

∞∞

= limx→+∞

1

1x = ∞

Y por tanto no tiene asíntota horizontalAsíntotas verticales: son las rectas de la forma x = c que verifican

limx→c−


f (x) = ±∞

Aparecen para los valores de x que hacen cero el denominador; en este caso en x = 0, ya que

limx→0−

x2 + 1

x=

1

0= −∞ y lim

x→0+

x2 + 1

x) =

1

0= +∞





x:


limx→+∞


f (x) = l

limx→+∞

x2 + 1

x=

∞∞

= limx→+∞

1

1x = ∞

Y por tanto no tiene asíntota horizontalAsíntotas verticales: son las rectas de la forma x = c que verifican

limx→c−


f (x) = ±∞

Aparecen para los valores de x que hacen cero el denominador; en este caso en x = 0, ya que

limx→0−

x2 + 1

x=

1

0= −∞ y lim

x→0+

x2 + 1

x) =

1

0= +∞

Asíntotas oblicuas: son rectas de la forma y = mx + n, donde

m = limx→±∞

x2+1x

x= 1

n = limx→±∞

î

x2+1

x− 1xó

= 0

⇒ y = x


Continuidad

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4| Continuidad


Continuidad Definición

Función continua

Una función f (x) es continua en un punto de abscisa c si y sólo si se cumplen las tres condicionessiguientes:



Función continua


1 ∃ f (c)



Función continua


1 ∃ f (c)

2 ∃ limx→c

f (x)



Función continua


1 ∃ f (c)

2 ∃ limx→c

f (x)

3 limx→c

f (x) = f (c)



Continuidad de funciones elementales

La continuidad está relacionada con el dominio de las funciones. Así, para las funcioneselementales, tenemos:





Funciones lineal y cuadrática, f (x) = mx + n y f (x) = ax2 + bx + c : Continua en todoIR. En general, cualquier función polinómica, es continua en todo todo IR.






Función racional, f (x) =P(x)

Q(x): Continua en todo IR, excepto los valores que anulan el

denominador; es decir Q(x) = 0.









Funciones irracionales, f (x) = n√

g(x): Si n es par, no existen para valores que hacennegativo el radicando. Si n es impar son continuas











Función exponencial, f (x) = ag(x): Continuas en todo IR, excepto en que aquellos valoresque hagan el exponente discontinuo.












Funciones logarítmicas, f (x) = loga g(x): Continuas excepto en lo valores que hace cero onegativo el argumento de la función.













Funciones seno y coseno, f (x) = sin g(x) y f (x) = cos g(x) : Continuas en todo IR.













Funciones seno y coseno, f (x) = sin g(x) y f (x) = cos g(x) : Continuas en todo IR.

Función tangente, f (x) = tan g(x): No es continua en los valores g(x) = π

2+ kπ, con

k = 0,±1,±2,±3, · · · .



Ejemplo I de cálculo de la continuidad

Estudia la continuidad de la función

f (x) =

®

x − 3 si x ≥ 3

−x + 3 si x < 3





f (x) =

®

x − 3 si x ≥ 3

−x + 3 si x < 3

Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 3





f (x) =

®

x − 3 si x ≥ 3

−x + 3 si x < 3


∃ f (c): Si, ya que f (3) = x − 3 = 0





f (x) =

®

x − 3 si x ≥ 3

−x + 3 si x < 3


∃ f (c): Si, ya que f (3) = x − 3 = 0

∃ limx→c

f (x): Si, ya que limx→c

f (x) =

limx→3−

−x + 3 = 0

limx→0+

x − 3 = 0

⇒ limx→c

f (x) = 3





f (x) =

®

x − 3 si x ≥ 3

−x + 3 si x < 3


∃ f (c): Si, ya que f (3) = x − 3 = 0

∃ limx→c


f (x) =

limx→3−

−x + 3 = 0

limx→0+

x − 3 = 0

⇒ limx→c

f (x) = 3

Es f (c) = limx→c f (x): Si, ya que f (3) = limx→c f (x) = 3.





f (x) =

®

x − 3 si x ≥ 3

−x + 3 si x < 3


∃ f (c): Si, ya que f (3) = x − 3 = 0

∃ limx→c


f (x) =

limx→3−

−x + 3 = 0

limx→0+

x − 3 = 0

⇒ limx→c

f (x) = 3

Es f (c) = limx→c f (x): Si, ya que f (3) = limx→c f (x) = 3.

La función es continua en x = 3.



Ejemplo II de cálculo de la continuidad


f (x) =

®

x2 si x < 0

x − 1 si x ≥ 0





f (x) =

®

x2 si x < 0

x − 1 si x ≥ 0






f (x) =

®

x2 si x < 0

x − 1 si x ≥ 0


∃ f (c): Si, ya que f (0) = x − 1 = 0 − 1 = −1





f (x) =

®

x2 si x < 0

x − 1 si x ≥ 0


∃ f (c): Si, ya que f (0) = x − 1 = 0 − 1 = −1

∃ limx→c

f (x): No, ya que limx→c

f (x) =

limx→0−

x2 = 0

limx→0+

x − 1 = −1

⇒ ∄ limx→c

f (x)





f (x) =

®

x2 si x < 0

x − 1 si x ≥ 0


∃ f (c): Si, ya que f (0) = x − 1 = 0 − 1 = −1

∃ limx→c

f (x): No, ya que limx→c

f (x) =

limx→0−

x2 = 0

limx→0+

x − 1 = −1

⇒ ∄ limx→c

f (x)

La función no es continua en x = 0.



Ejemplo III de cálculo de la continuidad con parámetro

Cálcula m para que la siguiente función sea continua

f (x) =

®

mx − 3 si x < 4

−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4





f (x) =

®

mx − 3 si x < 4

−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4

Solución.-Esta función es continua (por ser polinomios) en cada trozo. El problema de continuidad, si lohay, estará en el punto de "unión" de los dos trozos, es decir, en x = 4, La aplicación de lascondiciones de continuidad nos permitirá calcular m.





f (x) =

®

mx − 3 si x < 4

−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4


∃ f (c): Si, ya que f (4) = −x2 + 10x − 13 = 11





f (x) =

®

mx − 3 si x < 4

−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4


∃ f (c): Si, ya que f (4) = −x2 + 10x − 13 = 11

∃ limx→c


f (x) =

limx→4−

mx − 3 = 4m − 3

limx→0+

−x2 + 10x − 13 = 11

Como

queremos que sea continua, debe ser limx→4−

mx − 3 = limx→0+

−x2 + 10x − 13

Es decir, 4m − 3 = 11 ⇒ m =7

2





f (x) =

®

mx − 3 si x < 4

−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4


∃ f (c): Si, ya que f (4) = −x2 + 10x − 13 = 11

∃ limx→c


f (x) =

limx→4−

mx − 3 = 4m − 3

limx→0+

−x2 + 10x − 13 = 11

Como


mx − 3 = limx→0+

−x2 + 10x − 13

Es decir, 4m − 3 = 11 ⇒ m =7

2

La función es continua en x = 4 si m = 7

2.





f (x) =

®

mx − 3 si x < 4

−x2 + 10x − 13 si x ≥ 4


∃ f (c): Si, ya que f (4) = −x2 + 10x − 13 = 11

∃ limx→c


f (x) =

limx→4−

mx − 3 = 4m − 3

limx→0+

−x2 + 10x − 13 = 11

Como


mx − 3 = limx→0+

−x2 + 10x − 13

Es decir, 4m − 3 = 11 ⇒ m =7

2

La función es continua en x = 4 si m = 7

2.

En la siguiente diapositiva damos un cuadro de los distintos tipos de dicontinuidad.


Continuidad Discontinuidad. Tipos

f =

continua en x=c =⇒

©1 ∃ f (c)

©2 ∃ limx→c

f (x)

©3 limx→c

f (x) = f (c)

no continua en x=c =⇒

Evitable

∄ f (c) y ∃ limx→c

f (x)

o

∃ f (c) , ∃ limx→c

f (x)

pero limx→c

f (x) 6= f (c)

No evitable

Salto finito∃ lim

x→c+f (x) y lim

x→c−f (x)

pero limx→c+

f (x) 6= limx→c−

f (x)

o

Salto infinitolim

x→c+f (x) = ±∞

limx→c−

f (x) = ±∞


Problemas Propuestos

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5| Problemas

Propuestos



Cálculo de límites. Indeterminaciones

Calcula los siguientes límites:

limx→∞

√x2 + 1

4x

limx→−∞

3x4 − x

2x2 − 1

limx→1

x3 − 1

x3 + 2x2 − 3x

limx→0

2x√

4 − x − 2

limx→1

x2 − 1√x − 1

limx→1

x2 − 1

x − 1

limx→+∞

(

x2 − 1

x− 1 + 2x2

2x − 1

)

limx→+∞

(

2x −√

1 + 4x)

limx→∞

î

5x − 2

5x + 3

ó2x

limx→∞

î

4 − 2x

1 − 2x

óx−3

limx→1

(−x3 − x + 1)

limx→−∞

Ä

2x −√

x2 + 5

ä

limx→∞

Ä

1 +1

x

ä x5

limx→−2

x4 − 16

x3 + 8

limx→2

√x −

√2

x − 2

limx→−3

5√

4 + x

limx→−2

x + 2

x3 + 8

limx→∞

Ä

4x −√

16x2 + 2

ä

limx→0

2 −√x + 4

x

limx→∞

(

x2 + 6

x2

)x2+1

limx→∞

Ä

x + 1

x + 2

äx

limx→−∞

−3x2 + 1

6x + 6

limx→∞

2x5 + 4

3x + 6



Asíntotas

Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:

f (x) =2x − 3

x − 1

f (x) =3x

x2 − 1

f (x) =x3 − 7x + 1

x + 3

f (x) =4x2

x − 5

f (x) =x2 + 1

x − 2

f (x) =x

x − 1

f (x) =2x − 3

x2 + 1

f (x) =2x2 + 1

x2 − 3x

f (x) =1

x3 − 4x

f (x) =1

x2 − 1

f (x) =x2 − 4

x

f (x) =x3

(x − 1)2

Continuidad

Determina los puntos de continuidad de las siguientes funciones:

f (x) =2x − 3

x − 1

f (x) =3x

x2 − 1

f (x) =x3 − 7x + 1

x + 3

f (x) =4x2

x − 5

f (x) =x2 + 1

x − 2

f (x) =x

x − 1



Continuidad

Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

f (x) =

ß

x2 − 1 si x < 0

x − 1 si x ≥ 0

f (x) =

12

x − 1si x < 3

√x si 3 ≤ x ≤ 4

x − 2 si x > 4

f (x) =

x + 3 si x < 3

6 si x = 3

x2 − 2x + 3 si x > 3

f (x) =

12

x − 1si x < 3

6 si x = 3

x − 2 si x > 3

Calcula los parámetros para que las siguientes funciones sean continua:

f (x) =

{

a − x2 si x ≤ 3

56 − 20x

x + 1si x > 3

f (x) =

{

x2 − 2 si x < 0

2x − 1

x + asi x ≥ 1

f (x) =

ß

x3 − x si x ≥ 0

ax + b si x > 0

f (x) =

x3 − 8

x − 2si x 6= 2

a si x = 2


Personajes en la Historia

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6| Historia


Personajes en la Historia Cauchy y Dirichlet

Historia

Augustin Louis Cauchy ( 1789 − 1857)

Matemático francés nacido en el año de la Revolución, fundamentó el Cálculo infinitesimal dandodefiniciones precisas de conceptos como el de límite de una función que hasta ese momento seusaba de forma "intuitiva". Fue famoso su Curso de Análisis publicado en 1821.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet( 1805 − 1859)

Matemático alemán, fue el sucesor de Gauss en la cátedra que éste ocupaba en la Universidad deGöttingen, una de las más prestigiosas y activas en los estudios científicos. La definición defunción que usamos hoy en día fue dada por Dirichlet en 1837.


Bibliografía

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7| Bibliografía


Bibliografía

Bibliografía

Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II, Angélica Escoredo y otros, Proyecto La Casa delSaber, Ediciones Educativas de Santillana Educación S.L.

Matemáticas aplicadas a las CC.SS. II, Carlos González García y otros, Editorial EDITEXS.A.

El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, Morris Kline, AlianzaUniversidad.

www.amolasmates.es

www.vitutor.com


Créditos

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8| Créditos


Créditos

Acerca del autor

Juan Pedro Expósito ArribaProfesor del Departamento de Matemáticas del I.E.S. Virgen del PuertoPlasencia (Cáceres)e-mail: [email protected]


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