8/19/2019 Lista 2calculo 2

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2ª Lista de Exercícios

Integrais Definidas e Cálculo de Área

1. Calcule as seguintes integrais definidas:

(a)

  3

1   2

23

 dxx

5x4x2  (b)

12   3

0

 t t t dt     (c)  

6

3 dx4x

 

2. Uma partícula move-se com uma velocidade de v(t)m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamen

a distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado.

a) v(t) sen(t ); 0 t2

. b) v(t) cos(t); t 2 .

2

 

3. Uma partícula move-se com aceleração 2m / s   ao longo de um eixo s e tem velocidade 0v m / s

instante t 0 . Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de temdado.

a) 0a(t) 2; v 3; 1 t 4   b) 0

1a(t) ; v 2; 0 t 35t 1  

4. Um país tem 100 bilhões de m3 de reserva de gás natural. Se A(t) denota o total de gás consumapós t anos, então dA/dt é a taxa de consumo. Se a taxa de consumo é prevista em 5 + 0,01t bilhõem3 por ano, qual o tempo aproximado, em anos, em que as reservas estarão esgotadas?

Através da integral indefinida podemos calcular a

área limitada por uma curva y=f(x) e o eixo Ox,

onde a   x  b. Esse link é obtido com o uso do

Teorema Fundamental do Cálculo.

5. a) Usando integrais, calcule a área limitada pela

reta y=x e o eixo Ox, onde 1 ≤ x ≤ 3. 

b) Confira o resultado obtido calculando a área

com seus conhecimentos do Ensino Médio.

 

 

 

 

x

y

 

EETI  – Escola deEngenharia e TI

Disciplina: Cálculo IntegralCurso: Engenharia

Professor (a): Lourena Cruz

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6. a) Usando integrais, calcule a área limitada

pelas retas y=x+1, y=-x+5, e os eixos

coordenados Ox e Oy.

b) Confira o resultado obtido calculando a área

com seus conhecimentos anteriores.x

y

4

2

 

7. Calcule a área determinada pelo gráfico da

função y=x2 +1 (parábola) pela reta y=-2x+4, e

os eixos coordenados Ox e Oy.

x

y

y = 1+x^2

y = -2x+4

 

8. Determine a área limitada pela parábola y = x2 + 1 e pela reta y = –x + 3 .

9.Visualize os gráficos abaixo e determine a área da região do plano limitada por essas curvas.

(a) xy = 4 e x + y = 5. (b) y = 2x, y = 2x - x2, x = 0 e x = 2. (c) y = 2x, y = 1 e y = 2/x

(d) y = x3 – 3x, y = 2x2  (e) y = x3 e y=x2 + 2x (f) y = 9/x, y = 9x, y = x

10. Determine o valor das áreas sombreadas nas figuras abaixo. Se possível verifique suas respostasusando áreas conhecidas no Ensino Médio (triângulos, trapézios) ou em um programa computacional

a) b) c) d)

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Integração de frações racionais por decomposição de frações parciais. 

11. Resolva as integrais abaixo.

a) 1x

dx

2   b)  6x5x

dx

2   c) x3x

dx

2   d)   dx)7x)(1x(

3x2

 

e)   dx

x3x

1xx

2

2

  f)   dx

4x3x

10x5

2

  g)   dx

1x

2xx

2

2

  h)   dx

xx2x

6x20x5

23

2

 

i)   dx x2x

4x2

 23

   j)

4 2

3 2

3 1

6

 x xdx

 x x x

  k)2 2

  0dx

a x a

  l)

9

5 2

 xdx

 x x

 

m)

1

20

2 3

1

 xdx

 x

 n)

22

1

4 7 12

2 3

 x x

dx x x x

 

Integração de funções racionais quando o denominador possui fatores irredutíveis de 2º grau.

12. Resolva as integrais abaixo.

a)2

3

2 4

4

 x xdx

 x x

  b)

  dx1x1x

3x2x22

2

 c) dx

 x

 x

1

2

4

4

  d)   2x2x

dx2

 

e)   2x2x

dxx2

  f)

6x4x

dx3)x2(2

  g)   1xx

dxx2

  h)2

2 3

9 12 8

 xdx

 x x

 

i)2

2

4 3 2

4 4 3

 x xdx

 x x

  j)

x2x2x

dx2)3xx(23

2

  k)

6x4x)1x(

dx10)x(2

2

 

Respostas

1) a) 10/3; b) 1/70; c) 53/2;

2) a) deslocamento=1; distância=1 b) deslocamento=-1; distância=3

3) a) deslocamento= - 6; distância= 13/2 b) deslocamento = 204/25; distância = 204/25

4) aproximadamente 19,62 anos

5) Área igual a 2.

6) Calcule as interseções entre as curvas para depois integrar em cada intervalo conveniente.

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7) 7

3 .. 

8) 4,5;

9) a) 158ln(2)

2 ; b) 3 4

ln(2) 3 ; c) 3

2ln(2)4

; d) 71

6

; e)37

12f) 18ln(3);

10) a) 7/3; b) 8/3; c) 5/2; d) 11/4

11) a)C1x

2

11x

2

1   lnln

  b) C3x2x     lnln 

c)C3x

3

1x

3

1   lnln

  d)   C7xln

6

111xln

6

1  

e) 1 7ln ln 3

3 3 x x x C   f) 2 ln 4 3ln 1 x x C   

g)   2 ln 1 ln 1 x x x C  h) C1xx61x

9

  lnln

 

i) Cx22x2x

2   lnln

 j) x +2 1 1 11

ln ln 2 ln 32 6 2 3

 x x x x C   

k)Cax

a2

1ax

a2

1   lnln

 l) 2ln 5 ln 2 x x C   

m) 12ln2

2 n) 3ln

5

92ln

5

27

 

12)

a)   C)2/x(arctg2

1)4xln(

2

1xln   2  

b) Cx1

11xln1xlnarctgx   2

 

ln2

1arctgxx2  

d)   C)1x(arctg     e)   C)1x(arctg2x2xln)2/1   2  

f)C2

2x

arctg2

2

6x4xln

  2

 

 

 

      g)

  C)2/1x(3

32

arctg3

3

1xxln)2/1

  2

 

 

 

 

 

h)   C2

2x3arctg

18

138x12x9ln

9

1   2  

  

      i)   C

2

1x2arctg

24

13x4x4ln

8

1x   2

 

  

 

 j)   C)1x(arctgxln     k)     C2/)2x(arctg221xln