1Una lnea de transmisin es cualquier sistema de conductores, semiconductores, o la combinacin de ambos, que puede emplearse para transmitir informacin, en la forma de energa elctrica o electromagntica, entre dos puntos. El tradicional par de hilos de cobre o lnea bifilar es la configuracin ms simple, tiene el menor ancho de banda y la menor capacidad de transmisin dentro de la variedad de lneas que se utilizan actualmente, pero no por ello deja de ser fundamental y muy importante.

Lneas de Transmisin TIPOS DE LINEAS

Todas las configuraciones mostradas en las figuras, son capaces de transmitir informacin. Unas tienen un solo conductor cerrado (guas de ondas), otras poseen dos conductores (lnea bifilar, placas paralelas, microcinta y cable coaxial), algunas tienen tres conductores (triplaca), y otras ningn conductor sino solamente material dielctrico (fibra ptica). Desde luego, sus caractersticas, bondades y aplicaciones son diferentes, pero lo interesante es que todas ellas pueden ser analizadas matemticamente resolviendo el mismo conjunto de ecuaciones diferenciales de Maxwell, aplicando las condiciones de frontera adecuadas. En todos los casos, la seal es guiada en el sentido longitudinal de la estructura. Las dimensiones prcticas de cada tipo de lnea dependen del rango de frecuencias en el que se desea transmitir.

LINEA BALANCEADA- DESBALANCEADASEl par de hilos o lnea bifilar abierta de la Figura a) presenta fuertes prdidas por radiacin, ya que los campos electromagnticos se extienden lejos de la lnea, aun cuando sta los gua longitudinalmente hacia su destino. Se utiliz mucho en cierta poca porque era econmica y muy fcil de construir, pero con el tiempo tiende a caer en desuso, especialmente en los pases desarrollados. Sus caractersticas de trabajo pueden ser variadas al aumentar o disminuir la separacin entre los dos conductores, y su utilidad prctica,se reduce generalmente a frecuencias inferiores a 500 kHz. Los dos conductores son suspendidos a la misma altura sobre el piso. Ninguno de ellos est conectado a tierra; el potencial de uno es igual y de signo contrario al potencial del otro, con relacin a tierra. A este tipo de configuracin se le llama "lnea balanceada". En cambio, si por ejemplo, los dos conductores estn en un plano vertical, el conductor inferior tiene una capacitancia ms grande que la del superior con relacin al piso, y se dice que la lnea est "desbalanceada" o desequilibrada, porque las corrientes resultantes en los dos conductores son diferentes.

El modo TEM y el anlisis de lneasLas lneas que consisten de dos conductores (bifilar, coaxial, microcinta, placas paralelas), y varias otras estructuras como la triplaca, transmiten la informacin electromagntica fundamentalmente de una manera tal en que tanto el campo elctrico como el campo magntico de la seales son transversales, o perpendiculares a la direccin de propagacin. A esta forma en que la seal es transmitida se le llama modo de propagacin transversal electromagntico o, abreviadamente, TEM. La distribucin de las lneas de campo elctrico y magntico en un corte transversal de estas estructuras gua-ondas es diferente en cada caso, pero E y H siempre son perpendiculares a la direccin de propagacin.

2Distribucin transversal de los campos elctrico y magntico

Al tener una distribucin transversal de los campos elctrico y magntico, resulta fcil calcular los parmetros circuitales de la lnea o cable por unidad de longitud (inductancia L, capacitancia C, resistencia R y conductancia G). Entonces es posible evadir las ecuaciones de Maxwell y obtener soluciones para la operacin completa de la lnea aplicando la teora general de circuitos, que debe satisfacer ecuaciones diferenciales sencillas de la forma siguiente:

Lnea de transmisin

Para emplear la teora general de circuitos es preciso representar a la lnea como una red de parmetros distribuidos. Tales parmetros o constantes son su inductancia L, capacitancia C, resistencia R y conductancia G, especificadas todas ellas por unidad de longitud. Considrese la lnea de la Figura, que consiste de dos conductores paralelos separados uniformemente. En el extremo izquierdo se tiene el generador o transmisor (por ejemplo, un amplificador, un telfono o una computadora); en el derecho, la carga o equipo receptor (por ejemplo, una antena, una central telefnica o una impresora digital). Entre los dos conductores hay una diferencia de potencial V y en la superficie de cada uno de ellos (efecto pelicular o piel) fluye una corriente I.

Ecuacin general de una lnea de transmisin

Conocidos los cuatro parmetros bsicos de una lnea (L, C, R y G) es posible determinar la relacin que existe entre las ondas de voltaje y corriente que viajan a lo largo de ella, desde el generador hacia la carga, as como la velocidad con la que lo hacen. El mtodo de anlisis considera que dichos parmetros bsicos estn distribuidos uniformemente a lo largo de toda la longitud de los cables que constituyen la lnea, y no concentrados como en un circuito ordinario. Tal lnea de transmisin con parmetros distribuidos se puede representar por un circuito equivalente como el de la Figura, que est integrado por muchas resistencias e inductancias en serie, as como muchas conductancias y capacitancias en paralelo.

Circuito EquivalenteEs ms comn, por simplicidad, representar al circuito equivalente como se indica en la Figura. Tambin hay otras representaciones posibles, como el circuito equivalente T o el circuito

3Secciones de lneas de transmisinConsidrese una seccin cualquiera de la lnea, cuya longitud sea muy pequea o infinitesimal, con sus parmetros colocados como se indica en la Figura. El valor numrico de cada uno de estos parmetros es igual al parmetro correspondiente por unidad de longitud multiplicado por la longitud de la seccin, que es igual a z. La corriente i y el voltaje v son funciones tanto de la distancia z como del tiempo t, de modo que al final de la seccin considerada se tienen incrementos en corriente y voltaje como se indican en la figura. Si z se hace tender al valor cero (z0), se obtienen la misma simetra y resultados que con un circuito equivalente T o .

Ecuacin conocida, por razones histricas, como la ecuacin del telegrafista.

(1)

Ecuaciones de lneas de transmisin

Solucin de las ecuacionesDe manera similar la ecuacin diferencial de segundo grado que satisface la onda de corriente es:

Las soluciones de las expresiones (1) y (2) se pueden determinar fcilmente si se considera que las variaciones del voltaje y la corriente con relacin al tiempo son senoidales, y como las ecuaciones son lineales y de coeficientes constantes es posible utilizar fasores, sustituyendo al voltaje v(z,t) por V(z) e jwt y a la corriente i(z,t) por I(z) e jwt . Al efectuar dichas sustituciones en las ecuaciones se tiene:

(2)

(3) (4)

Forma FasorialAl derivar (3) y sustituir el resultado en la expresin (4), se obtiene la ecuacin diferencial de segundo grado en forma fasorial:

Cuya solucin es:

Donde A y B son constantes por definir y

Si se desea obtener la expresin para v (z,t) a partir del fasor V (z), e I (z,t) a partir del fasor I (z), simplemente se emplea la relacin siguiente:

4Constante de PropagacinA (gama), se le da el nombre de constante de propagacin. Es evidente que cada lnea de transmisin tiene su propio valor particular para y, a determinada frecuencia, dependiendo de su geometra y de los materiales que la compongan, pues los cuatro parmetros bsicos por unidad de longitud R, L, G y C intervienen en la ecuacin que la define, adems de la variable W. Ahora bien, el trmino (R + jwL) es igual a la impedancia en serie de la lnea, Z, por unidad de longitud, y que (G + jwC) es la admitancia en paralelo, Y, tambin por unidad de longitud. De modo que la constante de propagacin es igual a la raz cuadrada del producto de la impedancia en serie por la admitancia en paralelo de la lnea, lo cual se puede escribir de la forma siguiente:

La constante de propagacin es un nmero complejo y tambin se puede expresar como:

en donde la parte real, , indica la atenuacin que sufre la onda de voltaje, o de corriente segn sea el caso, conforme viaja o se propaga a lo largo de la lnea; y , que es la parte imaginaria, indica la rapidez del cambio de fase de la onda conforme se propaga. Las unidades de la constante de atenuacin son nepers por metro, y las de la constante de fase son radianes por metro. Sin embargo, es ms comn especificar a en decibeles por metro.

V (z) e I (z)

I (z)Siendo:

Siendo:

Impedancia Caracterstica

El denominador de la ecuacin anterior

Es un nmero complejo, igual a la raz cuadrada del cociente de Z sobre Y. A este nuevo nmero complejo, que claramente es una impedancia, se le da el nombre de impedancia caracterstica de la lnea y se denota como Zo:

Este parmetro, Zo es proporcionado por los fabricantes de cables en sus catlogos y no es realmente necesario conocer los parmetros bsicos R, L, G Y C de la lnea para resolver una buena cantidad de problemas. Por ejemplo, hay cables coaxiales con impedancias caractersticas nominales de 50 (radiodifusin y computadoras) y 75 (televisin por cable), cables bifilares de 300 (antenas receptoras de TV o FM), y cables bifilares multipar para telefona y datos de 75 , 100 , 150 , 600 , etc.

Lnea de Bajas Perdidas

Cuando la atenuacin de una lnea es muy baja (pocas prdidas) y la frecuencia de transmisin es muy alta, entonces WL R y WC G. Esto permite aproximar a Zo y Y como:

Condiciones para mnima distorsin

5Velocidad de faseOtro parmetro que nos da informacin adicional sobre cmo funciona la lnea es la velocidad de fase definida como:

donde es la constante de fase o parte imaginaria de la constante de propagacin, en radianes/metro, y es la frecuencia angular en radianes/segundo.

Para interpretar esta velocidad de fase, obsrvese la Figura, en la que se considera que la lnea no tiene atenuacin.

y es puramente imaginaria, puesto que = 0, esta consideracin es vlida para muchos casos a altas frecuencias

Velocidad de fase . La onda senoidal de la figura anterior viaja hacia la derecha, en la direccin

positiva de z, y su forma y magnitud no son alteradas conforme avanza hacia la carga, puesto que no hay atenuacin. La lnea tiene una longitud total fsica, medida en metros, y una longitud total elctrica, medida en longitudes de onda .

Por definicin, es la distancia entre puntos sucesivos de la onda que tienen la misma fase elctrica; por ejemplo, la distancia entre los puntos 1 y 2 o entre A y B en la figura anterior.

Su valor depende de la frecuencia f de oscilacin y de la velocidad de propagacin v ; y esta velocidad, a su vez, depende de las caractersticas del medio por el cual la onda viaja (tipo de dielctrico entre los conductores de la lnea). Si entre los conductores hay aire, se puede considerar que la velocidad de la onda es igual a la de la luz en el espacio libre, es decir, 300.000 km/seg; pero si el medio tiene una constante dielctrica relativa r mayor que la unidad, la onda se propaga con una velocidad menor que la de la luz, igual a:

donde c es la velocidad de la luz.

Longitud de onda

Al reducirse la velocidad de propagacin, la longitud de onda automticamente se reduce tambin, como si la onda fuese comprimida a lo largo del eje z. Esta nueva longitud de onda dentro del medio de propagacin sin prdidas se calcula como:

donde o es la longitud de onda en el espacio libre a la misma frecuencia. Adems:

Esta velocidad de fase v es independiente de la frecuencia, y es la velocidad con la que se mueve un punto en la direccin z, digamos B en la figura, en el que la fase es constante. Para modos de propagacin TEM, en que generalmente se puede considerar que = 0, la velocidad de propagacin v a la que viaja la potencia de la seal es igual a la velocidad de fase vp ; pero para las guas de ondas, la situacin es diferente, ya que vp es mucho mayor que v.

Lnea de longitud InfinitaNunca se encuentra en la practica, pero considrese una lnea de transmisin de longitud infinita, como en la Figura, por la que viaja una onda de voltaje, dada por el primer trmino de la ecuacin:

A esta onda de voltaje que parte del generador hacia una carga situada en el otro extremo de la lnea se le da el nombre de incidente, de all el subndice i. Como en este caso la lnea es infinita, la onda nunca alcanzar la carga y las condiciones para una posible onda reflejada jams se darn. El voltaje y la corriente de la onda pura incidente pueden entonces escribirse como:

El cociente del voltaje sobre la corriente siempre es igual a Zo. Este resultado es independiente de z, o sea que es el mismo para todos los puntos de la lnea.

6Lneas acopladas o AdaptadasEn la lnea de longitud infinita la onda progresiva siempre "ve" hacia la derecha una impedancia igual a Zo. Puede pensarse, entonces, que si al final de una lnea finita de impedancia caracterstica Zo se conecta una carga con impedancia tambin igual a Zo, la lnea se comportar igual a como si fuese infinita, en el sentido de que no habr una onda reflejada. La gran importancia que tiene la impedancia caracterstica de una lnea en la prctica es que, al usarse un valor igual como carga, esto hace parecer a la lnea como infinita, desde el punto de vista de la ausencia de reflexiones. En conclusin, la lnea de longitud finita que est terminada con una carga igual a su impedancia caracterstica le entregar toda la potencia incidente disponible a la carga. Cuando esto ocurre, se dice que la lnea est acoplada

El objetivo de un ingeniero en transmisin siempre ser entregar la mayor potencia posible a la carga.

Lneas desacopladas o desadaptadasSi la impedancia caracterstica, Zo, y la impedancia de la carga, ZL, son diferentes, la lnea ya no se comportar como si fuese infinita; estar desacoplada y habruna onda reflejada.

La onda total de voltaje estar dada por la superposicin, de la onda incidente y la onda reflejada, V r (z),

Impedancia Z (z)Considrese una lnea finita de longitud l como la de la Figura. De ahora en adelante, conviene tomar al punto donde est la carga como z = 0, por lo que el generador estar situado en z = - l. Esta es una prctica comn y no implica ninguna dificultad adicional. Las ecuaciones que describen el comportamiento de las ondas totales de voltaje y corriente son las mismas.

La impedancia Z vista hacia la derecha (en direccin hacia la carga) desde cualquier punto en la lnea est dada, por:

A = V 1 B = V 2

Donde:

Impedancia de entrada de una lneaSi z = - l, la impedancia de entrada Z i vista por el generador hacia la derecha, serentonces:

7Coeficiente de reflexin Ahora bien, en z = 0, donde est la carga Z L , se tiene:

Al cociente B/A se le da el nombre de coeficiente de reflexin en el punto de carga. Se designa por la letra y generalmente es una cantidad compleja.

Si en la ecuacin de Zi se dividen numerador y el denominador por , se tiene:

Esta ecuacin permite calcular la impedancia de entrada de la lnea si se conocen su longitud, su impedancia caracterstica, la constante de propagacin y el coeficiente de reflexin en el punto donde est la carga.

Impedancia de entrada en funcin de ZLOtra ecuacin alternativa, en funcin de la impedancia de carga en lugar del coeficiente de reflexin, se puede obtener usando las sig. ecuaciones:

Finalmente:

Impedancia en alta frecuenciaAdems de ser utilizada para transmitir informacin, como lo es en la mayor parte de los casos, una lnea puede servir tambin como elemento de un circuito. En el rango de frecuencias de UHF (300 MHz a 3 GHz) es difcil fabricar elementos de circuitos con parmetros concentrados, pues la longitud de onda vara entre 10 cmy 1 m. En estos casos, se pueden disear segmentos de lnea de transmisin que produzcan una impedancia inductiva o capacitiva, y que se puedan utilizar para acoplar una carga arbitraria con la lnea principal y efectuar la mxima transferencia de potencia posible. A estas altas frecuencias, las prdidas en una lnea se pueden considerar como despreciables, por lo que se refiere al clculo de Zo de y de la impedancia vista en cualquier punto de la lnea, puesto que WL = 2fL R y WC = 2fC G. Al hacer estas consideraciones, se tiene:

Por lo tanto, = 0 y Zo es real (puramente resistiva).

Lnea terminada en corto circuito y en circuito abierto

Como:

la ecuacin anterior queda finalmente de la forma:

a) Lnea terminada en corto circuito: En este caso, Z L = 0 y la ecuacin anterior se reduce a:

b) Lnea terminada en circuito abierto: Ahora Z L y la ecuacin toma la forma:

8Ze de lnea terminada en corto circuito Ze de lnea terminada en circuito abierto

Impedancia de lnea terminada en cc y caDe las ecuaciones anteriores, la impedancia de entrada es puramente reactiva (j X).En cualquiera de los dos casos, la reactancia puede ser inductiva o capacitiva, dependiendo del valor de l , ya que las funciones tan l y cot l pueden tomar valores positivos o negativos. En la Fig. se muestra la forma de la grfica de la reactancia de entrada en funcin de la longitud elctrica de la lnea para los dos tipos de terminacin

Curvas tpicas de la reactancia de entrada, normalizada con relacin a Zo de una lnea de longitud l terminada en corto circuito ( ) y en circuito abierto ( - - - ).

Impedancia reactiva de algunas secciones de lneas terminadas en cc o ca

En la prctica, no es posible obtener una lnea realmente terminada en circuito abierto (impedancia de carga infinita), ya que existen problemas de radiacin en el extremo abierto, especialmente a altas frecuencias, y acoplamiento con objetos cercanos. Sin embargo, es interesante notar que las reactancias de entrada de lneas terminadas en circuito abierto o en corto circuito son idnticas cuando sus longitudes difieren entre s por un mltiplo impar de / 4. En la Fig. se muestran algunas secciones de lnea, ilustrando su equivalencia con una inductancia o una capacitancia, a una frecuencia determinada

Impedancia reactiva de entrada de algunas secciones de lneas terminadas en corto circuito o circuito abierto y sus equivalentes como componentes de un circuito.

9EJERCICIO

Se tiene una lnea sin prdidas de longitud 0.2 a cierta frecuencia de trabajo y est terminada en corto circuito. Sus parmetros L y C son, 0.2 H/m y 35 pF/m.

Calcule su impedancia de entrada

Solucin La impedancia caracterstica de la lnea

la impedancia de entrada de la lnea:

y como

Lneas desacopladas y ondas estacionarias

Si = 0, la lnea estar acoplada, porque Z L = Zo, pero si 0, la lnea estardesacoplada. El objetivo de un ingeniero en transmisin es lograr que sea muy pequea, de modo que la potencia transferida a la carga sea mxima. Por lo general un "acoplamiento" se considera aceptable si II < 0.2, con lo cual se entrega a la carga aproximadamente el 96% de la potencia incidente. Veamos ahora cmo es la onda de voltaje total a lo largo de una lnea desacoplada.

El patrn de la onda total de voltaje es peridico y se denomina patrn de onda estacionaria, En la Fig., los puntos 1, 3 Y 5 son aqullos donde la onda estacionaria de voltaje es mxima, y en los puntos 2,4 Y 6 el voltaje es mnimo. La posicin de estos puntos mximos y mnimos a lo largo de la lnea depende del grado de desacoplamiento, es decir, del ngulo del coeficiente de reflexin en la carga,

RELACION DE ONDA ESTACIONARIA ROEAl cociente del voltaje mximo de la onda estacionaria sobre el voltaje mnimo se le da el nombre de Relacin de Onda Estacionaria o ROE:

Ahora bien, si se efecta el cociente del voltaje mximo sobre la corriente mnima (ambos estn en el mismo punto sobre la lnea), es obvio que se obtendr el valor de la impedancia vista en ese punto, hacia la carga

Similarmente, para un punto donde el voltaje sea mnimo, la corriente ser mxima y se tendr:

Como Zo es real, ambas impedancias Z max y Z min, tambin son reales o resistivas puras.

ROE Y COEFICIENTE DE REFLEXION

Conocido el VSWR, de la ec. anterior se puede despejar

Observemos detalladamente el comportamiento del coeficiente de reflexin a lo largo de la lnea. La ec. establece que su fase est dada por en la carga (z = 0). Pero tambin es posible definirlo para otros puntos de la lnea:

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Ejemplo de Coeficiente de Reflexin y ROEDetermine el valor del VSWR que tendra una lnea cualquiera, sin prdidas, cuando al final se tuviese: a) una carga con impedancia igual a la caracterstica, b) un corto circuito, y c) un circuito abierto.

a) Z L = Z o , la lnea est acoplada y no se refleja nada. Por lo tanto,

b) La lnea termina en un corto circuito, el voltaje total en ese punto vale cero. Por lo tanto,

c) La lnea termina en circuito abierto, el voltaje total en ese punto es mximo. Por lo tanto, Sustituyendo los tres valores anteriores de en la ecuacin de ROE se tiene:

Ondas estacionarias de voltaje y corriente:

a) Lnea terminada en una resistencia pura mayor que Zo

Por lo tanto, el ngulo del coeficiente de reflexin es igual a 0 y la funcin de voltaje es mxima cuando z = 0, es decir, en la carga. En cambio, la corriente es mnima en la carga.

Ondas estacionarias de voltaje y corriente:b) Lnea terminada en una resistencia pura menor que Zo

Ahora = -180 Y la situacin es contraria a la del punto a). Es decir, en la carga se tiene corriente mxima y voltaje mnimo.

Ondas estacionarias de voltaje y corrientec) Lnea terminada en un circuito cerrado

Aqu y la situacin es similar a la del inciso b), con corriente mxima y voltaje mnimo en la carga. Pero este voltaje mnimo en la carga ahora vale cero.

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Ondas estacionarias de voltaje y corriente

d) Lnea terminada en un circuito abierto

Como es real positivo, se tiene algo parecido al inciso a), con voltaje mximo y corriente mnima en la carga. Pero esta corriente mnima vale cero.

ONDA ESTACIONARIA

Si recorremos la lnea midiendo con un osciloscopio la tensin entre los dos conductores, veremos que existenpuntos fijos en la lnea donde la tensin alterna es cero.Estos puntos son llamados Nodos. Por otro lado, los puntos fijos donde la tensin alterna es mxima se llaman vientres dela onda estacionaria. Para nuestra lnea con el extremoabierto, el vientre coincidir con ese punto.

La corriente tambin formar ondas estacionarias

Al tener dos ondas con velocidades contrarias en la misma lnea es que ellas dan lugar a la formacin de ondas estacionarias.

Diagrama vectorial lnea abiertaSe construye el diagrama vectorial para un instante t fijo cualquiera y para dos puntos de la lnea: a la izquierda en la carga, y a la derecha en un punto entre el generador y la carga

Adaptacin de ImpedanciaEn general, cualquier dispositivo empleado para acoplar una lnea o adaptar su impedancia, es simplemente llamado "acoplador" o "adaptador". Con l no slo se logra obtener ptima transferencia de potencia a la carga, sino que, al eliminarse las reflexiones la transmisin de seales digitales se beneficia y los ecos en sistemas analgicos se reducen o desaparecen. Otra razn es que, en los radiotransmisores de alta potencia existe el riesgo de rompimiento del dielctrico entre los conductores, o de sobrecalentamiento, si se emplean voltajes y corrientes demasiados altos.Es claro que una lnea de transmisin acta como un "transformador de impedancias, pues entre el generador y la carga se pueden ver muchas impedancias diferentes.

El acoplamiento de impedancias que se busca debe garantizar que el coeficiente de reflexin de voltajes sea cero y que, en consecuencia, el VSWR sea igual a la unidad cerca de la carga. Este acoplamiento se puede realizar usando un "transformador de /4 en serie con la lnea, o bien, conectando en paralelo a la lnea principal uno o ms segmentos de lnea cortocircuitados.

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Adaptacin de Impedancia

(no coinciden)

narrow: estrechabroadband: ancha

El objetivo de diseo es la obtencin de un Coeficiente de Reflexin cero a la frecuencia de funcionamiento.

La longitud del trafo es fijado en /4 por conveniencia de diseo, pero tambin es posible realizar trafo de lineageneralizado, para lo cual la longitud del trafo es un resultado de diseo.

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Acoplamiento con una seccin de /4Adaptacin de una lnea de transmisin con un stub

Por medio de este mtodo es posible adaptar una lnea mediante un stub de longitud ls a una distancia d de la carga.

Dado el siguiente esquema:

Si partimos con los datos conocidos:f = Frecuencia de trabajo.

Z0 = Impedancia caracterstica de la lnea.ZL = Impedancia de carga.

Ejemplo numrico: f = 450Mhz ; Zo = 50 ; ZL = (150 - j50).

Determine:

d = Distancia del stub a la carga.lS = Longitud del stub.

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Pasos para la resolucin del problemaComo el stub se encuentran en paralelo vamos a usar al diagrama de Smith como Grfico de Admitancia

Ubicamos en el grfico la zL hallada y trazamos una circunferencia centrada en el diagrama y que pasa por el punto zL. Trazamos una semirrecta que nace en zL y que pasa por el centrodel diagrama hasta que vuelva a cortar la circunferencia trazada. En dicha interseccin tenemos yL que es la admitancia de carga normalizada.

0

L

0

L

0

LL Z

XjZR

ZZz 1.- Normalizamos la Z L respecto de la impedancia caracterstica Zo y la llamamos: z L, de tal forma

que: z L = Z L / Z 0.

Ejemplo numrico: zL = (3 j 1) del grfico sacamos yL = (0,3 + j 0,105).

2- Partiendo desde el punto y L (correspondiente a la posicin de la carga), al recorrer el circuito hacia el generador, el punto representativo en el diagrama estar en las sucesivas posiciones, correspondiente a una rotacin horaria, sobre la circunferencia previamente trazada. De esta forma se buscar la primera interseccin con la circunferencia g = 1. Allhabr de insertarse el stub; esto se justifica en el hecho que el stub slo puede modificar la parte imaginaria de la admitancia y AB . Para lograr la adaptacin que se busca, debercumplirse:

y AB desp // = y AB antes // + y stub

m.dmd

y AB despus // = 1 + j0y AB antes // = 1 + j b AB antes //y stub = 0 + j b stub

b stub = - b AB antes // por lo tanto:

y luego para poner d en metros:

Ya en ese lugar y sobre la circunferencia marcada anteriormente, tenemos definida la admitancia y AB y ese es el valor que tengo en los puntos A-B del circuito sin conectar el stub.

Ejemplo numrico: yab = (1 + j1.3) ; d = 0,152 = 0,101m

1yy Sab

3- Si ahora conectamos al stub tenemos que:Para el stub, y s = g s + j b s , pero como es reactivo puro, g s = 0 por lo tanto y s = b s . Podemos calcular el valor de b s haciendo:

b S = b ab

Ya hallado el valor del stub, lo ubicamos en el diagrama y de esta forma podemos calcular la longitud del stub lS que en nuestro caso, por tener una terminacin en corto circuito partimos de z = 0 ( y g = ), siempre en sentido hacia el generador hasta el valor hallado de b s1.

Nota: En caso de tener una terminacin en circuito abierto partimos de z = (y = 0) y tambin en sentido hacia el generador hasta llegar al valor b S1

Ejemplo numrico: b S = -1,3

Ls = 0,104 = 6,93cm