Lmites infinitos

1 Observaciones previas

La existencia de un valor L R tal quelimx 7a

f(x) = L

nos da informacion relevante respecto al comportamiento de los valores de f en las proximidades de un puntoa R. Sin embargo, cuando concluimos que tal lmite no existe, esto puede deberse a diferentes tipos decomportamiento de f .

Una de las situaciones posibles es que existan ambos lmites laterales y correspondan a diferentes valores.En ese caso tambien la informacion respecto al comportamiento de f en las proximidades de a es clara.

Analizamos los casos en los que al menos uno de los lmites laterales no existe. Por ejemplo, sabemos quef(x) = senpi

xy g(x) = 1

xno tienen ninguno de sus dos lmites laterales cuando la variable tiende a cero, y

sin embargo las situaciones son muy diferentes: en todo entorno a derecha del cero, f toma todos los valoresentre 1 y 1 mientras que g asume valores tan grandes como querramos proponer. Este comportamiento deg lo denotaremos con el smbolo

limx 70+

g(x) = +.

Es importante senalar que silim

x 70+g(x) = +,

entonces

g no tiene lmite cuando la variable tiende a cero por derecha.

Debemos interpretar alim

x 70+g(x) = +

como un solo smbolo y no como una igualdad matematica. A continuacion, definimos formalmente estosnuevos smbolos.

2 Lmites infinitos

2.1 Definicion. Dada una funcion f definida en un entorno a derecha (a izquierda) de a R, decimos quelos valores de f tienden a mas infinito cuando la variable tiende a a R por derecha (por izquierda) y lonotamos

limx 7a+

f(x) = + ( limx 7a

f(x) = +)

si, para todo M > 0 existe r > 0 tal que f(x) > M para todo x (a, a+ r) (para todo x (a r, a)).Analogamente, decimos que los valores de f tienden a menos infinito cuando la variable tiende a a R

por derecha (por izquierda) y lo notamos

limx 7a+

f(x) = ( limx 7a

f(x) = )

si, para todo M > 0 existe r > 0 tal que f(x) < M para todo x (a, a+ r) (para todo x (a r, a)).Si

limx 7a+

f(x) = y limx 7a

f(x) =

decimos que los valores de f tienden a mas (menos) infinito cuando la variable tiende a a y lo notamos

limx 7a

f(x) =

.

1

2.1 Algebra de lmites infinitos

2.2 Lemma. Silim

x 7a+f(x) = L

con L > 0lim

x 7a+g(x) = 0

con g(x) > 0 para todo x (a, a+ r), entonces

limx 7a+

f(x)

g(x)= +.

2.3 Lemma. Sea f tal que limx 7a+

f(x) = + y g una funcion definida en un entorno de a. Entonces:

1. Si limx 7a+

g(x) = +

(a) limx 7a+

(f + g)(x) = +

(b) limx 7a+

(fg)(x) = +

(c) Si limx 7a+

g(x) = L

i. limx 7a+

(f g)(x) = +

ii. Si L > 0, limx 7a+

(fg)(x) = +

iii. Si L > 0, limx 7a+

fg(x) = +

iv. limx 7a+

gf(x) = 0

Los mismos resultados son validos para los lmites laterales por izquierda y para el los lmites globales.Por otro lado, resultados simetricos a los del lema anterior se obtienen cuando lim

x 7a+f(x) = y/o

L < 0 y/o limx 7a+

g(x) = . Para su prueba solo basta usar el siguiente

2.4 Lemma. limx 7a+

f(x) = + si y solo si limx 7a+

[f(x)] =

Ejercicio: Dar ejemplos de funciones f y g tales que limx 7a+

f(x) = + y

1. limx 7a+

g(x) = + y limx 7a+

(f g)(x) = +

2. limx 7a+

g(x) = + y limx 7a+

(f g)(x) =

3. limx 7a+

g(x) = + y limx 7a+

(f g)(x) = L

4. limx 7a+

g(x) = + y limx 7a+

fg(x) = +

5. limx 7a+

g(x) = + y limx 7a+

fg(x) =

6. limx 7a+

g(x) = + y limx 7a+

fg(x) = 0

7. limx 7a+

g(x) = + y limx 7a+

fg(x) = L 6= 0

8. limx 7a+

g(x) = 0 y limx 7a+

(fg)(x) =

9. limx 7a+

g(x) = 0 y limx 7a+

(fg)(x) = 0

2

3 Lmites en el infinito

Cuando el dominio de una funcion contiene un intervalo no acotado, nos interesara conocer el comportamientode los valores de f cuando la variable toma valores con valor absoluto tan grande como se quiera.

Tomemos por ejemplo las funciones f(x) = arctan(x), g(x) = x2 y h(x) = senx. Las tres funcionestienen como dominio a R pero su comportamiento cuando la varible toma, por ejemplo, valores positivostan grandes como querramos pensar son muy diferentes. En el caso arctan, la funcion toma valores cada vezmas grandes, acercandose tanto como querramos pensar a pi

2, sin superarlo. En cambio, la funcion que eleva

al cuadrado tomara tambien valores cada vez mas grandes pero en este caso los valores de funcion seranarbitrariamente grandes. Finalmente, la funcion seno en cambio, seguira oscilando entre todos los valoresdel [1, 1].

Para representar estos tipos de comportamientos hablaremos de lmite de los valores f cuando la variabletiende a +.

En el caso de arctan diremos que el lmite es pi2y lo notaremos

limx 7+

arctan(x) =pi

2.

En el caso de h(x) = x2 diremos que el lmite es + y lo notaremos

limx 7+

x2 = +.

Finalmente, la funcion seno diremos que no tiene lmite en +.Definimos formalmente estos conceptos:

3.1 Definicion. Sea f una funcion tal que existe un c R tal que [c,+) Dom(f).

1. Decimos quelim

x 7+f(x) = L R

si, para todo > 0 existe N > 0 tal que para todo x > N , |f(x) L| < .

2. Decimos quelim

x 7+f(x) = + R

si, para todo M > 0 existe N > 0 tal que para todo x > N , f(x) > M .

Ejercicios:

1. Definir

(a) limx 7 f(x) = L R

(b) limx 7+ f(x) =

(c) limx 7 f(x) = +

(d) limx 7 f(x) =

2. Realizar un algebra de lmites en el infinito

Tambien para los lmites en el infinito tenemos un teorema de intercalacion:

3.2 Teorema. Sean f , g y h tres funciones para las cuales existe un M R tal que f(x) g(x) h(x)para todo x > M . Si lim

x 7+f(x) = lim

x 7+h(x) = L R, entonces lim

x 7+g(x) = L.

Ejercicio: demostrar.

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