|LIMITES INFINITOS||

Decimos que lim f(x)=  si para los valores de x proximos a a,     x→ a    los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.

Con rigor, decimos que lim f(x)=  si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x

≠ a, entoces f(x)>k.

Análogamente,    lim f(x) = – x→a

si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.

Diremos que lim f(x) = – x→a

si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces  f(x)

< -k

•Ejemplo:

la función f(x)= 1/|x|

En el punto x=0 se tiene:

lim 1/|x| = – x→ 0-

→ lim    1/|x| =                                                x→0

lim 1/|x| = x→a’

||LIMITES AL INFINITO||

Cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:

• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.

x→ 

•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L.         x→

Límite infinito

Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes.

Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos

conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x

tiende a infinito.

Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito.

Definición

Límite infinito

Caso 1:

x f(x)

100 1,0x10-4

1.000 1,0x10-6

10.000 1,0x10-8

100.000 1,0x10-10

1.000.000 1,0x10-12

limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > A.

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple

que f(x) es mayor que A.

En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir

que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende

a a es +inf.

Caso 2:

limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) < -A.

Caso 3:

limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A.

Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier número, si x es lo

suficientemente grande.

Caso 4

limx->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) < -A.

Caso 5:

limx->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) > A.

Caso 6:

limx->-inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) < -A.

Caso 7:

limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) pertenece al Eb,ε.

Caso 8:

limx->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x < -B f(x) pertenece al Eb,ε.

El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor de funciones que tienen al infinito dentro.

Uno entre infinito

Empecemos por un ejemplo interesante.

Pregunta: ¿Cuál es el valor de 1/∞ ?

Respuesta: ¡No lo sabemos!

¿Por qué no lo sabemos?

La razón más simple es que infinito no es un número, es una idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.

A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y resulta que cada una es 0, ¿qué ha

pasado con el 1?

De hecho 1/∞ es indefinido.

¡Pero podemos acercarnos a él!

Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con valores de x más y más

grandes:

x 1/x

1 1.00000

2 0.50000

4 0.25000

10 0.10000

100 0.01000

1,000 0.00100

10,000 0.00010

Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0

Ahora tenemos una situación interesante:

No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito Pero vemos que 1/x va hacia 0

Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse exactamente a esto

El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0

Y lo escribimos así:

En otras palabras:

Cuando x va a infinito, 1/x va a 0

Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"

Es una manera matemática de decir que "no estamos hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que cuando x crece, la respuesta se acerca más y

más a 0".

Resumen

A veces podemos no usar infinito directamente, pero sí podemos usar un límite.

Lo que pasa en ∞ es indefinido... 1/∞

... pero sabemos que 1/x va hacia 0 cuando x va hacia infinito

Límites al ir a infinito

¿Cuál es el límite de esta función?

y = 2x

Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo mismo a "2x":

x y=2x

1 2

2 4

4 8

10 20

100 200

... ...

Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo escribimos así:

Pero no te dejes engañar por el signo "=". No podemos llegar a infinito, pero en el lenguaje de los "límites", el límite es infinito (lo que quiere decir en

realidad que la función no tiene límite).

Infinito y gradoHemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito.

De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así:

Las funciones como 1/x van hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto pasa también con 1/x2 etc.

Una función como 2x va hacia infinito, porque tiene "x" dentro.

Igualmente, funciones como x2 o x3 también van hacia infinito

Pero ten cuidado, una función como "-x" va hacia "-infinito", así que hay que fijarse en los signos.

De hecho, si miramos el grado de la función (el mayor exponente (o potencia) en la función) podemos saber

qué va a pasar.

Si el grado es:

mayor que 0, el límite es infinito (o -infinito) menor que 0, el límite es 0

Pero si el grado es 0 o desconocido entonces tenemos que trabajar más para calcular el límite