LMITES DE FUNCIONES

Consideremos la funcin cuyo dominio es Notemos que la funcin f no est definida en x=3, es decir f(3) no existe, sin embargo podemos calcular f(x) para cualquier x prximo o cercano a x=3 como sigue:xf(x)

21

2.51.2534

2

2.91.81

2.991.9801

2.9991.998

32

xf(x)

45

3.53.25

3.12.21

3.012.0201

3.0012.0020

32

Tabla 1Tabla 2Observamos de estas tablas que:

Cuando x se aproxima por la izquierda al nmero 3, las imgenes f(x) se aproximan al nmero 2 lo que se escribe como

Cuando x se aproxima por la derecha al nmero 4, las imgenes f(x) se aproximan al nmero 8 lo que se escribe como A estos lmites se les llama limites laterales de la funcin f(x).Observaciones.- Se tiene las siguientes observaciones1. Los limites laterales no siempre existen2. Los lmites laterales si existen no siempre son iguales3. Si los lmites laterales existe y son iguales entonces se dice que el limite existe y se escribe como

Caso contrario diremos que el lmite de la funcin no existe.4. La existencia del lmite de una funcin en x=a no depende del hecho de que f este o no definida en x=a, sino solamente del hecho de que f este definida para x cerca de a.

Definicin Intuitiva de Lmite.- si y solo si se aproxima al nmero L cuando x se aproxima al nmero a tanto por la izquierda como por la derecha

Definicin Analtica de Lmite.- si y solo si

Teoremas Acerca de Lmites.- Hallar el lmite de una funcin no es prctico mediante el clculo de las imgenes en una tabla acercndose por la izquierda y por la derecha. En lo que sigue desarrollaremos medios para calcular lmites de una manera ms mecnica usando algunos resultados:Teorema.- Los siguientes resultados son validos:5. 1.- Si C es una constante, entonces

2.-

3.-

4.- Si entonces a. 4.1.-

4.2.-

4.3.-

5.-

6.-

7.- Si es un polinomio entonces 8.- Si el lmite de una funcin existe, este es nico.

Observacin.- En el caso de tener una funcin racional lo ms recomendable es evaluar la funcin en x=a :a) Si el denominador es distinto de cero, el valor que resulte es el valor del lmite de la funcinb) Si el denominador es cero; reducir lo mas que se pueda simplificando los factores comunes de la funcin y volver a calcular el lmite. Si permanece el denominador cero entonces el Lmite no existe.

Algunas de los resultados importantes que nos permitirn calcular los lmites son1.

2.

3.

EjerciciosCalcular los siguientes lmites1. 2.

3.

4.

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