Limites de funciones 1.1
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS,HUMANIDADES
Y CURSOS COMPLEMENTARIOS
CÁLCULO DIFERENCIAL
Wilfredo García Rodas
I UNIDAD
CONSIDERACIONES GENERALES
ORIENTACIONES GENERALES
◦ Estimado estudiante:
◦ A continuación ponemos a su disposición, lassiguientes diapositivas con la finalidad dereforzar el aprendizaje de la unidad.
◦ ¡ MUCHOS ÉXITOS !
CONTENIDOS DE LA I UNIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES
SEMANA N° 1
1.1 Vecindad, entorno. Punto de acumulación.
Punto aislado. Aplicaciones.
1.2 Definición de límite. Límite de una suma,
producto, cociente de funciones.
1.3 Límites laterales. Teoremas sobre límites.
1.4 Existencia y unicidad del límite. Límites
trigonométricos.
SEMANA N° 2
1.5 Límite de la función compuesta y de la función
inversa.
1.6 Límites al infinito y límites infinitos.
1.7 Asíntotas: Verticales, horizontales y oblicuas.
Ejercicios y problemas
LÍMITES DE FUNCIONES
Veamos primero el comportamiento de una
función real f de variable real, con regla de
correspondencia y=f(x) , en la cercanía de
x=2.
32
2
2
lim 2
x
xx
x
LÍMITES DE FUNCIONES
2,1)( xxxf
32
2
2
lim 2
x
xx
x
Definiciones previas
0, 1.Vecindad de centro xO y radio
Definiciones previas
0, 1.Vecindad de centro xO y radio
OO xxxRxVO
x /)(
OO xxVO
x ;)(
Definiciones previas
2.Vecindad reducida de centro xO y radio
OOOO xxxxxxRxVO
x v/´ )(
OOOO xxxxVO
x ;;´ )( v
0
Definiciones previas
3.Entorno del punto xO
Definiciones previas
3.Entorno del punto xO
Ejemplo: xO = 2 tiene por entorno a 3;0I
4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A,
A )´ oxV
V
ARA ,
si
4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A
3;1AEjemplo: Sea xO = 1 y
¿Xo es punto de acumulación de A?
4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A
AHallamos )´ oxV
3;1A
] 1;11, 1[3;1
1;13;11, 13;1
Ejemplo: Sea xO = 1 y
Solución:
4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A
AHallamos )´ oxV
3;1A
] 1;11, 1[3;1
1;13;11, 13;1
,1 1;3/ mínimo
1 Ox es punto de acumulación de A.
Ejemplo: Sea xO = 1 y
DEFINICIÓN:
Sea f una función real de variable real
cuyo dominio es Df. Sea x0 un punto de
acumulación del dominio de f, xO puede
no pertenecer a Df, el límite de la función f
cuando x se aproxima al valor de xO (x
tiende a “xO”) y toma el valor L, se denota
y define por:
LxfxxDxLf OfOxx
)(/0;0lim
GRÁFICA:
Caso extremo, se puede tomar
10
1
Oservaciones :
INDETERMINACIONES:
PROPIEDADES
PROPIEDADES
LÍMITES LATERALES
Aplicaciones:
Solución:
Solución:
LÍMITES AL INFINITO:
LÍMITES INFINITOS
El número Irracional (e)
Es conocido como el número de Euler o la constante de Neper por
ser la base del logaritmo neperiano (logaritmo natural).
Valor de e
Gráfica
0,ln1
lim0
aax
aL
x
x