Límite y Continiudad de Funciones

Eleazar J. García

1

Capítulo 2

Límite y Continuidad de Funciones.

En nuestro vocabulario es común usar expresiones tales como: el límite de nuestra resistencia, el límite de la velocidad, el límite de nuestra paciencia, etc. Nosotros usaremos la expresión “límite” para referirnos al número que se acerca una función cuando la variable independiente se acerca a un número no necesariamente de su dominio. Si la función no se acerca a ningún número, diremos que el límite de la función no existe. También, estudiaremos la continuidad de una función en todo su dominio. Estos términos, límite y continuidad son de gran importancia dentro del mundo del cálculo, por tal razón, se recomienda estudiarlos de una manera consciente para evitar adversidades en estudios futuros. 2.1 Límite de una función. La noción de límite de una función en un número1 se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función

3 1( ) , 1

1

xf x x

x

−= ≠−

Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).

x se acerca al 1 por la izquierda ⇒⇐ x se acerca al 1 por la derecha

x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 f ( x ) 2,71 2,9701 2,997001 ¿? 3,003001 3,0301 3,31

f (x) se acerca al 3 ⇒⇐ f (x) se acerca al 3

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

( )1,3

( )3 1

1xxx

f −=−

Figura 2.1

1 Cuando nos referimos a un número, como en éste caso, en realidad nos estamos refiriendo a un punto de la recta real.

Límite y Continuidad de Funciones

2

La figura 2.1 es la gráfica de la función3 1

( ) , 11

xf x x

x

−= ≠−

y como podemos

observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función

2( ) 1g x x x= + + menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos ( ) .

x af x L

→=lím

2.2 Definición de límite de una función. Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como ( )

x af x L

→=lím , si para cualquier 0ε > , no importa que tan

pequeña sea, existe una 0δ > tal que

si 0 | |x a δ< − < entonces | ( ) |f x L ε− <

Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia | ( ) |f x L− puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que ( )

x af x

→lím exista.

Ejemplos 2.1.

1) Utilicemos la definición para demostrar que 2(4 5) 3.

xx

→− =lím

Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración.

Se debe demostrar que para cualquier 0ε > existe una 0δ > tal que

si 0 | 2 |x δ< − < entonces | (4 5) 3 |x ε− − < (A) si 0 | 2 |x δ< − < entonces | 4 8 |x ε− < si 0 | 2 |x δ< − < entonces 4 | 2 |x ε− <

si 0 | 2 |x δ< − < entonces | 2 |4

xε− <

Entonces, si tomamos 4

εδ = se cumple la proposición (A). Esto demuestra que

2(4 5) 3.

xx

→− =lím

Eleazar J. García

3

Tomando 0,01ε = , 0,0025,δ = luego, para esos valores de ε y ,δ los números x

que pertenecen al intervalo abierto ( ) ( )1,9975;2 2;2,0025∪ verifican la proposición(A). En

efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene:

0 |1,9976 2 | | 0,0024 | 0,0024 0,0025< − = − = < entonces

| (4·1,9976 5) 3| | 7,9904 8 | | 0,0096 | 0,0096 0,01− − = − = − = < Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x.

2) Demostrar usando la definición de límite que 3

1

13.

1x

x

x→

− =−

lím

Como la función está definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto,

si 0 | 1|x δ< − < entonces 3 1

31

x

xε− − <

− (B)

si 0 | 1|x δ< − < entonces ( )( )21 1

31

x x x

xε

− + +− <

−

si 0 | 1|x δ< − < entonces 2| 2 |x x ε+ − <

si 0 | 1|x δ< − < entonces ( ) ( )2| 1 |x x ε− + <

si 0 1x δ< − < entonces | 2 || 1|x x ε+ − <

Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se acerca a 3, luego, 2 | 2 | 3,x< + ≤ entonces,

| 2 || 1| 3 | 1| ,x x x ε+ − ≤ − < por lo tanto, | 1| .3

xε− < De la proposición (B) se obtiene que,

si 0 | 1|x δ< − < entonces | 1| .3

xε− < Si tomamos

3

εδ = se cumple la proposición (B), lo

que demuestra que 3

1

1lim 3.

1x

x

x→

− =−

2.3. Ejercicios propuestos 2.1.

Demuestre, aplicando la definición que el límite es el número indicado.

1) 2(7 2 ) 11

xx

→−− =lím

2) 2

1

12

1x

x

x→−

− = −+

lím

3) 2(1 3 ) 5

xx

→−+ = −lím

4) 2

2( 4) 8

xx

→+ =lím


4

Con la finalidad de calcular los límites de funciones de una manera más fácil y eficaz, que aplicando la definición, son empleados los teoremas 2.1 al 2.10.

2.4. Teorema 2.1. Límite de una función lineal.

Sea ( )f x mx b= + donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces

lim ( ) ( )x a x a

f x mx b ma b→ →

= + = +lím lím

Ejemplo 2.2.

3(4 7) 4·3 7 12 7 5

xx

→− = − = − =lím

2.5. Teorema 2.2. Límite de una función constante.

Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces

x ac c

→=lím

Ejemplo 2.3.

47 7

x→=lím

2.6. Teorema 2.3. Límite de una función identidad.

Sea ( )f x x= , entonces

x a

x a→

=lím

Ejemplo 2.4.

2

2x

x→−

= −lím

2.7. Teorema 2.4. Límite de la suma y de la diferencia de funciones.

Si ( )x a

f x L→

=lím y ( )x a

g x M→

=lím , entonces

[ ]( ) ( ) ( ) ( )x a x a x a

f x g x f x g x L M→ → →

± = ± = ±lím lím lím

Ejemplo 2.5.

Sean, 3(2 4) 2

xx

→− =lím y

33 9,

xx

→=lím entonces,

( ) ( )( ) ( )3 3

2 4 3 2 4 3 2 9 11x x x a

x x x x→ → →

− + = − + = + =lím lím lím y

( ) ( )( ) ( )3 3

lim 2 4 3 lim 2 4 lim3 2 9 7x x x a

x x x x→ → →

− − = − − = − = −

Eleazar J. García

5

2.8. Teorema 2.5. Límite de la suma y de diferencia de n funciones.

Si 1 1 2 2( ) , ( ) , , ( ) ,n nx a x ax a

f x L f x L y f x L→ →→

= = =lím lím lím… entonces

[ ]1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n nx a x a x a x af x f x f x f x f x f x L L L

→ → → →± ± ± = ± ± ± = ± ± ±lím lím lím lím⋯ ⋯ ⋯

2.9. Teorema 2.6. Límite del producto de dos funciones.

Si ( )x a

f x L→

=lím y ( )x a

g x M→

=lím , entonces

[ ]( )· ( ) ( )· ( ) ·x a x a x a

f x g x f x g x L M→ → →

= =lím lím lím

Ejemplo 2.6.

Sean, 3(2 4) 2

xx

→− =lím y

33 9,

xx

→=lím entonces,

( ) ( )( ) ( )3 3 3

2 4 3 2 4 3 2·9 18.x x x

x x x x→ → →

− = − = =lím lím lím

2.10. Teorema 2.7. Límite del producto de n funciones.

Si 1 1 2 2( ) , ( ) , , ( ) ,n nx a x ax a

f x L f x L y f x L→ →→

= = =lím lím lím… entonces

[ ]1 2 1 2 1 2( )· ( ) ( ) ( )· ( )· · ( ) · · ·n n nx a x a x a x af x f x f x f x f x f x L L L

→ → → →= =lím lím lím lím⋯ ⋯ ⋯

2.11. Teorema 2.8. Límite de la n-ésima potencia de una función.

Si lim ( )x a

f x L→

= y n es cualquier número entero positivo, entonces

[ ]( ) ( )nn n

x a x af x f x L

→ → = =

lím lím

Ejemplo 2.7.

Sea, ( )2

5 10 20,x

x→−

− =−lím entonces, ( ) ( )( ) ( )2

2 2

2 25 10 5 10 20 400.

x xx x

→− →−− = − = − =lím lím

2.12. Teorema 2.9. Límite del cociente de dos funciones.

Si ( )x a

f x L→

=lím y ( )x a

g x M→

=lím , entonces

( )( )0

( ) ( )x a

x ax a

f xf x Lsi M

g x g x M→

→→

= = ≠lím

límlím


6

Ejemplo 2.8.

Sean, 3(2 4) 2

xx

→− =lím y

33 9,

xx

→=lím entonces,

( )3

33

33 9

2 4 2 4 2x

xx

xx

x x→

→→

= =− −

límlím

lím

2.13. Teorema 2.10. Límite de la raíz n-ésima de una función.

Si n es un número entero positivo y ( )x a

f x L→

=lím , entonces

( ) ( ) nnn

x a x a

f x f x L→ →

= =lím lím con la restricción que si n es par, L > 0.

Ejemplo 2.9.

Sea, ( )2

54 6 106,

xx

→−+ =lím entonces

( ) ( )22 2 24 4 444 45 5 5 5

4 6 4 6 4 6 4 5 6 100 6 106.x x x x

x x x→− →− →− →−

+ = + = + = − + = + =lím lím lím lím

2.14. Teorema 2.12. Límite del logaritmo de una función.

Sean: b un número real positivo y distinto de 1, y ( ) 0,x a

f x L→

= >lím entonces

( ) ( )log log .b bx a x a

f x f x→ →

= lím lím

Ejemplo 2.10.

Calcule: ( )ln 2x e

x e→

− lím aplicando el teorema 2.12.

Apliquemos el teorema exigido:

( ) ( ) ( ) ( )ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 1x e x e x e x e

x e x e x e e e e→ → → →

− = − = − = − = = lím lím lím lím

Sin aplicar el teorema:

( ) ( ) ( )ln 2 ln 2 ln 1.x e

x e e e e→

− = − = = lím

2.14. Teorema 2.11. Unicidad del límite de una función. Si ( ) 1

x af x L

→=lím y 2( ) ,

x af x L

→=lím entonces, 1 2.L L=

Este teorema asegura que si el límite de una función existe éste es único.

2.15. Infinitésimo. La función f es un infinitésimo en el punto a si y sólo si ( ) 0.

x af x

→=lím

Ejemplos 2.10. 1) La función f (x) = x es un infinitésimo en 0 pues

00.

xx

→=lím

2) La función g (x) = x – 1 es un infinitésimo en 1 porque ( )1

1 0.x

x→

− =lím

Eleazar J. García

7

3) La función h (x) = sen x es un infinitésimo en 0 ya que 0sen 0.

xx

→=lím

4) La función m(x) = 4-2x es un infinitésimo en 2 pues ( )2

4 2 0.x

x→

− =lím

5) La función r(x) = cos x es un infinitésimo en 2π porque 2

cos 0.x

xπ→

=lím

2.16. Infinitésimos equivalentes. Dos infinitésimos en un mismo punto son equivalentes, cuando el límite de su cociente es la unidad.

( )( ) ( ) 1

( )x a

f xf x g x

g x→⇔ =lím∼

Cuando en un límite, un infinitésimo esté multiplicado o dividido se le puede sustituir por otro infinitésimo equivalente. La suma de varios infinitésimos de distinto orden se puede reducir al infinitésimo de menor orden. 2.17. Infinitésimos más frecuentes en 0.

( )

( )

2

sen arcsen

tg arctg

1 cos ln 12

1 1 ln

1 1 1 1

x x

n n

x x x x

x x x x

xx x x

e x a x a

xx nx x

n

− +

− −

+ − + −

∼ ∼

∼ ∼

∼ ∼

∼ ∼

∼ ∼

Ejemplos 2.11.

1) 0 0

0 0 000

sensen1 1x x

x x xxx

x xx x

x x x x→ →

→ → →→→

= = = = =lím lím

lím lím límlím lím

2) 0 0

0 0 00 0

arctgarctg1 1

arcsen arcsenx x

x x xx x

x xx x

x x x x→ →

→ → →→ →

= = = = =lím lím

lím lím límlím lím

3) ( )( ) ( )0 0

0 0 000

10 1 ln1010 1 ln10ln10 ln10

1 1

xx

x xx xx x x

xx

x x

x xe e→ →

→ → →→→

− − = = = = = − −

lím límlím lím lím

límlím

4) ( )3

30 0 0

0 0 00 0 0

sen sensen 1 1

3 3 3 3 3 3 3x x x

x x xx x x

x x x xx x x

x x x x x→ → →

→ → →→ → →

++ = = = = = =lím lím lím

lím lím límlím lím lím


8

2.18. Ejercicios propuestos 2.2. Calcule los siguientes límites:

1) ( )

2

20

2s

1 s.

en

cox

x

x x→ +lím 2)

0

1.

sen 2

x

x

e

x→

−lím 3)

1

ln.

1x

x

x→ −lím 4)

0

1 1.

1 1

n

mx

x

x→

+ −+ −

lím 5) 2 3

0

sen.

1 cosx

x x

x→

+−

lím

6) 3

30

sen arctg.

sen tgx

x x

x x→

++

lím 8) ( )3

30

1 cos.

tgx

x

x→

−lím 9)

( ) 4 2

2 30

4ln 1 arcsen tg 2.

5 3x

x x x

x x x→

+ − ++ −

lím

10) ( )

( )0

7 1.

3ln 1

x

x

e

x→

−

+lím 11)

2

1

ln.

1x

x

x→ −lím 12)

( ) ( )( )

3

60

1 cos ln 1.

3 arcsen tgx

x x

x x→

− +lím 13)

0

1 1.

x

x

x→

+ −lím

2.19. Límite por la izquierda. Sea f definida en cada número del intervalo abierto ( ); .c a El límite de f (x), cuando

x se acerca al número a por la izquierda es L, lo cual se escribe ( ) ,x a

f x L−→

=lím si para

cualquier 0,ε > sin importar que tan pequeña sea, existe una 0δ > tal que

si 0 a x δ< − < entonces | ( ) |f x L ε− <

2.20. Límite por la derecha. Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto ( ); .a c El límite de

f(x), cuando x se acerca al número a por la izquierda es L, lo cual se escribe ( ) ,x a

f x L+→

=lím si

para cualquier 0,ε > sin importar que tan pequeña sea, existe una 0δ > tal que

si 0 x a δ< − < entonces | ( ) |f x L ε− < 2.21. Teorema 2.12.

El ( )x a

f x→

lím existe y es igual a L, si y sólo si, ( )x a

f x−→

lím y ( )x a

f x+→

lím existen y son iguales

a L.

( ) ( ) ( )x a x a x a

f x f x f x L− +→ → →

= = =lím lím lím

2.22. Definición para funciones que crecen sin límite. Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente en a mismo. La función f (x) crece sin límite, cuando x se aproxima al número a, lo cual se escribe lim ( )

x af x

→= + ∞ si para cualquier N > 0 existe una 0δ > tal

que si 0 | |x a δ< − < entonces f (x) > N

Ejemplo 2.13.

Supongamos que f es la función definida por 2

3( ) .f x

x= La gráfica de esta función

se muestra en la figura siguiente.

Eleazar J. García

9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

12345678

9

101112131415161718

19

x

y

( ) 2

3xx

f =Figura 2.2

El comportamiento de la función f es que crece sin límite cuando x se acerca al número cero por la izquierda o por la derecha. Cuando esto sucede decimos que el límite de f(x) es menos infinito cuando x tiende al número 0, lo que se indica mediante la siguiente notación:

20

3limx x→

= + ∞

2.23. Definición para funciones que decrecen sin límite. Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente en a mismo. La función f (x) decrece sin límite, cuando x se aproxima al número a, lo cual se escribe lim ( )

x af x

→= − ∞ si para cualquier N < 0 existe una

0δ > tal que si 0 | |x a δ< − < entonces f (x) < N

Ejemplo 2.14.

Supongamos que f es la función definida por la ecuación 2

3( ) .f x

x

−= La gráfica de f se

muestra en la figura siguiente.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9

-8-7-6-5-4-3-2-1

1 xy

( ) 2

3xx

f =

Figura 2.3


10

A partir de la gráfica se observa que el comportamiento de la función f es que decrece sin límite cuando x se acerca a 0 por la izquierda o por la derecha. Este comportamiento lo expresamos diciendo que el límite de f (x) es menos infinito cuando x

tiende a cero, lo que se escribe de la siguiente manera: 20

3lim .x x→

− = − ∞

Ahora consideremos la función h definida por la ecuación 2

( ) .1

xh x

x=

−La gráfica de h se

presenta en la figura 2.4.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

( ) 21

xh xx

=−

Figura 2.4

El comportamiento de h cuando x se acerca al número 1 por la izquierda es diferente a su comportamiento cuando x se acerca al 1 por la derecha. Cuando se acerca al 1 por la izquierda h(x) decrece sin límite, mientras que cuando x se acerca al 1 por la derecha h(x) crece sin límite.

Estos comportamientos de h lo escribimos de las siguientes maneras: 1

2lim

1x

x

x−→= − ∞

−

y 1

2lim .

1x

x

x+→= + ∞

−

Ejemplos 2.15. Determine el límite analíticamente y apoye la respuesta trazando la gráfica de la función.

1) 22

2lim .

4t

x

x+→

+−

Solución: ( ) ( )22 2 2

2 2 1lim lim lim .

4 2 2 2x x x

x x

x x x x+ + +→ → →

+ += = = + ∞− + − −

La gráfica de la función ( ) 2

2

4

xg x

x

+=−

es mostrada a continuación.

Eleazar J. García

11

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

( ) 2

2

4

xg xx

+=−

Figura 2.5

En la gráfica se observa que cuando x se acerca al número 2 por la derecha g(x) crece sin límite.

2) 2

0

3lim .x

x

x−→

+

Solución

( )2 2 222

0 0 0 00

00 0 0 0

lim 3 lim 3 lim 3 limlim 33 3 0lim

lim lim lim lim 0x x x xx

xx x x x

x x xxx

x x x x x

− − − −−

−

− − − −

→ → → →→−→

→ → → →

+ + +++ += = = = = = − ∞

La gráfica de la función 23

( )x

f xx

+= es mostrada en la figura 2.6.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

( )23 x

xx

f +=

Figura 2.6

Observemos que f (x) decrece sin límite cuando x se acerca al 0 por la izquierda.


12

3) 2

22

6 2lim .

2 3 2t

x x

x x+→−

+ −+ −

Solución:

( )( )( )( )

( )( )

( )22 1 2 42 32 3 33 22 12 2 2

22

lim6 2lim lim lim

2 3 2 2 2 lim 2 0t

x x xx

xx x xx x

x x x x x x

+

+ + +

+

→−+→− →− →−

→−

+− + −++ − = = = = = − ∞ + − − + + +

La gráfica de la función 2

2

6 2( )

2 3 2

x xf x

x x

+ −=+ −

se muestra en la figura 2.7:

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

y

( )

2

2

6 2

2 3 2

x xxx x

f + −=

+ −

Figura 2.7

Observando la gráfica podemos verificar que cuando x se acerca al número -2 por la derecha, f (x) decrece sin límite. 2.24. Límites indeterminados. Los límites indeterminados que estudiaremos en éste capítulo son:

2.24.1 La forma indeterminada 0

.0

Si f y g son dos funciones tales que lim ( ) 0x a

f x→

= y lim ( ) 0,x a

g x→

= entonces la función

fg tiene la forma indeterminada 0

0 en a.

La manera de resolver los límites indeterminados 0

,0

será explicada mediante dos:

Ejemplos 2.16.

1) Calcular 2

24

12lim .

3 4x

x x

x x→

− −− −

Se tiene que ( )2

4lim 12 0x

x x→

− − = y ( )2

4lim 3 4 0,x

x x→

− − = entonces, 2

24

12 0lim .

3 4 0x

x x

x x→

− − =− −

Para eliminar la indeterminación, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos y resolvemos el límite obtenido, así:

Eleazar J. García

13

( )( )( )( )

2

24 4 4

4 312 3 7lim lim lim .

3 4 4 1 1 5x x x

x xx x x

x x x x x→ → →

− +− − += = =− − − + +

Por lo tanto, 2

24

12 7lim .

3 4 5x

x x

x x→

− − =− −

2) Calcular 2

3

4 13 7lim .

6 2x

x

x→

+ −−

Aquí tenemos:

( )2

3lim 4 13 7 0x

x→

+ − = y ( )3

lim 6 2 0,x

x→

− = luego, 2

3

4 13 7 0lim .

6 2 0x

x

x→

+ − =−

En éste caso procedemos de la siguiente manera: multiplicamos el numerador y el

denominador por la conjugada de 24 13 7,x + − dicha conjugada es: 24 13 7,x + + luego se resuelve el límite resultante, así:

( )( )( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )

2 2 22

3 3 32 2

22

3 32 2

3 32 2

4 13 7 4 13 7 4 13 494 13 7lim lim lim

6 2 6 2 4 13 7 2 3 4 13 7

4 94 36lim lim

2 3 4 13 7 2 3 4 13 7

4 3 3 4 3 24 6lim lim .

28 72 3 4 13 7 2 4 13 7

x x x

x x

x x

x x xx

x x x x x

xx

x x x x

x x x

x x x

→ → →

→ →

→ →

+ − + + + −+ − = = =− − + + − + +

−− = =− + + − + +

+ − +− = − =− =−

− + + + +

Por lo tanto, 2

3

4 13 7 6lim

6 2 7x

x

x→

+ − = −−

2.24.2 La forma indeterminada .∞∞

Si f y g son dos funciones tales que lim ( )x

f x→∞

= ∞ y lim ( ) ,x

g x→∞

= ∞ entonces la

función fg es indeterminada con la forma .

∞∞

La forma de resolver éstos límites será explicada mediante dos ejemplos. Ejemplos 2.17

1) Calcular 4 3

lim .2 5x

x

x→+∞

−+


14

Es evidente que ( )lim 4 3x

x→+∞

− = + ∞ y ( )lim 2 5 ,x

x→+∞

− = + ∞ por lo tanto,

4 3lim .

2 5x

x

x→+∞

− +∞=+ +∞

Para resolver éste límite dividimos el numerador y el

denominador entre la x de mayor exponente, así:

4 3 344 3 4 0

lim lim lim 22 5 52 5 2 0

.2

x x x

xx x x x

xxx x x

→+∞ →+∞ →+∞

− −− −= = = =+ −+ −

Por lo tanto, 4 3

lim 2.2 5x

x

x→+∞

− =+

2) Calcular 4

5 2

5 2 4lim .

3 2x

x x

x x→−∞

− ++ −

En este caso ( )4lim 5 2 4x

x x→−∞

− + = + ∞ y ( )5 2lim 3 2x

x x→−∞

+ − = − ∞ , por lo tanto,

4

5 2

5 2 4lim .

3 2x

x x

x x→−∞

− + +∞=+ − −∞

Para resolver, dividamos el numerador y el denominador entre 5x

pues éste es la potencia de x de mayor exponente, así:

4

4 5 5 5 4 5

5 25 2

3 55 5 5

5 2 4 5 2 45 2 4 0 0 0 0

lim lim lim .lim 01 23 23 2 3 0 0 33

x x x x

x xx x x x x x x x

x xx xx xx x x

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

− + − +− + − −= = = = =+ − − ++ −+ −

Por lo tanto, 4

5 2

5 2 4lim 0.

3 2x

x x

x x→−∞

− + =+ −

2.24.3 La forma indeterminada .∞ − ∞ Si f y g son dos funciones tales que lim ( )

xf x

→∞= ∞ y lim ( ) ,

xg x

→∞= ∞ entonces la

función f g− es indeterminada de la forma .∞ − ∞ La manera de resolver éstos límites será explicado con ejemplos. Ejemplos 2.18

1) Calcular ( )2lim .x

x x x→+∞

− +

Comolimx

x→+∞

= + ∞ y 2lim ,x

x x→+∞

+ = + ∞ entonces, ( )2lim .x

x x x→+∞

− + = ∞ − ∞ Para

resolver éste límite racionalizamos, así:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

22 2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

lim lim lim

lim lim ,

x x x

x x

x x x x x x x x xx x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞

− + + + − +− + = = =

+ + + +− + − −∞= =

+∞+ + + +

Eleazar J. García

15

Hemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma ,−∞+∞

que se

resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre x, así:

2 2

2 2

1 1 1lim lim lim .

21 1 1 01 1

x x x

xx x

x x x x x xxx x x

→+∞ →+∞ →+∞

−− − −= = = = −

+ ++ + + ++ +

Por lo tanto, ( )2 1lim .

2xx x x

→+∞− + = −

2) Calcular ( )3 33 2lim 2 1 .x

x x→+∞

− −

Como:

33lim 2 1x

x→+∞

− = + ∞ y 3 2lim ,x

x→+∞

=+ ∞ entonces, ( )3 33 2lim 2 1 .x

x x→+∞

− − = ∞ − ∞

Para resolver éste límite racionalizamos, así:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 23 33 2 3 3 2 23 33

3 33 2

2 23 3 2 23 33

3 2 3 2

3 3 3 3 3 36 3 5 2 4 6 3 5 2 4

2 1 2 1 2 1lim 2 1 lim

2 1 2 1

2 1 2 1lim lim .

4 4 1 2 4 4 1 2

x x

x x

x x x x x xx x

x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x

→+∞ →+∞

→+∞ →+∞

− − − + − + − − = =

− + − +

− − − − +∞= =+∞− + + − + − + + − +

El límite se transformó en otro indeterminado de la forma ,+∞+∞

que se resuelve

dividiendo el numerador y el denominador entre la potencia de x de mayor exponente, que en el caso que nos ocupa es 3,x así:

3 2

3 3 3 2

6 3 5 2 43 3 33 3 3

3 6 9 4 7 59 9 9 9 9 9

2 1 1 12

lim lim .4 4 1 2 1 14 4 1 2x x

x xx x x x x

x x x x xx x x x x xx x x x x x

→+∞ →+∞

− − − −= = +∞

− + + − +− + + − +

Por lo tanto, ( )3 33 2lim 2 1 .x

x x→+∞

− − = + ∞

2.25. Teorema 2.23. Teorema de estricción o del encaje. Si ( )( ) ( )h x f x g x≤ ≤ para todo x en un intervalo abierto que contiene a a, excepto

en el propio a y si lim ( )x a

h x L→

= = lim ( ),x a

g x→

entonces lim ( ) .x a

f x L→

=

Ejemplo 2.19. Sean f, g y h las funciones definidas por 2 21 2

9 3( ) 6 7, ( ) 3h x x x f x x x= − + − = − + y 2( ) 6 11.g x x x= − +

Las gráficas de estas funciones están trazadas en la figura 2.8.


16

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

yg (x)

f (x)

h (x)

Figura 2.8

Las gráficas de h, f y g son parábolas que tienen sus vértices en el punto (3; 2). Las tres funciones están definidas en x = 3. También se observa que ( )( ) ( ) .h x f x g x≤ ≤

Además, ( )2

3lim 6 7 2x

x x→

− + − = y ( )2

3lim 6 11 2.x

x x→

− + = Por lo tanto, de acuerdo al teorema

de estricción 3

lim ( ) 2.x

f x→

=

2.26. Ejercicios propuestos 2.3 Calcule los siguientes límites.

1) 13

21 9lim

1 3x

x

x→

−−

2) 2

22

6lim

5 14x

x x

x x→−

+ −− −

3) 1

2

2

32

4 4 3lim

4 1x

x x

x→

+ −−

4) 0

9 3limt

t

t→

− −

5) 2

31

4lim

3 6x

x

x→

−+

6) 3 2

2

4 2lim ,

2x

x

x→

+ −−

recuerde que: ( )( )3 32 23 3 3a b a b a ab b− = − + +

7) 3 3

1

2 6 7lim ,

4 2x

x x

x→

+ − +−

recuerde que:

( )( )

( )( )3 32 23 3 3

a b a b a b

y

a b a ab b a b

− + = −

− + + = −

2

8) 4

5 4lim

5x

x

x→−

+−

9) 4 2

4

5 7 10lim

20 3x

x x

x→+∞

− ++

10) 7 6 3

7 5

3 2lim

7 4x

x x x

x x→−∞

− ++ −

11) ( )2 4lim 2 4 1x

x x→+∞

− + 12) ( )3 2 2lim 2x

x x→−∞

− 13) ( )4 4lim 3x

x x→+∞

−

2 En general: ( )( )1 2 3 2 2 3 2 1n n n n n nn n n n n nn na b a a b a b a b ab b a b− − − − − −− + + + + + + = −⋯

Eleazar J. García

17

Dadas las funciones indicadas, calcule el límite señalado si existe, sino existe establezca la razón.

14) 2

4 4

( ) 16 4 4

4 4

x si x

f x x si x

x si x

− < −= − − ≤ ≤ − <

4 4

( ) lim ( ); ( ) lim ( ).x x

a f x b f x→− →

15)

2 4 2

( ) 2 2 4

2 4

x si x

g x x si x

x si x

− ≤= − < ≤ − <

2 4

( ) lim ( ); ( ) lim ( ).x x

a g x b g x→ →

Utilice el teorema de estricción para determinar el límite.

16) 3

lim ( ),x

f x→

si ( )4( ) 4 2 3f x x+ < − para toda x

17) 1

2

lim ( ),x

f xπ→−

dado que sin ( ) 2 sin ,x f x x− ≤ ≤ + para toda x en el intervalo

( );0 .π−

18) 0

lim ( ),x

f x→

dado que 2 21 cos ( ) ,x f x x− ≤ ≤ para toda x en el intervalo

( )1 12 2; .π π−

2.27 Continuidad de una función. 2.27.1. Función continua en un número. Una función f es continua en un número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguiente:

i) f (a) existe; ii) lim ( )

x af x

→ existe;

iii) lim ( ) ( ).x a

f x f a→

=

Si por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en a, entonces se dice que la función f es discontinua en a. Ejemplos 2.20.

1) La función definida por 2 4

( ) ,2

xf x

x

−=−

es discontinua en 2, pues dicha función

no está definida en el 2. Veamos como es su comportamiento gráficamente, mostrado en la figura 2.9.


18

Fig. 2.9

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y x2 - 4f (x) = x - 2

(2; 4)

La gráfica muestra un salto en el punto (2; 4), esto se debe a la discontinuidad de la función en x = 2, por lo tanto, f(2) no existe. Observando la gráfica se sospecha que

2lim ( )x

f x→

existe y es igual a 4. Veamos si esto es cierto:

( )( ) ( )

2

2 2 2

2 24lim lim lim 2 4.

2 2x x x

x xxx

x x→ → →

+ −− = = + =− −

Cuando una función f presenta las características anteriores, es decir, no está definida en un número a pero lim ( )

x af x

→ existe, se dice que f presenta una discontinuidad

removible o eliminable, porque si f es redefinida en a de manera que ( ) lim ( ),x a

f a f x→

= la

nueva función es continua en a. Si una discontinuidad no es removible se dice que es una discontinuidad esencial.

La discontinuidad de la función 2 4

( ) ,2

xf x

x

−=−

es removible, porque si se redefine

en 2, se obtiene la siguiente función:

La función F es continua en 2, puesto que,

2lim ( ) 4x

F x→

=

y (2) 4.F =

2) Sea g la función definida por 1

( ) .1 2

g xx

=−

La gráfica de la función es mostrada

en la figura 2.10.

2 42

( ) 24 2

xsi x

F x xsi x

− ≠= − =

Eleazar J. García

19

Figura 2.10

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

1

g (x) = 1 - 2x

La gráfica de g se rompe en el punto donde 12 ,x = pues la función no está definida

en dicho punto. Además, ( )1

2

lim ( )x

g x−

→= + ∞ y

( )12

lim ( ) ,x

g x+

→= − ∞ luego,

12

lim ( )x

g x→

no existe. Por

lo tanto, i) ( )1

2g no está definida.

ii) 12

lim ( )x

g x→

no existe.

Entonces, la función g es discontinua en 12 , y la discontinuidad es esencial porque

12

lim ( )x

g x→

no existe. La discontinuidad de éste ejemplo recibe el nombre de discontinuidad

infinita . 3) Sea h la función definida por

12

( ) 23 2

si xh x x

si x

≠= − =

La gráfica de h es mostrada en la siguiente figura:

Figura 2.11

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y


20

Veamos que sucede con las condiciones de continuidad de la función h en x = 2. i) g(2) = 3 ii)

2lim ( )x

h x−→

= − ∞ y 2

lim ( )x

h x+→

= + ∞ , por lo tanto, 2

lim ( )x

h x→

no existe.

Como la condición ii) no se cumple, h es discontinua en 2. La discontinuidad es infinita, y desde luego esencial. 2.21.2 Continuidad de una función en un intervalo abierto. Una función es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continua en cada número del intervalo abierto. 2.21.3 Continuidad por la derecha. Una función es continua por la derecha de un número a si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

i) f(a) existe; ii) lim ( )

x af x

+→ existe;


f x f a+→

=

2.21.4 Continuidad por la izquierda. Una función es continua por la izquierda de un número a si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

i) f(a) existe; ii) lim ( )

x af x

−→ existe;


f x f a−→

=

2.21.5 Continuidad en un intervalo cerrado. Una función es continua en un intervalo cerrado [ ]; ,a b si y sólo si, es continua en el

intervalo abierto (a; b), así como continua por la derecha en a y continua por la izquierda de b. Ejemplo 2.21.

La función 2( ) 4f x x= − es continua en el intervalo cerrado [ ]2;2 .− En efecto, ésta

función en el intervalo abierto ( )2;2 ,− ya que para todo número ( )2;2 ,a ∈ − f(a) existe, y

lim ( ).x a

f x→

Además, lim ( ) ( ).x a

f x f a→

=

Ahora: 2

2lim 4 0 ( 2)

xx f

+→−− = = − y 2

2lim 4 0 (2).x

x f−→

− = =

De esta manera f es continua por la derecha de 2− y es continua por la izquierda de 2. Por tal razón, la función f es continua en el intervalo cerrado [ ]2;2 .− La gráfica de f se muestra

en la figura 2.11.

Eleazar J. García

21

La curva continua en la figura 2.12 es la gráfica de la

función 2( ) 4f x x= − y es parte superior una circunferencia de radio igual a 2 y centro en el origen de coordenadas, esto es, la porción superior de la curva de la circunferencia 2 2 4.x y+ = La porción inferior de dicha circunferencia está dada por

( ) 24 ,f x x= − − [ ]2,2 ,x ∈ − y es la curva por debajo

del eje x. Observemos, que a partir de la ecuación de una circunferencia se definen dos funciones.

2.21.6 Continuidad en un intervalo semiabierto. i) Una función es continua en el intervalo semiabierto [ );a b si y sólo si es continua

en el intervalo abierto ( );a b y continua por la derecha en a

ii) Una función es continua en el intervalo semiabierto ( ];a b si y sólo si es

continua en el intervalo abierto ( );a b y continua por la izquierda en b.

2.22 Teorema 2.13. Si f y g son dos funciones continuas en un número a, entonces,

i) f + g es continua en a. ii) f – g es continua en a. iii) f · g es continua en a. iv) f ÷ g es continua en a, siempre que g(a) ≠ 0.

2.23 Teorema 2.14. Límite de una función compuesta. Si lim ( )

x ag x b

→= y si la función f es continua en b, entonces, ( )lim ( ) ( )

x af g x f b

→=�

o, equivalentemente, ( ) ( )lim ( ) lim ( ) .x a x a

f g x f g x→ →

=

2.24 Teorema 2.15. Continuidad de una función compuesta. Si la función g es continua en a y la función f es continua en g(a), entonces, la función f g� es continua en a. 2.25 Teorema 2.16. Teorema del valor intermedio. Sea f una función continua en el intervalo[ ];a b y ( ) ( ),f a f b≠ entonces para cada

valor k entre f(a) y f(b) existe un número c entre a y b tal que f(c) = k. El teorema del valor intermedio afirma que si una función es continua en el intervalo cerrado [ ]; ,a b entonces f(x) toma todos los valores entre f(a) y f(b) conforme x

toma todos los valores entre a y b. Ejemplo 2.22.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

yFigura 2.12


22

Dada la función [ ] [ ]: 2;5 8;17f → definida por ( ) 3 2f x x= + .

La figura 2.12 muestra la gráfica de ésta función.

Fig. 2.12

-1 1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

x

y

f ( 2 ) =

f ( 5 ) =

x

f ( x )

(2; 8)

(5; 17)

(x; f ( x ))

La gráfica de f tal como fue dada, es la porción de la recta y = 3x + 2 comprendida entre los puntos (2; 8) y (5; 17). Es de observar que para cualquier valor de

[ ]2;5 ,x∈ [ ]( ) (2); (5) .f x f f∈

2.26 Teorema 2.17. Teorema del cero intermedio. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [ ];a b y si f(a) y f(b) tienen signos

diferentes, entonces existe un número ( ); ,c a b∈ tal que f(c) = 0, es decir, c es un cero de f.

Ejemplo 2.23. Apliquemos el teorema del cero intermedio para mostrar que la función

3 2( ) 2 2 4 1,f x x x x= − − + tiene tres ceros entre – 2 y 2. La siguiente tabla muestra los valores de f(x) para números enteros comprendidos entre – 2 y 2.

De acuerdo al teorema del cero intermedio la función f tiene un cero entre – 2 y – 1, esto es porque, f(-2) y f(-1) tienen signos diferentes; como f(0) y f(1) tienen signos opuestos, f tiene un cero entre 0 y 1, y tiene otro cero entre 1 y 2, puesto que, f(1) y f(2) tienen signos diferentes. En total f tiene tres ceros entre – 2 y 2. La gráfica de 3 2( ) 2 2 4 1,f x x x x= − − + es mostrada en la figura 2.13.

x - 2 -1 0 1 2 f(x) -15 1 1 -3 1

Eleazar J. García

23

Fig. 2.13

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

f (x) = 2x3 - 2x2 - 4x +1

La gráfica de f confirma lo afirmado en el ejemplo 22. Como podemos apreciar la curva representativa de la función f corta al eje de las abscisas en tres puntos diferentes tal como se señaló.

Límite y Continiudad de Funciones

Documents

Transcript of Límite y Continiudad de Funciones