J. LLAURY ASIGNATURA TEORIA ELECTROMAGNETICA J.LLAURY 2 TEORIA ELECTROMAGNETICA PROPIEDAD INTELECTUAL DE JORGE E. LLAURY PADILLA Material publicado con fines de estudio Primera Edicin Huancayo 2011 J.LLAURY 3 TEORIA ELECTROMAGNETICA PRESENTACION TEORIAELECTROMAGNETICAesunaasignaturamuyimportante dentrodelacarreradeIngenieraElctrica,ysiendodenecesidad primordial para la buena formacin acadmica de los estudiantes, se hapreparadocuidadosamenteelpresentematerialdeestudio.La asignaturadeTeoraElectromagnticaestdiseadaespecficamente paralacarreradeingenieraelctricaabarcando,portanto,los siguientestemas:LeyesdeMaxwellenformaintegralydiferencial, Campoelctrico,PotencialElctricoylaLeydeGaussparaelcampo elctrico,TeoradeImgenesyCondicionesdeFronteradelcampo elctrico,Coeficientesdepotencialycapacitanciadeunalneade transmisin, Induccin del campo elctrico de una lnea de transmisin sobre conductores aledaos, Teora de la conduccin elctrica, Medicin delaresistenciaelctricaylaresistividadelctricadeunterreno, Ecuaciones de Laplace y Poisson, Soluciones de la ecuacin de Laplace encoordenadascilndricasycilndricas,FerromagnetismoyCircuitos Magnticos,Enlacesdeflujomagnticoeinductanciadetoroidesy solenoides, Inductancia de una lnea de transmisin monofsica, La Ley deInduccindeFaradayyCalentamientodencleosde transformadores debido a corrientes inducidas..Serpuededecir,quelacarreradelaIngenieraElctricaest soportadaporunacolumnavertebral:laTEORIA ELECTROMAGNTICA(TeoradeCampos).Enrealidad,lacarrerade Ingeniera Elctrica se puede sintetizar en las siguientes partes o ramas: Generacin Transformacin Transmisin y Distribucin Y cada una de estas comprende el estudio de diversos cursos los cuales requierendeunabuenaformacinenTeoraElectromagntica.Alo largodemis22aosdeenseanzadelElectromagnetismo,hetratado dedisearlaasignaturaorientadaalacarreradeIngenieraElctrica. Elpresentematerial,sibienesterico,secomplementarenel desarrollodelcicloacadmico,conproblemas,detextosdelos diferentesautoresmencionadosenlaBibliografa,loscualesseirn subiendopaulatinamentealapginapersonaldelautor,loscuales serndesarrolladosensumayoraenelauladeclasesyelresto para trabajos domiciliarios. Agradecercualquiersugerenciaocrticaafindeirmejorandoel presente material.Buena suerte y, a estudiar. El responsable de la asignatura J.LLAURY 4 TEORIA ELECTROMAGNETICA INDICE Pg PRESENTACION3 INDICE 4 PRIMERA UNIDAD: LEYES DE MAXWELL 9 CAPITULO 1.- LEYES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL E INTEGRAL 9 1.1.CIRCULACION DE UN CAMPO VECTORIAL9 1.2.FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL10 1.3.FORMA INTEGRAL DE LAS LEYES DE MAXWELL11 a)LA LEY DE FARADAY:11 b)LA LEY DE AMPERE:11 c)LA LEY DE GAUSS PARA LOS CAMPOS ELECTRICOS11 d)LA LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO13 1.4.TEOREMA DE LA DIVERGENCIA14 1.5.TEOREMA DE STOKES14 1.6.FORMA DIFERENCIAL DE LAS LEYES DE MAXWELL14 SEGUNDA UNIDAD: EL CAMPO ELECTRICO Y LEY DE GAUSS 17 CAPITULO 2.- CAMPO ELECTRICO, POTENCIAL ELECTRICO Y LA LEY DE GAUSS APLICACIONES A ESFERAS Y LINEAS DE CARGA17 2.1.EL CAMPO ELECTRICO17 2.2.APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS A CILINDROS Y ESFERAS DE CARGA 20 2.3.CAMPOELECTROSTATICOPARAUNADISTRIBUCIONDE CARGA ESPACIAL (VOLUMETRICA)26 2.4.ELPOTENCIALELECTROSTATICOYTRABAJO.-RELACION ENTRE EL CAMPO ELECTROSTATICO Y EL POTENCIAL26 2.5.POTENCIALYCAMPOELECTRICODEDOSLINEASDECARGA PARALELAS30 TERCERA UNIDAD: TEORIA DE IMGENES 34 CAPITULO3.-TEORIADEIMGENESYCONDICIONESDE CONTORNO DEL CAMPO ELECTRICO34 3.1.DISCONTINUIDAD DELCAMPOELECTRICOATRAVESDEUNA LAMINA DE CARGA SUPERFICIAL34 3.2.CONSIDERACIONESGENERALESACERCADELASIMGENES ELECTROSTATICAS35 J.LLAURY 5 TEORIA ELECTROMAGNETICA 3.3.LINEA DE CARGA CERCA DE UN PLANO CONDUCTOR36 3.4.LINEA DE CARGA Y CILINDRO37 3.5.LINEA BIFILAR39 a)CARGAS IMAGEN39 b)CAPACITANCIA POR UNIDAD DE LONGITUD41 3.6.CARGA PUNTUAL Y ESFERA CONECTADA A TIERRA 46 3.7.CARGA PUNTIFORME PROXIMA A UN PLANO A TIERRA48 3.8.ESFERA CON CARGA CONSTANTE 50 3.9.ESFERA CON VOLTAJE CONSTANTE51 CUARTAUNIDAD:CAPACITANCIAEINDUCCIONDELCAMPO ELECTRICO 52 CAPITULO 4.- COEFICIENTES DE POTENCIAL Y CAPACITANCIA 52 4.1.COEFICIENTESDEPOTENCIAL.CAPACITANCIADEUNALINEA DE TRANSMISION52 4.2.LOS COEFICIENTES DE POTENCIAL Y LA CAPACITANCIA55 CAPITULO 5: INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO64 5.1.FUNCION POTENCIAL EN UNPUNTO CUALQUIERA 64 5.2.CONDICIONES DE FRONTERA66 5.3.INDUCCIONDELCAMPOELECTRICODEUNALINEADE TRANSMISION SOBRE CONDUCTORES ALEDAOS72 QUINTAUNIDAD:CONDUCCIONELECTRICA(Electrodinmicade conduccin 74 CAPITULO 6.- TEORIA DE DEBYE DE LA CONDUCCION ELECTRICA 74 6.1.CONSERVACION DE LA CARGA74 6.2.MODELODECONDUCCIONENGASESCARGADOS.LEYDE OHM PUNTUAL77 a)Ecuaciones77 b)Conduccin arrastre difusin79 c)La Ley de Ohm82 6.3.CONDICIONESDEFRONTERADELOSCAMPOSEyD,yLA DENSIDAD DE CORRIENTE J82 6.4.RESISTENCIA ELECTRICA84 a)FORMULA GENERALIZADA DE LA RESIST. ELECTRICA 84 b)RESISTOR DE PLACAS PARALELAS85 J.LLAURY 6 TEORIA ELECTROMAGNETICA c)RESISTOR COAXIAL87 d)RESISTOR ESFERICO88 6.5.CAPACITANCIA89 a) CAPACITANCIA PARA CUALQUIER GEOMETRIA89 b) RELACINENTRELACAPACITANCIAYLARESISTENCIAPARA DISPOSITIVOS DE LA MISMA GEOMETRA89 c) CAPACITOR PLANO PARALELO90 d) CAPACITOR COAXIAL90 e) CAPACITOR ESFERICO90 6.6.LA TIERRA Y SU ATMOSFERA COMO UN CAPACITOR ESFERICO CON PERDIDAS90 CAPITULO7:RESISTENCIAELECTRICAYLARESISTIVIDAD ELECTRICA DE UN TERRENO (para clculos de puesta a tierra)93 7.1.UN ELECTRODO HEMISFERICO AISLADO93 7.2.DOS ELECTRODOS HEMISFERICOS PROXIMOS94 7.3.RESISTIVIDAD DE UN TERRENO96 7.4.RESISTENCIA DE UN TERRENO96 SEXTAUNIDAD:ECUACIONDEPOISSONYSOLUCIONDELA ECUACION DE LAPLACE 99 CAPITULO 8.- SOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE99 8.1.CAMPOSELECTRICOSCONSERVATIVOS(CUASI ESTACIONARIOS)99 8.2.SOLUCIONDELAECUACIONDELAPLACEENCOORDENADAS RECTANGULARES100 a)SOLUCIONESCONCONSTANTEDESEPARACION DIFERENTE DE CERO101 b)SOLUCIONESCONCONSTANTEDESEPARACION DIFERENTE DE CERO105 8.3.SOLUCIONDELAECUACIONDELAPLACEENCOORDENADAS CILINDRICAS109 a)CONDENSADORVARIABLEDEPLACASCONDUCTORAS INCLINADAS110 b)SOLUCIONES TRIDIMENSIONALES112 c)BOQUILLA AISLADORA DE ALTO VOLTAJE115 SEPTIMA UNIDAD: CAMPO MAGNETICO 117 J.LLAURY 7 TEORIA ELECTROMAGNETICA CAPITULO 9.- CAMPO MAGNETOSTTICO117 9.1.DESCUBRIMIENTO DE HANS CHRISTIAN OERSTED 117 9.2.FUERZA DE LAPLACE (LORENTZ)118 9.3.VEHICULO DE MOTOR LINEAL120 9.4.LEY DE BIOT SAVART122 9.5.APLICACIONES DE LA LEY DE BIOT SAVART123 a)LINEA INFINITA DE CORRIENTE123 b)LAMINA DE CORRIENTE SUPERFICIAL124 c)ESPIRA DE CORRIENTE125 d)BOBINA DE HELMHOLTZ126 e)CAMPO MAGNETICO DE UN SOLENOIDE127 CAPITULO 10: APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE130 10.1.CAMPO MAGNETICO DE UNA LINEA DE CORRIENTE 130 10.2.CAMPOMAGNETICOINTERIORPARAUNALAMBRE RECTILINEO POR DONDE CIRCULA UNA CORRIENTE131 10.3.CAMPOMAGNETICOEXTERIORPARAUNALAMBRE RECTILINEO POR DONDE CIRCULA UNA CORRIENTE132 CAPITULO 11: EL POTENCIAL VECTORIAL134 11.1.ELPOTENCIALVECTORDEUNADISTRIBUCIONDE CORRIENTE134 11.2.EL POTENCIAL VECTORIAL Y EL FLUJO MAGNETICO134 11.3.APLICACIONES DEL POTENCIAL VECTORIAL134 a)LINEA DE CORRIENTE DE LONGITUD FINITA134 b)ELPOTENCIALVECTORIAL,ELFLUJOMAGNETICOYLA INDUCTANCIADEUNAESPIRARECTANGULARDE CORRIIENTE 136 OCTAVAUNIDAD:MATERIALESMAGNETICOSYCIRCUITOS MAGNETICOS 139 CAPITULO12.-HISTERESISFERROMAGNETICAYCIRCUITOS MAGNETICOS139 12.1.FERROMAGNETISMO: MATERIALES FERROMAGNETICOS139 12.2.CURVAS DE MAGNETIZACION 141 12.3.MATERIALES FERROMAGNETICOS USADOS COMO NUCLEOS J.LLAURY 8 TEORIA ELECTROMAGNETICA 12.4.HISTERESIS FERROMAGNETICA144 12.5.CIRCUITOSMAGNETICOSYCALCULODELOSPARMETROS GEOMTRICOSYOBTENCINDELOSPARMETROSMAGNETICOSMEDIANTE TABULACION 145 NOVENA UNIDAD: ENLACES DE FLUJO E INDUCTANCIA DE LINEAS DE TRANSPORTE 147 CAPITULO13.-INDUCTANCIADEUNALINEADETRANSMISION MONOFASICA147 13.1.INDUCTANCIADESOLENOIDESYTOROIDES.ENLACESDE FLUJOMAGNETICOEINDUCTANCIAINTERNAYEXTERNADE UNA LINEA DE TRANSMISION147 13.2.INDUCTANCIA DE UN SOLENOIDE DE SECCION CIRCULAR148 13.3.INDUCTANCIA DE UN TOROIDE DE SECCION CIRCULAR149 13.4.INDUCTANCIA DE UNA LINEA DE TRANS. MONOFASICA149 a)CALCULODELOSENLACESOACOPLAMIENTODEFLUJO INTERNO150 b)CALCULODELOSENLACESOACOPLAMIENTODEFLUJO EXTERNO151 c)ENLACE O ACOPLAMIENTO TOTAL DE FLUJO 152 d)LINEA MONOFASICA152 CAPITULO 14: LEY DE INDUCCION DE FARADAY154 14.1.LA LEY DE INDUCCION DE FARADAY 154 14.2.LA LEY DE LENZ 155 14.3.INDUCCIONDELCAMPOMAGNETICODEUNALINEADE CORRIENTE SOBRE UN CIRCUITO ALEDAO156 14.4.POTENCIALENUNNIVELPDEBIDOALCAMPOMAGNETICO DE UNA CORRIENTE UNIFILAR158 CAPITULO15:CORRIENTESINDUCIDASENLOSNUCLEOSDELAS BOBINAS Y TRANSFORMADORES161 15.1.CORRIENTES INDUCIDAS161 15.2.RANURACIONES 162 15.3.NUCLEO MACIZO CON GEOMETRIA RECTANGULAR163 TEMAOPCIONAL:FUNDAMENTOELECTRODINAMICODELA LEVITACION MAGNETICA (MAGLEV) 165 1)LA ECUACION DE DIFUSION MAGNETICA165 2)MAQUINA DE INDUCCION LINEAL165 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS169 J.LLAURY 9 TEORIA ELECTROMAGNETICA PRIMERA UNIDAD LEYES DE MAXWELL CAPITULO 1 LEYES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL E INTEGRAL 1.1.CIRCULACION DE UN CAMPO VECTORIAL SeaAuncampovectorialarbitrario,lacirculacinCdedicho campo, viene dada por la integral de lnea de A, para un trayecto cerrado, es decir: }= L d A C . (1) Nota:CuandoelcampovectorialAnoesperpendicularal plano del lazo cerrado, la circulacin viene dada por: }= dL Cos A C . . o (2) SiendooelnguloqueformanlosvectoresAyel desplazamiento diferencial dL. C A Sentido de la circulacin Fig. 1.- Circulacin de un campo vectorial J.LLAURY 10 TEORIA ELECTROMAGNETICA 1.2.FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL El flujo u, para una superficie abierta tal como la mostrada en la Fig. 2, para un campo vectorial arbitrario, tal como A, viene dado por la siguiente expresin: }} }}= = u dS Cos A S d A . . . o (3) donde o es el ngulo que forman los vectores A y dS. PerocuandoelcampovectorialAatraviesaunasuperficie cerrada,quecontieneunvolumenV,elflujonetodelcampo vectorialpuede ser: Nulo (Fig. 3) Positivo (Fig. 4) Negativo (Fig. 5) Entendindose por flujo neto a la suma algebraica de los flujos de entrada al volumen de salida del volumen. Fig. 3.- Flujo neto nulo Fig. 4.- Flujo neto positivo (fuente en el interior) Fig. 5.- Flujo neto negativo (resumidero en el interior) S un dS = dS un A Fig. 2.- Flujo de un campo vectorial FLUJO ENTRANTEFLUJO SALIENTE = FLUJO ENTRANTEFLUJO SALIENTE < FUENTE FLUJO ENTRANTEFLUJO SALIENTE > RESUMIDERO J.LLAURY 11 TEORIA ELECTROMAGNETICA 1.3.FORMA INTEGRAL DE LAS LEYES DE MAXWELL a)LA LEY DE FARADAY En (1), haciendo el vector A igual al campo elctrico E, se tiene que la circulacin de este es: }= = 0 . L d E C(4) Cuando E es un campo conservativo, es decir que depende del gradiente de un escalar. Adems, en este caso, E no varaen el tiempo. Para un campo elctrico que vara en el tiempo: E = E(r,t), se tiene: }u = = =dtmdFEMindL d E C .(5) donde, um es el flujo magntico variable en el tiempo. Es decir, uncampoelctricovariableeneltiempopuedeinducirun campomagnticotambinvariableeneltiempocuandolos circuitos estn prximos, viceversa. b)LA LEY DE AMPERE: En forma anloga, cuando en (1) se reemplaza el vector A por elcampomagnticoH,lacirculacindeesterepresentala corriente encerrada por el lazo amperiano (Fig. 6). Entonces: }= =IenlazadaL d H C . (6) Esta Ley de Ampere es un medio muy eficaz para el clculo de camposmagnticosparageometrascongransimetra,tales comoconductoresdeseccinredondapordondecirculauna corriente. c)LA LEY DE GAUSS PARA LOS CAMPOS ELECTRICOS LasLeyesdeGaussestnrelacionadasconelconceptode flujo.As,paraelcampoelctrico,seobtieneapartirdela ecuacin (3), reemplazando el campo vectorial A por el campo C I Sentido de lacirculacin Fig. 6.- Circulacin del campo H r H J.LLAURY 12 TEORIA ELECTROMAGNETICA elctricoE.Esteflujoobtenidoapartirdelcampoelctrico representaunaciertamedidadelacargaencerradaporuna superficie. Cuandolasuperficieatravesadaporelcampoelctricoes abierta,simplementelaslneasdeflujoatraviesandicha superficie(estoes,lacomponentenormaldeE).Porlotanto, la Ley de Gauss queda como: }} }}= =udS Cos E S d EE. . . o (7) Cuandouncampoelctricoatraviesaunasuperficiecerrada S,lacualcontieneunvolumenV,elflujonetodependersi hayfuentes,resumiderossimplementeningunodeellos. Entonces, existir un flujo de entrada y un flujo de salida. Unafuente,enelinteriordelvolumenV,sersimplemente una carga positiva en el interior de este. Un resumidero, ser una carga negativa. Entonces,laLeydeGaussparaelcampoelctricoqueda como: }} }}= = =uS d Cos E S d EQoencE. . . oc (8) Fig. 8.- uNETO = uSALIDA - uENTRADA E dS S Fig. 7.- Campo elctrico E atravesando una superficie abierta S V - dS E dS E uSALIDA uENTRADA J.LLAURY 13 TEORIA ELECTROMAGNETICA d)LA LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO Tambinestligadaalconceptodeflujodeuncampo vectorial.Elcampomagnticotambinesunvector,pues tiene direccin, sentido y, obviamente, magnitud. Paraunalminaimaginarialacualesatravesadaporun campo magntico B, el flujo es simplemente el producto de la componentenormaldeestecampomultiplicadaporelrea, en forma anloga a (7), es decir: }} }}= =udS Cos B S d Bm. . . o(9) Sinembargo,paraunasuperficiecerrada,elflujomagntico siempre es cero. En este caso, el nmero de lneas que entran aunvolumenencerradoporunasuperficieSesigualal nmero de lneas que salen de la misma (Fig. 9). Por lo tanto: }}= =u0 . S d Bm (10) Inclusive, si el cuerpo de volumen V no fuera imaginario, sino sifuera,porejemplo,unimnmetidoenelentrehierro,el flujomagnticonetotambinseracero,pueselnmerode lneas de campo que entran al imn sera igual al nmero de lneas que salen del mismo (Fig. 10). VOLUMEN V FLUJO (ENTRADA) = FLUJO (SALIDA) Fig. 9.- El flujo magntico neto siempre es nulo Fig. 10.- Flujo neto cero an cuando se coloca un imn en el entrehierro J.LLAURY 14 TEORIA ELECTROMAGNETICA Cuandosereemplaza(9)en(5),laLeydeFaradayqueda como: }}} =u = =SdS BdtddtmdFEMindL d E . .(11) La cual tambin puede ser escrita como: }}}}}c c = =u =SSdS t B dS BdtddtmdL d E . ) / ( . .(12) 1.4.TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Esunadelasherramientasmatemticasdegranutilidadenla TeoradeCampos.Permitepasardeunaintegraldesuperficiea unaintegraldevolumenatravsdeladivergenciadelcampo vectorial A. Se expresa como: ( )}} }}}V =S VdV A dS A . .(13) 1.5.TEOREMA DE STOKES EsotrapotenteherramientamatemticadelClculoVectorial. Permitetransformarunaintegraldelneaaunaintegralde superficieatravsdelrotacionaldelcampovectorialA.Se expresa as: ( )} }}V =L SdS A x dL A . .(14) 1.6.FORMA DIFERENCIAL DE LAS LEYES DE MAXWELL Aplicando el Teorema de Stokes (14) al primer miembro de (12), y cancelandolasintegralesconsusdiferencialesrespectivos,se tiene la Ley de Faraday en forma diferencial: tBE xcc = V(15) Asimismo,sepuedeaplicarelTeoremadeStokesenlaforma integral de la Ley de Ampere dada por (6). Pero, primeramente se transforma la corriente enlazada I por el producto de la densidad de corriente J por el rea dS, de modo que: }}=SdS J I .(16) Por lo que la Ley de Ampere cada por (6) queda como: } }}=L SdS J dL H . .(17) J.LLAURY 15 TEORIA ELECTROMAGNETICA Al aplicar el Teorema de Stokes al primer miembro de (17), luego cancelandolasintegralesdelneaaligualquesusrespectivos diferenciales, que la Ley de Ampere, en forma diferencial, como: J H x = V(18) ElvectorJdelsegundomiembrode(18)serefierealadensidad de corriente de conduccin Jc. Una de las grandes contribuciones deMaxwellconsistiencorregirestafrmuladeAmpere,al descubrir la densidad de corrientede desplazamiento, cuando se trataconcamposquevaraneneltiempo.Estadensidadde corriente de desplazamiento JD es igual a la razn de cambio en el tiempo del campo de desplazamiento D = c E: tDJDcc=(19) Y la densidad de corriente de conduccin viene dada por la Ley de Ohm puntual: EJCo =(20) Siendo o la conductividad elctrica del medio. Porlotanto,ladensidadtotaldecorrienteserlasumadelas densidades de corriente de conduccin ms desplazamiento: J J J D C T+ =(21) Si se considera la corriente enlazada dada en el segundo miembro de(6)comocorrientetotal,setienequelaLeydeAmpereen forma integral puede ser escrita como: dStDE dL HL S. .} }}=||.|

\|cc+ o (22) Entonces,aplicandoStokesalprimermiembrode(22)yluego cancelandolasintegralesdesuperficiealigualquesus respectivos diferenciales, se tiene la forma diferencial de la Ley de Ampere: tDE H xcc+ = V o (23) Si el medio en el cual se difunden los campos es el espacio libre, o algndielctricoperfecto(sinprdidas),esdecirsila conductividad es nula, la Ley de Ampere (23) se reduce a: tDH xcc= V (24) LasLeyesdeGaussparaloscamposelctricoymagnticose determinanalaplicarelTeoremadeladivergenciaalasformas integrales dadas por (8) y (10). J.LLAURY 16 TEORIA ELECTROMAGNETICA Si se considera una distribucin volumtrica de carga, es decir si: }}}=vENCdVQ (25) la forma integral de la Ley de Gauss para el campo elctrico, dada por (8), queda como }} }}}=S VdV dS E c .(26) Entonces,transformandoelprimermiembrode(26)enuna integraldevolumenatravsdelTeoremadeladivergenciay cancelandoluego,lasintegralesdevolumenysusrespectivos diferenciales, se tiene la forma diferencial de la Ley de Gauss para el campo elctrico: c= VE .(27) En forma anloga, para la forma integral de la Ley de Gauss para elcampomagntico,dadapor(10),setienesurespectivaforma diferencial: 0 . = VB (28) J.LLAURY 17 TEORIA ELECTROMAGNETICA SEGUNDA UNIDAD EL CAMPO ELECTRICO Y LEY DE GAUSS CAPITULO 2 CAMPOELECTRICO,POTENCIALELECTRICOYLALEYDE GAUSS APLICACIONES A ESFERAS Y LINEAS DE CARGA 2.1.EL CAMPO ELECTRICO Lafrmulageneraldelcampoelctricoparaunadistribucin generalizadadecarga,talcomosemuestraenlaFig.11,viene dada por la siguiente frmula: ( )}|||.|

\|=V S Ldqr rr rr E, ,.''3.. . 41c t(29) donde dq depende de la distribucin de carga, es decir, segn sea una carga lineal, superficial volumtrica.Entonces: ( )( )( )=dV rdS rdL rdq'''o(30) A continuacin, en la fig. 11, se muestra el campo elctrico en el puntoPdelespaciodebidoaunacargadiferencialdqdeun cuerpo macroscpico cargado. J.LLAURY 18 TEORIA ELECTROMAGNETICA EJEMPLO DE APLICACIN N 1.- Determinar el CAMPO ELECTRICO DE UNA LINEA FINITA DE CARGA Se presenta la siguiente geometra: Solucin.- Aplicando (29) y (30) y teniendo en cuenta que: r r = rQP y su respectivo mdulo: r r = rQP Las coordenadas de Q y P son, respectivamente: Q(0,0,z); y P(0,a,z) de modo que: rQP = 0.i + a.j + (z z).k y su mdulo es: ( ) '22z za rQP + = Q P rQP = r r X Y Z O dq dE Fig. 11.- Campo elctrico debido a una distribucin de carga r r CUERPO CARGADO Z X Y O Q P rQP + + L - L dz z a z Fig. 12.- Lnea de carga de longitud finita J.LLAURY 19 TEORIA ELECTROMAGNETICA La carga dq del elemento diferencial de longitud dz sera: dq = .dz ElcampoelctricoenelpuntoPdelespacio,debidoatodala distribucin lineal de carga lo longitud 2.L vendra dada, segn (29) y (30), por la integral: ( )( ) | | ( )( ) | |}+ = + + +=LL zz zrdz k z z j r i ooz r E''222 / 3' . . . ' . ... . 41,ct resolviendolaintegralresultandoscomponentesdelcampo elctrico: una a lo largo de su eje (Z), y la otra en la direccin del ejeYlacualpuedeserasumidatambincomounadireccin radial. Entonces: E(r,z) = Er(r,z).ur + Ez(r,z).k donde: ( )( )( )( )( ) (((

+ ++ =+ L zrL zrEL z L zrz ror2222.. . . 4,ct (31) ( )( ) ( ) (((

++=+ L zrL zrEozz r22221 1.. . 4,ct (32) APLICACIN NUMERICA: Conociendo la densidad lineal de carga (), la longitud de la lnea (2.L) y la distancia radial ( r ) del punto P a la misma, hacer una grficadelavariacindeloscamposelctricoradial(Er)yaxial (Ez), para un intervalo adecuado de distancias. Solucin.- Esfcildemostrarquecuandolalneadecargaseextiendeen longitud, es decir, si la lnea se vuelve infinita, a partir de (31) y (32) se demuestra que el campo en la direccin axial se desvanece (Ez = 0), y el campo elctrico radial toma la forma: ( )rror E. . . 2ct= (33) yestafrmula(33)esdesumaimportanciaenelestudiode camposypotencialesdelneasdetransmisin.Naturalmente, sigue la restriccin de que la longitud de la lnea debe ser mucho mayor que la distancia del punto donde se evalan los campos a la lnea misma.Suponiendo que se tengan los siguientes datos, que se muestran, a continuacin, en la hoja de cculo: J.LLAURY 20 TEORIA ELECTROMAGNETICA TABLA DE DATOS:1.- Permitividad del vaco ps-o 9E-12 F/m2.- Densidad lineal de carga Lambda 500 pC/m3.- Longitud de la lnea 2.L 5 m4.- Distancia radial de P a la lnea r 1 mFIG. 13.- TABLA DE CALCULO:GRAFICA DE LOS CAMPOSz Er EzRADIAL Y AXIAL EN FUNCION DE"z" V/m V/m-2.5 4.407 -3.612-2.3 5.281 -3.490-2.1 6.060 -3.218-1.9 6.694 -2.857-1.7 7.179 -2.468-1.5 7.537 -2.088-1.3 7.798 -1.733-1.1 7.987 -1.409-0.9 8.122 -1.114-0.7 8.217 -0.842-0.5 8.283 -0.589-0.3 8.323 -0.348-0.1 8.342 -0.1150.1 8.342 0.1150.3 8.323 0.3480.5 8.283 0.5890.7 8.217 0.8420.9 8.122 1.1141.1 7.987 1.4091.3 7.798 1.7331.5 7.537 2.0881.7 7.179 2.4681.9 6.694 2.8572.1 6.060 3.2182.3 5.281 3.4902.5 4.407 3.612Er(z) y Ez(z)-6.000-4.000-2.0000.0002.0004.0006.0008.00010.0001 4 7 10 13 16 19 22 25Abscisa (m)Ordenada (V/m) 2.2.APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS A CILINDROS Y ESFERAS DE CARGA Cuandoloscuerposcargadospresentanunageometradegran simetra, la Ley de Gauss en forma integral se constituye en una herramientaparalaobtencindelcampoelctricoelcual, mayormente, es radial. EJEMPLO DE APLICACIN N 2.- Determinar el: CAMPO ELECTRICO DE UNA LINEA INFINITA DE CARGA Solucin.-Enlafig.adjuntasepresentalasiguientegeometra, mostrandoenelextremoderechodelalneadecargala orientacinradialdelaslneasdecampoelctrico;naturalmente esto se presenta a lo largo de todo el conductor. J.LLAURY 21 TEORIA ELECTROMAGNETICA Aplicando la Ley de Gauss en forma integral dada por (8): }}= S d EQoenc.c(8) Elcampoelctricoesradialyconstantemanteniendodicha distancia,porlotantosalefueradelaintegral;porlotantoslo se integra el rea (lateral) del cilindro gaussiano el cual es Area = 2.t.r.L Y la carga encerrada: Qenc = .L Entonces,reemplazandoestasdosexpresionesen(8)y despejando el campo elctrico radial, se llega a la conclusin que elresultadoeselmismoque(33),comoeradeesperarse. Entonces: ( )rror E. . . 2ct=(33) En la solucin de este problema es tcita la suposicin de que la longituddelalneadecargaesigualaladesuenvolvente (cilindrogaussiano)y,porende;muylargacomparadaconla longitud del radio r constante. En la aplicacin numrica, se observa la variacin de la magnitud del campo elctrico radial con la distancia r (Fig. 15). EJEMPLO DE APLICACIN N 3.-Calcular el campo elctrico en todo el espacio para un conductor cilndrico macizo (muy largo) cargado y de radio R. r L LINEA DE CARGA Superficie gaussiana Fig. 14.- Lnea de carga encerrada en una superficie gaussiana Er J.LLAURY 22 TEORIA ELECTROMAGNETICA TABLA DE DATOS:1.- ps-o 8.8542E-12 F/m2.- Lambda 500 pC/mTABLA DECALCULOr Er( r )(m) (V/m)0.1 89.8750.2 44.9380.3 29.9580.4 22.4690.5 17.9750.6 14.9790.7 12.8390.8 11.2340.9 9.9861 8.9881.1 8.1701.2 7.4901.3 6.9131.4 6.4201.5 5.9921.6 5.6171.7 5.2871.8 4.9931.9 4.7302 4.4942.1 4.2802.2 4.0852.3 3.9082.4 3.7452.5 3.5952.6 3.4572.7 3.3292.8 3.2102.9 3.099 FIG. 15.-Decaimiento del campo elctrico radial3 2.996 con la distancia "r".Er(r) vs distancia radial "r"0.00010.00020.00030.00040.00050.00060.00070.00080.00090.000100.0001 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29/10 mEr(r) V/m Solucin.-Se asume una densidad lineal de carga = , C/m Las superficies gaussianas son, obviamente, cilindros imaginarios de igual longitud que el conductor cilndrico de carga. Enelinteriordelconductor,esdeciren:r R, se tiene, por la Ley de Gauss dada por (8): ( ) L L r rQEencr o. . . . 2 . . tc= =dedonde,elcampoelctricodelconductormacizocargado, coincide con el conductor filiforme el ejemplo anterior. Entonces: ( )rror E. . . 2ct=(33) Nota.- Si el conductor hubiera sido un cilindro hueco, el resultado tambin sera el mismo LavariacindelcampoErconladistanciarysugrfica respectiva, se muestran a continuacin en la siguiente EnlaFig.15,sepuedeapreciarqueelcampoEresnulodentro delconductormacizo;yamedidaqueladistanciaradialva incrementndoseenmltiplosenterosdelradioR,seva desvaneciendo. APLICACIN NUMERICA.- EJEMPLO DE APLICACIN N 4.-Determinarelcampoelctricodeunaesferacargada,(macizay metlica),entodoelespacio.ElradiodelaesferaesRysu carga es superficial con densidad o. Solucin.- Enestecasotambin,lasolucinessimilaralcasoanterior, campoelctricoenelinteriordelaesferametlicacargadaes nulo: Er = 0, para r < R Para la zona exterior, esto es para r > R R r r Superficies gaussianas Conductor con densidad de carga = Fig. 16.- Cilindro metlico de carga encerrado por superficies gaussianas: r < 0, y r > 0 J.LLAURY 24 TEORIA ELECTROMAGNETICA ( )RQ rEencr or22. . 4 . . . .. 4t ot c= =de donde: ( )rREorr22.. .co= (34) TABLA DE DATOS:1.- ps-o 8.8542E-12 F/m2.- Lambda 500 pC/m3.- R 25 mmTABLA DECALCULOr Er( r )(mm) (V/m)0.1 0.0005 0.0006.25 0.0008.333 0.00012.5 0.00025 0.00050 179.75175 119.834100 89.875125 71.900150 59.917175 51.357200 44.938225 39.945250 35.950275 32.682300 29.958325 27.654350 25.679375 23.967400 22.469425 21.147450 19.972475 18.921500 17.975525 17.119550 16.341575 15.631625 14.380 FIG. 17.-Decaimiento del campo elctrico radial600 14.979 con la distancia "r".Er(r) vs distancia radial "r"0.00020.00040.00060.00080.000100.000120.000140.000160.000180.000200.0001 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29N de divisiones del intervalo de las abscisasEr(r) V/m Lo cual se puede ver, de (34) que la variacin del campo elctrico radialobedeceaunaleydecuadradoinverso,esdecir,se desvanece rpidamente a medida que el punto (donde se evala E(r) se va alejando de la esfera. J.LLAURY 25 TEORIA ELECTROMAGNETICA APLICACIN NUMERICA.- Se analiza grficamente esta variacin paralosdatosnumricospropuestosenlahojadeclculo adjunta. TABLA DE DATOS:1.- ps-o 8.8542E-12 F/m2.- Sigma 900 pC/m23.- R 50 mmTABLA DECALCULOr Er( r )(mm) (V/m)0.1 0.00010 0.00012.5 0.00016.67 0.00025 0.00050 101.647100 25.412150 11.294200 6.353250 4.066300 2.824350 2.074400 1.588450 1.255500 1.016550 0.840600 0.706650 0.601700 0.519750 0.452800 0.397850 0.352900 0.314950 0.2821000 0.2541050 0.2301100 0.2101150 0.1921250 0.163 FIG. 19.-Variacindel campo elctrico radial1200 0.176 con la distancia "r".Er(r) vs distancia radial "r"0.00020.00040.00060.00080.000100.000120.0001 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29N de divisiones del intervalo de las abscisasEr(r) V/m Er r r Superficies gaussianas (esferas de radio r) Esfera metlica maciza )cargada) de radio R FIG. 18.- Superficies gaussianas interior y exterior a la esfera de carga J.LLAURY 26 TEORIA ELECTROMAGNETICA 2.3.CAMPOELECTROSTATICOPARAUNADISTRIBUCIONDE CARGA ESPACIAL (VOLUMETRICA) Paraunadistribucinvolumtricadecarga,lafrmula(29)del campoelctrico,teniendoencuentalasiguienteidentidad vectorial: ||.|

\||||.|

\|V ='1''3r rr rr r (35) se puede escribir como: ( ) ( )}|||.|

\| =VVdVr rr rror E,' .'3'. ' .. . 41cct(36) Peroelgradienteoperasobrelascoordenadasdepuntosdel campo(noprimadas),quesonconstantesenlaoperacinde integracin.Entonces,esposibleextraereloperadorgradiente fuera de la integral; esto equivale a invertir el orden de operacin: primeroseintegraydespussecalculaelgradiente.Silas operaciones son independientes el orden es irrelevante: ( )( )(((

V =}}}VdVr rror E ' .''.. . 41ct de modo que: ( ) ( ) | | r U r E V =(37) Siendo U(r) el potencial electrosttico: ( )( )}=VdVr rror U,' .''.. . 41cct (38) 2.4.ELPOTENCIALELECTROSTATICOYTRABAJO.-RELACION ENTRE EL CAMPO ELECTROSTATICO Y EL POTENCIAL El campo electrosttico es conservativo e irrotacional, es decir: ( ) 0 = V r E x(39) Al trasladar una carga puntual a velocidad constante a lo largo de uncamino(Fig.20)enunaregindondeexistauncampo electrosttico,estoimplicaraelaportedeunafuerzaF=q.E realizadaporunagenteexternoparacontrarrestarlaaccindel camposobredichacargapuntual.Porotraparte,eltrasladoa velocidadconstanteimplicaquelaenergacinticadelacarga J.LLAURY 27 TEORIA ELECTROMAGNETICA permanececonstante,demodoqueelbalancedeenerga conduciraaqueeltrabajoquerealizaelagenteexternoenel trasladoseaigualperodesignoopuestoaltrabajoWEqueel campo electrosttico realiza sobre la carga, por lo que: ( )} } = = = VBABAA B E U U Wq q dL E q dL U . . . . . (40) Porlotantoeltrabajorealizadoporelcamposobrelacargaes igualalproductodelvalordelacargaporladiferenciade potencial entre los extremos del camino, cambiado de signo. Se ve que este trabajo no depende del camino particular C que se haya elegido.Estaesunacaracterstica,naturalmente,deloscampos conservativos. Enuncaminocercado,eltrabajorealizadoporelcamposobrela carga es cero. Slosepuedendefinirdiferenciasdepotencialentredospuntos delespacio.Paraasignarunvalordepotencialaunpuntoes necesariodefinirarbitrariamenteunpuntodereferenciade potencial.Enelcasodedistribucionesdecargadeextensinacotada,el puntodereferenciaconvencionaleselinfinito,segnseveral analizar la energa del campo electrosttico. En general: ( )} =rL d E r U .(41) donde se ha omitido la referencia al camino porque es irrelevante. Esta convencin para definir el potencial como campo escalar no es vlida cuando se estudia una distribucin de carga no acotada en el espacio (p. ej., la lnea el plano infinitos). En tal caso hay quetomarelpunto dereferenciaenotrositio,quedependerde las condiciones del problema. EJEMPLO DE APLICACIN N 5.- Calcularelpotencialelectrostticocreadoporunalneainfinita cargada uniformemente. q F q.E A B dL Fig.20.-Trasladode unacargapuntual positiva a lo largo de un camino de A a B. J.LLAURY 28 TEORIA ELECTROMAGNETICA Solucin.- DelEjemplodeaplicacinN2(Campoelctricodeunalnea infinita de carga), el campo elctrico viene dado por (33): ( )rror E. . . 2ct=(33) Adems,de(37)setienelarelacinentreelcampoelctricoyel potencial: ( ) ( ) | | r U r E V =(37) Lageometraparaelpresentecasoes,obviamente,lacilndrica, segnlaFig.14.Entonces,lafuncingradienteencoordenadas cilndricas segn el Anlisis Vectorial viene dada por: kzU Ur rUUu ur. . .1.cc+cc+cc= V (42) Como, en este caso, el campo elctrico es estrictamente radial (el alambreesmuylargoysedesprecianlosefectosdebordes), entonces,eloperadorgradientesloinvolucraalprimertrmino delsegundomiembrode(42);porlotanto,alreemplazar(36)en (37), este se escribe como:

.. . . 2 r drdUo ct = de donde:

.. . . 2.rdrdUo ct = Integrando ambos miembros .. . . 2.) (0} =}rrr UorodrdUct ro es el punto de referencia de potencial nulo. Finalmente: ( )|.|

\|=rr UrLogooe.. . 2ct (43) EJEMPLO DE APLICACIN N 6.- Calcularelpotencialentodoelespacioparalaesferametlica cargada del Ejemplo de Aplicacin N 4 (Fig. 18). Solucin.- De la solucin del Ejemplo de Aplicacin N 4, se tiene: El campo electrosttico para r < R es nulo. J.LLAURY 29 TEORIA ELECTROMAGNETICA El campo electrosttico para: r > R, el cual viene dado por (34):

()rRrUoEXT r22.. .co= (44) El gradiente, en coordenadas esfricas, es: u u uUSen rUr rUUr u u u..1. .1.cc+cc+cc= V(45) Como el campo es estrictamente radial, entonces tambin lo ser elgradiente,entoncesreemplazando(34)en(37),peroslo considerando el primer trmino del segundo miembro de (35): rRodrdU22.. .co = dondesehacambiandoladerivadaparcialporladerivada ordinaria, por ser el campo funcin de una sola variable (radial). Para el interior de la esfera (r < R): } = =}RUr odrrRdU .2..2.0co desarrollandolaintegralseobtieneelpotencialconstantepara cualquier punto del interior de la esfera: ( )cooRR r U.= s (46) Estevalordadopor(46)estambinelvalordelpotencial superficial de la esfera metlica cargada, y de radio R. Para el intervalo: r > R: } = =}rr odrrRr UdU .2..2.) (0co Resolviendo se obtiene: ( )rRor U..2co= (47) Suponiendoquelaesferatengaunpotencial(superficial)deUo voltios,entoncessepuedeaplicarestacondicindecontornoen (46) y de esta forma determinar la densidad de carga superficial o. Entonces: En (46), para r = R se tiene: U(r = R) = Uo, de donde: J.LLAURY 30 TEORIA ELECTROMAGNETICA

RUo o.co=(48) Alreemplazar(48)en(47)seobtienelafuncinpotencialen cualquier punto del exterior de la esfera: ( )||.|

\|=rRUUor . (49) Acontinuacin,enlasiguientehojadeclculo,seobservala variacin con la distancia radial (mltiplos de r): INGRESO DE DATOS:Uo (V) 1000R (cm) 10TABLA DE CALCULO:n r U( r )cm Volt0.1 1 1000.000.13 1.26 1000.000.25 2.5 1000.000.38 3.75 1000.000.5 5 1000.000.63 6.25 1000.000.75 7.5 1000.000.88 8.75 1000.001 10 1000.001.25 12.5 800.001.5 15 666.671.75 17.5 571.432 20 500.002.25 22.5 444.442.5 25 400.002.75 27.5 363.643 30 333.333.25 32.5 307.693.5 35 285.71 FIG. 21.- Variacin del potencial de una esfera3.75 37.5 266.67 conductora cargada con la distancia4 40 250.00Variacin del potencial de una esfera con la distancia0.00200.00400.00600.00800.001000.001200.001 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21N divisiones intervalo (abscisas)U(r), Voltios 2.5.POTENCIALYCAMPOELECTRICODEDOSLINEASDECARGA PARALELAS El potencial de una lnea infinitamente larga, con densidad lineal de carga est dado por (39), donde roes el punto arbitrario de referencia de potencial cero. Siseconsiderardoslneasdecargadepolaridadopuestay separadasporunadistancia2.a,colocandoelorigende coordenadasamitaddeseparacindelalneaquelasune,tal como se muestra en la Fig. 22, entonces el potencial en un punto arbitrarioP(x,y)delespacio(enrealidaddelplanonormalalas lneas), vendra dado por las superposicin de (43), es decir: ( ) ( )U U U P P P ++ = J.LLAURY 31 TEORIA ELECTROMAGNETICA donde: ( )||.|

\|=+rrLogUrooPe11.. . 2ct y ( )||.|

\|=rrLogUrooPe21.. . 2ct dondesehatomadorocomopuntocomndereferenciade potencialcero.Luego,sumandolasdosexpresionesresultael potencial total en el punto P debido a las dos lneas de carga: ||.|

\|=rrLogUroeoP121.. . 2ct(50) donde: ( ) y a xr2 21+ = + (51) y ( ) y a xr2 22+ = (52) Por lo tanto, reemplazando (51) y (52) en (50) se llega a establecer la funcin potencial en un punto P(x, y) debido a las dos lneas de carga infinitas de polaridad opuesta:

( )( )( )||.|

\|++=+y a xy a xLoge oy x U2 22 2.21.. . 2,ct(53) ECUACION DE LAS LINEAS EQUIPOTENCIALES.- de (53): Y X O (- a, 0)(a, 0) P(x, y) Fig. 22.- Dos lneas de carga paralelas separadas por una distancia 2.a r1r2 + - J.LLAURY 32 TEORIA ELECTROMAGNETICA ( )( )KUy a xy a x o1. .. 42 22 2exp =(((

=+++c t(54) Fig.23.-Lneasdecampoypotencialelctricodedos conductores paralelos de polaridad opuesta K1 es una constante sobre una determinada lnea equipotencial. Esta relacin se puede escribir como: ( )( )Ka KyKKax1 111 11 .2222. . 41((

+ = + (55) Lacualsereconocecomoecuacionesdeunafamiliade circunferencias de radios:

KKaR111. . 2= (56) Con sus centros en: ( )( ) 11 .11+=KKax(abscisa del centro) (57) 0 = y (ordenada del centro) (58) X Y LINEAS DE FUERZA LINEAS EQUIPOTENCIALES + - J.LLAURY 33 TEORIA ELECTROMAGNETICA Como lo muestran las lneas (rojas) de la Fig. 23. El valor de K1 = 1, es un crculo de radio infinito con centro en x = , por lo tanto representa el plano X = 0. ParavaloresdeK1enelintervalo0sK1s1loscrculos equipotenciales estn en el semiplano izquierdo, y Para 1 s K1 < los crculos estn en el semiplano derecho. ECUACION DE LAS LINEAS DE CAMPO ELECTRICO Elcampoelctricosecalculaapartirdelnegativodelgradiente del potencial dado por (37): ( )( )( ) | | ( ) | | | | )`+ + + = + y a x y a xyx aj y x a i ay x Eo2 2 2 222 2.. . . . 4 . . . 2. . 2,ct (59) Una forma de delinear la distribucin del campo elctrico se logra trazandolneasqueencualquierpartesontangentesalcampo elctrico,llamadaslneasdefuerza.Estaslneasentodaspartes son perpendiculares a las superficies equipotenciales y definen la direccindelcampoelctrico.Lamagnitudesproporcionalala densidad de las lneas. Para una simple carga puntual, las lneas defuerzaemananradialmente.Lasituacinesmscomplicada paralasdoslneasdecargadepolaridadopuestadelaFig.22 con las lneas de fuerza comenzando siempre en la carga positiva y terminando en la carga negativa. Para el campo dado por (59), la ecuacin para las lneas tangentes al campo elctrico es: yx a EEy xdxdyxy22 2. . 2+ = =

entonces: ( )( )( ) 022 222= ++ +y Ln ddyx ayxDondelaltimaigualdadsehaescritoasdemodoquela expresin pueda ser integrada directamente, para dar lugar a: ( )K SenaKCo a yx222222tan . = + (60) Donde K2 es una constante determinada al especificar una simple coordenada (xo,yo) a lo largo de la lnea de fuerza que interese. Las lneas de fuerza tambin son crculos de radios:

KSenaR2= (61) Con centros en: 0 = x (abscisas) (62) KCo a y2tan . = (ordenadas)(63) J.LLAURY 34 TEORIA ELECTROMAGNETICA TERCERA UNIDAD TEORIA DE IMAGENES CAPITULO 3 TEORIADEIMGENESYCONDICIONESDECONTORNODEL CAMPO ELECTRICO 3.1.DISCONTINUIDAD DELCAMPOELECTRICOATRAVESDEUNA LAMINA DE CARGA SUPERFICIAL Se puede aplicar la Ley de Gauss (8) a la superficie de la caja de tamaodiferencialdelaFig.24,circundandounapequearea dS de carga superficial: } }=S SdS dS E o o c . ( ) dS dSE Eon no c = 1 2 SiendoE2nyE1nlascomponentesperpendicularesdelcampo elctricoacadaladodelaentrecara.Unicamentelassuperficies superioreinferiordelpequeocilindrocontribuyenalflujo porquesesuponequeelpequeocilindrotienealtura despreciable(~0)demaneraquesurealateralesnula.Por consiguiente,sepuedeobservarquelacantidaddecarga superficialesproporcionalaladiscontinuidadenlacomponente normal del campo elctrico a travs de la lmina. ( )( ) o c o c = = E E u E E n nnon n no1 2.1 2 (64) dondeunesperpendicularalaentrecarayestdirigidodela regin 1 a la regin 2. J.LLAURY 35 TEORIA ELECTROMAGNETICA 3.2.CONSIDERACIONESGENERALESACERCADELASIMGENES ELECTROSTATICAS Cuandounconductorestenlavecindaddealgunacargase induce en el conductor una distribucin superficial de carga y ah terminaelcampoelctrico,yaqueelcampodentrodela superficieequipotencialescero.Estadistribucindecarga inducida contribuye entonces al campo elctrico exterior, sujeto a lacondicindefronteradequeelconductoresunasuperficie equipotencial,demodoqueelcampoelctricotermina perpendicularmenteenlasuperficie.Engeneral,lasolucines difcildeobtenerporqueladistribucinsuperficialdecargano puedeserconocidahastaqueelcamposeaconocidodemanera quesepuedausarlascondicionesdefronteradadasen(3.1). Pero,lasolucindelcamponopuedecalcularsehastaquela distribucin de carga superficial sea conocida. Sinembargo,paraalgunasgeometrassimples,lasolucindel campo se puede determinar sustituyendo la superficie conductora porcargasequivalentesdentrodelcuerpoconductor,llamadas imgenes,y que garanticen que todas las condiciones de frontera sean satisfechas. Una vez que las cargas imgenes son conocidas, elproblemaseresuelvecomosielconductornoestuviera presenteperoconunadistribucindecargacompuestaporlas cargas originales y la adicin de las cargas imgenes (Fig. 25). + + + + + + + + ++++ + + + + un dS = undS dS = - undSE1 E2 1 2 FIG. 24.- La Ley de Gauss aplicada a la superficie de una caja pequea de tamao diferencial, que encierra alguna carga superficial demuestra que la componente normal de coE es discontinua en la densidad superficial de carga J.LLAURY 36 TEORIA ELECTROMAGNETICA 3.3.LINEA DE CARGA CERCA DE UN PLANO CONDUCTOR Elmtododelasimgenessepuedeadaptaraunasolucin conocidadeunnuevoproblema,sustituyendoloscuerpos conductoresporunacargaequivalente.Porejemplo,seobserva en la Fig 23 que las lneas de fuerza son todas perpendiculares al plano x = 0, con una simple carga lineal en x = - a, el potencial y elcampoelctricoparax> R1, R2: ||.|

\|=||.|

\|=R RDR RDLogCosh ArcoeoC2 1. .. ... .22 2221212c t c t (84)Cilindro paralelo a un plano infinito: Sepuedeobtenerlacapacitanciaconsiderandoqueun cilindrotengaradioinfinito,peromanteniendofinitala distancia ms prxima, es decir, si: d = D R1 R2 Esladistanciamsprximaentreloscilindros;y permitiendoqueR1llegueaserinfinito,lacapacitancia viene a ser: ((((

+||.|

\|+=||.|

\|+1. .222222RR dRR dLogeoCc t (85)

Tambin: ||.|

\|+=RR dCCosh Arco22. .2 c t (86) Cilindros idnticos: Susradiossoniguales:R1=R2=R,entoncesla capacitancia por unidad de longitud se reduce a: ((((

+|.|

\|=|.|

\|1. 2.. 22RDLogRDeoCc t (87) tambin: J.LLAURY 44 TEORIA ELECTROMAGNETICA |.|

\|=RDCosh ArcoC. 2.c t (88)

Cilindros concntricos: En este caso: D = 0 Entonces, la capacitancia por unidad de longitud es igual a: ||.|

\|+=||.|

\|=R RR RRRLogCosh Arco oeC2 12 2121. .. . . .22 2211c t c t (89) Nota.-Todaslasfrmulasdesde(84)a(89)estndadasen F/m EJEMPLO DE APLICACIN N 6.- Si se aplican Uo voltios a la lnea coaxial asimtrica de la Fig. 30, encuntrese el potencial en el punto M a mitad del camino entre los conductores interno y externo. El potencial del conductor externo es cero. Solucin.- Como un cilindro est dentro de otro, entonces aplicando la frmula (80), se tiene: ((((

+|||.|

\| =||.|

\| 1... . 22 12221 122212 21 122.. 2. 2 22121R RR R DR RR R DLogUReooct Elcualrepresentaladdpentrelosconductoresinternoy externo,1y2,respectivamente,quetambinsepuede escribir como: R1 R R2 M FIG.30.-Seccintransversalde una lnea de transmisin coaxial asimtrica. J.LLAURY 45 TEORIA ELECTROMAGNETICA

((((

|||.|

\| =R RR R DArcCoshRoUo22..12 21 122121. 2. . 2ct o tambin: ((((

+=R RD R RArcCoshRoUo212..12 22 12121. 2. . 2ct(90) Pero,delaFig.30,ladistanciaentreloscentrosdelos cilindros interno y externo es igual al radio R1: D12 = R1 entonces, la expresin para el potencial Uo se reduce a: ||.|

\|=RRArcCoshoUo12. 2. . 2.ctDe aqu, se despeja el factor inicial del segundo miembro: ||.|

\|=RRUCosh Arcoo12.. .22 c t (91) Ahora,siUxeselpotencialdelcilindroimaginariocentral deradioR,ycomoelcilindromayortienepotencialnulo, entonces la ddp entre estos dos cilindros tambin ser Ux. Porlotanto,adaptandolafrmula(90)paralosdos cilindros:unoderadioR(imaginario)yelotroelcilindro mayorderadioR2.Entonces,paraadaptarlafrmula(90) habra que reemplazar: R1 R, yUo Ux R2 sigue siendo igual, y D12 Dx2 = R (R2/2) 21 2 R RR+= Luego: Dx2 = R1/2 Entonces, (90) se transforma en: ((((

+=R RD R RArcCoshXoRUX22..121. 2. . 22 222ct Reemplazando(91ylasexpresionesparaRyDx2,enesta ltimaexpresin,seobtieneelpotencialdelcilindro imaginario que pasa por M: J.LLAURY 46 TEORIA ELECTROMAGNETICA ||.|

\|(((

++|.|

\|=RRCosh ArcR RR RArcCoshU U o X122121.2. . 4. 5 . 2. (92) APLICACIN NUMERICA IngresandolosdatosnumricosdelProblemaN3-3-4de Kraus (Electromagnetismo): UnacargapuntualqseencuentraaunadistanciaDdel centrodeunaesferaconductoraderadioRconectadaa tierra (potencial cero), tal como se muestra en la Fig. 31. Se tratadeusarelmtododelasimgenescolocandouna carga imagen qi a una distancia b del centro de la esfera y a lo largo de la lnea que une el centro con la carga puntual q. Se requiere calcular los valores de qi y b que satisfagan la condicin de frontera de potencial nulo en r = R. El potencial en cualquier punto P fuera de la esfera es: INGRESO DE DATOS:1.- Potencial de la esgera interior Uo 100 Voltios2.- Radio de la esfera menor R1 3 cm3.- Radio de la esfera mayor R2 8 cmCALCULO:Potencial en M U 37.766 Voltios 3.6.CARGA PUNTUAL Y ESFERA CONECTADA A TIERRA Una carga puntual q se encuentra a una distancia D del centro de una esfera conductora de radio R, conectada a tierra (potencial nulo), tal como se ilustra en la fig. 31. Se trata de usar el mtodo de las imgenes colocando una carga imagen qi a una distancia b del centro de la esfera y a lo largo de la lnea que une el centro conlacargapuntualq.Sedebencalcularlosvaloresdeby qi,loscualesdebensatisfacerlacondicindefronterade potencialnuloenr=R.ElpotencialencualquierpuntoPfuera de la esfera es: ||.|

\|+ =rqriqUo 2 1.. .14 c t(93) donde las distancias desde P a las cargas puntiformes se obtienen mediante la ley de los cosenos: u Cos D rD r r. . . 22 21 + =(94) u Cos b rb r r. . . 22 22 + =(95) J.LLAURY 47 TEORIA ELECTROMAGNETICA Comolaesferaestconectadaatierrasupotencialesnulo, entonces,haciendor=R,en(94)y(95),estoes,trasladandoel punto espacial P a un punto superficial cualquiera de la esfera, y reemplazando en (93), se tiene: 0. . . 2 . . . 2.. .12 2 2 24=||.|

\| ++ + u uc tCos b R Cos D Rqb RqRiDo

(96) Sin embargo, todava queda en pie la solucin de dosincgnitas: la carga imagen qi y su posicin b. Esto es posible tomando dos condiciones de contorno: Condicin de contorno (1): Cuando el punto superficial est en el punto A, o sea: u = 0, entonces, la expresin (96) queda como: 0 .. .14=||.|

\|+ R b R Dq qio c t (97) Condicin de contorno (2): Cuando el punto superficial est en el punto A, o sea: u = 90, entonces, la expresin (96) queda como: 0 .. .12 2 2 24=||.|

\|+++b RqRiDqo c t (98) Resolviendoelsistemadeecuaciones(97)y(98),setienenlas expresiones para la carga imagen qi: DRqqi. =(99) J.LLAURY 48 TEORIA ELECTROMAGNETICA y su posicin b respecto al centro de la esfera: DRb2= (100) Estasrelaciones(99)y(100)sonlasmismasparaamboscasos: cargarealfueradelaesfera(Fig.30)ycargarealdentrodela esfera conductora (Fig. 32). 3.7.CARGA PUNTIFORME PROXIMA A UN PLANO A TIERRA Siseconsideraunaenormeesfera(LaTierra)lacualamedida que se haga cada vez ms grande tendera a ser un plano (suelo). Si se coloca una carga puntual + q a una altura H de la superficie delaenormeesfera,suimagenestaraubicadaauna profundidad y por determinar, segn se muestra en la Fig. 33. Segn la Fig. 33: D = R + H Entonces, reemplazando este valor para D en (99), se tiene que el valor de la carga imagen es:

||.|

\|+ =H RRq qi. Pero, R >>H, de modo que: 0 RH qi + q r1 r2 r Z O P u D b FIG. 32.- Las mismas relaciones anteriores semantienenvlidas,silacargaqest dentrodelaesfera,peroahoralacarga imagen est fuera de la esfera, puesto que D < R. A B J.LLAURY 49 TEORIA ELECTROMAGNETICA Demodoquealdividirelnumeradoryeldenominador(dela expresin para qi) entre R, se llega a la conclusin de que el valor de la carga imagen es exactamente igual en mdulo a la carga real q pero de signo opuesto. Entonces: q qi i =(101) Anlogamente,reemplazandoladistanciaD=R+Hen(97),se tiene: H RRb+=2 Pero, de la Fig. 32: b = R y entonces: H RH Ry+=. Tambin,dividiendonumeradorydenominadorentreR,sellega fcilmente a demostrar que: H y =(102) Conclusin:Cuandounacargapuntualseencuentraauna alturaHsobrelasuperficiedeunterreno,suimagentieneel H y R q qi FIG.33.-Laesferaconductorase hacetangrandequetiendeaser planiforme b = R - y TIERRA O J.LLAURY 50 TEORIA ELECTROMAGNETICA mismovalornumricoperodesignoopuestoyseencuentraa unaprofundidadHdebajodelasuperficiededichoterreno(Fig. 34). 3.8.ESFERA CON CARGA CONSTANTE Si la carga puntualq est fuera de una esfera conductora (D > R)queahoracontieneunacargatotalconstanteQo,lacarga inducidaanesqi=-q.R/D.Puestoquelacargatotalsobrela esfera es Qo se debe encontrar otra carga imagen que mantenga a laesferacomosuperficieequipotencialytengaelvalorQp+ (q.R/D). Esta otra carga imagen debe colocarse en el centro de la esfera,comoseindicaenlaFig.35.La cargaoriginalqmsla cargaimagenqi=-q.R/Dponenalaesferaapotencialcero.La carga imagen adicional en el centro de la esfera eleva el potencial de sta hasta: RQoDR qUo. . ..4 c t|.|

\|+= (103) +q qi = - q H H FIG. 34.- Carga puntual y plano infinito D b q R -q.R/DQo +(q.R/D) FIG.35.-Siunaesferaconductoraposeeunacarga constanteQo,esnecesarioqueunacargaimagen adicionalestenelcentrodelaesferacuandolacarga q est prxima J.LLAURY 51 TEORIA ELECTROMAGNETICA 3.9.ESFERA CON VOLTAJE CONSTANTE Si la esfera se mantiene a voltaje constante Uo, la carga imagen qi = -q.R/D colocada a una distancia b = R2/D desde el centro de la esfera, todava mantendr el potencial de la esfera en cero. Para elevar el potencial de la misma hasta Uo, otra carga imagen: U RQo oo. . . .4 c t=(104) Debecolocarseenelcentrodelaesfera,comoseilustraenla Fig. 36. D b q R -q.R/D Qo = 4.t.co.R.Uo FIG.36.-Siunaesferaconductoraposeeestaun voltajeconstanteUo,esnecesarioqueunacarga imagen adicional est en el centro de la esfera cuando la carga q est prxima J.LLAURY 52 TEORIA ELECTROMAGNETICA CUARTA UNIDAD CAPACITANCIA E INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO CAPITULO 4 COEFICIENTES DE POTENCIAL Y CAPACITANCIA 4.1.COEFICIENTESDEPOTENCIAL.CAPACITANCIADEUNALINEA DE TRANSMISION Cuando se tiene un grupo de N conductores cargados (N alambres deseccincircular)masomenosprximosentres,talcomose indica en la Fig. 37, el potencialde cada uno de los conductores seveinfluenciadoportodoelrestodeconductoresy, naturalmente, por el propio conductor. El potencial de un hilo de carga viene dado por (39): ( )|.|

\|=rr UrLogooe.. . 2ct (39) Paraunadistanciadadadelalneadecarga,estoes,paraun determinadovalordeladistanciaradialr,sevede(39)queel potencial es directamente proporcional a la densidad de carga de la lnea . Por lo tanto, el potencial se puede escribir como: U Estarelacinpuedeserescritacomoigualdadintroduciendoun factor de proporcionalidad p, de modo que: U = p. (105) Donde p es el llamado coeficiente de potencial. J.LLAURY 53 TEORIA ELECTROMAGNETICA ElpotencialdeconductorN1debidodesmismoyala influencia de los dems conductores, es: U U U U U UN i ) (1) (1) 3 (1) 2 (1) 1 (1 1...... ....... + + + + + + = (106) Del conductor N 2: U U U U U UN i ) (2) (2) 3 (2) 2 (2) 1 (2 2...... ....... + + + + + + = (107) Del conductor N 3: U U U U U UN i ) (3) (3) 3 (3) 2 (3) 1 (3 3...... ....... + + + + + + = (108) Y as sucesivamente, para el i-simo conductor: U U U U U UNiii i i i i) ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (...... ....... + + + + + + = (109) Hasta el ltimo conductor: U U U U U UNNiN N N N N) ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (...... ....... + + + + + + =

(110) En general, para un conductor arbitrario (i-simo alambre):

===Ni jjji i U U1) ( (111) Porotrolado,lasexpresiones(106)al(110),tambinsepueden escribir, en funcin a los coeficientes de potencial de (105): NNiip p p p pU. ... . ... . . .1 13132121111+ + + + + + =(112) NNiip p p p pU. ... . ... . . .2 23232221212+ + + + + + =(113) 1 2 3 4 5 i n FIG. 37.- Grupo de conductores cargados de seccin redonda, prximos entre s. J.LLAURY 54 TEORIA ELECTROMAGNETICA NNiip p p p pU. ... . ... . . .3 33332321313+ + + + + + =(114) As sucesivamente, hasta el potencial para un conductor arbitrario i: NiNiii i i iip p p p pU. ... . ... . . .332211+ + + + + + =(115) Hasta, el potencial para el ltimo conductor: NNNiNI N N NNp p p p pU. ... . ... . . .332211+ + + + + + =(116) En general, el potencial del i-simo conductor, es ==Njjj iipU1. (117) Lasexpresiones(112)a(116),puedenserescritasenforma matricial: ((((((((((

(((((((((((

=((((((((((

NNNNNNp p p pp p p pp p p pp p p pUUUU... ............... ........ ..... ...... ........... ........ ..... ...... ........... ........ ..... ..... ....................................3211 13 12 113 33 32 312 23 22 211 13 12 11321 (118) en forma comprimida: | | | | | | . p U=(119) De(118)seobservaquelamatriz|p|,deloscoeficientesde potencial, es cuadrada. PROPIEDADES DE LOS COEFICIENTES DE POTENCIAL Loscoeficientesdepotencialsatisfacenlassiguientes propiedades: 1)Todos los coeficientes son positivos, es decir: pij > 0 2)La matriz |pij| es simtrica: J.LLAURY 55 TEORIA ELECTROMAGNETICA pij = pji 3)La matriz |pii| es diagonal dominante: pij > pji 4.2.LOS COEFICIENTES DE POTENCIAL Y LA CAPACITANCIA Por Fsica Elemental, se sabe que la relacin entre la carga (Q) de los conductores y su potencial (U), viene dada por: Q = C.U siendo C la capacitancia. y como tambin: U = P.Q entonces, la carga Q resulta: Q = |P|-1.U = |C|.U de donde: |C| = |P|-1 (120) Por lo tanto: La matriz capacitancia (coeficiente de capacidad) es igual a la matriz inversa de los coeficientes de potencial. EJEMPLO DE APLICACIN N 7.- Dadalalneainfinitadecargaysuimagen,conlosdatos indicadosen la Fig. 38. Si la lnea se encuentra a un potencial de Uo voltios, calcular: a)La densidad lineal de carga (+); y b)La funcin potencial en cualquier punto P(x,y) del espacio. Considerar la altura del conductor mucho mayor que el radio del conductor, y el terreno como conductor perfecto. Solucin.- DadoquelaalturaHesgrandecomparadoconelradioRdel conductor, entonces se puede considerar la carga lineal en el eje delconductor(centrodelcilindro),talcomoseilustraenlaFig. 38. J.LLAURY 56 TEORIA ELECTROMAGNETICA El potencial en el punto P viene dada por la superposicin de (39), esdecir,lasumadelospotencialesdelalneareal(+)ysu imagen (-). Entonces: U U U P P P) ( ) ( ++ =donde, por (39): ( )||.|

\| +||.|

\|=rrLogrrLogUoeooeoP2 1. . . .2 2 c t c t Simplificando: ||.|

\|=rrLogUeoP12. .2 c t(121) Donde, de la Fig. 38: ( ) ( ) H y a xr + =2 21 (122) y ( ) ( ) H y a xr+ + =2 22 (123) Alreemplazar(122)y(123)en(121),elpotencialenP(UP)se convierte en una funcin potencial en (x,y): O Y R r r o M(a + R.Coso, H + R.Seno) H H a X U = Uo P(x,y) FIG.38.-Conductor realcondensidad lineal(+)ysu imagen,con densidadlinealde carga (-) + - (a, H) (a, - H) J.LLAURY 57 TEORIA ELECTROMAGNETICA ( )( ) ( )( ) ( )||.|

\|++= + H y a xH y a xLog y x Ueo2 22 221.. .2,c t (124) Pero todava queda un inconveniente: no se conoce el factor inicial /(2.t.co).Estopuedeserresueltodelasiguientemanera:como seconoceelpotencialdelalnea(Uo),entoncessepuedeaplicar unacondicindecontornoparacualquierpuntodelasuperficie del conductor (punto M en la Fig. 38). Entonces: Condicin de contorno: Cuando P M Esto significa que las variables x e ydadas en (124) se deben reemplazar por: x = a + R.Coso (125) y = H + R. Seno (126) adems: U(x,y) = Uo (127) Alreemplazar(125),(126)y(127)en(124)yeldespejarelfactor inicial, se tiene: .:. 4 . 21. 2. .22|||.|

\||.|

\|+ +|.|

\|=oc tSenRHRHLogUeoo (128) RESPUESTA (a) Finalmente,alreemplazar(128)en(124),lafuncinpotencial queda como: ( )( ) ( )( ) ( )|||.|

\||.|

\|+ +||.|

\|++=|.|

\| + o SenRHRHLogH y a xH y a xLogUy x Ueeo:.. 4 . 21,22 22 2RESPUESTA (b) (129) APLICACIN NUMERICA Anlisisdelavariacindeladensidadlinealdecargaenla superficie del conductor. De (128) se tiene: ( ) .:. 4 . 21. . .22|||.|

\||.|

\|+ +|.|

\|=oc to SenRHRHLogUeoo(130) J.LLAURY 58 TEORIA ELECTROMAGNETICA Dandolosvaloresnumricosyevaluandoladensidaddecarga superficial, segn (130) en la siguiente hoja de clculo: INGRESO DE DATOS:ps.o 8.8542E-12 F/mUo 220 kVR 30 mmH 20 mCALCULO:alfa Lambda(grad. Sexag) (nC/m)0 115.97515 115.97230 115.96945 115.96660 115.96475 115.96390 115.963105 115.963120 115.964135 115.966150 115.969165 115.972180 115.975195 115.978210 115.981225 115.983240 115.985255 115.986270 115.987285 115.986300 115.985315 115.983330 115.981 FIG. 39.-Variacin superficial de la densidad345 115.978 lineal de carga de una lnea de carga360 115.975"LAMBDA" SUPERFICIAL115.950115.955115.960115.965115.970115.975115.980115.985115.9901 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25Intervalo de abscisas"LAMBDA", (nC/m) EJEMPLO DE APLICACIN N 8.- Dadas dos lneas de CC horizontales y paralelas de radios R1 y R2 lascualesseencuentranapotencialesdeU1yU2voltios, respectivamente,conladisposicingeomtricageneralizada, segn se indica en la Fig. 40. Se pide determinar: a)La funcin potencial para cualquier punto P(x,y). b)Las densidades lineales de carga, y c)La capacitancia por unidad de longitud de la lnea bifilar. J.LLAURY 59 TEORIA ELECTROMAGNETICA Solucin.- ElpotencialenelpuntoPeslasuma delospotencialesdecada lnea (con su respectiva imagen) en dicho punto. Entonces: U U UP PP ' 2,2 ' 1,1+ = (131) donde: U U UP P P ' 1 1 ' 1,1+ = (132) Siendo el primer trmino del segundo miembro el potencial, en el puntoP,debidoalalneareal(1);yelsegundotrmino,el potencial, en el punto P, debido a su imagen (1). Asimismo: O Y R1 r1 r1 o M1(a1 + R1.Coso, H1 + R1.Seno) H1 H1 a1 X U = U1 P(x,y) +1 -1 -2 a2 +2 r2 r2 H2 H2 R2 | M2(a2 + R2.Cos|, H2 + R2.Sen|) FIG. 40.- Dos lneas de carga (en corriente continua) con sus respectivas imgenes. U = U2 J.LLAURY 60 TEORIA ELECTROMAGNETICA U U UP P P ' 2 2 ' 2,2+ =(133) Siendo el primer trmino del segundo miembro el potencial, en el puntoP,debidoalalneareal(2);yelsegundotrmino,el potencial, en el punto P, debido a su imagen (2). Enfuncinalageometra,expuestaenlaFig.40,(132)se expresa como: |.|

\|=rrLogUeoP11 1' 1,1'.. . 2 c t (134) donde, de (122): ( ) ( )12121H y a x r + = (135) y de (123): ( ) ( )12121' H y a x r + + = (136) Entonces, (134) como funcin de (x,y) se puede escribir como: ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + = =1212121211' 1,1.21.. . 2H y a xH y a xLogU UeoPP c t (137) Asimismo: |.|

\|=rrLogUeoP22 2' 2,2'.. . 2 c t (138) Anlogamente, de (122): ( ) ( )22222H y a x r + = (139) y de (123): ( ) ( )22222' H y a x r + + =(140) Entonces, (138) como funcin de (x,y) se puede escribir como: ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + = =2222222222' 2,2.21.. . 2 H y a xH y a xLogU UeoPP c t (141) Reemplazando (137) y (141) en (131), se tiene la funcin potencial enunpuntoP(x,y)debidoalasdoslneasdecargaparalelas mostradas en la Fig. 40: RESPUESTA (a): J.LLAURY 61 TEORIA ELECTROMAGNETICA ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + ++||.|

\| + + + =222222222121212121.21.. . 2.21.. . 2H y a xH y a xLnH y a xH y a xLn UooPc tc t (142) Paraelclculodelasdensidadeslinealesdecarga(1y2),se debenaplicarcondicionesdefronteraenlassuperficiesdelos conductores,teniendoencuentaquetienenpotencialesU1yU2 respectivamente. Entonces: Condicin de contorno (1).-Si P M1(a1 + R1.Coso, H1 + R1.Seno) Es decir, reemplazando en (142): x por a1 + R1.Coso, y y por H1 + R1.Seno Se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) | |( ) ( ) ( ) ( ) | |||.|

\|+ + + + + + + + + +++||.|

\|+ +=RCos a a Sen H H R a a H HRCos a a Sen H H R a a H HLogRR Sen R H HLog Ueoeo22 1 2 1 1 2 122 1222 1 2 1 1 2 122 12212121 1 1211. . . . 2. . . . 2.21.. . 2. . . 4 . 4.21.. . 2o oo oc toc t(143) EstepotencialparaU1dadopor(143)puedeserexpresadoen trminosdeloscoeficientesdepotencial.Entalsentido,segn (111), se puede escribir como: U1 = p11.1 + p12.2 (144) Comparando(144)con(143)seidentificanfcilmentelos coeficientes de potencial p11 y p12, los cuales son respectivamente: RESPUESTA (b): ||.|

\|+ +=12121 1 1211. . . 4 . 4... . 41RR Sen R H HLog peooc t (145) RESPUESTA (c) ( ) ( ) ( ) ( ) | |( ) ( ) ( ) ( ) | |||.|

\|+ + + + + + + + + +=RCos a a Sen H H R a a H HRCos a a Sen H H R a a H HLog peo122 1 2 1 1 2 122 12122 1 2 1 1 2 122 1212. . . . 2. . . . 2... . 41o oo oc t(146) Condicin de contorno (2).- J.LLAURY 62 TEORIA ELECTROMAGNETICA Si P M2(a2 + R2.Cos|, H2 + R2.Sen|) Es decir, reemplazando en (142): x por a2 + R2.Cos|, y y por H2 + R2.Sen| Se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) | |( ) ( ) ( ) ( ) | |||.|

\|+ ++||.|

\|+ + + + + + + + + +=22222 2 222222 1 2 1 1 2 122 12221 2 1 2 2 2 121 2212. . . 4 . 4.21.. . 2. . . . 2. . . . 2.21.. . 2RR Sen R H HLogRCos a a Sen H H R a a H HRCos a a Sen H H R a a H HLog Ueoeo|c to o| |c t(147) EstepotencialparaU2dadopor(147)puedeserexpresadoen trminosdeloscoeficientesdepotencial.Entalsentido,segn (111), se puede escribir como: U2 = p21.1 + p22.2 (148) Comparando(148)con(143)seidentificanloscoeficientesde potencial p21 y p22, los cuales son respectivamente: RESPUESTA (b): ( ) ( ) ( ) ( ) | |( ) ( ) ( ) ( ) | |||.|

\|+ + + + + + + + + +=RCos a a Sen H H R a a H HRCos a a Sen H H R a a H HLog peo221 2 1 2 2 1 221 22221 2 1 2 2 1 221 2212. . . . 2. . . . 2... . 41| || |c t(149) RESPUESTA (b): ||.|

\|+ +=22222 2 2222. . . 4 . 4... . 41RR Sen R H HLog peo|c t (150) Ahora,paraelclculodelacapacitanciadelalneabifilar,se aplicalarelacinmatricial(120),dondelamatrizdelos coeficientes de potencial viene dada por: | |(((

=p pp pp22 2112 11(151) Donde los coeficientes p11, p12, p21 y p22, vienen dados por (145), (146), (149) y (150), respectivamente. Finalmente, la relacin matricial para la capacitancia del sistema bifilar, viene dada por: RESPUESTA (c):| |((

=p pp pC22 2112 111(152) J.LLAURY 63 TEORIA ELECTROMAGNETICA APLICACIN NUMERICA: Lapresentehojadeclculoarrojalosresultadosquese muestran, para los datos indicados en la misma: DATOS PARA EL CONDUCTOR 1: DATOS PARA EL CONDUCTOR 2:1.- U1220 kV 1.- U2220 kV2.- alfa 270 grad. Sxg 2.- beta 270 grad. Sxg3.- R140 mm 3.- R240 mm4.- a12 m 4.- a211 m5.- H122 m 5.- H222 mINGRESARPUNTO (x,y): RESPUESTA:x 5 m 1.26E+11 2.89E+10y 7 m |P|=2.89E+10 1.26E+11RESPUESTAS:p11 1.259E+11 adimens. RESPUESTA:p12 2.888E+10 adimens. 8.39E-12 -1.92E-12p21 2.888E+10 adimens. |c|=p22 1.259E+11 adimens. -1.92E-12 8.39E-121 1.422E-06 C/m2 1.422E-06 C/mU(x,y) 16.482181 kV Nota.-Losvaloresdelosngulosoy|,sehanconsideradopara lospuntosAyBdelosconductores,loscualessonlosms prximos a la superficie del terreno. J.LLAURY 64 TEORIA ELECTROMAGNETICA CAPITULO 5 INDUCCION DEL CAMPO ELECTRICO 5.1.FUNCION POTENCIAL EN UNPUNTO CUALQUIERAElpresentetemaesunacontinuacindelanterior.Eneste,a diferenciadelanterior,notodoslosconductoresestncargados; hayalgnoalgunosconductor(es)quesimplementeestn colocadosparalelamentealosdemsytambin,porsupuesto, paralelos al terreno. Estos conductores que no son lneas cargadas, pero que estn en las inmediaciones del resto, crean unaperturbacin en el campo elctrico y, por ende, en el potencial del resto de conductores, as como en la distribucin de carga. Acontinuacin,enlaFig.41,semuestrantreslneasvivascon susrespectivastensiones,yunalambre,sintensinpropia, colocadoenlasinmediacionesdelsistema.Nosemuestranlas imgenes, ni las coordenadas de los conductores. El conductor 1, tiene los siguientes datos: Tensin de lnea: U1 Radio: R1 Coordenadas del centro: (a1, H1) El conductor 2, tiene los siguientes datos: Tensin de lnea: U2 Radio: R2 Coordenadas del centro: (a2, H2) El conductor 3, tiene los siguientes datos: Tensin de lnea: U3 Radio: R3 Coordenadas del centro: (a3, H3) J.LLAURY 65 TEORIA ELECTROMAGNETICA Procedimiento de clculo.- Como en el caso anterior, se consideran los siguientes pasos: 1)SedeterminalafuncinpotencialU(x,y)enunpunto cualquiera P(x,y) del espacio (en este caso del plano X-Y). 2)Seestablecenlascondicionesdefronteracontornopara cadaunodelosconductores.Esdecir, setrasladaelpunto P(x,y)apuntosconvenientesdelasuperficiedecada conductor;estoconelfindeobtenerlasecuacionesque permitirnresolverlasdensidadessuperficialesdecargade cada conductor. 3)Sevuelveaaplicarlafuncinpotencialenelconductor(4), con las densidades de carga ya obtenidas. ElpotencialenunpuntoP,vienedadoporunaextensinde (131): U U U U UP P P PP ' 4,4 ' 3,3 ' 2,2 ' 1,1+ + + =(153) U1 U2 U3 U4 r1 r2 r3 r4 P(x,y) Y X O Sin carga FIG. 41Alambre sin carga colocado en las inmediaciones de un sistema cd conformado por tres lneas cargadas J.LLAURY 66 TEORIA ELECTROMAGNETICA donde, los trminos del segundo miembro de (153) vienen dados en base a (137) y/o (141): ( )( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =121212121'1,1.21.. . 2,H y a xH y a xLogy xeoUc t (154) ( )( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =222222222'2,2.21.. . 2,H y a xH y a xLogy xeoUc t (155) ( )( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =323232323'3,3.21.. . 2,H y a xH y a xLogy xeoUc t (156) ( )( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =424242424'4,4.21.. . 2,H y a xH y a xLogy xeoUc t (157) Con esto se tiene la primera parte del procedimiento. Aplicandolascondicionesdefronteraacadaunodelos conductores. Esto significa que (153) debe adaptarse a un punto de la superficie de cada conductoral igual que cada uno de los trminos dados por (154), (155), (156) y (157). 5.2.CONDICIONES DE FRONTERA 1 condicin de frontera: Paraunpuntocualquieradelasuperficiedelconductor(1),es decir para: M1(a1 + R1.Coso, H1 + R1.Seno) De (153): U U U U U UM M M MM ' 4,41' 3,31' 2,21' 1,1111+ + + = =(158) De (154), (155), (156) y (157), respectivamente, se determinan los cuatro trminos del segundo miembro de (158): ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =12121212.1 1.1 111' ,11.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMUoo c t(voltaje que el conductor (1) induce sobre s mismo) (159) J.LLAURY 67 TEORIA ELECTROMAGNETICA ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =22222222.1 1.1 122' ,21.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMUoo c t(voltaje que el conductor 2 induce sobre el conductor 1) (160) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =32323232.1 1.1 133' ,31.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMUoo c t(voltaje que el conductor 3 induce sobre el conductor 1) (161) ( ) ( )( ) ( )0 .21.. . 242424242.1 1.1 144' ,41=||.|

\| + + + =+ =+ =H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMUoo c t (162) Elconductor(4)noinduceningnvoltajesobreelconductor(1) puesto que no es lnea viva; en tal sentido: 4 = 0 (163) Enformasimilarsedeterminanlosvoltajesquelosconductores inducen sobre s mismos y sobre el resto, excepto las influencias del conductor (4) sobre cada uno de los restantes. 2 condicin de frontera: Paraunpuntocualquieradelasuperficiedelconductor(2),es decir para: M2(a2 + R2.Cos|, H2 + R2.Sen|) De (153): U U U U U UM M M MM'4,42'3,32'' 2,22'1,1222 + + + = =(164) De (154), (155), (156) y (157), respectivamente, se determinan los cuatro trminos del segundo miembro de (158): ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =12121212.2 2.2 211' ,12.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMU|| c t(voltaje que el conductor 1 induce sobre el conductor 2) (165) J.LLAURY 68 TEORIA ELECTROMAGNETICA ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =22222222.2 2.2 222' ,22.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMU|| c t (voltaje que el conductor 2 induce sobre s mismo) (166) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =32323232.2 2.2 233' ,32.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMU|| c t(voltaje que el conductor 3 induce sobre el conductor 2) (167) ( ) ( )( ) ( )0 .21.. . 242424242.2 2.2 244' ,42=||.|

\| + + + =+ =+ =H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMU|| c t (168) Elconductor(4)noinduceningnvoltajesobreelconductor(2) por (163). 3 condicin de frontera: Paraunpuntocualquieradelasuperficiedelconductor(3),es decir para: M3(a3 + R3.Cos, H3 + R3.Sen) De (153): U U U U U UM M M MM'4,43'3,33'' 2,23'1,1333 + + + = =(169) De (154), (155), (156) y (157), respectivamente, se determinan los cuatro trminos del segundo miembro de (158): ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =12121212.3 3.3 311' ,13.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMU c t(voltaje que el conductor 1 induce sobre el conductor 3) (170) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =22222222.3 3.3 322' ,23.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMU c t(voltaje que el conductor 2 induce sobre el conductor 3) (171) J.LLAURY 69 TEORIA ELECTROMAGNETICA ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =32323232.3 3.3 333' ,33.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMU c t(voltaje que el conductor 3 induce sobre s mismo) (172) ( ) ( )( ) ( )0 .21.. . 242424242.3 3.3 344' ,43=||.|

\| + + + =+ =+ =H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMU c t (173) Elconductor(4)noinduceningnvoltajesobreelconductor(3) por (163). 4 condicin de frontera: Paraunpuntocualquieradelasuperficiedelconductor(3),es decir para: M4(a4 + R4.Coso, H4 + R4.Seno) De (153): U U U U U UM M M MM'4,44'3,34'' 2,24'1,1444 + + + = =(174) De (154), (155), (156) y (157), respectivamente, se determinan los cuatro trminos del segundo miembro de (158): ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =12121212.4 4.4 411' ,14.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMUoo c t(voltaje que el conductor 1 induce sobre el conductor 4) (175) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =22222222.4 4.4 422' ,24.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMUoo c t (voltaje que el conductor 2 induce sobre el conductor 4) (176) J.LLAURY 70 TEORIA ELECTROMAGNETICA ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =32323232.4 4.4 433' ,34.21.. . 2H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMUoo c t(voltaje que el conductor 3 induce sobre el conductor 4) (177) ( ) ( )( ) ( )0 .21.. . 242424242.4 4.4 444' ,44=||.|

\| + + + =+ =+ =H y a xH y a xLogSen R H yCos R a xeoMU c t (178) Elconductor(4)noinduceningnvoltajesobresmismo,por (163). Loscoeficientesdepotencialrelativosalainfluenciasobreel conductor (1) se pueden determinar a partir de (159), (160),(161) y (162), respectivamente: ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =12121212.1 1.1 111... . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeooo c t (179) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =22222222.1 1.1 112.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeooo c t (180) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =32323232.1 1.1 113.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeooo c t (181) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =42424242.1 1.1 114.. . 21H y a xH y a xLog pSen R R yCos R a xeooo c t (182) Loscoeficientesdepotencialrelativosalainfluenciasobreel conductor (2) se pueden determinar a partir de (165), (166),(167) y (168), respectivamente: J.LLAURY 71 TEORIA ELECTROMAGNETICA ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =12121212.2 2.2 221.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeo|| c t (183) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =22222222.2 2.2 222.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeo|| c t (184) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =32323232.2 2.2 223.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeo|| c t (185) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =42424242.2 2.2 224.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeo|| c t (186) Loscoeficientesdepotencialrelativosalainfluenciasobreel conductor (3) se pueden determinar a partir de (170), (171),(172) y (173), respectivamente: ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =12121212.3 3.3 331.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeo c t (187) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =22222222.3 3.3 332.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeo c t (188) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =32323232.3 3.3 333.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeo c t (189) J.LLAURY 72 TEORIA ELECTROMAGNETICA ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =42424242.3 3.3 334.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeo c t (190) Loscoeficientesdepotencialrelativosalainfluenciasobreel conductor (4) se pueden determinar a partir de (175), (176),(177) y (178), respectivamente: ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =12121212.4 4.4 441.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeooo c t (191) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =22222222.4 4.4 442.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeooo c t (192) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =32323232.4 4.4 443.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeooo c t (193) ( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + + =+ =+ =42424242.4 4.4 444.. . 41H y a xH y a xLog pSen R H yCos R a xeo c t (194) 5.3.INDUCCIONDELCAMPOELECTRICODEUNALINEADE TRANSMISION SOBRE CONDUCTORES ALEDAOS Formandoelsistemasdeecuacionesquepermitirndeterminar lasdensidadeslinealesdecarga,dondesecancelanlosltimos trminosporque4=0,segn(163),yaqueelconductor(4)no tienecargapropia.Entalsentido,lasdensidadeslinealesde carga1,2y3,secalculanapartirdelsistemadeecuaciones encerrado en el recuadro de lneas punteadas (195). J.LLAURY 73 TEORIA ELECTROMAGNETICA 0 U1 =p11.1 + p12.2 + p13.3+ p14.4 0 U2= p21.1 + p22.2 + p23.3+ p24.4 (195) 0 U3= p31.1 + p32.2 + p33.3+ p34.4 0 U4= p41.1 + p42.2 + p43.3+ p44.4 (196) Finalmente,unavezdeterminadaslasdensidadeslinealesde carga 1, 2 y 3, se calcula el potencial inducido en el conductor (4)deacuerdoalaecuacin(196)contenidaenelrecuadro sombreado. Nota.- Si la lnea es de CA, se deben considerar voltajes fasoriales. J.LLAURY 74 TEORIA ELECTROMAGNETICA QUINTA UNIDAD CONDUCCION ELECTRICA (Electrodinmica de conduccin) CAPITULO 6 TEORIA DE DEBYE DE LA CONDUCCION ELECTRICA 6.1.CONSERVACION DE LA CARGA En contraste con los dielctricos, la mayora de los metales tienen sultimacapadeelectronesligadaalncleoytienenlibertad paramoversealaplicarseuncampoelctrico.Ensoluciones electrolticas,losionesdelosdossignosestnenlibertadde movimiento. El flujo de carga, llamado corriente, se define como la cargatotalquefluyeatravsdeunasuperficieporunidadde tiempo. En la Fig. 42 un solo tipo de carga libre con densidad y velocidadvfluyeatravsdeunelementodiferencialde superficie dS. La carga total que circula a travs de esta superficie en un tiempo Atdependenicamentedelacomponentedelavelocidad perpendicular a dicha superficie: S d v t Q . . . A = A (197) Lacomponentetangencialdelavelocidadqueesparalelaala superficiedSsloproduceunflujodecargaalolargodela J.LLAURY 75 TEORIA ELECTROMAGNETICA superficie pero no a travs de ella. La corriente diferencial total a travs de dS queda entonces definida por: S d J S d vtQdI . . . . = =AA= (198) donde la densidad de corriente de estas cargas libres es un vector, y est definido por: v J . = (199) Siexistemsdeuntipodeportadoresdecarga,ladensidadde carga neta es igual a la suma algebraica de todas las densidades de carga, mientras que la densidad de corriente neta es igual a la sumavectorialdelasdensidadesdecorrientedebidasacada portador de carga: =i (200) =iiv J . (201) An cuando se tenga una neutralidad de cargas, de modo que la sumatoria de densidades sea cero, una corriente neta puede fluir silascargassemuevenconvelocidadesdiferentes.Porejemplo, dos portadores cargados con polaridad opuesta y con densidades 1=-2=o,movindoseconvelocidadesv1yv2, respectivamente, tienen: = 1 + 2 = 0 yJ = 1.v1 + 2.v2 = o.(v1 v2) Conv1.v2,unacorrientenetafluyeconcargacero.Estoes tpicoenmetalesdondeloselectronesestnlibresparafluir, v.At dS Todalacargadentrode estevolumenpasara travsdedSenun tiempo At: AQ = .v.At.dS FIG. 42.- La corriente es proporcional a la componentedelavelocidaddelas cargas perpendicular a la superficie. J.LLAURY 76 TEORIA ELECTROMAGNETICA mientrasquelosncleosqueestnopuestamentecargados permanecen estacionarios. LacorrientetotalI,unescalar,quefluyeatravsdeuna superficie macroscpica, es entonces exactamente la suma de las corrientesdiferencialesdetodoslosportadoresdecargaatravs de cada elemento deferencial de superficie: }}=SS d J I .(202) Considrese ahora el flujo de carga a travs del volumen cerrado V con superficie S, de la Fig. 43. Despus de un tiempo At, en que lacargadentrodelvolumenprximaalasuperficieycon componentedevelocidadhaciafuerasaldrdelvolumen, mientrasquelacargaqueestfueradelvolumenyconuna componentedevelocidadhaciaadentro,entraralvolumen.La diferencia de carga total es transportada por la corriente: ( ) ( ) | |} A + = AVdV t t t Q . }} }}A = A = AS SS d t J S d t v Q . . . . . (203) Elsignonegativoenelsegundomiembroesnecesariocuando est en la direccin de dS, la carga ha dejado el volumen as que lacargaencerradadecrece.Aldividir(203)entreAtytomarel lmitecuandoAt0,seusa(199)paradeducirlaecuacin integral de la conservacin de la carga: 0 . . =cc+ }}} }}V SdVtS d J (204) Utilizandoelteoremadeladivergencia,laintegraldesuperficie puede convertirse en una integral de volumen: 0 . 0 . . =cc+ V =cc+ V}}}((

tJ dVtJV (205) Donde se obtiene la forma diferencial puesto que la integral debe ser vlida para cualquier volumen, de modo que el trmino entre corchetes debe ser cero en cada punto. De la Ley de Gauss (27): c= V = V D E . .(27) (204) y (205) tambin pueden escribirse como: 0 . 0 . =cc+ V =cc+ |.|

\||.|

\|}}tDJ dStDJS (206) J.LLAURY 77 TEORIA ELECTROMAGNETICA dondeJsellamadensidaddecorrientedeconduccin,yD/t recibe el nombre de densidad de corriente de desplazamiento. Esta es la forma del campo elctrico, anloga a la ley de corrientes deKirchoffenquelasumaalgebraicadelascorrientesenun nodo es cero. Laecuacin(296)enformaequivalenteexpresaqueelflujoneto de la corriente total, conduccin ms desplazamiento, es cero, por loquetodaslascorrientesqueentranalasuperficiedebensalir deella.Lacorrientededesplazamientonoincluyeningn transportedecarga,asquelacorrientequevaraconeltiempo puedesertransmitidaatravsdelespaciosinportadoresde carga.Bajocondicionesestticas,lacorrientededesplazamiento es cero. 6.2.MODELODECONDUCCIONENGASESCARGADOS.LEYDE OHM PUNTUAL a)Ecuaciones Enmuchosmateriales,incluyendolosbuenosconductores comolosmetales,gasesionizadosysolucioneselectrolticas, ascomolosmalosconductores,comosemiconductoresy aisladoresconprdidas,losportadoresdecargapueden modelarse clsicamente como un gas ideal dentro de un medio llamado plasma. Suponiendo que se tengan dos portadores de carga de igual magnitud pero de signo opuesto q, con masas m,ydensidades,respectivamente.Estascargaspueden serhuecosyelectronesenunsemiconductor,iones opuestamentecargadosenunasolucinelectroltica, electrones y ncleos en un metal. Cuando se aplica un campo elctrico,lascargaspositivassemuevenenladireccindel campomientrasquelascargasnegativaslohacenenla direccinopuesta.Estascargaschocanconelmedioalas V FIG. 43.- El cambio neto de la carga total dentro de un volumen es igual a la diferencia de la carga que entra y la que sale en un pequeo tiempo At J.LLAURY 78 TEORIA ELECTROMAGNETICA frecuencias de + y-, respectivamente, el cual entonces acta comoviscosidadodisipadordefriccinoponindoseal movimiento. Adems de las fuerzas elctricas y de friccin, las partculas ejercen una fuerza sobre ellas mismas mediante un trminodepresindebidoalagitacintrmicoqueest presente,ansilaspartculasnoestuvierancargadas.Para un gas ideal la presin parcial p es: T k n p . . = (207) donde: n es la densidad del nmero de cargas, T, es la temperatura absoluta, y K, es la constante de Boltzmann (k = 1.38 x 10-23 J/K) La fuerza neta de la presin sobre el pequeo volumen que se muestra en la Fig. 44, es: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )z y x kzz z p z pjyy y p y pixx x p x pfpA A A)`((

AA + ++((

AA + +((

AA + =. . . .. . + + + + ++ + + + + + + + + + + + + v E p(z + Az) p(y + Ay) p(x + Ax) p(y) p(x) p(z) Az Ax Ay FIG.44.-LaleydefuerzadeNewton,aplicadaaun pequeovolumenrectangularquesemuevecon velocidadvyencierracargaspositivascondensidad denmeron.Lapresinactanormalmentehaciael interior de cada superficie y slo contribuye a la fuerza neta si es diferente sobre caras opuestas. J.LLAURY 79 TEORIA ELECTROMAGNETICA dondeseobservaquelapresinsolamenteejerceunafuerza netasobreelvolumensiesdiferentesobrecadasuperficie opuesta.Amedidaqueelvolumensecontraeauntamao diferencial,lostrminosdepresin,delaltimaexpresin, definenderivadasparciales,demodoqueladensidadde fuerza volumtrica viene a ser: p kxpjxpixpz y xfpzyxLimV =|.|

\|cc+cc+cc =||.|

\|A A A A A A. .. .000(208) Entonces,utilizando(206)(208),lalaeydefuerzade Newton,paracadaportadordecargadentrodelpequeo volumen, es:

( ) T k E qtvnnv m m. . .1. . . . V =ccv(209) donde el campo elctrico E se debe al campo aplicado msel campo generado por las cargas, tal como se obtiene al aplicar la Ley de Gauss. b)Conduccin arrastre difusin Acausadequeenmuchosmaterialeslasfrecuenciasde colisin son tpicamente del orden de ~ 1013 Hz, los trminos deinerciaen(209)frecuentementesedesprecian.Eneste lmite, se puede resolver fcilmente (209) para la velocidad de cada portador de carga: ( )((

V =

|.|

\|= = =00;2.21.22 2xxUSenhLU CoshLEdxdUd dx (221) Lossignosdiferentesdelarazcuadradasonnecesarios porqueelcampoelctricoestdirigidoensentidocontrarioa cadaladodelelectrodo.Elpotencial,porconsiguiente, implcitamente se obtiene por integracin directa: ( )( )((

=00; exp2 /2 /xxLxU TanhU Tanhd o (222) La longitud de Debye describe de este modo las caractersticas delongitudsobrelasqueelpotencialaplicadoejerce influencia.Enmuchosmaterialesladensidaddelnmerode portadores fcilmente es del orden de no ~ 10 20 /m3, de modo que a la temperatura ambiente (T ~ 293 K), Ld es tpicamente del orden de 10- 7 m. c)La Ley de Ohm Se ha visto que las cargas mviles en un sistema descrito por lasecuacionesdearrastredifusinseacumularcercade unacargadepolaridadopuesta,ytiendenaproducirun efecto de blindaje para distancias mayores que la longitudde Debye. Debido a que esta distancia es, por lo general, mucho menorquelasdimensionescaractersticasdelsistema,la mayoradelasregionesdelespaciofueradelblindajede Debyesonneutrasconigualcantidaddedensidaddecarga positiva y negativa o. En esta regin, el trmino de difusin de(212)esdespreciable,porquenohaygradientesde densidad de carga. Entonces, la densidad de corriente total es proporcional al campo elctrico: ( ) ( ) E E n q v v J J Jo o. . . . . o = + = = + = + + + (223) dondeosellamaconductividadhmicay(223)eslaforma peculiar de la Ley de Ohm. Algunasvecesresultamsconvenientetrabajarconla recprocadelaconductividad(O=1/o)llamadaresistividad elctrica.CuandolaLeydeOhmseavlida,lacarganetaes cero,noproporcionandoningunacontribucinalaLeyde Gauss. 6.3.CONDICIONESDEFRONTERADELOSCAMPOSEyD,yLA DENSIDAD DE CORRIENTE J Enmuchosproblemashayunasuperficiedediscontinuidadque separadosmaterialesdistintos,talescomounconductoryun J.LLAURY 83 TEORIA ELECTROMAGNETICA dielctricodiferentesdielctricos.Sedebedeterminarcmo cambian los campos a medida que se cruza la entrecara en la que las propiedades de los materiales cambian bruscamente. a)Componente tangencial de E ( ) 01 2 2 1= = E E u E En t t (224) b)Componente normal de D ( ) o o = = 1 2 2. 1 D D u Dn Dn n (225) Siunadelasregionesesunconductorperfecto,concampo elctricointeriornulo,ladensidadsuperficialdecargasobre lasuperficieesexactamenteigualalacomponentenormal Componente del campo D en la superficie del conductor. D un. o(226) dL 1 2 un E1 E2 FIG.46.-Lacomponentetangencialdelcampo elctrico es continua a travs de la frontera Et1 Et2 1 2 un D1 D2 FIG. 47.- La componente normal del vector de desplazamientoesdiscontinuaenla densidad de carga superficial de carga libre o dS - dS + + + + + ++++ + J.LLAURY 84 TEORIA ELECTROMAGNETICA c)Normal de J Aplicando la ecuacin de la conservacin de la corriente (205) alamismasuperficiegaussianadelacajadelaFig.47, resultannuevamentecontribucionesslodelassuperficies superior e inferior: ( ) 01 2 1 2. =((

cc+ D DtJ J un dondesesuponequenofluyencorrientessuperficialesalo largodelaentrecara.Apartirde(225),alrelacionarla densidad de carga superficial con discontinuidad de la normal D, esta condicin de frontera puede tambin escribirse como: ( ) 01 2. =cc+ tJ J uno (227) quedicequesilacorrientequeentraaunasuperficiees diferente de la corriente que sale, la carga se ha acumulado en laentrecara.Enelestadoestacionario(cd),lacomponente normal de J es continua a travs de la frontera. 6.4.RESISTENCIA ELECTRICA a)FORMULA GENERALIZADA DE LA RESISTENCIA ELECTRICA DosconductoressemantienenaunaddpUdentrodeun medioconductoryencadaunocirculaunacorrientetotalI como se ilustra en la Fig. 48.Alaplicarlaintegraldesuperficiedelaconservacindela carga (204), a la suoperficie S que rodea a los dos electrodos, peroqueestlosuficientementealejadademodoqueJyD seandespreciablementepequeos,seobservaquelasnicas contribuciones de corriente diferentes de cero proceden de los alambres terminales que pasan a travs de la superficie. Estas contribucionesdebensumarceroparaquelascorrientes tenganigualmagnitudperofluyanensentidocontrario.De manerasimilar,alaplicarlaconservacindelacargaala superficie S que encierra exactamente al electrodo superior, se demuestraquelacorrienteIqueentraalelectrodoporel alambredebeserexactamenteigualalacorrientetotal (conduccin ms desplazamiento) que sale del electrodo. Esta corrientetotalviajahaciaelelectrodoopuestoysalevael alambre conductor. Larelacindeestadoestacionario(cd)entreelvoltajeyla corriente de los dos electrodos, de la Fig. 48, se define como la resistencia: J.LLAURY 85 TEORIA ELECTROMAGNETICA IUR =(228) Paraunageometraarbitraria(228)puedeexpresarseen trminos del campo elctrico como: }}}}}}= =SCSCS d EL d ES d JL d ER. ....o (229) DondeSesunasuperficiequerodeacompletamenteaun electrodoyLescualquiertrayectoriaqueunelosdos electrodos. Se debe observar que la integral de lnea del campo elctricosetomaalolargodelalneaquevadesdeel electrodo de potencial alto al de potencial bajo, de modo que la diferencia de voltaje U sea igual a la integral de lnea positiva. De (229), se puede ver que la resistencia nicamente depende delageometraylaconductividadoynodelamagnituddel campo elctrico mismo. Si se aumentara el voltaje or cualquier factor, el campo tambin aumentara por este mismo factor en todas partes, es decir este factor se cancelara. La conductividad o puede ser una funcin de la posicin. b)RESISTOR DE PLACAS PARALELAS ELECTRODO (+) ELECTRODO (-) S So U = }} J.dS J =o E L I I FIG.48.-Unvoltajeaplicadoentredoselectrodos dentrodeunmediohmicohacequeunacorriente entre por un electrodo y salga por el otro. J.LLAURY 86 TEORIA ELECTROMAGNETICA Doselectrodosconductoresperfectos,deplacasparalelas,de formaarbitraria,dereaAyseparacinLencierranun cilindro de material cuya conductividad hmica es o, como en laFig.49.Lacorrientedebefluirtangencialmenteala superficie externa, ya que el medio exterior al ser espacio libre tieneconductividadnula,demodoqueningunacorriente puede pasar a travs de la entrecara. Debido a que la componente tangencial del campo elctrico es continua,existeuncampoenlaregindelespaciolibreque decrecealaumentarseladistanciadesdeelresistor.Este campo tridimensional es difcil de calcular porque depende de tres coordenadas. Elcampoelctricodentrodelresistoresmuchomssencillo deevaluarporqueesperpendicularaloselectrodosenla direccin x. La Ley de Gauss, sin carga volumtrica, dice que este campo es constante: ( )o xxE EdxdEE = = = V 0 0 . cSinembargo,laintegraldelneadeEentreloselectrodos debe ser el voltaje aplicado U: }= =LLUE U dx Eo x0 La densidad de corriente, por lo tanto, es LJ = o.E ++ + + ++ + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - -- - I I FEM FIG. 49.- Resistor plano paralelo con geometra generalizada de placas A A J.LLAURY 87 TEORIA ELECTROMAGNETICA ASLUdS J I ...}} ||.|

\|= =o Dondelaintegraldesuperficiesereduceaunsimple producto,porqueladensidadconstantedecorrienteincide perpendicularmentesobreloselectrodos.Laresistenciaes entonces: ALIUR. o= =(230) c)RESISTOR COAXIAL.- Doscilindroscoaxiales,conductoresperfectosdelongitudL, radiointeriorR1yexteriorR2,semantienenaunaddpUy encierranunmaterialcuyaconductividadhmicaeso,como enlaFig.50.Entonces,elcampoelctricodebeser perpendicular a los electrodos, as que sin carga libre la ley de Gauss requiere que: ( ) ( )rCE E rr rEr r= =cc = V 0 . .10 . cdondecesunaconstantedeintegracindeterminadadela condicin de voltaje }||.|

\|= = =212121) ( .RRRRrRRLnUC U r Ln C dr E La densidad de corriente es: ||.|

\|= =12..RRLn rUE Jr roo siendo constante la corriente total a cualquier radio r R1 R2 L Conductividad = o +- FIG. 50.- Resistor coaxial U J.LLAURY 88 TEORIA ELECTROMAGNETICA } }= =||.|

\|= =LzrRRLnL Udz d r J I0. 2012. . . . 2. . .t|o t| de modo que la resistencia es: LRRLnIUR. . . 212o t||.|

\|= =(231) d)Resistor esfrico Seprocededelamismaformaparadosesferasconcntricas queseanconductoresperfectos,aunaddpU,conradio interior R1 y radio exterior R2, tal comose muestra en laFig. 51. Sin carga libre, la simetra requiere que el campo elctrico sea puramente radial, as que la ley de Gauss produce: ( ) ( )2220 . .10 .rCE E rr rEr r= =cc = Vcdondecesunaconstantequesedeterminaporlas condiciones del voltaje como ||.|

\|= = =}2 11 1.2121R RUC U dr ERRRRrrC Elcampoelctricoyladensidaddecorrienteson inversamenteproporcionalesalcuadradodeladistancia radial r: R1 R2 Medio de conductividad = o + - FIG.51.-Resistoresfricoformadopor dos esferas concntricas. U J.LLAURY 89 TEORIA ELECTROMAGNETICA ||.|

\|= =2 121 1...R RrUE Jr roo de modo que la densidad de corriente es constante a cualquier radio r } }= =||.|

\|= =t|tuo t| u u. 20 02 121 1. . . 4. . . .R RUd d Sen r J Ir Finalmente, la resistencia es: o t. . 41 12 1||.|

\|= =R RIUR(232) 6.5.CAPACITANCIA a) CAPACITANCIA PARA CUALQUIER GEOMETRIA Paradoselectrodosdecualquiergeometraenunmedio dielctrico,lacapacitanciasedefinecomolarelacindelacarga libre total de un electrodo a la diferencia de potencial: UQC =Pordefinicin,lacapacitanciasiempreespositivaypara dielctricos lineales es nicamente una funcin de la geometra y permitividad dielctrica, y no de los niveles de voltaje.

}}}}}}= = =LSLSL d ES d EL d ES d DUQC. ... .. .oco (233) b) RELACINENTRELACAPACITANCIAYLARESISTENCIAPARA DISPOSITIVOS DE LA MISMA GEOMETRA Paralamismaconfiguracin,conunconductorhmico homogneoparaundielctricolineal,elproductoresistenciax capacitancia es una constante independiente de la geometra:

occo= =}}}}}}LSSLL d ES d ES d EL d EC R.. ... ... (234) Deestamanera,paraunaconfiguracindada,siseconocela resistencia,bien,lacapacitancia,laotracantidadpuede conocerseinmediatamenteapartirde(234).Asquesepuede escribirinmediatamentelascapacitanciasdeloscondensadores: planoparalelo,coaxialyesfrico,usando(234)ylosresultados J.LLAURY 90 TEORIA ELECTROMAGNETICA dadospor(230),(231)y(232).Acontinuacin,losgrficospara loscondensadores:planoparalelo,coaxialyesfriconosehan dibujado por ser muy similares ( iguales) al de los resistores: de placas paralelas (Fig. 49), coaxial (Fig. 50) y esfrico (Fig. 51).c) CAPACITOR PLANO PARALELO LAC. c=(235) d) CAPACITOR COAXIAL ||.|

\|=12. . . 2RRLnLCc t (236) e)CAPACITOR ESFERICO ||.|

\|=2 11 1. . 4R RCc t(237) 6.6.LA TIERRA Y SU ATMOSFERA COMO UN CAPACITOR ESFERICO CON PERDIDAS Entiempodespejado,enlasuperficieterrestreexisteuncampo elctricocdcuyaintensidadaproximadaesde100V/mdirigido radialmente hacia el centro de La Tierra. La magnitud del campo elctricodecrececonlaalturasobrelasuperficiedelglobo terrqueo,acausa delaconductividad elctricanouniformeo(r) de la atmsfera, y aproximadamente es: ( ) ( ) R r A ro + = . o o(238) donde las mediciones han demostrado que: 1410 3 ~oo , S/m (239) 2010 5 ~ A(240) 610 37 . 6 ~ R (Radio Terrestre Promedio), m Laconductividadaumentaconlaalturadebidoalaradiacin csmica en la atmsfera inferior. A causa de la radiacin solar, la atmsfera acta como un conductor perfecto arriba delos 50 km de altitud. En estado estacionario cd, la conservacin de la carga dada por (204), con simetra esfrica, requiere: ( ) ( )222. 0 .1.rCE r J J rr rJr r r= = =cc= V o J.LLAURY 91 TEORIA ELECTROMAGNETICA dondelaconstantedeintegracinCsecalculaalespecificarel campo elctrico superficial: ( ) m