Libro mates 1º ESO Avanza
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7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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1
Matemáticas 1 ESO
El libro Matemáticas para 1.º de ESO es una obra colectivaconcebida, diseñada y creada en el departamentode Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L.,dirigido por Enrique Juan Redal.
En su realización ha participado el siguiente equipo:M.ª Dolores ÁlvarezJoaquín HernándezAna Yolanda MirandaM.ª Rosario MorenoSusana ParraManuela RedondoRaquel RedondoM.ª Teresa SánchezTeresa SantosEsteban Serrano
EDICIÓN
Angélica EscoredoCarlos Pérez
DIRECCIÓN DEL PROYECTODomingo Sánchez Figueroa
AVANZA
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Índice
1. Números naturales ....................................................... 6
Antes de empezar la unidad ........................................................... 7
1. Números naturales. Sistemas de numeración .......................... 8
2. Multiplicación de números naturales ...................................... 11
3. División de números naturales ................................................ 12
4. Potencias de números naturales .............................................. 13
5. Operaciones con potencias ...................................................... 14
6. Raíces cuadradas ..................................................................... 16
7. Jerarquía de las operaciones .................................................... 17
Lo esencial .................................................................................... 18
Actividades ................................................................................... 20
2. Divisibilidad.................................................................... 24
Antes de empezar la unidad ........................................................... 25
3. Múltiplos de un número .......................................................... 26
4. Divisores de un número .......................................................... 27
5. Números primos y compuestos ............................................... 28
6. Factorización de un número .................................................... 29
7. Máximo común divisor ........................................................... 32
8. Mínimo común múltiplo ......................................................... 33
Lo esencial .................................................................................... 34
Actividades ................................................................................... 36
3. Fracciones ....................................................................... 40
Antes de empezar la unidad ........................................................... 411. Números fraccionarios ............................................................ 42
2. Fracciones propias e impropias ............................................... 43
3. Fracciones equivalentes ........................................................... 44
4. Comparación de fracciones ..................................................... 47
5. Suma y resta de fracciones ....................................................... 49
6. Multiplicación de fracciones .................................................... 50
7. División de fracciones .............................................................. 50
8. Jerarquía de las operaciones con fracciones ............................. 51
Lo esencial .................................................................................... 52
Actividades ................................................................................... 54
4. Números decimales ..................................................... 58
Antes de empezar la unidad ........................................................... 59
1. Números decimales ................................................................. 60
2. Suma y resta de números decimales ........................................ 62
3. Multiplicación de números decimales ..................................... 63
4. División de números decimales ............................................... 64
5. Números decimales y fracciones .............................................. 66Lo esencial .................................................................................... 68
Actividades ................................................................................... 70
5. Números enteros........................................................... 74
Antes de empezar la unidad ........................................................... 75
1. Números enteros ..................................................................... 76
2. Comparación de números enteros ........................................... 77
3. Suma y resta de dos números enteros ...................................... 78
4. Suma y resta de varios números enteros .................................. 80
6. Multiplicación y división de números enteros ...................... 82
7. Operaciones combinadas con números enteros .................... 83
Lo esencial ................................................................................. 84 Actividades ................................................................................ 86
6. Iniciación al Álgebra .................................................... 90 Antes de empezar la unidad ........................................................... 91
1. Lenguaje algebraico .............................................................. 92
2. Expresiones algebraicas ........................................................ 93
3. Monomios ............................................................................ 94
4. Ecuaciones ............................................................................ 95
5. Elementos de una ecuación .................................................. 95
7. Resolución de ecuaciones de primer grado ........................... 96
8. Resolución de problemas ...................................................... 97
Lo esencial ................................................................................. 98
Actividades ................................................................................ 100
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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7. Sistema Métrico Decimal........................................... 104
Antes de empezar la unidad ........................................................... 1051. Magnitudes y unidades ............................................................ 106
2. Unidades de longitud .............................................................. 1073. Unidades de capacidad ............................................................ 110
4. Unidades de masa ................................................................... 1115. Unidades de superficie ............................................................ 112
6. Unidades de volumen .............................................................. 114Lo esencial .................................................................................... 116
Actividades ................................................................................... 118
8. Proporcionalidad numérica....................................... 122
Antes de empezar la unidad ........................................................... 1231. Razón y proporción ................................................................. 124
2. Relación de proporcionalidad entre dos magnitudes ............... 1253. Porcentajes .............................................................................. 129Lo esencial .................................................................................... 132
Actividades ................................................................................... 134
9. Rectas y ángulos ........................................................... 138
Antes de empezar la unidad ........................................................... 139
1. Rectas, semirrectas y segmentos .............................................. 1402. Ángulos ................................................................................... 142
3. Operaciones con ángulos ......................................................... 1444. Sistema sexagesimal ................................................................. 146Lo esencial .................................................................................... 148
Actividades ................................................................................ 150
10. Polígonos y circunferencia ...................................... 154
Antes de empezar la unidad ........................................................... 1551. Polígonos ................................................................................. 1562. Triángulos ............................................................................... 158
4. Teorema de Pitágoras .............................................................. 1595. Cuadriláteros ........................................................................... 160
6. Propiedades de los paralelogramos .......................................... 1617. Circunferencias ........................................................................ 162
8. Posiciones relativas en el plano ................................................ 1639. Polígonos regulares e inscritos ................................................. 163
Lo esencial .................................................................................... 164 Actividades ................................................................................... 166
11. Perímetros y áreas ...................................................... 170
Antes de empezar la unidad ........................................................... 1711. Perímetro de un polígono ........................................................ 172
2. Longitud de la circunferencia .................................................. 1733. Área de los paralelogramos ...................................................... 174
4. Área de un triángulo ................................................................ 1765. Área de un trapecio ................................................................. 177
6. Área de un polígono regular .................................................... 1787. Área del círculo ....................................................................... 178
8. Área de una figura plana .......................................................... 179Lo esencial .................................................................................... 180
Actividades ................................................................................... 182
12. Poliedros y cuerpos de revolución ........................ 186
Antes de empezar la unidad ........................................................... 1872. Poliedros ................................................................................. 188
3. Prismas .................................................................................... 1894. Pirámides ................................................................................. 190
5. Poliedros regulares .................................................................. 191
6. Cuerpos de revolución ............................................................ 192Lo esencial .................................................................................... 194
Actividades ................................................................................... 196
13. Funciones y gráficas .................................................. 200
Antes de empezar la unidad ........................................................... 201
1. Rectas numéricas ..................................................................... 2022. Coordenadas cartesianas ......................................................... 2033. Funciones ................................................................................ 207
4. Interpretación de gráficas ........................................................ 208Lo esencial .................................................................................... 210
Actividades ................................................................................... 212
14. Estadística y Probabilidad ....................................... 216
Antes de empezar la unidad ........................................................... 2172. Tipos de variables .................................................................... 218
3. Frecuencias. Tablas de frecuencias ........................................... 2194. Gráficos estadísticos ................................................................ 220
6. Sucesos. Espacio muestral ....................................................... 2228. Regla de Laplace ...................................................................... 223Lo esencial .................................................................................... 224
Actividades ................................................................................... 226
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Esquema de unidad
Lectura inicial: Muestra laimportancia de lo quevas a estudiara través de episodiosrelacionados con lahistoria de lasMatemáticas.Se proponenactividades quete invitan a investigarsobre el personaje de
la lecturay la importancia desus aportaciones.
Antes de empezarla unidad… Aparece el bloquede contenidosprevios necesariospara comprenderlo que vas a estudiar.Además, mediantela evaluación inicial,podrás afianzarlos contenidosrepasados.
Páginas de contenidos: En ellasencontrarás los contenidos
y procedimientos básicos apoyadosen gran cantidad de ejemplos resueltos.
En la mayoría de las páginas se incluyela sección ANTES DEBES SABER… donde se repasan contenidoso procedimientos que debes conoceral enfrentarte a los nuevos contenidos.Esta sección también se refuerzacon ejemplos resueltos.
Al final de cada página se proponenejercicios que debes saber resolvera partir de los contenidos aprendidos.
La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya quese trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales,de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.
3
1. AunqueLeonardo
daVinci esmás
conocidopor
su pintura,
su contribución alas
matemáticastambién
esimportante.
Averiguaalgunade
susaportaciones.
2. Buscainformación
sobreLuca Pacioli
ylostrabajosque
realizócon Leonardo
daVinci.
3. Investigasobrelas
aportacionesalas
matemáticasdeLuca
Pacioli ysu relación
con lasfracciones.
DESCUBRELAHISTORIA...
Entre la proporción divinay la humana
Da Vinci entró en la sala donde estaba Luca Pacioliexaminando las ilustraciones de su libro.
–Vuestro trabajo me parece fantástico, Leonardo–dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos.
–Gracias, padre Pacioli –respondió Da Vincie hizo una leve inclinación–. Vuestra obra,La divina proporción, lo merecía.
–Acerté al encargaros las ilustracionesdel libro, pues sabía que el temade las proporciones os apasionaríadesde el momento en que meenseñasteis el boceto del HombredeVitruvio –remarcó Pacioli.
–Las proporciones humanas que Vitruvio recoge en su tratadose ajustan a los cánones debelleza del arte actual –explicóDa Vinci–. ¿Sabéis quela distancia del codo alextremo de la mano es unquinto de la altura de un hombre,que la distancia del codo a la axilaes un octavo o que la longitudde la mano es un décimo?
Fracciones
Antes de empezar la unidad...
Enesta unidad
aprenderása…
• Manejarlasdistintas
interpretaciones
deunafracción.
• Identificar yhallar
fracciones
equivalentes
auna fraccióndada.
• Compararyordenar
fracciones.
• Realizaroperaciones
confracciones.
PLANDETRABAJO
LECTURADE FRACCIONES
Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador.
7
5
Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresael denominador como se indica en la siguiente tabla:
Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Se lee m edi os t erci os cuart os quint os sext os sépt i mos octavos novenos déci m os
Si el denominador es mayor que 10, se lee el númeroañadiendo la terminación -avos.
7
5se lee cinco séptimos
5
2se lee dos quintos
Cuando el denominador es mayor que 10:
11
3se lee tres onceavos
F Denominador
Numerador F
F
F
F
F
F
F
Las fracciones seutilizanpara expresar cantidadesincompletas dela unidad.
EVALUACIÓNINICIAL
1 Indicacómoseleen lassiguientesfracciones.
a)4
9c)
2
3e)
12
8
b)13
5d)
5
1f)
15
11
2 Escribecómoselee.
a) Unafraccióncon numerador3 ydenominador5.
b)Una fracciónconnumerador2 ydenominador7.
c) Unafraccióncon denominador9y numerador4.
d)Una fraccióncondenominador6y numerador17.
1. Escribeenformade fracción.
a) S ie te no veno s. c ) Diez do ce avo s.
b) Dos décimos. d) Trece sextos.
41
301 _Unid d03.indd 40 41 05/0 /11 08:1
Lamedidade un ángulose
expresaen gradosy semide
con el transportador.
RECUERDA
Triángulos
Según sean sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
Equilátero: tiene los treslados y los tres ángulosiguales.
a= b= c
AT= BU= C Uab
c A
C
B
Isósceles:tiene doslados y dos ángulosiguales.
a= b
AT= BUab
c A
C
B
Escaleno: tiene lostres lados y los tresángulos desiguales.
ab
c A
C
B
Acutángulo: tiene los tresángulos agudos.
ab
c A
C
B
Rectángulo: tieneunángulo recto.
ab
c A
C
B
Obtusángulo: tieneunángulo obtuso.
ab
c A
C
B
Relacionesentreloslados ylosángulos
ANTES, DEBESSABER…
Cómosedespejaen unaecuación
• S i untérminoestá sumando en
unmiembro, pasarestandoalotro.
Ysiestá restando, pasasumando.
• S i untérminoestámultiplicando
enunmiembro, pasadividiendoalotro.
Ysiestá dividiendo, pasamultiplicando.
Dado un triángulo ABC &
, siempre se cumple que:
• La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°.
EJEMPLO
3 Calcula elánguloquefalta.
AU + BV + CV = 180°
35°+ 45°+ CV = 180°
CV = 180°- 80°= 100°
2
3 Calcula elánguloquefalta.
LOQUEDEBESSABERRESOLVER
2 Clasifica estetriángulo
segúnsus lados
ysus ángulos.
Teorema de Pitágoras
Un triángulo rectángulo es el que tiene un
ángulo recto (90°). Los lados que forman elángulo recto se llaman catetos, y el lado ma-yor, hipotenusa .
a es la hipotenusa, b y c son los catetos.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusaes igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 = b2 + c2
ANTES, DEBESSABER…
Quées laraíz cuadradadeun número
La raízcuadrada deunnúmeroesotronúmeroqueelevadoalcuadrado
es igualalprimero.
4 2= ,porque22= 4 62= 36,entonces 36 6=
EJEMPLOS
5 Sabiendoque,enuntriángulorectángulo,loscatetosmiden
3y 4 cm,respectivamente,¿cuántomidelahipotenusa?
Aplicandoel teoremade Pitágoras:
a a a a3 4 9 16 25 25 5 cm2 2 2 2
= + = + = = =" " "
6 Enuntriángulorectángulo,uncatetomide6 cm yla hipotenusa10cm.
¿Cuántomideelotrocateto?
Supongamosque el catetoconocidoes b:
a2 = b
2 + c2
a = 10,b=6-----" 102 = 62 + c
2 " 102 - 62 = c2 "c
2 = 64
" c 64 8 cm= =
El otrocatetomide8cm.
7 Compruebasiuntriángulocuyosladosmiden6,9 y 1 1cm,
respectivamente,puedeseruntriángulorectángulo.
Si esun triángulorectángulo, sedebecumplir el teoremadePitágoras:
1 1 1 21
6 9 11711 6 9
2
2 2
2 2 2!
=
+ =+" "2 Nose cumpleel teoremade Pitágoras.
Noexisteun triángulorectángulocuyosladosmidan 6, 9y 11cm.
4
B
C
A
a
c
b
G
Pasa restando
Eltriángulorectánguloes elúnicotriánguloque cumple
elteoremadePitágoras.
DATE CUENTA
Conociendola medida
deun catetoyla hipotenusa,
podemoshallar el otro
cateto:
b
a
c
b a c b a c
c a b c a b
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
= - = -
= - = -
"
"
18 Enestetriángulo
rectángulo,¿cuánto
mideelotrocateto?
25cm7cm
LOQUEDEBESSABERRESOLVER
17 Enuntriángulorectángulo,loscatetos
miden5y12 cm,respectivamente.
¿Cuántomedirálahipotenusa?
x+2= 7 " x= 7-2= 5 G
Pasa restando
2x=10 " x=2
105=
G
Pasa dividiendo
AV = 70°
30°110°
45°
35°
CV
CV
158 159
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Lo esencial: Esta doble páginaes de resumen y autoevaluación.
COMPRENDE ESTAS PALABRAS.Es el vocabulario matemáticotrabajado en esa unidad.
HAZLO DE ESTA MANERA. Son losprocedimientos básicos de la unidad.Cada procedimiento se introducemediante la resolución de una actividaden la que se muestra, paso a paso,un método general de resolución.
Y AHORA… PRACTICA. Son actividadesque te permitirán comprobar si dominaslos contenidos esenciales de esa unidad.
Lo esencial
COMPRENDEESTASPALABRAS
Sistema de numeración decimal
D. millarU. millar Centena Decena Unidad
3 5 1 4 2
30000 5000 100 40 2
Sistema de numeración romano
I= 1 V= 5 X= 10 L= 50
C= 100 D= 500 M= 1000
Multiplicación 34 ? 2 = 68
F ac tor es Pr od uc to
División
Potencia ? ? ? ?14 14 1 4 14 1 4 14
5
5veces
=1 2 3 4444 4444
Raízcuadrada 9 3= , porque32 = 9
9 3=Símbolo F
deraíz
F Raíz
Radicando
F
25 3
1 8
Dividendo F
Resto F
F Divisor
F Cociente
HAZLODEESTA MANERA
1. LEERNÚMEROS ROMANOS
Escribe en el sistemanumérico decimal
lossiguientes númerosromanos.
a)XXVII b) IVCXCVI
PRIMERO. Transformamoscadaletraen
su equivalenciaen el sistemanumérico
decimal, teniendoen cuentaquecada letra
en laqueapareceunarayitaencima,
semultiplicapor1000.
a) X10
X10
V5
I1
I1
b) I1 ? 1000
V5 ? 1000
C100
X10
C100
V5
I1
SEGUNDO. Examinamoslos números,
si un númeroes mayorque su número
anterior, lerestamosaestenúmeroel anterior.
a) X10
X10
V5
I1
I1
b) I1 ? 1000
V5 ? 1000
C100
X10
C100
V5
I1
TERCERO. Sumamoslos númerosresultantes.
a) X10
X10
V5
I1
I1
" 10+ 10+ 5+ 1+ 1= 27
b) I1 ? 1000
V5 ? 1000
C100
X10
C100
V5
I1
4000+ 100+ 90+ 5+ 1= 4196
144 4 2 4 443
5000- 10001 4 2 4 3
100-10
144 4 2 4 4434000
1 4 2 4 390
2. CALCULARUN PRODUCTOOCOCIENTE DEPOTENCIAS
Expresa, si se puede, con unasola potencia.
a) 6 7 ? 6
5 c) 67 ? 2
7 e) 6 7 ? 2
5
b) 67 : 65 d) 6 7 : 27 f) 67 : 25
PRIMERO. Estudiamossi son igualeslasbases
olosexponentesdelaspotencias.
a) yb) 67 y6 5 " Labasedelas dospotencias
eslamisma,6.
c)yd ) 67 y2 7 " Lasbases son distintas, pero
losexponentes iguales, 7.
e)yf) 67 y2 5 " Noson igualeslasbases
ni losexponen tes.
SEGUNDO.
• Si lasbases son iguales, sumamos
orestamoslosexponentes.
a) 6 7 ? 6
5 = 67+5 = 612
b) 67 : 65 = 67-5 = 62
• Si lasbasesno son iguales, perolos
exponentessí, multiplicamoso dividimos
lasbases.
c) 6 7 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127
d) 6 7 : 27 = (6: 2)7 = 37
• Si noson igualeslasbasesni
losexponentes, nosepuedeexpresar
comounasolapotencia.
e) 6 7 ? 2
5 = 67 ? 25
f) 67 : 25 = 67 : 25
Base Exponente
FF
Comprendeestas palabras
1. Escribeun númerodecuatrocifrasquetenga
lasmismasunidadesdemillarquedecenas
yunaunidad másquecentenas.
2. Completalasexpresionesparaquesean
ciertas.
a) 8 ? 4= 88 b) 3 ? 4= 42
3. En unadivisión, el dividendoes1 436, el divisor
es27y el cocientees53. Calculael resto.
4. Expresaen formade potencia, si sepuede.
a) 17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17 b) 13 ? 13 ? 13 ? 12
Leernúmerosromanos
1. Transformaestosnúmerosromanosen
númerosdel sistemadecimal.
a) CXXVI b) CMLIX c) IIICDLXXIV
Calcularun productoo cocientede potencias
6. Expresa, si sepuede, con unasola potencia.
a) 85 : 45 c ) 1 46 ? 23 e) 183 : 36
b) 74 ? 73 d) 214 ? 24 f) 12311 : 1235
Realizaroperacionescombinadasconpotencias
2. Expresamedianteunasolapotencia
lassiguientes operacionesentre potencias.
a ) ( 35)2 : (36 : 34) b )(98 ? 93 : 95) ?9: (92)3
Realizaroperacionescombinadas
10. Resuelveestas operaciones.
a) 7 ? (8- 3) : 5 + 12
b) 27: (9- 6)- 3 ? 4: 6
c) (12 ? 2- 18) ? 3: 6 + (8- 4) : 2- 1
YAHORA…PRACTICA
4. REALIZAROPERACIONESCOMBINADAS
Resuelve: PRIMERO.Resolvemoslos paréntesis.
SEGUNDO. Efectuamoslas multiplicaciones
ydivisi onesen el orden en el queaparecen.
TERCERO.Resolvemoslassumasyrestas.
100 ? (36-26) : 5- 10 : (16 - 6)=
= 100 ? 10 : 5- 10: 10=
= 1000 : 5- 1 =
= 200 - 1= 199
F F
F F F F
F
F
F F
2. REALIZAROPERACIONESCOMBINADASCON POTENCIAS
Expresamediante unasolapotencialassiguientesoperacionesentre potencias.
a) 7 5 ?(72)3
b) 48 : (42 ? 45)
PRIMERO. Resolvemoslasoperacionesquehayentreparéntesis.
a) 7 5 ? (72)3 = 75 ? 72?3 = 75 ?76
b) 48 : (42 ? 45)= 48 : 42+5 = 48 : 47
SEGUNDO. Serealizan lasmultiplicaciones ydivisiones depotencias en el orden en queaparecen,
deizquierda aderecha.
a) 7 5 ?76 = 75+6 = 711
b) 48 : 47 = 48-7 = 41 = 4
18 19
1 _Unidad 1.indd 1 -1 11 11:
Actividades
NÚMEROS DECIMALES
43. ● Descompón en unidadeslos siguientes
númerosdecimales.
44. ● Escribecómose leecadanúmero.
a) 6,125 b) 1,014 c) 34,046 d) 0,019
45. ● Completa.
a) En 3unidadeshay4décimas.
b) En 12decenashay4 centésimas.
c) En 5unidadeshay4milésimas.
d) En 8decenashay4diezmilésimas.
46. ● Escribelosnúmerosdecimalesque
correspondanencadacaso.
a ) 2 C 7 D 9 U 3 d
b ) 1 D 2 U 4 m
c ) 7 U 4 c
d ) 8 C 9 U 6 d
e ) 7 UM 6 D 7 c
f ) 4 CM 7 U 8 d 3 m
7. ● Realiza ladescomposición en unidades
de lossiguientes númerosdecimales.
a) 9,23 d) 4,065
b) 12,856 e) 8,004
c) 3,892 f) 65,903
47. ● Escribeconcifras.
a) Nuevedécimas.
b) Cuatrounidades quincecen tésimas.
c) Nueveunidadescientoochomilésimas.
d) Dosunidades mil diezmilésimas.
48. ● Escribelosnúmerosqueseanuna centésima
menor.a) 0,99 c) 0,01 e) 4,9
b) 1,4 d) 5,98 f) 1,099
49. ● Representaenlarectanuméricalosnúmeros9,3;12,12y4,133.
50. ● ¿Quénúmeroestárepresentadoen cadacaso?
a)3 4
9,71 9,72
b)
8. ● Indicaqué númerosestán representados
en estasr ectas.
a)6,2 6,3
9,83 9,84
b)
51. ● Completaco n el signo< o >, según
corresponda.
a) 0,2314 0,235 c) 3,874 3,85
b) 0,7104 0,83 d) 5,124 3,12
52. ● Ordena, de menor amayor: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2.
53. ● Ordena, de mayor amenor: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07.
9. ● Ordenade menor amayor.
a) 3,9; 3,899; 3,099; 3,901; 3,90001; 3,91
b) 7,999; 8,01; 7,898; 8,101; 8,2
c) 2,7; 2,703; 2,73; 2,7029; 2,70199
10. ● Copiaycompletacon númerosparaque
lasdes igualdadessean ciertas.
a) 6,145< 6,11
b) 0,734< 0,736
c) 0,407< 0,45
11. ●● Hallatodoslosnúmerosdecimalesque
cumplen lacondición que se indicaen cadacaso.
Después, ordénalosde mayor amenor.
a) 8,
Lasumadeestas
doscifrases9.
b) 0,El productodeestas
doscifrases24.
OPERACIONES CON NÚMEROSDECIMALES
12. ● Sumaestosnúmerosdecimales.
a) 7,45+ 9,03 c) 8,002+ 12,4
b) 0,834+ 12,8 d) 7+ 9,902
56. ● Calcula.
a) 32,35- 0,89 c) 87,65- 9,47
b) 81,002- 45,09 d) 4- 2,956
57. ● Efectúalas operaciones.
a) 4,53+ 0,089+ 3,4
b) 7,8+ 0,067+ 2,09+ 0,7
c) 123+ 23,09- 45,7- 0,28
d) 78,098- 43,68- 0,008
13. ● Efectúalassiguientesoperaciones.
a) 0,974+ 1 25 ,8 6 c ) 8 2, 46+ 99,6- 70,07
b) 29- 3,756 d) 103,5- 89,98+ 23,378
HAZLOASÍ
¿CÓMOSE CALCULAEL TÉRMINODESCONOCIDO EN
UNASUMAOUNARESTADE NÚMEROSDECIMALES?
14. Hallael término que faltapara que el resultado
seacorrecto.
a) 12,99+ 4 = 98,3
b) 7,45- 4 = 3,99
c)4 - 7,774= 987,9
PRIMERO. Seidentifica el términodesconocido.
a) Esuno delossumandosdeuna suma.
b) Es el sustraendodeunaresta.
c) Es el minuendodeunaresta.
SEGUNDO. Si el términoes:
• Un sumando, seobtiene restandoal resultado
el otrosumando.
• El sustraendo, seobtienerestando al minuendo
el resultado.
• Elminuendo, seobtiene sumandoal resultado
el sustraendo.
a) 4 = 98,3- 12,99= 85,31
b)4 = 7,45- 3,99= 3,46
c) 4 = 987,9+ 7,774= 995,674
15. ●● Determina el término que faltaen cada
operación. Explicacómo lo haces.
a) 39,25+ 4= 125,86
b)17,129-4= 7,464
c) 99,542-4= 66,413
d)4- 303,987= 259,137
e) 4 - 25,06= 427,07
f) 4 + 33,98= 59,01
58. ●● Completa.
a) 3,313+ 4= 6,348
b)4+ 1,47= 5,8921
c) 4,56- 4 = 0,936
d)4- 2,431= 1,003
59. ●● Resuelve.
a) Suma4 centésimasa4,157.
b) Resta3décimasa1,892.
c) Suma7 milésimasa5,794.
d) Resta23centésimasa 3,299.
e) Suma3 milésimasa1,777.
16. ●● Efectúa estas operaciones.
a) Suma8décimasy7 centésimasa56,07.
b) Suma3 unidadesy6 milésimasa24,36.
c) Resta8unidadesy5 décimasa 76,008.
d) Resta3décimasy8 milésimasa0,892.
e) Suma5decenasy4 décimasa 25,456.
f) Resta6decenasy 5décimasa82.
60. ● Calcula.
a) 3,45 ?0,018 g) 0,045 ? 1000
b) 8,956 ?14 h) 0,65 ? 10000
c) 3,4 ?0,92 i) 3,78 ? 0,1
d) 123,4 ?76 j) 794,2 ? 0,01
e) 0,35 ?10 k) 24,85 ? 0,001
f) 1,4 ?100 l) 56 ? 0,0001
61. ● Resuelve.
a) 5 : 0,06 g) 30 : 10
b) 8 : 1,125 h) 636 : 100
c) 17,93 : 7 i) 1296 : 10 000
d) 7 : 25 j) 55,2 : 0,1
e) 7,24 : 1,1 k) 202,2 : 0,01
f ) 8 ,3 7 : 4 ,2 03 l ) 13 8, 24 : 0 ,0 00 1
43,897
135,903
29,876
Parte entera
C D U d c m
Parte decimal
70 71
1 _Unidad_ .indd - 1 11 :
Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados
por contenidos. Todos los enunciadosvan precedidos por un icono queindica su grado de dificultad.
HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltosque puedes tomar como modelopara afianzar procedimientostrabajados en la unidad.
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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El profeta de los números
Ramanujan se levantó, dio tres pasos que le colocaron
en el centro del despacho de Hardy, en el Trinity Collegede Cambridge, y continuó el relato de su viaje.
En un alarde de equilibrio, el barco, un vapor que hacela ruta entre la India e Inglaterra, continuaba su caminosobre una imaginaria línea recta que el temporal parecíaquerer quebrar.
Yo pasé la tormenta en el camarote, petrificado,sin poder hacer otro movimiento que los provocados por el vaivén del barco, apretando contrami pecho el cuaderno de los descubrimientosmientras pensaba que, tal vez, todose perdería en el fondo del mar.
La noche avanzaba y el sueño se fueapoderando de mi consciencia, al despertar las nubes habían dejado paso al sol y los negros presagios de mi mente habíansido sustituidos por estas revelaciones.
En ese momento, el joven indio le enseñódos páginas del ajado cuadernoa su interlocutor.
El relato del viaje es apasionante perono se puede comparar con estossorprendentes resultados,si una inspiración divinate los ha revelado,en verdad se puededecir que eres«el profetade los números».
1. Busca información
sobre los personajes
que aparecen
en el texto: Harold
Hardy y Srinivasa
Ramanujan.
2. ¿A qué episodio
de la vida de estos dos
personajes crees que
corresponde el relato?
¿A qué viaje se refiere
el joven Ramanujan?
3. Investiga sobre
las aportaciones de
Srinivasa Ramanujan
al estudio de los
números naturales.
DESCUBRELA HISTORIA...
1Númerosnaturales
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad
aprenderás a…
• Escribir números
romanos en el sistema
de numeración
decimal.
• Calcular potencias
de números naturales.
• Realizar operaciones
con potencias.
• Realizar operaciones
combinadas con
números naturales.
PLAN DE TRABAJO
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
Propiedad conmutativa de la suma
El orden de los sumandos no altera la suma.
43+ 28= 28+ 43= 71Sumandos Suma
Propiedad asociativa de la suma
El orden en el que agrupamos los sumandos no altera la suma.
Sumandos
( 21+ 37 )+ 42= 21+ (37+ 42)
58+ 42= 21+ 79
100= 100
Suma
5 8 0 61 2 4 7 9
8 2 8 5
Resta
9 4 2 32 7 5 6 1
1 8 6 2
Multiplicación
2 4 5 73 6 0 37 3 7 1
.1 4 7 4 2 01 4 8 1 5 7 1
4 6 9 5 7 4 33 9 5 1 0 9 2
0 8 70 1
División
Para restar númerosnaturales, el minuendotiene que ser mayorque el sustraendo.
F Sumando F Minuendo
F Sumando F Sustraendo
F Suma o total F Diferencia
F Factor F Factor
F Producto
F Divisor F Cociente
Dividendo F
Resto F
EVALUACIÓN INICIAL
1 Realiza las siguientes operaciones.
a) 759+ 3 824 f) 782 ? 450
b) 8 329+ 4 516+ 738 g) 695 ? 908
c) 4 261- 569 h) 5 928 : 38
d) 20 347- 865 i) 22 863 : 56
e) 316 ? 273 j) 64 456 : 179
2 Aplica la propiedad conmutativa y opera: 25+ 53
3 Aplica la propiedad asociativa y opera: (11+ 38)+ 41
4 Calcula el término que falta.
a) 62 734+ X = 68 251 c) 584 ? X = 179 288
b)X - 5 397= 8 406 d) X : 143= 572
7
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Para expresarnúmeros naturalessolemos utilizar
el sistema de numeracióndecimal.
Números naturales.Sistemas de numeración
Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el serhumano de contar lo que le rodea.
EJEMPLO
1 ¿Cuántos días hay desde el 8 de septiembre hasta el 27 de septiembre?
Del 8 al 27 de septiembre hay 19 días.
El conjunto de los números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin,porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente
sumándole una unidad a ese número.Para escribir números naturales se utilizan los sistemas de numeración.
1.1 Sistema de numeración decimal
En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintaspara representar una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
ANTES, DEBES SABER…
Cuáles son los órdenes de unidades del sistema
de numeración decimal y sus equivalenciasCentena
de millón
Decena
de millón
Unidad
de millón
Centena
de millar
Decena
de millar
Unidad
de millarCentena Decena Unidad
En el sistema de numeración decimal cada 10 unidades de un orden forman
una unidad del orden inmediato superior.
1 D= 10 U
1 C= 10 D= 100 U
1 UM= 10 C= 1 000 U
1 DM= 10 UM= 10 000 U
1 CM= 10 DM= 100 000 U
1 U. de millón= 10 CM= 1 000 000 U
1 D. de millón= 10 U. de millón= 10 000 000 U
1 C. de millón= 10 D. de millón= 100 000 000 U
1
SE PT I EMBRE L M Mi J V S D
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Contesta.
a) ¿Cuántas decenas hay en 1 unidad de millar?
b) ¿Cuántas centenas hay en 1 decena de millar?
c) ¿Cuántas centenas hay en 1 unidad de millón?
2 Copia y completa estas igualdades.
a) 3 UM= X C d) 7 DM= X C
b) 8 CM= XD e) 6 UM= XD
c) 3 U. de millón= X DM f) 5 C= XD
8
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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ANTES, DEBES SABER…
Cómo se descompone un número en sus órdenes de unidades
En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número
le corresponde un orden de unidades.
EJEMPLO
1 Descompón estos números en sus órdenes de unidades.
a) 14= 1 D+ 4 U
b) 256= 2 C + 5 D+ 6 U
c) 1 807= 1 UM+ 8 C + 7 U
d) 103 410 = 1 CM + 3 UM+ 4 C +1 D
e) 3 020 070 = 3 U. de millón+ 2 DM+ 7 D
f) 906 025 000 = 9 C. de millón+ 6 U. de millón+ 2 DM+ 5 UM
El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de
cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número.
EJEMPLO
2 Calcula el valor posicional de las cifras del número 129 098 105.
Centena
de millón
Decena
de millón
Unidad
de millón
Centena
de millar
Decena
de millar
Unidad
de millarCentena Decena Unidad
1 2 9 0 9 8 1 0 5
1 2 9 0 9 8 1 0 5
5 Unidades
0 Decenas1 Centena= 100 unidades
8 Unidades de millar= 8 000 unidades
9 Decenas de millar= 90 000 unidades
0 Centenas de millar
9 Unidades de millón= 9 000 000 unidades
2 Decenas de millón= 20 000 000 unidades
1 Centena de millón= 100 000 000 unidades
F
F
F
F
F
F
F
F
F
1 Señala el valor de la cifra 5 en estos números.a) 15 890 900 b) 509 123 780 c) 163 145 900
2 Escribe tres números que tengan 4 unidades
de millar, 7 decenas y 4 unidades.
4 Escribe cinco números cuya cifra de las centenas
de millón sea 7 y otros cinco cuya cifra
de las centenas de millar sea 9.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
3 Indica cómo se leen los números representadosen estos ábaco.
UMDM C D U
a)
UMDM C D U
b)
El valor de cada cifradepende de su posición
en el número.
9
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Multiplicaciónde números naturales
La multiplicación es la expresión abreviada de una suma de varios su-mandos iguales.
Los términos de la multiplicación se denominan factores. El resultado
final se llama producto.
EJEMPLOS
4 Expresa como un producto.
a) 3 + 3 + 3 + 3 = 3 ? 4= 12 b) 12 + 12 = 12 ? 2= 24
5 Colocamos en una báscula 5 sacos de patatas que pesan 75 kg cada uno.
¿Qué peso marcará la báscula?
75+ 75+ 75+ 75+ 75= 75 ? 5 = 375 . La báscula marcará 375 kg.
Factores Producto
La multiplicación cumple las siguientes propiedades:
• Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto.
5 ? 7= 7 ? 535= 35
• Asociativa. El orden en el que agrupamos los factores no altera elproducto.
(4 ? 7) ? 5= 4 ? (7 ? 5)28 ? 5= 4 ? 35
140= 140
• Elemento neutro o unidad. Es el 1, ya que cualquier número mul-tiplicado por 1 es igual al mismo número.
13 ? 1= 13
• Distributiva. El producto de un número por una suma o resta esigual a la suma o resta de los productos del número por cada término.
3 ? (2+ 5)= 3 ? 2+ 3 ? 5 4 ? (8- 3)= 4 ? 8- 4 ? 33 ? 7= 6+ 15 4 ? 5= 32- 12
21= 21 20= 20
2
11 Mario ha comprado 5 cajas de pinturas.
Si en cada caja hay 18 pinturas,
¿cuántas pinturas tiene en total?
5 Una docena de huevos son 12 huevos.
¿Cuántos huevos hay en 2 docenas de huevos?
¿Y en 8 docenas de huevos? ¿Y en 32 docenas?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER9 Expresa como un producto.
a) 6+ 6+ 6+ 6+ 6+ 6
b) 11+ 11+ 11+ 11+ 11
c) 13+ 13+ 13
10 Aplica la propiedad distributiva.
a) 7 ? (4+ 10) b) 18 ? (7- 2)
El producto de dosnúmeros se indica por
un punto (·), aunque también
se puede representarpor el signo x.
12 · 7 = 12 x 7
11
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Divisiónde números naturales
Dividir es repartir una cantidad en partes iguales.
Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto.
EJEMPLO
6 Un padre quiere repartir 630€ entre sus tres hijos en partes iguales.
¿Qué cantidad recibirá cada uno?
630 3
03 210 F Cada hijo recibirá 210 €.
000
• Cuando el resto es cero, la división es exacta.
D d0 c
• Si el resto no es cero, la división es no exacta.
En ambos casos se cumple que: Dividendo= divisor ? cociente+ resto
A esta igualdad se le llama prueba de la división.
EJEMPLO
7 Se quieren repartir 43 caramelos entre 14 niños. ¿Cuántos caramelos
recibirá cada niño? ¿Sobra alguno?
43 14
01 3 F Cada niño recibirá 3 caramelos y sobra 1 caramelo.
Para comprobar que la división es correcta, primero vemos que el resto es
menor que el divisor, 1 < 14, y después realizamos la prueba de la división:
D = d ? c + r " 43= 14 ? 3+ 1
43= 42+ 1
43= 43
Esto significa que hemos realizado bien la división.
3
D dr c
7 Un barco lleva 56 contenedores en los que
se ha metido el mismo peso en cada uno.
Si el peso de la carga total es 85 288 kg,
¿cuál es el peso de cada contenedor?
14 Calcula el dividendo de una división exacta
si el cociente es 13 y el divisor es 6.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER13 Halla el cociente y el resto de la división
6 712 : 23. Haz la prueba.
6 Determina cuáles de estas divisiones son
exactas y calcula el cociente de cada una
de ellas.
a) 1 416 : 18 c) 3 182 : 37 e) 8 205 : 13
b) 2 470 : 26 d) 1 445 : 85 f) 4 002 : 22
En una división, el restosiempre tiene que sermenor que el divisor.
F
Divisor
F Divisor
F Cociente
F Cociente
Dividendo F
Dividendo F
Resto F
Resto F
12
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Potenciasde números naturales
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación defactores iguales:
an = …? ? ? ?a a a a
n veces
1 2 3 4 44 4 44
a es la base, el factor que se repite.
n es el exponente, el número de veces que se repite la base.
2 ? 2= 22 " Se lee «2 elevado a 2» o «2 al cuadrado».
4 ? 4 ? 4= 43 " Se lee «4 elevado a 3» o «4 al cubo».
3 ? 3 ? 3 ? 3= 34 " Se lee «3 elevado a 4» o «3 a la cuarta».
EJEMPLOS
8 Escribe en forma de potencia las siguientes multiplicaciones:
5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5
14 ? 14 ? 14
56
143
«5 elevado a 6» o «5 a la sexta»
«14 elevado a 3» o «14 al cubo»
Multiplicación Potencia Se lee
9 Halla el valor de estas potencias.
a) 23 = ? ?2 2 2 8=
3 veces\
b) 92 = ?9 9 81=
2 vecesY c) 34 = ? ? ?3 3 3 3 81=
4 veces1 2 3 44 44
Potencias de base 10
Una potencia de base 10 y exponente un número natural es iguala la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente.
EJEMPLO
10 Halla el valor de las siguientes potencias de base 10.
a) 103 = ? ?10 10 10 1 000=
3 3veces ceros1 2 3 44 44 X b) 105 = ? ? ? ?10 10 10 10 10 100 000=
5 5veces ceros1 2 3 4 4 44 4 4 44 \
4
F F F
18 Escribe en forma de potencia y calcula su valor.
a) 10 ? 10 ? 10 b) 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6
8 Escribe como producto estas potencias
y calcula su valor.
a) 74 c) 85 e) 26
b) 53 d) 58 f) 62
LO QUE DEBES SABER RESOLVER16 Escribe y calcula.
a) Siete al cubo. c) Diez a la cuarta.
b) Cuatro a la quinta. d) Diez a la octava.
17 Indica la base y el exponente de estas
potencias. Escribe cómo se leen.
a) 36 b) 102 c) 54 d) 45
CALCULADORA
Para hallar potencias con
la calculadora utilizamos
la tecla x y .
56 " 5 x y 6 = 15625
212 " 2 x y 12 = 4096
F
F
34
base
exponente
13
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Para que se puedan aplicarlas propiedades del producto y el cociente, las potenciashan de tener la misma base.
53 • 74 " No se puedeexpresar como una sola
potencia.
Operacionescon potencias
Las potencias cumplen una serie de propiedades, independientemente decuál sea el valor de la base y del exponente.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se expresa un número como una potencia con exponente 1
Cualquier número es igual a una potencia con base ese número
y exponente 1.
2= 21 5= 51 16= 161
5.1 Producto de potencias de la misma base
Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantienela misma base y se suman los exponentes.
am ? an = am+n
EJEMPLO
4 Escribe estos productos de potencias como una sola potencia.
a) 25 ? 23 = 25+3 = 28 d) 25 ? 23 ? 26 = 25+3+6 = 214
b) 57 ? 52 = 57+2 = 59 e) 57 ? 52 ? 5= 57+2+1 = 510
c) 43 ? 4= 43+1 = 44 f) 43 ? 4 ? 4= 43+1+1 = 45
5.2 Cociente de potencias de la misma base
Para dividir dos potencias con la misma base, se mantiene la misma basey se restan los exponentes.am : an = am-n
EJEMPLO
5 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.
a) 25 : 23 = 25-3 = 22 d) 29 : 23 = 29-3 = 26
b) 57 : 52 = 57-2 = 55 e) 67 : 63 = 67-3 = 64
c) 43 : 4= 43-1 = 42 f) 45 : 42 = 45-2 = 43
5
24 Halla el resultado de estos cocientes
de potencias.
a) 78 : 75 c) 97 : 95
b) 206 : 204 d) 127 : 125
26 Calcula.
a) (34 : 32) ? 33 b) (56 ? 52) : 54
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
20 Escribe como una sola potencia.
a) 74 ? 75 c) 93 ? 95 ? 94
b) 53 ? 53 d) 42 ? 43 ? 44
21 Halla el valor de estos productos
de potencias.
a) 104 ? 105 b) 103 ? 10 ? 102
14
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5.3 Potencias de exponente 1 y 0
• Una potencia de exponente 1 es igual a la base " a1= a.
• Una potencia de exponente 0 es igual a 1 " a0= 1.
EJEMPLO6 Calcula estas potencias.
a) 20 = 1 c) 70 = 1 e) 240 = 1
b) 21 = 2 d) 71 = 7 f) 241 = 24
5.4 Potencia de una potencia
Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma basey se multiplican los exponentes.
(am)n = am?n
EJEMPLO
7 Calcula estas potencias.
a) (23)4 = 23?4 = 212 b) (54)6 = 54?6 = 524
5.5 Potencia de una multiplicación y una división
• La potencia de una multiplicación es igual al producto de las po-tencias de sus factores.
(a ? b)n
= an
? bn
• La potencia de una división es igual al cociente de las potencias deldividendo y el divisor.
(a : b)n = an : bn
EJEMPLO
8 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.
a) (4 ? 2)3 = 43 ? 23 = 64 ? 8= 512
b) (10 : 5)3 = 103 : 53 = 1 000 : 125= 8
30 Expresa como producto o cociente de potencias.
a) (3 ? 2)4 ? (3 ? 2)5 b) (14 ? 5)7 : (14 ? 5)4
9 Calcula el valor de estas potencias.
a) (74)2 ? 73 c) (2 ? 6)7 ? 123
b) (53)7 : 58 d) (6 ? 3)9 : 185
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
25 Calcula el valor de las potencias.
a) 151 b) 140
28 Calcula.
a) (24)3 c) (14 ? 16)5
b) (63)5 d) (216 : 24)3
Utilizando esta propiedaden sentido inverso se pueden
simplificar los cálculos.
54 ·24 = (5·2)4 = 104
63
: 23
=
(6 : 2)3
=
33
15
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Raícescuadradas
6.1 Raíz cuadrada exacta
La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b tal que,al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número a.
a = b, cuando b2 = a
Llamamos radicando al número a,
es el símbolo de la raíz y decimosque b es la raíz cuadrada de a.
a b=Símbolode raíz
Radicando
RaízF F
F
A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les denomina cuadradosperfectos.
EJEMPLOS
18 Halla las raíces de los siguientes cuadrados perfectos.
a) 1 = 1 porque 12= 1 h) 64 = 08 porque 82
= 64
b) 4 = 2 porque 22 = 4 i) 81 = 09 porque 92= 81
c) 9 = 3 porque 32 = 9 j) 100 = 10 porque 102 = 100
d) 16 = 4 porque 42 = 16 k) 121 = 11 porque 112 = 121
e) 25 = 5 porque 52 = 25 l) 144 = 12 porque 122 = 144
f) 36 = 6 porque 62= 36 m) 169 = 13 porque 132 = 169
g) 49 = 7 porque 72= 49 n) 196 = 14 porque 142 = 196
19 El área de un cuadrado es 49 cm2. ¿Cuánto mide el lado?
Á
Á
l l ll l
4949 49 7
rea
rea cm
2
22
$= =
== = =" "4
El lado mide 7 cm.
6
49 cm2
l
l
CALCULADORA
Para hallar una raíz
cuadrada con la calculadora
utilizamos la tecla .
361 " 361 19
1296 " 1 296 36
Como 4 = 2 porque22 = 4, decimos
que la raíz cuadradaes la operación inversade elevar al cuadrado.
32 Comprueba si estas raíces cuadradas estánbien resueltas.
a) 225 = 15 c) 1 000 = 100
b) 255 = 16 d) 40000 = 200
33 Halla con tu calculadora.
a) 289 c) 15625
b) 10000 d) 135 424
34 Calcula el lado de un cuadrado de 400 cm2
de área.
10 Calcula el radicando de estas raíces sabiendo
que son raíces cuadradas exactas. Comprueba
que el radicando al cuadrado es igual a la raíz.
a) 3=d c) 10=d
b) 7=d d) 14=d
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
16
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Jerarquíade las operaciones
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se realizan operaciones combinadas de suma y resta
• Paracalcularunaseriede
sumas y restas sin paréntesis, se hacenlas operaciones en el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha.
• Paracalcularunaseriedesumas y restas con paréntesis, se hacen
primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis.
EJEMPLO
9 Resuelve estas operaciones.
b) (95 - 32) - (39 - 16) - 21 =
= 63 - 23 - 21=
= 40 - 21=
= 19
F F F F
FF
FF
a) 15 + 23 - 2 - 12 + 8 =
= 38 - 2- 12+ 8=
= 36 - 12+ 8=
= 24 + 8=
= 32
F F
F F
FF
FF
Cuando en una expresión aparecen operaciones combinadas, el orden enel que se realizan las operaciones es el siguiente:
1.º Las operaciones que hay entre paréntesis.
2.º Las potencias y las raíces.
3.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.
4.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
EJEMPLO
22 Calcula las siguientes expresiones.
a) 10 + 3 ? 7 - 14 : 7 = c) : :( ) ( )? ?5 16 9 3 4 2 2- + =
= 10+ 21 - 2 = = 5 ? 7 + 3 ? 2 : 2=
= 31 - 2 = = 35 + 6 : 2=
= 29 = 35 + 3 = 38
7
F F
F F
F F
F F
F
F F
F F
F F
F F
F
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
41 Calcula.
a) 7 ? 4- 12+ 3 ? 6- 2
b) (11- 7) ? 4+ 2 ? (8+ 2)
c) 3 ? (14+ 12- 20) : 9+ 2
11 Resuelve estas operaciones.
a) 17- 8- 2+ 6+ 5- 10
b) 17- (8- 2)+ 6+ 5- 10
c) 17- (8- 2+ 6)+ 5- 10
17
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
Sistema de numeración decimal
D. millar U. millar Centena Decena Unidad3 5 1 4 2
30 000 5 000 100 40 2
Sistema de numeración romano
I= 1 V= 5 X= 10 L= 50
C= 100 D= 500 M= 1 000
Multiplicación 34 ? 2 = 68
Factores Producto
División
Potencia ? ? ? ?14 14 14 14 14 14
5
5 veces
=1 2 3 4 4 44 4 4 44
Raíz cuadrada 9 3= , porque 32 = 9
9 3=Símbolo F
de raíz
F Raíz
Radicando
F
25 3
1 8
Dividendo F
Resto F
F Divisor
F Cociente
HAZLO DE ESTA MANERA
1. LEER NÚMEROS ROMANOS
Escribe en el sistema numérico decimal
los siguientes números romanos.
a) XXVII b) IVCXCVI
PRIMERO. Transformamos cada letra en
su equivalencia en el sistema numérico
decimal, teniendo en cuenta que cada letra
en la que aparece una rayita encima,
se multiplica por 1 000.
a) X10
X10
V5
I1
I1
b) I1 ? 1 000
V5 ? 1 000
C100
X10
C100
V5
I1
SEGUNDO. Examinamos los números,
si un número es mayor que su número
anterior, le restamos a este número el anterior.
a) X10
X10
V5
I1
I1
b) I
1 ? 1 000
V
5 ? 1 000
C
100
X
10
C
100
V
5
I
1
TERCERO. Sumamos los números resultantes.
a) X10
X10
V5
I1
I1
" 10+ 10+ 5+ 1+ 1= 27
b) I1 ? 1 000
V5 ? 1 000
C100
X10
C100
V5
I1
4 000+ 100+ 90+ 5+ 1= 4 196
144 4 2 4 443
5 000- 1 0001 4 2 4 3
100- 10
144 4 2 4 443
4 0001 4 2 4 3
90
2. CALCULAR UN PRODUCTOO COCIENTE DE POTENCIAS
Expresa, si se puede, con una sola potencia.
a) 67 ? 65 c) 67
? 27 e) 67 ? 25
b) 67 : 65 d) 67 : 27 f) 67 : 25
PRIMERO. Estudiamos si son iguales las bases
o los exponentes de las potencias.
a) y b) 67 y 65 " La base de las dos potencias
es la misma, 6.
c) y d) 67 y 27 " Las bases son distintas, pero
los exponentes iguales, 7.
e) y f) 67 y 25 " No son iguales las bases
ni los exponentes.
SEGUNDO.
• Si las bases son iguales, sumamos
o restamos los exponentes.
a) 67 ? 65 = 67+5 = 612
b) 67 : 65 = 67-5 = 62
• Si las bases no son iguales, pero los
exponentes sí, multiplicamos o dividimoslas bases.
c) 67 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127
d) 67 : 27 = (6 : 2)7 = 37
• Si no son iguales las bases ni
los exponentes, no se puede expresar
como una sola potencia.
e) 67 ? 25 = 67 ? 25
f) 67 : 25 = 67 : 25
Base Exponente
FF
18
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Comprende estas palabras
1. Escribe un número de cuatro cifras que tenga
las mismas unidades de millar que decenas
y una unidad más que centenas.
2. Completa las expresiones para que sean
ciertas.
a) 8 ? 4 = 88 b) 3 ? 4 = 42
3. En una división, el dividendo es 1 436, el divisor
es 27 y el cociente es 53. Calcula el resto.
4. Expresa en forma de potencia, si se puede.
a) 17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17 b) 13 ? 13 ? 13 ? 12
Leer números romanos
1. Transforma estos números romanos en
números del sistema decimal.
a) CXXVI b) CMLIX c) IIICDLXXIV
Calcular un producto o cociente de potencias
6. Expresa, si se puede, con una sola potencia.
a) 85 : 45 c) 146 ? 23 e) 183 : 36
b) 74 ? 73 d) 214 ? 24 f) 12311 : 1235
Realizar operaciones combinadascon potencias
2. Expresa mediante una sola potencia
las siguientes operaciones entre potencias.a) (35)2 : (36 : 34) b) (98 ? 93 : 95) ? 9 : (92)3
Realizar operaciones combinadas
10. Resuelve estas operaciones.
a) 7 ? (8- 3) : 5+ 12
b) 27 : (9- 6)- 3 ? 4 : 6
c) (12 ? 2- 18) ? 3 : 6+ (8- 4) : 2- 1
Y AHORA… PRACTICA
4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS
Resuelve: PRIMERO. Resolvemos los paréntesis.
SEGUNDO. Efectuamos las multiplicaciones
y divisiones en el orden en el que aparecen.
TERCERO. Resolvemos las sumas y restas.
100 ? (36- 26) : 5- 10 : (16 - 6)=
= 100 ? 10 : 5- 10 : 10=
= 1 000 : 5- 1 =
= 200 - 1= 199
F F
F F F F
F F
F F
2. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS
Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias.
a) 75 ? (72)3
b) 48 : (42 ? 45)
PRIMERO. Resolvemos las operaciones que hay entre paréntesis.
a) 75 ? (72)3 = 75 ? 72?3 = 75 ? 76
b) 48 : (42 ? 45)= 48 : 42+5 = 48 : 47
SEGUNDO. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de potencias en el orden en que aparecen,
de izquierda a derecha.
a) 75 ? 76 = 75+6 = 711
b) 48 : 47 = 48-7 = 41 = 4
19
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ActividadesSISTEMAS DE NUMERACIÓN
12. ● Señala el valor de la cifra 5 en cada uno
de los siguientes números.
a) 15 890 900 c) 509 123 780 e) 163 145 900
b) 54 786 008 d) 64 320 510 f) 986 403 005
48. ● Indica el valor posicional que tiene la cifra 1
en estos números.
a) 122 578 c) 1 432 000
b) 438 231 d) 32 181 120
e) 1 010 101
f) 3 107 251
49. ●● Indica el valor posicional de todas las cifras
de estos números.
a) 987 654 c) 887 787 e) 8 080 008
b) 656 565 d) 3 004 005 f) 2 222 222
13. ● Escribe:
• Cinco números mayores que 20 000 cuya cifra
de las unidades de millar sea 8.
• Cinco números menores que 100 000 cuya cifra
de las decenas de millar sea 3.
• Cinco números mayores que 29 000 y menores
que 29 100 con la cifra de las decenas igual
a la cifra de las unidades.
Ordena los números en cada caso, de menor
a mayor, utilizando el signo correspondiente.
54. ● Expresa en el sistema de numeración decimal
estos números romanos.
a) XXVI c) MCCXXV
b) DCXLVI d) DXXX
55. ●● Expresa los siguientes números romanos
en el sistema de numeración decimal.
a) XIX c) MMCCIX
b) CDXL d) CMXC
56. ● Expresa en el sistema de numeración decimal.
a) XLVI f) IVCDXXX
b) CXCII g) DCCXCIII
c) CMXXXIV h) MMCCII
d) XXXIV i) XCXL
e) MMMDLXXX j) MXXIX
14. ● Escribe en números romanos.
a) 7 b) 22 c) 74 d) 143 e) 3 002
OPERACIONES CON NÚMEROSNATURALES
57. ● Aplica la propiedad distributiva y calcula.
a) 6 ? (11+ 4) d) 15 ? (20- 7- 8)
b) 25 ? (37- 12) e) (20+ 14- 15) ? 17
c) 8 ? (17+ 12+ 10) f) (18+ 3- 2) ? 5
58. ● Completa la tabla.
Dividendo
173
267
1 329
3
4
9
Divisor Cociente Resto
59. ● Halla el cociente y el resto de 45 456 : 22.
Realiza la prueba de la división.
15. ● Resuelve estas divisiones y realiza la prueba.
a) 327 : 22 c) 9 255 : 37 e) 29 001 : 132
b) 4 623 : 18 d) 12 501 : 59 f) 36 102 : 205
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UN TÉRMINODE LA DIVISIÓN CONOCIENDO LOS DEMÁS?
60. Sin realizar la división, halla el resto
de 453 : 23, si el cociente es 19.
PRIMERO. Se sustituye cada letra por su valor
en la prueba de la división.
D = d ? c + r
453= 23 ? 19+ r " 453= 437+ r
SEGUNDO. El resto es un número tal que,
al sumarlo a 437, da 453.
r = 453- 437= 16. El resto de la división es 16.
61. ●● El dividendo de una división es 1 512,el divisor es 8 y el cociente es 189. Halla el resto
sin efectuar la división.
62. ●● Sin realizar la división, indica cuáles
de estas divisiones son exactas.
a) D = 6 099 d = 19 c = 321 r = ?
b) D = 986 d = 17 c = 58 r = ?
16. ● ¿Qué resto puede tener una división de divisor 7?
20
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POTENCIAS
65. ● Escribe como producto de factores.
a) 43 b) 104 c) 272 d) 1025
66. ● Expresa estas multiplicaciones en forma
de potencia, si se puede.
a) 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3
b) 37 ? 37
c) 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4
d) 25
67. ● Indica cuál es la base y el exponente.
a) 28 Base= 4 Exponente= 4
b) 312 Base= 4 Exponente= 4
68. ● Expresa con números.
a) Once a la quinta. b) Nueve a la cuarta.
69. ● Escribe cómo se leen estas potencias.
a) 123 b) 74 c) 212 d) 1412
71. ● Completa la tabla.
Al cuadrado Al cubo A la cuarta
9
11
OPERACIONES CON POTENCIAS
73. ● Expresa como una sola potencia.
a) 72 ? 73 b) 114 ? 84 c) 83 ? 53 d) 45 ? 4
74. ● Escribe como una sola potencia.
a) 32 ? 34 ? 33 c) 63 ? 62 ? 65
b) 54 ? 5 ? 56 d) 43 ? 53 ? 63
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UN EXPONENTE DESCONOCIDO
EN UN PRODUCTO DE POTENCIAS?
17. Copia y completa: 32 ? 3X = 38
PRIMERO. Se aplican las propiedades de las potencias.
32 ? 3X = 38 " 32+X = 38
SEGUNDO. Se igualan los exponentes.
2+ 4 = 8
El número que sumado a 2 da 8 es 6. El exponente
buscado es 6.
75. ●● Completa.
a) 92 ? 94 = 96 c) 54 ? 53 = 58
b) 24 ? 23 = 29 d) 34 ? 39 = 311
76. ●● Completa.
a) 74 ? 74 ? 7= 77 c) 13 ? 136 ? 134 = 139
b) 54 ? 5 ? 53 = 58 d) 83 ? 85 ? 84 = 812
79. ● Expresa como una sola potencia.
a) 68 : 63 b) 215 : 27 c) 65 : 35 d) 46 : 26
80. ● Expresa como una potencia.
a) (27 : 24) : 22 c) 115 : (116 : 113)
b) (79 : 73) : 74 d) 43 : (45 : 42)
81. ●● Completa.
a) 47 : 53 = 54 c) 95 : 94 = 93
b) 124 : 126 =129 d) 38 : 34 = 32
84. ● Expresa como una potencia.
a) (54)2 b) (73)3 c) (65)2 d) (82)6
91. ●● Calcula.
a) (35 ? 32) : 33 c) (85 : 83) ? 82
b) 43 ? (47 : 44) d) 75 : (72 ? 72)
92. ●● Resuelve.
a) (35)2 ? (32)4 c) (95)3 ? (94)3
b) (73)3 ? (72)4 d) (116)2 ? (113)4
93. ●● Indica como una sola potencia.
a) (62)5 : (63)3 c) (108)3 : (104)5
b) (87)2 : (83)4 d) (29)2 : (23)5
94. ●● Calcula las siguientes expresiones.
a) 39 : ((32)5 : 37) ? 33 b) (72)3 ? (75 : 72) : (72)4
RAÍCES CUADRADAS
95. ● Completa.
a) 352 = 1 225, entonces 1225 =4
b) 9 025 = 95, entonces 952 = 4
96. ● Calcula las raíces cuadradas de estos números.
a) 64 b) 100 c) 169 d) 196
97. ● Completa.
a) 4 = 5 c) 4 = 15
b) 4 = 9 d) 4 = 20
21
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JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
18. ● Realiza las siguientes operaciones.
a) 31- 20+ 15- 4
b) 12+ 7- 8- 5+ 14
c) 17- 9- 5+ 24
d) 49+ 7- 54- 2+ 25
e) 59+ 45- 76- 12+ 51
f) 123+ 12-17- 23- 9+ 12
19. ● Calcula.
a) (34+ 12- 9)- (34- 19)
b) 123- (67+ 34- 21)
c) (29+ 78- 54- 32)- (9+ 5)
d) (89+ 23- 76)- (41+ 12- 32)
e) 345- (90- 76- 8+ 43)
f) 567- (23+ 65- 12- 45)
20. ● Calcula y relaciona las operaciones que dan
el mismo resultado.
a) 24-8+18-6 i) (24+6)-(8+16)
b) 34+78-12-17 ii) (24+18)-(8+6)
c) 34+78+7-65-12 iii) (34+78+7)-(65+12)
d) 24-8-16+6 iv) (34+78)-(12+17)
102. ● Resuelve estas operaciones.
a) 9 ? (15+ 4- 7)
b) 12+ 4 ? (3+ 19)
c) 55- 3 ? (27- 9)
d) 33+ 6 ? 5+ 21
103. ● Calcula.
a) 15+ (12+ 6) : 3
b) 31- (13+ 8) : 7
c) 4+ 15 : 5+ 17
d) 42- (3+ (32 : 4) : 2)
104. ● Realiza estas operaciones.
a) 8 ? 3+ 36 : 9+ 5b) 144 : (24 : 6)+ 4 ? 7
c) 48- 5 ? 7+ 9 ? 3- 19
d) 14- 21 : 7+ 105 : 5
105. ● Resuelve.
a) 42 ? 3- 124 : 4- (180 : 9) : 5
b) (241- 100+ 44) : 5+ 20 ? 7
c) 7+ 8 ? (17- 5)- 28 : 2
d) (12+ 3 ? 5) : 9+ 8
106. ● Calcula el valor de estas expresiones.
a) 3 ? (100- 90)+ 12 ? (5+ 2)
b) 7 ? (26 : 2)- (6 : 3) ? 6+ 4
c) 66 : (15- 9)+ 7 ? (6 : 2)- 12 : 2
d) 7 ? (4+ 8- 5) : (12- 5)+ 7 ? (8- 6+ 1)
e) 3 ? (15 : 3- 2)+ (8+ 20) : 4- 1
f) 38- (30 : 6+ 5) ? 2- 6 ? 3 : 2
g) 8 ? (28- 14 : 7 ? 4) : (22+ 5 ? 5- 31)
h) [200- 3 ? (12 : 4- 3)]- 6+ 37- 35 : 7
107. ● Calcula mentalmente el número que falta.
a) 3 ? 5+ 3 ? 4 = 60
b) 13 ? 40- 13 ? 4 = 260
c) 15 ? 4 + 7 ? 4 - 15 ? 6= 150
PROBLEMAS CON NÚMEROS
NATURALES
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA
EN EL QUE LOS DATOS ESTÁN RELACIONADOS?
116. La factura telefónica del mes pasado fue
de 34 €, la de este mes ha sido 5 €más cara
y la de hace dos meses fue 4 €menos.
¿A cuánto ha ascendido el gasto en teléfono
en los últimos tres meses?
PRIMERO. Se toma el dato conocido del problema.
«El mes pasado» " 34 €
SEGUNDO. Se calculan los demás datos del problema.
«Este mes 5 € más» " 34+ 5= 39 €
«Hace dos meses 4 €menos» " 34- 4= 30 €
TERCERO. Se resuelve el problema.
34+ 39+ 30= 103€
El gasto en teléfono ha sido de 103 €.
117. ●● En un partido
de baloncesto, los
máximos anotadoreshan sido Juan, Jorge
y Mario. Juan ha
logrado 19 puntos,
Jorge 5 puntos más
que Juan y Mario
7 puntos menos
que Jorge.
¿Cuántos puntos
han obtenido entre
los tres?
22
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
http://slidepdf.com/reader/full/libro-mates-1o-eso-avanza 23/232
118. ●● Si ganase 56€más al mes podría gastar:
420€ en el alquiler de la casa, 102€ en gasolina
para el coche, 60€ en la manutención
y 96€ en gastos generales, y ahorraría 32€.
¿Cuánto gano al mes?
119. ●●● Mario tiene 11 años y es 4 años menor que
su hermana. Entre los dos tienen 19 años menos
que su madre. ¿Cuántos años tiene la madre?
120. ●● Se ha enseñado a un grupo de jóvenes
a sembrar trigo. El primer día sembraron
125 kilos y el segundo día sembraron
el doble de kilos que el primero.
a) ¿Cuántos kilos sembraron el segundo día?
b) ¿Y entre los dos días?
121. ●● Observa estos precios.
a) ¿Se pueden adquirir los tres art ículos
con 900 €?
b) ¿Cuál es la cantidad mínima necesaria paracomprar los tres artículos?
c) ¿Cuánto sobra, con seguridad, si se dispone
de 2 000 € para comprar los tres artículos?
122. ●● Un generador eléctrico consume 9 litros de
gasolina a la hora y una bomba de agua 7 veces
más. ¿Cuántos litros consumen entre los dos
al cabo de 4 horas?
123. ●● Cada fin de semana Luis recibe 6 € y se
gasta 4 €. ¿Cuántas semanas han de pasar
hasta que ahorre 18€?
124. ●● Pedro tiene 79€ para comprar sillas.
Sabiendo que cada una cuesta 7 €, ¿cuántas
sillas puede comprar? ¿Cuánto le sobra?
125. ●● Una botella de 1 litro de aceite cuesta 3 €.
Si la garrafa de 6 litros cuesta 12€, ¿cuánto
dinero nos ahorramos comprando garrafas?
126. ●●● Un coche va a 110 km/h y otro a 97 km/h.
¿Cuántos kilómetros le llevará de ventaja
el primer coche al segundo al cabo de 9 horas?
127. ●● Vamos a repartir 720€ entre tres personas
y se sabe que la primera recibirá 280€.
¿Cuánto recibirán las otras dos si el resto
se reparte en partes iguales?
128. ●● Nacho y Ana están preparando una fiesta
y compran 12 botellas de 2 litros de naranja,12 de limón y 12 de cola.
a) ¿Cuántos litros han comprado?
b) Si cada botella de 2 litros cuesta 2€,
¿cuánto dinero se han gastado?
130. ●●● En España cada persona recicla, por
término medio, 14 kg de vidrio cada año.
a) Si en España hay 40 millones de personas,
¿cuántos kilos de vidrio se reciclan al año?
b) Para reciclar 680 000 000 000 kg, ¿cuántos kilos
más debería reciclar cada persona?
131. ●● El tablero del ajedrez es un cuadrado
formado por 8 filas, con 8 cuadraditos en cada
fila. ¿Cuántos cuadraditos hay en total?132. ●● Marta quiere saber cuántos
melocotones hay en el almacén. Para ello hace
5 montones con 5 cajas en cada montón, y en
cada caja, 5 filas con 5 melocotones en cada fila.
¿Cuántos melocotones hay?
133. ●● Luis acaba de recibir cuatro cajas cuadradas
llenas de vasos que debe colocar.
La caja tiene cuatro filas y hay cuatro vasos
en cada fila. ¿Cuántos vasos tiene que colocar?
134. ●● ¿Cuántos azulejos
necesita Jorge para cubrir
una pared cuadrada,
si en la primera fila
ha colocado 5 azulejos?
Desde 400 € hasta 600 €
Desde 200 € hasta 450 €
Desde 350 € hasta 750 €
23
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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2
1. Busca informaciónsobre ChristopherClavius y su relacióncon el papaGregorio XIII.
2. Investiga quécalendario se utilizabahasta que seestablecióel calendario actualy por qué se produjola diferencia de10 días al cambiarlo.
3. Explica el criteriode divisibilidadque estableceel calendariogregoriano paralos años bisiestos.
DESCUBRELA HISTORIA...
Después del jueves…, otro jueves
En la Navidad de 1582, Gregorio XIII atendía
distante a un jesuita que estaba visiblementealterado.
–Ruego a Su Santidad –interpeló el jesuita,Christopher Clavius– que me conceda la autorizaciónpara justificar el cambio de calendario.¡Las críticas han llegado al extremo deacusarnos de robarle 10 días al calendario!
Gregorio XIII levantó la cabezay respondió:
–Eso no es más que un ataque de herejes
e ignorantes. La Comisión de Sabiosdeterminó que nuestros cálculosde la duración del año eran erróneosy que nuestro calendario estabaatrasado en 10 días.
El Papa continuó:
–Al 4 de octubre de 1582 le siguióel 15 de octubre, pero no robamos10 días al calendario, sino querecuperamos lo que el calendarioanterior tomó sin corresponderle.De haber seguido así, habríamosterminado por celebrarla Navidad en verano.
Divisibilidad
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad
aprenderás a…
• Calcularlosdivisores
y múltiplos de
un número.
• Distinguirentre
números primos
y compuestos.
• Factorizarnúmeros
naturales.
• Hallarelmáximo
común divisor
y el mínimo común
múltiplo de dos
omásnúmeros
naturales.
PLAN DE TRABAJO
DIVISIÓN ENTRE NÚMEROS NATURALES
Los términos de la división se llaman
dividendo, divisor, cociente y resto.
Prueba de la división
Una división está bien resuelta si se cumplen estas dos condiciones:
• El resto de la división es menor que el divisor.
Resto < Divisor " 5 < 23
• El dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente más el resto.
Dividendo= Divisor?
Cociente+ Resto58 034= 23 ? 2 523+ 5
58 034= 58 029+ 5
58 034= 58 034
Por tanto, la división está bien resuelta.
5 8 0 3 4 23
1 2 0 25235 3
7 45
Dividir es repartiruna cantidad en partes
iguales.
F Divisor
F
Cociente
Dividendo F
Resto F
EVALUACIÓN INICIAL
1 Haz la prueba de cada división y averigua cuáles están mal realizadas.
2 Halla el dividendo de estas divisiones.
a) Divisor = 3, cociente= 8, resto= 0
b) Divisor = 8, cociente= 15, resto= 6
c) Divisor = 12, cociente= 7, resto= 3
d) Divisor = 21, cociente= 12, resto= 1
3 Calcula y completa la tabla en tu cuaderno.
Dividendo Divisor Cociente Resto
2 346 4
3 672 6
8 425 7
9 252 9
e) 1042 11
052 95
03
f) 2475 12
0075 206
03
c) 68 6
08 11
3
d) 85 7
15 12
1
a) 47 2
07 23
1
b) 54 3
24 15
9
25
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Múltiplosde un número
ANTES, DEBES SABER…
Cuándo una división es exacta
• Unadivisión es exacta si su resto es cero. 54 6Si una división es exacta se cumple que: 0 9
Dividendo=Divisor ? Cociente
• Unadivisión no es exacta cuando su resto 56 6
es distinto de cero. En este caso se cumple que: 2 9
Dividendo=Divisor ? Cociente+ Resto
Un número b es múltiplo de otro número a si la división de b entre a es exacta.
EJEMPLO
4 ¿Es 28 múltiplo de 4? ¿Y de 5?
28 4La división 28 : 4 es exacta" 28 es múltiplo de 4.
10 7
28 5La división 28 : 5 no es exacta " 28 no es múltiplo de 5.
13 5
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número porlos sucesivos números naturales.
EJEMPLOS
5 Calcula los múltiplos de 3.
Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…
3•
= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}
Los múltiplos de 3 son un conjunto ilimitado de números.
1 Halla los seis primeros múltiplos de 12.
Múltiplos de 12 " 12 ? 1, 12 ? 2, 12 ? 3, 12 ? 4, 12 ? 5, 12 ? 6
Los seis primeros múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60 y 72.
3
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
10 ¿Es 35 múltiplo de 5? Razona la respuesta.
11 ¿Es 48 múltiplo de 6? Razona la respuesta.
1 Calcula los diez primeros múltiplos de 8.
2 Halla los diez primeros múltiplos de 16.
SE ESCRIBE ASÍ
3•
" Todos los múltiplosde 3.
12•
" Todos los múltiplosde 12.
Dividendo (D ) divisor (d )
resto (r ) cociente (c )
26
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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16 Calcula todos los divisores de:
a) 30 c) 45 e) 100 g) 90
b) 27 d) 55 f) 89 h) 79
17 Di si es cierto o no.
a) 12 es divisor de 3. b) 12 es múltiplo de 3.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
3 Di si es cierto o no.
a) 8 es divisor de 56. b) 12 es divisor de 95.
15 ¿Cuáles son divisores de 36?
2 7 12 36 15 20 1 4 40 9
Divisoresde un número
Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre a es exacta.
EJEMPLO
7 Comprueba si 8 y 9 son divisores de 48.
48 8La división 48 : 8 es exacta"
8 es divisor de 48.0 6
48 9La división 48 : 9 no es exacta"
9 no es divisor de 48.3 5
Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número entrelos sucesivos números naturales, hasta que el cociente de la división sea
menor que el divisor.
EJEMPLOS
9 Calcula todos los divisores de 8.
8 1 8 2 8 3
0 8 0 4 2 2 " El cociente, 2, es menor que el divisor, 3.Por tanto, no seguimos dividiendo.
Decadadivisiónexactaextraemosdosdivisores:eldivisoryelcociente.
8 : 1= 8" Es una división exacta " 1 y 8 son divisores de 8.
8 : 2= 4" Es una división exacta " 2 y 4 son divisores de 8.
Losdivisoresde8son1,2,4y8.Seescribeasí:Div(8)= {1, 2, 4, 8}.
2 Calcula todos los divisores de 10.
10 1 10 2 10 3 10 4
0 10 0 5 1 3 2 2 " El cociente, 2, es menor que el divisor, 4.Por tanto, no seguimos dividiendo.
Extraemos el divisor y el cociente de cada división exacta:
10 : 1= 10" Es una división exacta " 1 y 10 son divisores de 10.
10 : 2= 5 " Es una división exacta " 2 y 5 son divisores de 10.
Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10 " Div(10)= {1, 2, 5, 10}
4
SE ESCRIBE ASÍ
Div(8) " Todos losdivisores de 8.
Div(12)" Todos losdivisores de 12.
8 es divisor de 48.
48 es múltiplo de 8.
F F
27
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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5 Escribe todos los números primos menoresque 20.
6 Indica todos los números primos comprendidos
entre 100 y 110.
7 Escribe cinco números primos mayores que 50
y otros cinco menores que 40.
8 Escribe los números compuestos menores que 20.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Determina si los siguientes números son primoso compuestos.
a) 11 e) 29 i) 58
b) 13 f) 42 j) 65
c) 18 g) 46 k) 70
d) 24 h) 54 l) 80
19 ¿Es 101 un número primo? ¿Por qué?
Números primosy compuestos
• Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y launidad.
• Si un número tiene más de dos divisores, decimos que es un número
compuesto.
EJEMPLO
10 Averigua si 17 y 27 son números primos o compuestos.
Calculamos todos los divisores de 17:
17 1 17 2 17 3 17 4
7 17 1 8 2 5 1 4
0 17 5
2 3 " El cociente, 3, es menor que el divisor, 5.
Por tanto, no seguimos dividiendo.
La única división exacta es 17 : 1 = 17, extraemos el divisor y el cociente.
Div(17)= {1, 17} 17 solo tiene dos divisores.
17 es un número primo.
Calculamos todos los divisores de 27:
27 1 27 2 27 3 27 4 27 5
7 27 7 13 0 9 3 6 2 5
0 1 27 6
3 4 " Como 4 es menor que 6,
no seguimos dividiendo.
Extraemos el divisor y el cociente de las divisiones exactas:
27 : 1= 27 " 1 y 27 son divisores de 27.
27 : 3= 9 " 3 y 9 son divisores de 27.
Div(27)= {1, 3, 9, 27}" 27tienemásdedosdivisores.
27 es un número compuesto.
5
Números primos hasta 100
28
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Factorizaciónde un número
ANTES, DEBES SABER…
Cuándo la división de un número entre 2, 3 o 5 es exacta
• Ladivisióndeunnúmeroentre2esexactasielnúmeroterminaen0 o en una cifra par.
EJEMPLO
3 Determina si estas divisiones son exactas.
a) 18 : 2 " Divisiónexacta,porque18terminaennúmeropar.
b) 7 514 : 2 " Divisiónexacta,porque7514terminaennúmeropar.
c) 14 930 : 2 " Divisiónexacta,porque14930terminaen0.
d) 173 : 2 " Divisiónnoexacta,porque173terminaen3,
que no es par.
e) 81 : 2 " Divisiónnoexacta,porque81terminaen1,
que no es par.
• Ladivisióndeunnúmeroentre3esexactasi,alsumarlascifras
deesenúmero,obtenemosunmúltiplode3.
EJEMPLO
4 Determina si estas divisiones son exactas.
a) 81 : 3 " Divisiónexacta,porque:8+ 1= 9y 9 : 3 es división exacta
b) 123 : 3 " Divisiónexacta,porque:1+ 2+ 3= 6y 6 : 3 es división exacta
c) 876 : 3 " Divisiónexacta,porque:8+ 7+ 6= 21y 21 : 3 es división exacta
d) 173 : 3 " Divisiónnoexacta,porque:1+ 7+ 3= 11y 11 : 3 es división no exacta
• Ladivisióndeunnúmeroentre5esexactasielnúmeroterminaen0
o en 5.
EJEMPLO
5 Determina si estas divisiones son exactas.
a) 65 : 5 "
Divisiónexacta,porque65terminaen5.b) 120 : 5 " Divisiónexacta,porque120terminaen0.
c) 246 : 5 " Divisiónnoexacta,porque246noterminaen0nien5.
6
Los números pares son:2, 4, 6, 8, 10, 12, …
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Estudia si estas divisiones son exactas.
a) 15 : 3 c) 59 : 3 e) 103 : 3
b) 26 : 3 d) 70 : 3 f) 3 104 : 3
10 Estudia si estas divisiones son exactas.
a) 37 : 2 c) 81 : 5 e) 22 305 : 5
b) 48 : 3 d) 92 : 2 f) 145 236 : 3
29
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir,expresarlo como producto de sus divisores primos.
Para factorizar un número se divide entre la serie de números primos(2, 3, 5, 7, …), tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente launidad. Se empieza dividiendo entre 2; si no es exacto, entre 3; si tampoco
es exacto, entre 5; si no entre 7, entre 11…
EJEMPLO
6 Factoriza el número 30.
Tomamos el número y lo dividimos entre el primer número primoque haga la división exacta.
30 : 2"Divisiónexacta,porque30terminaen0.
30 : 2= 15
Factorización" 30= 2 ? 15
Tomamos el cociente que hemos obtenido en la división exacta;en este caso 15, y volvemos a dividir este número entre el primer númeroprimo que haga la división exacta.
15 : 2"Divisiónnoexacta,porque5noespar
15 : 3"Divisiónexacta,porque:1+ 5= 6
y 6 : 3 es división exacta
15 : 3= 5
Factorización" 30= 2 ? 15= 2 ? 3 ? 5
Repetimos el proceso hasta obtener como cociente 1.
5 : 2"Divisiónnoexacta,porque5noespar.
5 : 3"Divisiónnoexacta.
5 : 5"Divisiónexacta.
5 : 5= 1
Cuandoobtenemoscomocociente1,lafactorizaciónestáterminada.
Factorización" 30= 2 ? 3 ? 5
Este proceso se suele escribir, indicando solo las divisiones exactas,de la siguiente manera:
30 230 : 2 " 15 315 : 3 " 5 55 : 5 " 1
Los números que aparecen en la columna de la derecha son los factores.
Factorización" 30= 2 ? 3 ? 5
Los primerosnúmeros primos son:2, 3, 5, 7, 11, 13, …
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
11 Factoriza los siguientes números.
a) 10 d) 21 g) 70
b) 14 e) 35 h) 105
c) 15 f) 42 i) 210
12 Di a qué número corresponde cada una de estas
factorizaciones.
a) 3 ? 5 ? 11 c) 5 ? 7 ? 11
b) 2 ? 11 d) 3 ? 7 ? 11
30
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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ANTES, DEBES SABER…
Cómo se expresa un producto de factores iguales medianteuna potencia
Unapotencia es un producto de factores iguales.
3 ? 3 ? 3 ? 3= 34 2 ? 2 ? 2= 23
4 veces 3 veces
56 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 72 = 7 ? 7
6 veces 2 veces
EJEMPLO
12 Descompón el número 420 como producto de factores primos.
Cocientes parciales Factorización
2 es divisor de 420 420 : 2 = 210 420= 2 ? 210
2 es divisor de 210 210 : 2 = 105 420= 2 ? 2 ? 105
2 no es divisor de 105
3 es divisor de 105105 : 3 = 35 420= 2 ? 2 ? 3 ? 35
2 no es divisor de 35
ni3,perosí5 35 : 5 = 7 420= 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7
7esunnúmeroprimo,
es divisor de él mismo7 : 7 = 1 420= 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1
Por tanto, podemos expresar el número 420 como:
420= 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1" 420= 22 ? 3 ? 5 ? 7
En la factorización de un número, siempre que se pueda, utilizaremospotencias.
Para realizar la descomposición de un número en factores primos
lo escribimos, normalmente, del siguiente modo:COCIENTES FACTORES
PARCIALES PRIMOS
420 2420 : 2 " 210 2 420= 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7210 : 2 " 105 3 420= 22 ? 3 ? 5 ? 7105 : 3 " 35 535 : 5 " 7 77 : 7 " 1
14 4 2 4 43 1 4 2 4 3
1444 4 2 4 4443 123
23 Descompónenproductodefactoresprimos,
y escribe cómo son estos números.
a) 13 c) 29
b) 61 d) 97
24 Completa para que se cumplan las igualdades.
a) 23 ? 32 ? 4 = 360
b) 42 ? 72 ? 11= 4 851
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
22 Descompón en producto de factores
primos los siguientes números.
a) 36 c) 24 e) 180
b) 100 d) 98 f) 120
13 Descompón en factores primos.
a) 8 c) 27 e) 125
b) 32 d) 81 f) 625
F F
F F
31
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Máximocomún divisor
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de susdivisores comunes.
Para calcular, de forma rápida, el máximo común divisor de varios núme-ros seguimos estos pasos:
1.º Descomponemos los números en factores primos.
2.º Escogemos los factores primos comunes, elevados al menor expo-nente.
3.º El producto de esos factores es el m.c.d. de los números.
EJEMPLOS
7 Obtén el máximo común divisor de 12 y 40.
Primero, descomponemos 12 y 40 en factores primos.12 2 40 2
6 2 20 2
3 3 12= 2 ? 2 ? 3= 22 ? 3 10 2 40= 2 ? 2 ? 2 ? 5= 23 ? 5
1 5 5
1
El único factor primo común es 2.
Alelevarloalmenorexponente:22
Así,resultaque:m.c.d.(12,40)= 22 = 4
14 Calcula el máximo común divisor de 40 y 100.
Primero, descomponemos 40 y 100 en factores primos.
40 2 100 2
20 2 50 2
10 2 40= 23 ? 5 25 5 100= 22 ? 52
5 5 5 5
1 1 5
Los factores primos comunes son 2 y 5.
Alelevarlosalmenorexponente:22 y 5
Así,resultaque:m.c.d.(40,100)= 22 ? 5= 4 ? 5= 20
7
El máximo común divisorde dos números puede ser 1.Por ejemplo:
4 = 22 9 = 32
No hay factores comunes.
m.c.d. (4, 9) = 1
14 Obtén el máximo común divisor.
a) 105 y 128 c) 324 y 628
b) 180 y 240 d) 1 024 y 2 862
27 Hallaelmáximocomúndivisorde18,30y54.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
26 Calcula el máximo común divisor de cada
pareja de números.
a) 42 y 21 d) 12 y 35
b) 24 y 102 e) 60 y 24
c) 13 y 90 f) 72 y 11
32
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Mínimocomún múltiplo
El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de losmúltiplos comunes.
Para calcular, de forma rápida, el mínimo común múltiplo de varios núme-ros seguimos estos pasos:
1.º Descomponemos los números en factores primos.
2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevadosal mayor exponente.
3.º El producto de esos factores es el m.c.m. de los números.
EJEMPLOS
8 Obténelmínimocomúnmúltiplode4y6.
Primero, descomponemos 4 y 6 en factores primos.4 2 6 22 2 3 31 1
4= 2 ? 2= 22 6= 2 ? 3
El factor primo común es 2, y el no común, 3.
Alelevarlosalmayorexponente:2 2 y 3
Así,resultaque:m.c.m.(4,6)= 22 ? 3= 4 ? 3= 12
16 Calculaelmínimocomúnmúltiplode18y60.
Primero, descomponemos 18 y 60 en factores primos.18 2 60 2
9 3 30 2
3 3 18= 2 ? 32 15 3 60= 22 ? 3 ? 5
1 5 5
1 5
Los factores primos comunes son 2 y 3, y los no comunes, 5.
Alelevarlosalmayorexponente:22, 32 y 5
Así,resultaque:m.c.m.(18,60)= 22 ? 32 ? 5= 4 ? 9 ? 5= 180
8
15 Calculaelmínimocomúnmúltiplo.
a) 24 y 48 c) 16 y 80
b) 18 y 54 d) 22 y 52
31 Hallaelmínimocomúnmúltiplode15,25y9.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
30 Determinaelmínimocomúnmúltiplodeestas
parejas de números.
a) 5 y 12
b) 6 y 14
c) 3 y 21
d) 4 y 18
e) 14 y 27
f) 12 y 20
33
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COMPRENDE ESTAS PALABRAS
HAZLO DE ESTA MANERA
1. FACTORIZAR UN NÚMERO
Descompón estos números en factores primos.
a) 84 b) 77
PRIMERO.Dividimoselnúmeroentreelprimernúmeroprimoquehagaladivisiónexacta.
• Ladivisióndeunnúmeroentre2esexactasi el númeroterminaen0oenunacifrapar.
• Ladivisióndeunnúmeroentre3esexactasi, al sumarlascifrasdeesenúmero,obtenemos un múltiplo de 3.
• Ladivisióndeunnúmeroentre5esexactasi el númeroterminaen0oen5.
Para el resto de números primos: 7, 11, 13, 17, … es mejor realizar la división.
a) 84 : 2"Divisiónexacta,porque4espar.84 2
84 : 2 " 42
b) 77 : 2"Divisiónnoexacta,porque7esimpar.
77 : 3"Divisiónnoexacta,porque:7+ 7= 14 y 14 : 3 es división no exacta.
77 : 5"Divisiónnoexacta,porque77noterminaen 0nien5.
77 7 77 77 11 77 : 7 " 110 " Divisiónexacta
SEGUNDO. Repetimos el mismo proceso con los cocientes resultantes hasta obtener la unidad.
a) 84 2 b) 77 784 : 2 " 42 2 42 termina en par, 42 : 2"Divisiónexacta. 77:7 " 11 11 11 es primo.42 : 2 " 21 3 21 no termina en par, 2+ 1= 3, múltiplo de 3. 11 : 11 " 121 : 3 " 7 7 7 es primo.7 : 7 " 1
TERCERO. Escribimos el número como el producto de todos los factores primos de la columnade la derecha y, si hay factores repetidos, los expresamos como una potencia.
a) 84= 2 ? 2 ? 3 ? 7= 22 ? 3 ? 7 b) 77= 7 ? 1122
123
Lo esencial
Múltiplos y divisores
8 : 2 es una división exacta
8 es múltiplo de 2 2 es divisor de 8
Número primo
Div(7)= {1, 7}
Div(11)= {1, 11}
Número compuesto
Div(10)= {1, 2, 5, 10}
Div(12)= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
F
F F
F
F
F
34
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4. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚNDIVISOR DE VARIOS NÚMEROS
Obténelmáximocomúndivisorde24,132
y 84.
PRIMERO.Descomponemoslosnúmerosen
factores primos.
24 2 132 2 84 2
12 2 66 2 42 2
6 2 33 3 21 3
3 3 11 11 7 7
1 3 1 1 3
24= 23 ? 3 132= 22 ? 3 ? 11 84= 22 ? 3 ? 7
SEGUNDO. Escogemos los factores comuneselevados al menor exponente.
Factorescomunes" 2 y 3
Con menor exponente " 22 y 3
TERCERO. El producto de esos factoreses el m.c.d. de los números.
m.c.d.(24,132,84)= 22 ? 3= 12
Elmáximocomúndivisorde24,132y84es12.
Comprende estas palabras
1. ¿Es 24 múltiplo de 2? ¿Y de 3?
2. ¿Es 7 divisor de 63? ¿Y de 77?
1. Escribe tres múltiplos de estos números.
a) 8 c) 18
b) 12 d) 24
2. Escribe tres divisores de los números.
a) 24 c) 100
b) 96 d) 39
3. ¿Cuántosdivisorestieneelnúmero17?
¿Qué se puede decir de él?
5. Averiguacuáldelossiguientesnúmeros
es primo.
a) 21 b) 82 c) 31 d) 33
Factorizar un número
7. Descompónenfactoresprimoselnúmero88.
8. ¿Cuáleslafactorizaciónde120?¿Yde240?
¿Y de 480?
9. ¿Cuáleselnúmerocuyafactorización
es 23 ? 3 ? 52?
Calcular el máximo común divisor de variosnúmeros
10. ¿Cuáleselm.c.d.de32y48?
11. Hallaelm.c.d.de24,35y46.
Calcular el mínimo común múltiplo de variosnúmeros
12. ¿Cuáleselm.c.m.de10y8?
13. Calcula el m.c.m. de 16, 40 y 80.
Y AHORA… PRACTICA
5. CALCULAR EL MÍNIMO COMÚNMÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS
Obténelmínimocomúnmúltiplode135,315
y 175.
PRIMERO.Descomponemoslosnúmerosen
factores primos.
135 3 315 3 175 5
45 3 105 3 35 5
15 3 35 5 7 7
5 5 7 7 1
1 3 1 3
135=
3
3
?
5 315=
3
2
?
5?
7 175=
5
2
?
7SEGUNDO. Escogemos los factores comunesy no comunes elevados al mayor exponente.
Factorescomunesynocomunes " 3, 5 y 7
Con mayor exponente " 33, 52 y 7
TERCERO. El producto de esos factoreses el m.c.m. de los números.
m.c.m.(135,315,175)= 33 ? 52 ? 7= 4 725
El mínimo común múltiplo de 135, 315 y 175es 4 725.
35
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ActividadesMÚLTIPLOS DE UN NÚMERO
52. ● Halla con la calculadora los diez primeros
múltiplos de 11 y los ocho primeros múltiplosde 12.
53. ● Contestasiesverdaderoofalso,yrazona
las respuestas.
a) 35 es múltiplo de 5.
b) 49 es múltiplo de 6.
c) 56 es múltiplo de 8.
d) 72 es múltiplo de 9.
54. ● ¿Cuál de estas series está formada por
múltiplos de 4? ¿Y por múltiplos de 5?
a) 1, 4, 9, 16, 25, …b) 5, 10, 15, 20, …
c) 8, 10, 12, 14, 16, …
d) 4, 8, 16, 24, 32, 40, …
e) 1, 5, 10, 20, 30, …
f) 20, 40, 60, 80, …
55. ● Halla los múltiplos de 4 menores que 50.
56. ● ¿Cuáles son los múltiplos comunes de 5 y 8
menores que 50?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UN MÚLTIPLO DE UN NÚMEROCOMPRENDIDO ENTRE OTROS DOS NÚMEROS?
57. Encuentra un múltiplo de 26 que esté
comprendido entre 660 y 700.
PRIMERO. Se divide el menor de los dos números,660, entre el número del que se quiere hallarel múltiplo, 26.
660 26
010 25
SEGUNDO. Se aumenta en una unidad el cociente,y se multiplica por el número del que se quiereobtener el múltiplo.
MÚLTIPLO =(25+ 1) ? 26= 676
Se comprueba que el número obtenido cumplela condición pedida: el número 676 es múltiplode 26y estácomprendidoentre660y700.
58. ● Determina un número entre 235 y 289 que sea
múltiplo de 29.
59. ● Halla los múltiplos de 11 comprendidos entre
40 y 100.
60. ● Calcula cuatro números que sean múltiplos
de 7 y que estén comprendidos entre 60 y 110.
61. ● Escribe el primer múltiplo de 32 que sea mayor
que 2 000.
DIVISORES DE UN NÚMERO
66. ● Contestasiesverdaderoofalso,yrazona
las respuestas.
a) 12 es divisor de 48.b) 15 es divisor de 3.c) 9 es divisor de 720.
d) 7 es divisor de 777.e) 44 es divisor de 44.f) 100 es divisor de 10.g) 123 es divisor de 123.h) 1 es divisor de 17.
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULAN TODOS LOS DIVISORESDE UN NÚMERO?
16. Calcula todos los divisores de 63.
PRIMERO. Se divide el número entre 1, 2, 3, … hastaque el cociente sea menor que el divisor.
63 1 63 2 63 3 63 4 63 5 0 63 1 31 0 21 3 15 3 12
63 6 63 7 63 83 10 0 9 7 7 " El cociente, 7, es menor
que el divisor, 8.
SEGUNDO.Decadadivisiónexactaseextraen
dos divisores: el divisor y el cociente.
63 : 1= 63 " 1 y 63 son divisores de 63.63 : 3= 21 " 3 y 21 son divisores de 63.63 : 7= 9 " 7 y 9 son divisores de 63.
El resto de divisiones no son exactas.
Los divisores de 63 son:
Div(63)= {1, 3, 7, 9, 21, 63}
67. ● Completalosdivisoresde24,16,36y54.
Div(24)= {1, 2,4, 4,4, 8,4,4}
Div(16)= {1, 2,4,4, 16}
Div(36)= {1, 2,4, 4,4,4,4,4, 36}Div(54)= {1, 2,4,4,4,4,4, 54}
36
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68. ● Halla todos los divisores de 42.
¿Cuántos divisores tiene 42?
69. ● Calcula todos los divisores de:
a) 28 c) 54
b) 64 d) 96
70. ● Si63esmúltiplode9,¿cuálesdelassiguientes
afirmaciones son ciertas?
a) 63 es divisor de 9.
b) 9 es divisor de 63.
c) 9 es múltiplo de 63.
72. ● Alhacerladivisión57:5,vemosquenoes
exacta. Decide si es verdadero o falso.
a) 5 no es divisor de 57.
b) 57 es múltiplo de 5.
c) 57 no es divisible por 5.
17. ● Observalassiguientesdivisionesexactas,
y completa las frases que aparecen.
a) 24 : 8= 3
24 es …… de 8
24 es …… de 3
8 es …… de 243 es …… de 24
b) 192 : 16= 12
196 es …… de 16
196 es …… de 12
16 es …… de 196
12 es …… de 196
73. ● Si 175= 5 ?35,¿cuálesdelasafirmaciones
son ciertas?
a) 175 es divisible por 5.b) 175 es múltiplo de 35.
c) 5 es divisor de 175.
74. ● Dada la relación 104= 4 ?26,¿qué
afirmaciones son verdaderas?
a) 104 es múltiplo de 4.
b) 26 es divisor de 104.
c) 104 es divisible por 26.
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE DETERMINA SI UN NÚMERO ES PRIMOO COMPUESTO?
18. Averigua si 61 es primo o compuesto.
PRIMERO. Se calculan los divisores del número.
61 1 61 2 61 3 61 4 61 5 0 61 1 30 1 20 1 15 1 12
61 6 61 7 61 81 10 5 8 5 7 " El cociente, 7, es menor que
el divisor, 8.
Como solo existe una división exacta:
Div(61)= {1, 61}SEGUNDO. Se decide si el número es primoo compuesto.
• Sielnúmerodedivisoresesdos, el número es primo.
• Sielnúmerodedivisoresesmayorquedos,
el número es compuesto.
Como 61 tiene dos divisores, es un número primo.
77. ● Completa la siguiente tabla:
Compuesto
Números
33
61
79
72
39
1, 3, 11, 33
Divisores Primo/Compuesto
78. ● ¿Cuáles de estos números son primos?
¿Y cuáles son compuestos?
a) 46 b) 31 c) 17 d) 43
79. ● Escribe los números primos mayores que 30
y menores que 100.
80. ● Sabiendo que un número de dos cifras tiene
divisiónexactacon3,¿sepuededecir
que es primo? Pon un ejemplo.
81. ●● Escribe estos números como suma de dos
números primos.
a) 12 b) 20 c) 36 d) 52
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FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO
19. ● Escribe y comprueba.
a) Escribe diez múltiplos de 2. ¿Son pares todoslos números que obtienes?
b) Escribe diez múltiplos de 3. Suma las cifrasde cada número. ¿Es siempre la sumaun múltiplo de 3?
c) Escribe diez múltiplos de 5. ¿Terminan todoslos números en 0 o en 5?
20. ● Observa los siguientes números y contesta.
45 52 70 81 94 125 231
a) ¿Qué números son múltiplos de 2?
b) ¿Qué números son divisibles por 3?
c) ¿Dequénúmeroses 5 un divisor?
21. ● Escribelosdoceprimerosmúltiplosde10,
y subraya la última cifra de cada uno.
¿Cómo puedes saber si un número es múltiplo
de 10?
82. ● Descompón estos números en producto
de factores primos.
a) 56 f) 77 k) 138
b) 100 g) 98 l) 102
c) 187 h) 47 m) 325
d) 151 i) 99 n) 226
e) 155 j) 79 ñ) 402
22. ● Lafactorización23 ? 3 ? 52,¿acuál
de los siguientes números corresponde?
a) 30 c) 120 e) 300
b) 60 d) 150 f) 600
83. ● ¿A qué números corresponden estas
descomposiciones en factores primos?
a) 23 ? 3 ? 5 e) 23 ? 52 ? 7
b) 2 ? 32 ? 7 f) 32 ? 5 ? 72
c) 5 ? 72 ? 11 g) 3 ? 53 ? 72
d) 2 ? 3 ? 5 ? 72 h) 23 ? 32 ? 5 ? 73
84. ● ¿Cuál es la descomposición en factores primos
de un número primo? Pon un ejemplo.
MÁXIMO COMÚN DIVISORY MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
89. ● Halla el máximo común divisor
de los siguientes pares de números.
a) 16 y 24 c) 12 y 36 e) 28 y 49b) 45 y 72 d) 18 y 27 f) 18 y 28
90. ● Calcula el máximo común divisor de estos
pares de números.
a) 4 y 15 c) 3 y 17 e) 21 y 2
b) 9 y 13 d) 12 y 7 f) 18 y 47
91. ●● Obtén el máximo común divisor
de los siguientes números.
a) 8, 12 y 18 d) 45, 54 y 81
b) 16, 20 y 28 e) 75, 90 y 105
c) 8, 20 y 28 f) 40, 45 y 55
94. ●Calculaelmínimocomúnmúltiplode:
a) 12 y 24 c) 27 y 54
b) 16 y 18 d) 21 y 49
95. ●Hallaelmínimocomúnmúltiplode:
a) 5 y 12 c) 12 y 25
b) 7 y 14 d) 8 y 15
96. ●● Determinaelmínimocomúnmúltiplode:
a) 12, 15 y 18 c) 6, 30 y 42b) 10, 20 y 30 d) 9, 14 y 21
PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD
97. ● José está haciendo una colección de cromos.
Loscromossevendenensobrescon5cromos
cada uno. ¿Puede comprar 15 cromos? ¿Y 17?
23. ● Rafa ha hecho 40 croquetas.
a) ¿Puede repartirlas en partes iguales en 8 platossin que le sobre ninguna?
b) ¿Y en 9 platos?
38
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98. ●● Ana tiene un álbum de 180 cromos.
Loscromossevendenensobresde5cromos
cada uno. Suponiendo que no se repita
ningúncromo,¿cuántossobrestiene
quecomprarcomomínimo?
99. ●●Luisquierepegarlas49fotosde
sus vacaciones en filas de 3 fotos cada una.
¿Cuántasfilasenterasobtendrá?¿Lesobra
alguna foto? Razona la respuesta.
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE DIVIDE UNA CANTIDAD EN GRUPOSIGUALES?
24. Necesitamosenvasar10rosquillasencajas
que tengan el mismo número de rosquillas cada
una. ¿De cuántas formas se pueden envasar?
PRIMERO. Se calculan todos los divisores de la cantidad.
10 1 10 2 10 3 10 40 10 0 5 1 3 2 2
El cociente, 2, es menor que el divisor, 4. Por tanto,no seguimos dividiendo.
10 : 1= 10"Divisiónexacta"Divisores:1y10
10 : 2= 5 "Divisiónexacta"Divisores:2y5
SEGUNDO. Los divisores son las formas en que sepuede agrupar la cantidad.
Divisores:1y10Se pueden envasar en 1 caja de 10 rosquillaso en 10 cajas de 1 rosquilla.
Divisores:2y5
Se pueden envasar en 2 cajas de 5 rosquillaso en 5 cajas de 2 rosquillas.
100. ●● Cristina tiene 24 coches de juguete y quiere
colocarlosenfila,demodoqueencadafilahaya
la misma cantidad de coches.
¿De cuántas maneras puede hacerlo?
101. ●●● Carmen cuenta sus 24 coches de juguete
de 3 en 3 y Alberto lo hace de 4 en 4. ¿Coinciden
en algún número? ¿Qué tienen en común
dichos números?
102. ●● Eduardo trabaja en una tienda de animales.
Hay8canariosyquiereponerlosenjaulas,
conelmismonúmerodecanariosencadauna,
sin que sobre ninguno. ¿De cuántas formas
puede colocar los canarios en las jaulas?
103. ●● Marta tiene 15 piñas y desea repartirlas en
cestos,conelmismonúmerodepiñasencada
uno,sinquelesobreninguna.¿Decuántas
maneras distintas puede repartirlas?
104. ●● Maríahahecho45pastelesylosquiere
guardar en cajas. ¿De cuántas maneras los
puede guardar para que no sobre ninguno?
105. ●● Paco tiene 20 láminas de madera y tiene que
ponerlasenmontones,conelmismonúmero
deláminasencadauno,sinquelesobreninguna. ¿Cuántas láminas puede poner en
cada montón?
106. ●● Ana tiene 7 macetas de geranios y las quiere
colocarengrupos,demaneraquecadagrupo
tenga el mismo número de macetas y no sobre
ninguna. ¿Cuántas macetas puede poner
en cada grupo?
25. ●● Maite ha regado hoy los geranios y los cactus
de laterraza.Riegalosgeranioscada3días
y los cactuscada9días.¿Cuántosdíastienen
quepasarcomomínimohastaqueMaitevuelva
a regarlasdosplantaselmismodía?
26. ●● Fran y Raquel van
a patinar a la mismapista. Fran va cada
4 díasyRaquel,
cada 5 días.
Hoy han ido los dos.
¿Dentro de cuántos
díasvolverán
a coincidir por
primera vez en la
pista de patinaje?
39
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3
1. Aunque Leonardo
da Vinci es más
conocido por
su pintura,
su contribución a las
matemáticas también
es importante.
Averigua alguna de
sus aportaciones.
2. Busca información
sobre Luca Pacioliy los trabajos que
realizó con Leonardo
da Vinci.
3. Investiga sobre las
aportaciones a las
matemáticas de Luca
Pacioli y su relación
con las fracciones.
DESCUBRELA HISTORIA...
Entre la proporción divinay la humana
Da Vinci entró en la sala donde estaba Luca Pacioliexaminando las ilustraciones de su libro.
–Vuestro trabajo me parece fantástico, Leonardo–dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos.
–Gracias, padre Pacioli –respondió Da Vincie hizo una leve inclinación–. Vuestra obra,La divina proporción, lo merecía.
–Acerté al encargaros las ilustracionesdel libro, pues sabía que el temade las proporciones os apasionaríadesde el momento en que meenseñasteis el boceto del Hombrede Vitruvio –remarcó Pacioli.
–Las proporciones humanas que Vitruvio recoge en su tratadose ajustan a los cánones debelleza del arte actual –explicóDa Vinci–. ¿Sabéis quela distancia del codo alextremo de la mano es unquinto de la altura de un hombre,que la distancia del codo a la axila
es un octavo o que la longitudde la mano es un décimo?
Fracciones
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad
aprenderás a…
• Manejar las distintas
interpretaciones
de una fracción.
• Identificaryhallarfracciones
equivalentes
a una fracción dada.
• Compararyordenarfracciones.
• Realizaroperacionescon fracciones.
PLAN DE TRABAJO
LECTURA DE FRACCIONES
Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador.
7
5
Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresael denominador como se indica en la siguiente tabla:
Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Se lee medios tercios cuartos quintos sextos séptimos octavos novenos décimos
Si el denominador es mayor que 10, se lee el númeroañadiendo la terminación -avos.
7
5se lee cinco séptimos
5
2se lee dos quintos
Cuando el denominador es mayor que 10:
11
3se lee tres onceavos
F Denominador
Numerador F
F
F
F
F
F
F
Las fracciones se utilizanpara expresar cantidadesincompletas de la unidad.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones.
a)4
9c)
2
3e)
12
8
b)13
5d)
5
1f)
15
11
2 Escribe cómo se lee.a) Una fracción con numerador 3 y denominador 5.
b) Una fracción con numerador 2 y denominador 7.
c) Una fracción con denominador 9 y numerador 4.
d) Una fracción con denominador 6 y numerador 17.
1. Escribe en forma de fracción.
a) Siete novenos. c) Diez doceavos.
b) Dos décimos. d) Trece sextos.
41
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Númerosfraccionarios1
Una fracción es una expresiónb
a, donde a y b son números naturales
llamados numerador y denominador, respectivamente.
Una fracciónb
apuede expresar un valor respecto a un total que llamamos
unidad. En este caso:
• Su denominador, b, representa el número de partes iguales en quese divide la unidad.
• Su numerador, a, representa el número de partes que se toman.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se representa geométricamente una fracción
Para representar una fracción, se suelen utilizar figuras geométricasque consideramos como la unidad.
• Dividimoslaunidadentantas
partes como indica el denominador.
• Coloreamostantaspartescomo
indica el numerador.
EJEMPLO
1 Escribe como fracción la parte coloreada de cada figura, e indica
el numerador y el denominador.
a) b)
9
5G Numerador
G Denominador
18
13G Numerador
G Denominador
EJEMPLO
1 Expresa como fracción esta situación:
Deunbizcochodividido en 7 partes, nos comemos 4.
Tomamos 4 partes " Numerador
Dividido en 7 partes " Denominador 7
4
"2
La fracción representa una parte de la unidad.
1 Representa estas fracciones.
a)4
3b)
7
5c)
12
4
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Indica cuál es el numerador y el denominador.
a)4
9b)
11
6c)
22
1
G
10
3
4
7
7
4
G
G
G
G
42
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Fracciones propiase impropias2
• Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el deno-minador. Representa un número menor que la unidad.
• Una fracción es impropia si tiene el numerador mayor que el de-nominador. Representa un número mayor que la unidad.
Si el numerador y el denominador
son iguales, la fracciónes igual a la unidad.
66
= 1 "
EJEMPLO
4 Determina cuáles de las siguientes fracciones son propias o impropias.
a)6
2 b)6
8
a)6
2 "
Numerador < Denominador
2 < 62 Fracción propia
Representaunnúmeromenorquelaunidad.
b)6
8 "
Numerador > Denominador
8 > 62
Fracción
impropia
Representaunnúmeromayorquelaunidad.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se comparan las fracciones con la unidad
• Unafracciónesmenor que la unidad si el numerador es menor
que el denominador.
• Unafracciónesmayor que la unidad si el numerador es mayor
que el denominador.
EJEMPLO
2 Escribe la fracción coloreada y compárala con la unidad.
a) b)
7
3 < 1, porque 3 < 7
6
11 > 1, porque 11 > 6
5 Indica si estas fracciones son propias,
impropias o iguales a la unidad.
a)35
17b)
42
43c)
5
5d)
18
13
6 Representa gráficamente las fracciones, y di
si son menores, iguales o mayores que la unidad.
a)5
7b)
7
4c)
16
16d)
3
9
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 Escribe la fracción representada y compárala
con la unidad.
a)
b)
43
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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13 Obténtresfraccionesequivalentes
por amplificación.
a)2
11b)
7
9
14 Obtén, si es posible, dos fracciones
equivalentesporsimplificación.
a)75
125b)
60
48
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
3 Representa cada una de las siguientes fracciones
ydecidesisonequivalentes.
a)8
6
4
3y b)
7
5
3
2y
9 Compruebasilasfr accionessonequivalentes.
a)4
3
20
15y b)
8
6
10
4y
Fraccionesequivalentes3
Dos fracciones,b
ay
d
c, son equivalentes, y se escribe
b
a
d
c= , cuando
representan la misma cantidad. Sib
a
d
c= , se cumple que a ? d = b ? c.
EJEMPLO
6 ¿Sonequivalenteslas fracciones5
2
20
8y ? ¿Y las fracciones
5
3
30
6y ?
5
2
20
8= si se cumple que: y
? ?2 20 5 8
40 40 5
2
20
8=
="2 son equivalentes.
5
3
30
6= si se cumple que: y
? ?3 30 5 6
90 30 5
3
30
6
!
="2 no son equivalentes.
25
y8
20son equivalentes,
porque representanla misma cantidad.
2
5 "
820
"
SE ESCRIBE ASÍ
Amplificación
18
12
?
?
18
12
2
2=
Simplificación
:
:
18 318
12 12 3=
3.2 Cómo obtener fracciones equivalentes
• Amplificación: consiste en obtener una fracción equivalente multipli-cando el numerador y el denominador por el mismo número.
• Simplificación: consiste en obtener una fracción equivalente dividiendoel numerador y el denominador entre un divisor común de ambos.
EJEMPLO
8 Halladosfraccionesequivalentes a18
12, una por amplificación y otra
por simplificación.AMPLIFICACIÓN
?
?
18
12
18 2
12 2
36
24= =
SIMPLIFICACIÓN
:
:
18
12
18 3
12 3
6
4= =
•Como12? 36 = 18 ? 24:
18
12
36
24y son equivalentes.
•Como12? 6 = 18 ? 4:
18
12
6
4y son equivalentes.
44
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6 ¿Tienendivisorescomunesestosnúmeros?Indica cuáles son.
a) 25 y 75 c) 13 y 25
b) 12 y 36 d) 7 y 12
7 Di si es cierto o no.
a) 5esdivisorcomúnde15y25.
b) 3noesdivisorcomúnde12y15.
c) 2noesdivisorcomúnde12y25.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Di si es cierto o no.
a) 4 es divisor de 18.
b) 9 no es divisor de 95.
c) 12 no es divisor de 72.
5 Decidesi2,3o5sondivisoresdelossiguientes
números.
a) 18 c) 25
b) 32 d) 70
3.3 Fracción irreducible
ANTES, DEBES SABER…
Cuándo un número es divisor de otro
Unnúmeroa es divisordeotronúmerobsiladivisióndeb entre a
es exacta.
EJEMPLO
3 Compruebasi2y5sondivisoresde12.
12 2 La división 12 : 2 es exacta" 2 es divisor de 12.
0 6
12 5 La división 12 : 5 no es exacta" 5 no es divisor de 12.
2 2
Cuándo 2, 3 o 5 son divisores de un número
• 2esdivisordeunnúmerosielnúmeroterminaen0oenunacifrapar.
• 3esdivisordeunnúmerosilasumadesuscifrasesunmúltiplode3.
• 5esdivisordeunnúmerosielnúmeroterminaen0oen5.
EJEMPLO
4 Decidesi2,3o5sondivisoresdeestosnúmeros.
a) 12 b) 15
¿Tienenalgúndivisorcomún?
a) 2 es divisor de 12, ya que termina en cifra par.
3 es divisor de 12, pues 1 + 2 =3esmúltiplode3.5 no es divisor de 12, porque no termina en 0 o en 5.
b) 2 no es divisor de 15, ya que no termina en 0 o en cifra par.
3 es divisor de 15, pues 1 + 5 =6esmúltiplode3.
5 es divisor de 15, porque termina en 5.
Como3esdivisordeambos,esundivisorcomúnde12y15.
Dos números tienenun divisor común
si es divisor de ambos.
Una división es exacta
si su resto es cero.
D d D = d ? c
0 6
12 2 12 = 2 ? 6
0 6
RECUERDA
45
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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15 ¿Son irreducibles estas fracciones? En caso
de que no lo sean, obtén su fracción irreducible.
a)60
40b)
90
72
9 ¿Es45
20la fracción irreducible de
0
90
4?
Indica por qué.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
8 Halla la fracción irreducible de cada una
de las siguientes fracciones.
a)100
50d)
75
15
b)90
42e)
1 0
100
5
c)2
45
7f)
00
75
2
Decimos que una fracción es irreducible si no se puede simplificar.
Si una fracción es irreducible, su numerador y su denominador no pue-den tener divisores comunes.
EJEMPLO
9 Calculalafracciónirreducible de18
12.
Simplificamos la fracción dividiendo entre los sucesivos divisores comunesdel numerador y el denominador.
2 es divisor de 12 y 18 " :
:
18
12
18 2
12 2
9
6= =
3 es divisor de 6 y 9 " :
:
9
6
9 3
6 3
3
2= =
2 y 3 no tienen divisores comunes " 3
2es la fracción irreducible de
18
12.
EJEMPLO
5 Halla la fracción irreducible de105
75.
• 2noesdivisorde75,yaquenoterminaen0oencifrapar.
3 es divisor de 75, pues 7 + 5 =12esmúltiplode3,ytambiénesdivisorde 105, porque 1 + 0 + 5 =6esmúltiplode3.
Como3esdivisorde75y105" :
:
105
75 75
35
25
105 3
3= =
• 2noesdivisorde25,yaquenoterminaen0oencifrapar.
3 no es divisor de 25, porque 2 + 5 =7noesmúltiplode3.
5 es divisor de 25 y de 35, porque ambos terminan en 5.
Como5esdivisorde25y35" ::
5
5
35 5
5 5
3
2 2
7
5= =
• 5esunnúmeroprimo.
7esunnúmeroprimo.
5 y 7 no tienen divisores comunes" 7
5es la fracción irreducible de
105
75.
c)18
70d)
7
25
Unnúmeroesprimosisolotiene dos divisores: él mismo
y la unidad.
RECUERDA
46
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11 Ordena estas fracciones, de menor a mayor.
a) ,15
8
7
8
3
8y b) ,
13 1
4
17
4 4y
12 Copiaycompletaparaquelascomparaciones
sean ciertas.
a)15
4
15<4
b)5
6 6>4
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
17 Comparaestasfracciones.
a)6
5
6
4y b)
7
3
5
3y
10 Ordena las siguientes fracciones, de mayor
a menor.
a) ,5
7
5
3
5
1y b) ,
7
59
7
13
7y
Comparaciónde fracciones
Dadas dos fracciones, siempre habrá una de ellas que sea menor, igual omayor que la otra.
4.1 Fracciones con el mismo denominador
Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la quetiene mayor numerador.
EJEMPLO
10 Comparalasfracciones5
3y5
2.
Como5
3
5
2y tienen el mismo denominador y 3 > 2
5
3
5
2>" .
5
3"
5
2"
4.2 Fracciones con el mismo numerador
Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tienemenor denominador.
EJEMPLO
11 Comparalasfracciones4
1
2
1y .
Como4
1
2
1y tienen el mismo numerador y 2 < 4
2
1
4
1>" .
4
1"
2
1"
4
47
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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4.3 Fracciones con distinto denominador y numerador
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calcula el mínimo común múltiplo
Paracalcularelmínimocomúnmúltiplodevariosnúmeros:
1.° Descomponemoslosnúmerosenfactoresprimos.
2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes,
elevadosal mayorexponente.
3.º Elproductodeesosfactoreseselm.c.m.delosnúmeros.
Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en ob-tener otras fracciones equivalentes a ellas con el mismo denominador.
EJEMPLO
12 Reduceacomúndenominador las fracciones9
5
12
7y .
Primerocalculamoselmínimocomúnmúltiplodelosdenominadores.
?
9 3
12 2 3
2
2
=
="3 m.c.m. (9, 12) = 22 ? 32 = 4 ? 9 = 36
Eldenominadorcomúndelasnuevasfraccioneseselm.c.m.
Para calcular el numerador de cada nueva fracción, dividimos el m.c.m.
entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.
9
536 : 9 ? 5
F
=F
m.c.m. (9, 12) = 3636
20
12
736 : 12 ? 7
F
=F
m.c.m. (9, 12) = 3636
21
Cuando dos fracciones tienen distinto denominador y numerador, sereducen a común denominador y se comparan los numeradores.
EJEMPLO
13 Comparalasfracciones 9
5
12
7y .
9
5
36
20=
12
7
36
21=
36
20
36
21
9
5
12
7< <"F
20 < 21
22 Comparaestasfracciones.
a)6
5
4
3y b)
4
7
9
3y
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
21 Reduceacomúndenominador.
a) , ,3
2
4
1
6
5b) , ,
5
4
10
1
4
3
Descomponernúmerosenfactores primos es
expresarlo como producto de
sus divisores primos.
12 2
6 2 12 = 22 ? 3
3 3
1
RECUERDA
El m.c.m. de dos
o más números esel menor de susmúltiplos comunes.
48
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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13 Expresalosnúmeroscomofracciónyopera.
a) 327
11+ b) 17
12
7-
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
25 Calcula.
a)3
4
6
5- b)
8
9
3
1+
Suma y restade fracciones
5.1 Fracciones con el mismo denominador
Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador, se suman(o se restan) los numeradores y se mantiene el mismo denominador.
EJEMPLO
14 Calcula.
a)8
5
8
7+ =
8
5 7
8
12
2
3+= = b)
6
9
6
1- =
6
9 1
6
8
3
4-
= =
Simplificamos
F
Simplificamos
F
5.2 Fracciones con distinto denominador
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se expresa un número natural como fracción
Cualquiernúmeronaturalsepuedeescribirenformadefracción
condenominador1. 7
1
7=
115
15=
Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador:
1.º Obtenemos fracciones equivalentes que tengan el mismo deno-minador, reduciendo a común denominador.
2.º Se suman (o se restan) los numeradores, manteniendo el mismodenominador.
EJEMPLO
6 Calcula. a)5
3
4
7+ b) 15
9
2-
a) 5 = 5 4 = 22 m.c.m. (5, 4) =5 ? 22 = 20
: :
5
3
4
7
20
20 5 3
20
20 4 7
20
12
20
35
20
47? ?
+ = + = + =
b) 15 - 9
2
1
15
9
2
9
9 15
9
2
9
135
9
2
9
133?
= - = - = - =
5
Los resultados debensimplificarse siempre.
La fracción finaldebe ser irreducible.
49
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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35 Efectúalasdivisiones.
a) :10
9
4
3
b) :15
48
3
2d) :
5
12
7
8
14 Realizaestasdivisionesysimplifica.
a) :155
2b) :
4
182
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
Multiplicaciónde fracciones
El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene pornumerador el producto de los numeradores, y por denominador, elproducto de los denominadores.
?
?
?
ba
dc
b da c=
EJEMPLOS
16 Halla el producto de estas fracciones.
a) ?
2
3
7
5
?
?
2 7
3 5
14
15= =
b) ?
11
6
4
5
?
?
11 4
6 5
44
30
22
15= = =
F
Fracción irreducible
F
Simplificamos
17 Obténelproductodeestosnúmeros por una fracción.
a) ?34
7 ?
?
?
1
3
4
7
1 4
3 7
4
21= = = b) ?
6
58 ?
?
?
6
5
1
8
6 1
5 8
6
40
3
20= = = =
F
Simplificamos
Divisiónde fracciones
Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción que es el resultadode multiplicar los términos de ambas fracciones de manera cruzada.
:b
a
d
c
b c
a d
?
?
=F F
EJEMPLO
20 Efectúalassiguientesdivisiones .
a) :3
2
2
5 ?
?
?
3
2
5
2
3 5
2 2
15
4= = =
b) :
7
63 ::
7
6 3
1:
?
?
7 3
6 1
21
6
7
2= = =
6
7
c) :2
9
7
5
Cualquier númeronatural se puedeconsiderar como
una fraccióncon denominador 1.
3 = 31
29 Calculaysimplifica.
a) ?
8
3
9
11 c) ?
15
2
5
7
b) ?
5
4
12
7d) ?
6
7
6
15
30 Resuelveysimplifica.
a) ?105
4 b) ?15
6
7
50
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39 Opera.
a) ?
5
14
7
3
12
5
3
11- +e o
b) : ?
7
9
8
17
5
3
2
3
9
1- +e o
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
38 Calcula,indicandolospasosquesigues.
b) ?
5
4
2
3
2
7
3
1+ -
a) :3
7
2
1
4
5+
Jerarquía de las operacionescon fracciones
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se realizan operaciones combinadas con números naturales
Aloperarconnúmerosnaturalesresolvemos:1.ºLasoperacionesquehayentreparéntesis.
2.ºLasmultiplicacionesylasdivisiones,deizquierdaaderecha.
3.ºLassumasylasrestas,deizquierdaaderecha.
EJEMPLO
7 Resuelveestaoperación:
25- (4 ? 3- 2)+14:(3+ 4) =
= 25 - (12 - 2) + 14 : 7 =
= 25 - 10 + 14 : 7 =
= 25 - 10 + 2 =
= 17
Al realizar operaciones combinadas con fracciones, el orden que se siguees el mismo que en las operaciones con números naturales.
1.º Las operaciones que hay entre paréntesis.
2.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.
3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
EJEMPLO
8 Calcula. :5
3
5
6
2
1
5
4=+ +d n
: :5
3
5
6
10
5
10
8
5
3
5
6
10
13
5
3
5 13
6 10
5
3
65
60
65
39
65
60
65
99
?
?
= + + = + =
= + = + =
= + =
d n
8
Es importanterespetar el ordende las operaciones
para obtenerel resultadocorrecto.
FSumas y restas
FMultiplicaciones y divisiones
FParéntesis
Sumas y restas
Multiplicaciones y divisiones
F
F
F
Paréntesis
51
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
HAZLO DE ESTA MANERA
1. COMPROBAR SI DOS FRACCIONES SON EQUIVALENTES
Compruebasiestasfraccionessonequivalentes. a)3
2
6
4y b)
3
5
4
3y
PRIMERO. Multiplicamos el numerador
de la primera por el denominador de la segunda,
y el denominador de la primera fracción
por el numerador de la segunda.
a) 2 ? 9 = 18 3 ? 6 = 18
b) 5 ? 4 = 20 3 ? 3 = 9
SEGUNDO.Comprobamossiambosproductossoniguales. En ese caso, las fracciones son equivalentes.
a) 18 = 18" 3
2
6
4y son equivalentes.
b) 20! 9" 3
5
4
3y no son equivalentes.
FracciónNumerador
Denominador 5
4
Fracción propia
Numerador < Denominador7
5
Fracción impropia
Numerador > Denominador5
7
FMenor
FMayor
F
F
Fracciones equivalentes
5
2
"
20
8
"
5
2y20
8son equivalentes.
Fracción irreducible
5
4es irreducible, porque 4 y 5 no tienen
divisores comunes.
1. CALCULAR LA FRACCIÓN IRREDUCIBLE
Halla la fracción irreducible de90
72.
PRIMERO.Calculamoselm.c.d.delnumeradory el denominador.
18=( , ) ?72 90 2 3m.c.d. =?
? ?
72 2 3
90 2 3 5
3 2
2
2"
=
=3
SEGUNDO. Dividimos el numerador
y el denominador entre su m.c.d.
:
:90
72
90 18
72 18
5
4= =
F
Fracción irreducible
2. REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR
Reduceacomúndenominadorestasfracciones:15
7y9
8
PRIMERO. Hallamos el m.c.m. de los denominadores.
SEGUNDO. El m.c.m. de
los denominadores es el nuevo
denominador de las fracciones.
Para obtener el nuevo numerador,
dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.
(15, 9) 3 5 45?m.c.m. = =15 3 5 9 3?2 2"= =
15
745 : 15 ? 7
F
=F
m.c.m. (15, 9) = 4545
21
9
845 : 9 ? 8
F
=F
m.c.m. (15, 9) = 4545
40
52
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
http://slidepdf.com/reader/full/libro-mates-1o-eso-avanza 53/232
3. COMPARAR FRACCIONES
Comparalasfracciones15
7y9
8.
PRIMERO. Si tienen
distinto denominador,
reducimosacomúndenominador.
SEGUNDO. Si tienen
el mismo denominador,
es mayor la fracción que
tiene mayor numerador.
15
7
45
21=
9
8
45
40=
21 4045
21
45
40
15
7
9
8
< <
<
"
"
4. SUMAR Y RESTAR FRACCIONES
Calculalasiguientesumadefracciones:4
7
10
3+
PRIMERO.Silasfraccionesnotienenelmismodenominador,lasreducimosacomúndenominador.
$( , )4 10 2 5 20m.c.m. = =$
"4 2
10 2 5
22=
=3
SEGUNDO. Si las fracciones tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores, y simplificamos,
si se puede.
4
7
10
3
20
35
20
6
20
41+ = + =
4
720 : 4 ? 7
F
=F
m.c.m. (4, 10) = 2020
35
10
320 : 10 ? 3
F
=F
m.c.m. (4, 10) = 2020
6
Comprende estas palabras
1. Halla dos fracciones equivalentes a5
3.
1. Representalasfracciones3
2
6
4y , y decide
si son equivalentes.
Comprobar si dos fraccionesson equivalentes
2. ¿Son equivalentes las fracciones12
4
6
2y ?
¿Y las fracciones67
5 7y ?
Calcular la fracción irreducible
3. Halla la fracción irreducible de16
44.
Reducir fracciones a común denominador
4. Reduceacomúndenominador123
y 16
6
.
Comparar fracciones
5. Ordena, de mayor a menor: , ,33
25
24
83
24
44
Sumar y restar fracciones
6. ¿Cuáleslasoluciónde5
3
2
3
4
3+ - ?
Y AHORA… PRACTICA
53
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
http://slidepdf.com/reader/full/libro-mates-1o-eso-avanza 54/232
ActividadesNÚMEROS FRACCIONARIOS
15.●
Indica cuál es el numerador y el denominador.
a)14
11c)
12
3e)
9
1
b)43
25d)
45
13f)
1
92
1
16. ●Representa estas fracciones, e indica cuál
es el numerador y el denominador.
a)10
6c)
7
4e)
5
3
b)8
3d)
15
9f)
7
1
17. ● Expresa como fracción las siguientes
situaciones.
a) Deunjardíncon12plantas,semarchitantres.
b) Deunautobúscon16personas,sebajansiete.
c) De una librería con 27 novelas, me venden cinco.
44. ●● Indica qué fracción determina cada una
de las afirmaciones.
a) Quinceminutosdeunahora.
b) Siete meses en un año.
c) Treshuevosdeunadocena.d) Trece letras del abecedario.
48. ● Dadas las siguientes fracciones, indica cuál
es mayor, igual o menor que la unidad.
a)3
8b)
6
5c)
1
1d)
2
7
18. ● Indica si estas fracciones son propias,
impropias o iguales a la unidad.
a)5
1c)
45
23e)
29
21
b)6
15d)
8
8f)
55
51
19. ●● Representa las fracciones y decide si son
propias o impropias.
a)8
3c)
10
2e)
9
12
b)7
25d)
18
8f)
15
11
FRACCIONES EQUIVALENTES
50. ● Dadas las siguientes figuras, indica cuáles
representanfraccionesequivalentes.
a) c)
b) d)
51. ● Determinasilasfraccionessonequivalentes.
a)7
13
21
52y b)
4
3
11
8y c)
6
15
36
105y
53. ● Calculadosfraccionesequivalentespor
amplificación y otras dos por simplificación.
a)42
14b)
36
24c)
75
50d)
20
8
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDOPARA QUE DOS FRACCIONES SEAN EQUIVALENTES?
20. Calculaelnúmeroquefaltaparaquelas
fracciones 4
3
y 8
4
seanequivalentes.
PRIMERO. Se aplica la propiedad que cumplen
dos fracciones equivalentes.
3 8 4? ?
4
3
8
44= ="
SEGUNDO. Se calcula el producto de los dos términos
conocidos.
3 ? 8 = 24
TERCERO.Sebuscaelnúmeroque,almultiplicarloporel tercer término conocido, resulta el mismo producto.
Para que resulte 24 multiplicamos 4 ? 6, y así:4 = 6
52. ●● Completalasfraccionesparaquesean
equivalentes.
a)5
9 18
4= b)
3
8 24
4= c)
2
13
4=4
54. ●● Completalassiguientesfraccionespara
queseanequivalentes.
a)7
4
14
64= =
4 b)5
4
15
8
4= =4
54
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
http://slidepdf.com/reader/full/libro-mates-1o-eso-avanza 55/232
55. ● Calculalafracciónirreducible.
a)20
12b)
36
52c)
18
81d)
48
12
56. ●● Determina las fracciones irreducibles.
a)12
3b)
33
70c)
32
45d)
35
49e)
27
54
COMPARACIÓN DE FRACCIONES
58. ● Comparalasfraccionescolocandoelsigno< o >.
a) ,3
2
3
4c) ,
27
7
17
4e) ,
14
8
16
9
b) ,17
3
18
4d) ,
23
9
17
9f) ,
34
5
18
7
59. ● Ordena, de menor a mayor.
a) , , ,7
3
7
4
7
1
7
6 c) , ,8
3
12
5
6
7 e) , ,26
33
101
108
3
2
b) , , ,7
3
2
3
5
3
4
3 d) , ,33
26
108
101
2
3f) , ,
3
8
5
12
7
6
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE COMPARAN UN NÚMEROY UNA FRACCIÓN?
60. ¿Es 3 menor que27 ?
PRIMERO.Seexpresaelnúmerocomounafraccióncon el mismo denominador que la fracción dada.
?
32
3 2
2
6= =
SEGUNDO. Se comparan las fracciones.
2
6
2
73
2
7< <"
61. ● ¿Es 4 mayor que3
14? ¿Es 5 mayor que
4
19?
OPERACIONES CON FRACCIONES
63. ● Calculaysimplificaelresultado
de las siguientes operaciones.
a)9
4
9
5
9
8+ + c)
15
4
15
2
15
5+ +
b)8
7
8
5
8
3- + d)
12
9
12
5
12
3+ +
21. ● Calculaysimplifica.
a)5
1
2
7+ c)
45
23
5
1-
b)8
12
6
15+ d)
8
18
3
2-
64. ● Resuelveestasoperacionesysimplifica.
a)4
3
6
5
3
2+ - c)
5
2
30
7
3
1+ -
b)12
7
8
3
6
5- + d)
9
4
4
1
12
1- -
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE OPERA CON NÚMEROS Y FRACCIONES?65. Calcula:
3
42
6
1+ -
PRIMERO.Seexpresaelnúmeroenformade fracción, poniendo como denominador 1.
21
2=
SEGUNDO. Se realiza la operación.
3
42
6
1
3
4
1
2
6
1
6
8
6
12
6
1
6
19+ - = + - = + - =
F
m.c.m. (1, 3, 6) = 6
42. ● Escribeestosnúmeroscomofracción.
a) 9 b) 10 c) 23 d) 14
66. ● Resuelveysimplificaelresultado.
a)3
24
9
1+ - c) 3
4
1
8
5- -
b)16
5
4
72+ - d)
5
11
10
7
4
53- - +
67. ●● Calculaysimplifica.
a)7
2
7
3+ g)
7
2
7
3
7
9+ +
b)18
37
8
11- h)
6
25
6
7
18
4- -
c)8
6
7
6+ i) 3
5
1
35
2+ +
d)6
11
8
11- j) 5
9
4
45
37- -
e)3
2
27
3+ k) 1
9
2
30
7+ +
f)18
37
9
14- l) 4
9
14
27
17- -
55
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
http://slidepdf.com/reader/full/libro-mates-1o-eso-avanza 56/232
68. ● Efectúalossiguientesproductos.
a) ?
3
2
5
7c) $
7
4
8
6
b) ?
5
6
2
1d) ?
5
3
9
4
69. ● Calcula.
a) ?45
3c) ?2
4
9
b) $57
6d) ?
6
5
70. ● Resuelve.
a) ? ?
4
1
5
3
6
5c) ? ?
8
9
3
7
6
5
b) ? ?
12
7
5
4
2
9d) ? ?
5
6
3
10
2
7
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UN NÚMERO?
22. Calcula.
a)5
3de30.
b)Lacuartapartede24.
PRIMERO. Se identifica la fracción que representa
la partedelnúmeroquesequierecalcular.
a)5
3
b)Cuartaparte4
1"
SEGUNDO. Se multiplica la fracción que representa
la parteporelnúmero.
a)5
3de 30 =
3?
?
5
330
5
3018= =
b)4
1de 24 = ?
?
64
124
4
1 24= =
43. ● Calcula.
a)2
1de 50 c)
4
3de 4
b)2
3de 100 ) 180
9
7d de
73. ●● Calcula.
a) La tercera parte de 75.
b) La quinta parte de 80.
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA FRACCIÓN?
23. Calcula.
a) 6
2
de 5
3
.
b)Latercerapartede5
3.
PRIMERO. Se identifica la fracción que representa
la parte de la fracción que se quiere calcular.
a)6
2
b) Tercera parte3
1"
SEGUNDO. Se multiplican las fracciones.
a)
6
2de
5
3 =
6
2
5
3
6 5
2 3
30
6?
?
?
= =
b)3
1de
5
3 =
3
1
5
3
3 5
1 3
15
3?
?
?
= =
71. ●Calculaysimplifica.
a)2
1
3
8de c)
4
3
5
12de
b)7
5
15
2de d)
6
1
3
4de
24. ●● Calcula.
a) La sexta parte de4
3 .
b) La mitad de8
5.
c) La cuarta parte de5
12.
79. ●Escribelainversadecadafracción.
a)3
7b)
5
6c)
4
9d)
7
8
81. ●Efectúalassiguientesdivisiones.
a) :5
3
3
2c) :
6
5
3
4
b) :4
7
2
9d) :
9
4
3
8
82. ●Resuelve.
a) :45
2c) :3
2
7
b) :4
155 d) :
4
36
56
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
http://slidepdf.com/reader/full/libro-mates-1o-eso-avanza 57/232
83. ●● Realiza estas operaciones.
a)7
12
5
1
4
3- +
b) :?
5
3
5
7
5
6
7
1+
c) :2
13
3
1
5
16
4
7- +
d) :5
132
3
7
5
42
2
1- +
e) : ?
7
6
15
3
5
7
4
1-
f) : :2
3
5
17
5
6
2
1+
84. ●● Resuelve.
a) 9
5
6
7
3
2
- -e o d) : :3
8
7
6
2
3
e o b)
5
7
10
3
3
1- +e o e) : :
3
5
2
15
4
3e o
c)12
5
8
3
3
2+ -e o f) :
5
3
10
1
2
7+e o
85. ●● Calcula.
a)4
112
5
2- +e o d) :?
5
9
3
2
5
3e o
b) :?
4
3
6
5
2
7
e oe) :
4
9
8
3
4
5-
e oc) : ?
7
6
5
4
2
7e o f) : :8
7
2
5
2
3e o
PROBLEMAS CON FRACCIONES
87. ●● Pedro ha dedicado3
1parte de su t iempo
averlatelevisión,4
1a jugar y
12
5a estudiar.
¿Aquéactividadhadedicadomástiempo?
90. ●● En el parque hanplantado árboles:
3
1son chopos,
15
7son cipreses
y5
1son encinas.
¿De qué tipo de árbol
se ha plantado más?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DEL TOTAL?
93. En una fiesta se colocaron bombillas
de colores. Al terminar solo funcionaba un
cuarto de ellas. ¿Qué parte de las bombillasse fundió?
PRIMERO. Se expresan numéricamente el total
y la parte.
TOTAL: Todas las bombillas " 1
PARTE: Bombillas que funcionaban " 4
1
SEGUNDO. Se restan para calcular la otra parte.
14
1
4
4
4
14
4
1
4
3- = - = - =
Se fundieron las tres cuartas partes de lasbombillas.
94. ●●Ana está pintando una pared. Si ya ha
pintado la sexta parte, ¿qué fracción le queda
por pintar?
95. ●● En un partido de baloncesto, Pedro ha
encestado la sexta parte de los puntos,
CarloslamitadyJuanelresto.
a) ¿QuéfraccióndelospuntoshahechoJuan?
b) ¿Quiénhaencestadomáspuntos?
96. ●● En una merienda, las8
3partes son bebida,
6
1son patatas fritas y
3
1frutos secos, siendo
el resto bocadillos. ¿Qué fracción representan
los bocadillos?
97. ●● En el pueblo de Rocío, las tres cuartas
partes de las fincas están sembradas de trigo,
un quinto de maíz, y el resto no está sembrado.
a) ¿Qué fracción de las fincas está sembrada?
b) ¿Qué fracción de las fincas no lo está?
57
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
http://slidepdf.com/reader/full/libro-mates-1o-eso-avanza 58/232
Problemas contables
Esa mañana de invierno era particularmente
clara, lo que en Escocia no es habitual. Junto a la ventana, un hombre entradoen años repasaba mentalmente su vidamientras se dejaba acariciar por los rayosdel sol.
Se vio en la sala despidiéndose de su madrepara ir a la universidad y recordó su consejo.
–Honra a tu familia y que tu nombre, JohnNapier, sea sinónimo de rectitud y nobleza–.
Aquella fue la última frase que escuchóde ella y la última vez que la vio.
De sus pensamientos le sacaron dos niñosque jugaban con unas tablillas: eranunas tablas que él había ideado y que servíanpara efectuar multiplicaciones.
Después de mirar a los niños, volvióal quehacer diario de repasar los libroscontables de su propiedad, dondese podían apreciar sus gastos.
John Napier fue quien popularizó el usode la coma como separador decimal.
1. ¿Quién fue John
Napier? Busca
información sobre
su vida y sus
aportaciones
al mundo de
las matemáticas
y otras ciencias.
2. ¿A qué etapa de
la vida de Napier crees
que corresponde el
episodio que se narra
en este texto?
¿Podrías situarlo
en un año concreto?
3. Investiga sobre
las aportaciones
de John Napier
al estudio de los
números decimales.
DESCUBRELA HISTORIA...
4Númerosdecimales
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
http://slidepdf.com/reader/full/libro-mates-1o-eso-avanza 59/232
EVALUACIÓN INICIAL
Antes de empezar la unidad...
En esta unidad
aprenderás a…
• Identificar y leer
números decimales.
• Comparar números
decimales.
• Operar con números
decimales.
PLAN DE TRABAJO
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden
de unidades.
Centena
de millón
Decena
de millón
Unidad
de millón
Centena
de millar
Decena
de millar
Unidad
de millarCentena Decena Unidad
6 3 0 0 5 2 1 5 8
630 052 158= 6 C. de millón+ 3 D. de millón+ 5 DM+ 2 UM+ 1 C+ 5 D+ 8 U=
= 600 000 000+ 30 000 000+ 50 000+ 2 000+100+ 50+ 8
630 052 158 se lee «seiscientostreinta millones cincuenta y dos milciento cincuenta y ocho».
El sistema de numeración decimales posicional, es decir, el valorde cada cifra depende del lugaro posición que ocupa en el número.
5 decenas= 50 unidades F
630 052 158 F
5 decenas de millar= 50 000 unidades
1 Descompón los siguientes números en sus diferentes órdenes
de unidades.
a) 53 478 d) 23 002
b) 3 408 924 e) 1 003
c) 700 401 f) 67 003 984
2 Descompón estos números y escribe cómo se leen.
a) 45 009 c) 3 689b) 1 568 002 d) 56 005
3 Indica el valor de la cifra 3 en estos números.
a) 23 778 d) 13 003
b) 3 008 204 e) 1 303
c) 730 001 f) 37 003 934
1. Indica el valor de las cifras de estos números: 10 926 y 253 418.
En el sistema decimal,10 unidades de un orden
forman una unidad del ordeninmediato superior.
59
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Númerosdecimales
ANTES, DEBES SABER…
Qué son las unidades decimales
1 unidad → 1 U
1 U= 10 d
1 d= 0,1 U
1 décima → 1 d
1 U= 100 c
1 c= 0,01 U
1 centésima → 1 c
1 U= 1 000 m
1 m= 0,001 U
1 milésima → 1 m
F F
F
Para expresar cantidades que representan partes de la unidad utilizamoslas unidades decimales: décimas (d), centésimas (c), milésimas (m)…
Un número decimal es un número que se compone de:• Parte entera: cifras situadas a la izquierda de la coma; esta parte del
número es mayor que la unidad: unidades, decenas, centenas…
• Parte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma; esta partedel número es menor que la unidad: décimas, centésimas, milési-mas, diezmilésimas…
Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y, después, laparte decimal seguida del orden de unidades que ocupa la última cifradecimal.
EJEMPLO
2 Descompón en sus órdenes de unidades el número 16,027.
Parte entera Parte decimal
Decenas Unidades Décimas Centésimas Milésimas
1 6 0 2 7
16,027= 1 ? 10+ 6+ 0 ? 0,1+ 2 ? 0,01+ 7 ? 0,001
El número 16,027 se lee: «16 unidades 27 milésimas».
1
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Escribe con cifras.
a) Treinta y siete milésimas.
b) Nueve unidades cuatro décimas.
c) Cuatro unidades trescientas milésimas.
2 Escribe cómo se lee cada número.
a) 1,033 b) 0,09 c) 21,0021
3 Indica la parte entera y decimal.
a) 112,45 c) 42,1 e) 25,07
b) 0,25 d) 7,25 f) 0,003
4 Descompón en unidades estos números.
a) 5,439 c) 0,88 e) 0,028
b) 17,903 d) 75,043 f) 7,009
El número 3,4 se puedeleer de estas maneras:
• 3 unidades 4 décimas
• 3 unidades 40 centésimas
• 3 coma 4
• 3 con 4
...
60
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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1.1 Representación de números decimales
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se representan números naturales
Los números naturales se pueden representar ordenados en una recta.
1 2 3 4 5 6 7
Si dividimos una unidad decimal en 10 partes iguales, cada una de esaspartes es una unidad de orden inmediatamente inferior.
EJEMPLO
3 Representa en la recta numérica 2,6 y 2,66.
El número 2,6 está comprendido entre 2 y 3.
1.2 Comparación de números decimales
Para comparar números decimales comparamos cada unidad decimal:
1.º Parte entera. Es mayor el número que tiene mayor parte entera.
2.º Parte decimal. Si la parte entera es igual, se comparan las décimas,
las centésimas, las milésimas…, siendo mayor el número con ma-yor parte decimal, comparada cifra a cifra.
EJEMPLO
4 Compara estos números: 7,1 y 7,101.
Expresamos 7,1 como 7,100.
Vemos que 7,100 y 7,101 tienen igual la parte entera e iguales también
las cifras de las décimas y las centésimas, pero la cifra de las milésimas
en 7,101 es mayor que en 7,1 → 7,1< 7,101.
7 Representa, en una recta numérica,
estos números: 2,3; 2,34; 2,37; 2,32.
8 Completa con el signo que corresponda.
a) 3,24 3,08
b) 0,086 4 0,087
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Escribe los números representados.
a)7 8
b)8,3 8,4
c)9,8 9,9
Al añadir ceros a laderecha de un decimal,el número sigue siendo
el mismo.1,35
1,350
1,3500
1,35000
• 5> 2
5 es mayor que 2
• 2< 5
2 es menor que 5
SE ESCRIBE ASÍ
Dividimos la unidad correspondiente en
10 partes iguales, que son las décimas.
Dividimos cada décima en 10 partes
iguales, que son las centésimas.
El número 2,66 está comprendido entre 2,6 y 2,7.
2 2,6 3
2,6 2,66 2,7
61
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Suma y restade números decimales
Para sumar o restar números decimales:
1.º Colocamos los números, de forma que las comas decimales esténen la misma columna, y se añaden los ceros necesarios para que
todos tengan el mismo número de decimales.2.º Sumamos o restamos como si fueran números naturales, mante-
niendo la coma en su lugar correspondiente.
EJEMPLOS
5 Efectúa 124,6+ 45,802+ 4,18.
Colocamos los números, de forma que las comas
decimales estén alineadas, y añadimos los ceros
necesarios para que todos tengan el mismo número
de decimales.
6 Calcula 3,4- 0,987.
13,4 0 0
- 0,9 8 7
2,4 1 3
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se realizan sumas y restas combinadas
Primero resolvemos los paréntesis, si los hay, y después las sumas
y restas de izquierda a derecha.
Sin paréntesis Con paréntesis
14- 5+ 3= 9+ 3= 12 14- (5+ 3)= 14- 8= 6
EJEMPLO
7 Resuelve esta operación: 75,06- 32,005+ 2,45
7 5,0 6 0
- 3 2,0 0 5
4 3,0 5 5
4 3,0 5 5
+3 2,4 5 0
4 5,5 0 5
F
2
1 2 4,6 0 0
4 5,8 0 2
+ 0 24,1 8 0
1 7 4,5 8 2
Solo podemos sumaro restar unidades
con unidades, décimas condécimas, centésimas
con centésimas...
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
11 Calcula.
a) 32,98+ 45,006 d) 0,56- 0,249
b) 7+ 8,003 e) 8,42- 5,3+ 0,77
c) 3,456- 0,098 f) 4,001+ 2,11- 0,723
2 Realiza estas operaciones.
a) 345,98+ (56,008- 22,98)
b) 54,009- 2,87+ (7,8- 5,6)
c) 19,79- (34,57+ 97,28)
62
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Multiplicaciónde números decimales
Para multiplicar dos números decimales:
1.º Los multiplicamos como si fueran números naturales.
2.º Colocamos la coma en el resultado, separando tantas cifras como
decimales sumen entre los dos factores, contando de derecha aizquierda.
EJEMPLO
9 Calcula.
a) 34,5 ? 0,17 b) 6,815 ? 3,08
1 cifra decimal+
2 cifras decimales
3 cifras decimales
3 4,5
# 0,1 7
2,4,1 5
3 4,5 0
5,8 6 5
G
G
G
3 cifras decimales+
2 cifras decimales
5 cifras decimales
6,8 1 5
# 3,0 8
5 4 5,2 0 2,0 4 4 50 0
2 0,9 9 0 2 0
G
G
G
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se multiplica un número natural por la unidadseguida de ceros
Para multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros,
se le añaden al número tantos ceros como tenga la unidad.
12 ? 10= 120 12 ? 100= 1 200 12 ? 1 000= 12 000
• Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros,desplazamos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tengala unidad.
• Para multiplicar un número decimal por 0,1; 0,01; 0,001…, despla-zamos la coma del número decimal hacia la izquierda tantos lugarescomo ceros tenga el factor 0,1; 0,01; 0,001…
EJEMPLO
10 Calcula.
a) 102,35 ? 10 = 1 023,5F
La coma se desplaza a la derecha un lugar.
b) 59,87 ? 1 000 = 59 870F
La coma se desplaza a la derecha tres lugares.
c) 12,39 ? 0,1 = 1,239F
La coma se desplaza a la izquierda un lugar.
d) 8,17 ? 0,01 = 0,0817F
La coma se desplaza a la izquierda dos lugares.
3
G G G
16 Realiza estas multiplicaciones.
a) 42,6 ? 10 b) 123,77 ? 0,001 c) 765,3 ? 100
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
15 Calcula.
a) 42,6 ? 5,9 b) 24,8 ? 0,05 c) 765,3 ? 3,8
DATE CUENTA
Al multiplicar un número
decimal por la unidad
seguida de ceros o por 0,1;
0,01; 0,001…, si no hay
suficientes decimales,
añadimos ceros.
63
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División de númerosdecimales
ANTES, DEBES SABER…
Cuáles son los términos de la división
DividendoF
25 2 F
Divisor05 12 F Cociente
Resto F 1
4.1 Un número decimal entre un número natural
Para dividir un número decimal entre un número natural:
1.º Realizamos la división como si fueran números naturales.
2.º Al bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma en el co-ciente.
3.º Continuamos la división.
EJEMPLO
11 Calcula 11,35 : 5.
1 1,3 5 5
1 3 2,2 7
3 5
0
Al bajar la primera cifra decimal, 3, ponemos
una coma en el cociente y continuamos la división.
4.2 Un número natural entre un número decimal
Para dividir un número natural entre un número decimal:
1.º Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida detantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.
2.º Realizamos la división como si fueran números naturales.
EJEMPLO
12 Calcula 1 914 : 1,5.
1 914 : 1,5 F 1,5 10 15
?
?
1914 10 19 140=
= F 1 9 1 4 0 15
0 4 1 1 2 7 6
1 1 40 9 0
0
4
19 Calcula.
a) 42,6 : 3 b) 399,5 : 17 c) 23,4 : 9
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
3 Realiza estas operaciones.
a) 34,5 : 2 b) 14,06 : 7 c) 3,108 : 5
Propiedadde la división
Al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo
número, el cocienteno varía.
64
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4.3 Un número decimal entre un número decimal
Para dividir un número decimal entre un número decimal:
1.º Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida detantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.
2.º Si en el dividendo siguen apareciendo decimales, resolvemosla división como en el caso de la división de un número deci-mal entre uno natural.
EJEMPLO
13 Calcula 7,2 : 0,16.
7,2 : 0,16 F ,
,
?
?
07 2 100 720
0 16 100 16
=
= F 7 2 0 1 6
0 8 0 4 5
0
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se dividen decenas, centenas y millares por la unidadseguida de ceros
Se suprimen tantos ceros en el dividendo como ceros tenga la unidad.
2 300 : 10= 230 2 700 : 100= 27 12 000 : 1 000= 12
• Para dividir un número decimal entre la unidad seguida de ceros, des-plazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga launidad.
• Para dividir un número decimal entre 0,1; 0,01; 0,001…, desplaza-mos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga 0,1;0,01; 0,001…
EJEMPLO
14 Calcula.
a) 56,87 : 10 = 5,687 d) 56,87 : 0,1 = 568,7
b) 4,6 : 100 = 0,046 e) 4,6 : 0,01 = 460
c) 13 735 : 1 000 = 13,735 f) 13 735 : 0,001 = 13 735 000
G G G
25 Resuelve.
a) 9 268 : 1 000 c) 3,85 : 0,01 e) 1,8 : 100
b) 3,24 : 100 d) 46,97 : 10 f) 61,2 : 0,1
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
23 Calcula.
a) 129,6 : 3,6 c) 16,32 : 0,34
b) 19,1 : 3,82 d) 19,8 : 1,65
Si en el dividendo quedandecimales:
5,67 : 3,4 F )5,67 · 10 = 56,73,4 · 10 = 34
5,67 3,4 F 56,7 3422,7 1,622,3
DATE CUENTA
• Multiplicar por 0,1
es lo mismo que dividir
entre 10.
7,4?
0,1= 7,4 : 10• Dividir entre 0,1 es lo
mismo que multiplicar
por 10.
7,4 : 0,1= 7,4 ? 10
65
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Números decimalesy fracciones
ANTES, DEBES SABER…
Cuál es la prueba de la división
Si una división está bien hecha, se cumple:
26 6
2 42< 6
26= 6 ? 4+ 2
• Resto< divisor
• Dividendo= divisor ? cociente+ resto
5.1 Obtención de decimales en un cociente
Si la división no es exacta, podemos obtener en el cociente tantas cifrasdecimales como queramos. Para ello añadimos una coma en el dividendoy tantos ceros como decimales queremos obtener.
EJEMPLO
15 Divide 17 entre 6 y escribe en cada caso el cociente y el resto.a) Cociente sin cifras decimales.
1 7 6
5 2
Dividendo= 17?
6
517 6 2 5
Divisor
Resto
=
== +"2Cociente= 2
b) Cociente con una cifra decimal.
1 7,0 6
5 0 2,8
2
Si el cociente debe tener una cifra decimal,
hay que añadir al dividendo una coma y un cero.
Dividendo= 17
,, ,?
6
0 217 6 2 8 0 2
Divisor
Resto
=
== +"2Cociente= 2,8
c) Cociente con dos cifras decimales. 1 7,0 0 6
5 0 2,83
2 0
2
Si el cociente debe tener dos cifras decimales,
hay que añadir al dividendo una coma
y dos ceros.
Dividendo= 17
,, ,?
6
0 0217 6 2 83 0 02
Divisor
Resto
=
== +"2Cociente= 2,83
d) Cociente con tres cifras decimales.
1 7,0 0 0 6
5 0 2,833
2 0
2 02
Si el cociente debe tener tres cifras decimales,
hay que añadir al dividendo una coma
y tres ceros.
Dividendo= 17
,, ,?
6
0 00217 6 2 833 0 002
Divisor
Resto
=
== +"2Cociente= 2,833
5
4 Divide 517 entre 4.
a) Sin cifras decimales. b) Con una cifra decimal.
28 Calcula los cocientes con dos cifras decimales.
a) 23 : 3 b) 47 : 12 c) 102 : 7 d) 143 : 22
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
66
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5.2 Expresión de una fracción como número decimal
ANTES, DEBES SABER…
Qué son las fracciones decimalesLas fracciones decimales son las fracciones que tienen por denominador
la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1 000…
, ,10
25
100
34
1000
75 "Son fracciones decimales.
Cómo se expresa una fracción decimal como número decimal
Para escribir una fracción decimal en forma de número decimal, se escribe
el numerador de la fracción y se separan con una coma, a partir de
la derecha, tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador.
EJEMPLO
1 Escribe estas fracciones como números decimales.
a) 10
25
b) 100
34
c) 1000
75
,10
252 5= ,
100
340 34= ,
1 000
750 075=
Para expresar una fracción como número decimal se divide el nume-rador entre el denominador.
EJEMPLO
16 Expresa estas fracciones como número decimal.
a) : ,4 5 0 85
4=" b)
6
35 " 35 : 6= 5,83…
35 6
50 5,83
20
2
40 5
0 0,8
G G G
Si es necesario,al escribir una fracción
decimal como número decimal
se añaden ceros.34
1 000 = 0,034
3 ceros" 3 cifras decimales
5 Decide si estas fracciones son fracciones
decimales.
a)10
3b)
20
12c)
1 000
233
6 Escribe estas fracciones como números
decimales.
a)10
172b)
100
47c)
1 000
2
32 Expresa estas fracciones como número decimal.
a)100
39c)
10
77
b)6
3d)
12
9
34 Expresa como números decimales.
a)3
13b)
11
3c)
12
7d)
13
3
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
67
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
Unidades decimales
17,208
Número decimal
17,208
2. SUMAR Y RESTAR NÚMEROS DECIMALES
Calcula. a) 123,456+ 34,06 b) 12,71- 9,327
PRIMERO. Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna,
y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de cifras decimales.
a) 1 2 3,4 5 6
+ 3 4,0 6 0
b) 1 2,7 1 0
- 9,3 2 7
SEGUNDO. Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en el lugar
correspondiente.
a) 1 2 3,4 5 6
+ 3 4,0 6 0
1 5 7,5 1 6
b) 1 2,7 1 0
- 9,3 2 7
3,3 8 3
Décimas
Centésimas
Milésimas
F
F
F
Parte decimalParte enteraF
F
HAZLO DE ESTA MANERA
1. COMPARAR NÚMEROS DECIMALES
PRIMERO. Comparamos la parte entera de los distintos
números. Es mayor el número que tiene mayor parte
entera.
El número menor es 11,901.
SEGUNDO. Si la parte entera es igual, comparamos
su parte decimal.
Para ello, añadimos ceros hasta tener las mismas
cifras decimales en ambos números. Después,
comparamos las cifras que representanlas décimas; si son iguales, pasamos a las centésimas,
milésimas…, hasta que las cifras sean diferentes.
Es mayor el número con mayor parte decimal,
comparado cifra a cifra. 11,901< 12,9< 12,901
Ordena, de menor a mayor: 12,9; 12,901; 11,901.
12,9 12,901 11,901
= >
12,900 12,901
12,9< 12,901
=
=
<
68
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Comprende estas palabras
1. Descompón estos números.a) 27,45 b) 3,786 c) 1 203,003
1. Indica la parte entera y la parte decimal de estos
números decimales.
a) 13,24 b) 3,86 c) 0,007
Comparar números decimales
3. Ordena, de menor a mayor, estos números:
7,009 7 7,9 7,09
Sumar y restar números decimales
4. Calcula: 4,339+ 0,589- 2,365
Multiplicar números decimales
5. Realiza las siguientes multiplicaciones.
a) 6,59 ? 4,3 b) 65,9 ? 4,3 c) 0,659 ? 43
Dividir números decimales
6. Efectúa estas divisiones.
a) 13 824 : 3,2 b) 13,824 : 3,2 c) 13,824 : 32
Y AHORA… PRACTICA
4. DIVIDIR NÚMEROS DECIMALES
• División de un número decimal entre un número natural
PRIMERO. Dividimos como si fueran números naturales.
SEGUNDO. Al bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma
en el cociente.
• División de un número natura l entre
un número decimal
PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el
divisor por la unidad seguida de tantos ceros
como cifras decimales haya en el divisor.
b) : ,,
?
?
1306 0 41 306 10 13 060
0 4 10 4
=
=
"
)SEGUNDO. Realizamos
la división como
si fueran números
naturales.
• División de un número decimal entre
un número decimal
PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el
divisor por la unidad seguida de tantos ceros
como cifras decimales haya en el divisor.
c) :13,06 0,413,06 10 130,6
0,4 10 4
?
?
=
=
"
)SEGUNDO. Si en
el dividendo siguen
apareciendo decimales,
resolvemos la división
como en el primer caso.
3. MULTIPLICAR NÚMEROS DECIMALES
Calcula 13,076?
14,02.
PRIMERO. Multiplicamos los decimales como si fueran
números naturales.
SEGUNDO. Colocamos la coma en el resultado, separando
tantas cifras como decimales sumen entre los dos factores,
contando de derecha a izquierda.
Calcula. a) 13,06 : 4 b) 1 306 : 0,4 c) 13,06 : 0,4
1 3,0 7 6
# 1 4,0 2
2 6 1 5 2
5 2 3 0 4
1 3 0 7 6
1 8 3,3 2 5 5 2
3 cifras decimales
2 cifras decimales
5 cifras decimales
F
F
F
a) 1 3,0 6 4
1 0 3,2 6
2 6
2
1 3 0 6 0 4
1 0 3 2 6 5
2 6
2 0
0
1 3 0,6 4
1 0 3 2,6
2 6
2
69
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ActividadesNÚMEROS DECIMALES
43. ● Descompón en unidades los siguientes
números decimales.
44. ● Escribe cómo se lee cada número.
a) 6,125 b) 1,014 c) 34,046 d) 0,019
45. ● Completa.
a) En 3 unidades hay4 décimas.
b) En 12 decenas hay4 centésimas.
c) En 5 unidades hay4milésimas.
d) En 8 decenas hay4 diezmilésimas.
46. ● Escribe los números decimales que
correspondan en cada caso.
a) 2 C 7 D 9 U 3 d
b) 1 D 2 U 4 m
c) 7 U 4 c
d) 8 C 9 U 6 d
e) 7 UM 6 D 7 c
f) 4 CM 7 U 8 d 3 m
7. ● Realiza la descomposición en unidades
de los siguientes números decimales.
a) 9,23 d) 4,065
b) 12,856 e) 8,004
c) 3,892 f) 65,903
47. ● Escribe con cifras.
a) Nueve décimas.
b) Cuatro unidades quince centésimas.
c) Nueve unidades ciento ocho milésimas.
d) Dos unidades mil diezmilésimas.
48. ● Escribe los números que sean una centésima
menor.
a) 0,99 c) 0,01 e) 4,9
b) 1,4 d) 5,98 f) 1,099
49. ● Representa en la recta numérica los números
9,3; 12,12 y 4,133.
50. ● ¿Qué número está representado en cada caso?a)
3 4
9,71 9,72b)
8. ● Indica qué números están representados
en estas rectas.
a)6,2 6,3
9,83 9,84
b)
51. ● Completa con el signo < o >, según
corresponda.
a) 0,2314 0,235 c) 3,874 3,85
b) 0,710 4 0,83 d) 5,124 3,12
52. ● Ordena, de menor a mayor: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2.
53. ● Ordena, de mayor a menor: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07.
9. ● Ordena de menor a mayor.
a) 3,9; 3,899; 3,099; 3,901; 3,90001; 3,91
b) 7,999; 8,01; 7,898; 8,101; 8,2
c) 2,7; 2,703; 2,73; 2,7029; 2,70199
10. ● Copia y completa con números para que
las desigualdades sean ciertas.
a) 6,145< 6,11
b) 0,734 < 0,736
c) 0,407< 0,45
11. ●● Halla todos los números decimales que
cumplen la condición que se indica en cada caso.
Después, ordénalos de mayor a menor.
a) 8,
La suma de estas
dos cifras es 9.
b) 0,
El producto de estas
dos cifras es 24.
43,897
135,903
29,876
Parte entera
C D U d c m
Parte decimal
70
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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OPERACIONES CON NÚMEROSDECIMALES
12. ● Suma estos números decimales.
a) 7,45+ 9,03 c) 8,002+ 12,4
b) 0,834+ 12,8 d) 7+ 9,902
56. ● Calcula.
a) 32,35- 0,89 c) 87,65- 9,47
b) 81,002- 45,09 d) 4- 2,956
57. ● Efectúa las operaciones.
a) 4,53+ 0,089+ 3,4
b) 7,8+
0,067+
2,09+
0,7c) 123+ 23,09- 45,7- 0,28
d) 78,098- 43,68- 0,008
13. ● Efectúa las siguientes operaciones.
a) 0,974+ 125,86 c) 82,46+ 99,6- 70,07
b) 29- 3,756 d) 103,5- 89,98+ 23,378
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO ENUNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES?
14. Halla el término que falta para que el resultado
sea correcto.
a) 12,99+ 4 = 98,3
b) 7,45- 4 = 3,99
c) 4 - 7,774= 987,9
PRIMERO. Se identifica el término desconocido.
a) Es uno de los sumandos de una suma.
b) Es el sustraendo de una resta.
c) Es el minuendo de una resta.
SEGUNDO. Si el término es:
• Un sumando, se obtiene restando al resultado
el otro sumando.
• El sustraendo, se obtiene restando al minuendo
el resultado.
• El minuendo, se obtiene sumando al resultado
el sustraendo.
a) 4 = 98,3- 12,99= 85,31
b) 4 = 7,45- 3,99= 3,46
c) 4 = 987,9+ 7,774= 995,674
15. ●● Determina el término que falta en cada
operación. Explica cómo lo haces.
a) 39,25+
4
=
125,86b) 17,129- 4 = 7,464
c) 99,542- 4 = 66,413
d) 4 - 303,987= 259,137
e) 4 - 25,06= 427,07
f) 4 + 33,98= 59,01
58. ●● Completa.
a) 3,313+ 4 = 6,348
b) 4 + 1,47= 5,8921
c) 4,56- 4 = 0,936
d) 4 - 2,431= 1,003
59. ●● Resuelve.
a) Suma 4 centésimas a 4,157.
b) Resta 3 décimas a 1,892.
c) Suma 7 milésimas a 5,794.
d) Resta 23 centésimas a 3,299.
e) Suma 3 milésimas a 1,777.
16. ●● Efectúa estas operaciones.
a) Suma 8 décimas y 7 centésimas a 56,07.
b) Suma 3 unidades y 6 milésimas a 24,36.c) Resta 8 unidades y 5 décimas a 76,008.
d) Resta 3 décimas y 8 milésimas a 0,892.
e) Suma 5 decenas y 4 décimas a 25,456.
f) Resta 6 decenas y 5 décimas a 82.
60. ● Calcula.
a) 3,45 ? 0,018 g) 0,045 ? 1 000
b) 8,956 ? 14 h) 0,65 ? 10 000
c) 3,4 ? 0,92 i) 3,78 ? 0,1
d) 123,4 ? 76 j) 794,2 ? 0,01
e) 0,35 ? 10 k) 24,85 ? 0,001f) 1,4 ? 100 l) 56 ? 0,0001
61. ● Resuelve.
a) 5 : 0,06 g) 30 : 10
b) 8 : 1,125 h) 636 : 100
c) 17,93 : 7 i) 1 296 : 10 000
d) 7 : 25 j) 55,2 : 0,1
e) 7,24 : 1,1 k) 202,2 : 0,01
f) 8,37 : 4,203 l) 138,24 : 0,0001
71
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONESCOMBINADAS CON NÚMEROS DECIMALES?
62. Calcula 4,56 : 2+ 3 ? (7,92- 5,65).
PRIMERO. Se realizan las operaciones entre
paréntesis.
4,56 : 2+ 3 ? (7,92- 5,65)= 4,56 : 2+ 3 ? 2,27
SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones
y divisiones de izquierda a derecha, y por último,
las sumas y restas en el mismo orden.
4,56 : 2+ 3 ? 2,27= 2,28+ 6,81= 9,09
63. ●● Opera, respetando la jerarquía
de las operaciones.
a) 134,5 : 2,5+
12,125b) 2,75 ? (4,605- 3,5)+ 1,37
c) 5,7+ 6,225 : 7,5- 0,39
d) (4,987+ 0,875) : 1,5+ 3,094
e) 12,3 : 8,2 ? 2,5- 3,29
f) 9,6 ? 2,4- 8,5 ? 1,27
g) 0,05+ (11,3- 3,2) : 0,09
h) 44,4 : 0,002 ? 1,7- 2,9 ? 3,1
NÚMEROS DECIMALESY FRACCIONES
17. ● Divide 238 entre 5 y escribe en cada caso
el cociente y el resto.
a) Sin cifras decimales.
b) Con una cifra decimal.
18. ● Calcula cada uno de estos cocientes con tres
cifras decimales.
a) 54 : 7 c) 29 : 7 e) 105 : 11
b) 87 : 9 d) 76 : 13 f) 245 : 32
19.●
Decide si son fracciones decimales.
a)10
156b)
45
17c)
62
37d)
100
8
20. ● Expresa como número decimal estas fracciones
decimales.
a)10
35c)
100
23e)
100
47
b)1 000
234d)
1 000
3f)
100
5
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE ESCRIBEN ALGUNOS NÚMEROSDECIMALES COMO FRACCIÓN DECIMAL?
21. Expresa como fracción decimal estos números
decimales.a) 24,03 b) 0,147
PRIMERO. Se escribe como numerador de la fracción
el número decimal sin coma.
a) Numerador " 2 403
b) Numerador " 147
SEGUNDO. Se escribe como denominador de
la fracción la unidad seguida de tantos ceros
como cifras decimales tiene el número.
a) ,24 03100
2 403=
2 cifras decimales " 2 ceros
b) ,0 1471 000
147=
3 cifras decimales " 3 ceros
22. ● Escribe en forma de fracción decimal estos
números decimales.
a) 89,003 d) 12,044
b) 45,02 e) 0,097
c) 0,009 f) 9,3
23. ● Expresa como fracción decimal.
a) 9,87 d) 1,2345
b) 1,023 e) 8,00064
c) 0,0099 f) 6,7321
72. ●● Escribe en forma de fracción. Simplifica
siempre que sea posible.
a) 7 décimas.
b) 13 centésimas.
c) 4 milésimas.d) 11 diezmilésimas.
e) 35 décimas.
f) 9 centésimas.
73. ●● Completa.
a) ,9 696
=4
c) ,1 23123
=4
b) ,12 38912 389
=4
d) ,0 331331
=4
G
G
72
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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PROBLEMAS CON NÚMEROSDECIMALES
80. ● En un pueblo hay cuatro líneas de autobuses.
Observa en la tabla la distancia que recorre
cada uno de ellos. ¿Cuál recorre mayor distancia?¿Y menor?
Línea 1 Línea 2 Línea 3 Línea 4
8,409 km 8,5 km 8,45 km 9,05 km
81. ●● La suma de dos números decimales
es 52,63. Si uno de los sumandos es 28,557,calcula el otro sumando.
82. ●● Cierto día, la temperatura a las 8
de la mañana era de 10,5 °C, y a las 12 del
mediodía era de 17,3 °C. ¿Cuántos grados hay
de diferencia?
83. ●● Las alturas de tres amigos suman 5 m.
María mide 1,61 m y Luis mide 1,67 m.
Halla cuánto mide Alberto.
84. ●● En un ascensor se cargan 5 bolsas
de 12,745 kg cada una. Suben dos personas quepesan 65 kg y 85,7 kg. El ascensor admite 350 kg
de carga máxima. ¿Puede subir otra persona más
que pese 86,7 kg?
85. ●● Jaime va a la compra y lleva una cesta que
pesa 1,5 kg. Compra dos bolsas de naranjas
que pesan 3,4 kg cada una. ¿Cuántos kilos pesa
en total la compra?
86. ●● En una fábrica de refrescos se preparan
4 138,2 litros de refresco de naranja y se
envasan en botes de 0,33 litros. ¿Cuántos botes
necesitan?
87. ●● Andrés corta un listón de madera de 3,22 m
en trozos de 0,23 m. ¿Cuántos trozos obtiene?
88. ●● Laura ha hecho 43,5 kg
de pasta y la quiere
empaquetar en cajas
de 0,250 kg. ¿Cuántas
cajas necesita?
89. ●● En un río de 7,2 km de largo se han puesto
carteles de «Coto de pesca» cada 0,16 km.
¿Cuántos carteles se han puesto?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA LA FRACCIÓN
DE UN DECIMAL?90. Se dispone de 24,88 kg de mezcla de café
de distinta procedencia. Si las tres cuartas
partes son de origen africano, ¿qué cantidad
de café africano hay?
PRIMERO. Se multiplica por el numerador
de la fracción. 3 ? 24,88= 74,64
SEGUNDO. Se divide el resultado entre
el denominador. 74,64 : 4= 18,66
En la mezcla hay 18,66 kg de café africano.
91. ●● La mitad del peso de un bote de mermelada
de 500 g corresponde a fruta.
a) ¿Cuál es el peso de la fruta en kilos?
b) ¿Cuántos botes se necesitan para que el total
de fruta sea 6,75 kg?
92. ●● Una camisa cuesta 20,95 €. Por estar rebajada
nos descuentan la quinta parte de su valor,
y por pagar en efectivo, la veinteava parte.
¿Cuál es su precio final?
93. ●● María ha ido al banco a cambiar 45,50 €
en dólares. Por cada euro le han dado
0,96 dólares. ¿Cuántos dólares tiene en total?
73
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5
1. Busca información
sobre las matemáticas
en la antigua China.
2. Investiga sobre
la dinastía Tangy el funcionamiento de
la sociedad china en
esa época.
3. Averigua cuáles
fueron los orígenes de
los números negativos
y su utilización en
las distintas culturas.
DESCUBRELA HISTORIA...
Los números rojos
Fu Chang estaba seguro de que el comité
reconocería su valía tanto en redacción, literaturay poesía como en matemáticas. El acceso al puestode funcionario durante la Dinastía Tang(618-907) era muy difícil, pero merecíala pena por sus beneficios económicosy sociales.
–Cuando den su aprobación –pensabaFu–, seré funcionario imperial.
El aspirante a mandarín se veía a símismo vestido con maravillosas prendasde seda bordada, con criados que
lo transportaban en un palanquínfinamente adornado.
La escalera que nacía entre los dosdragones lo condujo al recinto dondeel tribunal esperaba para notificarlelos resultados.
El más anciano de los sabiosle dijo:
–Tu forma de diferenciarlas deudas y las cantidades
que tenemos mediante los coloresrojo y negro, respectivamente,representa una innovacióny merece ser premiadacon el puesto.
En la actualidad nadie recuerdaa Fu Chang; sin embargo,las deudas bancarias se siguendenominando números rojosen lugar de números negativos.
Númerosenteros
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad
aprenderás a…
• Conocer y representarnúmeros enteros.
• Hallar el valor
absoluto y el opuesto
de un número entero.
• Comparar números
enteros.
• Operar con números
enteros.
PLAN DE TRABAJO
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
Operaciones de suma y resta
Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha.
10 - 7 + 8 - 3 - 2 = 3 + 8 - 3 - 2 = 11 - 3 - 2 = 9 - 2 = 7
Operaciones de suma y resta con paréntesis
Se resuelven primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis, y después las sumasy las restas, de izquierda a derecha.
10 + 5 - (7-3 + 2) - 1 = 10 + 5 - (4+ 2) - 1 = 10 +5 - 6 - 1 = 15 -6 - 1 = 9 - 1 =8
Operaciones de suma, resta, multiplicación y divisiónPrimero se calculan las multiplicaciones y las divisiones, de izquierdaa derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
4 + 3 ? 2 - 15 : 3 = 4 + 6 - 15 : 3 = 4 + 6 - 5 = 10 - 5 = 5
Operaciones de suma, resta, multiplicación y división con paréntesis
El orden en el que se realizanlas operaciones es el siguiente: 10 + (5 - 3) ? 4 - 6 : 2 =
1.º Las operaciones que hay entre
paréntesis. = 10 + 2?
4 - 6 : 2 =2.º Las multiplicaciones y las divisiones,
de izquierda a derecha. = 10 + 8 - 3 =
3.º Las sumas y las restas, de izquierdaa derecha. = 18 - 3 = 15
Si hay paréntesisdebemos eliminarlosresolviendo primero
las operacionesde su interior.
F F
F
F F
F F
F F
F
F
F
F
Paréntesis
Multiplicaciones y divisiones
Sumas y restas
EVALUACIÓN INICIAL
1 Realiza estas operaciones de suma y resta.
a) 4 + 7 – 5 + 3 – 6 b) 12 - 5 + 6 - 7
2 Resuelve estas operaciones con paréntesis.
a) 15 - (4 + 7) + (5 - 3 + 1) b) 9 + (5 - 3 + 4) - (4 - 3)
3 Halla el resultado de estas operaciones.
a) 4 + 3 · 2 - 7 + 10 : 2 b) 12 + 18 : 2 - 3 · 2 + 1
4 Calcula.
a) 2 + (7 + 4) · 3 - 12 : (5 + 1) b) 5 - ( 6 - 4) : 2 + ( 4 + 3) · 2
75
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Númerosenteros
Hay expresiones cotidianas que no pueden indicarse con números natura-les. Necesitamos otro tipo de números, los números enteros.
ANTES, DEBES SABER…
Para qué se utilizan los números enteros
Hay situaciones en las que es necesario utilizar números negativos:
• 4 grados bajo cero " -4 °C
• Debemos 100€ " -100€
• El garaje está en el tercer sótano " -3
Los números enteros son números precedidos del signo + o -, depen-diendo de si la cantidad expresada está por encima o por debajo de cero.
En el conjunto de los números enteros podemos diferenciar:
• Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4…, que son losnúmeros naturales.
• El número 0.
• Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4…
1.1 Representación en la recta numérica
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se representan los números naturales en una recta
• Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la dist ancia entre estos dos
números como unidad.
• Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 para representar
el resto de números.
1 2 3 4 5
Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica:
• El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales.
• Fijamos el 1 y elegimos como unidad su distancia al origen.
• Desplazamos dicha unidad a la derecha del cero, para representarlos enteros positivos, y a la izquierda, para representar los negativos.
1
El 0 es el único númeroentero que no es positivo
ni negativo.
SE ESCRIBE ASÍ
Los números positivos
se escriben habitualmente
sin el signo+ que
los precede:+7= 7 +23= 23
Números enteros negativos Números enteros positivos
0-8… …-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8
2 Completa los números que faltan.
a)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Expresa con un número.
a) Debo cuatro euros a mi amigo.
b) Estamos a cinco grados bajo cero. -9 -7 -5 -2 04 4 4 4 4
76
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NO OLVIDES
El valor absoluto de cero
es cero.
0 0; ;=
1.2 Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero se escribe entre dos barras,; ;, yes igual al número sin su signo:
b b; ;+ = a a; ;- =
EJEMPLO
2 Calcula el valor absoluto de-3 y+6.
3 3; ;- = 6 6;+ =
1.3 Opuesto de un número entero
Para calcular el opuesto de un número se le cambia de signo.
Op (+a) = -a Op (-a) = +a
EJEMPLO
3 Halla el opuesto. a) -4 b) +5
a) Op (-4) = +4 b) Op (+5) = -5
Comparaciónde números enteros
De dos números enteros es mayor el que está situado más a la derechaen la recta numérica.
EJEMPLO
4 Compara estos números. a) +5 y+2 b) -4 y-7 c) +6 y-3
a) +2 < +5
0-5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6
b) -7 < -4
0-5-7 -6 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5
c) -3 < +6
0-5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
2
14 Ordena, de menor a mayor.
-6, +5, +7, 0, -11, -4, +9, +13, -16
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
6 Calcula.
a) 7; ;+ b) 1;- c) 22; ;+ d) 41; ;-
El cero es mayor quecualquier número negativo y menor que cualquiera
positivo.
77
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Suma y restade dos números enteros
3.1 Suma de dos números con el mismo signo
Para sumar dos números enteros del mismo signo:
1.º Se suman sus valores absolutos.2.º Al resultado se le añade el mismo signo de los números.
EJEMPLO
6 Resuelve estas sumas de números enteros.
a) (+3)+ (+4) = +7
3 3
4 43 4 7
; ;
; ;
+ =
+ =+ ="4
b) (-2)+ (-7) = -9
2 2
7 72 7 9
; ;; ;
- =
- =+ ="4
c) (+8)+ (+4) = +12
4
4 128 8
48
; ;
; ;
+ =
==
++"4
d) (-5)+ (-3) = -8
5 5
335 3 8
; ;; ;
- =
- ==+"4
3.2 Suma de dos números con distinto signo
Para sumar dos números enteros de distinto signo:
1.º Se restan sus valores absolutos (el menor del mayor).
2.º Al resultado se le añade el signo del número con mayor valorabsoluto.
EJEMPLO
6 Resuelve estas sumas de números enteros.
a) (-7)+ (+5) = -2
27 7
5 57 5
; ;
; ;
+ =
+ ==-"4
b) (-5)+ (+9) = +4
5 5
9 99 5 4
; ;
; ;
- =
==
+-"4
c) (+5)+ (-4) = +1
5 5
4 45 4 1
; ;
; ;
+ =
- =- ="4
d) (+8)+ (-11) = -3
8 8
11 1111 8 3
; ;
; ;
+ =
- =- ="4
3
Al sumar 0 a cualquiernúmero entero, se obtiene
el mismo número.
(+5) + 0 = +5
0 + (–7) = –7
18 Calcula.
a) (+4) + (+12) b) (+4) + (-12)
20 Indica, sin realizar la operación, qué signo
tendrá el resultado.
b) (-7) + (+5) c) (-7) + (-5)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Calcula.
a) (+5) + (+7) b) (-5) + (-7)
2 Calcula.
a) (+5) + (-7) c) (+6) + (-3)
b) (-5) + (+7) d) (-6) + (+3)
78
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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3 Calcula.
a) (+9) - (-15) e) (-12) - (+8)
b) (+9) - (-15) f) (+12) - (+8)
c) (-9) - (+15) g) (-12) - (-8)
d) (-9) - (+15) h) (+12) – (-8)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
19 Resuelve.
a) (+5) - (-6) e) (-3) - (+9)
b) (+5) - (+6) f) (-3) - (-9)
c) (-5) - (-6) g) (+3) - (+9)
d) (-5) - (+6) h) (+3) - (-9)
3.3 Resta de dos números
Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto delsegundo.
EJEMPLO
7 Resuelve estas restas de números enteros.
a) (+3)- (+4) = (+3) + Op (+4) = (+3) + (-4) = -1
3 3
4 44 3 1
; ;
; ;
=
- =
+- ="4
b) (+8)- (-11) = (+8) + Op (-11) = (+8) + (+11) = +19
8 8
11 11 8 11 19
; ;
; ;
+ =
+ = + ="4c) (-3)- (-7) = (-3) + Op (-7) = (-3) + (+7) = +4
3 3
7 77 3 4
; ;
; ;
=
+ =
-- ="4
d) (+11)- (-8) = (+11) + Op (-8) = (+11) + (+8) = +19
F
1 11 1
8 8
11 8 19; ;
; ;
+ =
- =
+ ="
4e) (-6)- (+5) = (-6) + Op (+5) = (-6) + (-5) = -11
F
6 6
5 56 5 11
; ;
; ;
- =
=-+ ="4
f) (-5)- (+6) = (-5) + Op (+6) = (-5) + (-6) = -11
F
5 5
6 65 6 11
; ;
; ;
- =
- =+ ="4
F
F
F
79
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Suma y restade varios números enteros
En las operaciones de sumas y restas seguimos estas reglas:
REGLA 1. Al primer sumando se le eliminan los paréntesis, y si su sig-no es positivo, se escribe sin signo.
(+5) + (-4) = 5 + (-4) (-5) + (-4) = -5 + (-4) REGLA 2. Al quitar los paréntesis precedidos del signo +, el signo quese mantiene es el del número.
(-7) + (+2) = -7 + 2 (-7) + (-2) = -7 - 2
REGLA 3. Al quitar los paréntesis precedidos del signo -, el signo quese escribe es el de su opuesto.
(-4) - (+3) = (-4) + (-3) = -4 - 3
Tras aplicar estas reglas, la expresión queda escrita en forma abreviada.
EJEMPLOS
1 Escribe de forma abreviada la siguiente expresión.
FRegla 1. Eliminamos paréntesis del primer sumando.
(-7)- (+3 )+ (-9 )- (-4) = -7 - (+3) + (-9 ) - (-4) =
F
Regla 2. Quitamos paréntesis precedidos de +.
+ (+a) = +a + (-a) = -a
= -7 - (+3) - 9 - (-4) =
F
Regla 3. Quitamos paréntesis precedidos de -.
- (+a) = -a - (-a) = +a
= -7 - 3 - 9 + 4
8 Escribe de forma abreviada esta expresión.
FRegla 1
(+4)+ (-5)- (+7)- (-3) = 4 + (-5) - (+7) - (-3) =
= 4 - 5 - (+7) - (-3) = 4 - 5 - 7 + 3 F
Regla 2
F
Regla 3
4
En la práctica:
+(+a) = +a –(+a) = –a
+(–
a)=
–
a–
(–
a)=
+a
22 Escribe de forma abreviada.
a) (-5) + (+8) - (-13) - (+9)
b) (+23) - (-14) - (+35) + (-53)
c) (-1) + (+5) + (+2) - (-12)
d) (+3) - (+11) + (-6) + (+12)
e) (-22) - (+11) - (-4) - (-1)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Escribe de forma abreviada.
a) (-5) - (+3) + (-7)
b) (+5) - (+3) - (-7)
c) (-5) - (-3) - (-7)
d) (+5) + (+3) - (+7)
e) (-5) - (+3) - (+7)
80
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Para resolver sumas y restas de varios números enteros:
1.º Escribimos dicha operación de forma abreviada.
2.º Sumamos los números que llevan signo +.
3.º Sumamos los números que llevan signo -.
4.º Restamos al primer resultado el segundo.
EJEMPLOS
2 Resuelve las siguientes operaciones expresadas en forma abreviada.
a) -4- 2+ 8- 1+ 3 = 11 - 7 = 4
F F
8 + 3 = 11 4 + 2 + 1 = 7
Números
con signo +
Números
con signo +
b) 5- 7+ 4- 10+ 6 = 15 - 17 = - 2
F F
5 + 4 + 6 = 15 7 + 10 = 17
Números
con signo +
Números
con signo +
9 Calcula:
F
Forma abreviada
(+4)+ (-5)- (+7)- (-3) = 4 - 5 - 7 + 3 = 7 - 12 = -5
F F
4 + 3 = 7 5 + 7 = 12
Números
con signo +
Números
con signo +
3 Halla el resultado de esta operación escribiéndola primero en forma
abreviada.
FForma abreviada
(-2)+ (+5)+ (-6 )- (-8) = - 2 + 5 - 6 + 8 = 13 - 8 = 5
F F
5 + 8 = 13 2 + 6 = 8
Números
con signo +
Números
con signo +
23 Calcula.
a) -5 - 8 - 4 + 15 - 18
b) 10 + 12 - 11 + 9
d) 4 - 7 - 9 + 5
e) 2 + 7 - 15 - 9
f) -1 + 12 - 5 - 7c) 4 - 10 + 17 - 8 + 2
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
5 Calcula.
a) 5 + 7 d) -3 - 9
b) -3 + 8 e) 7 - 9
c) 9 - 6 f) -8 + 2
81
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Multiplicación y divisiónde números enteros
6.1 Multiplicación de números enteros
Para multiplicar dos números enteros:
1.º Multiplicamos sus valores absolutos.
2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son deigual signo, o el signo - si son de signos diferentes.
EJEMPLO
13 Resuelve estos productos.
a) (-8) ? (-3) = +24 c) (+8) ? (-3) = -24
b) (+8) ? (+3) = +24 d) (-8) ? (+3) = -24
6.2 División de números enteros
Para dividir dos números enteros:
1.º Dividimos sus valores absolutos.
2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son deigual signo, o el signo - si son de signos diferentes.
EJEMPLO
14 Resuelve estas divisiones.
a) (-18) : (-3) = +6 c) (+18) : (-3) = -6
b) (+18) : (+3) = +6 d) (-18) : (+3) = -6
6
F
Mismo signo
F
Mismo signo
F
Mismo signo
F
Distinto signo
F
Distinto signo
F
Distinto signo
F
Distinto signo
Regla de los signos
+ ? +
- ? -
+ ? -
- ? +
+
+
-
-
F
Mismo signo
+ ? + = + – ? – = + + ? – = –
–
?
+ =
–
+ : + = +– : – = ++ : – = –
–
: + =
–
6 Calcula.
a) (+5) ? (-7) d) (-18) : (+6)
b) (-9) ? (+5) e) (+21) : (-7)
c) (-3) ? (-6) f) (-25) : (-5)
30 Indica qué signo tendrá el resultado.
a) (-7) ? (+6) b) (-42) : (-6)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
28 Calcula.
a) (+17) ? (+5) c) (-13) ? (+9)
b) (+21) ? (-8) d) (-14) ? (-7)
29 Resuelve estas divisiones.
a) (+35) : (+5) c) (-45) : (+9)
b) (+24) : (-6) d) (-42) : (-7)
82
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33 Calcula.
[(-4) ? (+5) + (-6) ? (-4)] : (6 - 4)
34 Resuelve:
[(-4) ? (-3)] - [(+10) : (-2)]
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
7 Calcula.
a) (+5) + (-3) ? (+4)
b) (+7) ? (-5) - (+16) : (-2)
c) (-3) +[ (-4) + (+5)] ? (-3)
d) [(-4) + (-7)] - (+5) ? (+3)
Operaciones combinadascon números enteros
Al igual que con los números naturales, las operaciones combinadas denúmeros enteros hay que efectuarlas siguiendo este orden:
1.º Se resuelven las operaciones que hay dentro de los corchetes y los
paréntesis.2.º Se realizan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en el
que aparecen, de izquierda a derecha.
3.º Se efectúan las sumas y las restas en el mismo orden.
EJEMPLOS
11 Resuelve esta operación: 4+ (-5- 7+ 3)- (-9+ 2) F
F
4 + (-5 - 7 + 3) - (-9 + 2) = 4 + (-12 + 3) - (-7) =
= 4 + (-9) + 7 = 4 - 9 + 7 = 11 - 9 = 2
12 Resuelve esta operación: (-8)- [(-3)+ (+6)- (-5)]- (+4)
(-8) - [(-3) + (+6) - (-5)] - (+4) = (-8) - [-3 + 6 + 5] - (+4) =
= (-8) - [+3 + 5] - (+4) =
= (-8) - (+8) - (+4) =
= -8 - 8 - 4 = -16 - 4 = -20
4 Calcula.
a) (-6) ? (+3) + (-10) : (-2) =
FMultiplicaciones y divisiones
=
(-
18)+
(+
5)=
FSumas y restas
=-18 + 5 = -13
b) (-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6)] : (-2) =
FCorchetes y paréntesis
= (-5) ? [-3 + 7] + (+6) : (-2) =
= (-5) ? (+4) + (+6) : (-2) =
FMultiplicaciones y divisiones
= (-20) + (-3) =
FSumas y restas
= -20 - 3 = -23
7
F
Es importanterespetar el orden
de las operaciones paraobtener el resultado
correcto.
83
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
Números enteros
• Números enteros positivos:
+1, +2, +3, +4, +5, +6, +7…
• El número 0.
• Números enteros negativos:
-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7…
Valor absoluto
a a; ;+ = a a; ;- = 0 0; ;=
Opuesto de un número
Op (+a) = -a Op (-a) = +a
Op (0) = 0
Regla de los signos
(+) ? (+) = + (+) : (+) = +
(-) ? (-) = + (-) : (-) = +
(+) ? (-) = - (+) : (-) = -
(-) ? (+) = - (-) : (+) = -
2. SUMAR DOS NÚMEROS ENTEROS
Calcula.
a) (+7)+ (+5) c) (-7)+ (+5)
b) (-7)+ (-5) d) (+7)+ (-5)
• Si los sumandos tienen el mismo signo.
PRIMERO. Sumamos sus valores absolutos.
SEGUNDO. Añadimos el mismo signo de los
sumandos.a)
7 7
5 57 5 12
; ;
; ;
=
=+ =
+
+"4
(+7) + (+5) = +12
b)
7 7
5 57 5 12
; ;
; ;
- =
- =+ ="4
(-7) + (-5) = -12
• Si los sumandos tienen distinto signo.
PRIMERO. Restamos sus valores absolutos,
al mayor el menor.
SEGUNDO. Añadimos el signo del sumandocon mayor valor absoluto.
c)
7 7
5 57 5 2
; ;
; ;
- =
+ =- ="4
(-7) + (+5) = -2
d)
7 7
5 57 5 2
; ;
; ;
+ =
- =- ="4
(+7) + (-5) = +2
1. RESTAR DOS NÚMEROS ENTEROS
Calcula.
a) (+8)- (+12) c) (-8)- (+12)
b) (-8)- (-12) d) (+8)- (-12)
PRIMERO. Hallamos el opuesto del número
que restamos.
Op (-12) = +12 Op (+12) = -12
SEGUNDO. Sumamos al primer númeroel opuesto que hemos hallado.
a) (+8) - (+12) = (+8) + Op (+12) =
= (+8) + (-12) = -4
8 8
12 1212 8 4
; ;
; ;
=
- ==
+-"4
b) (-8) - (-12) = (-8) + Op (-12) =
= (-8) + (+12) = +4
8 8
12 1212 8 4
; ;
;
=
=- =
-
+"4
c) (-8) - (+12) = (-8) + Op (+12) =
= (-8) + (-12) = -20
8 8
12 128 12 20
; ;
;
=
- ==
-+"4
d) (+8) - (-12) = (+8) + Op (-12) =
= (+8) + (+12) = +20
8 8
12 128 12 20
; ;
;
+ =
==
++"4
HAZLO DE ESTA MANERA
F
F
F
F
84
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Comprende estas palabras
1. ¿Cuál es el valor absoluto de -7? ¿Y de +3?
2. ¿Cuál es el opuesto de -7? ¿Y de +3?
Sumar dos números enteros
4. Halla: (-6) + (-12)
1. Halla: (+3) - (-5)
Restar dos números enteros
5. Resuelve: (-6) - (-12)
2. Halla: (+5) - (+9)
Sumar y restar varios números enteros
6. Calcula:
(-7) + (-5) - (-2) - (+4) + (+5)
Multiplicar y dividir números enteros
7. Halla: (-12) ? (-3)
Realizar operaciones combinadascon números enteros
8. Calcula (-4) + (-3) ? (-5) - (+8).
Y AHORA… PRACTICA
4. SUMAR Y RESTAR VARIOS NÚMEROS ENTEROS
Calcula: (+5)+ (-5)- (-7)- (+4)+ (+9)
PRIMERO. Eliminamos los paréntesis del primer sumando,
y si es positivo, se escribe sin signo.
SEGUNDO. Quitamos los paréntesis precedidos del signo +,
manteniendo los signos de los sumandos.
TERCERO. Eliminamos los paréntesis precedidos del signo -,
transformando los signos de los sumandos en sus opuestos.
CUARTO. Sumamos los números que llevan signo +
y los números que llevan signo -.
QUINTO. Restamos al primer resultado el segundo.
5 + (-5) - (-7) - (+4) + (+9) =
= 5 - 5 - (-7) - (+4) + 9 =
= 5 - 5 + 7 - 4 + 9 =
= 21 - 9 =
= 12
5. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROSENTEROS
Calcula. a) (-5) ? (-4) b) (+20) : (-4)
PRIMERO. Multiplicamos o dividimos
sus valores absolutos.
a) ? ?5 4 5 4 20; ; ; ;- - = =
b) : :20 4 20 4 5; ; ; ;+ - = =
SEGUNDO. Al resultado le añadimos el signo +
si ambos números tienen el mismo signo,
o el signo-
si son de signo distinto.a) (-5) ? (-4) = +20 b) (+20) : (-4) = -5
6. REALIZAR OPERACIONES COMBINADASCON NÚMEROS ENTEROS
Resuelve.
PRIMERO.
Resolvemos
los corchetes
y paréntesis.
SEGUNDO.
Realizamos las
multiplicaciones
y divisiones.
TERCERO.
Resolvemos las
sumas y restas.
F
Mismo signo
F
Distinto signo
= (-10) ? (-3) - (+2) =
(-10) ? [(+6) : (-2)]- (+2)=
= +30 - (+2) =
= +28
F
F
F F
F
F
85
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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ActividadesNÚMEROS ENTEROS
36. ● Utiliza los números enteros para expresar
el valor numérico de estas afirmaciones.a) El avión vuela a 2 700 m de altura.
b) Luis trabaja en el segundo sótano.
c) Marisa está en la planta baja.
d) Estamos a 4 grados bajo cero.
e) Ocurrió en el año 540 a.C.
f) Debo 15 euros a mi madre.
37. ● Invéntate situaciones que correspondan
a estos números.
a) +3 b) -3 c) +15 d) -330
38. ● Completa la siguiente recta:
-3 14 4 4 4 4
39. ● Representa estos números enteros en la recta
numérica.
1 -3 5 -2 7 -6
40. ●● Indica el número entero que corresponde
a cada punto marcado en la recta numérica.
a) A B C D
0 1
b) A B C D
0 1
41. ● Escribe todos los números enteros.
a) Mayores que -4 y menores que +2.
b) Menores que +3 y mayores que -5.
c) Menores que +1 y mayores que -2.
d) Mayores que -5 y menores que +6.
42. ● Escribe los números enteros comprendidos
entre-10 y+5.
43. ● ¿Cuántos números enteros hay entre-3 y 3?
44. ●● ¿Cuántos números enteros están
comprendidos entre-256 y 123?
45. ● De los siguientes números, ¿cuáles son
enteros?
-5 45 32,12 -1 4032
7
46. ● Halla el valor absoluto de estos números.
a) -3 b) -22 c) 15 d) 21
47. ● Calcula.
a) ;+3; d) ;-4;
b) ;-3; e) ;+5;
c) ;-7; f) ;-9;
48. ● ¿Qué valores puede tomar a en cada caso?
a) ;a; = 3 b) ;a; = 12
50. ● Escribe el opuesto de-3, 7,-12 y 5.
51. ● Indica cuántos números enteros están
comprendidos entre:
a) +5 y su opuesto.
b) -7 y su opuesto.
c) Los opuestos de -3 y +2.
d) El opuesto de -4 y el opuesto de +5.
COMPARACIÓN DE NÚMEROSENTEROS
52. ● Escribe el signo< o>, según corresponda.
a) -7 4 -12 c) -3 4 0
b) -2 4 2 d) -5 4 -3
53. ● Escribe el número anterior y posterior
de los siguientes números.
a) 4 < 3 < 4 c) 4 < 12 < 4
b) 4 < -3 < 4 d) 4 < -8 < 4
54. ● Halla un número entero que esté comprendido
entre estos números.
a) -3 < 4 < 0 c) -8 < 4 < -5
b) 7 < 4 < 10 d) -4 < 4 < 1
55. ● Completa.
-8 < 4 < 4 < 4 < 4 < -3
56. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientesnúmeros:
-4 0 -6 7 -11 21 -3 12 -7 9
57. ● Escribe dos números enteros.
a) Menores que +4 y mayores que -2.
b) Menores que -3.
c) Mayores que -5.
d) Mayores que -3 y menores que 1.
86
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SUMA Y RESTA DE NÚMEROSENTEROS
58. ● Efectúa estas sumas.
a) (+12) + (+5)
b) (-21) + (-11)
c) (-14) + (+2)
d) (+32) + (-17)
59. ● Completa la siguiente tabla:
a
-5
-8
-6
+4
+3
-2
+7
+9
b a + b b + a
60. ● Calcula.
a) 15 - (+4) c) 9 - (-7)
b) 17 - (-3) d) 21 - (+9)
61. ● Resuelve.
a) -4 - (+7)
b) -21 - (-13)
c) -19 - (+8)
d) -11 - (-6)
62. ● Completa la siguiente tabla:
a
-5
-8
-6
+4
-3
-2
+7
+9
b a - b b - a
63. ● Opera.
a) (+7) + (+5) + (-4) + (-4)
b) (-8) + (+13) + (+21) + (-7)c) (+4) + (-9) + (+17) + (-6)
d) (-16) + (+30) + (+5) + (-12)
8. ● Calcula.
a) (-8) + (-5) + (+7)
b) (+ 6) + (+11) + (-2) + (+5)
c) (-9) + (-8) + (+5) + (+4)
d) (+ 12) + (-4) + (-7)
67. ● Calcula.
a) -7 - (-12) - (+3)
b) +34 - (+11) - (+13)
c) -9 - (-6) - (+12)d) -5 - (+11) - (-20)
68. ● Realiza las operaciones.
a) (+8) - (+9) + (-7)
b) (-12) - (-3) + (+5)
c) (+9) + (-13) - (-21)
d) (-17) + (+5) - (+20)
69. ● Calcula.
a) -3 + (-2) + 7 - (-4)
b) 9 - (+4) - (-6) - (-2)
c) 5 - (-12) - (+9) + 8d) -4 + (-7) - (+9) - (-5)
72. ● Calcula.
a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2
b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11
c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1
d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13
e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1
f) 9 + 14 - 6 - 93 + 19
g) 3 + 5 - 9 - 7 - 5 - 7
h) 2 - 2 - 2 - 2 + 4 - 1
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓNDE NÚMEROS ENTEROS
9. ● Calcula.
a) (+ 3) ? (+4) c) (+ 3) ? (-4)
b) (-3) ? (+4) d) (-3) ? (-4)
77. ● Calcula.
a) (+
4)?
(-
5) c) (-
3)?
(-
8)b) (+7) ? (+6) d) (-9) ? (+9)
78. ● Completa la siguiente tabla:
a
-3
+5
-8
+9
+6
-7
-4
+2
b a ? b b ? a
87
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HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE MULTIPLICAN VARIOS NÚMEROSENTEROS A LA VEZ?
84. Resuelve: (-7) ? (-2) ? (+10)
PRIMERO. Se calcula el signo del resultado.
(-) ? (-) ? (+)
(+) ? (+) = +
SEGUNDO. Se multiplica el valor absoluto de
los números y se añade el signo del resultado.
(-7) ? (-2) ? (+10) = +(7 ? 2 ? 10) = +140
85. ● Calcula.
a) (-2) ? (-3) ? (+5) c) (+7) ? (-2) ? (+3)
b) (-4) ? (+3) ? (-2) d) (-9) ? (-5) ? (-2)
86. ● Halla estas divisiones.
a) (+35) : (+5) e) (+105) : (-3)
b) (+45) : (-5) f) (+48) : (+12)
c) (-42) : (+7) g) (-49) : (-7)
d) (-54) : (-9) h) (-63) : (+3)
87. ● Resuelve.
a) (+290) : (+10) c) (-40) : (-10)
b) (+1 500) : (-100) d) (-70) : (-10)
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE DIVIDEN VARIOS NÚMEROS ENTEROSA LA VEZ?
90. Resuelve: (-8) : (-2) : (+4)
PRIMERO. Se calcula el signo del resultado
de la operación.
(-) : (-) : (+)
(+) : (+) = +
SEGUNDO. Se dividen los valores absolutos delos números y se añade el signo del resultado.
(-8) : (-2) : (+4) = +(8 : 2 : 4) = +1
91. ●● Calcula.
a) (+35) : (-7) : (-5)
b) (-21) : (-7) : (-1)
c) (-10) : (-5) : (+2)
d) (+32) : (-8) : (-2)
OPERACIONES COMBINADAS
10. ●● Calcula.
a) (+ 5) - (-3) + [(+ 2) - (+7)] - (+3)
b) (+7) + [(-8) - (+5)] - (-7)
c) (- 2) - [(+ 3) + (-5) - (+7)] + (-5)
d) [(-5) - (-8)] + (+5) - [ (+4) + (-3)]
70. ● Resuelve.
a) [-3 + 7] - [9 - (-2)]
b) [-5 - (-9) - (+4)] + (-2)
c) -14 - [-6 + (-11)]
d) [12 - (+5)] + [-4 - (-6)]
71. ● Opera.
a) -5 - [3 + (-7) - (-6)]
b) 19 + [-8 + (-5) + 3]
c) [-6 + (-8)] - [9 - (+4)]
d) 6 + [3 - 5 + (-9) - (-2)]
73. ● Realiza estas operaciones.
a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1)
b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2)
c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)
d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)
e) 10 - (8 - 7) + (-9 - 3)
f) 7 - (4 + 3) + (-1 + 2)
g) -1 - (-1 + 2 - 5 + 4)
h) 3 + (5 - 9) - (7 - 5 - 7)
11. ● Calcula.
a) (+ 5) - (-3) ? (+2)
b) (-7) + (-8) : (+4)
c) (+ 3) + (-5) - (+7) ? (-2)
d) (-4) - (-8) : (+2) - (-3)
12.●●
Calcula.a) (+ 4) - [(-3) + (-5)] ? (-2)
b) [(-6) + (-7) + (+8)] ? (-3) + (+1)
c) [(-3) + (-9)] ? (+2) + (-5)
d) (-8) ? (+2) -[(+ 5) - (+4)] + (-7)
13. ●● Calcula.
a) (+ 5) - [(-8) + (-4) : (-2)] + (+5)
b) [(-6) + (-3) ? (-2)] + (-4)
88
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92. ●● Calcula.
a) (-12) : 3 - [13 + 6 - (-2)]
b) 21 : 3 - 4 ? (-3)
c) 36 : (-4) + 5 ? (-2)
d) (-3) ? 2 - (4 - 10 : 2)
93. ●● Realiza las operaciones.
a) (-4) - (-6) : (+3)
b) (+5) : (-5) - (-7) ? (+2)
c) (-11) - (+3) ? (-4) : (-6) - (-9)
d) (-18) - [(+4) + (-6)] : (+2) + (+5)
94. ●● Resuelve.
a) 8 + 7 - 6 + 5 - 11 + 2
b) (-12) ? 7 : 3
c) 9 - 12 : 4
d) 100 - 22 ? 5
e) (-26) : 2 - 6 : 3 + 4
PROBLEMAS CON NÚMEROSENTEROS
96. ● ¿Cuántos metros separan a un avión, que
vuela a una altura de 8 500 m, de un submarino
que está a 350 m bajo el nivel del mar?
97. ● El congelador de un frigorífico tenía
una temperatura de-12 °C y, después, subió
5 grados. ¿Qué temperatura marca ahora?
98. ● En el indicador de un coche leemos que
la temperatura interior es de 16 °C, y la exterior
de-3 °C. ¿Cuál es la diferencia de temperatura
entre el interior y el exterior?
99. ●● En una ciudad, a las seis de la mañana,
el termómetro marcaba-10 °C, y a las 12 horas
indicaba 4 °C. ¿Cuál fue la variación de la
temperatura en grados?
100. ● Sara aparca el coche en el tercer sótano
y sube a la quinta planta. ¿Cuántas plantas
sube Sara?
101. ●● María trabaja en la planta 15 de un edificio
y aparca su coche 19 plantas más abajo.
¿En qué planta lo aparca?
102. ●● Cristina vive en el 3.er piso. Baja 4 plantas
en ascensor para ir al trastero y luego sube
6 plantas para visitar a una amiga.
¿En qué piso vive su amiga?
103. ●● El matemático griego Tales de Mileto nació en
el año 624 a.C. y vivió 78 años. ¿En qué año murió?
104. ●● Euclides, famoso geómetra, murió en el año
265 a.C. y vivió 60 años. ¿En qué año nació?
105. ●● Cierto día, en una ciudad hubo 9 °C
de temperatura máxima y-4 °C de mínima.
a) ¿Cuál fue la variación de temperatura
(amplitud térmica) en grados ese día?
b) ¿En algún momento del día, la temperatura
pudo ser de 5 °C? ¿Por qué?
c) ¿Y de -7 °C? ¿Por qué?
106. ●● En un laboratorio de biología están
estudiando la resistencia de un microorganismo
a los cambios de temperatura. Tienen
una muestra a 3 °C bajo cero, suben
su temperatura 40 °C, después la bajan 50 °C
y la vuelven a subir 12 °C. ¿Cuál es
la temperatura final de la muestra?
89
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidadaprenderás a…
• Reconocer
las expresionesalgebraicas.
• Hallar el valor
numérico de unaexpresión algebraica.
• Sumar y restarmonomios.
• Resolver ecuaciones
sencillas de primergrado.
• Resolver problemas
planteando ecuacionessencillas de primergrado.
PLAN DE TRABAJO
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
Valor absoluto
|+7| = 7 |0| = 0 |-7| = 7
Suma resta de números enteros
Los númerospositivos se escriben
habitualmentesin el signo + que
los precede:
+3 = 3 +7 = 7
• Mismo signo
Sumamos los valores absolutosy dejamos el mismo signo.
3 + 7 = 10 -3 - 7 = - 10
9 + 4 = 13 -9 - 4 = - 13
• Mismo signo
Multiplicamos o dividimoslos valores absolutos y dejamosel signo positivo.
3 ? 4 = 122
105=
(-3) ? (-4) = 122
105
-
-
=
• Distinto signo
Restamos al mayor el menory dejamos el signo del mayor
-3 + 7 = 4 3 - 7 = - 4
9 - 4 = 5 -9 + 4 = - 5
• Distinto signo
Multiplicamos o dividimoslos valores absolutos y dejamosel signo negativo.
(-3) ? 4 = -122
105
-
=-
3 ? (-4) = -122
105
-
=-
Multiplicación división de números enteros
EVALUACIÓN INICIAL
1 Realiza estas operaciones con números enteros.
a) 3 + 4 c) 5 - 7 e) -7 + 8
b) 6 - 2 d) -3 - 7 f) -9 + 5
2 Calcula.
a) 3 - 4 + 5 d) -7 + 5 - 6
b) -9 + 2 + 4 e) -4 - 6 - 8
c) 12 - 3 - 9 f) 9 + 3 + 4
3 Obtén el resultado de estas multiplicaciones.
a) 3 ? 5 c) (-7) ? 3
b) 4 ? (-3) d) (-3) ? (-6)
4 Calcula estas divisiones.
a)2
8c)
4
12
-
b)3
9-d)
2
4
-
-
91
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Lenuajealebraico
El lenguaje numérico expresa la información matemática solo mediantenúmeros.
EJEMPLO
1 Expresa en lenguaje numérico.
Lenguaje usual Lenguaje numérico
La suma de cuatro más tres 4 + 3 0Diez menos ocho 10 - 8 0El cuadrado de tres es nueve 32 = 90El triple de cinco es quince 3 ? 5 = 15
ANTES, DEBES SABER…
Cuándo se utilizan letras para sustituir a números
• Paraexpresarlasrelacionesentrelostérminosdeunadivisiónsesuelen
utilizar letras que representan cada uno de ellos.
D d Pruebadeladivisión " D = d ? c + r
r c
• Paraexpresar,deformageneral,cómosecalculaeláreadealgunas
figurasgeométricasseutilizanletrasquerepresentansusmedidas.
A = b ? a
b
ah
b
?
Ab h
2=
El lenguaje algebraico expresa la información matemática con númerosy letras.
EJEMPLO
2 Expresa en lenguaje algebraico.
Lenguaje usual Lenguaje algebraico
La suma de dos números a + b
Un número aumentado en 3 unidades y + 3
El cuadrado de un número x2
El triple de un número 3 ? x
La mitad de un número es igual a 3 c2
3=
1
Las letras másutilizadas en el lenguaje
algebraico para representarcualquier número son:x , y , z , a , b , c , d …
2 Expresa en lenguaje algebraico.
a) El doble de un número.
b) La tercera parte de un número.
c) El triple de un número menos su cuadrado.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Expresa en lenguaje numérico.
a) El doble de cinco.
b) La tercera parte de ochenta y siete.
c) La mitad de ocho más tres.
92
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Epresionesalebraicas
Al igual que para expresarnos en el lenguaje usual utilizamos expresionesescritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico utilizaremos expresio-nes algebraicas.
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que secombinan con los signos de las operaciones matemáticas.
EJEMPLO
1 Traduce estos enunciados a expresiones algebraicas.
Expresiónescrita Expresiónalgebraica
Un número menos 2 unidades x - 2
El triple de un número menos 2 3 ? (x - 2)
La mitad de un número más 1x
21+
Valor numrico
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calculan potencias
Unapotenciaesunaformaabreviadadeescribirunamultiplicación
de factoresiguales.
52 = 5 ? 5 = 25 (-5)3 = (-5) ? (-5) ? (-5) = -125
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resul-ta de sustituir las letras por sus valores correspondientes y realizar lasoperaciones que se indican.
EJEMPLO
5 Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas para los valoresque se indican.
a) 2 ? x + 3,parax = 1.
2 ? x + 3x = 1
---" 2 ? 1 + 3 = 2 + 3 = 5
b) x2 - 3 ? x,parax = -1 y para x = 2.
x2 - 3 ? x x = -1-----" (-1)2 - 3 ? (-1) = 1 + 3 = 4
x2 - 3 ? x x = 2
-----" 22 - 3 ? 2 = 4 - 6 = -2
2
El valor numéricode una expresiónalgebraica varía
en función de los valoresque toman las letras.
7 Hallalosvaloresnuméricosdelaexpresión
algebraica x ? (x + 1) ? (x - 1) + 3 para:
a) x = 1 b) x = -1 c) x = 3
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Calcula el valor numérico de las siguientesexpresiones algebraicas para x = 2.
a) 3 ? x - 5 b) x2 + 3 ? x
93
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Monomios
Los monomios son las expresiones algebraicas más sencillas. Están for-mados por productos de letras y números de manera que:
• El número (incluido su signo) se llama coeficiente.
• La letra o las letras que lo acompañan se denominan parte literal.
EJEMPLO
6 Completa la tabla.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se suman o restan objetos• Objetosiguales
• Objetosdiferentes
Suma resta de monomiosDos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
La suma o resta de dos o más monomios semejantes es otro monomioque tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes (números) delos sumandos, y mantiene la misma parte literal. Si los monomios no sonsemejantes, la suma o resta se deja indicada.
EJEMPLO
7 Realiza estas operaciones entre monomios.
a) 3x + 2x = 5x
Semejantes
3 + 2
Fc)
3
8x + 7a
No semejantes
La suma se deja
indicada.F
SE ESCRIBE ASÍ
• En los monomios
suprimimos el signodel producto.
3 ? x " 3x
• Cuando una letra no tiene
exponente, su exponente
es 1.7x " 7x1
• Cuando un monomio está
formado solo por letras,su coeficiente es 1.
x 3 " coeficiente 1
12 Efectúa.
a) x + x + x
b) 5a - 4a + 10a - a d) -2x2 + x2 + x2
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 Indicaelcoeficienteylaparteliteral.
a) 2x3 c) 3zb) y 4 d) 8t3
+ = +
- =
c) 2t + 5r
Monomio Coeficiente Parteliteral
3 ? x 3 x
-5 ? a2 ? b3 -5 a2 ? b3
-2 ? a ? b -2 a ? b
94
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Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que noes cierta para todos los valores de las letras.
EJEMPLO
2 Comprueba que 10 + x =16esunaecuación.
Si x = 1 " 10 + 1 = 11 " 11! 16. No se cumple la igualdad.
Si x = 6 " 10 + 6 = 16 " 16 = 16. Se cumple la igualdad.
La igualdad solo se cumple para algunos valores de x " Es una ecuación.
Elementosde una ecuación
• Los miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas quehay a cada lado de la igualdad.
• Los términos de una ecuación son los sumandos que forman losmiembros.
• Las incógnitas de una ecuación son las letras que aparecen en lostérminos, cuyos valores son desconocidos.
EJEMPLO
10 Indicalosmiembros,lostérminos ylasincógnitas deestaecuación.
a) 6x + 5 = 23 "6x + 5 = 23
Primer miembro Segundo miembro
Incógnita: xTérminos
La solución de una ecuación son los valores numéricos de las incógnitasque hacen cierta la igualdad.
EJEMPLO
3 Comprueba si x = 3 y x = -2sonsolucióndelaecuación6 x + 5 = 23.
6x + 5
x = 3"
6?
3 + 5 = 23"
23 = 23"
x = 3 es solución.6x + 5 x = -2
" 6 ? (-2) + 5 = -7 " -7! 23 " x = -2 no es solución.
4
5
El símbolo =/ se lee«distinto de».
6 =/ 9
«6 es distinto de 9»
18 Decidedequéecuacionesessoluciónx = 2.
a) x + 3 = 4
b) x + 7 = 9
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
17 Indica,enlassiguientesecuaciones,
susmiembros,términoseincógnitas.
a) x + 5 = 8 c) x2 - 4 = -x3 + 6
95
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Resolución de ecuacionesde primer rado
Resolver una ecuación es encontrar su solución, si esta existe.
Para resolver una ecuación agrupamos en un miembro todos los términos
con la incógnita, utilizando estas reglas:• Si un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro.
Y si está restando, pasa sumando.• Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al
otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando.
Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo haynúmeros, diremos que hemos despejado la x. Su valor numérico es la so-lución de la ecuación.
EJEMPLO
14 Resuelve las siguientes ecuaciones.a) x + 2 = 4
Agrupamos los términos con x en el primer miembro y los númerosen el segundo. El 2, que está sumando en el primer miembro, pasa restando al segundo:
x + 2 = 4 " x = 4 - 2
" x = 2Pasa restando
F
b) 2x = 4
Para despejar la x, pasamos el 2 que está multiplicando en el primermiembro, al segundo miembro, dividiendo:
Pasa dividiendo F
2 4 2x x x2
4= = =" "
b) 3x - 1 = x + 3
Pasamos el 1 del primer miembro al segundo, y la x del segundoal primer miembro.
3x - 1 = x + 3 " 3x = x + 3 + 1 " 3x = x + 4 " 3x - x = 4 " 2x = 4
Para despejar la x, pasamos el 2 del primer miembro dividiendoal segundo:
2x =
4"
x=
2
4
"
x=
2
7
Las ecuaciones2x = 4 y 4 = 2x tienen
la misma solución:
x = 42
= 2
24 Hallalasolucióndelasecuaciones.
a) -2x + 4 = x +1 d) 2x - 1 = x - 1b) x - 8 = 2x - 6 e) 4x - 5 = 2x + 7
c) 8x - 2 = 10x f) 5x - 1 = x + 7
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
23 Resuelve estas ecuaciones.
a) x + 4 = 15 d) 3x = 6
b) x - 8 = 9 e) 5x = -20
c) x - 4 = -6 f) 6x = 18
96
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Resoluciónde problemas
Para resolver problemas mediante ecuaciones seguimos estos pasos:1.º Identificamos la incógnita.2.º Planteamos la ecuación.
3.º Resolvemos la ecuación.4.º Comprobamos e interpretamos la solución.
EJEMPLOS
4 El doble de una cantidad más 15 es igual a 27. ¿Cuál es la cantidad?
• Identificamos la incógnita. Llamamos x a la cantidad desconocida.
• Planteamos la ecuación.
Una cantidad x
El doble de esa cantidad 2x
El doble de la cantidad más 15 2x + 15
El doble más 15 es igual a 27 2x + 15 = 27
• Resolvemos la ecuación.
2x + 15 = 27 " 2x = 27 - 15 " 2x = 12 " x = 2
12 " x = 6
• Comprobamos e interpretamos la solución.
La cantidad es 6.El doble de 6 es 12.Si le sumamos 15: 12 + 15 = 27 " La solución es válida.
5 El triple de un número menos 2 es igual al mismo número más 8.¿Cuál es ese número?
• Identificamos la incógnita. Llamamos x al número que buscamos.
• Planteamos la ecuación.
Un número x
El triple de ese número 3x
El triple del número menos 2 3x - 2
El triple del número menos 2es igual al mismo número más 8 3x - 2 = x + 8
• Resolvemos la ecuación.
3x - 2 = x + 8 " 3x - x = 8 + 2 " 2x = 10 " x = 2
10 " x = 5
• Comprobamos e interpretamos la solución.
El número es 5.
El triple menos 2: 3 ? 5 - 2 = 15 - 2 = 13"3 La solución es válida.
El número más 8: 5 + 8 = 13
8
5 El doble de un número más su triple es iguala 25. ¿De qué número se trata?
6 Un número es igual a su triple menos 8.¿Cuál es el número?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
3 El triple de una cantidad menos 5 es igual a 7.Averigua la cantidad.
4 Una cantidad menos 15 es igual al doble dela cantidad menos 18. ¿De qué cantidad se trata?
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Lo esencial
1. CALCULAR EL VALOR NUMéRICO DE UNA ExPRESIÓN ALgEBRAICA
Hallaelvalornuméricodelaexpresiónalgebraica x2 - 3x +2,parax = -2.
PRIMERO. Sustituimos las incógnitas por el valor numérico que nos dan.
x2 - 3x + 2x = -2
---$ (-2)2 - 3 ? (-2) + 2
SEGUNDO. Realizamos las operaciones.
(-2)2 - 3 ? (-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12
El valor numérico de la expresión x2 - 3x + 2, para x = -2, es 12.
HAZLO DE ESTA MANERA
COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lenuaje numrico
Tres menos dos es uno " 3 - 2 = 1
Lenuaje alebraico
El doble de un número "
más uno
2x + 1
Expresión algebraica
Parte literal
Coeficiente
F
F
Segundo miembro
Términos
Primer miembro
2. SUMAR y RESTAR MONOMIOS
PRIMERO. Analizamos si los monomios quequeremos sumar o restar son o no semejantes.
a) 3x2 + 5x2 → Misma parte literal, x2.
Son semejantes.
b) 3x2 - 5x2 → Misma parte literal, x2.Son semejantes.
c) 3a + 5b → Distinta parte literal, a y b.No son semejantes.
d) 3a - 5b → Distinta parte literal, a y b.No son semejantes.
SEGUNDO. Operamos, si es posible.
• Si los monomios son semejantes: se sumano restan sus coeficientes y se mantiene
la misma parte literal.a) 3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2
b) 3x2 - 5x2 = (3 - 5)x2 = -2x2
• Si los monomios no son semejantes: la sumao la resta no se puede realizar, y se deja
indicada.
c) 3a + 5b " No se puede realizar.
d) 3a - 5b " No se puede realizar.
Calcula.
a) 3x2 + 5x2 c) 3a + 5b
b) 3x2 - 5x2 d) 3a - 5b
Monomio
4x3
Ecuación
3x + 4 = 12 " Incógnita: x
98
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Comprende estas palabras
1. Expresa en lenguaje algebraico.
a) El triple de un número menos seis.
b) La quinta parte de un número es 12.2. Determina si las siguientes expresiones
algebraicas son una ecuación o una identidad.
a) 6x - 2x = 12 b) 3x + x = 4x
Calcular el valor numrico de una epresiónalebraica
1. Halla el valor numérico de la expresión
3x - 4x2, para x = 1.
y AHORA… PRACTICA
Sumar restar monomios
5. Calcula: x + 4x - 10x + 5x
Resolver una ecuación de primer rado
2. Resuelve estas ecuaciones.
a) x - 5 = 7 b) 3x = 9
3. Resuelve.
a) 5x - 5 = 4x + 7 b) 4x - x = 27
Resolver un problema mediante ecuaciones
4. El doble de un número menos 3 es igual a 7.¿Cuál es ese número?
1. RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER gRADO
Resuelvelaecuación:10 x + 7 = 6x - 5
PRIMERO. Agrupamos los términos con x en un miembro y los números en el otro.
10x + 7 = 6x - 5 10x - 6x = -5 - 7
SEGUNDO. Sumamos y rest amos los términos semejantes.
4x = -12
TERCERO. Despejamos la incógnita.
x = 4
12-" x = - 3
2. RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE ECUACIONES
Un número más su doble es igual a 27. ¿Cuál es el número?
PRIMERO. Identificamos la incógnita. Llamamos x al número que buscamos.
SEGUNDO. Planteamos la ecuación.
Un número x
El doble de ese número 2x
El número más su doble x + 2x
El número más su doble es igual a 27 x + 2x = 27
TERCERO. Resolvemos la ecuación.
x + 2x = 27 " 3x = 27" x = 3
27 " x = 9
CUARTO. Comprobamos e interpretamos la solución.
El número 9 más su doble es: 9 + 2 ? 9 = 9 + 18 = 27 " La solución es válida.
99
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ActividadesExPRESIONES ALgEBRAICAS
36. ● Relacionacadaenunciadoconlaexpresión
algebraica correspondiente.a) Perímetro de un triángulo equilátero.
b) Al triple de un número le sumamos 2 unidades.
c) El doble de la suma de dos números.
d) El producto de un número y su consecutivo.
1) 3a + 2 3) 3x2) x(x + 1) 4) 2(x + y)
37. ● Escribe en lenguaje algebraico las siguientesexpresiones.
a) El cuadrado de un número.
b) Un número menos tres.
c) El doble de un número más tres.
d) La mitad de un número menos cinco.
e) El triple de un número más el doble del mismonúmero.
f) La cuarta parte de la suma de un númeromenos tres.
g) La quinta parte de un número menos el triplede dicho número.
h) La suma de dos números cualesquiera.
i) El triple de la suma de dos númeroscualesquiera.
j) La sexta parte de un número más seis.
38. ●● Si xesunnúmerocualquiera,expresa
en el lenguaje usual cada una de las expresionesalgebraicas.
a) x - 2 e) x3 - 5
b) x + 5 f) 3x - x4
c) 2x g) 2x + 2x2 + 2x3
d)x
2h) x
40. ● Calcula el valor numérico de 6x - 3 para:
a) x = 1 c) x = -1b) x = 2 d) x = -3
41. ● Determinaelvalornuméricodelaexpresión
algebraica 7x - 4 para los siguientes valores:x = -2,x = 1,x = -3.
42. ● Halla los valores numéricos de estasexpresiones algebraicas para a = 3.
a) 2a - 5 c) a(a - 1)(a + 2)b) 3a2 + 2a - 1 d) (-a - 2)(-2a)
44. ● Halla el valor de las expresiones cuando tomanel valor indicado.
Valor de x 3x - 4 x2 + 1
x = 1
x = 2
x = -1
x = 0
x = -2
x = -4
x = 7
x = -5
MONOMIOS
45. ● Completa la siguiente tabla:
Expresiónalgebraica Coeficiente Parteliteral
6x3
-4x
xy
-2a2b
7. ● Escribe un monomio que tenga:
a) Coeficiente 7 y parte literal x.b) Coeficiente -2 y parte literal x3.c) Coeficiente 1 y parte literal x3.
8. ● Escribe dos monomios que tengan los mismoscoeficientesydistintaparteliteral.¿Son
semejantes esos monomios?
50. ● Indica las parejas de monomiosque son semejantes y escribe sus opuestos.
a) 2x 3 y 2x c) 12a 2 y -3a 2 b) 3x y -2x d) a 3 y 3a
51. ● Escribe dos monomios semejantes para cadauno de estos monomios.
a) 12a b) -5x 2 c) 13 y 3
52. ● Efectúalassumasyrestasdemonomios.
a) 2x + 3x j) -4a + 2ac) 17x 2 - 4x 2 k) -5x 2 - (-x 2)f) 7a + 5a + 3a l) 4a 2 + 6ag) 5x 4 - 2x 2 - 3x 2 m) 2x + 4x - 8xi) 2x 2 - 4x 2 + 5x 2 n) 2 y + 2 y2
100
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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53. ● Suma y resta estos monomios.
a) 3x 2 y -9x2 d) -36x3 y 45x3 b) 4x y 12x e) 12a y -8a
c) 4x y 3x2 f) 12x y -4
ECUACIONES
56. ● Completa la siguiente tabla:
EcuaciónPrimer
miembroSegundomiembro
Términos Incógnita
7 + s = 2
18 = 2t
5x = 1 + x
0 = 8 - y
10r = 3
57. ● Comprueba si estas igualdades son ciertaspara los valores de la variable que se indican.
a) 4x - 7 = 2, para x = 3.
b) 10 - x = 13, para x = -3.
c) 15 + x = 11, para x = -4.
d) 3(x - 2) = 6, para x = 4.
e) (8 - x)4 = 8, para x = 2.
f) (9 - x)(6x + 2) = 16, para x = 8.
g) x2
16= , para x = 8.
h)x
35 8+ = , para x = 9.
i)x
2
51 6
++ = , para x = 5.
j)x x
3 25+ = , para x = 6.
k) ( )x
x3
82 1 3
++ - = , para x = 1.
58. ● Indica cuáles de estas ecuaciones tienen como
solución x = -2.a) x + 2 = 0 c) 3x - 1 = 5
b) 2x + 4 = -8 d) 5x + 8 = -2
59. ● Di si el valor de xessolucióndelaecuación
y,sinoesasí,hállalo.
a) 2x - 5 = 7, para x = 5.
b) 3x - 6 = 2x - 5, para x = 3.
c) x + 1 + 5 = 2x + 2, para x = 4.
d) 3(x + 2) - 5 = 4x + (x - 1), para x = 1.
60. ●● Escribe tres ecuaciones de primer grado conunaincógnitaquetengancomosoluciónx = 2.
61. ●● Indica,sinoperar,paraquévalorde x
se cumplen estas igualdades.
a) x + 3 = 4 g) 7 - x = 5
b) 2x = 16 h) 4x - 3 = 1
c) 6 - x = 1 i) 4 + x = 6
d) 9x = 36 j) 2x + 1 = 5
e)x
55= k)
x
279=
f) 4 = -x l) 9 = 3x
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
62. ● Calculaelvalordelaincógnita.
a) x + 3 = 7 e) x - 3 = 7
b) 9 + x = 12 f) x + 5 = 6
c) x - 5 = 9 g) 15 + x = 9
d) 7 + x = 18 h) x - 3 = -5
63. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 4x = 16 e) -5x = -25
b) -7x = 49 f) 2x = -238
c) -5x = -125 g) -3x = 36
d) 27x = -81 h) -9x = 81
64. ● Hallalasolucióndelasecuaciones.
a) 4x = 5 + 3x e) 10 - 3x = -2x
b) 6x = 12 + 4x f) 6 + 2x = x
c) x - 8 = 3x g) 14x + 6x = 40
d) 20 + 6x = 8 h) 30 + 8x = -7x
65. ●● ¿Sehanresueltocorrectamente
lasecuaciones?Sinoesasí,resuélvelas.
a) 3x - 1 = 0 d) 4x = 10
3x = 0 x = 10 - 4
x = 0 x = 6
b) 2x + 3 = 5 e) 4x + 2 = 6
2x = -2 4x = 6 + 2
x = -1 x = 1
c) 7x = 8 f) 2x + 1 = 8
x = 8 - 7 2x = 8 + 1
x = 2 x = 4,5
101
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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66. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 25 - 2x = 3x - 35 i) 100 - 3x = 5x - 28
b) 4x + 17 = 3x + 24 j) 10x - 17 = 4x + 85
c) 7x - 3 = 21x - 9 k) 3x + 1 = 7x - 11
d) 1 + 8x = -64x + 46 l) 11x - 100 = 2x - 1
e) 5x - 11 = 15x - 33 m) 25 - 2x = 3x - 80
f) 2x + 17 = 3x + 2 n) 19 + 8x = 12x + 14
g) 70 - 3x = 14 + x ñ) 21 y - 3 = 10 y + 195
h) 60 - 5x = x - 12 o) 2 - 6 y = 36 y - 5
9. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 3x = 5x + 2 - 3x
b) 5x - 3x = 2 + x
c) 4x + 2 = x + 3 - 2x
d) 7x + 1 - 2x = 3x - 1
e) 7x - 4 + 3x = 5 - 2x + 2f) 5x - 12 - 4x = 8 + 7x - 3
c) x + 8 - 6x = 12 - 10x + 5
g) 3x - 4 + 6x = 1 + 4x - 8
h) 4 - 4x + 5 = 7x - 4 + 5x
i) 12 - x - 8 = 6x - 3 + 2x
j) 4 + 10x - 8 = 5x - 3 + 4x
k) 3 - 4x + 9 = 23 - 4x + 5
¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓNCON UN SOLO DENOMINADOR?
71. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)x
3
48= b)
x
3
53 7- =
PRIMERO. Se multiplica cada uno de los términos
de la ecuación por el denominador.
a) ? ?
x
x
33
43 8
4 24
=
=
b) ? ? ?x
x
33
53 3 3 7
5 9 21
- =
- =
SEGUNDO. Se resuelve la ecuación sin
denominadores que resulta.
a) 4x = 24 " x4
24= " x = 6
b) 5x - 9 = 21 " 5x = 30 " x5
30= " x = 6
HAZLO ASÍ
72. ●● Hallalasolucióndelasecuaciones.
a)x
3
24= c)
x
3
42 6+ =
b)x
7
62 4- = d)
x
3
816
-
=
73. ●● Resuelve.
a)x
7
6 44
+= c)
x
7
161
-
=
b)x
2
3 52
-
= d)x
3
45
+=
10. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.
a)x3
23=
b)x
2
33= -
c)x
2
33
-
=
d)x
2
52 3- =
e)x
2
52 7+ =
f)x
2
52 3+ = -
g)x
2
52 7- = -
74.●●
Calculalasolucióndelasecuaciones.
a)x
107
28 4+ = + c) x
x4 38
5
3 2- =
+
b)x
x x3
2 1 2+ = + d)x
3
224=
76. ●● Resuelve,simplificandotodoloquepuedas.
a) xx
42
1
2
3 4+ =
-
b)x x
3
4 4
2
6+=
+
c) ( ) ( )x
x
x3 2 2
2
4 3- - = +
d) ( )( )
xx
3 13
6 25+ -
-=
e)( ) ( )x x
x3
3 1
5
10 12
4
1-+
+= +
f)( ) ( ) ( )x x x
x2
2 1
3
3 1
4
8 25 1
++
-+
+= -
g)( ) ( )x x
x5
2 3
7
2 25 1
--
+- = +
102
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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PROBLEMAS CON ECUACIONES
78. ● Expresa,utilizandoellenguajealgebraico,
estos enunciados.
a) Un número cualquiera.
b) La suma de dos números.c) El doble de la suma de dos números.
d) El doble de un número más otro.
79. ● Expresa los siguientes enunciados medianteel lenguaje algebraico.
a) La cuarta parte de una cantidad más 3 unidades.
b) A cinco veces una cantidad le sumamos8 unidades.
c) La mitad de una cantidad más la mitadde la mitad de dicha cantidad.
d) El cuarto de una cantidad más la mitaddel cuarto de dicha cantidad.
80. ● Si llamamos xalabase,
e yalaalturadeunrectángulo,
completa la siguiente tabla:
Área
Perímetro
Doble del área
Mitaddelperímetro
81. ● CompletalatablasabiendoquePedrotieneeldobledeedadqueAndrés,Martatiene6años
másquePedro,yRosatiene10añosmenos quePedro.
Marta Andrés Rosa Pedro
Si la edad actual deAndrésfuese10años
10
Si desconocemosla edad de Andrés x
85. ●● Expresa,enformadeecuación,lossiguientes
enunciadosyobténsusolución.a) ¿Qué número sumado con 3 da 8?
b) ¿Qué número multiplicado por 5 da 60?
c) ¿Qué número dividido entre 12 da 84?
86. ●● Escribelaecuaciónqueresultade
laexpresión:«Eltripledeunnúmeromáscinco
es igual a veintiséis». ¿De qué número se trata?
87. ●● Si«eldobledeunnúmeromenoscincoes
igualaonce»,escribelaecuaciónyresuélvela.
x
y
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS gEOMéTRICOSCON ECUACIONES?
11. Elperímetrodelrectángulodelafiguraes66cm.
Calcula sus dimensiones.
3x cm
(x + 1) cm
PRIMERO. Se expresa el perímetro de este rectángulo.
Perímetro = 3x + 3x + (x + 1) + (x + 1)
SEGUNDO. Se plantea la ecuación.
Como sabemos que el perímetro es igual a 66:
3x + 3x + (x + 1) + (x + 1) = 66
TERCERO. Se resuelve la ecuación.
8x + 2 = 668x = 64
x = 8 cm
CUARTO. Se comprueba la solución.
Tenemos un rectángulo de lados x + 1 = 9 cmy 3x = 24 cm. Su perímetro será:
Perímetro = 9 + 9 + 24 + 24 = 66 cm
12. ●● Calculaellargoyelanchodeunrectángulo
de lados x yx
3,ycuyoperímetroes136dm.
13. ●● Elperímetrodeunrectánguloes106m.
¿Cuál es la medida de sus lados sabiendoqueellargoeseldobledelanchomás5m?
14. ●● Untriánguloisóscelestienecomoperímetro
35 cm.Sicadaunodelosladosigualesmide10 cm,
¿cuáleslaecuaciónparahallarelotrolado?
a) x + x + 10 = 35 c) 2x + 35 = 10
b) 10 + 10 + x = 35 d) x + 35 = 20
93. ●● En un bolsillo tengo una cantidadde dinero y en el otro tengo el doble.Entotalhay6€. ¿Cuánto dinerohayencadabolsillo?
103
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Libertad, igualdady fraternidad
Tres mujeres esperaban para comprar pañoen un puesto que anunciaba manufacturasde Flandes.
La mayor de ellas pidió tres varas de longitudde un grueso tejido de color verde. Mientrasel comerciante, con la vara más corta, medíay comenzaba a cortar el paño, ella se quejaba:
–Tienes dos varas de medir, larga paracomprar y corta para vender. ¡Eres un ladrón!
La más joven dijo:
–He oído decir que la Academia de lasCiencias ha inventado una nueva mediday que sustituirá a todas las que existen.
La tercera mujer tomó entonces la palabra:–Mi padre trabaja en la Academia y es cierto;la medida se llama metro, y están fabricandoel modelo patrón.
La mayor se dirigió al comerciante:–François, tus timos se acaban. –Y pagandola pieza se alejaron las tres en dirección al río.
Diez millones de metros mide la cuarta partede un meridiano. La estimación de esta mediday la construcción del metro patrón finalizaronen 1799.
Sistema MétricoDecimal7
1. Busca información
sobre cómo y por qué
se creó el Sistema
Métrico Decimal.
2. Investiga sobre si esta
fue la primera vez que
se planteó unificar
el sistema demedidas, o si hubo
propuestas anteriores.
3. Explica cómo se
definen las unidades
de medida más
importantes según
el Sistema Métrico
Decimal.
DESCUBRELA HISTORIA...
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad
aprenderás a…
• Reconocer magnitudes.
• Aplicar las
equivalencias entre
unidades de longitud,
capacidad, masa,
superficie y volumen.
• Pasar de forma
compleja a incompleja,
y viceversa.
PLAN DE TRABAJO
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden deunidades.
Centena
de millón
Decena
de millón
Unidad
de millón
Centena
de millar
Decena
de millar
Unidad
de millarCentena Decena Unidad Décima Centésima Milésima
1 0 0 2 5 6 7 8 9 0 5 2
100 256 789,052= 1 C. de millón+ 2 CM+ 5 DM+ 6 UM+ 7 C+ 8 D+ 9 U+ 5 c+ 2 m=
= 100 000 000+ 200 000+ 50 000+ 6 000+ 700+ 80+ 9+ 0,05+ 0,002
El sistema de numeración decimales posicional, es decir, el valorde cada cifra depende del lugar
o posición que ocupa en el número.2 CM= 200 000 unidades
2 m= 0,002 unidades
100 256 789,052
5 c= 0,05 unidades
5 DM= 50 000 unidades
F
F
F
F
En el sistema decimal,10 unidades de un orden
forman una unidad del ordeninmediato superior.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Descompón los siguientes números en sus distintas unidades.
a) 23 453 c) 4 334
b) 234 d) 324 501
2 Escribe en cada caso un número:
a) Que tenga el valor de la cifra 3 igual a 300 unidades.
b) Que tenga el valor de la cifra 7 igual a 7 000 unidades.c) Que tenga el valor de la cifra 8 igual a 80 000 unidades.
3 Copia y completa las siguientes igualdades.
a) 10 DM=4U c) 50 CM= 4U
b) 20 CM= 4U d) 70 CM= 4U
4 Copia y completa las siguientes igualdades.
a) 20 U= 4D= 4C c) 5 000 U= 4UM= 4D
b) 300 U= 4C= 4UM d) 70 000 U= 4CM= 4 C
105
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Magnitudesy unidades
Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valorpuede ser expresado mediante un número.
Para medir una cantidad de una magnitud, la comparamos con otra
cantidad que es fija, a la que llamamos unidad de medida.
EJEMPLO
1 Escribe ejemplos de magnitudes y de unidades de medida.
Magnitudes son:
• La longitud de una carretera.
• La temperatura del agua de una piscina.
• El peso de un remolque.
• La capacidad de una garrafa.
Unidades de medida son:
• Los kilómetros de una carretera.
• Los grados centígrados del agua de una piscina.
• Los kilogramos que pesa un remolque.
• Los litros que caben en una garrafa.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se calculan las potencias de 10
Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros
como indica el exponente.
10
3
=
1 000 10
5
=
100 000
Sistema Métrico Decimal
En la actualidad, y exceptuando algunos países anglosajones, para medirmagnitudes se utiliza el mismo sistema de medida, llamado Sistema Mé-trico Decimal.
El Sistema Métrico Decimal se compone de las unidades de medida delongitud, superficie, volumen, capacidad y masa.
Decimos que es un sistema decimal porque sus unidades se relacionan
entre sí mediante potencias de 10.
1
3 cerosF
5 cerosF
2 Escribe la unidad que utilizarías para medir
las magnitudes del ejercicio anterior.
1 ¿Qué ocurriría si midiésemos la distancia entre
dos poblaciones en milímetros? ¿Y si midiésemos
el grosor de una hoja de papel en kilómetros?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Indica si son magnitudes o no.
a) La capacidad de un bidón.
b) La simpatía.
c) La distancia entre dos ciudades.
d) El amor.
e) La altura de un árbol.
106
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
http://slidepdf.com/reader/full/libro-mates-1o-eso-avanza 107/232
4 Expresa en kilómetros.
a) 275 m c) 3,7 hm
b) 5 dam d) 24,3 dam
5 Expresa en hectómetros.
a) 0,85 dam c) 56 dam
b) 3,12 km d) 325 m
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
Unidadesde longitud
Los múltiplos y submúltiplos del metro son unidades mayores y meno-res, respectivamente. Los múltiplos y submúltiplos del metro son:
Múltiplos del metro Submúltiplos del metro
kilómetro
(km)
1 000 m
hectómetro
(hm)
100 m
decámetro
(dam)
10 m
metro(m)
decímetro
(dm)
0,1 m
centímetro
(cm)
0,01 m
milímetro
(mm)
0,001 m
En las unidades de longitud, cada unidad es 10 veces mayor que la inme-diata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se multiplica por la unidad seguida de ceros
• Si el número es natural, le añadimos tantos ceros como tenga la unidad.
82?
100=
8 200 23?
10 000=
230 000• Si el número es decimal, desplazamos la coma a la derecha tantos
lugares como ceros siguen a la unidad. Si no hay suficientes decimales,
añadimos ceros.
3,4073 ? 1 000= 3 407,3 23,4 ? 100= 2 340
Cómo se divide por la unidad seguida de ceros
Desplazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga
la unidad. Si no hay suficientes decimales se añaden ceros.
3 452 : 1 000= 3,452 5,4 : 100= 0,054
Para transformar una unidad de longitud en otra, se multiplica o se divide
sucesivamente por 10.
km hm
F
F
? 10
: 10
dam
F
F
? 10
: 10
m
F
F
? 10
: 10
dm
F
F
? 10
: 10
cm
F
F
? 10
: 10
mm
F
F
? 10
: 10
EJEMPLO
2 Expresa en decámetros.
a) 265,83 m -" 265,83 : 10= 26,583 dam
b) 5,04 hm --" 5,04 ? 10= 50,4 dam
c) 16 dm ---" 16 : 100= 0,16 dam
d) 4,567 km -" 4,567 ? 100= 456,7 dam
e) 225,73 cm " 225,73 : 1 000= 0,22573 dam
2
Para transformar
unidades de longitud,multiplicamoso dividimos por
potencias de 10.
107
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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2.1 Forma compleja e incompleja
Una medida está escrita en forma incompleja cuando para expresarlautilizamos una única unidad de medida.Si utilizamos más de una unidad, diremos que está en forma compleja.
EJEMPLOS
3 Determina si las siguientes medidas están expresadas en forma compleja
o incompleja.
a) 23 cm--" Incompleja c) 2 m 6 cm-----------" Compleja
b) 3,45 hm" Incompleja d) 4 km 5 dm 27 m" Compleja
4 Expresa 2 m 8 dm 6 cm en forma incompleja.
Usamos el cuadro de unidades, colocando cada unidad en su lugar.
2 8 6
m dm cmForma incompleja
286 cm
Forma compleja
2 m 8 dm 6 cmF
F
5 Escribe en decámetros estas medidas expresadas en forma compleja.
a) 5 hm 3 dam 4 m
Para expresar una medida en forma compleja en una unidad concreta,
transformamos todas las unidades en la unidad que se pide.
5 hm 3 dam 4 m= (5 ? 10) dam+ 3 dam+ (4 : 10) dam= 53,4 dam
b) 1 hm 3 m 9 cm = (1?10) dam+ (3 : 10) dam+ (9 : 1 000) dam= 10,309 dam
6 Expresa en forma compleja estas medidas.
a) 3,06 hm
3 0 6
hm dam mForma incompleja
3,06 hm
Forma compleja
3 hm 6 mF F
b) 102,005 dam
1 0 2 0 0 5
km hm dam m dm cmForma incompleja
102,005 dam
Forma compleja
1 km 2 dam 5 cmFF
Para escribir una medidacompleja en el cuadro
de unidades, se completancon ceros las unidades
que no aparecen.
3 0 2 0
m dm cm mm
3 m 2 cm F
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Expresa en metros.
a) 2 km 17 dam 8 m
b) 3 m 52 dm 13 cm
c) 5 dam 17 m 13 dm 1 cm
d) 8 hm 7 m 4 mm
10 Expresa en forma compleja las siguientes
medidas.
a) 2 284 cm c) 8 793 dam
b) 0,045 km d) 13 274 hm
11 El circuito de la carrera de atletismo mide
3 km 4 hm 2 dam. ¿Cuántos metros mide
el circuito?
2 Paula ha comprado 2 hm 6 dm 4 cm de tela para
confeccionar un traje de carnaval. Calcula
los metros de tela que ha comprado.
3 Según el plano se necesitan 27 dam 8 m de cable
para realizar la instalación de luz de toda
la casa. Calcula los metros de cable necesarios
para la instalación.
108
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2.2 Operaciones con medidas de longitud
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se suman o restan números decimales
1.º Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén
en la misma columna, y añadimos los ceros necesarios para que todostengan el mismo número de decimales.
2.º Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo
la coma en su lugar correspondiente.
21,340
21,34+ 3,271 F + 3,271
24,611
15,237
15,237- 9,35 F - 9,350
5,887
Cómo se multiplican números decimales
1.º Los multiplicamos como si fueran números naturales.
2.º Colocamos la coma en el resultado, separando
tantas cifras como decimales sumen entre
los dos factores, contando de derecha a izquierda.
Para realizar operaciones de suma, resta y multiplicación con medidas delongitud utilizamos el cuadro de unidades. Es importante colocar cada uni-dad en su lugar correspondiente.
EJEMPLO
7 Calcula y expresa en decímetros.
a) 34,72 m+ 8 569 mm c) (2 m 9 cm) ? 14
b) 6 km 4 dam 1 m- 49 845,2 dm
a)dam m dm cm mm
+
3 4
8
7
5
2
6
0
9
4 3 2 8 9
F 432,89 dm
b) km hm dam m dm cm
-
6
4
0
9
4
8
1
4
0
5
0
2
1 0 5 6 4 8
F 10 564,8 dm
5,108
# 0,4
2,0432
G 3 cifras +G 1 cifra
G 4 cifras
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
13 Realiza las siguientes operaciones, y expresa
el resultado en metros.
a) 4 322 cm+ 57 dm
b) 34,78 dam- 3,57 dm
e) 12,432 cm ? 5
4 Realiza estas operaciones, y expresa
el resultado en decámetros.
a) 234 m+ 3,29 hm
b) 4 km 6 hm 8 m- 32,53 m
c) (43 hm 4 dm 8 m) ? 23
c)dam m dm cm
#
2 0
1
9
4
2
8
0
3
9
6
2 9 2 6
F 292,6 dm
109
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Unidadesde capacidad
El litro es la unidad principal de capacidad. Se escribe ¬ .
Algunos múltiplos y submúltiplos del litro son:Múltiplos del litro Submúltiplos del litro
kilolitro(kl)
1 000 ¬
hectolitro(hl)
100 ¬
decalitro(dal)10 ¬
litro
( ¬ )
decilitro(dl)0,1 ¬
centilitro(cl)
0,01 ¬
mililitro(ml)
0,001 ¬
En las unidades de capacidad, cada unidad es 10 veces mayor que la in-mediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.
Para transformar una unidad de capacidad en otra, se multiplica o se dividesucesivamente por 10.
kl F
hl
F ? 10
: 10
dal
F
F
? 10
: 10
¬
F
F
? 10
: 10
dl
F
F
? 10
: 10
cl
F
F
? 10
: 10
ml
F
F
? 10
: 10
EJEMPLO
9 Expresa en decalitros.
a) 265,83 ¬ ---" 265,83 : 10= 26,583 dal
b) 4,567 kl ---" 4,567 ? 100= 456,7 dal
c) 225,73 cl ---" 225,73 : 1 000= 0,22573 dal
d) 1 hl 3 ¬ 9 cl " (1 ? 10)+ (3 : 10)+ (9 : 1 000)= 10,309 dal
1 0 3 0 9
hl dal ¬ dl clForma compleja
1 hl 3 ¬ 9 cl
Forma incompleja
10,309 dalF F
3
Para transformarunidades de capacidad,
multiplicamos o dividimospor potencias de 10.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
18 Transforma en litros.
a) 7,5 kl c) 0,4 dal
b) 593 cl d) 6 300 ml
19 Expresa en litros.
a) 1 kl 4 hl 25 dl
b) 7 hl 1 dl 16 cl
c) 1 kl 4 dal 3 dl 12 ml
d) 4 hl 12 dal 1 dl 1 cl
5 Transforma la cantidad 1 kl 23 dl 4 ¬ 54 dl.
a) En decilitros.
b) En kilolitros.
20 Un tonel tiene una capacidad de
30 hl 5 dal 500 ¬ . ¿Cuántos litros son?
21 Un depósito de agua tiene una capacidad
de 3 kl 50 dal 5 000 ¬ . ¿Cuál es su capacidad
en decalitros?
110
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Unidadesde masa
El kilogramo es la unidad principal de masa. Se escribe kg.
Aunque la unidad principal de masa es el kilogramo, vamos a utilizar el
gramo por similitud con el resto de unidades de medida. Algunos múltiplos y submúltiplos del gramo son:
Múltiplos del gramo Submúltiplos del gramo
kilogramo(kg)
1 000 g
hectogramo
(hg)100 g
decagramo(dag)10 g
gramo
(g)
decigramo(dg)0,1 g
centigramo(cg)
0,01 g
miligramo(mg)
0,001 g
En las unidades de masa, cada unidad es 10 veces mayor que la inmediatainferior y 10 veces menor que la inmediata superior.
Para transformar una unidad de masa en otra, se multiplica o se divide
sucesivamente por 10.
kg hgF
F
? 10
: 10
dagF
F
? 10
: 10
gF
F
? 10
: 10
dgF
F
? 10
: 10
cgF
F
? 10
: 10
mg
F
F
? 10
: 10
EJEMPLO
1 Expresa en hectogramos.
a) 32,25 g" 32,25 : 100= 0,3225 hg
b) 3,12 kl"
3,12?
10=
31,12 hgd) 1 kl 3 g 5 dg" (1 ? 10)+ (3 : 100)+ (5 : 1 000)= 10,035 hg
d) 5 kg 24 hg 2 g 45 cg" (5 ? 10)+ 24+ (2 : 100)+ (45 : 10 000)= 74,0245 hg
Para medir grandes masas se utilizan la tonelada métrica, el quintal métri-co y el miriagramo, cuyas equivalencias con el kilogramo y el gramo son:
Unidades Símbolo kg g
Tonelada métrica t 1 000 kg 1 000 000 g
Quintal métrico q 100 kg 100 000 g
Miriagramo mag 10 kg 10 000 g
4
En el lenguaje cotidianoa la masa se le llama peso.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
6 Expresa en gramos.
a) 4,27 hg
b) 523,46 mg
c) 3 hg 23 dg 34 mg
d) 3 dg 41 g 3 cg 37 dg
23 Expresa en gramos y ordena, de menor a mayor.
31 dg 1,02 kg 8,34 cg 0,4 t 0,09 q
24 Realiza las siguientes operaciones.
a) 123 hg 35 g+ 3 kg 15 dag
b) 30 t 20 q- 250 dag 120 kg 200 hg
111
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Unidadesde superficie
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se miden superficies
Para medir la superficie de una figura, se elige
una unidad de medida y se cuenta el número
de unidades que ocupa esa figura.
Qué es un metro cuadrado
Un metro cuadrado es la superficie
que ocupa un cuadrado de lado
un metro.
La unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado.Se escribe m2.
Los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado son:
Múltiplos del metro cuadrado Submúltiplos del metro cuadrado
kilómetrocuadrado
(km2)
1 000 000 m2
hectómetrocuadrado
(hm2)
10 000 m2
decámetrocuadrado
(dam2)
100 m2
metrocuadrado
(m2)
decímetrocuadrado
(dm2)
0,01 m2
centímetrocuadrado
(cm2)
0,0001 m2
milímetrocuadrado
(mm2)
0,000001 m2
En las unidades de superficie, cada unidad es 100 veces mayor que la in-mediata inferior y 100 veces menor que la inmediata superior.
Para transformar una unidad de superficie en otra, se multiplica o se divide
sucesivamente por 100.
km2 hm2
F
F
? 100
: 100
dam2
F
F
? 100
: 100
m2
F
F
? 100
: 100
dm2
F
F
? 100
: 100
cm2
F
F
? 100
: 100
mm2
F
F
? 100
: 100
EJEMPLO
11 Expresa en decámetros cuadrados.
a) 265,83 m2 -" 265,83 : 100= 2,6583 dam2
b) 5,04 hm
2
---"
5,04?
100=
504 dam
2
c) 16 dm2 ---" 16 : 10 000= 0,0016 dam2
5
Unidad F
1 m
1 m2
1 m
Para transformarunidades de superficie,
multiplicamos o dividimospor potencias de 100.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
26 Transforma en m2 las siguientes medidas.
a) 32 dam2 c) 1,0005 km2
b) 3,6 dam2 d) 1,16 hm2
7 Transforma en dm2 las siguientes medidas.
a) 3,007 dam2 c) 0,00001 km2
b) 0,008 km2 d) 0,0035 hm2
Superficie: 8
112
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5.1 Forma compleja e incompleja
Las medidas de superficie también se pueden expresar de forma complejae incompleja, teniendo en cuenta que las unidades van de 100 en 100 yque a cada unidad le corresponden dos cifras.
EJEMPLOS
12 Expresa en forma compleja 41 327,25 m2.
4
hm2
13
dam2
27
m2
25 4 hm2 13 dam2 27 m2 25 dm2
dm2
F
13 Expresa 3 hm2 8 dam2 4 cm2 en m2.
3 hm2 = 3 ? 10 000= 30 000,0004 m2
8 dam2 = 8 ? 100=35.800,0004 m2
4 cm2 = 4 : 10 000= 5.820,0004 m2
30 800,0004 m2
2 Expresa 23 km2 231 hm2 5 m2 62 dm2 en dam2.
23 km2 = 23 ? 10 000= 230 000 dam2
231 hm2 = 231 ? 100= 23 100 dam2
5 m2 = 5 : 100= 0,05 dam2
62 dm2 = 62 : 10 000= 0,0062 dam2
253 100,0562 dam2
5.2 Unidades agrarias
Para expresar medidas de superficie que se refieren a extensiones de fin-cas, campos, terrenos, etc., utilizamos las unidades agrarias.
Las equivalencias de las unidades agrarias con las unidades de superficie son:Unidades Símbolo Equivalencia Equivalencia en m2
Hectárea ha 1 hm2 10 000 m2
Área a 1 dam2 100 m2
Centiárea ca 1 m2
EJEMPLO
3 Expresa cada medida en la unidad indicada.
a) 0,25 ha en m2 " 0,25 ? 10 000= 2 500 m2
b) 1,23 dam2
en ca"
1,23?
100= 123 m2
= 123 cac) 24 000 ca en ha" 24 000 : 10 000= 2,4 ha
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
29 Expresa en m2: 2 km2 17 hm2 2 dam2
30 Reduce a dm2:
45 dam2 23 m2 945 cm2
31 Transforma en hm2: 1 km2 69 dam2
32 ¿A cuántos dam2 equivalen 6 hectáreas?
¿Cuántas hectáreas son 2 km2?
En una medidacompleja de longitud,
capacidad o masa, a cadaunidad le corresponde
una cifra. En una medidacompleja de superficie,
a cada unidadle corresponden
dos cifras.
113
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Los cuerpos tienentres dimensiones: largo,
ancho y alto.
Unidadesde volumen
6.1 Volumen de un cuerpo
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se miden volúmenesPara hallar el volumen de un cuerpo geométrico se elige una unidad
de medida y se cuenta el número de unidades que caben en ese cuerpo.
Unidad F
3
42
Hay 4# 2# 3= 24 cubitos.
Volumen: 24
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.
EJEMPLO
16 Si cada cubo ocupa 1 cm3, halla el volumen
de esta figura:
La figura tiene 14 cubos de 1 cm3.
V figura = 14 cm3
6.2 Unidades de volumen
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un metro cúbico1 m
1 m
1 m
Un metro cúbico es el volumen que
ocupa un cubo de lado un metro.
El metro cúbico es la unidad principal de medida de volumen.Se escribe m3.
Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico son:
Múltiplos del metro cúbico Submúltiplos del metro cúbico
kilómetrocúbico
(km3)
1 000 000 000 m3
hectómetrocúbico
(hm3)
1 000 000 m3
decámetrocúbico
(dam3)
1 000 m3
metro
cúbico(m3)
decímetrocúbico
(dm3)
0,001 m3
centímetrocúbico
(cm3)
0,000001 m3
milímetrocúbico
(mm3)
0,000000001 m3
6
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
35 Si cada cubo ocupa 1 cm3,
indica el volumen
de la figura.
8 Copia y completa.
a) 4 m3 = 4 dm3 c) 8 dm3 = 4 cm3
b) 8 m3 = 4 dm3 d) 3,5 dm3 = 4 cm3
114
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6.3 Transformación de unidades
En las unidades de volumen, cada unidad es 1 000 veces mayor que lainmediata inferior y 1 000 veces menor que la inmediata superior.
Para transformar una unidad de volumen en otra, se multiplica o se dividesucesivamente por 1 000.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3
F
F
? 1 000
: 1 000
mm3
F
F
? 1 000
: 1 000
F
F
? 1 000
: 1 000
F
F
? 1 000
: 1 000
F
F
? 1 000
: 1 000
F
F
? 1 000
: 1 000
EJEMPLO
17 Expresa en decámetros cúbicos.
a) 265,83 m3 --" 265,83 : 1 000= 0,26583 dam3
b) 5,04 hm3 --" 5,04 ? 1 000= 5 040 dam3
c) 16 dm3 ---" 16 : 1 000 000= 0,000016 dam3
d) 4,567 km3
-"
4,567?
1 000 000= 4 567 000 dam3
e) 225,73 cm3 " 225,73 : 1 000 000 000= 0,00000022573 dam3
6.4 Forma compleja e incompleja
Las medidas de volumen se pueden expresar de forma compleja e incom-pleja, teniendo en cuenta que las unidades van de 1 000 en 1 000 y que acada unidad le corresponden tres cifras.
EJEMPLOS
18 Expresa en forma compleja 41 327,25 m3.
41
dam3
327
m3
250 41 dam3 327 m3 250 dm3
dm3
F
19 Expresa 3 hm3 8 dam3 4 cm3 en m3.
3 hm3 = 3 ? 1 000 000= 3 000 000,000004 m3
8 dam3 = 8 ? 1 000= 35 08 000,000004 m3
4 cm3 = 4 : 1 000 000= 35 08.200,000004 m3
3 008 000,000004 m3
Para transformarunidades de volumen,
multiplicamos o dividimospor potencias de 1 000.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER38 Expresa en metros cúbicos estas medidas.
a) 83 dam3 c) 1 233,33 cm3 e) 0,049 km3
b) 231 hm3 d) 123,44 mm3 f) 0,034 dm3
9 Ordena de mayor a menor.
a) 5 m3 7 000 dm3 8,2 m3 8 250 m3
b) 3 500 cm3 2,9 dm3 3,01 dm3 3 499 cm3
39 El volumen de un bote es de 30 dm3 5 cm3
500 mm3. ¿Qué volumen ocupa en mm3?
40 El volumen de una lata es de 3 dm3 50 cm3 5 000 mm3.
¿Qué volumen ocupa en m3?
41 Calcula.
a) 17 hm3 + 340 dm3
b) 1 km3 + 100 hm3 - 1 m3
115
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COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
Magnitud" Longitud, capacidad, masa, superficie, volumen…
Unidades de medida
Medidas expresadas en forma incompleja" 45 ml 34,6 kg 0,876 m2
Medidas expresadas en forma compleja--" 4 kg 6 dag 44 g 34 dam2 6 m2 120 m 34 dm 8 mm
2. TRANSFORMAR UNIDADES
DE MEDIDA DE SUPERFICIE
Expresa. a) 34 dam2 en m2.
b) 8,2 dm2 en dam2.
PRIMERO. Contamos los saltos que hay desde
la unidad que nos dan hasta la unidad
en la que tenemos que expresarlo.
a) 1 salto hacia la derecha.
b) 2 saltos hacia la izquierda.
SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto.
• Si el salto es hacia la derecha,
multiplicamos la medida por la unidad
seguida del doble de ceros que de saltos.
• Si es hacia la izquierda, dividimos.
a) 34 ? 100= 3 400 m2
b) 8,2 : 10 000= 0,00082 dam2
3. TRANSFORMAR UNIDADES
DE MEDIDA DE VOLUMEN
Expresa. a) 34 dam3 en m3.
b) 8,2 dm3 en dam3.
PRIMERO. Contamos los saltos que hay desde
la unidad que nos dan hasta la unidad
en la que tenemos que expresarlo.
a) 1 salto hacia la derecha.
b) 2 saltos hacia la izquierda.
SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto.
• Si el salto es hacia la derecha,
multiplicamos la medida por la unidad
seguida del triple de ceros que de saltos.
• Si es hacia la izquierda, dividimos.
a) 34 ? 1 000= 34 000 m3
b) 8,2 : 1 000 000= 0,0000082 dam3
1. TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDA DE LONGITUD, MASA Y CAPACIDAD
Expresa. a) 34 dam en m. b) 8,2 dl en dal.
PRIMERO. Contamos los saltos que hay desde
la unidad que nos dan hasta la unidad
en la que tenemos que expresar la medida.
a) 1 salto hacia la derecha.
b) 2 saltos hacia la izquierda.
SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto.
• Si el saltoes hacia la derecha, multiplicamos por
la unidad seguida de tantos ceros como saltos.
• Si es hacia la izquierda, dividimos.
a) 34 ? 10= 340 m b) 8,2 : 100= 0,082 dal
HAZLO DE ESTA MANERA
kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro
kilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo
kilómetro
cuadrado
hectómetro
cuadrado
decámetro
cuadrado
metrocuadrado
decímetro
cuadrado
centímetro
cuadrado
milímetro
cuadrado
kilómetro
cúbico
hectómetro
cúbico
decámetro
cúbico
metrocúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
Longitud
Capacidad
Masa
Superficie
Volumen
116
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5. PASAR MEDIDAS DE FORMA
COMPLEJA A INCOMPLEJA
Expresa:
a) 3 km2 1 dam2 5 m2 6 dm2 en dam2.
b) 3 km3 1 dam3 en dam3.
PRIMERO. Expresamos todas las cantidades de
la medida compleja en la unidad que se pide.
Para ello multiplicamos o dividimos por la
unidad seguida de tantos ceros como
corresponda.
a) Expresamos todas las cantidades en dam2.
3 km2 = 3 ? 10 000= 30 000 dam2
1 dam2
=
1 dam2
5 m2 = 5 : 100= 0,05 dam2
6 dm2 = 6 : 10 000= 0,0006 dam2
b) Expresamos todas las cantidades en dam3.
3 km3 = 3 ? 1 000 000= 3 000 000 dam3
1 dam3 = 1 dam3
SEGUNDO. Sumamos los resultados.
a) 3 km2 1 dam2 5 m2 6 dm2 =
= 30 000+ 1+ 0,05+ 0,0006=
= 30 001,0506 dam2
b) 3 km3 1 dam3 en dam3 =
=3 000 000
+1=
= 3 000 001 dam3
dm3
4. PASAR MEDIDAS DE FORMA
INCOMPLEJA A COMPLEJA
Expresa de forma compleja.
a) 301,56 dal. b) 301,56 dam2.
PRIMERO. Colocamos cada una de las cifras en
el cuadro de unidades, teniendo en cuenta que:
• Si la medida es de longitud, capacidad
o masa, en cada casilla solo va una cifra.
• Si es de superficie, van dos cifras por casilla.
• Y si es de volumen, van tres cifras por casilla.
a) kl hl dal ¬ dl
3 0 1 5 6
b) hm2 dam2 m2
3 01 56
SEGUNDO. El número anterior a la coma
representa la unidad en la que está
expresada la medida.
a) Forma
incompleja
301,56 dal
kl hl dal ¬ dl Forma
compleja
3 kl 1 dal 5 ¬ 6 dl3 0 1 5 6
b) Forma
incompleja
301,56 dam2
hm2 dam2 m2 Forma
compleja
3 hm2 1 dam2 56 m23 01 56
Comprende estas palabras
1. ¿Es el hectolitro una unidad de capacidad?
Transformar unidades de medida de longitud,
masa y capacidad
2. ¿Cuántos kg son 32 547,8 g?
3. ¿Cuántos dl son 3,72 hl?
Transformar unidades de medida de superficie
4. ¿Cuántos m2 son 15 ha?
5. ¿Cuántos hm2 son 0,34 dam2?
Transformar unidades de medida de volumen
6. ¿Cuántos dm3 son 1 002,5 cm3?
1. ¿Cuántos dam3 son 345,27 km3?
Pasar medidas de forma incompleja
a compleja
7. ¿Cuál es la expresión compleja de 3 056,3 cm2?
8. Expresa en forma compleja 3,241 hl.
Pasar medidas de forma compleja
a incompleja 9. ¿Cuántos metros son 4 hm 1 dam?
10. Expresa 1 hg 3 g 2 mg en g.
2. Expresa en forma incompleja.
a) 5 km 34 hm 9 m 25 dm
b) 23 dal 4 ¬ 25 cl 37 ml
3. Expresa 3 km2 2 hm2 8 dam2 en m2.
4. Expresa 3 dam3 4 m3 34 dm3 en m3.
Y AHORA… PRACTICA
117
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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ActividadesUNIDADES DE LONGITUD
52. ● Expresa en kilómetros.
a) 3 500 m d) 9 759 m
b) 450 m e) 755 mm
c) 12 450 m f) 200 dam
53. ● Escribe en centímetros.
a) 3 m 5 dm d) 6 m 3 dm
b) 3 m 4 dm e) 7 m 4 dm
c) 6 m 8 dm f) 7 m 2 dm
54. ● Expresa en metros.
a) 4 km 3 hm d) 3 km 6 hm
b) 5 km 2 hm e) 9 km 5 hm
c) 8 km 6 hm f) 4 km 4 dam
55. ● Transforma en decámetros.
a) 32,5 m d) 137,6 cm
b) 2 389 mm e) 0,003 km
c) 2,34 hm f) 398 dm
56. ● Expresa en decímetros.
a) 0,34 m d) 0,00003 km
b) 325 mm e) 38,2 dam
c) 2,4 cm f) 0,27 hm
57. ● Completa esta tabla de equivalencias:
km
13,5
hm
135
0,72
dam
45
m
4 130
dm
12 345
58. ● Completa las siguientes igualdades
con las unidades adecuadas.a) 425 dm= 42,5 m= 4,254
b) 72,4 m= 7244 = 0,7244
c) 512,4 dam= 5,1244 = 5 1244
d) 13,18 hm= 1 3184 = 131,84
59. ● Transforma en metros estas medidas
de longitud.
a) 3 km 5 dam 7 dm c) 14 dam 8 m 2 dm
b) 8 hm 9 m 16 cm d) 5 km 19 dam 12 m 8 mm
60. ● Transforma estas medidas en centímetros.
a) 3 m 8 dm 5 cm
b) 8 hm 16 mm
c) 24 dam 18 m 2 mm
d) 5 km 12 m
10. ● Transforma en kilómetros.
a) 3 km 54 dam 4 m
b) 32 m 431 cm 5 mm
c) 7 hm 26 m 45 dm
d) 5 km 231 m
11. ● Expresa en forma compleja.
a) 234 m
b) 435 hm
c) 3 459 mm
d) 4 703 dam
61. ● Expresa en forma compleja.
a) 245,2 dam
b) 87,002 m
c) 1 458,025 cm
d) 0,3402 km
12. ●● Calcula.a) 32,3 m+ 4,5 dm+ 321,2 cm
b) 45,3 hm+ 2 m+ 234 dm
c) 436 cm+ 5 dm+ 325 m
13. ●● Calcula.
a) 34,56 m- 2,3 dm+ 723 cm
b) 45,67 hm+ 3,42 km- 732,27 m
c) 345 dam- 23,4 m- 435 dm
62. ●● Calcula.
a) 342 dam+ 17 m
b) 76,69 m+ 23 cm
c) 92,4598 hm+ 0,025 km
d) 3 hm 4 dam 21 dm+ 34 dam 7 m 9 cm
e) 25,34 m- 146 cm
f) 8,02 km- 1 324,2 m
g) 35 dam 23 dm 9 mm- 36,75 m
h) 17 dam ? 3
i) 32,24 cm ? 12
118
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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UNIDADES DE CAPACIDAD Y MASA
14.●
Escribe en litros.a) 43,23 kl c) 457 mm
b) 2,345 dl d) 452 hl
63. ● Expresa en litros.
a) 25 kl 27 hl 81 dl
b) 13 dal 21 ¬ 7 dl
c) 43 hl 13 dal 15 ¬
64. ●● Completa las igualdades con las unidades
adecuadas.
a) 45,18 dal= 0,45184 = 451,84b) 542,37 hl= 54,2374 = 54 2374
c) 125,42 ¬ = 0,125424 = 125 4204
15. ● Escribe en gramos.
a) 37,4 kg c) 361 mg
b) 3,47 dg d) 352 hg
65. ● Expresa en kilogramos.
a) 18 372 g c) 32 t 15 q 17 kg
b) 17,42 t d) 82 hg 3 dag 16 g
66. ●● Completa las igualdades con las unidades
adecuadas.
a) 5 025 g= 50,254 = 5,0254
b) 18 hg= 1,84 = 1 8004
c) 542,5 kg= 5,4254 = 542 5004
d) 12,5 q= 1,254 = 12 5004 = 125 0004
16. ● Expresa en forma compleja.
a) 432,35 dal
b) 34,56 clc) 2 364 dg
d) 45,3 hg
17. ● Expresa en forma incompleja.
a) 32 hg 4 dag 34 g 4 dg
b) 3 kg 5 hg 55 g 23 cg
c) 34 dal 4 ¬ 56 dl
d) 35 hl 4 dal 45 ¬ 3 dl
67. ●● Calcula en gramos.
a) 12 kg 38 dg+ 4 dag 15 cg
b) 3 hg 17 dag- 1 hg 12 mg
c) 3 t 4 q+ 31 kg 15 dg
d) 42 t 17 q- 32 t 27 kg
e) 32 dag 8 g 25 dg- 145 dg
f) (25 hg 10 dag 16 cg) ? 20
¿CÓMO SE OPERA CON MEDIDAS COMPLEJAS?
68. Expresa en gramos.
(8 kg 15 dag 10 g) : 50
PRIMERO. Se transforman las medidas complejas
en incomplejas.
8 kg 15 dag 10 g= 8 ? 1 000+ 15 ? 10+ 10= 8 160 g
SEGUNDO. Se realiza la operación.
8 160 : 50= 163,2 g
HAZLO ASÍ
69. ●● Realiza estas operaciones.
a) 12 hl 58 ¬ + 283 dal 15 ¬
b) 20 000 dal- 1 000 ¬ 25 000 dl
c) 15 kl 28 hl 7 dal+
235 hl 17 ¬ d) (32 hl 45 dal 17 dl) ? 200
e) (4 kl 12 hl 135 dal) : 25
70. ●● Completa estas igualdades con la medida
necesaria.
a) 16 hm 8 dam 5 cm+ 4 = 3 km 9 hm 6 mm
b) 85 dal 25 cl 32 ml- 4 = 32 ¬ 4 dl
c) 4 ? 3= 12 hg 6 dag 9 g 27 cg
d) (25 km 15 m 40 cm) :4 = 5 hm 3 dm 8 mm
UNIDADES DE SUPERFICIE
71. ● Expresa en metros cuadrados.
a) 3,6 dam2 c) 9,4 km2
b) 3,63 dam2 d) 9,45 km2
72. ● Escribe en hectómetros cuadrados.
a) 5,1 km2 c) 8 976 m2
b) 35,78 km2 d) 125 763 dm2
119
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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73. ● Expresa en centímetros cuadrados.
a) 4,3 dm2 c) 223 mm2
b) 34,79 m2 d) 4 mm2
74. ● Transforma en metros cuadrados.
a) 18 km2 b) 5 hm2 13 dam2 15 m2
75. ● Expresa en decímetros cuadrados.
a) 18 m2
b) 45 dam2
c) 14 hm2 32 dam2 38 m2
d) 12 dam2 32 m2 19 dm2
76. ● Escribe en forma compleja.
a) 4 321,5 m2 c) 9 823,152 m2
b) 34 587,52 dam
2
d) 1 234,56 dm
2
77. ● Expresa en áreas.
a) 18 ha 15 a 19 ca c) 15 ha 18 a 52 ca
b) 3 ha 4 a 6 ca d) 12 ha 4 a 32 ca
¿CÓMO SE EXPRESA EL RESULTADO DEUNA OPERACIÓN EN UNA UNIDAD CONCRETA?
78. Expresa en m2.
48 hm2 + 2,5 dam2 + 20 000 cm2
PRIMERO. Se transforman las unidades en la unidad
que se pide.
48 hm2 = 48 ? 10 000= 480 000 m2
2,5 dam2 = 2,5 ? 100= 250 m2
20 000 cm2 = 20 000 : 10 000= 2 m2
SEGUNDO. Se opera con los resultados obtenidos.
480 000+ 250+ 2= 480 252 m2
HAZLO ASÍ
79. ●● Transforma en metros cuadrados.
6 hm2 + 12 dam2 + 55 dm2
80. ● Expresa en hm2 las siguientes sumas.
a) 0,0075 km2 + 7 000 m2
b) 0,5 km2 + 45 dam2
c) 7 879 m2 + 87 622 dm2
d) 676 dm2 + 78 m2 + 654 cm2
e) 47 km2 + 0,56 hm2 + 125 dam2
f) 1 389 456 cm2 + 123 m2
UNIDADES DE VOLUMEN
81. ● Expresa en decímetros cúbicos.
a) 0,18 hm3
b) 17 dam3 82 m3
e) 0,4 dam3
f) 5 dam3 2 dm3
g) 0,5 hm3 4 m3
h) 1 km3 0,2 dm3
c) 5 km3
d) 14 m3 8 dm3
18. ● Expresa en kilómetros cúbicos.
a) 0,425 hm3
b) 42 dam3 125 dm3
c) 12 hm3 25 dam3 45 m3
d) 32 dam3 158 m3 325 cm3
82. ● Escribe en hectómetros cúbicos.
a) 18 dam3
b) 43 215 m3
c) 25 418,75 dm3
d) 812,75 km3
e) 7,4 km3
f) 45 002,547 m3
g) 7 000 000 001 mm3
h) 0,425 dam3
19. ● Copia en tu cuaderno y completa los huecos.
km3 hm3 dam3 m3
3 425 953 864 = 4 hm3
23 250 530 640 = 4 km3
123 500 300 400 = 4m3
12 405 903 804 = 4 dam3
84. ● Completa con las unidades adecuadas.
a) 18 dam3 = 0,0184 = 18 0004
b) 0,42 hm3 = 420 0004 = 420 000 0004
c) 12,5 dm3 = 0,01254 = 12 5004
d) 427,68 m3 = 0,427684 = 427 680 0004
85. ●● Calcula las siguientes operaciones, y expresa
el resultado en metros cúbicos.
a) 1 hm3 2 dam3 3 m3 + 45 hm3 18 dam3
b) 34 256 dam3 - 8 hm3 15 dam3
c) 135 dam3 458 m3 - 75 000 m3
d) 125 m3 67 dm3 89 cm3 + 16 m3 45 dm3 9 cm3
e) (4 hm3 15 dam3 7 m3) ? 50
f) (123 hm3 456 dam3) : 100
20. ●● Calcula las siguientes operaciones.
a) 123 m3 - 0,12 dam3
b) 35 hm3 + 1,2 km3
120
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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PROBLEMAS CON MEDIDAS
87. ● Nos hemos sumergido a 20 pies de
profundidad. ¿Cuántos metros son?
88. ● Estamos a 300 millas marítimas de la costa.
¿Cuántos kilómetros son?
89. ●● Quiero hacer dos vestidos con un trozo de
tela que mide 8 m 14 dm 80 cm. ¿Qué cantidadde tela tengo que utilizar para cada vestido?
90. ●● Una carretera de 8 km 2 hm 20 dam 50 m
de largo tiene, en ambos lados, árboles
separados entre sí por 10 m. ¿Cuántos árboles
hay en la carretera?
91. ●● Observa el plano de este parque de
atracciones, y expresa en metros cada una
de las distancias que se indican.
6 hm 4 dam94 dam 5 m
3 hm 1 dam 5 m
42 dam 53 dm 9 hm 3 dam
a) ¿Cuántos decámetros hay desde la Noria
a la Montaña rusa?
b) ¿Cuántos kilómetros hay desde los Coches
de choque a la Montaña rusa?
c) ¿Cuántos kilómetros habrá desde la Montaña
rusa al Tiovivo, pasando por los Coches
de choque?
d) ¿Cuántos metros recorremos desde los Coches
de choque a la Noria, pasando por el Tiovivo
y la Barca?
e) Si recorremos todas las atracciones del parque,
¿cuántos decámetros andamos?
92. ●● La torre del ayuntamiento de
mi pueblo tiene una altura de 20 m
y 35 dm.
a) ¿A cuántos centímetros se
encuentra el punto más alto?
b) ¿A cuántos metros?c) ¿Y a cuántos decímetros?
94. ●● Con un rollo de plástico de 20 m de largo se
envuelven bocadillos, cada uno de los cuales
necesita 20 cm de plástico. ¿Cuántos bocadillos
podemos envolver con los metros que tenemos?
96. ●● Un camión contiene una carga de
4 toneladas y 3 quintales. Expresa dicha carga
en kilogramos.
97. ●● Un tren lleva un vagón con 18 toneladas y
15 quintales de carga. Exprésalo en kilogramos.
98. ●● ¿Cuántas botellas de vino de un litro de
capacidad se pueden llenar con un tonel
de un hectolitro?
99. ●● ¿Cuántas botellas de litro y medio
se precisan para vaciar un depósito
de 2,6 kl 8,9 hl 56 dal?
100. ●● El precio de un frasco de colonia de 100 ml
es de 18,60 €. ¿Cuánto cuesta un litro y medio?
102. ●● Una caja de cerillas tiene un volumen
de 40 cm3. ¿Cuántas cajas se podrían colocar
en otra caja cuyo volumen es 1,8 dm3 ?
103. ●● Se han fabricado 25 628 piezas de jabón.
Cada pieza tiene 750 cm3 de volumen.
¿Cuántos m3 de jabón se han fabricado?
104. ●● Si 1 dm3 de mercurio pesa 13,6 kilos,
¿cuánto pesarán 375 cm3 de mercurio?
121
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8 Proporcionalidadnumérica
1. Cristóbal Colón
fue un navegante
que vivió entre
los siglos xv y xvi.
Investiga sobre los
avances de la ciencia
durante estos siglos.
2. ¿Qué fueron las
capitulaciones de
Santa Fe? ¿Cuáles son
los acuerdos
más importantes
a los que se llegó?
3. Investiga sobre los
avances matemáticos
de la época que
hicieron posible
el viaje de Colón hasta
América.
DESCUBRELA HISTORIA...
La parte del almirante
El 17 de abril de 1492, en Santa Fe (Granada)comenzaba una de las gestas más importantesde la historia.
Isabel de Castilla y Fernando de Aragón,los Reyes Católicos, y un desconocido marinollamado Cristóbal Colón habían llegadoa un acuerdo. Juan de Coloma leía los términosdel mismo:
–Y de lo que quedare limpio tome la décimaparte para sí, quedando el resto para Vuestras
Altezas…En ese punto la imaginación de Colónse disparó, alzó los ojos y dijo para sí:
–El primer paso está dado y si el destinonos acompaña seré Grande de España.
Así nació el descubrimientode América. Cuando Colónregresó, los reyes loesperaban en Barcelona,donde se presentó llevando,entre otras mercaderías,papagayos de vivoscolores y las primerasmuestras de oro americano.La parte del oro que lecorrespondió a él,aproximadamente400 gramos, la donóa la catedral deBarcelona.
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidadaprenderás a…
• Averiguar si dos
razones forman
una proporción.
• Reconocer
magnitudes directae inversamente
proporcionales.
• Calcular valores
de magnitudes directa
e inversamente
proporcionales.
• Calcular porcentajes.
PLAN DE TRABAJO
FRACCIONES
Una fracción es una expresión del tipob
a, donde a y b son números naturales y b es distinto de 0.
El número a se llama numerador y b es el denominador.
Las fracciones se utilizan para expresar cantidades incompletas o partes de una unidad.
F
F
F
Partes que setoman de la unidad
Partes iguales en quese divide la unidad
6
Fracciones equivalentes
Dos fraccionesb
ay
d
cson equivalentes, y se escribe
b
a
d
c= ,
si a ? d = b ? c.
3
2
6
4= , ya que: 2 ? 6= 3 ? 4= 12
Amplificación y simplificación de fracciones
• Amplificación: multiplicamos el numerador y el denominadorpor un mismo número distinto de cero.
?
?
3 3 5 15= =
7 ?
?
7 12 84= =
• Simplificación: dividimos el numerador y el denominador entreun mismo número distinto de cero.
:
:
12 12 4 3= =
:
:
39 39 3 13= =
La amplificación y la simplificación se utilizan
para calcular fracciones
equivalentes a una fracción.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura,e indica su numerador y su denominador.
a) b)
1. Indica si estas parejas de fracciones son equivalentes o no.
a)2
1y
4
5b)
16
12y
7
6c)
3
4y
60
80
2. Calcula una fracción equivalente a6
50que cumpla:
a) Tiene como denominador un número mayor que 50.
b) Tiene como numerador un número menor que 30.
c) Tiene como denominador 36.
123
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Razóny proporción
1.1 Razón
Una razón entre dos números, a y b, es el cociente indicadob
a.
EJEMPLO
1 En un centro escolar hay 9 profesoras y 12 profesores. ¿Qué relaciónnumérica existe entre el número de profesoras y profesores?
La relación entre las profesoras y los profesores es de 9 a 12.
Esta relación la podemos expresar mediante la razón12
9
.
1.2 Proporción
Una proporción es la igualdad entre dos razones.
Si la razón entre a y b esb
ay entre c y d es
d
c , y se cumple que
b
a
d
c= ,
decimos que a, b, c y d forman una proporción.
EJEMPLOS
2 Para hacer una tarta de 6 raciones se necesitan 3 huevos,y para 8 raciones, 4 huevos. ¿Forman una proporción en esta recetalos huevos y las raciones?
Las razones entre el número de huevos y el de raciones son iguales.
6
3
8
4
6 raciones
3 huevos
8 raciones
4 huevos= =" porque 3 ? 8= 6 ? 4
El número de huevos y el número de raciones forman una proporción.
1 En 2 primeros minutos han pasado 15 coches por la calle, y cuandohabían pasado 5 minutos llevaba contados 20 coches. ¿Guardanproporción el número de coches y el tiempo transcurrido?
Las razones entre el número de coches y el tiempo no son iguales.
15
2 5
20 15
2
20
5
coches
minutos minutos
coches! !" porque 2 ? 20 ! 5 ? 15
El tiempo transcurrido y el número de coches que pasan no forman
proporción.
1
En una fraccióna
b ,
los números a y b son enteros.En una razón no es necesario.
132
" Es una razón y una
fracción.3,52
"Es una razón, perono es una fracción.
2 En el comedor del colegio ponen 3 barrasde pan por cada 8 alumnos. Si hoy hemoscomido 124 alumnos y han puesto 50 barras,¿se ha mantenido la proporción?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Expresa mediante una razón.
a) De las 55 preguntas del test he acertado 36.
b) Teníamos 68 huevos y se han roto 12.
c) En un frutero hay 7 tomates y 3 fresas.
124
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Relación de proporcionalidadentre dos magnitudes
2.1 Magnitudes directamente proporcionales
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se dividen dos números decimales
Si el divisor es un número decimal, se multiplican dividendo y divisor porla unidad seguida de tantos ceros como decimales tiene el divisor.
3,5 21 5 1,75
100
32 : 2,5 ? 10$ 320 25
070 12,2050
00
18,24 : 5,7 ? 10$ 182,4 57
114 3,200
Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multipli-car (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada(o dividida) por el mismo número.
Consideramos dos magnitudes, A y B, con los valores:
Magnitud A a1 a2 a3 … m
Magnitud B b1 b2 b3 … n
Si al formar razones con los valores correspondientes de ambas magnitu-des, la constante de proporcionalidad es la misma:
…b
a
b
a
b
a
n
mk
1
1
2
2
3
3
= = = = =
diremos que las magnitudes A y B son directamente proporcionales.
EJEMPLO
6 Un coche gasta de media 10 litros de gasolina por cada 125 km.La siguiente tabla muestra el consumo de gasolina relacionadocon la distancia recorrida. ¿Son directamente proporcionales?
Distancia (kilómetros) 125 250 500 1 000
Consumo (litros) 10 20 40 80
? 2
? 2
? 2
? 2
? 2
? 2
F
F
F
F
F
F
Magnitudes: distancia y consumo de gasolina. Al doble de distancia,
doble de consumo. Al cuádruple de distancia, cuádruple de consumo...
Además: ,10
125
20
250
40
500
80
1000
12 5= = = =
El resultado es el mismo, por tanto, son directamente proporcionales.
2
Hay magnitudesque están relacionadas,
pero no son directamenteproporcionales.
Peso (kg) 4,5 5 6
Meses 1 2 3
Al aumentar el tiempo
aumenta el peso, perono proporcionalmente.
4,51
=
52
1 Un libro de 200 páginas cuesta 16,50€, y otrode 35 páginas cuesta 32 €. Indica silas magnitudes número de páginas y precio sondirectamente proporcionales.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Comprueba si lasmagnitudes A y B
son directamenteproporcionales.
Magnitud A 2 6 8 10
Magnitud B 8 24 32 40
125
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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ANTES, DEBES SABER…
Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de fracciones
• Si la incógnita está en el numerador.
Se multiplica por el denominador de la otra f racción.
Fx
18 3
2=
"
x ?
3=
18?
2"
18 2?
x 312= =
FPasa dividiendo
• Si la incógnita est á en el denominador.
Se multiplica por el numerador de la otra fracción.
F
x24
18 45= "18 ? x = 24 ? 45 "
24 45?
x18
60= =
FPasa dividiendo
EJEMPLOS
2 Los datos de la tabla corresponden a diferentes pesos de pintura
y su precio. Determina los valores que faltan.Pintura (kg) 1 2 3 b
Precio (€) 8 16 a 48
Las magnitudes cantidad de pintura y precio son directamente
proporcionales porque:
,8
1
16
20 125= =
Para calcular los valores desconocidos establecemos las proporciones.
a8
1 3= "1 ? a = 8 ? 3" a = 24
b
8
1
48
= " 1 ? 48= 8 ? b " b = 8
48 = 6
3 Si un coche tiene un consumo de 6,2 ¬ de gasolina por cada 100 km,¿cuántos litros de gasolina gastará en un viaje de 350 kilómetros?
Las magnitudes kilómetros recorridos y litros consumidos son
directamente proporcionales ya que:
• Si la distancia recorrida fuese el doble, el consumo de gasolina
se multiplicaría por 2.
• Si el trayecto fuese la mitad, el consumo se reduciría a la mitad.
Si llamamos x a la cantidad de gasolina que se gastará en un viaje
de 350 km y establecemos las proporciones:
, x
100
6 2
350
= " 6,2 ? 350= 100 ? x " x= 6,2 350
,?
100
21 7= ¬
2 Ayer en la frutería me cobraron 4 eurospor 5 kilos de patatas. Si hoy no ha cambiadoel precio, cuánto me cobrarán por 7 kilosde patatas.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
10 Completa la tabla sabiendo que A y B
son directamente proporcionales.
Magnitud A 2 4 80
Magnitud B 10 20 50 60
126
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2.2 Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar(o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multi-plicada) por el mismo número.
EJEMPLO
7 Un tren, a una velocidad de 30 km/h, tarda 42 minutos en recorrerun trayecto. Si fuera a 60 km/h tardaría 21 minutos, y si fuera a 90 km/htardaría 14 minutos. La velocidad y el tiempo, ¿son inversamenteproporcionales?
Las magnitudes son velocidad y tiempo. Su tabla de valores será:
F
F
F
F
? 3
: 3
? 2
: 2
Velocidad (km/h) 30 60 90
Tiempo (minutos) 42 21 14
Al doble de velocidad, mitad de tiempo. Al triple de velocidad, la tercera
parte del t iempo… Son inversamente proporcionales.
Consideramos dos magnitudes, A y B, con los valores:
Magnitud A a1 a2 a3 … m
Magnitud B b1 b2 b3 … n
Si al formar productos con los valores de ambas magnitudes, la constantede proporcionalidad es la misma:
a1 ?
b1 = a2 ?
b2 = a3 ?
b3 =… = m ?
n= kdiremos que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales.
EJEMPLO
4 Comprueba que estas magnitudes son inversamente proporcionales.
Magnitud A 6 9 12 2
Magnitud B 6 4 3 18
Al formar los productos con los valores correspondientes:
6 ? 6= 9 ? 4= 12 ? 3= 2 ? 18= 36
Las magnitudes son inversamente proporcionales y la constante
de proporcionalidad es 36.
42 min
30 km/h
3 Con un solo grifo tardo 6 minutos en llenaruna garrafa. Si util izo dos grifos tardaría3 minutos. ¿Son el número de grifos y el tiempoinversamente proporcionales?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
13 Comprueba que A y B son inversamenteproporcionales.
Magnitud A 12 24 6
Magnitud B 4 2 8
127
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ANTES, DEBES SABER…
Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de productos
Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro.
3 ? 4 = 6 ? x " x = 3 ?
6
4
6
12= = 2
F
Pasa dividiendo
EJEMPLOS
5 La tabla muestra el tiempo empleado en recorrer una distanciaen relación con la velocidad. Determina los valores que faltan.
Velocidad (km/h) 1 2 4 b
Tiempo (min) 24 12 a 8
Las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales
ya que:
1 ? 24= 2 ? 12= 24
Para calcular los valores desconocidos aplicamos la relación
de proporcionalidad inversa.
1 ? 24= 4 ? a " 24= 4a " a = 4
24 = 6
1 ? 24= b ? 8 " 24= 8b " b = 24
8 = 3
6 Los alumnos de 1.º de ESO quieren hacer un viaje de fin de curso.Necesitan alquilar un autobús y el precio depende del númerode alumnos que realicen el viaje. La empresa les entrega la siguientetabla con el precio que tiene que pagar cada alumno.
N.º de alumnos 10 20 30 40 50
Precio por alumno (€) 96 48 32 24 19,20
Si el viaje lo realizan 32 alumnos, ¿cuánto tiene que pagar cada uno?
Comprobamos si las magnitudes son inversamente proporcionales.
10 ? 96= 20 ? 48= 30 ? 32= 40 ? 24= 50 ? 19,20= 960
El número de alumnos y el precio que tiene que pagar cada alumno son
magnitudes inversamente proporcionales.
El valor que desconocemos es el precio por alumno si realizan el viaje
32 alumnos. Aplicamos la relación de proporcionalidad inversa:
10 ? 96= 32 ? x " x = 10 ?
32
96 = 30 €
16 Con un consumo de 4 horas diarias,un depósito de gas dura 24 días.¿Son magnitudes inversamente proporcionales?¿Cuánto duraría el depósito con un consumode 6 horas al día?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
14 Completa la tabla para que sean magnitudesinversamente proporcionales.
1
72
3
24
6
12
9 12
4
Magnitud A
Magnitud B
128
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CALCULADORA
Para hallar un tanto por
ciento en la calculadora:
45% de 860
8 6 0 #
4 5 % 387
4 Expresa las siguientes cantidades en formade fracción y número decimal.
a) 17% c) 31%
b) 92% d) 43%
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
17 Escribe en forma de porcentaje y de fracción.
a) Tres por ciento.
b) Quince por ciento.
c) Setenta por ciento.
Porcentajes
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se expresan algunos números decimales como fracción
Para escribir como fracción un número decimal con un número limitado
de cifras decimales, escribimos como numerador de la fracción el númerodecimal sin coma, y como denominador la unidad seguida de tantos ceroscomo cifras decimales t iene el número.
,3 210
32= ,12 27
100
1227= ,0 307
1000
307=
Un tanto por ciento o porcentaje, cuyo símbolo es %, es una razóncuyo consecuente es 100.
%aa
100=
Un porcentaje también se puede expresar mediante una fracción o un nú-mero decimal.
, %4
30 75
100
7575= = "
EJEMPLO
8 Completa la tabla.
ExpresiónTanto por
cientoSe lee Significa Fracción
Númerodecimal
El 55% dela población
son mujeres
55 %
Cincuenta
y cinco
por ciento
De cada
100 habitantes,
55 son mujeres100
550,55
El 30% delos alumnosson rubios
30 %Treinta
por ciento
De cada
100 alumnos,
30 son rubios100
300,3
Rebajas del 40% 40 %Cuarenta
por ciento
De cada 100€
de compra se
descuentan 40€100
400,4
Efectividaddel 9% en tirosde tres puntos
9 %Nueve
por ciento
De cada
100 tiros
lanzados se
encestan 9
100
90,09
El 16% de IVA 16 %
Dieciséis
por ciento
De cada 100 €
se pagan 16 € de IVA
100
16
0,16
3
129
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Cálculo de porcentajes
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se divide por la unidad seguida de ceros
Para dividir un número entre la unidad seguida de ceros, desplazamosla coma tantos lugares hacia la izquierda como ceros tenga la unidad.
435 : 10 = 43,5 23,04 : 100 = 0,2304
Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esacantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100.
%?
t C t C
100de =
EJEMPLOS
7 Calcula los siguientes porcentajes.
a) El 20 % de 300.
% ?
?
20100
20
100
20300
100
20 30060de 300 de 300= = = =
b) El 2 % de 300.
2 % de 300= 100
2de 300=
100
2 ? 300=
2 ?
100
300 = 6
c) El 120 % de 300.
120 % de 300= 100
120de 300=
100
120 ? 300=
120 ?
100
300 = 360
8 Calcula: 3,2 % de 80
3,2 % de 80=
3,2 ?
100
80
=
2,56
10 Calcula estos porcentajes expresándolos primero en forma de fracción.
Porcentaje Fracción Equivalencia Resultado
50% de 650 %50100
50
2
1= =
Es lo mismo que
dividir entre 2650 : 2= 325
25% de 600 %25100
25
4
1= =
Es lo mismo que
dividir entre 4600 : 4= 150
20% de 300 %20100
20
5
1= =
Es lo mismo que
dividir entre 5 300 : 5=
60
5 Calcula mentalmente y di cómo lo haces.
a) El 50 % de 100. c) El 25 % de 1 000.
b) El 20 % de 500. d) El 10 % de 800.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
21 Calcula.
a) El 65 % de 3 200. c) El 75 % de 1 000.
b) El 60 % de 60. d) El 5,5% de 200.
Podemoscalcular mentalmentealgunos porcentajes.
10 % = 10
100 =
110
Es lo mismo quedividir entre 10.
130
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
http://slidepdf.com/reader/full/libro-mates-1o-eso-avanza 131/232
t % de C = t ? C 100
= A
Los porcentajes se utilizan para resolver numerosos problemas de lavida cotidiana.
EJEMPLOS
11 ¿Cuánto habrá que pagar por un coche, cuyo precio de fábrica
es de 15 000€, si hay que sumarle el 16% de IVA?
Calculamos el aumento del precio de fábrica:
�%?
16100
16 15 0 002 400de 15 000 = =
Luego el precio final del coche será:
15 000+ 2 400= 17 400 €
9 En una tienda de muebles han rebajado un 12 % los precios. ¿Cuántotendré que pagar por una mesa cuyo precio sin descuento es de 450 €?
Calculamos el descuento que nos hacen:
12 % de 450=
12 ?
100
450
= 54 €
Luego el precio final de la mesa será:
450- 54= 396€
12 El 85 % de las camas de un hospital están ocupadas. Si hay 300 camasen total, ¿cuántas camas suponen ese porcentaje?
Calculamos el 85 % de las 300 camas.
85 % de 300= 300 085
25530?
?
100
85
100
85
100
300de = = =
Hay 255 camas ocupadas.
13 El 60 % de los alumnos de mi clase son chicas. Si somos 30 alumnosen total, ¿cuántas chicas habrá? ¿Y chicos?
Calculamos el 60 % de los 30 alumnos de la clase.
60 % de 30= ?
?
10030
10030
100
3018
60 60 60de = = =
En la clase hay 18 chicas.
Como hay 18 chicas, el número de chicos es: 30 - 18= 12
En la clase hay 18 chicas y 12 chicos.
26 El prensado de 1 500 kg de aceitunaprodujo el 36 % de su peso en aceite.Calcula la cantidad de aceite obtenida.
27 Si hoy han faltado a clase por enfermedadel 20 % de los 30 alumnos, ¿cuántos alumnoshemos asistido? ¿Cuántos han faltado?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
22 El precio de una reparación es 600 € sin IVA. ¿Cuánto costará conel 16 % de IVA?
23 Unos pantalones vaqueros costaban 50 €,pero me hacen una rebaja del 12 %.¿Cuánto tengo que pagar?
131
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
Razón
b
a
6
1
12
2
24
4
36
6= = =
1 ? 24= 2 ? 12= 4 ? 6= 6 ? 4
Proporción
b
a
d
c=
a es a b como c es a d .
Porcentajes
%
?
t C
t C
100de=
1. AVERIGUAR SI DOS RAZONES FORMAN UNA PROPORCIÓN
2. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES SONDIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Averigua si5
3y15
9forman una proporción.
PRIMERO. Realizamos los productos cruzados.
5
3
15
9= "
?
?
3 15 45
5 9 45
=
=
(SEGUNDO. Comparamos los resultados.
Si son iguales, forman una proporción.
En este caso decimos que3
5y15
9forman
una proporción.
En un supermercado, cada bolsa de naranjascuesta 2,50 €. ¿Existe relación deproporcionalidad directa entre el número debolsas compradas y el precio total?
PRIMERO. Construimos una tabla donde
relacionamos los valores de las magnitudes.
N.º de bolsas 1 2 3 4 ...
Precio (€) 2,50 5 7,50 10 ...
SEGUNDO. Calculamos el cociente de los datos
correspondientes. Si el cociente es constante,
las magnitudes son directamente
proporcionales.
, ,0,4
2 50
1
5
2
7 50
3
10
4…= = = = =
3. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES SONINVERSAMENTE PROPORCIONALES
Una fotocopiadora tarda 12 minutosen realizar un trabajo. Si tuviéramos2 fotocopiadoras, tardaríamos 6 minutos...¿Existe relación de proporcionalidad inversa?
PRIMERO. Construimos una tabla donde
relacionamos los valores de las magnitudes.
Fotocopiadoras 1 2 4 ...
Tiempo (min) 12 6 3 ...
SEGUNDO. Calculamos el producto de los datos
correspondientes. Si el producto es constante,
las magnitudes son inversamente
proporcionales.
1 ? 12= 2 ? 6= 4 ? 3=…= 12
HAZLO DE ESTA MANERA
G FG
F
Magnitudes directamenteproporcionales
1
6
2
12
4
24
6
36
Magnitud A
Magnitud B
? 3
? 3
: 2
: 2
F F
F F
Magnitudes inversamenteproporcionales
1
24
2
12
4
6
6
4
Magnitud A
Magnitud B
? 3
: 3
: 2
? 2
F F
F F
132
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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5. CALCULAR EL TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD
1. AVERIGUAR CANTIDADES DEMAGNITUDES DIRECTAMENTE
PROPORCIONALES
Calcula el 18 % de 550.
PRIMERO. Expresamos el tanto por ciento
como una razón.
18 %= 100
18
SEGUNDO. Multiplicamos la cantidad
por esa razón.
18 % de 550= 18
?
?
100
18 550550
100= = 99
Los datos de la tabla correspondena diferentes cantidades de aceite y su precio.
N.º de litros 1 2 7
Precio (€) 2,50 5 a
Completa los valores que faltan.
PRIMERO. Comprobamos que las magnitudes
son directamente proporcionales.
,2 50
1
5
2= = 0,4
SEGUNDO. Establecemos proporciones
en las que solo hay un dato desconocido.
, a2 50
1 7= " 1 ? a = 7 ? 2,50" a = 17,50
2. AVERIGUAR CANTIDADESDE MAGNITUDES INVERSAMENTE
PROPORCIONALES
Los datos de la tabla corresponden a diferentestiempos empleados en llenar una piscina enrelación con el número de grifos utilizados.
Número de grifos 2 4 a
Tiempo (horas) 18 9 2
Completa los valores que faltan.
PRIMERO. Comprobamos que las magnitudes
son inversamente proporcionales.
2 ? 18= 4 ? 9= 36
SEGUNDO. Establecemos la relación de
la proporcionalidad inversa con los valores
desconocidos.
2 ? 18= a ? 2" 36= 2a " a = 2
36 = 18
Comprende estas palabras
1. ¿Cuántas razones se necesitan para formar
una proporción?
Averiguar si dos razones formanuna proporción
3. ¿Forman una proporción4
7y
,
2
3 2?
Averiguar si dos magnitudes son directao inversamente proporcionales
5. Un pastelero tarda 2 horas en hacer una tarta,
y 3 horas y media en hacer dos tartas.
¿Es directamente proporcional el número de
tartas que realiza con el t iempo que tarda?
6. En un establo de 15 vacas hay comida para
9 días. Si tuviéramos 20 vacas, habría para
6 días. ¿Es inversamente proporcional el
número de vacas y la duración de la comida?
Averiguar cantidades de magnitudesdirectamente o inversamente proporcionales
1. Si A y B son directamente proporcionales,
y C y D inversamente proporcionales, calcula
x e y.
a) A 2,1 x 3,6
B 7 15 y
b) C 8 x 10
D 5 20 y
Calcular el tanto por ciento de una cantidad
7. Calcula el 25% de 24.
Y AHORA… PRACTICA
133
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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ActividadesRAZÓN Y PROPORCIÓN
6.●
Expresa mediante una razón.a) De las 55 preguntas del test he acertado 36.
b) Teníamos 68 huevos y se nos han roto 12.
c) En el primer turno de comida comen
94 alumnos; en el segundo, 65.
d) Un frutero tiene 7 cajas de tomates
y 3 de pimientos.
34. ●● Si mi habitación tiene las siguientes medidas:6 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura, halla:
a) La razón entre el largo y el ancho.
b) La razón entre el largo y la altura.
35. ●● Marta encesta 6 de cada 10 tiros libres.Encuentra la razón entre el número de tirosy el de aciertos. ¿Es la misma que entreel número de aciertos y el de tiros? Averiguaqué relación hay entre ambas razones.
36. ●● Escribe dos números cuya razón sea 3.
37. ● De los siguientes pares de razones, indicacuáles forman proporción.
a)4
16y
5
20c)
30
1y
21
7
b)5
4y
100
80d)
17
3y
34
6
7. ● Identifica las razones que formanuna proporción.
a) ; ;;1
2
2
8
3
6
5
9c) ; ; ;
,
3 4
7 5
6
4
2
3 10
b) ; ; ;8
30
52
10
10
50 20d) ; ; ;
7
5
2 4
8
9
7 14
44. ● Forma diferentes proporciones
con los números 3, 4, 9 y 12.
46. ●● Averigua si los números 2 y 3 mantienenproporción con 8 y 12, respectivamente.
48. ●● Forma una razón con estos datos: «5 litros deaceite valen 15,25 €». Establece proporcionesde esta razón con los siguientes datos, y calculasu constante de proporcionalidad.
a) 20 litros c) 76,25€
b) 25 litros d) 61€
MAGNITUDES PROPORCIONALES
49. ● En dos puestos, A y B, se venden manzanas,
con los siguientes precios:
Puesto A
1 kg
0,53€
2 kg
1,06 €
3 kg
1,59 €
Puesto B
1 kg
0,60€
2 kg
1 €
3 kg
1,50 €
¿En cuál de estos puestos son directamenteproporcionales las magnitudes peso y precio?
50. ●● De los siguientes pares de magnitudes,indica cuáles son directamente proporcionales.
a) Longitud del lado de un cuadrado
y su perímetro.
b) Número de grifos y tiempo de llenado
de un depósito.
c) Número de ovejas y pienso que comen.
d) Velocidad de una motocicleta y tiempo
empleado en recorrer una distancia.
52. ● Completa las tablas, sabiendo que ambasmagnitudes son directamente proporcionales.
26
15
6
12
2
4
12 14Magnitud A
Magnitud B
105
20
7
14
21 8
16
42Magnitud A
Magnitud B
15 0,15
0,2
0,3
0,5 1,4 1
1,5
Magnitud A
Magnitud B
54. ● Completa estas tablas comprobandoque ambas magnitudes son inversamente
proporcionales.
6
90
2
270
5 30
54
A
B
9 45
10
10 15
30
25 A
B
2 10
30
6 15 4
75
A
B
134
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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PROBLEMAS DEPROPORCIONALIDAD
55. ●● En un puesto aparecen estas tablasde precios para dos tipos de melocotones.
kg 1 2 5
€ 0,90 1,80 4,50
TIPO A TIPO B
kg 1 2 5
€ 0,95 1,85 4,25
a) ¿En cuál de las tablas son directamenteproporcionales las magnitudes peso y precio?
b) En este puesto, ¿cuánto costarán 12 kg
de melocotones del tipo A?
56. ●● Los siguientes datos de la tabla son medidasde espacios y del tiempo que se tarda enrecorrerlos.
120
9
30
2,25
60
a
b
6
Espacio (m)
Tiempo (s)
a) ¿Son magnitudes directamente proporcionales?
b) Encuentra la constante de proporcionalidad
entre el espacio y el tiempo.
c) Averigua los valores que faltan.
57. ●● El agua de un pozo se saca en 210 vecesutilizando un cubo de 15 ¬ de capacidad.Si empleamos un cubo de 25 ¬ , ¿cuántas vecesnecesitaremos introducir el cubo en el pozopara sacar la misma cantidad de agua?
58. ●● Un coche tarda 6 horas en recorrerun trayecto a una velocidad de 90 km/h.¿Cuánto tardaría en recorrer ese mismo trayectosi circula a una velocidad de 60 km/h?
59. ●● Enrique ayuda a unos familiares en su tiendaen Navidad. Por cada cinco días de trabajo le dan160 �. ¿Cuánto le darán por diecisiete días?
60. ●● En un frasco de legumbres de 500 g hay2,5 g de grasa, y en otro frasco de 400 gde legumbres hay 2,1 g.
a) ¿Están en proporción estos datos?
b) Si no están en proporción, ¿en cuál de
los dos hay más grasa proporcionalmente?
61. ●● En la carnicería, las salchichas cuestan5,25€/kg. También tienen paquetes de salchichasde 0,5 kg que cuestan 2,10 €.¿Qué salchichas son más baratas?
62.●●
Con un consumo de 3 horas diarias, undepósito de gas dura 20 días. ¿Cuánto duraríacon un consumo de 6 horas diarias?
63. ●● Un ganadero tiene pacas de paja paraalimentar a 20 vacas durante 60 días. Si compra10 vacas más, ¿para cuántos días tiene alimento?
64. ●● En una botella de zumo aparece esta tabla.
Valores medios 100 ml
Carbohidratos (g) 10,6
Kilocalorías 43
Proteínas (g) 0,2
a) ¿Cuántas kilocalorías aportará una botella
de zumo de un litro? ¿Y proteínas?
65. ●● Los ingredientes necesarios para realizarun bizcocho son directamente proporcionalesal tamaño del bizcocho. Para hacer un bizcochopara 4 personas, se precisan 2 huevos,6 cucharadas de azúcar y un cuarto de litrode leche, entre otros ingredientes.
Calcula la cantidad necesaria de estosingredientes para hacer un bizcochopara 2, 6 y 8 personas.
135
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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PORCENTAJES
66. ● Expresa estos porcentajes como fraccióny como número decimal.
a) 25% c) 37%
b) 110% d) 16%
67. ● Escribe los números decimales en formade porcentaje.
a) 0,34 c) 0,723
b) 0,45 d) 1,23
68. ● Expresa en porcentaje las siguientes fracciones.
a)8
3c)
5
11
b)2
5d)
4
7
69. ● Halla el 22 % de:
a) 144 b) 236 c) 1 256 d) 5 006
70. ● Calcula mentalmente.
a) El 10 % de 40. c) El 50 % de 2 000.
b) El 20 % de 500. d) El 30 % de 40.
71. ● Calcula mentalmente.
a) El 15 % de 30. c) El 60 % de 200.
b) El 40 % de 60. d) El 25 % de 8 000.
73. ● Halla estos porcentajes utilizandola calculadora.
a) El 51 % de 30. c) El 21 % de 60.
b) El 76 % de 100. d) El 8 % de 951.
PROBLEMAS CON PORCENTAJES
76. ● Por ingresar un cheque de 644 € me han cobrado un 2% de comisión.¿Qué cantidad he tenido que pagar al banco?
77. ● El 60 % del cuerpo humano es agua.¿Qué cantidad de agua hay en una personade 75 kg?
78. ● Una viga de hierro de 25 metros de longitud,debido al calor, se dilata un 1,5%. ¿Cuál serásu medida después de calentarla?
79. ●● ¿Cuánto tendrá quepagar el dueño de unrestaurante por lacompra de 492 vasosa 3,25 € la docena,si pagando alcontado le hacenun 8% dedescuento?
80. ● Al tirar un dado trucado 30 veces, ha salido12 veces el número 5. Si decido apostaral número 5, ¿qué porcentaje de aciertos tendré?
81. ●● Un agente inmobiliario cobra un porcentaje
de un 2 % del valor de la finca vendida:una tercera parte del comprador, y el resto,del vendedor. Si acaba de vender un pisopor 150 000 €:
a) ¿Cuál será su comisión?
b) ¿Cuánto le pagará el vendedor del piso?
c) ¿Y el comprador?
8. ● «LA POBLACIÓN DE ORIGEN POLACOEN ESPAÑA HA DESCENDIDO UN 8 % ENEL ÚLTIMO AÑO.»
Si el año pasado había 270 000 polacosresidiendo en España, ¿cuántos ciudadanospolacos viven en España en la actualidad?
¿CÓMO SE RESUELVE UN PORCENTAJECON LA CALCULADORA?
72. Halla con la calculadora el 12 % de 310.
PRIMERO. Se teclea el porcentaje y se divide entre 100.
12 ' 100 = 0.12
SEGUNDO. Se multiplica el resultado por la cantidad
de la que se quiere hallar el porcentaje.
0,12 # 310 = 37,2
También se puede calcular este porcentaje
utilizando las teclas específicas de la calculadora.
12 % 310 = 37,2
HAZLO ASÍ
136
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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82. ●● Para calcular la cantidad de carne que tieneun cerdo, a su peso hay que quitarle un 40%de vísceras y huesos, y un 15% de grasa.Si un cerdo pesa 184 kg, ¿qué cantidad de carnetiene?
83. ●● Un CD de música cuesta 16 €, peroal comprar tres hacen un 10 % de descuento.¿Cuánto costarán 6 CD de música teniendoen cuenta el descuento?
HAZLO ASÍ¿CÓMO SE CALCULA EL PORCENTAJE CONOCIDOSEL TOTAL Y LA PARTE?
9. De 120 entrevistas realizadas a los alumnosde un instituto, 876 contestan que se cepillanlos dientes a diario. ¿Qué porcentajede alumnos se cepillan los dientes cada día?
PRIMERO. Se establece la proporción.
Si de 1 200 alumnos " 876 se cepillan 3de 100 alumnos " x se cepillan
" x100
1200 876
=
SEGUNDO. Despejamos el valor de x.
x100
1200 876= " 1 200 ? x = 100 ? 876
" x= 100 ?
1200
876 = 73
El 73 % de los alumnos se cepillan los dientes cada día.
74. ● ¿Qué tanto por ciento de pérdida representala venta de un objeto que ha costado 450 € por 423 €?
10. ● Se ha hecho una encuesta en la que seha entrevistado a 250 personas. De las personasencuestadas, 137 eran mujeres. Calculael porcentaje de hombres a los quese ha entrevistado.
11. ● Cada comprimido de 650 mg de un determinadoantibiótico contiene 500 mg de amoxicilina.¿Cuál es el porcentaje de amoxicilina contenidoen una cápsula de este antibiótico?
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL TOTAL CONOCIDOSEL PORCENTAJE Y LA PARTE?
12. En una empresa 540 empleados donan sangre.
Si estos suponen el 20 % del total de la plantilla,¿cuántas personas trabajan en la empresa?
PRIMERO. Se establece la proporción.
Si de 100 trabajadores " 20 donan sangre 3de x trabajadores " 540 donan sangre
" x
100
540
20=
SEGUNDO. Despejamos el valor de x.
x
100
540
20= " 100 ? 540= x ? 20
" x= ?
20
100 540 = 2 700
Trabajan 2 700 personas en la empresa.
75. ● Si 324 casas, que representan el 25% de todaslas viviendas de un pueblo, tienen dosdormitorios, ¿cuántas casas hay en el pueblo?
88. ●● En un instituto de 1 100 alumnos,se comprobó que 350 son rubios, 200 tienenlos ojos azules y a 750 les gusta el fútbol.Expresa estas cantidades en porcentajes.
89. ● El 24 % de los alumnos de una clase
de Matemáticas aprueban con notableo sobresaliente. Si en la clase hay 25 alumnos,averigua cuántos obtienen una calificaciónmenor que notable.
90. ● En mi buzón de correos había cartas de amigosy cartas del banco. Si había en total 40 cartas y el25 % es de cartas del banco, averigua el númerode cartas de amigos.
92. ●● Decidimos hacer una excursión escolar.El 20 % de los alumnos de la clase quiere iral Museo de la Ciencia, mientras que el 60 % quiereir al Planetario. Si 15 alumnos deciden ir alPlanetario, ¿cuántos alumnos han elegido la otraexcursión? ¿Cuántos alumnos habrá en la clase?
137
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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El nacimiento de un signo
Desde que María Tudor había subido al trono, Robert
Recorde vivía atemorizado de que alguna denuncialo llevara a la cárcel, cuando no a la hoguera.
Robert Recorde había desempeñado importantescargos cuando reinó Eduardo, el hermanastrode María, y aunque continuaba teniendoun buen cargo, sentía que sus enemigoseran ahora muy poderosos.
Sus cavilaciones cesaron cuando abrió la puertade la imprenta donde trabajaban en su últimacreación: La piedra de afilar el ingenio. El artesanoque imprimía el libro se levantó para saludarlo:
–Buenos días, señor Recorde. Su trabajo no estátodavía terminado, y además quería consultaros algo.
–Preguntad –lo invitó Recorde.
–He de señalaros que he encontrado un símboloen el manuscrito para el que no tengo matriz –dijoel impresor señalando el símbolo=.
–Tenéis razón, he inventado el símbolo para denotarla igualdad entre los dos miembros de una ecuación–contestó Recorde viendo la extrañeza del impresor–.Escogí este símbolo porque nada hay más igual
que dos rayas de igual longitud y paralelas.Corría el año de 1557 y era la primera vezque se utilizaba el signo=. Sin embargo,su uso se popularizó dos siglos más tardeacortando los segmentos.
Rectasy ángulos
1. Robert Recorde nació
en Gales en el seno
de una familia
acomodada. Busca
información sobre
su vida y su relación
con la corte.
2. ¿Qué símbolo utiliza
Recorde para expresar
la igualdad? ¿Por qué
eligió este signo?
3. ¿Cuál se considera
la principal
contribución
de Robert Recorde
al estudio de las
matemáticas?
DESCUBRELA HISTORIA...
9
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad
aprenderás a…
• Reconocer rectas,
semirrectas y
segmentos.
• Distinguir
las posiciones de dos
rectas en el plano.
• Diferenciar
los distintos tipos
de ángulos.
• Manejar el sistema
sexagesimal.
PLAN DE TRABAJO
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintas para representar
una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.En este sistema, cada 10 unidades de un orden forman una unidad de un orden inmediatamentesuperior.
F F F F F F F
DM UM C D U d c m
?10 ?10 ?10 ?10 ?10 ?10 ?10
F F F F F F F
: 10 :10 :10 :10 :10 :10 : 10
5 C" 5 ? 100= 500 U 5 C" 5 : 10= 0,5 UM
El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor
de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número.
Unidad
de millón
Centena
de millar
Decena
de millar
Unidad
de millarCentena Decena Unidad
4 7 0 2 5 7 1
4 7 0 2 5 7 1
1 Unidades
7 Decenas= 70 unidades
5 Centenas= 500 unidades
2 Unidades de millar= 2 000 unidades
0 Decenas de millar= 0 unidades
7 Centenas de millar= 700 000 unidades
4 Unidades de millón= 1 000 000 de unidades
F
F
F
F
F
F
F
EVALUACIÓN INICIAL
2. Completa las siguientes igualdades con las unidades adecuadas.
a) 512,4 D= 5,124d = 5 124d
b) 13,18 C= 0,1318d = 131,8d
c) 4,351 U= 43,51d = 4 351d
1 Copia y completa las siguientes igualdades con los números adecuados.
a) 325 C= dD c) 436 m= dD
b) 43,24 d= dU d) 56 D= d d
2 Indica el valor de la cifra 3 en los siguientes números.
a) 43 009 c) 532,21
b) 70,031 d) 5,39
Un sistema es decimal
cuando sus unidadesse relacionan entre sí
mediante potenciasde 10.
139
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Rectas, semirrectasy segmentos
1.1 Línea recta
Una recta es una línea sin principio ni final formada por infinitos puntos.
Como la recta no tiene principio ni final, no podemos dibujarla entera,y por eso representamos solo una parte de ella.
• Por un punto pasan infinitasrectas.
• Por dos puntos pasauna sola recta.
A
B
C
1.2 Semirrecta y segmento
Una semirrecta es una recta que tiene principio pero no final.
Un punto cualquiera de una recta es origen de dos semirrectas.
sr A
Un segmento es la parte de una recta delimitada por dos puntos.El segmento tiene principio y final.
A y B se llaman extremos A B
del segmento.
A un segmento se le nom-bra por sus extremos, AB.
1
A B
s A
Semirrecta s
r
Semirrecta r
A
SE ESCRIBE ASÍ
Las rectas se nombranmediante una letra
minúscula: a, b, c, r, s, t…
Los puntos se indican
mediante letras mayúsculas:
A, B, C, P, Q, R…
1 Marca en tu cuaderno cuatro puntos situados de
esta manera y dibuja:
a) Dos rectas que pasen por A.
b) Dos semirrectas cuyo origen sea B.
c) Un segmento cuyos extremos seanC y D.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Dibuja un punto en tu cuaderno y traza
tres líneas rectas que lo contengan.
2 Traza una recta en tu cuaderno,
sitúa un punto sobre ella y nombra
las dos semirrectas que resultan.
3 Dibuja un segmento de 5 cm de longitud
y nómbralo señalando sus extremos.
C• •D
A• B•
140
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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7 Clasifica las siguientes rectas.
a) r y s
b) r y t
c) u y t
d) r y u
2 Dibuja dos rectas secantes que no sean
perpendiculares y traza una recta perpendicular
a cada una de ellas.
t sr
u
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
6 Estudia la posición relativa de las rectas
que se determinan en estos casos.
a) Las vías del tren.
b) Las tres calles que convergen
en una rotonda.
c) Los bordes de los peldaños de una escalera.
d) El largo y el ancho de una ventana.
e) Los radios de la rueda de una bicicleta.
f) Las huellas de un trineo en la nieve.
1.3 Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Dos rectas se denominan:
• Secantes: cuando se cortan en un punto. Si además dividen elplano en cuatro partes iguales decimos que son perpendiculares.
• Paralelas: si no tienen ningún punto en común.
• Coincidentes: cuando todos sus puntos son comunes.
EJEMPLOS
1 Traza rectas paralelas y perpendiculares utilizando la escuadra y la regla.
Para trazar rectas paralelas
deslizamos el borde de la
escuadra sobre una regla.
Para trazar rectas perpendiculares
utilizamos los bordes
perpendiculares de la escuadra.
2 Dibuja una recta paralela a la recta r y que pase por el punto P.
Apoyamos uno de los bordes perpendiculares
de la escuadra sobre la recta r. Después,
colocamos la regla pegada al otro borde.
Deslizamos la escuadra sobre la regla, hasta
que el borde coincida con el punto P.
La recta s es paralela a la recta r y pasa por P.
3 Traza una recta perpendicular a la recta r y que pase por el punto P.
Apoyamos uno de los bordes perpendiculares
de la escuadra sobre la recta r.
Deslizamos la escuadra sobre la recta r,
hasta que el otro borde coincida con el punto P.
La recta s es perpendicular a la recta r y pasa por P.
Pr
s
s
P
r
La escuadraes un instrumento
con dos bordesde igual medida queson perpendiculares.
Rectas secantes
Rectas paralelas
Rectas coincidentes
Rectas perpendiculares
141
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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SE ESCRIBE ASÍ
Este ángulo lo podemos
representar de dos formas:
• Con el símbolo U sobre
la letra F (vértice
del ángulo): F U.
• Con el símbolo U sobre las
tres letras que determinan
el ángulo: FG%
, de manera
que quede en el centro
la letra que determina
el vértice, en este caso F .
Ángulos
Llamamos ángulo a la abertura for-mada por dos semirrectas que partende un mismo punto.
A cada semirrecta se le denominalado y el punto se llama vértice.
Lado
L a d o
Vértice
EJEMPLO
4 Determina los elementos de este ángulo:
C
A B
• Los lados son AB y AC.
• El vértice es el punto A.
• El ángulo se denota BAC%
o AU.
2.1 Clasificación de ángulos
Atendiendo a la posición de sus lados
• Ángulo nulo. Sus lados son dos semirrec-tas coincidentes.
• Ángulo recto. Sus lados son perpendicu-lares.
• Ángulo llano. Sus lados están sobre la mis-
ma recta y no son coincidentes.
Atendiendo a su abertura
• Ángulo agudo. Su abertura es inferior a la de unángulo recto.
• Ángulo obtuso. Su abertura es superior a la de unángulo recto.
2
F H
G
10 Indica en esta figura cuálesson los ángulos agudos,
rectos y obtusos.
3 Escribe el tipo al que corresponde cada ángulo.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Señala el nombre de los ángulos queforman las piernas de los gimnastas.
C
D
E
B
G
A
F
AUBU
CU
142
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13 Observa los siguientes
ángulos y contesta.
¿Son adyacentes AU y BV? AU
BU
¿Y suplementarios?
4 Dibuja en tu cuaderno dos rectas secantes.
Clasifica todos los tipos de ángulos
que veas.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
12 Observa la figura.
BU
CUDU EU
AU
a) Indica qué ángulos son opuestos
por los vértices.
b) Señala los ángulos adyacentes.
2.2 Posición relativa de dos ángulos
• Ángulos opuestos por el vértice. Son ángulos que tienen en común elvértice y sus lados están sobre las mismas rectas.
AOB%
y COD%
son ángulosopuestos porel vértice.
A D
O
B C
• Ángulos consecutivos. Son ángulos que tienen en común el vértice yun lado.
AOB%
y BOC %
son ángulosconsecutivos.
A B
C
O
• Ángulos adyacentes. Son ángulos que tienen un lado común y formanentre los dos un ángulo llano.
AOB%
y BOC %
son ángulosadyacentes.
A
B
C
O
• Ángulos complementarios. Son dos ángulos que, al hacerlos consecu-tivos, forman un ángulo recto.
AU AUBUBU
F AU y BU soncomplementarios.
• Ángulos suplementarios. Son dos ángulos que, al hacerlos consecuti-vos, forman un ángulo llano.
AU AUBU BU
F
AU y BU sonsuplementarios.
Los ángulos adyacentesson suplementarios.
Los ángulos suplementariosson adyacentes si tienen
un lado común.
143
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Operacionescon ángulos
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un arco en una circunferencia
Un arco es la parte de la circunferencia
comprendida entre dos puntos.
EJEMPLO
5 Utiliza el compás para construir un ángulo como este.
Dibujamos un arco sobre el ángulo
dado, con centro en el vértice.
Sobre una recta marcamos un punto
que será el vértice del nuevo ángulo.
Y con la misma
amplitud, trazamos
otro arco en el ángulo
en construcción.
Medimos con el
compás la amplitud
de ese arco sobre
el ángulo dado.
Trasladamos esa amplitud
al ángulo en construcción,
y unimos su extremo con
el nuevo vértice.
3.1 Suma de ángulos
Para sumar ángulos los dibujamos de forma que sean consecutivos.
El ángulo suma es el comprendido entre los lados no comunes.
EJEMPLO
6 Suma estos ángulos:
AUBU
BU AU
AU + BU
F1
Utilizando el compás construimos un ángulo igual a AV. A continuación
del ángulo AV construimos un ángulo igual a BV, de modo que ambos sean
consecutivos.
El ángulo suma, AV + BV, es el comprendido entre los lados no comunes.
3
A
B
16 Suma en tu cuaderno los ángulos.
AU BU CU
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
15 Suma estos ángulos:
AUBU
144
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5 Dibuja en tu cuaderno estos ángulos
y halla.
AUBU
CU
a) BV - CV
b) AV - CV
c) 2 ? CV
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
18 Dibuja estos ángulos en tu cuaderno, y realiza
las operaciones que se indican.
BU AU
a) AV - BV
b) 2 ? AV
c) BV- AV
3.2 Resta de ángulos
Para restar dos ángulos los dibujamos, uno sobre el otro, de modo quecoincidan los vértices y uno de sus lados.
El ángulo diferencia es el comprendido entre los lados no comunes.
EJEMPLO
7 Dados estos ángulos, calcula AU - BV.
AU
BU
AU
AU - BU
BUF2
Primero construimos, utilizando el compás, un ángulo igual a AV.
Sobre el ángulo AV construimos un ángulo igual a BV, tal y como se ve
en la figura.
El ángulo diferencia, AV - BV, es la parte de AVque no ocupa BV.
3.3 Producto de un ángulo por un número natural
Para multiplicar un ángulo por un número natural sumamos el mismoángulo tantas veces como nos indique el número.
EJEMPLO
8 Calcula 3 ? BV.
BU
BU
BU
BU
F
Primero construimos, utilizando el compás, un ángulo igual a BV.
De manera consecutiva al ángulo BVconstruimos tantos ángulos
iguales a BVcomo nos indique el número que multiplica.
El ángulo 3 ? BVes el ángulo comprendido entre los lados no comunes
del primer y del último ángulo.
En la resta deángulos, para construir
el ángulo diferencia,AU – B V, es necesario
que el ángulo AU
seamayor que B V.
145
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Sistemasexagesimal
El sistema sexagesimal lo utilizamos para medir amplitudes de ángulosy medidas de tiempo menores que el día. Se denomina sexagesimal porquecada unidad es 60 veces mayor que la unidad del orden inmediato inferior.
4.1 Unidades de medida de ángulosEl grado se representa °, y es la unidad principal de medida de ángulos.
Para medir ángulos con más preci-sión, se utilizan unidades menoresque el grado: el minuto y el segundo.
1 grado= 60 minutos
1°= 60'
1 minuto= 60 segundos
1' = 60"
EJEMPLO
9 Expresa estas medidas de ángulos en las unidades que se indican.
a) 34° en minutos --" 34°= 34 ? 60= 2 040'
c) 340" en grados --" 340" = 340 : 3 600= 0,094°
Una medida está escrita en forma incompleja cuando está expresada conuna única unidad de medida. Si utilizamos más de una unidad, diremosque está en forma compleja.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se transforman unidades complejas en incomplejasEn un cuadrado de unidades, colocamos cada unidad en su lugar.
1 0 2 0 0 5
km hm dam m dm cmForma incompleja102,005 dam
Forma compleja1 km 2 dam 5 cmF
F
EJEMPLO
10 Un ángulo mide 2° 4' 55" . ¿Cuántos segundos son?
Transformamos cada una de las unidades en segundos.
2°"
2?
3 600=
7 200"
4' " 4 ? 60 = 240"
55"
7 495" " 2° 4' 55" equivalen a 7 495 segundos.
4
F
F
: 3 600
? 3 600
? 60
: 60
? 60
: 60
grado minuto segundo
F
F
F
F
Una magnitud es cualquier
cualidad que se puede medir.Magnitudes son: la longitud,
la masa, la capacidad...
Unidades de medida son:el kilómetro, el kilogramo,
el litro…
23 Expresa en forma compleja.
a) 14 824" b) 832' c) 18,5° d) 24,8'
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
21 Expresa en minutos.
a) 90° b) 45° c) 150° d) 75°
146
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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4.2 Medidas de ángulos
Un ángulo recto mide 90°.
90º
Un ángulo llano mide 180°.
180º
•
Un ángulo agudomide menos de 90°.
Un ángulo obtusomide más de 90°.
Un ángulo completo mide 360º.
360º•
Para medir un ángulo utilizamos el transportador.
60º
35º 120º
O
B
A
O
D
C
O
F
E
EJEMPLOS
11 Dibuja un ángulo de 60°.
Colocamos el transportador sobre
una recta, haciendo coincidir el vértice
del transportador con un punto
marcado en la recta y, a continuación,
hacemos una marca en 60°.
Finalmente, utilizando una regla, unimos
el vértice del ángulo con la marca efectuada.
12 Dibuja el ángulo AU.
AU
BU
Medimos con el transportador el ángulo BV.
BV = 135°
Calculamos la medida del angulo AV.
AV = 360°- BV = 360°- 135°= 225°
AU
El vértice del transportador
debe estar siempre situadoen el vértice del ángulo.
Vértice del transportador
27 Dibuja.
a) Un ángulo agudo mayor de 80°.
b) Un ángulo obtuso menor de 100°.
6 Dibuja en tu cuaderno un ángulo agudo.
Después utiliza el transportador para medirlo.
Haz lo mismo con un ángulo obtuso.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
25 Mide con tu transportador estos ángulos.
a) b) d)c)
26 Dibuja estos ángulos.
a) 30° b) 45° c) 160° d) 180°
147
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
Líneas
Posiciones relativas de dos rectas
Ángulo
Tipos de ángulos
1. OPERAR GRÁFICAMENTECON ÁNGULOS
Dados los ángulos AU y BV:
calcula AU + BV y AU - BV.
• Suma de ángulos
PRIMERO. Construimos con el
compás un ángulo igual a AV.
SEGUNDO. Construimos, a
continuación del ángulo AV,
un ángulo igual a BV, de modo
que sean consecutivos.
El ángulo AV + BV es el ángulo
rojo.
• Resta de ángulos
PRIMERO. Construimos un
ángulo igual a AV.
SEGUNDO. Llevamos sobre
el ángulo AV un ángulo igual
a BV, tal y como se indica en
la figura. El ángulo AV - BV es
el ángulo rojo.
AU
AU + BU
BU
AUBU
AU - BU
AU
BU
sr
P A B
Recto
Semirrecta
Recta Segmento
r s
Paralelas
rs
Secantes
r
s
Coincidentes
r
s
Perpendiculares
Llano Agudo
Posiciones relativas de dos ángulos
Opuestos por
el vértice
Consecutivos Adyacentes
Complementarios Suplementarios
Obtuso
A B
C
HAZLO DE ESTA MANERA
1. CONSTRUIR UN ÁNGULO UTILIZANDOEL COMPÁS
Utiliza el compás para
construir un ángulo
como el dibujado.
PRIMERO. Trazamos una semirrecta, que será
uno de los lados del ángulo que vamos
a construir, con origen en un punto,
que será el vértice del ángulo.
SEGUNDO. Dibujamos un arco sobre el ángulo
dado con centro en su vértice y, con el mismo
radio, otro arco en el ángulo en construcción.
TERCERO. Medimos con el compás la amplitud
de ese arco sobre el ángulo dado y lo
trasladamos al ángulo en construcción.
148
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Expresa.
a) 34° en minutos. b) 82" en grados.
PRIMERO. Contamos los saltos que hay
hasta la unidad en la que tenemos
que expresar la medida.
a) Un salto hacia la derecha.
b) Dos saltos hacia la izquierda.
SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto.
• Si el salto es hacia la derecha,
multiplicamos la medida por 60 si es
un salto, o por 3 600 si son dos saltos.
• Si es hacia la izquierda, dividimos
la medida entre 60 si es un salto, o entre
3 600 si son dos saltos.
a) 34 ? 60= 2 040' b) 82 : 3 600= 0,023°
F
F
F
F
? 60 ? 60
: 60 : 60
grados minutos segundos
2. CONSTRUIR UN ÁNGULO UTILIZANDOUN TRANSPORTADOR
Utiliza la regla y el transportador para dibujar
un ángulo de 70º.
PRIMERO. Utilizamos
la regla para dibujar una
semirrecta con origen
en un punto A.
SEGUNDO. Situamos el
centro del transportador
sobre el punto A
y hacemos que la
semirrecta pase por
el 0º del transportador.
TERCERO. Hacemos
una marca sobre
la medida del ángulo
que queremos dibujar.
CUARTO. Unimos
el punto A con
la marca que
acabamos de hacer.
A
AV
70º
A
A
Comprende estas palabras
1. ¿Puedes hallar la longitud de una línea recta?
¿Y de una semirrecta? ¿Y de un segmento?
2. ¿Cuántas perpendiculares a una recta que
pasen por un punto exterior a ella puedes
trazar? ¿Y cuántas paralelas?
3. Señala en la figura un par de ángulos
consecutivos y un par de ángulos adyacentes.
AU
EU
BUCU
DU
4. Dada la siguiente figura,
AU
BUCU
¿cómo son entre sí las
parejas de ángulos que
se pueden formar?
Construir ángulos utilizando el compás
1. Construye, con ayuda
del compás, un ángulo
como este.
Operar gráficamente con ángulos
2. Dados los ángulos AV y BV, representa AV + BV
y AV - BV.
AU
BU
Transformar unidades de medida de ángulos
6. Transforma en segundos estas medidas.
a) 10' b) 5° c) 14,5' d) 60,6°
Construir ángulos utilizando el transportador
3. Construye con ayuda del transportador
un ángulo de 55º.
Y AHORA… PRACTICA
2. TRANSFORMAR UNIDADESDE MEDIDA DE ÁNGULOS
149
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ActividadesRECTAS, SEMIRRECTASY SEGMENTOS
37. ● Dibuja una línea recta en tu cuaderno,
marca de rojo una semirrecta y de verde
un segmento de longitud 2 cm.
38. ● Fíjate en el dibujo, y realiza las siguientes
actividades.
A B EF
G
C D
a) Nombra las semirrectas.b) Señala el nombre de los segmentos.
c) ¿Qué segmentos tienen en común
el extremo D?
39. ● Observa el plano y contesta.
c/ Verde
c/ Añil
c/ Roja
c / B l a n
c o
c / A
z u l
c / A m a r i l l o
c / A r c
o I r i s
Si consideras las calles como líneas rectas:
a) ¿Qué calles son paralelas a la calle Arco Iris?
b) ¿Qué calles son perpendiculares a la calle
Arco Iris?
c) ¿Cuáles son secantes a la calle Arco Iris?
d) ¿Cómo son entre sí las calles Añil y Verde?
e) ¿Cómo son entre sí las calles Roja y Añil?
40. ● Dibuja en tu cuaderno la recta m y marca
un punto P.
m• P
Dibuja tres rectas: una paralela, una secante
y otra perpendicular a la recta m, y haz que pasen
por el punto P.
Clasifica, dos a dos, las rectas que has dibujado.
41. ●● ¿Cuántos puntos se necesitan, como mínimo,
para definir una recta? ¿Y como máximo?
¿CÓMO SE TRAZA LA MEDIATRIZDE UN SEGMENTO?
42. Dibuja un segmento AB de 8 cm y traza
con regla y compás su mediatriz.
La mediatriz de un segmento es la recta que pasa
por su punto medio y es perpendicular al mismo.
Para construirla se siguen estos pasos:
PRIMERO. Se pincha
el compás en cada uno
de los extremos, y conamplitud el segmento,
se dibuja una circunferencia.
SEGUNDO. Se unen con
una recta los puntos
de intersección de las
circunferencias.
Esta recta es la mediatriz del segmento AB.
HAZLO ASÍ
A B
7. ● Dibuja en tu cuaderno un segmento AB de 7 cm
de longitud, y traza con regla y compás su mediatriz.
8. ● Las rectas rojas, ¿son mediatrices de los
segmentos? Justifica la respuesta.
a)
A B
b)
C D
9. ● Dibuja en tu cuaderno triángulos como estos
y traza la mediatriz de sus lados. ¿Se cortan
en un solo punto?
150
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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10. ●Dibuja en tu cuaderno la recta r y los puntos A yB.
B•
A•
r
a) Dibuja el segmento AB.
b) Dibuja la mediatriz del segmento AB.
c) Estudia la posición relativa de la mediatriz
y la recta r.
11. ● Los segmentos AB y AC se encuentran en rectas
perpendiculares.
A
B
C
Dibuja la mediatriz del segmento AB y la del
segmentoBC. ¿Cuál es la posición relativa
de las dos mediatrices que has calculado?
12. ●Dibuja una recta en tu cuaderno. Con la regla
y la escuadra, traza una recta paralela y otra
perpendicular a la recta que has trazado.
¿Qué posiciones relativas tienen la recta paralela
y la perpendicular que has dibujado?
43. ●● Dibuja dos segmentos, AB yCD, paralelos
entre sí, de 8 cm y 10 cm, y traza con la escuadra sus
mediatrices. ¿Cómo son entre sí las mediatrices?
ÁNGULOS
44. ● Escribe estas letras en tu cuaderno, y señala
de color rojo los ángulos agudos, de azul
los rectos y de amarillo los obtusos.
13. ●Dibuja en tu cuaderno dos rectas r y s que se
corten como las de la figura. Mide con el
transportador los cuatro ángulos que forman.
a) ¿Cuánto suman los cuatro ángulos?
b) ¿Hay algunos ángulos iguales?
c) ¿Siempre se da este resultado?
45. ● Contesta si es verdadero o falso.
a) Dos ángulos adyacentes son siempre
consecutivos.
b) Dos ángulos consecutivos son siempreadyacentes.
c) Dos ángulos complementarios son siempre
agudos.
d) Dos ángulos complementarios son siempre
obtusos.
e) Dos ángulos de lados perpendiculares
son iguales.
f) Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
46. ● Observa la siguiente figura y señala.
a) Los pares de ángulos opuestos por el vértice.b) Los pares de ángulos adyacentes.
AUBU
DUCU
EUF U
GU
HV
IU
LU JU
KU
47. ● Observa este plano de una zona de la ciudad
de Castelldefels y dibuja los ángulos que forman.
ParcMontanyetaPlaça de
la Lluna
A v i n
g u d a
3 1 2
A v i n
g u d a
3 1 1
A v i n
g u d a
3 1 0
A v i n
g u d a
3 0 9
A v i n g
u d a
D i a g o n
a l
A v i n
g u d a
3 0 6
D . A r c a d i B a l a
g u e r
A v i n
g u d a
3 1 3
A v i n g u d a 3 0 0
A v i n g u d a 3 0 1
A v i n g u d a 3 0 2
A v i n g u d a 3 0 3
Plaça deSant Jaume
A v i n
g u d a
3 0 8
D o c t o r
F l e m i n g
a) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 309.
b) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 310.
c) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 302.
¿Cómo son entre sí las Avingudas 309 y 310 ?
¿Y las Avingudas 302 y 309?
48. ● Dado el ángulo de la figura,
AU
dibújalo en tu cuaderno y construye
sus ángulos adyacentes
y el ángulo opuesto por el vértice.
r
s
151
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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49. ●● Dibuja en tu
cuaderno dos ángulos
como estos. AU
BU
Utiliza el compás para
representar las operaciones.
a) AV
+ BV
b) BV
- AV
c) 3 ? AV
d) 2 ? BV
14. ●Dibuja en tu cuaderno tres ángulos como
estos.
Utiliza el compás para representar las siguientes
operaciones.
a) AV + CV c) 2 ? AV
b) AV - BV d) AV + BV + CV
50. ●● Traza en tu cuaderno un ángulo AV que sea
menor que un ángulo recto, y un ángulo BV
que sea menor que uno llano y mayor que uno
recto. Dibuja los ángulos indicados.
a) AV + BV c) 3 ? AV
b) BV - AV d) 2 ? BV
SISTEMA SEXAGESIMAL
51. ● Expresa en minutos las medidas de ángulos.
a) 3° b) 10° c) 5° d) 20°
52. ● Transforma en segundos estas medidas
de ángulos.
a) 12' b) 20' c) 1° 15' d) 10° 10'
53. ● Expresa en grados las siguientes medidas.
a) 120' c) 240' e) 420'
b) 180' d) 360' f) 600'
15. ● Expresa en minutos estas medidas de ángulos.
a) 135" d) 300"
b) 156" e) 288"
c) 198" f) 468"
54. ● Indica en segundos.
a) 35° 54' 55" d) 4° 27' 56"
b) 65° 53' 12" e) 7° 33' 49"
c) 18° 23' 4" f) 11° 3' 2"
16. ● Expresa en minutos.
a) 4º 52' 30" c) 15º 42' 15"
b) 32º 12' 45" d) 42º 38' 10"
55. ● Con la ayuda del transportador, dibuja los
ángulos AV = 45°, BV = 120° y CV = 135°.
Después, dibuja y mide los ángulos.
a) AV + CV c) 3 ? BV
b) CV - AV d) 8 ? CV
17. ●Con la ayuda del transportador, dibuja
los ángulos AV = 147º y BV = 72º.
Después, dibuja y mide los ángulos.
a) AV + BV c) 2 ? AV
b) AV - BV d) 3 ? BV
18. ●Mide estos ángulos y clasifícalos.
19. ●Recuerda cuánto miden los ángulos
de una escuadra y de un cartabón.
Dibuja los siguientes ángulos, repasando dos lados
de una escuadra o un cartabón.
a) 30° c) 60°
b) 45° d) 90°
20. ●● Utiliza la suma de dos ángulos de la escuadra
o del cartabón para dibujar estos ángulos.
a) 75°= 45°+ d
b) 105°= 60°+ d
c) 120°= 90°+ d
d) 135°= d + d
e) 150°= d + d
AUBU
CU
90º90º
45º 45º 30º
60º
152
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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21. ●Copia un ángulo como
el de la figura y traza
las perpendiculares
a las rectas r y s.
¿Qué ángulo forman?
22. ●Dibuja el ángulo AV.
Traza la perpendicular t
a la recta r desdeB.
¿Cuánto medirán los cuatro ángulos que forma
la recta t con la recta s?
¿CÓMO SE CONSTRUYE LA BISECTRIZDE UN ÁNGULO?
56. Traza la bisectriz de este ángulo.
La bisectriz de un ángulo
es la recta que pasa por
su vértice y divide el ángulo
en dos partes iguales.
PRIMERO. Con centro
en el vértice O y cualquier
abertura, se traza un arco.
SEGUNDO. Con la misma
amplitud se trazan dos arcos,
uno con centro en A y otro
con centro en B.
TERCERO. Los arcos se cortaránen un punto P. La recta
que pasa por O y P
es la bisectriz del ángulo.
HAZLO ASÍ
O
O
O
B
A
O
B
A
P
23. ●Dibuja un ángulo como este. Traza su bisectriz.
57. ●● Dibuja un ángulo de 60° con el transportador.
Traza su adyacente. ¿Cuánto mide?
Dibuja las bisectrices de los dos ángulos.
¿Qué ángulos forman?
64. ● Mide con el transportador el ángulo AU.
¿Cuánto mide el ángulo BV?
AUBU
r
s
s
rB
AU
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE SUMAN ÁNGULOS EXPRESADOSEN FORMA COMPLEJA?
24. Calcula esta suma de ángulos:
6º 24' 28" + 52' 47"
PRIMERO. Se colocan los sumandos agrupados
por unidades y se realiza la suma.
6° 24' 28"
+ 52' 47"
6° 76' 75"
SEGUNDO. Si en el resultado de la suma, los segundos
sobrepasan 60, se transforman en minutos.
6° 24' 28" + 52' 47" = 6° 76' 75"
6° 77'
15"
TERCERO. Si en el resultado de la suma, los minutos
sobrepasan 60, se transforman en grados.
6° 24' 28" + 52' 47" = 6° 77' 15"
7° 17' 15"
58. ● Realiza las siguientes sumas de ángulos.
a) 23° 45' 10" + 54° 7' 32"
b) 21° 45' 19" + 54° 7' 42"
c) 23° 45'
10"
+
54° 37'
52"
PROBLEMAS CON MEDIDASDE ÁNGULOS
73. ●● Los rayos del sol entran por la mañana en
la habitación de Luis y dan en la pared con una
determinada inclinación. A las 7 de la mañana de
un día de verano, ese ángulo es de 22° 14' . Cada
hora que pasa, el ángulo de inclinación aumenta
en 2° 10' 20" .
a) ¿Qué ángulo tendrá a las 8 de la mañana?
b) ¿Y a las 9 de la mañana?
74. ●● Tres amigos, Marcos, Roberto y Ricardo,
se están comiendo un pastel circular:
• Marcos se ha comido un trozo equivalente a 35° 10' .
• Roberto se ha comido un trozo de 40° 30' .
• Ricardo se ha comido un trozo de 50° 40' .
a) ¿Cuánto mide el trozo de pastel que se han
comido entre los tres?
b) ¿Cuánto mide el trozo que queda?
F F75" = 1' + 15"
F F77' = 1°+ 17'
153
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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0Historias de sobremesa
Cada vez que Farkas Bolyai y su hijo se
juntaban, el tema predilecto de conversacióneran las matemáticas, y siempre salía a relucirel nombre de Gauss.
–Janos –le decía a su hijo–, el 29 de marzode 1796 debería instaurarse como festivopara todos los matemáticos del mundo.
¡Otra vez la vieja historia del heptadecágono! Janos miró a su padre con una sonrisa.
–Gauss tiene suerte de contar con amigoscomo tú.
El padre, sin prestar atención, continuó conla historia:
–Él mismo me lo contó, después de unode nuestros paseos por los alrededores deGöttingen.
Hizo una pausa y en voz baja continuó:
–El día 29, después de encontrar la formade construir el polígono regular de 17 ladossolamente con ayuda de la regla y elcompás, tomó la decisión de estudiar
matemáticas en detrimento de la filosofía.Este descubrimiento fue tan importantepara Gauss que el epitafio de su sepulturacontiene un heptadecágono regular.
Polígonosy circunferencia
1. ¿Quiénes fueronFarkas Bolyai y JanosBolyai? ¿Qué relacióntienen con Gauss?¿Cuáles sonlas circunstanciasque les llevarona enemistarse?
2. ¿Por qué Farkas Bolyai
piensa que el29 de marzo deberíaser festivo paralos matemáticos?
3. Busca informaciónsobre Friedrich Gaussy sus importantesaportacionesa la geometría.
DESCUBRELA HISTORIA...
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidad
aprenderás a…
• Clasificar polígonos
según sus ladosy ángulos.
• Utilizar el teoremade Pitágoras.
• Identificar
los elementos deuna circunferencia.
• Determinar posiciones
relativas en el plano.
PLAN DE TRABAJO
RECTAS Y ÁNGULOS
Posiciones relativas de dos rectas
Paralelas Secantes
No se cortan. Se cortan en un punto.
Ángulos
Llamamos ángulo a la abertura formadapor dos semirrectas que parten
de un mismo punto.Los ángulos pueden ser:
Agudo Recto Obtuso Llano
Mide menos de 90°. Mide 90°. Mide más de 90°
y menos de 180°.
Mide 180°.
EVALUACIÓN INICIAL
Cuando dos rectassecantes forman cuatro ángulosrectos, decimos que son rectas
perpendiculares.
1 Escribe cuál es la posición relativa de estas rectas. ¿Algunas
de ellas son perpendiculares?
2 Clasifica estos ángulos.
Vértice Lado
155
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Polígonos
1.1 Elementos de un polígono
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un segmentoUn segmento es la parte de una recta delimitada por dos puntos.
Tiene principio y final.
A y B son los extremos del segmento.
Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos.
EJEMPLO
1 Decide si son polígonos. a) b)
a) Es un polígono.b) No está cerrada,
no es un polígono.
Los elementos de un polígono son:
• Lados: segmentos que delimitan el polígono.
• Vértices: puntos donde se unen dos lados.
• Diagonales: segmentos que unen dos vérti-ces no consecutivos.
• Ángulo interior: ángulo formado por loslados del polígono.
1.3 Clasificación de polígonos según sus lados y ángulos
Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales.En caso contrario, si tiene algún lado o ángulo distinto, el polígono esirregular.
Polígonoirregular
Polígonoregular
1
Vértice
D i a g o
n a l
Lado
Ángulointerior
2 Determina cuáles de estos polígonos son
regulares o irregulares.
a) b) c)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Dibuja este polígono en tu
cuaderno. Señala sus lados,
vértices, ángulos interiores
y diagonales. ¿Cuántas
diagonales tiene?
156
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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1.4 Clasificación de polígonos según su número de lados
N.o de lados Nombre Regular Irregular
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Endecágono
12 Dodecágono
EJEMPLO
2 Cuenta el número de lados y clasifica estos polígonos.
a) b) c)
a) 5 lados " Es un pentágono.
b) 8 lados " Es un octógono.
c) 6 lados " Es un hexágono.
A partir de 12 lados,los polígonos se nombran:polígono de 13, 14… lados.
1 ¿Cuántos lados tienen estos polígonos?
Decide si son regulares o irregulares.
a) b)
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Cuenta el número de lados e indica el nombre
de estos polígonos.
a) b)
157
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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La medida de un ángulo seexpresa en grados y se midecon el transportador.
RECUERDA
Triángulos
Según sean sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en:
Equilátero: tiene los treslados y los tres ángulosiguales.
a = b = c
AT = BU = C Uab
c A
C
B
Isósceles: tiene doslados y dos ángulosiguales.
a = b
AT = BUab
c A
C
B
Escaleno: tiene lostres lados y los tresángulos desiguales.
ab
c A
C
B
Acutángulo: tiene los tresángulos agudos.
ab
c A
C
B
Rectángulo: tieneun ángulo recto.
ab
c A
C
B
Obtusángulo: tieneun ángulo obtuso.
ab
c A
C
B
Relaciones entre los lados y los ángulos
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se despeja en una ecuación
• Siuntérminoestásumandoen
un miembro, pasa restando al otro.
Y si está restando, pasa sumando.
• Siuntérminoestámultiplicando
en un miembro, pasa dividiendo al otro.Y si está dividiendo, pasa multiplicando.
Dado un triángulo ABC &, siempre se cumple que:
• La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°.
EJEMPLO
3 Calcula el ángulo que falta.
AU + BV + CV = 180°
35° + 45° + CV
= 180°CV = 180° - 80° = 100°
2
3 Calcula el ángulo que falta.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 Clasifica este triángulo
según sus lados
y sus ángulos.
x + 2= 7 " x = 7- 2= 5 G
Pasa restando
2x = 10 " x =
2
105=
G
Pasa dividiendo
AV = 70°
30°110°
45°
35°
CV
CV
158
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Teorema de Pitágoras
Un triángulo rectángulo es el que tiene unángulo recto (90°). Los lados que forman elángulo recto se llaman catetos, y el lado ma-yor, hipotenusa.
a es la hipotenusa, b y c son los catetos.
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusaes igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a2 = b2 + c2
ANTES, DEBES SABER…
Qué es la raíz cuadrada de un número
La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadradoes igual al primero.
4 2= , porque 22 = 4 62 = 36, entonces 36 6=
EJEMPLOS
5 Sabiendo que, en un triángulo rectángulo, los catetos miden
3 y 4 cm, respectivamente, ¿cuánto mide la hipotenusa?
Aplicando el teorema de Pitágoras:
a a a a3 4 9 16 25 25 5 cm2 2 2 2
= + = + = = =" " "
6 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm.¿Cuánto mide el otro cateto?
Supongamos que el cateto conocido es b:
a2 = b2 + c2
a = 10, b = 6-----" 102 = 62 + c2 " 102 - 62 = c2 " c2 = 64
" c 64 8 cm= =
El otro cateto mide 8 cm.
7 Comprueba si un triángulo cuyos lados miden 6, 9 y 11 cm,
respectivamente, puede ser un triángulo rectángulo.
Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir el teorema de Pitágoras:
11 121
6 9 11711 6 9
2
2 2
2 2 2!
=
+ =+
" "2 No se cumple el teorema de Pitágoras.No existe un triángulo rectángulo cuyos lados midan 6, 9 y 11 cm.
4
B
C
A
a
c
b
G
Pasa restando
El triángulorectángulo es el únicotriángulo que cumple
el teoremade Pitágoras.
DATE CUENTA
Conociendo la medidade un cateto y la hipotenusa,podemos hallar el otrocateto:
b
a
c
b a c b a c
c a b c a b
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
= - = -
= - = -
"
"
18 En este triángulo
rectángulo, ¿cuánto
mide el otro cateto?
25 cm7 cm
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
17 En un triángulo rectángulo, los catetos
miden 5 y 12 cm, respectivamente.
¿Cuánto medirá la hipotenusa?
159
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Cuadriláteros
Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Se clasifican en:
• Paralelogramos: cuadriláteros que tienen los lados paralelos, dosa dos.
• Trapecios: cuadriláteros que tienen solo dos lados paralelos.• Trapezoides: cuadriláteros que no tienen lados paralelos.
5.1 Paralelogramos
Los paralelogramos se clasifican en:
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
• Cuadrado: tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos.• Rectángulo: tiene los cuatro ángulos rectos.• Rombo: tiene los cuatro lados iguales.• Romboide: tiene los lados y los ángulos iguales, dos a dos, y no
tiene ángulos rectos.
5.2 Trapecios
Los trapecios pueden ser:
Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno
• Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos rectos.• Trapecio isósceles: tiene dos lados iguales.• Trapecio escaleno: no tiene lados iguales ni ángulos rectos.
5
Un paralelogramotiene iguales sus ladosopuestos y sus ángulos
opuestos.
Trapezoide
Trapecio
Paralelogramo
4 Dibuja un cuadrado y un rombo sabiendo
que la longitud de sus lados es de 2 cm.
a) ¿Qué características tienen en común?
b) ¿En qué se diferencian?
5 ¿Qué diferencias hay entre un cuadrado,
un rectángulo y un rombo? Dibuja las tres
figuras y compáralas.
6 Dibuja dos trapecios diferentes y explica cuáles
son sus diferencias.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
21 Clasifica estos cuadriláteros, e indica si son
regulares o irregulares.
a)c)
e)
b) d)
160
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Propiedadesde los paralelogramos
Cualquier paralelogramo cumple las siguientes propiedades:
• La suma de los ángulos de un paralelogramo es 360°.
AT + BU + C V + DV = 360°
• Un paralelogramo tiene dos diagona-les que lo dividen en dos triángulosiguales y que se cortan en el puntomedio de ambas.
EJEMPLOS
4 Calcula el ángulo que falta.
AU + BV + CV + DV = 360°
95° + 90° + 45° + DV = 360°
DV = 360° - 230° = 130°
8 Halla la medida de la diagonal de un cuadrado si el lado mide 4 cm.
La diagonal divide el cuadrado en dos triángulosrectángulos iguales, en los que los catetos son los lados,y la hipotenusa, la diagonal.Aplicando el teorema de Pitágoras:
d 2 = l2 + l2
d 2 = 42 + 42 " d
2 = 16 + 16" d 2 = 32" d 32 5,66 cm.=
9 Determina la diagonal menor (d ) de un rombo
8 c m
5 cmc
b
de lado 5 cm y cuya diagonal mayor ( D) mide 8 cm.
El rombo queda dividido, por sus dos diagonales,
en cuatro triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusaes el lado (l), y los catetos, la mitad de sus diagonales (b y c).
cD
2 2
84 cm= = =
Aplicando el teorema de Pitágoras:
l2 = b2 + c2 " 52 = 42 + b2 " b2 = 52 - 42 = 9" b 9 3 cm= =
bd
2= " d = b ? 2 = 3 ? 2 = 6 cm
La diagonal menor del rombo mide 6 cm.
6
4 cmd
4 cm
G
Pasa restando
G
Pasa multiplicando
Al trazar las diagonalesen un cuadrado, un
rectángulo o un rombose forman triángulosrectángulos iguales.
A B
M
D C
MA MC MB MD= =
45° 90°
95°DV
25 Halla la diagonal de un rectángulo de lados
3 cm y 4 cm.
26 Calcula la diagonal mayor de un rombo de lado
50 cm y diagonal menor 28 cm.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
7 Calcula el ángulo que falta.
a) b)
DV120°
120°60°
DV
130°130°
50°
161
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Circunferencias
7.1 Elementos de la circunferencia
La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están si-
tuados a la misma distancia de otro punto llamado centro,O
.Los elementos de una circunferencia son:
• Centro de la circunferencia: es el punto queestá a la misma distancia de todos los puntosque la forman.
• Radio: es un segmento que une el centro conun punto cualquiera de la circunferencia.
• Cuerda: es un segmento que une dos puntos dela circunferencia.
• Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro
de la circunferencia.• Arco: es la parte de la circunferencia compren-
dida entre dos puntos de ella.
A cada cuerda le corresponden dos arcos.Si la cuerda coincide con el diámetro, laslongitudes de los dos arcos son iguales, ycada arco se llama semicircunferencia.
EJEMPLOS
5 Si el radio de una circunferencia mide 7 cm, ¿cuánto mide su diámetro?
d = 2 ? r = 2 ? 7 = 14 cm
6 ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia si su diámetro mide 18 cm?
d = 2 ? r " 9r2
18cm= =
7
R a d i o
Diámetro
C u e r d a
Arco
O
B
A
31 Dibuja una circunferencia de radio 4 cm, y señalasobre ella un diámetro, un radio, un arco
y una cuerda. ¿Cuánto mide el diámetro?
8 Dibuja una circunferencia cuyo diámetro
mida 7 cm.
a) Traza el diámetro y marca en la circunferencialas dos semicircunferencias que se forman.
b) ¿Cuánto mide el radio?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
29 Indica el nombre de cada uno de los elementosde la siguiente circunferencia:
30 Dibuja una circunferencia de radio 5 cm.
Semicircunferencia
Semicircunferencia
El diámetro deuna circunferencia mide
el doble que su radio.
DATE CUENTA
Diámetro
Radio 6 4 4 4 4
4 7 4 4 4
4 8
6 4 4 7
4 4 8
162
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Posicionesrelativas en el plano
8.2 Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Una recta, s, puede situarse en tres posiciones respecto de una circunfe-rencia:
A
OSecante
B
OExterior
OP
Tangente
• Si corta a la circunferencia en dos puntos, A y B: la recta s essecante a la circunferencia.
• Si la recta y la circunferencia tienen un único punto, P, en común:la recta s es tangente a la circunferencia.
• Si la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común: la
recta s es exterior a la circunferencia.
Polígonos regularese inscritos
Un polígono inscrito en una circunferencia es un polígono que tienetodos sus vértices situados en la circunferencia.
Cualquier polígono regular está inscrito:
• El centro de la circunferencia, O, se llama centro delpolígono y su radio, r , se denomina radio del polígono.
• El segmento trazado desde el centro de la circunferen-cia al punto medio de un lado, a, es la apotema delpolígono regular.
8
9
O
a
r
9 Decide si están inscritos estos polígonos.
a) b)
39 Traza un hexágono regular inscrito en
una circunferencia. Después, traza los tres
diámetros que unen sus vértices opuestos.
¿En cuántos triángulos queda descompuesto
el hexágono?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
33 Indica cuál es la posición relativa de cada una
de las rectas respecto de la siguiente
circunferencia:
r
v
s
t
w
O
u
Cuadrilátero inscritoen una circunferencia
163
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COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
Polígono
Triángulos
CuadriláterosVértice
Paralelogramos
Trapezoides
Trapecios
Rectángulo Isósceles Escaleno
Romboides Rombos Cuadrados Rectángulos
Equilátero Isósceles
Acutángulo
Escaleno
Rectángulo Obtusángulo
Ángulo
interior
D i a g
o n a l
Lado
C u e r d a
Polígono regular Circunferencia
Apotema
O
R a d i o
Arco
Diámetro
O R a d i o
F
G
B
A
HAZLO DE ESTA MANERA
1. CALCULAR UN ÁNGULO DESCONOCIDO DE UN TRIÁNGULO O UN CUADRILÁTERO
Calcula la medida del ángulo que falta en cada uno de estos polígonos.
a) b)
PRIMERO. Identificamos los ángulos conocidos de cada figura teniendo en cuenta que:
• Suman 180° si es un triángulo.
• Suman 360° si es un cuadrilátero.
a) AU = 35° BV = 50° b) AU = 115° BV = 65° CV = 65°
Triángulo " 35° + 50° + CV = 180° Cuadrilátero " 115° + 65° + 65° + DV = 360°
SEGUNDO. Despejamos el ángulo desconocido.
a) CV = 180° - 85° = 95° b) DV = 360° - 245° = 115°
65°
65°
115°
DV50°
35°
CV
164
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4. CALCULAR LA DIAGONAL DE UN CUADRADO O UN RECTÁNGULO
Halla la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 7 cm.
PRIMERO. La diagonal es la hipotenusa
de un triángulo rectángulo cuyos catetosson los lados de la figura.
b = 5 cmc = 7 cm
SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.
d 2 = b2 + c2 b = 5, c = 7------
" d 2 = 52 + 72 = 74 " d = 74 . 8,6 cm
La diagonal mide aproximadamente 8,6 cm.
2. HALLAR UNO DE LOS LADOSDE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Determina el lado que falta en estos
triángulos rectángulos.a) b)
PRIMERO. Sustituimos, en el teoremade Pitágoras, cada letra por su valor.La letra a representa la hipotenusa, y b y c sonlos catetos.
a) a2 = b2 + c2
b = 8, c = 6------" a
2 = 82 + 62
b) a2 = b2 + c2
a = 10, c = 6------" 102 = b2 + 62
SEGUNDO. Despejamos la letra desconocidaen la ecuación resultante.
a) a2 = 82 + 62 " a2 = 100" a = 100 = 10 cm
b) 102 = b2 + 62 " b2 = 102 - 62 = 64
" b2 = 64" b = 64 = 8 cm
3. DETERMINAR SI UN TRIÁNGULOES RECTÁNGULO
Determina si el triángulo cuyos lados miden
5, 12 y 13 cm, respectivamente, es rectángulo.
PRIMERO. Asignamos la medida mayora la hipotenusa y las otras dos a los catetos.
a = 13 b = 5 c = 12
SEGUNDO. Comprobamos si se cumpleel teorema de Pitágoras.
• Si se cumple el teorema de Pitágoras,
el triángulo es rectángulo.
• En caso contrario, no es un triángulo
rectángulo.
a2 = b2 + c2 a = 13, b = 5, c = 12-----------" 132 = 52 + 122
"169 = 25 + 144"169 = 169
En este caso se cumple la igualdad,y el triángulo es rectángulo.
Comprende estas palabras
1. Di cuál de estos polígonos es regular.
a) Un triángulo equilátero. c) Un rectángulo.
b) Un cuadrado. d) Un rombo.
2. ¿Puede haber un triángulo isóscelesy rectángulo a la vez?
Calcular un ángulo desconocidode un triángulo o un cuadrilátero
1. Dos ángulos iguales de un triángulo miden 60°.
¿Cuánto mide el otro ángulo?
Hallar uno de los lados de un triángulorectángulo
5. Calcula la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 21 cm y 28 cm.Determinar si un triángulo es rectángulo
6. Un triángulo tiene dos lados que miden 15 cm
y 12 cm. ¿Cuánto tiene que medir el tercer ladopara que sea un triángulo rectángulo?
Calcular la diagonal de un cuadradoo un rectángulo
7. Determina la diagonal de un cuadrado de 4 cm
de lado.
Y AHORA… PRACTICA
6 cm 6 cm10 cm
8 cm
5 cmd
7 cm
?
?
165
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ActividadesPOLÍGONOS
42. ● Indica el nombre de cada uno de los elementos
del polígono.
a) Señala sus vértices.
b) ¿Cuántos lados tiene?
c) ¿Cuántas diagonales puedes dibujar?
d) ¿Cuántos ángulos tiene?
e) ¿Cómo se llama este polígono?f) ¿Es regular? ¿Por qué?
g) ¿Es cóncavo o convexo?
43. ● Indica el nombre de estos polígonos según
su número de lados.
10. ● Dibuja dos polígonos que sean regulares
y otros dos irregulares.
45. ● Dibuja la siguiente figura en tu cuaderno.
a) ¿Cuántos lados tiene?
b) Por su número de lados, ¿qué nombre recibe?
c) Dibuja sus diagonales. ¿Cuántas tiene?
d) Señala sus ángulos. ¿Cuántos tiene?
11. ● Dibuja un pentágono regular y un octógono
irregular.
TRIÁNGULOS
¿CÓMO SE DIBUJA UN TRIÁNGULO CONOCIENDOLA MEDIDA DE SUS LADOS?
50. Construye un triángulo con lados a = 5 cm,
b= 4 cm y c = 3 cm.
PRIMERO. Se traza unsegmento igual a unlado, a. Los extremosson los vértices C y B.
B
A
C
A'
4 c m
5 cm
3 c m
SEGUNDO. Se construyendos arcos, uno con centro en C
y radio b, y otro con centro en B y radio c.
TERCERO. Se unen B y C con los dos puntosde intersección de los arcos. Se obtienen dostriángulos, siendo ambos solución.
HAZLO ASÍ
51. ● Construye un triángulo rectángulo e isósceles
cuyos catetos midan 3 cm.
52. ● Clasifica estos triángulos según sus lados
y ángulos.
a)b)
c)
d)
Determina el número de ángulos agudos, rectos
y obtusos que tiene cada uno.
53. ● En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 45°.
¿Cuánto miden los otros ángulos?
54. ● En un triángulo, dos de sus ángulos miden 20°
y 70°, respectivamente. ¿Cuánto mide el tercer
ángulo? ¿Cómo se llama el triángulo?
12. ● Calcula el ángulo que falta.
a) b)
56. ● Un triángulo isósceles tiene el ángulo desigual
de 50°. ¿Cuánto miden los ángulos iguales?
a)
b)
c)
d)
e)
f)
CV
35°
80°CV
110°
30°
166
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TEOREMA DE PITÁGORAS
13.●
Calcula la medida del lado que falta en estostriángulos rectángulos.
a) b)
65. ● En un triángulo rectángulo, los catetos miden
12 y 16 cm, respectivamente. Calcula
la hipotenusa.
66. ● En un triángulo rectángulo, un cateto mide
21 cm y la hipotenusa 75 cm. Halla el otro cateto.
67. ● En un triángulo rectángulo isósceles,
los catetos miden 12 cm. Determina el valor
de la hipotenusa.
68. ● En un triángulo rectángulo, los catetos miden
25 y 60 cm, respectivamente. Calcula
la hipotenusa.
69. ● Indica si los siguientes triángulos
son rectángulos o no. Si no lo son, calcula
el valor de la hipotenusa para que lo sean.
a) Lados: 12, 16 y 20 cm.
b) Lados: 5, 6 y 13 cm.
c) Lados: 18, 24 y 32 cm.
14. ● ¿Cuánto mide la diagonal de este rectángulo?
70. ● Calcula la diagonal de un cuadrado sabiendo
que el lado mide 8 cm.
71. ● Determina el lado de un cuadrado si
la diagonal mide 7 cm.
72. ●● Calcula la altura de un triángulo equilátero
cuyo lado mide 10 cm.
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL LADO DE UN ROMBO
CONOCIDAS SUS DIAGONALES?15. ¿Cuánto mide el lado de un rombo
si sus diagonales miden 10 y 24 cm?
PRIMERO. Se dibuja el rombo y se
trazan sus diagonales paraidentificar un triángulo rectángulo.
SEGUNDO. Se divide por 2 cada una de las diagonalespara obtener la medida de los catetos del triángulo.
2
105 cm=
2
2412 cm=
TERCERO. Se aplica el teorema de Pitágoras.5 12l
2 2 2= + " l 169
2= " l 169 13 cm= =
16. ● Las diagonales de un rombo miden 6 y 8 cm.
¿Cuánto mide el lado?
CUADRILÁTEROS
73. ● Dibuja un cuadrilátero, señala las diagonales,
los vértices, los ángulos y los lados.
74. ● Clasifica los siguientes cuadriláteros en función
del paralelismo de sus lados. Di si son regulares
o irregulares.
a) c)
b) d)
75. ● Clasifica estos cuadriláteros en función
de sus ángulos y del paralelismo de sus lados.
a) d)
c)
b) e)
1 2 c m
1 3 c m
9 c m
4 0 c m
x
7 cm
4 cm
167
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76. ● Calcula el ángulo que falta en cada uno
de los cuadriláteros.
105°
105°75°
DUc)a)
128°
XU
XU
b)100°
100°
42°
d)115°
50°
90°
¿CÓMO SE CALCULAN LOS ÁNGULOSDE UN PARALELOGRAMO?
77. Halla el valor de todos los ángulos
de este paralelogramo.
A B
C
110°
D
PRIMERO. Los ángulos contiguos sonsuplementarios.
AT + BV = 180°" AT = 180° - 110° = 70°
SEGUNDO. Los ángulos opuestos son iguales.DV = BV = 110°
CV = AT = 70°
HAZLO ASÍ
78. ●● Halla los ángulos de cada paralelogramo.
a) b)
A54°
B
D C
143°
A B
D C
79. ● Un ángulo de un rombo vale 35°. Determina
el valor del resto de ángulos.
80. ●● Un trapecio isósceles tiene dos ángulos
de 45°. ¿Cuánto valen los otros ángulos?
81. ●● Calcula el valor
del ángulo CV del
cuadrilátero.
80°
45° A B
D
C
82. ●● Indica si las afirmaciones son verdaderas
o falsas.
a) Si un paralelogramo tiene un ángulo recto,todos sus ángulos son rectos.
b) Si un cuadrilátero tiene un ángulo recto,
tiene al menos otro ángulo recto.c) Si un cuadrilátero tiene dos diagonales iguales,
es un paralelogramo.
d) Hay cuadriláteros que no son paralelogramosy que tienen las diagonales iguales.
e) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo
puede tener dos ángulos rectos.
f) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo
puede tener tres ángulos rectos.
CIRCUNFERENCIAS
83. ● Dibuja una circunferencia con un compás.
Después, traza una cuerda y señala con colores
diferentes los dos arcos que determina.
84. ● Dibuja una circunferencia de radio 4 cm,
y señala en ella un radio, un diámetro y una
cuerda.
85. ● En la circunferencia D
CO
A
B
de la figura se han trazado
varios segmentos. Indica
el nombre de cada uno
de ellos.
86. ● Observa la circunferencia de la figura.
Completa y responde.
a) El segmento AB es una…
b) El segmento AC es un…
c) Si los segmentos cortana dos puntos dela circunferencia,
¿por qué no recibenel mismo nombre?
17. ● Determina la posición
de las rectas
respecto de
la circunferencia.
A
B
O
C
168
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87. ● Dibuja una circunferencia y señala dos puntos
interiores en rojo, tres puntos de la
circunferencia en verde y cuatro puntos
exteriores a la circunferencia en azul.
88. ● Dibuja una circunferencia y señala una recta
secante que no pase por el centro de rojo, unarecta exterior de verde y dos rectas tangentes
a la circunferencia de azul.
89. ● En la siguiente circunferencia se han trazado
una recta exterior, otra recta secante
y una tangente. También se han dibujado
los segmentos perpendiculares
a las rectas indicadas
desde el centro, O,
de la circunferencia.B
AO
C
Compara los segmentos OA, OB y OC con
el radio, r , y escribe el signo <, > o=, según
corresponda.
a) OA d r b) OB d r c) OC d r
POLÍGONOS REGULARESE INSCRITOS
94. ●● Halla el centro del siguientepolígono regular, y explica cómo
lo haces.
95. ●● ¿Puedes dibujar la circunferencia
circunscrita a este triángulo? Indica el proceso.
A
B
C
96. ● ¿Puedes
circunscribir
una circunferencia
a este cuadrilátero?
¿Por qué?
A
D
CB
97. ●● ¿Puede inscribirse cualquier polígono en una
circunferencia? ¿Y todos los polígonos regulares?
PROBLEMAS CON POLÍGONOS
¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTEEL TEOREMA DE PITÁGORAS?
100. Calcula la longitud de una
escalera si está apoyada
en la pared a una distancia
de 1,8 m y sube hasta una
altura de 7 m.
PRIMERO. Se hace un gráficoque aclare la situación.
Si se considera que el ánguloque forman la pared y el sueloes un ángulo recto, será un triángulo rectánguloen el que se conocen sus dos catetos.
SEGUNDO. Se aplica el teorema de Pitágoras.l2 = (1,8)2 + 72 = 52,24
,l 52 24 7,23 m= =
La escalera mide 7,23 m.
HAZLO ASÍ
101. ●● Una escalera de 5 m apoyada en la pared
tiene su pie a 1,5 m de la base de la pared.
¿A qué altura llegará la escalera?
102. ● Calcula la longitud de la diagonal de una
parcela rectangular de un terreno si sus
dimensiones son 150 y 60 m, respectivamente.
103. ●● En un jardín rectangular de 8# 5 m,
determina cuántos metros recorre un niño
que lo cruza siguiendo la diagonal.
104. ●● Halla la altura de un triángulo isósceles con
dos lados iguales de 12 cm y un lado desigual
de 16 cm.
105. ●● Calcula la dimensión
de todos los lados de
un triángulo como
el de la figura.
C
A B
D
4,5 cm
4 cm
1,5 cmF
169
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1
1. Busca informaciónsobre la vidade Eratóstenes,geógrafo, matemáticoy astrónomo griego.
2. Eratóstenes esfamoso por haberllevado a cabola primera mediciónde la circunferencia dela Tierra. Invest igacómo lo hizo.
3. Averigua qué otrostrabajos realizóEratóstenesrelacionados conla geometría.
DESCUBRELA HISTORIA...
La visión del ciego
El soldado miraba con lástima al anciano ciego
que, apoyado en su bastón, tomaba el solmientras sus ojos extintos intuían la posicióndel astro en el horizonte.
Ahmés, su compañero de guardiaa la entrada de la biblioteca de Alejandría,interrumpió sus pensamientosdiciéndole:
–Es Eratóstenes, el cual no hace muchotiempo dirigía la biblioteca.
–¡Es una pena que sea ciego!
–No siempre fue así, y lo único que ahoralamenta es no poder leer el pensamientodel mundo encerrado en estas paredes –dijo
Ahmés, y continuó con su explicación–:Pero el maestro todavía es capaz de vermás lejos que tú, que tienestus ojos sanos.
–¡Eso es imposible!
Ahmés, con una sonrisa, intentóexplicárselo:
–Tú y yo, con nuestros ojos, vemosla Tierra plana como la palma de nuestramano; sin embargo él, que ahora estáciego, la ve con forma de bola y dicenque incluso ha calculado su tamaño.
Eratóstenes, utilizando ángulosy proporcionalidad, cifró la circunferenciapolar de la Tierra en 252 000 estadiosegipcios (1 estadio= 157,2 m).
Perímetrosy áreas
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Antes de empezar la unidad...
FIGURAS PLANAS
Clasificación de polígonos
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono
3 lados
4 lados
5 lados
6 lados
Clasificación de cuadriláteros
• Paralelogramos
Cuadrado Rectángulo
4 lados iguales
4 ángulos rectos 4 ángulos rectos
Rombo Romboide
4 lados iguales Lados y ángulos igualesdos a dosNo tiene ángulos rectos.
• Trapecios
Rectángulo Isósceles Escaleno
2 ángulos rectos 2 lados iguales No tiene ladosni ángulos iguales.
• Trapezoides
No tienen lados paralelos.
Un paralelogramo tiene
iguales sus lados opuestos y sus ángulos opuestos.
En esta unidad
aprenderás a…
• Hallar perímetros
de polígonos.
• Calcular la longitud
de la circunferencia.
• Determinar el área de:
– Paralelogramos.
– Triángulos.
– Trapecios.
– Polígonos regulares.
– Círculos.
PLAN DE TRABAJOEVALUACIÓN INICIAL
1 Clasifica estos polígonos.
2 Clasifica estos cuadriláteros.
3 Dibuja un polígono de cuatro lados iguales dos a dos. ¿Cómo son
sus ángulos? ¿De qué polígono se trata?
171
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Perímetro de un polígono
ANTES, DEBES SABER…
Cuáles son las unidades de longitud
kilómetro
(km)
hectómetro
(hm)
decámetro
(dam)
metro
(m)
decímetro
(dm)
centímetro
(cm)
milímetro
(mm)
? 10
: 10
? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10
: 10 : 10 : 10 : 10 : 10
Cuando el polígono es regular podemos utilizar una fórmula que facilita elcálculo del perímetro.
1
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.
Si el lado de un polígono regular de n lados es l, entonces su perímetroserá: P = n ? l
1 Calcula el perímetro de este pentágono
irregular:
Sumamos las medidas de sus lados:
P = AB + BC + CD + DE + EA = = 4+ 0,5+ 3+ 2+ 1,5= 11 cm
El perímetro de esta figura es 11 cm.
EJEMPLO
2 cm
3 cm
0,5 cm
4 cm
1,5 cm
A
E
D
C
B
2 Llamando l al lado de estos polígonos regulares, busca fórmulas para
expresar su perímetro.
EJEMPLO
P = 3 ? l P = 4 ? l P = 6 ? l
ll
l
SE ESCRIBE ASÍ
El perímetro de un polígonose suele representar
con la letra P.
l
DATE CUENTA
En algunos polígonosirregulares podemosutilizar fórmulas paracalcular su perímetro,por ejemplo:
P= 2 ? a+ 2 ? b
P= 4 ? l
a
b
Rectángulo
Rombo
1 Determina el perímetro de un cuadrado cuyo
lado mide 3 cm.
2 ¿Cuánto mide cada uno de los lados de un
pentágono regular si su perímetro es 25 cm?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Halla el perímetro de:
a) Un rombo cuyo lado mide 10 cm.
b) Un trapecio isósceles con bases de 4 cmy 8 cm, y los otros lados de 5 cm.
172
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Longitudde la circunferencia
ANTES, DEBES SABER…
Elementos de la circunferencia
La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos
puntos están situados a la misma distancia de otro
punto llamado centro.
• Radio: segmento que une el centro con un punto
cualquiera de la circunferencia.
• Diámetro: mide el doble que el radio.
La longituddeunacircunferencia, L , se puede calcular mediante laexpresión L = r ? d, o bien L = 2 ? r ? r , donde d es el diámetro y r esel radio.
ANTES, DEBES SABER…Cómo se despeja en una ecuación
• Siuntérminoestásumandoenunmiembro, pasa restando al otro.
Y si está restando, pasa sumando.
x - 3= 7 " x = 7+ 3= 10
• Siuntérminoestámultiplicandoenunmiembro, pasa dividiendo al otro.
Y si está dividiendo, pasa multiplicando.
3x = 15 " x = 3
155=
EJEMPLOS
3 Halla la longitud de una circunferencia de radio 2 cm.
L = 2rr = 2 ? r ? 2= 4 ? r = 4 ? 3,14= 12,56 cm
1 La longitud de una circunferencia mide 31,4 cm. ¿Cuánto mide su radio?
L = 2rr " 31,4= 2 ? 3,14 ? r " 2 ,
,5
?
r3 14
31 4cm= =
2
G
Pasa sumando
G
Pasa dividiendo
G
Pasa dividiendo
Aunque el número πes igual a 3,141592…;
para resolver problemasse suele tomar un valor
aproximado:π = 3,14
7 Silalongituddelacircunferenciaes25cm,
¿cuánto mide su radio?
3 La longitud de una circunferencia mide 40,82 cm.
¿Cuánto mide su diámetro?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
5 ¿Cuánto mide la longitud de una circunferencia
de 6 cm de diámetro?
2 Calcula la longitud de una circunferencia cuyo
radio mide 4 cm.
Centro R a
d i o
D i á m
e t r o
173
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Área de losparalelogramos
ANTES, DEBES SABER…
Cuáles son las unidades de superficie
kilómetro
cuadrado
(km2)
hectómetro
cuadrado
(hm2)
decámetro
cuadrado
(dam2)
metro
cuadrado
(m2)
decímetro
cuadrado
(dm2)
centímetro
cuadrado
(cm2)
milímetro
cuadrado
(mm2)
?
100
: 100
?
100?
100?
100?
100?
100
: 100 : 100 : 100 : 100 : 100
3.1 Área del rectángulo
3.2 Área del cuadrado
3
4 cm # 2 cm = 8 cm2
G
F
G
F
G F1 cm
G F1 cm
G F1 cm
G F1 cm
1 cm
1 cmEl áreadeunrectángulo de base b yaltura a es:
A=
a?
b
El áreadeuncuadrado de lado l es:
A= l 2
a
b
l
Como un cuadrado esun rectángulo con los lados
iguales: A = l · l = l 2 EJEMPLOS
5 Halla el área de un rectángulo de 30 cm de base y 12 cm de altura.
Para calcular el área aplicamos la fórmula:
A = a ? b a = 12, b = 30-------" A = 12 ? 30= 360 cm2
2 El área de un rectángulo mide 24 cm2.Sisubasemide6cm,
¿cuánto mide su altura?
A = a ? b " 24= a ? 6 " 46
24cm= =
30 cm
12 cm
G
Pasa dividiendo
4 Silaalturadeunrectángulomide8cm
y su área, 104 cm2, ¿cuánto mide la base?
5 Calcula el lado de un cuadrado sabiendo
que su área mide 256 cm2.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
9 Obtén el área y el perímetro del suelo de una
habitación rectangular de lados 3 m y 7 m.
10 Determina el área de una finca cuadrada
de lado 1 200 m.
174
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3.3 Área del rombo
El áreadeunrombo de diagonal menor d y diagonal mayor D es:
2
?
AD d
=
El área de un rombo con diagonal menor d y diagonal mayor D es la mitad del área deun rectángulo cuya base es d y altura D.
Las dos diagonalesde un rombo
son perpendiculares y se cortan ensu punto medio.
3.4 Área del romboide
ANTES, DEBES SABER…
Qué son la base y la altura de un romboide
• Labase de un romboide es cualquiera de sus lados.• Laaltura es un segmento perpendicular
a una base, trazado desde el vértice opuesto.
Altura
Base
El área de un romboide de base b yaltura h es igual al área de un rec-tángulo con base b y altura h.
El áreadeunromboide de base b y altura h es: A= b ? h
7 Halla el área de un rombo de diagonales 6 y 8 cm,
respectivamente.
Para calcular el área aplicamos la fórmula:
2?
AD d
= D = 8, d = 6-------"
2
8 624
?
A cm2
= =
8 Calcula el área de este romboide:
Para obtener el área aplicamos la fórmula:
A = b ? h b = 6, h = 4-------" A = 6 ? 4= 24 cm2
EJEMPLOS
8 cm
6 cm
b b
h hF
6 cm
4 cm
15 Determina el área de un romboide de base
8 cm y altura 5 cm.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
14 Halla el área de un rombo de diagonal mayor
24 cm y diagonal menor 18 cm.
6 Calcula el área de un romboide cuya base
mide 7 cm y su altura, 3 cm.
8 cm
5 cm
d
d
DDF
175
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Áreade un triángulo
ANTES, DEBES SABER…
Qué son la base y la altura de un triángulo
• Labase de un triángulo es cualquierade sus lados.
• Laaltura es un segmento perpendicular
a una base o a su prolongación, trazado
desde el vértice opuesto.
4
h
b
El área de un triángulo de base b y altura h es:
2
?
Ab h
=
En un triángulorectángulo podemosconsiderar uno de
los catetos como la basedel triángulo y el otro
como su altura.
El área de un triángulo de base b
y altura h es la mitad del área de unromboide de base b y altura h.
7 El área de un triángulo mide 48 cm2.Sisualtura
mide 8 cm, ¿cuánto mide su base?
8 El área de un triángulo mide 30 cm2, y la base
mide 12 cm. ¿Cuánto mide la altura?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
18 Determina el área de un triángulo de base
4 cm y altura 7 cm.
19 Calcula el área de un triángulo rectángulo
de catetos 6 cm y 7 cm.
Altura
9 Obtén el área de un triángulo con altura 3 cm y base 4 cm.
Aplicando la fórmula del área del triángulo:
2 2
4 36
? ?
Ab h
cm2
= = =
El triángulo tiene un área de 6 cm2.
3 Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos
catetos miden 3 cm y 4 cm, respectivamente.
2 2
3 46
? ?
Ab h
cm2
= = =
4 El área de un triángulo mide 10 cm2.Sisubasemide4cm,
¿cuánto mide su altura?
? ?
? ?
?
Ab h h
h h2
102
410 2 4
4
10 25 cm= = = = =" " "
G
Pasa dividiendo
EJEMPLOS
4 cm
3 cm
3 cm
4 cm
GG
176
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Áreade un trapecio
ANTES, DEBES SABER…
Cuáles son los elementos de un trapecio
• Labase mayor y la base menor deun trapecio son sus dos lados paralelos.
• Laaltura es un segmento perpendicular
a la base mayor, trazado desde el vértice
opuesto.
Si unimos dos trapecios iguales de base mayorB, base menor
by altura
h,obtenemos un romboide de base (B+ b) y altura h.
5
El áreadeuntrapecio de base mayor B, base menor b y altura h, es:
( ) ?
AB b h
2=
+
b b
B B
h h h
b B
B+ b
F
9 El área de un trapecio mide 92 cm2.Sisusbases
miden 13 cm y 10 cm, ¿cuánto mide su altura?
10 El área de un trapecio mide 38 cm2.Sisusbases
miden 12 cm y 7 cm, ¿cuánto mide su altura?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
23 Calcula el área de un trapecio de altura
7 cm, y bases de 3 cm y 5 cm.
24 En un trapecio rectángulo, las bases miden
4 cm y 7 cm, y la altura 4 cm. Determina el valor
del otro lado y su área.
EJEMPLOS
5 Calcula el área de este trapecio.
2( )
2(5 8) 4 26
? ?
A B b h cm2= + = + =
6 El área de un trapecio isósceles mide 55 cm2.Sisusbasesmiden8cm
y 14 cm, respectivamente, ¿cuánto mide su altura?
( ) ( )
( )
? ?
? ?
?
AB b h h
h h
255
2
8 14
55 2 8 148 14
55 25 cm
=+
=+
= + =+
=
"
" "
Base menor
Altura
Base mayor
5 cm
4 cm
8 cm
En un trapeciorectángulo la alturacoincide con uno de
los lados del trapecio.
Altura
177
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Áreade un polígono regular
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un polígono regular
Un polígono es regular si tiene todos sus ladosy todos sus ángulos iguales.
• Elsegmentotrazadodesdeelcentroalpunto
medio de un lado es la apotema del polígono regular.
6
13 Calcula el área de este pentágono regular:
Hallamos el perímetro del pentágono:
Perímetro = 5 ? lado = 5 ? 6 = 30 cm
Sustituyendo en la expresión general:
Áí ,
,? ?
2 230 4 1
61 5reaper metro apotema
cm2= = =
EJEMPLO
6 cm
4,1 cm
El áreadeunpolígonoregular de perímetro P y apotema a es:
?
AP a
2=
Área
del círculoANTES, DEBES SABER…
Qué es un círculo
Un círculo es la parte del plano limitada
por una circunferencia.
7
15 Calcula el área de un círculo de radio 3 cm.
Aplicamos la fórmula y sustituimos: A = rr2 = r ? 32 = 3,14 ? 9= 28,26 cm2
EJEMPLO
El áreadelcírculo de radio r es: A= rr 2
D i á
m e t r o
R a d i o
11 ¿Cuánto mide el área de un círculo cuyo radio
mide 6,5 cm?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
26 Obtén el área de un heptágono regular
de lado 6 cm y apotema 6,2 cm.
Apotema
G
178
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38 Obtén el área
de la zona verde.
12 El área de un triángulo mide 14 cm2.
Siseleañadeuncuadradodelado4cm,
¿cuánto mide el área de la nueva figura?
4 cm
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
37 Calcula el área de estas figuras.
a)
b)
Áreade una figura plana8
17 Calcula el área del polígono.
Esta figura se puede descomponer en dos
polígonos: el triángulo ABC y el trapecio CDEF .
Área del triángulo ABC ( )
,?
2
12 9 994 5 cm2
=+
=
Área del trapecio CDEF 2
(8 12) 440
?
cm2=
+=
Área total del polígono= 94,5+ 40= 134,5 cm2
18 Determina el área de la figura de la derecha con los datos que se indican.
Descomponemos la figura en:
– Cuerpo, la parte de abajo: un trapecio al que habrá que restar
el área del círculo que hay en su interior.
– Mástil: un rectángulo.
– Clavijero, la parte de arriba: otro trapecio.
( ) ( )
? ?
AB b h
2 2
40 10 38950 cm2
Cuerpo =+
=+
=
ACírculo = rr2 = r ? 62 = 113,04 cm2
AMástil = b ? h = 65 ? 10= 650 cm2
2
( )
2
(20 10) 18270
? ?
AB b h
cm2Clavijero =
+=
+=
El área total será la suma de las áreas menos el área del círculode la figura:
ATotal = 950- 113,04+ 650+ 270= 1 983,04 cm2
EJEMPLOS
A
B
C D
E
F
9 cm
9 cm
4 cm
8 cm 1 2 c m
40 cm
20 cm
18 cm
10 cm
38 cm
65 cm
12 cm
F
F
El área de una figura plana cualquiera se puede hallar descomponiendo lafigura en otras figuras cuyas áreas sepamos calcular.
4 cm 5 cm
2 cm 6 cm
8 cm 14 cm
17 cm9 cm4 cm
179
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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2. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR EL LADO DE UN POLÍGONO
Halla el lado
de estos polígonos.
a) b) c)
PRIMERO. Identificamos el triángulo rectángulo y sus medidas.
SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.
COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
Perímetro Área
A = r ? r 2
A = a ? b A = l2 A = b ? h
1. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR ALTURAS
Halla la altura de estos polígonos.
a) b) c)
PRIMERO. Identificamos el triángulo rectángulo y sus medidas.
SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.
a) 52 = 32 + h2 b) 102 = 82 + h2 c) 82 = 42 + h2
h2 = 52 - 32 h
2 = 102 - 82 h2 = 82 - 42
h2 = 16 " 16 4h cm= = h
2 = 36 " 36 6h cm= = h2 = 48 " 48 6,93h cm= =
HAZLO DE ESTA MANERA
a) 372 = 122 + b2
b2 = 372 - 122
b2 = 1225 35b 1225 cm= ="
b) l2 = 152 + 82
l2 = 289
l 289 17 cm= =
c) , ,l l
13 10 52 2
58 752 2
2 2
= + ="e e o o , 7,66 15,3
ll
258 75 cm= = ="
O
a
r
e
d
c
b
a
b
h
b
h h
b
b
d D
l
B
a
r
l
h
3 cm
5 cm h
16 cm
10 cm h
22 cm4 cm
14 cm
8 cm
l
1 3 c m
1 0 , 5
c m
b
12 cm 3 7 c m
P = a + b + c + d + e
L = 2 ? r ? r
l
16 cm
30 cm
G
G
2?
AD d
=
2?
Ab h
=2
( ) ?
AB b h
=+
2?
AP a
=
180
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3. CALCULAR EL ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
Comprende estas palabras
1. ¿Cuánto vale el área de un rectángulo cuyos
lados miden 3 cm y 5 cm?
2. ¿Cuál es el área de un círculo de radio 3 cm?
Utilizar el teorema de Pitágoras para calcularalturas
3. Halla la altura de un triángulo equilátero
de lado 8 cm.
4. Calcula el área de un trapecio rectángulocuyas bases miden 5 cm y 8 cm, y el ladooblicuo 5 cm.
Utilizar el teorema de Pitágoras para calcularel lado de un polígono
5. Si las diagonales de un rombo miden 40y 42 cm, respectivamente, ¿cuánto midesu lado?
6. Si la diagonal de un cuadrado mide 10 cm,¿cuánto mide su área?
Calcular el área de una figura plana
7. Calcula el área de esta figura:
8. Halla el área de la zona coloreada.
Y AHORA… PRACTICA
20 m
20 m
10 m
10 m
10 m5 m
5 m
Halla el área de esta figura.
PRIMERO. Descomponemos la figura en otras figuras
cuyas áreas sepamos calcular.
Esta figura está formada por:
• Un triángulo de base 4 cm y altura 3 cm.
• Un cuadrado cuyo lado mide 4 cm, y al que le quitamos
un círculo cuyo diámetro mide 4 cm.
ATotal = ATriángulo + ACuadrado - ACírculo
SEGUNDO. Calculamos cada una de las áreas.
ATriángulo = 2 2
4 3 6? ?b h cm2= =
ACuadrado= l2 = 42 = 16 cm2 ACírculo= r ? r2 = 3,14 ? 22 = 12,56 cm2
TERCERO. Sumamos y restamos para obtener el área total.
ATotal = ATriángulo + ACuadrado - ACírculo = 6+ 16- 12,56= 9,44 cm2
4 cm3 cm
181
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ActividadesPERÍMETRO
40. ● Dibuja cinco figuras planas que tengan 30 cm
de perímetro. Indica los datos que las definen.
41. ● Sobreunacuadrícula,dibujacincofigurasdistintas que se puedan formar con 5 cuadraditos.
Estasfigurassedenominanpentaminos.Sepide:
a) Obtén el perímetro de cada figura.
b) ¿Tienen todas la misma área?
42. ● ¿Cuánto mide cada uno de los lados de un
octógono regular si su perímetro es de 32 cm?
44. ●● Halla el perímetro de un rombo cuyas
diagonales son 12 y 16 cm, respectivamente.
45. ●● ¿Cuánto mide el perímetro y la diagonal
de un rectángulo de lados 12 cm y 16 cm?
46. ●● Calcula la diagonal
y el perímetro de un cuadrado
de lado 5 cm.
47. ●● Halla el lado y la diagonal de un cuadrado
de perímetro 40 cm.
48. ●● Silosladosdelrectángulomiden12cmy 8 cm, y los puntos E, F , G y H son los puntos
medios de los lados del rectángulo, calcula
el perímetro del rombo de la figura.
49. ● Obtén la longitud de las siguientes
circunferencias.
a) De 12 cm de radio.
b) De 10 cm de diámetro.
c) Si la tercera parte del radio es 5 cm.
50. ● La diagonal de un cuadrado inscrito en una
circunferencia mide 4 cm. Halla la longitud
de la circunferencia.
51. ●● Calcula el perímetro del cuadrado inscrito
en una circunferencia de radio 5 cm.
52. ●● Dado un cuadrado de 10 cm de lado, obtén:
a) La longitud de la circunferencia inscritaen el cuadrado.
b) La longitud de la circunferencia circunscritaen el cuadrado.
53. ● En una circunferencia de radio 12 cm, calcula
la longitud de los siguientes arcos.
a) 30° c) 90°
b) 60° d) 120°
54. ●● En una circunferencia, la longitud de un arco
de 270° es 628 cm. ¿Cuál será la longitud de
la circunferencia?
¿CÓMO SE CALCULA EL PERÍMETRODE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULOSI NO SE CONOCE UN LADO?
43. ¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo
rectángulo cuyos catetos son 3 cm y 4 cm?
PRIMERO. Se calculacuánto mide el ladodesconocido aplicandoel teorema de Pitágoras.
a2 = 33 + 42
9 16 25 5a cm= + = =
SEGUNDO. Se halla el perímetro.
P= 3+ 4+ 5= 12 cm
HAZLO ASÍ
3 cm
4 cm
5 cm
E
G
F H
4 cm
1 0 c m
182
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ÁREA DE PARALELOGRAMOS
55. ● Calcula el área de las siguientes figuras.
a) c)
b) d)
56. ●● Un cuadrado tiene una superficie de 3 600 m2.
¿Cuánto mide cada uno de sus lados?
57. ●● En un rectángulo de 320 cm2 de superficie,
uno de sus lados mide 20 cm. ¿Cuánto mide
el otro?
58. ●● Un rombo tiene un área de 400 cm2 y una
de sus diagonales mide 40 cm. ¿Cuánto medirá
la otra diagonal?
59. ●●Siunromboidetieneunáreade66cm2
y su altura mide 6 cm, ¿cuánto mide su base?
61. ● Obtén el área de las siguientes figuras.
a) c)
b) d)
13. ●● Calcula el área y el perímetro
de un rectángulo si su altura mide 8 cm
y su diagonal, 10 cm.
14. ●● ¿Cuánto mide el área y el perímetro de
un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 9 cm?
ÁREA DE UN TRIÁNGULO
64. ● Obtén el área de los siguientes triángulos.
a) Base= 5 cm y altura= 12 cm
b) Base= 8 dm y altura= 13 cm
c) Base= 5 dm y altura= 15 cm
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRIÁNGULOEQUILÁTERO CONOCIDO SU LADO?
15. Determina el área de un triángulo equilátero
cuyo lado mide 8 cm.
PRIMERO. Se identifica un triángulo rectángulo.
8 cm
SEGUNDO. Se calcula la altura del triángulo aplicandoel teorema de Pitágoras.
h2 = 82 - 42
h2 = 48 " 48 6,93h cm= =
TERCERO. Se calcula el área.
2 2
8 6,9327,72
? ?
Ab h
cm2= = =
¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN ROMBOCONOCIENDO SU LADO Y UNA DE SUSDIAGONALES?
60. Halla el área de un rombo
en el que una de las
diagonales mide 12 cm
y el lado 10 cm.
PRIMERO. Se calcula la diagonal desconocidaaplicando el teorema de Pitágoras.
OC= 12 : 2= 6 cm CD= 10 cm
CD2 = OC2 + OD2
10 6 64 8OD cm2 2
= - = =
Diagonal mayor= 2 ? 8= 16 cm
SEGUNDO. Se halla el área.
Área del rombo2 2
16 1296
? ?D d cm
2= = =
HAZLO ASÍ
12 cm
1 0 c m
O
D
B
C A
6 cm
1 0 c m
CO
D
10 cm
4 cm
6 cm
20 cm 2 0 c m
4 6 c m
18 cm
1 0 c m
7 cm
4 cm3 cm
6 cm
5 cm
8 cm
12 cmG
G
183
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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16. ● Halla el área de un triángulo equilátero cuyo
lado mide 6 cm.
17. ● Calcula el área de un triángulo rectángulo
sabiendo que su hipotenusa mide 17 cm y uno
de sus catetos, 15 cm.
65. ● En este triángulo
isósceles, calcula.
a) El perímetro del triángulo.
b) La altura del triángulo.
c) El área del triángulo.
66. ● En un triángulo isósceles, los lados iguales
AC y BC miden 20 cm, y la base AB tiene 24 cm
de longitud. Calcula su perímetro, su altura
y su área.
67. ● Halla el área de un triángulo equilátero
de perímetro 60 cm.
68. ●● Un triángulo isósceles tiene de perímetro
32 cm y la medida del lado desigual es 12 cm.
a) ¿Cuánto mide su altura?
b) ¿Cuál es su área?
70. ● Calcula la altura de un triángulo cuya
base mide 18 cm y su área 9 dm2.
71. ● Halla la altura de un triángulo de 2 cm de base
y 1 dm2 de área.
72. ● Determina la altura de un triángulo de 8 cm
de base y 64 cm2 de área. ¿Cómo es el triángulo?
73. ●● En un triángulo rectángulo isósceles,
el área mide 50 m2. Calcula la base y la altura.
ÁREA DE UN TRAPECIO
74. ● Las bases de un trapecio miden 0,8 dm y 7 cm.
¿Qué superficie tendrá, si la altura es 4 cm?
75. ● Las bases de un trapecio rectángulo miden
10 m y 15 m, y su altura 8 m. Calcula su área.
76. ● Halla el área de un trapecio rectángulo
de bases 8 cm y 12 cm, y de lado perpendicular
a las bases 5 cm.
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRAPECIOSI SU ALTURA ES DESCONOCIDA?
18. Calcula el área de este trapecio:
PRIMERO. Se identificaun triángulo rectángulo.
SEGUNDO. Se calcula la alturadel trapecio aplicandoel teorema de Pitágoras.
h2 = 102 - 62 " h2 = 64" 64 8h cm= =
TERCERO. Se calcula el área.
( ) (24 12) 8144
? ?
AB b h
2 2cm2
=+
=+
=
19. ● Calcula el área de un trapecio isósceles
sabiendo que sus bases miden 16 cm y 10 cm
y el otro lado, 5 cm.
ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES
82. ● Calcula el área de un pentágono regular
cuyo lado mide 20 cm y su apotema 13,76 cm.
83. ● Obtén el área de un hexágono regular cuyo
lado mide 25 cm y su apotema 21,65 cm.
84. ●● Halla el lado de un hexágono regular
de apotema 6 cm y área 124,7 cm2.
85. ●● Determina el perímetro de un heptágono
regular de área 215,75 dm2 y apotema 8 dm.
86. ●● Calcula la apotema de un octógono regular
de lado 56 cm y radio 73,17 cm.
87. ●● Halla el área de un decágono regular de lado
22,87 cm y radio 37 cm.
1 3 , 7
6 c m
20 cm
10 cm
12 cm
10 cm
C
A B
12 cm
24 cm
10 cm
6 cm
h
10 cmh
10 cm
184
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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ÁREA DEL CÍRCULO
20. ● Calcula el área de un círculo cuyo radio
mide 13 cm.
21. ●
¿Cuánto mide el área de un círculo cuyodiámetro mide 20 cm?
89. ●● Dada una circunferencia de 6 cm de diámetro:
a) Calcula su radio.
b) Dibuja la circunferencia y señala el círculo.
c) Halla el área del círculo.
90. ●● Considerando un círculo de 46 cm2 de área:
a) Calcula el radio y el diámetro.
b) Dibuja la circunferencia y señala el círculo.
c) Obtén la longitud de la circunferencia.
91. ● Determina el área de un círculo, sabiendo
que la longitud de la circunferencia que
lo delimita es 25,12 cm.
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
99. ●● Obtén el área de las zonas coloreadas.
a) b)
100. ●● Calcula
el área de
esta figura:
101. ●● Determina el área y el perímetro de las
siguientes figuras, y explica cómo lo haces.
a)
b)
PROBLEMAS DE ÁREAS
104. ● ¿Cuál es el área de
un tablero de ajedrez
si cada casilla tiene 25 mm
de lado?
105. ●● ¿Cuántas baldosas hay en un salón
cuadrado de 6 m de longitud si cada baldosa
es cuadrada y mide 20 cm de lado?
106. ●● Calcula cuánto medirá el lado
de una baldosa cuadrada que tiene de
superficie 324 cm2.
107. ●● ¿Cuánto costará empapelar una pared
cuadrada de 3,5 m de lado con un papel
que cuesta 4€/m2?
108. ●● Una habitación cuadrada tiene una
superficie de 25 m2.Sevaaponerunacenefa
alrededor que cuesta 2 €/m. ¿Cuánto valdrá?
109. ●● Plantamos árboles en un jardín cuadrado
de 256 m2deárea.Sicada4mseponeunárbol,
¿cuántos árboles se plantarán?
110. ●● ¿Cuántos árboles podremos plantar en un
terreno con forma de paralelogramo de 30 m
de largo y 32 m de ancho, si cada árbol necesita
una superficie de 4 m2?
111. ●● ¿Cuánto costará cubrir de plástico un
terreno en forma de rombo, con diagonales
de 68,65 m y 43,8 m si cuesta 30 €/m2?
112. ●●Sevaasembrarde césped un campo
de golf que tiene
forma de trapecio.
Susbasesmiden:
4 hm, 9 dam y 5 m,
y1hmy5m.Sisu
altura es de 80 m,
¿cuánto costará, si
sembrar un metro
cuadrado vale 2 €?
A B
10 cm
8 cm
A B
D C
16 cm
7 c m
8 cm
6 , 9 c
m
2 cm
3 cm
1 cm
185
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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2Poliedros y cuerposde revolución
1. ¿Quién fue Leonhard
Euler? ¿Cuáles fueron
sus aportaciones más
importantes al estudio
de las matemáticas?
2. ¿A qué episodio
de la vida de Euler
se refiere el texto?
¿Por qué Federico
el Grande lo apodó
cíclope matemático?
3. El texto hace
referencia
a la relación de Euler,
¿qué otros
descubrimientos
matemáticos
se le atribuyen a Euler
en el campo
de la geometría?
DESCUBRELA HISTORIA...
El cíclope matemático
La tensión se apreciaba en el rostro de
los presentes. La operación de cataratasparecía un éxito, pero la luz se fue apagandoy Euler se quedó ciego.
Euler, que a sus 59 años derrochaba vitalidad,era el menos afectado de todos y bromeabacontando anécdotas de su vida.
–Si Federico el Grande de Prusia me viera ahorano sabría cómo llamarme –decía Euler, puesel monarca lo llamaba el cíclope matemático,porque había perdido un ojo en su juventud.
Euler continuaba con sus bromas y afirmaba:–¡Ahora me llamaría Polifemo! –pero solo él rióun chiste que a los demás les pareció inoportuno.
Recuperando la seriedad, Euler se dirigióa su familia:
–No os preocupéis, la vista no lo es todo; de hechoahora evitaré distracciones y me concentraré más.Lo que sí lamento es no poder escribir o dibujar.
–No te preocupes por eso –le dijo su hijo–.Tú solo piensa y dicta, que yo estaré aquí paraescribir y dibujar lo que tú imaginas.
Esto ocurría en 1766 en San Petersburgo. Varios años antes, durante su estancia en Prusia,Euler publicó uno de sus trabajos más conocidos:la relación de Euler, que afirma que,en cualquier poliedro simple, el númerode caras más el de vértices es igualal número de aristasmás 2.
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Antes de empezar la unidad...
POLÍGONOS
Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos. Sus elementos son:
• Lados: segmentos que delimitan el polígono.• Vértices: puntos donde se unen dos lados.• Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos.• Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono.
Clasificación de polígonos
N.o de lados Nombre Regular Irregular
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Endecágono
12 Dodecágono
Vértice
D i a g o
n a l
Lado
Ángulointerior
En esta unidad
aprenderás a…
• Distinguir los elementos
de los poliedros y los
cuerpos de revolución.
• Calcular el número
de caras, aristas
y vértices de poliedros.
• Determinar cuerpos de
revolución a partir
de una figura plana.
PLAN DE TRABAJO
Para comprobarsi un polígono es regular
o irregular nosfijamos en sus lados
y sus ángulos.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Dibuja un polígono de siete lados e identifica sus elementos.
2 Clasifica estos polígonos según su número de lados.
187
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma depolígonos.
Poliedros2
2.1 Elementos de un poliedro
Los elementos de un poliedro son:
• Caras: son los polígonos que limitan el po-liedro.
• Aristas: son los lados de las caras.
• Vértices: son los puntos comunes de las aristas.
• Diagonal: es el segmento que une dos vérticesno consecutivos del poliedro. Puede trazarse en
una misma cara o entre distintas caras.
2.2 Desarrollo plano de un poliedro
El desarrollo plano de un poliedro es la superficie que resulta al exten-derlo sobre un plano.
D i a g o n a l
D i a g o n a l
A r i s t a
F
F
Vértices
EJEMPLO
1 Determina los elementos
de este poliedro.
F
Cara
AristaVértice
F
F
F
5 Cuenta el número
de vértices, caras
y aristas del poliedro.
1 Dibuja un poliedro cuyas caras sean todas
rectángulos.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Nombra y dibuja los elementos
de estos poliedros.
a) b)
BG
H E
C D
A F
188
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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9 Dibuja el desarrollo plano
de un prisma de base
cuadrada.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
8 Calcula el número de vértices,
aristas y caras de un prisma
cuya base es un hexágono.
Prismas
ANTES, DEBES SABER…
Qué son los paralelogramos y cómo se clasifican
Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dosa dos. Se clasifican en:
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
4 lados iguales 4 ángulos rectos 4 lados iguales Lados y ángulos 4 ángulos rectos iguales dos a dos
No tiene ángulos rectos.
Un prisma es un poliedro con dos caras iguales y paralelas entre sí ycuyas caras restantes son paralelogramos.
3.1 Elementos de un prisma
Los elementos de un prisma son:
• Bases o caras básicas: son dos polígonos igualessituados en planos paralelos.
• Caras laterales: son paralelogramos.
• Aristas básicas: son los lados de los polígonos delas bases.
• Aristas laterales: son los lados de las caras late-rales.
• Vértices: son los puntos en los que se cortan lasaristas.
• Altura de un prisma: es la distancia entre las bases.
3.2 Tipos de prismas
Para clasificar los prismas nos fijamos en los polígonos de las bases.
Prismatriangular
Prismacuadrangular
Prismapentagonal
3
Base
Altura
Vértice
Aristabásica
Aristalateral
G
G
Caralateral
G
G
G G
Desarrollo planode un prisma hexagonal
189
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Desarrollo planode una pirámide hexagonal
Pirámides
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se clasifican los triángulos
Según la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser:Equilátero
Tiene los tres ladosy los tres ángulosiguales.
Isósceles
Tiene dos ladosy dos ángulosiguales.
Escaleno
Tiene los tres ladosy los tres ángulosdesiguales.
Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono
cualquiera y el resto son triángulos que concurren en un punto.
4.1 Elementos de una pirámide
Los elementos de una pirámide son:
• Base: es un polígono cualquiera.
• Caras laterales: son triángulos que concurrenen un punto llamado vértice de la pirámide.
• Aristas básicas y aristas laterales: son las aris-tas de la base y de las caras laterales, respecti-vamente.
• Altura de la pirámide: es el segmento perpendi-cular trazado desde el vértice a la base.
4.2 Tipos de pirámides
Como en los prismas, para clasificar las pirámides nos fijamos en el polí-gono de la base.
Pirámidetriangular
Pirámidepentagonal
Pirámidehexagonal
4
Base
Vértice
Altura
Caralateral
G
G
G
G
3 Dibuja el desarrollo plano de las pirámides
del ejercicio anterior. ¿Cuántas aristas, vértices
y caras tienen?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
2 Dibuja una pirámide hexagonal y otra de base
triangular. ¿Tienen alguna característica
común?
190
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Poliedrosregulares
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un polígono regular
Un polígono es regular si tiene todos sus ladosy todos sus ángulos iguales.
Un poliedro es regular cuando cumple las siguientes condiciones:
• Todas sus caras son polígonos regulares, iguales en forma y tamaño.• En cada vértice concurre el mismo número de aristas.
5.1 Tipos de poliedros regulares
Solo existen cinco poliedros regulares.
5
TetraedroTiene 4 caras, que sontriángulos equiláteros.
Cubo
Tiene 6 caras, que soncuadrados.
OctaedroTiene 8 caras, que sontriángulos equiláteros.
Dodecaedro
Tiene 12 caras, que sonpentágonos regulares.
Icosaedro
Tiene 20 caras, que sontriángulos equiláteros.
F
F
F
F
F
El triángulo equiláteroes el único polígono regular
de tres lados, y el cuadrado,
el único polígono regularde cuatro lados.
5 Dibuja un cubo cuyas aristas miden 4 cm
y su desarrollo plano.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4 Dibuja en tu cuaderno un tetraedro
y su desarrollo plano.
191
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6.2 Cono
Un cono es un cuerpo geométrico engendrado por el giro de un trián-gulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
Elementos del cono
• Eje: es la recta determinada por el cateto sobre el que gira el triángulo.
• Altura: es la longitud del cateto sobre el que gira el triángulo.
• Generatriz: es la hipotenusa del triángulo.
• Base: es el círculo que se genera al girar el cateto perpendicular al eje.
• Radio: es el radio de la base, es decir, la longitud del cateto perpendicularal eje.
Desarrollo plano del cono
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un sector circularUn sector circular es la parte del círculo limitada
por dos radios y un arco.
El desarrollo de un cono está formado por un sector circular y un círculo:
• El radio del sector circular es la generatriz.
6.3 Esfera
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un semicírculoUn semicírculo es la mitad de un círculo.
Está limitado por un diámetro.
Una esfera es un cuerpo de revolución engendrado por un semicírculoque gira sobre su diámetro.
Elementos de la esfera
• Eje: es la recta determinada por el diá-metro sobre el que gira el semicírculo.
• Centro: es el centro del semicírculo.
• Radio: es el radio del semicírculo.
La esfera no tienedesarrollo plano.
Radio
G e n e
r a t r i z
A l t u r a
Ejede giro
Base
F
F
F
F
Radio
Centro
Ejede giro
F F
GG F
r
g
Desarrollo planode un cono
8 Dibuja un semicírculo y la esfera que genera
al girar.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
7 Dibuja un triángulo rectángulo y el cono que
genera al girar.
193
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
Prisma
Triangular Cuadrangular Pentagonal
Pirámide
Triangular Cuadrangular Pentagonal
Poliedros regulares
Tetraedro Octaedro Icosaedro Cubo Dodecaedro
Cilindro
Generatriz
Eje
Radio
F F
G
G
Cono
Generatriz
Eje
Radio
F F
G
F
EsferaEje F
G G F
Radio
Centro
F
HAZLO DE ESTA MANERA
1. IDENTIFICAR POLIEDROS
Identifica cuáles de estos cuerpos
geométricos son poliedros.
a) b) c)
PRIMERO. Decidimos si las caras son
polígonos. Si no lo son, no es un poliedro.
a) Rectángulos" Es un poliedro.
b) Triángulos" Es un poliedro.
c) Superficie curva"No es un poliedro.
SEGUNDO. Si es un poliedro, contamos
el número de bases:
• Si tiene dos bases es un prisma.
• Si tiene una base es una pirámide.
a) Dos bases" Es un prisma.
b) Una base" Es una pirámide.
2. IDENTIFICAR CUERPOS
DE REVOLUCIÓNIdentifica cuáles de estos cuerpos
geométricos son cuerpos de revolución.
a) b) c)
PRIMERO. Decidimos si las caras no son
planas. Si es así, es un cuerpo de revolución.
a) y b) Caras no planas" Es un cuerpo
de revolución.c) Rectángulos"No es un cuerpo
de revolución.
SEGUNDO. Si es un cuerpo de revolución,
contamos el número de bases:
• Si tiene dos bases es un cilindro.
• Si tiene una base es un cono.
a) Dos bases" Es un cilindro.
b) Una base" Es un cono.
194
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2. DETERMINAR EL CUERPO DE REVOLUCIÓN QUE GENERA UNA FIGURA PLANA
Halla el cuerpo de revolución que genera esta figura
al girar alrededor de su eje.
PRIMERO. Dibujamos una figura simétrica respecto del eje.
SEGUNDO. Damos volumen a esa figura, teniendo en cuenta
que en la superficie lateral de la figura no hay polígonos.
Comprende estas palabras
1. Dibuja un prisma triangular y un cono.
Identificar cuerpos geométricos
2. Identifica los siguientes cuerpos geométricos.
Calcular el número de caras, aristas y vértices
de prismas y pirámides2. Determina el número de caras,
aristas y vértices de este
poliedro:
Determinar el cuerpo de revoluciónque genera una figura plana
3. Dibuja el cuerpo de revolución
que determina esta figura
al girar sobre su eje.
Y AHORA… PRACTICA
1. CALCULAR EL NÚMERO DE CARAS, ARISTASY VÉRTICES DE PRISMAS Y PIRÁMIDES
Calcula el número de caras, aristas y vértices de estos poliedros.
PRIMERO. Contamos las caras, aristas y vértices de las bases del poliedro.
a) Bases: dos pentágonos"
é
?
?
2
2 5 10
2 5 10
caras
aristas
v rtices
=
=
*
b) Base: un hexágono
é
1
6
6
cara
aristas
v rtices
*SEGUNDO. El número de caras laterales es igual que el de lados de la base.
El número de aristas es el mismo que el de vértices de la base, y solo en el caso
de la pirámide hay que añadir un vértice más, el vértice de la pirámide.
a)5
5Prismapentagonal
caras
aristas" ( b) á
é
6
6
1
ir mide hexagonal
caras
aristas
v rtice" *
TERCERO. Sumamos el número de caras, aristas y vértices obtenido en los pasos anteriores.
a) Caras = 2+ 5= 7 b) Caras = 1+ 6= 7
Aristas = 10+ 5= 15 Aristas = 6+ 6= 12
Vértices= 10 Vértices= 6+ 1= 7
a) b)
195
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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ActividadesPOLIEDROS
31. ● Determina cuáles de estos cuerpos
geométricos son poliedros.
a)
c)
e)
g)
b)
d)
f)
h)
32. ● Dibuja un poliedro que tenga una base que sea
un pentágono.
33. ● Un cuerpo geométrico cuya base sea
un círculo, ¿puede ser un poliedro?
34. ●● Observa la figura.
a) ¿Cuántos vértices, aristas y caras existen?
35. ●● Justifica si es verdadero o falso.
a) Un poliedro puede tener el mismo número
de vértices y de aristas.
b) Un poliedro puede tener igual número
de caras que de aristas.c) Un poliedro puede tener el mismo número
de caras y de vértices.
36. ●● Dibuja un poliedro con hexágonos
y rectángulos. ¿Cuántas caras se unen
en un vértice?
37. ●● ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene
un poliedro formado por dos triángulos
y tres rectángulos?
PRISMAS
38. ● Determina cuáles de estos poliedros
son prismas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
39. ● Dibuja un prisma de base triangular.
HAZLO ASÍ
¿Cómo se obtiene el desarrollo plano de un prisma con base un polígono regular?
9. Dibuja el desarrollo plano de este prisma.
PRIMERO. Se identifica el polígono que forma las bases
del prisma.
En este caso, las bases son cuadrados.
SEGUNDO. Se dibuja una de las bases y sobre ella
se traza uno de los paralelogramos que forman
las caras laterales.
TERCERO. A continuación, se añade la otra base y
se dibuja el resto de paralelogramos de las caras,
iguales al que ya se ha dibujado.
196
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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40. ● Dibuja el desarrollo de un prisma triangular
cuya base es un triángulo equilátero
de lado 4 cm.
41. ● Dibuja el desarrollo plano de un cubo
de lado 3 cm.
10. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma cuyas
bases sean cuadrados de 2 cm de lado, y su
altura mida 3 cm.
11. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma de
bases pentagonales y cuya altura mida 4 cm.
12. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma de
bases hexagonales y altura 5 cm.
42. ● Calcula el número de vértices, aristas y caras
de un prisma cuyas bases son octógonos.
13. ●● Si el número de aristas de un prisma es 21,¿qué polígonos forman las bases?
14. ●● El número de vértices de un prisma es 20.
¿Qué polígonos forman sus bases?
15. ●● El número total de caras de un prisma es 18.
¿Qué polígonos forman sus bases?
45. ● Sabiendo que el número de vértices
de un prisma es 20, ¿cuántas caras tiene?
46. ● Un prisma tiene 10 vértices. ¿Puedes indicar
cómo son los polígonos de las bases?
Si es posible, hazlo.
47. ●● Calcula
la superficie de metal
necesario para
construir esta caja
con forma de prisma
regular hexagonal.
PIRÁMIDES
48. ● Determina cuáles de estos poliedros son
pirámides.
a) c) e)
b) d) f)
49. ● Dibuja una pirámide de base cuadrangular.
16. ● Dibuja una pirámide cuya base sea un
pentágono e identifica todos sus elementos.
17. ● Dibuja una pirámide con cinco caras que sean
triángulos isósceles. ¿Qué polígono forma
su base?
6 cm12 cm
G
¿CÓMO SE DETERMINAN LOS POLÍGONOS QUEFORMAN LAS BASES DE UN PRISMA, SABIENDOSU NÚMERO DE CARAS, ARISTAS O VÉRTICES?
43. Determina, en cada caso, los polígonos
que forman la base de los siguientes prismas.
a) Número de vértices= 10
b) Número de caras= 9
c) Número de aristas= 18
PRIMERO. Se analiza el número de vértices, caras
y aristas.
• El número total de vértices es el de las dos bases.
a) Cada base tiene:2
105= vértices
• El número total de caras corresponde
a las caras laterales más las dos bases.
b) Número de caras laterales: 9- 2= 7
• El número total de aristas es el de las dos bases
más el de las caras laterales, que es igual
al de las bases.
c) La base tiene:3
186= aristas
SEGUNDO. Se estudia el resultado.
N.º de vértices de la base=N.º de caras laterales=
=N.º de aristas de la base
a) N.º de vértices de la base= 5 " Pentágono
b) N.º de caras laterales= 7 ---" Heptágono
c) N.º de aristas de la base= 6 -" Hexágono
HAZLO ASÍ
197
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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52. ●● Averigua el polígono que forma la base
de una pirámide en los siguientes casos.
a) 12 aristas y 7 vértices.
b) 8 caras laterales.
c) 8 aristas y 5 vértices.
d) 9 caras laterales y 10 vértices.
e) 20 aristas.
f) 13 vértices.
g) 10 caras laterales.
h) 13 caras en total y 24 aristas.
53. ●● Una pirámide tiene 7 vértices. ¿Cuántos lados
tendrá el polígono de la base?
54. ●● Entre los poliedros regulares, ¿hay alguna
pirámide?
55. ●● Sabiendo que el número de vértices de una
pirámide es 11 y el número de aristas es 20,
¿cuántas caras tiene en total?
56. ●● ¿Cuál es el mínimo número de aristas
de una pirámide?
57. ●● ¿Cuál de estas afirmaciones es falsa?
a) En una pirámide, todas sus caras laterales
y su base son triángulos equiláteros.
b) La base de una pirámide puede ser un polígono
cualquiera.
58. ●● Dibuja el desarrollo de una pirámide
cuya base sea un triángulo isósceles. Describe
la relación entre sus caras laterales.
59. ●● ¿Existe alguna pirámide cuyas caras laterales
sean todas triángulos rectángulos?
60. ●● ¿Cuál es el mínimo número de vértices
y de caras de una pirámide?
POLIEDROS REGULARES
61. ● En el siguiente dibujo hay
un cubo y, en su interior, un
octaedro cuyos vértices están
situados en el punto medio
de cada cara del cubo.
Completa la tabla.
Caras
Aristas
Vértices
Cubo Octaedro
18. ● Dibuja el desarrollo plano de un octaedro.
19. ● ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un
tetraedro? ¿Y un dodecaedro? Dibuja sus
desarrollos planos.
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
65. ● Determina cuáles son cuerpos de revolución.
a) c) e)
b) d) f)
¿CÓMO SE DETERMINA EL POLÍGONOQUE FORMA LA BASE DE UNA PIRÁMIDE, SABIENDOSU NÚMERO DE CARAS, ARISTAS O VÉRTICES?
51. Determina, en cada caso, el polígono queforma la base de las siguientes pirámides.
a) Número de vértices= 10
b) Número de caras= 9
c) Número de aristas= 18
PRIMERO. Se analiza el número de vértices, caras
y aristas.
• El número total de vértices es el de la base más
uno.
a) Número de vértices de la base: 10- 1= 9
• El número total de caras es el de las caras
laterales más uno.b) Número de caras laterales: 9- 1= 8
• El número total de aristas es el de la base más
el de las caras laterales, que es el mismo.
c) La base tiene:2
189= aristas
SEGUNDO. Se estudia el resultado.
N.º de vértices de la base=N.º de caras laterales=
=N.º de aristas de la base
a) N.º de vértices de la base= 9 " Eneágono
b) N.º de caras laterales= 8 "Octógono
c) N.º de aristas de la base=
9"
Eneágono
HAZLO ASÍ
198
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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66. ● Dibuja los cuerpos que se generan al girar
las siguientes figuras en torno a los ejes
indicados.
a) b) c)
67. ●● Dibuja los polígonos y el eje de estas figuras
de revolución.
a) b)
HAZLO ASÍ
¿Cómo se obtiene el desarrollo plano de un cilindro?
20. Dibuja el desarrollo plano de este cilindro.
PRIMERO. Se calcula la longitud de la circunferenciade la base.
L = 2rr = 2 ? 3,14 ? 3= 18,84 cm
SEGUNDO. Se dibuja un rectángulo cuya altura es
la generatriz del cilindro y la base es la longitud
de la circunferencia de la base.
TERCERO. Se añaden los dos círculos que forman
las bases, unidos por un punto, cada uno,
al rectángulo.
21. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro
cuya altura sea 4 cm.
22. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro si
su altura mide 6 cm y el radio de su base, 3 cm.
23. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro
sabiendo que su generatriz mide 5 cm y el radio
de su base, 2 cm.
71. ●● Dibuja el desarrollo de un cilindro cuya altura
mide 12 cm y el radio de la base 6 cm.
72. ●● Dibuja el desarrollo de un cono con radio de
la base 4 cm y altura 8 cm.
73. ●● ¿Cuánto vale la altura de un cono cuyo radio
de la base mide 8 cm y la generatriz 10 cm?
PROBLEMAS CON CUERPOSGEOMÉTRICOS
74. ●● El cilindro de cartón de un rollo de papel tiene
un radio de 2,3 cm y un ancho de 24 cm.
¿Qué dimensiones tiene el cartón?
G
F
2,3 cm
G
2 4 c m
75. ●● Un orfebre ha realizado un brazalete cilíndrico
cuyo exterior quiere cubrir de plata. El radio
del brazalete es de 3 cm y su altura de 4 cm.
¿Qué área tiene que cubrir de plata?
76. ●● Lola pinta joyeros de madera. Hoy ha pintado
dos joyeros como el de la figura. ¿Qué área
ha pintado en total?
6 cm
6 cm
10 cmG
6 cm
77. ●●● Delia trabaja en una fábrica donde hacen
latas cilíndricas de conservas. Si las latas tienen
un área de 500 cm2 y un radio de 5 cm,
¿cuál es su altura?
199
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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13
1. Busca información
sobre la vida de María
Gaetana Agnesi,
matemática que vivió
en el siglo XVIII.
2. María Agnesi
estudió con detalle
una curva llamada,
debido a una malatraducción, la bruja
de Agnesi. Investiga
cómo se genera dicha
curva y describe sus
propiedades.
3. Averigua qué otros
trabajos realizó María
Agnesi relacionados
con las matemáticas.
DESCUBRELA HISTORIA...
La bruja de Agnesi
Los ágiles dedos acariciaban las cuerdasy arrancaban dulces sonidos al arpa.María Agnesi se relajó por un momento.Oír a su hermana Teresa tocar el arpahacía que se olvidara de todo, y que soloexistieran notas y compases.
Después de concluir la pieza, Teresale preguntó a su hermana por su enfadoy esta le contestó:
–Esta mañana ha vuelto a suceder: unode mis alumnos de la universidad ha vueltoa llamarla la bruja de Agnesi.
–María –le cortó su hermana–, olvidaya esa historia. Nadie tiene la intenciónde ofenderte al nombrar la gráfica así.
–¡Pero lo hacen! –dijo María–. La culpala tiene el traductor que al traducir mi libroal inglés llamó a la curva la bruja de Agnesi,y han terminado llamándomelo a mí.
Actualmentea esta gráfica
se le sigue llamandola bruja de Agnesi,en honor de MaríaGaetana Agnesi,que fue la primeramujer en impartirclases en unauniversidad.
1
2
1
X
Y
Funcionesy gráficas
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Antes de empezar la unidad...
En esta unidadaprenderás a…
• Usar las coordenadas
cartesianas para
representar puntos.
• Hallar las coordenadas
de un punto del plano.
• Interpretar gráficas
de funciones.
PLAN DE TRABAJO
COMPARACIÓN DE NÚMEROS
Números enteros
De dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.Comparamos -5 y -8:
8 8
| |
| |
5 55 8 5 8< >
- =
- =- -" "3
Números decimales
• Paracompararnúmerosdecimalespositivosloscomparamosunidadaunidad.Es mayor el número que tiene mayor parte entera. Si esta es igual, es mayor el número con mayor partedecimal, comparada cifra a cifra.
Comparamos 6,25 y 6,28:
6,25 6,28 " 5 < 8 " 6,28 > 6,25=
=<
•Silosnúmerosdecimalessonnegativos,comparamossus valores absolutos. Es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Comparamos -6,25 y -6,28:
, ,, , , ,
| |6 25 6 256 25 6 28 6 25 6 28< >
- =- -" "
6,28 6,28| |- =3
Fracciones
Para comparar fracciones las expresamos como números decimales.
Comparamos4
3-y
2
1-:
, ,4
30 75
2
10 5
-
=-
-
=-
| , | ,, , , ,
0 75 0 750 5 0 75 0 5 0 75
2
1
4
3< > >
- =- -
- -" " "
| , | ,0 5 0 5- =2
El mayor de dosnúmeros es el que está
situado más a la derechaen la recta numérica.
-10 -8 -5 0
6,28 6,36,256,2
-6,25 -6,2-6,28-6,3
0-1
4
3-
2
1-
EVALUACIÓN INICIAL
1 Ordena estos números enteros de mayor a menor.
5 -5 7 13 -7 8 -13 -8 6 -6
2 Ordena estos números decimales de mayor a menor.
7,25 -7,48 -7,09 8,48 -7,7 8,84
3 Ordena estos números de mayor a menor.
0,52
1-4 1,25 -3
4
3 -2
201
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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3 El punto A está situado a la derecha de cero.
¿Qué afirmación es correcta?
a) A es positivo.
b) A es negativo.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Representa los siguientes números en una recta
horizontal:-1, 5, 7 y -4.
2 Representa estos números en una recta vertical:
-8, 5, 7 y-4.
Rectasnuméricas1
Para representar un número en una recta numérica se marca un punto dereferencia, al que llamamos origen y al cual le hacemos corresponder elnúmero 0. A continuación, se elige una unidad y se desplaza.
• Sidibujamoslarectadeformahorizontal,losnúmerosconsignopositivo se colocan ordenados a la derecha del cero y los negativosa la izquierda.
• Siladibujamosdeformavertical,losnúmerospositivossecolocanpor encima del cero y los negativos por debajo, respetando siempreel orden natural.
ANTES, DEBES SABER…
Qué son fracciones propias e impropias
Una fracción es propia cuando el numerador
es menor que el denominador, y es impropia 5
3"Propia
5
7"Impropia
cuando el numerador es mayor.
EJEMPLO
1 Representa los números -2, 4 y4
9en una recta horizontal.
Para representar -2, partiendo del 0, contamos 2 unidades
a la izquierda, por ser un número negativo. Para representar 4, partiendo
del 0, contamos 4 unidades a la derecha, por ser un número positivo.
0-2 -1-3-4 1 2 3 4
Para representar4
9, como es una fracción impropia, la descomponemos
como suma de un número natural más una fracción propia.
9 4
1 2 "
4
92
4
1= +
Dividimos la unidad comprendida entre 2 y 3 en tantas partes como indica
el denominador de la fracción propia, 4, y tomamos tantas partes como
indica el numerador, 1.
0-2 -1-3-4 1 2 3 44
9
876543210-1-2-3-4-5-6-7-81444444424444444314444444244444443
Números enteros negativos Números enteros positivos
Las rectas numéricasse pueden representarde forma horizontal
o vertical.
202
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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7 Señala cinco puntos con:
a) Abscisa -2. c) Igual abscisa y ordenada.
b) Ordenada -2.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
6 Dibuja unos ejes de coordenadas, y colorea
de azul el eje de abscisas, y de rojo,
el de ordenadas.
Coordenadascartesianas2
ANTES, DEBES SABER…
Qué son rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si al cortarseforman cuatro ángulos rectos.
Para representar puntos en el plano se utilizan dos rectas numéricas per-pendiculares, denominadas ejes de coordenadas.
Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por:
• Eje de abscisas, que es la rectahorizontal y se representa por X .
• Eje de ordenadas, que es la rectavertical y se representa por Y .
• Origen de coordenadas, que esel punto de corte de los ejes yse representapor O. El origen decoordenadas coincide con el 0de ambasrectasnuméricas.
Un punto P del plano queda determinado por un par de números, (a, b),llamados coordenadas cartesianas del punto P, y se escribe P(a, b).
• El número a es la abscisa del punto P y se mide en el eje horizontal.
• El número b es la ordenada del punto P y se mide en el eje vertical.
• El punto O representa el punto (0, 0).
Los ejes de coordenadas dividen el plano encuatro partes, cada una de las cuales se llamacuadrante.
EJEMPLO
1 Escribe las coordenadas
de este punto.
Abscisa: 5 a la izquierda del origen
Ordenada: 3 por encima del origen
Por tanto, A(-5, 3).
Segundo
cuadrante
Primer
cuadrante
Tercer
cuadrante
Cuarto
cuadrante
Y
P(a, b)b
aO X
Eje de
ordenadas
Eje de
abscisas
Origen de
coordenadas
F
• Si la abscisa es positiva,
el punto está a la derecha
del origen de coordenadas,
y si es negativa, a la
izquierda.
• Si la ordenada es positiva,
el punto está por encimadel origen de coordenadas,
y si es negativa, por debajo.
DATE CUENTA
X
Y
1
1
A
203
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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2.1 Puntos del primer cuadrante
Un punto P(a, b) del primer cuadrante tiene la abscisa, a, positiva y laordenada, b, positiva.
EJEMPLO
2 Representa el punto A(2, 3).
• La primera coordenada x = 2
es positiva: nos desplazamos
2 unidades a la derecha.
• La segunda coordenada y = 3
también es positiva:
nos desplazamos 3 unidades hacia
arriba, desde la abscisa anterior.
2.2 Puntos del segundo cuadrante
Un punto P(a, b) del segundo cuadrante tiene la abscisa, a, negativa y laordenada, b, positiva.
EJEMPLO
3 Representa el punto B(-2, 3).
• La primera coordenada x = -2
es negativa: nos desplazamos
2 unidades a la izquierda.• La segunda coordenada y = 3
es positiva: nos desplazamos
3 unidades hacia arriba, desde
la abscisa anterior.
Y
XO
A(2, 3)
2
3
Y
X
3
-2 O
B(-2, 3)
Al representar puntosque están escritos
en coordenadascomenzamos siempre
a contar desdeel origen.
13 Indica las
coordenadas
cartesianas
de estos puntos:
¿Qué característica común tienen los puntos
del primer y segundo cuadrantes?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
10 Representa los siguientes puntos e indica
en qué cuadrante se encuentran.
A(-2, 5) B (3, 5) C(7, 2) D(-4, 5)
11 Representa los puntos y señala su cuadrante.
A(-3, 1) B (5, 3) C(-1, 3) D(5, 4)
12 Indica, sin representarlos, el cuadrante
en el que se sitúa cada punto.
A(-8, 3) B (5, 10) C(-7, 2) D(4, 6)
Y
AB
C
D
O X
1
1
204
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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2.3 Puntos del tercer cuadrante
Un punto P(a, b) del tercer cuadrante tiene la abscisa, a, negativa y laordenada, b, negativa.
EJEMPLO
4 Representa el punto A(-2,-3).
• La primera coordenada x = -2
es negativa: nos desplazamos
2 unidades a la izquierda.
• La segunda coordenada y = -3
también es negativa:
nos desplazamos 3 unidades hacia
abajo, desde la abscisa anterior.
2.4 Puntos del cuarto cuadrante
Un punto P(a, b) del cuarto cuadrante tiene la abscisa, a, positiva y laordenada, b, negativa.
EJEMPLO
5 Representa el punto B(2,-3).
• La primera coordenada x = 2
es positiva: nos desplazamos
2 unidades a la derecha.• La segunda coordenada y = -3
es negativa: nos desplazamos
3 unidades hacia abajo, desde
la abscisa anterior.
17 Indica las
coordenadas
de los puntos.
¿Qué característica común tienen los puntos
del tercer y cuarto cuadrantes?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
14 Representa los siguientes puntos en el plano,
e indica en qué cuadrante se encuentran.
A(-1, 5) B(-2, 5) C(-7, -2) D(4, -5)
15 Representa los puntos en el plano y señala
su cuadrante.
A(-3, -1) B(5, -10) C(-3, -3) D(-6, 4)
16 Indica, sin representarlos, el cuadrante
en el que se sitúa cada punto.
A(-8, 3) B(8, -2) C(-7, -3) D(4, 6)
-2
-3
O
A(-2, -3)
Y
X
El ordende las coordenadas
es importante. No es igualel punto (-4, 3)
que el punto (3, -4).
Y
A
B C
DO X
1
1
2
-3
Y
XO
B(2, -3)
205
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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2.5 Puntos sobre los ejes de coordenadas
Los puntos que están situados sobre eleje X son de la forma (a, 0), es decir,su ordenada es 0.
Si la coordenada a es positiva, están a
la derecha del origen de coordenadas,y si es negativa, a la izquierda.
Los puntos que están situados sobre eleje Y son de la forma (0, b), es decir,su abscisa es 0.
Si la coordenada b es positiva, estánpor encima del origen de coordenadas,y si es negativa, por debajo.
EJEMPLO
6 Representa los puntos A(2, 0), B(-4, 0), C(0, 2) y D(0, -3).
A(2, 0) " Nos desplazamos 2 unidades
a la derecha, x = 2.
La ordenada es cero, y = 0.
El punto A se sitúa
en el mismo eje de abscisas.
B(-4, 0) " Nos desplazamos 4 unidades
a la izquierda, x = -4.
La ordenada es cero, y = 0.
El punto B se sitúa en el mismo
eje de abscisas.
C(0, 2) " La abscisa es cero, x = 0.
Nos desplazamos 2 unidades
hacia arriba, y = 2.
El punto C se sitúa en el mismo
eje de ordenadas.
D(0, -3) " La abscisa es cero, x = 0.
Nos desplazamos 3 unidades
hacia abajo, y = -3.
El punto D se sitúa en el mismo
eje de ordenadas.
izquierda derecha
O (+, 0)(-, 0)
Y
X
arriba
abajoO
(0, -)
(0, +)Y
X
C(0, 2)
D(0, -3)
O X
Y
Y
O X
B(-4, 0) A(2, 0)
2-4
20 Indica, sin representarlos, sobre qué eje
se encuentra cada punto.
A(0, 2) C(0, -1)
B (-1, 0) D(-7, 0)
21 ¿Existe algún punto que se sitúe en los dos ejes
simultáneamente? ¿Qué punto es?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
18 Representa los siguientes puntos en el plano:
A(-1, 0) C(7, 0) E(0, -1) G(0, 3)
B(0, 5) D(0, -3) F (5, 0) H(-10, 0)
19 Escribe tres puntos situados en el eje X
de abscisa positiva, y otros tres en el eje Y de
ordenada negativa.
206
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Funciones3
3.1 Concepto de función
Se denomina función a la relación que asocia a cada valor de una mag-nitud un único valor de otra magnitud.
Si representamos los pares de valores que obtenemos en un sistema decoordenadas obtenemos la representación gráfica de una función.
3.4 Expresión de una función mediante una gráfica
La gráfica de una función es la representación del conjunto de puntosque define a esa función.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se construye una tabla numérica
A partir de unos datos obtenemos otros que cumplen una condición.
Número 1 2 3 4
Su triple 1 ? 3 = 3 2 ? 3 = 6 3 ? 3 = 9 4 ? 3 = 12
Para representar una función se forma una tabla con algunos de sus valo-res. Después, tomando esos pares de valores como puntos se representanen unos ejes de coordenadas.
En ocasiones, también tiene sentido unir los puntos obtenidos.
EJEMPLO
16 Cristina está enferma. Su madre le ha tomado la temperatura cada dos
horas y ha anotado los resultados en una tabla.
Variable x (hora)
Variable y (temperatura en °C)
10
37
12
39
14
38
16
38
18
36
20
38
Representa los resultados en una gráfica.
Los puntos a partir de la tabla son:
(10, 37), (12, 39), (14, 38), (16, 38),
(18, 36) y (20, 38)
Representamos estos puntos en un
sistema de coordenadas y los unimosmediante rectas. En este caso tiene
sentido unirlos porque a cada momento del
día (hora) le corresponde una temperatura.
Cuando los valores quetoma una de las magnitudesde la tabla son demasiado
grandes, para representarsus puntos sobre los ejesse hace de esta forma:
Esto significa que enel eje Y , por debajo de 40,
hay una parte de eje dela que hemos prescindido.
Y
X
40
Y
X
39
38
37
36
10 12 14 16 2018
T
e m p e r a t u r a ( ° C )
Hora
Una magnitud es cualquiercaracterística que se puede
medir y expresar mediante
una cantidad o un número.
RECUERDA
22 Asocia a cada número natural del 1 al 9
su doble, y halla los pares de coordenadas
que resultan. Construye una gráfica con ellos.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
1 Construye una tabla que relacione cada número
del 1 al 10 con su mitad, y escribe los puntos
que se obtienen.
207
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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41 La gráfica muestra los asistentes a una obra de
teatro los siete primeros días desde el estreno.
b) ¿Qué día hubo más asistentes? ¿Y menos?
42 Construye una gráfica con la temperatura
de tu ciudad durante una semana e interprétala.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
40 Esta gráfica representa el número
de barras de pan que se han vendido en una
panadería durante los primeros nueve meses
del año.
Realiza una interpretación de esta gráfica.
Interpretación de gráficas4
Observandouna gráfica podemosextraer rápidamente
información sobrelas magnitudesque representa.
Interpretar una gráfica es extraer información de ella a través de suestudio, de izquierda a derecha.
EJEMPLOS
17 Interpreta esta gráfica, que representa el tiempo empleado por dos
autobuses en realizar una vez su trayecto.
Los autobuses A y B están a la misma
distancia del eje vertical, y tardan
lo mismo en realizar su trayecto,
20 minutos. Sin embargo, el autobús A
está más alejado del eje horizontal
que el autobús B.
Es decir, el autobús A recorre
más distancia, 15 km, que
el autobús B, que recorre 5 km.
18 Interpreta esta gráfica, que representa las reservas de agua
de un pantano durante el último año.
Las reservas de agua del pantano
crecen durante el invierno y alcanzan
su punto máximo en la primavera,
en el mes de mayo.
Las reservas decrecen durante
el verano, desde mayo hasta septiembre,
llegando a su punto mínimo durante
el mes de septiembre. A partir de estepunto, las reservas del pantano vuelven
a crecer hasta situarse en diciembre a un
nivel similar con el que comenzó el año.
Y
X
80
60
40
20
E F M A M J J A S O N D
R e s e r v a s ( % )
Meses
Y
X
20
15
10
5
5 10 15 20 25 30
D i s t a n c i a ( k m )
A u t o b ú
s A
A u t o b ú s
B
Tiempo (min)
5
4
3
2
1
Meses
N . º
d e b a r r a s ( e n m i l e s )
FE M A M Jn Jl A S X
Y
Y
250
200
150
100
50
X1 2 3 4 5 6 7
208
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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44 Representa el texto mediante una gráfica.
Tomás salió a pasear a las 18:00 h.
A las 18:30 h se encontró con Juan y se detuvo media hora.
Luego siguió andando hasta que a las 19:30 h
llegó a una ermita. Allí decidió pararse
a descansar durante una hora. Después,
regresó a su casa: tardó una hora en llegar
y no hizo ninguna parada en el camino.
45 Realiza una gráfica que represente el trayecto
que realizas para ir al instituto.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
43 Representa este enunciado mediante
una gráfica.
Cuatro amigos van de excursión.
• El primero de ellos recorre 6 kilómetros
en 75 minutos.
• El segundo recorre 4 kilómetros y tarda
60 minutos.
• El tercero tarda lo mismo que el primero,
y el cuarto tarda lo mismo que el segundo.
Razona si tiene sentido unir los puntos
que obtienes.
Al representar mediante gráficas la información extraída de un enunciado,debemos tener en cuenta los puntos que pertenecen a dicha gráfica y siestos se pueden unir o no.
EJEMPLOS
19 Representa este enunciado mediante una gráfica, y decide si es posible
unir los puntos que obtienes o no.
El número de clientes de un restaurante durante la semana ha sido: el primer
día 20 clientes, el segundo y el tercero 30 clientes cada día, el cuarto
el mismo número de clientes que el primero. El quinto día cerraron
por descanso, y el f in de semana solo hubo 10 clientes cada día.
No tiene sentido unir los puntos, ya que
no podemos afirmar que en cierto
momento hubo 10,5 clientes
o 12,33 clientes.
20 Representa este enunciado mediante una gráfica.
El domingo fuimos a la casa
de mis abuelos, que está situada
a 150 km.
Partimos a las 9:00 h y a las 10:30 h
paramos a desayunar durante media hora.
A las 12:00 h entramos en la ciudad,
y nos detuvimos a hablar conun amigo. Llegamos finalmente
a la casa de mis abuelos a las 12:30 h.
En este caso hay que unir los puntos porque se puede determinar,
por ejemplo, a qué distancia se encontraban a las 11:30 h.
No siemprese pueden unir los puntos
de una gráfica.
Y
X9 10 11 12
D i s t a n c i a ( k m )
Hora del día
150
125
100
75
50
25
Y
30
20
10
X1 2 3 4 65 7
N . º
d e c l i e n t e s
Día de la semana
209
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS
2. CALCULAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO REPRESENTADOEN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
PRIMERO. Trazamos una recta
perpendicular al eje X que pase
por el punto. El punto de corte
de esta recta con el eje X es
la primera coordenada del punto.
SEGUNDO. Trazamos una recta
perpendicular al eje Y que pase
por el punto. El punto de corte
de esta recta con el eje Y es
la segunda coordenada del punto.
Los puntos representados son:
A(3, 2), B(-1, 3) y C(-4, -2).
Determina las coordenadas de estos puntos.
PuntoPrimera
coordenada
AB
C
3-1
-4
PuntoSegunda
coordenada
A
B
C
2
3
-2
Sistema de coordenadas cartesianas
B A
C
X
Y
O
1
1
A (a, b)
O
Eje de
ordenadas
Origen de
coordenadas
Eje de
abscisas
Abscisa Ordenada
B(c, d )
X
Y
F
F F
a c
b
d
Funciones
Peso (kg)
P r e c i o ( € )
14
12
10
8
6
4
2
1 2 3 4 5 6 7 X
Y
HAZLO DE ESTA MANERA
1. REPRESENTAR PUNTOS EN UN SISTEMADE COORDENADAS CARTESIANAS
Representa los puntos: (-1, 3), (3,-1), (2, 2) y (-4,-5).
PRIMERO. En el eje horizontal, y partiendo del origen
de coordenadas, nos desplazamos tantas unidades como nos
indique la primera coordenada del punto. Hacia la derecha,
si es positiva, o hacia la izquierda, si es negativa.
SEGUNDO. Desde ese punto, nos desplazamos tantas unidadescomo nos indique la segunda coordenada del punto.
Hacia arriba, si es positiva, o hacia abajo, si es negativa.
1
1 X
Y
(2, 2)(-1, 3)
(-4, -5)
(3, -1)
210
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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1. REPRESENTAR UNA GRÁFICAA PARTIR DE UNA TABLA
La tabla relaciona cada número con su doble.
Número 1 2 3 4
Su doble 2 4 6 8
Representa los datos en una gráfica.
PRIMERO. A partir de la tabla obtenemos
los puntos que definen la función.
Los puntos que obtenemos a partir de la tabla son:
(1, 2) (2, 4) (3, 6) (4, 8)
SEGUNDO. Representamos estos puntos
en un sistema de coordenadas y decidimos
si los podemos unir.
En este caso los podemos unir ya que
a cualquier número le podemos hacer
corresponder su doble.
2. INTERPRETAR GRÁFICAS
Interpreta esta gráfica que muestra el gastode agua por trimestres de una familia.
PRIMERO. Analizamos cómo se modifican
los datos en los distintos tramos de la gráfica.
Durante el primer trimestre del año la familia
llega a consumir 30 000 litros de agua. Y sigue
aumentando su consumo hasta el tercer
trimestre. Durante el último trimestre
el consumo disminuye.
SEGUNDO. Identificamos los datos donde
se producen los mayores o menores
resultados.
En el paso del tercer al cuarto trimestre
se produce el punto de máximo consumo
de agua, 50 000 litros. El consumo ha ido
aumentando hasta que en ese punto comienza
a disminuir.
Comprende estas palabras
1. Dibuja unos ejes de coordenadas y representa
el punto (3, 5).
Representar puntos
2. Decide en qué cuadrante se encuentra
el punto (2, -1).
Calcular las coordenadasde un punto
3. ¿Cuáles son los puntos
representados?
Determinar las coordenadas de un puntoque pertenece a una función
4. Determina el valor de y = x + 4 para x = 2.
Representar una gráfica a partir de una tabla
1. Esta tabla relaciona cada número con su triple
más 1.
Número 1 2 3 4
Su triple+ 1 4 7 10 13
Representa los datos en una gráfica.
Interpretar gráficas
2. Interpreta esta
gráfica que
muestra
el gasto de luz
de una familia
durante un año
por trimestres.
1
1
Y
X
Y
X1
2
Y
X
Trimestre
G a s t o ( € )
1 2 3 4
10 000
Y
X
Trimestre
G a s t o ( k W h )
10
250
2 3 4
Y AHORA… PRACTICA
211
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ActividadesCOORDENADAS CARTESIANAS
46. ● Representa los siguientes números
sobre una recta numérica horizontal.-15 -7 -10 1
47. ● Representa estos números sobre una recta
numérica vertical.
-15 -7 10 1
48. ● Representa los números.
-4 7 -11 0
a) En una recta numérica horizontal.
b) En una recta numérica vertical.
49. ● Sitúa cada punto en el cuadranteque corresponda.
(2, 4) (5, -8) (3, 1)
(-9, 0) (-6, -4) (0, -3)
50. ● Representa en tu cuaderno los puntos y únelos
ordenadamente.
P1(4, 5) P7(1, -1) P13(10, 2)
P2(3, 4) P8(-2, -4) P14(11, 0)
P3(2, 4) P9(-2, -7) P15(9, -1)
P4(1, 5) P10(8, -7) P16(3, -1)
P5(-
1, 3) P11(12,-
3) P17(6, 1)P6(-1, 1) P12(12, 1) P18(6, 3)
51. ● Representa en tu cuaderno estos puntos
y únelos ordenadamente.
P1(14, 14) P7(0, -10) P13(-12, 2)
P2(15, 9) P8(-2, -8) P14(-7, 6)
P3(11, 5) P9(6, -7) P15(-8, -2)
P4(7, 5) P10(2, -12) P16(-10, 0)
P5(-6, -8) P11(-7, -12) P17(-10, -4)
P6(-4, -10) P12(-12, -7) P18(-8, -6)
52. ● Un punto tiene abscisa 7 y ordenada 8.Representa dicho punto e indica en qué
cuadrante se encuentra.
53. ● Un punto tiene abscisa 4 y ordenada-12.
Represéntalo y señala el cuadrante en el que
se sitúa.
54. ● Un punto tiene abscisa-11
y ordenada-8. Represéntalo e indica
en qué cuadrante se localiza.
2. ● ¿Cuáles son las coordenadas de estos puntos?
55. ● Indica las coordenadas cartesianas
de los siguientes puntos:
A
B
C
D
1
1E
F G
H
Y
X
56. ● Dados los puntos de la gráfica, señala cuáles
son sus coordenadas.
AB
C
DE
F G
Y
X1
1
3. ●● Dibuja un sistema de coordenadas.
A continuación, dibuja un punto en el primer
cuadrante y escribe sus coordenadas.
4. ●● Dibuja un punto en cada cuadrante y escribe
sus coordenadas.
Y
1
A
B
C
DX1
212
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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57. ●● El punto de la figura es uno de los vértices
de un cuadrado con los lados verticales
y horizontales, y 6 unidades de lado. Determina
las coordenadas de todos los vértices.
Y
X
1
1
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE DIBUJAN LOS EJES DE COORDENADASCONOCIDAS LAS COORDENADAS DE UN PUNTO?
5. Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto
sea A(2,-4).
PRIMERO. Se dibuja el eje X teniendo en cuenta
la segunda coordenada del punto:
• Si es positiva, se traza por debajo del punto a tantasunidades como indica.
• Si es negativa, se traza por encima del punto
a tantas unidades como indica.
SEGUNDO. Se dibuja el eje Y teniendo en cuenta
la primera coordenada del punto:
• Si es positiva, se traza a la derecha del punto
a tantas unidades como indica.
• Si es negativa, se traza a la izquierda del punto
a tantas unidades como indica.
58. ●● Dibuja los ejes de coordenadas para que
el punto sea A(-2,-1).
A
6. ●● Dibuja los ejes de coordenadas para que
el punto sea A(3, 5).
7. ●● Dibuja los ejes de coordenadas para que
el punto sea A(-4, 3).
8. ●● Dibuja unos ejes de coordenadas para que las
coordenadas del punto A sean A(4, 3). ¿Coinciden
estos ejes con los que se deben trazar para que
las coordenadas de B sean B(-3, 1)?
FUNCIONES
59. ● Dados los números 3, 5, 7 y 9, halla los números
que les corresponden si a cada uno le asociamos:
a) Su doble más 1. c) Su cuádruple.
b) Su mitad. d) Su cuadrado.
A
X
Y
F
2
A
A
A
B
X F
4
A
A
213
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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66. ●● Una relación entre números enteros
se expresa de la siguiente manera: «A cada
número entero lo relacionamos con su doble más
una unidad». Escribe la expresión de la función
y completa la tabla.
x
y
-2 -1 0
3
3 7 10
69. ●● La gráfica muestra las precipitaciones en una
localidad durante un año. En el eje de abscisas
están representados los meses del año, y en
el de ordenadas, las precipitaciones, en ¬ /m2.
FE M A M J J A S O N D
Meses
P r e c i p i t a c i o n e s ( ¬ / m 2 )
X
Y
600
400
200
a) ¿Cuál fue el mes más lluvioso?
b) ¿Y el más seco?
c) ¿Qué mes tuvo unas precipitaciones de 300 ¬ /m2?
d) ¿Cuáles fueron las precipitaciones en enero?
e) ¿En qué estación se produjeron más
precipitaciones?
f) ¿En qué meses se produjeron menos
de 200 ¬ /m2
? ¿Y en cuáles más de 400 ¬ /m2
?
PROBLEMAS CON FUNCIONES
80. ● Un automóvil circula por una autopista
a una velocidad constante de 120 km/h.
a) Haz una tabla de valores donde se relacionen
el tiempo y la distancia recorrida.
71. ●● La tabla refleja el número de asistentes en un
cine durante los días laborables de una semana.
Día
Asistentes
1
150
2
280
3
140
4
420
5
750
Representa los datos en un sistema
de coordenadas cartesianas.
70. ●● El precio de una bebida es 1,75 €/ ¬ .
a) Construye una tabla que relacione el número
de litros con el precio.
c) Representa los datos gráficamente.
72. ●● Un globo sonda mide la temperatura de laatmósfera a distintas alturas. Se comprueba
que, cada 200 m de ascensión, la temperatura
disminuye 1 ºC.
a) Construye una tabla de valores para la función
que determina este experimento.
c) ¿Qué temperatura habrá si ascendemos
a 1 000 m?
73. ●● El precio de una carrera de taxi es 1,20€
de bajada de bandera y medio céntimo
por cada segundo.
a) Construye una tabla con diferentes valorespara la relación Tiempo–Precio.
b) Representa los valores en una gráfica.
74. ●● Dos ciclistas salen en la misma dirección.
Uno parte de una ciudad con una velocidad
media de 20 km/h. El otro sale de una ciudad
situada a 10 km de distancia de la primera,
al mismo tiempo y con igual velocidad.
a) Realiza una tabla para cada uno
de los ciclistas, y representa los datos
en dos gráficas distintas.
b) Representa ambas gráficas en los mismos ejes
de coordenadas.
c) ¿Qué relación hay entre las funciones?
75. ●● Un río tiene riesgo de desbordarse e inundar
un pueblo si el agua alcanza 270 cm de altura.
En la tabla aparecen las medidas del nivel
del río, tomadas entre las 6:00 horas
y las 18:00 horas.
Tiempo (h)
Altura (cm)
6
180
8
210
10
240
12
245
14
255
16
265
18
250
a) Haz una gráfica que refleje la crecida del río.
c) ¿Ha sido inundado el pueblo?
d) ¿A qué hora se ha tenido más riesgo
de inundación?
214
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HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE REPRESENTA E INTERPRETA UNAGRÁFICA CUYOS PUNTOS NO SE PUEDEN UNIR?
9. La tabla muestra el número de asistentes
a las distintas sesiones de una película el díadel estreno.
Sesiones 16:00 18:00 20:00 22:00
Asistentes 20 50 100 75
Representa los datos en una gráfica e interpreta
el resultado.
PRIMERO. A partir de la tabla se obtienen los puntos que
definen la función.
Los puntos que obtenemos son:
(16, 20) (18, 50) (20, 100) (22, 75)
SEGUNDO. Se representan estos puntos en un sistema
de coordenadas y se decide si se pueden unir.
En este caso no los podemos unir, ya que a cada sesión
asiste un número de personas y no hay sesiones a
cualquier hora.
TERCERO. Se analiza cómo varían los datos y en qué
momento se producen mayores o menores resultados.
A la primera sesión asiste el menor número
de personas, 20. Después, el número de asistentes
sube y es en la sesión de las 20:00 donde el número
es mayor, 100. En la última sesión vuelve a disminuir
el número de asistentes.
76. ●● En un partido de baloncesto se elabora una
tabla con los puntos marcados por cada equipo.
Antes de llegar al final del 2.º cuarto tenemosla siguiente tabla:
Minuto
Equipo A
Equipo B
4
10
6
6
12
8
8
15
14
10
18
18
12
20
18
14
22
24
16
24
26
a) Haz las gráficas de ambos equipos (la del
equipo A en azul y la del equipo B en rojo).
b) Realiza un resumen del partido a la vista
de la gráfica.
77. ●● Observa la gráfica que representa el paseo
que ha dado Julio: ha salido de casa,
ha ido a comprar y ha regresado.
6
5
4
3
2
1
1 2
Tiempo (h)
D i s t a n c i a ( k m )
3 4
Y
X
a) ¿Qué magnitud se representa en el eje X?
¿Y en el eje Y ?
b) ¿Cuánto tiempo ha durado el paseo?
c) ¿Cuál es la distancia más lejana a la que ha ido?
d) ¿Cuándo ha caminado más rápido, a la ida
o a la vuelta?
e) ¿Qué crees que significan los tramos
horizontales?
78. ●● La siguiente gráfica expresa la relación
entre los minutos y los kilómetros que José
ha recorrido durante una hora, caminando
y montando en bicicleta en línea recta.
10
8
6
4
2
Tiempo (min)
D i s t a n c i a ( k m )
10 20 30 40 50 60 70
Y
X
a) ¿Cuántos kilómetros ha caminado?
b) ¿Y cuántos ha hecho en bicicleta?
c) ¿Cuánto tiempo ha caminado?
d) ¿Y cuánto ha montado en bicicleta?
e) ¿Qué distancia ha recorrido cuando lleva 50
minutos?
f) ¿Cuánto tiempo ha tardado en recorrer los dos
primeros kilómetros?
g) ¿Ha hecho algún descanso en el recorrido? ¿Cómo
se representan esos tiempos de descanso?
Y
X
20
16 18 20 22
60
80
215
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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En esta unidad
aprenderás a…
• Reconocer variables
cualitativas
y cuantitativas.
• Realizar tablas
de frecuencias.
• Interpretar
y representar datos
mediante gráficos.
• Hallar la probabilidad
de un suceso.
PLAN DE TRABAJO
Una fracción es una expresiónb
a, donde a y b son números naturales llamados numerador
y denominador, respectivamente.
Comparación de fracciones
• Sitienenelmismodenominador,esmayorlaquetienemayornumerador.
Comparamos7
3
7
1y :
3 > 1 " 7
3
7
1>
• Sitienendistintonumeradorydenominador,reducimos a común denominador, y comparamos los numeradores.
Comparamos ,3
2
5
4
6
5y :
m.c.m. (3, 5, 6) = 30
3
2
30
20
5
4
30
24
6
5
30
25
3
2
5
4
6
5< <= = = "
Transformación de fracciones en números decimales
Para expresar una fracción como números decimales se divideel numerador entre el denominador.
6
35
"35 6 6
35
= 5,83…50 5,83…202
Si una fracción es decimal,se escribe el numerador y se separancon una coma, a partir de la derecha,tantas cifras decimales como ceros
tiene el denominador.
EVALUACIÓN INICIAL
1 Ordena estas fracciones de mayor a menor.
a) ,
6
5
6
2
6
4y b) ,
8
7
8
1
8
3y c) ,
12
4
12
9
12
5y d) ,
17
11
17
15
17
13y
3. Ordena, de menor a mayor, estas fracciones.
a) , ,4
3
5
12
6
4b) , ,
3
4
20
14
5
7
2 Expresa estas fracciones como números decimales.
a)6
43b)
7
32c)
12
64d)
17
11
Antes de empezar la unidad...
FRACCIONES
217
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Tiposde variables
Al realizar un estudio estadístico, una variable estadística es cualquiercualidad que estudiamos.
Según sean sus valores, las variables estadísticas pueden ser:Tipos Propiedades Ejemplos
CualitativasLos valores de la variableno son números, sinocualidades.
• Géneroliterario(novela,teatro…).
• Sexo(mujer , hombre).
CuantitativasLos valores que tomala variable son números.
• N.o de páginas de un libro.
• Altura.
EJEMPLOS
1 Se va realizar un estudio estadístico en un instituto. Pon ejemplosde variables estadísticas.
Al realizar un estudio estadístico podemos estudiar cualidades
como el peso, la altura o la edad de los alumnos del instituto.
Estas cualidades son variables estadísticas.
2 Clasifica estas variables estadísticas y pon ejemplos de los valores
que pueden tomar.
a) Raza de un perro
Cualitativa: no toma valores numéricos.
Raza = {Pequinés, cocker…}
b) Peso al nacer
Cuantitativa: toma valores numéricos.
Peso al nacer = {2 kg; 3 kg; 3,22 kg…}
c) Lugar que se ocupa en una fila
Cuantitativa: toma valores numéricos.
Lugar en una fila = {1, 2 , 3, 4…}
2
A los valores delas variables cualitativas
se les puede llamarmodalidades.
4 Clasifica las siguientes variables estadísticas.
a) Marca de un teléfono. f) Nombre.
b) Color de ojos. g) Talla.
c) Deporte favorito. h) N.º de hermanos.
d) Altura. i) Gustos musicales.
e) Edad. j) N.º de aprobados.
5 Escribe tres variables cualitativas, y otras
tres cuantitativas.
6 Para clasificar los perros abandonados,
los empleados de la perrera rellenan una ficha
con los siguientes datos.
a) Raza. e) Sexo.
b) Edad. f) Color de pelo.
c) Alzada (cm). g) Nivel de adiestramiento.
d) Peso (kg). h) Nivel de peligrosidad.
Clasifica las variables.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
218
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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Frecuencias.Tablas de frecuencias
3.2 Frecuencia absoluta y frecuencia relativa
• Lafrecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de vecesque se repite. Se representa por f i.La suma de las frecuencias absolutas de un conjunto de datos esta-dísticos es el número total de datos.
• La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y elnúmero total de datos. Se representa por hi.La suma de las frecuencias relativas de un conjunto de datos estadís-ticos es igual a la unidad.
Los datos y las frecuencias se pueden organizar en una tabla de frecuen-cias colocando los datos en la primera columna y las frecuencias en lassiguientes columnas.
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se suman números decimales
Colocamos los números, de forma que las comas decimales
estén alineadas, y añadimos los ceros necesarios
para que tengan el mismo número de decimales.
EJEMPLO
5 Con estos datos, realiza el recuento y construye la tabla de frecuencias.
F
Datoxi
Frecuenciaabsoluta f i
Frecuenciarelativa hi
0 06 ,50
60 12=
1 16 ,50
160 32=
2 15 ,50
150 3=
3 10 ,50
100 2=
4 03 ,50
30 06=
N = 50 Total = 1
Recuento
0 //// /
1 //// //// //// /
2 //// //// ////
3 //// ////
4 ///
N.º de hermanos
1 3 1 4 2 1 2 1 3 2
2 1 3 1 0 2 3 2 1 1
3 2 0 4 2 1 0 1 2 3
1 1 4 2 1 3 1 2 3 2
0 1 0 2 3 2 1 0 3 2
3
1 2 4,6 0 0
4 5,8 0 2
+ 4,1 8 0
1 7 4,5 8 2
7 Realiza un recuento de las siguientes
calificaciones:
3 2 7 1 9 5 3 4 5 6
7 4 5 7 3 6 8 9 7 5 7
7 8 4 5 6 6
8 Después de lanzar 20 veces una moneda,
los resultados (C= cara,+ = cruz) han sido:
C C + C + + + + + C
C + C C + C C + C +
Efectúa un recuento y organiza los datos.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
La recogida de datosse suele realizar medianteencuestas o cuestionarios.
Después de recoger
los datos hay quecontarlos y agruparlos.
• f i es la frecuencia absoluta
del valor xi .
• hi es la f recuencia relativadel valor xi .
DATE CUENTA
219
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Gráficosestadísticos
ANTES, DEBES SABER…
Cómo se representan puntos en el plano
Para representar puntosen el plano se utilizan dos rectas
numéricas perpendiculares,
llamadas ejes de coordenadas.
Un punto del plano queda
determinado por un par
de números, (a, b), llamados
coordenadas cartesianas.
Además de las tablas de frecuencias, otra forma de organizar los datos esmediante las representaciones gráficas. Los gráficos estadísticos nos per-miten captar de inmediato las características más relevantes de un estudio
estadístico.
4.1 Diagrama de barras
Se utiliza cuando queremos representar frecuencias de variables que tomenpocos valores.
• Enelejehorizontalrepresentamoslosvaloresdelavariable.
• Enelejevertical,lasfrecuencias.
La frecuencia que corresponde a cada dato se representa por una barra.Las alturas de las barras son proporcionales a las correspondientes fre-cuencias.
EJEMPLO
6 Representa mediante un diagrama de barras los valores que hemos
recogido en la siguiente tabla:
Deportes
Fútbol
Baloncesto
Tenis
Atletismo
Balonmano
Frecuencia f i
8
12
6
10
4
f i
10
12
Fútbol B aloncesto Atletismo BalonmanoTenis
8
6
4
2
4
G
Eje de
ordenadas
Eje de
abscisas
Origen de
coordenadas
Y
XO
b
a
P(a, b)
14 Realiza un diagrama de barras con el número
de macetas que tienen 100 viviendas.
N.º de macetas 0 1 2 3 4
N.º de viviendas 10 14 18 25 33
15 El color de pelo de 30 personas es:
M=moreno R= rubio P= pelirrojo
M R P M M M M R R P P M M M M
M M P R R R P M M M M R M M M
Organiza los datos en un diagrama de barras.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
220
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17 Haz un diagrama de sectores
con estos datos:
Color Rojo Verde Blanco
N.º de coches 150 84 126
18 Dibuja un diagrama de sectores
con estos datos:
Música Clásica Pop Rock
N.º de CD 125 78 52
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
4.2 Diagrama de sectores
ANTES, DEBES SABER…
Qué es un sector circular
Un sector circular es la parte del círculo
limitada por dos radios y un arco.
El diagrama de sectores se puede utilizar para cualquier tipo de variable.
• Losdatosserepresentanenuncírculo,divididoensectores.Cadasector representa un valor de la variable.
• Laamplituddeunsector,suángulo,esproporcionalalafrecuen-cia del dato que representa:
Ángulo del sector circular ° °? ?
N
f h360 360
i
i= =
EJEMPLO
7 Realiza un diagrama de sectores con los siguientes datos:
Deportes Fútbol Baloncesto Tenis Atletismo Balonmano
Frecuencia f i 8 12 6 10 4
Completamos la tabla con hi, el porcentaje y la amplitud de cada sector.
Deportes f i
Fútbol
Baloncesto
Tenis
Atletismo
Balonmano
8
12
6
10
4
N = 40
hi %
0,2
0,3
0,15
0,25
0,1
Amplitud (°)
0,2 ? 360° = 72°
0,3 ? 360° = 108°
0,15 ? 360° = 54°
0,25 ? 360° = 90°
0,1 ? 360° = 36°
20 %
30 %
15 %
25 %
10 %
Balonmano
10 %
Atletismo25 %
Tenis
15 %
Baloncesto
Fútbol
20 %
30 %
36°
90°
54°
72°
108°
En los diagramas de
sectores, ademásdel valor de la variable,
se suele escribir el tantopor ciento que representa.
Para dibujar ángulos
utilizamos el t ransportador.
RECUERDA
221
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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23 En los siguientes experimentos aleatorios,
determina su espacio muestral, sus sucesos
elementales y dos sucesos compuestos.
a) Extraer una bola de una urna
que contiene 3 bolas rojas, 2 bolas
verdes y 1 bola azul.
b) Extraer una carta de una baraja.
c) Lanzar dos dados y anotar la suma
de sus puntuaciones.
d) Extraer una bola de una urna que contiene
5 bolas numeradas del 1 al 5.
24 Referidos a la extracción de una carta
de la baraja española, clasifica los siguientes
sucesos en elementales o compuestos.
a) A = «Sacar el rey de oros»
b) B = «Sacar una carta de copas»
c) C = «No sacar un as»
d) D = «Sacar un caballo»
25 Pon un ejemplo de experimento aleatorio
cuyo espacio muestral tenga tres sucesos
elementales.
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
Sucesos.Espacio muestral
En los experimentos aleatorios no podemos predecir el resultado, esdecir, hay más de un resultado posible al realizar el experimento.
Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio es unsuceso elemental.El conjunto de todos los sucesos elementales se llama espacio muestral,y se representa con la letra E.Un suceso es un suceso compuesto cuando contiene dos o más suce-sos elementales.
EJEMPLO
9 Define el espacio muestral, sus sucesos elementales y varios sucesos
compuestos en los siguientes experimentos aleatorios.
a) Lanzar un dado y anotar su resultado.Los resultados que podemos obtener al tirar un dado son
las puntuaciones: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.
Espacio muestral --" E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sucesos elementales " {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6}
Sucesos compuestos " «Obtener número par» = {2, 4, 6}
«Obtener número mayor que 3» = {4, 5, 6}
«Obtener divisor de 6» = {1, 2, 3, 6}
b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras.
Si lanzamos dos monedas al aire podemos obtener cara
en las dos monedas, cara en una de ellas o ninguna cara.
Espacio muestral --" E = {2 caras, 1 cara, 0 caras}
Sucesos elementales " {2 caras}, {1 cara} y {0 caras}
Sucesos compuestos " «Sacar alguna cara» = {2 caras, 1 cara}
«Sacar alguna cruz» = {1 cara, 0 caras}
«Sacar más de 1 cara» = {2 caras}
6
Para describir un sucesocompuesto hay que indicarqué sucesos elementales
contiene.
222
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Regla de Laplace
La probabilidad, P, de un suceso es un número comprendido entre0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso. A mayorprobabilidad, mayor será la posibilidad de que ocurra.
Un experimento es regular cuando todos sus sucesos elementales tienenla misma probabilidad, es decir, son sucesos equiprobables.
La regla de Laplace es una forma sencilla de calcular probabilidades dedistintos sucesos si el experimento aleatorio es regular.
Regla de Laplace
La probabilidad de un suceso es igual al número de casos elementalesque contiene el suceso dividido entre el número total de sucesos ele-mentales.
Para recordarla se suele utilizar esta expresión:
º
º( )P A
A
n. de casos posibles
n. e casos favora es en=
EJEMPLO
11 Lanzamos un dado de parchís y anotamos el resultado.
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
a) A = «Sacar un número menor que 3»
b) B = «Sacar un divisor de 6»
El experimento aleatorio es regular porque todas las caras de un dado,no trucado, tienen las mismas posibilidades de salir.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}"N.º de casos posibles = 6
a) A = «Sacar número menor que 3» = {1, 2}"N.º de casos favorables = 2
P (Sacar número menor que 3)= P( A)6
20,33= =
b) B = «Sacar divisor de 6» = {1, 2, 3, 6}"N.º de casos favorables = 4
P (Sacar divisor de 6) = P(B)6
40,67= =
8
29 Calcula la probabilidad de los siguientes
sucesos en el experimento aleatorio que
consiste en tirar un dado y anotar el número de
su cara superior. ¿Es un experimento regular?
a) A = «Salir número par»
b) B = «Salir múltiplo de 3»
c) C = «Salir número mayor que 10»
30 Un dado de quinielas tiene
tres 1, dos X y un 2. ¿Cuál es
la probabilidad de que
salga una X? ¿Y un 2?
31 Lanzamos dos monedas simultáneamente.
¿Cuál es la probabilidad de que salgan
dos caras? ¿Y una cara y una cruz?
LO QUE DEBES SABER RESOLVER
Antes de aplicarla regla de Laplace hayque comprobar que el
experimento es regular.
DATE CUENTA
El experimento consistente
en tirar una chincheta
y observar la posición enla que cae no es regular.
Es más posible que
la chincheta caiga
con el pico hacia arriba
que hacia abajo.
223
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COMPRENDE ESTAS PALABRAS
Lo esencial
HAZLO DE ESTA MANERA
1. CONSTRUIR TABLAS DE FRECUENCIAS
Realiza una tabla de frecuencias para organizar los siguientes datos:
8 8 7 5 6 9 6 7 6 8 7 7 9 7 5 5
PRIMERO. Colocamos, en la primera columna, los posibles
valores de la variable.
5 6 7 8 9
SEGUNDO. Contamos el número de veces que aparece
cada dato para calcular las frecuencias absolutas,
y completamos la segunda columna de la tabla.
5" /// 6" /// 7" //// 8" /// 9" ///
TERCERO. Dividimos las frecuencias absolutas entre el número
total de datos, para hallar las frecuencias relativas,
y lo anotamos en otra columna.
2. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE BARRAS
Representa estos datos en un diagrama de barras.
PRIMERO. Dibujamos unos ejes de coordenadas, poniendo
en el eje de abscisas los valores o modalidades de
la variable, y en el eje de ordenadas, las frecuencias.
SEGUNDO. Sobre cada valor levantamos una columna
con altura igual a la frecuencia.
TERCERO. Cuando la variable es cuantitativa, podemos unir
los extremos superiores de las barras para obtener
el polígono de frecuencias.
Estadística
• Variable cualitativa
Los valores de la variable son cualidades.
Por ejemplo: sexo
• Variable cuantitativa
Los valores de la variable son números.
Por ejemplo: n.º de hermanos,
Estatura
f i
6
5
4
3
2
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Probabilidad
Espacio muestral
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Suceso elemental
{6}
Suceso elemental
{5}
Suceso elemental
{4}
F
F F
Dato
xi
Frecuencia
absoluta
f i
Frecuencia
relativa
hi
5 3 0,1875
6 3 0,1875
7 5 0,3125
8 3 0,1875
9 2 0,125
N = 16 Total= 1
Dato xi
Frecuencia f i
2
1
3
1
4
2
5
3
6
2
7
5
8
3
9
2
10
1
xi
224
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Comprende estas palabras
2. Pon ejemplos de los diferentes tipos de
variables estadísticas.
3. En el experimento que consiste en lanzar dos
monedas al aire:
a) Determina el espacio muestral.
b) Pon ejemplos de diferentes sucesos.
Construir tablas de frecuencias
4. ¿Cuál es la frecuencia relativa de 2?
2 3 1 0 2 4 2 2 3 1
3 3 2 1 1 1 2 3 2 4
Construir un diagrama de barras
5. Construye el diagrama de barras de los datos
anteriores.
Construir un diagrama de sectores
6. ¿Qué diagrama de sectores corresponde
a los datos del ejercicio 4?
a)
b)
Calcular probabilidades mediante la reglade Laplace
7. Al extraer al azar una carta de una baraja
española, ¿cuál es la probabilidad de sacar un as?
Y AHORA… PRACTICA
3. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE SECTORES
Representa, en un diagrama de sectores, los datos relativos a las opinionessobre las instalaciones deportivas de un centro de enseñanza.
PRIMERO. Calculamos la amplitud
del sector de cada valor de
la variable multiplicando
su frecuencia relativa por 360°.
SEGUNDO. Dibujamos en un círculo
los sectores, y ponemos cada dato
en su lugar correspondiente.
4.CALCULAR PROBABILIDADES MEDIANTE LA REGLA DE LAPLACEHalla la probabilidad del suceso A = «Que salga número impar» en el experimento aleatorio
que consiste en lanzar un dado.
PRIMERO. Determinamos el espacio muestral y los distintos sucesos.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}"N.º de casos posibles = 6
A = {1, 3, 5}"N.º de casos favorables = 3
SEGUNDO. Comprobamos si el experimento es regular. El experimento es regular porque todas las caras
de un dado, no trucado, tienen las mismas posibilidades de salir.
TERCERO. Aplicamos la regla de Laplace.
( ) ,P AA
6
30 5
n. de casos posibles
n. de casos favorables eno
o
= = =
Malas
Regulares
Buenas
Valoración hi Amplitud (°)
Buenas 0,5 0,5 ? 360° = 180°
Regulares 0,28 0,28 ? 360° = 100,8°
Malas 0,22 0,22 ? 360° = 79,2°
225
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ActividadesVARIABLES ESTADÍSTICAS
34. ● Indica el tipo de variable: cualitativa
o cuantitativa.a) Número de hermanos. d) Número de calzado.
b) Sexo. e) Edad.
c) Nacionalidad.
TABLAS DE FRECUENCIAS
36. ● Una variable estadística toma estos valores:
3 5 4 2 6 1 2 3
a) Realiza un recuento.
b) Calcula las frecuencias absolutas.
c) Halla las frecuencias relativas.d) Organiza los datos en una tabla de frecuencias.
37. ● Las notas que se obtienen en un examen,
de 0 a 5, son las siguientes:
0 1 0 5 4 5 4 2 5 3
a) Realiza un recuento.
b) Calcula las frecuencias absolutas y relativas.
c) Organiza los datos en una tabla de frecuencias.
38. ● Las temperaturas máximas, en °C,
que se han registrado en los últimos quince días
del mes de agosto han sido:40 39 41 39 40 38 37 40
40 41 42 39 40 39 39
a) Realiza un recuento de estas temperaturas.
b) Calcula las frecuencias absolutas y relativas.
c) Organiza los datos en una tabla de frecuencias.
39. ● Luis lanza 10 veces un dado, con cuatro
caras numeradas del 1 al 4, y anota los resultados
en su cuaderno.
a) ¿Cuántas veces se han repetido los resultados?
Realiza un recuento.
b) Calcula las frecuencias absolutas y relativas.
c) Organiza los datos en una tabla de frecuencias.
HAZLO ASÍ
¿Cómo se construye una tabla de frecuencias
si la variable es cualitativa?1. Se pregunta a 30 alumnos sobre su deporte
favorito, fútbol (F), baloncesto (B) o atletismo
(A), y se obtienen estos resultados:
F F F B B B A B B A
F F B B A B B F F A
A A A A A B B A F B
Realiza el recuento y construye la tabla
de frecuencias.
PRIMERO. Se escribe cada modalidad y se anota
el número de veces que aparece cada una de ellas
para realizar el recuento.
Fútbol //// ///
Baloncesto //// //// //
Atletismo //// ////
SEGUNDO. Se construye la tabla de frecuencias
indicando en la primera columna los datos
y en la siguiente las frecuencias absolutas.
Dato f i Las frecuencias absolutas
coinciden con los datos
obtenidos en el recuento.Fútbol 8
Baloncesto 12
Atletismo 10
TERCERO. Se completa la tabla añadiendo
las frecuencias relativas, dividiendo las frecuencias
absolutas por el número total de datos.
Dato f i hi
Fútbol 8 30
0,27=
Baloncesto 12 ,30
0 4=
Atletismo 10 ,30 0 33=
30 1
40. ● Estos son los nombres de 10 alumnos
de una clase de 1.º ESO.
Carlos Rosa Eduardo Fernando Julia
Lola Fátima Consuelo Paco Isabel
Considerando la variable sexo del alumno
(chico/chica), realiza una tabla de frecuencias.
226
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43. ● Los siguientes datos corresponden al número
de empleados de una cadena de tiendas.
4 7 5 2 4 5 6 4 7 3 7 4 3 4 4
3 4 3 2 4 4 1 1 2 5 3 2 2 5 33 8 2 3 2 2 5 4 1 5 8 6 6 1 3
a) Indica cuál es la variable y de qué tipo es.
b) Efectúa el recuento de datos y realiza una tabla
de frecuencias.
44. ● Lanzamos un dado 48 veces, obteniéndose
estos resultados:
3 4 5 1 6 2 2 3 4 2 6 5
1 4 2 3 1 4 5 3 2 1 4 6
4 4 3 2 1 6 2 5 6 2 3 1
5 4 1 6 3 2 4 6 6 2 1 2
Efectúa el recuento de datos, y obtén una tabla
con todas las frecuencias.
45. ●● Se ha preguntado a 50 alumnos por
su deporte favorito: 16 han escogido fútbol,
12 baloncesto, 6 balonmano, 10 equitación
y 6 ciclismo. Considerando estos datos:
a) Calcula las frecuencias absolutas.
b) ¿Qué frecuencia absoluta representa el 20 %?
c) Obtén las frecuencias relativas.
d) ¿Qué frecuencia relativa representa el 32 %?
46. ●● Completa los datos de la siguiente tabla
de frecuencias:
DatoFrecuencia
absolutaFrecuencia
relativa
2 4 0,2
4 0,15
6
8 0,1
10 6
47. ●● Completa la tabla, sabiendo que hay el doble
de suspensos que de notables.
NotasFrecuencia
absolutaFrecuencia
relativa
Suspenso
Aprobado 0,3
Notable
Sobresaliente 5 0,1
48. ●● Las edades de los socios de un club son:
19 21 24 24 24 25 24 21 26 19
20 22 29 23 28 27 22 23 24 19
a) Construye una tabla de frecuenciasen la que figuren sus porcentajes.
b) ¿Qué porcentaje de socios tiene más de 25 años?
49. ●● Para estudiar cómo influye trasnochar
en el rendimiento académico, se ha preguntado
a los alumnos de un centro universitario cuántos
días salen de fiesta por semana, obteniéndose
los siguientes resultados:
0 2 3 2 1 1 1 4 0 1
1 2 2 1 3 1 3 0 1 2
Efectúa el recuento de datos y obtén la tabla
de frecuencias.
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
50. ● En una clase de 1.º ESO se pregunta
a los alumnos por sus refrescos preferidos.
Refrescos
Cola
Naranja
Limón
Piña
N.º de alumnos
10
4
6
3
Representa estos datos en un diagrama de barras.
51. ● La música preferida por los alumnos de 1.º ESO,
según una encuesta realizada, es:
Música
Rock
Pop
Bacalao
Clásica
Dance
N.º de alumnos
18
12
24
10
6
Representa estos datos en un diagrama de barras.
227
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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52. ● Los resultados obtenidos al lanzar una moneda
25 veces son 11 caras y 14 cruces. Represéntalos
en un diagrama de sectores.
53. ● En un edificio de 24 viviendas, el número
de personas que habitan en cada una es:
3 4 2 5 6 4 2 0 1 2 3 46 8 4 3 5 4 6 2 8 4 1 3
a) Construye una tabla de frecuencias.
b) Representa los datos con un diagrama
de barras y un diagrama de sectores.
54. ●● Una familia gasta mensualmente 1 800 �.
El siguiente gráfico muestra lo que destina
a cada concepto.
Gastos generales
Hipoteca60 %30 %
10%
Otros
¿Cuánto dinero gasta en cada concepto?
55. ●● Se ha preguntado a los alumnos de una clase
sobre su deporte favorito, y este ha sido el
resultado.
Fútbol: 32 Baloncesto: 16
Tenis: 9 Otros: 17
Atletismo: 5 Ninguno: 3
Representa, en un diagrama de sectores, estos
resultados, e indica el porcentaje de cada sector.
56. ●● En una encuesta realizada a 2 500 personas,sobre el funcionamiento de los autobuses
urbanos, se han obtenido los siguientes datos:
Muy bien: 30,7% Mal: 1 %
Bien: 48 % Muy mal: 0,4%
Regular: 10,9 % NS/NC: 9 %
a) Construye una tabla de frecuencias.
b) ¿Cuántas personas responden Bien o Muy bien?
c) Representa los datos en un diagrama de sectores.
SUCESOS. ESPACIO MUESTRAL
61. ● En el experimento aleatorio que consiste en
lanzar un dado y anotar el resultado, distingue los
sucesos elementales de los sucesos compuestos.
a) «Salir número par»
b) «Salir número primo»
c) «Salir número mayor o igual que 5»
d) «Salir múltiplo de 4»
En los sucesos que consideres compuestos,
indica cuántos sucesos elementales contienen.
63. ● Escribe el espacio muestral en cada caso.
a) Se extrae una moneda de una hucha
que contiene monedas de 5, 10, 20
y 50 céntimos.
b) Se coge una papeleta de una urna que contiene
papeletas numeradas del 1 al 10.c) Se extrae una carta de la baraja y se anota
si es figura o no.
64. ● En el experimento
aleatorio que
consiste en extraer
una carta de
la baraja
española,
define
el espacio
muestraly estos sucesos.
a) Sacar un rey.
b) Sacar una carta con un número par.
c) Sacar espadas.
d) No sacar oros.
e) Sacar una figura.
REGLA DE LAPLACE
65. ● En una bolsa tenemos 4 bolas azules, 3 rojas,
2 verdes y 1 blanca. Se saca una bola al azar.
a) ¿Qué es más probable, que salga azul
o blanca?
b) ¿Es más probable que salga roja o verde?
c) Calcula las probabilidades de cada resultado
(azul, roja, verde o blanca). ¿Cuánto vale
la suma de estas probabilidades?
66. ● En una bolsa hay 5 bolas rojas, 6 azules,
4 verdes y 3 naranjas.
a) ¿Cuántas bolas hemos de sacar para estar
seguros de obtener una bola azul?
b) ¿Qué color es más probable al sacar una bola
de la bolsa?
228
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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67. ●● Una bolsa A tiene 3 bolas rojas y 2 verdes,
y otra bolsa B, 1 bola roja y 2 verdes. Se elige
una bolsa, se saca una bola y gana quien saca
bola verde. Para ganar habrá que elegir:
a) La bolsa A.
b) Cualquier bolsa.c) La bolsa B.
d) No se puede saber.
68. ●● Define un suceso seguro y otro imposible
para cada uno de los siguientes experimentos.
a) Lanzar un dado con las caras numeradas
del 1 al 6.
b) Lanzar dos monedas.
c) Extraer una bola de una bolsa que contiene
bolas numeradas del 1 al 4.
d) Lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos.
69. ●● ¿Son equiprobables los sucesos elementales
de estos experimentos?
a) Extraer una carta de la baraja española y anotar
si es figura o no.
b) Lanzar dos monedas.
c) Extraer una pieza de fruta de un frutero
que contiene cinco manzanas, tres naranjas
y cuatro ciruelas.
70. ● Se lanza un dado con las caras numeradas
del 1 al 6 y se anota el resultado de la cara
superior. Calcula la probabilidad de que sea:a) Número par.
b) Número impar.
c) Número mayor que 2.
d) Número menor que 1.
e) Número mayor o igual que 6.
f) Múltiplo de 3.
g) Múltiplo de 4.
71. ● En una baraja española de 40 cartas se extrae
una carta. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea de oros.b) Sea el rey de copas.
c) Sea un rey.
d) No sea el as de espadas.
e) Sea de copas.
f) Sea de bastos.
g) Sea de copas o de bastos.
h) No sea un as.
i) Sea una figura.
j) No sea una figura.
72. ● En un monedero hay seis monedas
de 20 céntimos, cuatro de 50 céntimos
y tres de 1 euro. Se extrae una moneda al azar.
Calcula la probabilidad de que sea:
a) Una moneda de 20 céntimos.
b) Una moneda de 50 céntimos.
c) Una moneda de 1 euro.
73. ● En una bolsa hay 5 bolas azules, 4 bolas
blancas y 3 bolas rojas. Se extrae una bola
al azar. Calcula la probabilidad de obtener:
a) Una bola azul. c) Una bola blanca.
b) Una bola roja.
PROBLEMAS DE ESTADÍSTICAY PROBABILIDAD
79. ●● Un frutero tiene sacos de cebollas de 2 kg,
5 kg y 10 kg. Durante un día ha vendido 10 sacos
de 2 kg, 5 sacos de 5 kg y 2 sacos de 10 kg.
a) Organiza estos datos mediante una tabla
de frecuencias.
b) Representa, en un diagrama de barras,
las frecuencias absolutas.
c) Dibuja un diagrama de barras donde
representes las frecuencias relativas.
80. ●● Las edades, en años, de los
10 primeros visitantes al parque
de atracciones de una ciudad son
las siguientes:
12 10 14 12 14
10 11 12 12 12
Dibuja un diagrama de barras
con las frecuencias absolutas
y otro con las frecuencias
relativas.
229
7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza
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230
Y ahora... practica (Soluciones)UNIDAD 1
1. Respuesta abierta. Por ejemplo: 3 435, 6 162
2. a) d = 11 b) d = 14
3. r = 5
4. a) 175 b) No se puede.
1. a) 126 b) 959 c) 3 474
6. a) 25 d) 424
b) 7 e) No se puede.
c) No se puede. f) 1236
2. a) 38 b) 9
10. a) 19 b) 7 c) 4
UNIDAD 2
1. 24 es múltiplo de 2. 24 es múltiplo de 3.
2. 63 es múltiplo de 7. 77 es múltiplo de 7.
1. Respuesta abierta. Por ejemplo:
a) 16, 24, 32 c) 36, 54, 72b) 24, 36, 48 d) 48, 72, 96
2. Respuesta abierta. Por ejemplo:
a) 12, 6, 3 c) 2, 5, 10
b) 2, 3, 32 d) 1, 3, 13
3. Solo dos, 1 y 17.
Es primo.
5. Es primo 31.
7. 88 = 23 ? 11
8. 120 = 23 ? 3 ? 5
240 = 24 ? 3 ? 5
480 = 25 ? 3 ? 5
9. 600
10. m.c.d. (32, 48) = 24
= 1611. m.c.d. (24, 35 y 46) = 1
12. m.c.m. (10, 8) = 2
13. m.c.d. (16, 40 y 80) = 23 = 8
UNIDAD 3
1. Respuesta abierta.
Por ejemplo:10
,50
30
1.
Son equivalentes.
2. 12
4
6
2y son equivalentes.
67
5 7y no son equivalentes.
4.12
3
48
12
16
6
48
18= =
5.33
25
24
44
24
83< <
6.20
27
UNIDAD 4
1. a) 2 ? 10 + 7 + 4 ? 0,1 + 5 ? 0,02
b) 3 + 7 ? 0,1 + 8 ? 0,01 + 6 ? 0,001
c) 1 ? 103 + 2 ? 102 + 3 + 3 ? 0,001
1. a) Parte entera: 13 Parte decimal: 24
b) Parte entera: 3 Parte decimal: 86c) Parte entera: 0 Parte decimal: 007
3. 7 < 7,009 < 7,09 < 7,9
4. 2,563
5. a) 28,337 b) 283,37 c) 28,337
6. a) 4 320 b) 4,32 c) 0,432
UNIDAD 5
1. |-7| = 7 |+3| = 3
2. Op (-7) = +7 Op (+3) = -3
3. Es cierta la expresión b).
4. -18
1. 8
5. +6
2. -4
6. -9
7. +36
8. +3
UNIDAD 6
1. a) 3x - 6 b)x
512=
2. a) Ecuación b) Identidad
1. -1
5. 0
2. a) x
=12 b) x
=3
3. a) x = 12 b) x = 9
4. 2x - 3 = 7" x = 5
UNIDAD 7
1. Sí 4. 150 000 m2
2. 32,5478 kg 5. 0,0034 hm2
3. 3 720 dl 6. 1,0025 dm3
1. 345 270 000 dam3
7. 30 dm2 56 cm2 30 mm2 9. 410 m
8. 3 hl 2 dal 4 ¬ 1 dl 10. 103,002 g
2. a) 8 411,5 m b) 234,287 ¬
3. 3 020 800 m
2
4. 3 004,034 m3
UNIDAD 8
1. Se necesitan dos razones.
3. No forman proporción.
5. No es directamente proporcional.
6. No es inversamente proporcional.
1. a) x = 4,5 y = 12
b) x = 2 y = 4
7. 0,25 ? 24 = 6
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UNIDAD 9
1. No se puede hallar la longitud de una línea rectani de una semirrecta.
Sí se puede hallar la longitud de un segmento.
2. Solo se puede trazar una perpendicular. Solo se puede trazaruna paralela.
3. Consecutivos:BV y CV
Adyacentes:DV y EV
4. Los ángulos AV y BV son complementarios.
Los ángulos BV y CV son consecutivos.
Los ángulos AV y CV son iguales.
1. Trazamos una semirrecta y dibujamos un arco sobre el ángulodado. Con el mismo radio trazamos otro arco en el ánguloque estamos construyendo, y con el compás trasladamosla amplitud del arco sobre este ángulo.
2. a)
AV + BV
AV
BV
b)
AV - BV
AV
BV
6. a) 600m c) 870l
b) 18 000m d) 218 160m
3. Dibujamos una semirrecta que pase por el 0° del transportador.Marcamos el 55° del transportador y dibujamos el ángulo.
UNIDAD 10
1. a) Sí c) No
b) Sí d) No
2. Sí
1. 60º
5. Mide 35 cm.
6. Tiene que medir 9 cm.
7. Mide 5,66 cm.
UNIDAD 11
1. Mide 15 cm2.
2. Mide 28,26 cm2.
3. Mide 6,93 cm.
4. Mide 31,005 cm2.
5. Mide 29 cm.
6. Mide 50 cm2.
7. Mide 175 m2.
8. Mide 243 m2.
UNIDAD 12
1.
2. Cubo Cono Pirámide de base cuadrada
2. Caras: 10 Vértices: 16 Aristas: 24
3.
UNIDAD 13
1.
1
1 X
Y
2. Se encuentra en el cuarto cuadrante.
3. Son los puntos (1, 2) y (-2, 1).
4. y = 6
1.
2
1 X
Y
2. En el primer trimestre la familia consume 1 000 kWh,en el segundo baja el consumo a los 500 kWh, mínimo anual.Aumenta hasta 1 500 kWh, el máximo anual, para bajaren el último trimestre hasta los 750 kWh.
UNIDAD 14
2. Respuesta abierta. Por ejemplo: Edad, color favorito,peso, n.° de libros que se leen…
3. E = {2 caras, cruz y cara, 2 cruces}
Respuesta abierta. Por ejemplo: Sacar menos de 2 caras, sacarcara y cruz, sacar 2 cruces…
4. 0,355. f i
Datos
7
5
3
1
0 1 2 3 4
6. El gráfico a).
7. 0,1
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Dirección de arte: José Crespo
Proyecto gráfico:Portada: Pep CarrióInteriores: Rosa María Barriga, Manuel García
Ilustración: Jorge Arranz, José María Valera
Fotografía de cubierta: Antonio Fernández
Jefa de proyecto: Rosa MarínCoordinación de ilustración: Carlos AguileraJefe de desarrollo de proyecto: Javier TejedaDesarrollo gráfico: José Luis García, Raúl de Andrés
Dirección técnica: Ángel García Encinar