UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANNCENTRO PREUNIVERSITARIOAritmtica y AlgebraLic.VICTOR YAPUCHURA PLATEROTACNA - PERUii Aritmtica y AlgebrCentro Pre Universitario de la UNJBGDERECHOS RESERVADOS COPYRIGHT Centro Pre Universitariode la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann TacnaNinguna parte de este libro puede ser reproducida, grabada en sistema dealmacenamiento o trasmitida en forma alguna, ni por cualquier procedi-miento, ya sea electrnico, mecnico, reprogrfico, magntico o cual-quier otro sin autorizacin previa y por escrito del Centro Pre Universita-rioExclusivo para enseanza en los claustro de la U.N.J.B.G.Indice iiiINDICEPg.ITEORA DE CONJUNTOS1. Conjunto 12.Relacin de pertenencia 13.Determinacin de conjuntos 14.Clases de conjuntos 15.Relaciones entre conjuntos 26.Representacin grafica de conjuntos 37.Operaciones entre conjuntos 4Problemas resueltos (conjuntos) 6Problemas propuestos 13IISISTEMA DE NUMERACIN1. Base de un sistema de numeracin 152. Sistema decimal: 153. Principales sistemas de numeracin 154. Escritura de un nmero de cualquier sistema de numeracin 165. Escritura literal de los nmeros 166. Nmero capica 167. Descomposicin polinmica de un nmero 168. Descomposicin en bloques 179. Conversin de nmeros a diferentes bases 1710.Conversin de sistemas en los nmeros menores que la unidad 1911.Casos especiales de conversin. 19Problemas resueltos (sistemas de numeracin) 20Problemas propuestos 25CUATRO OPERACIONES 261. Suma o adicin 262. Resta o Sustraccin 263. Multiplicacin 284. Divisin: 28Problemas resueltos (cuatro operaciones) 29Problemas propuestos 34iv Aritmtica y AlgebrCentro Pre Universitario de la UNJBGIIIPROPIEDAD DE LOS NMEROSI. DIVISIBILIDAD: 361) Divisibilidad de Nmeros: 362) Notacin y representacin de los mltiplos de un nmero: 363) Operaciones y Propiedades: 374) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales 375) Criterios de divisibilidad 40II.NMEROS PRIMOS 431.Conceptos Bsicos 432.Teorema Fundamental de la Aritmtica 453.Estudio de los Divisores de un nmero entero (N) 45III.MXIMO COMN DIVISOR Y MNIMO COMN MLTIPLO 461. Mximo Comn Divisor (MCD) 462. Mnimo Comn Mltiplo (MCM) 483. Propiedades de MCD y MCM 494. Casos especiales 49Problemas resueltos (propiedad de los nmeros) 50Problemas propuestos 56IVNMEROS FRACCIONARIOS1. Clasificacin 58A.Por comparacin de sus trminos 58B.Por su denominador: 592.MCD y MCM de Nmeros Fraccionarios 613.Nmero Decimal 61Problemas resueltos (nmeros fraccionarios) 63Problemas propuestos 70VRAZONES Y PROPORCIONESI.RAZONES 72II.PROPORCIONES 72Proporcin Aritmtica 72Proporcin Geomtrica 73Promedio: 74Propiedades 75Problemas resueltos (razones proporciones y promedios) 76Problemas propuestos 85Indice vVIREGLA DE TRES1. Regla de 3 simple: 872. Regla de 3 Compuesta 88PORCENTAJES 89Aplicacin: 90Problemas resueltos (regla de tres y porcentajes) 91Problemas propuestos 97VIITEORA DE EXPONENTES, ECUACIONES EXPONENCIALES YVALOR NUMRICOTeora de exponentes 99Leyes de exponentes 99Ecuaciones exponenciales 101Problemas resueltos 101Problemas propuestos 108VIIIPOLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,PRODUCTOS NOTABLES.2. Grado de expresiones algebraicas 1103. Polinomios especiales 1114. Operaciones con expresiones algebraicas 112Productos notables 112a) Binomio al cuadrado: 112b) Producto de una suma por su diferencia 112c) Binomio al cubo 113d) Trinomio al cuadrado 113e) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma 113o diferencia de cubos. 113f) Producto de dos binomios que tienen un trmino comn 113g) Identidades de Legendre 113h) Identidades de Lagandre 113Problemas resueltos 113Problemas propuestos 120vi Aritmtica y AlgebrCentro Pre Universitario de la UNJBGIXDIVISIN, TEOREMA DEL RESTO, COCIENTES NOTABLESI. Divisin algebraica 122Definicin 122Casos de la Divisin: 122Mtodo de Ruffini 124Teorema del resto 124Cocientes notables 124Determinacin de un termino cualquiera de un C.N. 125Problemas resueltos 126Problemas propuestos 132XFACTORIZACIN: DIVERSOS MTODOSFactorizacin 134Mtodos de factorizacin 1341.- factor comn 1342. Mtodo de identidades 1353. Mtodo del aspa 136a) Aspa simple 136b) Aspa doble 1374. Mtodo de divisores binomios 1385.Mtodo de artificio de calculo 139a) Reduccin a diferencia de cuadrados 139b) Mtodo de sumas y restas 140c) Cambio de variable: 140Problemas resueltos 141Problemas propuestos 145XIMXIMOCOMNDIVISOR MNIMOCOMNMLTIPLO,FRACCIONES,SIMPLIFICACINI. Mximo comn divisor y mnimo comn mltiplo de polinomios 147II. Fracciones algebraicas 147III Simplificacin de fracciones 148Operaciones con fracciones algebraicas 148* suma y resta: 148* multiplicacin y divisin : 148Problemas resueltos 149Indice viiProblemas propuestos 156XIIRADICACIN, VERDADERO VALOR, ECUACIONES E INECUACIONESI. Radicacin de expresiones algebraicas 158Leyes de signos 158Raz de un monomio 158Raz cuadrada de un polinomio 159Radicales dobles 160Racionalizacin 161II. Verdadero valor de fracciones algebraicas 164III. Ecuaciones 166Clasificacinde las ecuaciones 166Ecuaciones de primer grado 167Ecuaciones de segundo grado 167Discusin de las races de la ecuacin de segundo grado 168Propiedades de las races 168Formacin de una ecuacin de segundo grado.- 168IV. Desigualdades e inecuaciones 168Mtodo de los puntos crticos para resolverinecuaciones: 168Problemas resueltos 171Problemas propuestos 178XIIIVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONESValor absoluto 180Relaciones 1821.Pares ordenados, producto cartesiano 1822.Relacin 1823. Dominio y rango de relaciones 1834.Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano 183Funciones 1831.Funciones: 1832.Dominio y rango de una funcin 1843.Grfica de funciones 185Composicin de funciones 187Problemas resueltos 187Problemas propuestos 189BIBLIOGRAFA 191PRESENTACINElCentroPre-UniversitariodelaUniversidadNacionalJorgeBasadreGroh-mannqueinicisusactividadesel04deenerode1988graciasalempujedesus autoridades y un grupo de docentesJovenestudiantepensandoentupreparacinparaelingresoalaUniversi-dadesquesehapreparadoestetexto,quenoshademandadobastantees-fuerzohumanoymaterial,yqueesposiblequecontengaerrores,perocree-mos que es as como se avanza, y en el camino se irn corrigiendo. Ahora teplanteamos el reto de que sepas responder ante este esfuerzoIng. Salomn Ortiz QuintanillaJefe del Centro Pre-Universitario de la UNJBG- 1 -ITEORIA DE CONJUNTOS1. CONJUNTOAgrupacindeelementosquetienencaractersticassimilares.Parasimbolizarconjuntosseempleanletrasmaysculas:A,B,C,......loselementosdelcon-junto se simbolizan con letras minsculas: a, b, c, ...... por ejemplo:{ ; u p e c A , , , =2.RELACION DE PERTENENCIAUn elemento pertenece a un conjunto si forma parte de ella.Ejm: Si { ; e d c b a A , , , , =A gA fA cA aeeee3.DETERMINACIN DE CONJUNTOSa) Extensin: Un conjunto est por extensin cuando se observa todo y ca-da uno de sus elementos.Ejm: Si { ; 4 , 3 , 2 , 1 A =b) Comprensin: Un conjunto est determinado por comprensin cuandosus elementos se caracterizan mediante una propiedad comn.Ejm: Si { ; 4,sN e= xxxA4.CLASES DE CONJUNTOSb) Conjunto Unitario: Conjunto que tiene un solo elemento.AUgfabd ce2 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGEjm:{ ;{ ; 56 x 4,=< < .N e=AxxAc) Conjunto Vaco: Conjunto que no tiene elementos.Ejm:{ ;{ ; = =< < .N e=AxxA 5 x 4,d) Conjunto Finito: Es aquel cuyo elementos es limitado; es decir se pue-de contar desde el primero hasta el tlimo.Ejm:{ ;{ ; 50 1 , ..... , 5 , 4 , 3 A50 1 x 3, xxA=< < .N e=e) Conjunto Infinitivo: Cuyo nmero de elemento en ilimitado{ ; { ; .... 9 , 8 , 7 , 65 xN x=>e= Af) Conjunto Universal: Es aquel conjunto que contiene todos los demsconjuntos, simbolizados por la letra U.5.RELACIONES ENTRE CONJUNTOSa) Inclusin: Se dice que A esta incluido en el conjunto B , ) B A c ,cuando todo elemento de A, pertenece a B.Ejm:Sea{ ;{ ; 6 , 4 3,6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1==BALuego A B c pero , ) B A .Teora de Conjuntos 3b) Conjuntos Iguales: Dos conjuntos son iguales si tiene los mismos ele-mentos.Ejm:Sea{ ;{ ; c , b, 3,3 , c , b ,a Ba A==C = { ; 4 , 3 , 2 , 1Luego B A = pero C A =c) Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienenningn elemento en comn.Ejm:{ ;{ ; 8 , 7 6, 5,4 , 3 , 2 , 1==BAA y B son disjuntosd) Conjunto Potencia: Conjunto formado por todos los sub conjuntos quees posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que espotencia del conjunto A.Ejm: Si: A = { ; 4 , 3 , 2 Hallar la potencia del conjunto A.Entonces{ ; { ; { ; { ; { ; { ; { ;)`| = _ A del s Subconjuto, 4 , 3 , 2 , 4 , 3 , 4 , 2 , 3 , 2 , 4 , 3 , 2 ) A ( PPor lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Que el conjunto P(A) tiene:23= 8 subconjuntos=>Donde:n(A): nmero de elementos A6.REPRESENTACIN GRAFICA DE CONJUNTOSDiagramas de Venn Euler: Consiste en graficar mediante crculos, elipses,rectngulos u otras figuras geomtricas de rea plana, cada uno de los conjun-nmero de subconjuntos de A=2n(A)4 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGtos dados.A BUabd cce7.OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSa) Unin B) (A : Conjunto que tiene como elementos a aquellos quepertenecen al conjunto A y/o a B.{ ; Bx A x x B A e v e = Propiedad:, ), ) B A B *B A A *A B B A * c c = b) Interseccin ( B A ): Conjunto que tiene como elementos aquellosque pertenecen al conjunto A y B. (elementos comunes a ambos).{ ; Bx A e . e = x x B APropiedad:B) A ( B) (A *B B) (A *A B) (A *A B B A * c c c = c) Diferencia (A B): Conjuntos cuyos elementos pertenecen a A perono al conjunto B.{ ; Bx A e . e = x x B AA BUA BUTeora de Conjuntos 5Propiedad:A B) A ( B) (A *B B) (A *A B) (A *A B B *A= . c = d) Diferencia Simtrica (AAB): Conjunto que tiene como elementos aaquellos que pertenecen al conjunto ( B A ) pero no al conjunto( B A )., ) , ) { ; B A x B A e .e = A x x B APropiedad:| = A = A c AA = AA A *B A BAdisjuntos son B A y Si *) B A ( B) (A *A B B A *e) Complemento de un conjunto (A), (Ac): Conjunto cuyos elementos per-tenecen al universo pero no al conjunto A.{ ; AxU A' e . e = x xPropiedad:U ' *A )' (A' *A' A *U A' A *= == = Observacin:' ' )' ( *' ' )' ( *B A B AB A B A = = A BUA BUUAA6 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGNota:El cardinal de un conjunto es nmero de elementos que tiene unconjunto* B) n(A n(B) n(A) B) n(A + = *) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C B A n C B n C A n B A n C n B n A n C B A n + + + =PROBLEMAS RESUELTOS (CONJUNTOS)1. Si: A={ 1, {2}, 3} seale la expresin falsa:A) {2} e A B) {{2}} c A C) 3 e A D) {1,3} e A E) {1, {2}}c ASol.Elementos1{2}3En total tenemos 3 elementos enA.Debemos tenerpresente que sia un ele-mento le colocamos signos de coleccin (llaves) se ha formado un conjunto.Entonces:- {2} e A es verdadero- {{2}} c A es verdadero- 3 e A es verdadero- {1,3} e A es falso por que {1, 3} no es un elemento de A.- {1, {2}}c A es verdaderoRpta.: ( D )2. Sea , ) { ; 3 3 12< s . e + = = m Z m m x M .DeterminarelcardinaldeP(M).A) 16 B) 18 C) 20 D) 32 E) 24Solucin:- Si m = -3 x = (-3+1)2= 4- Si m = -2 x = (-2+1)2= 1- Si m = -1 x = (-1+1)2= 0- Si m = 0 x = (0+1)2= 1- Si m = 1 x = (1+1)2= 4- Si m = 2 x = (2+1)2= 9Teora de Conjuntos 7Por tanto :M = { 0, 1, 4, 9}, ) [, )16 2 24= = =M nMP nRpta.: A3. De un grupo de 72 personas se sabe que 25 de ellas leen revistas; 7 revis-tas y peridicos; 8 revistas y libros; 15 solamente libros, 2 revistas, peridi-co y libros; y el nmero de personas que slo leen libros y peridicos, es latercera parte de las personas que slo leen peridicos Cuntas personasleen peridicos?A) 24 B) 27 C) 31D) 35E) 3972523x126x15LibrosRevistas (25)PeridicosDe la fig:12 + 5 + 2 + 6 + 3x + x + 15 = 7225 + 4x + 15 =724x =72 404x = 32x = 8 leen peridicos:7 + 4x =7 + 4 x 8= 7 + 32 = 39Rpta.: (E)4. Si :)`= + e = 0 14 52x x Z x ACuntos elementos tiene P(A)?A) 0B) 4 C) 2D) 1E) 38 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGSol.:x2+ 5X 14 = 0( x + 7 ) ( x 2 ) = 0x = -7 x = 2A = {-7 , 2} [ 4 22) (= =AP nRpta.: (B)5. Cules de los siguientes conjuntos:{ ;)`= + + e =)`=+e == + e =0 11110 622x x R x AxxR x Bx x R x ASon unitarios?A) A y B B) A y C C) B y C D) Slo A E) Slo BSol.:*, ), ) 0 2 30 60 62= += += +x xx xx x2 3 = = x x4 = x e R*, ), )1 111 1111111122 == + +=+=+xx xxxxxxTeora de Conjuntos 92 = x e R*R xxx xe = == + +23 11 . 21 . 1 . 4 1 10 12{ ; = CRpta. : A6. Si: , ) { ; Z y , Z x y x 20 y x y x A2 2 2e e = . = + = , ,Hallar el nmero de elementos del conjunto A.A) 5B) 1 C) 2 D) 3 E) 4Sol.:*24 50 4 50 2020202 22 22 42222 2 2 == ==|.|

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|.|

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+= += +|.|

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= . = + yy yy yy yy yy x y xnoSi : y = 2 x = 4y = -2 x = 4 A = { (4,2) (4, -2)}n(A)= 2Rpta. :( C )7. Qu expresin representa la parte sombreada de la figura?10 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGA BCA) (AB) - C B) C(AB)C) (AB) - C D) ABCE) (AB) CSol.:A8BC14736 25UU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {3, 4, 5, 6, 7}C = {2, 3, 6}Parte sombreada = {2, 6}* (AB) C = ???AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}C = {2, 3, 6}(AB) C = {1, 4, 5, 7} No* (AB)= {3, 4, 5}(AB) = {1, 2, 6, 7, 8}C (AB) = {2, 6} SiLos dems no son.Rpta. B8. Si:AcBy AD=|Teora de Conjuntos 11Simplificar: , ) [ , ) [ D A B B D A ' 'A) ABB) A C) BD) | E) D BSol.:Grficamente:UABDEntonces: , ) [ , ) [ D A B B D A ' ' [ [BBA B B A | 'Rpta.( C )9. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:* Si : n(A) = 2 y n(B) = 3, entonces el nmero mximo de elementosde C = P(A)P(B) es 12.* Si { ; 1 n 1 - Z, n 1 n A2s s e = entonces el n(A) es 3* Si AB = | , entoncesA = | . B = |A) VFFB) FFF C) FVFD) VVFE) VVVSol.:* Como: n(A)= 2 n[P(A)] = 22= 4n(B)= 3 n[P(B)] = 23= 8Para que P(A)P(B)sea mximo deberan ser disjuntos, pero en estecaso comparten el conjunto vaco. [ [Falso 11 1 8 41 P m P n nB A C= + = + =) ( ) ( ) (* Determinacin de A:12 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG, ){ ; { ;, - A , ,n Z n n A0 1 0 1 01 1 1 0 1 11 1 12 222= =)` =)`s s e =, ,; n(A)= 2 Falso* AB = | cuando A y B son conjuntos disjuntos. Por tanto nonecesariamente A = | . B = |FalsoEn conclusin es: FFFRpta.:B10. Para a, b e Z ; F y G son conjuntos tales que G = |. F G es un conjuntounitario:F = {a2+ 2b, b2+ 1}yFG = {a + 4b,b + 1 3a}Hallar FBA) | B){0} C) {10} D) {1} E) {-1}Sol.:Si FG es unitario, entonces F tambin es unitario, as:a2+ 2b = b2+ 1a= b- 2b + 1a = ( b - 1 )2 22 2a = b-1 .........1a = -b + 1 .........2Adems, deFG:a+ 4 b = b + 1 3a 4a+ 3 b = 1.de . 2 71 3 43 3 37572= = =+)`= + = b aab ab aNo cumple las condiciones dadas a, b e Z.Teora de Conjuntos 13de y :, ){ ; 10 231 3 1 4= . === + + G F abb bRpta.: ( C )PROBLEMAS PROPUESTOS1. De 50 alumnos de CEPU 15 no hablan en clase,14 son los que ren,24 parecieran ciegos por que no miran a la pizarra; de stos ltimos 5no hablan y 4 se ren. Cuntos de los que no ren hablan y siguencon la mirada la clase en la pizarra?A) 6 B) 10 C) 8 D) 7 E) 52. 200 personas los sbados practican ftbol, frontn, atletismo, nata-cin o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres delos deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; losque practican nicamente dos de los deportes es el doble de los quepractican solo tres. 30 practicansolo un deportey 50se dedicanaotrasactividades como ir al mercado, cocinar, etc. Cuntas personaspractican los cuatro deportes?.A) 12 B) 10 C) 8 D) 15 E) 173. Sean los conjuntos { ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 = A y { ; 3 ; 2 = B entonces se dice que Ay B son:A) Iguales B) ComparablesC) Equivalentes D) Disjuntos E) N.A.4. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40%gustan pia, 30% gus-tan manzanay fresa, 20%gustan fresa y pia, 15% gustan manzanay pia, 5% gustan de los tres. Qu porcentaje de las personas en-cuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.A) 10% B) 15% C) 8% D) 12% E) N.A.5. En una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba la14 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGmatemtica, 50 eran mujeres que si les gustaba; si el nmero de hom-bres que gustaban de la matemtica es la tercera parte de las mujeresqueno gustaban de la matemtica, A cuntos les gustaban la ma-temtica?A) 30 B) 50 C) 55 D) 60 E) N.A.6. Si: { ; { ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 = A . El enunciado verdadero es:A) { ; ) ( 4 A P c B) A e 2 C){ ; A e 3 ; 2 D) A e 3 E) { ; A c 2 ; 17. Si X, Y y Z son conjuntos tales que Z Y X c c . Simplificar: [ [ ) ( ) ( ) ( ) ( X Y Z Y X Z Y Z X A) X B) Z C) Y D) U E) 8. De un grupo de 100 estudiantes 49no llevan el curso de lgebra y53no siguen el curso de Aritmtica; si 27 alumnos, no siguenAritmtica ni lgebra, cuntos alumnos llevan exactamente uno detales cursos.A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 269. A y B conjuntos tal que: 17 ) ( =B A n ; [ 256 ) ( = B A P n ; [ 4 ) ( = A B P n ; Hallar: [ B A P n (A) 2 B) 4 C) 28 D) 64 E) 3210. Dado los siguientes conjuntos iguales:{ ;{ ;{ ;{ ; 1 ; 12 ; 42 7 ; 82 ; 1+ + =+ = =+ + =y z Dy Cx Bx x ACalcular E = x + y + z.A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11- 15 -IISISTEMA DE NUMERACINEs un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad, conel fin de buena lectura y escritura de los nmeros.1. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACINSe llama as al nmero fijo de unidades de un orden que se toman paraformar una unidad del orden superior.Ejem. ) (n abcd { Sistema del Base : n2. SISTEMA DECIMAL:Cuando la base del sistema es diezEjm: 35243. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIONBASE SISTEMA CIFRAS DISPONIBLES23456789101112...BinariosTernarioCuaternarioQuinarioSenarioEptalOctalNonarioDecimalUndecimalDuodecimal...0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 60, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , ...=10 =12 =12...16 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG4. ESCRITURA DE UN NUMERO DE CUALQUIER SISTEMA DE NUMERA-CIONBase 10: 345, 32etcBase 2: 10(2),1101(2)etcBase 6: 321(6), 4251(6)etcBase 12: 97(12), 59(12)etc5. ESCRITURA LITERAL DE LOS NMEROS- : ab nmero de 2 cifras (10, 11,.........., 99)- : abc nmero de 3 cifras (100, 101, 102 ...., 999)- : aa nmero de 2 cifras iguales (11, 22, 33, .....99)- : 27ab nmero de 4 que comienzan en 27.6. NMERO CAPICA:Nmero cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leenigual por ambos lados .Ejem. 44, 121, 363, 4554, 31213, etc7. DESCOMPOSICIN POLINMICA DE UN NMERO:Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus ci-fras de dicho nmero.Sea: _ cifras mxyz ....... abcd N =(n)Descomponiendo en forma polinmica es:z n y n x n c n b n a Nm m m+ + + + + + = . . ....... . . .2 3 2 1Ejm:* 3123(4)= 3 x 43+ 1 x 42+ 2 x 4 + 3* c n b n a abcn+ + = . .) (2* b a b a ab + = + = 10 10 .Sistema de Numeracin 178. DESCOMPOSICIN EN BLOQUES:Se llamar bloque a un grupo de cifras.Ejm.- Descompongamos abcd en bloquescd ab abcd + =210 .- Descompongamos abab en bloquescd ab abab + =2109. CONVERSIN DE NMEROS A DIFERENTES BASESa) CASO 1: De un sistema de base n al sistema de base 10 (sistema de-cimal)Ejm: Convertir 321, al sistema decimal- Por descomposicinpolinmica321(5)= 3x52+ 2x5+1 = 75+10+1 = 86321(5) = 86- Por Ruffini53 2 115 853 17 86321(5)= 86b) CASO 2: Del sistema Decimal a un sistema de base nEjm:Convertir 329 al sistema quinario- Por divisiones sucesivas329655555151513103029254032) (52304 329 = 18 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGc) CASO 3:De un sistema de base n a otro de base m donde. 10 = = m n- El primer paso, es transformar la base n a base 10.- El segundo paso, es transformar el nmero obtenido a base mEjm: Convertir 341(5)a base 3- 341(5)= 3x52+ 4 x 5 + 1= 75+20+1=96341(5)= 96-96=10120(3)96963230 1093 3333302110 341(5)= 10120(3)Reglas Prcticas- Todas las cifras son menores que la base: cifra < BaseEjm:) (82 3 b a 8 b 8 < . < a- Si un nmero se expresa en dos sistemas distintos:341(5)= 10120(3)Vemos que:A nmero Mayor Base MayorA nmero Menor Base MenorEs decir: 203(n)=104(m)=> n < mBase n Base mBase 10Sistema de Numeracin 1910.CONVERSIN DE SISTEMAS EN LOS NMEROS MENORES QUELA UNIDADCASO 1: De basena base 104 3 2 10 + + + = n d n c n b n a abcdn. . . . ,) (Ejm:Convertir:0,32(n)a base 100,32(4)= 3 x 4-1+2 x 4-2871614162 1242432= =+=+ =875 , 0 32 , 0) 4 (= CASO 2: De base10a base nConvertir: 0,390625 a base 4Se multiplica slo la parte decimal0.390625 x 4= 1,56250,5625 x 4= 2,250,25 x 4= 1,00(4)0,121 0,390625 = 11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIN.a) Debasen a base nkDado el nmero en base n se le separa en grupos de K cifras a par-tir de la derecha20 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGEjm: Expresar 10011101(2)a base 8Vemos que 8 = 23;se separa en grupos de 3 cifrasBase 2: ) (25 3 2101 011 10Base 8:235(8)b) De base nka base nDado el nmero en base nkde cada cifra se obtiene k cifras al con-vertirse a base n.Ejm:Convertir: 325(8)a base 2101501020113+ + + 325(8)= 011010101(2)PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIN)1. Cmo se representa) (234nen base (n-1)?A) 297 B) 279 C) 269 D) 299E) 287Sol.:1 Transformamos) (234na base decimal.4 . 3 . 2 2342) (+ + = n nn2 El nmero 4 3 22+ + n n transformamos a base n-1Sistema de Numeracin 212n + 3n + 4 n - 1- 2n+ 2n2n + 5 n-15n + 4-2n + 22- 5n + 5 7 922) (234n=) 1 (279 nRpta. : B2. Si : 850) (=nabab ; hallar: (a + b) . nA) 25 B) 30 C) 45 D) 35 E) 15Sol.: 850) (=nabab850 ) 1 ( ) (850 ) (850222 3= + += + + += + + +-n b anb ab b an nb an bn an( +) ( +1) = 1750 anb n2xnab = 7= 2 = 3 (a + b)x n = ( 2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35Rpta.:( D )3. Siun nmero se convierte a dos sistemas de numeracin de bases impa-resconsecutivasseescribe102y201.determinardichonmeroenbase10 y dar como respuesta la suma de sus cifras.A) 5B) 4C) 3 D) 6E) 722 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGSol.:0 ) 3 (0 12 2 41 2 8 8 2 1 4 41 ) 1 2 ( 2 2 ) 1 2 (201 1022 22 2) 1 2 ( ) 1 2 (= = ++ + = + + ++ = + += +n nn nn n n nn nn n 3 = nentonces: 51 2 49 102 102) 7 ( ) 1 2 (= + = =+ n6 1 5 = + = cifras Rpta. D4. Lasumadedoscifrasqueformanunnmeroesiguala9.Sialnmeroresultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el nmeroprimitivo; cul es el cuadrado de dicho nmero?A) 2025B) 2601 C) 2704 D) 2809 E) 2916Sol.: Sea el nmero abEntonces: problema del datos99)`= += +ab bab a119 9 910 9 10= = + = ++ = + += +b aa ba bb a a bab p baPor tanto: a = 5 b = 4Finalmente: 2916 542 2= = ab Rpta. E5. Encuntossistemasdenumeracinelnmero1234seescribecon3cifras?Sistema de Numeracin 23A) 10 B) 15C) 30 D) 25 E) 20Sol.: Por dato, tenemos:) (1234nabc =Entonces:{ ; 35 34, , ....... 13, 12, 11, nn 10,..... 35 nn 1234 1234 nn 1234 nn abc n1000 abc 1003 23 23n2nnn= . s< . s< s< s< s..... ,) () () () ( nmero de trminos = 25110 35=Rpta:D6. Si: ) () () ( 888 cba 2 abc = . Hallar a + b + cA) 18B) 16 C) 14 D) 12 E) 10Sol.:) ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) () () () (8 8 88 8 88 8888abc cba abccba abc abccba 2 abccba 2 abc == += = Por propiedad:b = 7a + c = 7 a + b + c = 14 Rpta.C7. Cmo se escribe en base 6 el menor de los siguientes nmeros:; 6b5 y 7a3 ; 545(a) (8) ) (bA) 252(6)B) 545(6)C) 209(6)D) 134(6)E) 425(6)24 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGSol.: Analizando tenemos:b 8 a b 5; 6b5 y 7a3 ; 545(a) (8) ) (ab< < 8 m = 9n = 5m n = 4 Rpta. BPROBLEMAS PROPUESTOS1. Se sabe que: ) 8 ( ) ( 1 6 2 bb a c = . Calcular:a+ b + c.A) 12 B) 15 C) 14 D) 16 E) 132. El numeral de dos cifrases n veces la suma de sus cifras, si elnumeral que se obtieneal intercambiar los dgitos resulta de mul-tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:A) 11+n B) 11-n C) 7+n D) 7-n E) 2n3. Convertir el nmero decimal 798 al sistema de base 28. Dar comorespuesta la suma en base 10 de sus cifras.A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E)154. Determine cuantosnmeros de tres cifras existen en base 8 enlos cuales una cifra se repite exactamente dos vecesA) 220 B) 130 C) 147 D) 215 E) 4205. La base del sistemadenumeracin en que ) 4 )( 2 ( c c c se escribe26 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGcon tres cifras iguales es:A)8B)4 C)5 D) 7 E) 116. Si) 9 ( ) (1c m abac = Calcularel valor de b sabiendo que m>5.A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 87. Si ; 0 0 00 nn mm nn + = calcularnm expresado en base 5.A)21B) 22 C)34 D) 44 E)328. Hallar a + b + c. Si:) ( ) 9 ( 72 2 c a b a =A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 209. Si se cumple que: T AMET= .Calcular TEAMEA) 64526 B) 62565 C) 46526 D) 46256 E) N.A.10. Cuntos nmeros de 3 cifras diferentes se pueden formar con losdgitos 1, 2,3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dece-nas?A) 72 B) 60 C) 24 D) 36 E) 48CUATRO OPERACIONES1. Suma o adicin: Operacin que tiene por finalidad reunir varias cantida-des en una sola. _ Sumandosna a a aS + + + + = ......3 2 12. Resta o Sustraccin: Operacin inversa a la suma.Suma TotalSistema de Numeracin 27Propiedad:- M+S+D=2M- Si: mnp cba abc = Se cumple que:n = 9m + p = 9Complemento Aritmtico de un nmero natural: Es lo que le falta a ste serigual a la unidad del orden inmediato superior de su mayor orden.Ejm.C.A. (45) = 100 45 = 55C.A. (950) = 1000 950 = 50C.A. ( abc ) = 1000 abcEn general:C.A. xyz ...... abc 10 ) xyz ......... abc (mcifras m = _ Otromtodo:parahallarelC.Aapartirdelmayorordendeunnmero,serestan las cifras de nueveyla ltima cifras significativa de 10. Si hay ceros alfinal, stos permanecen en el complemento.Ejm:- C.A. 694782 8 30521109=+) ( _ - C.A. 36 8 610 9= ) (- C.A. ( abcd ) = ) )( )( )( ( d c b a 10 9 9 9M S = DMinuendo SustraendoDiferencia28 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG3. Multiplicacin: Operacin donde:Dadadoscantidadesmultiplicandoymultiplicadorsehallaunatercerallamada producto.4. Divisin:D: Dividendod:divisorc:cocienter:residuoTambinClases de Divisin:b) Divisin exacta: Cuando el residuo es ceroEjm.c) Divisin Inexacta:- Por defecto:Donde0 < r < dD__rdD = dc + rD__0dcD = dc880428 = 4 x 2D__rdcD = dc+raxb = PMultiplicando MultiplicadorProductoSistema de Numeracin 29Ejm.- Por exceso:Donde0 < re< dEjm.Propiedad:1: r + re= d2: rmax=d 13: rmin=1PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)1. La diferencia entre dos nmeros naturales es x. Si se resta 5 al minuendoy se suma 3 al sustraendo Cul ser la diferencia?a)x + 5b) x 5c) x + 8 d) x + 2e) x 8Sol.M S = D M 5 (S + 3) = DifM S = X M 5 S 3) = DifM S 8 = DifX 8 = Dif .Rpta.( e )383626638 = 6x6+2D__redc+1D = d(c+1) re3842- 466+138 = 6(6+1) 430 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG2. Si la suma de 2 nmeros es 56 y su cociente es 5 con residuo 2. Cul esla suma de sus cifras del producto de dichos nmeros?a) 6 b) 9c) 11 d) 12e) 16Sol. Sean los nmeros a y bPor dato:a + b = 56 ...... (1)adems:c = 5 y residuo = 2D = dc + rA = 5b + 2 ........... (2)De (1)y (2):a+ b= 565b + 2 + b = 566b = 54b = 9 a = 47 47 x 9 = 423= + + = 9 3 2 4 cifrasRpta.( b )3. Hallar las 3 ltimas cifras de las suma:S = 7 + 77 + 777 + 7777 + .......... + 777 ...... 7777(40 sumandos)a) 610 b) 801c) 106 d) 601 e) 810Sol.Tenemos la suma:Sistema de Numeracin 310 1 6 ..........sumandos 407 7 7 77...7...... ................ ..........7 7 7 77 7 77 77)`En las unidades:7 . 40 = 280, colocamos cero y llevamos 28En las decenas:7 . 39 + 28 = 301, colocamos 1 y llevamos 30En las centenas: 7 . 38 + 30 = 296, colocamos 6 y llevamos 29.Rpta. (a)4. Aldividirunnmerode3cifrasentreotrodedoscifrasseobtiene11decocientey25deresiduo.Selestomaelcomplementoaritmticoyselesvuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar lasuma de las cifras del dividendo y del divisor.a) 25b) 26 c) 27d) 28e) 29Sol:Sean abc y de los nmeros*abc de251125 de . 11 abc + = ... (1)*abc de191000 -1000 -719 ) de 100 ( 7 abc - 1000 + = ..... (2)Reemplazando ec. (1) y (2):1000 - 11 de - 25 = 700 - 7 de + 194 de = 256de = 64Entonces: 729 abc =28 9 2 7 4 6 cifras= + + + + = Rpta. (d)32 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG5. Hallar la suma de las cifras del producto: _ cifras 4099 .... 999 438 P =a) 360 b) 270 c) 180d) 90 e) 450Sol.Dandoforma a P:P = 438 x ( 1 ........00 1000cifras 40 _ )P = 438 438 00 ... 0000cifras 40 _ Entonces:43800 ... 0000 438 _ cifras 3799562 ... 99 437Portando:+ + + + + + = 2 6 5 27 x 9 7 3 4 cifras= 360Rpta.(a)6. Halle a+b+c+m+n ,si9nmmmm2 abc =a) 20 b) 22c) 24 d) 25 e) 23Sol.9nmmmm2 abc =mmmm = 9. 2 abcEs decir:mmmm n9x 2 c b a a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)* 2x9 =18 dejamos 8 y llevamos 18 m = * 9xc+1=??? Debe terminar en 83 c = * 9xb+2=??? Debe terminar en 84 b = * 9xa+3=??? Debe terminar en 85 a = n = 4Sistema de Numeracin 337. Hallarlasumaenbase10de:23(n)+35(n)+....+155(n),silossumandosestn en progresin aritmtica.a) 608 b) 1216 c) 2432 d) 4864e) 1824Sol.Por def. de P.A.:30(n) 23(n)= 35(n) 30(n)3n 2n 3 = 3n + 5 3nn = 8Entonces convirtiendo a base 10: S = 19+24+29+34+ .... +1091216 S19 .2109 19S19514 109trminos de #=|.|

\ += ==Rpta.(b)8. Aumentandoen9los2factoresdeunproducto,elresultadoaumentaen549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.a) 36b) 16 c) 34 d) 17e) 28Sol.Sea: P = a x bPor dado: (a+9)(b+9) = P+549ab + 9a + 9b + 81 = ab + 5499a + 9b = 468a+b = 52Entonces:70 a 218 b - a52 b a=+)`== +a = 35 b = 17 Rpta. (d)9. Siladiferenciadedosnmeroses14560yelduplodelmayores60000.34 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGEn cunto excede el nmero 76543 al menor de los dos nmeros?a) en 61103 b) en 61983c) en 31103d) en 62103 e) en 60103Sol.Sean a y blos nmeros ( a > b )2a = 60000 a = 30000adems30000 b = 14560 b = 15440Nos piden: 76543 15440 = 61103 Rpta. (a)10. Si mnp 4 ba ab 4 = y 4 w ba ab = , entonces 2 + 3b es:a) 17 22 b) 20 32c) 18 52d) 32 20 e) 19 21Sol.De: 4 w ba ab = se obtiene10a + b 10 b a = 10 w + 49a 9b = 10w + 49(a b) = 10w + 4Tanteando:a b = 6 . w = 5cumple) (no 3 9cumple) (si 2 8cumple) (si 1 75w 6 b - a! != . =Adems mnp 4 ba ab 4 = n = 9 m + p = 9Reemplazando:2a+3b=2(7)+3(1)=14+3=172a+3b=2(8)+3(2)=16+6=22Rpta. (a)PROBLEMAS PROPUESTOS1. Si al producto de dos nmeros le incrementamos su cociente, re-sulta 18.Hallar la suma de dichos nmeros.A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 142. Hallar a+b+c+m+n Si:cba mn abc + =1 , dondec abbc a=+A) 27 B) 29 C) 31 D) 30 E) 28Sistema de Numeracin 353. Hallar un nmero de 2 cifras que sea igual a 8 veces la suma desus cifras.A) 9 B) 10 C) 72 D) 27 E) 134. Calcular la suma de las cifras del producto:) 99 ... 999 )( 77 ... 777 (10 10 _ _ cifras cifras A) 90 B) 70 C) 80 D) 20 E) 7725. Una botella vaca pesa 425 gramos y llena de aguapesa 1175gramos. Cuntas botellas semejantes sern necesarias para vaciaren ellas el contenido de un barril de 225 litros.A) 220 B) 250 C) 280 D) 300 E) N.A.6. El cociente del producto de tres nmeros consecutivos, entre susuma es 16. El nmero intermedio es:A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 107. Si , ) ) () (1234 . . nnabcd A C = y 400 32 ) 6 ( < nHallar d c b a + + +A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 118. Lasuma de los tres trminos de una resta es 4698. Si elminuen-does triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmtico dela diferencia.A) 8434 B) 7651 C) 217 D) 5802 E) 76349. El nmero de 3 cifras que restando de su C.A. dacomo resultado286,es:A) 300 B) 367 C) 357 D) 643 E) 72110. Si TRES SIETE CA = ) ( .Calcular ) ( S I E S CA + + +A) 73 B) 75 C) 77 D) 12 E) 16- 36 -IIIPROPIEDAD DE LOS NMEROSI. DIVISIBILIDAD: Parte de teora de nmeros que estudialas condi-ciones que debe reunir un numeral para ser divisible entre otro.1) Divisibilidad de Nmeros:Un nmero entero es divisible entre otro entero positivo, cuando al di-vidir el primero entre el segundo el cociente es otro entero y el residuocero.- Cero (0) siempre es mltiplo de todo entero positivo- Unnmeroenteronegativopuedesermltiplodeunnmeroentero positivo.2) Notacin y representacin de los mltiplos de un nmero:- Si A es mltiplo de B lo representamos:A = k Bdonde k = { ....., -2,-1, 0, 1, 2, ....}A =oB (notacin Leibniz)- Si un nmero entero no es divisible entre cierto mdulo (divisor), sepuede representar como un mltiplo del mdulo mas cierto residuopor defecto:Ejm.- Se dice que un nmero B (mdulo) es divisor o divide a A cuandoest contenido un nmero entero y exacto de veces.Ejm: Los divisores de 6 son:61236A__rBcA =B.c + rA=oB+ rPropiedad de los Nmeros 373) Operaciones y Propiedades:-a a ao o o= +* Si :5a =o7 => a =o7-a a ao o o= * Si : 21a =o35-a a ao o o= 3 a =o5 => a =o5-0 0a k a = -a aoko=||.|

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-enteroaao=-b a b ao o o= .Ejm:,)2 6 23142o6+4) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potencialesa) Sabemos por lgebra que:- , ) , )2o2 2o2o o2 2 2b a b a b a b a a b ab 2 a b a + = + + = + + = + + = +- , ) , )3o3 3o3o o o3 2 2 3 3b a b a b a b a a a b ab 3 b a 3 a b a + = + + = + + + = + + + = +- En general: , )kokr a b a + = + Si Ke Z+k0k0r a r a + =||.|

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+ sik e Z+- +=|.|

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impar es Kpar es Koookkkr nr nr nEjm:* Todo nmero es mltiplo de la base en la cualest escrito ms la ltima cifra.d n c n b n a abcd2 3n + + + = . . . ) (d n n no o o+ + + =d n abcdon + = ) (38 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG-96o96o3 17 3 17 + =|.|

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+-123o123o5 6 5 6 =|.|

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+-128o128o5 6 5 6 + =||.|

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- 1 6 1 6o128o+ =|.|

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+OBSERVACIN, ), ), ) c b a n c n b n a no o o o + =||.|

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||.|

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+||.|

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+Ejm: Calcular el residuo de dividir 7 129635Sol:, ), )5 r 5 7 2 7 72 7 2 1 7 72 7 1 7 72 7 1 7 79 27 73 3 73 73 7 129o oo o oo 0 oo2110 o211o22113o635o635o635=+ = + = = + + =||.|

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+||.|

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+ =||.|

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+ ||.|

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+ = + = + =+ =||.|

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+ =) )( (b) Restos PotencialesSe llama restos potenciales a todos a todos residuos que dejan las po-tencias sucesivas enteras y positivas de un nmero N (diferente de ce-Propiedad de los Nmeros 39ro) al ser divididos entre otro m (mdulo).Potencias Sucesivasde NResultados enfuncinomResiduosN0 om+11N1 om+ r1r1N2 om+ r2r2 Restos PotencialesN3 om+ r3r3N4 om+ r4r4: :Ejm: Calcular la restos potenciales de 5 respecto al mdulo 9.Sol.:5 r 5 9 1 9 5 9 51 r 1 9 2 9 5 9 5gaussiano2 r 2 9 4 9 5 9 54 r 4 9 7 9 7 9 58 r 8 9 35 9 7 9 5 9 57 r 7 9 7 18 55 r 5 9 5 0 51 r 1 9 1 0 57o o o76o o o65o o o54o o o43o o o o32o21o10o0: : : := + =||.|

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+||.|

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+ == + =||.|

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+||.|

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+ =)`= + =||.|

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+||.|

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+ == + =||.|

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+ == + = + =||.|

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+||.|

\

+ == + = + == + = + == + = + =g = 6 Donde g: gaussiano40 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGCONCLUSIN:=== + == + == + == + == + == =+ =residuo rExponente E2 r ; 5 64 r ; 4 68 r ; 3 67 r ; 2 65 r ; 1 61 r ; 69 5oooooooEEEEEErEEjm.: Si : r + = 9 5o2264 6 226o+ = = E 4 = r5) CRITERIOS DE DIVISIBILIDADConjuntodereglasqueaplicadasalascifrasdeunnumeralnospermiteanticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.a) Divisibilidad por 2: Cuando termina en cero 0 cifra par.Ejm.:- 8 6, 4, 2, 0, d 2o= = abcd- 3528b) Divisibilidad por 5: Cuando termina en cero cinco.Ejm.:- 5 0, d 5o= = abcd- 325c) Divisibilidad por 4: Cuando sus 2 ltimas cifras son ceros o forman unnmero mltiplo de 4.Ejm.:- 96 ......., 16, 12, 08, 04, 00, de 4o= = abcde- 32432Propiedad de los Nmeros 41d) Divisibilidad por 25: Cuando sus 2 ltimas cifras son ceros o formanun nmero mltiplo de 25.Ejm.:- 75 50, 25, 00, de 5 2o= = abcde- 87975e) Divisibilidad por 2n 5n: Es divisible por 2n 5nsi sus n ltimas ci-frassoncerosoformanunnmeroqueseadivisiblepor2n5nres-pectivamente.Ejm.:- Si: n = 3 2o3= abcdefo o8 def si 8 = = abcdef-o8 2 3 0 5 2 3 = _ Nota: Un nmero es divisiblepor 8 si sus 3 ltimos cifras son ceros oforman un nmero que sea divisible por 8.f) Divisibilidad por 3: Cuando la suma de sus cifras es un mltiplo de 3.Ejm.:*Si:3 f e d c b a 3o o= + + + + + = abcdef*3 6 5 4 3 3 3 33456o o= + + + + =o3 21=g) Divisibilidad por 9: Cuando la suma de sus cifras es un mltiplo de 9.Ejm.:- Si:9 f e d c b a 9o o= + + + + + = abcdef- 9 6 5 4 9 3 9 39456o o= + + + + =o9 27 =42 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGh) Divisibilidad por 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifrasimpar menos la suma de sus cifras de orden par deber ser cero oo11.Ejm.:- Si: , ) , ) 11 f d b g e c a 11 abcdefgo o= + + + + + =- , ) , ) 0 9 7 5 3 1 5 2 4 6 8 836547295 1 = + + + + + + + + i) Divisibilidad por 7: Cuando la suma algebraica del producto de sus ci-fras (de derecha a izquierda) por 1, 3, 2, -1, -3, -2,1, 3, 2, -1 ..........respectivamente, deber ser 0 o7 .Ejm.:- Si:1 3 2-1 3 2 17o _ _ ++=| | | | | | |g f e d c b ao7 3 2 3 2 = + + + + + g f e d) c b a - (- Si :o7 760493636 =1 3 2-1 3 2 1 3 26 3 6 3 9 4 0 6 7 _ _ _ ++| | | | | | | | |27 38 + 32 = 21=o7j) Divisibilidad por 13: Cuando la suma algebraica del producto de suscifras (de derecha a izquierda) por 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1,.......... respec-tivamente, deber ser mltiplo de 13.Ejm.:- Si: 1 3 4 1 3 4 1 313o+ +=| | | | | | | | _ _ h g f e d c b aPropiedad de los Nmeros 43o13 3 ) 4 3 ( ) 4 3 ( = + + + + + a b c d e f g h -- Si :1 3 4 113 4 6 5 5o+| | | |= _ o13 39 - 43 - 4 ) 5 20 8 1 ( 4 = = = + + -II.NUMEROS PRIMOS1. Conceptos Bsicosa) Nmero Primo o Primo Absoluto:Son nmeros que admiten nicamente dos divisores, siendo estos divi-sores la unidad y el mismo.Ejm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... etc231123Es decirDivisoresDivisoresb) Nmeros Compuestos:Son nmeros que admiten mas de dos divisores.Ejm.4, 6, 8, 9, 10,12 ...... etcEs decir44 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG4 4 8 4 DivisoresDivisores Divisores11 122 243 46 8Nota: La cantidad de divisores de un nmero compuesto N es:1 + + =primos compuesto Ncd cd cdc) Nmeros Primos entre si (PESI):Es cuandoun conjunto de dos o ms nmeros admiten como nico di-visor comn la unidad.Ejm.- 4 y 9 (divisor comn 1)- 8, 12 y 15 (divisor comn 1)- 27, 45, 36, 1 (divisor comn 1)Nota:- Todonmeroprimomayorque3siempreesdelaforma1 60 ; lo contrario no siempre se cumple.- Nmerosprimosmsfamosos,descubiertosporpersonalida-des (universidades)notables.- Lucas en 1877 public: 2127 1, que tiene 39 cifras.- Algo probablemente cierto, pero an no demostrable.Todonmeropar,eslasumadelosnmerosprimos.Algo aparentemente cierto.1 22+nes primo. FERMAT.- Frmuladeclculodelosnmerosprimos.n2n+41valido nicamente para+Z e n y 40 s nRegla para determinar si un nmero es primo o no:Seextraelarazcuadradaaproximadamentedelnumeraldadoyapli-cando la multiplicidad por cada uno de los nmeros primos menores oiguales a dichaaproximacin.Ejm. 139 es primo ?Propiedad de los Nmeros 45........ , 11 139 =Entonces:- 139 =02 + 1139 =03 + 1139 =05 + 4139 =07 + 6139 =011 + 7Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna divisin es exacta.2. Teorema Fundamental de la AritmticaTodo entero positivo mayorqueuno, se puededescomponer como elpro-ductodefactoresprimosdiferentesentres,elevadosaciertosexponentes,esta descomposicin es nica.Llamado tambin Descomposicin cannica | o= C B A N . . Donde:A, B, C, ......: Factores primos | o , , , ..... : ExponentesEjm: Descomponer en sus factores primos el nmero 36015154590180360533222=> 360 = 23. 32. 53. Estudio de los Divisores de un nmero entero (N)a) Cantidad de divisores de un nmero:Esigualalproductodelosexponentesdesusfactoresprimosprevia-46 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGmente aumentados en la unidad.)......... )( )( () (1 1 1 cdN+ + | + o =Obs:cd(n) = cdcompuesto+ cdprimos+1b) Suma de divisores de un Nmero:Esta dado pro:.......1111111 1 1) (=+ + | + oCCBBAAsdNc) Producto de los divisores de un nmero compuestoEsta dado por:) () (NcdNN Pd =d) Suma de las inversas de los Divisores de un nmeroEsta dado por:NSdSIdNN) () (=Hallar Cd(N), Sd(N), Pd(N)y SId(N)de 1212 = 22. 3- cd(N)= ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6- Sd(N)= 2828.171 31 3.1 21 22 3= =- Pd(N)= 1728 12 123 6= =- SId(N)=371228=III.MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO1. Mximo Comn Divisor (MCD): Se llama MCD de un conjunto de dosomsnmerosenterospositivos,alenteroquecumpledoscondicio-Propiedad de los Nmeros 47nes:- Es un divisor comn de todos- Es el mayor posibleEjm:NUMEROS Divisores12 1, 2, 3, 4, 6, 1218 1, 2, 3, 6, 9, 18Entonces: MCD (12,18)= 6Determinacin del MCDi) Pordescomposicincannica:MCDesigualalproductodelosfacto-res primos comunes elevados a los menores exponentes posibles.Ejm:A = 22. 32. 5B = 23. 34. 52MCD (A, B) = 22. 32. 5ii) Pordescomposicinsimultnea:MCDeselproductodelosfactorescomunesextradosalosnmeroshastaqueseanPESI.Sebuscaslo los factores comunes.Ejm.3 - 29 618 1632MCD (12,18) = 2 x 3 = 6iii) Algoritmo de Euclides o divisores sucesivas: Procedimiento sistemticoqueseaplicarepetidamentehastaobtenerresiduocero;entonceselMCD ser elltimo divisor.Ejm.MCD (18,12) = ???1 218 12 66 0MCD=> MCD(18, 12) = 648 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGEjm2: Hallar MCD de 984 y 264iv)MCD (984, 264) = 242. Mnimo Comn Mltiplo (MCM)Se halla MCM de un conjunto de dos o ms nmeros enteros positivosal entero que cumple dos condiciones:- Es un mltiplo de todos- Es el menor posible.Ejm:NUMEROS Divisores12 12, 24, 36, 48, 60, 72 ....18 18, 36, 54, 72,Entonces: MCD (12,18)= 36Determinacin de MCMi) Por descomposicin cannica: MCM es igual al producto de los fac-tores primos comunesyno comunes elevados a las mayores expo-nentes posibles.Ejm:A = 22. 35. 5B = 23. 34. 52MCD (A, B) = 23. 35. 52ii) Pordescomposicinsimultnea:MCMeselproductodefactorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 303 1 2 1 2984 264 192 72 48 24192 72 48 24 0MCDPropiedad de los Nmeros 491 - 1 - 15 - 1 - 15 - 4 - 15 - 4 - 315 - 12 - 930 - 24 - 1854332MCM = 2 x 3 x 3 x 4 x 5MCM (18, 24, 30) = 3603. Propiedades de MCD y MCM- SiA y B son PESI, entonces:MCD(A, B) = 1- SiA y B son PESI, entonces:MCM(A, B) = A . B- El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de suMCD y MCM. Es decirMCD(A,B) . MCM(A,B) = A.B- Sea: A = ko Donde: o, | son PESIB = k|Entonces:MCD(A,B) = kMCM(A,B) = ko|- SiunconjuntodeenterospositivossereeplazandosomsdeellosporsuMCDosuMCM;entonceselMCDoelMCMdelconjuntodedichos enteros no es alterado.Es decir:MCD(A, B, C)=MCD (MCD(A, B) y MCD (B, C)MCD(A, B, C, D) =MCD [MCD(A, B) y MCD (C, D)]4. Casos especiales- MCD(a y a+b) = MCD (a y b)- Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y a-b es 1 2.- MCD(a, b) = MCD(a b, m) donde m = MCM(a, b)- MCD(a, b, a+b) =2db) ab(a +donde d = MCD(a, b)50 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGPROBLEMAS RESUELTOS (PROPIEDAD DE LOS NUMEROS)1. Si:

13 ) 2 b ( bb 0 aa = + , Hallar: a+b.a) 7 b) 8 c) 9 d) 17 e) 18Solucin + +| | | | | |= +1 3 4 1 3 413 ) 2 (b b b 0 a a-0 _

13 2 b b 3 b 4 0 a 3 a 4 = + + +0 2 b 6 a 7 = + b 6 2 a 7 = +45Entonces:54==ba9 b a = +Rpta. c2. Hallar a + bSi:

56 a 58 ab 4 =a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10Solucin

8

56 58 4 = a ab

7 Un nmero es

8 cuando las tres ltimas cifras es

8.

8 58= a

8 a 580 = +Propiedad de los Nmeros 51 8 a 4 8 = + +

8 4 a = +4 a = Adems es

7 cuando:

7 a 58 ab 4 =2 3 12 3 1- +

7 a 24 10 b a 3 8 = + + +

7 2 26 = b a

7 b 8 26 =

7 18 = b4 = b8 = +b a Rpta. d3. Hallar el resto al dividir 7 1050entre .a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5Solucin7 10505010 = , )50 503 7 3 7 + = +

= , ) , )252522 7 7 3 7 + + = + = 2 2 7 2 7 724 25. + = + +

= , ) , ) 2 1 7 7 2 2 7883. . + + = + = 2 7 7 2 1 7 7 + + = + + ). (= 2 7+

Por tanto el resto es 2. Rpta. b52 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG4. Hallar n, SinN 162 6 = tiene 40 divisores.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1Solucinn162 6 N =, )n43 2 2 3 N . . . =n nN43 . 2 . 2 . 3 =1 4 13 . 2+ +=n nN por cantidad de divisores(n+1+1)(4n+1+1) = 40(n+2)(4n+2) = 402(n+2)(2n+1) = 40(n+2)(2n+1) = 20(n+2)(2n+1) = 4x52 = n Rpta. a5. Hallar la diferencia de dos nmeros enteros sabiendo que su MCD es 48y que su suma es 288.a) 96 b) 192 c) 240 d) 288 e) 144SolucinSean A y B los nmeros:..k Bk A==PESI son si , :Entonces: MCD(A,B) = 48k = 48 288 B A = +6288 ) ( 48288 ) k(288 k k= += += += + 5 1Propiedad de los Nmeros 53 A = ko = (48)(5) = 240B =k| = (48)(1) = 48 A - B = 240 48 = 192 Rpta. b6. Si ) 7 (1019... 2 br a = Hallar ra) 2 b) 6 c) 4 d) 2 e) 8Solucin) 7 (1019... 2 br a = Todonmero es mltiplo de la base en la cualest escrito ms la ltima cifra.r + =

7 21019rx+ =+

7 22 339 3, ) r + =

7 2 . 223393, ) r + = +

7 4 . 1 7339r + = + 7 4 ). 1 7 (r + = + 7 4 7 r = 4 Rpta. c7. Si 3 7+ =

aab , 5 7+ =

bab ;Hallar el residuode dividir 7 ababa) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8Solucin 3 7+ =

aab, )10103 7|.|

\

+ =

aab, ) , )552 1002 7 7 3 7 3 7 + + = + = + =

aab54 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG=2 3 52 . 2 7 2 7 7 + = + +

= 4 7 7 4 ). 1 7 ( 7 + + = + +

= 4 7+

4 70+ =

aab .......... 5 7+ =

bab ............. Multiplicando y :|.|

\

+|.|

\

+ = 5 7 4 7 .0 b aab ab20 70+ =+

b aab6 7+ =

abab r = 6 Rpta. c8. El nmero de pginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Sise cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6.Cuntas pginas tiene el libro?a) 524 b) 512 c) 534 d) 547 e) 564SolucinSea el nmero de pginas: abc y 600 500 < < abc+++=6 74 52 3

abcPropiedad de los Nmeros 55+ + + =6 7 74 5 52 3 3

abc=1 71 51 3

abc1 ) 7 ; 5 ; 3 ( =

MCM abc1 105 =

abc1 105 = t abc t = 5, porque 600 500 < < abc1 ) 5 ( 105 = abc524 = abcRpta. a9. Hallar dos nmeros enteros sabiendo que su producto es igual a 12 ve-ces su MCM y que su suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menorde dichos nmeros.a) 10 b) 14 c) 20 d) 12 e) 16SolucinSean los nmeros:..k Bk A==PESI son si , : AB = 12 MCM(A;B)ko.k| = 12 ko|k = 12 A + B = 6 MCD(A;B)56 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGko + k| = 6ko + | = 651o = 5 y | = 1 A =(12)(5) = 60B =(12)(1) = 12 El menor es 12 Rpta. d10. Hallar k sabiendo que:kN ) 30 .( 15 = tiene191 divisores queno sonprimos. A) 10 B) 14 C) 20 D) 12 E) 16SolucinkN ) 30 .( 15 =kN ) 5 . 3 . 2 .( 5 . 3 =k k kN 2 . 3 . 5 . 5 . 3 =1 15 . 3 . 2+ +=k k kNSabemos que: 1) (+ + =primos compuesto NCd Cd Cd1) (+ + =compuesto primos NCd Cd Cd(k+1) (k+2)(k+2) =3 + 291294 ) 2 )( 1 (2= + + k k2 27 . 6 ) 2 )( 1 ( = + + k kk=5Rpta: bPROBLEMAS PROPUESTOS1. Si13 = abc ,9 = ab y7 = ac . Hallar c b a + + .A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 162. Hallardosnmerosenterossabiendoquesumximocomndivisores18,yqueunotiene10divisoresyelotro15divisores.IndicarelPropiedad de los Nmeros 57menor.A) 120 B) 144 C) 132 D) 162 E) 1483. Si el nmero )... 432 )( 432 )( 432 ( = N (n factores),tiene 130 divi-sores.Hallar n.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 54. Cuntos divisores tendr el nmero2 2) 18 )( 18 ( ) 12 )( 12 ( = N ?A) 50 B) 60 C) 90 D) 100 E) 1205. Hallar el valorde npara que el nmero de divisores denN 30 = ,sea eldoble del nmero dedivisores denx M 18 15 = .A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 96. La cifra de las unidades del nmero 1 3401 , es:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 57. De los 504 primeros nmeros naturales cuntosno son mltiplosde3 ni de 7.A) 480 B) 408 C) 264 D) 288 E) 2728. La suma de los cuadrados de dos nmeros es 676 y uno de los nme-ros es 12 veces elMCD de ellos. Hallar la diferencia de los nmeros.A) 12 B) 14 C) 18 D) 22 E) 249. Si la edad que tienepedro es mltiplo de 2 mas 1,mltiplo de 7 mas6 y mltiplo de 10 menos uno, entonces dicha edad es:A) 52 B) 69 C) 72 D) 36 E) N.A.10. Si A yB son nmeros que admiten los mismos divisores primos,sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. Cuntosdivisores tendr el MCD de A5y B5?A) 330 B) 310 C) 300 D) 341 E) 319- 58 -IVNUMEROS FRACCIONARIOSSedenominafraccin(llamadatambin,nmerofraccionarioquebradoonmeroquebrado),aunaovariaspartesdelaunidaddivididaencualquiernmero de partes iguales.Los trminos de una fraccin son: numerador y denominador:f=aabbNumeradorDenominador1. Clasificacin: Se puede clasificar en:A.Por comparacin de sus trminos:a) Fracciones propias:Son aquellas cuyo valor es menor que uno o tambin aquella en laque el numerador es menor que el denominador es decir:1 baEjm. etc613,59,34c) Fracciones iguales a la unidad:Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o tambin, aquella enNmeros Fraccionarios 59la que el numerador y el denominador son iguales, es decir: 1 =baEjm. etc77,88,55B.Por su denominador:a) Fracciones ordinarias o comunes:Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de10.Es decir N e = n , 10 b : si ;banEjm. etc ,57,314,175b) Fracciones Decimales:Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.Es decir N e = n , 10 b : si ;banEjm. etc ,100063,10012,107c) Por la comparacin de los denominadores:a) Fracciones Homogneas:Son aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:f d b : sife,dc,ba= =Ejm. etc613,61,67,65b) Fracciones Heterogneas:Sonaquellascuyosdenominadoressondiferentes:Esde-cir:60 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGf d b : sife,dc,ba= =Ejm. etc52,74,35d) Por la Relacin de los Divisores de sus Trminos:a) Fracciones Reductibles:Sonaquellasfraccionesdondenumeradorydenominadorse pueden simplificar .Es decirbakbka> < si 1 k =Ejm: *32128= *323926=b) Fracciones Irreductibles:Son aquellas fracciones donde los trminos son PESI.Es decir: :basi a, b no tienen divisor comn.Ejm. etc5316,3115,73NOTA:- Sellama fraccinequivalente, cuandounafraccinesequivalenteaotracuandotieneelmismovalorperosustrminos son diferentes:Ejm.*15953=*51204=- Sellama NmeroMixto,aaquelquetieneparteenterayparte fraccionaria.Nmeros Fraccionarios 61Ejm: tc537 ,836 ,543 e2. MCD y MCM de Nmeros Fraccionarios:1 ElMCDdevariasfraccionesirreductiblesesigualalMCDdelos numeradores entre el MCM de los denominadores.2 El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de lo numera-dores entre el MCD de los denominadores.3. Nmero Decimal:Representacin lineal de una fraccin. Consta de dos partes: parte entera yparte decimal.Ejm.14,325ParteenteraComadecimalPartedecimalClasificacin de los Nmeros Decimalesa) NmerosDecimalesExactos:Cuandotieneunnmerolimitadodeci-fras.Ejm: 0,2 ;0,325 etcb) Nmeros Decimales Inexactos: Cuando tiene un nmero ilimitado de ci-fras.Ejm:0, 33 ........;0, 3222. . ... etcLos Nmeros Decimales Inexactos pueden ser:i) PeridicoPuro:Cuandoelperiodoempiezainmediatamentedes-pus de la coma decimal.Ejm:- 0,3333 ....... =0,3- 0,878787.... =0,87ii) Periodo Mixto:Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo)cifra(s) despus de la coma decimal.62 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGEjm:- 0,3424242 .... =0,342- 0,345333 ....... =0,3453Conversin de Decimales a Fraccina) Nmeros Decimales Exactos:La fraccin ser igual al nmero formado por las cifras decimales divididaentre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.Si abc , 0 1000abcabc 0, =Ejm.*1003232 , 0 =*1000452452 , 0 =b) Nmeros Decimales Inexactos:i) PeridicoPuro:Lafraccinestdadoporelnmeroformadoporlas cifras del periodo dividido entre tantos nueves como cifras ten-ga el periodo.Si:0,abc0,abc999abc=Ejm:-0,32=9932-0,4=94ii) PeridicoMixto:Lafraccinestadadaporelnmeroformadoportodas las cifras de la parte decimal menos la parte no peridica en-tretantosnuevescomocifrastengaelperiodoseguidadetantosceros como cifras tenga la parte no peridicas.Si:0,abc0,abc990a abc =Ejm:Nmeros Fraccionarios 63-0,342=9903399903 342=-0,385=90043790048 485=PROBLEMAS RESUELTOS (NUMEROS FRACCIONARIOS)1. Siadostrminosdeunafraccinordinariareducidaasumssimpleexpresinselesumaelcudrupledeldenominadoryalresultadoseleresta la fraccin, resulta la misma fraccin. Cul es la fraccinoriginal?A)34B)53C)21D)94E)32Solucin:Sea la fraccin:baPor dato:babab bb a= ++44babb a 254=+a + 4b = 104b =9aa = 4b = 9

94=baRpta: D2. Los53deunbarrilms6litros,sondepetrleo;ylos32menos15litros, son deagua.Cuntos litros son de agua?A) 2 15 B) 15 2 C) 3 15 D) 15 3 E) 664 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGSolucinPetrleo B = + 653Donde: B es el contenido total del barril.agua B = 1532Entonces:Petrleo + agua = BB 15 B326 B53= + +B 93B 25B 3= +Multiplicando la Ec. anterior por 15:9B + 10B - 135 = 15B4B = 1354135= B15245Agua15413532Agua15 B32Agua = |.|

\

= =215= AguaRpta. A3. Silafraccingeneratrizab1generaelnmerodecimal b a ) 1 ( 0 , 0 .Hallar el valor de a+b.A) 10 B) 9 C) 11 D) 12 E) 8Solucin:b aab) 1 ( 0 , 01 =Nmeros Fraccionarios 65999) 1 ( 1 b aab=999 ) 1 ( . = b a ab27 37 ) 1 ( . = b a ab a = 3 b = 7 a + b = 10 Rpta. A4. Hallar S, Si: ......7271727172716 5 4 3 2+ + + + + + = SA) 2 15 B) 15 2 C) 3 15 D) 15 3 E) 6Solucin:......7271727172716 5 4 3 2+ + + + + + = S|||.|

\

+ + + + + + = _ SS ......727172712 7714 3 2 2, ) S S + = 9491S S + = 9 49489= S 163= SRpta. B5. Si se cumple:52078;145;713=|.|

\ k k kMCM Calcular k + 1A) 6 B) 4 C) 8 D) 7 E) 966 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGSolucin:52078;145;713=|.|

\ k k kMCM520) 7 ; 14 ; 7 () 8 ; 5 ; 13 (=MCDk k k MCM5207. 8 . 5 . 13=k5207520=kk = 7 k + 1 = 8Rpta. C6. Cul es la fraccin ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dostrminos, su denominador?A) 4 1 B) 13 2 C) 5 1 D) 13 5 E) 9 2Solucin:Sea la fraccin:ba|.|

\

=++bab bb a3babb a 32=+a b a 6 = +a b 5 =51=baRpta. C7. A y B pueden hacer una obra en 3 das; B y C en 4 das; A y C en 5 das.En cuntos das pude hacerlo A trabajando slo?A) 17 35 B) 17 100 C) 17 143 D) 17 120 E) . .A NNmeros Fraccionarios 67Solucin:Analizando sobre lo que hacen en 1 da:A + B =31B + C =41. A + C =51. Sumando miembro a miembro las Ec. , y :2A + 2B + 2C =6047120474 / 1= + + _ C B A1204741= + A4112047 = A12017= APara A:1 da ---------------12017de la obrax --------------- 1120171= x17120= xRpta . D8. Hallar la suma de las cifras diferentes de la parte decimal del nmero:68 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG271 41 37777 = NA) 5 B) 6 C) 4 D) 8 E) 9Solucin271 41 37777 = N333337777= N3 333333 7777= N Multiplicando por 3 al numerador y denominador9999923331= N23331 , 0 = N diferentes cifras= 2 + 3 + 1 = 6.Rpta. B9. Si 1 , 01 =+T Ay ARITMETA, 0 =Hallar el valor de: M + E + R + IA) 24 B) 12 C) 140 D) 18 E) 22Solucin91 1=+ T A A + T = 9Analizando: ARITMETA, 0 =Vemos que A < T yadems es equivalente a peridico puro.PodemoscomprobarquelosnicosvaloresquepuedetomarAyBes:Nmeros Fraccionarios 69 A = 2 yB = 7Entonces: 285714 , 072=R = 8I = 5M = 1E = 4 M + E + R + I = 1 + 4 + 8 +5 = 18.Rpta. D10. Lasfraccionesbbaa;) .( .) .( .ab A Cba A Csonequivalentes,ademslafraccinpropiaabes irreductible.Hallar: a bA) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 3Solucin) .( .) .( .ab A Cba A Cbbaa=abbabbaa=100100) 100 .( ) 100 .( ba bb ab aa = Entonces tenemos que : a + b = 10Comoabes irreductible y b Mg > Mh76 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG- Sean 2 nmeros, y hallandosu Ma y Mh siempre:A x B = Ma x Mh- Se cumple:Mg = Mh Ma.- La diferencia entre la media aritmtica y la media geomtrica de 2nmeros A y B est dado por:) ( 4) (2Mg MaB AMg Ma+= PROBLEMAS RESUELTOS (RAZONES PROPORCIONES Y PROMEDIOS)1. Dosnmerossonentres como11es13.Sialmenorselesuma143,entonces el otro deber duplicarse para que el valor de la razn no se al-tere. Hallar el mayor de los nmeros.A) 143 B) 169 C) 134 D) 196 E) 186SolucinSean los nmeros a y b.1311=bak bk a1311==Por dato del problema:13112143=+ba131113 . 2143 11=+kk112) 13 ( 11=+kkk k 2 13 = +13 = kRazones y Proporciones 77Entonces: El mayor es: b = 13kb = 13.(13)b = 169Rpta. B2. La razn geomtrica entre dos nmeros cuya suma es 65, se invierte sise aade17al menory se quita 17 al mayor. Cul es el menor de di-chos nmeros?A) 24 B) 25 C) 28 D) 29 E) 31SolucinSean los nmeros a y b: donde b es mayor que a.a + b = 65por dato:abba=+1717por propiedad:aa bbb a += + +1717 17ab abb a +=+17a b = 1717 + = a bAdems:a + b = 65a + a + 17 = 652a = 48a = 24b = 41 menor nmero es 243. Culesladiferenciaentrelosextremosdeunaproposicincontina,sila suma de sus cuatro trminos es 36 y la razn entre la suma y diferen-cia de los dos primeros trminos es 3?A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16SolucinSea la proporcin:dbba= a d = ???78 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGDatos: 36 2 = + + d b a y 3 =+b ab a 3 =+b ab aa = 2bdbba=dd bbb a +=+bb ad bd b a +=+ + + 2bb bd b+=+2 36336=+ d b12 = + d bdbba=dd bbb a =bb ad bd b b a =+ + bb bd bd a =+ 2bb bd bd a =+ 2112= d a12 = d aRpta. CRazones y Proporciones 794. Si:21= = =SOONDU, 15 = + S N y 14 = +O D .Hallar: O N U + +A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13SolucinMultiplicando 2y 3razn:221..|.|

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=S OO N41=SN44 1+=+SS N45 15=S12 = S3 = NSabemos que:21= =ONDU21=++O DN U21143=+ U 4 = UAdems:21=SO80 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG2112 =O 6 = O 13 6 3 4 = + + = + + O N U Rpta. E5. Si:2kfedcba= = =22kRbde = (R>0)Hallar acfA) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13Solucin2kfedcba= = = ,2.k f e =Por dato:22kRbde =222. .kRk f bd =42.kRf bd =Entonces:4 2 2. . . k bdf f dk bk acf = == , ) R kkR=||.|

\

222Rpta. E6. Tresnmerosestnenrelacinde4,5y8respectivamente.Hallarelnmero menor, sabiendo que la suma de los 3 es850.A) 20B) 300C) 200 D) 500E) 600Solucinkc b a= = =8 5 4Razones y Proporciones 81k ck bk a854===Por dato:850 = + + c b a850 8 5 4 = + + k k k850 17= k50 = k El menor es: 200 ) 50 ( 4 4 = = = k aRpta. C7. La media geomtrica de dos nmeros es 2 6 ; sabiendo que su mediaarmnica y su promedio aritmtico sondos enteros consecutivos, se pi-de encontrar los nmeros.A) 10 y 12B) 11 y 13 C) 12 y 6 D) 11 y 12 E) 10 y 11SolucinSean los nmeros a y b:Por dato:12 6+ ===x Mx MMahgDonde:aritmtica media Marmnica media Mgeomtrica media Mahg:::Entonces: 2 6 =gM2 6 = ab, ) , )2 22 6 = ab72 = ab Propiedad: ab M Ma h= .9 8 ) 1 .(72 ) 1 .( = += +x xx x8 = x82 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG2b aMa+=21b ax+= +29b a +=18 = +b a Resumiendo: 18 72 = + = b a ab612==ba126==baRpta. C8. Tresnmerosenterosa,byc;tienenunamediaaritmticade5yunamedia geomtrica de . 1203Adems, se sabe que el producto bc = 30.La media armnica de estos nmeros es:A) 73 320 B) 75 350 C) 74 360 D) 350 75 E)360 73Solucin: 5 =aM1553= + +=+ +c b ac b a3120 =gM3 3120 = abc120 = abc 30 = bc Entoces: 120 = abc120 30 . = a4 = aRazones y Proporciones 83reemplazando b + c = 11 Resumiendo: 30 11 = = + bc c b56==cb65==cb Finalmente:c b ahM1 1 13+ +=ab ac bcabcMh+ +=324 20 30) 120 ( 3+ +=hM74360=hM Rpta. C9. LaMediaaritmticadeunnmeroysurazcbicaexcedeasumediageomtrica en 936. Hallar la suma delas cifras del nmero.A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19Solucin:Sea N = a3el nmero buscado. Su raz cbica de a3es : aDel enunciado:936 = Mg Ma936 .233= +a aa a936223= +aa a936222 3= + a a a1872 22 3= + a a a1872 ) 1 2 (2= + a a a2 212 13 ) 1 ( x a a = 13 = a84 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG N = a3N = 133= 2197Finalmente: = + + + = 19 7 9 1 2 cifrasRpta. E10. Sabiendo queaaaabaaa=+1y que lasuma de los trminos de esta propor-cin es 144. Calcular el valor de la media proporcional.A) 16 B) 27C) 32 D) 9 E) 25Solucin:??? =aa*aaaabaaa=+1aaaabaaa a=.a aa b a = .aabaa=* Por dato del problema:1441= + + ++ a a a ab a a a144 2 . = + +aaa a aaa a14412 = |.|

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+ +aa aa1441 22=||.|

\ + +aa aaaRazones y Proporciones 85144) 1 (.2=+aaaa2 2 24 . 3 ) 1 .( = +a aa a==> a = 3 27 33= =aaRpta. BPROBLEMAS PROPUESTOS1. Dos nmeros son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a unaellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. Cul es el me-nor?A)90 B)75 C)60 D)40 E)452. Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo quecobra y lo que gasta esta en la relacin de 3 a 2.Cunto debe ga-nar Juan para que sea el doble de lo que gasta?A)18 B)36 C)64 D)72 E)743. La suma , la diferencia y el producto de dos nmeros estn en lamisma relacin que los nmeros 4, 2 y 15. Cul es el mayor delos nmeros?A)15 B)10 C)16 D)4 E)144. Cul es la diferencia entre los extremos de una proporcincon-tinua si la suma sus cuatro trminos e 36 y la raznentre la sumay la diferencia de los primeros trminos es 3?A)9 B)10C)12D) 14E) 165. Si:b+c=a+54 yd c b a11 7 5 3= = =Hallar el valor el valor de dA)60B) 48 C)45 D)66 E)7086 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG6. En un aula de CEPU del canal 04 antes del receso el nmero dehombres es al nmero de mujeres como 9 es a 5. Si despus delreceso, hay 8 varones y 4 mujeres menos con lo cual la razn dehombres a mujereses 7/4. Hallar cuantas mujeres haban antesdel receso.A)15 B)16C)18D)19 E)207. La edad promedio de 3 personas es 56 aos. Si ninguno tiene msde 59 aos. cul es la edad mnima que podra tener una de ellas?A)51B)50C)53D)52E)548. La media aritmtica de 10 nmeros diferenteses 45y la mediaaritmtica de otros 15 nmeros es 60. Hallar la media aritmticade los 25 nmeros.A)27B)50C)60D)54E)N.A.9. Hallar la media geomtrica de 2 nmeros sabiendo que la cuartaparte de su producto, por su media aritmtica, por su mediage-omtrica y por su media armnica se obtiene 256.A)6B)4C)8 D)12E)6,510. Si para 2 nmeros enteros diferentes entre s y de la unidad secumple:Ma3x Mh3= 4096Cul es el valor de la Ma?A)6B)7 C)8 D)5E)10- 87 -VIREGLA DE TRESLa Regla de tres puede ser: simple o compuesta.1. Regla de 3 simple:Intervienen tres cantidades conocidas (datos)y una desconocida (Incgni-ta). Puede ser:- Directa- Indirectaa) Regla de 3 simple Directa:Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente pro-porcionales.Mtodo1: Aplicandoladefinicindemagnituddirectamentepropor-cional.ABCxxCBA= =Mtodo2: Unavezplanteadoelproblemalamultiplicacinserenaspa.A ----- BC ----- xAx = BCABC x = b) Regla de 3 Simple InversaEs el resultado de comparar 2 magnitudes, que son: Inversamente pro-porcionales.Mtodo 1: Aplicandoladefinicin de magnitudinversamentepropor-cional.88 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGCABx .x C .B A = =Mtodo2: Unavezplanteadoelproblemalamultiplicacinserensentido paralelo.A ----- BC ----- xAB = C xCAB x = Mtodo Prctico:- Si las cantidades proporcionales van de ms a ms o de menos a me-nos, la regla es Directa; si van de ms a menos o de menos a ms laRegla es Inversa.- Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro da-to. Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y se dividen entreel otro dato del problema.x =x =BCABACDirecta:Inversa:A BC X2. Regla de 3 CompuestaEs cuando al dar una serie de n valores correspondientes a n magnitu-desy una segunda serie de n-1 valores correspondientes a las magnitu-desmencionadas.Lafinalidaddelaregla3compuestaesdeterminarelvalor desconocido de la segunda serie de valores.Mtodo 1: Ley de los signos- Se colocan losdatosde maneraque losvalores pertenecientesa unamisma magnitud estn en una misma columna.- Se compara la magnitud donde se encuentra la incgnitay las demsmagnitudes con el siguiente resultado.Si son directamente proporcionales arriba (-) y abajo (+)Si son inversamente proporcionales arriba (+) y abajo (-)Regla de Tres 89- El valor de la incgnita est dado por un quebrado donde el numeradoreselproductodelostrminosquetiene(+)yeldenominadoreselproducto de los trminos que tienen (-).Mtodo 2: De las RayasLas magnitudes se pueden clasificar en 3 partes:1. CausaoAccin: Realizadoresdelaobraoaccinycondicionesquetiene para realizarla.Ejm. Obreros, mquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc2. Circunstancia: Condiciones en el tiempo para realizar la obra.Ejm. das, horas diarias, raciones diarias, etc.3. Efecto: La obra en s lo realizado y los inconvenientes o condiciones quepone el medio para la realizacin del trabajo.Ejm.Las medias de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.AccinSerie 1:Serie 2:Hombres** * ** * ** * ** ***Circunstancia EfectoFinalmente, seigualanlosproductosdelosvaloresque seencuentran enuna misma raya.PORCENTAJESLlamadotambintantoporciento,sediceas,aunadeterminadacantidadcon relacin a 100 unidades.NOTACIN: 5%=1005- 5 % indica que cada 100 unidades se consideran 5.- Una cantidad total representada el 100%- Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%- Una cantidad disminuida en 10% representa 90%90 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGEjm.*Cul es el 5% de 600?5% . 600 = 30 600 .1005=*Qu porcentaje de 2000 representa 50?x % . 2000 = 5050 2000 .100x=x =2050x = 2.5Aplicacin:a) Descuentos sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica ms de undescuento., ), ), )% 100100D 100 D 100 D 100d1 n3 2 1........1]1

= Donde: D1, D2, D3 ...... : descuento sucesivon : nmero total de descuento.du : descuento nicob) AumentosSucesivos:Cuandounacantidadseleaplicamsdeunaumento., ), ), )% 100100A 100 A 100 A 100a1 n3 2 1........1]1

+ + += Donde: A1, A2, A3 ...... : aumentossucesivon : nmero total de descuento.a : descuento nicoProblemas de Porcentaje Relativos a las Ventas- Pv = Pc + G sDonde:Regla de Tres 91PV : precio de ventaPC:precio de costoG: ganancia- Pv = Pc - P sDonde:Pv : precio de ventaPc:precio de costoP: prdida- Pc +Gastos + Ganancias = Pv s- Ganancia bruta gastos = Ganancia Neta d- P. fijado - Descuentos = Pv sPROBLEMAS RESUELTOS (REGLA DE TRES Y PORCENTAJES)1. Seiscaballostienenracinpara15das.Siseaumenta3caballosmspara cuntos das alcanzar la racin anterior?a) 8b)10 c) 11d) 12 e) 13Sol.6 Caballos ----------- 15 das R3SI9 caballos ----------- xx = 10915 6=.x = 10Rpta. (b)2. La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez stees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trabajo en 90 minutos; Enque tiempo lo harn Luis y Carlos juntos?a) 5h b)3,6 h c) 3 hd) 4 h e) 2,5 hSol.Del enunciado:92 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGLuis : rapidez 1Carlos: rapidez 4Juan: rapidez 12Rapidez Tiempo12 -------------- 90 min R3SI5 -------------- xx = min590 . 12x =min 60h 1. min590 . 12x = 3,6 h3. Paraejecutarunaobrasecuentacondoscuadrillas,laprimeratiene50hombresypuedeconcluirlaobraen30das;lasegundacuentacon70hombres y la puede terminar en 50 das; si se toma 3/4de la primera y los5/6 de la segunda. En cuntos das se terminar la obra?a) 50/3 db)20 d c) 21 dd) 22,5 d e) 24 dSol.* Primera cuadrilla50 h -------------- 30 dasR3SIh ) 50 (43--------- xx =50 .4330 . 50x = 40 das=> En 1 das43de la ladrillera har:401de la obra.4. Para aumentar el rea de un crculo en 125%, su radio se debe multiplicarpor:a) 1/2b)2 c) 3/2d) 3 e) 5/2Regla de Tres 93Sol.Sea : x el nmero que se debe multiplicar al radio.Sabemos que: A = t r2Entonces por dato el problema:A + 125%A = t (x.r)2225% A = t .x2.r21015x100225xx . A A .100225x . r . A .10022522 2===t ==> x =23Rpta. (c)*Segunda cuadrilla70 h -------------- 60 dasR3SIh ) 70 (65--------- xx =70 .650 5 . 70x = 60 das=> En 1 das65de la ladrillera har:601de la obra.Luego: En 1 da ambas partes harn:24112051202 3601401= =+= + de la obra94 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGFinalmente:1 da ----------241de la obrax ----------- 1 obra2411= x =====> x = 24 dasRpta. E5. Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 das pueden arar un terrenocuadradode400mdelado;Cuntosagricultoresdedoblerendimientosern necesarios para que en 6 das de 8 h/d aren otro terreno de 480m delado?a) 6b) 8 c) 10d) 12 e) 9Sol.2 2480 . 5 . 10 . . 8 400 . 6 . 8 . 2 . r r x =22400 . 6 . 8 . 2480 . 5 . 10 . . 8rrx =x = 6 obrerosRpta. A6. Trabajando 10 horasdiarias durante 15 das, 5 hornos consumen 50 tone-ladas de carbn Cuntas toneladas seran necesarias para mantener tra-bajando 9 horas diarias durante 85 das, 3hornos ms?a) 400b) 408 c) 412d) 420 e) 428Regla de Tres 95Sol.Luego:50 . 9 . 85 . 8 . 10 . 15 . 5 = x10 . 15 . 550 . 9 . 85 . 8= xx = 408 ToneladasRpta. B7. Enuna empresa,el40%delpersonalmasculinoyel30%defemenino,asisten a al colegio nocturno. Si el 20% del personal es femenino. Qu %del personal asiste al colegio nocturno?A) 42% B) 30% C) 38%D) 36%E) 34%SolSupongamos que el total de alumnos sea 100.El 20% es personal femenino:20El 80% es personal masculino: 80Asisten al colegio nocturnoFemenino:30%(20) =6Masculino: 40%(80) = 32Total 38 personasy 38 de 100 es el 38%Rpta. C8. 351 es el 27% de:A) 1340 B) 1250 C) 1300 D) 1200 E) 270096 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGSol.351 = 27%(X)X .10027351 =X =27) 100 ( 351X = 1300Rpta. C9. Una cantidad disminuida en su 13% es 957. Cul es dicha cantidad?A) 1150 B) 1200 C) 1000 D) 1050 E) 1100Sol.Sea la cantidad: XX - 13%X = 957100%X - 13%X = 95787%X = 957957 .10087= X1100 = XRpta. E10. En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sidofabricados por la mquina A y el resto por la mquina B. Si se sabe que el5% de lo fabricado por A son defectuosos y el 4% por B. Cuntos defec-tuosos hay en los 1000 productos?A) 50 B) 90 C) 45 D) 46 E) 40SolTotal : 1000* Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600Regla de Tres 97de los cuales son defectuosos: 5%(600) = 5/100(600) = 30* Fueron fabricados por B: 400de los cuales son defectuosos: 4%(400) = 4/100(400) = 16Entonces, en total hay: 30 + 16 = 46 defectuososRpta. DPROBLEMAS PROPUESTOS1. En 12 das, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de unaobra. Se retiran6 obreros. Cuntos das demoran los obreros restantes para terminarla obra?A)36B)12 C)48 D)24 E)152. 80obreros trabajando 8 horas diarias construyen2480m de una obraen 15 das. Cuntos das se requierenpara que 120 obreros traba-jando 10 horasdiarias hagan 960m2de la misma obra.A)22B)30C)18 D)16E)203. Un barco tiene vveres para 22 das si lleva 39 tripulantes, diga paracuntos das pueden durar los vveres si viajan 33 tripulantes.A)85dB)77d C)170 d D) 172d E)N.A.4. Un grupo de obreros habrn hecho en 36 das el 75% de una obra, enese momento se aumentaron 15 obreros ms y se termin la obra 5das antes de la previsto. El grupo de obreros est constituidos por:A)18 B)19C)20D)21E)225. 15obreroshanhecholamitaddeuntrabajoenveintedas.Enesemomentoabandonaneltrabajo5obreros.Cuntosdastardarnenterminar el trabajo los obreros que quedan?A)24B)26C)28D)30E)326. Si la longitud y el ancho de un rectngulo se duplicar. En que por-98 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario de la UNJBGcentaje aumenta su rea?A)100% B)200% C)400% D)300% E)50%7. Un futbolistapatea 17 penales y acierta todos. Cuntos penales msdeber patear y fallar todos, para que su eficiencia seadel 85%?A)4 B)3C)2D)5E)68. Vicente tena s/.240.00 luego va al mercado y gasta el 50% de lo quegast. Qu porcentaje del total gast?A)33,3...% B)40,05%C)35,33%D)50%E)20%9. Al precio de un objeto se le hacen 3 descuentos sucesivos del 5%,10% y 20%. Cul es el descuento nico que equivale a estos 3 des-cuentos sucesivos?A)37%B)41%C)32,5%D)20,8% E)31,60%10. El 30% del 20% de los 2/5 de un nmero equivale al 24% del 0,01%de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.A)700B)0,2C)1D)120E)10- 99 -VIITEORA DE EXPONENTES, ECUACIONESEXPONENCIALES Y VALOR NUMRICOTEORA DE EXPONENTESLa teora de exponentes tiene por finalidad estudiar todas las clases de expo-nentes que existen entre ellos, mediante leyes.LEYES DE EXPONENTES1. Producto de Bases Igualesn m n ma a a+= .2. Cocientes de Bases igualesn mnmaaa=3. Potencia de un Producto, )n n nb a ab . =4. Potencia de cocientennnbaba=|.|

\

5. Potencia negativa de un cocienten nabba|.|

\

=|.|

\

100 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario UNJBG6. Exponente cero10= a donde a = 07. Exponente negativonnaa1=8. Potencia de potencia, )n mnma a.=OBS:, ) [mnrssrnma a =)`9. Raz de una potencianmn ma a =10. Raz de un producton n nb a ab . =11. Raz de un cocientennnbaba=12. Potencia de radical, )n mppn ma a =Teora de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numrico 10113. Radical de radicalmn mna a =OBS:mnrs mn r sa a =14. Introduccin de un factor a un radicaln mn n n mn n mb a b a b a = = . .ECUACIONES EXPONENCIALESSon ecuaciones, cuyas incgnitas aparecen como exponentes de una potencia,pudiendo tambin encontrarse como base de la potencia. Para obtener la solu-cin se debe tener cuenta:- Por igualdad de bases: =y xa a y = x Si x = 0, x = 1- Igualdad en el exponente: =x xb a b = a Si x = 0Nota: no se tomar en cuente aquellas soluciones (races) que se ob-tengan fuera del conjunto de los nmeros reales.- Igualdad Base y Exponentex ax a = => x a = Si a = 0, a = 1PROBLEMAS:1. REDUCIR:aa aaR214 42++= A)2 B) -2C) 1 D) 1 E) 0102 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario UNJBGSol:aaaaR222212 . 22++=aa aaR2 2122+ ++=aaaaR22122+++=2 222 . 2= = =a aaaR Rpta( a )Nota: Tambin se puede darle un valor adecuado a a para luego simpli-ficar por Ejemplo:Si: a = 1224842 444 423 3132= = = = =xR2.RESOLVER:15 , 0) 04 , 0 (5 5) 2 , 0 (=xxA)1B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Sol:Transformando15511022 , 0= = =22551251100404 , 0= = = =Teora de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numrico 103=>215 . 0 15 . 5) 5 ( x=1 2) 5 ( x2 25 , 15 . 0555+ + =xx5 , 1 5 , 05 + x=2 25+ x x 1 = 2x + 2x = 3 Rpta. ( c )3.Simplificar:) 2 ( 2) 2 ( 2 234++=nn nRA)2nB) 2n+1C) 3n-1D) 7/8 E) N.A.Sol:342 . 2 . 22 . 2 2 . 2nn nR=342 . 2 . 2) 2 2 ( 2nnR=162 16 = R1614= R87= R Rpta. ( d )104 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario UNJBG4.Resolver:221=xxxSol:221|.|

\

=xxx2 .2141|.|

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=xxx42.41|.|

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=xxx42.41|.|

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=xxx21.41|.|

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=xxx21.214141|.|

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|.|

\

=xxx.414141|.|

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|.|

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=xxx=>41= x Rpta ( c )5. Calcular a qu exponente se debeelevar 18 para obtener: 2 54A)2/3B) 3/4 C) 1/2D) 4/3E) 2/5Sol:Sea el exponente: x 18x= 2 54, ) 2 2 . 3 2 . 32 2=x21233 22 . 3 2 . 3||.|

\

=x x432322 . 3 2 . 3 =x x43= x6.Hallar el valor de:, )2 26252122228+ n nnA)25B) 125 C) 625 D) 5 E) 1Teora de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numrico 105Sol:|.|

\

|.|

\

=+ 2 2 2 . 222 2 2122 . 2 . 282 . 2 . 28625 625n nnn n=|.|

\ +4 . 282 2 . 22) 625 (n nn=, )4 .2 . 3228625nn= , )4 .2828625nn=5 625 ) 625 (441= =Rpta ( d )7.Calcular el valor numrico de:21 11 111]1

++=+ + b ab aa ba bb ab aEparaab= 2yba= 0,5A)16B) 14 C) 8 D) 12 E) 10Sol:2. .. .11]1

++= b ab aa a b ba a b bb ab aEsabemos que 0,5 =2-12) ( ) () ( ) (11]1

++= b ab aa a b ba a b bb ab aE21 1) ( ) () ( ) (111]1

++=b ab aa a b ba abbb ab aE106 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario UNJBG22 1 221121) 2 ( ) 2 () 2 ( ) 2 (1 -1111]1

++=E22212122 22 2111]1

++=E24122141111]1

++= E241 2 421 2 41111]1

++= E2241]1

= E216= EE = 8 Rpta. ( c )8. Simplificar:, ) [, ) [, ) [ ...... . .546434322x x x E = n factores.Sabiendo que:, )xn n n n=+ + + ) 3 )( 2 )( 1 (316A)16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096Teora de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numrico 107Sol:Sabemos que:1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ........ + n(n+1) (n+2) =4) 3 )( 2 )( 1 ( + + + n n n nAdems por dato del problema) 3 )( 2 )( 1 (316+ + +=n n n nx......... . . .5 . 4 . 6 4 . 3 . 4 3 . 2 . 2x x x E =. .......... 6.4.5 4.3.4 3 . 2 . 2 + + += x E, ) .... 5 . 4 . 3 4 . 3 . 2 3 . 2 . 1 2 + + += x E4) 3 )( 2 )( 1 (. 2+ + +=n n n nx E2) 3 )( 2 )( 1 ( + + +=n n n nx EReemplazando el valor de x:2) 3 )( 2 )( 1 () 3 )( 2 )( 1 (316+ + ++ + +||.|

\

=n n n nn n n nE2316 = E316 = E34 = E64 = E Rpta ( c )108 Aritmtica y lgebra Centro Pre Universitario UNJBG9. Calcular el valor de n en laecuacin:4 24 23 3 .31 1 +=|.|

\

nnA) 2 B) 4 C) 1/2D) 6 E) 3Sol.:4 24 23 3 .31 1 +=|.|

\

nn44 22 13 3 . 31+=nn44 22 13 31++ =nn44 22 11+= + nn4 222. 4 4 + = + nn4 2 2 . 2 4 + = + n n4 4 2 2 . 2 + = n n8 2 =n32 2 =n3 = nRpta. E10. Indicar el valor no entero que tomax, de manera que se cumpla la igual-dad:1328) 2 (84+ =xxxxA) 1/3 B) 1/2 C) 5/4 D) 2/3 E) 5/3Sol.Reduciendo ambos miembros tene-mos:133) 2 ( 2322222+=xxxx133) 2 ( 2322222+=xxxx1 3 3 4 2 3 22 2+ =x x x x13 34 23 22 2+=xxxx13 34 23 2+=xxxxResolviendo:45= x v 3 = xPor dato del problema Z e xEntonces45= xRpta.: CPROBLEMAS PROPUESTOS1. Hallar el valor de x en:1 44 8+ =x xes:A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 142. Simplificar:7 55 33 33 3 ++n nn nA) 27 B) 3 C) -9 D) 9 E) -8Teora de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numrico 1093. Resolver:2 / 3 12 +=xxA) 1 B) 1/2 C) 1/2 D) -1 E) 3/24. Hallar42a , si:21164 ax=++xx xxaA) 4 B) 2 C) 3 D) 6 E) 85. Resolver:15 , 0) 04 , 0 (5 5) 2 , 0 (=xxA) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 56. Efectuar6 4 26 4 22 2 22 2 2 + + ++ ++ +=n n nn n nMA) 512 B) 256 C) 260 D) 181 E) N.A.7. Resolver248 2 2 2 2 24 3 2 1= + + + + x x x x xA) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 98. Hallar: 5x + 10, si:4 28 43 9+ =x xA) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 59. Hallar el valor de4 6n m M = ;Si 422=+nnn ;33mmmmm+=27.A) 40 B) 41 C) 38 D) 3 E) 3610. Calcular n si:Si:33) 1 2 (2 132 ... 2 . 2 . 2 = _ factores nn n nA) 201 B) 121 C) 34 D) 64 E) 83- 110 -VIIIPOLINOMIO: GRADO, POLINOMIOSESPECIALES, OPERACIONES, PRO-DUCTOS NOTABLES.1. GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS- Monomio: Es la mnima expresin algebraica que tiene un solo trmino:- Polinomio: Es la expresin algebraica que tiene 2 ms trminos alge-braicos. Recibe el nombre de binario cuando tiene 2 trminos, trinomiocuando tiene 3 trminos.a) Grado de un monomio:- Grado absoluto (G.A.): Est dado por la suma de los exponentes detodas sus variables.- Grado Relativo (G.R.): Est dado por el exponente de la variable refe-rida a dicho monomio.Ejm:M(x,y,z)= 3x5y7z3GA = 5 + 7 + 3 = 15GR(x)= 5GR(y)= 7GR(z)= 3b) Grado de un Polinomio:- Grado absoluto (G.A): Est dado por el trmino que tiene mayor gra-do absoluto.- Grado Relativo (G.R.): Est dado por el trmino de mayor exponentede la variable referida en dicho polinomio.Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 111Ejm:P(x,y,z) = 4x3y5z2 3x5y2z4+ 2x2y7+ 2x5P(x,y,z) = 4x3y5z2 3x5y2z4+ 2x2y7+ 2x5grado=10grado=11 grado= 9grado=5 G.A. = 11GR(x)= 5GR(y)= 7GR(z)= 4Nota: El valor numrico de un polinomio es el valor que toma dicho polino-mio, cuando se reemplaza en l valores asignados a sus variables.Ejm: sea P(x) = x2+ 2x 1Hallar P(2) P(2) = 22+ 2.2 1 = 72. POLINOMIOS ESPECIALESc) Polinomios Ordenados: Son los que presentan un orden ascenden-te o descendente en los exponentes de una de las variables que setoma como base.Ejm:- P(x) = 8x5 2x3+ x 3- P(x,y) = 5x7y2 3x2y10+ 7x9y12d) Polinomios completos: Son los que tienen todos los exponentes(desde el mayor hasta el exponente cero o trmino independiente) dela variable que se toma como base.Ejm:- P(x) =x4 2x2+ x + 10 +x3- P(x,y) = 4x3 5x2y + 7xy2+ 8y3e) Polinomios Homogneos: Son aquellos cuyos grados de sus trmi-nos son iguales:Ejm:- P(x,y)=x2+ 2xy + y2- P(x,y,z) =6x3+ 5xy2 1/5 xyz112 Aritmtica y lgebra Centro PreUniversitario UNJBGf) Polinomios Idnticos: Son aquellos que se caracterizan por que sustrminos semejantes tienen iguales coeficientes.Ejm: ax2+ bx + cx mx2+ nx + p a = m b = n c = pg) Polinomios Idnticamente Nulos: Son aquellos que se caracterizanpor que todos sus coeficiente son idnticos a cero. Ejm:P(x) = ax2+ bx2+cx + d a =0b = 0 c = 0 d = 03. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICASh) Suma y Resta: Para sumar o restar expresiones algebraicas sesuma o se restatrminos semejantes.Nota:Trminos semejantes son aquellos que tienen la misma parte li-teral afectada por los mismos exponentes.i) Multiplicacin de expresiones algebraicas: Multiplicar expresio-nesalgebraicassignificaobtenerunaexpresindenominadaPRO-DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.Propiedades de la Multiplicacin:i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los facto-res.ii)El trmino independiente del producto es igual al producto de lostrminos independientes de los factores.PRODUCTOS NOTABLESSon productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuaroperaciones, por esto se el reconoce fcilmente.i) Binomio al cuadrado:(a + b)2= a2+ 2ab + b2(a b)2= a2 2ab + b2j) Producto de una suma por su diferencia(a + b) (a b) = a2 b2Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 113k) Binomio al cubo(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3(a b)3= a3 3a2b + 3ab2 b3l) Trinomio al cuadrado(a + b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bcm) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma o dife-rencia de cubos.(a + b)(a2 ab+ b2) = a3+b3(a b)(a2+ ab+ b2) = a3 b3n) Producto de dos binomios que tienen un trmino comn(x + a) (x + b) = x2+(a+b)x+abo) Identidades de Legendre(a + b)2+ (a b)2= 2 (a2+b2)(a + b)2 ( a b)2=4abp) Identidades de Lagandre(ax + by)2+ (bx by)2= (x2+ y2)(a2+b2)(ax + by + cz)2+ (bx ay)2+ (cx az)2+ (cy bz)2= (a2+ b2+ c2) (x2+ y2+ z2)PROBLEMAS RESUELTOS1. El grado del polinomio homogneo.P(x, y) = m.x2m. yn+2 mx2n. y4mes:a)4 b) 3 c) 2d) 1 e) 10Sol: 24 212 2. . . . ) , (Gradom nGradon my x m y x m y x P =+114 Aritmtica y lgebra Centro PreUniversitario UNJBGGrado 1 = Grado 22m + n + 2 = 2n + 4m2 = n + 2m grado = 2m + n + 2grado = 2 + 2 = 4 Rpta ( a )2. Si 15xy ;21 1 1= = +y x.Hallar3 31 1y xE + =a)1/4b) 1/40 c) 1/10 d) 1/20 e) 1/80Sol:11]1

||.|

\

+||.|

\

+ =11]1

||.|

\

+ +|.|

\

||.|

\

+ =11]1

||.|

\

+ |.|

\

||.|

\

+ =||.|

\

+|.|

\

=xy y x y xEy x y y x x y xEy y x x y xEy xE3 1 1 1 11.1. 31 1.1. 21 1 11 1.1 1 1 11 12222233|1]1

=1]1

=6012 15.211534121E401603.21=|.|

\

= E // Rpta ( b )3. Cul es el valor que asumey xyxyy xxyy xR32 22 2+++++=Si:y x y x += +4 1 1a)2b) 3 c) 1d) 4 e) N.A.Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 115Sol:De la condicin:y x y x += +4 1 1, )0 ) (0 24 2442 22 22= = + = + += ++=+y xy xy xxy y xy xxy y xy x xyy x y x =y xyxy xxyy xR32222 2+++++=4 2 2212324223 222= + = + + = + + =yyyyyyR Rpta.( d )4. Si: 344 4= +n na a , entoncesn na a es:a) 2 b) 5 c) 4 d) 2e) 3.Sol:34 . . 2 . . 22 2 4 2 2 4= + + n n n n n na a a a a a, ), )63634 22 222 222 2= += += +n nn nn na aa aa a6 . 2 . 22 2= + + n n n n n na a a a a a, ) 6 22= + n na a116 Aritmtica y lgebra Centro PreUniversitario UNJBG, ) 42= n na a 2 = n na a Rpta ( d )5. El grado del Polinomio es:P(x) = , ), ), ) : n trminos ... .......... 1 1 18 5 2+ + + x x xa) 220 b) 520 c) 610 d) 1220e) 1610Sol:Grado = 2 + 5 + 8 + ............20 trminos y de razn 3Para hallar la suma:59) 3 )( 19 ( 2) 1 (1=+ = + =nnnaar n a a, )21n a aSn+=, )) 10 )( 61 (220 . 59 2=+=SSS = 610 grado = 610 Rpta ( c )6. Si P(x+3) = 6x 258 30 ) 8 ) ( ( + = + x x F P Hallar el valor de) 4 ( F E =A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9Solucin* P(x+3) = 6x 2P(x-3+3) = 6(x-3) 2P(x) = 6x 20Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8) 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28 . (1)Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 117* Por dato del problema:P(F(x)+8) = 30x + 58(2)Igualando (1) y (2):6F(x) + 28 = 30x + 586F(x)= 30x + 30F(x) = 5x + 5Entonces: F(4)= 5(4) + 5 = 25Finalmente:25) 4 (==EF E5 = ERpta. C7. Si el monomio5 3 4 62 . . 9 . 3m mx x x x es 8, el valor de m es:A) 2 B) 6 C) 9 D) 12 E) 16Solucin5 3 4 62 . . 9 . 3m mx x x x30 15 546 G.A.m m+ + + =Por dato del problema:830 15 546 = + + +m mmultiplicando por 30 la ecuacin anterior:240 2 24 180 = + + + m m36 3 = m12 = mRpta. D8. Sabiendo que 799= +axxa, el valor de la expresin4949axxa+ es:A) 3 B) 4 C) 5 D) 5 E) 2118 Aritmtica y lgebra Centro PreUniversitario UNJBGSolucinSupongamos que:4949axxaE + = Hallaremos E.249492||.|

\

+ =axxaE24949492492. . 2||.|

\

+ +||.|

\

=axaxxaxaEaxxaE9922 + + =axxaE9922 + = , )299222||.|

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+ = axxaE, )29 992922. . 2 2||.|

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+ +||.|

\

= axaxxaxaE, )axxaE99222 2 + + = , ) 2 29922+ + = axxaE, ) 2 7 222+ = E9 22= E2 32+ = E5 = ERpta. C9. Si3 3 3... 4 . 2 4 . 2 44 + + += x Ma,su grado es:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 119SolucinEl gradode M es:3 3 3... 4 . 2 4 . 2 4 + + +Supongamos que:3 3 3... 4 . 2 4 . 2 4 + + + = E Hallaremos E.33 3... 4 . 2 4 . 2 4 _ EE + + + =3. 2 4 E E + =E E 2 43+ =Dando valores a E, obtenemos que:E = 2Rpta.B10. Si el polinomio ordenado, decreciente y completo:... 3 2 ) (2 3 1 2+ + + =+ + + c b ax x x x P posee 2c trminos; hallar a+b+c.A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16.SolucinComo posee 2c trminos,Entonces es de grado 2c-1. ... 3 2 ) (3 222 231 21 2+ + + =+++cccbcax x x x PDel tercer trmino obtenemos:2 3 2 + = c c5 = cDel segundo trmino obtenemos:2 2 3 = + c b5 = bDel segundo trmino obtenemos:1 2 1 2 = + c a4 = aPor lo tanto:14 = + + c b aRpta: C120 Aritmtica y lgebra Centro PreUniversitario UNJBGPROBLEMAS PROPUESTOS1. Hallar m/n si el polinomio:) 7 2 ( 3 ) ; (1 6 1 2 + ++ =n m n my x y x y x P es homogneo.A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) N.A.2. Sabiendo que xbab axb axP|.|

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=|.|

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+, Calcular:) 3 / 5 () 3 ( ) 2 (PP P +A) 1/4 B) 2 C) 3 D) 5/4 E) 3/43. Si 312=|.|

\

+aa el valor de331aa + es:A) 1 B) 6 C) 0 D) -1 E) 24. Si2 2 + ++ +a b b ay x u y x son tres trminos consecutivos de un poli-nomio P(x;y) completo, homogneo de grado 8 y ordenado crecien-temente respecto a x, hallar el Grado relativo a la variables yde u.A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 75. La expresin: x a b x ab x b ab a b a) ( . ). (4 6 2 + ++ ; reducida a unmonomio es:A) x B) 2x3C) ax4D) -3x2E) 5x6. Sea||.|

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+||.|

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+||.|

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+||.|

\

++ + + +=n nn ny x y x y x y xy x y x y x y xM1 1...1 1 1 1 1 1) )...( )( )( (3 3 2 23 3 2 2. La suma delos grados relativos de M es:A)2) 1 (+ n nB) ) 1 ( n n C) ) 1 (+ n n D)2) 1 ( n nE) N.A.Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 1217. Hallar el valor de n:nabb ab a|.|

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=1]1

3 2 / 1 3 62 / 1 4 / 1 3 361.A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 78. Siendo: 72332= +amma, calcular423324ammaA)3B)4 C)5D)1 E)479. La suma de los coeficientes del polinomio homogneo:a b b a bb a ayaby xbay bx ax y x P213 3 12) ; ( + + + =, es:A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) N.A.10. Efectuar el producto:|.|

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++24 431111 xx xxxx;Si x = 2, se tiene:A) 0 B) 3-16x C) 3 D) 3+16x E) N.A.- 122 -IXDIVISIN, TEOREMA DELRESTO, COCIENTES NOTABLESI. DIVISION ALGEBRAICADefinicin: La divisin Algebraica es una operacin que consiste en obtenerun cociente q(x) a partir de dos expresiones algebraicas llamadas dividendoD(x) y divisor d(x). Quedarun resto o residuo r(x) cuando se trate deuna divisin inexacta.) ( ) ( ). ( ) ( x r x q x d x D + = Divisin inexacta) ( ). ( ) ( x q x d x D = Divisin exactaCasos de la Divisin:1) Cuando se trata de dos monomios:Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coefi-cientes y finalmente se dividen las letras aplicando teora de exponen-tes.Ejm: Dividir:2 6 38 210 8 521632z y x Ez y xz y xE= =2) Cuando se trata de dos Polinomios:Se puede utilizar cualquiera de los mtodos siguientes:a) Mtodo Normalb) Mtodo de los coeficientes separados.c) Mtodo de Hornerd) Mtodo de Ruffini.Ejm: Dividir1 26 7 9 422 3+ + x xx x xa) Mtodo NormalOrdenando previamente tenemosDivisin, teorema del resto, cocientes notables 1234x- 4x- xx- 9x+8x+ 3x- 2xx - 54x - 1x + 7x - 6 - 4x - 6+ 1- 2x + 13322222 q(x) = 4x 1R(x) = x 5b) Mtodos de coeficientes separadosSlo se trabaja con los coeficientes y sus correspondientes signos.4-97- 61- 2 1- 4 8- 44 -1-13 -6 1- 211 -5 q(x) = 4x 1R(x) = x 5c) Mtodo de Horner:Tenemos que dividir _ signo su cambia se22 31 26 7 9 4+ + x xx x x 1 4 - 97- 6 28- 4-1- 214-11- 5cociente residuo-1 q(x) = 4x 1R(x) = x 5124 Aritmtica y lgebra Centro PreUniversitario UNJBGMETODO DE RUFFINISe utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio cuando eldivisor es un binomiode primer grado.Ejm:Dividir:29 3 22 3++ + xx x xProcedimientox + 2 = 0x= 2 1- 239-2- 28 - 22 1- 4 11- 13cocienteResto q(x) = x2 4x + 11Resto = - 13TEOREMA DEL RESTOEste teorema tiene por finalidad determinar el resto en una divisin, sin efectuarla divisin.El resto de dividir un polinomio racional y entero en x entre un binomio de laforma b ax es igual al valor numrico que adquiere dicho polinomio cuandose reemplaza en l, porab).Ejm:Hallar el resto en:88 ) 7 ( ) 5 (3 2++ + + +yy xy + 8 = 0y = -8Resto = (-8 + 5)2+ (-8 + 7)3+ 8R = (-3)2+ (-1)3+ 8R = 9 1 + 8R = 16COCIENTES NOTABLESSedenominancocientesnotablesaciertoscasosparticularesdedivisionesexactas.Divisin, teorema del resto, cocientes notables 125De tal forma que sin efectuar la divisin, se puede escribir su desarrollo.Forma General:a xa xm mdonde+eZ mCASO 1:a xa xm m++es cociente notable cuando m es imparCASO 2:a xa xm m+es cociente notable cuando m es parCASO 3:a xa xm m+no es cociente notableCASO 4:a xa xm mes cociente notable para cualquier valor de mDesarrollo de C.N. :a xa x++5 5= x4 x3a + x2a2 xa3+ a4DETERMINACIN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.Forma General :a xa xm m= xm-1+ xm-2a + xm-3a2+ + am-1t(k)= (signo) xm-k. ak-1Regla para el signo:- Cuando el divisor es de la forma (x-a) el signo de cualquier trmino es posi-tivo.- Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de trminos que ocupan unlugar par son negativos y los que ocupan lugar impar son positivos.126 Aritmtica y lgebra Centro PreUniversitario UNJBGejemplo:Hallar el t(40)en el desarrollo del C.N. :2 3100 150a xa xsolucin:2 350 2 50 3) ( ) (a xa x+t(40) = -(x3)50-40 . (a2)40-1t(40) = -x30 . a78PROBLEMAS:1. El resto dela divisin:116 3 ). 2 ( ). 1 (2 1+ + + xn x n x n nxn n na)17b) 13 c) 15 d) 21 e) 19SolucinPor teorema del resto tenemos que:x = 1 16 3 1 ). 2 ( 1 ). 1 ( 1 .2 1+ + + = n n n n Rn n n16 3 2 1 + + + = n n n n R13 = R Rpta. B2. Hallar el residuo de:1324 50 100+ +xx x xa)4 b) 20 c) 71 d) 110 e) N.A.Divisin, teorema del resto, cocientes notables 127Solucin1324 50 100+ +xx x x= , ) , ) , )13222252502+ +xx x xtomamos x2= y=132 25 50+ +yy y yPor teorema del resto y = 1 R = 150+ 125 12+3R = 1 + 1 1 + 3R = 4 Rpta. A3. El resto de la divisin :, )a xa x a x2) (7 7 7++ +a)128a7b) 127a7c) 127a7d) 126a7e)126a7SolucinPor teorema del resto:==> , ) , )7 7 7) 2 ( 2 a a a a R + + =, ) , )7 7 7128 a a a R + =, )7 7127a a R =7 7127a a R + =7126a R = Rpta. E4. Para que la expresin: , ) , )m nm ny xy x3 3sea cociente notable y su se-gundo trmino en su desarrollo sea x2y2. Hallar nm.a) 1b) 4 c) 9 d) 16 e) N.A.128 Aritmtica y lgebra Centro PreUniversitario UNJBGSolucinSabemos que:1) (. . =k k mkB A signo t |, ) , )1 2 2 3) 2 ( + =m ny x