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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE I NGENI ERA MECNICA- ENERGA

    PROYECTO DE INVESTIGACION

    ELABORACION DE UN LIBRO TEXTO DE

    MECNICA DE FLUIDOS II

    JEFE DEL PROYECTO

    ING. JAIME GREGORIO FLORES SANCHEZ

    CRONOGRAMA

    (31-01-2001 Al 30-01-2003)

    RESOLUCION RECTORAL

    094-2001-R

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    INDICE

    RESUMEN

    INTRODUCCIN

    Capitulo I CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

    1.1 Tipos de Flujo. 1

    1.1.1 Flujo Uniforme. 1

    1.1.2 Flujo Permanente o Estacionario. 1

    1.1.3 Flujo No Permanente o No Estacionario. 2

    1.1.4 Flujo Ideal. 2

    1.1.5 Flujo Real. 2

    1.1.6 Flujo Interno. 3

    1.1.7 Flujo Externo. 3

    1.1.8 Flujo Rotacional. 3

    1.1.9 Flujo Irrotacional. 4

    1.1.10 Flujo Isoentrpico. 4

    1.1.11 Flujo Adiabtico. 4

    1.1.12 Flujo Unidimensional. 4

    1.1.13 Flujo Tridimensional. 5

    1.1.14 Flujo Laminar. 5

    1.1.15 La Divergencia. 5

    1.1.16 El Reynold Crtico. 6

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    1.2 Movimiento de un Elemento Fluido. 6

    1.2.1 Cinemtica de una Partcula Fluida. 6

    1.2.2 Rotacin. 9

    1.2.3 La Circulacin. 12

    1.2.4 Deformacin Angular de un Fluido. 13

    1.2.5 Velocidad de Deformacin Volumtrica (Estiramiento). 14

    1.2.6 Velocidad y Aceleracin en Coordenadas de Lneas

    de Corriente. 15

    1.3 La Funcin de Corriente. 17

    1.4 Potencial de Velocidades. 20

    Capitulo II FLUJOS NO VISCOSOS Y VISCOSOS.

    2.1 Relaciones Diferenciales para una Partcula Fluida. 24

    2.1.1 Conservacin de Masa. 24

    2.1.2 Cantidad de Movimiento. 27

    2.2 Flujo Incompresible No Viscoso. 30

    2.3 Flujo Incompresible Viscoso. 34

    2.3.1 La Ley de Viscosidad de Navier Stokes. 37

    Capitulo III ANLISIS DIMENSIONAL Y TEORA DE MODELOS.

    3.1 Anlisis Dimensional. 41

    3.1.1 Definicin. 41

    3.1.2 Mtodos. 41

    3.1.3 Metodologia del Metodo de Buckingham.

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    3.2 Teoria de Modelos o Similitud 45

    3.2.1 Modelo. 45

    3.2.2 Prototipo. 45

    3.2.3 Escala. 45

    3.2.4 Tipos de Similitud. 46

    3.2.4.1Similitud Geomtrica. 46

    3.2.4.2Similitud Cinemtica. 46

    3.2.4.3Similitud Dinmica. 47

    3.2.5 Principakes Grupos Adimensionales. 48

    3.2.6 Grupos Adimensionales en Turbmaquinas 49

    3.2.7 Coeficientes Adimensionales 50

    Capitulo IV ESTUDIO DEL FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE.

    4.1 Flujo Laminar y Turbulento. 51

    4.2 Flujo Interno y Corriente Exterior. 54

    4.3 Aplicaciones de las Ecuaciones de Navier-Stokes al Flujo Laminar

    Completamente Desarrollado. 56

    4.3.1 Placas Planas sin Movimiento. 56

    4.3.2 Placa Superior Movindose con Velocidad Constante. 58

    4.3.3 Ambas Placas Movindose con Velocidad U en Sentidos

    Opuestos. 61

    4.3.4 Ambas Placas Movindose con Velocidad U en Sentidos

    Iguales. 62

    4.3.5 Flujo Laminar en Tuberas Circulares. 63

    4.3.5.1Seccin Anular. 66

    4.3.5.2En Placas Planas Paralelas. 67

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    4.4 Correlaciones Semiempiricas de los Esfuerzos Turbulentos y =

    constantes. 684.4.1 Media Temporal de Reynolds. 68

    4.4.2 Flujo Turbulento Cerca de la Pared. 70

    4.4.3 Ley de la Capa Logartmica. 70

    4.4.4 Efectos de la Rugosidad en la Pared. 75

    4.4.5 Diagrama de Moody : Diagrama de Perdidas de Carga. 76

    4.5 Prdidas de Energa. 78

    4.5.1 Perdidas Primarias. 78

    4.5.2 Perdidas Secundarias. 79

    4.5.3 Dimetro Equivalente. 80

    4.5.4 Sistema de Tuberas. 81

    4.5.5 Esquema Bsico de un Sistema de Bombeo. 82

    4.5.6 Envejecimiento de Tuberas. 84

    4.5.7 Tuberas Ramificadas (Depsitos Interconectados). 86

    4.5.8 Perdidas por Friccin en Elementos de Tuberas. 88

    4.5.8.1Procedimiento Iterativo para Calcular (w)

    y Descargas (

    i) 89

    Capitulo V TEORA DE LA CAPA LMITE.

    5.1 La capa Lmite. 94

    5.1.1 Espesor de la Capa Limite Real. 95

    5.1.2 Espesor de la Capa Limite Aparente o Aproximado. 95

    5.1.3 Sub- Capa Lmite. 95

    5.1.4 Razn de Crecimiento de la Capa Lmite. 96

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    Capitulo VII FLUJO COMPRESIBLE EN DUCTOS DE SECCION

    VARIABLE.

    7.1 Flujo compresible. 140

    7.2 Flujo isoentrpico. 142

    7.2.1 Propiedades de estancamiento 142

    7.2.2 Relaciones entre las propiedades de estancamiento y las

    propiedades estticas. 144

    7.2.3 Condicin critica. 145

    7.2.3.1 Relaciones crticas. 145

    7.3 Ductos de seccin variable. 146

    7.3.1 Toberas. 146

    7.3.2 Difusor. 147

    7.3.3 Ducto convergentedivergente. 148

    7.3.4 Tobera convergente - divergente. 148

    7.3.5 Relaciones entre A* y A. 149

    7.3.6 Relaciones entre flujo masico y bloqueo. 149

    7.4 Flujo en una tobera convergente 150

    7.5 Flujo en una tobera convergentedivergente. 154

    Capitulo VIII FLUJO EN DUCTOS DE SECCION CONSTANTE SIN

    TRANSFERENCIA DE CALOR

    8.1 Flujos en ductos de seccin constante con friccin. 159

    8.1.1 Ecuaciones bsicas para flujo adiabtico. 159

    8.2 Flujo Fanno. 161

    8.2.1 Lneas de Fanno. 161

    8.2.2 Estados de referencia en flujo Fanno 162

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    8.2.3 Longitud mxima o longitud critica. 164

    8.2.4 Relaciones bsicas para el flujo Fanno. 165

    Capitulo IX FLUJO EN DUCTOS DE SECCION CONSTANTE CON

    TRANSFERENCIA DE CALOR

    9.1 Estudio del flujo Rayleigh. 166

    9.2 Lnea de Rayleigh. 166

    9.2.1 Parmetros de referencia. 167

    9.2.2 Comentarios. 169

    9.3 Relaciones bsicas para el flujo Rayleigh. 170

    9.4 Ondas de choque. 172

    9.4.1 Ondas de choque normal. 173

    9.4.2 Relaciones para ondas de choque normal. 174

    Capitulo X INTRODUCCION A LA AERODINAMICA

    10.1 Definicin. 179

    10.1.1 Analtica. 179

    10.1.2 Descriptiva. 179

    10.1.3 Experimental. 179

    10.2 Por qu vuela un avin? 180

    10.3 Qu es la sustentacin? 181

    10.4 Aplicaciones de la Aerodinmica con respecto a la Mecnica de

    Fluidos. 183

    10.4.1 Fuerzas y momentos que actuan sobre la aeronave. 184

    10.4.1.1 Peso. 185

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    10.4.1.2 Levantamiento o sustentacin. 186

    10.4.1.3 Resistencia o resistencia al avance. 187

    10.4.1.4 Traccin o empuje. 188

    10.4.2 Interaccin de las fuerzas. 188

    10.4.2.1 Centro de gravedad. 190

    10.4.3 Ejes de vuelo. 192

    10.4.4 Estabilidad de vuelo. 193

    10.4.5 Elementos de control de vuelo. 194

    10.5 Los perfiles de ala. 198

    10.5.1 Geometra de los perfiles. 199

    10.5.2 Definiciones utilizadas para los perfiles. 201

    10.5.3 Utilizacin de los catlogos de perfiles. 203

    10.5.3.1 La sustentacin. 204

    10.5.3.2 La resistencia al avance y sus consecuencias. 205

    10.5.3.3 La relacin CZ/ CX. 205

    10.5.3.4 El desplazamiento del centro de empuje. 206

    Capitulo XI FLUJO EN CANALES ABIERTOS

    11.1 Introduccin. 211

    11.2 Consideracin del perfil de velocidad. 211

    11.3 Flujo normal. 212

    11.4 Flujo normal: Mtodos modernos. 218

    11.5 Seccin hidrulicamente optima. 22111.6 Ondas gravitacionales. 222

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    11.7 Energa especifica: flujo critico. 225

    11.8 Flujo variado en canales rectangulares. 233

    11.9 Flujo gradualmente variado sobre canales largos. 238

    11.10 Clasificacin de los perfiles superficiales para flujos gradualmente

    variados 244

    11.11 Flujo rpidamente variado; el resalto hidrulico. 250

    METODOS Y MATERIALES

    RESULTADOS

    DISCUSION

    BIBLIOGRAFIA

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    RESUMEN

    Los temas tratados en este libro texto se dan en orden lgico de acuerdo a los

    contenidos de Mecnica de Fluidos II impartidos en nuestra facultad. En el primer

    capitulo se aclara los principales conceptos fundamentales, luego un enfoque

    detallado del anlisis diferencial de las ecuaciones de continuidad y de cantidad de

    movimiento, para obtener la aplicacin de la ecuacin de Navier-Stokes.

    Seguido se estudia el anlisis dimensional y la teora de modelos con suaplicacin en la determinacin de ciertos parmetros de diseo. En lo

    concerniente a flujo interno incompresible se analiza con todas las prdidas

    usando ms las ecuaciones analticas que servirn para resolver problemas con

    ayuda del computador, sobre todo en tuberas en serie, paralelo y redes.

    En la teora de la capa lmite trata los principales casos y como retardar su

    desprendimiento; que es el punto anterior para el anlisis de cuerpos sumergidos,

    con sus casos ms resaltantes. Con el estudio de flujo compresible tanto desdeflujo isentrpico hasta las ondas de choque normal, pasando por el flujo en

    tuberas de seccin constante adiabticas y diabticas.

    En la parte de aplicacin de cuerpos sumergidos enfoco los principios de la

    aerodinmica, para finalmente concluir con el estudio de flujo en canales abiertos.

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    INTRODUCCIN

    La forma en que se desarrolla el libro texto es en forma simple, clara y con

    conceptos de lgica correlacin para que el estudiante o profesional pueda

    analizar sin mucha dificultad, es decir encontrar un material de apoyo acadmico

    que le facilitar las aplicaciones de la mecnica de los fluidos.

    El presente libro texto llena los vacos que se tiene en la literatura variada y muy

    buena pero que en ciertos aspectos dejan en la duda al lector; en el presente

    encontrarn los conceptos, ecuaciones y sus aplicaciones en la ingenieramecnica.

    En el sylabus de nuestra currcula actual se toca todo el contenido temtico con la

    suficiente amplitud, profundidad y el rigor exigido, expuestas de una manera

    bastante sencilla e interesante, acadmica como tecnolgicamente. Los alumnos

    que cursan la asignatura de Mecnica de Fluidos I y II sern capaces de resolver

    problemas tcnicos en las diferentes aplicaciones que se presentan en nuestro

    medio, sobre todo en lo que es instalacin de bombas hidrulicas, turbinashidrulicas, as como redes de tuberas en una ciudad o en una fabrica en

    particular.

    Podr aplicar sus conocimientos en la rama de ingeniera aeronutica; la

    identificacin de perfiles aerodinmicos, las principales fuerzas que se presentan

    en aviones, helicpteros, alas, etc. campo que es muy importante para el futuro

    Ingeniero Mecnico, tanto profesionalmente como econmicamente.

    La parte de termodinmica aplicada es complementada con los flujos

    compresibles, en sus mltiples aplicaciones en toberas, difusores, ductos de

    seccin constante con y sin friccin, con transferencia de calor o no y el fenmeno

    de la onda de choque que ocurre frecuentemente cuando se supera la velocidad

    snica.

    La parte de las aplicaciones prcticas se presentarn en el trabajo de investigacin

    posterior, que servir de complemento a toda la exposicin terica descrita, como

    parte fundamental aplicativa tanto en lo acadmico como en lo tecnolgico-

    industrial.

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    CAPITULO I

    CONCEPTOSFUNDAMENTALES

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez1

    1.1 TIPOS DE FLUJO

    1.1.1 FLUJO UNIFORME.- Es aquel en donde la velocidad del fluido enmagnitud, direccin y sentido no varia de un punto a otro, es decir el

    desplazamiento no tiene un perfil de velocidad del tipo cuadrtico; por

    ejm. el desplazamiento del aire en el medio ambiente sin la presencia de

    ningn cuerpo extrao. Cualquier propiedad del fluido con respecto al

    desplazamiento se mantiene constante, es decir:

    0.

    .

    S

    V V

    1.1.2 FLUJO PERMANENTE O ESTACIONARIO.- Es aquel en donde la

    velocidad del fluido no cambia con respecto al tiempo t, es decir no hay

    variacin de velocidad con respecto al tiempo que la aceleracin del

    fluido respecto al tiempo es igual a cero. Cualquier propiedad del fluido

    permanece constante, con respecto al tiempo.

    Vpara........

    El perfil de velocidades es el

    mismo para el tiempo t para el t2,

    tn

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez2

    1.1.3 FLUJO NO PERMANENTE O NO ESTACIONARIO.- Es aquel en

    que existe variacin de velocidad de fluido respecto al tiempo, es decir

    existe aceleracin; ejemplo el flujo de liquido a travs de tuberas en una

    instalacin industrial para diferentes regimenes de carga.

    1.1.4 FLUJO IDEAL.- Es aquel donde no se considera el efecto de la

    viscosidad, por lo tanto no existen prdidas para el transporte del fluido,no se considera equipo de bombeo para transportar el fluido de un punto a

    otro.

    =0

    1.1.5 FLUJO REAL.- Es aquel en donde se toma en cuenta el efecto de la

    viscosidad mediante el cual el fluido tiende a adherirse o pegarse a la

    pared de cualquier cuerpo. Se presenta en todos los casos de la mecnica

    de los fluidos, porque la viscosidad como propiedad puede ser grande

    (aceites) o muy pequeas (aire).

    o

    Para el tiempo

    Perfil de velocidadesPara el tiempo t1

    Perfil de velocidadest

    2

    V para t1

    V para t2

    V para t3

    V

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez3

    V2

    1

    0 VrotVrot

    Vo

    ALA DEAVIN

    Vo

    1.1.6 FLUJO INTERNO.-Cuando se considera al fluido en su desplazamiento

    encerrado entre paredes; ejemplo. Agua en sistema de tuberas, agua y

    aceite en intercambiadores de calor, aire en dctos de aire acondicionado.

    1.1.7 FLUJO EXTERNO.- Cuando el fluido que se desplaza envuelve a un

    cuerpo o cuando el cuerpo se desplaza dentro de un flujo. Ejemplo. Los

    aviones en el aire, submarinos y barcos en el agua.

    1.1.8 FLUJO ROTACIONAL.-Cuando las partculas del fluido tienen un giro

    o rotacin alrededor de un eje que pasa por un centro de gravedad,trayendo como consecuencia choques entre las partculas de fluido

    ocasionando prdida de energa; ejemplo: agua que ingresa a una bomba y

    sale para pasar por una tubera.

    Se tiene:

    ; donde

    Lnea de Corriente

    V=0

    V=Vmax

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez4

    1.1.9 FLUJO IRROTACIONAL.- Cuando no se consideran el efecto de la

    velocidad angular en la rotacin que tiene la partcula alrededor de su eje,

    es decir la velocidad angular es cero.

    0 0Vrot

    Se tiene: 0 zyx www

    0

    y

    u

    x

    v

    x

    w

    z

    u

    z

    v

    y

    w (1.1)

    1.1.10 FLUJO ISOTRMICO.- Cuando en el flujo de fluido se mantiene la

    misma temperatura; proceso isotrmico; T=cte.

    1.1.11 FLUJO ADIABTICO.- Donde no existe transferencia de calor desde el

    fluido al medio ambiente o viceversa; se coloca un material aislante de las

    tuberas, mquinas, etc.; ejemplo. Vapor circulando por una tubera, en

    una planta de vapor.

    1.1.12 FLUJO UNIDIMENSIONAL.- Cuando se considera la trayectoria de

    una partcula de fluido en una sola dimensin, con determinada direccin y

    sentido, es decir a travs de una lima de corriente.

    V=u ; v=0

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez5

    1.1.13 FLUJO TRIDIMENSIONAL.- Es aquel en el cual se considera la

    trayectoria de la partcula con respecto a sus tres dimensiones y al tiempo.

    1.1.14 FLUJO LAMINAR (Re < 2300).-

    1.1.15 LA DIVERGENCIA.-se llama as al producto escalar del operador con

    la velocidad del fluido.

    VDivV para fluidos incompresibles 0DivV

    NOTAS:

    a)El flujo es:

    IRROTACIONAL: 0 V

    PERMANENTE: 0t

    V

    INCOMPRENSIBLE: ctte ;

    ISOTRMICO: ctte

    UNIFORME: 0s

    V

    Lneas decorriente

    Y

    Z

    r

    V

    twvufV ,,,

    X

    y

    V

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez6

    b)RELACIONES MATEMTICAS:

    zw

    yv

    xuV

    . (1.2)

    kz

    Vj

    y

    Vi

    x

    VV

    . (1.3)

    2

    2

    2

    2

    2

    22 .

    z

    V

    y

    V

    x

    VV

    (1.4)

    tV

    VVt

    V

    z

    V

    wy

    V

    vx

    V

    uDt

    VD

    .. (1.5)

    1.1.16 EL REYNOLDS CRITICO (Recr= 23002500).- Es el valor en el cual

    se observa la infraccin del movimiento laminar para poco a poco

    convertirse en movimiento turbulento.

    A condiciones especiales se ha llegado a obtener flujos laminares con

    Re =4x104; para gases: Re cr=5x105.106

    1.2 MOVIMIENTO DE UN ELEMENTO DE FLUIDO

    1.2.1 CINEMTICA DE UNA PARTCULA DE FLUIDO

    El movimiento de un fluido debe considerarse velocidad, aceleracin,

    rotacin y deformacin. Consideremos una partcula cbica pequea de un

    fluido en un flujo bidireccional, bidimensional y no estacionario.

    X

    YY

    TRASLACION ROTACION O GIRO

    X

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    Ing. Jaime Flores Snchez7

    t

    V

    z

    V

    wy

    V

    vx

    V

    uaDt

    VDP

    El campo de velocidad est dado por: tzyxVV ,,,

    kt,z,y,xwjt,z,y,xvit,z,y,xut,z,y,xVV (1.6)

    En el tiempo t es: t,z,y,xV)V tP

    En el tiempo t + t la partcula se mueve a una nueva posicin con

    coordenadas: x+dx, y+dy, z+dz.

    Y su velocidad es dtt,dzz,dyy,dxxV)V dttP luego:

    dtt

    Vdz

    z

    Vdy

    y

    Vdx

    x

    VV pppP

    La aceleracin total de la partcula esta dada:

    t

    V

    dt

    dz

    z

    V

    dt

    dy

    y

    V

    dt

    dx

    x

    V

    dt

    Vd

    a

    pppP

    P

    t

    V

    z

    Vw

    y

    Vv

    x

    Vu

    dt

    Vda

    PP

    La derivada sustancial o material de la partcula:

    (1.7)

    X

    Y Y

    ESTIRAMIENTO ODEFORMACION LINEAL

    DEFORM. ANGULAR O DEFOR.POR ESFUERZO

    X

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez8

    Donde:

    tV

    zVw

    yVv

    xVuac

    La aceleracin

    convectiva

    t

    VaL

    La aceleracin local

    Aceleracin local ( la ): es aquella que sufre una partcula de

    fluido como consecuencia de la variacin del tiempo. Si el flujo es

    permanente la aceleracin local es igual a cero.

    Aceleracin convectiva (ac): es aquella que sufre una

    partcula de fluido como consecuencia de su variacin de posicin

    en el espacio. Si el flujo es uniforme su valor es cero.

    Si un campo de flujo es INESTABLE, una partcula de fluido

    experimentar una aceleracin local adicional, debida a que el campo develocidades funcin de t.

    Empleando la notacin vectorial:

    t

    VV..Va

    Dt

    VDP

    (1.8)

    Para un flujo bidimensional: tyxVV ,, se reduce a:

    t

    V

    y

    Vv

    x

    Vu

    Dt

    VD

    (1.9)

    Para un flujo UNIDIMENSIONAL, ejemplo en X: txVV ,

    t

    V

    x

    Vu

    Dt

    VD

    (1.10)

    Para un flujo ESTABLE en tres dimensiones se transforma en:

    z

    Vw

    y

    Vv

    x

    Vu

    Dt

    VD P

    (1.11)

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez9

    En componentes escalares (componentes rectangulares) se tiene:

    tu

    zuw

    yuv

    xuu

    DtDua XP

    t

    v

    z

    vw

    y

    vv

    x

    vu

    Dt

    DvaYP

    (1.12)

    t

    w

    z

    ww

    y

    wv

    x

    wu

    Dt

    DwaZP

    Es una descripcin Euleriana.

    1.2.2 ROTACIN ()

    La rotacin de una partcula de fluido es la velocidad angular promedio

    de dos cuales quiera elementos de lnea mutuamente perpendiculares de la

    partcula. Una partcula que se mueve en un campo de flujo tridimensional

    puede rotar alrededor de los tres ejes de coordenadas.

    En general:kji ZYX (1.13)

    Las dos lneas mutuamente perpendiculares, oay obrotan a las posiciones

    mostradas durante el intervalo t, solo si las velocidades en los puntos a y

    b son diferentes a la velocidad en o.

    Y

    X

    aa

    b

    b

    x

    y

    O

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez10

    Consideremos la rotacin de la lnea oa, de longitud x, la rotacin de sta lnea

    se debe a las variaciones de la componente y de la velocidad. Si sta

    componente en el punto o se toma como vo, entonces la componente y de la

    velocidad en el punto a puede escribirse (serie Taylor) xx

    vvv

    0

    La velocidad angular de la lnea oaest dada por:

    t

    x/

    t limlim 0totoa

    ; Como txx

    v

    xv

    tx/txx/v oa

    0toa lim

    La rotacin de la lnea ob, de longitud y, es producto de las variaciones de la

    componente x de la velocidad, luego anlogamente

    yy

    uuu 0

    La velocidad angular de la lnea ob est determinada por:

    t

    y/

    t limlim 0totob

    ; Puesto que tyy

    u

    Se tiene:

    y

    u

    t

    y/tyy/uob

    0tob lim

    Segn nuestra convencin de signos, la rotacin antihorario es positiva.

    La rotacin de un elemento de fluido alrededor del eje Z es la velocidad

    angular promedio de dos elementos de lnea mutuamente perpendiculares, oa y ob

    en el plano x-y

    Entonces

    y

    u

    x

    v

    2

    1Z (1.14)

    Y en los planos y-z y en x-z se tiene:

    z

    v

    y

    w

    2

    1

    X (1.15)

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    Ing. Jaime Flores Snchez11

    x

    w

    z

    u

    2

    1Y (1.16)

    Finalmente:

    kji ZYX

    y

    u

    x

    vk

    x

    w

    z

    uj

    z

    v

    y

    wi

    2

    1 (1.17)

    El valor entre parntesis es el VWVVrot

    2

    1 (1.18)

    Como el esfuerzo cortante es proporcional a la relacin de deformacin angular,

    entonces una partcula que se encuentra inicialmente sin rotacin no desarrollar

    una rotacin sin una deformacin angular mediante la viscosidad. La presencia de

    fuerzas viscosas significa que el flujo es ROTACIONAL.

    La condicin de IRROTACIONALIDAD puede ser una suposicin vlida para

    aquellas regiones de un flujo en la que se desprecia las fuerzas viscosas.

    Definimos VORTICIDAD como el doble de la rotacin.

    VW 2 (1.19)

    Es una medida de la rotacin de un elemento de fluido conforme esto se mueve en

    el campo de flujo.

    En un flujo tridireccional y tridimensional, la velocidad angular y la vorticidad

    tienen tres componentes.

    z

    v

    y

    w2 XX

    x

    w

    z

    u2 YY

    (1.20)

    y

    u

    x

    v2 ZZ

    Un flujo en el cual la velocidad angular y la vorticidad son CERO se

    denomina FLUJO IRROTACIONAL.

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    Ing. Jaime Flores Snchez12

    1.2.3 LA CIRCULACIN () se define como la integral de lnea de la

    componente de la velocidad tangencial alrededor de una curva cerrada fija

    en el flujo, c

    sdV.

    Donde sd es un vector elemental, de longitud sd tangente a la curva.

    Un sentido positivo corresponde a una trayectoria de integracin alrededor

    curva en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

    La figura anterior lo redibujamos.

    Las variaciones de la velocidad indicados son congruentes con las

    utilizadas al determinar la rotacin del fluido.

    En la curva cerrada oacb:

    yvxyy

    uuyx

    x

    vvxud

    .

    yxWdyxyu

    xvd Z

    2

    A Zc

    dAWsdV 2. A ZdAV (1.21)

    Enunciado del teorema de Stokes en dos dimensiones

    NOTA.- Un flujo irrotacional se cumple cuando 0

    0 V , y se cumple: 0 yu

    xv

    xw

    zu

    zv

    yw (1.22)

    o a

    b c

    y

    x

    yy

    uu

    xx

    vv

    u

    v

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez13

    Sabiendo que kji ZYX , en la ecuacin (1.17)

    En coordenadas CILNDRICAS. La condicin de irrotacionalidad

    0V

    r

    1

    r

    rV

    r

    1

    r

    V

    z

    V

    z

    VV

    r

    1V rZrZ

    (1.23)

    1.2.4 DEFORMACIN ANGULAR DE FLUIDO.-

    La deformacin angular de un elemento del fluido implica cambios en el

    ngulo entre dos lneas mutuamente perpendiculares

    La relacin de deformacin angular est dada por:

    dt

    d

    dt

    d

    dt

    d (1.24)

    Sabiendo que:

    dt

    d

    x

    v

    t

    xtxdxdv

    t

    x

    tdt

    d

    ttt

    1

    000

    ///limlimlim

    dt

    d

    y

    u

    t

    ytydydu

    t

    y

    tdt

    d

    ttt

    2

    000

    ///limlimlim

    Luego la deformacin angular en el plano x y es

    y

    u

    x

    v

    dt

    d

    dt

    d

    dt

    d

    (1.25)

    aa

    b

    b

    x

    y

    Y

    X

    O

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    Ing. Jaime Flores Snchez15

    Anlogamente

    yy

    v

    dt

    yd

    .

    (1.28)

    Luego la velocidad de deformacin volumtrica es:

    y

    v

    x

    u

    dt

    Vd.

    V

    1

    (1.29)

    Para un flujo tridimensional y tridimensional: Dilatacin volumtrica

    z

    w

    y

    v

    x

    u

    dt

    Vd.

    V

    1

    (1.30)

    Vectorialmente:

    Vdt

    Vd

    V..

    1

    (1.31)

    1.2.6 VELOCIDAD Y ACELERACIN EN COORDENADAS DE

    LNEAS DE CORRIENTE

    Tomemos un flujo bidimensional y bidireccional. En un sistema de

    coordenadas intrnsecas, las coordenadas son las lneas de corriente del

    flujo y un sistema de lneas normales a ellas. Las lneas coordenadas son

    las lneas (s) y las lneas normales (n). Las lneas n son perpendiculares a

    los de corriente y apuntan haca su centro de curvatura.

    La ventaja principal del sistema de coordenadas s-n es que en cualquier

    punto la velocidad. Siempre es paralela a la direccin s

    sVnVsVV snS (1.32)

    Lneas sLC

    Y

    X

    V

    S

    Y

    X

    Lneas n

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez16

    Ya que si el flujo es estacionario, cualquier partcula de fluido se mueve

    siempre a lo largo de la misma lnea s. entonces 0Vn

    (paralelas a S)

    La aceleracin en la direccin s es:Dt

    DVa SS (1.33)

    dt

    dn

    n

    V

    dt

    ds

    s

    V

    t

    Va SSSS y t,n,sVV......y....t,n,sVV nnSS

    Tambin: SVdt

    ds y 0 nV

    dt

    dnpor lo tanto

    s

    VV

    t

    Va SS

    SS

    (1.34)

    Si Vn = o,(en un instante), no se desprende que ansea cero, debido a

    que la direccin n puede cambiar con el tiempo o con el movimiento a lo

    largo de una lnea de corriente; la aceleracin en la direccin n es:

    Dt

    DVa nn

    dt

    dn

    n

    V

    dt

    ds

    s

    V

    t

    Va nnnn

    s

    VV

    t

    Va nS

    nn

    (1.35)

    Si examinamos la figura, para una lnea de corriente en flujo estacionario

    la ecuacin anterior (1.35 ) se puede simplificar ms.

    La variacin de velocidad normal nV , debido al movimiento a lo largo

    de la lnea de corriente desde s a s+s es ssn VVV tan

    Se puede escribir R

    ss

    s

    VV nn

    VS

    V(S+s)

    R+RR

    Vn

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    Ing. Jaime Flores Snchez17

    Cambiando las ecuaciones anteriores

    RV

    sV sn

    , luego en (1.35):

    R

    V

    R

    VV

    s

    VV ssS

    n

    s

    2

    ;en limite cuando 0Ss la aceleracin

    normal es:

    R

    V

    t

    Va snn

    2

    (1.36)

    1.3 LA FUNCIN DE CORRIENTE ()

    Es un dispositivo matemtico que relaciona las lneas de corriente y la de

    velocidades en un flujo; nos permite eliminar la ecuacin de continuidad y

    resolver la ecuacin de la cantidad de movimiento directamente para una nica

    variable .

    Es aplicable solo si la ecuacin de continuidad se puede reducir a dos sumandos;

    consideremos flujo estacionario: 0t

    ; se tiene para un flujo bidimensional en

    el plano x-y; y a la vez incompresible:

    0

    y

    v

    x

    u (1.37)

    Teniendo que: es funcin de (x,y,t) ),,( tyxuu , ),,( tyxvv

    Definimos:y

    u

    ;x

    v

    (1.38)

    La ecuacin de continuidad (1.37) satisface exactamente:

    022

    yxyxy

    v

    x

    u

    xjyiV

    ; truco matemtico para reemplazar variables (u,v) por

    una nica funcin .

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez19

    Considerando el elemento de superficie de control ds de profundidad unitaria.

    ddyy

    dxx

    Vd

    122

    121

    2

    121 dVdAn.VV

    (1.45)

    En coordenadas cilndricas:

    0

    tz

    )V(V

    r

    1

    r

    Vr

    r

    1 zr

    (1.46)

    Para flujo incompresible: Vz= 0 , = cte

    0)()(

    0)(1)(1

    rr

    Vr

    rVrr r

    Donde finalmente:

    (1.47)

    r

    dr

    dzV rV

    o

    ZV

    z

    r

    Vr1

    rV

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    Ing. Jaime Flores Snchez20

    Para flujo incompresible AXISIMETRICO:

    Sin variaciones circunferenciales: 0 V , que al final se obtiene:

    0)rV(z

    )rV(r

    0)V(z

    )rV(rr

    1zrzr

    (1.48)

    Por analoga: 0

    rzzr

    , Donde:

    rrV

    zrV

    Z

    r

    1

    1

    (1.49)

    1221o

    2 (1.50)

    Para flujo bidimensional compresible estable:

    -v;xy

    u

    (1.51)

    1.4 POTENCIAL DE VELOCIDADES

    La irrotacionalidad da lugar a una funcin escalar ; es decir se tiene que un

    vector con ROTACIONALIDAD NULO es el GRADIENTE DE UNA

    FUNCIN ESCALAR; si 0 V , se tiene: V

    Donde ),,,( tzyx , denominado potencial de velocidades, con

    xu

    ;y

    v

    ;z

    w

    (1.52)

    Las lneas o superficies constantes se denominan LNEAS POTENCIALES

    DEL FLUIDO; es tridimensional y no esta limitada a dos coordenadas.

    En coordenadas cilndricas; si

    z

    k

    r

    e

    r

    er

    1

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez21

    Donde:

    rV

    1 ;

    rVr

    ;z

    Vz

    (1.53)

    NOTAS:

    la funcin de corriente , satisface la ecuacin de continuidad para flujo

    incompresible.

    La funcin de corriente no esta sujeta a la restriccin de flujo

    irrotacional.

    Sustituyendo: xu

    ; yv

    ; yu

    ; xv

    (1.54)

    En la condicin de irrotacionalidad: 0

    y

    u

    x

    v , obtenemos:

    02

    2

    2

    2

    yx..................Ec. de LAPLACE (1.55)

    Y en la condicin de continuidad: 0

    y

    v

    x

    u , resulta:

    02

    2

    2

    2

    yx

    ......................Ec. de LAPLACE (1.56)

    Si un flujo es IRROTACIONAL y en dos coordenadas, existen tanto la funcin de

    corriente como el potencial de velocidades y las lneas de corriente y

    equipotenciales son ortogonales, excepto en los puntos de remanso; es decir:

    yxv

    xyu

    ..............Ec. de CAUCHY-RIEMANN (1.57)

    Una lnea constante ser tal que a lo largo de ella el cambio de es NULO:

    De donde: CteCte dxdyv

    u

    dx

    dy

    /

    1

    , condicin de ortogonalidad.

    vdyudx0dyy

    dxx

    d

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez22

    NOTA:

    Cualquier funcin de que satisface la ecuacin de LAPLACErepresenta un posible campo de flujo bidimensional, irrotacional e

    incompresible.

    Toda funcin que satisfaga la ecuacin de LAPLACE es un caso posible

    de flujo IRROTACIONAL de un fluido.

    En la ecuacin de continuidad tenemos:

    (1.58)

    Las funciones correspondientes a cinco flujos bidimensionales

    elementales que se tienen son:

    a) Flujo Uniforme: de V = cte. paralelo al eje x, satisface la ec. De

    continuidad e irrotacionalidad. Para un flujo con V = cte. y que forma un

    ngulo con el eje x:

    = (VCos )y-(VSen )x (1.59)

    = - (VSen )y-(VCos )x (1.60)

    b) Fuente Simple: es un patrn de flujo en el plano xy, con el flujo

    desplazndose radialmente hacia fuera a partir del eje z y simtricamente

    en todas direcciones. La intensidad qde la fuente es la relacin de flujo

    volumtrico por unidad de profundidad. A cualquier r, la velocidad V= 0

    y la velocidad radialr

    qVr2

    (1.61)

    c) Sumidero Simple: el flujo se desplaza radialmente hacia dentro, un

    sumidero es una fuente negativa, las funciones son las negativas de

    las funciones correspondientes para un flujo de fuente.

    El origen de una fuente o sumidero es un punto singular, puesto que la

    velocidad radial se aproxima a infinito conforme el radio se acerca a

    CERO.

    00 22

    2

    2

    2

    2

    2

    V

    zyx

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    CAPITULO II

    FLUJOS NOVISCOSOS YVISCOSOS

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez24

    2.1 RELACIONES DIFERENCIALES PARA UNA

    PARTICULA FLUIDA

    2.1.1. CONSERVACIN DE MASA

    Por la ecuacin de conservacin de masa

    cvENTSAL

    iAiViiAiViVdt

    0 (2.1)

    Como el elemento es tan pequeo se reduce al trmino diferencial:

    cv

    dzdydxt

    Vdt

    ..

    (2.2)

    Apareciendo en la seis caras los trminos de flujo msico y haciendo uso del

    trmino de CONTINUO (las propiedades fluidas se consideran descritas por

    funciones que varan uniformemente con el tiempo y la posicin), por ejemplo: =(x, y, z, t)

    V.C

    x

    y

    z dx

    dydz

    udydz dydzdxu

    xu

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    Ing. Jaime Flores Snchez26

    EN COORDENADAS CILINDRICAS:

    La divergencia de cualquier vector tzrQ ,,, se obtiene haciendo la

    transformacin de coordenadas:

    22 yxr ;x

    yarctan , z = z reemplazando se tiene:

    z

    QQ

    rr

    rQ

    rQV Zr

    11.

    Siendo la ecuacin de continuidad la siguiente:

    011 zVVrrVrrtZr

    (2.6)

    Simplificando:

    a.- Flujo Compresible Estacionario

    00/

    z

    w

    y

    v

    x

    ut

    (2.7)

    Se sabe:

    0

    11

    z

    VV

    rr

    Vr

    r

    Zr

    (2.8)

    ELEMENTOINFINITESIMAL

    TIPICO

    PUNTO(r,,z)Vr

    V

    Vz

    LINEA DE REFERENCIA

    d

    r

    dzdr

    Z

    EJE DEL CILINDRO

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez28

    yz

    yy

    xy

    xzzy2

    dx

    x

    xx

    xx

    2

    dx

    x

    xx

    xx

    2

    dz

    z

    zx

    zx

    2

    dy

    y

    yx

    yx

    zz

    2

    dy

    y

    yx

    yx

    2

    dz

    z

    zx

    zx

    Luego en (2.11) se tiene:

    Vw

    zVv

    yVu

    xV

    tdxdydzF (2.12)

    que se simplifica:

    z

    Vw

    y

    Vv

    x

    Vu

    t

    VV

    tVVw

    zVv

    yVu

    xV

    t

    ).(

    Luego en (2.12) se convierte en:

    Donde las fuerzas msicas es la gravedad kggdxdydzgFd B (2.14)

    Las fuerzas de superficie son debidas a los esfuerzos en las caras de la superficie

    de control, siendo estos esfuerzos la suma de la presin hidrosttica y de los

    esfuerzos viscosos ij:

    zzyzxz

    zyyyxy

    zxyxxx

    ij

    p

    p

    p

    (2.15)

    dxdydzt

    VF

    (FuerzasMsicas y Superficiales) (2.13)

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez29

    dxdydz

    zdxdy

    dz

    zdxdz

    dy

    y

    dxdzdy

    ydydz

    dx

    xdydz

    dx

    xdF

    zxzx

    zxzx

    yx

    yx

    yx

    yxxx

    xxxx

    xxx

    222

    222

    No son estos esfuerzos, sino sus gradientes o diferencias los que originan una

    fuerza neta sobre la superficie total del volumen de control infinitesimal.

    Si los esfuerzos en el centro del elemento diferencial se toman como xx, yx, zx

    luego en la direccin x, sobre cada cara del elemento diferencial se tiene:

    Eje x:

    Simplificando:

    dxdydzzyx

    dF zxyxxx

    x

    (2.16)

    La fuerza neta en la direccin x tomando las fuerzas msicas:

    dxdydzzyx

    gdF ZXYXXXXX

    dxdydzzyx

    gdF ZYYYXYYy

    (2.17)

    dxdydzzyx

    gdF ZZYZXZZz

    Reemplazando en (2.13):

    z

    uw

    y

    uv

    x

    uu

    t

    u

    zyxg

    x

    p ZXYXXXX

    z

    vw

    y

    vv

    x

    vu

    t

    v

    zyxg

    y

    p ZYYYXYY (2.18)

    z

    ww

    y

    wv

    x

    wu

    t

    w

    zyx

    gd

    z

    p ZZYZXZZ

    SXBXX dFdFdF

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez30

    Vectorialmente:Dt

    VDpg ij (2.19)

    Fuerza gravitatoria por unidad de volumen + fuerza de presin por unidad de

    volumen + fuerza viscosa por unidad de volumen = densidad x aceleracin.

    2.2. FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO (SIN

    FRICCIN)

    Para un fluido no viscoso en movimiento, el esfuerzo normal en un punto es elmismo en todas direcciones; es cantidad escalar, es el negativo de la presin

    termodinmica, pnn . No hay los esfuerzos de corte.

    Las ecuaciones de movimiento para flujos sin friccin; denominadas ecuaciones

    de EULER, pueden obtenerse de las ecuaciones generales de movimiento (ec.

    2.23), puesto que en un flujo sin friccin, no puede haber esfuerzos cortante y el

    esfuerzo normal es el negativo de la presin termodinmica, entonces se tiene:

    EC. DE MOVIMIENTO PARA UN FLUJO SIN FRICCIN.

    Ecuacin de Euler

    z

    uw

    y

    uv

    x

    uu

    t

    u

    x

    pg x

    z

    vw

    y

    vv

    x

    vu

    t

    v

    y

    pg y (2.20)

    z

    ww

    y

    wv

    x

    wu

    t

    w

    z

    pg z

    como ecuacin vectorial tenemos:

    z

    wy

    vx

    ut

    pg

    Dt

    VDpg (2.21)

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez31

    z

    VV

    V

    r

    V

    r

    VV

    t

    Va

    z

    pg

    r

    VV

    z

    VV

    V

    r

    V

    r

    VV

    t

    Va

    pg

    r

    V

    z

    V

    V

    V

    r

    V

    r

    V

    Vt

    V

    ar

    p

    g

    zz

    zzr

    zzZ

    rzr

    r

    z

    rr

    r

    r

    rr

    1

    1

    12

    Si Z se dirige verticalmenteZZ gkggk

    La ecuacin de EULER se escribe:

    VVt

    V

    Dt

    VDpg Z

    .

    1

    (2.22)

    En coordenadas Cilndricas:

    (2.23)

    Como el eje Z se dirige hacia arriba, gr= g= 0 y gz= -g

    La ecuacin de EULER, para una partcula que se encuentra sobre una lnea de

    corriente.

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez32

    Consideremos flujo bidimensional y bidireccional y = 0

    a) En la direccins(a lo largo de la lnea de corriente)

    Sabemos: xnsVddmadmdF SS . (2.24)

    Tambin: xnss

    VV

    t

    Va.m

    s

    VV

    t

    Va SS

    SSS

    SS

    (2.25)

    Si despreciamos el , las nicas fuerzas que actan sobre la partcula son la

    de presin y de la gravedad; y de la figura se tiene:

    WSenxns

    s

    ppxn

    s

    s

    ppdFS

    22 (2.26)

    donde xnsggdmW (2.27)

    En (2.26): xnsgSens

    pdFS

    (2.28)

    Reemplazando (2.26) y (2.28) en (2.24), dividiendo entre s.n.x y en el

    limite cuando n, s y x se aproximen a cero se obtiene:

    s

    VV

    t

    VgSen

    s

    p SS

    S

    (2.29)

    De la figura sSenz en el limite:

    Sensz

    , luego en (2.29)

    s

    zg

    s

    p

    s

    VV

    t

    V SS

    S

    1

    (2.31)

    Ecuacin de EULER, en direccin de lalnea de corriente. ( = 0)

    s

    VV

    t

    VgSen

    s

    p SS

    S

    1

    01

    s

    zg

    s

    p

    s

    VV

    t

    V SS

    S

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez33

    01

    01

    2

    n

    zg

    n

    p

    R

    V

    s

    zg

    s

    p

    s

    VV

    S

    SS

    b) Para la direccin n:

    nn dmadF (2.32)

    Tambin sabemos queR

    V

    t

    Va Snn

    2

    (2.33)

    luego: ndF de la presin: xsn

    n

    pp

    n

    n

    ppdFn

    22

    xsnn

    pdFn

    (2.34)

    La fuerza de la gravedad: sxngCosWCosWn (2.35)

    Reemplazando (2.33), (2.34) y (3.35) en (2.32) y haciendo las simplificaciones

    respectivas; se obtiene:

    R

    V

    t

    VgCos

    n

    p Sn2

    012

    gCos

    np

    RV

    tV Sn

    De la figura: Cosn

    z

    n

    z

    n

    0lim

    Finalmente se tiene:

    012

    n

    zg

    n

    p

    R

    V

    t

    V Sn

    (2.36)

    Ecuacin de Newton en direccin normal a la lnea de corriente ( =0).

    Para flujo ESTACIONARIO NO VISCOSO, las ecuaciones de EULER en

    coordenadas de lneas de corriente:

    (2.37)

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez35

    dydxdz

    zRF

    dydxdzx

    RF

    dydxdzy

    RF

    zznz

    xxnx

    yy

    ny

    En el cubo diferencial anterior:

    a. Calculamos la resultante de las fuerzas normales:

    dzdxdzdxRF yyyyny

    Pero yy= + dydxdzy

    dzdxdzdxdyy

    yy

    yyyy

    yy

    yyyy .

    dzdxdydxdz

    y

    dzdxRFyy

    yy

    yyny

    anlogamente:

    (2.42)

    z

    x

    dz

    d

    dx

    zz

    yy

    xx

    2

    dy.

    y

    yx

    yx

    2

    dy.

    y

    yz

    yz

    2

    dx.

    x

    yx

    yx

    2

    dx.

    x

    xzxz

    2

    dz.

    z

    zy

    zy

    2

    dy.

    y

    yz

    yz

    2

    dz.

    z

    zxzx

    2

    dy.

    y

    yz

    yz

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez36

    Calculamos la resultante de las fuerzas tangenciales: eje x,y,z

    zyxyy RFRFRF

    dxdydxdydzdydzdyRFyzzyyxxyy

    Pero: dxx

    xy

    yxxy

    y dzz

    zy

    yzzy

    luego:

    dxdydxdydzzdzdydzdydxxRF yzzy

    yzyx

    xy

    yxy

    anlogamente:

    dzdxdyydxdydzxRF

    dzdxdyz

    dxdzdyy

    RF

    dzdxdyz

    dxdydzx

    RF

    yxxz

    z

    zxyx

    x

    xyxy

    y

    (2.43)

    z

    x

    dz

    dy

    dx

    yz

    yx

    xy

    zy

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez37

    reemplazando (2.43) y (2.42) en (2.41) :

    V).V(

    tVdxdydzddxdydz

    zdxdydz

    xdxdydz

    ydxdydzF

    y

    y

    zyxyyy

    By

    Por unidad de volumen:

    VV

    t

    Vd

    zxyF

    y

    y

    zyxyyy

    By ).(

    V).V(t

    VdzyxF

    xxzxxy

    xxBx (2.44)

    V).V(t

    Vd

    yxzF zz

    yzxzzzBz

    2.3.1 LA LEY DE LA VISCOSIDAD DE NAVIER-STOKES

    Relaciona el campo de velocidades con la magnitud de la rapidez de deformacin

    angular. Asume este modelo matemtico: que la deformacin es consecuencia

    principalmente del desplazamiento de una partcula por efecto de una fuerza

    cortante la cual es proporcional al gradiente de velocidades.

    Es una ecuacin bidimensional.

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    CAPITULO III

    ANLISISDIMENSIONAL Y

    TEORIA DEMODELOS

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez41

    3.1 ANLISIS DIMENSIONAL

    3.1.1 DEFINICIN

    Se denomina as al proceso que permite evaluar un determinado fenmeno,

    con una reduccin de las variables que hacen posible su ocurrencia;

    bsicamente consiste en agrupar convenientemente todas las variables

    principales, presentes en un fenmeno.

    Es un procedimiento algebraico que permite agrupar variables

    independientes en grupos adimensionales los cuales hacen que el tiempo

    de manipulacin de datos se reduzca y el tratamiento del fenmeno sea

    ms fcil. El anlisis dimensional tiene dos desventajas:

    a) Para aplicar se requiere el conocimiento previo del fenmeno a

    realizarse, ello permite seleccionar adecuadamente las variables

    importantes para la ocurrencia del fenmeno.

    b) El anlisis dimensional no permite conocer directamente el tipo de

    funcin que relaciona a dos o mas grupos adimensionales, ello soloes posible mediante la experimentacin.

    3.1.2 METODOS

    Para hallar los grupos adimensionales existen dos mtodos

    1.-METODO DE ROLLY

    2.-METODO DE BUCKINGHAM O GRUPOS ():

    Permite hallar los denominados grupos adimensionales (NUMEROS).

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez42

    3.1.3 METODOLOGA DEL METODO DE BUCHINGHAN

    1.- Se seleccionan adecuadamente las variables, que a nuestro criterio seanlas ms importantes, en la ocurrencia del fenmeno.

    Supongamos las variables: V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7.

    2.-Se elige el sistema de magnitudes fundamentales, en funcin del

    fenmeno que se estudia, como por ejemplo:

    MLT, FLT, MLT, MLTQ, MLTQS.

    En fluidos se toman generalmente las dimensiones MLT y FLT

    3.- Se calcula el numero de grupos adimensionales a obtenerse mediante la

    relacin:

    = mn .

    :Numero de grupos adimensionales.

    m :Numero de variables seleccionadas. = 8

    n :Numero de magnitudes fundamentales. = 3

    = 83 = 5

    4.- Se escriben las ecuaciones dimensinales de las variables

    seleccionadas:

    [V1 ] = Ma1 Lb1 Tc1 .

    [V2 ] = Ma2 Lb2 Tc2 .

    [V3 ] = Ma3 Lb3 Tc3 .

    .

    .

    [V8 ] = Ma8 Lb8 Tc8 .

    5.- Se construye la matriz dimensional del sistema de la siguiente manera:

    En la columna vertical las magnitudes fundamentales; en la lnea

    horizontal las variables seleccionadas y se rellena con los exponentes.

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez44

    Resolviendo se tiene:

    X1 = 1

    Y1 = 1 1 = 2731111 VVVV

    Z1 = 1

    De la misma manera se tiene:

    2 = 4731222 VVVV

    3 = 5731333

    VVVV

    4 = 6731444 VVVV

    5 = 8731555 VVVV

    NOTA: Los nmeros 1,2,3,4,5. son independientes de un sistema

    particular de unidades, razn por la cual se les puede multiplicar, dividir y

    elevar a cualquier potencia, para dar la forma que uno requiere.

    NOTAS :

    1.-El anlisis dimensional (mtodo ) solo se aplica cuando se tiene 5 o

    ms variables en estudio.

    2.-El Anlisis Dimensional no permite conocer el tipo de funcin que

    relaciona a los grupos adimensionales; para reconocer el tipo se requiere la

    experimentacin.

    3.-La mayor desventaja de Anlisis Dimensional radica en que la

    seleccin de las variables depende exclusivamente del conocimiento que

    se tenga del fenmeno.

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez45

    3.2 TEORIA DE MODELOS O SIMILITUD

    Es aquella que establece los puntos que relacionan los fenmenos de un modelo ylos de un prototipo.

    El Anlisis Dimensional es una herramienta que emplea la TEORIA DE

    MODELOS para conocer a priori las magnitudes de las propiedades que a travs

    de la escala son trasladadas al prototipo.

    3.2.1 MODELO

    Es una reproduccin a escala adecuada del prototipo (no solo el modeloesta referido a la reproduccin de objetos sino tambin a la reproduccin

    de fenmenos, todo ello mediante la simulacin).

    3.2.2 PROTOTIPO

    Es la reproduccin a escala 1:1 del objeto que ser sometido a condiciones

    reales de trabajo.

    3.2.3 ESCALA

    Se denomina as a la relacin que existe entre la magnitud de una misma

    propiedad en el modelo y en el prototipo.

    Existen escalas de longitudes, superficies, volmenes, velocidades,

    fuerzas, etc.

    Vm Vp

    Fm Fp

    gm gp

    am

    ap

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    Ing. Jaime Flores Snchez48

    3.2.5 PRINCIPALES GRUPOS ADIMENSIONALES

    a)Numero de Reynolds.- Todo tipo de Flujo

    Re =Viscocidad

    Inercia=

    LV=

    LV

    b)Numero de Mach.- Flujos compresibles

    M =SonidodeVelocida

    FlujodeVelocidad=

    C

    V

    C =

    PETRK

    c)Numero de Froude.- Flujos con superficie libre

    Fr =gravedad

    Inercia=

    gL

    V

    2

    d)N de Weber.- Para flujo en superficie libre

    We =lSuperficiaTencion

    Inercia=

    LV 2

    e)Numero de Euler.- Para pruebas aerodinmicas, cuando existe

    cavitacin

    Eu =Inercia

    esionPr=

    2V

    P

    f)Numero de Eckert.- Para disipacin

    Ec =

    Entalpia

    CineticaEnergia=

    ToCp

    V

    2

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    Ing. Jaime Flores Snchez50

    3.2.7 COEFICIENTES ADIMENSIONALES

    a) Coeficiente de Resistencia.-

    CD=AV

    2

    1

    F

    2

    A

    b) Coeficiente de Sustentacin.-

    CS=AV

    2

    1

    F

    2

    S

    c) Coeficiente de Presin

    CP=2V

    2

    1

    P

    d) Coeficiente de Friccin.-

    Cf=2

    w

    V2

    1

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    CAPITULO IV

    ESTUDIO DEL FLUJOINTERNO

    INCOMPRESIBLE

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez52

    Las fluctuaciones y valores entre 1 y 20 % de la velocidad media, no son

    estrictamente peridicas, sino aleatorios y distribuidos en un amplio rango de

    frecuencias. En un tnel aerodinmico tpico a altos Re el rango de frecuencia va

    de 1 a 10000 HZ y el de longitudes de onda de 0.01 a 400 cm.

    Los flujos con perdida libre la turbulencia es observada directamente, en la figura

    el chorro de agua a la salida de un tubo a bajo Re es suave y laminar y alto Re es

    no estacionario e irregular, pero estacionario y predictible en medir.

    Si

    ULRe , donde U = velocidad media

    L = ancho o longitud caracterstica transversal, de la capa

    de cortadura

    Tenemos:

    0

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez55

    En la figura las capas limites viscosas crecen aguas abajo, frenando el flujo axial

    u(r,x) en la pared y acelerando el ncleo central para mantener el requisito de

    continuidad, que en un flujo incompresible es :

    constanteudAV (4.3)

    A una distancia finita de la entrada, las capas limites se unen y el ncleo no

    viscoso desaparece, el flujo en el tubo es entonces completamente viscoso y la

    velocidad axial se va ajustando hasta x = Le en que ya no cambia prcticamente

    con x, se dice que el flujo esta totalmente desarrollado u u( r) .

    El anlisis dimensional indica que el Re es el nico parmetro que determina la

    longitud de entrada. Si Le=f(d,v,,) de donde :

    RegdV

    gd

    Le

    (4.4)

    Para flujo laminar, la correlacin aceptada es:

    Re06.0dLe (4.5)

    La longitud mxima de entrada de entrada, a ReCR=2300 es Le=138d que es la

    mxima posible.

    En flujo turbulento las capas limites crecen mas de prisa y Le es relativamente

    mas corto, siguiendo la expresin:

    6/1Re4.4dLe (4.6)

    teniendo en cuenta algunas longitudes de entrada

    Re 4000 104 105 106 107 108

    Le/d 18 20 30 44 65 95

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez56

    Una longitud corta puede ser til si se desea mantener un ncleo no viscoso. Por

    ejemplo un tnel aerodinmico largo seria ridculo ya que el flujo seria viscoso

    en todas partes, lo que invalida la simulacin de condiciones de corriente libre.

    Uno tpico mide 1m y 5m de largo, hasta la seccin de ensayos con V= 30m/s,

    tomando smx /1051.1 25 Re= 1.99x106 y de la ecuacion (4.6), laseccin de ensayos esta a L/d=5 que es mucho menor que la longitud de entrada.

    4.3 APLICACIN DE LAS ECUACIONES DE NAVIER

    STOKES AL FLUJO LAMINAR COMPLETAMENTE

    DESARROLLADO

    4.3.1 PLACAS SIN MOVIMIENTO

    Cuando el espacio entre placas es bastante pequeo, el campo de

    velocidades resultante se puede suponer como si fuera el que se da entredos placas paralelas infinitas.

    Consideraciones:

    1. Se consideran constantes las propiedades del fluido en la direccin z

    2. El flujo es estacionario e incompresible = constante = constante.

    3. No existe componente de la velocidad en las direcciones y o Z.

    4. La velocidad solo es funcin deY y no de X , por que el flujo es

    completamente desarrollado.

    5. Las fuerzas volumtricas se desprecian.

    hdy

    dx

    VC

    Y

    X

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez61

    4.3.5 AMBAS PLACAS MOVIENDOSE CON VELOCIDAD U EN

    SENTIDOS OPUESTOS

    Condiciones de contorno:

    Si y = 0 u = -U

    Si y = h u = +U

    2

    m

    2

    m

    3

    h

    LV12p

    12

    h.

    x

    pV

    12

    bh.

    x

    pV

    2

    1

    h

    y

    x

    phh

    U2

    1h

    y

    2

    yh

    x

    p

    2

    1

    h

    yU2u

    h

    U

    UX

    Y

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez63

    4.3.5 FLUJO LAMINAR EN TUBERAS CIRCULARES

    Aqu el flujo es AXISIMETRICO, por lo tanto trabajamos

    convenientemente en coordenadas cilndricas, siendo el .C. el anillo

    diferencial, consideremos flujo estable. Sabemos que las fuerzas normales

    (f. de presin) actan sobre los extremos izquierdo y derecho del .C.

    mientras que las tangenciales (f. corte) actan sobre las superficies

    cilndrica interior y exterior.

    En el lado izquierdo la fuerza de presin es:

    En el extremo derecho la fuerza de presin es:

    La fuerza cortante sobre la superficie cilndrica interior es:

    La fuerza cortante sobre la superficie cilndrica exterior es:

    y

    x

    R

    dr

    rx

    dx

    r

    dr

    Volumen de controlanular

    rdrx

    x

    pp 2.

    2

    rdrx

    x

    pp 2.

    2

    dxdr

    rdr

    rrx

    rx

    2

    2.2

    dxdr

    rdr

    rrx

    rx

    2

    2.2

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez64

    La suma de las componentes de la fuerza que acta sobre el .C. debe ser

    cero:

    Dividiendo entre 2rdrdx se obtiene:

    entonces

    (a)

    Como rx es funcin de rentonces la ecuacin (a) se cumple para toda r y

    xsolo si cada lado de (a) es constante., luego podemos escribir:

    Integrando:

    Como

    Finalmente:

    (b)

    Condiciones de frontera: r = R u = 0, Sabemos que en r = 0 la

    velocidad es finita, luego para que se cumpla esto c1= 0

    , para r = R u = 0

    Luego tenemos:

    (c)

    0222

    rdrdx

    rdrdxrdrdx

    x

    p rxrx

    dr

    d

    rx

    p rxrx

    dr

    rd

    rx

    p rx )(1

    x

    pr

    dr

    rdcte

    x

    p

    dr

    rd

    rrxrx

    )(

    .)(1

    rx

    pr

    x

    prr

    cc rxrx

    1

    1

    2

    2

    2

    rx

    pr

    dr

    du

    dr

    du crx

    1

    2

    cc r

    x

    pru

    2

    1

    2

    ln4

    x

    pR

    x

    pRcc

    4

    40

    2

    22

    2

    2222

    4

    1

    44Rr

    x

    pu

    x

    pR

    x

    pru

    cx

    pru

    2

    2

    4

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez68

    4.4 CORRELACIONES SEMIEMPIRICAS DE LOS

    ESFUERZOS TURBULENTOS y = Constantes.Por la ecuacin de continuidad:

    y cantidad de movimiento

    (4.7)

    Sin efectos trmicos y sujetos a la condicin de no deslizamiento en la pared y

    condicin de entrada y salida conocidas.

    4.4.1 MEDIA TEMPORAL DE REYNOLDS

    En un flujo turbulento, debido a las fluctuaciones cada trmino de presin

    o velocidad (a) varia rpida y aleatoria mente en funcin de la posicin y

    del tiempo, con valores promedios de: V, p,, etc.

    La media temporal u de una funcin turbulenta u(x, y, z, t) se define

    como:

    (4.8)

    donde: T = es un periodo promedio que debe ser mayor que cualquier

    periodo significativo de las fluctuaciones, ver Figura

    Para flujos turbulentos como agua o gases en T=5s es un principio

    adecuado.

    p = p + pu

    (a)(a)

    u

    t

    p

    p

    t

    pu = u + uu

    fi ura 4.3 variacin de la velocidad

    0

    z

    w

    y

    v

    x

    u

    Vgpdt

    Vd

    2

    T

    udtT

    u0

    1

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez69

    La fluctuacin use define como la desviacin de u de su valor medio:

    u = u u (4.9)

    Por definicin la media de la fluctuacin es cero

    (4.10)

    Sin embargo la media del cuadrado de la fluctuacin no es cero y es una

    medida de la INTENSIDAD de la turbulencia

    (4.11)

    En general ninguno de los productos de la forma uv y up es CEROen un flujo turbulento.

    Reynolds separ cada propiedad en sus medias ms las fluctuaciones, es

    decir:

    (4.12)

    Si sustituimos en (4.7) y tomamos los medios temporales, la ecuacin de

    continuidad se reduce a:(4.13)

    Idntica a la expresin laminar:

    En flujos, en conductos y en capas lmite la ecuacin de cantidad de

    movimiento longitudinal puede ser aproximada con finalidad por:

    (4.14)

    donde:

    (4.15)

    01

    '0

    uudtuuTuT

    01

    '0

    22 T

    dtuT

    u

    ',',',' pppwwwvvvuuu

    0

    z

    w

    y

    v

    x

    u

    yg

    x

    p

    dt

    udX

    turblamvuy

    u

    ''

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez71

    Para la regin interior Prandtl dedujo que u deba ser independiente del

    espesor de la capa lmite.

    u =f(, w,, y) (4.16)

    Por anlisis dimensional esto equivale a:

    (4.17)

    La ecuacin (4.17 ) es denominada LEY DE LA PARED

    u* es una VELOCIDAD DE FRICCIN porque tiene dimensiones LT-1

    aunque no es realmente una velocidad.

    VON KARMAN dedujo que en la regin exterior u debe ser

    independiente de la y en diferencia con la velocidad de corriente libre U

    deba depender del espesor y de las otras propiedades:

    que por anlisis dimensional se llega a :

    (4.18)

    La ecuacin (4.18) se denomina LEY DEL DEFECTO DE LA

    VELOCIDAD para la regin exterior.

    En la subcapa intermedia MILLIKAN demostr que la velocidad vara

    logartmicamente cony:

    (4.19)

    donde: k=0.41, B=5

    En la fig. (4.4) los cuatro perfiles de la regin exterior tienden suavemente

    a la subcapa logartmica y la diferencia entre ellos resulta de diferencias en

    el gradiente de presiones exteriores.

    La ley de pared es nica y obedece a la relacin:

    (4.20)

    2/1

    **

    *,

    wu

    yuF

    u

    uu

    yguU wext ,,,

    yG

    u

    uU*

    B

    yu

    ku

    u

    *

    * ln

    1

    yyu

    u

    u

    u

    *

    *

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez73

    Usando la ley logartmica, para y=R-r , y que la ec. (4.19) represente

    fiablemente el perfil de velocidad medida u(r) a travs del conducto:

    (4.21)

    la velocidad media ser:

    (4.22)

    Introduciendo k=0.41 ,B=5 obtenemos:

    (4.23)

    Vm/u* se relaciona directamente con el coeficiente de DARCY

    (4.24)

    Tambin el gradiente del logaritmo es

    (4.25)

    (4.24) y (4.25) en la ecuacin (4.23) , cambiando a base decimal el

    logaritmo y ordenando se tiene:

    (4.26)

    Prandtl tambin dedujo la ecuacion (4.26) variando ligeramente las

    constantes, en los datos experimentales:

    (4.27)

    expresin para ductos de paredes lisas.

    Re 4000 104 105 106 107 108

    f 0.0399 0.0309 0.018 0.0116 0.0081 0.0059

    BurR

    ku

    ru

    *

    *

    )(ln

    1)(

    rdrBurR

    ku

    RA

    VV

    R

    m

    2)(

    ln11 *

    0

    *

    2

    34.1ln44.2*

    *

    Ru

    u

    Vm

    2/12/12

    *

    8

    f

    V

    u

    V

    w

    mm

    2/1**

    8Re

    2

    1.

    2

    1

    fudV

    Ru m

    021)log(Re9911

    .f.f

    8.0)log(Re21

    ff

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez74

    Tambin:

    (4.28)

    NOTAS:

    Para un V dado, la p disminuye con el d ms aun en REGIMEN

    LAMINAR.

    Para reducir ms la presin de bombeo es poner tubos de mayor d,

    aunque los costos se eleva.

    Duplicando el d, p disminuye, en aproximadamente un factor de

    27.

    La velocidad mxima en flujo turbulento en conducto viene dada por

    ecuacin (4.21), particularizada en r =0

    (4.29)

    Combinando esta ecuacin En (4.24), obtenemos la relacin:

    (4.30)

    (4.31)

    Para flujo LAMINAR:

    (a)

    (b)

    BLASIUS10Re4000;316.0

    54/1

    Rf

    (1974)WHITEF.)(log02.1 5.2 Rf1.75

    4/14/3 V241.0

    LP

    BRu

    ku

    u

    *

    *

    max ln1

    1

    max

    )33.11( fu

    Vm

    )rR(gzp

    dx

    d

    4

    1u:NOTA 22

    )(

    4

    2

    max gzpdx

    dRu

    )(8

    2

    1V

    22

    max gzpdx

    dRRu

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    Ing. Jaime Flores Snchez76

    (4.35)

    (4.36)

    4.4.5 DIAGRAMA DE MOODY: DIAGRAMA DE PRDIDAS DE

    CARGAS.

    Formas alternativas.- se presentas los casos:

    a. Dados D, L, V , , y g, calcular las perdidas de carga hf

    (MOODY).

    b. Dados D, L, hf, , y g, calcular V o .

    c. Dados , L, hf, , y g, calcular el D del tubo.

    a)Diagrama modificado de MOODY (calculo deV )

    Supongamos que nos piden calcular V eliminamos V de f Re,

    luego

    (a)

    Al introducir el valor de en la ecuacin de Colebrook, se tiene:

    (b)

    La ecuacin De HAGEN-POISEUILLE se convierte en:

    (c)

    2.3ln44.2*

    D

    u

    Vm

    7.3

    /log2

    1 D

    f

    2

    3

    2Re.2

    1

    L

    hgDf

    f

    251.2

    7.3/log8Re D

    32Re

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez77

    b)Diagrama modificado de MOODY (calculo del D)

    Tambin:

    Eliminando D se tiene: (d)

    Tambin: quedando

    Para paredes LISAS: (e)

    c)Para conductos no circulares: se toma el radio dimetro

    hidrulico;

    (f)

    d)En placas paralelas:

    (g)

    (h)

    donde: h = distancia entre placas

    Luego:

    Tambin: (i)

    DH = 2h

    Esta ecuacin (i) en tubos se convierte:

    (j)

    DV4Re.Re:De

    DV

    2

    5

    f

    2

    2

    V

    Dgh

    8f

    .2

    L

    LV

    Dghf f

    2/1

    53

    3

    f1/25 V128gh)Re(

    Lf

    Re./.4

    D

    V

    416.043.1Re

    moj

    Th

    moj

    Th

    P

    AD

    P

    AR

    4;

    h

    w fVhV

    fRe

    48

    4882

    hDh 2

    H

    pppp fVh

    fRe96

    296

    19.1)log(Re21 2/1

    2/1 f

    f DH

    8.0)Re64.0log(21

    f

    f

    DH

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    Ing. Jaime Flores Snchez78

    4.5 PERDIDAS DE ENERGA

    4.5.1 LAS PRDIDAS PRIMARIAS:

    El factor de friccin se determina mediante las siguientes ecuaciones

    analticas

    1.- Si el flujo es laminar, con Re < 2300.

    Re

    64f Ec. De Hagen - Poiseuille

    2.- Si la tubera es lisa y un rgimen turbulento, 2300 < Re < 105

    4/1Re

    316.0f Ec. De BLASIUS

    3.- Para la tubera lisa con Re > 105

    4/1Re

    316.0f Ec. De PRANDT-KARMAN

    4.- Para tubera lisa, con Re > 105

    0032.0Re

    221.0237.0

    f Ec. De Nikuradse

    5.- Para tubera lisa, con rgimen turbulento: 7*104< Re < 2*106

    8.0Re

    396.00054.0 f Ec. de HERMANN

    6.- Para la zona de Transicin e inicio del flujo turbulento (Valores

    confiables)

    Re

    51.2

    71.3log2

    1

    f

    E

    f Ec. De ColebrokWhite ;

    HD

    EE

    7.- Para tuberas altamente rugosas

    74.1log21

    HR

    f

    Comentario de la ecuacin de COLEBRQQK- WHITE

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez79

    a) S el sumado (A) tiende a cero significa que el acabado superficial

    interno de la tubera es muy buena, en consecuencia el factor de

    friccinsolo depende de Re.

    b) Si el sumando (B) tiende a cero significa que el Re, es muy grande

    entonces el factor de friccin depende de la rugosidad relativa, para

    flujos plenamente desarrollados, Re 106.

    8.- Para flujos con Re 5x103 >2 x 108

    74.1log21

    HR

    f Ecuaciones de SWAMEE Y JAIN

    STANTON DIAGRAMA DE MOODY se muestra el apndice.

    4.5.2 PRDIDAS SECUNDARIAS

    Son todas aquellas que se originan cuando el fluido pasa a instrumentos de

    medida, cambios de seccin, cambios de direccin, etc. Su magnitud se

    calcula mediante la siguiente expresin:

    g

    VKhs

    2

    2

    En unidades de longitud

    Donde K =Coeficiente de perdidas del accesorio, Depende de la geometray el acabado Superficial interno del accesorio.

    Una manera de evaluar con relativa facilidad la magnitud de una perdida

    secundaria en una red de tuberas es aplicando el concepto de longitud

    equivalente: es la longitud de una tubera de seccin circular que genera la

    misma cada de presin que un accesorio, asumiendo igual fluido e igual

    velocidad promedio.

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    Ing. Jaime Flores Snchez81

    Tambin: hp

    =gD

    Vlf

    H2

    . 2 V = Q/A V = Q/a2

    DH= 4/pm = 4 a2/ 4a = a DH = a.

    Luego:

    hp

    =ga

    Qlf

    2

    )(5

    2

    ( b )

    De a y b :gDo

    Qlf o

    2

    852

    2

    =

    ga

    Qlf

    2

    )(5

    2

    16a5= 2 Do5

    Do =5/1

    2

    516

    a Do = Deq = a. 5 2

    16

    4.5.4 SISTEMAS DE TUBERAS

    A.- Sistema en serie

    Caractersticas: a) V1 =V2 =V3

    b) hp AB= hp tot= hp1 + hp2+... hpn

    B.- Sistema de tubera en Paralelo

    Caractersticas: a)321

    VVVVVBA

    b) 321 hphphphpAB

    1 2

    1

    3

    A B

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    Ing. Jaime Flores Snchez83

    CCST = una caracterstica del sistema de tuberas

    Potencia Hidrulica: Potencia al Eje:

    B

    EJEnCTE

    HVPot

    CTE

    HVPot

    H

    donde:

    KWPotCTE

    CVPotCTE

    HPPotCTE

    mH

    smV

    mKgf

    102

    75

    76

    3

    3

    Nota: existe una relacin emprica que ese emplea mucho en el mbito

    industrial, la formula de HAZEN- WILLIAMS, para sistemas de agua con

    dimetro mayores a 2 y menores de 6 pie, con velocidades de flujos

    mayores de 10 pies/s.

    1V

    2V

    hP1hP2

    V

    CCST

    hg

    2

    1

    NN

    H2

    H1

    Punto de Operacin

    2VKhgH

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    Ing. Jaime Flores Snchez84

    En el sistema Britnico: = 1.32 CRH0.36S0.54 (4.38)

    Donde: = velocidad promedio de flujo (pies / s)C = coeficiente de HAZEN- WILLIAMS

    RH= radio hidrulico (pies)

    S = Coeficiente hp/L: perdida de energa entre longitud.

    Los conductos ms lisos tienen valores ms altos de C, en comparacin

    con los ms rugosos.

    4.5.6 ENVEJECIMIENTO DE TUBERAS

    A travs de los aos una tubera de agua puesta en servicios sufre el

    fenmeno de las incrustaciones de los slidos en suspensin, razn por la

    cual es necesario tener en cuenta el efecto corrosivo para recalcular las

    perdidas, debido a que la seccin se reduce y para un mismo caudal la

    velocidad aumenta y en consecuencia la perdida tambin.

    f = Rugosidad final(m)

    o= Rugosidad inicial (m)

    = esta en funcin de ph de la sustancia Tasa de incrustaciones (m / Ao)

    t = tiempo de servicio (ao)

    tf .0

    f

    0

    Incrustaciones (caliche)

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    Ing. Jaime Flores Snchez94

    5.1 LA CAPA LIMITE

    La capa lmite es aquella zona adyacente a un contorno slido, en donde los

    efectos viscosos resultan importantes; fuera de ella el efecto viscoso es

    despreciable y el fluido puede considerarse como no viscoso.

    La capa limite es el lugar geomtrico (en volumen) que ocupan cierta cantidad de

    fluido, en las cercanas de un contorno slido, como consecuencia del efecto

    viscoso; es en esta regin en donde el gradiente de velocidad es diferente de

    CERO; tambin no existe un valor nico para el Re correspondiente a la transicin

    del flujo LAMINAR A TURBULENTO en la Capa Limite, el cual se ve afectado

    por: el gradiente de presin, , transferencia de calor , fuerzas volumtricas y las

    perturbaciones existentes en la corriente libre.

    V

    21

    V

    0x

    V

    T

    0

    L

    Contorno dela capa limite

    SUB-CAPALAMINAR

    T>L

    x2x1

    C.L. DETRANSICION

    C.L. TURBULENTAC.L. LAMINAR

    LOCALx0

    5/1

    0

    2/1 ReRe:LISATUBERIAS:SiRe,Re xT

    xL k

    x

    Sk

    x

    S

    0x

    V

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez117

    Nota: para un avin :

    6.2.2 FUERZA DE SUSTENTACIN

    Joukowsky)-Kuttade(TeoremaVbF 0S

    Una circulacin (rotacin) origina una fuerza de sustentacin perpendicular a la

    direccin del flujo y con sentido (en este caso) hacia arriba conforme se muestra

    en el esquema debido al sentido de rotacin.

    2

    r2

    W.rV

    1)(Para

    .V:NCIRCULACIO

    bbrdds

    ds

    r

    r

    dsd

    V

    AterrizajeWFs

    HorizontalVelocidadWFs

    DespegueWFs

    PS

    PSS

    AVCW

    AVCF

    2

    2

    2

    12

    1

    W

    FS

    Ancho unitariob = 1

    VS>VL EfectoPS

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez123

    NOTA: El coeficiente de arrastre viscosa para cualquier cuerpo en un flujo a un

    Remuy bajo es una CONSTANTE y solo depende de la forma del cuerpo.

    En la siguiente tabla se muestran los CDpara diferentes cuerpos.

    Tabla 6.1 Coeficiente de resistencia viscosa para flujos a muybajos nmeros de Reynolds (validos para Re < 1)

    Tabla 6.2 Coeficientes de resistencia para diversos cuerpos tridimensionales

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez124

    Tabla 6.3 Coeficientes de resistencia para diversos cuerpos bidimensionales

    Tabla 6.4 Coeficientes de resistencia para objetos con simetra

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez126

    La Fuerza de arrastre se presenta en todos los flujos externos y la sustentacin

    solo se presenta si existe ASIMETRA. En general (no siempre) la resistencia

    es indeseable y lleva a aumentar el consumo de combustible en los vehculos:

    la carga del viento sobre las estructuras y fenmenos parecidos.

    La sustentacin es beneficiosa, por ejemplo en las alas de un avin; le permite

    volar. La Fuerza de sustentacin tambin realizan la mayor parte del trabajo

    til en el flujo sobre las palas o alabes de hlices de propulsin, compresores,

    turbinas.

    CD

    Figura 6.7 Coeficiente de resistencia para cuerpos asimtricos

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    Ing. Jaime Flores Snchez137

    Figura 6.22 Coeficiente de sustentacin y resistencia para dos formas deperfiles NACA: (a) perfil 2415; (b) perfil 632 - 615

    Figura 6.23Efecto de larelacin de aspecto

    sobre loscoeficientes desustentacin yresistencia sobre unala tpica. Todas lasalas tienen lamisma forma deperfil (perfilaerodinmico)

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    Ing. Jaime Flores Snchez138

    Figura 6.24 Curva polar para un ala con alargamiento 5.

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    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

    Ing. Jaime Flores Snchez139

    Figura 6.25 Curva polar para el perfil de ala rectangular Y de Clark de 6 piesde cuerda y 36 pies de envergadura.

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    Ing. Jaime Flores Snchez141

    donde:

    T : temperatura absoluta

    R : constante particular del gas M

    RuR

    Ru : constante universal de los gases

    Para el aire: K = 1.4

    Cp = 6010 22

    s.pie

    R = 1005.03 2

    2

    s.m

    K

    Cv = 4293 22

    s.pie

    R = 716.5

    K.JKg

    R = 1717 22

    s.pie

    R = 287

    K.JKg

    C = 49 R)(T s

    pies = 20.04 K)(T s

    m

    Para gases:

    Monoatmicos:3

    5K ;

    M

    RuCp 5.2

    Diatmicos:5

    7K ;

    M

    RuCp 5.3

    Poliatmicos:M

    RuCp 4

    Ru = 1.986K.Kmol

    Kcal = 49720 22

    s.pie

    R = 8.3143

    K.KJ

    Kmol

    En un flujo isoentrpico :

    1

    1

    2

    1

    1

    2

    1

    2

    KK

    K

    P

    P

    T

    T

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    Ing. Jaime Flores Snchez144

    7.2.2 RELACIONES ENTRE LAS PROPIEDADES DE

    ESTANCAMIENTO Y LAS PROPIEDADES ESTTICAS

    a) Relacin entre T0 y T

    Recordamos :

    TCp

    V

    T

    T

    T

    T 1

    2

    2

    0

    RKT2

    )1(1

    2

    0 KV

    T

    T como : TRKC

    tenemos que :2

    20

    C2

    )1(1 KVT

    T pero :C

    VM

    entonces :2

    M)1(1

    2

    0 K

    T

    T (7.5)

    b)Relacin entre P0 y P

    Recordamos:

    1

    1

    0

    1

    0

    K

    K

    T

    T

    P

    P

    100

    K

    K

    T

    T

    P

    P

    entonces:12

    0

    2

    M)1(1

    K

    K

    K

    P

    P (7.6)

    c) Relacin entre 0 y

    Recordamos :

    1

    1

    2

    1

    2

    K

    T

    T

    01

    1

    0

    K

    T

    T

    entonces :1

    12

    0

    2M)1(1

    K

    K (7.7)

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    Ing. Jaime Flores Snchez146

    7.3 DUCTOS DE SECCIN VARIABLE

    7.3.1 TOBERAS

    Se denomina as a los dispositivos o ductos de cortos de seccin variable

    que transforma la energa entlpica en energa cintica, es decir es un

    acelerador de flujo. Todos los procesos de expansin estn asociados a

    este dispositivo existiendo toberas subsnicas y supersnicas e inclusive la

    snica.

    NOTA

    El mximo numero de Mach que se puede obtener a la salida de una tobera

    subsnica es 1, jamas un valor superior a este.

    Cuando el Mach a la salida de la tobera es igual a 1, se dice que la tobera