Libro de Fluidos II.pdf

7/25/2019 Libro de Fluidos II.pdf

1/300

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE I NGENI ERA MECNICA- ENERGA

PROYECTO DE INVESTIGACION

ELABORACION DE UN LIBRO TEXTO DE

MECNICA DE FLUIDOS II

JEFE DEL PROYECTO

ING. JAIME GREGORIO FLORES SANCHEZ

CRONOGRAMA

(31-01-2001 Al 30-01-2003)

RESOLUCION RECTORAL

094-2001-R


2/300

INDICE

RESUMEN

INTRODUCCIN

Capitulo I CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

1.1 Tipos de Flujo. 1

1.1.1 Flujo Uniforme. 1

1.1.2 Flujo Permanente o Estacionario. 1

1.1.3 Flujo No Permanente o No Estacionario. 2

1.1.4 Flujo Ideal. 2

1.1.5 Flujo Real. 2

1.1.6 Flujo Interno. 3

1.1.7 Flujo Externo. 3

1.1.8 Flujo Rotacional. 3

1.1.9 Flujo Irrotacional. 4

1.1.10 Flujo Isoentrpico. 4

1.1.11 Flujo Adiabtico. 4

1.1.12 Flujo Unidimensional. 4

1.1.13 Flujo Tridimensional. 5

1.1.14 Flujo Laminar. 5

1.1.15 La Divergencia. 5

1.1.16 El Reynold Crtico. 6


3/300

1.2 Movimiento de un Elemento Fluido. 6

1.2.1 Cinemtica de una Partcula Fluida. 6

1.2.2 Rotacin. 9

1.2.3 La Circulacin. 12

1.2.4 Deformacin Angular de un Fluido. 13

1.2.5 Velocidad de Deformacin Volumtrica (Estiramiento). 14

1.2.6 Velocidad y Aceleracin en Coordenadas de Lneas

de Corriente. 15

1.3 La Funcin de Corriente. 17

1.4 Potencial de Velocidades. 20

Capitulo II FLUJOS NO VISCOSOS Y VISCOSOS.

2.1 Relaciones Diferenciales para una Partcula Fluida. 24

2.1.1 Conservacin de Masa. 24

2.1.2 Cantidad de Movimiento. 27

2.2 Flujo Incompresible No Viscoso. 30

2.3 Flujo Incompresible Viscoso. 34

2.3.1 La Ley de Viscosidad de Navier Stokes. 37

Capitulo III ANLISIS DIMENSIONAL Y TEORA DE MODELOS.

3.1 Anlisis Dimensional. 41

3.1.1 Definicin. 41

3.1.2 Mtodos. 41

3.1.3 Metodologia del Metodo de Buckingham.


4/300

3.2 Teoria de Modelos o Similitud 45

3.2.1 Modelo. 45

3.2.2 Prototipo. 45

3.2.3 Escala. 45

3.2.4 Tipos de Similitud. 46

3.2.4.1Similitud Geomtrica. 46

3.2.4.2Similitud Cinemtica. 46

3.2.4.3Similitud Dinmica. 47

3.2.5 Principakes Grupos Adimensionales. 48

3.2.6 Grupos Adimensionales en Turbmaquinas 49

3.2.7 Coeficientes Adimensionales 50

Capitulo IV ESTUDIO DEL FLUJO INTERNO INCOMPRESIBLE.

4.1 Flujo Laminar y Turbulento. 51

4.2 Flujo Interno y Corriente Exterior. 54

4.3 Aplicaciones de las Ecuaciones de Navier-Stokes al Flujo Laminar

Completamente Desarrollado. 56

4.3.1 Placas Planas sin Movimiento. 56

4.3.2 Placa Superior Movindose con Velocidad Constante. 58

4.3.3 Ambas Placas Movindose con Velocidad U en Sentidos

Opuestos. 61

4.3.4 Ambas Placas Movindose con Velocidad U en Sentidos

Iguales. 62

4.3.5 Flujo Laminar en Tuberas Circulares. 63

4.3.5.1Seccin Anular. 66

4.3.5.2En Placas Planas Paralelas. 67


5/300

4.4 Correlaciones Semiempiricas de los Esfuerzos Turbulentos y =

constantes. 684.4.1 Media Temporal de Reynolds. 68

4.4.2 Flujo Turbulento Cerca de la Pared. 70

4.4.3 Ley de la Capa Logartmica. 70

4.4.4 Efectos de la Rugosidad en la Pared. 75

4.4.5 Diagrama de Moody : Diagrama de Perdidas de Carga. 76

4.5 Prdidas de Energa. 78

4.5.1 Perdidas Primarias. 78

4.5.2 Perdidas Secundarias. 79

4.5.3 Dimetro Equivalente. 80

4.5.4 Sistema de Tuberas. 81

4.5.5 Esquema Bsico de un Sistema de Bombeo. 82

4.5.6 Envejecimiento de Tuberas. 84

4.5.7 Tuberas Ramificadas (Depsitos Interconectados). 86

4.5.8 Perdidas por Friccin en Elementos de Tuberas. 88

4.5.8.1Procedimiento Iterativo para Calcular (w)

y Descargas (

i) 89

Capitulo V TEORA DE LA CAPA LMITE.

5.1 La capa Lmite. 94

5.1.1 Espesor de la Capa Limite Real. 95

5.1.2 Espesor de la Capa Limite Aparente o Aproximado. 95

5.1.3 Sub- Capa Lmite. 95

5.1.4 Razn de Crecimiento de la Capa Lmite. 96


6/300


7/300

Capitulo VII FLUJO COMPRESIBLE EN DUCTOS DE SECCION

VARIABLE.

7.1 Flujo compresible. 140

7.2 Flujo isoentrpico. 142

7.2.1 Propiedades de estancamiento 142

7.2.2 Relaciones entre las propiedades de estancamiento y las

propiedades estticas. 144

7.2.3 Condicin critica. 145

7.2.3.1 Relaciones crticas. 145

7.3 Ductos de seccin variable. 146

7.3.1 Toberas. 146

7.3.2 Difusor. 147

7.3.3 Ducto convergentedivergente. 148

7.3.4 Tobera convergente - divergente. 148

7.3.5 Relaciones entre A* y A. 149

7.3.6 Relaciones entre flujo masico y bloqueo. 149

7.4 Flujo en una tobera convergente 150

7.5 Flujo en una tobera convergentedivergente. 154

Capitulo VIII FLUJO EN DUCTOS DE SECCION CONSTANTE SIN

TRANSFERENCIA DE CALOR

8.1 Flujos en ductos de seccin constante con friccin. 159

8.1.1 Ecuaciones bsicas para flujo adiabtico. 159

8.2 Flujo Fanno. 161

8.2.1 Lneas de Fanno. 161

8.2.2 Estados de referencia en flujo Fanno 162


8/300

8.2.3 Longitud mxima o longitud critica. 164

8.2.4 Relaciones bsicas para el flujo Fanno. 165

Capitulo IX FLUJO EN DUCTOS DE SECCION CONSTANTE CON

TRANSFERENCIA DE CALOR

9.1 Estudio del flujo Rayleigh. 166

9.2 Lnea de Rayleigh. 166

9.2.1 Parmetros de referencia. 167

9.2.2 Comentarios. 169

9.3 Relaciones bsicas para el flujo Rayleigh. 170

9.4 Ondas de choque. 172

9.4.1 Ondas de choque normal. 173

9.4.2 Relaciones para ondas de choque normal. 174

Capitulo X INTRODUCCION A LA AERODINAMICA

10.1 Definicin. 179

10.1.1 Analtica. 179

10.1.2 Descriptiva. 179

10.1.3 Experimental. 179

10.2 Por qu vuela un avin? 180

10.3 Qu es la sustentacin? 181

10.4 Aplicaciones de la Aerodinmica con respecto a la Mecnica de

Fluidos. 183

10.4.1 Fuerzas y momentos que actuan sobre la aeronave. 184

10.4.1.1 Peso. 185


9/300

10.4.1.2 Levantamiento o sustentacin. 186

10.4.1.3 Resistencia o resistencia al avance. 187

10.4.1.4 Traccin o empuje. 188

10.4.2 Interaccin de las fuerzas. 188

10.4.2.1 Centro de gravedad. 190

10.4.3 Ejes de vuelo. 192

10.4.4 Estabilidad de vuelo. 193

10.4.5 Elementos de control de vuelo. 194

10.5 Los perfiles de ala. 198

10.5.1 Geometra de los perfiles. 199

10.5.2 Definiciones utilizadas para los perfiles. 201

10.5.3 Utilizacin de los catlogos de perfiles. 203

10.5.3.1 La sustentacin. 204

10.5.3.2 La resistencia al avance y sus consecuencias. 205

10.5.3.3 La relacin CZ/ CX. 205

10.5.3.4 El desplazamiento del centro de empuje. 206

Capitulo XI FLUJO EN CANALES ABIERTOS

11.1 Introduccin. 211

11.2 Consideracin del perfil de velocidad. 211

11.3 Flujo normal. 212

11.4 Flujo normal: Mtodos modernos. 218

11.5 Seccin hidrulicamente optima. 22111.6 Ondas gravitacionales. 222


10/300

11.7 Energa especifica: flujo critico. 225

11.8 Flujo variado en canales rectangulares. 233

11.9 Flujo gradualmente variado sobre canales largos. 238

11.10 Clasificacin de los perfiles superficiales para flujos gradualmente

variados 244

11.11 Flujo rpidamente variado; el resalto hidrulico. 250

METODOS Y MATERIALES

RESULTADOS

DISCUSION

BIBLIOGRAFIA


11/300

RESUMEN

Los temas tratados en este libro texto se dan en orden lgico de acuerdo a los

contenidos de Mecnica de Fluidos II impartidos en nuestra facultad. En el primer

capitulo se aclara los principales conceptos fundamentales, luego un enfoque

detallado del anlisis diferencial de las ecuaciones de continuidad y de cantidad de

movimiento, para obtener la aplicacin de la ecuacin de Navier-Stokes.

Seguido se estudia el anlisis dimensional y la teora de modelos con suaplicacin en la determinacin de ciertos parmetros de diseo. En lo

concerniente a flujo interno incompresible se analiza con todas las prdidas

usando ms las ecuaciones analticas que servirn para resolver problemas con

ayuda del computador, sobre todo en tuberas en serie, paralelo y redes.

En la teora de la capa lmite trata los principales casos y como retardar su

desprendimiento; que es el punto anterior para el anlisis de cuerpos sumergidos,

con sus casos ms resaltantes. Con el estudio de flujo compresible tanto desdeflujo isentrpico hasta las ondas de choque normal, pasando por el flujo en

tuberas de seccin constante adiabticas y diabticas.

En la parte de aplicacin de cuerpos sumergidos enfoco los principios de la

aerodinmica, para finalmente concluir con el estudio de flujo en canales abiertos.


12/300

INTRODUCCIN

La forma en que se desarrolla el libro texto es en forma simple, clara y con

conceptos de lgica correlacin para que el estudiante o profesional pueda

analizar sin mucha dificultad, es decir encontrar un material de apoyo acadmico

que le facilitar las aplicaciones de la mecnica de los fluidos.

El presente libro texto llena los vacos que se tiene en la literatura variada y muy

buena pero que en ciertos aspectos dejan en la duda al lector; en el presente

encontrarn los conceptos, ecuaciones y sus aplicaciones en la ingenieramecnica.

En el sylabus de nuestra currcula actual se toca todo el contenido temtico con la

suficiente amplitud, profundidad y el rigor exigido, expuestas de una manera

bastante sencilla e interesante, acadmica como tecnolgicamente. Los alumnos

que cursan la asignatura de Mecnica de Fluidos I y II sern capaces de resolver

problemas tcnicos en las diferentes aplicaciones que se presentan en nuestro

medio, sobre todo en lo que es instalacin de bombas hidrulicas, turbinashidrulicas, as como redes de tuberas en una ciudad o en una fabrica en

particular.

Podr aplicar sus conocimientos en la rama de ingeniera aeronutica; la

identificacin de perfiles aerodinmicos, las principales fuerzas que se presentan

en aviones, helicpteros, alas, etc. campo que es muy importante para el futuro

Ingeniero Mecnico, tanto profesionalmente como econmicamente.

La parte de termodinmica aplicada es complementada con los flujos

compresibles, en sus mltiples aplicaciones en toberas, difusores, ductos de

seccin constante con y sin friccin, con transferencia de calor o no y el fenmeno

de la onda de choque que ocurre frecuentemente cuando se supera la velocidad

snica.

La parte de las aplicaciones prcticas se presentarn en el trabajo de investigacin

posterior, que servir de complemento a toda la exposicin terica descrita, como

parte fundamental aplicativa tanto en lo acadmico como en lo tecnolgico-

industrial.


13/300

CAPITULO I

CONCEPTOSFUNDAMENTALES


14/300

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGIENERIA MECANICA-ENERGIA

Ing. Jaime Flores Snchez1

1.1 TIPOS DE FLUJO

1.1.1 FLUJO UNIFORME.- Es aquel en donde la velocidad del fluido enmagnitud, direccin y sentido no varia de un punto a otro, es decir el

desplazamiento no tiene un perfil de velocidad del tipo cuadrtico; por

ejm. el desplazamiento del aire en el medio ambiente sin la presencia de

ningn cuerpo extrao. Cualquier propiedad del fluido con respecto al

desplazamiento se mantiene constante, es decir:

0.

.

S

V V

1.1.2 FLUJO PERMANENTE O ESTACIONARIO.- Es aquel en donde la

velocidad del fluido no cambia con respecto al tiempo t, es decir no hay

variacin de velocidad con respecto al tiempo que la aceleracin del

fluido respecto al tiempo es igual a cero. Cualquier propiedad del fluido

permanece constante, con respecto al tiempo.

Vpara........

El perfil de velocidades es el

mismo para el tiempo t para el t2,

tn


15/300



1.1.3 FLUJO NO PERMANENTE O NO ESTACIONARIO.- Es aquel en

que existe variacin de velocidad de fluido respecto al tiempo, es decir

existe aceleracin; ejemplo el flujo de liquido a travs de tuberas en una

instalacin industrial para diferentes regimenes de carga.

1.1.4 FLUJO IDEAL.- Es aquel donde no se considera el efecto de la

viscosidad, por lo tanto no existen prdidas para el transporte del fluido,no se considera equipo de bombeo para transportar el fluido de un punto a

otro.

=0

1.1.5 FLUJO REAL.- Es aquel en donde se toma en cuenta el efecto de la

viscosidad mediante el cual el fluido tiende a adherirse o pegarse a la

pared de cualquier cuerpo. Se presenta en todos los casos de la mecnica

de los fluidos, porque la viscosidad como propiedad puede ser grande

(aceites) o muy pequeas (aire).

o

Para el tiempo

Perfil de velocidadesPara el tiempo t1

Perfil de velocidadest

2

V para t1

V para t2

V para t3

V


16/300



V2

1

0 VrotVrot

Vo

ALA DEAVIN

Vo

1.1.6 FLUJO INTERNO.-Cuando se considera al fluido en su desplazamiento

encerrado entre paredes; ejemplo. Agua en sistema de tuberas, agua y

aceite en intercambiadores de calor, aire en dctos de aire acondicionado.

1.1.7 FLUJO EXTERNO.- Cuando el fluido que se desplaza envuelve a un

cuerpo o cuando el cuerpo se desplaza dentro de un flujo. Ejemplo. Los

aviones en el aire, submarinos y barcos en el agua.

1.1.8 FLUJO ROTACIONAL.-Cuando las partculas del fluido tienen un giro

o rotacin alrededor de un eje que pasa por un centro de gravedad,trayendo como consecuencia choques entre las partculas de fluido

ocasionando prdida de energa; ejemplo: agua que ingresa a una bomba y

sale para pasar por una tubera.

Se tiene:

; donde

Lnea de Corriente

V=0

V=Vmax


17/300



1.1.9 FLUJO IRROTACIONAL.- Cuando no se consideran el efecto de la

velocidad angular en la rotacin que tiene la partcula alrededor de su eje,

es decir la velocidad angular es cero.

0 0Vrot

Se tiene: 0 zyx www

0

y

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

w (1.1)

1.1.10 FLUJO ISOTRMICO.- Cuando en el flujo de fluido se mantiene la

misma temperatura; proceso isotrmico; T=cte.

1.1.11 FLUJO ADIABTICO.- Donde no existe transferencia de calor desde el

fluido al medio ambiente o viceversa; se coloca un material aislante de las

tuberas, mquinas, etc.; ejemplo. Vapor circulando por una tubera, en

una planta de vapor.

1.1.12 FLUJO UNIDIMENSIONAL.- Cuando se considera la trayectoria de

una partcula de fluido en una sola dimensin, con determinada direccin y

sentido, es decir a travs de una lima de corriente.

V=u ; v=0


18/300



1.1.13 FLUJO TRIDIMENSIONAL.- Es aquel en el cual se considera la

trayectoria de la partcula con respecto a sus tres dimensiones y al tiempo.

1.1.14 FLUJO LAMINAR (Re < 2300).-

1.1.15 LA DIVERGENCIA.-se llama as al producto escalar del operador con

la velocidad del fluido.

VDivV para fluidos incompresibles 0DivV

NOTAS:

a)El flujo es:

IRROTACIONAL: 0 V

PERMANENTE: 0t

V

INCOMPRENSIBLE: ctte ;

ISOTRMICO: ctte

UNIFORME: 0s

V

Lneas decorriente

Y

Z

r

V

twvufV ,,,

X

y

V


19/300



b)RELACIONES MATEMTICAS:

zw

yv

xuV

. (1.2)

kz

Vj

y

Vi

x

VV

. (1.3)

2

2

2

2

2

22 .

z

V

y

V

x

VV

(1.4)

tV

VVt

V

z

V

wy

V

vx

V

uDt

VD

.. (1.5)

1.1.16 EL REYNOLDS CRITICO (Recr= 23002500).- Es el valor en el cual

se observa la infraccin del movimiento laminar para poco a poco

convertirse en movimiento turbulento.

A condiciones especiales se ha llegado a obtener flujos laminares con

Re =4x104; para gases: Re cr=5x105.106

1.2 MOVIMIENTO DE UN ELEMENTO DE FLUIDO

1.2.1 CINEMTICA DE UNA PARTCULA DE FLUIDO

El movimiento de un fluido debe considerarse velocidad, aceleracin,

rotacin y deformacin. Consideremos una partcula cbica pequea de un

fluido en un flujo bidireccional, bidimensional y no estacionario.

X

YY

TRASLACION ROTACION O GIRO

X


20/300



t

V

z

V

wy

V

vx

V

uaDt

VDP

El campo de velocidad est dado por: tzyxVV ,,,

kt,z,y,xwjt,z,y,xvit,z,y,xut,z,y,xVV (1.6)

En el tiempo t es: t,z,y,xV)V tP

En el tiempo t + t la partcula se mueve a una nueva posicin con

coordenadas: x+dx, y+dy, z+dz.

Y su velocidad es dtt,dzz,dyy,dxxV)V dttP luego:

dtt

Vdz

z

Vdy

y

Vdx

x

VV pppP

La aceleracin total de la partcula esta dada:

t

V

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

dt

Vd

a

pppP

P

t

V

z

Vw

y

Vv

x

Vu

dt

Vda

PP

La derivada sustancial o material de la partcula:

(1.7)

X

Y Y

ESTIRAMIENTO ODEFORMACION LINEAL

DEFORM. ANGULAR O DEFOR.POR ESFUERZO

X


21/300



Donde:

tV

zVw

yVv

xVuac

La aceleracin

convectiva

t

VaL

La aceleracin local

Aceleracin local ( la ): es aquella que sufre una partcula de

fluido como consecuencia de la variacin del tiempo. Si el flujo es

permanente la aceleracin local es igual a cero.

Aceleracin convectiva (ac): es aquella que sufre una

partcula de fluido como consecuencia de su variacin de posicin

en el espacio. Si el flujo es uniforme su valor es cero.

Si un campo de flujo es INESTABLE, una partcula de fluido

experimentar una aceleracin local adicional, debida a que el campo develocidades funcin de t.

Empleando la notacin vectorial:

t

VV..Va

Dt

VDP

(1.8)

Para un flujo bidimensional: tyxVV ,, se reduce a:

t

V

y

Vv

x

Vu

Dt

VD

(1.9)

Para un flujo UNIDIMENSIONAL, ejemplo en X: txVV ,

t

V

x

Vu

Dt

VD

(1.10)

Para un flujo ESTABLE en tres dimensiones se transforma en:

z

Vw

y

Vv

x

Vu

Dt

VD P

(1.11)


22/300



En componentes escalares (componentes rectangulares) se tiene:

tu

zuw

yuv

xuu

DtDua XP

t

v

z

vw

y

vv

x

vu

Dt

DvaYP

(1.12)

t

w

z

ww

y

wv

x

wu

Dt

DwaZP

Es una descripcin Euleriana.

1.2.2 ROTACIN ()

La rotacin de una partcula de fluido es la velocidad angular promedio

de dos cuales quiera elementos de lnea mutuamente perpendiculares de la

partcula. Una partcula que se mueve en un campo de flujo tridimensional

puede rotar alrededor de los tres ejes de coordenadas.

En general:kji ZYX (1.13)

Las dos lneas mutuamente perpendiculares, oay obrotan a las posiciones

mostradas durante el intervalo t, solo si las velocidades en los puntos a y

b son diferentes a la velocidad en o.

Y

X

aa

b

b

x

y

O


23/300



Consideremos la rotacin de la lnea oa, de longitud x, la rotacin de sta lnea

se debe a las variaciones de la componente y de la velocidad. Si sta

componente en el punto o se toma como vo, entonces la componente y de la

velocidad en el punto a puede escribirse (serie Taylor) xx

vvv

0

La velocidad angular de la lnea oaest dada por:

t

x/

t limlim 0totoa

; Como txx

v

xv

tx/txx/v oa

0toa lim

La rotacin de la lnea ob, de longitud y, es producto de las variaciones de la

componente x de la velocidad, luego anlogamente

yy

uuu 0

La velocidad angular de la lnea ob est determinada por:

t

y/

t limlim 0totob

; Puesto que tyy

u

Se tiene:

y

u

t

y/tyy/uob

0tob lim

Segn nuestra convencin de signos, la rotacin antihorario es positiva.

La rotacin de un elemento de fluido alrededor del eje Z es la velocidad

angular promedio de dos elementos de lnea mutuamente perpendiculares, oa y ob

en el plano x-y

Entonces

y

u

x

v

2

1Z (1.14)

Y en los planos y-z y en x-z se tiene:

z

v

y

w

2

1

X (1.15)


24/300



x

w

z

u

2

1Y (1.16)

Finalmente:

kji ZYX

y

u

x

vk

x

w

z

uj

z

v

y

wi

2

1 (1.17)

El valor entre parntesis es el VWVVrot

2

1 (1.18)

Como el esfuerzo cortante es proporcional a la relacin de deformacin angular,

entonces una partcula que se encuentra inicialmente sin rotacin no desarrollar

una rotacin sin una deformacin angular mediante la viscosidad. La presencia de

fuerzas viscosas significa que el flujo es ROTACIONAL.

La condicin de IRROTACIONALIDAD puede ser una suposicin vlida para

aquellas regiones de un flujo en la que se desprecia las fuerzas viscosas.

Definimos VORTICIDAD como el doble de la rotacin.

VW 2 (1.19)

Es una medida de la rotacin de un elemento de fluido conforme esto se mueve en

el campo de flujo.

En un flujo tridireccional y tridimensional, la velocidad angular y la vorticidad

tienen tres componentes.

z

v

y

w2 XX

x

w

z

u2 YY

(1.20)

y

u

x

v2 ZZ

Un flujo en el cual la velocidad angular y la vorticidad son CERO se

denomina FLUJO IRROTACIONAL.


25/300



1.2.3 LA CIRCULACIN () se define como la integral de lnea de la

componente de la velocidad tangencial alrededor de una curva cerrada fija

en el flujo, c

sdV.

Donde sd es un vector elemental, de longitud sd tangente a la curva.

Un sentido positivo corresponde a una trayectoria de integracin alrededor

curva en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

La figura anterior lo redibujamos.

Las variaciones de la velocidad indicados son congruentes con las

utilizadas al determinar la rotacin del fluido.

En la curva cerrada oacb:

yvxyy

uuyx

x

vvxud

.

yxWdyxyu

xvd Z

2

A Zc

dAWsdV 2. A ZdAV (1.21)

Enunciado del teorema de Stokes en dos dimensiones

NOTA.- Un flujo irrotacional se cumple cuando 0

0 V , y se cumple: 0 yu

xv

xw

zu

zv

yw (1.22)

o a

b c

y

x

yy

uu

xx

vv

u

v


26/300



Sabiendo que kji ZYX , en la ecuacin (1.17)

En coordenadas CILNDRICAS. La condicin de irrotacionalidad

0V

r

1

r

rV

r

1

r

V

z

V

z

VV

r

1V rZrZ

(1.23)

1.2.4 DEFORMACIN ANGULAR DE FLUIDO.-

La deformacin angular de un elemento del fluido implica cambios en el

ngulo entre dos lneas mutuamente perpendiculares

La relacin de deformacin angular est dada por:

dt

d

dt

d

dt

d (1.24)

Sabiendo que:

dt

d

x

v

t

xtxdxdv

t

x

tdt

d

ttt

1

000

///limlimlim

dt

d

y

u

t

ytydydu

t

y

tdt

d

ttt

2

000

///limlimlim

Luego la deformacin angular en el plano x y es

y

u

x

v

dt

d

dt

d

dt

d

(1.25)

aa

b

b

x

y

Y

X

O


27/300


28/300



Anlogamente

yy

v

dt

yd

.

(1.28)

Luego la velocidad de deformacin volumtrica es:

y

v

x

u

dt

Vd.

V

1

(1.29)

Para un flujo tridimensional y tridimensional: Dilatacin volumtrica

z

w

y

v

x

u

dt

Vd.

V

1

(1.30)

Vectorialmente:

Vdt

Vd

V..

1

(1.31)

1.2.6 VELOCIDAD Y ACELERACIN EN COORDENADAS DE

LNEAS DE CORRIENTE

Tomemos un flujo bidimensional y bidireccional. En un sistema de

coordenadas intrnsecas, las coordenadas son las lneas de corriente del

flujo y un sistema de lneas normales a ellas. Las lneas coordenadas son

las lneas (s) y las lneas normales (n). Las lneas n son perpendiculares a

los de corriente y apuntan haca su centro de curvatura.

La ventaja principal del sistema de coordenadas s-n es que en cualquier

punto la velocidad. Siempre es paralela a la direccin s

sVnVsVV snS (1.32)

Lneas sLC

Y

X

V

S

Y

X

Lneas n


29/300



Ya que si el flujo es estacionario, cualquier partcula de fluido se mueve

siempre a lo largo de la misma lnea s. entonces 0Vn

(paralelas a S)

La aceleracin en la direccin s es:Dt

DVa SS (1.33)

dt

dn

n

V

dt

ds

s

V

t

Va SSSS y t,n,sVV......y....t,n,sVV nnSS

Tambin: SVdt

ds y 0 nV

dt

dnpor lo tanto

s

VV

t

Va SS

SS

(1.34)

Si Vn = o,(en un instante), no se desprende que ansea cero, debido a

que la direccin n puede cambiar con el tiempo o con el movimiento a lo

largo de una lnea de corriente; la aceleracin en la direccin n es:

Dt

DVa nn

dt

dn

n

V

dt

ds

s

V

t

Va nnnn

s

VV

t

Va nS

nn

(1.35)

Si examinamos la figura, para una lnea de corriente en flujo estacionario

la ecuacin anterior (1.35 ) se puede simplificar ms.

La variacin de velocidad normal nV , debido al movimiento a lo largo

de la lnea de corriente desde s a s+s es ssn VVV tan

Se puede escribir R

ss

s

VV nn

VS

V(S+s)

R+RR

Vn


30/300



Cambiando las ecuaciones anteriores

RV

sV sn

, luego en (1.35):

R

V

R

VV

s

VV ssS

n

s

2

;en limite cuando 0Ss la aceleracin

normal es:

R

V

t

Va snn

2

(1.36)

1.3 LA FUNCIN DE CORRIENTE ()

Es un dispositivo matemtico que relaciona las lneas de corriente y la de

velocidades en un flujo; nos permite eliminar la ecuacin de continuidad y

resolver la ecuacin de la cantidad de movimiento directamente para una nica

variable .

Es aplicable solo si la ecuacin de continuidad se puede reducir a dos sumandos;

consideremos flujo estacionario: 0t

; se tiene para un flujo bidimensional en

el plano x-y; y a la vez incompresible:

0

y

v

x

u (1.37)

Teniendo que: es funcin de (x,y,t) ),,( tyxuu , ),,( tyxvv

Definimos:y

u

;x

v

(1.38)

La ecuacin de continuidad (1.37) satisface exactamente:

022

yxyxy

v

x

u

xjyiV

; truco matemtico para reemplazar variables (u,v) por

una nica funcin .


31/300


32/300



Considerando el elemento de superficie de control ds de profundidad unitaria.

ddyy

dxx

Vd

122

121

2

121 dVdAn.VV

(1.45)

En coordenadas cilndricas:

0

tz

)V(V

r

1

r

Vr

r

1 zr

(1.46)

Para flujo incompresible: Vz= 0 , = cte

0)()(

0)(1)(1

rr

Vr

rVrr r

Donde finalmente:

(1.47)

r

dr

dzV rV

o

ZV

z

r

Vr1

rV


33/300



Para flujo incompresible AXISIMETRICO:

Sin variaciones circunferenciales: 0 V , que al final se obtiene:

0)rV(z

)rV(r

0)V(z

)rV(rr

1zrzr

(1.48)

Por analoga: 0

rzzr

, Donde:

rrV

zrV

Z

r

1

1

(1.49)

1221o

2 (1.50)

Para flujo bidimensional compresible estable:

-v;xy

u

(1.51)

1.4 POTENCIAL DE VELOCIDADES

La irrotacionalidad da lugar a una funcin escalar ; es decir se tiene que un

vector con ROTACIONALIDAD NULO es el GRADIENTE DE UNA

FUNCIN ESCALAR; si 0 V , se tiene: V

Donde ),,,( tzyx , denominado potencial de velocidades, con

xu

;y

v

;z

w

(1.52)

Las lneas o superficies constantes se denominan LNEAS POTENCIALES

DEL FLUIDO; es tridimensional y no esta limitada a dos coordenadas.

En coordenadas cilndricas; si

z

k

r

e

r

er

1


34/300



Donde:

rV

1 ;

rVr

;z

Vz

(1.53)

NOTAS:

la funcin de corriente , satisface la ecuacin de continuidad para flujo

incompresible.

La funcin de corriente no esta sujeta a la restriccin de flujo

irrotacional.

Sustituyendo: xu

; yv

; yu

; xv

(1.54)

En la condicin de irrotacionalidad: 0

y

u

x

v , obtenemos:

02

2

2

2

yx..................Ec. de LAPLACE (1.55)

Y en la condicin de continuidad: 0

y

v

x

u , resulta:

02

2

2

2

yx

......................Ec. de LAPLACE (1.56)

Si un flujo es IRROTACIONAL y en dos coordenadas, existen tanto la funcin de

corriente como el potencial de velocidades y las lneas de corriente y

equipotenciales son ortogonales, excepto en los puntos de remanso; es decir:

yxv

xyu

..............Ec. de CAUCHY-RIEMANN (1.57)

Una lnea constante ser tal que a lo largo de ella el cambio de es NULO:

De donde: CteCte dxdyv

u

dx

dy

/

1

, condicin de ortogonalidad.

vdyudx0dyy

dxx

d


35/300



NOTA:

Cualquier funcin de que satisface la ecuacin de LAPLACErepresenta un posible campo de flujo bidimensional, irrotacional e

incompresible.

Toda funcin que satisfaga la ecuacin de LAPLACE es un caso posible

de flujo IRROTACIONAL de un fluido.

En la ecuacin de continuidad tenemos:

(1.58)

Las funciones correspondientes a cinco flujos bidimensionales

elementales que se tienen son:

a) Flujo Uniforme: de V = cte. paralelo al eje x, satisface la ec. De

continuidad e irrotacionalidad. Para un flujo con V = cte. y que forma un

ngulo con el eje x:

= (VCos )y-(VSen )x (1.59)

= - (VSen )y-(VCos )x (1.60)

b) Fuente Simple: es un patrn de flujo en el plano xy, con el flujo

desplazndose radialmente hacia fuera a partir del eje z y simtricamente

en todas direcciones. La intensidad qde la fuente es la relacin de flujo

volumtrico por unidad de profundidad. A cualquier r, la velocidad V= 0

y la velocidad radialr

qVr2

(1.61)

c) Sumidero Simple: el flujo se desplaza radialmente hacia dentro, un

sumidero es una fuente negativa, las funciones son las negativas de

las funciones correspondientes para un flujo de fuente.

El origen de una fuente o sumidero es un punto singular, puesto que la

velocidad radial se aproxima a infinito conforme el radio se acerca a

CERO.

00 22

2

2

2

2

2

V

zyx


36/300


37/300

CAPITULO II

FLUJOS NOVISCOSOS YVISCOSOS


38/300



2.1 RELACIONES DIFERENCIALES PARA UNA

PARTICULA FLUIDA

2.1.1. CONSERVACIN DE MASA

Por la ecuacin de conservacin de masa

cvENTSAL

iAiViiAiViVdt

0 (2.1)

Como el elemento es tan pequeo se reduce al trmino diferencial:

cv

dzdydxt

Vdt

..

(2.2)

Apareciendo en la seis caras los trminos de flujo msico y haciendo uso del

trmino de CONTINUO (las propiedades fluidas se consideran descritas por

funciones que varan uniformemente con el tiempo y la posicin), por ejemplo: =(x, y, z, t)

V.C

x

y

z dx

dydz

udydz dydzdxu

xu


39/300


40/300



EN COORDENADAS CILINDRICAS:

La divergencia de cualquier vector tzrQ ,,, se obtiene haciendo la

transformacin de coordenadas:

22 yxr ;x

yarctan , z = z reemplazando se tiene:

z

QQ

rr

rQ

rQV Zr

11.

Siendo la ecuacin de continuidad la siguiente:

011 zVVrrVrrtZr

(2.6)

Simplificando:

a.- Flujo Compresible Estacionario

00/

z

w

y

v

x

ut

(2.7)

Se sabe:

0

11

z

VV

rr

Vr

r

Zr

(2.8)

ELEMENTOINFINITESIMAL

TIPICO

PUNTO(r,,z)Vr

V

Vz

LINEA DE REFERENCIA

d

r

dzdr

Z

EJE DEL CILINDRO


41/300


42/300



yz

yy

xy

xzzy2

dx

x

xx

xx

2

dx

x

xx

xx

2

dz

z

zx

zx

2

dy

y

yx

yx

zz

2

dy

y

yx

yx

2

dz

z

zx

zx

Luego en (2.11) se tiene:

Vw

zVv

yVu

xV

tdxdydzF (2.12)

que se simplifica:

z

Vw

y

Vv

x

Vu

t

VV

tVVw

zVv

yVu

xV

t

).(

Luego en (2.12) se convierte en:

Donde las fuerzas msicas es la gravedad kggdxdydzgFd B (2.14)

Las fuerzas de superficie son debidas a los esfuerzos en las caras de la superficie

de control, siendo estos esfuerzos la suma de la presin hidrosttica y de los

esfuerzos viscosos ij:

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

p

p

p

(2.15)

dxdydzt

VF

(FuerzasMsicas y Superficiales) (2.13)


43/300



dxdydz

zdxdy

dz

zdxdz

dy

y

dxdzdy

ydydz

dx

xdydz

dx

xdF

zxzx

zxzx

yx

yx

yx

yxxx

xxxx

xxx

222

222

No son estos esfuerzos, sino sus gradientes o diferencias los que originan una

fuerza neta sobre la superficie total del volumen de control infinitesimal.

Si los esfuerzos en el centro del elemento diferencial se toman como xx, yx, zx

luego en la direccin x, sobre cada cara del elemento diferencial se tiene:

Eje x:

Simplificando:

dxdydzzyx

dF zxyxxx

x

(2.16)

La fuerza neta en la direccin x tomando las fuerzas msicas:

dxdydzzyx

gdF ZXYXXXXX

dxdydzzyx

gdF ZYYYXYYy

(2.17)

dxdydzzyx

gdF ZZYZXZZz

Reemplazando en (2.13):

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

zyxg

x

p ZXYXXXX

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

zyxg

y

p ZYYYXYY (2.18)

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

zyx

gd

z

p ZZYZXZZ

SXBXX dFdFdF


44/300



Vectorialmente:Dt

VDpg ij (2.19)

Fuerza gravitatoria por unidad de volumen + fuerza de presin por unidad de

volumen + fuerza viscosa por unidad de volumen = densidad x aceleracin.

2.2. FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO (SIN

FRICCIN)

Para un fluido no viscoso en movimiento, el esfuerzo normal en un punto es elmismo en todas direcciones; es cantidad escalar, es el negativo de la presin

termodinmica, pnn . No hay los esfuerzos de corte.

Las ecuaciones de movimiento para flujos sin friccin; denominadas ecuaciones

de EULER, pueden obtenerse de las ecuaciones generales de movimiento (ec.

2.23), puesto que en un flujo sin friccin, no puede haber esfuerzos cortante y el

esfuerzo normal es el negativo de la presin termodinmica, entonces se tiene:

EC. DE MOVIMIENTO PARA UN FLUJO SIN FRICCIN.

Ecuacin de Euler

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

x

pg x

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

y

pg y (2.20)

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

z

pg z

como ecuacin vectorial tenemos:

z

wy

vx

ut

pg

Dt

VDpg (2.21)


45/300



z

VV

V

r

V

r

VV

t

Va

z

pg

r

VV

z

VV

V

r

V

r

VV

t

Va

pg

r

V

z

V

V

V

r

V

r

V

Vt

V

ar

p

g

zz

zzr

zzZ

rzr

r

z

rr

r

r

rr

1

1

12

Si Z se dirige verticalmenteZZ gkggk

La ecuacin de EULER se escribe:

VVt

V

Dt

VDpg Z

.

1

(2.22)

En coordenadas Cilndricas:

(2.23)

Como el eje Z se dirige hacia arriba, gr= g= 0 y gz= -g

La ecuacin de EULER, para una partcula que se encuentra sobre una lnea de

corriente.


46/300



Consideremos flujo bidimensional y bidireccional y = 0

a) En la direccins(a lo largo de la lnea de corriente)

Sabemos: xnsVddmadmdF SS . (2.24)

Tambin: xnss

VV

t

Va.m

s

VV

t

Va SS

SSS

SS

(2.25)

Si despreciamos el , las nicas fuerzas que actan sobre la partcula son la

de presin y de la gravedad; y de la figura se tiene:

WSenxns

s

ppxn

s

s

ppdFS

22 (2.26)

donde xnsggdmW (2.27)

En (2.26): xnsgSens

pdFS

(2.28)

Reemplazando (2.26) y (2.28) en (2.24), dividiendo entre s.n.x y en el

limite cuando n, s y x se aproximen a cero se obtiene:

s

VV

t

VgSen

s

p SS

S

(2.29)

De la figura sSenz en el limite:

Sensz

, luego en (2.29)

s

zg

s

p

s

VV

t

V SS

S

1

(2.31)

Ecuacin de EULER, en direccin de lalnea de corriente. ( = 0)

s

VV

t

VgSen

s

p SS

S

1

01

s

zg

s

p

s

VV

t

V SS

S


47/300



01

01

2

n

zg

n

p

R

V

s

zg

s

p

s

VV

S

SS

b) Para la direccin n:

nn dmadF (2.32)

Tambin sabemos queR

V

t

Va Snn

2

(2.33)

luego: ndF de la presin: xsn

n

pp

n

n

ppdFn

22

xsnn

pdFn

(2.34)

La fuerza de la gravedad: sxngCosWCosWn (2.35)

Reemplazando (2.33), (2.34) y (3.35) en (2.32) y haciendo las simplificaciones

respectivas; se obtiene:

R

V

t

VgCos

n

p Sn2

012

gCos

np

RV

tV Sn

De la figura: Cosn

z

n

z

n

0lim

Finalmente se tiene:

012

n

zg

n

p

R

V

t

V Sn

(2.36)

Ecuacin de Newton en direccin normal a la lnea de corriente ( =0).

Para flujo ESTACIONARIO NO VISCOSO, las ecuaciones de EULER en

coordenadas de lneas de corriente:

(2.37)


48/300


49/300



dydxdz

zRF

dydxdzx

RF

dydxdzy

RF

zznz

xxnx

yy

ny

En el cubo diferencial anterior:

a. Calculamos la resultante de las fuerzas normales:

dzdxdzdxRF yyyyny

Pero yy= + dydxdzy

dzdxdzdxdyy

yy

yyyy

yy

yyyy .

dzdxdydxdz

y

dzdxRFyy

yy

yyny

anlogamente:

(2.42)

z

x

dz

d

dx

zz

yy

xx

2

dy.

y

yx

yx

2

dy.

y

yz

yz

2

dx.

x

yx

yx

2

dx.

x

xzxz

2

dz.

z

zy

zy

2

dy.

y

yz

yz

2

dz.

z

zxzx

2

dy.

y

yz

yz


50/300



Calculamos la resultante de las fuerzas tangenciales: eje x,y,z

zyxyy RFRFRF

dxdydxdydzdydzdyRFyzzyyxxyy

Pero: dxx

xy

yxxy

y dzz

zy

yzzy

luego:

dxdydxdydzzdzdydzdydxxRF yzzy

yzyx

xy

yxy

anlogamente:

dzdxdyydxdydzxRF

dzdxdyz

dxdzdyy

RF

dzdxdyz

dxdydzx

RF

yxxz

z

zxyx

x

xyxy

y

(2.43)

z

x

dz

dy

dx

yz

yx

xy

zy


51/300



reemplazando (2.43) y (2.42) en (2.41) :

V).V(

tVdxdydzddxdydz

zdxdydz

xdxdydz

ydxdydzF

y

y

zyxyyy

By

Por unidad de volumen:

VV

t

Vd

zxyF

y

y

zyxyyy

By ).(

V).V(t

VdzyxF

xxzxxy

xxBx (2.44)

V).V(t

Vd

yxzF zz

yzxzzzBz

2.3.1 LA LEY DE LA VISCOSIDAD DE NAVIER-STOKES

Relaciona el campo de velocidades con la magnitud de la rapidez de deformacin

angular. Asume este modelo matemtico: que la deformacin es consecuencia

principalmente del desplazamiento de una partcula por efecto de una fuerza

cortante la cual es proporcional al gradiente de velocidades.

Es una ecuacin bidimensional.


52/300


53/300


54/300


55/300

CAPITULO III

ANLISISDIMENSIONAL Y

TEORIA DEMODELOS


56/300



3.1 ANLISIS DIMENSIONAL

3.1.1 DEFINICIN

Se denomina as al proceso que permite evaluar un determinado fenmeno,

con una reduccin de las variables que hacen posible su ocurrencia;

bsicamente consiste en agrupar convenientemente todas las variables

principales, presentes en un fenmeno.

Es un procedimiento algebraico que permite agrupar variables

independientes en grupos adimensionales los cuales hacen que el tiempo

de manipulacin de datos se reduzca y el tratamiento del fenmeno sea

ms fcil. El anlisis dimensional tiene dos desventajas:

a) Para aplicar se requiere el conocimiento previo del fenmeno a

realizarse, ello permite seleccionar adecuadamente las variables

importantes para la ocurrencia del fenmeno.

b) El anlisis dimensional no permite conocer directamente el tipo de

funcin que relaciona a dos o mas grupos adimensionales, ello soloes posible mediante la experimentacin.

3.1.2 METODOS

Para hallar los grupos adimensionales existen dos mtodos

1.-METODO DE ROLLY

2.-METODO DE BUCKINGHAM O GRUPOS ():

Permite hallar los denominados grupos adimensionales (NUMEROS).


57/300



3.1.3 METODOLOGA DEL METODO DE BUCHINGHAN

1.- Se seleccionan adecuadamente las variables, que a nuestro criterio seanlas ms importantes, en la ocurrencia del fenmeno.

Supongamos las variables: V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7.

2.-Se elige el sistema de magnitudes fundamentales, en funcin del

fenmeno que se estudia, como por ejemplo:

MLT, FLT, MLT, MLTQ, MLTQS.

En fluidos se toman generalmente las dimensiones MLT y FLT

3.- Se calcula el numero de grupos adimensionales a obtenerse mediante la

relacin:

= mn .

:Numero de grupos adimensionales.

m :Numero de variables seleccionadas. = 8

n :Numero de magnitudes fundamentales. = 3

= 83 = 5

4.- Se escriben las ecuaciones dimensinales de las variables

seleccionadas:

[V1 ] = Ma1 Lb1 Tc1 .

[V2 ] = Ma2 Lb2 Tc2 .

[V3 ] = Ma3 Lb3 Tc3 .

.

.

[V8 ] = Ma8 Lb8 Tc8 .

5.- Se construye la matriz dimensional del sistema de la siguiente manera:

En la columna vertical las magnitudes fundamentales; en la lnea

horizontal las variables seleccionadas y se rellena con los exponentes.


58/300


59/300



Resolviendo se tiene:

X1 = 1

Y1 = 1 1 = 2731111 VVVV

Z1 = 1

De la misma manera se tiene:

2 = 4731222 VVVV

3 = 5731333

VVVV

4 = 6731444 VVVV

5 = 8731555 VVVV

NOTA: Los nmeros 1,2,3,4,5. son independientes de un sistema

particular de unidades, razn por la cual se les puede multiplicar, dividir y

elevar a cualquier potencia, para dar la forma que uno requiere.

NOTAS :

1.-El anlisis dimensional (mtodo ) solo se aplica cuando se tiene 5 o

ms variables en estudio.

2.-El Anlisis Dimensional no permite conocer el tipo de funcin que

relaciona a los grupos adimensionales; para reconocer el tipo se requiere la

experimentacin.

3.-La mayor desventaja de Anlisis Dimensional radica en que la

seleccin de las variables depende exclusivamente del conocimiento que

se tenga del fenmeno.


60/300



3.2 TEORIA DE MODELOS O SIMILITUD

Es aquella que establece los puntos que relacionan los fenmenos de un modelo ylos de un prototipo.

El Anlisis Dimensional es una herramienta que emplea la TEORIA DE

MODELOS para conocer a priori las magnitudes de las propiedades que a travs

de la escala son trasladadas al prototipo.

3.2.1 MODELO

Es una reproduccin a escala adecuada del prototipo (no solo el modeloesta referido a la reproduccin de objetos sino tambin a la reproduccin

de fenmenos, todo ello mediante la simulacin).

3.2.2 PROTOTIPO

Es la reproduccin a escala 1:1 del objeto que ser sometido a condiciones

reales de trabajo.

3.2.3 ESCALA

Se denomina as a la relacin que existe entre la magnitud de una misma

propiedad en el modelo y en el prototipo.

Existen escalas de longitudes, superficies, volmenes, velocidades,

fuerzas, etc.

Vm Vp

Fm Fp

gm gp

am

ap


61/300


62/300


63/300



3.2.5 PRINCIPALES GRUPOS ADIMENSIONALES

a)Numero de Reynolds.- Todo tipo de Flujo

Re =Viscocidad

Inercia=

LV=

LV

b)Numero de Mach.- Flujos compresibles

M =SonidodeVelocida

FlujodeVelocidad=

C

V

C =

PETRK

c)Numero de Froude.- Flujos con superficie libre

Fr =gravedad

Inercia=

gL

V

2

d)N de Weber.- Para flujo en superficie libre

We =lSuperficiaTencion

Inercia=

LV 2

e)Numero de Euler.- Para pruebas aerodinmicas, cuando existe

cavitacin

Eu =Inercia

esionPr=

2V

P

f)Numero de Eckert.- Para disipacin

Ec =

Entalpia

CineticaEnergia=

ToCp

V

2


64/300


65/300



3.2.7 COEFICIENTES ADIMENSIONALES

a) Coeficiente de Resistencia.-

CD=AV

2

1

F

2

A

b) Coeficiente de Sustentacin.-

CS=AV

2

1

F

2

S

c) Coeficiente de Presin

CP=2V

2

1

P

d) Coeficiente de Friccin.-

Cf=2

w

V2

1


66/300

CAPITULO IV

ESTUDIO DEL FLUJOINTERNO

INCOMPRESIBLE


67/300


68/300



Las fluctuaciones y valores entre 1 y 20 % de la velocidad media, no son

estrictamente peridicas, sino aleatorios y distribuidos en un amplio rango de

frecuencias. En un tnel aerodinmico tpico a altos Re el rango de frecuencia va

de 1 a 10000 HZ y el de longitudes de onda de 0.01 a 400 cm.

Los flujos con perdida libre la turbulencia es observada directamente, en la figura

el chorro de agua a la salida de un tubo a bajo Re es suave y laminar y alto Re es

no estacionario e irregular, pero estacionario y predictible en medir.

Si

ULRe , donde U = velocidad media

L = ancho o longitud caracterstica transversal, de la capa

de cortadura

Tenemos:

0


69/300


70/300


71/300



En la figura las capas limites viscosas crecen aguas abajo, frenando el flujo axial

u(r,x) en la pared y acelerando el ncleo central para mantener el requisito de

continuidad, que en un flujo incompresible es :

constanteudAV (4.3)

A una distancia finita de la entrada, las capas limites se unen y el ncleo no

viscoso desaparece, el flujo en el tubo es entonces completamente viscoso y la

velocidad axial se va ajustando hasta x = Le en que ya no cambia prcticamente

con x, se dice que el flujo esta totalmente desarrollado u u( r) .

El anlisis dimensional indica que el Re es el nico parmetro que determina la

longitud de entrada. Si Le=f(d,v,,) de donde :

RegdV

gd

Le

(4.4)

Para flujo laminar, la correlacin aceptada es:

Re06.0dLe (4.5)

La longitud mxima de entrada de entrada, a ReCR=2300 es Le=138d que es la

mxima posible.

En flujo turbulento las capas limites crecen mas de prisa y Le es relativamente

mas corto, siguiendo la expresin:

6/1Re4.4dLe (4.6)

teniendo en cuenta algunas longitudes de entrada

Re 4000 104 105 106 107 108

Le/d 18 20 30 44 65 95


72/300



Una longitud corta puede ser til si se desea mantener un ncleo no viscoso. Por

ejemplo un tnel aerodinmico largo seria ridculo ya que el flujo seria viscoso

en todas partes, lo que invalida la simulacin de condiciones de corriente libre.

Uno tpico mide 1m y 5m de largo, hasta la seccin de ensayos con V= 30m/s,

tomando smx /1051.1 25 Re= 1.99x106 y de la ecuacion (4.6), laseccin de ensayos esta a L/d=5 que es mucho menor que la longitud de entrada.

4.3 APLICACIN DE LAS ECUACIONES DE NAVIER

STOKES AL FLUJO LAMINAR COMPLETAMENTE

DESARROLLADO

4.3.1 PLACAS SIN MOVIMIENTO

Cuando el espacio entre placas es bastante pequeo, el campo de

velocidades resultante se puede suponer como si fuera el que se da entredos placas paralelas infinitas.

Consideraciones:

1. Se consideran constantes las propiedades del fluido en la direccin z

2. El flujo es estacionario e incompresible = constante = constante.

3. No existe componente de la velocidad en las direcciones y o Z.

4. La velocidad solo es funcin deY y no de X , por que el flujo es

completamente desarrollado.

5. Las fuerzas volumtricas se desprecian.

hdy

dx

VC

Y

X


73/300


74/300


75/300


76/300


77/300



4.3.5 AMBAS PLACAS MOVIENDOSE CON VELOCIDAD U EN

SENTIDOS OPUESTOS

Condiciones de contorno:

Si y = 0 u = -U

Si y = h u = +U

2

m

2

m

3

h

LV12p

12

h.

x

pV

12

bh.

x

pV

2

1

h

y

x

phh

U2

1h

y

2

yh

x

p

2

1

h

yU2u

h

U

UX

Y


78/300


79/300



4.3.5 FLUJO LAMINAR EN TUBERAS CIRCULARES

Aqu el flujo es AXISIMETRICO, por lo tanto trabajamos

convenientemente en coordenadas cilndricas, siendo el .C. el anillo

diferencial, consideremos flujo estable. Sabemos que las fuerzas normales

(f. de presin) actan sobre los extremos izquierdo y derecho del .C.

mientras que las tangenciales (f. corte) actan sobre las superficies

cilndrica interior y exterior.

En el lado izquierdo la fuerza de presin es:

En el extremo derecho la fuerza de presin es:

La fuerza cortante sobre la superficie cilndrica interior es:

La fuerza cortante sobre la superficie cilndrica exterior es:

y

x

R

dr

rx

dx

r

dr

Volumen de controlanular

rdrx

x

pp 2.

2

rdrx

x

pp 2.

2

dxdr

rdr

rrx

rx

2

2.2

dxdr

rdr

rrx

rx

2

2.2


80/300



La suma de las componentes de la fuerza que acta sobre el .C. debe ser

cero:

Dividiendo entre 2rdrdx se obtiene:

entonces

(a)

Como rx es funcin de rentonces la ecuacin (a) se cumple para toda r y

xsolo si cada lado de (a) es constante., luego podemos escribir:

Integrando:

Como

Finalmente:

(b)

Condiciones de frontera: r = R u = 0, Sabemos que en r = 0 la

velocidad es finita, luego para que se cumpla esto c1= 0

, para r = R u = 0

Luego tenemos:

(c)

0222

rdrdx

rdrdxrdrdx

x

p rxrx

dr

d

rx

p rxrx

dr

rd

rx

p rx )(1

x

pr

dr

rdcte

x

p

dr

rd

rrxrx

)(

.)(1

rx

pr

x

prr

cc rxrx

1

1

2

2

2

rx

pr

dr

du

dr

du crx

1

2

cc r

x

pru

2

1

2

ln4

x

pR

x

pRcc

4

40

2

22

2

2222

4

1

44Rr

x

pu

x

pR

x

pru

cx

pru

2

2

4


81/300


82/300


83/300


84/300



4.4 CORRELACIONES SEMIEMPIRICAS DE LOS

ESFUERZOS TURBULENTOS y = Constantes.Por la ecuacin de continuidad:

y cantidad de movimiento

(4.7)

Sin efectos trmicos y sujetos a la condicin de no deslizamiento en la pared y

condicin de entrada y salida conocidas.

4.4.1 MEDIA TEMPORAL DE REYNOLDS

En un flujo turbulento, debido a las fluctuaciones cada trmino de presin

o velocidad (a) varia rpida y aleatoria mente en funcin de la posicin y

del tiempo, con valores promedios de: V, p,, etc.

La media temporal u de una funcin turbulenta u(x, y, z, t) se define

como:

(4.8)

donde: T = es un periodo promedio que debe ser mayor que cualquier

periodo significativo de las fluctuaciones, ver Figura

Para flujos turbulentos como agua o gases en T=5s es un principio

adecuado.

p = p + pu

(a)(a)

u

t

p

p

t

pu = u + uu

fi ura 4.3 variacin de la velocidad

0

z

w

y

v

x

u

Vgpdt

Vd

2

T

udtT

u0

1


85/300



La fluctuacin use define como la desviacin de u de su valor medio:

u = u u (4.9)

Por definicin la media de la fluctuacin es cero

(4.10)

Sin embargo la media del cuadrado de la fluctuacin no es cero y es una

medida de la INTENSIDAD de la turbulencia

(4.11)

En general ninguno de los productos de la forma uv y up es CEROen un flujo turbulento.

Reynolds separ cada propiedad en sus medias ms las fluctuaciones, es

decir:

(4.12)

Si sustituimos en (4.7) y tomamos los medios temporales, la ecuacin de

continuidad se reduce a:(4.13)

Idntica a la expresin laminar:

En flujos, en conductos y en capas lmite la ecuacin de cantidad de

movimiento longitudinal puede ser aproximada con finalidad por:

(4.14)

donde:

(4.15)

01

'0

uudtuuTuT

01

'0

22 T

dtuT

u

',',',' pppwwwvvvuuu

0

z

w

y

v

x

u

yg

x

p

dt

udX

turblamvuy

u

''


86/300


87/300



Para la regin interior Prandtl dedujo que u deba ser independiente del

espesor de la capa lmite.

u =f(, w,, y) (4.16)

Por anlisis dimensional esto equivale a:

(4.17)

La ecuacin (4.17 ) es denominada LEY DE LA PARED

u* es una VELOCIDAD DE FRICCIN porque tiene dimensiones LT-1

aunque no es realmente una velocidad.

VON KARMAN dedujo que en la regin exterior u debe ser

independiente de la y en diferencia con la velocidad de corriente libre U

deba depender del espesor y de las otras propiedades:

que por anlisis dimensional se llega a :

(4.18)

La ecuacin (4.18) se denomina LEY DEL DEFECTO DE LA

VELOCIDAD para la regin exterior.

En la subcapa intermedia MILLIKAN demostr que la velocidad vara

logartmicamente cony:

(4.19)

donde: k=0.41, B=5

En la fig. (4.4) los cuatro perfiles de la regin exterior tienden suavemente

a la subcapa logartmica y la diferencia entre ellos resulta de diferencias en

el gradiente de presiones exteriores.

La ley de pared es nica y obedece a la relacin:

(4.20)

2/1

**

*,

wu

yuF

u

uu

yguU wext ,,,

yG

u

uU*

B

yu

ku

u

*

* ln

1

yyu

u

u

u

*

*


88/300


89/300



Usando la ley logartmica, para y=R-r , y que la ec. (4.19) represente

fiablemente el perfil de velocidad medida u(r) a travs del conducto:

(4.21)

la velocidad media ser:

(4.22)

Introduciendo k=0.41 ,B=5 obtenemos:

(4.23)

Vm/u* se relaciona directamente con el coeficiente de DARCY

(4.24)

Tambin el gradiente del logaritmo es

(4.25)

(4.24) y (4.25) en la ecuacin (4.23) , cambiando a base decimal el

logaritmo y ordenando se tiene:

(4.26)

Prandtl tambin dedujo la ecuacion (4.26) variando ligeramente las

constantes, en los datos experimentales:

(4.27)

expresin para ductos de paredes lisas.

Re 4000 104 105 106 107 108

f 0.0399 0.0309 0.018 0.0116 0.0081 0.0059

BurR

ku

ru

*

*

)(ln

1)(

rdrBurR

ku

RA

VV

R

m

2)(

ln11 *

0

*

2

34.1ln44.2*

*

Ru

u

Vm

2/12/12

*

8

f

V

u

V

w

mm

2/1**

8Re

2

1.

2

1

fudV

Ru m

021)log(Re9911

.f.f

8.0)log(Re21

ff


90/300



Tambin:

(4.28)

NOTAS:

Para un V dado, la p disminuye con el d ms aun en REGIMEN

LAMINAR.

Para reducir ms la presin de bombeo es poner tubos de mayor d,

aunque los costos se eleva.

Duplicando el d, p disminuye, en aproximadamente un factor de

27.

La velocidad mxima en flujo turbulento en conducto viene dada por

ecuacin (4.21), particularizada en r =0

(4.29)

Combinando esta ecuacin En (4.24), obtenemos la relacin:

(4.30)

(4.31)

Para flujo LAMINAR:

(a)

(b)

BLASIUS10Re4000;316.0

54/1

Rf

(1974)WHITEF.)(log02.1 5.2 Rf1.75

4/14/3 V241.0

LP

BRu

ku

u

*

*

max ln1

1

max

)33.11( fu

Vm

)rR(gzp

dx

d

4

1u:NOTA 22

)(

4

2

max gzpdx

dRu

)(8

2

1V

22

max gzpdx

dRRu


91/300


92/300



(4.35)

(4.36)

4.4.5 DIAGRAMA DE MOODY: DIAGRAMA DE PRDIDAS DE

CARGAS.

Formas alternativas.- se presentas los casos:

a. Dados D, L, V , , y g, calcular las perdidas de carga hf

(MOODY).

b. Dados D, L, hf, , y g, calcular V o .

c. Dados , L, hf, , y g, calcular el D del tubo.

a)Diagrama modificado de MOODY (calculo deV )

Supongamos que nos piden calcular V eliminamos V de f Re,

luego

(a)

Al introducir el valor de en la ecuacin de Colebrook, se tiene:

(b)

La ecuacin De HAGEN-POISEUILLE se convierte en:

(c)

2.3ln44.2*

D

u

Vm

7.3

/log2

1 D

f

2

3

2Re.2

1

L

hgDf

f

251.2

7.3/log8Re D

32Re


93/300



b)Diagrama modificado de MOODY (calculo del D)

Tambin:

Eliminando D se tiene: (d)

Tambin: quedando

Para paredes LISAS: (e)

c)Para conductos no circulares: se toma el radio dimetro

hidrulico;

(f)

d)En placas paralelas:

(g)

(h)

donde: h = distancia entre placas

Luego:

Tambin: (i)

DH = 2h

Esta ecuacin (i) en tubos se convierte:

(j)

DV4Re.Re:De

DV

2

5

f

2

2

V

Dgh

8f

.2

L

LV

Dghf f

2/1

53

3

f1/25 V128gh)Re(

Lf

Re./.4

D

V

416.043.1Re

moj

Th

moj

Th

P

AD

P

AR

4;

h

w fVhV

fRe

48

4882

hDh 2

H

pppp fVh

fRe96

296

19.1)log(Re21 2/1

2/1 f

f DH

8.0)Re64.0log(21

f

f

DH


94/300



4.5 PERDIDAS DE ENERGA

4.5.1 LAS PRDIDAS PRIMARIAS:

El factor de friccin se determina mediante las siguientes ecuaciones

analticas

1.- Si el flujo es laminar, con Re < 2300.

Re

64f Ec. De Hagen - Poiseuille

2.- Si la tubera es lisa y un rgimen turbulento, 2300 < Re < 105

4/1Re

316.0f Ec. De BLASIUS

3.- Para la tubera lisa con Re > 105

4/1Re

316.0f Ec. De PRANDT-KARMAN

4.- Para tubera lisa, con Re > 105

0032.0Re

221.0237.0

f Ec. De Nikuradse

5.- Para tubera lisa, con rgimen turbulento: 7*104< Re < 2*106

8.0Re

396.00054.0 f Ec. de HERMANN

6.- Para la zona de Transicin e inicio del flujo turbulento (Valores

confiables)

Re

51.2

71.3log2

1

f

E

f Ec. De ColebrokWhite ;

HD

EE

7.- Para tuberas altamente rugosas

74.1log21

HR

f

Comentario de la ecuacin de COLEBRQQK- WHITE


95/300



a) S el sumado (A) tiende a cero significa que el acabado superficial

interno de la tubera es muy buena, en consecuencia el factor de

friccinsolo depende de Re.

b) Si el sumando (B) tiende a cero significa que el Re, es muy grande

entonces el factor de friccin depende de la rugosidad relativa, para

flujos plenamente desarrollados, Re 106.

8.- Para flujos con Re 5x103 >2 x 108

74.1log21

HR

f Ecuaciones de SWAMEE Y JAIN

STANTON DIAGRAMA DE MOODY se muestra el apndice.

4.5.2 PRDIDAS SECUNDARIAS

Son todas aquellas que se originan cuando el fluido pasa a instrumentos de

medida, cambios de seccin, cambios de direccin, etc. Su magnitud se

calcula mediante la siguiente expresin:

g

VKhs

2

2

En unidades de longitud

Donde K =Coeficiente de perdidas del accesorio, Depende de la geometray el acabado Superficial interno del accesorio.

Una manera de evaluar con relativa facilidad la magnitud de una perdida

secundaria en una red de tuberas es aplicando el concepto de longitud

equivalente: es la longitud de una tubera de seccin circular que genera la

misma cada de presin que un accesorio, asumiendo igual fluido e igual

velocidad promedio.


96/300


97/300



Tambin: hp

=gD

Vlf

H2

. 2 V = Q/A V = Q/a2

DH= 4/pm = 4 a2/ 4a = a DH = a.

Luego:

hp

=ga

Qlf

2

)(5

2

( b )

De a y b :gDo

Qlf o

2

852

2

=

ga

Qlf

2

)(5

2

16a5= 2 Do5

Do =5/1

2

516

a Do = Deq = a. 5 2

16

4.5.4 SISTEMAS DE TUBERAS

A.- Sistema en serie

Caractersticas: a) V1 =V2 =V3

b) hp AB= hp tot= hp1 + hp2+... hpn

B.- Sistema de tubera en Paralelo

Caractersticas: a)321

VVVVVBA

b) 321 hphphphpAB

1 2

1

3

A B


98/300


99/300



CCST = una caracterstica del sistema de tuberas

Potencia Hidrulica: Potencia al Eje:

B

EJEnCTE

HVPot

CTE

HVPot

H

donde:

KWPotCTE

CVPotCTE

HPPotCTE

mH

smV

mKgf

102

75

76

3

3

Nota: existe una relacin emprica que ese emplea mucho en el mbito

industrial, la formula de HAZEN- WILLIAMS, para sistemas de agua con

dimetro mayores a 2 y menores de 6 pie, con velocidades de flujos

mayores de 10 pies/s.

1V

2V

hP1hP2

V

CCST

hg

2

1

NN

H2

H1

Punto de Operacin

2VKhgH


100/300



En el sistema Britnico: = 1.32 CRH0.36S0.54 (4.38)

Donde: = velocidad promedio de flujo (pies / s)C = coeficiente de HAZEN- WILLIAMS

RH= radio hidrulico (pies)

S = Coeficiente hp/L: perdida de energa entre longitud.

Los conductos ms lisos tienen valores ms altos de C, en comparacin

con los ms rugosos.

4.5.6 ENVEJECIMIENTO DE TUBERAS

A travs de los aos una tubera de agua puesta en servicios sufre el

fenmeno de las incrustaciones de los slidos en suspensin, razn por la

cual es necesario tener en cuenta el efecto corrosivo para recalcular las

perdidas, debido a que la seccin se reduce y para un mismo caudal la

velocidad aumenta y en consecuencia la perdida tambin.

f = Rugosidad final(m)

o= Rugosidad inicial (m)

= esta en funcin de ph de la sustancia Tasa de incrustaciones (m / Ao)

t = tiempo de servicio (ao)

tf .0

f

0

Incrustaciones (caliche)


101/300


102/300


103/300


104/300


105/300


106/300


107/300


108/300


109/300


110/300


111/300



5.1 LA CAPA LIMITE

La capa lmite es aquella zona adyacente a un contorno slido, en donde los

efectos viscosos resultan importantes; fuera de ella el efecto viscoso es

despreciable y el fluido puede considerarse como no viscoso.

La capa limite es el lugar geomtrico (en volumen) que ocupan cierta cantidad de

fluido, en las cercanas de un contorno slido, como consecuencia del efecto

viscoso; es en esta regin en donde el gradiente de velocidad es diferente de

CERO; tambin no existe un valor nico para el Re correspondiente a la transicin

del flujo LAMINAR A TURBULENTO en la Capa Limite, el cual se ve afectado

por: el gradiente de presin, , transferencia de calor , fuerzas volumtricas y las

perturbaciones existentes en la corriente libre.

V

21

V

0x

V

T

0

L

Contorno dela capa limite

SUB-CAPALAMINAR

T>L

x2x1

C.L. DETRANSICION

C.L. TURBULENTAC.L. LAMINAR

LOCALx0

5/1

0

2/1 ReRe:LISATUBERIAS:SiRe,Re xT

xL k

x

Sk

x

S

0x

V


112/300


113/300


114/300


115/300


116/300


117/300


118/300


119/300


120/300


121/300


122/300


123/300


124/300


125/300


126/300


127/300


128/300


129/300


130/300


131/300


132/300


133/300


134/300


135/300



Nota: para un avin :

6.2.2 FUERZA DE SUSTENTACIN

Joukowsky)-Kuttade(TeoremaVbF 0S

Una circulacin (rotacin) origina una fuerza de sustentacin perpendicular a la

direccin del flujo y con sentido (en este caso) hacia arriba conforme se muestra

en el esquema debido al sentido de rotacin.

2

r2

W.rV

1)(Para

.V:NCIRCULACIO

bbrdds

ds

r

r

dsd

V

AterrizajeWFs

HorizontalVelocidadWFs

DespegueWFs

PS

PSS

AVCW

AVCF

2

2

2

12

1

W

FS

Ancho unitariob = 1

VS>VL EfectoPS


136/300


137/300


138/300


139/300


140/300


141/300



NOTA: El coeficiente de arrastre viscosa para cualquier cuerpo en un flujo a un

Remuy bajo es una CONSTANTE y solo depende de la forma del cuerpo.

En la siguiente tabla se muestran los CDpara diferentes cuerpos.

Tabla 6.1 Coeficiente de resistencia viscosa para flujos a muybajos nmeros de Reynolds (validos para Re < 1)

Tabla 6.2 Coeficientes de resistencia para diversos cuerpos tridimensionales


142/300



Tabla 6.3 Coeficientes de resistencia para diversos cuerpos bidimensionales

Tabla 6.4 Coeficientes de resistencia para objetos con simetra


143/300


144/300



La Fuerza de arrastre se presenta en todos los flujos externos y la sustentacin

solo se presenta si existe ASIMETRA. En general (no siempre) la resistencia

es indeseable y lleva a aumentar el consumo de combustible en los vehculos:

la carga del viento sobre las estructuras y fenmenos parecidos.

La sustentacin es beneficiosa, por ejemplo en las alas de un avin; le permite

volar. La Fuerza de sustentacin tambin realizan la mayor parte del trabajo

til en el flujo sobre las palas o alabes de hlices de propulsin, compresores,

turbinas.

CD

Figura 6.7 Coeficiente de resistencia para cuerpos asimtricos


145/300


146/300


147/300


148/300


149/300


150/300


151/300


152/300


153/300


154/300


155/300



Figura 6.22 Coeficiente de sustentacin y resistencia para dos formas deperfiles NACA: (a) perfil 2415; (b) perfil 632 - 615

Figura 6.23Efecto de larelacin de aspecto

sobre loscoeficientes desustentacin yresistencia sobre unala tpica. Todas lasalas tienen lamisma forma deperfil (perfilaerodinmico)


156/300



Figura 6.24 Curva polar para un ala con alargamiento 5.


157/300



Figura 6.25 Curva polar para el perfil de ala rectangular Y de Clark de 6 piesde cuerda y 36 pies de envergadura.


158/300


159/300


160/300



donde:

T : temperatura absoluta

R : constante particular del gas M

RuR

Ru : constante universal de los gases

Para el aire: K = 1.4

Cp = 6010 22

s.pie

R = 1005.03 2

2

s.m

K

Cv = 4293 22

s.pie

R = 716.5

K.JKg

R = 1717 22

s.pie

R = 287

K.JKg

C = 49 R)(T s

pies = 20.04 K)(T s

m

Para gases:

Monoatmicos:3

5K ;

M

RuCp 5.2

Diatmicos:5

7K ;

M

RuCp 5.3

Poliatmicos:M

RuCp 4

Ru = 1.986K.Kmol

Kcal = 49720 22

s.pie

R = 8.3143

K.KJ

Kmol

En un flujo isoentrpico :

1

1

2

1

1

2

1

2

KK

K

P

P

T

T


161/300


162/300


163/300



7.2.2 RELACIONES ENTRE LAS PROPIEDADES DE

ESTANCAMIENTO Y LAS PROPIEDADES ESTTICAS

a) Relacin entre T0 y T

Recordamos :

TCp

V

T

T

T

T 1

2

2

0

RKT2

)1(1

2

0 KV

T

T como : TRKC

tenemos que :2

20

C2

)1(1 KVT

T pero :C

VM

entonces :2

M)1(1

2

0 K

T

T (7.5)

b)Relacin entre P0 y P

Recordamos:

1

1

0

1

0

K

K

T

T

P

P

100

K

K

T

T

P

P

entonces:12

0

2

M)1(1

K

K

K

P

P (7.6)

c) Relacin entre 0 y

Recordamos :

1

1

2

1

2

K

T

T

01

1

0

K

T

T

entonces :1

12

0

2M)1(1

K

K (7.7)


164/300


165/300



7.3 DUCTOS DE SECCIN VARIABLE

7.3.1 TOBERAS

Se denomina as a los dispositivos o ductos de cortos de seccin variable

que transforma la energa entlpica en energa cintica, es decir es un

acelerador de flujo. Todos los procesos de expansin estn asociados a

este dispositivo existiendo toberas subsnicas y supersnicas e inclusive la

snica.

NOTA

El mximo numero de Mach que se puede obtener a la salida de una tobera

subsnica es 1, jamas un valor superior a este.

Cuando el Mach a la salida de la tobera es igual a 1, se dice que la tobera

Libro de Fluidos II.pdf

Documents

Transcript of Libro de Fluidos II.pdf