Matemtica cuartoIGEOMETRA Y ALGEBRA CON APLICACIONES PROFESOR CEFERINO RODRIGUEZ MELGAR INTRODUCCIN Este libro no pretende sustituir el lgebra sino por el contrario, poner los temas mucho ms claros para que cuando el alumno los lea, sea capaz de comprender con mayor facilidad cualquier libro de lgebra que se le presente.Daremosenelmismotodo loqueesnecesarioconocerpara podercomprenderlostemasdeloscaptulosposteriores.Asuvez,se da una idea, tan precisa como es posible, de qu es el lgebra y cual es suestructura.Estoesconelpropsitodeaclararcualserelmaterial queconformaaestelibro,pueseltrminolgebraesusadopara nombrar libros cuyo contenido es muy distinto al de ste. De acuerdo a nuestros intereses, todas las secciones de este libro estn basadas a lo que realmente necesitamos conocer para poderlas aplicar. Como este libro es para Cuarto, al inicio se hace una recapitulacin de todo lo visto en el ciclo bsico, el objetivo es complementarlo para que sepuedanaprendermejortodoslostemasquetrataremos.Confiamos en que la estructura del mismo se presta para ello. Graciasaalgunosalumnosquehansolicitadobecasenotrospasesy que han venido a solicitar ayuda para poder someterse a los exmenes en las embajadas correspondientes, hemos logrado recopilar contenidos detemasquenecesitansaberparapoderingresaralasuniversidades deesospases.Estostemasyaestnsiendoadicionadosanuestros contenidosparapoderlograrsacaranuestrosalumnosconunnivel distinto. He ledo que la visin de Kinal es formar a los mejores tcnicos para facilitarles su insercin en el campo laboral del pas Y para quienes quieraningresarposteriormentealaUniversidad,proporcionarlesuna excelentepreparacinacadmica.Nuestraintensinesquenuestros Centro Educativo Kinal Introduccin Centro Educativo Kinal IIalumnos egresados tengan un nivel internacional tambin en el rea de matemticas. Enlaprimeraseccinsepresentaunestudiosobrelageometra,pues en todos los documentos que nos han trado est la geometra, esta es laraznporlacuallaincluimosytratamosdequeseamuycompleta, puesademsdeesta,agregamosalgunosteoremasimportantescomo elThales,pues,comolaexperiencianosconvence,elconocimientode sta es fundamental, no solo para pasar a los captulos siguientes, sino para el acceso del lector a libros de nivel superior que incluyen material ms abstracto o avanzado. La segunda seccin contiene informacin al respecto de la naturaleza del lgebra.Creemosqueunaseccinasesdignadecursosdelgebraa niveluniversitario,yaqueaestenivelnuestrosalumnosdeben comenzaraconcebirellgebra,ylasmatemticasengeneral,como unaciencialgica,deductivayrigurosa,ascomotambindebe percatarsedequeellgebraestudiadaaqu,contodoysuestructura, estansolounadetantaslgebrasposiblesyconpropsitosdistintos, no menos valiosos. El autor. Matemtica cuartoIIIINDICE DE CONTENIDOS UNIDAD 1CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE GEOMETRA Objetivos3 1.1Geometra5 1.1Polgonos5 1.1.2Clasificacin5 1.1.3Permetro y rea6 1.1.4Diagonal6 1.2Cuadrado10 1.3Rectngulo10 1.4Rombo11 1.5Romboide12 1.6Trapecios13 1.7Tringulos16 1.8 Clasificacin16 1.8.1 Por sus lados16 Equilteros16 Issceles16 Escalenos16 1.8.2Por sus ngulos17 Rectngulos 17 Acutngulos17 Obtusngulos17 1..8.3 Lneas del tringulo19 Mediana19 Mediatriz19 Bisectriz19 Alturas20 1.8.4Centros del tringulo20 Baricentro20 Circuncentro20 Incentro21 Ortocentro21 1.9La Lnea24 1.9.1Rectas paralelas24 1.9.2Rectas perpendiculares24 1.10La circunferencia25 Centro Educativo Kinal ndiceIV1.10.1 Lneas de la circunferencia25 Radio 25 Dimetro25 Cuerda25 Flecha26 Tangente26 Secante26 1.11Polgonos regulares28 1.11.1 Apotema28 1.11.2 Volumen31 1.12Poliedros31 Caras 31 Diagonal31 Angulo diedro31 Angulo poliedro32 Arista 32 Vrtice32 Formulario32 Problemas propuestos34 1.13Angulos50 1.13.1 Por su tamao50 Agudos50 Rectos50 Obtusos51 Llanos51 1.13.2 Transportador51 1.14Rectas, rayos y segmentos52 1.15Teorema de rectas paralelas Para ngulos54 1.16Teorema de Thales58 1.16.1 Teorema de rectas paralelas Para segmentos58 1.16.2 Teorema de tringulos60 1.16.3 Tringulos semejantes64 UNIDAD 2CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ALGEBRA Objetivos 75 Centro Educativo Kinal Matemtica cuartoV2.1Algebra75 2.2Notacin algebraica75 2.3Leyes de exponentes76 2.4Radicales81 2.4.1Simplificacin de radicales84 2.5Racionalizacin85 2.6Productos notables89 2.6.1Cuadrado de un binomio 89 2.6.2Producto de la forma (x + a)(x + b)92 2.6.3Producto de la suma por ladiferencia de dos cantidades iguales93 2.6.4Cubo de un binomio95 2.6.5Cuadrado de un trinomio 96 2.7Factorizacin98 2.7.1Trmino Algebraico98 2.7.2Factor comn100 2.7.3Diferencia de cuadrados102 2.7.4Suma y diferencia de cubos104 2.7.5Trinomios106 2.7.6Agrupacin de trminos115 2.7.7Cubo perfecto de binomios116 2.8Simplificacin de fracciones118 2.8.1Sumas y restas de fracciones121 2.8.2Multiplicacin de fracciones122 2.8.3Divisin de fracciones123 UNIDAD 3 ECUACIONES Objetivos129 3.1Ecuaciones de primer grado con una incgnita130 3.1.1Ecuaciones con coeficiente fraccionario 136 3.1.2Problemas resueltos143 3.2Ecuaciones de segundo grado155 3.2.1solucin por Factorizacin155 3.2.2Completacin al cuadrado157 3.2.3Frmula cuadrtica162 3.2.4 Problemas de aplicacin168 Centro Educativo Kinal ndice Centro Educativo Kinal VI UNIDAD 4NUMEROS COMPLEJOS E INECUACIONES Objetivos 173 4.1Nmeros complejos174 4.1.1Operaciones con nmeros complejos175 4.2Ecuaciones de otros tipos177 4.3Desigualdades lineales o inecuaciones 183 4.4Ms sobre desigualdades 190 UNIDAD 5 FUNCIONES Y GRAFICAS Objetivos 197 5.1Plano cartesiano197 5.2Distancia entre dos puntos200 5.3Frmula de Hern 201 5.4Punto medio205 5.5Ecuacin de la recta206 5.6Grficas de ecuaciones211 5.7Ecuacin de la circunferencia220 5.8La recta225 5.8.1 Ecuacin estandar de la recta225 5.8.2Ecuacin general de la recta226 5.8.3Pendiente226 5.8.4Rectas paralelas227 5.8.5Rectas perpendiculares227 Bibliografa 239 Matemtica cuarto Centro Educativo Kinal 1 Primera unidad: Geometra2 Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto3OBJETIVOS Duranteelcursosetratardelograrquetodoslosalumnossean capaces de: Conocerydesarrollarcapacidadesdededuccinylograr demostraciones, mediante un conjunto de razonamientos. Manifestar habilidades para deducir, demostrar teoremas y resolver problemas de aplicacin. Correlacionar,yorganizarlosdiferentessubtemasde estudio y su verdadera utilizacin. Desarrollar,confianzaensushabilidadesmatemticasy lgicasparapoderlasaplicarenlasdistintas demostraciones. Alcanzar actitudes de orden, perseverancia y optimismo en susavancesylogrosaniveldelconocimientodela geometra plana. Geometra plana Introduccin: Las matemticas, histricamente, comenzaron con la geometra. Esta se necesitaba para medir las tierras (de ah viene su nombre), y en general para las obras (puentes, acueductos, edificios, etc.) que se realizaban. La geometra es la rama de las Matemticas que ha estado sometida a mscambiosalolargodelahistoria.Conlosgriegosalcanzsu plenitud, despus cay en el olvido como consecuencia de los xitos del lgebraydelClculo.EnelsigloXIXrecobrlaimportanciaquetiene actualmente. LaGeometrasedivideendiversasramas:puraoelemental,analtica, diferencial y proyectivaEllibrodeGeometramsimportanteesElementoscuyoautor es Euclides. Elquint o post uladodeEuclides es una de las cuestionesmas controvertidas de la historia de las matemticas. Otros importantes matemticos en la historia de la geometra han sido: Pitgoras, Thales de Mileto, Descartes, Euler y Gauss. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra4Importancia Porquestudiargeometra?Elalumnoqueempiezaaestudiar geometra,puedepreguntarcontodarazn:Queeslageometra? Que gano con estudiarla?. Uno de los beneficios de la geometra es que el estudiante adquiere un criterioalescucharleerypensar.Cuandoestudiageometra,dejade aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se le ensea a pensar en forma clara y crtica, antes de hacer conclusiones. Otro es el adiestramiento en el uso exacto del idioma y en la habilidad para analizar un problema nuevo, para diferenciar sus partes cruciales y aplicarlaperseverancia,originalidadyrazonamientolgicopara resolver el problema. Losestudiantesdebenconocerloquelascienciasmatemticasylos matemticos han aportado a nuestra cultura y civilizacin. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto5GEOMETRIA La geometra es una rama de las matemticas que se ocupa de estudiar las propiedades de las formas o figuras del espacio, como son: Puntos, rectas,planos,curvas,polgonos,superficies,poliedros,etc. Sus orgenesseremontanalasolucindeproblemasconcretosrelativosa medidasyeslajustificacintericademuchosinstrumentos,por ejemplo el comps, la regla, el teodolito, el pantgrafo etc. Asmismo,dafundamentotericoainventoscomoelsistemade posicionamientoglobalyestilenlapreparacindediseos (justificacintericadelageometradescriptiva,deldibujotcnicoe incluso en la fabricacin de artesanas). 1.1 POLGONOS Figura geomtrica plana cerrada que no se corta a si misma. 1.1.2 Clasificacin de los Polgonos Los polgonos se clasifican bsicamente en: POLGONOS REGULARES POLGONOS IRREGULARES

Polgono Regular Polgonoenelcualtodossusladossondeiguallongitud.Se clasifican en: -tringulo equiltero: polgono regular de 3 lados,-cuadrado: polgono regular de 4 lados,-pentgono regular: polgono regular de 5 lados,-hexgono regular: polgono regular de 6 lados,-heptgono regular: polgono regular de 7 lados,-octgonoregular:polgonoregularde8lados,...yas sucesivamente. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra61.1.3PERMETROYREADELOS POLGONOS. Per metro de un pol gono El per metroesl al ongi tuddetodal aori l l adeunafi gura,es deci r, es l a suma de todos l os l ados de un pol gono Area de un polgono Esl amedi dadel aregi nosuperfi ci eencerradapor una fi gura pl ana Ejempl o20 cm 5cm 5cm 20 cm Si el rectngul oanteri orti ene20cmdel argoy5cmde ancho,super metroesde20cm+5cm+20cm+5cm= 50cm. Y su rea es de 20cm(5cm) = 100cm2 1.1.4 DIAGONAL Esunal nearectaquesetrazadentrodeunpol gono de esqui na a esqui na.Paraencontrarelnmerodediagonalesquetieneunpolgonoregular, podemos utilizar la siguiente frmula: 2) 3 ( =n nDEn donde n es el nmero de lados o vrtices del polgono Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto7Ejemplo 1: Encuentre el nmero de diagonales que tiene un exgono 2) 3 ( =n nD 92) 3 ( 62) 3 6 ( 6= == D Tambi npodemosobtenerel nmerodel neasqueti eneun pol gono,porejempl o,enel exgonoanteri orencontramos el nmerodedi agonal esqueti ene,peropodemosencontrar elnmero de l neas que ti ene i ncl uyendo l as de l as ori l l as. Vamosaponerunejempl osenci l l oquepuedeseruna apl i caci n:si hay6personasenunareuni nyal despedi rse sedanunapretndemanoscadauna,podemoshacerelejempl ogrfi co,seal andoconunal neacadaapretnde manos. Escri bi mospri mero6puntosquerepresentanl as6personas yvayamosuni endocadapuntoconunal nea,esto representarl asvecesquedal amanocadapersona.Estos movi mi entos se representan en l as si gui entes grfi cas. . . . . 1) .. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra8 . . 2). . .. . . 3) . . .. . . 4) . . .. . . 5) . . Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto9Estas son l as veces que da l a mano elpri mero. Si gui endo con l a segunda persona nos queda

Y altermi nar de dar l a mano todas l as personas, cubri endo todos l os puntos obtenemos l a mi sma fi gura que l a anteri or Contando l as l neas nos damos cuenta que son 15 porque se cuentan tambi n l as de l as ori l l as, en l a anteri or eran 9 porque ni camente se contaban l as di agonal es. Esto i ndi ca que 6 personas, dndose l a mano todas, se obtendrn 15 apretones de manos. Este nmero de l neas se puede encontrar a travs de l a si gui ente frmul a.22n nN= Que tambi n se puede escri bi r2) 1 ( =n nN En donde a l a N es elnmero de l neas delpol gono y n es elnmero de l ados que ti ene Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra101.2 CUADRADO Uncuadradoesunafi gurageomtri caqueti enecuatrol ados i gual es y sus ngul os son rectos, es deci r, de 90o dl l= l ado di agonal 2 l d =Per metro l p 4 = Area 2l A = Ejemplo 2: Encuentreel rea,l adi agonal yel per metrodeuncuadrado de 6m de l ado. Solucin: 2l A = 2 l d =l p 4 = 2) 6 ( m A =2 6m d =) 6 ( 4 m p = A=36m2d=8.49mp=24m 1.3RECTANGULO Un rectngulo es una figura geomtrica que tiene cuatro lados pero no sonigualesloscuatro,sonigualeslosladosparalelosentres.Sus ngulos s son rectos. d h b Di agonal2 2h b d + =Per metro ) ( 2 h b P + = Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto11Area h b A * = Ejemplo3: Encuentreel per metro,l adi agonal yel areadeun rectncul o que mi de 12m de l argo y 8 m de ancho. Solucin: uti l i zando l as frmul as que conocemos Per metro ) ( 2 h b P + = ) 8 12 ( 2 + = P ) 20 ( 2 = P P = 40m. Di agonal2 2h b d + =2 2h b d + =2 2 2 2 2208 64 144 ) 8 ( ) 12 ( m m m m m d = + = + = D=14.42m Area h b A * = A = 12m(8m) A = 96m2 1.4ROMBO Unromboesunafi gurageomtri caenl acual todossus l adossoni gual es,esdeci r,ti enenl ami smal ongi tudyson paral el osdosados;sedi ferenci adel cuadradoenquesus ngul osnosonrectos,podr amosdeci rqueesuncuadrado deformado. l P 4 = Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra122*d DA = Ejemplo 4: Encuentre elrea y elper metro delsi gui ente rombo Solucin P = 4*17 = 68cm. P = 68cm. 2240216 * 30cm A = = A = 240cm2 1.5ROMBOIDE El romboide es un paralelogramo cuyos lados adyacentes y ngulos consecutivos son de distinta medida. Los lados paralelos miden lo mismo, podramos decir que es un rectngulo deformado puesto que sus ngulos no son rectos. Area de un Romboi de P=2(a + b) A= bh Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto13Ejemplo 5: Encuentre elrea y elper metro delsi gui ente romboi de Solucin: P = 2(4+4.5) = 2(8.5) =15cm A = 4(4) = 16cm2 1.6TRAPECIOS Un trapecio es un cuadriltero que tiene dos lados paralelos y los otros dosnoparalelos.Losladosparalelossellamanbasesdeltrapecioyla distancia entre ellos se llama altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los lados no paralelos. b h a Tipos de trapeciosLos trapecios pueden ser: issceles, rectngulos y escalenos. Sellamatrapecioisscelessitienenigualmedidalosladosno paralelos. Lostrapeciosescalenossecaracterizanporquenotienenninguno de sus lados igual a otro y tampoco tienen ningn ngulo recto. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra14Trapeciorectangulareselquetieneunladoperpendicularasus bases. La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases.2 b am+= En un trapecio issceles: los ngulos adyacentes a cada base tienen la misma amplitud, y los ngulos opuestos son suplementarios.Clculo de la altura de un trapecioLaaltura(h)deuntrapeciopuedecalcularse,enfuncindelasdos bases (a,b) y de los dos lados (c,d), mediante la siguiente ecuacin: | |) ( 2) ( 42 2 2 2 2b ab a d c d ch + =2 b c hd a En donde a es la base mayor, b la base menor y, los lados no paralelos son c y d. rea de un trapecioEl rea A de un trapecio de bases a y b y altura h es: 2) ( b a hA+= Es decir, la semisuma de las dos bases, o sea la mediana, multiplicada por la altura del trapecio. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto15Ejemplo 6:Encuentre el rea de un trapecio cuyas bases miden 17cm y 8cm respectivamente y sus lados no paralelos miden 5cm y 7.21cm. Solucin: Como no me dan la altura y la necesito para encontrar el rea, tengo que buscarla primero a travs de la frmula| |) ( 2) ( 4b ab a d c d ch + =22 2 2 2 2 | |) 8 17 ( 2) 8 17 ( 21 . 7 5 ) 21 . 7 ( ) 5 ( 4 + = h22 2 2 2 2 | |) 9 ( 2) 9 ( 9841 . 51 25 ) 9841 . 51 )( 25 ( 4 + = h2 18) 0159 . 4 ( 41 . 5198 = h2 18= h12745281 . 16 41 . 5198 18= h28254719 . 5182 18= h988 . 71 h = 4 Ahora que ya tenemos la altura, utilizamos la frmula para encontrar el rea Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra162A =) ( b a h + 2= A) 8 17 ( 4 + 2= A) 25 ( 4 2= A100 A = 50cm2 1.7TRINGULOS Un tringulo, en geometra, es un polgono de tres lados determinado por tres segmentos de 3 rectas que se cortan en 3 puntos no alineados llamadosvrtices.Tambinpuededeterminarseuntringulopor cualesquieraotrostreselementosrelativosal,comoporejemploun ngulo y dos medianas; o un lado, una altura y una mediana. Siestcontenidoenunasuperficieplanasedenominatringulo,o trgono, un nombre menos comn para este tipo de polgonos. Si est contenidoenunasuperficieesfricasedenominatringuloesfrico. Representado,encartografa,sobrelasuperficieterrestre,sellama tringulo geodsico. La suma de los ngulos internos de cualquier tringulo ser siempre de 1800 1.8CLASIFICACIN DE TRINGULOS1.8.1 POR LA LONGITUD DE SUS LADOS Lostringulos,porlalongituddesusladosseclasificanen: Equilteros, issceles y escalenos Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto17Tringulosequilteros:Sonlostringulosquetienenlamisma medida en todos sus lados Tringulo Issceles:Son los tringulos que tienen dos lados iguales y su tercer lado tiene diferente medida Tringulo escaleno:Son los tringulos que no tienen ningn lado con la misma medida. EquilteroIsscelesEscaleno 1.8.2 POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS Lostringulos,porlamedidadesusngulosseclasificanen: Tringulo rectngulo, tringulo obtusngulo y tringulo acutngulo TringulosRectngulos:Sonlostringulosquetienenunngulo recto o de 90o TringulosObtusngulos:Sonlostringulosquetienenunngulo obtuso o que mide ms de 90o TringulosAcutngulos:Sonlostringulosquetienensustres ngulos agudos que miden menos de 90o RectnguloObtusnguloAcutngulo Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra18Ejemplo 7. Encuentre el rea y el permetro de un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm. Respectivamente. Solucin:Como el tringulo es rectngulo, podemos encontrar el rea directamente ya que en un tringulo rectngulo los catetos son la base y la altura A = bh = 6*8A = = 48cm2. Para encontrar el permetro necesitamos conocer el tercer lado, que en este caso, por ser tringulo rectngulo es la hipotenusa. En un tringulo rectngulo,porelteoremadePitgoras,lahipotenusaalcuadradoes igual a la suma de los dos catetos elevados al cuadrado C2 = a2 + b2 2 2b a c + =2 28 6 + = c64 36 + = c 100 = c c = 10cm. Ahora ya podemos encontrar el permetro P = a + b + c P = 6cm + 8cm + 10cm P = 24 cm. Ejemplo 8 Encuentre el rea de un tringulo cuyos lados miden 3cm, 4cm y 5cm. Solucin:Comonomeindicanqueseauntringulorectngulo, asumiremosquenicamenteesescaleno.Paraencontrarelreade cualquiertringulo,conociendolalongituddesustreslados,podemos utilizar la frmula de Hern Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto19) )( )( ( c s b s a s s A = En donde s es el semipermetro del tringulo. Semipermetro significa la mitad del permetro que es lo mismo que semisuma o sea la mitad de la suma. 2s =c b a + + 2122==ss5 4 3 + + s = 6 36) 1 )( 2 )( 3 ( 6) 5 6 )( 4 6 )( 3 6 ( 6== =AAA A = 6cm2 1.8.3LNEAS DEL TRIANGULO MEDIANA La mediana es la recta que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto, sin importar que sea perpendicular o no a este lado. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra20MEDIATRIZ Esunalnearectaquecortaalamitadelladodeltringulopero es perpendicular a l.La mediana y la mediatriz cortan un segmento a la mitad;La diferencia entre ellas es que la mediana no es perpendicular al lado que corta y la mediatriz s. BISECTRIZ Esunalnearectaquedividealnguloendospartesiguales,es decir, parte a un ngulo a la mitad ALTURAS Sonlneasrectasquepasaporlosvrticesperoson perpendiculares al lado opuesto de ste Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto211.8.4CENTROS DEL TRINGULO Geomtricamente se pueden definir varios centros en un tringulo: BARICENTRO Elbaricentroeselpuntodeinterseccindelasmedianasdecada uno de los lados del tringulo. CIRCUNCENTRO Elcircuncentroeselpuntodeinterseccindelasmediatricesde cadaunodelosladosdeltringulo.Recibeestenombreporserel centro de la circunferencia circunscrita al tringulo. INCENTRO Sedenominaalpuntoenelquesecortanlasbisectricesdelos ngulos interiores de un tringulo. Tiene la propiedad de ser el centro delacircunferenciainscritaendichotringulo,yaqueequidistade sustreslados.Elincentropuedehallarseintersectandoslodos bisectrices, pues la tercera pasar siempre por este punto. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra22ORTOCENTRO es el punto que se encuentra en la interseccin de las alturas. Elnicocasoenquelostresprimeroscentroscoincidenenunnico punto es en un tringulo equiltero. El rea de un tringulo se encuentra multiplicando la base por la altura dividido 2 2bhA = Y el permetro es la suma de la longitud de sus tres lados. Ejercicios 1 1.Encuentre el rea, la diagonal y el permetro de un cuadrado que tiene 3 m de lado. 2.Hallar la diagonal, el permetro y el rea de un cuadrado de 5 cm de lado. 3. Encuentre el nmero de diagonales que tiene un eptgono 4. Encuentre el nmero de diagonales que tiene un enegono 5. Encuentre el nmero de lneas que tiene un octgono Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto236. Encuentre el nmero de lneas que tiene un pentgono 7.A una fiesta acudieron 8 personas. Si todos eran educados y al retirarse se despiden dndose un apretn de manos cada uno. Cuntos apretones de manos se contaron en total? 8.A una fiesta acudieron 15 personas. Si todos eran educados y al retirarse se despiden dndose un apretn de manos cada uno. Cuntos apretones de manos se contaron en total? 9.Encuentre el rea, la diagonal y el permetro de un rectngulo que tiene 15 cm de longitud y 12 cm de ancho. 10.Hallar el la diagonal, el rea y el permetro de un rectngulo cuya base mide 25 cm y su altura 15cm. 11.Encuentre el rea y el permetro de un rombo cuyas diagonales miden 15cm y 9 cm respectivamente y sus lados 10 cm. 12.Encuentre el rea y el permetro de un rombo que tiene diagonales de 25cm y 15 cm y sus lados miden 18cm. 13.Encuentre el rea y el permetro de un romboide que miden 5cm y 6 cm respectivamente sus lados y su altura mide 4 cm. 14.Encuentre el rea y el permetro de un romboide cuya altura es de 6 cm. Y sus lados miden 7cm y 9 cm. 15.Encuentre el rea y el permetro de un trapecio issceles cuyas bases miden 113cm y 7 cm respectivamente y sus lados no paralelos miden 5 cm.16.Encuentre el rea y el permetro de un trapecio issceles que miden 23 cm y 5 cm sus lados paralelos y 15 cm sus lados no paralelos. 17.Encuentre el rea y el permetro de un trapecio rectngulo cuyas bases miden 10 cm y 6 cm respectivamente y su altura mide 3 cm. 18.Encuentre el rea y el permetro de un trapecio rectngulo cuyas bases miden 9 cm y 6 cm respectivamente y su altura mide 4 cm. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra2419.Encuentre el rea y el permetro de un trapecio issceles cuyas bases miden 16 cm y 4 cm respectivamente y su altura mide 8 cm. 20.Encuentre el rea y el permetro de un trapecio issceles cuyas bases miden 21 cm y 3 cm respectivamente y su altura mide 12 cm. 21.Encuentre el rea y el permetro de un trapecio equiltero cuyas bases miden 24 cm y 5 cm y sus lados no paralelos miden 20 cm y 12.34 cm respectivamente. 22.Encuentre el rea y el permetro de un trapecio equiltero cuyas bases miden 18 cm y 3 cm y sus lados no paralelos miden 15 cm y 9.4868 cm respectivamente. 23.Encuentre el rea y el permetro de un tringulo equiltero que sus lados miden 9 cm. 24.Encuentre el rea y el permetro de un tringulo equiltero cuyos lados miden 12 cm. 25.Encuentre el rea y el permetro de un tringulo equiltero cuya altura mide 5 cm 26.Encuentre el rea y el permetro de un tringulo que tiene una altura de 12 cm. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto251.9LA LINEA Es una sucesin continua de puntos contenidos en un plano. Esta puede ser: -Lnea recta, la sucesin continua de puntos en una misma direccin.-Lnea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.-Lnea quebrada o poligonal, formada por segmento rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos. Propiedades de lneas rectas 1.9.1 Rectas paralelas: Son lneas que se encuentran a la misma distancia en toda su trayectoria, es decir, aunque se prolonguen indefinidamente nunca se encuentran o intersectan 1.9.2Rectas perpendiculares Son lneas que cuando se cruzan o intersectan forman ngulos rectos o de 900 Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra261.10LA CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos del plano equidistantes de otro punto fijo llamado centro; esta distancia se denomina radio. Slo posee longitud. 1.10.1 Lneas de la circunferencia Radio Dimetro Cuerda Flecha Tangente Secante Radio Es un segmento que sale del centro a cualquier parte de la circunferencia Dimetro Es un segmento que atraviesa a la circunferencia pasando por el centro, es decir, divide a la circunferencia en dos partes iguales Cuerda Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto27Flecha Segmentoqueuneelpuntomediodeunacuerdaconunpuntodela circunferencia y es perpendicular a dicha cuerda. Tangente Esunarectaquepasaporunpuntodelacircunferenciaperosin introducirseaella,larectatangenteessiempreperpendicularalradio de la circunferencia Secante Es una recta que pasa por dos puntos de la circunferencia. Se diferencia de la cuerda en que la secante atraviesa a la circunferencia. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra28AREA O SUPERFICIE Elreaosuperficiedeunacircunferenciaseencuentradelasiguiente forma Cuando se conoce el radio 2r A t = Cuando se conoce la longitud del dimetro podemos encontrar el radio, ya que el dimetro esel doble del radio El permetro o longitud de la circunferencia se encuentra de la siguiente forma r P t 2 = Ejemplo: Encontrarelreayelpermetrodeunacircunferenciaquetieneun dimetro de 4 metros Solucin: En este caso que nos dan el dimetro, podemos encontrar el radio para encontrar as el rea y el permetro o podemos hacerlo directamente con eldimetro,yaquetambinsepuedepuestoquedosradiosesun dimetro r d 2 = 2dr = 22 |.|

\|=dA t 224|.|

\|= t A A=(2)2 Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto29A = (4) A = 12.57m2 Como el permetro encontrndolo a travs del dimetro es d P t = P = (4) P = 12.57 m 1.11POLIGONOS REGULARES APOTEMA La apotema de un polgono es un segmento de recta trazado desde el centro del polgono hasta la mitad de cualquiera de sus lados, podemos decir que la apotema es la altura del tringulo.

ar

l

l21 Como la apotema corta a la mitad a su lado siendo perpendicular a l, se puede encontrar a travs del teorema de Pitgoras 2221a|.|

\| = l r Elreadeunpolgonoregularseencuentramultiplicandolaapotema por la longitud del polgono o sea por el permetro dividido 2 Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra302apA = Elpermetrodeunpolgonoregularseencuentramultiplicandola longitud de cada lado por la cantidad de lados que tenga P = ln Por tanto la frmula del rea tambin se puede escribir 2ln aA = Ejemplo:

Encuentre el rea de un pentgono de radio 5cm y lado 6 cm. Solucin Como para encontrar el rea necesitamos la apotema, procedemos a encontrarla a travs de la frmula del teorema de Pitgoras. Sabemos tambin que la apotema corta a la mitad a cada lado y el radio es la lnea del centro al vrtice, hacemos la siguiente figura 2221a|.|

\| = l r a = 2 23 5 a = 9 25 a = 16 a = 4cm Ahora ya podemos encontrar el rea. Es importante denotar que a un polgono se le pueden trazar tantos tringulos como vrtices Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto31tenga. Observemos el ejemplo en el cual encontramos la apotema y tracemos sus tringulos.

odemos entonces encontrar el rea de un tringulo y multiplicar esta or la cantidad de tringulos que tenga la figura, puesto que ya vimos rl a Ppque la apotema es la misma que la altura de un tringulo. Area de un tringulo = base por altura dividido 2 24 * 6= A 224= A A = 12 cm2. Esta es el rea de un tringulo del pentgono, pero como son 5, el rea del pentgono que tiene 6 cm. De lado y una altura o Encuentre el rea y el permetro de exgono cuyos lados cas que los tringulos ue se forman en su interior son equilteros, por lo tanto, sus tres lados apotema de 4 cm. Es: A = 12*5 A = 60cm2 Ejemplo: miden 1m. Solucin:Los hexgonos tienen las caracterstiqmiden 1m. Procedemos entonces a encontrar la apotema que es la altura de los tringulos. 22211|.|

\| = aCentro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra32411 = a 43= a a= 0.866m. Ahoraqueyaconocemoslaaltura,podemosencontrarelreadeun multiplicamosporlacantidaddetringulosquetieneel exgono que son 6. tringuloyloh 6 *2866 . 0 * 1= A

6 *2866 . 0= A 6 * 433 . 0 = A 1.11.2VOLUMEN En matemtica, el volu dida que se le asocia al espacio que ocupa uUn poliedro, en elsica, es un cuerpo geomtricocuyasc volumenfinito.El volumen del poliedro es la regin del espacio limitada por polgonos. CARAS men de un cuerpo, es la men cuerpo y es tridimensional.1.12POLIEDROS sentido dado por la geometra clarassonplanasqueencierranun Las caras de un poliedro son cada uno de los polgonos que lo limitanCentro Educativo Kinal Matemtica cuarto33DIAGONAL n dos vrti ces perteneci entes a l as caras opuestas. ANGULO DIEDRO scarasy ti enen una ari sta en comn. ANGULO POLIEDRO tnformadosportresoms caras delpoliedro y ti enen un vrtice comn. ARISTA scarasdel poliedro. Doscaras ti enen una arista en comn. VERTICE cadauna del ascarasdel poliedro.Trescarascoi nci denenun Lospoliedrosseconcibencomocuerpos tridimensionales,perohaysemejantestopolgicosdelconceptoen FORMULARIO TABLA DE REASPERMETROSY VOLMENES Lasdi agonal esdeunpol i edrosonl ossegmentosqueuneLosngul osdi edrosestnformadosporcadadoLosngulospolidricosesLasaristasdeunpoliedrosonl osladosdel aLosvrticesdeunpoliedrosonl osvrticesde mi smovrtice. cualquier dimensin. As, el polgono es el semejante topolgico de dos dimensiones del poliedro Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra34 cuadrado lo A = a2 P = 4l tringu2BhA = P = a + b + c uloromboide h) rectngA = B h P = 2(B+h) A = B h P = 2(B + rombo 2*d DA = P = 4l trapecio c a b B Phb BA + + + =+=) (2 polgonregularo2* P aA = P = ln crculo A = R2 RP = 2 corona circular (R2 - r2) cular A = sector cir3602 on R tA = CilindroCubo A = 6 a2 V = a3t 2 = AR(h+R) hV = R2 (ab + ac + bc) c cono 2 Ortoedro A = 2 V = a b A = R (h + g) 32h RVt=Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto35 prisma recto A = P (h + a) V = AB h(3) tronco de cono A= [g(r+R)+r2+R2] V=h(R2+r2+Rr) / 3 tetraedro regular A = a2 3 V = a2 2 / 12 esfera A = 4 R2 33R V t =4 pirmide recta A = P (a + a') / 2 V = AB h / 3 casquete esfrico A = 2 R h V = h2 (3R - h) / 3 tronco de pirmide A=(P+P')a+AB+AB' V = (AB+AB'+ABAB') h/3 zona esfrica A = 2 R h V=h(h2+3r2+3r'2)/ 6 (1) P es el permetro (suma de la longitud de los lados) ;a es la apotema (2)g es la generatriz ; es la raz cuadrada del nmero (3)ABeselreadelabase;heslaaltura ; Ryr sonlos radios; Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra36 Problemas propuestos de reas y permetros. 1.Determi narl amedi dadel osl adosdeuntri ngul o equi l terocuyoper metroesi gual al deun cuadradode12cmdel ado.Serni gual essus reas? 2.Determi narel l adodeuntri ngul oequi l teroque super metromi del omi smoqueel deuncuadrado de 3 metros de l ado. 3.Hal l ar elper metro y elrea delpentgono regul ar 4.Encuentreel reayel per metrodeunpentgono cuyo radi o es de 12cm. y sus l ados mi den 15cm. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto375.Hal l arel readeunhexgonoi nscri toenuna ci rcunferenci a de 4 cm de radi o. 6.Encuentreel readeunhexgonoi nscri toenuna ci rcunferenci a de 5 cm. De radi o. 7.Hal l arel readeuncuadradoi nscri toenuna ci rcunferenci a de 5 cm de radi o. 8.Encuentreel readeuncuadradoi nscri toenuna ci rcunferenci a de 3 cm de radi o Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra389.Determi narel readel cuadradoi nscri toenuna ci rcunferenci a de l ongi tud 18.84cm. 10.Cal cul arel readeuntri ngul oequi l tero i nscri to en una ci rcunferenci a de radi o 6 cm. 11.Enuncuadradode2cm.del adosei nscri beun c rcul oyenestec rcul ouncuadradoyeneste otroc rcul o.Hal l arel reacomprendi daentreell ti mo cuadrado y ell ti mo c rcul o. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto3912.El per metrodeuntrapeci oi sscel esesde110 cm.,l asbasesmi den40y30cm respecti vamente.Cal cul arl al ongi tuddel osl ados no paral el os y elrea deltrapeci o. 13.Si l osl adosnoparal el osdeuntrapeci oi sscel es seprol ongan,quedar aformadountri ngul o equi l terode6cmdel ado.Sabi endoqueeltrapeci oti enel ami taddel aal turadel tri ngul o, cal cul ar elrea deltrapeci o. El readeuncuadradoes2304cm.Cal cul arelreadel hexgonoregul arqueti enesumi smo per metro. 14.Encuentree.Areayel per metrodeunexgono i nscri to en una ci rcunferenci a de radi o 32 cm. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra4015.Enunaci rcunferenci aderadi oi gual a4cmse i nscri beuncuadradoysobrel osl adosdeestey haci ael exteri orseconstruyentri ngul os equi l teros.Hal l arel readel aestrel l aasformada. 17.Lasuperfi ci edeunamesaestformadaporuna partecentral cuadradade1mdel adoydos semi c rcul osendosl adosopuestos.Cal cul aelrea. 18.Aunhexgonoregul arde4cmdel adosel e i nscri beunaci rcunferenci aysel eci rcunscri be otra.Hal l arel readel acoronaci rcul arasformada. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto4119.Enunaci rcunferenci asetrazaunacuerdade48 cmydi sta7cmdel centro.Cal cul arel readelc rcul o. 20.Loscatetosdeuntri ngul oi nscri toenuna ci rcunferenci ami den22.2cmy29.6cm respecti vamente.Cal cul arl al ongi tuddel a ci rcunferenci ayel readel c rcul osi l ahi potenusa es su di agonal . 21.Cal cul arel readel acoronaci rcul ardetermi nada porl asci rcunferenci asi nscri tayci rcunscri taaun cuadrado de 8 cm de di agonal . Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra4222.Sobreunc rcul ode4cmderadi osetrazaun ngul ocentral de60.Hal l arel readel segmento ci rcul arcomprendi doentreunacuerdade4cm. queunel osextremosdel osdosradi osysuarco correspondi ente. 23.Dadountri ngul oequi l terode6cm.del ado, hal l arel readeunodel ossectoresdetermi nado porl aci rcunferenci aci rcunscri tayporl osradi os que pasan por l os vrti ces. 24.Hallar el rea de un sector circular cuya cuerda es el lado del tringuloequilteroinscrito,siendo2cmelradiodela circunferencia. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto4325.Hallarelreadelsectorcircularcuyacuerdaeselladodel cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia. 26.Dadasdoscircunferenciasconcntricasderadio8y5cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman unngulode60.Calcularelreadeltrapeciocircular formado. 27.Calculaelreasombreada,sabiendoqueelladode cuadrado es 8 cm y el radio del crculo menor mide 2 cm. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra4428.Calcula el rea de la parte sombreada, si el radio del crculo mayor mide 6 cm y el radio de los crculos pequeos mide 2 cm. 29.Calcula el rea de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCDuncuadradoyAPCYAQCarcosdecircunferenciade centros B y D. Lapartesombreadasecomponededossegmentos ci rcul ares Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto4530.Cal cul ar la di agonal , el real ateral , el reatotaly el vol umen de un cubo de 5 cm de ari sta 31.Calculaelreal ateral ,total yel vol umendeuna pi rmi decuadrangul arde10cmdearistabsicay12 cm de altura. 32.Calculaelreal ateral ,total yel vol umendeuna pi rmi dehexagonal de16cmdearistabsicay28cm de arista lateral. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra4633.Cal cul arel real ateral ,el reatotal yel vol umende untroncodepi rmi decuadrangul ardeari stasbsi cas 24 y 14 cm, y de ari sta l ateral13 cm. 34.Cal cul ael real ateral ,total yel vol umendeuncono cuyageneratri zmi de13cmyel radi odel abaseesde 5 cm. 35.Cal cul ael real ateral ,total yel vol umendeuncono cuya al tura mi de 4 cm y elradi o de l a base es de 3 cm. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto4736.Cal cul arel real ateral ,el reatotal yel vol umende untroncodeconoderadi os6y2cm,ydeal tura10 cm. 37.Cal cul arel real ateral ,el reatotal yel vol umendeltroncodeconoderadi os12y10cm,ydegeneratri z 15 cm. 38. Cal cul arel readel c rcul oresul tantedecortaruna esferade35cmderadi omedi anteunpl anocuya di stanci a alcentro de l a esfera es de 21 cm. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra4839.Cal cul arel reayel vol umendeunaesferai nscri taen un ci l i ndro de 2 m de al tura. 40.Cal cul arel vol umendeunasemi esferade10cmde radi o. 41.Cal cul ael reayel vol umendel si gui entecasquete esfri co. 42.Cal cul arel reayel vol umendeunazonaesfri ca cuyasci rcunferenci asti enenderadi o10y8cm,yl a di stanci a entre el l as es de 5 cm. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto49 43. Encontrarel vol umen,encent metroscbi cos,deuna habi taci nqueti ene5mdel argo,40dmdeanchoy 2500 mm de al to. 44. Unapi sci nati ene8mdel argo,6mdeanchoy1.5m deprofundi dad.Sepi ntal api sci naarazndeQ.6.00elmetro cuadrado.a. Cunto costar pi ntarl a.b. Cuntosl i trosdeaguasernnecesari ospara l l enarl a. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra5045.En un almacn de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 mdealtoqueremosalmacenarcajasdedimensiones10dmde largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. Cuantas cajas podremos almacenar? 46. Determi nael reatotal deuntetraedro,unoctaedroy un i cosaedro de 5 cm de ari sta. 47. Cal cul al aal turadeunpri smaqueti enecomoreade l a base 12 dm2 y 48 lde capaci dad. 48.Cal cul al acanti daddehojal ataquesenecesi tarpara hacer10botesdeformaci l ndri cade10cmde di metro y 20 cm de al tura. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto5149. Unci l i ndroti eneporal tural ami smal ongi tudquel a ci rcunferenci adel abase.Yl aal turami de125.66cm. Cal cul ar: a. Elrea totalb. Elvol umen 50. Enunaprobetade6cmderadi oseechancuatro cubi tosdehi el ode4cmdeari sta.Aqual tura l l egar elagua cuando se derri tan? 51. Cuntasl osetascuadradasde20cmdel adose necesi tanpararecubri rl ascarasdeunapi sci nade10 mdel argopor6mdeanchoyde3mde profundi dad? 52. Unreci pi enteci l ndri code5cmderadi oyy10cmde al turasel l enadeagua.Si l amasadel reci pi entel l eno es de 2 kg, cules l a masa delreci pi ente vac o? Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra5253. Paraunafi esta,Lu shahecho10gorrosdeforma cni caconcartn.Cuntocartnhabruti l i zadosil asdi mensi onesdel gorroson15cmderadi oy25cm de generatri z? 54. Uncubode20cmdeari staestl l enodeagua. Cabr a esta agua en una esfera de 20 cm de radi o? Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto531.13 ANGULOS: Es la abertura formada entre dos lneas que se unen en un punto llamado vrtice Angulo vrtice En nuestro curso nombraremos los ngulos en grados o en radianes 1.13.1 Los ngulos por su tamao pueden ser: Agudos: Si su medida esta comprendida entre 0 y 90. Ej.Cualquier ngulo que se encuentre en el cuadrante I

Rectos: si su medida es 90. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra54Obtusos: Si su medida esta comprendida entre 90 y 180. Ej. Llanos: Si su medida es 180. Ej. 1.13.2 TRANSPORTADOR El transportador es el instrumento utilizado para medir los ngulos y consiste en un semicrculo dividido en unidades que van desde 0o hasta 180o. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto55Cada una de estas medidas es un grado (1) sexagesimal y todas las medidas que se tomen con este instrumento corresponden al sistema sexagesimal. ngulos Suplementarios: Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180. ngulos Rectos: Son los que miden exactamente 900 ngulos Complementarios: Dos ngulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90. ngulo Agudo: Es el ngulo cuya medida es un nmero mayor que 0 y menor que 90. 1.14 RECTAS. RAYOS Y SEGMENTOS. RECTA Una recta es una lnea que no tiene principio ni fin. Para representarla grficamente en un plano, se dibuja la recta con flecha en los dos extremos Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra56RAYO: Un rayo es una fraccin de recta que s se sabe en donde es su inicio pero se desconoce su fin, para trazarla en un plano, se dibuja solo en uno de sus extremos una flecha, esta es la que indica que no es ese su fin, el punto indica que este es su inicio SEGMENTO Un segmento es una fraccin de recta que tiene principio y tiene fin, es decir, sabemos desde donde sale y hasta donde llega. Este no tiene ninguna flecha en sus extremos, ya que no contina. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto571.15 TEOREMAS DE RECTAS PARALELAS PARA ANGULOS. Dos rectas son paralelas cuando al prolongarse indefinidamente, nunca se encuentran, es decir, se mantendrn siempre a la misma distancia una de la otra. El ngulo de inclinacin ser igual en las dos. Al intersectar rectas paralelas por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ngulo: H GF ED CB A ngulos correspondientes: Son los que estn al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal, que puede ser arriba o abajo. Identifiqu los ngulos correspondientes con el mismo color ngulos alternos internos: Son los que estn entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal, tambin los escrib identificndolos con el mismo color. H GF ED CB A H GF ED CB A Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra58ngulos alternos externos: Son los que estn "afuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal, tambin se identifican con el mismo color. H GF ED CB A Angulos opuestos por el vrtice: Son los ngulos que tienen el mismo vrtice en comn C DE FG HB A Las propiedades fundamentales de los ngulos entre paralelas son: 1. Los ngulos correspondientes son iguales entre s. 2. Los ngulos alternos internos son iguales entre s. 3. Los ngulos alternos externos son iguales entre s. 4. Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales entre s. Dado el siguientediagrama encuentre todos los ngulos, nombrando el concepto que utilizo, para resolverlos. A = 108BC DE FG H Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto59B = 72oAngulo suplementario C = 72oAngulos apuestos por el vrtice con B D = 1080Los conceptos que pueden tomarse son: Opuestos por el vrtice con A Suplementario con C Suplementario con B E = 108oCorrespondiente con A F = 72oLos conceptos que se pueden tomar para hallar este ngulo son: Suplementario de E Correspondiente con B Alterno interno con C G =72oOpuestos por el vrtice con F Correspondiente con C Alterno externo con B Suplementario de E H = 108oSuplementario de G Opuesto por el vrtice con E Correspondiente con D Suplementario de F Alterno externo con A Resuelva correctamente lo que a continuacin se le indica: 1)Encuentre los ngulos que hacen falta: 40o B CD EF GH Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra602 )Encuentre el valor de x y la medida de todos los ngulos AB C4x x + 21F GH 3) C = x + 16 E = 3x + 20 H GF ED CB A Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto611.16TEOREMA DE THALES Existen dos teoremas de Thales El Teorema de rectas paralelas El teorema de tringulos rectngulos 1.16.1 TEOREMA DE RECTAS PARALELAS PARA SEGMENTOS Sidos rectas cual esqui eras se cortan por vari as rectas paral el as, l os segmentos determi nados en una de l as rectas son proporci onal es a l os segmentos correspondi entes en l a otra. rsA A' B B' CC' C' A' C' B' B' A'= =AC BC AB Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra62Ejemplo 1 Las rectas a, b y c son paral el as. Hal l a l a l ongi tud de x. 10 2 =14 x 10= x2 * 14x = 2.8cm Ejemplo 2 Las rectas a, b son paral el as. Podemos afi rmar que c es paral el a a l as rectas a y b? S, porque se cumpl e elteorema de Thales. 2 4 =3 6 Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto631.16.2 TEOREMA DE TRINGULOS El teorema de tringulos dice los siguiente: Si a un tringulo cualquiera le trazamos una paralela a cualquiera de sus lados, obtenemos 2 tringulos semejantes. Dos tringulos son semejantes si tienen los ngulos iguales y sus lados son proporcionales, es decir, que la igualdad de los cocientes equivale al paralelismo. Este teorema establece as una relacin entre el lgebra y la geometra.Dado un tringulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro tringulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del tringulo ABC. C' B' C' B'BCAACAAB= = Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra64Ejemplo: Encuentre las medidas de los segmentos a y b

6 cm 4 cm2 cm a4 cm b ) ( lado mismo pequeo lado) 2 4 (paralelo pequeo lado grande lado grande lado + = 2 4 =6 b

2= b) 4 ( 6b = 12 cm NOTA: No cometamos el error de igualar lados completos con segmentos de los lados. Por ejemplo, es incorrecto igualar los lados paralelos con las partes de cualquiera de los dos lados 2 4 =4 b Como a y 4 son los lados completos, tenemos que igualar lados completos. Lo que s se puede hacer es igualar segmentos proporcionales o tambin una proporcin de un lado sobre el mismo lado completo 6 6 +=a2 a en este caso estoy tomando en cuenta el segmento pequeo sobre el lado completo igual al segmento pequeo sobre su propio lado en el otro lado del tringulo. Que tambin puede hacerse grande segmento lado mismo grande segmento pequeo segmento pequeo segmento = Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto656 4 =2 a

4= a) 6 ( 2a = 3 Tambin se puede relacionar para medir una distancia, cuya finidad no pueda ser medida, y apoyndose en un punto Una aplicacin interesante es para medir la altura de un rbol. Medimos la longitud de su sombra a una hora determinada. = CMedimos la longitud de la sombra de un objeto pequeo (por ejemplo un lpiz) en el mismo instante. = BMedimos la longitud real del mismo cuerpo. = ALuego hacemos la comparacin aplicando el teorema de Thales, de tringulos semejantes. El cateto grande es al cateto grande como el cateto pequeo es al cateto pequeo. D:C::A:B Que se lee D es a C como A es a B y lo podemos escribir BA DC= Y obtenemosdonde D es la altura real del rbol. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra66El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometra particularmente enfocado a los tringulos rectngulos, las circunferencias y los ngulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: Sea C un punto de la circunferencia de dimetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ngulo ACB, es recto. Thales de Mileto. Ilustracin del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto Este teorema es un caso particular de la aplicacin de los angulos inscritos dentro de una circunferencia. Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto67Comprobacin: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del crculo y r el radio de la circunferencia. Por lo tanto OAC y OBC son issceles. La suma de los ngulos del tringulo ABC es equivalente a 2 + 2 = (radianes) o sea 180 grados. Dividiendo por dos, se obtiene: 0902= = + = Zt| o BCA En conclusin se forma un tringulo rectngulo. 1.16.3 TRINGULOS SEMEJANTES Losl adosaya' ,byb' cyc' sel l amanl adoshoml ogos.De i gual formaAyA' ,ByB' ,CyC' sonngul oshoml ogos. Dostri ngul ossonsemejantescuandosusngul os homl ogossoni gual esysusl adoshoml ogosson proporci onal es. A = A' B = B' C = C''='=' c bb a ca Larazndel aproporci nentrel osl adosdel ostri ngul os se l l ama razn de semejanza. Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra68Porejempl o,si tenemosdostri ngul osconsusngul os i gual es, estos sern semejantes. En la figura anterior, ABBC AsmismoDEAC.Entonces,comoelnguloCeselmismoparalos dos tringulos, los tringulos ABC y DEC son semejantes. Alserdostringulossemejantes,lahipotenusadeunoesala hipotenusa del otro como el cateto ms largo de uno de los tringulos es alcatetomslargodelotro.Noigualemoslashipotenusasconlos catetos que no son proporcionales. ObservemosBCesel catetomsgrandedel tri ngul o grande. EC es elcateto ms grande en eltri ngul o ms pequeo. Podemos hacer entonces:Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto69EC DC =BC AC Hi potenusaesahi potenusacomocatetograndeesacateto grande DE DC =AB AC Hi potenusa es a hi potenusa como cateto pequeo es a cateto pequeo. Si tenemosel mi smotri ngul oyacondatos:. 20cm AC = , ,. 16cm BC = . 12cm AB = AC DE El s mbol o si gni fi caes perpendi cul ar yAD. Es l a bi sectri z de BAC Z a)cal cul ar l a l ongi tud delsegmentoDEb) Cal cul ar elrea deltri ngul o DCE Solucin:ComosabemosqueADesl abi sectri z,estosi gni fi ca queestal neadi vi deel ngul o BAC Zendospartesi gual es. Nosi nteresaconocerel ngul oporquenoconocemosni ngn l ado deltri ngul o pequeo. Elngul o grande A 20= senA16 ) 8 . 0 (1 = Sen A = A 530 7'48.37' ' Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra70Entonces l a mi tad delngul o es 260 33'54.18' 'Podemos entonces encontrar l a l ongi tud delsegmento BD tan 260 33'54.18' '= 12BD cm 6 BD = DC AhorayapodemosencontrarelsegmentoDC =16cm6cm.= 10cm. Con semejanza de tri ngul os grande tringulo pequeo cateto grande tringulo del hipotenusa pequeo tringulo pequeo cateto pequeo tringulo del hipotenusa = Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto7112 2010 DE= . 6cm DE =Comonospi denencontrarel readel tri ngul oDEC,necesi tamosconocerel otrocateto 2 26 10 = EC36 100 = EC8 = EC Otambi nl opodemosencontrarconestaotrasemej anzade tri ngul os grande tringulo pequeo Catetopequeo tringulo pequeo Catetogrande tringulo grande catetopequeo tringulo grande Cateto = 12616=EC 12) 16 ( 6= EC . 8cm EC =Conoci endol osdoscatetospodemosencontrarel rea, yaque estayl adecual qui ertri ngul orectngul oseencuentra mul ti pl i caci ndel oscatetosdi vi di dodos 26 * 8= A A=24cm2 Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra72Ejerci ci os 1)Cal cul arl aal turadeunedi f i ci oqueproyectauna sombrade8metrosal ami smahoraqueunpostede5 metrosdaunasombrade1. 6metros 6 . 185 =h 6 . 1) 5 ( 8= h h=25m 2)Loscatetosdeuntri ngul orectngul omi den24my10m.Cuntomedi rnl oscatetosdeuntri ngul osemej antealpri merocuyahi potenusami de52m? 26 10 242 2= + = c Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto73Dostri ngul ossonsemejantessi ti enensusngul os i gual es y sus l ados proporci onal es A = A' B=B'C = C' Ejercicios: Resol vercorrectamentel ossi gui entesprobl emasde tri ngul os semejantes. 1)Unamujerquemi de1.72metrosdeestaturacami naen unacarreterahori zontal .Si l asombradeunposte verti cal al aori l l adel acarreteraesde5metrosyeldel amujeresde1.5metros.Cul esl aal turadelposte? 2)Paradetermi narl aal turadeunrbol ,semi dea determi nadahorasusombrayseencuentraqueesde 12metrosdel ongi tud,l uegosecol ocaaunapersona cuyaestaturaesde1.60metrosytambi nsemi desu sombral acual esde2metrosdel ongi tud.Conestos datos encuentre l a al tura delrbol . Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra743)Enl afi gurasetrazunc rcul oconcentroOyderea 78.5em2Porl ospuntosCyBsetrazaronl astangentes AB yAC demaneraqueBAC Z =600Cal cul ael readel a parte sombreada.

4)Conapoyoenel vrti ceCdel tri ngul orectngul oABC, setrazal arcoMN tangenteal ahi potenusaAB enT, demaneraqueMesel puntomedi odeAC .Seconoce . 2cm BN =Cal cul a elrea de l a regi n sombreada.

5)Enl aFi gurasetrazl adi agonal BDenel trapeci o rectngul oABCDysecumpl econqueDB CE .Sesabe ademsque. 12cm AB = cm CD 9 = y. 5cm CB = cal cul eel rea sombreada

Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto756)Lafi guraABCDesuncuadradoyEesel puntomedi o decm AB 8 = .SesabeademsqueDE CM .Cal cul aelrea sombreada. 7)Enl afi gurael tri ngul oABCesrectngul oenC. EF l l DGyAB EF .SeconoceEF =10cm.. 7cm FB = cm AC 30 = y cm AG 20 = .Cal cul a elrea sombreada. 8)Enl afi gurael tri ngul oABCesi sscel es,debase . 6cm AB = yensui nteri orseencuentrai nscri toun cuadradoDEFGde16cm2derea.Cal cul arel rea sombreada.

Centro Educativo Kinal Primera unidad: Geometra Centro Educativo Kinal 769)Enl afi gura,el tri ngul oABCesrectngul oyelcuadradoADEF,cuyareaesde36cm2seencuentra i nscri toenel tri ngul o.Sesabequecm 18 AC = .Cal cul aelper metro deltri ngul o ABC y elrea sombreada.

Bibliografa Geometra aplicada a la tcnica Autor Miguel Angel Sauri Geometria Euclidiana Autor Martins Rodrguez Geometra plana Autor Aurelio Baldor Internet Matemtica cuarto Centro Educativo Kinal 77 Segunda unidad: lgebra78 Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto79objetivos Desarrollar las capacidades analticas y el pensamiento lgico riguroso a travs del estudio del lgebra.Asimilar o manejar con fluidez los principales conceptos del lgebra: Operaciones, aplicaciones a problemas, Traducir a un lenguaje algebraico problemas expresados en lenguaje cotidiano y viceversa 2.1LGEBRA As como la aritmtica surgi de la necesidad que tenan los pueblos primitivos demedireltiempoydecontarsusposesiones,elorigendellgebraesmuy posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de nmero que es el fundamento del lgebra. El grandesarrolloexperimentadoporellgebrasedebisobretodoalos matemticosrabesy,muyenparticular,aAl-Hwarizmi(SigloIXd.C.),que sent las bases del lgebra tal como la conocemos hoy en da. Ellgebraeslapartedelasmatemticasquetienenporobjetogeneralizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades. El concepto algebraico de cantidad es mucho ms amplio que el aritmtico, puestoquemientrasenaritmticalascantidadesserepresentanmediante nmerosqueexpresanvaloresdeterminados,enlgebralascantidadesse representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne. 2.2. NOTACIN ALGEBRAICA Lossmbolosqueseempleanenlgebrapararepresentarcantidadespueden serdedostipos:nmerosyletras.Donde,losnmerosseempleanpara representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas. Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas comodesconocidas.Engeneral,lascantidadesconocidasserepresentan utilizandolasprimerasletrasdelalfabeto:a, b, c, d,mientrasquelas cantidadesdesconocidasserepresentanutilizandolasltimasletrasdel alfabeto: x,y,z Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra80Unamismaletrapuederepresentardistintosvaloresdiferencindolospor mediodecomillas;porejemploa, a, aqueseleenaprima,asegunda,a tercera, o tambin por medio de subndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres. Consecuencia de la generalizacin que implica la representacin de las cantidades por medio de letras son las frmulas algebraicas. Una frmula algebraica es la representacin, por medio de letras, de una regla o de un principio general. 2.3LEYES DE EXPONENTES BASE:Estodaexpresinquesedebemultiplicarlacantidaddeveces que indique su exponente EXPONENTE:eselnmeroquesecolocasobrelabaseeindicalas veces que se debe multiplicar la base por s misma 23 = 2 * 2 * 2 (a + 4)2 = (a + 4)(a + 4) POTENCIA:Eselresultadoqueseobtienedespusdedesarrolladala base 1) Paramultiplicarpotenciasdeigualbase,secopialabaseyse suman los exponentes n m n ma a a+= *5 3 2 3 2a a a a = = -+a a a a a a = = = = - + 1 2 3 ) 2 ( 3 2 3 2) Paradividirpotenciasdeigualbase,secopialabaseyserestan los exponentes n mnmaaa=2 3 535a aaa= = 5 2 3 ) 2 ( 323a a aaa= = =+ Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto813) Cuando el exponente es cero, la potencia siempre ser igual a 1, pero la base deber ser diferente de cero 010==aa

4) Cuando el exponente es uno (1), la potencia ser igual a la misma base a a =1

5) Cuandoelexponenteesnegativo,laexpresinseconvierteen fraccin,escribiendocomonumeradorlaunidadycomo denominador la misma expresin, pero con el exponente positivo nnaa1= 812 2 2121233=- -= = 6) Elexponenteafectanicamentealelementosobreelcualse encuentra escrito 3x2elexponente2esnicamentedelaletrax.Siloqueremos escribir desarrollado serax x - - 3 (3x)2 = 2 2 29 3 3 3 x x x x = - - - = -En este caso, el exponente afecta tambin al 3 7) Sielexponenteseencuentracolocadoafueradeunparntesis, esteafectaratodoloqueseencuentredentrodelparntesis, (signos, nmeros y letras) y pueden ocurrir los siguientes casos: a)Siadentrodelparntesisseencuentraunsignonegativoy elexponentedeafueradelparntesisespar,elsignose vuelve positivo por estarse multiplicando un nmero par de veces (-3x)4=(-)(-)(-)(-)(3)(3)(3)(3)(x)(x)(x)(x)=81x4.Lossignos, los nmeros y las letras se multiplican. b)Siadentrodelparntesisseencuentraunsignonegativoy elexponentedeafueradelparntesisesimpar,elsigno sigue siendo negativo. (-2x)3 = (-)(-)(-)(2)(2)(2)(x)(x)(x) = -8x3 8) Si la base es una fraccin y el exponente es negativo, nicamente se invierte la fraccin y el exponente se vuelve positivo Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra82n nabba|.|

\|=|.|

\|

9) Cuandounexponenteestelevadoaotroexponente,se multiplican entre s. ( )mnnma a =10)Cuandoenunafraccinseencuentrenexponentes negativos,secambiandelugar,(lasbasesconsusexponentes negativos de abajo se suben y los de arriba se bajan) para que los exponentes se vuelvan positivos nnnnabba= 2 23 33 2 32 1) 2 ( 323y amx nn mxy a= =2 232 2324 ) 8 ( 3y amx ny amx n= 11)Cuandounexponenteesfraccionario,elnumeradordela fraccineselexponentedelabaseyeldenominadorindicar siempre que es una raz. n mnma a =64 4 16 163 323= = =Ejemplos 1: Resolver en forma desarrollada las siguientes expresiones: 1)54 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625 2) 42 = 4* 4 = 16 3)( 3x3)2 = ( 3x3)( 3x3) =9x6 4) 4623232239 3 3 3yxyxyxyx=||.|

\| ||.|

\| =||.|

\| Ejemplos 2: Resuelva y simplifique aplicando las leyes de exponentes, las siguientes operaciones. a)54 = 625 b) 42 = 16 Explicacin:Comosabemosqueelexponenteesnicamentedela base en donde se encuentre; en este caso es slo del 4 no as del signo por eso es que el signo no se multiplica 2 veces. c) ( 3x3)2=9x6

Explicacin: El exponente de afuera del parntesis afecta a todo lo que est adentro, como es par, el signo menos est multiplicado un nmero par de veces por lo tanto se vuelve positivo, el 3 de base se multiplica 2 vecesporlmismoporesonosda9;el3comoexponente,como Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto83sabemos que un exponente elevado a otro exponente se multiplican 3 * 2 = 6 a) 462239 3yxyx=||.|

\| Explicacin:Elexponentedeafueradelparntesisespar,elsignose vuelve +, 3 de base se multiplica 2 veces por el mismo, el exponente 3 se multiplica por el exponente de afuera que es 2 y el denominador y que tiene exponente2, se multiplica por el exponente de afuera. 4) 3 516x Como es la raz cbica de 16x5 todos los factores del radicando pueden salir si se encuentran 3 veces multiplicndose, para poder encontrarlos, descomponemosenfactoresprimostodosloselementosquese encuentran dentro de la raz Primero el 16 luego la x 162 x5 82 2x 42xx 22x 1x x Descomponindolosencontramosqueeldossaledelradicandoporque cada 3 veces que se multiplica sale una,pero sobra uno. La x tambin saleporquetambinsalecada3perosobrandos,losquesobran vuelven a escribirse adentro de la raz con su mismo ndice 3 2 3 52 2 16 x x x = Simplificacin de potencias con exponentes racionales Simplifica: a) b) Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra Centro Educativo Kinal 84Solucin a) 3282) 3 () 4 () 27 () 4 ( ) 27 (5252 32532=== b) |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\|=|||.|

\||||.|

\| yxyxyxyxyx213165323431652213212 3 4 3 2 Ejercicios:Aplicandolasleyesdeexponentesresuelvalossiguientes ejercicios. 23) -331)-32 35)343|.|

\|2)32 24) -52 3)(-3)2 25) -73 36)2344)23 26) -51 5)-23 37) 231627) 243|.|

\| 6)(-2)3 38)2197)-(2)4 28)254|.|

\|8)(-2)4 39) 2591|.|

\| 9) 2-3 29)332|.|

\|10) -2-3 40) 3432 11)(-2)-3 30) 353|.|

\| 12) 4-2 41) 1254 13) -4-2 31) 252|.|

\| 15) (-4)-2 42)( )2304 . 0 16) (-3)4 43)23) 04 . 0 ( 32) 423|.|

\|17) (-4)3 18) (-2)544)(3x)(2x) 33) 134|.|

\|45) (2x2)(x)19) (-5)-1 20) (-6)2 34) 251|.|

\|21) (-7)3 22) 42 Matemtica cuarto8546) 4x(3x3) 47) (5x-2)(2x3) 48) (x4)(x3) 49)) 6 (212 2x x50)( ) |.|

\|332212 x x51) ||.|

\| 51 22xyc ab 52) 253|.|

\| x 53) |.|

\|||.|

\|b axxyab2 43932 53)( ) ( ) x x 2 432 54) 12426||.|

\|xx 55) 73 26) 3 ( ) 2 (xx x 56) 42 33) 2 )( 5 (mn m 57) 52 34) ( 3xx x 58) 22243||.|

\|xy 59) 23 66) 3 ( 4uvv u 60) 4 32 2) 4 () 5 (nm 61) ||.|

\|||.|

\|32214 3 y y Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra862.4RADICALES Larazensimadeunnmerorealseescribedelasiguiente manera en donde n es un nmero entero positivo mayor de 1 y a, un numero real. 1) Si0 = a entonces2)Siaes positivo, el resultado ser un nmero real positivo 3)Sia esnegativoynesimpar,entoncesesunnmero real negat ivo b tal que. 4)Siesnegativoynespar,entoncesa noexisteenlos nmeros reales. Si n= 2 se escribeen lugar deyse llama razcuadrada principaldeosimplementerazcuadradade. Elnmeroa aes la raz cbica de a. Ilustraciones: Observa queporque, por definicin, las races de nmeros reales positivos son positivas. El smbolose lee "ms menos". Para completar nuestra terminologa, la expresines un radical, el nmeroase llama radicandoCentro Educativo Kinal Matemtica cuarto87y n es el ndice del radical. El smboloes el signo radical. Si, entonces b2 = a; esto es,. En general se presenta la siguiente tabla de propiedades.Propiedades de(n es un entero positivo).PropiedadEjemplo a an n= si y n es impar0 < a Deestaultimapropiedadvemosque:paratodonumerorealx. Enparticular,sientoncessinembargosix 0 entonces almultiplicarnumeradorydenominadorporeliminaremosel radical del denominador porque: Dichoenotraspalabras:Sieldenominadorcontieneunradical, debemos llevar al exponente del radicando a que sea igual que el ndice del radical. Este proceso se llama racionalizacin del denominador. Factorenel denominador Multiplicar numeradory denominador por Factor resultante Ejemplos Racionalizacin de denominadores Racionaliza: a) b) 528yx c) 346 5916yzx m Solucin: a) 555555*51512= = =

b)528yx

Enestecaso,comonosestnpidiendoqueracionalicemosel denominador,nodebenquedarraceseneldenominador,procedemos entoncesamultiplicarporlaunidad,agregandoloquehagafaltapara que todos los denominadores tengan exponente igual al ndice de la raz, el numerador no nos interesa.Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto91Descomponiendo el 8 = 23 obtenemos52 32 yx Observamos que al 2 le faltan 2 para llegar a ser exponente 5 que es el ndice del radical y a la y le faltan 3, entonces multiplicamos por53 23 222yypero dentro de la misma raz5355 5353 23 22 34212422*2xyy yxyyyyx= = c)346 5916yzx m Descompongamos los nmeros en todos sus factoresy nos queda 34 26 5 432yzx m Sacamostodoslosfactoresqueseanlamismacantidaddelndicedel radical,esdecir,cadatresfactoressaleuno.Arribaoseaenel numerador no importa si salen o no salen; si salen los sacamos pero si no salen, no tenemos que completar para que sea igual al ndice porque nos piden que racionalicemos el denominador. Arribasaleeldosperosobraunoyaquehaycuatropuestoqueel exponente nos indica que se est multiplicando 4 veces, tambin sale la mperosobrandosporquehaycinco.Losfactoresquesobranse quedan dentro del radical pero multiplicados. Abajo o sea el denominador tenemos que ver si son iguales al ndice. Si son iguales salen pero si no son iguales debemos completar o multiplicar por los mismos factores para hacerlos igual a su ndice de radical. Si su exponenteesmayorqueelndiceperonoesmltiplo,debemosver cunto le falta para llegar al prximo mltiplo del ndice, en este caso. 3 hay2,falta1;yhayuna,faltan2;zhay4,significaqueyase pasaron y el prximo mltiplo de 3 es 6, por lo tanto faltan 2, debemos multiplicar por los que faltan. 32 2 22236 3 32 2 6 5 432 22 24 26 5 463233 * 23332z y myzmxz yz y x mz yz yyzx m= = -Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra Centro Educativo Kinal 92Ejercicios: Simplifique los siguientes radicales 8 2 +Descomponemoslosradicandosensusfactoresprimosyluego aplicamoslasleyesdelosradicales.Utilizaremosunaforma diferente, Al encontrar los factores primos, estos salen de la razcuandosemultiplicanlamismacantidaddevecesque lo que indica el ndice del radical En este caso, como es raz cuadrada, salen del radical los nmeros cuando se multiplican dos veces.El 2 no sale porque sus factores primos son 2 y 1. El 18 si porque al descomponerlo queda de la siguiente forma: 18 2 93 33 1 Entonces, por estarse multiplicando el 3 dos veces, sale de la raz pero como el 2 no sale, nos queda 2 4 2 3 2 18 2 = + = +A continuacin encontrar algunos ejercicios resueltos. 3 7 3 6 3 3 2 108 3 12 = + = + 3203) 3 ( 4 ) 3 ( 10 23 4 3 103212 2 3 1032= += + = +Racionalizando 33 2033320= -3 2 2 263 12 2 12612 6 18 466*62 6 3 43 * 22 6 3 43624+ =+=+=+=+= + Ejercicios Simplificar los siguientes radicales y racionalizar denominadores cuando sea el caso 12) 3271 1)3 48 7) 3 381 24 + 16) 523 1193xy x 8)45 3510+2)49 25 +13) 2 816b a17)253)16 64 +9) 181 14)341 18) 9 4)12 * 619)38 5)27 12 10)b b b b 27 123+ 3 23+15) 4 8 581 s r6)54 2 24 5 11) 4 15 4 11x x x +20)2) 36 (Matemtica cuarto9321)2) 1 (22) ( )225 23) ( )264 24) 4825) 5426)5027)2028)33216 29) 44348 30) 3 18 31) 49 32) 21 33) 51 34) 71 35) 31 36) 341 37) 391 38) 3251 39) 3491 40) 34 354 y x41)6 2y x 42) 32 3 627 z y x 43) 4 49 y x 44)42 416 y x 45) 33 48y x46) 5 7 5b a

47)yx43 48) yx29 49)32 354 z yx 50)45 2383z yx 51) 231xy 52)3533xyx 53)46 25 1043y xy x 54)52483yx 55)64 72764y x 56) 34 244 z yx Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra942.6PRODUCTOS NOTABLES Losproductosnotablessonresultadosquepuedenescribirsesin necesidaddeefectuarlamultiplicacin;parahacerestoposible,es necesario conocer algunas reglas. 2. 6. 1 CUADRADO DE UN BI NOMI O (a b)2 Pasos para escribir la solucin del cuadrado de un binomio 1.Se eleva al cuadrado el primer trmino (a + b)2 = a2 (a b)2 = a2 2.Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos trminos del binomio (a + b)2 = a2 + (a b)2 = a2 3.Se multiplica dos por los dos trminos(a + b)2 = a2 + 2ab (a b)2 = a2 2ab 4.Se escribe el signo + (a + b)2 = a2 + 2ab + (a b)2 = a2 2ab + 5.Se eleva al cuadrado el segundo trmino (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1 b)2 = a2 2ab + b2 Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto95Ejemplo 1: Resolver (x 1)2

Solucin:(x 1)2 = x2 2x + 1 Ejemplo 2 Resolver (3x 4)2 Se eleva al cuadrado el primer trmino, nmero y letra (3x)2 = 9x2 Se escribe el mismo signo (3x)2 = 9x2 Se mul ti pl i ca 2 por l os dos trmi nos 2(3x)(4) = 24x (3x)2 = 9x2 24x Se escribe el signo + (3x)2 = 9x2 24x + Se eleva al cuadrado el segundo trmino 42 = 16 (3x 4)2 = 9x2 24x + 16 Ejemplo 3 Resolver (3x3 2x)2 Solucin: Seelevaalcuadradoelprimerotrmino(3x3)2=9x6yaqueun exponente elevado a otro exponente se multiplican se escribe el mismo signo (3x3)2 = 9x6 Se multiplica 2 por los dos trminos 2(3x3)(2x) = 12x4 Se escribe el signo ms y se eleva al cuadrado el segundo trmino (3x3 2x)2 = 9x6 12x4 + 4x2 Ejemplo 4 Resolver|(x + y) 1|2 Solucin: Se eleva al cuadrado el primer trmino (x + 4)2 Se escribe el mismo signo (x + y)2 Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra96Se multiplica dos por los dos trminos 2(x + y)(1) = 2(x + y) Se escribe el signo ms y se eleva al cuadrado el segundo trmino |(x + y) 1|2 = (x + y)2 2(x + y) + 1 Luego resolviendo las operaciones indicadas que quedaron (x + y)2 es un producto notable (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 2(x + y) = 2x 2y |(x + y) 1|2 = (x + y)2 2(x + 4) + 1 |(x + y) 1|2 = x2 + 2xy + y2 2x 2y + 1 Ejercicio: Resuelva los siguientes productos notables 1) (x + 3y)22) (1 4x)2 3) ( 3x 5)24)(3m +5)2 5)(y + 6)26)(3u + 4v)2 7)(1 7p)28)(4x 5)2 9)(x + y)210)(3r 9p)2 11)(5x2 + y)212)(2m4 + 3mn)2 13)( 3x3 2xy)214)(3m4 5m2n)2 15)(2x3 + 4x2y5)216)|(x +3) + 4|2 17)|(3x 1) + 4|218)|(3x y) 3y|2 19)|5 (x 1)|220)|6+(1 4y)|2 21)|(x + y) + z|222)|(x 4y) + 3|2 23)|4 6x) 3y|2 24)|7 (4m + 5n)|2 Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto972.6.2 PRODUCTO DE LA FORMA (x + a)(x + b) En este producto, las letras a y b, representan nmeros conocidos. Para escribirsurespuestasinefectuarlamultiplicacin,seprocededela siguiente manera: 1.Se eleva al cuadrado el primer trmino 2.Se efecta la suma algebraica de los segundos trminos y se copia el primero. 2.1 Signos iguales se suman y se escribe el mismo signo 2.2 Signoscontrariosserestanyseescribeelsignodelosquehay ms. 3.Se multiplican los segundos trminos, aplicando la ley de signos. Ejemplo1 Escribir por simple inspeccin el resultado de (x + 3)(x + 5) Solucin:1.Se eleva al cuadrado la x = x2 2.Como los signos son iguales, sumamos 3 y 5 y copiamos la xluego escribimos el mismo signo 3.multiplicamos 3 *5 = 15. Aplicando la ley de signos, nos queda + (x + 3)(x + 5) = x2 + 8x + 15 Ejemplo 2 Escribir el resultado de (x 1)(x 4) Solucin:1.Elevamos al cuadrado la x 2.Comolossignossoniguales,sumamos1y4,copiamoslaletray escribimos el mismo signo 5x 3.Multiplicamos 1 * 4. Aplicando la ley de signos nos queda + (x 1)(x 4) = x2 5x + 4 Ejemplo 3 Escribir el resultado de (x + 4)(x 3) (x + 4)(x 3) = x2 + x 12 En el segundo trmino qued slo x, ya que los signos son contrarios, se restan y el signo que queda es del 4; pero como es 1, el 1 no se escribe, nicamente la letra. Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra Centro Educativo Kinal 98Ejemplo 4 Escribir el resultado de (x 6)(x + 4) (x 6)(x + 4) = x2 2x 24 2.6.3SUMAPORLADIFERENCIADE DOS CANTIDADES IGUALES (x + a)(x a) Elresultadodeesteproductoesnicamenteelcuadradodelprimer trmino menos el cuadrado del segundo (x + a)(x a) = x2 a2 Ejemplo1 Escribir el resultado de (x + 5)(x 5) = x2 25 Ejemplo 2Escribir el resultado de (3x 4y)(3x + 4y) = 9x2 16y2 Ejemplo 3 Escribir el resultado de |(x + 3) - y||(x + 3) + y| Solucin: Como el parntesis es un solo trmino, por estar agrupado, es la suma por la diferencia de dos cantidades iguales. |(x+3)-y||(x+3)+y|=(x+3)2y2yresolviendoelparntesis, que qued nuevamente el cuadrado de un binomio, nos queda |(x + 3) - y||(x + 3) + y| = (x + 3)2 y2 = x2 + 6x + 9 y2 Matemtica cuarto99 1) (x + 4)(x + 3) 2) (x + 6)(x + 5) Ejercicio. Escribir correctamente el resultado de los siguientes productos notables. 3) (x + 10)(x + 34) (x + 3)(x + 1) 5)(x + 4)(x + 8)6)(x + 1)(x + 2) 7) (x +3)(x + 9) 8)(x 2)(x 3) 9)(x 1)(x 7) 10)(x 10)(x 9) 11) (x 2)(x 5)12)(x 5)(x 7) 13)(x 3)(x + 5)14)(x + 4)(x 1) 15)(x 10)(x + 6)16)(x 8)(x + 3) 17)((x + 5)(x 6)18)(x + 1)(x 2) 19)(x + 4)(x 3)20)(x + 10)(x 8) 21)(x 4)(x + 7)22)(x 4)(x + 4) 23)(x + 1)(x 1)24)(x + 7)(x 7) 25)(x 10)(x + 10)26)(2x 1)(2x + 1) 27)(1 4y)(1 + 4y)28)(4x + 3)(4x 3) 29)(5x + 4)(5x 4)30)(6x + 5y)(6x 5y) Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra1002. 6. 4 CUBO DE UN BI NOMI O (a b)3 Paradesarrollarelcubodeunbinomio,seprocededelasiguiente manera: 1.Se eleva al cubo el primer trmino(a + b)3 = a3 (a b)3 =a3 2.Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos trminos del binomio(a + b)3 = a3 + (a b)3 = a3 3.Semultiplica3porelprimertrminoelevadoalcuadradoyporel segundo (a + b)3 = a3 + 3a2b (a b)3 = a3 3a2b 4.Se escribe el signo mas (a + b)3 = a3 + 3a2b + (a b)3 = a3 3a2b + 5.Semultiplica3porelprimertrminoyporelsegundoelevadoal cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 6.Se escribe el mismo signo que tengan en medio los dos trminos del binomio(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 7.Se eleva al cubo el segundo trmino.(a + b)3 = a3 + 3a2b + b3 (a b)3 = a3 3a2b + b3 Ejemplo Escribir el resultado de (3x + 4)3 Solucin: Seelevaalcuboelprimertrmino(3x)3=27x3.Seelevanmeroy letra. Se escribe el mismo signo +,27x3 + Semultiplica3porelprimertrminoelevadoalcuadradoyporel segundo 3(3x)2(4) = 3(9x2)(4) =108x2 Se escribe el signo + Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto101Semultiplica3porelprimertrminoyporelsegundoelevadoal cuadrado 3(3x)(4)2 = 9x(16) = 144x Se escribe el mismo signo + Se eleva al cubo el segundo trmino 43 = 64 (3x + 4)3 =(3x)3 + 3(3x)2(4) + 3(3x)(4)2 + (4)3 = 27x3 + 108x2 + 144x + 64 Ejercicios: Escribirporsimpleinspeccinelresultadodelossiguientesproductos notables 1. (1+2b)3 2.(a 2)3 3) (x + 3y)34) (3x 1)3 5) (2m 3n)36) (4x 3)3 7) (m 2n)38) ( 3x + 7y)3 9) (x + 4y)310) (4m 5p)3 2.6.5 CUADRADO DE UN TRINOMIO Pararesolverelcuadradodeuntrinomioseprocededelasiguiente manera: 1)se escriben los tres trminos sumndose, elevados al cuadrado, sin importar el signoque tengan (a + b c)2 = a2 + b2 + c2 2) se multiplica 2 por el primer trmino y por elsegundo. Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra1023) Se multiplica 2 por el primer trmino y por el tercero. 4) Se multiplica 2 por el segundo trmino y por el tercero. (a + b c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab 2ac 2bc. Ejercicios:Escribir por simple inspeccin el resultado de: 1) (2x + y 3z)22) (x 3y + 4z)2 3) ( 5x 3y + z)24) ( 4x 3y 3z)2 5) ( 3x + 4y+ 5z)26) ( 2x2 + 2x + 3)2 7) (a2 4a + 3)28) (4y2 2y 5)2 9) (2z3 z2 + 3z)210)(b3 + 6y2 + y)2 Ejercicios: Efecte correctamente los siguientes productos notables. 1) (2t + 9)(2t 9)2) (2x2- 3x)2 3) [(x2 + 2) + x][(x2 + 2) x]4) (x + 2)2 5) (x + 8)(x 8) 6) (x 5)3 7) (2t 5)2 8) (t 5)(t + 5) 9) ( 4 3t)3 10)(3s + 11)2 11) (2x2 + 5x)(2x2 5x)12) (u + 1)3 13) [(1 x) + x2][(1 x) x2]14) (3x + 2y)(x 5y) 15) [(2t + 1) + t2]3 16) (3x 9)(3x + 9) Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto Centro Educativo Kinal 10317) (4x 4)2 18) (2x2y + z)(2x2y z) 19) (u + 4v)3 20) (3x + 5y2z)(3x 5y2z) 21) (x + 10)(x + 2)22)(x + 6)(x + 8) 23)(x + 12)(x 3)24)(x 8)(x + 4) 25) (x + 2)2(x 2)2 26) (2x 1)2(2x + 1)2 27)) )( ( b a b a +28)) )( ( y x y x + 29) 2 2) ( ) ( y x y x + 30) 2 2) ( ) ( b a b a + Segunda unidad: lgebra1042.7FACTORIZACION Parapoderfactorizar,debemostenerbienclaroalgunosaspectos muy importantes 2.7.1TERMINO ALGEBRAICO Untrminoalgebraicodebetener:Signo,coeficientenumrico, parte literal y exponente. Ejemplo Cada trmino algebraico est separado por los signos ms o menos. Si no tienen estos signos, seguir siendo un solo trmino Ej: 5xy2z3Es un solo trmino. Expresin algebraica llamada MONOMIO a+2bExpresinalgebraicaqueconstadedostrminosllamada BINOMIO x+2y3zExpresinalgebraicaqueconstade3trminosllamada TRINOMIO y as, cada polinomio es una expresin algebraica que recibe el nombre de acuerdo a la cantidad de trminos que contenga. Factorizar es escribir expresiones algebraicas como el producto de sus factores. Dicho en otras palabras: Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto105Factorizaresescribirsumasyrestascomo multiplicaciones Factores: Enmatemtica,sontodosloselementosqueseencuentran multiplicandoenunaexpresinalgebraica.Siseestnsumandoo restando se llaman TRMINOS ab cy x a ) ( + Enlaexpresinanteriorpodemosverquexconyseestnsumando, estos, al estar separados son trminos pero en la forma que estn son factores ya que se estn multiplicando con la a y y por c1. Siyasabemosqusonfactores,podemosdescomponer expresionescomoelproductodelosmismos,porejemplo12lo podemosdescomponerenfactoresyescribirlocomoelproductode ellos, sin efectuar la multiplicacin. Los factores de 12 son 12 y 1 6 y 2 4 y 3 Entonces 12 lo podemos escribir de las siguientes formas 12*1,6 * 2;4 * 3 Enestelibro,Lafactorizacinlaresumiremosen5casos:Factor comn,Binomios,trinomios,agrupacindetrminosycubo perfecto de binomios. Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra106COMO IDENTIFICAR EL TIPO DE FACTORIZACIN A USAR. Primero: observar si existe factor comn. Paraversiunaexpresindadatienefactorcomn,debemos observar todos sus trminos. 2. 7. 2FACTOR COMN Nota: En este caso no importa la cantidad de trminos que tenga el polinomio Dadounpolinomio,selesacaalosnmeroselmximocomn divisor (si es que tienen) y se escribe, luego se buscan la letra o letras queserepitenentodoslostrminosysetomacomocomnlas repetidas con su menor exponente, al haber hecho lo anterior se escribe unparntesis,dividetodoelpolinomioentreloencontradoylos resultados se van escribiendo dentro del parntesis. Elfactorcomn,estodoloqueseencuentrarepetidoenun polinomio Ejemplo 1) factorizar 12x5 + 6x4 + 3x2

SOLUCIN Sebuscaprimeroelfactorcomnenlosnmeros,sacndoles slo lo que tengan en comn, de la siguiente manera: Sacar el factor comn de los nmeros es nicamente buscar el Mximo Comn Divisor (M.C.D.) Como nicamente tienen tercera parte los tres nmeros, el factor comn a ellos es 3. Seguidamenteseobservasitodoslostrminostienenalgunaletraen comn; en este caso, vemos que todos los trminos tiene en comn la x yelmenorexponentequetienees2,seescribeentonceslax2a continuacindel3,seabreparntesisydentrodel,loquequedeal dividir cada trmino entre el factor comn. 3x2(4x3 +2x2 + 1)Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto107Ejemplo 2) Factorizar ax3y4 + xy2 SOLUCIN.Nuevamentebuscamoselfactorcomn.Ennmerosnotiene,yaque slovemosletras,entoncesbuscamoslaletraoletrasquese encuentren repetidas y su menor exponente de cada una de ellas. Se repite la x, su menor exponente es 1. Serepitetambinlay,ysumenorexponentees2,porlotanto procedemosaescribirelfactorcomnyacontinuacinabrimos parntesis y dentro de l, escribimos lo que nos quede al dividir ax3y4 + xy2 = xy2(ax2y3 + 1) Enelejemplo1)yaqueelMCDentrelosnmeroses3setomo juntoconlax2,porqueeslaletraqueserepitey2eselmenor exponente que tiene escrito, luego se dividi toda la expresin entre 3x2 y se escribi dentro del parntesis el resultado (al resolverla operacin que qued indicada (Multiplicacin), llegamos al polinomio original).Enelejemplo2),comolasletrasqueserepitensonxyyse tomaronconsumenorexponenteysedividieroncadaunodelos trminosdelpolinomioentreelfactorcomnqueencontramos,para obtenerelresultadoqueseescribidentrodelparntesis.El1resulta de dividir una expresin entre ella misma. Ejemplo 3) Factorice 3(x 5) + y(x 5) SOLUCIN: Vemos que tiene dos trminos, buscamos si tiene elementos repetidos y vemos que se repite el parntesis por lo tanto este es el factor comn, lo escribimos y en el otro parntesis lo que queda fuera del parntesis. 3(x 5) + y(x 5) = (x 5)(3 + y) EJERCICIOS Factorice Completamente 1) 25 + 50x2) 36x2 45x 3) 4x2y 8x24) 10xyz + 84yz 5) 56xay 77xaz 6) 16x3 8x2 + 4x 7) 15 + 5y 20z 8) 4x2y3z + 16x3y5 + 44y2z 9) 22abc + 33a2b + 44abc310)x(a + 1) 3(a + 1) 11)25x2 + 20x6y + 15x2 5x3y712) 2(x 1) + y(x 1) 13)25x2 + 20x6y + 15x2 5x3y714) a(n + 2) + n + 2 Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra10815) x(a + 1) a 116) m n + x(m + n) 17) 4m(a2 + x 1) + 3n(x 1 + a2) 18) (x + y)(n + 1) 3(n + 1) 19) a(x 1) (a + 2)(x 1) 20) (x + m)(x + 1) (x + 1)(x n) 21) (3x + 2)(x + y z)(3x + 2) Segundo:Sinoexistefactorcomn,contamoslacantidadde trminos que tenga la expresin algebraica,1.Sitienedostrminos,serunbinomio,queslopuedeser suma o diferencia. 2.Siesresta,observamoslosexponentes.Siestossonpares, entonces ser una diferencia de cuadrados.3.Si es suma, slo podrn ser exponentes mayores que dos. BINOMIOS DIFERENCIA DE CUADRADOS En este caso, si se tienen dos trminos y ambos tienen raz cuadrada exacta y se estn restando.Parafactorizarlos,Sesacalarazcuadradadecadatrmino, seabrendosparntesisyenunodeellossecolocanlasdos races, en un parntesis sumndose y el en otro restndose.

Ejemplo 4) Factorizar: x2 9 = (x + 3)(x 3) Ejemplo 5) Factorizar: x4 81 = (x2 + 9)(x2 9) pero como en el segundotrminoaparecenuevamenteelejemplo4)entoncesse factoriza nuevamente x4 81 = (x2 + 9)(x + 3)(x 3) En el ejemplo 4) como ambos tienen raz cuadrada exacta se abren los parntesis y se escribe en uno la raz cuadrada de ambos sumndose y en el otro restndose, de igual forma en el ejemplo 5) pero como en el Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto109segundoparntesisnuevamentehayunadiferenciadecuadradosse opera hasta llegar al resultado final. Nota: La suma de cuadrados no es factorizable. Ejemplo 6) Factorizar m 9m3 SOLUCIN Comosabemosqueloprimeroquebuscamoseselfactorcomn,en este caso s existe el factor comn que es la m m 9m3 =m(1 9m2) comoenelparntesismequedotradiferenciadecuadrados, factorizamosesta tambin m 9m3 =m(1 9m2) = m(1 + 3m)(1 3m) EJERCICIOS Factorice completamente los siguientes ejercicios 1) 4 16x2 2) 81y2 49 3) x2 14) a2b2 4x2z2 5) 25x2 366) 100c2 144 7) x2 y4 8) 9 s2 9) y4z4 110) 36x2 81 11) ax2 ax4 12) 2b2y4 8b2x2 13) 27x2 1214) 125x2y2 180z2 15) xy2 xz4 16) 8a2y 8b2y3 Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra11017) x4y5 + yz4 18) a ax4 19) 25y6 2500z4 20) 1 a8 2. 7. 4 SUMA Y DI FERENCI A DE CUBOS Paraidentificarunadiferenciadecubos,sedebenobservarlosdos trminos, los cuales deben tener raz cbica exacta. Para factorizar cubos se procede de la siguiente manera: X3 + y3 X3 y3 1.- Se saca la raz cbica de los dos trminos y estas races se colocan dentro de un parntesis con el mismo signo que tiene en medio los dos trminos. X3 + y3 (x + y) X3 y3(x y) 2.-Seabreotroparntesisydentrodel,tomandoencuentael parntesisdondeestnlasracesdelbinomio,seescribedela siguiente manera: 2.1Se eleva al cuadrado el primer trmino. X3 + y3(x + y)(x2 X3 y3(x y)(x2 2.2Se escribe el signo cambiado. X3 + y3(x + y)(x2 X3 y3(x y)(x2 + 2.3Se multiplican los dos trminos. X3 + y3(x + y)(x2 xy X3 y3(x y)(x2 +xy 2.4Se escribe el signo ms. X3 + y3(x + y)(x2 xy + X3 y3(x y)(x2 + xy + Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto Centro Educativo Kinal 1112.5Se eleva al cuadrado el segundo trmino. X3 + y3(x + y)(x2 xy + y2) X3 y3(x y)(x2 + xy + y2) Ejemplo 7)Factorizar a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) Ejemplo 8) Factorizar 27x3 64y3 Solucin: Extraemos la raz cbica de 27x3. La raz cbica de 27 es 3, ya que 33 = 3 * 3 * 3 = 27. La raz cbica de x3 es x. La raz cbica de 64 es 4 y de y3 es y, por lo tanto 27x3 64y3 = (3x 4y)(9x2 + 12xy + 16y2) EJERCICIO Factorice los siguientes ejercicios 1) x3 272)8 + a3 3) 125m3 14) 64 + 8x3 5) 512 + 27a3 6) x3y6 216y9 7) x9 + y9 8) 1000x3 1 9) 27m3 64n9 10) 5a3 + 625b12 Segunda unidad: lgebra1122.7.5TRINOMIOS Tercero. Si tiene tres trminos, slo podr ser trinomio. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 1.Para saber si un trinomio es cuadrado perfecto, observamos losextremosdelmismoyvemossitienenrazcuadrada exacta.Luegoobservamoseltrminodelmedioysiesel doble producto de las dos races cuadradas de los extremos, sestrinomiocuadradoperfectoyparafactorizarlo,basta conescribirdentrodeunparntesislasdosracesyeste parntesis se eleva al cuadrado. Ejemplo 9) Factorizar x2 + 2x + 1 Los extremos que son x y 1 s tienen raz cuadrada exacta x2 + 2x + 1 x1 Luegovemosquealmultiplicarx *1=xyeldobledexes2x, entonces vemos que s es un trinomio cuadrado perfecto y escribimos las dos races cuadradas en un parntesis, escribiendo el mismo signo que tiene el segundo trmino y el parntesis se eleva al cuadrado. x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 Ejemplo 10)Factorizar 9x2 + 12x + 4 Solucin:Sacamoslarazcuadradadelosextremosqueson9x2 y4.Dichas races son 3x y 2, luego vemos que al multiplicar 3x * 2 y el resultado es6xyeldoblede6xes12xycomoeltrminodelmedioes12x, entonces s es trinomio cuadrado perfecto 9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2 Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto113EJERCICIOS: Factorice correctamente los siguientes ejercicios 1) x2+ 2x + 12) 1 4x + 4x2 3)9x2 12x + 44)16 + 8x + x2 5)y2 + 14y + 496)m2 2mn + n2 7)25m2 + 10mn + 4n2 8)36a2 + 12ab + b2 9)x2 18x + 81 10) 4m2 + 28mn2 + 49n4 TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c Al encontrar un trinomio que los extremos o alguno de ellos no tenga raz cuadrada exacta, hacemos lo siguiente: Sielprimertrminonotienecoeficienteyelltimonotiene razcuadradaexacta,entoncesestrinomiodelaformax2+ bx+c,enestecaso,abrimosdosparntesisycolocamosla raz cuadrada de la letra del lado izquierdo de cada parntesis, luegoescribimosenelprimerparntesiselmismosignoque tiene el segundo trmino y en el segundo parntesis, el signo que se obtiene al aplicar la ley de signos, luego se buscan dos factoresdeltercertrminoquealsumarseorestarse, dependiendodecmohayanquedadolossignos,dencomo resultado el segundo trmino. Ejercicio 11) Factorizar x2 5x + 6 Solucin: Como es un trinomio y el 6 no tiene raz cuadrada exacta, procedemos a escribir dos parntesis x2 5x + 6 = ( )() Luego escribimos la raz cuadrada de la letra del lado izquierdo en los dos parntesis x2 5x + 6 = (x)(x ) Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra114Escribimosenelprimerparntesiselmismosignoquetengael segundotrminoyenelsegundoparntesiselsignoquenosdal aplicar la ley de signos x2 5x + 6 = (x - )(x-) comolossignosenlosparntesisquedaroniguales,sebuscandos factores del 6 que alsumarse nos d como resultado 5. Los dos nmeros son 2 y 3, ya que 2 * 3 = 6 y 2 + 3 = 5. Escribamos siempre el nmero mayor en el primer parntesis Entonces x2 5x + 6 = (x 3)(x 2) Ejemplo 12)Factorizar x2 + x 12Solucin. Como es un trinomio y el 12 no tiene raz cuadrada exacta, procedemosdeigualmanera,abriendodosparntesisyescribiendo del lado izquierdo en cadaparntesis x2 + x 12 = (x)(x) Escribimosenelprimerparntesiselmismosignoquetieneel segundotrminoyenelsegundoparntesiselsignoquenosdla ley de signos x2 + x 12 = (x+)(x- ) Luegobuscamosdosfactoresdel12quealrestarseden1porser contrarios los signos, ya que sabemos que si la letra no tiene ningn nmero escrito, su coeficiente es uno. Los factores del 12 son: 12 * 1 6 * 2 4 * 3 Los que cumplen con lo requerido son 4 y 3, porque 4 * 3 = 12 y 4 3 = 1 Entonces x2 + x 12 = (x+4)(x 3) Ejercicio 13)Factorizar x2 + 54x + 720 Solucin:comoelnmero720notienerazcuadradaexacta, procedemos de la misma manera, escribiendo los dos parntesis y del lado izquierdo la raz cuadrada de la letra. x2 + 54x + 720 = (x )(x ) Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto115Luego, en el primer parntesis, escribimos el mismo signo que tiene el segundo trmino y en el segundo parntesis, el signo que d la ley de signos. x2 + 54x + 720 = (x+)(x+) Buscamosdosfactoresde720ycomolossignossoniguales,que sumados de 54. Comoenestecasonoesfcilencontrarlosnmerosmentalmente, procedemos de la siguiente manera. Descomponemos el 720 en sus factores primos 7202 3602 1802 902 453 153 55 1 Luegobuscamoslosnmerosquesumadosden54,haciendo diferentes combinaciones. Probamosprimerocontodoslosnmeros2ylosotrosnmeros juntos 2 * 2 * 2 * 2 = 16 3 * 3 * 5 = 45. No son estos nmeros, pues aunque 16 * 45 da 720, 16 + 45 no da 54. Probamos con otras combinaciones. 7202 3602 1802 902 453 153 55 1 Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra1162 * 2 * 2 * 3 = 24 2 * 3 * 5 = 30 Los nmeros son 24 y 30, pues 24 * 30 = 720 y 24 + 30 = 54 Entonces nos queda x2 + 54x + 720 = (x+ 30)(x+ 24) Ejercicios: Factorice las siguientes expresiones algebraicas. 1)x2 + 8x + 152)x2 + 9x + 18 3)x2 + 15 + 50 4)x2 + 5x 24 5) x2 + 3x 46)x2 8x + 12 7)x2 7x + 128)x2 x 72 9)x2 x 3010)x2 + x TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c Si la expresin algebraica tiene 3 trminos y el primer trmino tiene coeficiente numrico, entonces ser trinomio de la forma ax2+ bx + c Ejemplo 14) Factorizar 3x2 5x 2 Solucin:Albuscarfactorcomnnotiene,puesentre3y5nohay nada en comn y el ltimo trmino no tiene letra. Es un trinomio porque tiene tres trminos. No es cuadrado perfecto, puesto que los extremos no tienen raz cuadrada. Colocamosentonceslosdosparntesis,sloqueahoraescribimos tambin el nmero que est con la x2 en el lado izquierdo de los dos parntesis. 3x2 5x 2 = (3x)(3x) Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto117Escribimosenelprimerparntesiselmismosignoquetieneel segundotrminoyenelsegundo,elsignoquenosdlaleyde signos 3x2 5x 2 = (3x - )(3x + ) Luego multiplicamos el nmero que est con la x2 y el ltimo trmino 6 3x2 5x 2 = (3x - )(3x+) Ahora buscamos dos nmeros que nos d como resultado 6, que fue el producto de 3 * 2, y restados 5, por ser contrarios los signos. 3x2 5x 2 = (3x -6)(3x + 1) Como habamos multiplicado por 3, ahora tenemos que dividir por 3 en el parntesis que se pueda, en este caso se puede en el primero 3x2 5x 2 =|.|

\| 36 3x(3x + 1) Nos queda3x2 5x 2 = (x -2)(3x + 1) OTRA FORMA DE FACTORIZAR 3x2 5x 2se sacan los factores de los extremos 3x2 5x 2 3x2

x1 luegobuscamoslossignos,comoenelcasoanterior,elsignodel segundo trmino permanece y el otro signo es el que nos d la ley de signos. 3x2 5x 2 + 3x2

x1 Centro Educativo Kinal Segunda unidad: lgebra118Comolossignosquequedansoncontrarios,buscamos,delos factoresqueyatenemos,dosproductosquealrestarsedelcomo resultado el trmino de en medio del trinomio. 3x2 5x 2 +3x2 = 6x x1 = x laflechameindicacualessonlosfactoresquemultipliqu,parano escribirlosenelmismoparntesisyelnmeromayordelresultado debe llevar el mismo signo del segundo trmino 3x2 5x 2 - + 3x2 = 6x x1 = x como 6x sali de multiplicar 3x por 2, entonces al 2 se le escribe el signo 3x2 5x 2 + 3x 2= 6x

x 1 = x ahora los agrupamos pero no con el que se multiplic sino con el otro 3x2 5x 2 = (3x + 1)(x 2) Ejemplo 15)Factorizar 6x2 7x + 2 Solucin:Procedemosdelamismaformaquelosanteriores, darnos cuenta que es un trinomio sin factor comn Escribimos los dos parntesis y del lado izquierdo de cada parntesis, el 6,6x2 7x + 2 = (6x -)( 6x ) Escribimosenelprimerparntesiselmismosignoquetengael segundotrminoyenelsegundoparntesiselsignoquenosdla ley de signos, luego multiplicamos los nmeros de los extremos 6 y 2 12 6x2 7x + 2 = (6x -)( 6x ) Centro Educativo Kinal Matemtica cuarto119A continuacin buscamos 2 nmeros que multiplicadosnos den 12 y sumados 7 6x2 7x + 2 = (6x - 4)( 6x 3) Los nmeros son 4 y 3. Ahora procedemos a dividir por 6, pero como en ningn parntesis se puede, buscamos dos factores del 6, que son 2 y 3. Ahorabuscamosencualparntesissepuededividirpor2yencul por 3. En el primero podemos dividir por 2 y en el segundo por 3 6x2 7x + 2 =|.|

\| |.|

\| 33 624 6 x x 6x2 7x + 2 = (3x - 2)(2x 1) la otra forma 6x2 7x + 2 se sacan los factores de los extremos 6x2 7x + 2 3x2

2x1 luegobuscamoslossignos,comoenelcasoanterior,elsignodel segundo trmino permanece y el otro signo es el que nos d la ley de signos. 6x2 7x + 2 3x2 2x1 Comolossignosquequedansoniguales,buscamos,delosfactores que ya tenemos, dos productos que al sumarse den como resultado el trmino de en medio del trinomio. 6x2 7x + 2 3x2 =3x

2x1 = 4x Centro