Libro de Ayuda - Analisis Estructural_2

CAPITULO 1 ANALISIS ESTRUCTURAL _____________________________________________________________________________________________

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Captulo 1

Introduccin al anlisis de estructuras de barras

1.1- Conceptos generales

Se entiende por anlisis estructural al estudio y determinacin de tensiones,

deformaciones y reacciones, que ocurren en una estructura al ser sometida a acciones exteriores

que pueden ser: cargas, efectos trmicos, movimiento de apoyos, deformaciones impuestas, etc.

El anlisis estructural provee los fundamentos slidos para producir buenos diseos

estructurales, al ocuparse de establecer la relacin entre causas y efectos.

El desarrollo del proyecto de una estructura, proceso que se conoce como diseo

estructural, se apoya en normas y preceptos que surgen del anlisis estructural, as como

tambin en reglas prcticas y empricas que dependen fuertemente de la modalidad o carcter

del proyectista.

El anlisis estructural propende a dar soluciones nicas y precisas. Por otro lado, el diseo

estructural est influenciado por aspectos prcticos y subjetivos que hacen que dos diseos

igualmente correctos o vlidos puedan ser muy distintos entre s.

En este curso se estudia la formulacin y resolucin de problemas estticos y

dinmicos para estructuras de barras, en general, en rgimen elstico. Se presentan los

mtodos generales para abordar cualquier tipo de estructura, indicndose modalidades

corrientes de estos mtodos para la resolucin de tipos particulares de configuraciones

estructurales.


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1.2- Tipos de estructuras de barras y modelos de anlisis

Los dos tipos bsicos de estructuras que se estudian en este curso son reticulados y

estructuras de alma llena. Las estructuras de tipo reticulado consisten en barras prismticas

conectadas en nudos a los que convergen los ejes baricntricos de las piezas concurrentes. Las

cargas exteriores se suponen aplicadas en los nudos que se asume que no tienen capacidad de

transmitir momentos flectores de una barra a otra adyacente (Figura 1.1). Suponiendo que el

sistema descripto sea inicialmente estable, es decir, que sea por lo menos isosttico (o

hiperesttico), las cargas se equilibran mediante esfuerzos axiales en las barras.

Figura 1.1

Las estructuras de alma llena poseen nudos rgidos capaces de transmitir momentos

flectores entre las barras (Figura 1.2). Este tipo de estructuras presenta una gran cantidad de

variantes; la Figura 1.2.a muestra una viga tipo Vierendell en la que las cargas se equilibran

fundamentalmente a travs de esfuerzos cortantes y flectores en las barras, aunque tambin con

alguna participacin de las fuerzas axiales.

Figura 1.2

)a )b

Nd

Ad

)c


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Si a esta estructura se le colocan tensores segn las diagonales y se supone que estos

tensores no tienen capacidad alguna de transmitir flexin, el sistema contina siendo de tipo

nudos rgidos, pero los esfuerzos flexionales se reducen apreciablemente y las cargas aplicadas

en los nudos son resistidas en una mayor proporcin que en la Figura 1.2.a por fuerzas axiales.

La representacin grfica de la relacin entre la fuerza en una diagonal Nd y el rea Ad

de la seccin de las diagonales, para un determinado estado de cargas exteriores, presenta la

forma indicada en la Figura 1.2.c. La contribucin del tensor resulta nula para valores de Ad

prximos a cero, por lo que la deformacin del bastidor, y por lo tanto el alargamiento del tensor

l , es independiente de Ad . El esfuerzo crece proporcionalmente con el rea: .. = E lNd Adl

Dicha curva tiene una asntota que corresponde al valor lmite de carga axial que puede

tomar la diagonal. Ello se debe a que, si bien a mayor Ad corresponde mayor Nd , para grandes

secciones Ad comparables con las reas de las restantes barras, el sistema comienza a

comportarse casi como un reticulado y el valor de carga axial tiende al que se obtiene por medio

de dicho modelo de clculo, valor que naturalmente es acotado. Este ejemplo pone de manifiesto

que una estructura de nudos rgidos podra analizarse, bajo ciertas condiciones de proporcin

entre sus miembros, como si fuese un reticulado. En tal caso, los esfuerzos de flexin que

seguramente aparecen, son de menor importancia y se los considera secundarios.

En realidad, las estructuras cuya configuracin permite calificarlas como reticulados

ideales (tambin denominadas celosas o cerchas) en la mayora de los casos se construyen

con nudos que no son articulaciones perfectas, sino que presentan una cierta rigidez que depende

del sistema de unin entre las barras. Cuando se usan remaches o bulones es necesario introducir

chapas de nudo que permiten la transferencia de esfuerzos entre las distintas barras que

convergen al nudo, y la disposicin de esos remaches o bulones producen cierto grado de rigidez

a los giros relativos entre las barras. Si se trata de uniones mediante cordones de soldadura, la

rigidez al giro relativo resulta an ms notable. Sin embargo, como se menciona ms arriba, si la

configuracin (geometra del conjunto ms las propiedades mecnicas de las barras) es de tipo

reticulado, la rigidez al giro relativo de los nudos introduce ciertos esfuerzos de flexin y corte

en las barras; estas solicitaciones se consideran secundarias ya que no son indispensables para

equilibrar las cargas exteriores, y merecen un tratamiento especial en el proceso de diseo.


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Eleccin del modelo adecuado

La definicin de un modelo de clculo que refleje la realidad fsica requiere el desarrollo

de cierto juicio basado en resultados de anlisis detallados de casos similares. La sensibilidad a

la eleccin del modelo adecuado se va adquiriendo con la experiencia. Un camino aconsejable

para desarrollar esa experiencia consiste en analizar una misma estructura con modelos

diferentes variando parmetros tales como la rigidez relativa para determinar cul es el esquema

principal o primario de transmisin de las cargas. De lo contrario, un analista puede trabajar

continuamente con un nico esquema basado simplemente en el hecho que no se cae sin

advertir que est dimensionando las componentes en forma ineficaz.

Hay que establecer el esquema primario o fundamental de:

Fuerzas axiales o bien Flexin-Corte-Normal

para la transmisin de las cargas a tierra. Como esto no siempre es obvio se debe

adquirir sensibilidad experimentando distintos modelos para una misma estructura y

comparando los resultados. El caso de la Figura 1.2.b, an para pequea rigidez relativa de las barras de los tensores,

presenta un esquema primario de reticulado por ser ms fcil (en realidad es ms rgido y

por lo tanto requiere menos deformaciones) transmitir cargas por efecto axial. Este hecho

fortuito permite analizar como reticulado ideal a muchas estructuras cuyos nudos son

relativamente rgidos como consecuencia de las uniones soldadas o remachadas.

Por otro lado, no a todo lo que se asemeja a un reticulado conviene siempre analizarlo

como tal. Cuando se debe analizar una torre para antena como la indicada en la Figura 1.3 puede

resultar ms conveniente adoptar un modelo de viga continua con propiedades equivalentes de

corte y flexin, propiedades que debern calcularse previamente de acuerdo con criterios que se

describen ms adelante. Las riendas o cables de la estructura funcionan como apoyos elsticos.


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Figura 1.3

1.3- Ecuaciones para el anlisis de slidos deformables

En la Figura 1.2.b, se define como esquema primario o fundamental el constituido

por el reticulado de igual forma con los nudos articulados. Esa estructura es estticamente

determinada o isosttica y los esfuerzos axiales en la barras pueden ser obtenidas por

consideraciones estticas nicamente (equilibrio). Como ya se indic, la verdadera estructura de

la Figura 1.2.b equilibra parte de las cargas con esfuerzos de flexin en sus barras en una

proporcin que depende de la rigidez relativa de sus miembros; por lo tanto, salvo para valores

muy extremos de Ad , la reparticin de cargas no puede calcularse con consideraciones estticas

nicamente. El concepto de rigidez, como relacin entre esfuerzos y deformaciones de una

pieza, se torna crucial. En este ejemplo, la elongacin de las diagonales causada por las fuerzas

axiales Nd debern ser compatibles con los desplazamientos de los nudos extremos, valores que

a su vez dependen de las fuerzas en las barras de la viga. Estas condiciones adicionales a las de

equilibrio se denominan ecuaciones de compatibilidad, y resultan necesarias para definir unvocamente los esfuerzos y las deformaciones del sistema hiperesttico.

Resumiendo, se puede concluir que para realizar el anlisis estructural es necesario, en

general, definir y resolver ecuaciones simultneas de:

a) Equilibrio

b) Compatibilidad

c) Relaciones de rigidez

Los grandes mtodos generales de anlisis estructural corresponden a diferentes

modalidades de eliminacin de incgnitas en las ecuaciones a), b) y c), cuyos significados son:

Realidad Fisica (Reticulado) Modelo Estructural (Alma llena)

K equivalente

( . )E I equivalente( . )cA G equivalente


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a) Se refiere a la suma de fuerzas y la suma de momentos iguales a cero.

b) Establecen condiciones de congruencia geomtrica y se las conoce tambin como

relaciones cinemticas.

c) Se refieren a las propiedades constitutivas del material que relacionan los esfuerzos

(axial, flector, corte o torsin) con las respectivas deformaciones especficas (axial, curvatura

flexional, distorsin al corte, y ngulo unitario de torsin).

Ntese que las condiciones de compatibilidad son independientes tanto del tipo de

material como de las secciones de las barras (ambas determinan la rigidez). Por ejemplo, en el

caso de la Figura 1.2.b establecen que los extremos de los tensores permanecen unidos a los

nudos de la columna en que se insertan.

1.4- Grado de hiperestaticidad

Para un modelo isosttico es posible determinar todas las fuerzas (internas y externas)

utilizando nicamente ecuaciones de equilibrio, aunque es corriente que por norma de diseo las

estructuras tengan que cumplir ciertas condiciones de mxima deformacin. La prctica corriente

limita la flecha (por ejemplo a 1/500 o 1/800 de la luz segn el caso y tipo de estructura) de

modo que para resolver completamente el problema se debe recurrir a los tres tipos de

ecuaciones ya mencionados, an para las estructuras isostticas.

El concepto de grado de hiperestaticidad es el aspecto central para la formulacin del

Mtodo de las Fuerzas que se desarrolla en el primer tercio del curso; posteriormente se estudia

el mtodo de los desplazamientos, donde el concepto de hiperestaticidad se torna irrelevante

desde el punto de vista del anlisis estructural. De todos modos, ms all de la importancia

relativa de la hiperestaticidad, o redundancia estructural para el desarrollo del mtodo de anlisis estructural, debe destacarse que la redundancia estructural es de fundamental

importancia para el diseo de las estructuras, que deriva de la existencia de caminos alternativos

para equilibrar las cargas aplicadas en el caso de falla o deterioro en algunas de sus

componentes. En este tipo de fallas se enmarcan la formacin de rtulas plsticas imprevistas,

asentamiento de las fundaciones, u otros defectos o situaciones imprevistas en el

comportamiento de una estructura. De no existir redundancia, la estabilidad del conjunto

depende del funcionamiento correcto de todas las componentes y no hay margen para fallas

locales. Por lo tanto, se debe tener presente que la redundancia estructural es reconocida como

uno de los aspectos ms significativos al momento de disear una estructura y establecer los

mrgenes de seguridad frente a los distintos tipos de solicitaciones.


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En el Mtodo de las Fuerzas, las dimensiones del sistema de ecuaciones que se plantea y

resuelve para hallar la distribucin de esfuerzos es igual al grado de hiperestaticidad. Por lo tanto, el grado de hiperestaticidad determina el volumen del esfuerzo de clculo

necesario para hallar la solucin, de all su importancia operativa en el anlisis estructural.

Al margen de estas cuestiones computacionales, se insiste que las estructuras isostticas

tienen un nico mecanismo o esquema para equilibrar las cargas, mientras que en las

hiperestticas, si falla un mecanismo, pueden en ciertas condiciones comenzar a trabajar de una

manera distinta y an equilibrar las cargas a travs de un mecanismo alternativo. Por ejemplo, si

la viga continua de dos tramos de la Figura 1.4 llega a fluencia por el momento flector sobre el

apoyo central, puede desarrollar una rtula plstica y trabajar como dos vigas simplemente

apoyadas hasta que comience a plastificarse en el interior de los tramos. Para que sea posible esta

distribucin de esfuerzos es indispensable que la viga presente capacidad de deformacin

plstica sin que pierda su capacidad portante. Esto no ocurrira para una viga de material frgil,

ya que en ese caso al llegar al mximo momento se producira una falla frgil, y el mecanismo de

redistribucin de esfuerzos no alcanzara a desarrollarse. (Figura 1.5)

Figura 1.4

Figura 1.5

)a M

pM

Ley momento - curvatura para un material elasto-plstico ideal

M

rM

)b

Ley momento-curvatura para un material frgil linealmente elstico

l


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1.5- Vigas prismticas de eje recto (ecuacin de la elstica)

Las barras prismticas son aquellas que tienen una seccin transversal constante a lo largo

de su desarrollo y su eje longitudinal es recto. El caso de una viga de seccin continuamente

variable puede ser aproximado por tramos rectos de seccin constante.

Sea una pieza prismtica sometida a acciones de corte, flexin, axial y torsional descripta

a travs de las variables ( )Q x , ( )M x , ( )N x y ( )tM x donde x es la variable independiente sobre

el eje de la pieza.

En la Figura 1.6 se indican los esfuerzos asumiendo que no hay carga axial ni momento

torsor distribuido en el tramo dx , es decir, slo hay flexin y corte.

Figura 1.6

Como ya se ha visto en el curso de Resistencia de Materiales, para el clculo de la elstica

o deformacin de la viga en flexin son necesarios los tres ingredientes bsicos antes

mencionados.

a) Equilibrio Equilibrio de fuerzas:

. ( ) 0Q q dx Q dQ+ + = dQqdx

= (Ec. 1.1)

Equilibrio de momentos:

.

. ( . ). ( ) 02

Inf orden superior

dxM Q dx q dx M dM + + =14243

dxQ Q dQ+MMt

N

M dM+N

Mt+

++Convencin de signos de la elastica

( )q + ( )Q + ( ) ( )M + + ( ) ( )M + +y

( )y +


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dMQdx

= (Ec. 1.2)

b) Ley de Hooke De la misma manera que se asocia la deformacin especfica al esfuerzo normal, se

asocia la curvatura al momento flector a travs de las relaciones:

.N

A E = ;

.ME I

= ; Siendo 1 dr dx

= =

. . dM E Idx= (Ec. 1.3)

A stas se puede agregar la relacin entre el corte y su distorsin asociada :

.Q

Ac G =

Por simplicidad, en el presente anlisis no se tiene en cuenta la contribucin del corte a la

elstica.

c) Compatibilidad Recordando que las secciones planas perpendiculares al eje baricntrico permanecen

planas y perpendiculares a la lnea baricntrica (elstica) despus de la deformacin, se tiene:

dydx

= (Ec. 1.4)

Una vez planteados los tres tipos de ecuaciones se pueden hacer las siguientes

sustituciones:

Derivando (Ec. 1.4) y sustituyendo en (Ec. 1.3) queda:

2

2. .d yM E Idx

= (Ec. 1.5)

Derivando (Ec. 1.5) y sustituyendo en (Ec. 1.2) se tiene:

3

3. .d yQ E Idx

= (Ec. 1.6)

Derivando (Ec. 1.6) y sustituyendo en (Ec. 1.1) se tiene:

y

x

dy

dx


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4

4. .d yq E Idx

= (Ec. 1.7)

La (Ec. 1.7) se designa habitualmente ecuacin diferencial de la elstica. Resulta

conveniente destacar que la ecuacin de la elstica es una ecuacin de equilibrio donde la incgnita que es el desplazamiento y se expresa como funcin de la carga q .

Asimismo, se debe notar que no es lo mismo resolver (Ec. 1.7) que (Ec. 1.1). La ecuacin

(Ec. 1.7) no puede resolver el equilibrio sin considerar la deformacin mientras que (Ec. 1.1) es

slo una de las ecuaciones diferenciales de la viga.

Debe tenerse presente que al utilizar (Ec. 1.7) da lo mismo que la viga sea isosttica o

hiperesttica porque este planteo es equivalente a estar resolviendo el problema por el Mtodo de

Rigidez (nota: el Mtodo de Rigidez, tambin llamado Mtodo de los Desplazamientos se

estudia en detalle ms adelante)

Ejemplo:

Figura 1.7

Solucin Homognea: 2 3

0 0 1 2 3. . .Y C C x C x C x= + + + Solucin Particular:

Se propone una solucin tal que derivando cuatro veces d una constante. 4.p pY C x=

Resulta fcil obtener de la ecuacin (Ec. 1.7) la relacin entre pC y q :

24. .pqCE I

=

2 3 40 0 1 2 3. . . .24. .p

qY Y Y C C x C x C x xE I

= + = + + + + Para calcular las cuatro constantes es necesario aplicar las cuatro condiciones de borde:

l

AB

x

q cte=


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En A:

(0) 0Y =

(0) (0) 0dYdx

= =

En B:

( ) 0Y l = 2

2 ( ) ( ) 0.d Y Ml ldx E I

= = Se puede apreciar que la hiperestaticidad no aparece en este anlisis. Si se considera el

caso isosttico u otras condiciones de apoyo slo es necesario cambiar las condiciones de borde.

Figura 1.8

En A:

(0) 0Y = 2

2 (0) 0d Ydx

=

En B:

( ) 0Y l = 2

2 ( ) 0d Y ldx

= Derivamos (Ec. 1.2) y reemplazando en (Ec. 1.1):

2

2

d M qdx

= (Ec. 1.8)

Que aparenta ser un camino ms sencillo porque permite encontrar la distribucin del

momento flector integrando dos veces la carga dato q. Sin embargo, la (Ec. 1.8) no podr

resolverse a menos que el sistema sea isosttico. Si, por ejemplo, a la viga de la figura se le

agrega la condicin de que los extremos no giren, se torna indispensable considerar los

desplazamientos para obtener la solucin del problema.

La hiperestaticidad puede acarrear complicaciones cuando se la plantea de una

determinada manera (Mtodo de las Fuerzas) pero si se utiliza el Mtodo de los

Desplazamientos, la solucin se obtiene sin mayor esfuerzo a pesar del grado de hiperestaticidad.

1.6- Conceptos generales de la esttica de sistemas deformables

La esttica es la parte de la mecnica que estudia el planteo y resolucin de las

condiciones o ecuaciones de equilibrio. Equilibrio esttico es la condicin que se da cuando

no se producen aceleraciones en las componentes o en el conjunto del sistema.

l

AB

x

q cte=


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Considrese en primer lugar configuraciones estructurales que en sus condiciones de

servicio sufren deformaciones pequeas. La pequeez de las deformaciones ser precisada

cuantitativamente ms adelante; por el momento ser suficiente con aclarar que la forma de la

estructura en su conjunto o algunas de sus componentes no cambia apreciablemente de forma al

actuar las cargas exteriores.

Sea el reticulado ideal (con articulaciones perfectas en la interseccin de los ejes

baricntricos de las barras) de la Figura 1.9.a , que se puede apreciar es isosttico.

Figura 1.9

En la Figura 1.9.b se esquematiza en escala distorsionada la configuracin deformada

correspondiente a una carga P en el extremo del voladizo. Dado que se estima que las

deformaciones son pequeas, es posible plantear las ecuaciones de equilibrio como si las fuerzas

en las barras actuaran en la direccin original. En realidad esto resulta slo una primera

aproximacin, pero de esta manera se simplifica el clculo ya que se reduce al caso de un

sistema rgido estudiado en el curso anterior de esttica. O sea que los esfuerzos en la barras se

pueden calcular por los procedimientos de la esttica sin tener en cuenta la deformabilidad de las

barras.

Configuracin Original

P

Configuracin Deformada

)a )b


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Figura 1.10

Supngase ahora que se agrega una barra que vincule los puntos B y C (Figura 1.10).

Esta estructura no es ms isosttica y no es posible por consideraciones estticas exclusivamente

determinar los esfuerzos de todas las barras. Se designa con T al esfuerzo de la barra CB y se

analiza cmo vara T en funcin del rea A de la seccin transversal de la barra CB

manteniendo constante las restantes barras. Al tender A a cero, la barra se hace infinitamente

flexible, por lo que la fuerza T tiende a cero. Naturalmente 0T = cuando 0A = . Al aumentar A, la fuerza T aumenta ya que en forma relativa la barra se hace ms rgida

frente a la estructura original. Si A , T debe tender a un limite finito (dicho valor corresponde a la reaccin de apoyo mvil perpendicular a BC actuando en C ).

En forma cualitativa se espera una ley de variacin de T en funcin de A como se

indica en la Figura 1.11.

Figura 1.11

Un caso conceptualmente similar es la torre de alma llena arriostrada con un tensor segn

la Figura 1.12.

T

A

Lmite

C

B


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -14-

Figura 1.12

Para poder calcular la fuerza T ser necesario determinar la deformabilidad de la torre

sin el tensor, ya sea sta de reticulado o de alma llena. La determinacin de la deformabilidad

requiere el clculo de la elstica que describe la posicin en el espacio de la estructura

deformada. La modalidad operativa del clculo de estas deformaciones es distinta segn sea un

reticulado o un elemento de alma llena, y ser estudiado en detalle en las secciones que siguen.

Desde el punto de vista global, sin embargo, en el Mtodo de las Fuerzas se procede de la

siguiente manera:

1) Determinacin de la elstica de la torre sola bajo la accin de las cargas exteriores P .

2) Imposicin de las condiciones de compatibilidad de deformaciones entre la torre y el

tensor. Estas condiciones llevan a la determinacin del esfuerzo en el tensor

3) Clculo de los esfuerzos y deformaciones de la torre bajo la accin de las cargas

exteriores P y del esfuerzo en el tensor T , considerado tambin como una fuerza

exterior.

Ejemplo: Sea ahora el ejemplo de la viga con un apoyo elstico central segn la Figura 1.13.

Figura 1.13

/ 2l

q

/ 2l

hSeccin A

P


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -15-

Interesa conocer el diagrama de momentos flectores de la viga y el esfuerzo axial en la

barra de apoyo. Se supondr que el mdulo elstico de la viga y de la columna es E en ambas

componentes. De acuerdo a lo indicado antes, la determinacin de la fuerza de reaccin R que

se genera en la barra central requiere los siguientes pasos:

1) Determinar la elstica de la viga sola, o sea, simplemente apoyada en los extremos.

Por integracin de la ecuacin de la elstica se sabe que la flecha al centro 0 es: 4

05 .

384 .q lE I

= 2) Para establecer la condicin de compatibilidad entre la viga y la barra debe

reconocerse que esta ltima genera una fuerza concentrada R . Para ello se calcula el

efecto que R tiene sobre la barra y el que R+ tiene sobre la viga. La viga bajo la accin de R , se deforma con una flecha central 1 , segn la ecuacin de

la elstica dada por: 3

11 .48 .

R lE I

= (hacia arriba)

La barra bajo R se deforma: 2 ..R hA E

= La condicin de compatibilidad establece que debe existir continuidad de desplazamiento

vertical en la unin de la viga y de la barra. Por eso:

0 1 2 + = 4 35 . 1 . .

384 . 48 . .q l R l R hE I E I A E

= 4

3

5 .384

48.

q lIR

l hI A

=+

(Ec. 1.9)

Ntese que R es independiente de E , cuando E es uniforme para toda la estructura. Si

se mantiene I constante, la ley de variacin de R es funcin de A est dada por la (Ec. 1.9) y

tiene el aspecto indicado en la Figura 1.14.

Figura 1.14

R

A

maxR


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -16-

La asntota horizontal corresponde al valor mximo de la reaccin central que ocurre

cuando A o sea que se tiene un apoyo rgido al centro. Segn (Ec. 1.9) se tiene que :

max5 . .8

R q l= 3) El diagrama final de momentos flectores se obtiene por superposicin de la parbola

debido a P y del tringulo debido a R (Figura 1.15)

Figura 1.15

El vrtice A del tringulo puede resultar por debajo del vrtice de la parbola B (segn

Figura 1.15) o por encima del mismo, segn el valor de R , que a su vez depende de la rigidez de

la barra.

En todo el desarrollo de este ejemplo se han empleado dos hiptesis de linealidad que

son independientes entre s. Por un lado, el material de la barra y de la viga cumple con la ley de

Hooke. Por otro lado, al sufrir pequeas deformaciones, la ecuacin de la elstica es lineal, o sea

que a doble carga corresponde el doble de deformacin. La primera hiptesis se refiere al

material de la estructura y la segunda al comportamiento cinemtico de la misma. Estas hiptesis

son aceptables en muchas situaciones prcticas, aunque deben reconocerse los tipos de casos

donde estas simplificaciones no son apropiadas.

Como ejemplo ilustrativo de estructuras con comportamiento no lineal, se puede

mencionar al cable tendido de la Figura 1.16.a.

Figura 1.16

)a

)b

l

BA

PBA

A

B


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -17-

Su forma corresponde a la curva funicular del peso propio del cable y que pasa por puntos

de apoyo. Al aplicar una carga concentrada P el cable cambia apreciablemente de forma (Figura

1.16.b) y an cuando sea de material linealmente elstico, el comportamiento de la estructura

ser no lineal, es decir que la relacin entre la flecha y la magnitud de la carga no es lineal, por efectos cinemticos. Se dice que la estructura posee no linealidad geomtrica.

Otro ejemplo de este tipo es la viga cargada axial y transversalmente al mismo tiempo

(Figura 1.17).

Figura 1.17

El diagrama de momentos flectores tiene dos componentes. Una debido a V de variacin

lineal en funcin de x, y tiene la forma de un tringulo. Otra debido a P , tiene una forma suave,

sin quiebres y se debe a la excentricidad de P con motivo de la deformacin provocada por V .

Naturalmente esta ltima componente no aparecer si se planteara la ecuacin diferencial

de la elstica suponiendo el eje longitudinal recto. Esta parte del diagrama es funcin no lineal de

P , o sea que, a doble P no corresponde doble momento adicional. En este caso, dependiendo

del valor de P a considerar, puede ocurrir el fenmeno de inestabilidad de forma o pandeo en el

cual los momentos flectores provocados por P no pueden ser equilibrados sino con grandes

deformaciones transversales de la viga.

l

PV

P


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -18-

Ejercicio N 1:

Dado el sistema hiperesttico simtrico del croquis, cuyas barras son del mismo

material, se pide:

a) Expresar la fuerza en la barra central ( )1N en funcin de la relacin de reas 1

2

AA

suponiendo todas las barras en el periodo lineal.

b) Expresar la tensin en la barra central ( )1 en funcin de su rea 1A suponiendo fijos 22 0,1A cm= y 1000P Kg= .

c) Graficar 1N en funcin de 1A para 22 0,1A cm= y 1000P Kg= suponiendo que

la tensin de fluencia para ambas barras es 22600fKgcm

= .

Ecuaciones de equilibrio: Se plantea una ecuacin de equilibrio de fuerzas verticales en el nudo A .

( ) ( )2 22 320 240 400l cm= + = 320cos( ) 0.80400

= =

2N

P

2N1N

240 240

320( )1

( )2 ( )2

A

P


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -19-

1 2 20,80. 0,80. 0VF N N N P= + + =

Ecuacin de equilibrio:

1 21,60.N N P+ = (Ec. 1.10) Ecuaciones de compatibilidad: Se plantea una condicin geomtrica que establece que el desplazamiento de los extremos

A de las barras ( )2 y ( )1 son iguales. Aceptando la hiptesis de pequeas deformaciones se obtiene el alargamiento de las

barras ( )2 proyectando el desplazamiento A sobre la direccin original de las barras: 2 .cos( )l = (Ec. 1.11)

Para barra ( )1 : 1l = (Ec. 1.12)

Para barra ( )2 : 2 0,80.l = (Ec. 1.13)

Ecuacin de compatibilidad:

2 10,80.l l = (Ec. 1.14) Ntese que (Ec. 1.10) y (Ec. 1.14) son vlidas aunque alguna barra entre en fluencia y

slo se basan en la hiptesis de deformaciones pequeas que permiti formular: 1) La ecuacin

de equilibrio (Ec. 1.10) en el sistema indeformado y 2) la ecuacin cinemtica (Ec. 1.11).

Ecuaciones constitutivas: Son las ecuaciones que definen el comportamiento del material, es decir la relacin

E . Se supondr un material elasto-plstico con el siguiente diagrama:

Ecuaciones constitutivas:

.. ...... 2600

2600. ...

ii

ii

i

A EllNA en fluencia


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20-

(Ec. 1.16)

a) Suponiendo todas las barras en el perodo lineal se puede despejar 1l y 2l a partir de (Ec. 1.15) y llevarlas a (Ec. 1.14). Luego despejando 2N en funcin de 1N , que llevado a (Ec.

1.10) permite finalmente despejar 1N .

1

1 2

1,0241/

PN

A A

=+ (Ec. 1.17)

Estos resultados son vlidos si 1 2600 < y 2 2600 < . Ntese que para llegar a (Ec. 1.17) se deben utilizar necesariamente ecuaciones

constitutivas, ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad.

b) Haciendo 2 0,10A = en (Ec. 1.17) y dividiendo por 1A , se tiene: 1

11

11

10000,1024. 1

NA

AA

= = +

( )1 11000

0,1024A = + (Ec. 1.18)

En (Ec. 1.18) se puede apreciar que si 1 0A , 1 21000 97650,1024Kgcm

lo que

demuestra que para valores pequeos de 1A la barra central entra en fluencia. Haciendo

1 22600Kgcm

= en (Ec. 1.18) permite despejar el rea mnima para la cual no hay fluencia.

21

1000 26000,1024

KgA cm

Por lo tanto la expresin (Ec. 1.17) debe limitarse:

(Ec. 1.19) 11

11

2600..................0 0.281000 ..... 0.28

0,1024

A

AA

= +

(Ec. 1.20)

c) Segn (Ec. 1.19) la fuerza que toma la barra central es muy pequea si el rea 1A

tiende a cero o es muy pequea ( 1 12600.N A= cuando 21 0.28A cm< ) y en tal caso debe considerarse la posibilidad de que las barras ( )2 tambin entren en fluencia.

La mxima fuerza 2N resulta:


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -21-

( )2 max 0,10.2600 260N Kg= = Valor que llevado a (Ec. 1.10):

( ) ( )1 2min max1,60. 1000N N Kg+ = De donde:

( )1 min 584N Kg= Como se sabe que:

1 12600.N A= ( ) 21 min 0.225A cm= (Ec. 1.21)

1A 0 0,10 0,225 0,25 0,282 0,50 1,00 2,00 10,00

1 2600 2600 2600 1660 907 476 99 1N 584 650 734 830 907 951 990

2 2600 2188 1664 1062 581 304 63 2N 260 219 166 106 58 30 6,30

( )I

144424443( )II

144424443( )III

14444444244444443

( )I

1000

( ) :Zona I No hay equilibrio

21A cm

800

600

400

200

[ ]1N Kg

0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

0,225 0,282

( )II ( )III( ) (1) ::

(2) :Barra Fluencia

Zona IIBarra Elstica

( ) :Zona III Todas las barras elsticas


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -22-

Ejercicio N 2:

Dado el sistema simtrico del ejercicio anterior cuyas barras tienen igual seccin

21 2 0,10A A cm= = y el mismo material 22600f Kgcm = . Se pide:

a) Determinar la mxima carga portante uP .

b) Determinar la carga que produce la primera fluencia.

c) Graficar la relacin P y calcular la rigidez de los distintos tramos. d) Determinar si existe alguna relacin entre las reas 1A y 2A de modo que las

barras ( )2 y ( )1 entren simultneamente en fluencia.

a) La carga ltima se obtiene cuando entran en fluencia todas las barras. La fuerza en

cada barra se obtiene a partir del rea y la tensin de fluencia f . 1 2600.0,10 260N Kg= = 2 2600.0,10 260N Kg= =

Llevando a (Ec. 1.10):

(260) 1,60.(260) uP+ =

676uP Kg= (Ec. 1.22)

b) Haciendo 12

1AA

= en (Ec. 1.17) resulta:

1 0, 494.1 1,024PN P= =+ (Ec. 1.23)

Valor que llevando a (Ec. 1.10):

2600

22600fKgcm

=

622,10 10

KgE xcm

=

240 240

320( )1

( )2 ( )2

A

P


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -23-

2 0,3162.N P= (Ec. 1.24) Como las reas son iguales, la barra central tiene mayor tensin y es la primera en entrar

en fluencia.

11

1

4,94. 2600 4,94.fN P PA

= = = =

526,24fP Kg= (Ec. 1.25)

c) Durante el perodo lineal elstico el desplazamiento se puede obtener indistintamente a partir de (Ec. 1.12) o (Ec. 1.13) calculando los alargamientos de las barras a partir de la ley de

Hooke (Ec. 1.15).

De (Ec. 1.12):

11 6 6

.320 (0,494. ).3200,10.2,10 10 0,10.2,10 10

N Plx x

= = =

0,000753.P = (Ec. 1.26) La (Ec. 1.26) es vlida mientras las barras ( )2 y ( )1 se comportan linealmente. A partir

de la definicin de rigidez K , en el perodo lineal:

.0,000753.

P PP K U KU P

= = =

1328KgKcm

= (Ec. 1.27)

Cuando la carga es mayor que fP , (Ec. 1.12) y (Ec. 1.13) mantiene validez, pero 1l no puede calcularse en la hiptesis lineal (ley de Hooke). Utilizando la (Ec. 1.13), y la ley de Hooke

que sigue vlida para las barras ( )2 (hasta que dichas barras entren tambin en fluencia y se produzca el colapso del sistema):

2 226

.400 0,00238.0,80 0,80.(0,10.2,10 10 )

l N Nx

= = =

2N se calcula teniendo en cuenta que 1 1. 2600.0,10 260fN cte A Kg= = = = mientras dura la fluencia. Empleando (Ec. 1.10) que mantiene validez a pesar de la fluencia, se tiene:

2 2260(260) 1,60.

1,60PN P N + = =

2600,00238.1,60

P =


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -24-

0,38675 0,001488.P = + (Ec. 1.28) La rigidez del segundo tramo se obtiene a partir de la definicin de rigidez para los casos

no lineales:

0limU

P dPKU dU = =

De (Ec. 1.28) se tiene 672. 260P = + , derivando se tiene:

* 672KgKcm

= (Ec. 1.29)

Recurdese que la validez de (Ec. 1.28) y (Ec. 1.29) est limitada al valor de fP .

f uP P P< < .

Nota 1: la carga de fluencia puede incrementarse en un 28% antes que se produzca el

colapso.

Nota 2: la rigidez del sistema estructural se reduce a la mitad al entrar en fluencia la barra

central.

d) Las expresiones (Ec. 1.23) y (Ec. 1.24) desarrollados para 1 2A A= muestran que la barra ( )1 entra primero en fluencia. Corresponde preguntarse si es posible lograr que las barras entren simultneamente en fluencia con una relacin apropiada de 1A y 2A .

Llamando 21

AA

= y empleando (Ec. 1.17):

676 1,28.u fP P=

* 672K =

[ ]cm

600

500

400

200

[ ]P Kg

0,20 0,40 0,60 0,80

0,396 0,619

700

300

100

1,00

526,24fP =

2601328K =


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -25-

1 1 1,024.PN = + (Ec. 1.30)

Llevando (Ec. 1.30) a (Ec. 1.10) permite despejar:

12 1,60

P NN =

20,64.

1 1,024.N = + (Ec. 1.31)

Si se pretende que:

1 2 2 21 2

1 2 1 1

N N A NA A A N

= = =

0,64. = !!!No hay solucin Alternativa: Por la ley de Hooke, tenemos .E =

11 1

1 2

122 2

2

.320 320

0,64!!!0,80. .

320 400

l El

l El

= = = = = = =

2 10,64. = !!!! Conclusin:

Si todas las barras estn en el periodo lineal, la tensin en la barra ( )1 es mayor que en las barras ( )2 independientemente del valor de las reas.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -26-

Ejercicio N 3

Determinar el diagrama que relaciona el valor de la carga P y el

desplazamiento de su punto de aplicacin en la viga de la Fig.(c). Se supone que el

material se comporta elasto-plsticamente segn la Fig.(a) y que la seccin tiene un

diagrama momento-curvatura indicado en la Fig.(b).

Este ejemplo supone que al entrar en fluencia las fibras externas, entra en fluencia toda la

seccin, vale decir que el modulo plstico de la seccin pW es igual al modulo elstico.

( ) 3512 80,63

/ 2 6,35pIW W cm

h= = =

Para perfiles doble T la relacin 1,10pWW

. Tomando el factor de forma igual a la unidad se busca simplificar el clculo y lo que es ms importante, poner de manifiesto que las

estructuras hiperestticas pueden, en general, desarrollar formas alternativas de equilibrar la

carga despus de entrar en fluencia.

Para determinar la carga de fluencia fP debemos determinar donde ocurre el mximo M

en el periodo elstico y su valor en funcin de P . Siendo este un problema hiperesttico no es

posible determinar directamente el diagrama de M (momentos flectores).

150

P

150 300A

B C

4512Seccin doble T I cm=

12,70

.( )Fig c

2600 22600f

Kgcm

=

.( )Fig a

M

K

f pM M=

.( )Fig b


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -27-

Solucin del problema hiperesttico: De las tres reacciones verticales slo se pueden calcular dos empleando ecuaciones de

equilibrio esttico. Ntese que si se conociera por ejemplo la reaccin BR la determinacin de

las restantes reacciones y los esfuerzos internos resulta un simple problema de esttica.

Durante el periodo elstico vale el principio de superposicin y por lo tanto el efecto

simultaneo de P y BR es igual a la suma de los efectos por separado.

Las vigas isostticas de las figuras (II) y (III), pueden resolverse totalmente llegando a la

ecuacin de la elstica. Mientras que la viga hiperesttica de la fig. (I) debe cumplir una

condicin cinemtica extra, adems de las ecuaciones de equilibrio esttico. Dicha condicin

establece que el desplazamiento del punto B debe ser nulo.

Descomponiendo dicho desplazamiento como la suma de los desplazamientos de las vigas

de las figuras (II) y (III), se obtiene la llamada Ecuacin de compatibilidad:

0B BP RB + = (Ec. 1.32) Ntese que esta ecuacin no es una ecuacin de equilibrio y que a partir de ella se puede

determinar BR .

Para hallar los desplazamientos se recurre al resultado conocido de la elstica:

1

P

A B

a b

2x z

( )2 2 21. . .( ) . . .6. . . 6. . .A P a b l b P b x l b x x al E I l E I += = A CBPM

DPM

PMPM

No hay equilibrio COLAPSO


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -32-

( )max 3440 752u fP P P= + = + 4193uP Kg=

( )max 1,29 2,36D D DPu Pf P = + = +

3.65DPu cm =

Ntese que durante el primer tramo elstico la rigidez resulta: 23440,2 26601,2936

Kgcm

=

Al formarse la rotula plstica en D se reduce a: 2752,54 3182,3621

Kgcm

=

Mientras que al formarse la segunda rotula plstica la rigidez se hace cero.

Procedimiento alternativo: El comportamiento de la estructura despus de la formacin de la rotula plstica en la

seccin D de la .( )fig i , puede analizarse directamente sin descomponerlo en los estados de las

figuras .( )fig ii y .( )fig iii . Basta suponer una rotula en el punto D y los momentos plsticos

PM actuantes sobre cada extremo que concurre a D.

La carga ltima se tiene cuando el momento flector en B es igual al momento plstico

PM .

150. 419280 209638uP = 4193uP Kg=

Para calcular el desplazamiento en D causado por uP se determina el desplazamiento del

punto D como perteneciente a la viga DBC.

P

A CB

150. 1397,6 300BM P= =

209638209638

D3440P >

209638 1397,6( )150A

R cte= =

209638( )DM cte=


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -33-

Clculo de la carga ltima uP por Trabajos virtuales.

Cuando se conocen donde se van a forma las rotulas plsticas resulta muy simple

determinar la carga ltima donde un desplazamiento virtual de cuerpo rgido al mecanismo

formado por las rotulas y en equilibrio a travs de los momentos plsticos PM .

Ecuacin de T.V.

( ). . . .0 . 150. 0p p p p uM M M M P + + = 3. . 150. . 0p uM P + =

2 209638150u

P =

4193uP Kg=

uPA C

B

PMPM

PMPM

Sistema en equilibrio

150 150 300

Diagrama de desplazamientos virtuales

150

2795u AP R =

300209638PM =

M

l

2.2. .M l

E I =

TABLA

CAPITULO 2 ENERGIA INTERNA DE DEFORMACION

_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -1-

Captulo 2 Energa interna de deformacin

2.1- Energa interna de deformacin en slidos elsticos

Se dice que un slido es elstico si para cualquier carga exterior P , la relacin P U (Figura 2.1) se cumple mediante una nica ley a travs de los ciclos de carga y descarga (U es la

componente del desplazamiento del punto de aplicacin de la carga P en la direccin de dicha

carga)

Figura 2.1

En otros trminos, un slido es elstico cuando no se observan ciclos de histresis en el

diagrama P U a travs de los ciclos de carga y descarga. El trabajo desarrollado por la fuerza exterior durante la deformacin del slido est

representado por el rea rayada del diagrama P U (Figura 2.1) Si la carga crece lentamente de modo de no producir aceleraciones y el slido es

elstico (por lo que el diagrama de cargas es reversible), entonces todo el trabajo externo We de

la carga queda almacenado en forma de energa interna de deformacin, Wi .

.= We P dU (Ec. 2.1)

P

U


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -2-

Wi We= (Ec. 2.2) Cuando se trata de slidos elsticos, el trabajo de las fuerzas exteriores es por

definicin igual a la energa interna de deformacin. La energa elstica acumulada en el cuerpo deformado se restituye cuando el slido

recupera su forma primitiva. Por lo tanto, Wi es energa potencial elstica de deformacin. Cuando un slido es elstico y el diagrama P U es una lnea recta (Figura 2.2) se dice

que es un slido linealmente elstico.

Figura 2.2

Para el caso de un resorte de rigidez K constante resulta:

.P K U= (Ec. 2.3) que corresponde al grfico de la Figura 2.2, donde la recta tiene pendiente K .

Llevando la ecuacin (Ec. 2.3) a (Ec. 2.1) tenemos segn (Ec. 2.2):

( )1 210

1. . . .2

= = =U

Wi We K U dU K U (Ec. 2.4)

valor que coincide con el rea rayada del tringulo de la Figura 2.2.

Introduciendo la ecuacin (Ec. 2.3) a (Ec. 2.4) se tiene: 2

11 .2

PWiK

= (Ec. 2.5)

1 11 . .2

We P U= (Ec. 2.6) Tanto (Ec. 2.4) como (Ec. 2.5) son expresiones numricamente iguales para slidos

linealmente elsticos, pero se debe destacar que en (Ec. 2.4) Wi es funcin de las deformaciones

y en (Ec. 2.5) de los esfuerzos.

A continuacin se analiza el caso en que la carga aplicada en el extremo del resorte (de

rigidez constante) se aplica en forma repentina en vez de realizarse gradualmente.

P

U

1P

1U


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -3-

En este caso, en la expresin de Wi sigue apareciendo el factor ( )1 2 dado que la carga P que toma el resorte depende slo de su deformacin ( P es proporcional a U ).

1 11 . .2

=Wi P U (Ec. 2.7) Sin embargo, la energa potencial debida a la carga aplicada en este caso no sera igual a

1 11 2. .P U (ya que la misma se aplica en forma brusca) sino que ahora es:

1 1.=We P U (Ec. 2.8)

Figura 2.3

De las (Ec. 2.7) y (Ec. 2.8) puede demostrarse que la deformacin mxima que se

desarrollar ser el doble que la deformacin que habra tenido si la carga se aplicaba en forma

gradual, es decir que el factor de amplificacin dinmica por la aplicacin repentina

(instantnea) de la carga es igual a 2. Este tema se abordar en detalle en el captulo sobre

Dinmica Estructural

Para slidos linealmente elsticos Wi puede calcularse por cualquiera de las

expresiones (Ec. 2.4), (Ec. 2.5) y (Ec. 2.6), aun en el caso de que la carga no crezca

muy lentamente (siempre que K cte= ). A continuacin se desarrollan las expresiones de Wi para estructuras de barras de

materiales que siguen la ley de Hooke.

P

U

1P

1U

We

P

U

1P

1U

Wi


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -4-

2.2- Clculo de la energa interna de deformacin Wi Causado por el esfuerzo axial N :

Figura 2.4

Se considera un tramo de barra de longitud infinitesimal dx para el cual resulta N cte= , entonces el trabajo externo infinitesimal vale:

1 1. . . . .2 2

dWe N dx Wi dWe N dx = = = (Ec. 2.9) Ecuacin que se cumple para slidos elsticos en general. Si se supone vlida la ley de

Hooke (slido linealmente elstico), se tiene:

.. .

N l l NlA E l A E

= = = (Ec. 2.10) Donde:

l = Longitud de la barra E = Mdulo de elasticidad A =rea de la seccin =Deformacin especfica longitudinal Llevando la ecuacin (Ec. 2.10) a (Ec. 2.9):

2

0

1 .2 .

l NWi dxA E

= (Ec. 2.11) Que expresa Wi en funcin del esfuerzo normal N para el caso lineal.

Tambin puede expresarse:

2

0

1 . . .2

l

Wi A E dx= (Ec. 2.12) Que expresa Wi en funcin de la deformacin especfica para el caso lineal.

dx

N

N

dx

N

N

.dx


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -5-

Wi Causado por el Momento Flector M :

Figura 2.5

Considerando un tramo de viga de longitud infinitesimal dx , para el cual se supone

M cte= , el trabajo externo infinitesimal vale: 1 . .2

dWe M d= .d dx =

0

1. . .2

= = lWi dWe dx M dx (Ec. 2.13) ddx = =Curvatura longitudinal

La (Ec. 2.13) vale para slidos elsticos en general. Si se supone vlida la ley de Hooke.

(Slido linealmente elstico)

.. .

M Md dxE I E I

= = (Ec. 2.14) Llevando (Ec. 2.14) a (Ec. 2.13) tenemos:

2

0

1 .2 .

l MWi dxE I

= (Ec. 2.15) Esta ltima expresa Wi en funcin del Momento flector M para slidos linealmente

elsticos. Puede tambin escribirse:

2

0

1 . . .2

l

Wi E I dx= (Ec. 2.16) La anterior expresa Wi en funcin de la curvatura para el caso lineal.

d

dx

M M


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -6-

Wi Causado por el Esfuerzo de Corte Q :

Figura 2.6

Considerando un tramo de viga de longitud infinitesimal dx , para el cual se supone

Q cte= , el trabajo externo infinitesimal vale: 1 . .2

dWe Q du= .du dx=

0

1. . .2

= = lWi dWe dx Q dx (Ec. 2.17) La (Ec. 2.17) vale para slidos elsticos en general. Si se supone vlida la ley de Hooke

.. .c c

Q Qdu dxA G A G

= = (Ec. 2.18) Llevando (Ec. 2.18) a (Ec. 2.17) se tiene:

2

0

1 .2 .

l

c

QWi dxA G

= (Ec. 2.19) 2

0

1 . . .2

l

cWi A G dx= (Ec. 2.20) Tanto (Ec. 2.19) como (Ec. 2.20) corresponden a slidos linealmente elsticos.

( . )cA G = Es la rigidez al corte. cA = Es el rea de corte que es en general menor que el rea de la seccin y depende de la

forma de la misma.

Q

du

Q

dx


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -7-

Wi Causado por el momento torsor Mt

Figura 2.7

Procediendo de la misma manera se tiene:

1 . .2

dWe Mt d= .d dx =

0

1. . .2

= = lWi dWe dx Mt dx (Ec. 2.21) Si se introduce la ley de Hooke:

.. .p p

Mt Mtd dxG J G J

= = (Ec. 2.22) Reemplazando (Ec. 2.22) en (Ec. 2.21):

2

0

1 .2 .

l

p

MtWi dxG J

= (Ec. 2.23) 2

0

1 . . .2

l

pWi G J dx= (Ec. 2.24) Que corresponden a slidos linealmente elsticos.

= Es la deformacin especfica (giro por unidad de longitud). ( . )pG J = Es la rigidez a la torsin.

pJ = Es el momento polar de inercia slo para el caso de secciones circulares o anulares. Para secciones no circulares no es el momento polar de inercia sino un parmetro generalizado

que se define en la teora general de la torsin de secciones no circulares.

Mt

dx

d

Mt


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -8-

Wi Para el caso de solicitaciones combinadas

Debe notarse que para cada tipo de solicitacin corresponde un tipo de deformacin

independiente. As, depende exclusivamente de N , depende exclusivamente de M , etc.; an en el caso que las solicitaciones sean simultneas. Por lo tanto, la energa total para este caso

se obtiene como la suma de los distintos trminos: 2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 1. . . .2 . 2 . 2 . 2 .

l l l l

p c

M Mt N QWi dx dx dx dxE I G J A E A G

= + + + (Ec. 2.25) 2 2 2 2

0 0 0 0

1 1 1 1. . . . . . . . . . . .2 2 2 2

l l l l

p cWi E I dx G J dx A E dx A G dx = + + + (Ec. 2.26) Segn se puede apreciar en (Ec. 2.25) y (Ec. 2.26), Wi es una funcin cuadrtica en

los esfuerzos o en las deformaciones especficas y por lo tanto resulta:

0Wi (Ec. 2.27) Obsrvese que si se duplica la carga, la energa Wi se hace 4 veces mayor. Por esta razn,

no es correcto sumar la energa correspondiente a una carga iP con la energa correspondiente a

otra jP calculadas independientemente; se requiere determinar primero los esfuerzos totales

como superposicin de esfuerzos debidos a las distintas cargas y recin calcular la energa

interna que es una funcin cuadrtica de las cargas.

En las expresiones (Ec. 2.25) y (Ec. 2.26) debe considerarse para la flexin dos trminos

correspondientes a los momentos flectores respecto a los dos ejes principales de inercia, para los

cuales las deformaciones (curvaturas) son independientes. Lo mismo ocurre con el esfuerzo de

corte que debe considerarse segn las direcciones de los dos ejes principales de inercia.

Notar que se cumple: 0

. . 0l

i jE d dx = cuando i j Donde:

iE =Es un esfuerzo determinado, como ser: , , , .N M Q Mt jd = Es la distorsin asociada al esfuerzo jE .


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -9-

2.3- Aplicaciones del postulado Wi We= 1- Calcular la flecha en la viga simplemente apoyada de la Figura 2.8 cargada en el centro del tramo.

Figura 2.8

1 . .2

We P Wi= = 2 2

0 0

1 1 1. . . .2 2 . 2 .

l l

c

M QP dx dxE I A G

= + (Ec. 2.28) Se desprecia la energa de deformacin por corte frente a la de flexin. Esto equivale a

despreciar la deformacin por corte frente a la deformacin por flexin (suele ser menor del 1%).

( ) .2PM x x=

Por simetra, la energa en toda la viga es dos veces la energa correspondiente a la mitad. / 2/ 2 2 2 2 3 2 3

20 0

1 1 . 1 1 .. . . 2. . . . .2 2 2 . . 2 2. . 3 2 48. .

ll P x P x P lP dxE I E I E I

= = = Finalmente:

3.48. .

P lE I

= (Ec. 2.29) El postulado de igualdad entre We y Wi permite calcular el desplazamiento del punto de

aplicacin de la nica fuerza actuante. (Ver el primer miembro de (Ec. 2.28)).

lx

P

( )M x


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -10-

2- Calcular la flecha en la viga simtrica de la Figura 2.9

Figura 2.9

Tramo Momento flector Limites

A-D 13 . .2

P x 10 4lx

D-C 2 2 23 3. . . . . .2 4 8 2

l PP x P x P l x + = + 20 4lx

(Ec. 2.30)

1 1 1 1. . . . . . . .2 2 2 2i i D C E

We P P P P = = + + 21 .

2 .MWi dxE I

= (Se desprecian las deformaciones de corte).

Haciendo We Wi= se tiene una nica ecuacin con tres desplazamientos incgnitas ( , , )D C E . (En rigor, por simetra resultan slo dos incgnitas).

El problema puede ser resuelto en forma aproximada asumiendo una forma para la

elstica. A tal efecto, se supone una elstica aproximada con forma de parbola simtrica

respecto al centro con un parmetro 0 a determinar:

xx

y

0

0

l1x

P PP

2x

P PP

xA BCD E


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -11-

2

0 2. 1 4.xyl

= (Ec. 2.31)

Wi se calcula en forma exacta a partir de los momentos dados en (Ec. 2.30). 2 2/ 4 / 4 2 3

1 1 2 20 0

1 3 3 23 .. 2. . . . . . . . .2 . 2 8 2 384 .

l l P P lWi P x dx P l x dxE I E I

= + + = (Ec. 2.32) Se puede calcular We en forma aproximada utilizando (Ec. 2.31).

( )( / 4) (0) ( / 4)1 . .2 l lWe P y y y + + ( / 4) ( / 4) 0

3 .4l l

y y = = ; (0) 0y =

0 01 3 3 5. . . 1 . .2 4 4 4

We P P + + (Ec. 2.33) Igualando (Ec. 2.32) y (Ec. 2.33): We Wi=

2 3

023 . 5. . .

384 . 4P l PE I

3

0.

20,86. .P l

E I (Ec. 2.34)

El resultado que se obtiene con procedimientos exactos es:

3

0.

20,21. .P l

E I = (Ec. 2.35)

La (Ec. 2.34) presenta slo un 3% de error en defecto.

Tambin es posible aproximar la elstica por una sinusoide del tipo:

0.. xy senl = (Ec. 2.36)

01 3. . . .2 4 2 4

We P sen sen sen + +

01, 207. .We P (Ec. 2.37)

xx

y

0

l


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -12-

La energa interna se determina en forma exacta en (Ec. 2.32) mientras que (Ec. 2.37) es

una aproximacin del trabajo externo basada en (Ec. 2.36). Igualando We con Wi tenemos: 2 3

023 .. 1, 207. .

384 .P l PE I

3

0.

20,15. .P l

E I (Ec. 2.38)

Este resultado presenta un error en exceso del 0.3%.


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -13-

3- Calcular el rea de corte para una seccin rectangular

Figura 2.10

La tensin de corte (y) no es constante en la altura de la viga y su valor en funcin del

momento esttico S(y) se encuentra utilizando el teorema de Jouravski:

( )( )

yy

rect

Q Sb I

= ; 3.

12rectb hI =

( )/2 2 2( ) . . .2 4h

yy

b hS y b dy y = =

2

( ) 2

6. 1.. 4yQ y

b h h = (Ec. 2.39)

( )( )

yy G

= (Ec. 2.40) Para obtener la energa de deformacin por corte en el tramo dx debe integrarse primero

en la altura de la viga(variable y) y luego integrarse a lo largo de la viga (variable x):

( )N/ 2 2

2 2( )

0 0 / 2 0

1 1 1 6. . . . . . . . . . . .2 2 2 5 . .

c

l l h l

c yh dA

QWi A G dx b dy G dx dxb h G

= = = (Ec. 2.41) ( ).cdA b dy= = rea de corte infinitesimal donde la tensin es constante ( ) ( ).y y G =

Comparando (Ec. 2.41) con (Ec. 2.19) resulta:

dx

y

b

h

dQ

.dQ dA=

dx

dy

.dA b dy=

( )y( )y


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -14-

2 26 .5 . . .c

Q Qb h G A G

=

5 .6c

A A= (Ec. 2.42)

Conclusin:

En lugar de considerar la tensin de corte variable a lo largo de la altura de la

viga segn la expresin (Ec. 2.39) se puede considerar una tensin constante m actuando sobre el rea de corte cA a los efectos del clculo de la elstica incluyendo las

deformaciones por corte de una viga de seccin rectangular:

5 . .6

mc

Q QA b h

= = (Ec. 2.43)


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -15-

4- rea de corte para una viga reticulada

En casos de estructuras livianas del tipo de la Figura 2.11 que se construyen con hierros

redondos soldados con frecuencia no conviene tratarlas como reticulado por el elevado nmero

de barras sino como una barra de alma llena con propiedades equivalentes.

Figura 2.11

Donde:

A =rea de cordn ; mA =rea de montante ; dA =rea de diagonal Se busca una viga de alma llena equivalente que tenga igual deformacin por flexin y

corte que la viga reticulada. El momento de inercia se calcula por el teorema de Steiner. Se

puede despreciar los momentos de inercia de las barras respecto a su propio eje. 2

24. . .2hI A A h = = (Ec. 2.44)

La determinacin del rea de corte cA de la viga equivalente requiere el clculo de la

energa de deformacin por corte. Para un tramo de viga de longitud a se tiene:

Figura 2.12

a

A

dAmA

2h

2Q

mF

a

dF


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -16-

El sistema de apoyos deslizantes slo permite deformaciones por corte. Se considera la

mitad del corte actuando sobre cada una de las caras del reticulado.

2mQF = ;

2. ( )dQF

sen = (Ec. 2.45) El corte se traduce en fuerzas axiales en las diagonales y en los montantes cuyos valores

estn dados por (Ec. 2.45).

La energa de deformacin es:

2 2( ) ( )1 12. . .2 2. .

d m

d md m

F FWi E EA Al l

= + (Ec. 2.46)

El coeficiente 2 en (Ec. 2.46) resulta de considerar las dos caras verticales del reticulado.

Se ha considerado slo un montante ya que existe uno por mdulo que se repite (el montante de

la izquierda se lo considera perteneciente al modulo anterior). Introduciendo (Ec. 2.45) en (Ec.

2.46): 2

2

1 . .2 2. . ( ) 2.

d m

d m

l lQWiE A sen A

= + (Ec. 2.47)

En el caso de una viga de alma llena la energa de deformacin por corte est dada por

(Ec. 2.19). Integrando en un tramo de longitud a : 21 . .

2 .c

QWi aA G

= (Ec. 2.48)

Igualando (Ec. 2.47) y (Ec. 2.48) y observando que:

cos( )dl a = . tan( )ml h a = =

2

1. 1 tan( )2. . ( ).cos( ) 2.

c

d m

EAG

A sen A

= + (Ec. 2.49)

Este valor puede ser del orden del 10% del rea de la seccin transversal (4. )A por lo que

las deformaciones por corte no resultan siempre despreciables frente a las deformaciones por

flexin y deben tenerse en cuenta en los clculos. Para resolver problemas hiperestticos es

necesario calcular deformaciones y esas deformaciones deben considerar los esfuerzos de corte a

travs del rea de corte cA .


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -17-

Una vez determinado el diagrama de M podemos hallar la mxima solicitacin en los

cordones (que son los que absorben la flexin), a partir del mximo momento flector:

max max max2. .. 2c

M M M hrW I A h

= = =

max

2. .cM

A h = (Ec. 2.50)

r = Distancia del eje neutro a la fibra ms alejada.

Como alternativa se puede considerar que el momento flector M esta equilibrado por

fuerzas F en los cordones tales que:

Figura 2.13

4. . 4. . .2 2h hM F A = =

Y llegamos a (Ec. 2.50).

Los esfuerzos mximos en las barras diagonales y montantes (que absorben el corte) se

calculan segn (Ec. 2.45) a partir del mximo corte.

max

2m

m mm

Q FFA

= = ; max2. ( )d

d dd

Q FFsen A

= = (Ec. 2.51)

.F A=

F

2h


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -18-

5- Determinacin de la constante elstica de un resorte de paso grande.

Se aplican dos fuerzas que comprimen el resorte y se determinan los esfuerzos en una

seccin genrica.

Figura 2.14

Para calcular Wi se utiliza la ecuacin (Ec. 2.25):

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 20

. . . .cos . .cos1 1 1 1. . . .2 . 2 . 2 . 2 .

l

p c

P R sen P R P sen PWi dl dl dl dl

E I G J A E A G = + + + (Ec. 2.52)

Como todos los esfuerzos son constantes a lo largo del desarrollo del resorte salen fuera

del signo de la integral.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2. . . .cos . .cos1 . .2 . . . .p c

P R sen P R P sen PWi dl

E I G J A E A G = + + + (Ec. 2.53)

El largo " "l del resorte puede deducirse de la Figura 2.15:

Figura 2.15

( )2. . .cos

R ndl l = = n =Nmero de vueltas del resorte El trabajo externo resulta:

l

( )2. . .R n

P

P

s

s

P

s

s .M P R=

( ). .M P R sen =

( ). .costM P R =( ).N P sen =( ).cosQ P =

P


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -19-

1 1. . . .2 2

PWe P PK

= =

Haciendo Wi We= se despeja la constante del resorte: ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

cos

. .cos cos. 2. . .

. . . .p c

KR sen R sen

R nE I G J A G A E

= + + +

(Ec. 2.54)

Despreciando la contribucin de las deformaciones por esfuerzo de corte y normal; y

considerando un alambre circular de dimetro d de acero se obtiene: 4

4

.64

.32

0, 40.

P

dJ

dJ

G E

= = =

( )

( ) ( )4

3 2 2

. .cos5128. . .cos .4

E dK

R sen n

= + (Ec. 2.55)

Si es pequeo la flexin deja de tener importancia y el resorte trabaja fundamentalmente a la torsin (y al corte).


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -20-

6- Calcular el desplazamiento vertical ( )v del punto de aplicacin de la nica carga que acta sobre la estructura.

Figura 2.16

1 . .2 v

We P= La energa interna es la suma de la energa de todas las barras.

Wi Para una barra es segn (Ec. 2.6) un medio del producto del esfuerzo jN por la

elongacin je .

1 . .2 j j

Wi N e= Suponiendo el material lineal se tiene por Hooke:

.j

j

j

Ne

A El

=

Si se impone la condicin Wi We= . 21 1. . .

.2 2j

v

j

NP

A El

=

21 ..

jv

j

NA EP

l

= (Ec. 2.56)

P


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -21-

Ejercicio N 1:

Comprobar que la energa de deformacin es igual al trabajo de deformacin cuando un

fleje de largo " "l se lleva a la forma circular mediante momentos iguales y opuestos actuando en

los extremos.

Se puede asegurar que la forma final es una circunferencia porque al ser el momento

constante en todo el fleje y el momento de inercia tambin constante tendremos curvatura

constante.

1.

Mr E I= (Ec. 2.57)

Trabajo externo: Es el trabajo del momento a travs del giro:

1 . .2

2.

We M

= = .We M =

Energa de deformacin: es la energa de deformacin por flexin: 2

0

1 1. . . .2 . 2 .

l M MWi dx M lE I E I

= = Segn (Ec. 2.57):

1.

MKr E I

= = Adems: 2. .l r= Reemplazando:

1 1. . .2. .2

Wi M rr

= .Wi M =

Luego:

We Wi=

l

M M

r


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -22-

Ejercicio N 2:

Determinar el valor de la mxima fuerza elstica que puede proveer la arandela y el valor

que tendr .

2

2

0,20 2

8 8400

2 21000

1 60f

KgR mm Gmm

Kga mm Emm

Kgb mmmm

= =

= =

= = =

El mximo momento torsor ocurre en la seccin S.

2. .tM P R= La mxima tensin de corte ocurre en el punto A:

34

34

4, 072

4,37

. 0.166712. 0.4577

ab

a bI mm

a bJ mm

== == =

= =

De Tablas

1l

2l

( )( )1. . . 1 costM P l P R = =

( )2. . .M P l P R sen = =

R

P

P

ab


_____________________________________________________________________________________________PRATO, MASSA -23-

max 2 2

2 8. 4,07 32,60.. 2 1

tM P Pa b

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