CCAAPPIITTUULLOO 22 SSIIMMUULLAACCIINN DDEE PPRROOCCEESSOOSS QQUUMMIICCOOSS

LLooss TTeemmaass aa ttrraattaarr eenn eessttee ccaappttuulloo iinncclluuyyeenn:: Respuesta dinmica a lazo abierto de sistemas de 1er orden Respuesta dinmica a lazo abierto de sistemas de orden

superior Simulacin con Excel Simulacin con MATLAB-Simulink

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS i SSIIMMUULLAACCIINN DDEE PPRROOCCEESSOOSS El resultado ms importante que se obtiene de desarrollar el modelo matemtico de un proceso industrial es comprender las razones por las cuales el proceso se comporta de una manera determinada, ya que se pueden ver con mayor claridad las relaciones causa-efecto entre las variables. Al desarrollar un modelo el ingeniero qumico ejerce su juicio ingenieril para determinar las suposiciones que pueden hacerse con validez de manera que puedan obtenerse respuestas que sean suficientemente buenas. Estas suposiciones deben considerarse cuidadosamente y ser enumeradas, ya que ellas imponen limitaciones al modelo que deben tenerse en cuenta cuando se evalan los resultados que predice. Al desarrollar un modelo matemtico se deben mantener en mente las tcnicas y herramientas de solucin disponibles. Para describir el comportamiento dinmico de un proceso qumico se tienen que integrar las ecuaciones usadas para modelar el proceso. La mayora de los procesos de inters estn modelados por ecuaciones diferenciales no lineales y no hay una teora matemtica general para la solucin analtica de tales ecuaciones. Para este caso se requiere de soluciones numricas asistidas por la computadora. Muchas veces no es slo la no-linealidad sino el tamao del modelo lo que impone el uso de las soluciones numricas para estudiar el comportamiento dinmico de un sistema. Hoy en da la simulacin por computadora es usada extensivamente para analizar la dinmica de los procesos fsicoqumicos o para auxiliar en el diseo de controladores y estudiar su efectividad para controlar un proceso dado. La disponibilidad de paquetes con rutinas de resolucin numrica, para casi cualquier sistema de computacin disponible, ha simplificado la base requerida para simulacin de procesos. Si bien es importante solucionar los modelos matemticos por medio de tcnicas numricas programadas en un computador, no menos importante es la interpretacin del comportamiento dinmico del proceso. Para esto es necesario tener una idea general de las caractersticas dinmicas de los procesos de ingeniera qumica. CCAARRAACCTTEERRSSTTIICCAASS DDIINNMMIICCAASS DDEE LLOOSS PPRROOCCEESSOOSS

Estas caractersticas se refieren a la forma de la respuesta de un proceso ante cambios en la(s) variable(s) de entrada y al tiempo que le toma a estos procesos producir esta respuesta. La forma de la respuesta est asociada a la forma de la entrada y el tiempo de respuesta a las propiedades fsicas y parmetros de operacin del proceso.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS ii A

Attrraassooss En la mayora de los casos el comienzo de la respuesta, una vez que se produce el cambio en la entrada, es instantneo pero no se completa hasta despus de transcurrido cierto tiempo. Esto es, hay un ATRASO en la respuesta, el cual puede tener diferentes formas. La ms comn para un cambio tipo escaln en la entrada es: AAttrraassoo ddee 11eerr OOrrddeenn

Ecuacin. Diferencial

Funcin de Transferencia

)x(Kfydxdy =+

1sK

)s(X)s(Y

+= 63.2%

63.2%

tiempo

Y(t)

tiempo

Y(t)

KAKAKAKA

Parmetros dinmicos: Parmetros estticos: K

El parmetro dinmico, , es la constante de tiempo del sistema y corresponde al 63.2% del cambio total de la variable de salida para una entrada en escaln de magnitud A. El parmetro esttico, K, es la ganancia del proceso y representa la sensibilidad de la respuesta de la variable de salida para cambios en la variable de entrada. La solucin analtica del atraso de 1er orden esta dada por la siguiente expresin:

)e1(KA)t(Y /t = Para un tiempo muy largo (t) el valor de la variable de salida Y(t) ser KA. En trminos prcticos se establece que este valor se alcanza en 4 o 5 veces el valor de AAttrraassoo ddee 22ddoo OOrrddeenn Los sistemas de 2do orden estn representados por la funcin de transferencia:

1s2sK

)s(X)s(Y

P22

p ++=

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS iii Cuando la variable de entrada, X(s), cambia como un salto en escaln unitario, la respuesta toma la forma:

)rs)(rs(sK

)1s2s(sK

)s(Y21P

22p

=++=

donde:

1

r1

r2

2

2

1

=+= De las dos ltimas ecuaciones se infiere que la respuesta de este sistema es funcin del valor del coeficiente de amortiguacin, .

Ecuacin Diferencial )x(Kfydx

dy2

dxyd

P2

22P =++

Funcin de Transferencia

1s2sK

)s(X)s(Y

P22

p ++=

KA

Y(t)

t

KA

Y(t)

t

Parmetros dinmicos: P, Parmetros estticos: K

Respuesta subamortiguada, < 1 Cuando es menor que 1 las races r1 y r2 son complejas y la respuesta que se obtiene se expresa por medio de la siguiente ecuacin:

+

=

212/t

2

1tan

t1sene

1

11KA)t(Y

Respuesta crticamente amortiguada, = 1 Cuando es igual a 1 las races r1 y r2 son reales e iguales y la respuesta que se obtiene se expresa por medio de la siguiente ecuacin:

+=

t

et

11KA)t(Y

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS iv Respuesta sobreamortiguada, > 1 Cuando es mayor que 1 las races r1 y r2 son reales y distintas y la respuesta que se obtiene se expresa por medio de la siguiente ecuacin:

++

+=

1

1e1

1ee5.01KA)t(Y2

1

2

1/t

22

Las respuestas de los sistemas de control son, en general, semejantes a la de los sistemas amortiguados descritos anteriormente. La diferencia ms importante entre las respuestas de los sistemas de 2do orden y los de 1er orden, cuando se someten a un cambio en escaln, es que en la de 2do orden la pendiente mayor no se presenta al inicio de la respuesta, sino tiempo despus. Los sistemas de 1er orden no oscilan y en los de 2do orden puede haber oscilacin. El anlisis de la respuesta del sistema subamortiguado es de particular inters en el estudio de control de procesos ya que la respuesta de la mayora de los circuitos cerrados es semejante a la subamortiguada. A continuacin se definen algunos trminos importantes en relacin con la respuesta subamortiguada mostrada en la figura 2.1:

T

b

a

c

tR tS

Lmite de tiempode asentamiento

KA

Y(t)

t

Figura 2.1. Respuesta subamortiguada de un sistema de 2do orden para una entrada en escaln. Sobrepaso: Es la cantidad en que la respuesta excede el valor final de estado estacionario; generalmente se expresa como la relacin b/a:

21/eab =

21/2e

bc =Razn de asentamiento: Se define como:

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS v Este trmino sirve como criterio para caracterizar a la respuesta de los sistemas de control. Tiempo de elevacin, tR: Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera vez el valor final. Tiempo de asentamiento, tS: Es el tiempo que tarda la respuesta en llegar a ciertos lmites preestablecidos del valor final y permanecer dentro de ellos. Los valores tpicos de estos lmites son 5% 3% Perodo de oscilacin, T. Se expresa por: , tiempo/ciclo

21

2T

=

TT eemmppoo MMuuee ttoo ii rr

Muchos sistemas no responden de inmediato, hay un intervalo de tiempo durante el cual el sistema no responde. Este intervalo se conoce como TIEMPO MUERTO, atraso de transporte, atraso puro o atraso de distancia-velocidad. El tiempo muerto es un elemento importe en el modelado matemtico de procesos qumicos y tiene un serio impacto en el diseo efectivo de controladores.

La respuesta de un proceso de primer orden con tiempo muerto y su funcin de transferencia se representa por:

1sKe

)s(X)s(Y Ds

+=

tt ii

D Parmetros dinmicos: , D RReessppuueess aa nnvveerrssaa Algunos procesos comienzan a responder en la direccin opuesta de la respuesta final. Tal comportamiento se conoce como RESPUESTA INVERSA. Los sistemas con este tipo de respuesta son particularmente difciles de controlar y requieren especial atencin. La respuesta inversa es el resultado de dos efectos opuestos y en este caso la funcin de transferencia tiene un cero positivo. La respuesta de un proceso con respuesta inversa y su funcin de transferencia se representa por:

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS vi

TT eemmppoo ddee RReess ddeenncc aaii ii ii

tt

Respuesta Proceso 1Respuesta Proceso 1

Respuesta Proceso 2Respuesta Proceso 2

Respuesta globalRespuesta global

tt

Y(t)Y(t)

X(t)X(t)

tt

1sK

1

1

+

1sK

2

2

+

Proceso 1Proceso 1

Proceso 2Proceso 2

X(s)X(s)X(s)X(s)+-

Y(s)Y(s)+-+-

Y(s)Y(s)

Cuando el sistema contiene elementos donde se retiene masa o energa es importante evaluar el tiempo de retencin o de residencia de esta masa o energa. Este tiempo se define como el requerido para desalojar la masa o energa despus de interrumpir la entrada de la misma al elemento. Para el caso de un recipiente, el tiempo de residencia viene dado por:

Tr = A*h/F Donde: Tr = Tiempo de residencia, min A = rea transversal del recipiente, m2

h = Nivel de lquido, m F = Flujo de salida, m3/min PPrroocceessooss IInn eeggrraanntteess yy NNoo IInntteeggrraanntteess La mayora de los sistemas alcanza un nuevo valor en el estado estacionario despus de un Cambio en las variables de entrada. Estos procesos se denominan auto-regulados o no - integrantes. En este caso el fenmeno de acumulacin producido por la entrada acta sobre la salida. Un ejemplo tpico es el nivel de un tanque que descarga por gravedad. El nivel de un tanque que descarga a travs de una bomba exhibe una respuesta de tipo integrante o no autoregulada. Si hay un desbalance entre la entrada y la salida el tanque se desbordar o se vaciar. En este caso, tericamente la acumulacin no tiene lmite ya que no hay conexin entre el fenmeno de acumulacin y la salida de flujo del sistema. El proceso integrante no alcanza el estado estacionario despus de un cambio en las variables de entrada por lo cual debe ser controlado.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS vii Otro ejemplo notable de procesos inestables a lazo abierto es el reactor mezcla completa exotrmico. En el caso del tanque que descarga con una bomba y en el reactor exotrmico la funcin de transferencia y el diagrama de bloques pueden brindar una valiosa informacin en relacin con la estabilidad de un sistema. En el caso del tanque el balance de masa, asumiendo densidad constante resulta:

)t(F)t(Fdt

)t(dhA se =

Y la funcin de transferencia es:

))s(F)s(F(As1

)s(H se = Se puede observar un elemento integrante en la funcin de transferencia (1/As) que explica matemticamente la inestabilidad. En el caso del reactor exotrmico las funciones de transferencia se obtienen de aplicar el operador de Laplace a las ecuaciones (4.1), (4.2) y (4.3) linealizadas, resultando:

(1s +1)CA(s) = K1CAI + K2FI - K3T (2s +1)T(s) = -K3FI + K5TI + K6CA + K7TJ

(3s +1)TJ(s) = K8TJ0 - K9FJ + K10T El diagrama de bloques a lazo abierto de este proceso se muestra en la figura 12 en la cual se puede observar el feedback positivo en la relacin entre T(s) y TJ(s). Sustituyendo las expresiones de CA(s) y TJ(s) en la expresin de T(s) se obtienen las funciones de transferencia entre T y las variables de entrada. As:

[ ]10763 978762i6154 GGGG1FJGGTJOGGFIGGCAGGTIGFIG

)s(T ++++++=

El criterio general de estabilidad establece que la respuesta de una variable de salida ante un cambio acotado en una de las variables de entrada que la afectan, ser estable si y slo si todas las races del denominador de la funcin de transferencia son negativas. Desarrollando el polinomio del denominador de la ecuacin anterior se obtiene el siguiente polinomio en s: (123)s3 +(12 + 13 + 23)s2 +(1 +2 +3 + K3K63 - K7K101)s +(1+K3K6 + K7K10) Si al menos una raz real o la parte real de una raz imaginaria de este polinomio es negativa, entonces el sistema ser inestable a lazo abierto.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS viii

CA CA

T T T TJJ

G1

G10

G6 G3

G2

G4

G7G9

G8

CACAII

FI FI

TJ0 TJ0

++

++++

--

G5

++--

++FFJJ

++--

TI TI

++

Figura 2.2. Diagrama de bloques a lazo abierto del reactor mezcla completa.

Para los datos mostrados en la Tabla 1:

TABLA 1. Parmetros y variables en estado estacionario del Reactor Mezcla Completa

F= 40 pie3/hr U = 150 BTU/(hr-pie2-R) V= 48 pie3 A = 250 pie2C A0 = 0.50 moles/ pie3 TJ0 = 530 R T = 600 R T0 = 530 R TJ = 594.6 R HR = -30000 BTU/mol FJ = 49.9 pie3/hr CP = 0.75 Btu/lbm - R VJ = 3.85 pie3 CPJ = 1.0 Btu/lbm - R k = 7.08 X 1010 hr -1 = 50 lbm/ pie3 E = 30,000 BTU/mol J = 62.3 lbm/ pie3 R = 199 BTU/mol R TSP = 600 R

Las races son: -182.15, -0.9583 y 0.488. Luego para estos datos el reactor es inestable a lazo abierto ya que una de las races es positiva.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS ix SSIIMMUULLAACCIINN CCOONN EEXXCCEELL La hoja de clculo Excel es una herramienta que puede usarse para la simulacin de procesos qumicos. Mediante la aplicacin de mtodos numricos se pueden aprovechar las potencialidades de este paquete en relacin con el manejo grfico. El siguiente ejemplo mostrar como utilizar el Excel como herramienta de simulacin de procesos qumicos. Ejemplo 2.1. Tanque de calentamiento La siguiente figura muestra un tanque de calentamiento cuyo objetivo es calentar la corriente de procesos lquida, F, a travs de un serpentn con vapor de agua, FS. La operacin es a volumen constante y se quiere estudiar el cambio en la temperatura del tanque para variaciones del flujo (F), de la temperatura de alimentacin (Ti) y del flujo de vapor (Fs).

V=4000 lb

T, F

Vapor, F S

, FiT El balance de Energa para este proceso es:

sp

si FVC

TVF

TVF

dtdT

+= (2.1)

Los datos para las condiciones iniciales son:

F = 50000 lb/h, Fs = 3056 lb/h, Cp = 0,5 BTU/lb-F, T(0) = 190 F, Ti = 80 F, V = 4000 lb, s = 900 BTU/lb

Para la resolucin numrica de esta ecuacin se utilizar el mtodo de Euler. Este es el mtodo ms sencillo de resolucin numrica de ecuaciones diferenciales ordinarias. El clculo del valor de la funcin y(x) para cada cambio de la variable independiente x, se calcula como:

yn+1 = yn + hf(yn, xn)

Donde: f(yn, xn) es la derivada evaluada en el punto ensimo. h es el tamao del paso en la variable independiente.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS x Para resolver esta ecuacin diferencial a travs del mtodo de Euler usando Excel, lo primero que se hace es colocar en diferentes celdas los datos en estado estacionario. As mismo, se asignan celdas para los valores de cambios de las variables de entrada. El valor de Ti, F y Fs se calcula a partir del estado estacionario original ms el valor de cambio correspondiente tal como se muestra en la figura 2.3.

F = 50000 lb/h Cp = 0,5 BTU/lb-FTi = 80 F 900 BTU/lbFs= 3056 lb/h 0V = 4000 lb 0

T(0)= 190 F 0

Euler

0,02 Tau = 0,08 hrs

t T dT/dt0 190,00 0,000

0,02 190,00 0,0000,04 190,00 0,0000,06 190,00 0,0000,08 190,00 0,0000,1 190,00 0,000

Datos

sp

si FVC

TVFT

VF

dtdT +=

V=4000lb

Ti, F

Vapor, FS

T, F=s

=t

=F

F = 50000+E5 Ti = 80+E6

= iT= sF

Fs = 3056+E7Ti+1=Ti+(dTi/dt)h =

(B3/B6)*B4-(B3/B6)*C15+(E4/(B6*E3))*$B$5

($B$3/$B$6)*$B$4-($B$3/$B$6)*C15+($E$4/($E$3*$B$6))*$B$5

Figura 2.3. Programacin de la hoja de Excel. Condiciones Iniciales. Luego se construye la tabla para aplicar el mtodo numrico. La primera fila contiene los valores iniciales de tiempo y temperatura, como se muestra en la figura 2.3. En la celda correspondiente a la derivada (dT/dt), la ecuacin se calcula a partir de los valores iniciales de las variables involucradas, tal como estn en los datos. La segunda fila contiene el tiempo siguiente, la temperatura siguiente calculada por Euler con el valor anterior de T y de la derivada. El resto de la tabla se construye copiando esta segunda fila tantas veces como sea necesario hasta que se alcance un nuevo estado estacionario. El grfico se construye con las columnas t (tiempo) y T (temperatura). En este caso se usa un grfico tipo dispersin. Este grfico se actualiza cada vez que se introduce un cambio en cualquiera de las variables de entrada: Ti, F o Fs. Las figuras 2.4, 2.5 y 2.6 muestran los resultados numricos y grficos de la variacin de la temperatura para cambios de 10% en las variables de entrada. Todas las respuestas son atrasos de primer orden sin tiempo muerto y como las estradas son en escaln el tiempo de estabilizacin se alcanza en 5 veces .

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xi Temperatura del tanque

188,00

190,00

192,00

194,00

196,00

198,00

200,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Tiempo, horas

Tem

pera

tura

, F

Figura 2.4. Respuesta de la Temperatura para un cambio de 10% en la temperatura de entrada T . i Al aumentar la temperatura de entrada en 8 F, la temperatura del tanque tambin se incrementa en 8 F. La temperatura del tanque aumenta 1F por cada grado de aumento en la temperatura de entrada.

Temperatura del tanque

178,0180,0

182,0184,0

186,0188,0

190,0192,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Tiempo, horas

Tem

pera

tura

, F

Figura 2.5. Respuesta de la temperatura para un cambio de 10% en el flujo de entrada F. Al incrementar el flujo de entrada en 5000 lb/hr la temperatura del tanque disminuye 10 F, ya que entra ms fluido fro al tanque para el mismo volumen, lo cual trae como consecuencia un menor tiempo de residencia dentro del tanque. Esto a su vez implica un menor tiempo de contacto con la misma cantidad de calor que suministra el serpentn. La temperatura del tanque disminuye 0.02 F por cada lb/hr de fluido que entra al tanque.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xii

Temperatura del tanque

188,0190,0

192,0194,0

196,0198,0

200,0202,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Tiempo, horas

Tem

pera

tura

, F

Figura 2.6. Respuesta de la temperatura para un cambio de 10% en el flujo de vapor F, s Al incrementar el flujo de vapor en 305.6 lb/hr la temperatura del tanque aumenta 11 F ya que hay mas calor disponible para la misma masa y tiempo de residencia del fluido dentro del tanque. La temperatura del tanque aumenta 0.04 F por cada lb/hr de vapor que entra al serpentn. Ejemplo 2.2. Proceso de un gas El recipiente de gas que se muestra en la figura acta como tanque de compensacin en un proceso, el cual se supone isotrmico a una temperatura T, y donde el flujo a travs de la vlvula se expresa por:

p(t)Fe(t) Fs(t)

p2(t)))t(p)t(p(k)t(pk)t(F 2s ==

Se tiene inters en conocer como responde la presin en el tanque ante cambios en el flujo de entrada Fe(t) y en la presin de salida de la vlvula, p2(t). La relacin requerida se establece por medio de un balance de masa en el contenido del tanque, as:

ssee )t(F)t(Fdt)t(dm = Donde m(t) es la masa contenida en el tanque y e y s

son las densidades de entrada y salida respectivamente.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xiii Si la presin en el tanque es baja, la relacin entre la masa de gas y la presin del gas en el tanque se establece por medio de la ecuacin de estado de gases ideales:

Donde: T es la temperatura absoluta en el tanque, R; V es el volumen del tanque, pies3; M es el peso molecular del gas y R es la constante de gases ideales = 10.73 (pies3-psia)/(lbmol-R)

)t(mVMRT

)t(p =

Sustituyendo la expresin del flujo a travs de la vlvula y de la masa en funcin de la presin, de la ecuacin de estado, en el balance de masa se obtiene:

( ))t(p)t(pk)t(Fdt

)t(dpRTVM

2see = Reagrupando y manejando algebraicamente se llega a la siguiente expresin:

)t(2PK)t(FEK)t(Pdt

)t(dP21 +=+

Donde: 1K k

K kRTVM

2s

e1

s

===

Esta es una ecuacin diferencial ordinaria lineal. En la siguiente figura se muestran datos numricos, correspondientes al gas metano, para simular el tanque de compensacin del modelo desarrollado:

Fe(0)= 25 T= 520 p2(0)= 14,7Fe= 0 p2= 0

e= 0,042154 k= 0,75M= 16 V= 500 s= 0,042154R= 10,73 p(0)= 48,03

La presin inicial es 48.03 psia y para los datos suministrados los parmetros de la funcin de transferencia resultan:

Constante de Tiempo, min = 45,351 Tiempo de Respuesta, min 5* = 226,76 Ganancia FE, psia/(pie3/min) K1 = 1,33 Ganancia P2, psia/psia K2 = 1,00

Se calcula el valor de 5 para estimar el nmero de celdas a programar.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xiv La figura 2.7 muestra la grfica con la resolucin numrica del modelo del tanque con el mtodo de Euler para un cambio de 10% en el flujo de entrada. Al aumentar el flujo de entrada aumenta la presin dentro del tanque ya que est entrando ms masa de la que sale hasta que el tanque se balancea de nuevo.

Proceso de un Gas Solucin Numrica

47,0

48,0

49,0

50,0

51,0

52,0

0 50 100 150 200 250 300

Tiempo, min

Pres

in,

psi

a

Figura 2.7. Respuesta de la presin para un cambio de +10% en el flujo de entrada.

Prubese Ud. mismo

1. En el CD que viene con este libro abra la carpeta Dinmica de Procesos\Simulaciones en Excel y abra el archivo Proceso de un Gas.

Realice cambios en la otra variable de entrada, esto es p2(t). De los resultados obtenidos: Qu puede concluir en relacin con la sensibilidad del sistema?

Realice cambios de 15% en la variable FE. Son simtricas las curvas? Qu puede concluir de estos resultados?

Aumente y disminuya el valor del volumen del tanque. Cmo se ve afectado el valor de ? Cul es el impacto en el tiempo de respuesta del sistema?

2. Si el flujo de salida viene expresado por:

)t(p)t(p)t(vpkF 2vs = Desarrolle el nuevo modelo matemtico y ejecute la simulacin para vp(0)=0.5, kv=8.66 y p(0)=48.04 psia. Cul es la respuesta del sistema para cambios de 10 en la posicin de la vlvula? Linealice el modelo y encuentra las funciones de transferencia.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xv Ejemplo 2.3. Reactor mezcla completa Para simular el modelo que representa al reactor mezcla completa a volumen constante del ejemplo N 1.4, debe definirse una ecuacin adicional asociada a la variable controlada T y a la variable manipulada FJ. Se supondr que un controlador proporcional cambia el flujo de agua de la chaqueta en funcin de los cambios en la temperatura de acuerdo con la siguiente ecuacin:

FJ =FJ KC(TSP - T) El modelo matemtico se simular para los siguientes datos:

TABLA 1. Parmetros y variables en estado estacionario del Reactor Mezcla Completa

F= 40 pie3/hr U = 150 BTU/(hr-pie2-R) V= 48 pie3 A = 250 pie2C A0 = 0.50 moles/ pie3 TJ0 = 530 R T = 600 R T0 = 530 R TJ = 594.6 R HR = -30000 BTU/mol FJ = 49.9 pie3/hr CP = 0.75 Btu/lbm - R VJ = 3.85 pie3 CPJ = 1.0 Btu/lbm - R k = 7.08 X 1010 hr 1 = 50 lbm/ pie3 E = 30,000 BTU/mol J = 62.3 lbm/ pie3 R = 199 BTU/mol R KC = 4 (pie3/hr)/R TSP = 600 R

Fuente: Luyben, W.L. Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers.

Siguiendo el mismo procedimiento descrito para el tanque de calentamiento se procede a programar la simulacin en una hoja de Excel. La figura 2.8 muestra los datos del problema y las tablas para calcular CA, T, FJ y TJ. Las figuras 2.9 y 2.10 muestran la respuesta de la concentracin y la temperatura del reactor para un cambio de 10% en la composicin de alimentacin. Las respuestas de las variables de salida son de segundo orden debido a la interaccin que existe entre las variables de salida. Esto puede apreciarse mejor desarrollando el diagrama de bloques de este sistema a partir de las ecuaciones linealizadas del modelo descritas en el ejemplo 1.4. La figura 2.11 muestra el diagrama de bloques de este sistema de reaccin qumica.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xvi

F= 40 = 50 Kc= 4V= 48 VJ= 3,85 FJ= 49,9E= 30000 U= 150 CA0= 0,55R= 1,99 A= 250 CA(0)= 0,245k0= 7,08E+10 CPJ= 1 T(0)= 600

HR= -30000 J= 62,3 TJ(0)= 594,6CP= 0,75 T

SP= 600 TJ0= 530TI= 530

t CA t T t TJ0 0,245 0 600,0 0 594,6

0,0028 0,245 0,0028 600,0 0,0028 594,60,0056 0,245 0,0056 600,0 0,0056 594,60,0084 0,245 0,0084 600,0 0,0084 594,60,0112 0,245 0,0112 600,0 0,0112 594,60,014 0,246 0,014 600,0 0,014 594,6

Figura 2.8. Tabla de Excel para el reactor mezcla completa a volumen constante

Concentracin de Salida

0,244

0,246

0,248

0,250

0,252

0,254

0,256

0,258

0,260

0 2 4 6

Tiempo, hr

CA

(m

oles

/pie

3)

Figura 2.9. Respuesta de la Composicin del reactor para un cambio de +10% en la composicin de entrada Temperatura del Reactor

599,0599,5600,0

600,5601,0601,5602,0

602,5603,0

0 2 4 6

Tiempo, Hr

Tem

pera

tura

, oR

Figura 2.10. Respuesta de la Temperatura del reactor para un cambio de +10% en la composicin de entrada

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xvii

CACA

TTTTJJ

G1

KC

G10

G6 G3

G2

G4

G7G9

G8

CACAII

FI FI

TJ0 TJ0

TTSPSP++

++++

--

G5

++--

++

FFJJ++

--++

--

TI TI

++

Figura 2.11. Diagrama de bloques del reactor mezcla completa con controlador

proporcional para la temperatura Lo primero y ms importante que puede observarse en la figura 2.11 es que la relacin entre la variable controlada T y la variable manipulada FJ no es directa, pasa por el proceso de transferencia de calor lo cual resulta en una relacin de segundo orden. Esto es debido a que hay dos funciones de primer orden, G7 y G9, en serie que resultan en una respuesta de 2do orden. Algo similar sucede entre la composicin de entrada CAI y T. La relacin con la temperatura tambin es de segundo orden ya que la trayectoria hacia delante entre ambas variables pasa por dos funciones de transferencia de primer orden G1 y G6. Tambin puede observarse que la respuesta de CA es de segundo orden y esto tiene que ver con la relacin de interaccin entre T y CA a travs de la funcin de transferencia G3. Si T responde como segundo orden, entonces CA tambin responder como segundo orden por el efecto de superposicin impuesto en el sumador. En las figuras 2.9 y 2.10 puede observarse que la respuesta de la composicin de salida es ms lenta que la temperatura. Esto viene dado por el valor de las constantes de tiempo involucradas en este proceso. Las Tablas 2 y 3 resumen los valores de los parmetros de las funciones de transferencia asociadas a este proceso.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xviii Observe en la Tabla 2 como la constante de tiempo de la composicin, 1, es 8.75 veces mayor que la constante de tiempo asociada a la temperatura del reactor, 2. Se puede decir entonces que la dinmica de este reactor est determinada por los fenmenos fsico-qumicos asociados a la reaccin qumica.

Tabla 2. Constantes de tiempo para el reactor mezcla completa a

volumen constante Hrs Min seg 1 0,6 35 2117 2 0,07 4 247 3 0,006 0,354 21

En la Tabla 3 pueden apreciarse los valores de las ganancias del reactor mezcla completa. La concentracin del reactor tiene una mayor sensibilidad para cambios en la composicin de entrada que para cambios en el flujo de entrada y en la temperatura de reaccin. La mayor sensibilidad de la temperatura del reactor es para los cambios en la composicin de entrada. Para la temperatura de la chaqueta la ganancia ms alta se obtiene para cambios en la temperatura del reactor.

Tabla 3. Ganancias para el reactor mezcla completa a volumen constante

Valor Unidades K1 0,5 (mol/pie3)/(mol/pie3) K2 0,003 (mol/pie3)/(pie3/hr) K3 0,005 (mol/pie3)/R K4 3,8 R/(pie3/hr) K5 0,06 R/R K6 47,7 R/(mol/pie3) K7 1,4 R/R K8 0,08 R/R K9 -0,10 R/(pie3/hr) K10 0,9 R/R

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xix S

ll

SIIMMUULLAACCIINN CCOONN SSIIMMUULLIINNKK SIMULINK es una herramienta para el modelado, anlisis y simulacin de sistemas fsicos y matemticos, incluyendo aquellos con elementos no lineales y aquellos que hacen uso de tiempo continuo y discreto. SIMULINK cuenta con muchas caractersticas especficas de sistemas dinmicos a la vez que dispone de todas las funciones generales de MATLAB. El uso de SIMULINK permite modelar un sistema rpidamente escribiendo tan solo una lnea de codificacin, adems de tener la ventaja de dar la documentacin grfica de la simulacin en una sola pantalla. La definicin de un modelo en SIMULINK se hace a travs de elementos bsicos tales como integradores, bloques de ganancia, etc. La construccin del modelo es tan simple como dibujar el sistema en un editor grfico. Este programa es especialmente til si se cuenta con las funciones de transferencia que describen un sistema para as realizar, a partir de las mismas, el anlisis de control y el diseo del controlador. Los bloques de programacin de SIMULINK permiten armar los diagramas de bloque que representan una determinada estrategia ya sea en configuracin feedback o feedforward. PPaarraa aacccceeddeerr aa SSIIMMUULLIINNKK Para acceder a SIMULINK se debe primero arrancar a MATLAB. Se puede arrancar SIMULINK de dos maneras:

Activando el icono de SIMULINK en la barra de herramientas de MATLAB. Escribiendo el comando simulink (en minsculas) en la ventana de comandos de

MATLAB. Aparece la librera de bloques de SIMULINK y una ventana para la creacin de modelos. Esta ventana muestra los iconos que representan la librera de bloques. Se construyen los modelos copiando bloques desde las libreras a la ventana del modelo. Existen diversas funciones de SIMULINK (iconos) disponibles agrupadas en cada categora de la librera (Ver Anexo B Comandos de Simulink). CCoommoo ddeessaarrrrooll aarr uunnaa ssiimmuullaacciinn ccoonn SSIIMMUULLIINNKK Para mostrar como utilizar el SIMULINK como herramienta de simulacin de procesos qumicos, se resolver el mismo problema del tanque de calentamiento planteado para Excel. La simulacin de desarrollar a partir de diagramas de bloque y funciones de transferencia por lo cual el balance de masa debe expresarse en el dominio de Laplace.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xx Ejemplo 2.4. Tanque de calentamiento Para desarrollar las funciones de transferencia debe linealizarse la ecuacin diferencial que describe el comportamiento del calentador (ec. 1.1). La ecuacin linealizada y reordenada es la siguiente (se deja la demostracin al lector):

SFCF

ITFF

)TT(T

dtTd

FV

p

si ++=+

Donde las variables con barra denotan el valor en estado estacionario de referencia y las variables con ^ representan variables de desviacin. Expresando la ecuacin anterior en trminos de la constante de tiempo y de las ganancias se tiene:

SFKITKFKTdtTd

321 ++=+

Donde: p

s32

i1 CF

K ,1K ,F

)TT(K ,

FV ====

Tomando la transformada de Laplace a cada miembro de esta ecuacin se obtienen las funciones de transferencia entre las variables que describen al proceso. As:

SF)1s(

KIT

)1s(K

F)1s(

K)s(T 321 +++++=

El diagrama de bloque a lazo abierto de este sistema ser:

T(s)T(s)

G1

G3

++++

--

)s(F

)s(IT

)s(SF

G2

El signo asociado a la ganancia tiene que ver con la direccin de la respuesta de la variable de salida una vez que se produce un cambio en la variable de entrada. Esto es, si la entrada aumenta y la salida disminuye entonces el signo de la ganancia ser negativo y en caso contrario es positivo.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxi En el caso del tanque si se aumenta el flujo de entrada la temperatura disminuye debido a que hay menos tiempo de residencia en el tanque y est entrando ms fluido fro para la misma cantidad de calor. Este efecto se discuti en la simulacin con Excel. Para construir este modelo en SIMULINK, se aaden bloques al modelo copindolos desde la librera. Las variables de entrada sern cambiadas en forma de escaln para estudiar el efecto sobre la temperatura. El modelo en SIMULINK sera de la siguiente forma:

La figura 2.12 muestra los resultados de la temperatura del tanque para cambios de 10% en la temperatura de entrada: Figura 2.12. Respuesta de la temperatura del tanque para un cambio de 10% en la temperatura de entrada.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1188

190

192

194

196

198

200

202

Tiempo, hrs

Tanque de Calentamiento

Tem

pera

tura

, F

T I

T(t )

T0.036

0.08s+1

G3

1

0.08s+1

G2

0.0022

0.08s+1

G1

Fs

F

190 Constant

Los resultados son idnticos a los obtenidos con EXCEL.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxii Ejemplo 2.5. Reactor mezcla completa El diagrama de bloques mostrado en la figura 2.11 puede ser programado en Simulink para resolver el sistema de ecuaciones que modelan al reactor mezcla completa a volumen constante, tal como se muestra en la figura 2.13.

FS

T sp

T J0

T I

T(t)

600 T (0)

T

-4 Kc

0.1

0.006s+1

G9

0.08

0.006s+1

G8

1.4

0.07s+1

G7

47.7

0.07s+1G6

3.8

0.07s+1

G5

0.06

0.07s+1

G4

0.005

0.6s+1

G3

0.003

0.6s+1

G2

0.9

0.006s+1G10

0.5

0.6s+1

G1

FI

CAi

C A (t)

0.245 CA(0)

CA

Figura 2.13. Modelo del reactor mezcla completa programado en Simulink. Las figuras 2.14 y 2.15 muestran los resultados de la simulacin para un cambio de 10% en la concentracin de entrada al reactor. Los resultados son muy parecidos a los obtenidos con EXCEL en lo relacionado con la forma y el tiempo de respuesta. Sin embargo, existen diferencias en cuanto al valor mximo y al valor final alcanzado por las variables. En el caso de EXCEL la composicin y la temperatura alcanzan un valor mximo de 0.258 y 602.5, respectivamente. Los valores en el estado estacionario final son 0.256 y 602.4 respectivamente. En el caso de Simulink los valores mximos son 0.259 y 602.3, mientras que los valores finales son 0.258 y 602.2, respectivamente. Las diferencias se explican en virtud de que el modelo simulado en Simulink est linealizado, lo cual introduce errores adicionales al modelo.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxiii

0 1 2 3 4 5 6

0.245

0.25

0.255

0.26

T iempo, h r

Reactor Mezcla Comple ta

CA

, mol

/pie

3

Figura 2.14. Respuesta de la concentracin del reactor para un cambio de +10% en CAI. Figura 2.15. Respuesta de la temperatura del reactor para un cambio de +10% en CAI.

T

0 1 2 3 4 5 6600

600.5

601

601.5

602

602.5

Tiempo, hrs

Reactor Mezcla Completa

, R

Ejemplo 2.6. Mquina de pulpa de papel En este ejemplo se muestran los resultados de la simulacin del modelo linealizado de la mquina de pulpa de papel, descrito en el ejemplo 1.5 del Captulo 1. La Tabla 4 contiene los datos y parmetros para realizar la simulacin y la tabla 5 resume los parmetros de las funciones de transferencia de este proceso. De los datos mostrados en la tabla 5 cabe destacar la marcada diferencia entre las constantes de tiempo asociadas a las variables de salida. La constante de tiempo del nivel es un orden de magnitud mayor que la de la presin.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxiv

TABLA 4. Parmetros y variables en estado estacionario de la mquina de

pulpa de papel

F0=150 pie3/seg P0=30 psig

P=45 lbs/pie3 P(0)= 25 psig h(0)= 10 pies G0=100 scfs

D=10 pies G=120 scfs

A=79 pies2 kP=24

F=150 pies3/seg VGas=392,7 pie3

kh=28,3(pies3/seg)/psig1/2 VT=1178 pie3

g=32,2 pie/seg2 hT= 15 pies

Tabla 5. Parmetros de las funciones de transferencia de la

mquina de pulpa de papel Nivel Presin

1= 94 seg 2= 1,6 seg H(s)/F0(s) K1= 1,2 pie/pie3/seg P(s)/P0(s) K3= 0,4 psig/psig

H(s)/P(s) K2= 3,2pie/psig P(s)/G0(s) K4= 0,12 psig/scfs

P(s)/F0(s) K5= 0,10 psig/pie3/seg

P(s)/H(s) K6= -0,084 psig/pie

La programacin en Simulink del diagrama de bloques de la figura 1.10 se muestra en la figura 2.16. Los resultados de la simulacin se muestran en las figuras 2.17, 2.18, 2.19 y 2.20 y los mismos corresponden a cambios entre 2 y 10 % en las variables de entrada. La figura 2.17 muestra la respuesta del nivel y la presin para un cambio de 2.7% en el flujo de entrada de pulpa. No se pueden hacer cambios mayores al 2.7% porque la respuesta del nivel superara los 15 pies de altura total del tanque. La respuesta del nivel es de primer orden sin tiempo muerto y la presin muestra un aumento hasta aproximadamente 0.4 psig y luego una disminucin hasta el valor original con una dinmica similar a la del nivel. Esto se explica a partir de la interpretacin fsica del sistema conjuntamente con el diagrama de bloques de la figura 2.16. En los primeros diez segundos la presin responde al aumento del nivel y desarrolla toda la respuesta asociada a la dinmica de la funcin de transferencia G5, tal como se muestra en la figura 2.18

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxv

Py h

P0

P(t) y h(t)

-0.084

1.6s+1G6

0.10 1.6s+1

G5

0.12 1.6s+1

G4

0.4 1.6s+1

G3

3.2

94s+1G2

1.2 94s+1

G1

G0

F0

Figura 2.16. Programacin en Simulink del modelo linealizado de la mquina de pulpa de papel.

0 100 200 300 400 5000

1

2

3

4

5

Tiempo, seg

Pulpa de Papel

Nivel, %

Presin, psig

Figura 2.17. Respuesta de la presin y el nivel de la mquina de pulpa de papel para un cambio de 10% en el flujo de entrada de pulpa Al aumentar la presin aumenta el flujo de salida del venteo lo cual est representado por la funcin G6 en el diagrama de bloques. Este aumento del flujo de salida tiene como consecuencia una disminucin de la presin, pero sta no se balancea con la dinmica propia de la presin (=1.6 seg) sino con una dinmica ms

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxvi lenta producto de la interaccin de las variables representada en el diagrama de bloques por G2. La dinmica del nivel, mucho ms lenta, dominar la dinmica de la respuesta de la presin.

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

Tiempo, seg

Pulpa de Papel

Nivel, %

Presin, ps ig

Figura 2.18. Primeros 10 segundos de la respuesta de la presin y el nivel de la mquina de pulpa de papel para un cambio de 10% en el flujo de entrada de pulpa. Las respuestas del nivel y la presin para cambios en el flujo y/o la presin del aire, tambin muestran el dominio de la dinmica del nivel sobre la presin. Para un cambio de 10% en la presin de entrada, P0, la respuesta de la presin, mostrada en la figura 2.19, tiene un ascenso relacionado con el aumento de masa en el tanque cuya dinmica est asociada a la funcin de transferencia G3.

0 100 200 300 400 500-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Tiempo, seg

Pulpa de Papel

Nivel, %

Presin, psig

Figura 2.19. Respuesta del nivel y la presin de la mquina de pulpa de papel para un cambio de 10% en la presin aire de entrada

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxvii Este aumento de P hace que el nivel disminuya con una mayor sensibilidad pero ms lentamente (G2). Cuando el nivel comienza a disminuir hay un efecto sobre la presin dado por G6, pero dominado por la dinmica de G2. Como resultado la presin se balancea en un valor en estado estacionario mayor que el inicial con una dinmica similar a la del nivel. Las respuestas del nivel y la presin para un cambio de 10% en el flujo del aire entrando, G0, tienen una dinmica idntica a los cambios en la presin del flujo de aire. Los valores en estado estacionario del nivel y de la presin son iguales en ambos casos (1.6 psig y 5.1%, respectivamente), tal como se muestra en la figura 2.20. Esto se explica en virtud de que el producto de la magnitud de los cambios de estas variables (10 scfs para G0 y 3 psig para P0) con las ganancias asociadas a cada una de ellas es idntico. Figura 2.20. Respuesta del nivel y la presin para un cambio de 10% en el flujo de entrada de aire.

0 100 200 300 400 500-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Tiempo, seg

Pulpa de Papel

Nivel, %

Presin, psig

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxviii RReessuummeenn Se espera que el lector tenga una idea general acerca de:

Las caractersticas dinmicas de los procesos de primer orden y orden superior.

Los trminos relacionados con la respuesta de 2do orden subamortiguada.

El tiempo muerto asociado a los procesos qumicos.

Procesos Integrantes y no integrantes.

Linealizacin de funciones y variables de desviacin.

El desarrollo de modelos matemticos y la simulacin en Excel y Simulink.

Como representar grficamente los resultados de la simulacin en Excel y Simulink.

Interpretacin de los resultados de la simulacin de un modelo matemtico de un proceso qumico.

CCoossaass eenn qquuee ppeennssaarr

o Cul es la principal caracterstica de los procesos de primer orden y cul es la

causa de la aparicin de procesos integrantes? o Considere un recipiente cerrado al cual entra aire. Es ste un sistema de primer

orden o un proceso integrante? Responda la misma pregunta si se le agrega una salida de aire al recipiente.

o Estudie la respuesta de un sistema de primer orden para una entrada en onda seno Qu puede observar acerca del comportamiento de la respuesta despus de un largo tiempo?

o Explique el significado fsico de la constante de tiempo y el coeficiente de amortiguacin de un sistema de segundo orden.

o Demuestre que a mediada que aumenta el nmero de atrasos de 1er orden enserie, la respuesta del sistema se hace ms lenta.

o Cmo definira un sistema de orden superior? o Usando la definicin anterior Por qu un sistema con tiempo muerto es de orden

superior? o Existe siempre el tiempo muerto en un sistema? o Cul es la funcin de transferencia ms comnmente encontrada en procesos

qumicos y por qu?

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxix o En una columna de destilacin binaria ideal la dinmica de cada bandeja puede

describirse por un atraso de primer orden. Qu tipo de respuesta puede esperarse para las composiciones de tope y fondo ante un cambio en escaln de la composicin de entrada?

o Qu es la respuesta inversa y qu la ocasiona? o Por qu sera difcil controlar un proceso con respuesta inversa?

EEjjeerrcciicciiooss 1. Considere el sistema de segundo orden representado por la

siguiente funcin de transferencia:

1ss1

)s(G 2 ++= Utilizando SIMULINK, introduzca un cambio en escaln de magnitud 5 en el sistema y encuentre: (a) porcentaje de sobredisparo, (b) radio de decaimiento, (c) valor mximo de y(t), (d) valor final de y(t), (e) tiempo de elevacin y (f) periodo.

2. Considere los tanques de almacenamiento mostrados en la figura. Para cada uno de estos sistemas: (a) desarrolle las funciones de transferencia entre le nivel del lquido y las corrientes de entrada, (b) determine las constantes de tiempo y las ganancias del proceso. Asuma que el flujo de todas las corrientes de salida libres son funciones lineales del correspondiente nivel de acuerdo con F=2h

F2 F3= 2 pie3/min

A= 1 pie2

h

F2

F1= 3 pie3/minA= 2 pie2

F3= 1 pie3/min

h

1 pie

10 pieh

F1= 10 pie3/min F1= 3 pie3/min

F2

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxx 3. Suponga que se requiere controlar el nivel de los tanques del problema 2. En un

valor de 5 pies manipulando el flujo de la salida F2 de acuerdo con la siguiente relacin de control proporcional:

F2=10(5-h)+1

(a) Desarrolle las funciones de transferencia entre h y F1 (b) Determine las constantes de tiempo y ganancias del tanque bajo control. (c) Calcule la respuesta dinmica del nivel de lquido para un cambios en escaln

en F1 de 1 pie3/min. Hgalo en Excel y en Simulink. (d) Cul es el valor en estado estacionario del nivel en cada tanque?

4. Para la tabla mostrada determine: Cul es el proceso ms rpido? En cuanto

tiempo alcanzar su nuevo estado estacionario despus de una perturbacin tipo escaln? Haga un diagrama de la respuesta del proceso.

Proceso 1 2 3 4 Constante de tiempo(min) 9.2 1.5 1.8 2.2 Tiempo muerto (min) 5.0 6.0 4.0 1.0

5. Programe en Excel el modelo matemtico no lineal del tanque de pulpa de papel

descrito en el Ejemplo1.5 del Captulo. Compare sus resultados con los mostrados en las figuras 2.17, 2.19 y 2.20. Compare su programa con el archivo Pulpa de Papel de la carpeta Dinmica de procesos\Simulaciones en Excel.

6. Para el proceso de un gas descrito en el captulo 2. (a) Usando los valores dados

calcule las funciones de transferencia entre la presin en el tanque y las variables de entrada. Compare sus valores con los reportados en el libro. (b) Con estas funciones de transferencia construya la simulacin a lazo abierto en Simulink. Compare sus resultados con el archivo Proceso de un gas de la carpeta Dinmica de procesos\Simulaciones en Simulink.

7. Calcule las funciones de transferencia del tanque de pulpa de papel de acuerdo

con las ecuaciones (1.14) y (1.16) y los datos mostrados en la Tabla 4. Compare sus resultados con los de la Tabla 5. Programe en Excel el modelo linealizado del tanque de pulpa de papel. Compare sus resultados con los obtenidos en el ejercicio 5. Compare su programa con el archivo Tanque de Pulpa de Papel de la carpeta Dinmica de procesos\Simulaciones en Excel.

8. Programe en Simulink el modelo del reactor mezcla completa mostrado en la

figura 2.13. Reproduzca los resultados de las figuras 2.14 y 2.15. Ahora cambie el flujo de entrada al reactor en 10% del valor en estado estacionario. Compare su programa con el archivo Reactor Mezcla Completa de la carpeta Dinmica de procesos\Simulaciones en Simulink.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxxi

LLeeccttuurraass aaddiicciioonnaalleess

LLooss ssiigguuiieenntteess tteexxttooss ccoonnttiieenneenn iinnffoorrmmaacciinn rreeffeerreennttee aa ddiinnmmiiccaa ddee pprroocceessooss:: CORRIPIO, A. y SMITH, C. (1991) Control Automtico de Procesos - Teora y

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t

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Engineers. 2da Edicin. New York: Mc Graw Hill. Parte II Simulacin con computador: Captulos 4 y 5. Incluye la simulacin de reactores mezcla completa,destilacin binaria y multicomponente y reactor por cargas. Incluye rutinas de programacin en FORTRAN para la simulacin de procesos y resultados grficos.

FRANKS, R. (1972). Modeling and Simulation in Chemical engineering. USA:

John Wiley & Sons, Inc. Captulos 2, 3 y 5 al 10. Incluyen subrutinas en FORTRANy resultados grficos.

SHINSKEY, F.E. (1979) "Process Control Systems". New york: Mc Graw Hill.

MODELADO, SIMULACIN Y CONTROL DE PROCESOS xxxii PPaarraa pprrooffuunnddiizzaarr eenn eell uussoo ddee MMaattllaabb yy SSiimmuulliinnkk yy ssuu aapplliiccaacciinn eenn mmttooddooss nnuummrriiccooss ppaarraa llaa rreessoolluucciinn ddee mmooddeellooss mmaatteemmttiiccooss ssee ppuueeddeenn ccoonnssuullttaarr llooss ssiigguuiieenntteess tteexxttooss:: HANSELMAN, D & LITTELEFIELD, B. (1997). The Student Edition o MATLABf

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SIMULACIN DE PROCESOSCARACTERSTICAS DINMICAS DE LOS PROCESOSAtrasosAtraso de 1er OrdenAtraso de 2do Orden

Tiempo MuertoRespuesta inversaTiempo de ResidenciaProcesos Integrantes y No Integrantes

SIMULACIN CON EXCELSIMULACIN CON SIMULINKPara acceder a SIMULINKComo desarrollar una simulacin con SIMULINK