Libro Acotados Cert

Cuadernos Cuadernos dedeGEOMETRGEOMETRÍÍA A APLICADA APLICADA

Sistemas:Sistemas:ìì CaballeraCaballeraìì AcotadosAcotados

JosJoséé DomDomíínguez de Posadanguez de PosadaRafael Magro AndradeRafael Magro Andrade

AGRADECIMIENTOS CUADERNOS DE GEOMETRÍA APLICADA (2)

José Domínguez de Posada CUADERNOS DE GEOMETRÍA APLICADA Rafael Magro Andrade

Agradecemos al Prof. Dr. Carlos Gordo Murillo la cesión de algunos de los

dibujos de su tema de exposición “Obras Lineales” para el Concurso para provisión de plaza 2(36-97) del Cuerpo de Profesor Titular de Universidad.

No podemos olvidar en esta ocasión a D. Ricardo Carreras Cabello, nuestro querido “Maestro”, con cuyos dibujos y croquis sobre estas materias hemos disfrutado todos los que ahora nos dedicamos a su enseñanza.

ACOTADOS CUADERNOS DE GEOMETRÍA APLICADA (2)


SISTEMA DE PLANOS ACOTADOS

ÍNDICE CABALLERA CUADERNOS DE GEOMETRÍA APLICADA (2) PLANOS ACOTADOS


TEMA

Página

PLANOS ACOTADOS

Elementos fundamentales......................................................... 21 Intersecciones........................................................................... 31 Paralelismo................................................................................ 35 Perpendicularidad..................................................................... 37 Abatimientos............................................................................. 39 Cubiertas de edificios................................................................ 41 Interpretación de planos topográficos...................................... 45 Perfil longitudinal de un terreno............................................... 54 Sección de un terreno por un plano.......................................... 55 Plataformas............................................................................... 56 Acuerdos cilíndricos y cónicos................................................... 60 Obras lineales............................................................................ 61 Perfiles longitudinales............................................................... 62 Perfiles transversales................................................................ 63 Cubicaciones de movimiento de tierras.................................... 64 Alineaciones rectas horizontales............................................... 66 Alineaciones curvas horizontales.............................................. 69 Alineaciones rectas en pendiente constante............................. 72 Alineaciones curvas en pendiente constante............................

76

APÉNDICES

• Prácticas. Problemas para resolver en casa • Ejercicios resueltos

ACOTADOS TEORÍA ELEMENTOS FUNDAMENTALES 21


1.- REPRESENTACIÓN DEL PUNTO

Plano de comparaciónAe

A(a)

a

Be

b

B(b)

Ce C(0)

De

D(-d)

d

O

X

Y



2.- REPRESENTACIÓN DE LA RECTA

T(0)

Ae

A(a)

Be

B(b)

b

a

re

r

b-a

dβ

7 8 9 10 11 12 13 14 15

M(8)

N(5)

recta graduada

graduación de una recta conocidos dos puntos



Ejemplo 1.- Gradúa las siguientes rectas

B(10)

A(3)

A(3,5)

B(11)



A(12,3)

B(3,2)



3.- REPRESENTACIÓN DEL PLANO

0

1

23

54

78

0123456

representación en acotados de un plano P

traza (horizontal de cota 0

recta de máxima pendiente (con doble trazo)

horizontales



Ejemplo 2.- Graduar el plano cuya traza se da de manera que contenga al punto A. Situar en ese plano un punto de cota 3,2.

A(5,5)



3.1.- RECTAS CONTENIDAS EN EL PLANO 3.1.1.- RECTAS HORIZONTALES

Plano de comparación

Traza (horizontal de cota 0)

rectas horizontales(paralelas a la traza)



3.1.2.- RECTAS DE MÁXIMA PENDIENTE


Traza (horizontal de cota 0)

rectas horizontales(paralelas a la traza)

recta de máxima pendiente(perpendicular a las horizontales)



3.1.3.- RECTAS DE PENDIENTE DADA CONTENIDAS EN UN PLANO DADO


1

2

m

n

r.m.p.

recta de módulo "n"

"m": módulo de la r.m.p. del plano

se tiene que verificar que "n" > "m"

A

Dibuja una recta del plano P que pase por A y tenga módulo "m" (A pertenece a P)

P

0

1

2

3

4

5

6

Nº de soluciones

"m"



3.2.- PLANOS DE PENDIENTE DADA QUE PASAN POR UNA RECTA DADA

r

P

P'

radio de la base = 4m

Plano de módulo "m" que pasa por una recta dada "r"


Siempre hay dos soluciones

0

11

0

2 2

3 3

4

r

Nº de soluciones

M(21)N(15)

Dibuja un plano que pase por la recta MNy que tenga módulo "n"

"n"

ACOTADOS TEORÍA INTERSECCIONES 31


4.- INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS 4.1.-Dos planos cualesquiera


P

Q

r (intersección de horizontales de igual cota)

P

0

1

2

3

4

5

6

0

2

4

6Q

Dibuja la intersección de los planos P y Q



4.2.-Dos planos cuyas horizontales son paralelas


PQr (paralela a las horizontales)

P

0

1

2

3

4

5

6

Dibuja la intersección de los planos P y Q

0

2

4

6

Q

8



5.- INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO

1. Se hace pasar un plano auxiliar cualquiera por la recta à Q 2. Se busca la intersección entre P y Q à i 3. La intersección entre i y r es el punto buscado à I


P

Q

r

i

I

P

0

1

2

3

4

5

6

A(1)

B(7)

r

Dibuja la intersección entre la recta r y el plano P



Ejemplo nº1 Dados los planos P y Q a los que pertenecen A (5) y B (3), respectivamente, obtener su intersección.

A(5)B(3)

P Q

Ejemplo nº2 Comprobar si se cortan las dos rectas siguientes:

r s

A(1,7)

B(8,1)C(2,5)

D(7,3)

ACOTADOS TEORÍA PARALELISMO 35


6.- PARALELISMO 6.1.-Planos paralelos Dos planos son paralelos si sus rectas de máxima pendiente: • son paralelas • tienen el mismo módulo • su graduación crece en la misma dirección


P

Q

D ib u ja u n p la n o p a ra le lo a l p la n o P q u e p a s e p o r e l p u n to A

PA (7 )

234

56

ACOTADOS TEORÍA PARALELISMO 36


6.1.-Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si: • sus proyecciones sobre el plano de comparación son paralelas • tienen el mismo módulo • su graduación crece en la misma dirección

A(7)

Dibuja una recta paralela a la recta r que pase por el punto A

B(-2,5)

C(17,8)

6.1.-Recta y plano paralelos

P

A(5)

0

1

2

3

4

Dibuja una recta paralela a P que pase por A

ACOTADOS TEORÍA PERPENDICULARIDAD 37


7.- PERPENDICULARIDAD 7.1.-Perpendicularidad entre recta y plano • Plano P de módulo “m” • Recta r de módulo “n” Se verifica:

nm 1

= “m” y “n” son inversos y crecen en sentido contrario

P

1

2

3

0

r

r'mn

A

A'


rmp

ACOTADOS TEORÍA PERPENDICULARIDAD 38


Ejemplo 1 Por el punto A, traza una recta perpendicular al plano P

P

12

34

5

67

A(8)

Ejemplo 2 Por el punto M de la recta r, traza un plano perpendicular a la misma

M

r

A(2,5) B(18,7)

ACOTADOS TEORÍA ABATIMIENTOS 39


8.- ABATIMIENTO DE UN PLANO


P

A(3)

1

2

3

4

5

((A))

(A)A'

O

t

t

O

P A

((A))

(A)

1

2

3

ACOTADOS TEORÍA ABATIMIENTOS 40


Ejercicio 1 Determinar la verdadera magnitud del cuadrilátero ABCD

P

123456

A

B

C

D

Ejercicio 2 Representa una circunferencia de centro O y radio 3 cm contenida en el plano P

P

2468101214

O

ACOTADOS TEORÍA CUBIERTAS DE EDIFICIOS 41


9.- ELEMENTOS DE LAS CUBIERTAS

1

2

34 5

6

7

88

1 - cumbrera2 - mansarda3 - alero4 - buhardilla5 - lima tesa6 - lima hoya7 - caballete8 - faldón o vertiente

un aguados aguas cuatro aguas



Ejercicio 1 Borde de aleros horizontal. Faldones a 30º

Ejercicio 2 Borde de aleros horizontal. Faldones con distinta pendiente.

pendiente(a) = 0,8pendiente(b) = 1pendiente(c) = 0,5pendiente(d) = 1,2

a

a

b

b

b

c

c

d



Ejercicio 3 Borde de aleros horizontal. Faldones a 45º. Patio interior.

Ejercicio 4 Borde de aleros no horizontal. Faldones a 30º

A(0)

C(2)D(2)

E(1)F(0)



Ejercicio 5 Borde de aleros horizontal. Aleros curvos. Faldones a 60º

ACOTADOS TEORÍA TERRENOS 45


10.- GENERALIDADES 10.1.-Curvas de nivel



10.2.-Interpretación de planos topográficos Colina, loma o montaña

Hoya u hondonada



Vertiente o ladera

Divisoria de cuencas o divisoria de aguas



Vaguada

Barranco, garganta o cortadura



Collado o puerto



10.3.- Verdadera distancia entre dos puntos topográficos



10.4.- Determinación de la cota de un punto topográfico cualquiera



10.5.- Determinación de las líneas de máxima pendiente de un terreno



10.6.- Líneas de pendiente constante de un terreno



10.7.- Perfil longitudinal de un terreno



10.8.- Sección de un terreno por un plano



11.- EXPLANACIÓN DE PLATAFORMAS 11.1.- Plataforma de bordes rectos

11.2.- Plataforma de bordes rectos. Datos



11.3.- Plataforma de bordes rectos. Representación acotada

Dibuja el perfil longitudinal A-A’



11.4.- Plataforma de bordes curvos

11.5.- Plataforma de bordes curvos. Datos



11.6.- Plataforma de bordes curvos. Representación acotada



12.- ACUERDOS DE PLANOS DE DESMONTE Y/O TERRAPLÉN Acuerdos cilíndricos y acuerdos cónicos

ACOTADOS TEORÍA OBRAS LINEALES 61


12.- TRAZADO DE OBRAS LINEALES

12.1.- Trazado del eje en planta



12.2.- Perfil longitudinal por el eje de la obra



12.3.- Perfiles transversales



12.4.- Cubicación del movimiento de tierras (1)



12.5.- Cubicación del movimiento de tierras (2)



13.- ALINEACIÓN RECTA HORIZONTAL



13.1.- Alineación recta horizontal. Trazado en planta y sección tipo



13.2.- Alineación recta horizontal. Desmontes y terraplenes



14.- ALINEACIÓN CURVA HORIZONTAL



14.1.- Alineación curva horizontal. Trazado en planta y sección tipo



14.2.- Alineación curva horizontal. Desmontes y terraplenes



15.- ALINEACIONES RECTAS EN PENDIENTE 15.1.- Determinación de los planos de desmonte y de terraplén



15.2.- Dibujo en planta de los planos de desmonte y de terraplén



15.3.- Alineación recta en pendiente constante. Trazado en planta



15.4.- Alineación recta en pendiente constante. Desmontes y terraplenes



16.- ALINEACIONES CURVAS EN PENDIENTE CONSTANTE



16.1.- Superficies de igual pendiente



16.2.- Alineación curva en pendiente constante. Trazado en planta



16.3.- Alineación curva en pendiente constante. Desmontes y terraplenes

APÉNDICE CUADERNOS DE GEOMETRÍA APLICADA (2)


PRÁCTICAS

PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CASA

ACOTADOS PRÁCTICAS Nombre: NP:


1

GENERAL 1 Una circunferencia de radio 2 cm. está contenida en el plano vertical de la figura y su centro es C y tiene cota 2 cm. Hallar la sombra con luz focal de foco O ( 8 ). O C



2

GENERAL 2 El plano de la figura tiene pendiente 0,75. En él se sitúa un punto A, que es el vertice de un cuadrado de lado 4 cm. de manera que un vértice contiguo tiene cota 2 cm. y está lo más a la derecha posible. Dibujar el prisma recto de 6 cm. de altura que tiene por base el cuadrado anterior. A



3

GENERAL 3 Con los mismos datos del ejercicio anterior, pero ahora se trata de una pirámide recta de 7 cm. de altura. A



4

GENERAL 4

Una pirámide triangular de vértice V descansa mediante una de sus caras laterales en el plano horizontal de cota -2, conteniendo una de las aristas de la mencionada cara al segmento VA, V(2,-1,-2) A(2,0,-2) quedando la otra situada la izquierda de VA. La cara contigua en VA tiene de modulo 0,6, siendo el ángulo, de ésta 30º y el plano de la cara opuesta a VA tiene de módulo 1.

Se pide dibujar la proyección de la pirámide teniendo presente que el plano de la base pasa por el punto B(-2,2,0) formando diedros de 90º con los últimos planos citados.



5

GENERAL 5

La superficie de un terreno ideal está constituida por los dos semiplanos que se definen en la figura siguiente mediante una recta de máxima pendiente de cada uno de ellos. Se incluye también la proyección de la recta común a ambos, para facilitar el dibujo. La escala es 1:1000 y las cotas están dadas en metros. Un camino horizontal de 8 metros de ancho, tiene por eje parte de las dos rectas que se representan asimismo en la figura indicada y el arco de circunferencia de 30 metros de radio tangente a ellas.

Se trata de representar los desmontes necesarios para construir el camino, con

las siguientes características:

- Borde izquierdo (avanzando en el sentido avb). Tramos rectos - Planos de talud 1 en el primero y 1,5 en el segundo. Tramo circular - Acuerdo cónico de los dos planos anteriores con vértice en la superficie del terreno natural.



6



7

GENERAL 6 En el plano de comparación se da el cuadrilátero ABCD: AB=12, BC=3, CD=6, DA=12, BD=8. Se tomará el lado AB, paralelo y equidistante de los bordes menores, el vértice A a 2 cm. del borde inferior y C y D a la izquierda de AB. El polígono ABCD es la base de una pirámide, cuyo vértice V que está situado por encima del plano de comparación, se proyecta en un punto interior a la base. Un plano P que pasa por el punto C y tiene de talud 2/3 corta a la pirámide dada según un polígono cuya proyección horizontal es un cuadrado. Se pide: Representar la pirámide y su sección por el plano P, con todos los vértices acotados.



8

GENERAL 7 Loa puntos A, B y C están localizados sobre el plano superior de un estrato rocoso. El punto B pertenece también a la línea de afloramiento. El punto D está localizado sobre el plano inferior de estratificación y está a 20 m. directamente debajo de C. Los pozos de sondeos que llegan a A y C tocan al plano superior de estratificación a alturas de 260 y 300 m. respectivamente. Trazar el plano topográfico y determinar la inclinación del estrato y su espesor. Dibujar así mismo las líneas de afloramiento. E = 1/1000



9

GENERAL 8

Papel peraltado. Escala 1/100. Origen de coordenadas a 7 cm. del borde inferior del papel y centrado con relación a los bordes laterales del mismo. Eje X positivo hacia la derecha y eje Y positivo hacia arriba. Cotas en metros. Se define un tercero del cual se conoce la recta A(4,-5,9) B(4,5,9). Dicho terreno tiene una pendiente de 1/4 y desciende hacia el borde izquierdo del papel. En este terreno se realiza una excavación de forma piramidal, según una pirámide tal que cualquier sección de ella por un plano horizontal es un cuadrado. El vértice de la pirámide es el punto V(0,0,2). Las caras de la pirámide que concurren en V tiene una pendiente de 5/3, y las horizontales de dichas caras son paralelas unas al eje OX y otras al eje OY. La excavación se realiza entre dichas caras. Una vez realizada la excavación, se rellena ésta vertiendo áridos desde un punto situado en la vertical del punto V. Los áridos con que se rellena la excavación son de un material cuya pendiente natural es de 5/3. la excavación se rellena lo máximo posible sin que el material desborde por fuera de la misma. Se pide: 1º) Hallar la intersección de la excavación con el terreno dibujando las lineas de nivel cada metro. 2º) Dibujar el relleno de áridos y sus lineas de intersección con la excavación, definiéndolas por sus elementos canónicos, y dibujando asimismo sus líneas de nivel cada metro. 3º) Dibujar la sección transversal del conjunto por el plano XZ.



10

GENERAL 9



11

GENERAL 10



12



13

GENERAL 11



14

GENERAL 12

Los sondeos verticales dados en los puntos A ( 150 E ; 750 N ; 375 ) B ( 125;

25;150) y C ( 1000; 150; 200) cortan a una capa plana a los 130,160,.y 250 m.

respectivamente. En el punto D (1200 ; 150 ; 200 ) se profundiza un pozo de

extracción en 200 m. y en las cótas O y 100 del mismo se dan dos galerías

transversales horizontales, tales que su longitud para cortar a la capa sea

mínima. Una vez cortada se avanzan dos galerías en dirección: la de cota 0,150

m. en la dirección Nordeste, la de cota 100, 200 m. en dirección Suroeste.

Los extremos de estas galenas están unidos por una chimenea.

Se pide:

a) pendiente, dirección y buzamiento de la capa.

b) Pendiente y longitud de la chimenea. Escala 1 / 5000.



15

GENERAL 13

Los puntos A ( 800 m. E; 300 m.N ; - 560 ) y B ( 1200 E ; 750 N ; -310 ) definen la l.m.p. de una capa plana. Desde C ( 300 E ; 125 N ; 150 ) de la superficie del terreno se perfora un plano inclinado descendente de pendiente 1/2 de tal manera que la distancia al plano sea mínima. Se pide : coordenadas del punto donde el plano cortará a la capa y longitud de dicho plano inclinado. Escala 1 / 5000.



16

GENERAL 14

Dadas las tuberías AB y la que pasando por C tiene una pendiente 1/5. descendente. A(50;110;100) B(200;110;85) C ( 230 ; 40 ; 110 ). Se pide: a) Unirlas mediante un tubería vertical. b) Haciendo una conexión en el punto medio de la vertical del apartado a) hallar la pendiente de la tubería que va hasta D ( 150 ; 10 ; 43 ) c) Longitud de las tuberías que partiendo de D, unen con AB y CE respectivamente siendo su pendiente del 40 % y determinar los puntos de encuentro Escala 1 / 1000.



1

POLIEDROS 1 Las horizontales de un plano de pendiente 1/2 son paralelas al borde menor de la lámina; la de cota O está a 10 cm. del borde superior. Un hexágono regular de este plano tiene dos vértices opuestos en la horizontal de cota 4, y distancia 10 cm., es la sección de un cubo por un plano que pasa por el centro de éste y es perpendicular a una diagonal. Se pide: 1.- Dibujar el cubo. 2.- Dibujar los poliedros conjugados del anterior.



2

POLIEDROS 2

Los puntos A(3,13,5), B(7,17,5) y C(4'5,Y,Z), siendo Z =5, son vértices de un tetraedro regular cuyo cuarto vértice, D, está a la derecha de AB. Se pide: a) Dibujar el tetraedro, acotando sus vértices y dibuja do las líneas de nivel de cm. en cm.

NOTA: Las coordenadas en cm. referidas al borde inferior

izquierdo del papel en sentido peraltado.



3

POLIEDROS 3

Los puntos A(2) y M(5) y N(8) se proyectan sobre el plano de comparación según un triángulo

equilátero de 7 cm. de lado. El punto A es un vértice de un tetraedro regular ABCD que tiene

la arista BC sobre la recta MN y su cuarto vértice, D, con la mayor cota.

Se pide: Representar el tetraedro.



4

POLIEDROS 4 Se da el plano definido por los puntos A ( -5,0,0) B80,-4,0) y C(0,0,4). Un triángulo equilátero situado en él tiene el centro en el punto ( x,2,4) y un vértice a la cota 3 y a la izquierda. Los tres vértices pertenecen a un cubo cuya mayor parte está situada por encima del plano y cuya arista es 4 cm. Dibujar el cubo



5

POLIEDROS 5 Hallar la proyección de un icosaedro regular de 7,5 cm. de arista y centro G, tal que A(18), B(15) y C(12)



6

POLIEDROS 6 Los puntos A(2) y B(z) son vértices consecutivos de un cuadrado situado en el plano cuya traza se da. Dibujar el cubo que tiene por base el cuadrado B A



7

POLIEDROS 7 Los puntos A(4) y B(z) son vértices consecutivos de un cuadrado situado en el plano cuya traza se da. El cuadrado es la sección por el plano dado de un octaedro. Dibujar el octaedro. A B



8

POLIEDROS 8 Los puntos A(2) y B(z) son vértices consecutivos de un hexágono situado en el plano cuya traza se da. Esta figura es la sección de un cubo por un plano. Dibujar el cubo que tiene por sección el hexágono. A B



9

POLIEDROS 9 Los puntos A(4) y B(z) son vértices consecutivos de un triángulo equilátero situado en el plano cuya traza se da. Dibujar el tetraedro que tiene por base el triángulo anterior. A B



10

POLIEDROS 10 El punto A está situado en el plano de la figura de pendiente 2. Es el vértice inferior de un cubo de 4 cm de lado, cuya diagonal que pasa por A es ortogonal al plano. Dibujar una de las soluciones del cubo sabiendo que uno de sus vértices tiene cota 6 cm. A



11

POLIEDROS 11

El punto A(6,1'5,3) es el vértice de un cono de revolución de eje vertical cuya sección por el plano de comparación es una circunferencia de 6 cm. de diámetro. Los planos P y Q son tangentes al cono anterior y pasan ambos por el origen. El plano P es el que asciende hacia la parte superior del papel, y la recta t es la intersección de ambos planos. El plano P anterior, contiene dos aristas opuestas de un dodecaedro regular de 3 cm. de arista, una de las cuales, la AB, (siendo A el vértice del cono anterior), está contenida en la recta t, siendo la cota de B mayor que la de A. Los vértices M y N, extremos de la otra arista contenida en P, tiene cotas menores que A. Se pide representar la parte del poliedro que queda por encima del plano P, acotando cada vértice en centímetros con aproximación de milímetros, y dibujando las lineas de nivel cada centímetro de sus caras vistas. NOTA: Papel apaisado, con origen de coordenadas a 2 cm del borde izquierdo y a 8 cm. del borde superior. Eje OX hacia la derecha y eje OY hacia arriba. Cotas en cm.



1

CUERPOS DE REVOLUCION 1 El punto A(4) es el centro de una circunferencia de 2 cm. de radio situada en el plano de la figura. Esta circunferencia es la sección de una esfera de radio 3 cm. Dibujar la esfera y hallar la intersección con una recta vertical que pasa por A. A



2

CUERPOS DE REVOLUCION 2 Dos planos P y Q de pendiente 1 y 2 tienen como traza común la recta de la figura. Dibujar una esfera de 3 cm. de radio tangente a ambos planos que además se apoya en el plano vertical R R P Q



3

CUERPOS DE REVOLUCION 3 Dos planos P y Q de pendiente 1 y 2 tienen como traza común la recta de la figura. Dibujar un cono tangente a ambos planos de vértice A, altura 4 cm y semiángulo cónico 30º A P Q



4

CUERPOS DE REVOLUCION 4 Dos planos P y Q de pendiente 1,5 y 1, tienen como traza común la recta de la figura. Dibujar un cilindro tangente a ambos planos de 6 cm. de altura de manera que una de sus bases pasa por el punto A(5). Todo el cilindro está contenida en la hoja de dibujo P Q A



5

CUERPOS DE REVOLUCION 5

Papel en posición apaisada. Cotas en cm. Eje OY el borde izquierdo y eje OX el borde inferior. Se da el punto M(22;10,5) y la recta tp: x=17, referidos al sistema de coordenadas antes indicado. El punto M es el centro de un circulo de 4 cm. de radio situado sobre el plano de

comparación. La recta tp es la traza de un plano P de talud t=1, que asciende hacia la derecha. El circulo es la base de un cono, de vértice V situado por encima del plano P y distante de éste 2 cm. y de cota positiva. El plano P corta al cono según el círculo. Se pide: 1º) Determinar el vértice V del cono y su cota. 2º) Representar el tronco de cono obtenido, dibujando todas las curvas de nivel de cota entera.



6

CUERPOS DE REVOLUCION 6 Hallar la intersección del cono y la esfera de la figura, sabiendo que esta, está apoyada en el suelo y el vértice del cono tiene la misma altura que el punto más alto de la esfera y labase del cono esta a cota nula.. Cono V



7

CUERPOS DE REVOLUCION 7 Hallar la intersección del cono y cilindro de la figura, ambos apoyados en el plano horizontal, si el vértice del cono tiene cota 8 y las generatrices del cilindro 45º de inclinación. cilindro Cono V



1

Cubiertas 1 Resolver la cubiertas de la figura si todos sus faldones tienen igual pendiente ( 1,5) Y dibujar la sección AA´ A A´



2

Cubiertas 2 Resolver la cubiertas de la figura si todos sus faldones tienen igual pendiente ( 0,5) y dibuja la sección AA´



3

Cubiertas 3 Resolver la cubierta de la figura sabiendo que los aleros horizontales tienen pendiente 2 y los verticales 1.



4

Cubiertas 4 Resolver la cubierta de la figura, si la pendiente de los faldones es 1 y su cota está expresada en la figura. 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2



5




6




7

Cubiertas 7 Representar las líneas de nivel del terreno cuya planta se ve a continuación 10 15 18 22 17 30 33



8

Cubiertas 8

Se da el contorno exterior de una cubierta, definida por los puntos siguientes: A(3,5); B(18,5); C(18,25); D(3,25); E(3,20); F(6,20); G(6,10); H(3,10) y los contornos de dos patios interiores definidos por los puntos 1(10,20); J(13,18); K(13,22) el primero, y L(10,8); M( 14 , 8) ; N(14,12) y P(10,12) el segundo. El origen se tomará como el vértice inferior izquierdo del papel. Todos los puntos tienen cota 10. Representar la cubierta que parte del contorno exterior con talud 1/1 y de los patios con taludes t'=1/2. Determinar limahoyas, limatesas y líneas de nivel de cota redonda.



9

Cubiertas 9

Un edificio tiene como planta un triángulo equilátero ABC de lado 15 cm. La cubierta está formada por tres conos, cuyos vértices están en la vertical de los puntos A, B y C y a cota 10. Como base o directriz de los conos podemos considerar la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, a cota 0. Dibujar la cubierta, limitada por los planos verticales que pasan por AB, BC y CA, con lineas de nivel de m. en m. Sección de la cubierta por el plano vertical que pasa por AB y por el mediatriz del segmento AB.



10

Cubiertas 10

La proyección del contorno de una cubierta sobre el plano de comparación es un rectángulo abcd cuyos lados miden 15 y 10 metros. La cubierta está formada por seis planos y las cotas de los puntos que se proyectan en los vértices del rectángulo son las siguientes: A(0), B(0), C(3) y DCO). El plano que parte del alero AD forma un ángulo de 60º con el plano horizontal. El que parte de BA es tal que su intersección con el anterior forma con DA un ángulo de 22º30'. Dicha intersección constituye la limatesa AM. Los planos que parten de BC y CD tienen taludes de O'6 y 1, respectivamente. Su intersección constituye la limatesa CM. M y N se definen de forma que la distancia entre ellos sea la mínima posible. Los dos planos restantes están definidos por el segmento MN y los puntos B y D, respectivamente. Se trata de dibujar la proyección acotada de la cubierta a escala 1:100 sobre el papel en posición apaisada, haciendo coincidir aproximadamente el centro de éste con el del rec tángulo y colocando el lado ab de 15 metros de longitud más próximo al borde superior y el be de 10 metros más próximo al borde derecho.



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Cubiertas 11 Se da un rectángulo ABCD: AB paralelo y más próximo al borde inferior. AB = CD = 21 metros y BC = DA = 14 metros. Los puntos M y N, interiores al rectángulo, son tales que M dista 6 m. de AB y 6 m. de DA y N dista 8 m. de AB y 15 m. de DA. Los puntos M y N son los centros de dos cuadrados de 4 m. de lado. El centro M, con los lados paralelos a los del rectángulo y, el del centro N, con lados formando ángulos de 45° con los del rectángulo. Se trata de construir una cubierta de un edificio cuyo contorno exterior es el rectángulo y con dos patios interiores definidos por los cuadrados dados. Los planos que parten del rectángulo tienen talud 1 y los que parten de los cuadrados tiene talud 3/4. Representar el conjunto de la cubierta con curvas de nivel de cota redonda con las limahoyas y limatesas correspondientes .



12

Cubiertas 12



1

PLATAFORMAS 1 Dado el terreno y la plataforma de la figura , dibujar la planta resultante, con pendiente de desmonte 2 y pendiente de terraplén 1. E: 1/2000 30 20 10 20 30

30 40 50



2

PLATAFORMAS 2 Dado el terreno y la plataforma de la figura , dibujar la planta resultante, con pendiente de desmonte 2 y pendiente de terraplén 1. E: 1/2000

50 30 30 40 40 60



3

PLATAFORMAS 3 Dado el terreno y la plataforma de la figura , dibujar la planta resultante, con pendiente de desmonte 2 y pendiente de terraplén 1. E: 1/2000

60 40 20 20 40 60 40



4

PLATAFORMAS 4 La recta AB es la horizontal de cota 55 de un terreno que se asimila a un plano de pendiente ½ que desciende de izquierda a derecha. La plataforma de la figura está situada a la cota 45.representar en acotados E 1/200 y líneas de nivel de metro en metro, la planta resultante con pendientes de desmonte y terraplén 1/1 AB



5

PLATAFORMAS 5 Calcular la configuración definitiva del terreno. Pendiente desmonte = 0,9 Pendiente de terraplén = 0,6 E= 1/200 Cota plataforma superior 35 Cota plataforma inferior 34 40 38 36 34 32 30 28 26 24



6

PLATAFORMAS 6 Resolver el terreno adjunto P desmonte = 1 P terraplén = 0,5 E : 1/200 Cota de la plataforma 30 40 38 36 34 32 30 28 26 24



7

PLATAFORMA 7 Resolver la plataforma inclinada con pendientes de desmonte 1/1 y pendiente de terraplén 0,75/1 40 Cota 34 38 36 34 cota 30 32 30 28 26 24



8

PLATAFORMAS 8 La plataforma de la figura está situada en la cota 100, de manera que se accede a ella mediante una rampa que asciende desde la cota 80. 1-Dibujar la planta de desmontes y terraplenes generados por la plataforma tomando 1/3 como pendiente de terraplén y ½ la de desmonte. Sobre la plataforma existe una montaña de forma cónica de pendiente 1 cuya cima se sitúa a la cota 140. 2.-Dibujar dicha montaña con líneas de nivel cada 5 m. y trazar un camino de ancho aproximado 10m. que partiendo de B llegue a la cima sin superar una pendiente de 0,25 de forma que su recorrido sea mínimo. 3.-Dibujar así mismo la sección AA´ ( escala vertical 1/2000)



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PLATAFORMAS 9 Los planos P y Q ascienden con inclinaciones de 30º y 45º, y hacia la izquierda y derecha ,respectivamente. Dibujar la planta de desmontes y terraplenes de la plataforma adjunta. P desmonte = 1,5 ; P terraplén = 1 P Q Plataforma cota 3



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PLATAFORMAS 10 El rectángulo de la figura de 40 x 25 m. esta situado a la cota 45 m. Dibujar los desmontes y terraplenes utilizando taludes 1 y 2, respectivamente. Trazar el perfil por el punto medio del lado mayor



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PLATAFORMAS 11

Se definen los puntos A(3,3) de cota 4 m. B(3,-3) de cota 10 m. C(-3,-3) de cota 2 m. y D(-3,3) de cota 8 m. Las coordenadas se expresan también en metros. El cuadrilátero alabeado ABCD es borde de una plataforma que se define por rectas que, en proyección son paralelas al eje OX y en el espacio cortan a las AB y CD. Los planos, tanto de desmonte como de terraplén, que parten de AB tienen de pendiente 7. Análogamente, los que parten de BC, tienen de pendiente 6, los que parten de CD, pendiente 3 y los que parten de DA, pendiente 4. El terreno es un plano cuya horizontal de cota 6 es el eje OX, crece en sentido positivo del eje OY y forma con el plano horizontal un ángulo de 45°. Se pide: Estado final de la obra. Líneas de nivel , líneas de paso en rojo e intersecciones del plano con el terreno Escala 1:100



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PLATAFORMAS 12 Papel vertical. Se considera como eje de las X(+), la recta paralela a los bordes superior e inferior de la hoja y equidistantes de ambos. Como eje Y una paralela al borde izquierdo y a un centímetro de distancia aproximadamente. El OX representa la horizontal de cota 10 de un plano ascendente hacia el borde superior de pendiente 1/2. Sobre dicho terreno se construye una plataforma horizontal ABCD de cota 10 y una rampa de acceso a la plataforma de 2 m. de ancho y pendiente 2/3, cuyo eje es perpendicular a la AD en el punto medio. Dibujar los desmontes y terraplenes correspondientes a plataforma y rampa. Talud de desmonte 1/2. Talud de terraplén 1/1. A(7,3;-l,9) B(6,3;4) C(14,3;2,6) D(11,2;-2,6) en metros. Escala 1:100



1

Carreteras 1 Calcular la planta de desmontes y terraplenes de la carretera horizontal adjunta. Pendiente de desmonte 2/1 ; pendiente de terraplén 1/1 Cota de la carretera 46 E :1/200 52 50 48 46 44 44 46 48 50 52 54 56 58



2

Carreteras 2 Calcular la planta de desmontes y terraplenes de la carretera adjunta. Pendiente de desmonte 2/1 ; pendiente de terraplén 1/1

E :1/2000 65 Cota 50 60 55 50 45 40 35 30 30 35 40 45 50 cota 40 55



3

Carreteras 3 Calcular la planta de desmontes y terraplenes de la carretera horizontal adjunta. Pendiente de desmonte 2/1 ; pendiente de terraplén 1/1

Cota de la carretera 40 E :1/2000 60 55 50 45 40 35 30 25



4

Carreteras 4 Calcular la planta de desmontes y terraplenes de la carretera adjunta. Pendiente de desmonte 2/1 ; pendiente de terraplén 1/1

E :1/2000 Cota 40 50 60 60 50 40 30 40 50 60 cota 50 70



5

Carreteras 5 Calcular los perfiles longitudinales de las carreteras 1 y2 1 2



6

Carreteras 6 Calcular los perfiles longitudinales de las carreteras 3 y4

3 4



7

Carreteras 7 Hallar la planta de desmontes y terraplenes de la carretera adjunta. Talud desmonte = talud terraplén = 1/1 E= 1/200



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Carreteras 8 El plano representa un terreno en el que se quiere dibujar una carretera de cinco tramos, a saber: Tramo nº1: alineación recta AB de 100 m Tramo nº2: Curva de radio 100 m. y ángulo 120º, girando a la derecha. Tramo nº3: Recta de 30 m. Tramo nº4: Curva de 40 m. a la derecha y de 90º Tramo nº5: Recta de 60 m. Se pide. 1.- Construir la carretera de anchura 20 m. 2.-Dibujar la planta definitiva del terreno, utilizando como talud de desmonte 2/1 y de terraplén 1/1 3.-Ontener el perfil longitudinal, con los siguientes datos TRAMO 1 PENDIENTE 0,12 TRAMO 2 HORIZONTAL TRAMO 3 RAMPA 0,075 TRAMO 4 RAMPA 0,075 TRAMO 5 HORIZONTAL 4.- Dibujar los perfiles transversales A, B , C y D E horizontal:1/1000 E vertical: 1/200



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Carretera 9 Dibujar la planta de desmontes y terraplenes Pd= 1 Pt= 0,5



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Carreteras 10

Papel en posición peraltada. Se considera la recta XY, paralela y equidistante de los bordes menores del papel. El centro O del papel, punto medio de XY, es el punto medio del segmento AC=5 m. (A a la derecha de C y ambos sobre XY, AC es la diagonal menor de un cuadrilátero ABCD, tal que AB = 5 m. ; BC = 7 m. ; CD = 4 m. y DA = 5 m. (D es el vértice más próximo al borde inferior del papel). La recta CY es la horizontal de cota 5 de un plano P que desciende con talud 2 hasta el plano de comparación,acercándose al borde inferior y también la recta XY es horizontal de cota 5 de otro plano Q, que asciende con talud 3, acercándose al borde superior del papel. Las horizontales de cota redonda de los planos P y Q y el plano de comparación representan un terreno por sus curvas de nivel. Sobre este terreno se debe construir una plataforma horizontal de cota 5, cuyo contorno es el polígono ABCD. Se pide: 1º) Representar la planta de conjunto con sus terraplenes y desmontes y las intersecciones correspondientes, dibujando las curvas de nivel con equidistancia un metro.

Talud de desmontes: t = 2/3 Talud de terraplenes: t = 1/1

2º) Dibujar la traza del eje de un itinerario que partiendo del punto medio del lado CD de la plataforma, desciende, apoyándose siempre sobre el terreno, con pendiente constante y módulo 3 hasta el plano de comparación, desviándose siempre hacia la derecha para terminar, con un tramo horizontal, en el vértice inferior derecho del papel. El itinerario tendrá el menor número de tramos y de mayor longitud posible. 3º) Obtener el perfil del conjunto por el plano de traza MN, perpendicular a la diagonal AC, por su punto medio O, y señalar el cruce con el itinerario obtenido en el apartado anterior. Escala: 1/100.



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Carreteras 11

El croquis adjunto representa el eje de un camino de 10 m de anchura, de rasante única, horizontal y a la cota 80. Se trata, como se ve, de dos alineaciones rectas unidas por un tramo curvo que se supone circular. Con taludes de terraplén de 1/1, SE PIDE: 1. Aproximar el costo de la construcción del camino, si se valora el terraplén a 350 ptas/m3. 2. A fin de evacuar el agua que pueda llegar por la vaguada, y a modo de tajea, de dispone de un tubo rizado de 2'5 m de diámetro que atraviesa el terraplén, siguiendo la línea de vaguada. Calcular la longitud del tubo y dibujar su intersección con el terraplén, explicando el tipo de curva obtenido.



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Carreteras 12



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Carreteras 13



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Carreteras 14



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Carreteras 15



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Carreteras 16

APÉNDICE CUADERNOS DE GEOMETRÍA APLICADA (2)


EJERCICIOS RESUELTOS

ACOTADOS PRÁCTICAS EJERCICIOS RESUELTOS 1


EJERCICIO nº1



EJERCICIO Nº2

E : 1/2000 En la figura se representa el eje de una carretera horizontal que discurre a la cota 100. y tiene una curva de 80 m. de radio. Se pide dibujar la planta de la misma con desmontes y terraplenes, sabiendo que la pendiente de desmonte es 1 y la de terraplén 0,5. Así mismo se pide dibujar el perfil longitudinal AB y los perfiles transversales 1 y 2. Cerca de la carretera y para asegurar la iluminación de la parte curva se sitúa una plataforma ala cota 105 y en ella un poste de 15 m. de altura en el que se ubican varios focos. Se pide, si es posible que con estos focos la totalidad de la curva que iluminada.

A

B

antena

1 2



EJERCICIO nº3



EJERCICIO 4



EJERCICIO 5 Colección José Expósito

Talud desmonte 1 Talud terraplén 2 E 1/200



EJERCICIO 6 Colección José Expósito



EJERCICIO 7

Los puntos ABCD representan la margen derecha de un río de 30 m. de anchura que transcurre de N a S por la cota 100.Las laderas que definen el valle por el que discurre el río tienen pendiente 2/1. Por la margen derecha el terreno está formado por planos tal y como se ve en la figura y por la izquierda don laderas de la pendiente antes mencionada con una cota máxima de 260 m. y luego vuelven a bajar con la misma pendiente. Sobre este terreno se quiere construir una presa y una carretera, ambas horizontales a la cota 220 de manera que la coronación queda a la izquierda y la carretera a al derecha. La anchura de ambas es 20m. y el paramento de aguas arriba pasa por B tal y como se aprecia en la figura y tiene radio de 200 m. , mientras que la carretera es recta. Se pide: 1. - Dibujar el terreno con líneas de nivel cada 40 m. ( E: 1/2000) ( 2p) 2.-Pendiente del plano de la margen derecha de mayor pendiente (0,5 p) 3.-Obtener la cota de F (0,5 p) 4.-Graduar la recta GF (0,5 p) 5.-Dibujar la presa sabiendo que la pendiente aguas arriba es 8 y la de aguas abajo 4. (3p) 6.-Dibujar la carretera con pendiente de desmonte 8 y pendiente de terraplén 4. (2p) 7.-Perfil longitudinal de la presa, carretera y terreno por el eje de las primeras (1,5 p)



EJERCICIO Nº8 ( Joaquin Palencia Geometría Descriptiva pag.178)



EJERCICIO Nº9 ( Joaquin Palencia Geometría Descriptiva pag.185)



EJERCICIO Nº10 ( Joaquin Palencia Geometría Descriptiva pag.180) La figura representa una plataforma cuadrada de cota 6. MN es la horizontal de cota 6 de un plano de talud 2. La rampa de acceso parte de la cota 0 y llega a la 6. Dibujar el terreno resultante con talud de desmonte 1/1 y de terraplén 5/4



EJERCICIO 17

Los puntos ABCD representan la margen derecha de un río de 30 m. de anchura que transcurre de N a S por la cota 100.Las laderas que definen el valle por el que discurre el río tienen pendiente 2/1. Por la margen derecha el terreno está formado por planos tal y como se ve en la figura y por la izquierda don laderas de la pendiente antes mencionada con una cota máxima de 260 m. y luego vuelven a bajar con la misma pendiente. Sobre este terreno se quiere construir una presa y una carretera, ambas horizontales a la cota 220 de manera que la coronación queda a la izquierda y la carretera a al derecha. La anchura de ambas es 20m. y el paramento de aguas arriba pasa por B tal y como se aprecia en la figura y tiene radio de 200 m. , mientras que la carretera es recta. Se pide: 1. - Dibujar el terreno con líneas de nivel cada 40 m. ( E: 1/2000) ( 2p) 2.-Pendiente del plano de la margen derecha de mayor pendiente (0,5 p) 3.-Obtener la cota de F (0,5 p) 4.-Graduar la recta GF (0,5 p) 5.-Dibujar la presa sabiendo que la pendiente aguas arriba es 8 y la de aguas abajo (3p) 6.-Dibujar la carretera con pendiente de desmonte 8 y pendiente de terraplén 4. (2p) 7.-Perfil longitudinal de la presa, carretera y terreno por el eje de las primeras (1,5 p)



EJERCICIO 18



EJERCICIO 19

Sobre la planta del croquis, que se dibujará a escala 1:100, limitada por muros que alcanzan la cota 10,00 m,. Se pide: 1°.- En el sentido vertical de la figura en su mayor longitud, de 11,50 m, enlazan tejados planos inclinados, el de la izquierda formando un ángulo de 60° con el plano horizontal y el de la derecha de 30°. Determinar la cota de la cumbrera o intersección de ambos tejados. 2°.- La parte superior del croquis, que es semicircular, se cubrirá con una superficie cónica de secciones horizontales circulares y tangentes a los planos anteriores. 3°.- Los dos cuerpos horizontales laterales se cubrirán con superficies cilíndricas rematadas en sus partes extremas con superficies esféricas tangentes a las cilíndricas. Determinar la intersección de los cilindros con los tejados planos de la primera pane. 4°.- La parte inferior del croquis corresponde a una semi-pirámide hexagonal regular que se ha cortado y limitado por el plano vertical que pasa por la línea horizontal inferior BC del croquis y vértice A en el punto medio de BC de cota 19'00 m. Hallar la intersección de la cara o caras que correspondan de la pirámide con los tejados planos del 1º punto.



EJERCICIO Nº20

Una cubierta laminar de espesor despreciable está constituida por seis bóvedas cónicas, rectas y de base elíptica, con vértice común V, tres cóncavas y tres convexas dispuestas en alternancia. Los dos lados de un hexágono regular de 42 cm de perímetro, situado en un plano horizontal, son los ejes menores de las bases elípticas de los conos rectos, estando dichas bases en planos que forman 60° con el horizontal. Los puntos de clave más altos de las bóvedas cóncavas tienen cota 10, y lo más bajos de las convexas, cota 0. Todo el conjunto se cierra con parámetros verticales. En las zonas de intersección de bóvedas consecutivas se instalarán pórticos reticulados que constituyen la estructura soporte, y que a su vez, servirán de lucernarios. Se pide: 1°.- Dibujar acotada la planta del conjunto. 2°.- Obtener el desarrollo de los cerramientos verticales correspondientes a media bóveda cóncava y la mitad convexa sucesiva, con la zona de lucernamiento correspondiente. 3°.- Dibujar y acotar dos pórticos situados en el mismo plano.



EJERCICIO Nº21

La planta de la cubierta de una nave es un pentágono regular ABCDE de 8,00 metros de lado situado en el plano horizontal de cota + 4,000 m. Los puntos medios de los lados definen otro pentágono, cuyos puntos medios, a su vez, definen un tercer pentágono. Por los lados del pentágono exterior pasan planos que forman 30° con el plano horizontal y concurren en un punto, cuya proyección coincide con la del centro del pentágono. Por los lados del pentágono intermedio pasan planos que forman 45° con el plano horizontal y también concurren en otro punto, cuya proyección coincide con la del centro del pentágono. Por los lados del pentágono intermedio pasan planos que forma 45° con el plano horizontal y también concurren en otro punto, cuya proyección coincide con la del centro del pentágono. Del mismo modo, por los lados del pentágono interior pasan planos que forman 60° con el horizontal y también concurren en otro puntos, cuya proyección coincide con la del centro del pentágono. Todos los planos de la cubierta suben hacia el centro y se limitan por las aristas de los pentágonos y por sus primeras intersecciones. La nave está cerrada, entre la cota 0,00 y la cota + 4,00, por paramentos verticales. Se pide a escala 1:100. 1°.- Dibujar la cubierta con 0,50 m de equidistancia. 2°.- Dibujar un perfil transversal que pase por el centro del pentágono y uno de sus vértices, definiendo, con cota y distancia al centro del pentágono, sus puntos característicos. 3°.- Calcular la superficie de la cubierta y el volumen de la nave. La primera, para comprar el material que forma la cubierta y el segundo, para determinar la caldera que ha de calentar la nave.



EJERCICIO Nº22

Las aristas AB, AC y AD son las más bajas de un cubo de 5 cm de lado. Las cotas de los vértices B, C y D son respectivamente 1; 2 y 3'5. SE PIDE, en acotados: 1°.- Dibujar el cubo, acotando los vértices. 2º.- Sombra arrojadas sobre el plano de comparación con luz paralela a la diagonal principal que pasa por el punto A.



EJERCICIO Nº23 Un puerto de montaña tiene la forma de un paraboloide hiperbólico del que se conocen las rectas A(-200,250,0) -B(200,250,80); C(200,-250,0) -D(-200 -250 80) y M(200,0,40) -N(-200,0,40), cuyas coordenadas están dadas en un sistemas de referencia en el que el origen es papel, en posición vertical, con el eje OX paralelo a los bordes menores del papel, y positivo hacia la derecha, y el eje OY paralelo a los bordes mayores y positivos hacia abajo. Las coordenadas vienen en metros. 1°.- Dibujar el terreno, a escala 1:2500, con líneas de nivel correspondientes a las cotas 70,60,50,48,46,44,42 y 40 y limitándolo por sus intersecciones con los planos x=200, x—200, y=250, y=-250. Justificar el tipo de curvas de nivel obtenido, definiendo los elementos canónicos de la curva de nivel de cota 46.

2°.- Determinar la proyección acotada del vértice, del eje y de las secciones principales del paraboloide al que pertenece el terreno definido, 3°.- Se desea construir un camino que vaya desde el punto P(-150.-250.Zp) hasta el punto Q(200,-187'5,Zp), ambos sobre el terreno. Este camino tendrá forma de poligonal, con sus vértices sobre las líneas de nivel dibujadas, e irá pegado al terreno, de forma que su longitud sea la menor posible y que su pendiente no sea superior al 14%. Dibujar la planta del eje del camino. 4°.- Dibujar el perfil longitudinal del camino anterior, indicando su longitud.



EJERCICIO Nº24 Para cubrir una nave rectangular de 30 m de anchura se piensa en una cubierta realizada con módulos iguales adosados. Cada módulo cubre una superficie cuadrada de 30 x 30 m2. Los puntos medios de los lados de este cuadrado corresponden a puntos de la cubierta de cota 5 m, sus vértices y su centro a puntos de cota 10 m. El contorno del módulo es un octógono alabeado. La cubierta es laminar (espesor despreciable) constituida por superficies alabeadas regladas. SE PIDE, en acotados: 1°.- Encontrar una solución de cubierta bajo las condiciones anteriores, definiéndola por sus curvas de nivel de metro en metro. Se indicará expresamente el nombre de las superficies adoptadas como solución.



EJERCICIO 25

Papel peraltado. Se da el punto 0(7) que se proyecta a 11 cm del borde del papel izquierdo y a 17 cm del inferior. O es el centro de una esfera de radio 6 cm. El plano S forma 60° con el horizontal, sus líneas de nivel son paralelas al borde superior del papel, asciende hacia dicho borde y la horizontal de cota O dista 3 cm de la proyección horizontal del centro de la esfera hacia el borde inferior del papel. SE PIDE, en acotados: 1°.- Determinar la sección del plano en la esfera. 2°.- Situar en la circunferencia sección un cuadrado tal que una diagonal forme 45° con el horizontal y el vértice A más bajo de ella quede a la izquierda de la figura. 3°.- Trazar el cilindro circunscrito a la esfera cuyas generatrices formen 45° con el plano de comparación ascendiendo hacia la parte superior del papel y tal que se proyecten paralelamente a sus bordes laterales. Se considerará limitado el cilindro por la circunferencia de contacto con la esfera y el plano horizontal suponiendo la esfera transparente. 4°.- Hallar los planos tangentes a la esfera en los puntos M y N de intersección de ambas circunferencias (La sección con el plano S y la de contacto con el cilindro).



EJERCICIO Nº26

Un profesor, viajando por Italia, quedó sorprendido por la iglesia parroquial de Schio. dedicada a la Santa Croce. En una primera aproximación, consideraremos la planta como un polígono regular de doce lados, dodecágono regular de 6,00 m de lado, y prescindiremos del porche, que carece de interés para nosotros. La cota de aleros está a 6,00 m. Los puntos más altos de la cubierta, correspondientes a las limatesas de la parte superior que se consideran horizontales, está a cota 15,00 m. Tres metros más abajo, a cota 12,00 m, existe un hexágono regular, de ^,00 m de lado, que define, tanto la parte superior como la inferior. Sabemos que la limahoya superior y la limatesa inferior forman una linea recta y que, tanto en la parte inferior como en la superior, las limatesas tienen una longitudd tal, que los triángulos que enmarcan la vidrieras son equiláteros, dentro de su plano inclinado. La inclinación de todos los faldones es la misma, excepto los pequeños triángulos casi horizontales de la parte inferior de la cubierta. SE PIDE en acotados representar la cubierta con las líneas de nives cada metro.



EJERCICIO Nº27

Se define un terreno del cual se conoce la recta A(4,-5,9) -B(4,5,9). Dicho terreno tiene una pendiente de 1/4 y desciende hacia el borde izquierdo de papel. En este terreno se realiza una excavación según una pirámide, tal que cualquier sección de ella por un plano horizontal es un cuadrado. El vértice de la pirámide es el punto V(0,0,2). Las caras de la pirámide que concurren en V tienen una pendiente de 5/3, y las horizontales de dichas caras son paralelas, unas al eje OX y otras al eje OY. La excavación se realiza entre dichas caras. Una vez realizada la excavación, se rellena ésta vertiendo áridos desde un punto situado en la vertical del punto V. Los áridos con que se rellena lo máximo posible sin que el material desborde por fuera la misma. SE PIDE en acotados: 1°.- Hallar las intersecciones de la excavación con el terreno, dibujando las líneas de nivel cada metro. 2°.- Dibujar el relleno de áridos y sus líneas de intersección con la excavación, definiéndolas por sus elementos canónicos, y dibujando asimismo sus líneas de nivel cada metro. 3°.- Dibujar la sección transversal del conjunto por el plano XZ. Este apartado se realizará en la parte superior del papel. Papel peraltado. Escala 1/100. Origen de coordenadas a 7 cm, del borde inferior del papel y centrado con relación a los bordes laterales del mismo. Eje X positivo hacia la derecha y eje Y positivo hacia arriba. Cotas en metros.



EJERCICIO Nº28

La linea ABCD representa el eje de un camino, compuesto por dos alineaciones recta, AB y CD, de 30 m de longitud cada una de ellas, unidas entre sí por un tramo circular tangente a ambas de radio OB=OC=30 m. El ángulo BOC=120°. La figura se dispondrá de forma que, con el papel en posición vertical, AB quede horizontal en la parte inferior del papel con el punto A a 4 cm del borde derecho del papel y a 8 cm del borde inferior. B queda a la izquierda de A. El camino se pude considerar engendrado por un perfil trapecial, cuya base superior tenga el ancho del camino, 5 m, y cuyos taludes sean 2/1 el interior y 1/1 el exterior. Dicho trapecio se desplaza, manteniéndose vertical, con la base superior siempre horizontal y normal al eje del caminos. Las rasantes del camino quedan definidas por las cotas rojas de los puntos A(20), B(15), C(5) y D(0). El terreno natural se confunde con el plano de comparación. Los terraplenes de la carretera son atravesados por un túnel cuya sección es un segmento circular de radio 4 m y altura 6 m. El túnel es recto, horizontal, su eje pasa por la vertical punto O, centro de la curva de la carretera, forma 45° con la alineación AB y en planta lo veremos subiendo desde la parte izquierda del papel hacia la derecha. La parte recta de la sección del túnel se mantiene siempre a cota (0). El camino ABCD se prolonga desde el punto D(0), para terminar pasando por debajo de si mismo, acota (0), siguiendo la alineación del túnel. El cambio de dirección se hará con una única curva circular de radio 20 m, tangente a la alineación CD y a la del túnel. SE PIDE, en acotados dibujar el conjunto a E 1:500



EJERCICIO Nº29

Se proyecta un vertedero de residuos sólidos urbanos (RSU) en el lugar que se indica en el plano que se adjunta, a escala 1:1000. Para ello, se dispone una presa de contención de eje AB, coronación de 15 m de ancho a la cota 803 y taludes igual a 2. SE PIDE, en acotados: 1°.- Dibujar la presa, con curvas de nivel cada metro y calcular el volumen de terraplén necesario para su construcción, con un error menor del 30% . 2°.- Dibujar la zona ocupada por el vertedero, una vez utilizado, con curvas de nivel cada metro, con las condiciones siguientes: - Talud de los residuos igual a 3. - Se dispone una limatesa, que en planta es perpendicular a AB, por el centro del eje de la coronación proyectada. Esta limatesa tiene una pendiente del 2% subiendo hacia la parte superior de la hoja y comenzando a cota 809 en lo alto del plano del talud del vertedero. Para aclarar esta condición, se indica cómo es el perfil longitudinal a lo largo de la limatesa - Desde la limatesa se dejan planos a ambos lados con pendientes del 3% descendiendo desde la limatesa . 3°.- Estimar el volumen de RSU que caben en el vertedero, una vez utilizado, con un error menor del 50% . Se valorará la presentación y exactitud de las construcciones.



EJERCICIO Nº30 La topografía que se adjunta, realizada a escala 1/400, corresponde a las dos laderas muy escarpadas de una garganta. Una tubería cilindrica de 3 m de diámetro y eje AB, desciende desde A(536 m) hacia B con una pendiente del 20% y, para atravesar la garganta, se apoyará sobre el tablero de un puente, que construye bajo las siguientes condiciones: - El canto (espesor) del tablero del puente, incluidas las vigas, es de 1 m y su ancho de 5 m. Su eje en planta coincide con la alineación.

- Para soportar el tablero se construye un arco de directriz parabólica de eje vertical, bajo los siguientes supuestos. - La parábola directriz del arco pasa por el punto C(500 m) donde su tangente forma 58° con la horizontal. - La mínima distancia de dicha parábola al eje de la tubería es de 5,5 m. - El arco, que tiene un ancho de 3 m, tiene por trasdós e intradós, respectivamente, dos parábolas coaxiales con la que sirve de directriz, de forma que el canto en la clave es de 1 m, y en el punto C, a la cota 500 m, donde se cimienta, su canto es de 3 m. - Por la derecha se cimentará a la cota 490 m. - El tablero se soporta mediante columnas de 3x1 m2, quedando, por tanto, a cada lado un voladizo de 1 m. El eje de la columna central coincide con el del arco, estando las demás simétricamente distribuidas a equidistancias de 10 m. Las columnas apoyan sobre el arco, salvo la situada más a la izquierda que se cimienta sobre el terreno a la cota 514 m. - Las cimentaciones del arco y de la columna que no apoya sobre él, se realizarán sobre plataformas horizontales, excavadas sobre las laderas con taludes verticales, dejando 1 m de distancia libre entre ellos y los parámetros.de los elementos estructurales (arco y columna). - La tubería quedará exenta (no enterrada) en el tramo comprendido entre los puntos en los que el recubrimiento de tierras es menor de 2 m, realizando para ello excavaciones en trinchera, con un ancho de solera de 5 m y taludes H/V=1/2, excepto en los que enfrentan al eje de la tubería, que serán verticales. Se pide: 1°.- Dibujar el alzado y la planta del conjunto de la construcción, definiendo las parábolas de trasdós, intradós y directriz del arco mediante sus vértices y directrices, las distribución de columnas, la tubería y representar las excavaciones precisas. 2°.- Indicar los siguientes valores: Cotas de la clave de la parábola directriz del arco. Dimensiones de la sección del arco en el plano de cimentación de la derecha. 3°.- Cubicar el volumen de excavaciones que es preciso realizar. Directrices de un arco: entenderemos como la línea descrita por los centros de gravedad de las distintas secciones del arco. En nuestro caso las secciones son rectangulares de ancho 3 m y canto variable. Trasdós e intradós. Trasdós: superficie exterior convexa de un arco o bóveda, contrapuesta al intradós o superficie interior. Dada la naturaleza del ejercicio, se valorará muy sustancialmente la exactitud, limpieza y delineación.



EJERCICIO 31 HALLAR LA INTERSECCIÓN DE LA PIRÁMIDE Y LA ESFERA DE RADIO 4 CM. APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL



EJERCICIO 32 HALLAR LA INTERSECCIÓN DEL CILINDRO HORIZONTAL CUYO EJE TIENE COTA 5 CM. Y LA ESFERA DE RADIO 4 CM. APOYADA EN EL PLANO HORIZONTAL

Libro Acotados Cert

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